Mga pag-unlad ng pamamaraan sa elective course
"Mga paraan ng solusyon hindi makatwiran na mga equation»»
PANIMULA
Ang iminungkahing elektibong kurso na "Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi makatwirang equation" ay inilaan para sa mga mag-aaral sa ika-11 baitang sekondaryang paaralan at partikular sa paksa, na naglalayong palawakin ang teoretikal at praktikal na kaalaman ng mga mag-aaral. Ang elective course ay binuo sa kaalaman at kasanayan na nakukuha ng mga mag-aaral kapag nag-aaral ng matematika sa high school.
Ang pagiging tiyak ng kursong ito ay na ito ay pangunahing inilaan para sa mga mag-aaral na gustong palawakin, palalimin, gawing sistematiko, gawing pangkalahatan ang kanilang kaalaman sa matematika, at matuto ng mga karaniwang pamamaraan at pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi makatwirang equation. Kasama sa programa ang mga tanong na bahagyang lumalampas sa kasalukuyang mga programa sa matematika at hindi karaniwang mga pamamaraan na nagbibigay-daan sa iyong mas epektibong malutas ang iba't ibang mga problema.
Karamihan sa mga gawain sa USE ay nangangailangan ng mga nagtapos upang makabisado iba't ibang pamamaraan mga solusyon ng iba't ibang uri ng mga equation at kanilang mga sistema. Ang materyal na nauugnay sa mga equation at sistema ng mga equation ay bumubuo ng isang mahalagang bahagi ng kurso sa matematika ng paaralan. Ang kaugnayan ng pagpili ng paksa ng elective na kurso ay tinutukoy ng kahalagahan ng paksang "Hindi makatwiran na mga equation" sa kurso sa matematika ng paaralan at, sa parehong oras, sa pamamagitan ng kakulangan ng oras upang isaalang-alang ang mga hindi pamantayang pamamaraan at diskarte sa paglutas ng hindi makatwiran. mga equation, na matatagpuan sa mga gawain ng pangkat "C" ng Pinag-isang Pagsusuri ng Estado.
Kasama ang pangunahing gawain ng pagtuturo ng matematika - tinitiyak ang malakas at may kamalayan na karunungan ng mga mag-aaral sa sistema ng kaalaman at kasanayan sa matematika - ang elective course na ito ay nagbibigay para sa pagbuo ng isang napapanatiling interes sa paksa, ang pagbuo ng mga kakayahan sa matematika, pagtaas ng antas ng kulturang matematika ng mga mag-aaral, na lumilikha ng batayan para sa matagumpay na pagpasa sa Unified State Exam at patuloy na edukasyon sa mga unibersidad .
Layunin ng kurso:
Taasan ang antas ng pag-unawa at praktikal na pagsasanay sa paglutas ng mga hindi makatwirang equation;
Pag-aralan ang mga pamamaraan at pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi makatwirang equation;
Bumuo ng kakayahang pag-aralan, i-highlight ang pangunahing bagay, bumuo ng mga elemento ng malikhaing paghahanap batay sa mga diskarte sa generalization;
Palawakin ang kaalaman ng mga mag-aaral sa paksang ito, pagbutihin ang kanilang mga kasanayan sa paglutas ng iba't ibang mga problema upang matagumpay na makapasa sa Pinag-isang State Exam.
Mga layunin ng kurso:
Pagpapalawak ng kaalaman tungkol sa mga pamamaraan at pamamaraan para sa paglutas ng mga algebraic equation;
Generalization at systematization ng kaalaman kapag nag-aaral sa grade 10-11 at naghahanda para sa Unified State Exam;
Pag-unlad ng kakayahang mag-isa na makakuha at mag-aplay ng kaalaman;
Pagpapakilala sa mga mag-aaral na magtrabaho sa panitikan sa matematika;
Pag-unlad ng lohikal na pag-iisip ng mga mag-aaral, ang kanilang algorithmic na kultura at intuwisyon sa matematika;
Pagpapabuti ng kultura ng matematika ng mag-aaral.
Ang programa ng elektibong kurso ay nagsasangkot ng pag-aaral ng iba't ibang mga pamamaraan at diskarte sa paglutas ng mga hindi makatwirang equation at pagbuo ng mga praktikal na kasanayan sa mga isyung isinasaalang-alang. Ang kurso ay tumatagal ng 17 oras.
Ang programa ay kumplikado, lumalampas sa karaniwang kurso ng pag-aaral, nagtataguyod ng pagbuo ng abstract na pag-iisip, at nagpapalawak ng lugar ng katalusan ng mag-aaral. Kasabay nito, pinapanatili nito ang pagpapatuloy sa mga umiiral na programa, bilang kanilang lohikal na pagpapatuloy.
Pang-edukasyon at pampakay na plano
№p/p
Paksa ng mga klase
Bilang ng oras
Paglutas ng mga equation na isinasaalang-alang ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga
Paglutas ng mga hindi makatwirang equation sa pamamagitan ng pagtaas sa natural na kapangyarihan
Paglutas ng mga equation sa pamamagitan ng pagpapakilala ng mga auxiliary variable (paraan ng pagpapalit)
Paglutas ng isang equation na may isang radikal ng ikatlong antas.
Magkaparehong pagbabago kapag nilulutas ang mga hindi makatwirang equation
Mga hindi kinaugalian na gawain. Mga problema ng pangkat "C" ng Pinag-isang Pagsusulit ng Estado
Mga anyo ng kontrol: mga pagsusulit sa tahanan, independiyenteng gawain, mga sanaysay at mga research paper.
Bilang resulta ng pag-aaral ng elektibong kursong ito, dapat na kayang lutasin ng mga mag-aaral ang iba't ibang hindi makatwirang equation gamit ang standard at non-standard na mga pamamaraan at teknik;
master ang algorithm para sa paglutas ng karaniwang hindi makatwiran equation;
magagawang gamitin ang mga katangian ng mga equation upang malutas ang hindi karaniwang mga problema;
makapagsagawa ng mga pagbabago sa pagkakakilanlan kapag nilulutas ang mga equation;
magkaroon ng malinaw na pag-unawa sa mga paksa ng isang solong pagsusulit ng estado, tungkol sa mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga ito;
magkaroon ng karanasan sa pagpili ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi karaniwang problema.
PANGUNAHING BAHAGI.
Ang mga equation kung saan ang hindi kilalang dami ay nasa ilalim ng radical sign ay tinatawag hindi makatwiran.
Ang pinakasimpleng irrational equation ay kinabibilangan ng mga equation ng form:
Ang pangunahing ideya ng solusyon ng isang irrational equation ay binubuo sa pagpapababa nito sa isang rational algebraic equation, na alinman ay katumbas ng orihinal na irrational equation o ang kinahinatnan nito. Kapag nilulutas ang mga hindi makatwirang equation, palagi nating pinag-uusapan ang paghahanap ng mga tunay na ugat.
Tingnan natin ang ilang mga paraan upang malutas ang mga hindi makatwirang equation.
1. Paglutas ng mga hindi makatwirang equation na isinasaalang-alang ang saklaw ng mga pinahihintulutang halaga (APV).
Ang rehiyon ng mga pinahihintulutang halaga ng isang hindi makatwiran na equation ay binubuo ng mga halaga ng mga hindi alam kung saan ang lahat ng mga expression sa ilalim ng tanda ng isang radikal ng kahit na antas ay hindi negatibo.
Minsan ang kaalaman sa ODZ ay nagpapahintulot sa iyo na patunayan na ang equation ay walang mga solusyon, at kung minsan ay nagbibigay-daan sa iyo na makahanap ng mga solusyon sa equation sa pamamagitan ng direktang pagpapalit ng mga numero mula sa ODZ.
Halimbawa1 . Lutasin ang equation.
Solusyon . Nang matagpuan ang ODZ ng equation na ito, napag-isipan natin na ang ODZ ng orihinal na equation ay isang solong-element set.. Pagpapalitx=2sa equation na ito, dumating tayo sa konklusyon nax=2ay ang ugat ng orihinal na equation.
Sagot : 2 .
Halimbawa 2.
Ang equation ay walang mga solusyon, dahil sa bawat katanggap-tanggap na halaga variable ay ang kabuuan ng dalawang hindi mga negatibong numero hindi maaaring maging negatibo.
Halimbawa 3. 
+ 3 = 
.
ODZ:
Ang ODZ equation ay isang walang laman na set.
Sagot: ang equation ay walang mga ugat.
Halimbawa 4. 3
−4
−
=−(2+
).
ODZ:
ODZ: 
. Sa pamamagitan ng pagsuri ay kumbinsido kami na ang x=1 ay ang ugat ng equation.
Sagot: 1.
Patunayan na ang equation ay wala
mga ugat
1. 
= 0.
2. 
=1.
3. 5
.
4.
+ 
=2.
5.=
.
Lutasin ang equation.
1. .
2. = 0.
3. 
= 92.
4. = 0.
5. 
+
+(x+3)(2005−x)=0.
2. B pagtataas ng magkabilang panig ng equation sa natural na kapangyarihan , iyon ay, ang paglipat mula sa equation
(1)
sa equation
. (2)
Ang mga sumusunod na pahayag ay totoo:
1) para sa anumang equation (2) ay resulta ng equation (1);
2) kung ( n – kakaibang numero), pagkatapos ay ang mga equation (1) at (2 ) ay katumbas;
3) kung ( n ay isang even na numero), kung gayon ang equation (2) ay katumbas ng equation
, (3)
at ang equation (3) ay katumbas ng set ng mga equation
. (4)
Sa partikular, ang equation
(5)
ay katumbas ng set ng mga equation (4).
Halimbawa 1. Lutasin ang equation
.
Ang equation ay katumbas ng system
kung saan ito ay sumusunod na x=1, at ang ugat ay hindi nasiyahan ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay. Kasabay nito, ang isang karampatang solusyon ay hindi nangangailangan ng pag-verify.
Sagot:x=1.
Halimbawa 2. Lutasin ang equation.
Paglutas ng unang equation ng sistemang ito, na katumbas ng equation 
, nakukuha natin ang mga ugat at . Gayunpaman, sa mga halagang ito x ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi humahawak, at samakatuwid ang equation na ito ay walang mga ugat.
Sagot: walang ugat.
Halimbawa 3. Lutasin ang equation
Isolating ang unang radical, makuha namin ang equation
katumbas ng orihinal.
Sa pamamagitan ng pag-squaring sa magkabilang panig ng equation na ito, dahil pareho silang positibo, nakukuha natin ang equation
,
na bunga ng orihinal na equation. Sa pamamagitan ng pag-squaring sa magkabilang panig ng equation na ito sa ilalim ng kondisyon na , nakarating tayo sa equation
.
Ang equation na ito ay may mga ugat , . Ang unang ugat ay nakakatugon sa paunang kondisyon, ngunit ang pangalawa ay hindi.
Sagot: x=2.
Kung ang equation ay naglalaman ng dalawa o higit pang mga radical, pagkatapos ay ihiwalay muna ang mga ito at pagkatapos ay squared.
Halimbawa 1.
Ang paghihiwalay ng unang radical, nakakakuha tayo ng equation na katumbas ng ibinigay. I-square natin ang magkabilang panig ng equation:
Ang pagkakaroon ng mga kinakailangang pagbabagong-anyo, parisukat namin ang nagresultang equation 
Pagkatapos suriin, napansin namin iyon
ay wala sa saklaw ng mga katanggap-tanggap na halaga.
Sagot: 8.
Sagot: 2
Sagot: 3; 1.4.
3. Maraming hindi makatwirang equation ang nalulutas sa pamamagitan ng pagpapakilala ng mga auxiliary variable.
Ang isang maginhawang paraan ng paglutas ng mga hindi makatwirang equation ay minsan ang paraan ng pagpapakilala ng isang bagong variable, o "paraan ng kapalit" Karaniwang ginagamit ang pamamaraan kapag nasa Eq. ilang expression na lumilitaw nang paulit-ulit, depende sa hindi kilalang dami. Pagkatapos ay makatuwirang tukuyin ang ekspresyong ito gamit ang ilang bagong titik at subukang lutasin muna ang equation na may paggalang sa ipinakilalang hindi alam, at pagkatapos ay hanapin ang orihinal na hindi alam.
Ang matagumpay na pagpili ng isang bagong variable ay ginagawang mas transparent ang istraktura ng equation. Ang bagong variable ay kung minsan ay halata, kung minsan ay medyo nakatalukbong, ngunit "nadama", at kung minsan ay "nagpapakita" lamang sa proseso ng pagbabago.
Halimbawa 1. 
Hayaan 
t>0, pagkatapos
t = 
,
t 2 +5t-14=0,
t 1 =-7, t 2 =2. Ang t=-7 ay hindi nakakatugon sa kundisyon t>0, kung gayon
,
x 2 -2x-5=0,
x 1 =1- 
, x 2 =1+ .
Sagot: 1- ; 1+.
Halimbawa 2. Lutasin ang isang hindi makatwirang equation 
Kapalit:
Baliktad na kapalit: /
Sagot:
Halimbawa 3. Lutasin ang equation 
.
Gumawa tayo ng mga kapalit: , . Ang orihinal na equation ay muling isusulat sa anyo , kung saan makikita natin iyon A = 4b At . Susunod, itaas ang magkabilang panig ng equation 
squared, nakukuha natin ang: Mula rito X= 15. Ang natitira na lang ay suriin:
- tama!
Sagot: 15.
Halimbawa 4. Lutasin ang equation
Sa paglalagay ng , nakakakuha tayo ng isang makabuluhang mas simple na hindi makatwiran na equation. I-square natin ang magkabilang panig ng equation: .
; 
;
; 
; , .
Ang pagsuri sa mga nahanap na halaga at pagpapalit sa kanila sa equation ay nagpapakita na iyon ang ugat ng equation, at isang extraneous na ugat.
Pagbabalik sa orihinal na variable x, nakukuha namin ang equation, iyon ay quadratic equation, paglutas kung saan makikita natin ang dalawang ugat: ,. Ang parehong mga ugat ay nakakatugon sa orihinal na equation.
Sagot: , .
Ang pagpapalit ay lalong kapaki-pakinabang kung ang isang bagong kalidad ay nakakamit bilang isang resulta, halimbawa, ang isang hindi makatwiran na equation ay nagiging isang makatuwiran.
Halimbawa 6. Lutasin ang equation.
Isulat muli natin ang equation tulad nito: .
Ito ay makikita na kung magpakilala tayo ng isang bagong variable 
, pagkatapos ay ang equation ay kukuha ng anyo 
, nasaan ang extraneous root at .
Mula sa equation na nakukuha natin , .
Sagot: , .
Halimbawa 7. Lutasin ang equation 
.
Ipakilala natin ang isang bagong variable, .
Bilang resulta, ang orihinal na irrational equation ay nasa anyo ng isang quadratic
,
mula sa kung saan, isinasaalang-alang ang limitasyon, nakukuha namin . Paglutas ng equation, nakuha namin ang ugat. Sagot: 2,5.
Mga gawain para sa malayang solusyon.
1. 
+
=
.
2. 
+
=.
3.
.
5. 
.
4.Paraan ng pagpapakilala ng dalawang auxiliary variable.
Mga equation ng form 
(Dito a
,
b
,
c
,
d
–
ilang mga numero m
,
n
–
natural na mga numero) at ilang iba pang mga equation ay kadalasang malulutas sa pamamagitan ng pagpapakilala ng dalawang auxiliary na hindi alam: at , saan at kasunod na paglipat sa katumbas na sistema ng mga rational equation.
Halimbawa 1. Lutasin ang equation.
Ang pagtaas ng magkabilang panig ng equation na ito sa ikaapat na kapangyarihan ay hindi nangangako ng anumang mabuti. Kung ilalagay natin ang , ang orihinal na equation ay muling isusulat tulad ng sumusunod: . Dahil nagpakilala kami ng dalawang bagong hindi alam, kailangan naming maghanap ng isa pang equation na nauugnay y At z. Upang gawin ito, itinataas namin ang mga pagkakapantay-pantay sa ikaapat na kapangyarihan at tandaan na . Kaya, kailangan nating lutasin ang sistema ng mga equation
Sa pamamagitan ng pag-square, nakukuha natin ang:
Pagkatapos ng pagpapalit mayroon kaming: o . Pagkatapos ang system ay may dalawang solusyon: , ; , , at walang solusyon ang system.
Ito ay nananatiling lutasin ang sistema ng dalawang equation na may isang hindi alam
at ang sistema Ang una sa kanila ay nagbibigay, ang pangalawa ay nagbibigay.
Sagot: , .
Halimbawa 2.
Hayaan 
Sagot: 
5.
Mga equation na may isang radikal ng ikatlong antas.
Kapag nilulutas ang mga equation na naglalaman ng mga radical ng 3rd degree, maaaring maging kapaki-pakinabang ang paggamit ng karagdagan sa pamamagitan ng mga pagkakakilanlan:
Halimbawa 1.
.
Itaas natin ang magkabilang panig ng equation na ito sa ika-3 kapangyarihan at gamitin ang pagkakakilanlan sa itaas:
Tandaan na ang expression sa mga bracket ay katumbas ng 1, na sumusunod mula sa orihinal na equation. Isinasaalang-alang ito at nagdadala ng mga katulad na termino, nakuha namin ang:
Buksan natin ang mga bracket, magdagdag ng mga katulad na termino at lutasin ang quadratic equation. Ang mga ugat nitoAt. Kung ipagpalagay natin (sa kahulugan) na ang ugat kakaibang degree maaari ding kunin mula sa mga negatibong numero, kung gayon ang parehong mga resultang numero ay mga solusyon sa orihinal na equation.
Sagot:.
6. Pag-multiply sa magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng conjugate expression ng isa sa kanila.
Minsan ang isang hindi makatwirang equation ay maaaring malutas nang mabilis kung ang magkabilang panig ay pinarami ng isang mahusay na napiling function. Siyempre, kapag ang magkabilang panig ng equation ay pinarami ng isang tiyak na function, maaaring lumitaw ang mga extraneous na solusyon; maaari silang maging mga zero ng function na ito mismo. Samakatuwid, ang iminungkahing pamamaraan ay nangangailangan ng mandatoryong pagsasaliksik ng mga resultang halaga.
Halimbawa 1. Lutasin ang equation
Solusyon: Pumili tayo ng isang function
I-multiply natin ang magkabilang panig ng equation sa napiling function:
Dalhin natin ang mga katulad na termino at kumuha ng katumbas na equation
Idagdag natin ang orihinal na equation at ang huli, makuha natin
Sagot: .
7. Magkaparehong pagbabago kapag nilulutas ang mga hindi makatwirang equation
Kapag nilulutas ang mga hindi makatwirang equation, kadalasang kinakailangan na maglapat ng magkatulad na pagbabagong nauugnay sa paggamit ng mga kilalang formula. Sa kasamaang palad, ang mga pagkilos na ito ay kung minsan ay hindi ligtas tulad ng pagtaas sa isang pantay na kapangyarihan—ang mga solusyon ay maaaring makuha o mawala.
Tingnan natin ang ilang sitwasyon kung saan nangyayari ang mga problemang ito, at alamin kung paano kilalanin at pigilan ang mga ito.
ako. Halimbawa 1. Lutasin ang equation.
Solusyon. Ang formula na nalalapat dito ay 
.
Kailangan mo lang isipin ang kaligtasan ng paggamit nito. Madaling makita na ang kaliwa at kanang bahagi nito ay may magkaibang mga domain ng kahulugan at ang pagkakapantay-pantay na ito ay totoo lamang sa ilalim ng kundisyon. Samakatuwid, ang orihinal na equation ay katumbas ng sistema
Ang paglutas ng equation ng sistemang ito, makuha natin ang mga ugat at . Ang pangalawang ugat ay hindi nakakatugon sa hanay ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng sistema at, samakatuwid, ay isang extraneous na ugat ng orihinal na equation.
Sagot: -1 .
II.Ang susunod na mapanganib na pagbabago kapag nilulutas ang mga hindi makatwirang equation ay tinutukoy ng formula.
Kung gagamitin mo ang formula na ito mula kaliwa pakanan, lumalawak ang ODZ at makakakuha ka ng mga solusyon sa third-party. Sa katunayan, sa kaliwang bahagi ang parehong mga pag-andar ay dapat na hindi negatibo; at sa kanan, ang kanilang produkto ay dapat na hindi negatibo.
Tingnan natin ang isang halimbawa kung saan ang isang problema ay ipinatupad gamit ang formula.
Halimbawa 2. Lutasin ang equation.
Solusyon. Subukan nating lutasin ang equation na ito sa pamamagitan ng factoring
Tandaan na sa pagkilos na ito ang solusyon ay nawala, dahil umaangkop ito sa orihinal na equation at hindi na umaangkop sa nagresultang equation: hindi ito makatuwiran para sa . Samakatuwid, mas mahusay na lutasin ang equation na ito sa pamamagitan ng ordinaryong pag-squaring
Ang paglutas ng equation ng sistemang ito, makuha natin ang mga ugat at . Ang parehong mga ugat ay nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay ng sistema.
Sagot: , .
III.Meron pa mapanganib na aksyon– pagbabawas ng isang karaniwang kadahilanan.
Halimbawa 3. Lutasin ang equation 
.
Maling pangangatwiran: Bawasan ang magkabilang panig ng equation ng , nakukuha natin 
.
Wala nang mas mapanganib at mali kaysa sa pagkilos na ito. Una, nawala ang isang angkop na solusyon sa orihinal na equation; pangalawa, dalawang third-party na solusyon ang binili. Lumalabas na ang bagong equation ay walang pagkakatulad sa orihinal! Ibigay natin ang tamang solusyon.
Solusyon. Ilipat natin ang lahat ng mga termino sa kaliwang bahagi ng equation at isama ito sa mga salik
.
Ang equation na ito ay katumbas ng system
na may kakaibang solusyon.
Sagot: 3 .
KONGKLUSYON.
Bilang bahagi ng elektibong kurso, ang mga di-karaniwang pamamaraan para sa paglutas ng mga kumplikadong problema ay ipinapakita na matagumpay na nabuo lohikal na pag-iisip, ang kakayahang mahanap sa maraming solusyon ang isa na komportable at makatuwiran para sa mag-aaral. Ang kursong ito ay nangangailangan ng maraming independiyenteng trabaho mula sa mga mag-aaral, tumutulong sa paghahanda ng mga mag-aaral para sa patuloy na edukasyon, at pagpapabuti ng antas ng kulturang matematikal.
Tinalakay ng gawain ang mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi makatwirang equation, ilang mga diskarte sa paglutas ng mga equation mas mataas na antas, ang paggamit nito ay inaasahan kapag nilulutas ang mga gawain ng Unified State Exam, gayundin kapag pumapasok sa mga unibersidad at nagpapatuloy edukasyon sa matematika. Inihayag din ang nilalaman ng mga pangunahing konsepto at pahayag na may kaugnayan sa teorya ng paglutas ng mga hindi makatwirang equation. Nang matukoy ang pinakakaraniwang paraan para sa paglutas ng mga equation, natukoy namin ang paggamit nito sa karaniwan at hindi pamantayang mga sitwasyon. Bilang karagdagan, isinasaalang-alang namin karaniwang mga pagkakamali kapag nagsasagawa ng magkatulad na pagbabago at mga paraan upang malampasan ang mga ito.
Kapag nakumpleto ang kurso, ang mga mag-aaral ay magkakaroon ng pagkakataon na makabisado ang iba't ibang mga pamamaraan at pamamaraan para sa paglutas ng mga equation, habang natututong mag-systematize at mag-generalize. teoretikal na impormasyon, malayang maghanap ng mga solusyon sa ilang partikular na problema at, kaugnay nito, bumuo ng isang serye ng mga gawain at pagsasanay sa mga paksang ito. Ang pagpili ng kumplikadong materyal ay makakatulong sa mga mag-aaral na ipahayag ang kanilang sarili sa mga aktibidad sa pananaliksik.
Sa positibong panig ang kurso ay isang pagkakataon karagdagang aplikasyon pinag-aralan ng mga mag-aaral ang materyal na may pagpasa sa Unified State Exam, pagpasok sa mga unibersidad.
Negatibong panig ay hindi lahat ng mag-aaral ay nagagawang makabisado ang lahat ng mga teknik ng kursong ito, kahit na sila ay may pagnanais na gawin ito, dahil sa kahirapan ng karamihan sa mga problemang niresolba.
PANITIKAN:
Sharygin I.F. "Mathematics para sa mga pumapasok sa unibersidad." - 3rd ed., - M.: Bustard, 2000.
Mga equation at hindi pagkakapantay-pantay. Gabay sa Sanggunian./ Vavilov V.V., Melnikov I.I., Olehnik S.N., Pasichenko P.I. –M.: Pagsusulit, 1998.
Cherkasov O.Yu., Yakushev A.G. "Matematika: masinsinang kurso paghahanda para sa pagsusulit." – ika-8 ed., rev. at karagdagang – M.:Iris, 2003. – (Tutor sa tahanan)
Balayan E.N. Mga kumplikadong pagsasanay at mga opsyon para sa mga gawain sa pagsasanay para sa Unified State Exam sa matematika. Rostov-on-Don: Phoenix Publishing House, 2004.
Skanavi M.I. "Koleksyon ng mga problema sa matematika para sa mga pumapasok sa mga unibersidad." - M., "Mataas na Paaralan", 1998.
Igusman O.S. "Mathematics sa oral exam." - M., Iris, 1999.
Mga materyales sa pagsusulit para sa paghahanda para sa Pinag-isang Pagsusulit ng Estado – 2008 – 2012.
V.V. Kochagin, M.N. Kochagina "Pinag-isang Pagsusuri ng Estado - 2010. Matematika. Tutor" Moscow "Enlightenment" 2010
V.A.Gusev, A.G.Mordkovich "Matematika. Mga materyales sa sanggunian" Moscow "Enlightenment" 1988
Buod ng aralin
"Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi makatwirang equation"
Profile sa pisika at matematika sa ika-11 baitang.
Zelenodolsk munisipal na distrito ng Republika ng Tatarstan"
Valieva S.Z.
Paksa ng aralin: Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi makatwirang equation
Layunin ng aralin: 1. Galugarin iba't-ibang paraan paglutas ng mga hindi makatwirang equation.
Paunlarin ang kakayahang mag-generalize at wastong pumili ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi makatwirang equation.
Paunlarin ang kalayaan, pagbutihin ang speech literacy
Uri ng aralin: seminar.
Plano ng aralin:
Oras ng pag-aayos
Pag-aaral ng bagong materyal
Pagsasama-sama
Takdang aralin
Buod ng aralin
Sa panahon ng mga klase
ako. Oras ng pag-aayos: mensahe ng paksa ng aralin, ang layunin ng aralin.
Sa nakaraang aralin, tiningnan natin ang paglutas ng mga hindi makatwirang equation na naglalaman ng mga square root sa pamamagitan ng pag-square sa kanila. Sa kasong ito, nakakakuha tayo ng corollary equation, na kung minsan ay humahantong sa paglitaw ng mga extraneous na ugat. At pagkatapos ay isang ipinag-uutos na bahagi ng paglutas ng equation ay ang pagsuri sa mga ugat. Tiningnan din namin ang paglutas ng mga equation gamit ang kahulugan parisukat na ugat. Sa kasong ito, maaaring hindi maisagawa ang tseke. Gayunpaman, kapag nilulutas ang mga equation, hindi mo dapat palaging simulan kaagad ang "bulag" na paglalapat ng mga algorithm para sa paglutas ng equation. Sa mga gawain ng Pinag-isang State Exam mayroong maraming mga equation, kapag ang paglutas kung saan kinakailangan upang pumili ng isang paraan ng solusyon na nagbibigay-daan sa iyo upang malutas ang mga equation nang mas madali at mas mabilis. Samakatuwid, kinakailangang malaman ang iba pang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi makatwirang equation, na makikilala natin ngayon. Noong nakaraan, ang klase ay nahahati sa 8 malikhaing grupo, at sila ay binigyan ng mga partikular na halimbawa upang ipakita ang kakanyahan ng isang partikular na pamamaraan. Binibigyan namin sila ng sahig.
II. Pag-aaral ng bagong materyal.
Mula sa bawat pangkat, 1 mag-aaral ang nagpapaliwanag sa mga bata kung paano lutasin ang mga hindi makatwirang equation. Nakikinig ang buong klase at nagtatala ng kanilang kwento.
1 paraan. Pagpapakilala ng bagong variable.
Lutasin ang equation: (2x + 3) 2 - 3
4x 2 + 12x + 9 - 3
4x 2 - 8x - 51 - 3 
, t ≥0
x 2 – 2x – 6 = t 2;
4t 2 – 3t – 27 = 0
x 2 – 2x – 15 =0
x 2 – 2x – 6 =9;
Sagot: -3; 5.
Paraan 2. DL pananaliksik.
Lutasin ang equation
ODZ: 
x = 2. Sa pamamagitan ng pagsuri ay kumbinsido tayo na ang x = 2 ay ang ugat ng equation.
3 paraan. Pagpaparami ng magkabilang panig ng equation sa conjugate factor.
+ 
(multiply ang magkabilang panig sa - 
)
x + 3 – x – 8 = 5(-)
2=4, kaya x=1. Sa pamamagitan ng pagsuri ay kumbinsido kami na ang x = 1 ay ang ugat ng equation na ito.
4 na paraan. Pagbawas ng isang equation sa isang sistema sa pamamagitan ng pagpapakilala ng isang variable.
Lutasin ang equation
Hayaan = u, 
=v.
Nakukuha namin ang sistema:
Lutasin natin sa paraan ng pagpapalit. Nakukuha namin ang u = 2, v = 2. Ang ibig sabihin nito
makuha natin ang x = 1.
Sagot: x = 1.
5 paraan. Pagpili ng isang kumpletong parisukat.
Lutasin ang equation
Palawakin natin ang mga module. kasi -1≤сos0.5x≤1, pagkatapos ay -4≤сos0.5x-3≤-2, na nangangahulugang . Gayundin,
Pagkatapos makuha namin ang equation
x = 4πn, nZ.
Sagot: 4πn, nZ.
6 na paraan. Paraan ng pagsusuri
Lutasin ang equation
ODZ: x 3 - 2x 2 - 4x + 8 ≥ 0, ayon sa kahulugan, ang kanang bahagi ay -x 3 + 2x 2 + 4x - 8 ≥ 0
nakukuha namin 
mga. x 3 - 2x 2 - 4x + 8 = 0. Paglutas ng equation sa pamamagitan ng factoring, nakukuha natin ang x = 2, x = -2
Paraan 7: Paggamit ng mga katangian ng monotonicity ng mga function.
Lutasin ang equation. Ang mga pag-andar ay mahigpit na tumataas. Ang kabuuan ng pagtaas ng mga function ay tumataas at ang equation na ito ay may hindi hihigit sa isang ugat. Sa pamamagitan ng pagpili, makikita natin ang x = 1.
8 paraan. Gamit ang mga vector.
Lutasin ang equation. ODZ: -1≤х≤3.
Hayaan ang vector 
. Scalar na produkto ng mga vectors - oo kaliwang bahagi. Hanapin natin ang produkto ng kanilang mga haba. Ito ang kanang bahagi. nakuha 
, ibig sabihin. Ang mga vectors a at b ay collinear. Mula rito 
. I-square natin ang magkabilang panig. Paglutas ng equation, nakukuha natin ang x = 1 at x = 
.
Pagsasama-sama.(bawat mag-aaral ay binibigyan ng worksheets)
Maghanap ng ideya para sa paglutas ng mga equation (1-10)
1. 
(ODZ - )
2. 
x = 2
3. x 2 – 3x + 
(kapalit)
4. (pagpili ng kumpletong parisukat)
5. 
(Pagbabawas ng equation sa isang system sa pamamagitan ng pagpapakilala ng variable.)
6. 
(pagpaparami ng conjugate expression)
7. 
kasi 
. Kung gayon ang equation na ito ay walang mga ugat.
8. Dahil Ang bawat termino ay hindi negatibo, itinutumbas namin ang mga ito sa zero at lutasin ang system.
9. 3
10. Hanapin ang ugat ng equation (o ang produkto ng mga ugat, kung marami) ng equation.
Nakasulat pansariling gawain sinundan ng pagpapatunay
lutasin ang mga equation na may bilang na 11,13,17,19
Lutasin ang mga equation:
12. (x + 6) 2 -
14. 
Paraan ng pagsusuri
Gamit ang mga katangian ng monotonicity ng mga function.
Gamit ang mga vector.
Alin sa mga pamamaraang ito ang ginagamit upang malutas ang iba pang uri ng mga equation?
Alin sa mga pamamaraang ito ang pinakanagustuhan mo at bakit?
Takdang-Aralin: Lutasin ang natitirang mga equation.
Algebra at simula pagsusuri sa matematika: aklat-aralin para sa ika-11 baitang Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / S.M.Nikolsky, M.K.Potapov, N.N.Reshetnikov, A.V.Shevkin. M: Prsveshchenie, 2009
Didactic na materyales sa algebra at ang simula ng pagsusuri para sa grade 11 / B.M. Ivlev, S.M. Sahakyan, S.I. Schwartzburd. – M.: Edukasyon, 2003.
Mordkovich A. G. Algebra at ang simula ng pagsusuri. 10 – 11 grado: Problema ng libro para sa pangkalahatang edukasyon. mga institusyon. – M.: Mnemosyne, 2000.
Ershova A. P., Goloborodko V. V. Independent at mga test paper sa algebra at pangunahing pagsusuri para sa mga baitang 10–11. – M.: Ilexa, 2004
KIM Unified State Examination 2002 - 2010
7. Mga equation at hindi pagkakapantay-pantay. Mga di-karaniwang pamamaraan mga solusyon. Pang-edukasyon - Toolkit. 10 – 11 baitang. S.N. Oleinik, M.K. Potapov, P.I. Pasichenko. Moscow. "Bustard". 2001
Ang mga equation kung saan ang isang variable ay nakapaloob sa ilalim ng root sign ay tinatawag na irrational.
Ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi makatwirang equation ay kadalasang nakabatay sa posibilidad na palitan (gamit ang ilang pagbabago) ng hindi makatwirang equation rational equation, na alinman ay katumbas ng orihinal na hindi makatwirang equation o ang kinahinatnan nito. Kadalasan, ang magkabilang panig ng equation ay nakataas sa parehong kapangyarihan. Gumagawa ito ng isang equation na bunga ng orihinal.
Kapag nilulutas ang mga hindi makatwirang equation, ang mga sumusunod ay dapat isaalang-alang:
1) kung ang radical exponent ay isang even number, kung gayon ang radical expression ay dapat na hindi negatibo; sa kasong ito, ang halaga ng ugat ay hindi rin negatibo (kahulugan ng isang ugat na may pantay na exponent);
2) kung ang radical exponent ay isang kakaibang numero, kung gayon ang radical expression ay maaaring maging anumang tunay na numero; sa kasong ito, ang tanda ng ugat ay kasabay ng tanda ng radikal na pagpapahayag.
Halimbawa 1. Lutasin ang equation
I-square natin ang magkabilang panig ng equation.
x 2 - 3 = 1;
Ilipat natin ang -3 mula sa kaliwang bahagi ng equation sa kanan at magsagawa ng pagbabawas ng mga katulad na termino.
x 2 = 4;
Ang resultang hindi kumpletong quadratic equation ay may dalawang ugat -2 at 2.
Suriin natin ang nakuha na mga ugat sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga halaga ng variable x sa orihinal na equation.
Pagsusulit.
Kapag x 1 = -2 - totoo:
Kapag x 2 = -2- totoo.
Kasunod nito na ang orihinal na hindi makatwirang equation ay may dalawang ugat -2 at 2.
Halimbawa 2. Lutasin ang equation 
.
Ang equation na ito ay maaaring malutas gamit ang parehong paraan tulad ng sa unang halimbawa, ngunit gagawin namin ito nang iba.
Hanapin natin ang ODZ ng equation na ito. Mula sa kahulugan ng square root ito ay sumusunod na sa equation na ito dalawang kondisyon ay dapat sabay na masiyahan:
ODZ ng antas na ito: x.
Sagot: walang ugat.
Halimbawa 3. Lutasin ang equation 
=+ 2.
Ang paghahanap ng ODZ sa equation na ito ay medyo mahirap na gawain. I-square natin ang magkabilang panig ng equation:
x 3 + 4x - 1 - 8= x 3 - 1 + 4+ 4x;
=0;
x 1 =1; x 2 =0.
Pagkatapos suriin, itinatag namin na ang x 2 =0 ay isang dagdag na ugat.
Sagot: x 1 =1.
Halimbawa 4. Lutasin ang equation x =.
Sa halimbawang ito, ang ODZ ay madaling mahanap. ODZ ng equation na ito: x[-1;).
I-square natin ang magkabilang panig ng equation na ito, at bilang resulta makuha natin ang equation x 2 = x + 1. Ang mga ugat ng equation na ito ay:
Mahirap i-verify ang mga ugat na natagpuan. Ngunit, sa kabila ng katotohanan na ang parehong mga ugat ay nabibilang sa ODZ, imposibleng igiit na ang parehong mga ugat ay mga ugat ng orihinal na equation. Magreresulta ito sa isang error. SA sa kasong ito Ang isang hindi makatwirang equation ay katumbas ng kumbinasyon ng dalawang hindi pagkakapantay-pantay at isang equation:
x+10 At x0 At x 2 = x + 1, kung saan sumusunod na ang negatibong ugat para sa hindi makatwirang equation ay extraneous at dapat itapon.
Halimbawa 5. Lutasin ang equation += 7.
I-square natin ang magkabilang panig ng equation at gawin ang pagbabawas ng magkatulad na termino, ilipat ang mga termino mula sa isang gilid ng equation patungo sa isa pa at i-multiply ang magkabilang panig sa 0.5. Bilang resulta, nakukuha namin ang equation
= 12, (*) na bunga ng orihinal. I-square natin muli ang magkabilang panig ng equation. Nakukuha namin ang equation (x + 5)(20 - x) = 144, na resulta ng orihinal. Ang resultang equation ay binabawasan sa anyong x 2 - 15x + 44 =0.
Ang equation na ito (isang kinahinatnan din ng orihinal) ay may mga ugat x 1 = 4, x 2 = 11. Ang parehong mga ugat, gaya ng ipinapakita ng pag-verify, ay nakakatugon sa orihinal na equation.
Sinabi ni Rep. x 1 = 4, x 2 = 11.
Magkomento. Kapag nag-squaring ng mga equation, ang mga mag-aaral ay madalas na nagpaparami ng mga radikal na expression sa mga equation tulad ng (*), ibig sabihin, sa halip na equation = 12, isinusulat nila ang equation 
= 12. Hindi ito humahantong sa mga pagkakamali, dahil ang mga equation ay mga kahihinatnan ng mga equation. Gayunpaman, dapat itong isipin na sa pangkalahatang kaso, ang gayong pagpaparami ng mga radikal na expression ay nagbibigay ng hindi pantay na mga equation.
Sa mga halimbawang tinalakay sa itaas, maaari munang ilipat ang isa sa mga radikal sa kanang bahagi mga equation Pagkatapos ay magkakaroon ng isang radikal na natitira sa kaliwang bahagi ng equation, at pagkatapos na i-square ang magkabilang panig ng equation, isang rational function ang makukuha sa kaliwang bahagi ng equation. Ang pamamaraan na ito (paghihiwalay ng radikal) ay kadalasang ginagamit kapag nilulutas ang mga hindi makatwirang equation.
Halimbawa 6. Lutasin ang equation-= 3.
Isolating ang unang radical, makuha namin ang equation
=+ 3, katumbas ng orihinal.
Sa pamamagitan ng pag-squaring sa magkabilang panig ng equation na ito, nakukuha natin ang equation
x 2 + 5x + 2 = x 2 - 3x + 3 + 6, katumbas ng equation
4x - 5 = 3(*). Ang equation na ito ay bunga ng orihinal na equation. Sa pamamagitan ng pag-squaring sa magkabilang panig ng equation, nakarating tayo sa equation
16x 2 - 40x + 25 = 9(x 2 - 3x + 3), o
7x 2 - 13x - 2 = 0.
Ang equation na ito ay bunga ng equation (*) (at samakatuwid ay ang orihinal na equation) at may mga ugat. Ang unang ugat x 1 = 2 ay nakakatugon sa orihinal na equation, ngunit ang pangalawang ugat x 2 = ay hindi.
Sagot: x = 2.
Tandaan na kung agad-agad, nang hindi ibinubukod ang isa sa mga radical, i-square ang magkabilang panig ng orihinal na equation, kakailanganin nating magsagawa ng medyo masalimuot na pagbabago.
Kapag nilulutas ang mga hindi makatwirang equation, bilang karagdagan sa paghihiwalay ng mga radical, ginagamit ang iba pang mga pamamaraan. Isaalang-alang natin ang isang halimbawa ng paggamit ng paraan ng pagpapalit ng hindi alam (paraan ng pagpapakilala ng isang auxiliary variable).
Ang pagpapanatili ng iyong privacy ay mahalaga sa amin. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Pakisuri ang aming mga kasanayan sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga tanong.
Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon
Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.
Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.
Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.
Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:
- Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, address Email atbp.
Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:
- Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagbibigay-daan sa amin na makipag-ugnayan sa iyo sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
- Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
- Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin tulad ng pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pag-aaral upang mapagbuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
- Kung lalahok ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na promosyon, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.
Pagbubunyag ng impormasyon sa mga ikatlong partido
Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.
Mga pagbubukod:
- Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, hudisyal na pamamaraan, legal na paglilitis, at/o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga ahensya ng gobyerno sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang nasabing pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang layunin ng pampublikong kalusugan. mahahalagang kaso.
- Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib, o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa naaangkop na third party na kahalili.
Proteksyon ng personal na impormasyon
Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin ang hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.
Igalang ang iyong privacy sa antas ng kumpanya
Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga pamantayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.