Belgorod State University
DEPARTMENT algebra, teorya ng numero at geometry
Tema ng trabaho: Exponential power equation at hindi pagkakapantay-pantay.
Graduate work mag-aaral ng Faculty of Physics and Mathematics
Siyentipikong tagapayo:
______________________________
Tagasuri: ______________________________
________________________
Belgorod. 2006
| Panimula | 3 | ||
| Paksa ako. | Pagsusuri ng panitikan sa paksa ng pananaliksik. | ||
| Paksa II. | Mga function at ang kanilang mga katangian na ginagamit sa paglutas ng mga exponential equation at hindi pagkakapantay-pantay. | ||
| I.1. | Pag-andar ng kapangyarihan at mga katangian nito. | ||
| I.2. | Exponential function at mga katangian nito. | ||
| Paksa III. | Paglutas ng mga exponential power equation, algorithm at mga halimbawa. | ||
| Paksa IV. | Paglutas ng mga exponential inequalities, plano ng solusyon at mga halimbawa. | ||
| Paksa V. | Karanasan sa pagsasagawa ng mga klase sa mga mag-aaral sa paksang: "Paglutas ng mga exponential equation at hindi pagkakapantay-pantay." | ||
| V. 1. | Materyal na pang-edukasyon. | ||
| V. 2. | Mga problema para sa malayang solusyon. | ||
| Konklusyon. | Mga konklusyon at alok. | ||
| Bibliograpiya. | |||
| Mga aplikasyon | |||
Panimula.
“...ang saya ng makita at maunawaan...”
A. Einstein.
Sa gawaing ito, sinubukan kong ihatid ang aking karanasan bilang isang guro sa matematika, upang maiparating kahit papaano ang aking saloobin sa pagtuturo nito - isang pagsisikap ng tao kung saan ang agham sa matematika, pedagogy, didactics, sikolohiya, at maging ang pilosopiya ay nakakagulat na magkakaugnay.
Nagkaroon ako ng pagkakataon na magtrabaho kasama ang mga bata at nagtapos, kasama ang mga bata na nakatayo sa mga poste pag-unlad ng intelektwal: mga nakarehistro sa isang psychiatrist at talagang interesado sa matematika
Nagkaroon ako ng pagkakataong lutasin ang maraming mga problema sa pamamaraan. Susubukan kong pag-usapan ang mga nalutas ko. Ngunit lalo pang nabigo, at maging sa mga tila nalutas na, may mga bagong tanong na bumangon.
Ngunit ang mas mahalaga kaysa sa mismong karanasan ay ang mga pagninilay at pagdududa ng guro: bakit eksaktong ganito, ang karanasang ito?
At ang tag-araw ay iba na ngayon, at ang pag-unlad ng edukasyon ay naging mas kawili-wili. "Sa ilalim ng Jupiters" ngayon ay hindi isang paghahanap para sa isang gawa-gawa na pinakamainam na sistema ng pagtuturo ng "lahat at lahat," ngunit ang bata mismo. Ngunit pagkatapos - ng pangangailangan - ang guro.
Sa kurso ng paaralan ng algebra at nagsimulang pagsusuri, mga grado 10 - 11, na may pagpasa sa Unified State Exam Sa panahon ng mataas na paaralan at sa mga pagsusulit sa pasukan sa mga unibersidad, ang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay ay nakatagpo na naglalaman ng hindi alam sa base at mga exponent - ito ay mga exponential equation at hindi pagkakapantay-pantay.
Nakatanggap sila ng kaunting atensyon sa paaralan; halos walang mga takdang-aralin sa paksang ito sa mga aklat-aralin. Gayunpaman, ang mastering ang pamamaraan ng paglutas ng mga ito, tila sa akin, ay lubhang kapaki-pakinabang: ito ay nagdaragdag ng kaisipan at Mga malikhaing kasanayan mga mag-aaral, ganap na bagong abot-tanaw ang nagbubukas sa harap natin. Sa paglutas ng mga problema, ang mga mag-aaral ay nakakakuha ng mga unang kasanayan gawaing pananaliksik, ang kanilang kultura sa matematika ay pinayaman, ang kanilang mga kakayahan upang lohikal na pag-iisip. Ang mga mag-aaral ay nagkakaroon ng mga katangian ng personalidad gaya ng determinasyon, pagtatakda ng layunin, at pagsasarili, na magiging kapaki-pakinabang sa kanila sa susunod na buhay. At mayroon ding pag-uulit, pagpapalawak at malalim na asimilasyon ng materyal na pang-edukasyon.
Sinimulan kong gawin ang paksang ito para sa aking thesis sa pamamagitan ng pagsulat ng aking coursework. Sa kurso kung saan ko malalim na pinag-aralan at sinuri ang matematikal na literatura sa paksang ito, natukoy ko ang pinaka-angkop na paraan para sa paglutas ng mga exponential equation at hindi pagkakapantay-pantay.
Ito ay nakasalalay sa katotohanan na bilang karagdagan sa pangkalahatang tinatanggap na diskarte kapag nilulutas ang mga exponential equation (ang base ay kinukuha na mas malaki kaysa sa 0) at kapag ang paglutas ng parehong mga hindi pagkakapantay-pantay (ang base ay kinuha na mas malaki kaysa sa 1 o mas malaki kaysa sa 0, ngunit mas mababa sa 1) , ang mga kaso ay isinasaalang-alang din kapag ang mga base ay negatibo, katumbas ng 0 at 1.
Ang isang pagsusuri sa mga nakasulat na papel sa pagsusulit ng mga mag-aaral ay nagpapakita na ang kakulangan ng saklaw ng tanong ng negatibong halaga ng argumento ng isang exponential function sa mga aklat-aralin sa paaralan ay nagdudulot sa kanila ng ilang mga paghihirap at humahantong sa mga pagkakamali. At mayroon din silang mga problema sa yugto ng pag-systematize ng mga resulta na nakuha, kung saan, dahil sa paglipat sa isang equation - isang kinahinatnan o isang hindi pagkakapantay-pantay - isang kahihinatnan, ang mga extraneous na ugat ay maaaring lumitaw. Upang maalis ang mga error, gumagamit kami ng pagsubok gamit ang orihinal na equation o hindi pagkakapantay-pantay at isang algorithm para sa paglutas ng mga exponential equation, o isang plano para sa paglutas ng mga exponential inequalities.
Upang matagumpay na makapasa ang mga mag-aaral sa mga panghuling pagsusulit at pasukan, naniniwala akong kailangang bigyan ng higit na pansin ang paglutas ng mga exponential equation at hindi pagkakapantay-pantay sa mga klase, o bukod pa sa mga elective at club.
Sa gayon paksa , aking thesis ay tinukoy bilang mga sumusunod: "Exponential power equation and inequalities."
Mga layunin ng gawaing ito ay:
1. Suriin ang literatura sa paksang ito.
2. Magbigay buong pagsusuri paglutas ng mga exponential power equation at inequalities.
3. Magbigay ng sapat na bilang ng mga halimbawa ng iba't ibang uri sa paksang ito.
4. Suriin sa klase, elective at club classes kung paano mapapansin ang mga iminungkahing pamamaraan para sa paglutas ng mga exponential equation at hindi pagkakapantay-pantay. Magbigay ng mga angkop na rekomendasyon para sa pag-aaral ng paksang ito.
Paksa Ang aming pananaliksik ay upang bumuo ng isang pamamaraan para sa paglutas ng mga exponential equation at hindi pagkakapantay-pantay.
Ang layunin at paksa ng pag-aaral ay nangangailangan ng paglutas ng mga sumusunod na problema:
1. Pag-aralan ang literatura sa paksang: "Exponential power equation and inequalities."
2. Kabisaduhin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga exponential equation at hindi pagkakapantay-pantay.
3. Pumili ng materyal sa pagsasanay at bumuo ng isang sistema ng mga pagsasanay iba't ibang antas sa paksang: "Paglutas ng mga exponential equation at hindi pagkakapantay-pantay."
Sa panahon ng thesis research, higit sa 20 mga gawa na nakatuon sa paggamit ng iba't ibang pamamaraan paglutas ng mga exponential power equation at inequalities. Mula dito nakukuha natin.
Thesis plan:
Panimula.
Kabanata I. Pagsusuri ng literatura sa paksa ng pananaliksik.
Kabanata II. Mga function at ang kanilang mga katangian na ginagamit sa paglutas ng mga exponential equation at hindi pagkakapantay-pantay.
II.1. Power function at mga katangian nito.
II.2. Exponential function at mga katangian nito.
Kabanata III. Paglutas ng mga exponential power equation, algorithm at mga halimbawa.
Kabanata IV. Paglutas ng mga exponential inequalities, plano ng solusyon at mga halimbawa.
Kabanata V. Karanasan sa pagsasagawa ng mga klase sa mga mag-aaral sa paksang ito.
1.Materyal sa pagsasanay.
2.Mga gawain para sa malayang solusyon.
Konklusyon. Mga konklusyon at alok.
Listahan ng ginamit na panitikan.
Sinusuri ng Kabanata I ang panitikan
Lecture: "Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga exponential equation."
1 . Exponential equation.
Ang mga equation na naglalaman ng mga hindi alam sa mga exponent ay tinatawag na exponential equation. Ang pinakasimple sa mga ito ay ang equation na ax = b, kung saan a > 0, a ≠ 1.
1) Sa b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.
2) Para sa b > 0, gamit ang monotonicity ng function at ang root theorem, ang equation ay may kakaibang ugat. Upang mahanap ito, ang b ay dapat na kinakatawan sa anyong b = aс, аx = bс ó x = c o x = logab.
Ang mga exponential equation sa pamamagitan ng algebraic transformations ay humahantong sa mga karaniwang equation, na nalulutas gamit ang mga sumusunod na pamamaraan:
1) paraan ng pagbabawas sa isang base;
2) paraan ng pagtatasa;
3) graphic na paraan;
4) paraan ng pagpapakilala ng mga bagong variable;
5) paraan ng factorization;
6) exponential - mga equation ng kapangyarihan;
7) demonstrative na may parameter.
2 . Paraan ng pagbabawas sa isang base.
Ang pamamaraan ay batay sa sumusunod na katangian ng mga degree: kung ang dalawang degree ay pantay at ang kanilang mga base ay pantay, kung gayon ang kanilang mga exponent ay pantay, ibig sabihin, dapat subukan ng isa na bawasan ang equation sa anyo
Mga halimbawa. Lutasin ang equation:
1 . 3x = 81;
Isipin natin kanang bahagi equation sa anyong 81 = 34 at isulat ang equation na katumbas ng orihinal na 3 x = 34; x = 4. Sagot: 4.
2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">at lumipat tayo sa equation para sa mga exponents na 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0.5 Sagot: 0.5.
3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">
Tandaan na ang mga numerong 0.2, 0.04, √5 at 25 ay kumakatawan sa mga kapangyarihan ng 5. Samantalahin natin ito at baguhin ang orihinal na equation gaya ng sumusunod:
,
kung saan ang 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, kung saan matatagpuan natin ang solusyon x = -1. Sagot: -1.
5. 3x = 5. Sa kahulugan ng logarithm, x = log35. Sagot: log35.
6. 62x+4 = 33x. 2x+8.
Isulat muli natin ang equation sa anyong 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, ibig sabihin..png" width="181" height="49 src="> Samakatuwid x – 4 =0, x = 4. Sagot: 4.
7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Gamit ang mga katangian ng mga kapangyarihan, isinusulat namin ang equation sa anyo na 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9 pagkatapos ay 3∙3x = 9, 3x+1 = 32, ibig sabihin, x+1 = 2, x =1. Sagot: 1.
Problema bangko No. 1.
Lutasin ang equation:
Pagsusulit Blg. 1.
1) 0 2) 4 3) -2 4) -4 |
|
A2 32x-8 = √3. | 1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4 |
A3 | 1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) walang ugat |
1) 7;1 2) walang ugat 3) -7;1 4) -1;-7 |
|
A5 | 1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0 |
A6 | 1) -1 2) 0 3) 2 4) 1 |
Pagsusulit Blg. 2
A1 | 1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1 |
A2 | 1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11 |
A3 | 1) 2;-1 2) walang ugat 3) 0 4) -2;1 |
A4 | 1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2 |
A5 | 1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3 |
3 Paraan ng pagsusuri.
Root theorem: kung ang function na f(x) ay tumaas (bumababa) sa interval I, ang numero a ay anumang halaga na kinuha ng f sa interval na ito, kung gayon ang equation na f(x) = a ay may iisang ugat sa interval I.
Kapag nilulutas ang mga equation gamit ang pamamaraan ng pagtatantya, ang teorama na ito at ang mga katangian ng monotonicity ng function ay ginagamit.
Mga halimbawa. Lutasin ang mga equation: 1. 4x = 5 – x.
Solusyon. Isulat muli natin ang equation bilang 4x +x = 5.
1. kung x = 1, kung gayon ang 41+1 = 5, 5 = 5 ay totoo, na nangangahulugang 1 ang ugat ng equation.
Function f(x) = 4x – tumataas sa R, at g(x) = x – tumataas sa R => h(x)= f(x)+g(x) ay tumataas sa R, bilang kabuuan ng pagtaas ng function, kung gayon ang x = 1 ay ang tanging ugat ng equation na 4x = 5 – x. Sagot: 1.
2.
Solusyon. Isulat muli natin ang equation sa anyo 
.
1. kung x = -1, kung gayon 
, 3 = 3 ay totoo, na nangangahulugang x = -1 ang ugat ng equation.
2. patunayan na siya lang.
3. Function f(x) = - bumababa sa R, at g(x) = - x – bumababa sa R=> h(x) = f(x)+g(x) – bumababa sa R, bilang kabuuan ng nagpapababa ng mga function. Ibig sabihin, ayon sa root theorem, x = -1 ang tanging ugat ng equation. Sagot: -1.
Problema bangko No. 2. Lutasin ang equation
a) 4x + 1 =6 – x;
b) 
c) 2x – 2 =1 – x;
4. Paraan ng pagpapakilala ng mga bagong variable.
Ang pamamaraan ay inilarawan sa talata 2.1. Ang pagpapakilala ng isang bagong variable (pagpapalit) ay karaniwang isinasagawa pagkatapos ng mga pagbabagong-anyo (pagpapasimple) ng mga tuntunin ng equation. Tingnan natin ang mga halimbawa.
Mga halimbawa.
R Lutasin ang equation: 1.
.
Isulat muli natin ang equation sa ibang paraan: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">
Solusyon. Isulat muli natin ang equation sa ibang paraan: 
Italaga natin ang https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - hindi angkop.
t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - hindi makatwirang equation. Pansinin natin iyon 
Ang solusyon sa equation ay x = 2.5 ≤ 4, na nangangahulugang 2.5 ang ugat ng equation. Sagot: 2.5.
Solusyon. Isulat muli natin ang equation sa anyo at hatiin ang magkabilang panig ng 56x+6 ≠ 0. Nakukuha natin ang equation
2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" width="118" height="56">
Ang mga ugat ng quadratic equation ay t1 = 1 at t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.
Solusyon . Isulat muli natin ang equation sa anyo
at tandaan na ito ay isang homogenous na equation ng pangalawang degree.
Hatiin ang equation sa pamamagitan ng 42x, nakukuha natin 
Palitan natin ang https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .
Sagot: 0; 0.5.
Problema bangko No. 3. Lutasin ang equation
b) 
G) 
Pagsusulit Blg. 3 na may pagpipilian ng mga sagot. Pinakamababang antas.
A1 | 1) -0.2;2 2) log52 3) –log52 4) 2 |
A2 0.52x – 3 0.5x +2 = 0. | 1) 2;1 2) -1;0 3) walang ugat 4) 0 |
1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5 |
|
A4 52x-5x - 600 = 0. | 1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2 |
1) walang ugat 2) 2;4 3) 3 4) -1;2 |
Pagsusulit Blg. 4 na may pagpipilian ng mga sagot. Pangkalahatang antas.
A1 | 1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0 |
A2 2x – (0.5)2x – (0.5)x + 1 = 0 | 1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1 |
1) 64 2) -14 3) 3 4) 8 |
|
1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0 |
|
A5 | 1) 0 2) 1 3) 0;1 4) walang ugat |
5. Pamamaraan ng Factorization.
1. Lutasin ang equation: 5x+1 - 5x-1 = 24.
Solution..png" width="169" height="69"> , mula saan
2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.
Solusyon. Maglagay tayo ng 6x sa labas ng mga bracket sa kaliwang bahagi ng equation, at 2x sa kanang bahagi. Nakukuha namin ang equation na 6x(1+6) = 2x(1+2+4) o 6x = 2x.
Dahil 2x >0 para sa lahat ng x, maaari nating hatiin ang magkabilang panig ng equation na ito ng 2x nang walang takot na mawala ang mga solusyon. Nakukuha namin ang 3x = 1ó x = 0.
3. 
Solusyon. Lutasin natin ang equation gamit ang factorization method.
Piliin natin ang parisukat ng binomial 
4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">
x = -2 ang ugat ng equation.
Equation x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">
A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.
1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1
A2 3x+1 +3x-1 =270.
1) 2 2) -4 3) 0 4) 4
A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1.5
1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3
1) 1 2) -3 3) -1 4) 0
A5 2x -2x-4 = 15. x=4
1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2
Pagsusulit Blg. 6 Pangkalahatang antas.
A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7. | 1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0.2 |
A2 | 1) 2.5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0 |
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2. | 1) 2 2) -1 3) 3 4) -3 |
A4 | 1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4 |
A5 | 1) 2 2) -2 3) 5 4) 0 |
6. Exponential – mga equation ng kapangyarihan.
Katabi ng mga exponential equation ang tinatawag na exponential-power equation, ibig sabihin, mga equation ng form (f(x))g(x) = (f(x))h(x).
Kung alam na ang f(x)>0 at f(x) ≠ 1, kung gayon ang equation, tulad ng exponential, ay malulutas sa pamamagitan ng equating ng mga exponent g(x) = f(x).
Kung hindi ibinubukod ng kundisyon ang posibilidad ng f(x)=0 at f(x)=1, kailangan nating isaalang-alang ang mga kasong ito kapag nilulutas ang isang exponential equation.
1..png" width="182" height="116 src=">
2. 
Solusyon. x2 +2x-8 – may katuturan para sa anumang x, dahil ito ay isang polynomial, na nangangahulugang ang equation ay katumbas ng kabuuan
https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">
b) 
7. Exponential equation na may mga parameter.
1. Para sa anong mga halaga ng parameter p ang equation 4 (5 – 3) 2 +4p2–3p = 0 (1) ay may natatanging solusyon?
Solusyon. Ipakilala natin ang kapalit na 2x = t, t > 0, pagkatapos ang equation (1) ay magkakaroon ng anyong t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)
Discriminant ng equation (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.
Ang equation (1) ay may natatanging solusyon kung ang equation (2) ay may isang positibong ugat. Posible ito sa mga sumusunod na kaso.
1. Kung D = 0, ibig sabihin, p = 1, ang equation (2) ay magkakaroon ng anyong t2 – 2t + 1 = 0, kaya t = 1, samakatuwid, ang equation (1) ay may natatanging solusyon x = 0.
2. Kung p1, kung gayon ang 9(p – 1)2 > 0, kung gayon ang equation (2) ay mayroong dalawa iba't ibang ugat t1 = p, t2 = 4p – 3. Ang mga kondisyon ng problema ay natutugunan ng isang set ng mga sistema
Ang pagpapalit ng t1 at t2 sa mga sistema, mayroon kami
https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11)" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}
Solusyon. Hayaan 
pagkatapos ang equation (3) ay kukuha ng anyong t2 – 6t – a = 0. (4)
Hanapin natin ang mga halaga ng parameter a kung saan kahit isang ugat ng equation (4) ay nakakatugon sa kundisyon t > 0.
Ipakilala natin ang function f(t) = t2 – 6t – a. Posible ang mga sumusunod na kaso.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}
Kaso 2. Ang equation (4) ay may natatanging positibong solusyon kung
D = 0, kung a = – 9, ang equation (4) ay magkakaroon ng form (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.
Kaso 3. Ang equation (4) ay may dalawang ugat, ngunit ang isa sa mga ito ay hindi nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay t > 0. Ito ay posible kung
https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}
Kaya, para sa a 0, ang equation (4) ay may isang positibong ugat 
. Pagkatapos ang equation (3) ay may natatanging solusyon 
Kapag a< – 9 уравнение (3) корней не имеет.
kung ang< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
kung a = – 9, kung gayon x = – 1;
kung a 0, kung gayon
Ihambing natin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation (1) at (3). Tandaan na kapag ang paglutas ng equation (1) ay binawasan sa isang quadratic equation, ang discriminant na kung saan ay isang perpektong parisukat; Kaya, ang mga ugat ng equation (2) ay agad na kinakalkula gamit ang formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation, at pagkatapos ay ginawa ang mga konklusyon tungkol sa mga ugat na ito. Ang equation (3) ay nabawasan sa isang quadratic equation (4), ang discriminant na kung saan ay hindi isang perpektong square, samakatuwid, kapag nilutas ang equation (3), ipinapayong gumamit ng mga theorems sa lokasyon ng mga ugat ng isang quadratic trinomial at isang graphical na modelo. Tandaan na ang equation (4) ay maaaring malutas gamit ang Vieta's theorem.
Lutasin natin ang mas kumplikadong mga equation.
Problema 3: Lutasin ang equation 
Solusyon. ODZ: x1, x2.
Magpakilala tayo ng kapalit. Hayaan ang 2x = t, t > 0, pagkatapos bilang resulta ng mga pagbabagong-anyo ang equation ay kukuha ng anyong t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Hanapin natin ang mga halaga ng a kung saan kahit isang ugat ng ang equation (*) ay nakakatugon sa kundisyon t > 0.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}
Sagot: kung a > – 13, a 11, a 5, kung gayon kung a – 13,
a = 11, a = 5, pagkatapos ay walang mga ugat.
Bibliograpiya.
1. Guzeev pundasyon ng teknolohiyang pang-edukasyon.
2. Teknolohiya ng Guzeev: mula sa pagtanggap hanggang sa pilosopiya.
M. “Direktor ng Paaralan” Blg. 4, 1996
3. Guzeev at mga organisasyonal na anyo ng pagsasanay.
4. Guzeev at ang pagsasagawa ng integral na teknolohiyang pang-edukasyon.
M." Pampublikong edukasyon", 2001
5. Guzeev mula sa mga anyo ng isang aralin - seminar.
Matematika sa paaralan Blg. 2, 1987 pp. 9 – 11.
6. Mga teknolohiyang pang-edukasyon ng Seleuko.
M. “Public Education”, 1998
7. Episheva mga mag-aaral na mag-aral ng matematika.
M. "Enlightenment", 1990
8. Ivanova maghanda ng mga aralin - workshop.
Matematika sa paaralan No. 6, 1990 p. 37 – 40.
9. Modelo ng pagtuturo ng matematika ni Smirnov.
Matematika sa paaralan No. 1, 1997 p. 32 – 36.
10. Tarasenko na mga paraan ng pag-aayos ng praktikal na gawain.
Matematika sa paaralan No. 1, 1993 p. 27 – 28.
11. Tungkol sa isa sa mga uri ng indibidwal na gawain.
Matematika sa paaralan Blg. 2, 1994, pp. 63 – 64.
12. Khazankin malikhaing kakayahan ng mga mag-aaral.
Matematika sa paaralan Blg. 2, 1989 p. 10.
13. Scanavi. Publisher, 1997
14. at iba pa. Algebra at ang simula ng pagsusuri. Didactic na materyales para sa
15. Mga gawain sa Krivonogov sa matematika.
M. "Una ng Setyembre", 2002
16. Cherkasov. Handbook para sa mga mag-aaral sa high school at
pagpasok sa mga unibersidad. "A S T - press school", 2002
17. Zhevnyak para sa mga pumapasok sa mga unibersidad.
Minsk at Russian Federation "Repasuhin", 1996
18. Nakasulat D. Naghahanda kami para sa pagsusulit sa matematika. M. Rolf, 1999
19. atbp. Pag-aaral upang malutas ang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay.
M. "Intellect - Center", 2003
20. atbp. Mga materyales sa edukasyon at pagsasanay para sa paghahanda para sa EGE.
M. "Intelligence - Center", 2003 at 2004.
21 at iba pa. Mga opsyon sa CMM. Testing Center ng Ministry of Defense ng Russian Federation, 2002, 2003.
22. Goldberg equation. "Quantum" No. 3, 1971
23. Volovich M. Paano matagumpay na magturo ng matematika.
Mathematics, 1997 No. 3.
24 Okunev para sa aralin, mga bata! M. Edukasyon, 1988
25. Yakimanskaya - nakatuon sa pag-aaral sa paaralan.
26. Nagtatrabaho si Liimets sa klase. M. Kaalaman, 1975
Ang paggamit ng mga equation ay laganap sa ating buhay. Ginagamit ang mga ito sa maraming mga kalkulasyon, pagtatayo ng mga istruktura at maging sa sports. Gumamit ang tao ng mga equation noong sinaunang panahon, at mula noon ay tumaas lamang ang kanilang paggamit. Ang power o exponential equation ay mga equation kung saan ang mga variable ay nasa powers at ang base ay isang numero. Halimbawa:
Ang paglutas ng isang exponential equation ay bumaba sa 2 medyo simpleng hakbang:
1. Kailangan mong suriin kung ang mga base ng equation sa kanan at kaliwa ay pareho. Kung ang mga dahilan ay hindi pareho, naghahanap kami ng mga pagpipilian upang malutas ang halimbawang ito.
2. Matapos maging pareho ang mga base, tinutumbasan namin ang mga degree at nilulutas ang nagresultang bagong equation.
Ipagpalagay na binigyan tayo ng isang exponential equation ang sumusunod na uri:
Ito ay nagkakahalaga na simulan ang solusyon ng equation na ito sa isang pagsusuri ng batayan. Magkaiba ang mga base - 2 at 4, ngunit upang malutas kailangan natin silang maging pareho, kaya binago natin ang 4 gamit ang sumusunod na formula -\[ (a^n)^m = a^(nm):\]
Idinagdag namin sa orihinal na equation:
Alisin natin ito sa mga bracket \
Ipahayag natin \
Dahil ang mga degree ay pareho, itinatapon namin ang mga ito:
Sagot: \
Saan ko malulutas ang isang exponential equation gamit ang isang online solver?
Maaari mong lutasin ang equation sa aming website https://site. Ang isang libreng online na solver ay magbibigay-daan sa iyo upang malutas ang equation online kahit ano pagiging kumplikado sa ilang segundo. Ang kailangan mo lang gawin ay ipasok lamang ang iyong data sa solver. Maaari ka ring manood ng mga tagubilin sa video at matutunan kung paano lutasin ang equation sa aming website. At kung mayroon ka pa ring mga katanungan, maaari mong tanungin sila sa aming VKontakte group http://vk.com/pocketteacher. Sumali sa aming grupo, lagi kaming masaya na tulungan ka.
Paglutas ng mga exponential equation. Mga halimbawa.
Pansin!
May mga karagdagang
materyales sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga taong "hindi masyadong..."
At para sa mga “napaka…”)
Anong nangyari exponential equation? Ito ay isang equation kung saan ang mga hindi alam (x) at mga expression na kasama nila ay nasa mga tagapagpahiwatig ilang degree. At doon lang! Ito ay mahalaga.
Nandyan ka lang pala mga halimbawa ng exponential equation:
3 x 2 x = 8 x+3
Tandaan! Sa mga base ng degree (sa ibaba) - mga numero lamang. SA mga tagapagpahiwatig degrees (sa itaas) - isang malawak na iba't ibang mga expression na may X. Kung biglang lumitaw ang isang X sa equation sa isang lugar maliban sa isang indicator, halimbawa:
ito ay magiging isang equation halo-halong uri. Ang ganitong mga equation ay walang malinaw na mga panuntunan para sa paglutas ng mga ito. Hindi natin sila isasaalang-alang sa ngayon. Dito natin haharapin paglutas ng mga exponential equation sa pinakadalisay nitong anyo.
Sa katunayan, kahit na ang mga purong exponential equation ay hindi palaging nalutas nang malinaw. Ngunit may mga ibang mga klase mga exponential equation na maaari at dapat lutasin. Ito ang mga uri na ating isasaalang-alang.
Paglutas ng mga simpleng exponential equation.
Una, lutasin natin ang isang bagay na napakasimple. Halimbawa:
Kahit na walang anumang mga teorya, sa simpleng pagpili ay malinaw na ang x = 2. Wala na, diba!? Walang ibang value ng X ang gumagana. Ngayon tingnan natin ang solusyon sa nakakalito na exponential equation na ito:
Ano'ng nagawa natin? Kami, sa katunayan, ay itinapon lamang ang parehong mga base (triple). Ganap na itinapon. At, ang magandang balita ay, natamaan namin ang ulo!
Sa katunayan, kung sa isang exponential equation ay may kaliwa at kanan pareho mga numero sa anumang kapangyarihan, ang mga numerong ito ay maaaring alisin at ang mga exponent ay maaaring ipantay. Pinapayagan ng matematika. Ito ay nananatiling upang malutas ang isang mas simpleng equation. Mahusay, tama?)
Gayunpaman, tandaan nating mabuti: Maaari mo lamang alisin ang mga base kapag ang mga batayang numero sa kaliwa at kanan ay nasa napakagandang paghihiwalay! Nang walang anumang mga kapitbahay at coefficients. Sabihin natin sa mga equation:
2 x +2 x+1 = 2 3, o
hindi matatanggal ang dalawa!
Buweno, pinagkadalubhasaan namin ang pinakamahalagang bagay. Paano lumipat mula sa masasamang exponential expression patungo sa mas simpleng mga equation.
"Iyon ang mga oras!" - sabi mo. "Sino ang magbibigay ng gayong primitive na aralin sa mga pagsusulit at pagsusulit!?"
Kailangan kong pumayag. Walang gagawa. Ngunit ngayon alam mo na kung saan maglalayon kapag nilulutas ang mga nakakalito na halimbawa. Dapat itong dalhin sa form kung saan ang parehong base number ay nasa kaliwa at kanan. Pagkatapos ang lahat ay magiging mas madali. Sa totoo lang, ito ay isang klasiko ng matematika. Kinukuha namin ang orihinal na halimbawa at binabago ito sa ninanais sa amin isip. Ayon sa mga patakaran ng matematika, siyempre.
Tingnan natin ang mga halimbawa na nangangailangan ng ilang karagdagang pagsisikap upang bawasan ang mga ito sa pinakasimple. Tawagan natin sila simpleng exponential equation.
Paglutas ng mga simpleng exponential equation. Mga halimbawa.
Kapag nilulutas ang mga exponential equation, ang mga pangunahing panuntunan ay mga aksyon na may mga antas. Kung walang kaalaman sa mga pagkilos na ito, walang gagana.
Sa mga pagkilos na may mga antas, dapat magdagdag ng personal na pagmamasid at katalinuhan. Hinihiling namin magkaparehong base number? Kaya hinahanap namin ang mga ito sa halimbawa sa tahasang o naka-encrypt na anyo.
Tingnan natin kung paano ito ginagawa sa pagsasanay?
Bigyan tayo ng isang halimbawa:
2 2x - 8 x+1 = 0
Ang unang matalas na tingin ay sa bakuran. Sila... Iba sila! Dalawa at walo. Ngunit masyado pang maaga para masiraan ng loob. Oras na para tandaan iyon
Ang dalawa at walo ay magkamag-anak sa degree.) Posibleng isulat:
8 x+1 = (2 3) x+1
Kung naaalala natin ang formula mula sa mga operasyon na may mga degree:
(a n) m = a nm ,
ito ay mahusay na gumagana:
8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)
Ang orihinal na halimbawa ay nagsimulang magmukhang ganito:
2 2x - 2 3(x+1) = 0
Transfer kami 2 3 (x+1) sa kanan (walang nagkansela ng elementarya na operasyon ng matematika!), nakukuha namin:
2 2x = 2 3(x+1)
Halos iyon lang. Pag-alis ng mga base:
Malutas namin ang halimaw na ito at makuha
Ito ang tamang sagot.
Sa halimbawang ito, nakatulong sa amin ang pag-alam sa kapangyarihan ng dalawa. Kami nakilala sa walo ay may naka-encrypt na dalawa. Ang diskarteng ito (pag-encrypt ng mga karaniwang batayan sa ilalim ng magkaibang numero) ay isang napaka-tanyag na pamamaraan sa mga exponential equation! Oo, at sa logarithms din. Dapat mong makilala ang mga kapangyarihan ng iba pang mga numero sa mga numero. Napakahalaga nito para sa paglutas ng mga exponential equation.
Ang katotohanan ay ang pagtaas ng anumang numero sa anumang kapangyarihan ay hindi isang problema. Paramihin, kahit sa papel, at iyon na. Halimbawa, kahit sino ay maaaring magtaas ng 3 hanggang sa ikalimang kapangyarihan. Gagana ang 243 kung alam mo ang multiplication table.) Ngunit sa mga exponential equation, mas madalas na hindi kinakailangan na itaas sa isang kapangyarihan, ngunit vice versa... Alamin anong numero hanggang sa anong antas ay nakatago sa likod ng numerong 243, o, sabihin nating, 343... Walang calculator ang tutulong sa iyo dito.
Kailangan mong malaman ang kapangyarihan ng ilang numero sa pamamagitan ng paningin, tama... Magsanay tayo?
Tukuyin kung anong mga kapangyarihan at kung anong mga numero ang mga numero:
2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.
Mga sagot (sa gulo, siyempre!):
5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .
Kung titingnan mong mabuti ay makikita mo kakaibang katotohanan. Mayroong higit pang mga sagot kaysa sa mga gawain! Well, nangyayari ito... Halimbawa, 2 6, 4 3, 8 2 - 64 lang iyon.
Ipagpalagay natin na itinala mo ang impormasyon tungkol sa pagiging pamilyar sa mga numero.) Ipaalala ko rin sa iyo na para malutas ang mga exponential equation ay ginagamit namin lahat stock ng kaalaman sa matematika. Kabilang ang mga mula sa junior at middle class. Hindi ka dumiretso sa high school, tama ba?)
Halimbawa, kapag nilulutas ang mga exponential equation, kadalasang nakakatulong ang paglalagay ng common factor sa mga bracket (hello to 7th grade!). Tingnan natin ang isang halimbawa:
3 2x+4 -11 9 x = 210
At muli, ang unang sulyap ay sa mga pundasyon! Magkaiba ang base ng mga degree... Tatlo at siyam. Ngunit gusto namin na maging pareho sila. Well, sa kasong ito ang pagnanais ay ganap na natupad!) Dahil:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Gamit ang parehong mga patakaran para sa pagharap sa mga degree:
3 2x+4 = 3 2x ·3 4
Iyan ay mahusay, maaari mong isulat ito:
3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210
Nagbigay kami ng isang halimbawa para sa parehong mga kadahilanan. Kaya, ano ang susunod!? Hindi mo maitatapon ang tatlo... Dead end?
Hindi talaga. Alalahanin ang pinaka-unibersal at makapangyarihang tuntunin sa pagpapasya lahat mga gawain sa matematika:
Kung hindi mo alam kung ano ang kailangan mo, gawin mo ang iyong makakaya!
Tingnan mo, gagana ang lahat).
Ano ang nasa exponential equation na ito Pwede gawin? Oo, sa kaliwang bahagi ito ay nagmamakaawa lamang na alisin sa mga bracket! Ang pangkalahatang multiplier ng 3 2x ay malinaw na nagpapahiwatig nito. Subukan natin, at pagkatapos ay makikita natin:
3 2x (3 4 - 11) = 210
3 4 - 11 = 81 - 11 = 70
Ang halimbawa ay patuloy na nagiging mas mahusay at mas mahusay!
Naaalala namin na upang maalis ang mga batayan kailangan namin ng isang purong antas, nang walang anumang mga coefficient. Ang numero 70 ay nakakaabala sa amin. Kaya hinati namin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng 70, nakukuha namin:
Oops! Ang lahat ay naging mas mahusay!
Ito ang huling sagot.
Ito ay nangyayari, gayunpaman, na ang pag-taxi sa parehong batayan ay nakakamit, ngunit ang kanilang pag-aalis ay hindi posible. Nangyayari ito sa iba pang uri ng mga exponential equation. Kabisaduhin natin ang ganitong uri.
Pagpapalit ng variable sa paglutas ng mga exponential equation. Mga halimbawa.
Lutasin natin ang equation:
4 x - 3 2 x +2 = 0
Una - gaya ng dati. Lumipat tayo sa isang base. Sa isang deuce.
4 x = (2 2) x = 2 2x
Nakukuha namin ang equation:
2 2x - 3 2 x +2 = 0
At dito kami tumatambay. Ang mga nakaraang pamamaraan ay hindi gagana, gaano man ka tumingin dito. Kailangan nating makakuha ng isa pang makapangyarihan at unibersal na pamamaraan. Ang tawag dito variable na kapalit.
Ang kakanyahan ng pamamaraan ay nakakagulat na simple. Sa halip na isang kumplikadong icon (sa aming kaso - 2 x) sumulat kami ng isa pa, mas simple (halimbawa - t). Ang gayong tila walang kahulugan na kapalit ay humahantong sa mga kamangha-manghang resulta!) Ang lahat ay nagiging malinaw at naiintindihan!
Kaya hayaan
Pagkatapos 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2
Sa aming equation pinapalitan namin ang lahat ng kapangyarihan ng x's ng t:
Buweno, nagliliwanag na ba sa iyo?) Quadratic equation Nakalimutan mo na ba? Ang paglutas sa pamamagitan ng discriminant, makukuha natin ang:
Ang pangunahing bagay dito ay hindi huminto, tulad ng nangyayari... Hindi pa ito ang sagot, kailangan natin ng x, hindi t. Balik tayo sa X's, i.e. gumagawa kami ng reverse replacement. Una para sa t 1:
Yan ay,
Isang ugat ang natagpuan. Hinahanap namin ang pangalawa mula sa t 2:
Hm... 2 x sa kaliwa, 1 sa kanan... Problema? Hindi talaga! Ito ay sapat na tandaan (mula sa mga operasyon na may mga kapangyarihan, oo...) na ang isang yunit ay anuman numero sa zero degree. Anuman. Anuman ang kailangan, i-install namin ito. Kailangan natin ng dalawa. Ibig sabihin:
Ayan na ngayon. Mayroon kaming 2 ugat:
Ito ang sagot.
Sa paglutas ng mga exponential equation sa dulo kung minsan nauuwi ka sa isang uri ng awkward na ekspresyon. Uri:
Mula pito hanggang dalawa hanggang simpleng degree hindi gumagana. Hindi sila kamag-anak... Paano tayo? Maaaring may nalilito... Ngunit ang taong nagbasa sa site na ito ng paksang "Ano ang logarithm?" , ngumiti lang ng tipid at isinulat ng mahigpit na kamay ang ganap na tamang sagot:
Hindi maaaring magkaroon ng ganoong sagot sa mga gawain na "B" sa Pinag-isang Pagsusuri ng Estado. Mayroong isang tiyak na numero ay kinakailangan. Ngunit sa mga gawaing "C" madali.
Ang araling ito ay nagbibigay ng mga halimbawa ng paglutas ng mga pinakakaraniwang exponential equation. I-highlight natin ang mga pangunahing punto.
Mga praktikal na tip:
1. Una sa lahat, tinitingnan natin bakuran degrees. Iniisip namin kung posible bang gawin ang mga ito magkapareho. Subukan nating gawin ito sa pamamagitan ng aktibong paggamit mga aksyon na may mga antas. Huwag kalimutan na ang mga numerong walang x ay maaari ding ma-convert sa powers!
2. Sinusubukan naming dalhin ang exponential equation sa form kapag sa kaliwa at sa kanan ay mayroong pareho mga numero sa anumang kapangyarihan. Ginagamit namin mga aksyon na may mga antas At factorization. Kung ano ang mabibilang sa mga numero, binibilang natin.
3. Kung hindi gumana ang pangalawang tip, subukang gumamit ng variable replacement. Ang resulta ay maaaring isang equation na madaling malutas. Kadalasan - parisukat. O fractional, na binabawasan din sa parisukat.
4. Upang matagumpay na malutas ang mga exponential equation, kailangan mong malaman ang mga kapangyarihan ng ilang mga numero sa pamamagitan ng paningin.
Gaya ng nakasanayan, sa pagtatapos ng aralin ay inaanyayahan kang magdesisyon nang kaunti.) Mag-isa. Mula sa simple hanggang sa kumplikado.
Lutasin ang mga exponential equation:
Mas mahirap:
2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48
9 x - 8 3 x = 9
2 x - 2 0.5x+1 - 8 = 0
Hanapin ang produkto ng mga ugat:
2 3's + 2 x = 9
Nangyari?
Well, pagkatapos ay isang napaka-komplikadong halimbawa (bagaman ito ay malulutas sa isip...):
7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3
Ano ang mas kawili-wili? At narito ang isang masamang halimbawa para sa iyo. Medyo nakatutukso para sa tumaas na kahirapan. Hayaan akong pahiwatig na sa halimbawang ito, katalinuhan at ang pinaka pangkalahatang tuntunin solusyon sa lahat ng problema sa matematika.)
2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x
Isang mas simpleng halimbawa, para sa pagpapahinga):
9 2 x - 4 3 x = 0
At para sa panghimagas. Hanapin ang kabuuan ng mga ugat ng equation:
x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0
Oo Oo! Ito ay isang mixed type equation! Na hindi natin isinaalang-alang sa araling ito. Bakit isaalang-alang ang mga ito, kailangan nilang malutas!) Ang araling ito ay sapat na upang malutas ang equation. Well, kailangan mo ng talino sa paglikha... At nawa'y matulungan ka ng ikapitong baitang (ito ay isang pahiwatig!).
Mga sagot (magulo, pinaghihiwalay ng mga semicolon):
1; 2; 3; 4; walang mga solusyon; 2; -2; -5; 4; 0.
Ang lahat ba ay matagumpay? Malaki.
May problema? Walang problema! Sa Espesyal na Seksyon 555, lahat ng mga exponential equation na ito ay nalutas sa detalyadong mga paliwanag. Ano, bakit, at bakit. At, siyempre, mayroong karagdagang mahalagang impormasyon sa pagtatrabaho sa lahat ng uri ng mga exponential equation. Hindi lang ang mga ito.)
Isang huling nakakatuwang tanong na dapat isaalang-alang. Sa araling ito nagtrabaho kami sa mga exponential equation. Bakit hindi ako nag salita tungkol sa ODZ dito? Sa mga equation, ito ay isang napakahalagang bagay, sa pamamagitan ng paraan...
Kung gusto mo ang site na ito...
Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)
Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Matuto tayo - nang may interes!)
Maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.
Ano ang isang exponential equation? Mga halimbawa.
Kaya, isang exponential equation... Isang bagong natatanging eksibit sa aming pangkalahatang eksibisyon ng isang malawak na uri ng mga equation!) Gaya ng halos palaging nangyayari, ang pangunahing salita ng anumang bagong termino sa matematika ay ang kaukulang pang-uri na nagpapakilala dito. Kaya ito ay dito. Keyword sa terminong "exponential equation" ay ang salita "nagpapahiwatig". Ano ang ibig sabihin nito? Ang salitang ito ay nangangahulugan na ang hindi alam na (x) ay matatagpuan sa mga tuntunin ng anumang degree. At doon lang! Ito ay lubhang mahalaga.
Halimbawa, ang mga simpleng equation na ito:
3 x +1 = 81
5 x + 5 x +2 = 130
4 2 2 x -17 2 x +4 = 0
O kahit na ang mga halimaw na ito:
2 sin x = 0.5
Mangyaring bigyang-pansin kaagad ang isang bagay mahalagang bagay: V mga dahilan degrees (ibaba) - mga numero lamang. Ngunit sa mga tagapagpahiwatig degrees (sa itaas) - isang malawak na iba't ibang mga expression na may X. Ganap na anuman.) Ang lahat ay nakasalalay sa tiyak na equation. Kung, biglang, ang x ay lilitaw sa ibang lugar sa equation, bilang karagdagan sa indicator (sabihin, 3 x = 18 + x 2), kung gayon ang gayong equation ay magiging isang equation na. halo-halong uri. Ang ganitong mga equation ay walang malinaw na mga panuntunan para sa paglutas ng mga ito. Samakatuwid, hindi natin sila isasaalang-alang sa araling ito. Sa kasiyahan ng mga mag-aaral.) Dito ay isasaalang-alang lamang natin ang mga exponential equation sa kanilang "dalisay" na anyo.
Sa pangkalahatan, hindi lahat at hindi palaging kahit purong exponential equation ay malulutas nang malinaw. Ngunit sa lahat ng mayamang iba't ibang exponential equation, may ilang uri na maaari at dapat lutasin. Ito ang mga uri ng equation na ating isasaalang-alang. At tiyak na malulutas natin ang mga halimbawa.) Kaya't maging komportable tayo at umalis na tayo! Tulad ng sa mga computer shooter, ang aming paglalakbay ay magaganap sa pamamagitan ng mga antas.) Mula elementarya hanggang simple, mula simple hanggang intermediate at mula intermediate hanggang kumplikado. Sa daan, maghihintay din sa iyo ang isang lihim na antas - mga diskarte at pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi karaniwang halimbawa. Ang mga hindi mo mababasa sa karamihan ng mga aklat-aralin sa paaralan... Buweno, at sa huli, siyempre, naghihintay sa iyo ang panghuling boss sa anyo ng araling-bahay.)
Level 0. Ano ang pinakasimpleng exponential equation? Paglutas ng mga simpleng exponential equation.
Una, tingnan natin ang ilang lantad na bagay sa elementarya. Kailangan mong magsimula sa isang lugar, tama? Halimbawa, ang equation na ito:
2 x = 2 2
Kahit na walang anumang mga teorya, ayon sa simpleng lohika at bait Malinaw na x = 2. Wala nang ibang paraan, di ba? Walang ibang kahulugan ng X ang angkop... At ngayon ibaling natin ang ating pansin sa talaan ng desisyon ang cool na exponential equation na ito:
2 x = 2 2
X = 2
Anong nangyari sa atin? At nangyari ang mga sumusunod. Talagang kinuha namin ito at... itinapon lang ang parehong mga base (dalawa)! Ganap na itinapon. At, ang magandang balita ay, natamaan namin ang bull's eye!
Oo, sa katunayan, kung sa isang exponential equation ay may kaliwa at kanan pareho mga numero sa anumang kapangyarihan, kung gayon ang mga numerong ito ay maaaring itapon at itumbas lamang ang mga exponent. Pinapayagan ng matematika.) At pagkatapos ay maaari kang magtrabaho nang hiwalay sa mga tagapagpahiwatig at lutasin ang isang mas simpleng equation. Mahusay, tama?
Narito ang pangunahing ideya para sa paglutas ng anuman (oo, eksaktong anuman!) exponential equation: gamit ang magkatulad na pagbabago, kinakailangan upang matiyak na ang kaliwa at kanang bahagi ng equation ay pareho mga batayang numero sa iba't ibang kapangyarihan. At pagkatapos ay maaari mong ligtas na alisin ang parehong mga base at ipantay ang mga exponent. At gumana sa isang mas simpleng equation.
Ngayon tandaan natin ang panuntunang bakal: posibleng tanggalin ang magkaparehong base kung at kung ang mga numero sa kaliwa at kanan ng equation ay may mga base number sa ipinagmamalaking kalungkutan.
Ano ang ibig sabihin nito, sa napakagandang paghihiwalay? Nangangahulugan ito na walang anumang kapitbahay at coefficient. Hayaan mo akong magpaliwanag.
Halimbawa, sa Eq.
3 3 x-5 = 3 2 x +1
Hindi matatanggal ang tatlo! Bakit? Dahil sa kaliwa mayroon kaming hindi lamang isang malungkot na tatlo sa antas, ngunit trabaho 3·3 x-5 . Isang dagdag na tatlong nakakasagabal: ang koepisyent, naiintindihan mo.)
Ang parehong ay maaaring sinabi tungkol sa equation
5 3 x = 5 2 x +5 x
Dito, din, ang lahat ng mga base ay pareho - lima. Ngunit sa kanan ay wala tayong isang kapangyarihan ng lima: mayroong isang kabuuan ng mga kapangyarihan!
Sa madaling salita, may karapatan kaming mag-alis ng magkaparehong base lamang kapag ganito ang hitsura ng aming exponential equation at ganito lang:
af (x) = isang g (x)
Ang ganitong uri ng exponential equation ay tinatawag ang pinakasimple. O, ayon sa siyensiya, kanonikal . At kahit na anong convoluted equation ang nasa harap natin, gagawin natin, sa isang paraan o iba pa, bawasan ito sa pinakasimpleng (canonical) form na ito. O, sa ilang mga kaso, sa kabuuan mga equation ng ganitong uri. Pagkatapos ang aming pinakasimpleng equation ay maaaring isulat bilang pangkalahatang pananaw muling isulat ito tulad nito:
F(x) = g(x)
Iyon lang. Ito ay magiging isang katumbas na conversion. Sa kasong ito, ang f(x) at g(x) ay maaaring maging ganap na anumang mga expression na may x. Kahit ano.
Marahil ay magtataka ang isang partikular na matanong na estudyante: bakit sa mundo ay napakadali at simpleng itinatapon natin ang parehong mga base sa kaliwa at kanan at tinutumbasan ang mga exponent? Ang intuwisyon ay intuwisyon, ngunit paano kung, sa ilang equation at sa ilang kadahilanan, ang diskarte na ito ay lumabas na hindi tama? Lagi bang legal na itapon ang parehong batayan? Sa kasamaang palad, para sa isang mahigpit na mathematical na sagot sa kawili-wiling tanong na ito kailangan mong sumisid nang malalim at seryoso sa pangkalahatang teorya gawi ng device at function. At medyo mas partikular - sa hindi pangkaraniwang bagay mahigpit na monotony. Sa partikular, mahigpit na monotony exponential functiony= isang x. Dahil eksakto exponential function at ang mga katangian nito ay sumasailalim sa solusyon ng mga exponential equation, oo.) Ang isang detalyadong sagot sa tanong na ito ay ibibigay sa isang hiwalay na espesyal na aralin na nakatuon sa paglutas ng mga kumplikadong hindi karaniwang mga equation gamit ang monotonicity ng iba't ibang mga function.)
Ang pagpapaliwanag sa puntong ito nang detalyado ngayon ay magpapagulo lamang sa isipan ng karaniwang estudyante at matatakot siya nang maaga sa isang tuyo at mabigat na teorya. I won’t do this.) Kasi yung main namin sa sandaling ito gawain - matutong lutasin ang mga exponential equation! Ang pinakasimpleng mga! Samakatuwid, huwag na tayong mag-alala pa at matapang na itapon ang parehong mga dahilan. Ito Pwede, kunin ang aking salita para dito!) At pagkatapos ay malulutas natin ang katumbas na equation na f(x) = g(x). Bilang panuntunan, mas simple kaysa sa orihinal na exponential.
Ipinapalagay, siyempre, na sa sandaling ito ay alam na ng mga tao kung paano lutasin ang hindi bababa sa , at mga equation, nang walang x sa mga exponents.) Para sa mga hindi pa rin alam kung paano, huwag mag-atubiling isara ang pahinang ito, sundan ang mga nauugnay na link at punan ang mga lumang puwang. Kung hindi ay mahihirapan ka, oo...
Hindi ko pinag-uusapan ang tungkol sa hindi makatwiran, trigonometriko at iba pang mga brutal na equation na maaari ding lumabas sa proseso ng pag-aalis ng mga pundasyon. Ngunit huwag maalarma, hindi namin isasaalang-alang ang tahasang kalupitan sa mga tuntunin ng mga degree sa ngayon: masyadong maaga. Magsasanay lamang kami sa pinakasimpleng mga equation.)
Ngayon tingnan natin ang mga equation na nangangailangan ng ilang karagdagang pagsisikap upang bawasan ang mga ito sa pinakasimpleng. For the sake of distinction, tawagin natin sila simpleng exponential equation. Kaya, lumipat tayo sa susunod na antas!
Level 1. Mga simpleng exponential equation. Kilalanin natin ang mga degree! Mga likas na tagapagpahiwatig.
Ang mga pangunahing tuntunin sa paglutas ng anumang mga exponential equation ay mga tuntunin sa pagharap sa mga degree. Kung wala ang kaalaman at kasanayang ito walang gagana. Naku. Kaya, kung may mga problema sa mga degree, pagkatapos ay malugod ka muna. Bilang karagdagan, kakailanganin din natin ang . Ang mga pagbabagong ito (dalawa sa kanila!) ay ang batayan para sa paglutas ng lahat ng mathematical equation sa pangkalahatan. At hindi lamang mga demonstrative. Kaya, kung sino ang nakalimutan, tingnan din ang link: Hindi ko lang sila inilalagay doon.
Ngunit ang mga operasyon na may mga kapangyarihan at pagbabago ng pagkakakilanlan lamang ay hindi sapat. Kinakailangan din ang personal na pagmamasid at talino. Kailangan natin ng parehong dahilan, hindi ba? Kaya't sinusuri namin ang halimbawa at hinahanap ang mga ito sa isang tahasan o disguised form!
Halimbawa, ang equation na ito:
3 2 x – 27 x +2 = 0
Unang tingin sa bakuran. Sila ay magkaiba! Tatlo at dalawampu't pito. Ngunit masyadong maaga para mataranta at mawalan ng pag-asa. Oras na para tandaan iyon
27 = 3 3
Ang mga numero 3 at 27 ay magkamag-anak sa antas! At mga malapit.) Samakatuwid, mayroon kaming bawat karapatan isulat:
27 x +2 = (3 3) x+2
Ngayon ikonekta natin ang ating kaalaman tungkol sa mga aksyon na may mga antas(at binalaan kita!). Mayroong isang napaka-kapaki-pakinabang na formula doon:
(a m) n = isang mn
Kung isasagawa mo na ito ngayon, magiging mahusay ito:
27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)
Ang orihinal na halimbawa ay ganito na ngayon:
3 2 x – 3 3(x +2) = 0
Mahusay, ang mga base ng mga degree ay nag-level out. Yun ang gusto namin. Ang kalahati ng labanan ay tapos na.) Ngayon ay inilunsad namin ang pangunahing pagbabago ng pagkakakilanlan - ilipat ang 3 3(x +2) sa kanan. Walang nagkansela ng elementarya na operasyon ng matematika, oo.) Nakukuha namin:
3 2 x = 3 3(x +2)
Ano ang ibinibigay sa atin ng ganitong uri ng equation? At ang katotohanan na ngayon ang aming equation ay nabawasan sa canonical form: sa kaliwa at kanan ay may parehong mga numero (tatlo) sa kapangyarihan. Bukod dito, pareho silang tatlo ay nasa napakagandang paghihiwalay. Huwag mag-atubiling tanggalin ang triple at makakuha ng:
2x = 3(x+2)
Malutas namin ito at makakuha ng:
X = -6
Ayan yun. Ito ang tamang sagot.)
Ngayon isipin natin ang solusyon. Ano ang nagligtas sa atin sa halimbawang ito? Ang kaalaman sa kapangyarihan ng tatlo ang nagligtas sa atin. Paano eksakto? Kami nakilala number 27 ay naglalaman ng naka-encrypt na tatlo! Ang trick na ito (pag-encode ng parehong base sa ilalim ng magkakaibang numero) ay isa sa pinakasikat sa mga exponential equation! Maliban kung ito ang pinakasikat. Oo, at sa parehong paraan, sa pamamagitan ng paraan. Ito ang dahilan kung bakit ang pagmamasid at ang kakayahang makilala ang mga kapangyarihan ng iba pang mga numero sa mga numero ay napakahalaga sa mga exponential equation!
Praktikal na payo:
Kailangan mong malaman ang kapangyarihan ng mga sikat na numero. Sa mukha!
Siyempre, kahit sino ay maaaring itaas ang dalawa sa ikapitong kapangyarihan o tatlo sa ikalimang kapangyarihan. Wala sa isip ko, pero sa draft man lang. Ngunit sa mga exponential equation, mas madalas na hindi kinakailangan na itaas sa isang kapangyarihan, ngunit sa halip upang malaman kung anong numero at kung anong kapangyarihan ang nakatago sa likod ng numero, sabihin nating, 128 o 243. At ito ay mas kumplikado kaysa sa simpleng pagtaas, papayag ka. Pakiramdam ang pagkakaiba, gaya ng sinasabi nila!
Dahil ang kakayahang makilala ang mga degree nang personal ay magiging kapaki-pakinabang hindi lamang sa antas na ito, kundi pati na rin sa mga susunod, narito ang isang maliit na gawain para sa iyo:
Tukuyin kung anong mga kapangyarihan at kung anong mga numero ang mga numero:
4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.
Mga sagot (siyempre, random):
27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .
Oo Oo! Huwag magtaka na mas maraming sagot kaysa mga gawain. Halimbawa, ang 2 8, 4 4 at 16 2 ay 256 lahat.
Antas 2. Mga simpleng exponential equation. Kilalanin natin ang mga degree! Negatibo at fractional na mga tagapagpahiwatig.
Sa antas na ito ay ginagamit na natin nang lubusan ang ating kaalaman sa mga degree. Ibig sabihin, kinasasangkutan namin ang mga negatibo at fractional na tagapagpahiwatig sa kamangha-manghang prosesong ito! Oo Oo! Kailangan nating dagdagan ang ating kapangyarihan, tama ba?
Halimbawa, ang kakila-kilabot na equation na ito:
/image003.png){kind=small}
Muli, ang unang sulyap ay sa mga pundasyon. Iba-iba ang mga dahilan! At sa pagkakataong ito ay hindi na sila magkatulad sa isa't isa! 5 at 0.04... At para maalis ang mga base, pareho ang kailangan... Ano ang gagawin?
ayos lang! Sa katunayan, ang lahat ay pareho, ito lamang na ang koneksyon sa pagitan ng lima at 0.04 ay hindi gaanong nakikita. Paano tayo makakalabas? Lumipat tayo sa numerong 0.04 bilang isang ordinaryong fraction! At pagkatapos, makikita mo, lahat ay gagana.)
0,04 = 4/100 = 1/25
Wow! Ang 0.04 pala ay 1/25! Well, sinong mag-aakala!)
Kaya paano? Mas madali na bang makita ang koneksyon sa pagitan ng mga numero 5 at 1/25? Ayan yun...
At ngayon ayon sa mga patakaran ng mga aksyon na may mga degree na may negatibong tagapagpahiwatig Maaari kang sumulat sa isang matatag na kamay:
/image004.png){kind=small}
Iyan ay mahusay. Kaya nakarating kami sa parehong base - lima. Ngayon ay pinapalitan namin ang hindi maginhawang numero 0.04 sa equation na may 5 -2 at makuha ang:
/image005.png){kind=small}
Muli, ayon sa mga patakaran ng mga operasyon na may mga degree, maaari na nating isulat:
(5 -2) x -1 = 5 -2(x -1)
Kung sakali, ipinapaalala ko sa iyo (kung sakaling may hindi nakakaalam) na pangunahing panuntunan ang mga aksyon na may kapangyarihan ay may bisa para sa anuman mga tagapagpahiwatig! Kasama ang para sa mga negatibo.) Kaya, huwag mag-atubiling kunin at i-multiply ang mga tagapagpahiwatig (-2) at (x-1) ayon sa naaangkop na tuntunin. Ang aming equation ay nagiging mas mahusay at mas mahusay:
/image006.png){kind=small}
Lahat! Bukod sa lonely fives, wala nang iba sa powers sa kaliwa't kanan. Ang equation ay nabawasan sa canonical form. At pagkatapos - kasama ang knurled track. Inalis namin ang lima at itinutumbas ang mga tagapagpahiwatig:
x 2 –6 x+5=-2(x-1)
Ang halimbawa ay halos malutas. Ang natitira na lang ay elementary middle school math - buksan (tama!) ang mga bracket at kolektahin ang lahat sa kaliwa:
x 2 –6 x+5 = -2 x+2
x 2 –4 x+3 = 0
Malutas namin ito at makakuha ng dalawang ugat:
x 1 = 1; x 2 = 3
Iyon lang.)
Ngayon isipin natin muli. Sa halimbawang ito, kailangan nating kilalanin muli ang parehong numero sa iba't ibang antas! Lalo na, upang makita ang isang naka-encrypt na lima sa numerong 0.04. At sa pagkakataong ito - sa negatibong antas! Paano natin ito nagawa? Right off the bat - hindi pwede. Ngunit pagkatapos ng paglipat mula sa decimal 0.04 sa karaniwang fraction 1/25 at iyon na! At pagkatapos ang buong desisyon ay naging parang orasan.)
Samakatuwid, isa pang berdeng praktikal na payo.
Kung ang isang exponential equation ay naglalaman ng mga decimal fraction, pagkatapos ay lumipat tayo mula sa mga decimal fraction patungo sa mga ordinaryong fraction. SA ordinaryong fraction Mas madaling makilala ang mga kapangyarihan ng maraming sikat na numero! Pagkatapos ng pagkilala, lumipat kami mula sa mga fraction patungo sa mga kapangyarihan na may mga negatibong exponent.
Tandaan na ang trick na ito ay nangyayari nang napakadalas sa mga exponential equation! Ngunit ang tao ay wala sa paksa. Siya ay tumitingin, halimbawa, sa mga numerong 32 at 0.125 at nagagalit. Lingid sa kanyang kaalaman, ito ay isa at parehong dalawa, sa magkaibang antas lamang... Ngunit alam mo na!)
Lutasin ang equation:
/image007.png)
Sa! Mukhang tahimik na horror... Gayunpaman, nanlilinlang ang mga pagpapakita. Ito ang pinakasimpleng exponential equation, sa kabila ng nakakatakot hitsura. At ngayon ipapakita ko ito sa iyo.)
Una, tingnan natin ang lahat ng mga numero sa mga base at coefficient. Siyempre, iba sila, oo. Ngunit magsasagawa pa rin kami ng isang panganib at subukang gawin ang mga ito magkapareho! Subukan nating makarating sa ang parehong numero sa iba't ibang kapangyarihan. Bukod dito, mas mabuti, ang mga numero ay kasing liit hangga't maaari. Kaya, simulan natin ang pag-decode!
Buweno, sa apat ay agad na malinaw ang lahat - ito ay 2 2. Okay, bagay na iyon.)
Sa isang fraction ng 0.25 - hindi pa rin malinaw. Kailangan mong alamin. Gumamit tayo ng praktikal na payo - lumipat mula sa isang decimal fraction patungo sa isang ordinaryong fraction:
0,25 = 25/100 = 1/4
Much better na. Dahil ngayon ay malinaw na nakikita na ang 1/4 ay 2 -2. Mahusay, at ang bilang na 0.25 ay katulad din ng dalawa.)
So far so good. Ngunit ang pinakamasamang bilang ng lahat ay nananatili - square root ng dalawa! Ano ang gagawin sa paminta na ito? Maaari rin ba itong ilarawan bilang kapangyarihan ng dalawa? At sino ang nakakaalam...
Buweno, muli nating sumisid sa ating kaban ng kaalaman tungkol sa mga degree! Sa pagkakataong ito, ikinonekta natin ang ating kaalaman tungkol sa mga ugat. Mula sa kursong ika-9 na baitang, dapat natutunan mo at ako na ang anumang ugat, kung ninanais, ay maaaring palaging gawing isang degree na may isang fractional indicator.
Ganito:
Sa kaso natin:
/1.png){kind=small}
Wow! Lumalabas na ang square root ng dalawa ay 2 1/2. Ayan yun!
ayos lang yan! Ang lahat ng aming hindi maginhawang numero ay talagang naging isang naka-encrypt na dalawa.) Hindi ako nakikipagtalo, sa isang lugar na napaka sopistikadong naka-encrypt. Ngunit pinagbubuti rin namin ang aming propesyonalismo sa paglutas ng mga ganitong cipher! At saka halata na ang lahat. Sa aming equation pinapalitan namin ang mga numero 4, 0.25 at ang ugat ng dalawa sa pamamagitan ng kapangyarihan ng dalawa:
/image010.png)
Lahat! Ang mga base ng lahat ng degree sa halimbawa ay naging pareho - dalawa. At ngayon ang mga karaniwang pagkilos na may mga degree ay ginagamit:
isang misang n = isang m + n
a m:a n = a m-n
(a m) n = isang mn
Para sa kaliwang bahagi makakakuha ka ng:
2 -2 ·(2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)
Para sa kanang bahagi ito ay magiging:
/image011.png)
At ngayon ang aming masamang equation ay ganito ang hitsura:
/image012.png){kind=small}
Para sa mga hindi pa alam kung paano nangyari ang equation na ito, ang tanong dito ay hindi tungkol sa exponential equation. Ang tanong ay tungkol sa mga aksyon na may degree. Hiniling ko sa iyo na mapilit na ulitin ito sa mga may problema!
Narito ang linya ng pagtatapos! Nakuha na ang canonical form ng exponential equation! Kaya paano? Nakumbinsi ko ba sa iyo na ang lahat ay hindi nakakatakot? ;) Tinatanggal namin ang dalawa at tinutumbasan ang mga tagapagpahiwatig:
/image013.png){kind=small}
Ang natitira pang gawin ay lutasin ito linear equation. Paano? Sa tulong ng magkaparehong pagbabago, siyempre.) Magpasya kung ano ang nangyayari! I-multiply ang magkabilang panig ng dalawa (upang alisin ang fraction na 3/2), ilipat ang mga terminong may X's sa kaliwa, nang walang X's sa kanan, magdala ng mga katulad, bilangin - at ikaw ay magiging masaya!
Ang lahat ay dapat maging maganda:
X=4
Ngayon isipin natin muli ang solusyon. Sa halimbawang ito, natulungan kami ng paglipat mula sa parisukat na ugat Upang degree na may exponent 1/2. Bukod dito, ang gayong tusong pagbabago lamang ang nakatulong sa amin na maabot ang parehong base (dalawa) sa lahat ng dako, na nagligtas sa sitwasyon! At, kung hindi dahil dito, magkakaroon tayo ng bawat pagkakataong mag-freeze magpakailanman at hindi na makayanan ang halimbawang ito, oo...
Samakatuwid, hindi namin pinababayaan ang susunod na praktikal na payo:
Kung ang exponential equation ay naglalaman ng mga ugat, pagkatapos ay lumipat tayo mula sa mga ugat patungo sa mga kapangyarihan na may mga praksyonal na tagapagpahiwatig. Kadalasan ang gayong pagbabago lamang ang nagpapaliwanag sa karagdagang sitwasyon.
Siyempre, ang mga negatibo at praksyonal na kapangyarihan ay mas kumplikado kaysa sa mga likas na kapangyarihan. Hindi bababa sa mula sa punto ng view ng visual na pang-unawa at, lalo na, pagkilala mula kanan hanggang kaliwa!
Ito ay malinaw na ang direktang pagtaas, halimbawa, dalawa sa kapangyarihan ng -3 o apat sa kapangyarihan ng -3/2 ay hindi isang malaking problema. Para sa mga nakakaalam.)
Ngunit pumunta, halimbawa, agad na mapagtanto iyon
0,125 = 2 -3
O kaya
Dito, practice at rich experience lang ang rule, oo. At, siyempre, isang malinaw na ideya, Ano ang isang negatibo at praksyonal na antas? At- praktikal na payo! Oo, oo, ang parehong mga iyon berde.) Umaasa ako na tutulungan ka pa rin nila na mas mahusay na mag-navigate sa buong magkakaibang iba't ibang antas at makabuluhang taasan ang iyong mga pagkakataong magtagumpay! Kaya huwag natin silang pabayaan. hindi ako in vain berde Nagsusulat ako minsan.)
Ngunit kung makikilala ninyo ang isa't isa kahit na may mga kakaibang kapangyarihan tulad ng mga negatibo at fractional, ang iyong mga kakayahan sa paglutas ng mga exponential equation ay lalawak nang husto, at magagawa mong pangasiwaan ang halos anumang uri ng exponential equation. Well, kung wala man, 80 porsiyento ng lahat ng exponential equation - sigurado! Oo, oo, hindi ako nagbibiro!
Kaya, ang aming unang bahagi ng pagkilala sa mga exponential equation ay natapos na. lohikal na konklusyon. At, bilang isang intermediate na ehersisyo, tradisyonal kong iminumungkahi ang paggawa ng kaunting pagmumuni-muni sa sarili.)
Ehersisyo 1.
Upang ang aking mga salita tungkol sa pag-decipher ng mga negatibo at fractional na kapangyarihan ay hindi walang kabuluhan, ipinapanukala kong maglaro isang maliit na laro!
Ipahayag ang mga numero bilang kapangyarihan ng dalawa:
Mga sagot (magulo):
Nangyari? Malaki! Pagkatapos ay gumawa kami ng isang misyon ng labanan - lutasin ang pinakasimpleng at pinakasimpleng mga exponential equation!
Gawain 2.
Lutasin ang mga equation (lahat ng sagot ay gulo!):
5 2x-8 = 25
2 5x-4 – 16 x+3 = 0
Mga sagot:
x = 16
x 1 = -1; x 2 = 2
x = 5
Nangyari? Sa katunayan, ito ay mas simple!
Pagkatapos ay malulutas namin ang susunod na laro:
/image018.png){kind=small}
(2 x +4) x -3 = 0.5 x 4 x -4
35 1-x = 0.2 - x ·7 x
Mga sagot:
x 1 = -2; x 2 = 2
x = 0,5
x 1 = 3; x 2 = 5
At ang mga halimbawang ito ay isang natitira? Malaki! Lumalaki ka! Pagkatapos ay narito ang ilang higit pang mga halimbawa para sa iyong meryenda:
/image019.png)
Mga sagot:
x = 6
x = 13/31
x = -0,75
x 1 = 1; x 2 = 8/3
At ito ba ay nagpasya? Well, respeto! Tinatanggal ko ang aking sumbrero.) Kaya, ang aralin ay hindi walang kabuluhan, at Unang antas ang paglutas ng mga exponential equation ay maaaring ituring na matagumpay na pinagkadalubhasaan. Ang mga susunod na antas at mas kumplikadong mga equation ay nasa unahan! At mga bagong diskarte at diskarte. At hindi karaniwang mga halimbawa. At mga bagong sorpresa.) Ang lahat ng ito ay nasa susunod na aralin!
May nangyari bang mali? Nangangahulugan ito na malamang na ang mga problema ay nasa . O sa . O pareho nang sabay. Wala akong kapangyarihan dito. Isang bagay lang ang maaari kong imungkahi muli - huwag maging tamad at sundin ang mga link.)
Itutuloy.)