549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
Sa isang arbitraryong pinili (mula sa system) equation, ipasok ang numero 11 sa halip na ang nahanap na "laro" at kalkulahin ang pangalawang hindi alam:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Ang sagot sa sistemang ito ng mga equation ay x=116, y=11.

Paraan ng graphic.
Binubuo ito ng praktikal na paghahanap ng mga coordinate ng punto kung saan ang mga tuwid na linya, na nakasulat sa matematika sa isang sistema ng mga equation, ay nagsalubong. Ang mga graph ng parehong linya ay dapat na iguhit nang hiwalay sa parehong coordinate system. Pangkalahatang anyo equation ng isang tuwid na linya: – у=khх+b. Upang makabuo ng isang tuwid na linya, sapat na upang mahanap ang mga coordinate ng dalawang puntos, at ang x ay pinili nang arbitraryo.
Hayaang ibigay ang sistema: 2x – y=4

Y=-3x+1.
Ang isang tuwid na linya ay itinayo gamit ang unang equation; para sa kaginhawahan, kailangan mong isulat ito: y = 2x-4. Bumuo ng (mas madaling) mga halaga para sa x, pinapalitan ito sa equation, lutasin ito, at paghahanap ng y. Nakakuha kami ng dalawang puntos kung saan ang isang tuwid na linya ay itinayo. (tingnan ang larawan)
x 0 1

y -4 -2
Ang isang tuwid na linya ay binuo gamit ang pangalawang equation: y=-3x+1.
Bumuo din ng isang tuwid na linya. (tingnan ang larawan)

y 1 -5
Hanapin ang mga coordinate ng intersection point ng dalawang itinayong linya sa graph (kung ang mga linya ay hindi nagsalubong, kung gayon ang sistema ng mga equation ay walang solusyon - ito ay nangyayari).

Video sa paksa

Nakatutulong na payo

Kung ang parehong sistema ng mga equation ay malulutas ng tatlo iba't ibang paraan, ang sagot ay magiging pareho (kung ang solusyon ay tama).

Mga Pinagmulan:

• 8th grade algebra
• lutasin ang isang equation na may dalawang hindi alam online
• Mga halimbawa ng paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation na may dalawa

Ang paglutas ng isang sistema ng mga equation ay mahirap at kapana-panabik. Kung mas kumplikado ang sistema, mas kawili-wiling ito ay lutasin. Kadalasan sa matematika ng sekondaryang paaralan mayroong mga sistema ng mga equation na may dalawang hindi alam, ngunit sa mas mataas na matematika ay maaaring mayroong higit pang mga variable. Ang mga sistema ay maaaring malutas gamit ang ilang mga pamamaraan.

Mga tagubilin

Ang pinakakaraniwang paraan para sa paglutas ng isang sistema ng mga equation ay pagpapalit. Upang gawin ito, kinakailangan upang ipahayag ang isang variable sa mga tuntunin ng isa pa at palitan ito sa pangalawang equation ng system, kaya binabawasan ang equation sa isang variable. Halimbawa, ibinigay ang mga sumusunod na equation: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.

Mula sa pangalawang expression ay maginhawa upang ipahayag ang isa sa mga variable, paglilipat ng lahat ng iba pa kanang bahagi expression, hindi nakakalimutang baguhin ang tanda ng koepisyent: x = 3-y.

Buksan ang mga bracket: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1. Pinapalitan namin ang resultang value na y sa expression: x=3-y;x=3-1;x=2 .

Sa unang expression ang lahat ng mga termino ay 2, maaari kang maglagay ng 2 sa mga bracket

Aralin at presentasyon sa paksa: "Mga sistema ng mga equation. Mga pangunahing konsepto"

Mga karagdagang materyales
Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, pagsusuri, kagustuhan! Ang lahat ng mga materyales ay sinuri ng isang anti-virus program.

Mga tulong na pang-edukasyon at simulator sa Integral online na tindahan para sa grade 9
Simulator para sa aklat-aralin ni Atanasyan L.S. Simulator para sa aklat-aralin na Pogorelova A.V.

Rational equation na may dalawang hindi alam

Ang rational equation sa dalawang variable ay isang equation ng anyong $f(x;y)= g(x;y)$.
Kung saan ang f at g ay mga makatwirang expression (mga numero at anumang operasyon ng pagbabawas, paghahati, pagpaparami, pagdaragdag at pagpaparami) na naglalaman ng mga variable na x, y.

Tingnan natin ang mga halimbawa ng mga makatwirang ekspresyon:

Ang isang rational equation ay maaaring palaging kinakatawan bilang:
$u(x;y)=f(x;y)-g(x;y)$. Narito ang $u(x;y)$ ay isang rational expression.
Ang $u(x;y)=0$ ay isang buong rational equation.

Ang solusyon sa equation ay: $u(x;y)= 0$. (x;y) – isang pares ng mga numero na nakakatugon sa equation na ito.

Mga halimbawa:

A) (3;2) - solusyon sa equation: $x+y=5$. Palitan ang x= 3 at y= 2, makakakuha tayo ng $3+2=5$

B) (1;4) - solusyon sa equation: $2x^2+y^2=18$. Palitan ang x= 1 at y= 4, makakakuha tayo ng $2+16=18$

C) Lutasin ang equation: $(3x-6)^2+(2y-2)^2=0$.
Solusyon: Para sa anumang x at y $(3x-6)^2≥0\; at \;(2y-2)^2≥0$. Nangangahulugan ito na ang kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay palaging mas malaki kaysa sa o katumbas ng zero, at katumbas lamang ng zero kapag ang parehong mga expression ay katumbas ng zero. Nangangahulugan ito na ang solusyon sa equation ay magiging isang pares ng mga numero (2;1).
Sagot: (2;1).

D) Hanapin ang lahat ng integer na solusyon sa equation: $x-y=12$.
Solusyon: Hayaan ang x= z, pagkatapos ay $y=z-12$, ang z ay anumang integer. Pagkatapos ang solusyon ay magiging isang pares ng mga numero (z;z-12), kung saan ang z ay isang integer.

D) Maghanap ng mga integer na solusyon sa equation: $4x+7y=29$.
Solusyon: Ipahayag ang x sa mga tuntunin ng y: $x=\frac(29-7y)(4)=\frac(28+1-7y)(4)=7+\frac(1-7y)(4)=7 -\ frac(7y-1)(4)$.
Ang x ay isang integer kung ang $7y-1$ ay mahahati sa 4 na walang natitira. Tingnan natin posibleng mga opsyon aming dibisyon:
1) y ay isang multiple ng 4. Pagkatapos ay $y=4n$. $7y-1=7*4n-1=28n-1$ – hindi nahahati ng 4, ibig sabihin hindi ito magkasya.

2) y – kapag hinati sa 4, ang natitira ay 1. $y=4n+1$. $7y-1=28n+7-1=28n+6$ – hindi nahahati sa 4, na nangangahulugang hindi ito magkasya.

3) y – kapag hinati sa 4, ang natitira ay 2. $y=4n+2$. $7y-1=28n+14-1=28n+13$ – hindi nahahati ng 4, na nangangahulugang hindi ito magkasya.

4) y – kapag hinati sa 4, ang natitira ay 3. $y=4n+3$. $7y-1=28n+21-1=28n+20$ – nahahati sa 4, ibig sabihin ay angkop ito.

Nakakuha tayo ng $y=4n+3$, hanapin natin ang x.
$x=7-\frac(7y-1)(4)=7-\frac(28n+20)(4)=7-7n+5=2-7n$
Sagot: ($2-7n;4n+3$).

Dalawang rational equation ang sinasabing equivalent kung mayroon silang parehong solusyon.

Ang mga katumbas na pagbabagong-anyo ng isang equation ay tinatawag na:

A) Paglipat ng mga termino ng equation mula sa isang bahagi ng equation patungo sa isa pa, na may pagbabago ng sign.
Halimbawa: $-3x+5y=2x+7y$ ay katumbas ng $-3x-2x=7y-5y$

B) Pagpaparami o paghahati sa magkabilang panig ng mga equation sa isang numero na hindi sero.
Halimbawa: $2x-0.5y=0.2xy$ ay katumbas ng $20x-5y=2xy$. (I-multiply ang magkabilang panig ng equation ng 10).

Pag-graph ng Equation sa Dalawang Variable

Hayaang ibigay ang equation na u(x;y)= 0. Ang set ng mga puntos (x;y) sa coordinate plane, na isang solusyon sa equation na u(x;y)= 0, ay tinatawag na graph ng function.

Kung ang equation na u(x;y)= 0 ay maaaring i-convert sa anyo na y=f(x), kung gayon ito ay sabay-sabay na itinuturing na isang graph ng equation.

I-graph ang equation:
a) $y+2x=2$,
b) $yx=5$.

Solusyon:
a) Ang graph ng aming equation ay magiging isang tuwid na linya. Guys, naalala niyo ba kung paano natin ginawa ang schedule? linear function sa ika-7 baitang?
Ang graph ng aming function ay binuo gamit ang dalawang puntos:
Bumuo tayo ng isang graph:

b) Ibahin natin ang ating equation na $yx=5$. Nakukuha namin ang $y=5/x$ – ang graph ng hyperbola. Buuin natin ito:

Distansya sa pagitan ng dalawang punto sa isang coordinate plane

Kahulugan. Ang distansya sa pagitan ng dalawang puntos na A(x1;y1) at B(x2;y2) ay kinakalkula ng formula: $AB=\sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)$

Halimbawa: Hanapin ang distansya sa pagitan ng mga puntos: A(10;34) at B(3;10).
Solusyon: $AB=\sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)=\sqrt((3-10)^2+(10-34)^2)=\sqrt(7^ 2+24^2)=\sqrt(625)=$25.

Kahulugan. Ang graph ng equation: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ ay isang bilog sa coordinate plane na may sentro sa punto (a;b) at radius r.

Halimbawa: I-graph ang equation: $x^2+y^2=4$.
Solusyon: Isulat muli natin ang ating equation ayon sa kahulugan: $(x-0)^2+(y-0)^2=4$. Ito ay isang bilog na may sentro sa punto (0;0) at isang radius na katumbas ng 2. Iguhit natin ang ating bilog:

Halimbawa: I-graph ang equation: $x^2+y^2-6y=0$.
Solusyon. Isulat muli natin ito sa anyo: $x^2+y^2-6y+9-9=0$, $x^2+(y+3)^2=9$, $(x-0)^2+ (y- 3)^2=9$.
Ito ay isang bilog na may sentro sa punto (0; 3) at isang radius na katumbas ng 3. Iguhit natin ang ating bilog:

Mga problema sa equation para sa independiyenteng solusyon

1. Hanapin ang lahat ng integer na solusyon sa equation na $2x+y=16$.
2. Maghanap ng mga integer na solusyon: $3х+5y=23$.
3. I-graph ang equation: a) $y-5x=-5$, b) $yx=6$, c) $(y+2x)^2=0$.
4. Hanapin ang distansya sa pagitan ng mga puntos: A(5;25) at B(18;10).
5. Bumuo ng graph ng equation: a) $x^2+y^2=36$, b) $x^2+8x+y^2+6y=0$.

Ipagpatuloy natin ang pag-uusap paglutas ng mga equation. Sa artikulong ito ay tatalakayin natin ang tungkol sa rational equation at mga prinsipyo ng paglutas ng mga rational equation na may isang variable. Una, alamin natin kung anong uri ng mga equation ang tinatawag na rational, magbigay ng kahulugan ng buong rational at fractional rational equation, at magbigay ng mga halimbawa. Susunod, kukuha kami ng mga algorithm para sa paglutas ng mga rational equation, at, siyempre, isasaalang-alang namin ang mga solusyon sa karaniwang mga halimbawa kasama ang lahat ng kinakailangang paliwanag.

Pag-navigate sa pahina.

Batay sa mga nakasaad na kahulugan, nagbibigay kami ng ilang mga halimbawa ng mga rational equation. Halimbawa, ang x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , ay lahat ng rational equation.

Mula sa mga halimbawang ipinakita, malinaw na ang mga rational equation, pati na rin ang mga equation ng iba pang mga uri, ay maaaring may isang variable, o may dalawa, tatlo, atbp. mga variable. Sa mga sumusunod na talata ay pag-uusapan natin ang paglutas ng mga rational equation na may isang variable. Paglutas ng mga equation sa dalawang variable at sila isang malaking bilang nararapat na espesyal na atensyon.

Bilang karagdagan sa paghahati ng mga rational equation sa pamamagitan ng bilang ng mga hindi kilalang variable, nahahati din sila sa mga integer at fractional. Ibigay natin ang mga kaukulang kahulugan.

Kahulugan.

Tinatawag ang rational equation buo, kung pareho ang kaliwa at kanang gilid nito ay integer rational expression.

Kahulugan.

Kung hindi bababa sa isa sa mga bahagi ng isang rational equation ay isang fractional expression, kung gayon ang naturang equation ay tinatawag na fractionally rational(o fractional rational).

Malinaw na ang buong equation ay hindi naglalaman ng dibisyon sa pamamagitan ng isang variable; sa kabaligtaran, ang fractional rational equation ay kinakailangang naglalaman ng dibisyon ng isang variable (o isang variable sa denominator). Kaya 3 x+2=0 at (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0.5- ito ay buong rational equation, pareho ng kanilang mga bahagi ay buong expression. Ang A at x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 ay mga halimbawa ng fractional rational equation.

Sa pagtatapos ng puntong ito, bigyang-pansin natin ang katotohanan na ang mga linear equation at quadratic equation na kilala sa puntong ito ay buong rational equation.

Paglutas ng buong equation

Ang isa sa mga pangunahing diskarte sa paglutas ng buong equation ay upang bawasan ang mga ito sa mga katumbas algebraic equation. Ito ay palaging magagawa sa pamamagitan ng pagsasagawa ng mga sumusunod na katumbas na pagbabagong-anyo ng equation:

• una, ang expression mula sa kanang bahagi ng orihinal na integer equation ay inililipat sa kaliwang bahagi na may kabaligtaran ng tanda upang makakuha ng zero sa kanang bahagi;
• pagkatapos nito, sa kaliwang bahagi ng equation ang resulta karaniwang view.

Ang resulta ay isang algebraic equation na katumbas ng orihinal na integer equation. Kaya, sa mga pinakasimpleng kaso, ang paglutas ng buong equation ay binabawasan sa paglutas ng mga linear o quadratic na equation, at sa pangkalahatang kaso, sa paglutas ng algebraic equation ng degree n. Para sa kalinawan, tingnan natin ang solusyon sa halimbawa.

Halimbawa.

Hanapin ang mga ugat ng buong equation 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

Solusyon.

Bawasan natin ang solusyon ng buong equation na ito sa solusyon ng isang katumbas na algebraic equation. Upang gawin ito, una, inilipat namin ang expression mula sa kanang bahagi sa kaliwa, bilang isang resulta ay nakarating kami sa equation 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. At, pangalawa, binabago namin ang expression na nabuo sa kaliwang bahagi sa isang karaniwang form na polynomial sa pamamagitan ng pagkumpleto ng kinakailangan: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Kaya, ang paglutas ng orihinal na integer equation ay binabawasan sa paglutas ng quadratic equation x 2 −5·x−6=0.

Kinakalkula namin ang diskriminasyon nito D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, ito ay positibo, na nangangahulugan na ang equation ay may dalawang tunay na ugat, na makikita natin gamit ang formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation:

Upang maging ganap na sigurado, gawin natin ito pagsuri sa mga natagpuang ugat ng equation. Una naming suriin ang ugat 6, palitan ito sa halip na ang variable na x sa orihinal na integer equation: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, na pareho, 63=63. Ito ay isang wastong numerical equation, samakatuwid ang x=6 ay talagang ugat ng equation. Ngayon suriin namin ang ugat −1, mayroon kami 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, mula sa kung saan, 0=0 . Kapag x=−1, ang orihinal na equation ay nagiging isang tamang numerical equality, samakatuwid, ang x=−1 ay isa ring ugat ng equation.

Sagot:

6 , −1 .

Dito dapat ding tandaan na ang terminong "degree ng buong equation" ay nauugnay sa representasyon ng isang buong equation sa anyo ng isang algebraic equation. Ibigay natin ang kaukulang kahulugan:

Kahulugan.

Ang kapangyarihan ng buong equation ay tinatawag na antas ng isang katumbas na algebraic equation.

Ayon sa kahulugang ito, ang buong equation mula sa nakaraang halimbawa ay may pangalawang antas.

Ito ay maaaring ang katapusan ng paglutas ng buong rational equation, kung hindi para sa isang bagay…. Tulad ng nalalaman, ang paglutas ng mga algebraic equation ng degree na mas mataas kaysa sa pangalawa ay nauugnay sa mga makabuluhang paghihirap, at para sa mga equation ng degree na mas mataas kaysa sa ikaapat ay walang pangkalahatang mga formula mga ugat. Samakatuwid, upang malutas ang buong equation ng ikatlo, ikaapat at higit pa mataas na grado Kadalasan kailangan mong gumamit ng iba pang mga paraan ng solusyon.

Sa ganitong mga kaso, isang diskarte sa paglutas ng buong rational equation batay sa paraan ng factorization. Sa kasong ito, ang sumusunod na algorithm ay sinusunod:

• una, tinitiyak nila na mayroong isang zero sa kanang bahagi ng equation, upang gawin ito, inilipat nila ang expression mula sa kanang bahagi ng buong equation sa kaliwa;
• pagkatapos, ang resultang expression sa kaliwang bahagi ay ipinakita bilang isang produkto ng ilang mga kadahilanan, na nagpapahintulot sa amin na lumipat sa isang hanay ng ilang mas simpleng mga equation.

Ang ibinigay na algorithm para sa paglutas ng isang buong equation sa pamamagitan ng factorization ay nangangailangan ng isang detalyadong paliwanag gamit ang isang halimbawa.

Halimbawa.

Lutasin ang buong equation (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Solusyon.

Una, gaya ng dati, inililipat namin ang expression mula sa kanang bahagi sa kaliwang bahagi ng equation, hindi nakakalimutang baguhin ang sign, nakukuha namin (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Dito ay medyo halata na hindi ipinapayong baguhin ang kaliwang bahagi ng resultang equation sa isang polynomial ng standard form, dahil ito ay magbibigay ng algebraic equation ng ika-apat na degree ng form. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, ang solusyon nito ay mahirap.

Sa kabilang banda, kitang-kita na sa kaliwang bahagi ng nagreresultang equation ay maaari nating x 2 −10 x+13 , sa gayon ay ipapakita ito bilang isang produkto. Meron kami (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Ang resultang equation ay katumbas ng orihinal na buong equation, at ito naman, ay maaaring palitan ng isang set ng dalawang quadratic equation x 2 −10·x+13=0 at x 2 −2·x−1=0. Ang paghahanap ng kanilang mga ugat gamit ang mga kilalang root formula sa pamamagitan ng isang discriminant ay hindi mahirap; ang mga ugat ay pantay. Sila ang gustong mga ugat ng orihinal na equation.

Sagot:

Kapaki-pakinabang din para sa paglutas ng buong rational equation paraan para sa pagpapakilala ng bagong variable. Sa ilang mga kaso, pinapayagan ka nitong lumipat sa mga equation na ang antas ay mas mababa kaysa sa antas ng orihinal na buong equation.

Halimbawa.

Hanapin ang tunay na mga ugat ng isang rational equation (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Solusyon.

Ang pagbabawas ng buong rational equation na ito sa isang algebraic equation ay, sa madaling salita, hindi isang napakagandang ideya, dahil sa kasong ito ay darating tayo sa pangangailangan na lutasin ang isang fourth-degree na equation na walang rasyonal na mga ugat. Samakatuwid, kakailanganin mong maghanap ng isa pang solusyon.

Dito madaling makita na maaari kang magpakilala ng bagong variable na y at palitan ang expression na x 2 +3·x dito. Ang kapalit na ito ay humahantong sa amin sa buong equation (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , na, pagkatapos ilipat ang expression −2·(y−4) sa kaliwang bahagi at kasunod na pagbabago ng expression nabuo doon, ay binabawasan sa isang quadratic equation y 2 +4·y+3=0. Ang mga ugat ng equation na ito y=−1 at y=−3 ay madaling mahanap, halimbawa, maaari silang mapili batay sa theorem inverse sa Vieta's theorem.

Ngayon ay lumipat kami sa ikalawang bahagi ng paraan ng pagpapakilala ng isang bagong variable, iyon ay, sa pagsasagawa ng isang reverse replacement. Matapos isagawa ang reverse substitution, nakakuha tayo ng dalawang equation x 2 +3 x=−1 at x 2 +3 x=−3, na maaaring muling isulat bilang x 2 +3 x+1=0 at x 2 +3 x+3 =0 . Gamit ang formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation, makikita natin ang mga ugat ng unang equation. At ang pangalawa quadratic equation walang tunay na ugat, dahil negatibo ang diskriminasyon nito (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).

Sagot:

Sa pangkalahatan, kapag nakikitungo tayo sa buong equation na may mataas na antas, dapat tayong laging handa sa paghahanap hindi pamantayang pamamaraan o artipisyal na pagtanggap upang malutas ang mga ito.

Paglutas ng mga fractional rational equation

Una, magiging kapaki-pakinabang na maunawaan kung paano lutasin ang mga fractional rational equation ng form , kung saan ang p(x) at q(x) ay integer rational expression. At pagkatapos ay ipapakita namin kung paano bawasan ang solusyon ng iba pang mga fractionally rational equation sa solusyon ng mga equation ng ipinahiwatig na uri.

Ang isang diskarte sa paglutas ng equation ay batay sa sumusunod na pahayag: ang numerical fraction na u/v, kung saan ang v ay isang non-zero na numero (kung hindi man ay makakatagpo tayo ng , na hindi natukoy), ay katumbas ng zero kung at kung ang numerator nito ay katumbas ng zero, kung gayon ay, kung at kung u=0 lamang . Sa bisa ng pahayag na ito, ang paglutas ng equation ay binabawasan upang matupad ang dalawang kondisyon p(x)=0 at q(x)≠0.

Ang konklusyong ito ay tumutugma sa mga sumusunod algorithm para sa paglutas ng isang fractional rational equation. Upang malutas ang isang fractional rational equation ng form , kailangan mo

• lutasin ang buong rational equation p(x)=0 ;
• at suriin kung ang kondisyon q(x)≠0 ay nasiyahan para sa bawat ugat na natagpuan, habang
• kung totoo, ang ugat na ito ay ang ugat ng orihinal na equation;
• kung hindi ito nasiyahan, kung gayon ang ugat na ito ay extraneous, iyon ay, hindi ito ang ugat ng orihinal na equation.

Tingnan natin ang isang halimbawa ng paggamit ng inihayag na algorithm kapag nilulutas ang isang fractional rational equation.

Halimbawa.

Hanapin ang mga ugat ng equation.

Solusyon.

Ito ay isang fractional rational equation, at ng anyong , kung saan ang p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.

Ayon sa algorithm para sa paglutas ng mga fractional rational equation ng ganitong uri, kailangan muna nating lutasin ang equation na 3 x−2=0. Ito linear equation, na ang ugat ay x=2/3.

Ito ay nananatiling suriin para sa ugat na ito, iyon ay, suriin kung natutugunan nito ang kondisyon na 5 x 2 −2≠0. Pinapalitan namin ang numerong 2/3 sa expression na 5 x 2 −2 sa halip na x, at nakukuha namin . Ang kundisyon ay natutugunan, kaya ang x=2/3 ay ang ugat ng orihinal na equation.

Sagot:

2/3 .

Maaari mong lapitan ang paglutas ng isang fractional rational equation mula sa isang bahagyang naiibang posisyon. Ang equation na ito ay katumbas ng integer equation p(x)=0 sa variable x ng orihinal na equation. Ibig sabihin, maaari kang manatili dito algorithm para sa paglutas ng isang fractional rational equation :

• lutasin ang equation na p(x)=0 ;
• hanapin ang ODZ ng variable x;
• mag-ugat na kabilang sa lugar mga katanggap-tanggap na halaga, - sila ang gustong mga ugat ng orihinal na fractional rational equation.

Halimbawa, lutasin natin ang isang fractional rational equation gamit ang algorithm na ito.

Halimbawa.

Lutasin ang equation.

Solusyon.

Una, lutasin natin ang quadratic equation x 2 −2·x−11=0. Ang mga ugat nito ay maaaring kalkulahin gamit ang root formula para sa kahit na pangalawang koepisyent, mayroon tayo D 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, At .

Pangalawa, nakita natin ang ODZ ng variable x para sa orihinal na equation. Binubuo ito ng lahat ng numero kung saan ang x 2 +3·x≠0, na kapareho ng x·(x+3)≠0, kung saan ang x≠0, x≠−3.

Ito ay nananatiling suriin kung ang mga ugat na natagpuan sa unang hakbang ay kasama sa ODZ. Halatang oo. Samakatuwid, ang orihinal na fractional rational equation ay may dalawang ugat.

Sagot:

Tandaan na ang diskarteng ito ay mas kumikita kaysa sa una kung ang ODZ ay madaling mahanap, at lalong kapaki-pakinabang kung ang mga ugat ng equation na p(x) = 0 ay hindi makatwiran, halimbawa, o makatuwiran, ngunit may isang medyo malaking numerator at /o denominator, halimbawa, 127/1101 at −31/59. Ito ay dahil sa katotohanan na sa mga ganitong kaso, ang pagsuri sa kundisyon q(x)≠0 ay mangangailangan ng makabuluhang pagsusumikap sa computational, at mas madaling ibukod ang mga extraneous na ugat gamit ang ODZ.

Sa ibang mga kaso, kapag nilulutas ang equation, lalo na kapag ang mga ugat ng equation na p(x) = 0 ay mga integer, mas kapaki-pakinabang na gamitin ang una sa mga ibinigay na algorithm. Iyon ay, ipinapayong mahanap agad ang mga ugat ng buong equation p(x)=0, at pagkatapos ay suriin kung ang kondisyon q(x)≠0 ay nasiyahan para sa kanila, sa halip na hanapin ang ODZ, at pagkatapos ay lutasin ang equation p(x)=0 sa ODZ na ito . Ito ay dahil sa ang katunayan na sa mga ganitong kaso kadalasan ay mas madaling suriin kaysa sa paghahanap ng DZ.

Isaalang-alang natin ang solusyon ng dalawang halimbawa upang ilarawan ang tinukoy na mga nuances.

Halimbawa.

Hanapin ang mga ugat ng equation.

Solusyon.

Una, hanapin natin ang mga ugat ng buong equation (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, na binubuo gamit ang numerator ng fraction. Kaliwang bahagi ng equation na ito ay isang produkto, at ang kanang kamay ay zero, samakatuwid, ayon sa paraan ng paglutas ng mga equation sa pamamagitan ng factorization, ang equation na ito ay katumbas ng isang set ng apat na equation 2 x−1=0 , x−6=0 , x 2 −5 x+14= 0 , x+1=0 . Tatlo sa mga equation na ito ay linear at ang isa ay quadratic; malulutas natin ang mga ito. Mula sa unang equation nakita natin ang x=1/2, mula sa pangalawa - x=6, mula sa pangatlo - x=7, x=−2, mula sa ikaapat - x=−1.

Sa mga ugat na natagpuan, medyo madaling suriin kung ang denominator ng fraction sa kaliwang bahagi ng orihinal na equation ay nawawala, ngunit ang pagtukoy sa ODZ, sa kabaligtaran, ay hindi gaanong simple, dahil para dito kailangan mong lutasin ang isang algebraic equation ng ikalimang degree. Samakatuwid, aabandunahin namin ang paghahanap ng ODZ sa pabor ng pagsuri sa mga ugat. Upang gawin ito, pinapalitan namin ang mga ito nang paisa-isa sa halip na ang variable na x sa expression x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, nakuha pagkatapos ng pagpapalit, at ihambing ang mga ito sa zero: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Kaya, ang 1/2, 6 at −2 ay ang gustong mga ugat ng orihinal na fractional rational equation, at ang 7 at −1 ay mga extraneous na ugat.

Sagot:

1/2 , 6 , −2 .

Halimbawa.

Hanapin ang mga ugat ng isang fractional rational equation.

Solusyon.

Una, hanapin natin ang mga ugat ng equation (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. Ang equation na ito ay katumbas ng isang set ng dalawang equation: square 5 x 2 −7 x−1=0 at linear x−2=0. Gamit ang formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation, nakita namin ang dalawang ugat, at mula sa pangalawang equation mayroon kaming x=2.

Ang pagsuri kung ang denominator ay napupunta sa zero sa mga nahanap na halaga ng x ay medyo hindi kasiya-siya. At ang pagtukoy sa hanay ng mga pinahihintulutang halaga ng variable x sa orihinal na equation ay medyo simple. Samakatuwid, kikilos tayo sa pamamagitan ng ODZ.

Sa aming kaso, ang ODZ ng variable x ng orihinal na fractional rational equation ay binubuo ng lahat ng mga numero maliban sa kung saan ang kundisyon x 2 +5·x−14=0 ay nasiyahan. Ang mga ugat ng quadratic equation na ito ay x=−7 at x=2, kung saan kami ay gumuhit ng konklusyon tungkol sa ODZ: ito ay binubuo ng lahat ng x tulad na .

Ito ay nananatiling suriin kung ang mga natagpuang ugat at x=2 ay nabibilang sa hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga. Ang mga ugat ay nabibilang, samakatuwid, ang mga ito ay mga ugat ng orihinal na equation, at x=2 ay hindi kabilang, samakatuwid, ito ay isang extraneous na ugat.

Sagot:

Magiging kapaki-pakinabang din ang hiwalay na pag-isipan ang mga kaso kapag sa isang fractional rational equation ng form ay mayroong isang numero sa numerator, iyon ay, kapag ang p(x) ay kinakatawan ng ilang numero. Kung saan

• kung ang numerong ito ay hindi zero, kung gayon ang equation ay walang mga ugat, dahil ang isang fraction ay katumbas ng zero kung at kung ang numerator nito ay katumbas ng zero;
• kung ang numerong ito ay zero, kung gayon ang ugat ng equation ay anumang numero mula sa ODZ.

Halimbawa.

Solusyon.

Dahil ang numerator ng fraction sa kaliwang bahagi ng equation ay naglalaman ng isang non-zero na numero, kung gayon para sa anumang x ang halaga ng fraction na ito ay hindi maaaring katumbas ng zero. Samakatuwid, ang equation na ito ay walang mga ugat.

Sagot:

walang ugat.

Halimbawa.

Lutasin ang equation.

Solusyon.

Ang numerator ng fraction sa kaliwang bahagi ng fractional rational equation na ito ay naglalaman ng zero, kaya ang halaga ng fraction na ito ay zero para sa anumang x kung saan ito ay may katuturan. Sa madaling salita, ang solusyon sa equation na ito ay anumang halaga ng x mula sa ODZ ng variable na ito.

Ito ay nananatiling upang matukoy ang hanay na ito ng mga katanggap-tanggap na halaga. Kabilang dito ang lahat ng mga halaga ng x kung saan x 4 +5 x 3 ≠0. Ang mga solusyon sa equation x 4 +5 x 3 =0 ay 0 at −5, dahil ang equation na ito ay katumbas ng equation x 3 (x+5)=0, at ito naman ay katumbas ng kumbinasyon ng dalawang equation x 3 =0 at x +5=0, mula sa kung saan makikita ang mga ugat na ito. Samakatuwid, ang nais na hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ay anumang x maliban sa x=0 at x=−5.

Kaya, ang isang fractional rational equation ay may walang katapusang maraming solusyon, na anumang mga numero maliban sa zero at minus lima.

Sagot:

Sa wakas, oras na para pag-usapan ang paglutas ng mga fractional rational equation ng arbitrary form. Maaari silang isulat bilang r(x)=s(x), kung saan ang r(x) at s(x) ay mga rational expression, at kahit isa sa mga ito ay fractional. Sa hinaharap, sabihin natin na ang kanilang solusyon ay bumababa sa paglutas ng mga equation ng form na pamilyar sa atin.

Alam na ang paglilipat ng isang termino mula sa isang bahagi ng equation patungo sa isa pa na may kabaligtaran na tanda ay humahantong sa isang katumbas na equation, samakatuwid ang equation r(x)=s(x) ay katumbas ng equation r(x)−s(x) )=0.

Alam din namin na ang alinmang , na magkapareho sa expression na ito, ay posible. Kaya, maaari nating palaging baguhin ang rational expression sa kaliwang bahagi ng equation r(x)−s(x)=0 sa isang magkaparehong pantay na rational fraction ng form .

Kaya lumipat tayo mula sa orihinal na fractional rational equation r(x)=s(x) sa equation, at ang solusyon nito, tulad ng nalaman natin sa itaas, ay bumababa sa paglutas ng equation na p(x)=0.

Ngunit narito, kinakailangang isaalang-alang ang katotohanan na kapag pinapalitan ang r(x)−s(x)=0 ng , at pagkatapos ay sa p(x)=0, maaaring lumawak ang saklaw ng mga pinahihintulutang halaga ng variable x .

Dahil dito, ang orihinal na equation r(x)=s(x) at ang equation na p(x)=0 na aming narating ay maaaring maging hindi pantay, at sa pamamagitan ng paglutas ng equation na p(x)=0, makakakuha tayo ng mga ugat. na magiging mga extraneous na ugat ng orihinal na equation r(x)=s(x) . Maaari mong tukuyin at huwag isama ang mga extraneous na ugat sa sagot alinman sa pamamagitan ng pagsasagawa ng check o sa pamamagitan ng pagsuri na kabilang sila sa ODZ ng orihinal na equation.

Ibuod natin ang impormasyong ito sa algorithm para sa paglutas ng fractional rational equation r(x)=s(x). Upang malutas ang fractional rational equation r(x)=s(x) , kailangan mo

• Kumuha ng zero sa kanan sa pamamagitan ng paglipat ng expression mula sa kanang bahagi na may kabaligtaran na palatandaan.
• Magsagawa ng mga operasyon na may mga fraction at polynomial sa kaliwang bahagi ng equation, sa gayon ay ginagawa itong isang rational fraction ng form.
• Lutasin ang equation na p(x)=0.
• Kilalanin at alisin ang mga extraneous na ugat, na ginagawa sa pamamagitan ng pagpapalit sa kanila sa orihinal na equation o sa pamamagitan ng pagsuri sa kanilang pag-aari sa ODZ ng orihinal na equation.

Para sa higit na kalinawan, ipapakita namin ang buong chain ng paglutas ng mga fractional rational equation:
.

Tingnan natin ang mga solusyon ng ilang mga halimbawa na may detalyadong paliwanag ng proseso ng solusyon upang linawin ang ibinigay na bloke ng impormasyon.

Halimbawa.

Lutasin ang isang fractional rational equation.

Solusyon.

Kikilos kami alinsunod sa algorithm ng solusyon na nakuha lang. At una, inilipat namin ang mga termino mula sa kanang bahagi ng equation sa kaliwa, bilang isang resulta lumipat kami sa equation.

Sa ikalawang hakbang, kailangan nating i-convert ang fractional rational expression sa kaliwang bahagi ng resultang equation sa anyo ng isang fraction. Upang gawin ito, binabawasan namin ang mga rational fraction sa isang common denominator at pinapasimple ang resultang expression: . Kaya dumating tayo sa equation.

Sa susunod na hakbang, kailangan nating lutasin ang equation na −2·x−1=0. Nahanap namin ang x=−1/2.

Ito ay nananatiling suriin kung ang nahanap na numero −1/2 ay hindi isang extraneous na ugat ng orihinal na equation. Upang gawin ito, maaari mong suriin o hanapin ang VA ng variable x ng orihinal na equation. Ipakita natin ang parehong mga diskarte.

Magsimula tayo sa pagsuri. Pinapalitan namin ang numero −1/2 sa orihinal na equation sa halip na ang variable na x, at nakuha namin ang parehong bagay, −1=−1. Ang pagpapalit ay nagbibigay ng tamang numerical equality, kaya ang x=−1/2 ay ang ugat ng orihinal na equation.

Ngayon ipakita natin kung paano huling punto Ang algorithm ay isinasagawa sa pamamagitan ng ODZ. Ang hanay ng mga pinahihintulutang halaga ng orihinal na equation ay ang hanay ng lahat ng mga numero maliban sa −1 at 0 (sa x=−1 at x=0 ang mga denominator ng mga fraction ay nawawala). Ang ugat na x=−1/2 na matatagpuan sa nakaraang hakbang ay kabilang sa ODZ, samakatuwid, ang x=−1/2 ay ang ugat ng orihinal na equation.

Sagot:

−1/2 .

Tingnan natin ang isa pang halimbawa.

Halimbawa.

Hanapin ang mga ugat ng equation.

Solusyon.

Kailangan nating lutasin ang isang fractional rational equation, dumaan tayo sa lahat ng mga hakbang ng algorithm.

Una, inililipat namin ang termino mula sa kanang bahagi patungo sa kaliwa, nakukuha namin .

Pangalawa, binabago namin ang expression na nabuo sa kaliwang bahagi: . Bilang resulta, dumating tayo sa equation na x=0.

Ang ugat nito ay halata - ito ay zero.

Sa ikaapat na hakbang, nananatili itong malaman kung ang natagpuang ugat ay extraneous sa orihinal na fractional rational equation. Kapag ito ay pinalitan sa orihinal na equation, ang expression ay nakuha. Malinaw, hindi ito makatuwiran dahil naglalaman ito ng dibisyon sa pamamagitan ng zero. Kung saan napagpasyahan namin na ang 0 ay isang extraneous na ugat. Samakatuwid, ang orihinal na equation ay walang mga ugat.

7, na humahantong sa Eq. Mula dito maaari nating tapusin na ang expression sa denominator ng kaliwang bahagi ay dapat na katumbas ng kanang bahagi, iyon ay, . Ngayon ibawas namin mula sa magkabilang panig ng triple: . Sa pamamagitan ng pagkakatulad, mula saan, at higit pa.

Ipinapakita ng tseke na ang parehong mga ugat na natagpuan ay mga ugat ng orihinal na fractional rational equation.

Sagot:

Bibliograpiya.

• Algebra: aklat-aralin para sa ika-8 baitang. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; inedit ni S. A. Teleyakovsky. - ika-16 na ed. - M.: Edukasyon, 2008. - 271 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. ika-8 baitang. Sa loob ng 2 oras. Bahagi 1. Textbook para sa mga mag-aaral ng pangkalahatang institusyong pang-edukasyon / A. G. Mordkovich. - 11th ed., nabura. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: may sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebra: Ika-9 na baitang: pang-edukasyon. para sa pangkalahatang edukasyon mga institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; inedit ni S. A. Teleyakovsky. - ika-16 na ed. - M.: Edukasyon, 2009. - 271 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-021134-5.

§ 1 Integer at fractional rational equation

Sa araling ito ay titingnan natin ang mga konsepto tulad ng rational equation, rational expression, whole expression, fractional expression. Isaalang-alang natin ang paglutas ng mga rational equation.

Ang rational equation ay isang equation kung saan ang kaliwa at kanang gilid ay mga rational expression.

Ang mga makatwirang ekspresyon ay:

Fractional.

Ang isang integer na expression ay binubuo ng mga numero, variable, integer na kapangyarihan gamit ang mga operasyon ng karagdagan, pagbabawas, multiplikasyon, at paghahati sa isang numero maliban sa zero.

Halimbawa:

SA mga fractional na expression mayroong isang dibisyon sa pamamagitan ng isang variable o isang expression na may isang variable. Halimbawa:

Ang isang fractional expression ay hindi makatwiran para sa lahat ng mga halaga ng mga variable na kasama dito. Halimbawa, ang expression

sa x = -9 hindi ito makatuwiran, dahil sa x = -9 ang denominator ay napupunta sa zero.

Nangangahulugan ito na ang isang rational equation ay maaaring integer o fractional.

Ang isang buong rational equation ay isang rational equation kung saan ang kaliwa at kanang gilid ay buong expression.

Halimbawa:

Ang fractional rational equation ay isang rational equation kung saan ang kaliwa o kanang bahagi ay fractional expression.

Halimbawa:

§ 2 Solusyon ng isang buong rational equation

Isaalang-alang natin ang solusyon ng isang buong rational equation.

Halimbawa:

I-multiply natin ang magkabilang panig ng equation sa pinakamaliit na common denominator ng mga denominator ng mga fraction na kasama dito.

Para dito:

1. hanapin ang karaniwang denominador para sa mga denominador 2, 3, 6. Ito ay katumbas ng 6;

2. humanap ng karagdagang salik para sa bawat fraction. Upang gawin ito, hatiin ang karaniwang denominador 6 sa bawat denominador

karagdagang salik para sa fraction

karagdagang salik para sa fraction

3. i-multiply ang mga numerator ng mga fraction sa kanilang katumbas na karagdagang mga salik. Kaya, nakukuha namin ang equation

na katumbas ng ibinigay na equation

Buksan natin ang mga bracket sa kaliwa, ilipat ang kanang bahagi sa kaliwa, baguhin ang tanda ng termino kapag inilipat sa kabaligtaran.

Dalhin natin ang mga katulad na termino ng polynomial at makuha

Nakikita natin na ang equation ay linear.

Nang malutas ito, nakita namin na x = 0.5.

§ 3 Solusyon ng isang fractional rational equation

Isaalang-alang natin ang paglutas ng isang fractional rational equation.

Halimbawa:

1. I-multiply ang magkabilang panig ng equation sa pinakamaliit na common denominator ng mga denominator ng mga rational fraction na kasama dito.

Hanapin natin ang common denominator para sa mga denominator na x + 7 at x - 1.

Ito ay katumbas ng kanilang produkto (x + 7)(x - 1).

2. Maghanap tayo ng karagdagang salik para sa bawat rational fraction.

Upang gawin ito, hatiin ang karaniwang denominador (x + 7)(x - 1) sa bawat denominador. Karagdagang salik para sa mga fraction

katumbas ng x - 1,

karagdagang salik para sa fraction

katumbas ng x+7.

3. I-multiply ang mga numerator ng mga fraction sa kanilang katumbas na karagdagang mga salik.

Nakukuha namin ang equation (2x - 1)(x - 1) = (3x + 4)(x + 7), na katumbas ng equation na ito

4. I-multiply ang binomial ng binomial sa kaliwa at kanan at kunin ang sumusunod na equation

5. Inilipat namin ang kanang bahagi sa kaliwa, binabago ang tanda ng bawat termino kapag naglilipat sa kabaligtaran:

6. Ipakita natin ang mga katulad na termino ng polynomial:

7. Ang magkabilang panig ay maaaring hatiin ng -1. Kumuha kami ng isang quadratic equation:

8. Nang malutas ito, mahahanap natin ang mga ugat

Dahil sa Eq.

ang kaliwa at kanang bahagi ay fractional expression, at sa fractional expression, para sa ilang mga halaga ng mga variable, ang denominator ay maaaring maging zero, pagkatapos ay kinakailangan upang suriin kung ang karaniwang denominator ay hindi napupunta sa zero kapag natagpuan ang x1 at x2 .

Sa x = -27, ang common denominator (x + 7)(x - 1) ay hindi nawawala; sa x = -1, ang common denominator ay hindi rin zero.

Samakatuwid, ang parehong mga ugat -27 at -1 ay mga ugat ng equation.

Kapag nilulutas ang isang fractional rational equation, mas mainam na agad na ipahiwatig ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga. Tanggalin ang mga halaga kung saan ang karaniwang denominator ay napupunta sa zero.

Isaalang-alang natin ang isa pang halimbawa ng paglutas ng isang fractional rational equation.

Halimbawa, lutasin natin ang equation

Isinasaalang-alang namin ang denominator ng fraction sa kanang bahagi ng equation

Nakukuha namin ang equation

Hanapin natin ang common denominator para sa mga denominator (x - 5), x, x(x - 5).

Ito ang magiging expression na x(x - 5).

Ngayon hanapin natin ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ng equation

Upang gawin ito, itinutumbas natin ang karaniwang denominador sa zero x(x - 5) = 0.

Nakukuha namin ang isang equation, paglutas na nakita namin na sa x = 0 o sa x = 5 ang common denominator ay napupunta sa zero.

Nangangahulugan ito na ang x = 0 o x = 5 ay hindi maaaring maging mga ugat ng ating equation.

Makakahanap na ng mga karagdagang multiplier.

Karagdagang salik para sa mga rational fraction

karagdagang salik para sa fraction

ay magiging (x - 5),

at ang karagdagang salik ng fraction

Pinaparami namin ang mga numerator sa kaukulang karagdagang mga kadahilanan.

Nakukuha natin ang equation na x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5).

Buksan natin ang mga bracket sa kaliwa at kanan, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.

Ilipat natin ang mga termino mula kanan pakaliwa, binabago ang tanda ng mga inilipat na termino:

X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

At pagkatapos magdala ng mga katulad na termino, nakakakuha tayo ng quadratic equation x2 - 3x - 10 = 0. Nang malutas ito, nakita natin ang mga ugat x1 = -2; x2 = 5.

Ngunit nalaman na natin na sa x = 5 ang common denominator x(x - 5) ay napupunta sa zero. Samakatuwid, ang ugat ng aming equation

magiging x = -2.

§ 4 Maikling buod aralin

Mahalagang tandaan:

Kapag nilulutas ang mga fractional rational equation, magpatuloy bilang mga sumusunod:

1. Hanapin ang common denominator ng mga fraction na kasama sa equation. Bukod dito, kung ang mga denominator ng mga fraction ay maaaring i-factor, pagkatapos ay i-factor ang mga ito at pagkatapos ay hanapin ang karaniwang denominator.

2. I-multiply ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng isang common denominator: maghanap ng mga karagdagang salik, i-multiply ang mga numerator sa mga karagdagang salik.

3. Lutasin ang resultang buong equation.

4. Tanggalin sa mga ugat nito ang mga nagpapawala ng karaniwang denominador.

Listahan ng ginamit na panitikan:

1. Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Na-edit ni Teleyakovsky S.A. Algebra: aklat-aralin. para sa ika-8 baitang. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon. - M.: Edukasyon, 2013.
2. Mordkovich A.G. Algebra. Ika-8 baitang: Sa dalawang bahagi. Bahagi 1: Teksbuk. para sa pangkalahatang edukasyon mga institusyon. - M.: Mnemosyne.
3. Rurukin A.N. Mga pag-unlad batay sa aralin sa algebra: ika-8 baitang. - M.: VAKO, 2010.
4. Algebra ika-8 baitang: mga plano ng aralin ayon sa textbook ni Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkova, S.B. Suvorova / Auth.-comp. T.L. Afanasyeva, L.A. Tapilina. -Volgograd: Guro, 2005.

Isaalang-alang ang isang equation na may dalawang variable

Ang isang pares ng mga variable na halaga na ginagawang totoo ang isang equation na may dalawang variable ay tinatawag na solusyon sa equation. Kung ang isang equation na may dalawang variable na x at y ay ibinigay, kung gayon kaugalian na isulat ang solusyon nito sa pamamagitan ng paglalagay ng halaga ng variable sa unang lugar, at sa pangalawang lugar - ang halaga ng y.

Kaya, ang mga pares ay mga solusyon sa equation, ngunit ang pares (1; 5) ay hindi isang solusyon sa equation.

Ang equation na ito ay may iba pang mga solusyon. Upang mahanap ang mga ito, ito ay maginhawa upang ipahayag ang isang variable sa mga tuntunin ng isa pa, halimbawa, x hanggang y y, na nagreresulta sa equation. Ang pagkakaroon ng pagpili ng isang arbitrary na halaga ng y, kinakalkula namin ang kaukulang halaga ng x. Halimbawa, kung nangangahulugan iyon na ang pares (31; 7) ay isang solusyon sa equation; kung nangangahulugan iyon na ang pares (4; -2) ay isa ring solusyon sa ibinigay na equation, atbp.

Ang mga equation na may dalawang variable ay sinasabing equivalent kung mayroon silang parehong solusyon.

Para sa mga equation na may dalawang variable, ang Theorems 5.1 at 5.2 (tingnan ang talata 135) sa mga katumbas na pagbabago ng equation ay wasto.