Magtrabaho tayo quadratic equation. Ang mga ito ay napakapopular na mga equation! Sa pinaka pangkalahatang pananaw ganito ang hitsura ng quadratic equation:

Halimbawa:

Dito A =1; b = 3; c = -4

Dito A =2; b = -0,5; c = 2,2

Dito A =-3; b = 6; c = -18

Well, naiintindihan mo...

Paano malutas ang mga quadratic equation? Kung mayroon kang isang quadratic equation sa harap mo sa form na ito, kung gayon ang lahat ay simple. Tandaan ang magic word may diskriminasyon . Bihira ang isang high school student na hindi nakarinig ng salitang ito! Ang pariralang "wesolve through a discriminant" inspires confidence and reassurance. Dahil hindi na kailangang umasa ng mga trick mula sa discriminant! Ito ay simple at walang problema sa paggamit. Kaya, ang formula para sa paghahanap ng mga ugat ng isang quadratic equation ay ganito ang hitsura:

Ang ekspresyon sa ilalim ng tanda ng ugat ay ang isa may diskriminasyon. Tulad ng nakikita mo, upang mahanap ang X, ginagamit namin a, b at c lang. Yung. coefficients mula sa isang quadratic equation. Maingat lamang na palitan ang mga halaga a, b at c Ito ang formula na aming kinakalkula. Palitan natin gamit ang iyong sariling mga palatandaan! Halimbawa, para sa unang equation A =1; b = 3; c= -4. Narito isusulat namin ito:

Ang halimbawa ay halos malutas:

Iyon lang.

Anong mga kaso ang posible kapag ginagamit ang formula na ito? May tatlong kaso lang.

1. Positibo ang discriminant. Nangangahulugan ito na ang ugat ay maaaring makuha mula dito. Kung ang ugat ay nakuha ng mabuti o hindi maganda ay isa pang tanong. Ang mahalaga ay kung ano ang nakuha sa prinsipyo. Pagkatapos ang iyong quadratic equation ay may dalawang ugat. Dalawang magkaibang solusyon.

2. Ang discriminant ay zero. Pagkatapos ay mayroon kang isang solusyon. Sa mahigpit na pagsasalita, ito ay hindi isang ugat, ngunit dalawang magkapareho. Ngunit ito ay gumaganap ng isang papel sa hindi pagkakapantay-pantay, kung saan pag-aaralan natin ang isyu nang mas detalyado.

3. Negatibo ang discriminant. Mula sa isang negatibong numero Kuwadrado na ugat hindi na-extract. Well, okay. Nangangahulugan ito na walang mga solusyon.

Napakasimple ng lahat. At ano, sa palagay mo imposibleng magkamali? Well, oo, paano...
Ang pinakakaraniwang pagkakamali ay pagkalito sa mga halaga ng tanda a, b at c. O sa halip, hindi sa kanilang mga palatandaan (kung saan malito?), ngunit sa pagpapalit ng mga negatibong halaga sa formula para sa pagkalkula ng mga ugat. Ang nakakatulong dito ay isang detalyadong pagtatala ng formula na may mga partikular na numero. Kung may mga problema sa mga kalkulasyon, gawin mo yan!

Ipagpalagay na kailangan nating lutasin ang sumusunod na halimbawa:

Dito a = -6; b = -5; c = -1

Sabihin nating alam mo na bihira kang makakuha ng mga sagot sa unang pagkakataon.

Well, huwag maging tamad. Aabutin ng humigit-kumulang 30 segundo upang magsulat ng dagdag na linya. At ang bilang ng mga error ay mababawasan nang husto. Kaya't sumulat kami nang detalyado, kasama ang lahat ng mga bracket at palatandaan:

Tila hindi kapani-paniwalang mahirap isulat nang maingat. Pero parang ganun lang. Subukan. Well, o pumili. Ano ang mas mahusay, mabilis o tama? Tsaka papasayahin kita. Pagkaraan ng ilang sandali, hindi na kailangang isulat ang lahat nang napakaingat. Gagana ito nang mag-isa. Lalo na kung gumagamit ka ng mga praktikal na pamamaraan na inilarawan sa ibaba. Ang masamang halimbawang ito na may isang bungkos ng mga minus ay madaling malutas at walang mga pagkakamali!

Kaya, kung paano malutas ang mga quadratic equation sa pamamagitan ng discriminant na naalala natin. O natuto sila, na maganda rin. Alam mo kung paano matukoy nang tama a, b at c. Alam mo ba kung paano? matulungin palitan ang mga ito sa root formula at matulungin bilangin ang resulta. Naintindihan mo ba yun keyword dito - matulungin?

Gayunpaman, ang mga quadratic equation ay madalas na mukhang bahagyang naiiba. Halimbawa, tulad nito:

Ito hindi kumpletong quadratic equation . Maaari din silang lutasin sa pamamagitan ng isang discriminant. Kailangan mo lang maunawaan ng tama kung ano ang mga ito ay katumbas dito. a, b at c.

Naisip mo na ba ito? Sa unang halimbawa a = 1; b = -4; A c? Ito ay wala doon sa lahat! Well oo, tama iyan. Sa matematika ang ibig sabihin nito ay c = 0 ! Iyon lang. Sa halip, palitan ang zero sa formula c, at magtatagumpay tayo. Pareho sa pangalawang halimbawa. Basta wala tayong zero dito Sa, A b !

Ngunit ang mga hindi kumpletong quadratic equation ay maaaring malutas nang mas simple. Nang walang anumang diskriminasyon. Isaalang-alang natin ang unang hindi kumpletong equation. Ano ang maaari mong gawin sa kaliwang bahagi? Maaari mong alisin ang X sa mga bracket! Ilabas na natin.

At ano mula dito? At ang katotohanan na ang produkto ay katumbas ng zero kung at kung anuman sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero! Huwag maniwala sa akin? Okay, pagkatapos ay bumuo ng dalawang di-zero na numero na, kapag pinarami, ay magbibigay ng zero!
Hindi gumagana? Ayan yun...
Samakatuwid, maaari tayong magsulat nang may kumpiyansa: x = 0, o x = 4

Lahat. Ito ang magiging ugat ng ating equation. Parehong angkop. Kapag pinapalitan ang alinman sa mga ito sa orihinal na equation, nakukuha namin ang tamang pagkakakilanlan 0 = 0. Tulad ng makikita mo, ang solusyon ay mas simple kaysa sa paggamit ng isang discriminant.

Ang pangalawang equation ay maaari ding malutas nang simple. Ilipat ang 9 sa kanang bahagi. Nakukuha namin:

Ang natitira na lang ay kunin ang ugat mula sa 9, at iyon na. Ito ay lalabas:

Dalawang ugat din . x = +3 at x = -3.

Ito ay kung paano nalulutas ang lahat ng hindi kumpletong quadratic equation. Alinman sa pamamagitan ng paglalagay ng X sa labas ng mga bracket, o sa pamamagitan lamang ng paglipat ng numero sa kanan at pagkatapos ay i-extract ang ugat.
Napakahirap lituhin ang mga diskarteng ito. Dahil lang sa unang kaso, kailangan mong kunin ang ugat ng X, na kahit papaano ay hindi maintindihan, at sa pangalawang kaso ay walang dapat alisin sa mga bracket...

Ngayon tandaan ang mga praktikal na pamamaraan na kapansin-pansing binabawasan ang bilang ng mga pagkakamali. Ang parehong mga iyon ay dahil sa kawalan ng pansin... Kung saan sa kalaunan ay nagiging masakit at nakakasakit...

Unang appointment. Huwag maging tamad bago lutasin ang isang quadratic equation at dalhin ito sa karaniwang view. Ano ang ibig sabihin nito?
Sabihin nating pagkatapos ng lahat ng mga pagbabagong-anyo ay makukuha mo ang sumusunod na equation:

Huwag magmadali upang isulat ang root formula! Halos tiyak na magkakahalo ka sa mga posibilidad a, b at c. Buuin nang wasto ang halimbawa. Una, X squared, pagkatapos ay walang square, pagkatapos ay ang libreng term. Ganito:

At muli, huwag magmadali! Ang isang minus sa harap ng isang X squared ay maaari talagang magalit sa iyo. Madaling kalimutan... Tanggalin ang minus. Paano? Oo, gaya ng itinuro sa nakaraang paksa! Kailangan nating i-multiply ang buong equation sa -1. Nakukuha namin:

Ngunit ngayon maaari mong ligtas na isulat ang formula para sa mga ugat, kalkulahin ang discriminant at tapusin ang paglutas ng halimbawa. Magpasya para sa iyong sarili. Dapat mayroon ka na ngayong mga ugat 2 at -1.

Pangalawa ang reception. Suriin ang mga ugat! Ayon sa teorama ni Vieta. Huwag kang matakot, ipapaliwanag ko ang lahat! Sinusuri huling bagay ang equation. Yung. ang ginamit namin para isulat ang root formula. Kung (tulad ng sa halimbawang ito) ang coefficient a = 1, ang pagsuri sa mga ugat ay madali. Ito ay sapat na upang i-multiply ang mga ito. Ang resulta ay dapat na isang libreng miyembro, i.e. sa aming kaso -2. Mangyaring tandaan, hindi 2, ngunit -2! Libreng miyembro kasama ang iyong tanda . Kung hindi ito gumana, nangangahulugan ito na nagkagulo na sila sa isang lugar. Hanapin ang error. Kung ito ay gumagana, kailangan mong idagdag ang mga ugat. Huling at huling pagsusuri. Ang koepisyent ay dapat b Sa kabaligtaran pamilyar. Sa aming kaso -1+2 = +1. Isang koepisyent b, na nasa harap ng X, ay katumbas ng -1. Kaya, lahat ay tama!
Nakakalungkot na napakasimple lang nito para sa mga halimbawa kung saan ang x squared ay purong, na may koepisyent. a = 1. Ngunit hindi bababa sa suriin ang gayong mga equation! Magkakaroon ng mas kaunting mga error.

Pangatlo ang reception. Kung ang iyong equation ay may fractional coefficients, alisin ang mga fraction! I-multiply ang equation sa isang common denominator gaya ng inilarawan sa nakaraang seksyon. Kapag nagtatrabaho sa mga fraction, patuloy na gumagapang ang mga error sa ilang kadahilanan...

Sa pamamagitan ng paraan, ipinangako ko na pasimplehin ang masamang halimbawa sa isang bungkos ng mga minus. Pakiusap! Heto siya.

Upang hindi malito sa mga minus, pinarami namin ang equation sa -1. Nakukuha namin:

Iyon lang! Ang paglutas ay isang kasiyahan!

Kaya, sabihin buod ang paksa.

Praktikal na payo:

1. Bago lutasin, dinadala namin ang quadratic equation sa karaniwang anyo at itayo ito Tama.

2. Kung mayroong negatibong koepisyent sa harap ng X squared, inaalis namin ito sa pamamagitan ng pagpaparami ng buong equation sa -1.

3. Kung fractional ang mga coefficient, inaalis namin ang mga fraction sa pamamagitan ng pagpaparami ng buong equation sa kaukulang factor.

4. Kung ang x squared ay dalisay, ang coefficient nito ay katumbas ng isa, ang solusyon ay madaling ma-verify gamit ang Vieta's theorem. Gawin mo!

Fractional equation. ODZ.

Patuloy naming pinagkadalubhasaan ang mga equation. Alam na natin kung paano gumawa ng mga linear at quadratic na equation. Ang huling view na natitira - mga fractional equation. O tinatawag din silang mas kagalang-galang - fractional rational equation . Ito ay pareho.

Fractional equation.

Gaya ng ipinahihiwatig ng pangalan, ang mga equation na ito ay kinakailangang naglalaman ng mga fraction. Ngunit hindi lamang mga praksiyon, ngunit mga praksiyon na mayroon hindi kilala sa denominator. Hindi bababa sa isa. Halimbawa:

Ipaalala ko sa iyo na kung ang mga denominador ay lamang numero, ito ay mga linear na equation.

Paano magdesisyon mga fractional equation? Una sa lahat, alisin ang mga fraction! Pagkatapos nito, ang equation ay madalas na nagiging linear o quadratic. At pagkatapos ay alam namin kung ano ang gagawin... Sa ilang mga kaso maaari itong maging isang pagkakakilanlan, tulad ng 5=5 o isang hindi tamang expression, tulad ng 7=2. Ngunit bihira itong mangyari. Babanggitin ko ito sa ibaba.

Ngunit paano mapupuksa ang mga fraction!? Napakasimple. Paglalapat ng magkaparehong pagbabagong-anyo.

Kailangan nating i-multiply ang buong equation sa parehong expression. Upang ang lahat ng mga denominador ay nabawasan! Ang lahat ay agad na magiging mas madali. Hayaan akong ipaliwanag sa isang halimbawa. Kailangan nating lutasin ang equation:

Paano ka tinuruan noong elementarya? Inilipat namin ang lahat sa isang tabi, dalhin ito sa isang karaniwang denominator, atbp. Kalimutan kung paano kakila-kilabot na panaginip! Ito ang kailangan mong gawin kapag nagdagdag o nagbawas ka. mga fractional na expression. O nagtatrabaho ka sa hindi pagkakapantay-pantay. At sa mga equation, agad nating i-multiply ang magkabilang panig sa pamamagitan ng isang expression na magbibigay sa atin ng pagkakataong bawasan ang lahat ng denominator (i.e., sa esensya, ng isang common denominator). At ano ang expression na ito?

Sa kaliwang bahagi, ang pagbabawas ng denominator ay nangangailangan ng pagpaparami ng x+2. At sa kanan, kailangan ang multiplication sa 2. Nangangahulugan ito na ang equation ay dapat i-multiply sa 2(x+2). Multiply:

Ito ay isang karaniwang multiplikasyon ng mga fraction, ngunit ilalarawan ko ito nang detalyado:

Pakitandaan na hindi ko pa binubuksan ang bracket (x + 2)! Kaya, sa kabuuan nito, isinulat ko ito:

Sa kaliwang bahagi ito ay ganap na kumukontra (x+2), at sa kanan 2. Alin ang kinakailangan! Pagkatapos ng pagbabawas makuha namin linear ang equation:

At lahat ay maaaring malutas ang equation na ito! x = 2.

Lutasin natin ang isa pang halimbawa, medyo mas kumplikado:

Kung naaalala natin na 3 = 3/1, at 2x = 2x/ 1, maaari nating isulat:

At muli, inaalis natin ang hindi natin gusto - mga fraction.

Nakikita natin na upang mabawasan ang denominator na may X, kailangan nating i-multiply ang fraction sa (x – 2). At ang iilan ay hindi hadlang sa amin. Well, paramihin natin. Lahat kaliwang bahagi At lahat kanang bahagi:

Panaklong muli (x – 2) Hindi ako nagsisiwalat. Nagtatrabaho ako sa bracket bilang isang buo na parang isang numero! Ito ay dapat palaging gawin, kung hindi, walang mababawasan.

Sa isang pakiramdam ng malalim na kasiyahan binabawasan namin (x – 2) at nakakakuha tayo ng equation na walang anumang fraction, na may ruler!

Ngayon buksan natin ang mga bracket:

Nagdadala kami ng mga katulad, ilipat ang lahat sa kaliwang bahagi at makakuha ng:

Klasikong quadratic equation. Ngunit ang minus sa unahan ay hindi maganda. Maaari mong palaging mapupuksa ito sa pamamagitan ng pagpaparami o paghahati sa -1. Ngunit kung titingnan mong mabuti ang halimbawa, mapapansin mo na pinakamahusay na hatiin ang equation na ito sa -2! Sa isang iglap, ang minus ay mawawala, at ang mga posibilidad ay magiging mas kaakit-akit! Hatiin sa -2. Sa kaliwang bahagi - termino ayon sa termino, at sa kanan - hatiin lamang ang zero sa -2, zero at makuha natin ang:

Niresolba namin ang discriminant at sinusuri gamit ang theorem ni Vieta. Nakukuha namin x = 1 at x = 3. Dalawang ugat.

Tulad ng nakikita mo, sa unang kaso ang equation pagkatapos ng pagbabagong-anyo ay naging linear, ngunit dito ito ay nagiging parisukat. Nangyayari na pagkatapos maalis ang mga fraction, lahat ng X ay nabawasan. May natitira, tulad ng 5=5. Ibig sabihin nito ay x ay maaaring maging kahit ano. Kung ano man yan, mababawasan pa rin. At ito ay lumabas na purong katotohanan, 5=5. Ngunit, pagkatapos maalis ang mga fraction, maaari itong maging ganap na hindi totoo, tulad ng 2=7. At ito ay nangangahulugan na walang solusyon! Ang alinmang X ay lumalabas na hindi totoo.

Napagtanto pangunahing paraan mga solusyon mga fractional equation? Ito ay simple at lohikal. Binabago natin ang orihinal na ekspresyon para mawala ang lahat ng hindi natin gusto. O nakakasagabal ito. SA sa kasong ito ito ay mga fraction. Gayon din ang gagawin natin sa lahat ng uri ng kumplikadong mga halimbawa na may logarithms, sines at iba pang kakila-kilabot. Kami Laging Alisin na natin ang lahat ng ito.

Gayunpaman, kailangan nating baguhin ang orihinal na expression sa direksyon na kailangan natin ayon sa mga tuntunin, oo... Ang karunungan nito ay paghahanda para sa Unified State Exam sa matematika. Kaya't pinagkadalubhasaan namin ito.

Ngayon ay matututunan natin kung paano i-bypass ang isa sa pangunahing ambus sa Unified State Exam! Ngunit una, tingnan natin kung nahulog ka ba dito o hindi?

Tingnan natin ang isang simpleng halimbawa:

Ang bagay ay pamilyar na, pinarami namin ang magkabilang panig (x – 2), nakukuha natin ang:

I remind you, with brackets (x – 2) Nagtatrabaho kami na parang may isa, integral na expression!

Dito hindi na ako sumulat ng isa sa mga denominador, ito ay hindi marangal... At hindi ako gumuhit ng mga bracket sa mga denominator, maliban sa x – 2 walang anuman, hindi mo kailangang gumuhit. Paikliin natin:

Buksan ang mga panaklong, ilipat ang lahat sa kaliwa, at magbigay ng mga katulad:

Malutas namin, suriin, nakakuha kami ng dalawang ugat. x = 2 At x = 3. Malaki.

Ipagpalagay na ang takdang-aralin ay nagsasabi na isulat ang ugat, o ang kanilang kabuuan kung mayroong higit sa isang ugat. Ano ang isusulat natin?

Kung magpasya kang ang sagot ay 5, ikaw ay tinambangan. At ang gawain ay hindi mai-kredito sa iyo. Nagtrabaho sila nang walang kabuluhan... Ang tamang sagot ay 3.

Anong problema?! At subukan mong gumawa ng tseke. Palitan ang mga halaga ng hindi alam sa orihinal halimbawa. At kung sa x = 3 lahat ay lalago nang kahanga-hanga, makakakuha tayo ng 9 = 9, pagkatapos ay kailan x = 2 Ito ay magiging dibisyon ng zero! Ang talagang hindi mo magagawa. ibig sabihin x = 2 ay hindi isang solusyon, at hindi isinasaalang-alang sa sagot. Ito ang tinatawag na extraneous o extra root. Itatapon na lang namin. Ang huling ugat ay isa. x = 3.

Paano kaya?! – Nakarinig ako ng mga galit na bulalas. Itinuro sa amin na ang isang equation ay maaaring i-multiply sa isang expression! Ito ay isang magkatulad na pagbabagong-anyo!

Oo, magkapareho. Sa maliit na kondisyon– ang expression kung saan tayo nagpaparami (hatiin) – iba sa zero. A x – 2 sa x = 2 katumbas ng zero! Kaya lahat ay patas.

At ngayon ano ang magagawa ko?! Huwag i-multiply sa expression? Dapat ko bang suriin sa bawat oras? Muli itong hindi malinaw!

mahinahon! Huwag mag-panic!

Sa mahirap na sitwasyong ito, tatlong magic letter ang magliligtas sa atin. Alam ko kung ano ang iniisip mo. Tama! Ito ODZ . Lugar ng Mga Katanggap-tanggap na Halaga.

Quadratic equation - madaling lutasin! *Pagkatapos nito ay tinukoy bilang "KU". Mga kaibigan, tila wala nang mas simple sa matematika kaysa sa paglutas ng gayong equation. Pero may nagsabi sa akin na maraming tao ang may problema sa kanya. Nagpasya akong makita kung gaano karaming on-demand na mga impression ang ibinibigay ng Yandex bawat buwan. Narito ang nangyari, tingnan mo:

Ano ang ibig sabihin nito? Nangangahulugan ito na humigit-kumulang 70,000 tao bawat buwan ang naghahanap impormasyong ito, ano ang kinalaman ng tag-init na ito, at kung ano ang mangyayari sa taon ng paaralan— magkakaroon ng dobleng dami ng mga kahilingan. Hindi ito nakakagulat, dahil ang mga lalaki at babae na nagtapos sa paaralan ng mahabang panahon at naghahanda para sa Unified State Exam ay naghahanap ng impormasyong ito, at ang mga mag-aaral ay nagsusumikap din na i-refresh ang kanilang memorya.

Sa kabila ng katotohanan na maraming mga site na nagsasabi sa iyo kung paano lutasin ang equation na ito, nagpasya akong mag-ambag din at mag-publish ng materyal. Una, gusto kong pumunta ang mga bisita sa aking site batay sa kahilingang ito; pangalawa, sa ibang mga artikulo, kapag lumabas ang paksang "KU", magbibigay ako ng link sa artikulong ito; pangatlo, sasabihin ko sa iyo ang higit pa tungkol sa kanyang solusyon kaysa sa karaniwang nakasaad sa ibang mga site. Magsimula na tayo! Ang nilalaman ng artikulo:

Ang isang quadratic equation ay isang equation ng form:

kung saan ang mga coefficient a,bat c ay mga arbitrary na numero, na may a≠0.

Sa kurso ng paaralan, ang materyal ay ibinigay sa ang sumusunod na anyo- ang mga equation ay nahahati sa tatlong klase:

1. Mayroon silang dalawang ugat.

2. *Magkaroon lamang ng isang ugat.

3. Wala silang mga ugat. Ito ay nagkakahalaga lalo na tandaan dito na wala silang tunay na mga ugat

Paano kinakalkula ang mga ugat? Basta!

Kinakalkula namin ang discriminant. Sa ilalim ng "kakila-kilabot" na salitang ito ay may napakasimpleng formula:

Ang mga root formula ay ang mga sumusunod:

*Kailangan mong malaman ang mga formula na ito sa puso.

Maaari mong agad na isulat at lutasin ang:

Halimbawa:

1. Kung D > 0, ang equation ay may dalawang ugat.

2. Kung D = 0, ang equation ay may isang ugat.

3. Kung D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Tingnan natin ang equation:

Sa bagay na ito, kapag ang discriminant ay katumbas ng zero, ang kurso sa paaralan ay nagsasabi na ang isang ugat ay nakuha, dito ito ay katumbas ng siyam. Tama ang lahat, ganoon nga, ngunit...

Ang ideyang ito ay medyo hindi tama. Sa katunayan, mayroong dalawang ugat. Oo, oo, huwag magulat, nakakakuha ka ng dalawang pantay na ugat, at upang maging tumpak sa matematika, kung gayon ang sagot ay dapat sumulat ng dalawang ugat:

x 1 = 3 x 2 = 3

Ngunit ito ay kaya - isang maliit na digression. Sa paaralan maaari mong isulat ito at sabihin na mayroong isang ugat.

Ngayon ang susunod na halimbawa:

Tulad ng alam natin, ang ugat ng isang negatibong numero ay hindi maaaring kunin, kaya walang solusyon sa kasong ito.

Iyan ang buong proseso ng desisyon.

Quadratic function.

Ipinapakita nito kung ano ang hitsura ng solusyon sa geometriko. Napakahalagang maunawaan ito (sa hinaharap, sa isa sa mga artikulo ay susuriin namin nang detalyado ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ng parisukat).

Ito ay isang function ng form:

kung saan ang x at y ay mga variable

a, b, c – ibinigay na mga numero, na may ≠ 0

Ang graph ay isang parabola:

Iyon ay, lumalabas na sa pamamagitan ng paglutas ng isang quadratic equation na may "y" na katumbas ng zero, nakita natin ang mga punto ng intersection ng parabola na may x axis. Maaaring may dalawa sa mga puntong ito (positibo ang discriminant), isa (zero ang discriminant) at wala (negatibo ang discriminant). Mga detalye tungkol sa quadratic function Maaari mong tingnan artikulo ni Inna Feldman.

Tingnan natin ang mga halimbawa:

Halimbawa 1: Lutasin 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Sagot: x 1 = 8 x 2 = –12

*Ito ay posible na agad na hatiin ang kaliwa at kanang bahagi ng equation sa pamamagitan ng 2, iyon ay, pasimplehin ito. Ang mga kalkulasyon ay magiging mas madali.

Halimbawa 2: Magpasya x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Nalaman namin na x 1 = 11 at x 2 = 11

Ito ay pinahihintulutang isulat ang x = 11 sa sagot.

Sagot: x = 11

Halimbawa 3: Magpasya x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Ang discriminant ay negatibo, walang solusyon sa totoong mga numero.

Sagot: walang solusyon

Ang discriminant ay negatibo. May solusyon!

Dito ay pag-uusapan natin ang paglutas ng equation sa kaso kapag nakakuha ng negatibong diskriminasyon. May alam ka ba tungkol sa mga kumplikadong numero? Hindi ko na idedetalye dito ang tungkol sa kung bakit at saan sila lumitaw at kung ano ang kanilang tiyak na papel at pangangailangan sa matematika; ito ay isang paksa para sa isang malaking hiwalay na artikulo.

Ang konsepto ng isang kumplikadong numero.

Isang maliit na teorya.

Ang complex number z ay isang numero ng form

z = a + bi

kung saan ang a at b ay tunay na mga numero, ang i ay ang tinatawag na imaginary unit.

a+bi – ito ay isang SINGLE NUMBER, hindi isang karagdagan.

Ang haka-haka na yunit ay katumbas ng ugat ng minus one:

Ngayon isaalang-alang ang equation:

Nakakakuha kami ng dalawang conjugate roots.

Hindi kumpletong quadratic equation.

Isaalang-alang natin ang mga espesyal na kaso, ito ay kapag ang coefficient "b" o "c" ay katumbas ng zero (o pareho ay katumbas ng zero). Madali silang malulutas nang walang anumang diskriminasyon.

Case 1. Coefficient b = 0.

Ang equation ay nagiging:

Ibahin natin:

Halimbawa:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Case 2. Coefficient c = 0.

Ang equation ay nagiging:

Ibahin natin at i-factor:

*Ang produkto ay katumbas ng zero kapag kahit isa sa mga salik ay katumbas ng zero.

Halimbawa:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 o x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Case 3. Coefficients b = 0 at c = 0.

Dito ay malinaw na ang solusyon sa equation ay palaging magiging x = 0.

Mga kapaki-pakinabang na katangian at pattern ng mga coefficient.

May mga katangian na nagbibigay-daan sa iyo upang malutas ang mga equation na may malalaking coefficient.

Ax 2 + bx+ c=0 pinanghahawakan ang pagkakapantay-pantay

a + b+ c = 0, yun

- kung para sa mga coefficient ng equation Ax 2 + bx+ c=0 pinanghahawakan ang pagkakapantay-pantay

a+ c =b, yun

Ang mga katangiang ito ay tumutulong sa pagpapasya isang tiyak na uri mga equation

Halimbawa 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Ang kabuuan ng mga logro ay 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, ibig sabihin

Halimbawa 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Ang pagkakapantay-pantay ay pinanghahawakan a+ c =b, ibig sabihin

Regularities ng coefficients.

1. Kung sa equation ax 2 + bx + c = 0 ang coefficient "b" ay katumbas ng (a 2 +1), at ang coefficient "c" ay numerical katumbas ng koepisyent"a", kung gayon ang mga ugat nito ay pantay

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Halimbawa. Isaalang-alang ang equation na 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Kung sa equation ax 2 – bx + c = 0 ang coefficient “b” ay katumbas ng (a 2 +1), at ang coefficient “c” ay numerically equal sa coefficient “a”, kung gayon ang mga ugat nito ay pantay.

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Halimbawa. Isaalang-alang ang equation na 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Kung sa Eq. ax 2 + bx – c = 0 koepisyent “b” ay katumbas ng (a 2 – 1), at coefficient “c” ay katumbas ng bilang sa coefficient na "a", saka magkapantay ang mga ugat nito

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Halimbawa. Isaalang-alang ang equation na 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Kung sa equation na ax 2 – bx – c = 0 ang coefficient “b” ay katumbas ng (a 2 – 1), at ang coefficient c ay numerical na katumbas ng coefficient “a”, kung gayon ang mga ugat nito ay pantay.

palakol 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Halimbawa. Isaalang-alang ang equation na 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Ang teorama ni Vieta.

Ang theorem ni Vieta ay pinangalanan sa sikat na French mathematician na si Francois Vieta. Gamit ang teorama ni Vieta, maaari nating ipahayag ang kabuuan at produkto ng mga ugat ng isang arbitrary na KU sa mga tuntunin ng mga coefficient nito.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Sa kabuuan, ang bilang na 14 ay nagbibigay lamang ng 5 at 9. Ito ang mga ugat. Sa isang tiyak na kasanayan, gamit ang ipinakita na teorama, maaari mong malutas kaagad ang maraming mga quadratic equation.

Ang teorama ni Vieta, bilang karagdagan. Ito ay maginhawa sa na pagkatapos ng paglutas ng isang parisukat na equation sa karaniwang paraan (sa pamamagitan ng isang discriminant), ang mga nagresultang mga ugat ay maaaring masuri. Inirerekomenda kong gawin ito palagi.

PARAAN NG TRANSPORTASYON

Sa pamamaraang ito, ang koepisyent na "a" ay pinarami ng libreng termino, na parang "itinapon" dito, kaya naman tinawag itong paraan ng "paglipat". Ang paraang ito ay ginagamit kapag ang mga ugat ng equation ay madaling mahanap gamit ang Vieta's theorem at, higit sa lahat, kapag ang discriminant ay isang eksaktong parisukat.

Kung A± b+c≠ 0, pagkatapos ay ginagamit ang pamamaraan ng paglipat, halimbawa:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Gamit ang theorem ni Vieta sa equation (2), madaling matukoy na x 1 = 10 x 2 = 1

Ang mga resultang ugat ng equation ay dapat nahahati sa 2 (dahil ang dalawa ay "itinapon" mula sa x 2), nakukuha natin

x 1 = 5 x 2 = 0.5.

Ano ang katwiran? Tingnan mo ang nangyayari.

Ang mga diskriminasyon ng mga equation (1) at (2) ay pantay:

Kung titingnan mo ang mga ugat ng mga equation, makakakuha ka lamang ng iba't ibang mga denominador, at ang resulta ay tiyak na nakasalalay sa koepisyent ng x 2:

Ang pangalawa (binago) ay may mga ugat na 2 beses na mas malaki.

Samakatuwid, hinati namin ang resulta sa 2.

*Kung i-reroll natin ang tatlo, hahatiin natin ang resulta sa 3, atbp.

Sagot: x 1 = 5 x 2 = 0.5

Sq. ur-ie at Pinag-isang State Examination.

Sasabihin ko sa iyo nang maikli ang tungkol sa kahalagahan nito - DAPAT KAYONG MAGPASIYA nang mabilis at nang hindi nag-iisip, kailangan mong malaman ang mga pormula ng mga ugat at mga diskriminasyon sa puso. Marami sa mga problemang kasama sa mga gawain ng Pinag-isang Estado na Pagsusuri ay napupunta sa paglutas ng isang quadratic equation (kasama ang mga geometriko).

Isang bagay na dapat tandaan!

1. Ang anyo ng pagsulat ng isang equation ay maaaring "implicit". Halimbawa, posible ang sumusunod na entry:

15+ 9x 2 - 45x = 0 o 15x+42+9x 2 - 45x=0 o 15 -5x+10x 2 = 0.

Kailangan mong dalhin ito sa isang karaniwang form (upang hindi malito kapag nag-solve).

2. Tandaan na ang x ay isang hindi kilalang dami at maaari itong tukuyin ng anumang iba pang titik - t, q, p, h at iba pa.

Ang mga problema sa quadratic equation ay pinag-aralan din sa kurikulum ng paaralan at sa mga unibersidad. Ang ibig nilang sabihin ay mga equation ng anyong a*x^2 + b*x + c = 0, kung saan x- variable, a, b, c - mga pare-pareho; a<>0 . Ang gawain ay upang mahanap ang mga ugat ng equation.

Geometric na kahulugan ng quadratic equation

Ang graph ng isang function na kinakatawan ng isang quadratic equation ay isang parabola. Ang mga solusyon (roots) ng isang quadratic equation ay ang mga punto ng intersection ng parabola na may abscissa (x) axis. Ito ay sumusunod na mayroong tatlong posibleng mga kaso:
1) ang parabola ay walang mga punto ng intersection sa abscissa axis. Nangangahulugan ito na ito ay nasa itaas na eroplano na may mga sanga sa itaas o sa ibaba na may mga sanga pababa. Sa ganitong mga kaso, ang quadratic equation ay walang tunay na ugat (ito ay may dalawang kumplikadong ugat).

2) ang parabola ay may isang punto ng intersection sa Ox axis. Ang nasabing punto ay tinatawag na vertex ng parabola, at ang quadratic equation dito ay nakakakuha ng pinakamababa o pinakamataas na halaga. Sa kasong ito, ang quadratic equation ay may isang tunay na ugat (o dalawa magkaparehong ugat).

3) Ang huling kaso ay mas kawili-wili sa pagsasanay - mayroong dalawang punto ng intersection ng parabola na may abscissa axis. Nangangahulugan ito na mayroong dalawang tunay na ugat ng equation.

Batay sa pagsusuri ng mga coefficient ng mga kapangyarihan ng mga variable, ang mga kagiliw-giliw na konklusyon ay maaaring iguguhit tungkol sa paglalagay ng parabola.

1) Kung ang coefficient a ay mas malaki kaysa sa zero, ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta paitaas; kung ito ay negatibo, ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta pababa.

2) Kung ang coefficient b ay mas malaki kaysa sa zero, kung gayon ang vertex ng parabola ay nasa kaliwang kalahating eroplano, kung kukuha ito ng negatibong halaga, pagkatapos ay sa kanan.

Derivation ng formula para sa paglutas ng isang quadratic equation

Ilipat natin ang pare-pareho mula sa quadratic equation

para sa pantay na tanda, nakukuha namin ang expression

I-multiply ang magkabilang panig sa 4a

Upang makakuha ng kumpletong parisukat sa kaliwa, magdagdag ng b^2 sa magkabilang panig at isagawa ang pagbabago

Mula dito makikita natin

Formula para sa discriminant at mga ugat ng isang quadratic equation

Ang discriminant ay ang halaga ng radical expression. Kung ito ay positibo, ang equation ay may dalawang tunay na ugat, na kinakalkula ng formula Kapag ang discriminant ay zero, ang quadratic equation ay may isang solusyon (dalawang coinciding roots), na madaling makuha mula sa itaas na formula para sa D=0. Kapag ang discriminant ay negatibo, ang equation ay walang tunay na ugat. Gayunpaman, ang mga solusyon sa quadratic equation ay matatagpuan sa kumplikadong eroplano, at ang kanilang halaga ay kinakalkula gamit ang formula

Ang teorama ni Vieta

Isaalang-alang natin ang dalawang ugat ng isang quadratic equation at bumuo ng isang quadratic equation sa kanilang batayan. Ang theorem ni Vieta mismo ay madaling sumusunod mula sa notation: kung mayroon tayong quadratic equation ng form kung gayon ang kabuuan ng mga ugat nito ay katumbas ng coefficient p na kinuha mula sa kabaligtaran ng tanda, at ang produkto ng mga ugat ng equation ay katumbas ng libreng termino q. Ang formulaic na representasyon ng nasa itaas ay magmumukhang Kung sa isang classical equation ang pare-parehong a ay nonzero, pagkatapos ay kailangan mong hatiin ang buong equation sa pamamagitan nito, at pagkatapos ay ilapat ang Vieta's theorem.

Factoring quadratic equation schedule

Hayaang itakda ang gawain: i-factor ang isang quadratic equation. Upang gawin ito, lutasin muna natin ang equation (hanapin ang mga ugat). Susunod, pinapalitan natin ang mga natagpuang ugat sa formula ng pagpapalawak para sa quadratic equation. Ito ay malulutas ang problema.

Mga problema sa quadratic equation

Gawain 1. Hanapin ang mga ugat ng isang quadratic equation

x^2-26x+120=0 .

Solusyon: Isulat ang mga coefficient at palitan ang mga ito sa discriminant formula

ugat ng binigay na halaga ay katumbas ng 14, ito ay madaling mahanap sa isang calculator, o tandaan na may madalas na paggamit, gayunpaman, para sa kaginhawahan, sa dulo ng artikulo ay bibigyan kita ng isang listahan ng mga parisukat ng mga numero na maaaring madalas na nakatagpo sa mga naturang problema.
Pinapalitan namin ang nahanap na halaga sa root formula

at nakukuha namin

Gawain 2. Lutasin ang equation

2x 2 +x-3=0.

Solusyon: Mayroon kaming kumpletong quadratic equation, isulat ang mga coefficient at hanapin ang discriminant

Gamit ang mga kilalang formula, makikita natin ang mga ugat ng quadratic equation

Gawain 3. Lutasin ang equation

9x 2 -12x+4=0.

Solusyon: Mayroon kaming kumpletong quadratic equation. Pagtukoy sa diskriminasyon

Mayroon kaming isang kaso kung saan ang mga ugat ay nag-tutugma. Hanapin ang mga halaga ng mga ugat gamit ang formula

Gawain 4. Lutasin ang equation

x^2+x-6=0 .

Solusyon: Sa mga kaso kung saan may maliliit na coefficient para sa x, ipinapayong ilapat ang theorem ng Vieta. Sa pamamagitan ng kondisyon nito ay nakakakuha tayo ng dalawang equation

Mula sa pangalawang kundisyon nakita namin na ang produkto ay dapat na katumbas ng -6. Nangangahulugan ito na ang isa sa mga ugat ay negatibo. Mayroon kaming sumusunod na posibleng pares ng mga solusyon (-3;2), (3;-2) . Isinasaalang-alang ang unang kundisyon, tinatanggihan namin ang pangalawang pares ng mga solusyon.
Ang mga ugat ng equation ay pantay

Suliranin 5. Hanapin ang mga haba ng mga gilid ng isang parihaba kung ang perimeter nito ay 18 cm at ang lawak nito ay 77 cm 2.

Solusyon: Ang kalahati ng perimeter ng isang parihaba ay katumbas ng kabuuan ng mga katabing gilid nito. Tukuyin natin ang x bilang mas malaking bahagi, pagkatapos ay 18-x ang mas maliit na bahagi nito. Ang lugar ng rektanggulo ay katumbas ng produkto ng mga haba na ito:
x(18-x)=77;
o
x 2 -18x+77=0.
Hanapin natin ang discriminant ng equation

Pagkalkula ng mga ugat ng equation

Kung x=11, yun 18's=7 , ang kabaligtaran ay totoo rin (kung x=7, pagkatapos ay 21's=9).

Suliranin 6. I-factor ang quadratic equation na 10x 2 -11x+3=0.

Solusyon: Kalkulahin natin ang mga ugat ng equation, upang gawin ito ay makikita natin ang discriminant

Pinapalitan namin ang nahanap na halaga sa root formula at kalkulahin

Inilapat namin ang formula para sa decomposing isang quadratic equation sa pamamagitan ng mga ugat

Pagbukas ng mga bracket, makakakuha tayo ng pagkakakilanlan.

Quadratic equation na may parameter

Halimbawa 1. Sa anong mga halaga ng parameter A , may isang ugat ba ang equation (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0?

Solusyon: Sa pamamagitan ng direktang pagpapalit ng halaga a=3 makikita natin na wala itong solusyon. Susunod, gagamitin namin ang katotohanan na sa isang zero discriminant ang equation ay may isang ugat ng multiplicity 2. Isulat natin ang discriminant

Pasimplehin natin ito at i-equate ito sa zero

Nakuha namin ang isang quadratic equation na may paggalang sa parameter a, ang solusyon kung saan ay madaling makuha gamit ang teorem ng Vieta. Ang kabuuan ng mga ugat ay 7, at ang kanilang produkto ay 12. Sa pamamagitan ng simpleng paghahanap, itinatag namin na ang mga numero 3,4 ang magiging ugat ng equation. Dahil tinanggihan na namin ang solusyon a=3 sa simula ng mga kalkulasyon, ang tanging tama ay - a=4. Kaya, para sa a=4 ang equation ay may isang ugat.

Halimbawa 2. Sa anong mga halaga ng parameter A , ang equation a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 may higit sa isang ugat?

Solusyon: Isaalang-alang muna natin ang mga singular na puntos, ang mga ito ay ang mga halaga a=0 at a=-3. Kapag a=0, ang equation ay pasimplehin sa anyo na 6x-9=0; x=3/2 at magkakaroon ng isang ugat. Para sa a= -3 makuha natin ang pagkakakilanlan 0=0.
Kalkulahin natin ang discriminant

at hanapin ang halaga ng isang kung saan ito ay positibo

Mula sa unang kundisyon nakakakuha tayo ng>3. Para sa pangalawa, makikita natin ang discriminant at mga ugat ng equation

Tukuyin natin ang mga pagitan kung saan tumatagal ang function mga positibong halaga. Sa pamamagitan ng pagpapalit ng puntong a=0 nakukuha natin 3>0 . Kaya, sa labas ng pagitan (-3;1/3) ang function ay negatibo. Huwag kalimutan ang punto a=0, na dapat na hindi kasama dahil ang orihinal na equation ay may isang ugat dito.
Bilang resulta, nakakakuha kami ng dalawang pagitan na nakakatugon sa mga kondisyon ng problema

Magkakaroon ng maraming katulad na mga gawain sa pagsasanay, subukang malaman ang mga gawain sa iyong sarili at huwag kalimutang isaalang-alang ang mga kondisyon na kapwa eksklusibo. Pag-aralan mabuti ang mga formula para sa solusyon quadratic equation, sila ay madalas na kailangan sa mga kalkulasyon sa iba't ibang mga gawain at agham.

Unang antas

Quadratic equation. Komprehensibong gabay (2019)

Sa terminong "quadratic equation," ang pangunahing salita ay "quadratic." Nangangahulugan ito na ang equation ay dapat na naglalaman ng variable (na parehong x) squared, at hindi dapat magkaroon ng xes sa pangatlo (o mas mataas) na kapangyarihan.

Ang solusyon ng maraming equation ay bumaba sa paglutas ng mga quadratic equation.

Alamin natin na ito ay isang quadratic equation at hindi ibang equation.

Halimbawa 1.

Alisin natin ang denominator at i-multiply ang bawat termino ng equation sa

Ilipat natin ang lahat sa kaliwang bahagi at ayusin ang mga termino sa pababang pagkakasunud-sunod ng mga kapangyarihan ng X

Ngayon ay maaari nating sabihin nang may kumpiyansa na ang equation na ito ay quadratic!

Halimbawa 2.

I-multiply ang kaliwa at kanang bahagi sa pamamagitan ng:

Ang equation na ito, kahit na ito ay orihinal na nasa loob nito, ay hindi quadratic!

Halimbawa 3.

I-multiply natin ang lahat sa pamamagitan ng:

Nakakatakot? Ang ika-apat at ikalawang degree... Gayunpaman, kung gagawa tayo ng kapalit, makikita natin na mayroon tayong simpleng quadratic equation:

Halimbawa 4.

Mukhang naroroon, ngunit tingnan natin nang maigi. Ilipat natin ang lahat sa kaliwang bahagi:

Kita mo, lumiit ito - at ngayon ay simple na linear equation!

Ngayon subukang tukuyin para sa iyong sarili kung alin sa mga sumusunod na equation ang quadratic at alin ang hindi:

Mga halimbawa:

Mga sagot:

parisukat;
parisukat;
hindi parisukat;
hindi parisukat;
hindi parisukat;
parisukat;
hindi parisukat;
parisukat.

Karaniwang hinahati ng mga mathematician ang lahat ng quadratic equation sa mga sumusunod na uri:

Kumpletuhin ang mga quadratic equation- mga equation kung saan ang mga coefficient at, pati na rin ang libreng termino c, ay hindi katumbas ng zero (tulad ng sa halimbawa). Bilang karagdagan, sa mga kumpletong quadratic equation ay mayroong binigay- ito ay mga equation kung saan ang coefficient (ang equation mula sa halimbawa ng isa ay hindi lamang kumpleto, ngunit nabawasan din!)

Hindi kumpletong quadratic equation- mga equation kung saan ang coefficient at o ang libreng termino c ay katumbas ng zero:
Hindi kumpleto ang mga ito dahil may nawawala silang elemento. Ngunit ang equation ay dapat palaging naglalaman ng x squared!!! Kung hindi man, hindi na ito magiging isang quadratic equation, ngunit ibang equation.

Bakit sila nagkaroon ng ganitong dibisyon? Mukhang may X squared, at okay. Ang paghahati na ito ay tinutukoy ng mga pamamaraan ng solusyon. Tingnan natin ang bawat isa sa kanila nang mas detalyado.

Paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation

Una, tumuon tayo sa paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation - mas simple ang mga ito!

May mga uri ng hindi kumpletong quadratic equation:

, sa equation na ito ang coefficient ay pantay.
, sa equation na ito ang libreng termino ay katumbas ng.
, sa equation na ito ang coefficient at ang free term ay pantay.

1. i. Dahil alam natin kung paano kunin ang square root, gamitin natin ang equation na ito upang ipahayag

Ang expression ay maaaring negatibo o positibo. Ang isang numerong parisukat ay hindi maaaring negatibo, dahil kapag nagpaparami ng dalawang negatibo o dalawang positibong numero, ang resulta ay palaging magiging positibong numero, kaya: kung, kung gayon ang equation ay walang mga solusyon.

At kung, pagkatapos ay makakakuha tayo ng dalawang ugat. Hindi na kailangang isaulo ang mga formula na ito. Ang pangunahing bagay ay dapat mong malaman at laging tandaan na hindi ito maaaring mas mababa.

Subukan nating lutasin ang ilang halimbawa.

Halimbawa 5:

Lutasin ang equation

Ngayon ang natitira na lang ay kunin ang ugat mula sa kaliwa at kanang bahagi. Pagkatapos ng lahat, naaalala mo kung paano kunin ang mga ugat?

Sagot:

Huwag kalimutan ang tungkol sa mga ugat na may negatibong senyales!!!

Halimbawa 6:

Lutasin ang equation

Sagot:

Halimbawa 7:

Lutasin ang equation

Oh! Ang parisukat ng isang numero ay hindi maaaring negatibo, na nangangahulugan na ang equation

walang ugat!

Para sa mga naturang equation na walang mga ugat, ang mga mathematician ay nakabuo ng isang espesyal na icon - (empty set). At ang sagot ay maaaring isulat tulad nito:

Sagot:

Kaya, ang quadratic equation na ito ay may dalawang ugat. Walang mga paghihigpit dito, dahil hindi namin kinuha ang ugat.
Halimbawa 8:

Lutasin ang equation

Alisin natin ang karaniwang salik sa mga bracket:

kaya,

Ang equation na ito ay may dalawang ugat.

Sagot:

Ang pinakasimpleng uri ng hindi kumpletong quadratic equation (bagama't lahat sila ay simple, tama?). Malinaw, ang equation na ito ay palaging may isang ugat lamang:

Magbibigay kami ng mga halimbawa dito.

Paglutas ng kumpletong quadratic equation

Ipinapaalala namin sa iyo na ang isang kumpletong quadratic equation ay isang equation ng form equation kung saan

Ang paglutas ng kumpletong quadratic equation ay medyo mas mahirap (konti lang) kaysa sa mga ito.

Tandaan, Anumang quadratic equation ay maaaring malutas gamit ang isang discriminant! Kahit hindi kumpleto.

Ang iba pang mga pamamaraan ay makakatulong sa iyo na gawin ito nang mas mabilis, ngunit kung mayroon kang mga problema sa mga quadratic equation, master muna ang solusyon gamit ang discriminant.

1. Paglutas ng mga quadratic equation gamit ang isang discriminant.

Ang paglutas ng mga quadratic equation gamit ang pamamaraang ito ay napaka-simple, ang pangunahing bagay ay tandaan ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon at isang pares ng mga formula.

Kung, kung gayon ang equation ay may ugat. Espesyal na atensyon humakbang. Sinasabi sa atin ng discriminant () ang bilang ng mga ugat ng equation.

Kung, ang formula sa hakbang ay mababawasan sa. Kaya, ang equation ay magkakaroon lamang ng ugat.
Kung, kung gayon, hindi namin ma-extract ang ugat ng discriminant sa hakbang. Ito ay nagpapahiwatig na ang equation ay walang mga ugat.

Bumalik tayo sa ating mga equation at tingnan ang ilang mga halimbawa.

Halimbawa 9:

Lutasin ang equation

Hakbang 1 laktawan natin.

Hakbang 2.

Nakikita namin ang discriminant:

Nangangahulugan ito na ang equation ay may dalawang ugat.

Hakbang 3.

Sagot:

Halimbawa 10:

Lutasin ang equation

Ang equation ay ipinakita sa karaniwang anyo, kaya Hakbang 1 laktawan natin.

Hakbang 2.

Nakikita namin ang discriminant:

Nangangahulugan ito na ang equation ay may isang ugat.

Sagot:

Halimbawa 11:

Lutasin ang equation

Ang equation ay ipinakita sa karaniwang anyo, kaya Hakbang 1 laktawan natin.

Hakbang 2.

Nakikita namin ang discriminant:

Nangangahulugan ito na hindi namin makukuha ang ugat ng discriminant. Walang mga ugat ng equation.

Ngayon alam na natin kung paano isulat nang tama ang mga ganoong sagot.

Sagot: walang ugat

2. Paglutas ng mga quadratic equation gamit ang Vieta's theorem.

Kung naaalala mo, mayroong isang uri ng equation na tinatawag na reduced (kapag ang coefficient a ay katumbas ng):

Ang ganitong mga equation ay napakadaling lutasin gamit ang Vieta's theorem:

Kabuuan ng mga ugat binigay ang quadratic equation ay pantay, at ang produkto ng mga ugat ay pantay.

Halimbawa 12:

Lutasin ang equation

Ang equation na ito ay maaaring malutas gamit ang Vieta's theorem dahil .

Ang kabuuan ng mga ugat ng equation ay pantay, i.e. makuha namin ang unang equation:

At ang produkto ay katumbas ng:

Bumuo tayo at lutasin ang sistema:

At. Ang halaga ay katumbas ng;
At. Ang halaga ay katumbas ng;
At. Ang halaga ay katumbas.

at ang solusyon sa system:

Sagot: ; .

Halimbawa 13:

Lutasin ang equation

Sagot:

Halimbawa 14:

Lutasin ang equation

Ang equation ay ibinigay, na nangangahulugang:

Sagot:

MGA PAQUADRATIC EQUATIONS. AVERAGE LEVEL

Ano ang isang quadratic equation?

Sa madaling salita, ang isang quadratic equation ay isang equation ng form, kung saan - ang hindi alam, - ilang mga numero, at.

Ang bilang ay tinatawag na pinakamataas o unang koepisyent quadratic equation, - pangalawang koepisyent, A - libreng miyembro.

Bakit? Dahil kung magiging linear agad ang equation, kasi mawawala.

Sa kasong ito, at maaaring katumbas ng zero. Sa upuan equation na ito ay tinatawag na hindi kumpleto. Kung ang lahat ng mga termino ay nasa lugar, iyon ay, ang equation ay kumpleto na.

Mga solusyon sa iba't ibang uri ng quadratic equation

Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation:

Una, tingnan natin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation - mas simple ang mga ito.

Maaari nating makilala ang mga sumusunod na uri ng mga equation:

I., sa equation na ito ang coefficient at ang free term ay pantay.

II. , sa equation na ito ang coefficient ay pantay.

III. , sa equation na ito ang libreng termino ay katumbas ng.

Ngayon tingnan natin ang solusyon sa bawat isa sa mga subtype na ito.

Malinaw, ang equation na ito ay palaging may isang ugat lamang:

Ang isang squared na numero ay hindi maaaring negatibo, dahil kapag nag-multiply ka ng dalawang negatibo o dalawang positibong numero, ang resulta ay palaging isang positibong numero. kaya naman:

kung, kung gayon ang equation ay walang mga solusyon;

kung mayroon tayong dalawang ugat

Hindi na kailangang isaulo ang mga formula na ito. Ang pangunahing bagay na dapat tandaan ay hindi ito maaaring mas mababa.

Mga halimbawa:

Mga solusyon:

Sagot:

Huwag kalimutan ang tungkol sa mga ugat na may negatibong tanda!

Ang parisukat ng isang numero ay hindi maaaring negatibo, na nangangahulugan na ang equation

walang ugat.

Upang maisulat sa madaling sabi na walang solusyon ang isang problema, ginagamit namin ang icon na walang laman na hanay.

Sagot:

Kaya, ang equation na ito ay may dalawang ugat: at.

Sagot:

Alisin natin ang karaniwang salik sa mga bracket:

Ang produkto ay katumbas ng zero kung hindi bababa sa isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero. Nangangahulugan ito na ang equation ay may solusyon kapag:

Kaya, ang quadratic equation na ito ay may dalawang ugat: at.

Halimbawa:

Lutasin ang equation.

Solusyon:

I-factor natin ang kaliwang bahagi ng equation at hanapin ang mga ugat:

Sagot:

Mga pamamaraan para sa paglutas ng kumpletong quadratic equation:

1. Diskriminasyon

Ang paglutas ng mga quadratic equation sa ganitong paraan ay madali, ang pangunahing bagay ay tandaan ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon at isang pares ng mga formula. Tandaan, ang anumang quadratic equation ay maaaring malutas gamit ang isang discriminant! Kahit hindi kumpleto.

Napansin mo ba ang ugat mula sa discriminant sa formula para sa mga ugat? Ngunit ang discriminant ay maaaring negatibo. Anong gagawin? Kailangan nating bigyan ng espesyal na pansin ang hakbang 2. Sinasabi sa atin ng discriminant ang bilang ng mga ugat ng equation.

Kung, kung gayon ang equation ay may mga ugat:
Kung, kung gayon ang equation ay may parehong mga ugat, at sa katunayan, isang ugat:
Ang ganitong mga ugat ay tinatawag na dobleng ugat.
Kung, kung gayon ang ugat ng discriminant ay hindi nakuha. Ito ay nagpapahiwatig na ang equation ay walang mga ugat.

Bakit posible iba't ibang dami ugat? Bumaling tayo sa geometric na kahulugan ng quadratic equation. Ang graph ng function ay isang parabola:

Sa isang espesyal na kaso, na isang quadratic equation, . Nangangahulugan ito na ang mga ugat ng isang quadratic equation ay ang mga punto ng intersection sa abscissa axis (axis). Ang isang parabola ay maaaring hindi magsalubong sa axis, o maaaring magsalubong dito sa isa (kapag ang vertex ng parabola ay nasa axis) o dalawang punto.

Bilang karagdagan, ang koepisyent ay responsable para sa direksyon ng mga sanga ng parabola. Kung, kung gayon ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta paitaas, at kung, pagkatapos ay pababa.

Mga halimbawa:

Mga solusyon:

Sagot:

Sagot: .

Sagot:

Nangangahulugan ito na walang mga solusyon.

Sagot: .

2. Vieta's theorem

Napakadaling gamitin ang theorem ng Vieta: kailangan mo lamang pumili ng isang pares ng mga numero na ang produkto ay katumbas ng libreng termino ng equation, at ang kabuuan ay katumbas ng pangalawang koepisyent na kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda.

Mahalagang tandaan na ang theorem ni Vieta ay maaari lamang ilapat sa pinababang quadratic equation ().

Tingnan natin ang ilang halimbawa:

Halimbawa #1:

Lutasin ang equation.

Solusyon:

Ang equation na ito ay maaaring malutas gamit ang Vieta's theorem dahil . Iba pang mga coefficient: ; .

Ang kabuuan ng mga ugat ng equation ay:

At ang produkto ay katumbas ng:

Pumili tayo ng mga pares ng mga numero na ang produkto ay katumbas at suriin kung ang kanilang kabuuan ay pantay:

At. Ang halaga ay katumbas ng;
At. Ang halaga ay katumbas ng;
At. Ang halaga ay katumbas.

at ang solusyon sa system:

Kaya, at ang mga ugat ng aming equation.

Sagot: ; .

Halimbawa #2:

Solusyon:

Pumili tayo ng mga pares ng mga numero na nagbibigay sa produkto, at pagkatapos ay suriin kung pantay ang kanilang kabuuan:

at: nagbibigay sila sa kabuuan.

at: nagbibigay sila sa kabuuan. Upang makuha, ito ay sapat na upang baguhin lamang ang mga palatandaan ng dapat na mga ugat: at, pagkatapos ng lahat, ang produkto.

Sagot:

Halimbawa #3:

Solusyon:

Ang libreng termino ng equation ay negatibo, at samakatuwid ang produkto ng mga ugat ay isang negatibong numero. Ito ay posible lamang kung ang isa sa mga ugat ay negatibo at ang isa ay positibo. Samakatuwid ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng pagkakaiba ng kanilang mga module.

Pumili tayo ng mga pares ng mga numero na nagbibigay sa produkto, at ang pagkakaiba ay katumbas ng:

at: ang kanilang pagkakaiba ay pantay - hindi magkasya;

at: - hindi angkop;

at: - angkop. Ang natitira na lang ay tandaan na ang isa sa mga ugat ay negatibo. Dahil ang kanilang kabuuan ay dapat na pantay, ang ugat na may mas maliit na modulus ay dapat na negatibo: . Sinusuri namin:

Sagot:

Halimbawa #4:

Lutasin ang equation.

Solusyon:

Ang equation ay ibinigay, na nangangahulugang:

Ang libreng termino ay negatibo, at samakatuwid ang produkto ng mga ugat ay negatibo. At ito ay posible lamang kapag ang isang ugat ng equation ay negatibo at ang isa ay positibo.

Pumili tayo ng mga pares ng mga numero na ang produkto ay katumbas, at pagkatapos ay tukuyin kung aling mga ugat ang dapat magkaroon ng negatibong tanda:

Malinaw, ang mga ugat lamang at angkop para sa unang kondisyon:

Sagot:

Halimbawa #5:

Lutasin ang equation.

Solusyon:

Ang equation ay ibinigay, na nangangahulugang:

Ang kabuuan ng mga ugat ay negatibo, na nangangahulugang, ayon sa kahit na, negatibo ang isa sa mga ugat. Pero dahil positive ang produkto nila, ibig sabihin may minus sign ang parehong ugat.

Pumili tayo ng mga pares ng mga numero na ang produkto ay katumbas ng:

Malinaw, ang mga ugat ay ang mga numero at.

Sagot:

Sumang-ayon, napaka-maginhawang magkaroon ng mga ugat nang pasalita, sa halip na bilangin ang masamang diskriminasyong ito. Subukang gamitin ang theorem ni Vieta nang madalas hangga't maaari.

Ngunit kailangan ang teorama ni Vieta upang mapadali at mapabilis ang paghahanap ng mga ugat. Upang makinabang ka sa paggamit nito, dapat mong dalhin ang mga aksyon sa pagiging awtomatiko. At para dito, lutasin ang limang higit pang mga halimbawa. Ngunit huwag mandaya: hindi ka maaaring gumamit ng isang discriminant! Tanging ang teorama ni Vieta:

Mga solusyon sa mga gawain para sa malayang gawain:

Gawain 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Ayon sa teorama ni Vieta:

Gaya ng dati, sinisimulan namin ang pagpili sa piraso:

Hindi angkop dahil ang dami;

: ang dami mo lang kailangan.

Sagot: ; .

Gawain 2.

At muli ang aming paboritong Vieta theorem: ang kabuuan ay dapat na pantay, at ang produkto ay dapat na pantay.

Ngunit dahil ito ay dapat na hindi, ngunit, binago natin ang mga palatandaan ng mga ugat: at (sa kabuuan).

Sagot: ; .

Gawain 3.

Hmm... Nasaan na kaya yun?

Kailangan mong ilipat ang lahat ng mga termino sa isang bahagi:

Ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng produkto.

Okay, stop! Ang equation ay hindi ibinigay. Ngunit ang teorama ni Vieta ay naaangkop lamang sa mga ibinigay na equation. Kaya kailangan mo munang magbigay ng isang equation. Kung hindi ka makapamuno, talikuran ang ideyang ito at lutasin ito sa ibang paraan (halimbawa, sa pamamagitan ng isang discriminant). Hayaan mong ipaalala ko sa iyo na ang pagbibigay ng quadratic equation ay nangangahulugan na gawing pantay ang nangungunang coefficient:

Malaki. Pagkatapos ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng at ang produkto.

Narito ito ay kasingdali ng paghihimay ng peras upang pumili: pagkatapos ng lahat, ito ay isang pangunahing numero (paumanhin para sa tautolohiya).

Sagot: ; .

Gawain 4.

Ang libreng miyembro ay negatibo. Ano ang espesyal dito? At ang katotohanan ay ang mga ugat ay magkakaroon ng iba't ibang mga palatandaan. At ngayon, sa panahon ng pagpili, hindi namin sinusuri ang kabuuan ng mga ugat, ngunit ang pagkakaiba sa kanilang mga module: ang pagkakaiba na ito ay pantay, ngunit isang produkto.

Kaya, ang mga ugat ay katumbas ng at, ngunit ang isa sa kanila ay minus. Sinasabi sa atin ng teorama ni Vieta na ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng pangalawang koepisyent na may kabaligtaran na tanda, iyon ay. Nangangahulugan ito na ang mas maliit na ugat ay magkakaroon ng minus: at, dahil.

Sagot: ; .

Gawain 5.

Ano ang dapat mong gawin muna? Tama iyon, ibigay ang equation:

Muli: pinipili namin ang mga kadahilanan ng numero, at ang kanilang pagkakaiba ay dapat na katumbas ng:

Ang mga ugat ay katumbas ng at, ngunit ang isa sa kanila ay minus. alin? Ang kanilang kabuuan ay dapat na pantay, na nangangahulugan na ang minus ay magkakaroon ng mas malaking ugat.

Sagot: ; .

Hayaan akong buod:

Ang theorem ni Vieta ay ginagamit lamang sa mga quadratic equation na ibinigay.
Gamit ang teorama ni Vieta, mahahanap mo ang mga ugat sa pamamagitan ng pagpili, pasalita.
Kung hindi ibinigay ang equation o walang nakitang equation angkop na pares multiplier ng libreng termino, na nangangahulugang walang buong ugat, at kailangan mong lutasin ito sa ibang paraan (halimbawa, sa pamamagitan ng isang discriminant).

3. Paraan para sa pagpili ng kumpletong parisukat

Kung ang lahat ng mga terminong naglalaman ng hindi alam ay kinakatawan sa anyo ng mga termino mula sa pinaikling mga formula ng multiplikasyon - ang parisukat ng kabuuan o pagkakaiba - pagkatapos ay pagkatapos palitan ang mga variable, ang equation ay maaaring iharap sa anyo ng isang hindi kumpletong quadratic equation ng uri.

Halimbawa:

Halimbawa 1:

Lutasin ang equation: .

Solusyon:

Sagot:

Halimbawa 2:

Lutasin ang equation: .

Solusyon:

Sagot:

Sa pangkalahatan, ang pagbabago ay magiging ganito:

Ito ay nagpapahiwatig: .

Hindi nagpapaalala sa iyo ng kahit ano? Ito ay isang bagay na may diskriminasyon! Iyan ay eksakto kung paano namin nakuha ang discriminant formula.

MGA PAQUADRATIC EQUATIONS. MAIKLING TUNGKOL SA MGA PANGUNAHING BAGAY

Quadratic equation- ito ay isang equation ng anyo, kung saan - ang hindi alam, - ang mga coefficient ng quadratic equation, - ang libreng termino.

Kumpletuhin ang quadratic equation- isang equation kung saan ang mga coefficient ay hindi katumbas ng zero.

Pinababang quadratic equation- isang equation kung saan ang coefficient, iyon ay: .

Hindi kumpletong quadratic equation- isang equation kung saan ang coefficient at o ang libreng termino c ay katumbas ng zero:

kung ang koepisyent, ang equation ay mukhang: ,
kung mayroong isang libreng termino, ang equation ay may anyo: ,
kung at, ang equation ay mukhang: .

1. Algorithm para sa paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation

1.1. Isang hindi kumpletong quadratic equation ng form, kung saan, :

1) Ipahayag natin ang hindi alam: ,

2) Suriin ang tanda ng expression:

kung, kung gayon ang equation ay walang mga solusyon,
kung, kung gayon ang equation ay may dalawang ugat.

1.2. Isang hindi kumpletong quadratic equation ng form, kung saan, :

1) Alisin natin ang karaniwang salik sa mga bracket: ,

2) Ang produkto ay katumbas ng zero kung hindi bababa sa isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero. Samakatuwid, ang equation ay may dalawang ugat:

1.3. Isang hindi kumpletong quadratic equation ng form, kung saan:

Ang equation na ito ay palaging may isang ugat lamang: .

2. Algorithm para sa paglutas ng kumpletong quadratic equation ng form kung saan

2.1. Solusyon gamit ang discriminant

1) Dalhin natin ang equation sa karaniwang anyo: ,

2) Kalkulahin natin ang discriminant gamit ang formula: , na nagpapahiwatig ng bilang ng mga ugat ng equation:

3) Hanapin ang mga ugat ng equation:

kung, kung gayon ang equation ay may mga ugat, na matatagpuan sa pamamagitan ng formula:
kung, kung gayon ang equation ay may ugat, na matatagpuan sa pamamagitan ng formula:
kung, kung gayon ang equation ay walang mga ugat.

2.2. Solusyon gamit ang teorama ni Vieta

Ang kabuuan ng mga ugat ng pinababang quadratic equation (equation ng form kung saan) ay pantay, at ang produkto ng mga ugat ay pantay, i.e. , A.

2.3. Solusyon sa pamamagitan ng paraan ng pagpili ng isang kumpletong parisukat

Sa math program na ito magagawa mo lutasin ang quadratic equation.

Ang programa ay hindi lamang nagbibigay ng sagot sa problema, ngunit ipinapakita din ang proseso ng solusyon sa dalawang paraan:
- gamit ang isang discriminant
- gamit ang teorama ni Vieta (kung maaari).

Bukod dito, ang sagot ay ipinapakita bilang eksakto, hindi tinatayang.
Halimbawa, para sa equation na $81x^2-16x-1=0$ ang sagot ay ipinapakita sa sumusunod na form:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ at hindi tulad nito: $x_1 = 0.247; \quad x_2 = -0.05$

Maaaring maging kapaki-pakinabang ang programang ito para sa mga mag-aaral sa high school mga paaralang sekondarya bilang paghahanda sa mga pagsubok at mga pagsusulit, kapag sinusuri ang kaalaman bago ang Pinag-isang Pagsusulit ng Estado, para makontrol ng mga magulang ang solusyon ng maraming problema sa matematika at algebra. O baka masyadong mahal para sa iyo na kumuha ng tutor o bumili ng mga bagong aklat-aralin? O gusto mo lang bang matapos ito sa lalong madaling panahon? takdang aralin sa matematika o algebra? Sa kasong ito, maaari mo ring gamitin ang aming mga programa na may mga detalyadong solusyon.

Sa ganitong paraan maaari kang magsagawa ng iyong sariling pagsasanay at/o pagsasanay sa iyo. mga nakababatang kapatid o kapatid na babae, habang tumataas ang antas ng edukasyon sa larangan ng mga problemang nilulutas.

Kung hindi ka pamilyar sa mga patakaran para sa pagpasok ng isang quadratic polynomial, inirerekomenda namin na pamilyar ka sa mga ito.

Mga panuntunan para sa pagpasok ng isang quadratic polynomial

Anumang Latin na titik ay maaaring kumilos bilang isang variable.
Halimbawa: $x, y, z, a, b, c, o, p, q$, atbp.

Maaaring ipasok ang mga numero bilang buo o fractional na mga numero.
Bukod dito, mga fractional na numero maaaring ipasok hindi lamang bilang isang decimal, ngunit din bilang isang ordinaryong fraction.

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga decimal fraction.
Sa mga decimal maliit na bahagi maaaring ihiwalay sa kabuuan sa pamamagitan ng tuldok o kuwit.
Halimbawa, maaari kang pumasok mga decimal ganito: 2.5x - 3.5x^2

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga ordinaryong fraction.
Isang buong numero lamang ang maaaring kumilos bilang numerator, denominator at integer na bahagi ng isang fraction.

Ang denominator ay hindi maaaring negatibo.

Kapag nagpapasok ng isang numerical fraction, ang numerator ay pinaghihiwalay mula sa denominator sa pamamagitan ng isang tanda ng dibisyon: /
Ang buong bahagi ay pinaghihiwalay mula sa fraction ng ampersand sign: &
Input: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Resulta: $3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2$

Kapag nagpapasok ng isang expression maaari kang gumamit ng panaklong. Sa kasong ito, kapag nilulutas ang isang quadratic equation, ang ipinakilalang expression ay unang pinasimple.
Halimbawa: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

Magpasya

Natuklasan na ang ilang mga script na kinakailangan upang malutas ang problemang ito ay hindi na-load, at ang programa ay maaaring hindi gumana.
Maaaring pinagana mo ang AdBlock.
Sa kasong ito, huwag paganahin ito at i-refresh ang pahina.

Naka-disable ang JavaScript sa iyong browser.
Para lumitaw ang solusyon, kailangan mong paganahin ang JavaScript.
Narito ang mga tagubilin kung paano paganahin ang JavaScript sa iyong browser.

kasi Maraming mga tao na handang lutasin ang problema, ang iyong kahilingan ay nakapila.
Sa ilang segundo ang solusyon ay lilitaw sa ibaba.
Mangyaring maghintay sec...

kung ikaw napansin ang isang error sa solusyon, pagkatapos ay maaari mong isulat ang tungkol dito sa Form ng Feedback.
Huwag kalimutan ipahiwatig kung aling gawain magpasya ka kung ano pumasok sa mga patlang.

Ang aming mga laro, puzzle, emulator:

Isang maliit na teorya.

Quadratic equation at mga ugat nito. Hindi kumpletong quadratic equation

Ang bawat isa sa mga equation
$-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 $
parang
$ax^2+bx+c=0, $
kung saan ang x ay isang variable, ang a, b at c ay mga numero.
Sa unang equation a = -1, b = 6 at c = 1.4, sa pangalawa a = 8, b = -7 at c = 0, sa pangatlo a = 1, b = 0 at c = 4/9. Ang ganitong mga equation ay tinatawag quadratic equation.

Kahulugan.
Quadratic equation ay tinatawag na isang equation ng anyong ax 2 +bx+c=0, kung saan ang x ay isang variable, a, b at c ay ilang mga numero, at $a \neq 0 $.

Ang mga numerong a, b at c ay ang mga coefficient ng quadratic equation. Ang numero a ay tinatawag na unang koepisyent, ang bilang b ay ang pangalawang koepisyent, at ang bilang c ay ang libreng termino.

Sa bawat isa sa mga equation ng anyong ax 2 +bx+c=0, kung saan ang $a\neq 0$, ang pinakamalaking kapangyarihan ng variable na x ay isang parisukat. Kaya ang pangalan: quadratic equation.

Tandaan na ang isang quadratic equation ay tinatawag ding equation ng pangalawang degree, dahil ang kaliwang bahagi nito ay polynomial ng pangalawang degree.

Ang isang quadratic equation kung saan ang coefficient ng x 2 ay katumbas ng 1 ay tinatawag ibinigay na quadratic equation. Halimbawa, ang ibinigay na mga quadratic equation ay ang mga equation
$x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 $

Kung sa isang quadratic equation ax 2 +bx+c=0 hindi bababa sa isa sa mga coefficients b o c ay katumbas ng zero, kung gayon ang naturang equation ay tinatawag hindi kumpletong quadratic equation. Kaya, ang mga equation -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 ay mga hindi kumpletong quadratic equation. Sa una sa kanila b=0, sa pangalawa c=0, sa pangatlo b=0 at c=0.

May tatlong uri ng hindi kumpletong quadratic equation:
1) ax 2 +c=0, kung saan $c \neq 0 $;
2) ax 2 +bx=0, kung saan $b \neq 0 $;
3) palakol 2 =0.

Isaalang-alang natin ang paglutas ng mga equation ng bawat isa sa mga uri na ito.

Upang malutas ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng form na ax 2 +c=0 para sa $c \neq 0 $, ilipat ang libreng termino nito sa kanang bahagi at hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng a:
$x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) $

Dahil $c \neq 0 $, pagkatapos $-\frac(c)(a) \neq 0 $

Kung $-\frac(c)(a)>0$, ang equation ay may dalawang ugat.

Kung $-\frac(c)(a) Upang malutas ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng form na ax 2 +bx=0 na may \(b \neq 0 $ factor ang kaliwang bahagi nito at makuha ang equation
$x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. $

Nangangahulugan ito na ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng form na ax 2 +bx=0 para sa $b \neq 0 $ ay palaging may dalawang ugat.

Ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng form na ax 2 =0 ay katumbas ng equation x 2 =0 at samakatuwid ay may isang solong ugat 0.

Formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation

Isaalang-alang natin ngayon kung paano lutasin ang mga parisukat na equation kung saan ang parehong mga coefficient ng mga hindi alam at ang libreng termino ay nonzero.

Lutasin natin ang quadratic equation sa pangkalahatang anyo at bilang resulta ay nakuha natin ang formula para sa mga ugat. Ang formula na ito ay maaaring gamitin upang malutas ang anumang quadratic equation.

Lutasin ang quadratic equation ax 2 +bx+c=0

Ang paghahati sa magkabilang panig sa pamamagitan ng a, makuha namin ang katumbas na pinababang quadratic equation
$x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 $

Ibahin natin ang equation na ito sa pamamagitan ng pagpili sa parisukat ng binomial:
$x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow $

$x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow $ $\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow $ $x+\frac(b )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \Rightarrow $ $x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) $

Ang radikal na pagpapahayag ay tinatawag discriminant ng isang quadratic equation ax 2 +bx+c=0 (“discriminant” sa Latin - discriminator). Ito ay itinalaga ng titik D, i.e.
$D = b^2-4ac$

Ngayon, gamit ang discriminant notation, isinusulat namin muli ang formula para sa mga ugat ng quadratic equation:
$x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) $, kung saan $D= b^2-4ac $

Malinaw na:
1) Kung D>0, kung gayon ang quadratic equation ay may dalawang ugat.
2) Kung D=0, kung gayon ang quadratic equation ay may isang ugat $x=-\frac(b)(2a)$.
3) Kung D Kaya, depende sa halaga ng discriminant, ang isang quadratic equation ay maaaring magkaroon ng dalawang ugat (para sa D > 0), isang ugat (para sa D = 0) o walang mga ugat (para sa D Kapag nilulutas ang isang quadratic equation gamit ito. formula, ipinapayong gawin ang sumusunod na paraan:
1) kalkulahin ang discriminant at ihambing ito sa zero;
2) kung ang discriminant ay positibo o katumbas ng zero, pagkatapos ay gamitin ang root formula; kung ang discriminant ay negatibo, pagkatapos ay isulat na walang mga ugat.

Ang teorama ni Vieta

Ang ibinigay na quadratic equation ax 2 -7x+10=0 ay may mga ugat 2 at 5. Ang kabuuan ng mga ugat ay 7, at ang produkto ay 10. Nakita natin na ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng pangalawang koepisyent na kinuha sa kabaligtaran sign, at ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng termino. Ang anumang pinababang quadratic equation na may mga ugat ay may ganitong katangian.

Ang kabuuan ng mga ugat ng nasa itaas na quadratic equation ay katumbas ng pangalawang koepisyent na kinuha sa kabaligtaran na tanda, at ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng termino.

Yung. Ang theorem ng Vieta ay nagsasaad na ang mga ugat x 1 at x 2 ng pinababang quadratic equation x 2 +px+q=0 ay may katangian:
$\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. $