Madalas nilang kunin ang numerong sampu. Ang mga logarithms ng mga numero batay sa batayang sampu ay tinatawag decimal. Kapag nagsasagawa ng mga kalkulasyon gamit ang decimal logarithm, karaniwan nang gumana gamit ang sign lg, ngunit hindi log; sa kasong ito, ang numero sampu, na tumutukoy sa base, ay hindi ipinahiwatig. Oo, palitan natin log 10 105 sa pinasimple lg105; A log 10 2 sa lg2.

Para sa decimal logarithms ang parehong mga tampok na mayroon ang mga logarithms na may base na mas malaki kaysa sa isa ay karaniwan. Ibig sabihin, ang decimal logarithms ay nailalarawan ng eksklusibo para sa mga positibong numero. Ang decimal logarithms ng mga numerong mas malaki sa isa ay positibo, at ang mga numerong mas mababa sa isa ay negatibo; ng dalawang di-negatibong numero, ang mas malaki ay katumbas ng mas malaking decimal logarithm, atbp. Bukod pa rito, ang mga decimal logarithm ay may mga natatanging katangian at mga kakaibang tampok na nagpapaliwanag kung bakit komportable na mas gusto ang numero sampu bilang batayan ng logarithms.

Bago suriin ang mga katangiang ito, maging pamilyar tayo sa mga sumusunod na pormulasyon.

Integer na bahagi ng decimal logarithm ng isang numero A ay tinatawag na katangian, at ang fractional ay mantissa ang logarithm na ito.

Mga katangian ng decimal logarithm ng isang numero A ay ipinahiwatig bilang , at ang mantissa bilang (lg A}.

Kunin natin, sabihin nating, log 2 ≈ 0.3010. Alinsunod dito = 0, (log 2) ≈ 0.3010.

Gayundin para sa log 543.1 ≈2.7349. Alinsunod dito, = 2, (log 543.1)≈ 0.7349.

Ang pagkalkula ng decimal logarithms ng mga positibong numero mula sa mga talahanayan ay malawakang ginagamit.

Mga tampok na katangian ng decimal logarithms.

Ang unang tanda ng decimal logarithm. ang isang hindi negatibong integer na kinakatawan ng isang sinusundan ng mga zero ay isang integer positibong numero, katumbas ng bilang ng mga zero sa talaan ng napiling numero .

Kunin natin ang log 100 = 2, log 1 00000 = 5.

Sa pangkalahatan, kung

yun A= 10n , kung saan kami kumukuha

lg a = lg 10 n = n lg 10 =P.

Pangalawang tanda. Decimal logarithm isang positibong decimal, na ipinapakita bilang isang may nangungunang mga zero, ay - P, Saan P- ang bilang ng mga zero sa representasyon ng numerong ito, na isinasaalang-alang ang mga zero integer.

Isaalang-alang natin , log 0.001 = - 3, log 0.000001 = -6.

Sa pangkalahatan, kung

,

yun a= 10-n at ito pala

lga= lg 10n =-n log 10 =-n

Pangatlong tanda. Ang katangian ng decimal logarithm ng isang di-negatibong numero na mas malaki sa isa ay katumbas ng bilang ng mga digit sa integer na bahagi ng numerong ito maliban sa isa.

Ayusin natin ito itong tanda 1) Ang katangian ng logarithm lg 75.631 ay katumbas ng 1.

Sa katunayan, 10< 75,631 < 100. Из этого можно сделать вывод

lg 10< lg 75,631 < lg 100,

1 < lg 75,631 < 2.

Ito ay nagpapahiwatig,

log 75.631 = 1 +b,

Ang paglilipat ng decimal point sa isang decimal fraction sa kanan o kaliwa ay katumbas ng operasyon ng pagpaparami ng fraction na ito sa kapangyarihan ng sampu na may integer exponent P(positibo o negatibo). At samakatuwid, kapag ang decimal point sa isang positibong decimal fraction ay inilipat sa kaliwa o kanan, ang mantissa ng decimal logarithm ng fraction na ito ay hindi nagbabago.

Kaya, (log 0.0053) = (log 0.53) = (log 0.0000053).

Ang kapangyarihan ng isang naibigay na numero ay isang mathematical term na likha ilang siglo na ang nakakaraan. Sa geometry at algebra, mayroong dalawang pagpipilian - decimal at natural logarithms. Kinakalkula sila iba't ibang mga formula, habang ang mga equation na naiiba sa spelling ay palaging katumbas ng bawat isa. Ang pagkakakilanlang ito ay nagpapakilala sa mga katangian na nauugnay sa kapaki-pakinabang na potensyal ng function.

Mga tampok at mahalagang palatandaan

Naka-on sa sandaling ito makilala ang sampung kilalang katangian ng matematika. Ang pinakakaraniwan at tanyag sa kanila ay:

• Ang radikal na log na hinati sa magnitude ng ugat ay palaging pareho sa decimal logarithm √.
• Ang log ng produkto ay palaging katumbas ng kabuuan ng producer.
• Lg = ang magnitude ng kapangyarihan na pinarami ng bilang na itinaas dito.
• Kung ibawas mo ang divisor mula sa log ng dibidendo, makakakuha ka ng log ng quotient.

Bilang karagdagan, mayroong isang equation batay sa pangunahing pagkakakilanlan (itinuring na susi), isang paglipat sa isang na-update na batayan, at ilang mga menor de edad na formula.

Ang pagkalkula ng decimal logarithm ay isang medyo espesyal na gawain, kaya ang pagsasama ng mga katangian sa isang solusyon ay dapat na maingat na lapitan at regular na suriin ang iyong mga aksyon at pagkakapare-pareho. Hindi natin dapat kalimutan ang tungkol sa mga talahanayan, na dapat na patuloy na konsultahin, at magabayan lamang ng data na matatagpuan doon.

Mga uri ng terminong pangmatematika

Ang mga pangunahing pagkakaiba sa pagitan ng isang mathematical number ay "nakatago" sa base (a). Kung mayroon itong exponent na 10, ito ay log decimal. Sa kabaligtaran ng kaso, ang "a" ay binago sa "y" at may mga katangiang transendental at hindi makatwiran. Dapat ding tandaan na ang natural na halaga ay kinakalkula ng isang espesyal na equation, kung saan ang patunay ay isang teorya na pinag-aralan sa labas. kurikulum ng paaralan mga senior class.

Ang mga desimal na logarithm ay malawakang ginagamit sa pagkalkula ng mga kumplikadong formula. Ang buong mga talahanayan ay pinagsama-sama upang mapadali ang mga kalkulasyon at malinaw na ipakita ang proseso ng paglutas ng problema. Sa kasong ito, bago direktang bumaba sa negosyo, kailangan mong itaas ang log sa Bilang karagdagan, sa bawat tindahan ng supply ng paaralan maaari kang makahanap ng isang espesyal na ruler na may naka-print na sukat na tumutulong sa paglutas ng isang equation ng anumang kumplikado.

Ang decimal logarithm ng isang numero ay tinatawag na Brigg's number, o Euler's number, bilang parangal sa mananaliksik na unang naglathala ng dami at nakatuklas ng kaibahan sa pagitan ng dalawang kahulugan.

Dalawang uri ng formula

Ang lahat ng mga uri at uri ng mga problema para sa pagkalkula ng sagot, pagkakaroon ng term na log sa kondisyon, ay may hiwalay na pangalan at isang mahigpit na istraktura ng matematika. Exponential equation ay halos eksaktong kopya ng logarithmic na mga kalkulasyon, kung titingnan mo ang kawastuhan ng solusyon. Kaya lang ang unang opsyon ay may kasamang espesyal na numero na tumutulong sa iyong mabilis na maunawaan ang kundisyon, at ang pangalawa ay pinapalitan ang log ng isang ordinaryong kapangyarihan. Sa kasong ito, ang mga kalkulasyon gamit ang huling formula ay dapat na may kasamang variable na halaga.

Pagkakaiba at terminolohiya

Ang parehong mga pangunahing tagapagpahiwatig ay may sariling mga katangian na nakikilala ang mga numero sa bawat isa:

• Decimal logarithm. Ang isang mahalagang detalye ng numero ay ang ipinag-uutos na presensya ng isang base. Ang karaniwang bersyon ng halaga ay 10. Ito ay minarkahan ng sequence - log x o log x.
• Natural. Kung ang base nito ay ang sign na "e", na isang pare-parehong kapareho sa isang mahigpit na kinakalkula na equation, kung saan ang n ay mabilis na gumagalaw patungo sa infinity, kung gayon ang tinatayang sukat ng numero sa digital na katumbas ay 2.72. Ang opisyal na pagmamarka, na pinagtibay sa paaralan at sa mas kumplikadong mga propesyonal na formula, ay ln x.
• magkaiba. Bilang karagdagan sa mga pangunahing logarithms, mayroong hexadecimal at binary na mga uri (base 16 at 2, ayon sa pagkakabanggit). Mayroong mas kumplikadong opsyon na may base indicator na 64, na nasa ilalim ng sistematikong adaptive type control na kinakalkula ang huling resulta nang may geometric na katumpakan.

Kasama sa terminolohiya ang mga sumusunod na dami na kasama sa algebraic na problema:

• kahulugan;
• argumento;
• base.

Pagkalkula ng numero ng log

Mayroong tatlong mga paraan upang mabilis at pasalitang gawin ang lahat ng kinakailangang mga kalkulasyon upang mahanap ang resulta ng interes, na may obligadong tamang kinalabasan ng solusyon. Sa una, dinadala namin ang decimal logarithm sa pagkakasunud-sunod nito (ang siyentipikong notasyon ng isang numero sa isang kapangyarihan). Bawat positibong halaga ay maaaring tukuyin ng isang equation kung saan ito ay magiging katumbas ng mantissa (isang numero mula 1 hanggang 9) na pinarami ng sampu sa nth degree. Ang opsyon sa pagkalkula na ito ay batay sa dalawang mathematical facts:

• ang produkto at sum log ay palaging may parehong exponent;
• ang logarithm na kinuha mula sa isang numero mula sa isa hanggang sampu ay hindi maaaring lumampas sa isang halaga ng 1 puntos.

1. Kung ang isang error sa pagkalkula ay nangyari, kung gayon ito ay hindi bababa sa isa sa direksyon ng pagbabawas.
2. Tataas ang katumpakan kung isasaalang-alang mo na ang lg na may base na tatlo ay may huling resulta na limang ikasampu ng isa. Samakatuwid, ang anumang mathematical value na higit sa 3 ay awtomatikong nagdaragdag ng isang punto sa sagot.
3. Ang halos perpektong katumpakan ay makakamit kung mayroon kang isang espesyal na talahanayan sa kamay na madaling magamit sa iyong mga aktibidad sa pagtatasa. Sa tulong nito maaari mong malaman kung ano ang decimal logarithm ay katumbas ng ikasampu ng isang porsyento ng orihinal na numero.

Kasaysayan ng totoong log

Ang ikalabing-anim na siglo ay lubhang nangangailangan ng mas kumplikadong calculus kaysa sa alam ng agham noong panahong iyon. Ito ay totoo lalo na para sa paghahati at pagpaparami ng mga multi-digit na numero sa malaking pagkakasunod-sunod, kabilang ang mga fraction.

Sa pagtatapos ng ikalawang kalahati ng panahon, ilang mga isip ang agad na dumating sa konklusyon tungkol sa pagdaragdag ng mga numero gamit ang isang talahanayan na inihambing ang dalawa at isang geometriko. Sa kasong ito, ang lahat ng mga pangunahing kalkulasyon ay kailangang magpahinga sa huling halaga. Pinagsama ng mga siyentipiko ang pagbabawas sa parehong paraan.

Ang unang pagbanggit ng lg ay naganap noong 1614. Ginawa ito ng isang baguhang matematiko na nagngangalang Napier. Kapansin-pansin na, sa kabila ng napakalaking pagpapasikat ng mga resulta na nakuha, isang error ang ginawa sa formula dahil sa kamangmangan ng ilang mga kahulugan na lumitaw sa ibang pagkakataon. Nagsimula ito sa ikaanim na digit ng indicator. Ang pinakamalapit sa pag-unawa sa logarithm ay ang Bernoulli brothers, at ang debut legalization ay naganap noong ikalabing walong siglo ni Euler. Pinalawak din niya ang tungkulin sa larangan ng edukasyon.

Kasaysayan ng kumplikadong log

Ang mga pagtatangka sa debut na isama ang lg sa pangkalahatang publiko ay ginawa noong madaling araw ng ika-18 siglo nina Bernoulli at Leibniz. Ngunit hindi sila kailanman nakagawa ng mga komprehensibong teoretikal na kalkulasyon. Nagkaroon ng buong talakayan tungkol dito, ngunit tumpak na kahulugan hindi naitalaga ang numero. Nang maglaon ay nagpatuloy ang diyalogo, ngunit sa pagitan nina Euler at d'Alembert.

Ang huli ay sumang-ayon sa prinsipyo sa marami sa mga katotohanang iminungkahi ng tagapagtatag ng halaga, ngunit naniniwala na ang mga positibo at negatibong tagapagpahiwatig ay dapat na pantay. Sa kalagitnaan ng siglo ang formula ay ipinakita bilang isang huling bersyon. Bilang karagdagan, inilathala ni Euler ang derivative ng decimal logarithm at pinagsama-sama ang mga unang graph.

Mga mesa

Ang mga katangian ng mga numero ay nagpapahiwatig na ang mga multi-digit na numero ay hindi maaaring i-multiply, ngunit ang kanilang log ay matatagpuan at idinagdag gamit ang mga espesyal na talahanayan.

Ang tagapagpahiwatig na ito ay naging lalong mahalaga para sa mga astronomo na napipilitang magtrabaho sa isang malaking hanay ng mga pagkakasunud-sunod. SA panahon ng Sobyet Ang decimal logarithm ay hinanap sa koleksyon ni Bradis, na inilathala noong 1921. Nang maglaon, noong 1971, lumitaw ang edisyon ng Vega.

Mga tagubilin

Isulat ang ibinigay pagpapahayag ng logarithmic. Kung ang expression ay gumagamit ng logarithm ng 10, ang notasyon nito ay pinaikli at ganito ang hitsura: lg b ay ang decimal logarithm. Kung ang logarithm ay may numerong e bilang base nito, pagkatapos ay isulat ang expression: ln b – natural logarithm. Nauunawaan na ang resulta ng alinman ay ang kapangyarihan kung saan ang batayang numero ay dapat na itaas upang makuha ang numero b.

Kapag hinahanap ang kabuuan ng dalawang function, kailangan mo lang na ibahin ang mga ito nang isa-isa at idagdag ang mga resulta: (u+v)" = u"+v";

Kapag hinahanap ang derivative ng produkto ng dalawang function, kailangang i-multiply ang derivative ng unang function sa pangalawa at idagdag ang derivative ng pangalawang function na pinarami ng unang function: (u*v)" = u"*v +v"*u;

Upang mahanap ang derivative ng quotient ng dalawang function, kinakailangan na ibawas mula sa produkto ng derivative ng dividend na pinarami ng divisor function ang produkto ng derivative ng divisor na pinarami ng function ng dividend, at hatiin. lahat ng ito sa pamamagitan ng divisor function squared. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Kung bibigyan kumplikadong pag-andar, kung gayon kinakailangan na i-multiply ang derivative ng panloob na pag-andar at ang hinango ng panlabas. Hayaan ang y=u(v(x)), pagkatapos ay y"(x)=y"(u)*v"(x).

Gamit ang mga resulta na nakuha sa itaas, maaari mong iiba ang halos anumang function. Kaya tingnan natin ang ilang mga halimbawa:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Mayroon ding mga problema na kinasasangkutan ng pagkalkula ng derivative sa isang punto. Hayaang maibigay ang function na y=e^(x^2+6x+5), kailangan mong hanapin ang halaga ng function sa puntong x=1.
1) Hanapin ang derivative ng function: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Kalkulahin ang halaga ng function sa isang naibigay na punto y"(1)=8*e^0=8

Video sa paksa

Nakatutulong na payo

Alamin ang talahanayan ng mga elementary derivatives. Makakatipid ito ng oras.

Mga Pinagmulan:

• derivative ng isang pare-pareho

Kaya, ano ang pagkakaiba sa pagitan ng rational equation mula sa makatwiran? Kung ang hindi kilalang variable ay nasa ilalim ng sign parisukat na ugat, kung gayon ang equation ay itinuturing na hindi makatwiran.

Mga tagubilin

Ang pangunahing paraan para sa paglutas ng mga naturang equation ay ang paraan ng pagbuo ng magkabilang panig mga equation sa isang parisukat. Gayunpaman. ito ay natural, ang unang bagay na kailangan mong gawin ay alisin ang tanda. Ang pamamaraang ito ay hindi teknikal na mahirap, ngunit kung minsan maaari itong humantong sa problema. Halimbawa, ang equation ay v(2x-5)=v(4x-7). Sa pamamagitan ng pag-square sa magkabilang panig makakakuha ka ng 2x-5=4x-7. Ang paglutas ng gayong equation ay hindi mahirap; x=1. Ngunit ang numero 1 ay hindi ibibigay mga equation. Bakit? Palitan ang isa sa equation sa halip na ang halaga ng x. At ang kanan at kaliwang panig ay maglalaman ng mga expression na hindi makatuwiran, ibig sabihin. Ang halagang ito ay hindi wasto para sa isang square root. Samakatuwid, ang 1 ay isang extraneous na ugat, at samakatuwid ang equation na ito ay walang mga ugat.

Kaya, hindi makatwirang equation ay nalutas gamit ang paraan ng pag-squaring sa magkabilang bahagi nito. At nang malutas ang equation, kinakailangan na putulin ang mga extraneous na ugat. Upang gawin ito, palitan ang mga natagpuang ugat sa orihinal na equation.

Isaalang-alang ang isa pa.
2х+vх-3=0
Siyempre, ang equation na ito ay maaaring malutas gamit ang parehong equation tulad ng nauna. Ilipat ang mga Compound mga equation, na walang square root, in kanang bahagi at pagkatapos ay gamitin ang paraan ng pag-squaring. lutasin ang nagresultang rational equation at mga ugat. Ngunit isa pa, mas matikas. Maglagay ng bagong variable; vх=y. Alinsunod dito, makakatanggap ka ng equation ng form na 2y2+y-3=0. Iyon ay, ang karaniwan quadratic equation. Hanapin ang mga ugat nito; y1=1 at y2=-3/2. Susunod, lutasin ang dalawa mga equation vх=1; vх=-3/2. Ang pangalawang equation ay walang mga ugat; mula sa una ay makikita natin na x=1. Huwag kalimutang suriin ang mga ugat.

Ang paglutas ng mga pagkakakilanlan ay medyo simple. Upang gawin ito, kinakailangan na magsagawa ng magkatulad na pagbabagong-anyo hanggang sa makamit ang itinakdang layunin. Kaya, sa tulong ng mga simpleng operasyon ng aritmetika, malulutas ang problemang ibinabanta.

Kakailanganin mong

• - papel;
• - panulat.

Mga tagubilin

Ang pinakasimpleng mga pagbabagong-anyo ay ang algebraic abbreviated multiplications (tulad ng parisukat ng kabuuan (difference), pagkakaiba ng mga parisukat, kabuuan (difference), cube ng kabuuan (difference)). Bilang karagdagan, mayroong maraming at mga formula ng trigonometriko, na mahalagang magkaparehong pagkakakilanlan.

Sa katunayan, ang parisukat ng kabuuan ng dalawang termino ay katumbas ng parisukat ng una at dalawang beses ang produkto ng una sa pamamagitan ng pangalawa at kasama ang parisukat ng pangalawa, iyon ay, (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Pasimplehin pareho

Pangkalahatang mga prinsipyo ng solusyon

Ulitin ayon sa aklat-aralin pagsusuri sa matematika o mas mataas na matematika, kung ano ang isang tiyak na integral. Tulad ng nalalaman, ang solusyon tiyak na integral mayroong isang function na ang derivative ay nagbibigay ng isang integrand. Ang function na ito ay tinatawag na isang antiderivative. Batay sa prinsipyong ito, ang mga pangunahing integral ay itinayo.
Tukuyin ayon sa anyo ng integrat kung alin sa mga integral ng talahanayan ang akma sa kasong ito. Hindi laging posible na matukoy ito kaagad. Kadalasan, ang tabular form ay nagiging kapansin-pansin lamang pagkatapos ng ilang pagbabago upang gawing simple ang integrand.

Paraan ng Pagpapalit ng Variable

Kung ang integrand function ay trigonometriko function, na ang argumento ay naglalaman ng ilang polynomial, pagkatapos ay subukang gamitin ang variable na paraan ng pagpapalit. Upang magawa ito, palitan ang polynomial sa argument ng integrand ng ilang bagong variable. Batay sa relasyon sa pagitan ng bago at lumang mga variable, tukuyin ang mga bagong limitasyon ng pagsasama. Differentiation ibinigay na pagpapahayag humanap ng bagong kaugalian sa . Kaya makakakuha ka ang bagong uri ng nakaraang integral, malapit sa o kahit na tumutugma sa alinmang tabular.

Paglutas ng mga integral ng pangalawang uri

Kung ang integral ay isang integral ng pangalawang uri, isang vector form ng integrand, kakailanganin mong gamitin ang mga patakaran para sa paglipat mula sa mga integral na ito patungo sa mga scalar. Ang isang naturang panuntunan ay ang relasyon ng Ostrogradsky-Gauss. Ang batas na ito ay nagpapahintulot sa amin na lumipat mula sa rotor flux ng isang partikular na vector function patungo sa triple integral sa divergence ng isang binigay na vector field.

Pagpapalit ng mga limitasyon sa pagsasama

Matapos mahanap ang antiderivative, kinakailangan na palitan ang mga limitasyon ng pagsasama. Una, palitan ang halaga ng itaas na limitasyon sa expression para sa antiderivative. Makakakuha ka ng ilang numero. Susunod, ibawas mula sa resultang numero ang isa pang numerong nakuha mula sa mas mababang limitasyon patungo sa antiderivative. Kung ang isa sa mga limitasyon ng pagsasama ay infinity, pagkatapos ay kapag pinapalitan ito sa antiderivative function kinakailangang pumunta sa limitasyon at hanapin kung ano ang sinisikap ng expression.
Kung ang integral ay two-dimensional o three-dimensional, kakailanganin mong katawanin ang mga limitasyon ng integration sa geometriko upang maunawaan kung paano suriin ang integral. Sa katunayan, sa kaso ng, sabihin nating, isang three-dimensional na integral, ang mga limitasyon ng pagsasama ay maaaring mga buong eroplano na naglilimita sa volume na isinama.

SEKSYON XIII.

LOGARITHMAS AT KANILANG MGA APLIKASYON.

§ 2. Decimal logarithms.

Ang decimal logarithm ng number 1 ay 0. Decimal logarithm ng positive powers ng 10, i.e. ang mga numerong 10, 100, 1000,.... ay mahalagang positibong mga numero 1, 2, 3,...., kaya sa pangkalahatan ang logarithm ng isang numero na tinutukoy ng isa na may mga zero ay katumbas ng bilang ng mga zero. Decimal logarithms ng mga negatibong kapangyarihan ng 10, i.e. ang mga fraction na 0.1, 0.01, 0.001,.... ay mga negatibong numero -1, -2, -3....., kaya sa pangkalahatan ang logarithm ng isang decimal fraction na may numerator ng isa ay katumbas ng negatibong bilang ng mga zero ng denominator.

Ang logarithms ng lahat ng iba pang nasusukat na mga numero ay hindi matutumbasan. Ang ganitong mga logarithm ay tinatayang kinakalkula, kadalasang may katumpakan na isang daang libo, at samakatuwid ay ipinahayag sa limang digit mga decimal; halimbawa, log 3 = 0.47712.

Kapag ipinakita ang teorya ng decimal logarithms, ang lahat ng mga numero ay ipinapalagay na binubuo ayon sa decimal system ng kanilang mga unit at fraction, at ang lahat ng logarithm ay ipinahayag sa pamamagitan ng decimal fraction na naglalaman ng 0 integer, na may pagtaas o pagbaba ng integer. Ang fractional na bahagi ng logarithm ay tinatawag na mantissa nito, at ang buong pagtaas o pagbaba ay tinatawag na nito katangian. Ang logarithms ng mga numerong mas malaki sa isa ay palaging positibo at samakatuwid ay may positibong katangian; Ang logarithms ng mga numerong mas mababa sa isa ay palaging negatibo, ngunit kinakatawan ang mga ito sa paraang nagiging positibo ang kanilang mantissa, at negatibo ang isang katangian: halimbawa, log 500 = 0.69897 + 2 o mas maikli 2.69897, at log 0.05 = 0, 69897-2, na para sa kaiklian ay tinukoy bilang 2.69897, na inilalagay ang katangian sa lugar ng mga integer, ngunit may isang palatandaan sa itaas nito. Kaya, ang logarithm ng isang numerong mas malaki sa isa ay kumakatawan sa arithmetic sum ng isang positive integer at isang positive fraction, at ang logarithm ng isang numerong mas mababa sa isa ay kumakatawan sa algebraic sum ng isang negatibong integer na may positibong fraction.

Ang anumang negatibong logarithm ay maaaring bawasan sa ipinahiwatig na artipisyal na anyo. Halimbawa, mayroon kaming log 3 / 5 = log 3 - log 5 = 0.47712-0.69897 = -0.22185. Upang i-convert ang totoong logarithm na ito sa isang artipisyal na anyo, idinagdag namin ang 1 dito at, pagkatapos ng pagdaragdag ng algebraic, ipinapahiwatig namin ang pagbabawas ng isa para sa pagwawasto.

Nakukuha namin ang log 3 / 5 = log 0.6 = (1-0.22185)-1 = 0.77815-1. Lumalabas na ang mantissa 0.77815 ay pareho na tumutugma sa numerator 6 ng numerong ito, na kinakatawan sa decimal system sa anyo ng fraction 0.6.

Sa ipinahiwatig na representasyon ng decimal logarithms, ang kanilang mantissa at mga katangian ay may mahahalagang katangian na may kaugnayan sa pagtatalaga ng mga numero na naaayon sa kanila sa sistema ng decimal. Upang ipaliwanag ang mga katangiang ito, tandaan namin ang sumusunod. Kunin natin bilang pangunahing uri ng numero ang ilang di-makatwirang numero na nasa pagitan ng 1 at 10, at, sa pagpapahayag nito sa sistema ng decimal, ipakita ito sa anyo a,b,c,d,e,f ...., Saan A mayroong isa sa makabuluhang numero 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, at mga decimal na lugar, b,c,d,e,f ....... ay anumang mga numero, kung saan maaaring mayroong mga zero. Dahil sa katotohanan na ang kinuhang numero ay nasa pagitan ng 1 at 10, ang logarithm nito ay nasa pagitan ng 0 at 1 at samakatuwid ang logarithm na ito ay binubuo ng isang mantissa na walang katangian o may katangian na 0. Tukuyin natin ang logarithm na ito sa anyo 0 ,α β γ δ ε ...., Saan α, β ,γ ,δ, ε ang kakanyahan ng ilang mga numero. I-multiply natin ngayon ang numerong ito sa isang banda sa mga numerong 10, 100, 1000,.... at sa kabilang banda sa mga numerong 0.1, 0.01, 0.001,... at ilapat ang mga theorems sa logarithms ng produkto at ang quotient. Pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang serye ng mga numero na mas malaki sa isa at isang serye ng mga numero na mas mababa sa isa na may kanilang mga logarithms:

lg A ,bde f ....= 0 ,α β γ δ ε ....

lg ab,cde f ....= 1 ,α β γ δ ε ....lg 0,abcde f ....= 1 ,α β γ δ ε ....

lg abc, de f ....= 2 ,α β γ δ ε ....lg 0.0abcde f ....= 2 ,α β γ δ ε ....

lg abcd,e f ....= 3 ,α β γ δ ε ....lg 0.00abcde f ....= 3 ,α β γ δ ε ....

Kapag isinasaalang-alang ang mga pagkakapantay-pantay na ito, ang mga sumusunod na katangian ng mantissa at mga katangian ay ipinahayag:

ari-arian ng Mantissa. Ang mantissa ay nakasalalay sa lokasyon at uri ng gapping digit ng numero, ngunit hindi ito nakasalalay sa lugar ng kuwit sa pagtatalaga ng numerong ito. Mantissas ng logarithms ng mga numero na mayroong decimal ratio, i.e. yaong ang maramihang ratio ay katumbas ng anumang positibo o negatibong antas sampu ay pareho.

Katangiang ari-arian. Ang katangian ay depende sa ranggo ng pinakamataas na unit o decimal fraction ng isang numero, ngunit hindi ito nakasalalay sa uri ng mga digit sa pagtatalaga ng numerong ito.

Kung pangalanan natin ang mga numero A ,bde f ...., ab,cde f ...., abc, de f .... mga numero ng positibong digit - una, pangalawa, pangatlo, atbp., digit ng numero 0,abcde f .... isasaalang-alang namin ang zero, at ang mga digit ng mga numero 0.0abcde f ...., 0.00abcde f ...., 0.000abcde f .... ipahayag natin mga negatibong numero minus one, minus two, minus three, atbp., pagkatapos ay maaari nating sabihin sa pangkalahatan na ang katangian ng logarithm ng anumang decimal na numero mas mababa ng isa sa bilang na nagpapahiwatig ng ranggo

101. Alam na ang log 2 = 0.30103, hanapin ang logarithms ng mga numero 20.2000, 0.2 at 0.00002.

101. Alam na ang log 3=0.47712, hanapin ang logarithms ng mga numerong 300, 3000, 0.03 at 0.0003.

102. Alam na ang log 5 = 0.69897, hanapin ang logarithms ng mga numero 2.5, 500, 0.25 at 0.005.

102. Alam na ang log 7 = 0.84510, hanapin ang logarithms ng mga numerong 0.7, 4.9, 0.049 at 0.0007.

103. Alam ang log 3=0.47712 at log 7=0.84510, hanapin ang logarithms ng mga numerong 210, 0.021, 3/7, 7/9 at 3/49.

103. Pag-alam ng log 2=0.30103 at log 7=0.84510, hanapin ang logarithms ng mga numerong 140, 0.14, 2/7, 7/8 at 2/49.

104. Pag-alam sa log 3 = 0.47712 at log 5 = O.69897, hanapin ang logarithms ng mga numero 1.5, 3 / 5, 0.12, 5 / 9 at 0.36.

104. Pag-alam ng log 5 = 0.69897 at log 7 = 0.84510, hanapin ang logarithms ng mga numero 3.5, 5 / 7, 0.28, 5 / 49 at 1.96.

Ang mga desimal na logarithm ng mga numero na ipinahayag sa hindi hihigit sa apat na numero ay matatagpuan nang direkta mula sa mga talahanayan, at mula sa mga talahanayan ang mantissa ng nais na logarithm ay matatagpuan, at ang katangian ay itinakda alinsunod sa ranggo ng ibinigay na numero.

Kung ang numero ay naglalaman ng higit sa apat na digit, ang paghahanap ng logarithm ay sinamahan ng karagdagang pagkalkula. Ang panuntunan ay: upang mahanap ang logarithm ng isang numero na naglalaman ng higit sa apat na digit, kailangan mong hanapin sa mga talahanayan ang numerong ipinahiwatig ng unang apat na digit at isulat ang mantissa na tumutugma sa apat na digit na ito; pagkatapos ay i-multiply ang tabular difference ng mantissa sa bilang na binubuo ng mga itinapon na digit, sa produkto, itapon ang kasing dami ng mga digit mula sa kanan gaya ng itinapon sa ibinigay na numero, at idagdag ang resulta sa mga huling digit ng natagpuang mantissa; ilagay ang katangian alinsunod sa ranggo ng ibinigay na numero.

Kapag ang isang numero ay hinanap gamit ang isang ibinigay na logarithm at ang logarithm na ito ay nakapaloob sa mga talahanayan, pagkatapos ay ang mga digit ng hinahanap na numero ay matatagpuan nang direkta mula sa mga talahanayan, at ang ranggo ng numero ay tinutukoy alinsunod sa mga katangian ng ibinigay na logarithm.

Kung ang logarithm na ito ay hindi nakapaloob sa mga talahanayan, ang paghahanap para sa numero ay sinamahan ng karagdagang pagkalkula. Ang panuntunan ay: upang mahanap ang numero na tumutugma sa isang naibigay na logarithm, ang mantissa kung saan ay hindi nakapaloob sa mga talahanayan, kailangan mong hanapin ang pinakamalapit na mas maliit na mantissa at isulat ang mga digit ng numero na naaayon dito; pagkatapos ay i-multiply ang pagkakaiba sa pagitan ng ibinigay na mantissa at ang nahanap na isa sa pamamagitan ng 10 at hatiin ang produkto sa pamamagitan ng tabulated na pagkakaiba; idagdag ang resultang digit ng quotient sa kanan sa mga nakasulat na digit ng numero, kaya naman makukuha mo ang gustong hanay ng mga digit; Ang ranggo ng numero ay dapat matukoy alinsunod sa mga katangian ng ibinigay na logarithm.

105. Hanapin ang logarithms ng mga numero 8, 141, 954, 420, 640, 1235, 3907, 3010, 18.43, 2.05, 900.1, 0.73, 0.0028, 0.1008, 0.000.

105. Hanapin ang logarithmic ng mga numero 15.154, 837, 510, 5002,1309-, 8900, 8.315, 790.7, 0.09, 0.6745, 0.000745, 0.0425, 0.0425, 7

106. Hanapin ang logarithms ng mga numerong 2174.6, 1445.7, 2169.5, 8437.2, 46.472, 6.2853, 0.7893B, 0.054294, 631.074, 2.79556, 2.79547, 0.79547, 0.79547

106. Hanapin ang logarithms ng mga numerong 2578.4, 1323.6, 8170.5, 6245.3, 437.65, 87.268, 0.059372, 0.84938, 62.5475, 130.035, 130.65.

107. Hanapin ang mga numerong katumbas ng logarithms 3.16227, 3.59207, 2.93318, 0.41078, 1.60065, 2.756.86, 3.23528, 1.79692. 4.87800 5.14613.

107. Hanapin ang mga numerong katumbas ng logarithms 3.07372, 3.69205, 1.64904, 2.16107, 0.70364, 1.31952, 4.30814, 3.00087, 2.69949, 2.69949

108. Hanapin ang numerong katumbas ng logarithms 3.57686, 3.16340, 2.40359, 1.09817, 4.49823, 2.83882, 1.50060, 3.30056, 1.17112, 4.251.

108. Hanapin ang mga numerong katumbas ng logarithms 3.33720, 3.09875, 0.70093, 4.04640, 2.94004, 1.41509, 2.32649, 4.14631, 3.0129, 3.0129

Positibong logarithms ng mga numerong mas malaki sa isa arithmetic sums kanilang mga katangian at mantissas. Samakatuwid, ang mga operasyon sa kanila ay isinasagawa ayon sa ordinaryong mga panuntunan sa aritmetika.

Ang mga negatibong logarithms ng mga numerong mas mababa sa isa ay ang mga algebraic na kabuuan ng isang negatibong katangian at isang positibong mantissa. Samakatuwid, ang mga aksyon sa kanila ay isinasagawa ayon sa mga alituntunin ng algebraic, na pupunan mga espesyal na tagubilin, na nauugnay sa pagbabawas ng mga negatibong logarithms sa kanilang normal na anyo. Normal na anyo Ang isang negatibong logarithm ay isa kung saan ang katangian ay isang negatibong integer at ang mantissa ay isang positibong tamang fraction.

Upang ma-convert ang isang tunay na reflective logarithm sa normal na artipisyal na anyo nito, kailangan mong dagdagan ang ganap na halaga ng integer term nito ng isa at gawing negatibong katangian ang resulta; pagkatapos ay idagdag ang lahat ng mga digit ng fractional term sa 9, at ang huling isa sa 10 at gawin ang resulta ng isang positibong mantissa. Halimbawa, -2.57928 = 3.42072.

Upang ma-convert ang artipisyal na normal na anyo ng logarithm sa tunay nitong negatibong halaga, kailangan mong bawasan ng isa negatibong katangian at gawin ang resulta bilang isang integer na termino ng isang negatibong kabuuan; pagkatapos ay idagdag ang lahat ng mga digit ng mantissa sa 9, at ang huling isa sa 10 at gawin ang resulta ng isang fractional term ng parehong negatibong kabuuan. Halimbawa: 4.57406= -3.42594.

109. I-convert ang mga logarithms sa artipisyal na anyo -2.69537, -4, 21283, -0.54225, -1.68307, -3.53820, -5.89990.

109. I-convert ang logarithms sa artipisyal na anyo -3.21729, -1.73273, -5.42936, -0.51395, -2.43780, -4.22990.

110. Hanapin ang mga tunay na halaga ng logarithms 1.33278, 3.52793, 2.95426, 4.32725, 1.39420, 5.67990.

110. Hanapin ang mga tunay na halaga ng logarithms 2.45438, 1.73977, 3.91243, 5.12912, 2.83770, 4.28990.

Ang mga patakaran para sa algebraic operations na may negatibong logarithms ay ipinahayag bilang mga sumusunod:

Upang maglapat ng negatibong logarithm sa artipisyal na anyo nito, kailangan mong ilapat ang mantissa at ibawas ang ganap na halaga ng katangian. Kung ang isang positibong numero ng integer ay lumabas mula sa pagdaragdag ng mga mantissas, kailangan mong iugnay ito sa katangian ng resulta, na gumagawa ng naaangkop na pagwawasto dito. Halimbawa,

3,89573 + 2 ,78452 = 1 1 ,68025 = 2,68025

1 ,54978 + 2 ,94963=3 1 ,49941=2 ,49941.

Upang ibawas ang isang negatibong logarithm sa artipisyal na anyo nito, kailangan mong ibawas ang mantissa at idagdag ang ganap na halaga ng katangian. Kung ang bawas na mantissa ay malaki, kailangan mong gumawa ng isang pagsasaayos sa katangian ng minuend upang paghiwalayin ang isang positibong yunit mula sa minuend. Halimbawa,

2,53798-3 ,84582=1 1 ,53798-3 ,84582 = 4,69216,

2 ,22689-1 ,64853=3 1 ,22689-1 ,64853=2 ,57836.

Upang i-multiply ang isang negatibong logarithm sa isang positibong integer, kailangan mong i-multiply nang hiwalay ang katangian nito at mantissa. Kung, kapag pinarami ang mantissa, ang isang buong positibong numero ay nakilala, kung gayon kailangan mong iugnay ito sa katangian ng resulta, na gumagawa ng naaangkop na susog dito. Halimbawa,

2 ,53729 5=10 2 ,68645=8 ,68645.

Kapag nagpaparami ng negatibong logarithm sa negatibong dami, dapat mong palitan ang multiplican ng tunay na halaga nito.

Upang hatiin ang isang negatibong logarithm sa isang positibong integer, kailangan mong paghiwalayin ang katangian nito at ang mantissa nang hiwalay. Kung ang katangian ng dibidendo ay hindi eksaktong mahahati ng divisor, kailangan mong gumawa ng pagbabago dito upang maisama ang ilang positibong yunit sa mantissa, at gawing multiple ng divisor ang katangian. Halimbawa,

3 ,79432: 5=5 2 ,79432: 5=1 ,55886.

Kapag hinahati ang isang negatibong logarithm sa isang negatibong dami, kailangan mong palitan ang dibidendo ng tunay na halaga nito.

Gawin ang mga sumusunod na kalkulasyon gamit ang logarithmic table at suriin ang mga resulta sa pinakasimpleng mga kaso gamit ang mga ordinaryong pamamaraan:

174. Tukuyin ang volume ng isang kono na ang generatrix ay 0.9134 feet at ang base radius ay 0.04278 feet.

175. Kalkulahin ang ika-15 na termino ng isang maramihang pag-unlad, ang unang termino ay 2 3 / 5 at ang denominator ay 1.75.

175. Kalkulahin ang unang termino ng isang multiple progression, ang ika-11 termino ay katumbas ng 649.5 at ang denominator ay 1.58.

176. Tukuyin ang bilang ng mga kadahilanan A , A 3 , A 5 R . Maghanap ng ganito A , kung saan ang produkto ng 10 salik ay katumbas ng 100.

176. Tukuyin ang bilang ng mga salik. A 2 , A 6 , A 10 ,.... upang ang kanilang produkto ay katumbas ng ibinigay na numero R . Maghanap ng ganito A , kung saan ang produkto ng 5 salik ay katumbas ng 10.

177. Ang denominator ng maramihang pag-unlad ay 1.075, ang kabuuan ng 10 termino nito ay 2017.8. Hanapin ang unang termino.

177. Ang denominator ng maramihang pag-unlad ay 1.029, ang kabuuan ng 20 termino nito ay 8743.7. Hanapin ang ikadalawampung termino.

178 . Ipahayag ang bilang ng mga termino ng maramihang pag-unlad na ibinigay sa unang termino A , huli at denominador q , at pagkatapos, random na pagpili ng mga numerong halaga a At u , pulutin q kaya ganun P

178. Ipahayag ang bilang ng mga termino ng maramihang pag-unlad na ibinigay sa unang termino A , huli At at denominador q At At q , pulutin A kaya ganun P ay ilang integer.

179. Tukuyin ang bilang ng mga kadahilanan upang ang kanilang produkto ay katumbas ng R . Kung ano dapat ito R nang sa gayon A =0.5 at b =0.9 ang bilang ng mga salik ay 10.

179. Tukuyin ang bilang ng mga salik para magkapantay ang kanilang produkto R . Kung ano dapat ito R nang sa gayon A =0.2 at b =2 ang bilang ng mga salik ay 10.

180. Ipahayag ang bilang ng mga termino ng maramihang pag-unlad na ibinigay sa unang termino A , susunod ako At at ang produkto ng lahat ng miyembro R , at pagkatapos, random na pagpili ng mga numerong halaga A At R , pulutin At at pagkatapos ay ang denominator q kaya ganun At ay ilang integer.

160. Ipahayag ang bilang ng mga termino ng maramihang pag-unlad na ibinigay sa unang termino A , ang huli at ang produkto ng lahat ng termino R , at pagkatapos, random na pagpili ng mga numerong halaga At At R , pulutin A at pagkatapos ay ang denominator q kaya ganun P ay ilang integer.

Lutasin ang mga sumusunod na equation, kung saan posible - nang walang tulong ng mga talahanayan, at kung saan hindi, gamit ang mga talahanayan:

Na napakadaling gamitin, hindi nangangailangan sa interface at paglunsad nito - karagdagang mga programa. Ang kailangan mo lang gawin ay pumunta sa website ng Google at ilagay ang naaangkop na query sa tanging field sa pahinang ito. Halimbawa, upang kalkulahin ang decimal logarithm para sa 900, ipasok ang lg 900 sa field ng query sa paghahanap at kaagad (kahit na hindi pinindot ang isang pindutan) makakakuha ka ng 2.95424251.

Gumamit ng calculator kung wala kang access sa search engine. Maaari rin itong isang software calculator mula sa karaniwang hanay Windows OS. Ang pinakamadaling paraan upang patakbuhin ito ay pindutin ang kumbinasyon ng WIN +R key, ipasok ang calc command at i-click ang OK button. Ang isa pang paraan ay upang buksan ang menu sa pindutan ng "Start" at piliin ang "Lahat ng Programa" mula dito. Pagkatapos ay kailangan mong buksan ang seksyong "Standard" at pumunta sa subsection na "Serbisyo" upang mag-click sa link na "Calculator" doon. Kung gumagamit ka ng Windows 7, maaari mong pindutin ang WIN key at i-type ang "Calculator" sa box para sa paghahanap, at pagkatapos ay i-click ang naaangkop na link sa mga resulta ng paghahanap.

Ilipat ang interface ng calculator sa advanced mode, dahil ang pangunahing bersyon na bubukas bilang default ay hindi nagbibigay ng operasyong kailangan mo. Upang gawin ito, buksan ang seksyong "View" sa menu ng programa at piliin ang " " o "engineering" - depende sa bersyon ng operating system na naka-install sa iyong computer.

Sa ngayon, hindi mo na sorpresahin ang sinuman na may mga diskwento. Nauunawaan ng mga nagbebenta na ang mga diskwento ay hindi isang paraan ng pagtaas ng kita. Ang pinaka-epektibo ay hindi 1-2 diskwento sa isang partikular na produkto, ngunit isang sistema ng mga diskwento na dapat ay simple at naiintindihan ng mga empleyado ng kumpanya at mga customer nito.

Mga tagubilin

Marahil ay napansin mo na sa kasalukuyan ang pinakakaraniwan ay lumalaki sa pagtaas ng dami ng produksyon. Sa kasong ito, ang nagbebenta ay bubuo ng isang sukat ng mga porsyento ng diskwento, na tumataas sa paglaki ng mga volume ng pagbili sa isang tiyak na panahon. Halimbawa, bumili ka ng kettle at coffee maker at nakatanggap ka diskwento 5 %. Kung bibili ka rin ng plantsa ngayong buwan, makakatanggap ka diskwento 8% sa lahat ng biniling kalakal. Kasabay nito, ang kita ng kumpanya na natanggap sa isang may diskwentong presyo at tumaas na dami ng benta ay dapat na hindi bababa sa inaasahang kita sa isang presyo na walang diskwento at ang parehong antas ng benta.

Ang pagkalkula ng sukat ng diskwento ay madali. Una, tukuyin ang dami ng benta kung saan magsisimula ang diskwento. Maaari mong kunin bilang mas mababang limitasyon. Pagkatapos ay kalkulahin ang inaasahang halaga ng kita na gusto mong kumita sa produktong iyong ibinebenta. kanya itaas na limitasyon ay malilimitahan ng kapangyarihang bumili ng produkto at ang mga katangiang mapagkumpitensya nito. Pinakamataas diskwento maaaring kalkulahin tulad ng sumusunod: (kita – (kita x pinakamababang benta / inaasahang dami) / presyo ng yunit.

Ang isa pang medyo karaniwang diskwento ay ang diskwento sa kontrata. Maaaring may diskwento ito sa pagbili ibang mga klase mga kalakal, gayundin kapag nagbabayad sa isang pera o iba pa. Minsan ang mga diskwento ng ganitong uri ay ibinibigay kapag bumibili ng mga kalakal at nag-order para sa paghahatid. Halimbawa, bumili ka ng mga produkto ng kumpanya, mag-order ng transportasyon mula sa parehong kumpanya at tumanggap diskwento 5% sa mga biniling kalakal.

Ang halaga ng pre-holiday at seasonal na mga diskwento ay tinutukoy batay sa halaga ng mga kalakal sa bodega at ang posibilidad na ibenta ang mga kalakal sa itinakdang presyo. Karaniwan, ang mga nagtitingi ay gumagamit ng mga naturang diskwento, halimbawa, kapag nagbebenta ng mga damit mula sa mga koleksyon ng nakaraang season. Gumagamit ang mga supermarket ng mga katulad na diskwento para maibsan ang trabaho ng tindahan sa gabi at katapusan ng linggo. Sa kasong ito, ang laki ng diskwento ay tinutukoy ng halaga ng nawalang kita kapag hindi nasiyahan ang demand ng consumer sa mga oras ng peak.

Mga Pinagmulan:

• kung paano kalkulahin ang porsyento ng diskwento sa 2019

Maaaring kailanganin ang pagkalkula ng mga logarithms upang makahanap ng mga halaga gamit ang mga formula na naglalaman ng mga exponent bilang mga hindi kilalang variable. Dalawang uri ng logarithms, hindi katulad ng lahat ng iba, ay mayroon mga pangngalang pantangi at ang mga notasyon ay logarithms sa base 10 at ang bilang na e (isang hindi makatwiran na pare-pareho). Tingnan natin ang ilan mga simpleng paraan pagkalkula ng base 10 logarithm - ang "decimal" logarithm.

Mga tagubilin

Gamitin para sa mga kalkulasyon na naka-built in operating system Windows. Upang patakbuhin ito, pindutin ang win key, piliin ang "Run" sa pangunahing menu ng system, ipasok ang calc at i-click ang OK. Ang karaniwang interface ng program na ito ay walang function para sa pagkalkula ng mga algorithm, kaya buksan ang seksyong "View" sa menu nito (o pindutin ang alt + "at" key na kumbinasyon) at piliin ang linya na "pang-agham" o "engineering".