Kung saan sinuri namin ang pinakasimpleng derivatives, at nakilala rin ang mga patakaran ng pagkita ng kaibhan at ilang teknikal na pamamaraan paghahanap ng mga derivatives. Kaya, kung hindi ka masyadong mahusay sa mga derivatives ng mga function o ilang mga punto sa artikulong ito ay hindi lubos na malinaw, pagkatapos ay basahin muna ang aralin sa itaas. Mangyaring makakuha ng isang seryosong kalagayan - ang materyal ay hindi simple, ngunit susubukan ko pa ring ipakita ito nang simple at malinaw.

Sa pagsasagawa, kailangan mong harapin ang derivative ng isang kumplikadong function nang napakadalas, sasabihin ko pa nga, halos palagi, kapag binigyan ka ng mga gawain upang makahanap ng mga derivatives.

Tinitingnan namin ang talahanayan sa panuntunan (No. 5) para sa pagkakaiba ng isang kumplikadong function:

Alamin natin ito. Una sa lahat, bigyang pansin natin ang entry. Narito mayroon kaming dalawang function - at , at ang function, sa matalinghagang pagsasalita, ay naka-nest sa loob ng function . Ang isang function ng ganitong uri (kapag ang isang function ay nested sa loob ng isa pa) ay tinatawag na isang kumplikadong function.

Tatawagin ko ang function panlabas na pag-andar, at ang function – panloob (o nested) function.

! Ang mga kahulugang ito ay hindi teoretikal at hindi dapat lumabas sa panghuling disenyo ng mga takdang-aralin. Gumagamit ako ng mga impormal na ekspresyon " panlabas na pag-andar", "internal" na function para lang gawing mas madali para sa iyo na maunawaan ang materyal.

Upang linawin ang sitwasyon, isaalang-alang:

Halimbawa 1

Hanapin ang derivative ng isang function

Sa ilalim ng sine mayroon kaming hindi lamang titik na "X", ngunit isang buong expression, kaya ang paghahanap ng hinango kaagad mula sa talahanayan ay hindi gagana. Napansin din namin na imposibleng ilapat ang unang apat na panuntunan dito, tila may pagkakaiba, ngunit ang katotohanan ay ang sine ay hindi maaaring "punit sa piraso":

Sa halimbawang ito, malinaw na malinaw mula sa aking mga paliwanag na ang isang function ay isang kumplikadong function, at ang polynomial ay isang panloob na function (pag-embed), at isang panlabas na function.

Unang hakbang ang kailangan mong gawin kapag naghahanap ng derivative ng isang kumplikadong function ay ang maunawaan kung aling function ang panloob at kung alin ang panlabas.

Kailan mga simpleng halimbawa Tila malinaw na ang isang polynomial ay naka-embed sa ilalim ng sine. Pero paano kung hindi halata ang lahat? Paano tumpak na matukoy kung aling function ang panlabas at alin ang panloob? Para dito iminumungkahi kong gamitin susunod na appointment, na maaaring gawin sa isip o sa draft form.

Isipin natin na kailangan nating kalkulahin ang halaga ng expression sa sa isang calculator (sa halip na isa ay maaaring mayroong anumang numero).

Ano ang una nating kalkulahin? Una sa lahat ay kailangang gawin susunod na aksyon: , samakatuwid ang polynomial ay magiging isang panloob na function:

Pangalawa ay kailangang matagpuan, kaya ang sine - ay magiging isang panlabas na function:

Pagkatapos nating UBOS NA na may panloob at panlabas na mga pag-andar, oras na upang ilapat ang panuntunan ng pagkita ng kaibahan ng mga kumplikadong pag-andar .

Simulan na natin ang pagpapasya. Mula sa aralin Paano mahahanap ang derivative? naaalala namin na ang disenyo ng isang solusyon sa anumang derivative ay palaging nagsisimula tulad nito - isinasama namin ang expression sa mga bracket at naglalagay ng isang stroke sa kanang tuktok:

Sa simula hanapin ang derivative ng external function (sine), tingnan ang table ng derivatives mga pag-andar ng elementarya at napansin namin iyon. Ang lahat ng mga formula ng talahanayan ay naaangkop din kung ang "x" ay papalitan ng isang kumplikadong expression, V sa kasong ito:

tandaan mo yan panloob na pag-andar ay hindi nagbago, hindi namin ito ginagalaw.

Well, medyo obvious naman yun

Ang resulta ng paglalapat ng formula sa huling anyo nito ay ganito ang hitsura:

Ang pare-parehong kadahilanan ay karaniwang inilalagay sa simula ng expression:

Kung mayroong anumang hindi pagkakaunawaan, isulat ang solusyon sa papel at basahin muli ang mga paliwanag.

Halimbawa 2

Hanapin ang derivative ng isang function

Halimbawa 3

Hanapin ang derivative ng isang function

Gaya ng nakasanayan, isinusulat namin:

Alamin natin kung saan tayo may panlabas na function at kung saan tayo may panloob. Upang gawin ito, sinusubukan namin (sa isip o sa isang draft) na kalkulahin ang halaga ng expression sa . Ano ang dapat mong gawin muna? Una sa lahat, kailangan mong kalkulahin kung ano ang katumbas ng base: samakatuwid, ang polynomial ay ang panloob na function:

At pagkatapos lamang ay ginanap ang exponentiation, samakatuwid, ang power function ay isang panlabas na function:

Ayon sa formula , kailangan mo munang hanapin ang derivative ng panlabas na function, sa kasong ito, ang degree. Hinahanap sa mesa ang kinakailangang formula: . Ulitin namin muli: anumang tabular formula ay may bisa hindi lamang para sa "X", ngunit para din sa isang kumplikadong expression. Kaya, ang resulta ng paglalapat ng panuntunan para sa pagkakaiba ng isang kumplikadong function susunod:

Muli kong binibigyang-diin na kapag kinuha natin ang derivative ng panlabas na pag-andar, ang ating panloob na pag-andar ay hindi nagbabago:

Ngayon ang natitira na lang ay maghanap ng napakasimpleng derivative ng internal function at i-tweak ang resulta ng kaunti:

Halimbawa 4

Hanapin ang derivative ng isang function

Ito ay isang halimbawa para malutas mo nang mag-isa (sagutin sa katapusan ng aralin).

Upang pagsamahin ang iyong pag-unawa sa derivative ng isang kumplikadong function, magbibigay ako ng isang halimbawa nang walang mga komento, subukang malaman ito sa iyong sarili, dahilan kung saan ang panlabas at kung saan ang panloob na pag-andar, bakit ang mga gawain ay nalutas sa ganitong paraan?

Halimbawa 5

a) Hanapin ang derivative ng function

b) Hanapin ang derivative ng function

Halimbawa 6

Hanapin ang derivative ng isang function

Dito mayroon tayong ugat, at upang maiba ang ugat, dapat itong ilarawan bilang isang kapangyarihan. Kaya, dinadala muna namin ang function sa form na naaangkop para sa pagkita ng kaibhan:

Kapag pinag-aaralan ang function, nakarating tayo sa konklusyon na ang kabuuan ng tatlong termino ay isang panloob na function, at ang pagtaas sa isang kapangyarihan ay isang panlabas na function. Inilalapat namin ang panuntunan ng pagkita ng kaibahan ng mga kumplikadong pag-andar :

Muli naming kinakatawan ang antas bilang isang radikal (ugat), at para sa hinango ng panloob na pag-andar ay inilalapat namin ang isang simpleng panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng kabuuan:

handa na. Maaari mo ring bawasan ang expression sa isang common denominator sa mga bracket at isulat ang lahat bilang isang fraction. Maganda ito, siyempre, ngunit kapag nakakuha ka ng masalimuot na mahabang derivatives, mas mahusay na huwag gawin ito (madaling malito, gumawa ng hindi kinakailangang pagkakamali, at magiging abala para sa guro na suriin).

Halimbawa 7

Hanapin ang derivative ng isang function

Ito ay isang halimbawa para malutas mo nang mag-isa (sagutin sa katapusan ng aralin).

Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na kung minsan sa halip na ang panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng isang kumplikadong function, maaari mong gamitin ang panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng isang kusyente , ngunit ang ganitong solusyon ay magmumukhang hindi pangkaraniwang perwisyo. Narito ang isang tipikal na halimbawa:

Halimbawa 8

Hanapin ang derivative ng isang function

Dito maaari mong gamitin ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng quotient , ngunit ito ay higit na kumikita upang mahanap ang derivative sa pamamagitan ng panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong function:

Inihahanda namin ang function para sa pagkita ng kaibhan - inililipat namin ang minus mula sa derivative sign, at itinaas ang cosine sa numerator:

Ang cosine ay isang panloob na pag-andar, ang exponentiation ay isang panlabas na pag-andar.
Gamitin natin ang ating panuntunan :

Hinahanap namin ang derivative ng internal function at i-reset ang cosine pabalik pababa:

handa na. Sa halimbawang isinasaalang-alang, mahalagang huwag malito sa mga palatandaan. Sa pamamagitan ng paraan, subukang lutasin ito gamit ang panuntunan , dapat magkatugma ang mga sagot.

Halimbawa 9

Hanapin ang derivative ng isang function

Ito ay isang halimbawa para malutas mo nang mag-isa (sagutin sa katapusan ng aralin).

Sa ngayon ay tiningnan namin ang mga kaso kung saan mayroon lamang kaming isang pugad sa isang kumplikadong function. Sa mga praktikal na gawain, madalas kang makakahanap ng mga derivatives, kung saan, tulad ng mga nesting doll, isa sa loob ng isa, 3 o kahit 4-5 na function ay nakapugad nang sabay-sabay.

Halimbawa 10

Hanapin ang derivative ng isang function

Unawain natin ang mga attachment ng function na ito. Subukan nating kalkulahin ang expression gamit ang pang-eksperimentong halaga. Paano tayo mabibilang sa isang calculator?

Una kailangan mong hanapin ang , na nangangahulugang ang arcsine ay ang pinakamalalim na pag-embed:

Ang arcsine na ito ng isa ay dapat na kuwadrado:

At sa wakas, itinaas namin ang pito sa isang kapangyarihan:

Ibig sabihin, sa halimbawang ito mayroon tayong tatlo iba't ibang function at dalawang embeddings, na ang pinakaloob na function ay ang arcsine at ang pinakalabas na function ay ang exponential function.

Simulan na natin ang pagpapasya

Ayon sa tuntunin Una kailangan mong kunin ang derivative ng panlabas na function. Tinitingnan namin ang talahanayan ng mga derivatives at hinahanap ang derivative ng exponential function: Ang pagkakaiba lang ay sa halip na "x" mayroon kami kumplikadong pagpapahayag, na hindi binabalewala ang bisa ng formula na ito. Kaya, ang resulta ng paglalapat ng panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng isang kumplikadong function susunod.

Sa video na ito nagsisimula ako ng mahabang serye ng mga aralin sa mga derivatives. Ang araling ito ay binubuo ng ilang bahagi.

Una sa lahat, sasabihin ko sa iyo kung ano ang mga derivatives at kung paano kalkulahin ang mga ito, ngunit hindi sa sopistikadong wikang pang-akademiko, ngunit ang paraan ng pag-unawa ko mismo at kung paano ko ito ipinapaliwanag sa aking mga mag-aaral. Pangalawa, isasaalang-alang natin ang pinakasimpleng tuntunin para sa paglutas ng mga problema kung saan hahanapin natin ang mga derivatives ng sums, derivatives ng mga pagkakaiba at derivatives. function ng kapangyarihan.

Titingnan natin ang mas kumplikadong pinagsama-samang mga halimbawa, kung saan malalaman mo, sa partikular, na ang mga katulad na problema na kinasasangkutan ng mga ugat at kahit na mga fraction ay maaaring malutas gamit ang formula para sa derivative ng isang power function. Bilang karagdagan, siyempre, magkakaroon ng maraming mga problema at mga halimbawa ng mga solusyon para sa karamihan iba't ibang antas kahirapan.

Sa pangkalahatan, sa una ay magre-record ako ng maikling 5 minutong video, ngunit makikita mo kung paano ito naging resulta. Kaya't sapat na ang mga liriko - tayo ay bumaba sa negosyo.

Ano ang derivative?

Kaya, magsimula tayo sa malayo. Maraming taon na ang nakalilipas, nang ang mga puno ay mas luntian at ang buhay ay mas masaya, naisip ito ng mga mathematician: isaalang-alang simpleng function, na ibinigay ng graph nito, tawagin natin itong $y=f\left(x \right)$. Siyempre, ang graph ay hindi umiiral sa sarili nitong, kaya kailangan mong iguhit ang $x$ axes pati na rin ang $y$ axis. Ngayon pumili tayo ng anumang punto sa graph na ito, ganap na anuman. Tawagan natin ang abscissa $((x)_(1))$, ang ordinate, gaya ng maaari mong hulaan, ay magiging $f\left(((x)_(1)) \right)$.

Tingnan natin ang isa pang punto sa parehong graph. Hindi mahalaga kung alin, ang pangunahing bagay ay naiiba ito sa orihinal. Ito, muli, ay may abscissa, tawagin natin itong $((x)_(2))$, at isa ring ordinate - $f\left(((x)_(2)) \right)$.

Kaya, nakakuha kami ng dalawang puntos: mayroon silang iba't ibang abscissas at, samakatuwid, iba't ibang kahulugan function, kahit na ang huli ay opsyonal. Ngunit ang talagang mahalaga ay alam natin mula sa kursong planimetry: sa pamamagitan ng dalawang punto maaari kang gumuhit ng isang tuwid na linya at, bukod dito, isa lamang. Kaya isagawa natin ito.

Ngayon, gumuhit tayo ng isang tuwid na linya sa pinakauna sa kanila, kahanay sa abscissa axis. Nakukuha namin kanang tatsulok. Tawagin natin itong $ABC$, right angle na $C$. Ang tatsulok na ito ay may isang napaka-kagiliw-giliw na katangian: ang katotohanan ay ang anggulo na $\alpha $, sa katunayan, katumbas ng anggulo, kung saan ang tuwid na linya na $AB$ ay nag-intersect sa pagpapatuloy ng abscissa axis. Maghusga para sa iyong sarili:

1. ang tuwid na linya na $AC$ ay parallel sa $Ox$ axis sa pamamagitan ng pagbuo,
2. ang linyang $AB$ ay bumabagtas sa $AC$ sa ilalim ng $\alpha $,
3. kaya't ang $AB$ ay nag-intersect sa $Ox$ sa ilalim ng parehong $\alpha $.

Ano ang masasabi natin tungkol sa $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$? Walang tiyak, maliban na sa tatsulok na $ABC$ ang ratio ng leg $BC$ sa leg $AC$ ay katumbas ng tangent ng mismong anggulong ito. Kaya't isulat natin ito:

Siyempre, ang $AC$ sa kasong ito ay madaling kalkulahin:

Gayundin para sa $BC$:

Sa madaling salita, maaari nating isulat ang sumusunod:

\[\operatorname(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )=\frac(f\left(((x)_(2)) \right)-f\left( ((x)_(1)) \kanan))(((x)_(2))-((x)_(1)))\]

Ngayon na nakuha na natin ang lahat ng iyon, bumalik tayo sa ating chart at tingnan ang bagong puntong $B$. Burahin natin ang mga lumang value at dalhin ang $B$ sa isang lugar na mas malapit sa $((x)_(1))$. Muli nating tukuyin ang abscissa nito ng $((x)_(2))$, at ang ordinate nito ng $f\left(((x)_(2)) \right)$.

Tingnan natin muli ang aming maliit na tatsulok na $ABC$ at $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$ sa loob nito. Halatang halata na ito ay magiging isang ganap na magkakaibang anggulo, ang tangent ay magkakaiba din dahil ang mga haba ng mga segment na $AC$ at $BC$ ay nagbago nang malaki, ngunit ang formula para sa tangent ng anggulo ay hindi nagbago sa lahat. - ito pa rin ang kaugnayan sa pagitan ng pagbabago sa function at pagbabago sa argumento .

Sa wakas, patuloy naming inililipat ang $B$ palapit sa orihinal na puntong $A$, bilang resulta ay magiging mas maliit pa ang tatsulok, at ang tuwid na linya na naglalaman ng segment na $AB$ ay magmumukhang isang tangent sa graph ng ang function.

Bilang resulta, kung patuloy nating paglapitin ang mga puntos, ibig sabihin, bawasan ang distansya sa zero, kung gayon ang tuwid na linya na $AB$ ay talagang magiging tangent sa graph sa isang partikular na punto, at $\text( )\ !\!\alpha\!\ !\text( )$ ay magbabago mula sa isang regular na elemento ng tatsulok patungo sa anggulo sa pagitan ng tangent patungo sa graph at ang positibong direksyon ng $Ox$ axis.

At dito tayo ay maayos na lumipat sa kahulugan ng $f$, ibig sabihin, ang derivative ng isang function sa puntong $((x)_(1))$ ay ang tangent ng anggulo $\alpha $ sa pagitan ng tangent sa graph sa puntong $((x)_( 1))$ at ang positibong direksyon ng $Ox$ axis:

\[(f)"\left(((x)_(1)) \right)=\operatorname(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )\]

Pagbabalik sa aming graph, dapat tandaan na ang anumang punto sa graph ay maaaring mapili bilang $((x)_(1))$. Halimbawa, sa parehong tagumpay maaari naming alisin ang stroke sa puntong ipinapakita sa figure.

Tawagan natin ang anggulo sa pagitan ng tangent at ang positibong direksyon ng axis na $\beta$. Alinsunod dito, ang $f$ sa $((x)_(2))$ ay magiging katumbas ng tangent ng anggulong ito na $\beta $.

\[(f)"\left(((x)_(2)) \right)=tg\text( )\!\!\beta\!\!\text( )\]

Ang bawat punto sa graph ay magkakaroon ng sarili nitong tangent, at, samakatuwid, ang sarili nitong halaga ng function. Sa bawat isa sa mga kasong ito, bilang karagdagan sa punto kung saan hinahanap natin ang derivative ng isang pagkakaiba o kabuuan, o ang derivative ng isang power function, kinakailangan na kumuha ng isa pang punto na matatagpuan sa ilang distansya mula dito, at pagkatapos ay direktang puntong ito sa orihinal at, siyempre, alamin kung paano sa proseso Ang nasabing paggalaw ay magbabago sa tangent ng anggulo ng pagkahilig.

Derivative ng isang power function

Sa kasamaang palad, ang gayong kahulugan ay hindi angkop sa atin. Ang lahat ng mga formula, larawan, anggulo na ito ay hindi nagbibigay sa amin ng kaunting ideya kung paano kalkulahin ang tunay na hinalaw sa mga totoong problema. Samakatuwid, lumihis tayo ng kaunti mula sa pormal na kahulugan at isaalang-alang ang mas epektibong mga formula at pamamaraan kung saan maaari mo nang malutas ang mga tunay na problema.

Magsimula tayo sa pinaka mga simpleng disenyo, ibig sabihin, mga function ng anyong $y=((x)^(n))$, i.e. mga function ng kapangyarihan. Sa kasong ito, maaari nating isulat ang sumusunod: $(y)"=n\cdot ((x)^(n-1))$. Sa madaling salita, ang degree na nasa exponent ay ipinapakita sa front multiplier, at ang exponent mismo ay binabawasan ng unit. Halimbawa:

\[\begin(align)& y=((x)^(2)) \\& (y)"=2\cdot ((x)^(2-1))=2x \\\end(align) \]

Narito ang isa pang pagpipilian:

\[\begin(align)& y=((x)^(1)) \\& (y)"=((\left(x \right))^(\prime ))=1\cdot ((x )^(0))=1\cdot 1=1 \\& ((\left(x \right))^(\prime ))=1 \\\end(align)\]

Gamit ang mga ito mga simpleng tuntunin, subukan nating alisin ang stroke ng mga sumusunod na halimbawa:

Kaya makuha namin:

\[((\left(((x)^(6)) \right))^(\prime ))=6\cdot ((x)^(5))=6((x)^(5)) \]

Ngayon lutasin natin ang pangalawang expression:

\[\begin(align)& f\left(x \right)=((x)^(100)) \\& ((\left(((x)^(100)) \right))^(\ prime ))=100\cdot ((x)^(99))=100((x)^(99)) \\\end(align)\]

Siyempre, ang mga ito ay napaka mga simpleng gawain. Gayunpaman tunay na mga problema mas kumplikado at hindi sila limitado sa mga antas lamang ng pag-andar.

Kaya, ang panuntunan No. 1 - kung ang isang function ay ipinakita sa anyo ng iba pang dalawa, kung gayon ang derivative ng kabuuan na ito ay katumbas ng kabuuan ng mga derivatives:

\[((\kaliwa(f+g \kanan)))^(\prime ))=(f)"+(g)"\]

Katulad nito, ang derivative ng pagkakaiba ng dalawang function ay katumbas ng pagkakaiba ng derivatives:

\[((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"\]

\[((\left(((x)^(2))+x \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ prime ))+((\kaliwa(x \kanan))^(\prime ))=2x+1\]

Bilang karagdagan, may isa pa mahalagang tuntunin: kung ang ilang $f$ ay nauuna sa isang pare-parehong $c$, kung saan ang function na ito ay pinarami, kung gayon ang $f$ ng buong construction na ito ay kinakalkula bilang mga sumusunod:

\[((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"\]

\[((\left(3((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((\left(((x)^(3)) \right))^(\ prime ))=3\cdot 3((x)^(2))=9((x)^(2))\]

Sa wakas, isa pang napakahalagang tuntunin: sa mga problema ay kadalasang mayroong hiwalay na termino na hindi naglalaman ng $x$. Halimbawa, mapapansin natin ito sa ating mga ekspresyon ngayon. Ang derivative ng isang pare-pareho, ibig sabihin, isang numero na hindi nakadepende sa anumang paraan sa $x$, ay palaging katumbas ng zero, at hindi mahalaga kung ano ang katumbas ng pare-parehong $c$:

\[((\left(c \right))^(\prime ))=0\]

Halimbawang solusyon:

\[((\left(1001 \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(1000) \right))^(\prime ))=0\]

Mga pangunahing punto muli:

1. Ang derivative ng kabuuan ng dalawang function ay palaging katumbas ng kabuuan ng mga derivatives: $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$;
2. Para sa magkatulad na mga kadahilanan, ang derivative ng pagkakaiba ng dalawang function ay katumbas ng pagkakaiba ng dalawang derivatives: $((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$;
3. Kung ang isang function ay may pare-parehong kadahilanan, ang pare-parehong ito ay maaaring kunin bilang isang derivative sign: $((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"$;
4. Kung ang buong function ay pare-pareho, ang derivative nito ay palaging zero: $((\left(c \right))^(\prime ))=0$.

Tingnan natin kung paano gumagana ang lahat tunay na mga halimbawa. Kaya:

Sumulat kami:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(5))-3((x)^(2))+7 \right))^(\prime ))=((\left (((x)^(5)) \kanan))^(\prime ))-((\kaliwa(3((x)^(2)) \kanan))^(\prime ))+(7) "= \\& =5((x)^(4))-3((\kaliwa(((x)^(2)) \kanan))^(\prime ))+0=5((x) ^(4))-6x \\\end(align)\]

Sa halimbawang ito makikita natin ang parehong derivative ng kabuuan at ang derivative ng pagkakaiba. Sa kabuuan, ang derivative ay katumbas ng $5((x)^(4))-6x$.

Lumipat tayo sa pangalawang function:

Isulat natin ang solusyon:

\[\begin(align)& ((\left(3((x)^(2))-2x+2 \right))^(\prime ))=((\left(3((x)^( 2)) \kanan))^(\prime ))-((\kaliwa(2x \right))^(\prime ))+(2)"= \\& =3((\kaliwa(((x)) ^(2)) \kanan))^(\prime ))-2(x)"+0=3\cdot 2x-2\cdot 1=6x-2 \\\end(align)\]

Dito namin natagpuan ang sagot.

Lumipat tayo sa pangatlong function - ito ay mas seryoso:

\[\begin(align)& ((\left(2((x)^(3))-3((x)^(2))+\frac(1)(2)x-5 \right)) ^(\prime ))=((\left(2((x)^(3)) \right))^(\prime ))-(\left(3((x)^(2)) \right ))^(\prime ))+((\left(\frac(1)(2)x \right))^(\prime ))-(5)"= \\& =2((\left(( (x)^(3)) \kanan))^(\prime ))-3((\kaliwa(((x)^(2)) \kanan))^(\prime ))+\frac(1) (2)\cdot (x)"=2\cdot 3((x)^(2))-3\cdot 2x+\frac(1)(2)\cdot 1=6((x)^(2)) -6x+\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Nahanap na namin ang sagot.

Lumipat tayo sa huling expression - ang pinaka kumplikado at pinakamahabang:

Kaya, isinasaalang-alang namin:

\[\begin(align)& ((\left(6((x)^(7))-14((x)^(3))+4x+5 \right))^(\prime ))=( (\kaliwa(6((x)^(7)) \kanan))^(\prime ))-((\kaliwa(14((x)^(3)) \kanan))^(\prime )) +((\left(4x \right))^(\prime ))+(5)"= \\& =6\cdot 7\cdot ((x)^(6))-14\cdot 3((x )^(2))+4\cdot 1+0=42((x)^(6))-42((x)^(2))+4 \\\end(align)\]

Ngunit ang solusyon ay hindi nagtatapos doon, dahil hinihiling sa amin hindi lamang alisin ang isang stroke, ngunit kalkulahin ang halaga nito sa isang tiyak na punto, kaya pinapalitan namin ang −1 sa halip na $x$ sa expression:

\[(y)"\left(-1 \right)=42\cdot 1-42\cdot 1+4=4\]

Pumunta pa tayo at magpatuloy sa mas kumplikado at kawili-wiling mga halimbawa. Ang katotohanan ay ang formula para sa paglutas ng power derivative $((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1) )$ ay may mas malawak na saklaw kaysa sa karaniwang pinaniniwalaan. Sa tulong nito, maaari mong lutasin ang mga halimbawa na may mga fraction, ugat, atbp. Ito ang gagawin natin ngayon.

Upang magsimula, muli nating isulat ang formula na tutulong sa atin na mahanap ang derivative ng isang power function:

At ngayon pansin: sa ngayon ay isinasaalang-alang lamang namin ang mga natural na numero bilang $n$, ngunit walang pumipigil sa amin na isaalang-alang ang mga praksyon at maging mga negatibong numero. Halimbawa, maaari nating isulat ang sumusunod:

\[\begin(align)& \sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\ prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(2))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2)\cdot ((x) ^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(x))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\\end(align)\]

Walang kumplikado, kaya tingnan natin kung paano makatutulong ang formula na ito sa paglutas ng mas kumplikadong mga problema. Kaya, isang halimbawa:

Isulat natin ang solusyon:

\[\begin(align)& \left(\sqrt(x)+\sqrt(x)+\sqrt(x) \right)=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime )) \\& ((\ kaliwa(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^( \prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot ((x )^(-\frac(2)(3)))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)^(2)))) \\& (( \left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(4))) \right))^(\prime )) =\frac(1)(4)((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1)(4)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)) ^(3)))) \\\end(align)\]

Bumalik tayo sa ating halimbawa at isulat:

\[(y)"=\frac(1)(2\sqrt(x))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^(2))))+\frac(1)(4 \sqrt(((x)^(3))))\]

Ito ay isang mahirap na desisyon.

Lumipat tayo sa pangalawang halimbawa - mayroon lamang dalawang termino, ngunit ang bawat isa sa kanila ay naglalaman ng parehong klasikal na antas at mga ugat.

Ngayon ay matututunan natin kung paano hanapin ang derivative ng isang power function, na, bilang karagdagan, ay naglalaman ng ugat:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\sqrt(((x)^(2)))+((x)^(7))\sqrt(x) \kanan))^(\prime ))=((\left(((x)^(3))\cdot \sqrt(((x)^(2))) \right))^(\prime )) =((\left(((x)^(3))\cdot ((x)^(\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))= \\& =(( \left(((x)^(3+\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(11)(3 ))) \kanan))^(\prime ))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(\frac(8)(3)))=\frac(11)(3)\ cdot ((x)^(2\frac(2)(3)))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2 ))) \\& ((\left(((x)^(7))\cdot \sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7 ))\cdot ((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7\frac(1)(3 ))) \kanan))^(\prime ))=7\frac(1)(3)\cdot ((x)^(6\frac(1)(3)))=\frac(22)(3 )\cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x) \\\end(align)\]

Ang parehong mga termino ay kinakalkula, ang natitira lamang ay isulat ang huling sagot:

\[(y)"=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2)))+\frac(22)(3) \cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x)\]

Nahanap na namin ang sagot.

Derivative ng isang fraction sa pamamagitan ng power function

Ngunit ang mga posibilidad ng formula para sa paglutas ng derivative ng isang power function ay hindi nagtatapos doon. Ang katotohanan ay sa tulong nito maaari mong kalkulahin hindi lamang ang mga halimbawa na may mga ugat, kundi pati na rin sa mga praksyon. Ito ay tiyak na ang bihirang pagkakataon na lubos na pinasimple ang solusyon ng naturang mga halimbawa, ngunit madalas na hindi pinansin hindi lamang ng mga mag-aaral, kundi pati na rin ng mga guro.

Kaya, ngayon ay susubukan naming pagsamahin ang dalawang formula nang sabay-sabay. Sa isang banda, ang classical derivative ng isang power function

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Sa kabilang banda, alam namin na ang isang expression ng anyong $\frac(1)(((x)^(n)))$ ay maaaring katawanin bilang $((x)^(-n))$. Kaya naman,

\[\left(\frac(1)(((x)^(n))) \right)"=((\left(((x)^(-n)) \right))^(\prime ) )=-n\cdot ((x)^(-n-1))=-\frac(n)(((x)^(n+1)))\]

\[((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=\left(((x)^(-1)) \right)=-1\cdot ((x )^(-2))=-\frac(1)(((x)^(2)))\]

Kaya, ang mga derivatives ng mga simpleng fraction, kung saan ang numerator ay pare-pareho at ang denominator ay isang degree, ay kinakalkula din gamit ang klasikal na formula. Tingnan natin kung paano ito gumagana sa pagsasanay.

Kaya, ang unang function:

\[((\left(\frac(1)(((x)^(2))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(-2)) \ kanan))^(\prime ))=-2\cdot ((x)^(-3))=-\frac(2)(((x)^(3)))\]

Ang unang halimbawa ay nalutas, lumipat tayo sa pangalawa:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4)))-\frac(2)(3((x)^(3)))+\ frac(5)(2)((x)^(2))+2((x)^(3))-3((x)^(4)) \kanan))^(\prime ))= \ \& =((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^(\prime ))-((\left(\frac(2)(3(( x)^(3))) \kanan))^(\prime ))+((\kaliwa(2((x)^(3)) \kanan))^(\prime ))-((\kaliwa( 3((x)^(4)) \kanan))^(\prime )) \\& ((\kaliwa(\frac(7)(4((x)^(4))) \kanan))^ (\prime ))=\frac(7)(4)((\left(\frac(1)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=\frac(7 )(4)\cdot ((\left(((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=\frac(7)(4)\cdot \left(-4 \right) \cdot ((x)^(-5))=\frac(-7)(((x)^(5))) \\& ((\left(\frac(2)(3((x)^) (3))) \kanan))^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(\frac(1)((x)^(3))) \right) )^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(((x)^(-3)) \right))^(\prime ))=\frac(2)( 3)\cdot \left(-3 \right)\cdot ((x)^(-4))=\frac(-2)(((x)^(4))) \\& ((\left( \frac(5)(2)((x)^(2)) \kanan))^(\prime ))=\frac(5)(2)\cdot 2x=5x \\& ((\kaliwa(2) ((x)^(3)) \kanan))^(\prime ))=2\cdot 3((x)^(2))=6((x)^(2)) \\& ((\ kaliwa(3((x)^(4)) \kanan))^(\prime ))=3\cdot 4((x)^(3))=12((x)^(3)) \\\ end(align)\]...

Ngayon kinokolekta namin ang lahat ng mga terminong ito sa isang solong formula:

\[(y)"=-\frac(7)(((x)^(5)))+\frac(2)(((x)^(4)))+5x+6((x)^ (2))-12((x)^(3))\]

Nakatanggap kami ng sagot.

Gayunpaman, bago magpatuloy, nais kong iguhit ang iyong pansin sa anyo ng pagsulat ng mga orihinal na expression mismo: sa unang expression isinulat namin ang $f\left(x \right)=...$, sa pangalawa: $y =...$ Maraming estudyante ang naliligaw kapag nakakita sila iba't ibang hugis mga talaan. Ano ang pagkakaiba sa pagitan ng $f\left(x \right)$ at $y$? Wala talaga. Magkaiba lang sila ng mga entry na may parehong kahulugan. Kaya lang kapag sinabi nating $f\left(x \right)$, pinag-uusapan natin, una sa lahat, ang tungkol sa isang function, at kapag pinag-uusapan natin ang tungkol sa $y$, madalas nating ibig sabihin ang graph ng isang function. Kung hindi, ito ay ang parehong bagay, ibig sabihin, ang derivative sa parehong mga kaso ay itinuturing na pareho.

Mga kumplikadong problema sa mga derivatives

Sa konklusyon, nais kong isaalang-alang ang ilang kumplikadong pinagsama-samang mga problema na gumagamit ng lahat ng aming isinasaalang-alang ngayon. Naglalaman ang mga ito ng mga ugat, fraction, at kabuuan. Gayunpaman, ang mga halimbawang ito ay magiging masalimuot lamang sa video tutorial ngayon, dahil ang tunay na kumplikadong mga derivative function ay maghihintay sa iyo sa unahan.

Kaya, ang huling bahagi ng aralin sa video ngayon, na binubuo ng dalawang pinagsamang gawain. Magsimula tayo sa una sa kanila:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))-\frac(1)((x)^(3)))+\sqrt(x) \right))^ (\prime ))=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))-(\left(\frac(1)(((x)^(3) )) \right))^(\prime ))+\left(\sqrt(x) \right) \\& ((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ) )=3((x)^(2)) \\& ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \right))^(\prime ))=((\ kaliwa(((x)^(-3)) \kanan))^(\prime ))=-3\cdot ((x)^(-4))=-\frac(3)(((x)^ (4))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \kanan))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)((x)^(\frac(2)(3))))=\frac(1) (3\sqrt(((x)^(2)))) \\\end(align)\]

Ang derivative ng function ay katumbas ng:

\[(y)"=3((x)^(2))-\frac(3)(((x)^(4)))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^ (2))))\]

Ang unang halimbawa ay nalutas. Isaalang-alang natin ang pangalawang problema:

Sa pangalawang halimbawa nagpapatuloy kami nang katulad:

\[((\kaliwa(-\frac(2)((x)^(4)))+\sqrt(x)+\frac(4)(x\sqrt(((x)^(3)) )) \right))^(\prime ))=((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))+((\left (\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^ (\prime ))\]

Kalkulahin natin ang bawat termino nang hiwalay:

\[\begin(align)& ((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=-2\cdot ((\left( ((x)^(-4)) \kanan))^(\prime ))=-2\cdot \left(-4 \right)\cdot ((x)^(-5))=\frac(8 )(((x)^(5))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac( 1)(4))) \kanan))^(\prime ))=\frac(1)(4)\cdot ((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1 )(4\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3)))) \\& ((\ kaliwa(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(x\cdot ((x)^(\frac(3)(4)))) \right))^(\prime ))=((\kaliwa(\frac(4)((x)^(1\frac(3 )(4)))) \right))^(\prime ))=4\cdot ((\left(((x)^(-1\frac(3)(4))) \right))^( \prime ))= \\& =4\cdot \left(-1\frac(3)(4) \right)\cdot ((x)^(-2\frac(3)(4)))=4 \cdot \left(-\frac(7)(4) \right)\cdot \frac(1)(((x)^(2\frac(3)(4))))=\frac(-7) (((x)^(2))\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=-\frac(7)((x)^(2))\cdot \sqrt (((x)^(3)))) \\\end(align)\]

Ang lahat ng mga termino ay kinakalkula. Ngayon ay bumalik kami sa orihinal na formula at idagdag ang lahat ng tatlong termino nang magkasama. Nakukuha namin na ang huling sagot ay magiging ganito:

\[(y)"=\frac(8)(((x)^(5)))+\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3))))-\frac(7 )(((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(3))))\]

At iyon lang. Ito ang aming unang aralin. Sa susunod na mga aralin ay tatalakayin pa natin mga kumplikadong disenyo, at alamin din kung bakit kailangan ang mga derivative.

Patunay at derivation ng mga formula para sa derivative ng exponential (e sa x power) at exponential function (a sa x power). Mga halimbawa ng pagkalkula ng mga derivative ng e^2x, e^3x at e^nx. Mga formula para sa mga derivatives ng mas matataas na order.

Ang derivative ng isang exponent ay katumbas ng exponent mismo (ang derivative ng e sa x power ay katumbas ng e sa x power):
(1) (e x )′ = e x.

Ang derivative ng isang exponential function na may base a ay katumbas ng function mismo na pinarami ng natural na logarithm ng a:
(2) .

Derivation ng formula para sa derivative ng exponential, e sa x power

Ang exponential ay isang exponential function na ang base ay katumbas ng bilang e, na siyang sumusunod na limitasyon:
.
Dito maaari itong maging natural na numero o totoong numero. Susunod, nakukuha namin ang formula (1) para sa derivative ng exponential.

Derivation ng exponential derivative formula

Isaalang-alang ang exponential, e sa x power:
y = e x .
Ang function na ito ay tinukoy para sa lahat. Hanapin natin ang derivative nito patungkol sa variable na x. Sa pamamagitan ng kahulugan, ang derivative ay ang sumusunod na limitasyon:
(3) .

Ibahin natin ang ekspresyong ito upang bawasan ito sa mga kilalang katangian at panuntunan sa matematika. Upang gawin ito kailangan namin ang mga sumusunod na katotohanan:
A) Exponent property:
(4) ;
B) Katangian ng logarithm:
(5) ;
SA) Pagpapatuloy ng logarithm at pag-aari ng mga limitasyon para sa tuluy-tuloy na pag-andar:
(6) .
Narito ang isang function na may limitasyon at ang limitasyong ito ay positibo.
G) Ang kahulugan ng pangalawang kahanga-hangang limitasyon:
(7) .

Ilapat natin ang mga katotohanang ito sa ating limitasyon (3). Ginagamit namin ang ari-arian (4):
;
.

Gumawa tayo ng substitution. Pagkatapos ; .
Dahil sa pagpapatuloy ng exponential,
.
Samakatuwid, kapag , . Bilang resulta, nakukuha namin ang:
.

Gumawa tayo ng substitution. Tapos . Sa , . At mayroon kaming:
.

Ilapat natin ang logarithm property (5):
. Pagkatapos
.

Ilapat natin ang ari-arian (6). Dahil mayroong positibong limitasyon at ang logarithm ay tuloy-tuloy, kung gayon:
.
Dito rin namin ginamit ang pangalawang kapansin-pansing limitasyon (7). Pagkatapos
.

Kaya, nakuha namin ang formula (1) para sa derivative ng exponential.

Derivation ng formula para sa derivative ng isang exponential function

Ngayon ay nakukuha namin ang formula (2) para sa derivative ng exponential function na may base ng degree a. Naniniwala kami na at . Pagkatapos ay ang exponential function
(8)
Tinukoy para sa lahat.

Ibahin natin ang formula (8). Para dito gagamitin natin katangian ng exponential function at logarithm.
;
.
Kaya, binago namin ang formula (8) sa sumusunod na anyo:
.

Higher order derivatives ng e sa x power

Ngayon, hanapin natin ang mga derivatives ng mas matataas na order. Tingnan muna natin ang exponent:
(14) .
(1) .

Nakikita natin na ang derivative ng function (14) ay katumbas ng function (14) mismo. Sa differentiating (1), nakakakuha tayo ng derivatives ng ikalawa at ikatlong order:
;
.

Ipinapakita nito na ang nth order derivative ay katumbas din ng orihinal na function:
.

Higher order derivatives ng exponential function

Ngayon isaalang-alang natin exponential function may power base a:
.
Natagpuan namin ang first-order derivative nito:
(15) .

Sa differentiating (15), nakakakuha tayo ng derivatives ng ikalawa at ikatlong order:
;
.

Nakikita namin na ang bawat pagkakaiba ay humahantong sa pagpaparami ng orihinal na function sa pamamagitan ng . Samakatuwid, ang nth order derivative ay may sumusunod na anyo:
.

Derivation ng formula para sa derivative ng isang power function (x sa kapangyarihan ng a). Ang mga derivatives mula sa mga ugat ng x ay isinasaalang-alang. Formula para sa derivative ng mas mataas na order na power function. Mga halimbawa ng pagkalkula ng mga derivative.

Ang derivative ng x sa kapangyarihan ng a ay katumbas ng isang beses x sa kapangyarihan ng isang minus one:
(1) .

Ang derivative ng nth root ng x sa mth power ay:
(2) .

Derivation ng formula para sa derivative ng isang power function

Case x > 0

Isaalang-alang ang isang power function ng variable x na may exponent a:
(3) .
Narito ang isang arbitrary na tunay na numero. Isaalang-alang muna natin ang kaso.

Upang mahanap ang derivative ng function (3), ginagamit namin ang mga katangian ng isang power function at ibahin ito sa sumusunod na anyo:
.

Ngayon nakita namin ang derivative gamit ang:
;
.
Dito .

Ang formula (1) ay napatunayan na.

Derivation ng formula para sa derivative ng isang ugat ng degree n ng x hanggang sa degree ng m

Ngayon isaalang-alang ang isang function na ang ugat ng sumusunod na form:
(4) .

Upang mahanap ang derivative, binabago namin ang ugat sa isang power function:
.
Ang paghahambing sa formula (3) ay nakikita natin iyon
.
Pagkatapos
.

Gamit ang formula (1) nakita natin ang derivative:
(1) ;
;
(2) .

Sa pagsasagawa, hindi na kailangang isaulo ang formula (2). Ito ay mas maginhawa upang unang baguhin ang mga ugat sa mga function ng kapangyarihan, at pagkatapos ay hanapin ang kanilang mga derivatives gamit ang formula (1) (tingnan ang mga halimbawa sa dulo ng pahina).

Kaso x = 0

Kung , kung gayon ang power function ay tinukoy para sa halaga ng variable x = 0 . Hanapin natin ang derivative ng function (3) sa x = 0 . Upang gawin ito, ginagamit namin ang kahulugan ng isang derivative:
.

Palitan natin ang x = 0 :
.
Sa kasong ito, ang ibig sabihin ng derivative ay ang kanang-kamay na limitasyon kung saan .

Kaya natagpuan namin:
.
Mula dito ay malinaw na para sa , .
Sa , .
Sa , .
Ang resultang ito ay nakuha rin mula sa formula (1):
(1) .
Samakatuwid, ang formula (1) ay wasto din para sa x = 0 .

Kaso x< 0

Isaalang-alang muli ang function (3):
(3) .
Para sa ilang mga halaga ng pare-pareho ang a, ito ay tinukoy din para sa mga negatibong halaga ng variable na x. Ibig sabihin, hayaan ang isang maging isang makatwirang numero. Pagkatapos ay maaari itong katawanin bilang isang hindi mababawasang bahagi:
,
kung saan ang m at n ay mga integer na walang karaniwang divisor.

Kung ang n ay kakaiba, kung gayon ang power function ay tinukoy din para sa mga negatibong halaga ng variable x. Halimbawa, kapag n = 3 at m = 1 mayroon kaming cube root ng x:
.
Tinukoy din ito para sa mga negatibong halaga ng variable na x.

Hanapin natin ang derivative ng power function (3) para sa at para sa mga makatwirang halaga ng pare-parehong a kung saan ito ay tinukoy. Upang gawin ito, katawanin natin ang x sa sumusunod na anyo:
.
tapos ,
.
Nahanap namin ang derivative sa pamamagitan ng paglalagay ng constant sa labas ng sign ng derivative at paglalapat ng panuntunan para sa pagkakaiba ng isang kumplikadong function:

.
Dito . Pero
.
Simula noon
.
Pagkatapos
.
Iyon ay, ang formula (1) ay may bisa din para sa:
(1) .

Higher order derivatives

Ngayon, hanapin natin ang mas mataas na pagkakasunud-sunod ng mga derivatives ng power function
(3) .
Natagpuan na namin ang unang order derivative:
.

Ang pagkuha ng pare-parehong a sa labas ng sign ng derivative, makikita natin ang second-order derivative:
.
Katulad nito, nakakahanap kami ng mga derivatives ng ikatlo at ikaapat na order:
;

.

Mula dito ay malinaw na derivative ng arbitrary nth order ay may sumusunod na anyo:
.

pansinin mo yan kung ang isang ay natural na numero , kung gayon ang nth derivative ay pare-pareho:
.
Pagkatapos ang lahat ng kasunod na derivatives ay katumbas ng zero:
,
sa .

Mga halimbawa ng pagkalkula ng mga derivative

Halimbawa

Hanapin ang derivative ng function:
.

Solusyon

I-convert natin ang mga ugat sa kapangyarihan:
;
.
Pagkatapos ang orihinal na function ay tumatagal ng form:
.

Paghahanap ng mga derivatives ng mga kapangyarihan:
;
.
Ang derivative ng pare-pareho ay zero:
.

Mga kumplikadong derivative. Logarithmic derivative.
Derivative ng isang power-exponential function

Patuloy naming pinapabuti ang aming diskarte sa pagkita ng kaibhan. Sa araling ito, pagsasama-samahin natin ang materyal na ating tinakpan, titingnan ang mas kumplikadong mga derivative, at makikilala rin ang mga bagong diskarte at trick para sa paghahanap ng derivative, lalo na, sa logarithmic derivative.

Sa mga readers na meron mababang antas paghahanda, dapat kang sumangguni sa artikulo Paano mahahanap ang derivative? Mga halimbawa ng solusyon, na magbibigay-daan sa iyo na itaas ang iyong mga kasanayan halos mula sa simula. Susunod, kailangan mong maingat na pag-aralan ang pahina Derivative ng isang kumplikadong function, unawain at lutasin Lahat ang mga halimbawang ibinigay ko. Ang araling ito ay lohikal na ang pangatlo sa isang hilera, at pagkatapos ng mastering ito ay may kumpiyansa kang mag-iba ng medyo kumplikadong mga function. Hindi kanais-nais na kunin ang posisyon na “Saan pa? Oo, sapat na iyon!", dahil ang lahat ng mga halimbawa at solusyon ay kinuha mula sa tunay mga pagsubok at madalas na nakatagpo sa pagsasanay.

Magsimula tayo sa pag-uulit. Sa aralin Derivative ng isang kumplikadong function Tumingin kami sa isang bilang ng mga halimbawa na may mga detalyadong komento. Sa panahon ng pag-aaral ng differential calculus at iba pang mga seksyon pagsusuri sa matematika– kailangan mong mag-iba nang madalas, at hindi palaging maginhawa (at hindi palaging kinakailangan) na ilarawan ang mga halimbawa nang detalyado. Samakatuwid, magsasanay kami sa paghahanap ng mga derivative nang pasalita. Ang pinaka-angkop na "mga kandidato" para dito ay mga derivatives ng pinakasimpleng mga kumplikadong function, halimbawa:

Ayon sa panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng mga kumplikadong pag-andar :

Kapag nag-aaral ng iba pang mga paksang matan sa hinaharap, ang gayong detalyadong pag-record ay kadalasang hindi kinakailangan; ipinapalagay na alam ng mag-aaral kung paano maghanap ng mga naturang derivatives sa autopilot. Isipin natin na alas-3 ng madaling araw ay may isang tawag sa telepono, at isang kaaya-ayang boses ang nagtanong: "Ano ang derivative ng tangent ng dalawang X?" Dapat itong sundan ng halos madalian at magalang na tugon: .

Ang unang halimbawa ay agad na inilaan para sa independiyenteng solusyon.

Halimbawa 1

Hanapin ang mga sumusunod na derivatives nang pasalita, sa isang aksyon, halimbawa: . Upang makumpleto ang gawain kailangan mo lamang gamitin talahanayan ng mga derivatives ng elementarya function(kung hindi mo pa ito naaalala). Kung mayroon kang anumang mga paghihirap, inirerekumenda kong basahin muli ang aralin Derivative ng isang kumplikadong function.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Mga sagot sa pagtatapos ng aralin

Mga kumplikadong derivative

Pagkatapos ng paunang paghahanda ng artilerya, ang mga halimbawa na may 3-4-5 na mga pugad ng mga function ay hindi gaanong nakakatakot. Ang sumusunod na dalawang halimbawa ay maaaring mukhang kumplikado sa ilan, ngunit kung naiintindihan mo ang mga ito (may magdurusa), kung gayon halos lahat ng iba pa sa differential calculus ay magmumukhang biro ng isang bata.

Halimbawa 2

Hanapin ang derivative ng isang function

Tulad ng nabanggit na, kapag naghahanap ng derivative ng isang kumplikadong function, una sa lahat, ito ay kinakailangan Tama UNAWAIN ang iyong mga pamumuhunan. Sa mga kaso kung saan may mga pagdududa, ipinaaalala ko sa iyo ang isang kapaki-pakinabang na pamamaraan: kinukuha namin ang pang-eksperimentong halaga ng "x", halimbawa, at subukan (sa isip o sa isang draft) na palitan binigay na halaga sa isang "kakila-kilabot na ekspresyon".

1) Una kailangan nating kalkulahin ang expression, na nangangahulugang ang kabuuan ay ang pinakamalalim na pag-embed.

2) Pagkatapos ay kailangan mong kalkulahin ang logarithm:

4) Pagkatapos ay i-cube ang cosine:

5) Sa ikalimang hakbang ang pagkakaiba:

6) At sa wakas, ang pinaka panlabas na function ay Kuwadrado na ugat:

Formula para sa pagkakaiba ng isang kumplikadong function gagamitin sa baligtarin ang pagkakasunod-sunod, mula sa pinakalabas na function hanggang sa pinakaloob. Nagpasya kami:

Parang walang mali...

(1) Kunin ang derivative ng square root.

(2) Kinukuha namin ang derivative ng pagkakaiba gamit ang panuntunan

(3) Ang derivative ng isang triple ay zero. Sa pangalawang termino ay kinukuha namin ang derivative ng degree (cube).

(4) Kunin ang derivative ng cosine.

(5) Kunin ang derivative ng logarithm.

(6) At sa wakas, kinukuha namin ang derivative ng pinakamalalim na pag-embed.

Maaaring mukhang napakahirap, ngunit hindi ito ang pinaka-brutal na halimbawa. Kunin, halimbawa, ang koleksyon ni Kuznetsov at mapapahalagahan mo ang lahat ng kagandahan at pagiging simple ng nasuri na hinalaw. Napansin ko na gusto nilang magbigay ng katulad na bagay sa isang pagsusulit upang suriin kung naiintindihan ng isang mag-aaral kung paano hanapin ang derivative ng isang kumplikadong function o hindi naiintindihan.

Ang sumusunod na halimbawa ay para sa iyo upang malutas sa iyong sarili.

Halimbawa 3

Hanapin ang derivative ng isang function

Hint: Inilapat muna namin ang mga panuntunan sa linearity at ang panuntunan sa pagkakaiba-iba ng produkto

Kumpletong solusyon at ang sagot sa pagtatapos ng aralin.

Panahon na upang lumipat sa isang bagay na mas maliit at mas maganda.
Ito ay hindi pangkaraniwan para sa isang halimbawa upang ipakita ang produkto ng hindi dalawa, ngunit tatlong mga function. Paano mahahanap ang derivative ng produkto ng tatlong mga kadahilanan?

Halimbawa 4

Hanapin ang derivative ng isang function

Una nating tingnan, posible bang gawing produkto ng dalawang function ang produkto ng tatlong function? Halimbawa, kung mayroon kaming dalawang polynomial sa produkto, maaari naming buksan ang mga bracket. Ngunit sa halimbawang isinasaalang-alang, ang lahat ng mga pag-andar ay iba: degree, exponent at logarithm.

Sa ganitong mga kaso ito ay kinakailangan sunud-sunod ilapat ang panuntunan sa pagkakaiba-iba ng produkto dalawang beses

Ang lansihin ay na sa pamamagitan ng "y" ay tinutukoy namin ang produkto ng dalawang function: , at sa pamamagitan ng "ve" ay tinutukoy namin ang logarithm: . Bakit ito magagawa? Talaga ba – hindi ito produkto ng dalawang salik at hindi gumagana ang panuntunan?! Walang kumplikado:

Ngayon ay nananatili itong ilapat ang panuntunan sa pangalawang pagkakataon sa bracket:

Maaari ka ring mapilipit at maglagay ng isang bagay sa labas ng mga bracket, ngunit sa kasong ito, mas mahusay na iwanan ang sagot nang eksakto sa form na ito - mas madaling suriin.

Ang itinuturing na halimbawa ay maaaring malutas sa pangalawang paraan:

Ang parehong mga solusyon ay ganap na katumbas.

Halimbawa 5

Hanapin ang derivative ng isang function

Ito ay isang halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon; sa sample ito ay nalutas gamit ang unang paraan.

Tingnan natin ang mga katulad na halimbawa na may mga fraction.

Halimbawa 6

Hanapin ang derivative ng isang function

Mayroong ilang mga paraan na maaari mong puntahan dito:

O tulad nito:

Ngunit ang solusyon ay isusulat nang mas compact kung gagamitin muna natin ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng quotient , pagkuha para sa buong numerator:

Sa prinsipyo, ang halimbawa ay nalutas, at kung ito ay naiwan na, hindi ito magiging isang pagkakamali. Ngunit kung mayroon kang oras, palaging ipinapayong tingnan ang isang draft upang makita kung ang sagot ay maaaring pasimplehin? Bawasan natin ang expression ng numerator sa isang common denominator at tanggalin na natin ang tatlong palapag na fraction:

Ang kawalan ng mga karagdagang pagpapasimple ay may panganib na magkamali hindi kapag naghahanap ng hinalaw, ngunit sa panahon ng mga pagbabago sa paaralan. Sa kabilang banda, madalas na tinatanggihan ng mga guro ang takdang-aralin at hinihiling na "iisipan" ang hinalaw.

Isang mas simpleng halimbawa upang malutas nang mag-isa:

Halimbawa 7

Hanapin ang derivative ng isang function

Patuloy naming pinagkadalubhasaan ang mga paraan ng paghahanap ng derivative, at ngayon ay isasaalang-alang namin ang isang tipikal na kaso kapag ang "kakila-kilabot" logarithm ay iminungkahi para sa pagkita ng kaibhan

Halimbawa 8

Hanapin ang derivative ng isang function

Dito maaari kang pumunta sa mahabang paraan, gamit ang panuntunan para sa pagkakaiba ng isang kumplikadong function:

Ngunit ang pinakaunang hakbang ay agad na naglulubog sa iyo sa kawalan ng pag-asa - kailangan mong kunin ang hindi kasiya-siyang derivative ng fractional na kapangyarihan, at pagkatapos din mula sa fraction.

kaya lang dati kung paano kunin ang derivative ng isang "sopistikadong" logarithm, ito ay unang pinasimple gamit ang mga kilalang katangian ng paaralan:

! Kung mayroon kang hawak na notebook ng pagsasanay, direktang kopyahin ang mga formula na ito doon. Kung wala kang notebook, kopyahin ang mga ito sa isang piraso ng papel, dahil ang natitirang mga halimbawa ng aralin ay iikot sa mga formula na ito.

Ang solusyon mismo ay maaaring isulat tulad nito:

Ibahin natin ang function:

Paghahanap ng derivative:

Ang paunang pag-convert ng function mismo ay lubos na pinasimple ang solusyon. Kaya, kapag ang isang katulad na logarithm ay iminungkahi para sa pagkita ng kaibhan, ito ay palaging ipinapayong "masira ito".

At ngayon ang ilang simpleng halimbawa para malutas mo nang mag-isa:

Halimbawa 9

Hanapin ang derivative ng isang function

Halimbawa 10

Hanapin ang derivative ng isang function

Ang lahat ng pagbabago at sagot ay nasa dulo ng aralin.

Logarithmic derivative

Kung ang derivative ng logarithms ay tulad ng matamis na musika, ang tanong ay lumitaw: posible ba sa ilang mga kaso na ayusin ang logarithm nang artipisyal? Pwede! At kahit kailangan.

Halimbawa 11

Hanapin ang derivative ng isang function

Kamakailan ay tumingin kami sa mga katulad na halimbawa. Anong gagawin? Maaari mong sunud-sunod na ilapat ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng quotient, at pagkatapos ay ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng produkto. Ang kawalan ng pamamaraang ito ay napupunta ka sa isang malaking bahagi ng tatlong palapag, na hindi mo gustong harapin.

Ngunit sa teorya at kasanayan mayroong isang kahanga-hangang bagay tulad ng logarithmic derivative. Ang mga logarithm ay maaaring artipisyal na ayusin sa pamamagitan ng "pagbitin" sa mga ito sa magkabilang panig:

Ngayon ay kailangan mong "maghiwa-hiwalay" ang logarithm ng kanang bahagi hangga't maaari (mga formula sa harap ng iyong mga mata?). Ilalarawan ko ang prosesong ito nang detalyado:

Magsimula tayo sa pagkakaiba-iba.
Tinatapos namin ang parehong bahagi sa ilalim ng prime:

Ang derivative ng kanang bahagi ay medyo simple; hindi ako magkomento tungkol dito, dahil kung binabasa mo ang tekstong ito, dapat mong mahawakan ito nang may kumpiyansa.

Paano ang kaliwang bahagi?

Sa kaliwang bahagi mayroon kami kumplikadong pag-andar. Nakikita ko ang tanong: "Bakit, may isang letra bang "Y" sa ilalim ng logarithm?"

Ang katotohanan ay ang "isang letrang laro" na ito - AY MISMONG FUNCTION(kung ito ay hindi masyadong malinaw, sumangguni sa artikulong Derivative ng isang function na implicitly na tinukoy). Samakatuwid, ang logarithm ay isang panlabas na function, at ang "y" ay isang panloob na function. At ginagamit namin ang panuntunan para sa pagkakaiba ng isang kumplikadong function :

Sa kaliwang bahagi, na parang sa pamamagitan ng magic, mayroon kaming isang derivative. Susunod, ayon sa panuntunan ng proporsyon, inililipat namin ang "y" mula sa denominator ng kaliwang bahagi hanggang sa tuktok ng kanang bahagi:

At ngayon tandaan natin kung anong uri ng "manlalaro" -function ang napag-usapan natin sa panahon ng pagkita ng kaibhan? Tingnan natin ang kondisyon:

Panghuling sagot:

Halimbawa 12

Hanapin ang derivative ng isang function

Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili. Ang isang halimbawang disenyo ng isang halimbawa ng ganitong uri ay nasa dulo ng aralin.

Gamit ang logarithmic derivative, posible na malutas ang alinman sa mga halimbawa No. 4-7, isa pang bagay ay ang mga function doon ay mas simple, at, marahil, ang paggamit ng logarithmic derivative ay hindi masyadong makatwiran.

Derivative ng isang power-exponential function

Ang function na ito Hindi pa namin ito tinitingnan. Ang power-exponential function ay isang function kung saan parehong ang degree at ang base ay nakasalalay sa "x". Isang klasikong halimbawa na ibibigay sa iyo sa anumang aklat-aralin o panayam:

Paano mahahanap ang derivative ng isang power-exponential function?

Kinakailangang gamitin ang pamamaraan na tinalakay lamang - ang logarithmic derivative. Nag-hang kami ng mga logarithms sa magkabilang panig:

Bilang isang patakaran, sa kanang bahagi ang degree ay kinuha mula sa ilalim ng logarithm:

Bilang isang resulta, sa kanang bahagi mayroon kaming produkto ng dalawang pag-andar, na magkakaiba ayon sa karaniwang formula .

Nahanap namin ang derivative; upang gawin ito, isinama namin ang parehong mga bahagi sa ilalim ng mga stroke:

Mga karagdagang aksyon ay simple:

Sa wakas:

Kung ang anumang conversion ay hindi lubos na malinaw, mangyaring muling basahin nang mabuti ang mga paliwanag ng Halimbawa #11.

SA mga praktikal na gawain Ang power-exponential function ay palaging magiging mas kumplikado kaysa sa halimbawang tinalakay sa lecture.

Halimbawa 13

Hanapin ang derivative ng isang function

Ginagamit namin ang logarithmic derivative.

Sa kanang bahagi mayroon kaming isang pare-pareho at ang produkto ng dalawang mga kadahilanan - "x" at "logarithm ng logarithm x" (isa pang logarithm ay naka-nest sa ilalim ng logarithm). Kapag nag-iiba, tulad ng naaalala natin, mas mahusay na agad na ilipat ang pare-pareho sa labas ng derivative sign upang hindi ito makasagabal; at, siyempre, inilalapat namin ang pamilyar na panuntunan :

Tulad ng nakikita mo, ang algorithm para sa paggamit ng logarithmic derivative ay hindi naglalaman ng anumang mga espesyal na trick o trick, at ang paghahanap ng derivative ng isang power-exponential function ay karaniwang hindi nauugnay sa "torment."