Unang antas

Degree at mga katangian nito. Komprehensibong gabay (2019)

Bakit kailangan ang mga degree? Saan mo sila kakailanganin? Bakit kailangan mong maglaan ng oras upang pag-aralan ang mga ito?

Upang matutunan ang lahat tungkol sa mga degree, para saan ang mga ito, kung paano gamitin ang iyong kaalaman Araw-araw na buhay basahin ang artikulong ito.

At, siyempre, ang kaalaman sa mga degree ay magdadala sa iyo na mas malapit sa tagumpay pagpasa sa OGE o ang Unified State Exam at pagpasok sa unibersidad na iyong pinapangarap.

Tara na... (Let's go!)

Mahalagang paalaala! Kung nakikita mo ang gobbledygook sa halip na mga formula, i-clear ang iyong cache. Upang gawin ito, pindutin ang CTRL+F5 (sa Windows) o Cmd+R (sa Mac).

UNANG ANTAS

Ang exponentiation ay isang mathematical operation tulad ng pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami o paghahati.

Ngayon ipapaliwanag ko ang lahat wika ng tao napaka mga simpleng halimbawa. Mag-ingat ka. Ang mga halimbawa ay elementarya, ngunit ipaliwanag ang mahahalagang bagay.

Magsimula tayo sa karagdagan.

Walang maipaliwanag dito. Alam mo na ang lahat: walo kami. Ang bawat isa ay may dalawang bote ng cola. Magkano ang cola? Tama iyon - 16 na bote.

Ngayon multiplication.

Ang parehong halimbawa sa cola ay maaaring isulat sa ibang paraan: . Ang mga mathematician ay tuso at tamad na tao. Una nilang napansin ang ilang mga pattern, at pagkatapos ay gumawa ng paraan upang "mabilang" ang mga ito nang mas mabilis. Sa aming kaso, napansin nila na ang bawat isa sa walong tao ay may parehong bilang ng mga bote ng cola at nakabuo sila ng isang pamamaraan na tinatawag na multiplication. Sumang-ayon, ito ay itinuturing na mas madali at mas mabilis kaysa sa.

Kaya, upang mabilang nang mas mabilis, mas madali at walang mga error, kailangan mo lang tandaan talaan ng multiplikasyon. Siyempre, magagawa mo ang lahat nang mas mabagal, mas mahirap at may mga pagkakamali! Pero…

Narito ang talahanayan ng pagpaparami. Ulitin.

At isa pa, mas maganda:

Anong iba pang matalinong trick sa pagbibilang ang naisip ng mga tamad na mathematician? tama - pagtataas ng isang numero sa isang kapangyarihan.

Pagtaas ng isang numero sa isang kapangyarihan

Kung kailangan mong i-multiply ang isang numero sa sarili nitong limang beses, pagkatapos ay sasabihin ng mga mathematician na kailangan mong itaas ang numerong iyon sa ikalimang kapangyarihan. Halimbawa, . Natatandaan ng mga mathematician na ang dalawa hanggang ikalimang kapangyarihan ay... At nalulutas nila ang mga naturang problema sa kanilang mga ulo - mas mabilis, mas madali at walang mga pagkakamali.

Ang kailangan mo lang gawin ay tandaan kung ano ang naka-highlight sa kulay sa talahanayan ng mga kapangyarihan ng mga numero. Maniwala ka sa akin, gagawin nitong mas madali ang iyong buhay.

Nga pala, bakit second degree ang tawag dito? parisukat mga numero, at ang pangatlo - kubo? Ano ang ibig sabihin nito? napaka magandang tanong. Ngayon ay magkakaroon ka ng parehong mga parisukat at mga cube.

Halimbawa sa totoong buhay #1

Magsimula tayo sa parisukat o sa pangalawang kapangyarihan ng numero.

Isipin ang isang parisukat na pool na may sukat na isang metro sa isang metro. Ang pool ay nasa iyong dacha. Ang init at gusto ko talagang lumangoy. Pero... walang ilalim ang pool! Kailangan mong takpan ang ilalim ng pool na may mga tile. Ilang tile ang kailangan mo? Upang matukoy ito, kailangan mong malaman ang ilalim na lugar ng pool.

Maaari mo lamang kalkulahin sa pamamagitan ng pagturo ng iyong daliri na ang ilalim ng pool ay binubuo ng metro bawat metrong cube. Kung mayroon kang mga tile na isang metro sa isang metro, kakailanganin mo ng mga piraso. Madali lang... Pero saan ka nakakita ng ganyang tiles? Ang tile ay malamang na magiging cm por cm. At pagkatapos ay pahihirapan ka sa pamamagitan ng "pagbibilang gamit ang iyong daliri." Pagkatapos ay kailangan mong magparami. Kaya, sa isang gilid ng ilalim ng pool ay magkasya kami ng mga tile (piraso) at sa kabilang banda, masyadong, mga tile. I-multiply at makakakuha ka ng mga tile ().

Napansin mo ba na upang matukoy ang lugar ng ilalim ng pool, pinarami namin ang parehong numero sa pamamagitan ng kanyang sarili? Ano ang ibig sabihin nito? Dahil pina-multiply natin ang parehong numero, maaari nating gamitin ang "exponentiation" technique. (Siyempre, kapag dalawa lang ang numero mo, kailangan mo pa ring i-multiply ang mga ito o itaas sa isang power. Pero kung marami ka sa kanila, kung gayon ang pagtaas ng mga ito sa isang power ay mas madali at mas kaunti rin ang mga error sa mga kalkulasyon. Para sa Unified State Exam, ito ay napakahalaga).
Kaya, tatlumpu hanggang sa ikalawang kapangyarihan ay magiging (). O maaari nating sabihin na tatlumpung squared ang magiging. Sa madaling salita, ang pangalawang kapangyarihan ng isang numero ay maaaring palaging kinakatawan bilang isang parisukat. At vice versa, kung makakita ka ng isang parisukat, ito ay palaging ang pangalawang kapangyarihan ng ilang numero. Ang parisukat ay isang imahe ng pangalawang kapangyarihan ng isang numero.

Halimbawa sa totoong buhay #2

Narito ang isang gawain para sa iyo: bilangin kung gaano karaming mga parisukat ang mayroon sa chessboard gamit ang parisukat ng numero... Sa isang gilid ng mga cell at sa kabilang panig din. Upang mabilang ang kanilang bilang, kailangan mong i-multiply ang walo sa walo o... kung mapapansin mo iyon Chess board- ito ay isang parisukat na may gilid, pagkatapos ay maaari mong kuwadrado ang walo. Makakakuha ka ng mga cell. () Kaya?

Halimbawa sa totoong buhay #3

Ngayon ang kubo o ang ikatlong kapangyarihan ng isang numero. Ang parehong pool. Ngunit ngayon kailangan mong malaman kung gaano karaming tubig ang kailangang ibuhos sa pool na ito. Kailangan mong kalkulahin ang lakas ng tunog. (Ang mga volume at likido, sa paraan, ay sinusukat sa metro kubiko. Hindi inaasahan, tama ba?) Gumuhit ng isang pool: ang ibaba ay isang metro ang laki at isang metro ang lalim, at subukang bilangin kung gaano karaming mga cube na sumusukat ng isang metro sa isang metro ay magkasya sa iyong pool.

Ituro lamang ang iyong daliri at magbilang! Isa, dalawa, tatlo, apat...dalawampu't dalawa, dalawampu't tatlo...Ilan ang nakuha mo? Hindi nawala? Mahirap bang magbilang gamit ang iyong daliri? Kaya yun! Kumuha ng isang halimbawa mula sa mga mathematician. Sila ay tamad, kaya napansin nila na upang makalkula ang dami ng pool, kailangan mong i-multiply ang haba, lapad at taas nito sa bawat isa. Sa aming kaso, ang dami ng pool ay magiging katumbas ng mga cube... Mas madali, di ba?

Ngayon isipin kung gaano katamad at tuso ang mga mathematician kung pinasimple rin nila ito. Binawasan namin ang lahat sa isang aksyon. Napansin nila na ang haba, lapad at taas ay pantay at ang parehong bilang ay pinarami sa sarili nito... Ano ang ibig sabihin nito? Nangangahulugan ito na maaari mong samantalahin ang degree. Kaya, ang minsan mong binilang gamit ang iyong daliri, ginagawa nila sa isang aksyon: tatlong cubed ay pantay. Ito ay nakasulat tulad nito: .

Ang natitira na lang tandaan ang talahanayan ng mga degree. Maliban kung, siyempre, ikaw ay tamad at tuso bilang mga mathematician. Kung gusto mong magtrabaho nang husto at magkamali, maaari kang magpatuloy sa pagbibilang gamit ang iyong daliri.

Buweno, upang sa wakas ay kumbinsihin ka na ang mga degree ay naimbento ng mga huminto at tusong tao upang malutas ang kanilang mga problema sa buhay, at hindi upang lumikha ng mga problema para sa iyo, narito ang ilang higit pang mga halimbawa mula sa buhay.

Halimbawa sa totoong buhay #4

Mayroon kang isang milyong rubles. Sa simula ng bawat taon, sa bawat milyon na kinikita mo, kumikita ka ng isa pang milyon. Ibig sabihin, bawat milyon mayroon kang doble sa simula ng bawat taon. Magkano ang pera mo sa mga taon? Kung nakaupo ka ngayon at "nagbibilang gamit ang iyong daliri," kung gayon ikaw ay isang napakasipag na tao at... tanga. Ngunit malamang na magbibigay ka ng sagot sa loob ng ilang segundo, dahil matalino ka! Kaya, sa unang taon - ang dalawa ay pinarami ng dalawa ... sa ikalawang taon - ang nangyari, ng dalawa pa, sa ikatlong taon ... Stop! Napansin mo na ang bilang ay pinarami ng sarili nitong beses. Kaya ang dalawa hanggang ikalimang kapangyarihan ay isang milyon! Ngayon isipin na mayroon kang kumpetisyon at ang pinakamabilis na mabibilang ay makakakuha ng mga milyun-milyong ito... Ito ay nagkakahalaga ng pag-alala sa mga kapangyarihan ng mga numero, hindi ba?

Halimbawa sa totoong buhay #5

Mayroon kang isang milyon. Sa simula ng bawat taon, sa bawat milyong kinikita mo, kumikita ka pa ng dalawa. Ang galing di ba? Bawat milyon ay triple. Magkano ang pera mo sa isang taon? Magbilang tayo. Ang unang taon - i-multiply ng, pagkatapos ay ang resulta sa isa pa... Nakakabagot na, dahil naintindihan mo na ang lahat: ang tatlo ay pinarami ng sarili nitong beses. Kaya sa pang-apat na kapangyarihan ito ay katumbas ng isang milyon. Kailangan mo lamang tandaan na ang tatlo hanggang ikaapat na kapangyarihan ay o.

Ngayon alam mo na na sa pamamagitan ng pagtaas ng isang numero sa isang kapangyarihan ay gagawin mong mas madali ang iyong buhay. Tingnan natin kung ano ang maaari mong gawin sa mga degree at kung ano ang kailangan mong malaman tungkol sa mga ito.

Terms and concepts... para hindi malito

Kaya, una, tukuyin natin ang mga konsepto. Ano sa tingin mo, ano ang exponent? Ito ay napaka-simple - ito ang numero na "nasa itaas" ng kapangyarihan ng numero. Hindi siyentipiko, ngunit malinaw at madaling tandaan...

Well, at the same time, ano ganyang degree basis? Kahit na mas simple - ito ang numero na matatagpuan sa ibaba, sa base.

Narito ang isang guhit para sa mahusay na sukat.

Buweno, sa mga pangkalahatang tuntunin, upang mas maging pangkalahatan at matandaan... Ang isang degree na may base na " " at isang exponent " " ay binabasa bilang "sa antas" at isinusulat tulad ng sumusunod:

Kapangyarihan ng isang numero na may natural na exponent

Marahil ay nahulaan mo na: dahil ang exponent ay natural na numero. Oo, ngunit ano ito natural na numero? elementarya! Ang mga natural na numero ay ang mga numerong iyon na ginagamit sa pagbibilang kapag naglilista ng mga bagay: isa, dalawa, tatlo... Kapag nagbibilang tayo ng mga bagay, hindi natin sinasabing: “minus five,” “minus six,” “minus seven.” Hindi rin namin sinasabi: "one third", o "zero point five". Ang mga ito ay hindi natural na mga numero. Anong mga numero sa tingin mo ang mga ito?

Ang mga numero tulad ng "minus five", "minus six", "minus seven" ay tumutukoy sa buong numero. Sa pangkalahatan, kasama sa mga integer ang lahat ng natural na numero, mga numerong kabaligtaran ng mga natural na numero (iyon ay, kinuha gamit ang minus sign), at numero. Ang zero ay madaling maunawaan - ito ay kapag wala. Ano ang ibig sabihin ng mga negatibong (“minus”) na numero? Ngunit sila ay naimbento lalo na upang ipahiwatig ang mga utang: kung mayroon kang balanse sa iyong telepono sa rubles, nangangahulugan ito na may utang ka sa operator na rubles.

Ang lahat ng mga fraction ay mga rational na numero. Paano sila lumitaw, sa palagay mo? Napakasimple. Ilang libong taon na ang nakalilipas, natuklasan ng ating mga ninuno na kulang sila ng mga natural na numero upang sukatin ang haba, timbang, lawak, atbp. At nakaisip sila mga rational na numero... Kawili-wili, hindi ba?

Mayroon ding mga hindi makatwirang numero. Ano ang mga numerong ito? Sa madaling salita, ito ay isang walang katapusang decimal fraction. Halimbawa, kung hahatiin mo ang circumference ng isang bilog sa diameter nito, makakakuha ka ng hindi makatwirang numero.

Buod:

Tukuyin natin ang konsepto ng isang degree na ang exponent ay isang natural na numero (ibig sabihin, integer at positibo).

1. Anumang numero sa unang kapangyarihan ay katumbas ng sarili nito:
2. Ang ibig sabihin ng pag-square ng isang numero ay i-multiply ito sa sarili nito:
3. Ang ibig sabihin ng pag-cube ng isang numero ay i-multiply ito sa sarili nitong tatlong beses:

Kahulugan. Ang pagpapataas ng isang numero sa isang natural na kapangyarihan ay nangangahulugan ng pagpaparami ng numero sa sarili nitong mga beses:
.

Mga katangian ng mga degree

Saan nagmula ang mga ari-arian na ito? Ipapakita ko sa iyo ngayon.

Tingnan natin: ano ito At ?

A-priory:

Ilang multiplier ang kabuuan?

Napakasimple nito: nagdagdag kami ng mga multiplier sa mga salik, at ang resulta ay mga multiplier.

Ngunit sa pamamagitan ng kahulugan, ito ay isang kapangyarihan ng isang numero na may isang exponent, iyon ay: , na kung saan ay kung ano ang kailangan upang mapatunayan.

Halimbawa: Pasimplehin ang expression.

Solusyon:

Halimbawa: Pasimplehin ang expression.

Solusyon: Mahalagang tandaan na sa ating panuntunan Kailangan dapat may parehong dahilan!
Samakatuwid, pinagsama namin ang mga kapangyarihan sa base, ngunit nananatili itong isang hiwalay na kadahilanan:

para lamang sa produkto ng mga kapangyarihan!

Sa anumang pagkakataon ay hindi mo maisusulat iyon.

2. yun lang ika kapangyarihan ng isang numero

Tulad ng sa nakaraang pag-aari, buksan natin ang kahulugan ng degree:

Ito ay lumalabas na ang expression ay pinarami ng sarili nitong beses, iyon ay, ayon sa kahulugan, ito ang ika-kapangyarihan ng numero:

Sa esensya, ito ay matatawag na "pag-alis ng indicator sa mga bracket." Ngunit hindi mo ito magagawa sa kabuuan:

Alalahanin natin ang mga pinaikling pormula ng pagpaparami: ilang beses natin gustong sumulat?

Ngunit ito ay hindi totoo, pagkatapos ng lahat.

Power na may negatibong base

Hanggang sa puntong ito, tinalakay lang namin kung ano ang dapat na exponent.

Ngunit ano ang dapat na maging batayan?

Sa kapangyarihan ng natural na tagapagpahiwatig maaaring maging batayan kahit anong numero. Sa katunayan, maaari nating i-multiply ang anumang mga numero sa bawat isa, maging sila ay positibo, negatibo, o kahit na.

Isipin natin kung aling mga palatandaan ("" o "") ang magkakaroon ng mga kapangyarihan ng positibo at negatibong mga numero?

Halimbawa, ang bilang ba ay positibo o negatibo? A? ? Sa una, malinaw ang lahat: gaano man karaming positibong numero ang i-multiply natin sa isa't isa, magiging positibo ang resulta.

Ngunit ang mga negatibo ay medyo mas kawili-wili. Naaalala namin ang simpleng panuntunan mula sa ika-6 na baitang: "ang minus para sa minus ay nagbibigay ng plus." Iyon ay, o. Ngunit kung tayo ay dumami, ito ay gumagana.

Tukuyin para sa iyong sarili kung anong senyales ang magkakaroon ng mga sumusunod na expression:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Inayos mo ba?

Narito ang mga sagot: Sa unang apat na halimbawa, sana ay malinaw ang lahat? Tinitingnan lang namin ang base at exponent at inilalapat ang naaangkop na panuntunan.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Sa halimbawa 5) ang lahat ay hindi rin nakakatakot gaya ng tila: pagkatapos ng lahat, hindi mahalaga kung ano ang katumbas ng base - ang antas ay pantay, na nangangahulugang ang resulta ay palaging magiging positibo.

Well, maliban kung ang base ay zero. Hindi pantay ang base, di ba? Malinaw na hindi, dahil (dahil).

Halimbawa 6) ay hindi na napakasimple!

6 na mga halimbawa sa pagsasanay

Pagsusuri ng solusyon 6 na halimbawa

Kung papansinin natin ang ikawalong kapangyarihan, ano ang makikita natin dito? Alalahanin natin ang programa sa ika-7 baitang. So, naalala mo ba? Ito ang formula para sa pinaikling multiplikasyon, lalo na ang pagkakaiba ng mga parisukat! Nakukuha namin:

Tingnan nating mabuti ang denominator. Mukha itong isa sa mga kadahilanan ng numerator, ngunit ano ang mali? Mali ang pagkakasunud-sunod ng mga tuntunin. Kung mababaligtad ang mga ito, maaaring ilapat ang panuntunan.

Ngunit paano gawin iyon? Lumalabas na napakadali: ang pantay na antas ng denominator ay nakakatulong sa atin dito.

Magically nagbago ang mga termino. Ang "phenomenon" na ito ay nalalapat sa anumang ekspresyon sa isang pantay na antas: madali nating mababago ang mga palatandaan sa panaklong.

Ngunit mahalagang tandaan: lahat ng mga palatandaan ay nagbabago sa parehong oras!

Bumalik tayo sa halimbawa:

At muli ang formula:

buo tinatawag namin ang mga natural na numero, ang kanilang mga kabaligtaran (iyon ay, kinuha gamit ang " " sign) at ang numero.

positibong integer, at ito ay hindi naiiba mula sa natural, kung gayon ang lahat ay mukhang eksaktong katulad sa nakaraang seksyon.

Ngayon tingnan natin ang mga bagong kaso. Magsimula tayo sa isang tagapagpahiwatig na katumbas ng.

Anumang numero sa zero degree katumbas ng isa:

Gaya ng dati, tanungin natin ang ating sarili: bakit ganito?

Isaalang-alang natin ang ilang antas na may batayan. Kunin, halimbawa, at i-multiply sa:

Kaya, pinarami namin ang numero sa, at nakuha namin ang parehong bagay tulad ng dati - . Anong numero ang dapat mong i-multiply para walang magbago? Tama iyon, sa. ibig sabihin.

Magagawa natin ang parehong sa isang arbitrary na numero:

Ulitin natin ang panuntunan:

Ang anumang numero sa zero power ay katumbas ng isa.

Ngunit may mga pagbubukod sa maraming mga patakaran. At narito din doon - ito ay isang numero (bilang base).

Sa isang banda, ito ay dapat na katumbas ng anumang antas - gaano man karami mong i-multiply ang zero sa sarili mo, makakakuha ka pa rin ng zero, ito ay malinaw. Ngunit sa kabilang banda, tulad ng anumang numero sa zero na kapangyarihan, dapat itong pantay. Kaya gaano ito katotoo? Nagpasya ang mga mathematician na huwag makisali at tumanggi na itaas ang zero sa zero na kapangyarihan. Iyon ay, ngayon ay hindi lamang natin mahahati sa zero, ngunit itaas din ito sa zero na kapangyarihan.

Mag-move on na tayo. Bilang karagdagan sa mga natural na numero at numero, kasama rin sa mga integer ang mga negatibong numero. Upang maunawaan kung ano ang negatibong antas, gawin natin ang huling pagkakataon: i-multiply ang ilang normal na numero sa parehong numero sa negatibong antas:

Mula rito, madaling ipahayag ang iyong hinahanap:

Ngayon palawakin natin ang nagresultang panuntunan sa isang di-makatwirang antas:

Kaya, gumawa tayo ng isang panuntunan:

Ang isang numero na may negatibong kapangyarihan ay ang katumbas ng parehong numero na may positibong kapangyarihan. Ngunit sa parehong oras Ang base ay hindi maaaring null:(dahil hindi mo mahahati sa).

Ibuod natin:

I. Ang expression ay hindi tinukoy sa kaso. Kung, kung gayon.

II. Ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa: .

III. Ang isang numero na hindi katumbas ng zero sa isang negatibong kapangyarihan ay ang kabaligtaran ng parehong numero sa isang positibong kapangyarihan: .

Mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

Well, gaya ng dati, mga halimbawa para sa mga independiyenteng solusyon:

Pagsusuri ng mga problema para sa independiyenteng solusyon:

Alam ko, alam ko, nakakatakot ang mga numero, ngunit sa Unified State Exam kailangan mong maging handa sa anumang bagay! Lutasin ang mga halimbawang ito o suriin ang kanilang mga solusyon kung hindi mo malutas ang mga ito at matututo kang makayanan ang mga ito nang madali sa pagsusulit!

Patuloy nating palawakin ang hanay ng mga numerong “angkop” bilang isang exponent.

Ngayon isaalang-alang natin mga rational na numero. Anong mga numero ang tinatawag na rational?

Sagot: lahat ng bagay na maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan at mga integer, at.

Upang maunawaan kung ano ito "fractional degree", isaalang-alang ang fraction:

Itaas natin ang magkabilang panig ng equation sa isang kapangyarihan:

Ngayon tandaan natin ang tuntunin tungkol sa "degree to degree":

Anong numero ang dapat itaas sa isang kapangyarihan para makuha?

Ang pagbabalangkas na ito ay ang kahulugan ng ugat ng ika-degree.

Paalalahanan ko kayo: ang ugat ng ika-kapangyarihan ng isang numero () ay isang numero na, kapag itinaas sa isang kapangyarihan, ay katumbas ng.

Iyon ay, ang ugat ng ika kapangyarihan ay ang kabaligtaran na operasyon ng pagtaas sa isang kapangyarihan: .

Lumalabas na. Malinaw, ang espesyal na kaso na ito ay maaaring palawakin: .

Ngayon idagdag namin ang numerator: ano ito? Ang sagot ay madaling makuha gamit ang power-to-power rule:

Ngunit maaari bang maging anumang numero ang base? Pagkatapos ng lahat, ang ugat ay hindi maaaring makuha mula sa lahat ng mga numero.

wala!

Tandaan natin ang panuntunan: anumang numerong itinaas sa pantay na kapangyarihan ay isang positibong numero. Iyon ay, imposibleng kunin ang kahit na mga ugat mula sa mga negatibong numero!

Nangangahulugan ito na ang mga naturang numero ay hindi maaaring itaas sa isang fractional na kapangyarihan na may pantay na denominator, iyon ay, ang expression ay walang kahulugan.

Paano ang expression?

Ngunit narito ang isang problema ay lumitaw.

Ang numero ay maaaring katawanin sa anyo ng iba, mababawasan na mga fraction, halimbawa, o.

At ito ay lumalabas na ito ay umiiral, ngunit hindi umiiral, ngunit ang mga ito ay dalawang magkaibang mga talaan ng parehong numero.

O isa pang halimbawa: isang beses, pagkatapos ay maaari mo itong isulat. Ngunit kung iba ang isusulat natin sa indicator, muli tayong magkakaproblema: (iyon ay, nakakuha tayo ng ganap na kakaibang resulta!).

Upang maiwasan ang gayong mga kabalintunaan, isaalang-alang namin tanging positibong base exponent na may fractional exponent.

Kaya kung:

• - natural na numero;
• - integer;

Mga halimbawa:

Ang mga rational exponents ay lubhang kapaki-pakinabang para sa pagbabago ng mga expression na may mga ugat, halimbawa:

5 mga halimbawa sa pagsasanay

Pagsusuri ng 5 halimbawa para sa pagsasanay

Well, ngayon ay dumating ang pinakamahirap na bahagi. Ngayon ay aalamin natin ito degree na may hindi makatwirang exponent.

Ang lahat ng mga patakaran at katangian ng mga degree dito ay eksaktong kapareho ng para sa isang degree na may rational exponent, maliban

Pagkatapos ng lahat, ayon sa kahulugan, ang mga hindi makatwirang numero ay mga numero na hindi maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan at mga integer (iyon ay, ang mga hindi makatwiran na numero ay lahat ng tunay na numero maliban sa mga makatwiran).

Kapag nag-aaral ng mga degree na may natural, integer at rational exponents, sa bawat oras na gumawa kami ng partikular na "imahe", "analogy", o paglalarawan sa mas pamilyar na mga termino.

Halimbawa, ang isang degree na may natural na exponent ay isang numero na pinarami ng sarili nitong ilang beses;

...numero sa zeroth power- ito ay, tulad ng, isang numero na pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, hindi pa nila sinimulan na i-multiply ito, na nangangahulugang ang numero mismo ay hindi pa lumitaw - samakatuwid ang resulta ay isang tiyak na "blangko na numero" lamang. , ibig sabihin ay isang numero;

...degree na may integer negatibong tagapagpahiwatig - parang may naganap na "reverse process", iyon ay, ang bilang ay hindi pinarami sa sarili nito, ngunit hinati.

Sa pamamagitan ng paraan, sa agham ng isang degree na may kumplikadong tagapagpahiwatig, ibig sabihin, ang indicator ay hindi kahit isang tunay na numero.

Ngunit sa paaralan hindi namin iniisip ang tungkol sa mga paghihirap; magkakaroon ka ng pagkakataong maunawaan ang mga bagong konseptong ito sa institute.

KUNG SAAN KAMI SIGURO PUPUNTA KA! (kung matututo kang lutasin ang mga ganitong halimbawa :))

Halimbawa:

Magpasya para sa iyong sarili:

Pagsusuri ng mga solusyon:

1. Magsimula tayo sa karaniwang tuntunin para sa pagtataas ng kapangyarihan sa isang kapangyarihan:

Ngayon tingnan ang tagapagpahiwatig. Wala ba siyang naaalala sayo? Alalahanin natin ang formula para sa pinaikling multiplikasyon ng pagkakaiba ng mga parisukat:

SA sa kasong ito,

Lumalabas na:

Sagot: .

2. Binabawasan namin ang mga fraction sa exponents sa parehong anyo: alinman sa parehong mga decimal o parehong mga ordinaryong. Nakukuha namin, halimbawa:

Sagot: 16

3. Walang espesyal, ginagamit namin ang karaniwang katangian ng mga degree:

ADVANCED LEVEL

Pagpapasiya ng degree

Ang degree ay isang pagpapahayag ng anyo: , kung saan:

• — base ng degree;
• - exponent.

Degree na may natural na indicator (n = 1, 2, 3,...)

Ang pagtaas ng isang numero sa natural na kapangyarihan n ay nangangahulugan ng pagpaparami ng numero sa sarili nitong mga beses:

Degree na may integer exponent (0, ±1, ±2,...)

Kung ang exponent ay positibong integer numero:

Konstruksyon sa zero degree:

Ang expression ay hindi tiyak, dahil, sa isang banda, sa anumang antas ay ito, at sa kabilang banda, anumang numero sa ika-degree ay ito.

Kung ang exponent ay negatibong integer numero:

(dahil hindi mo mahahati sa).

Muli tungkol sa mga zero: ang expression ay hindi tinukoy sa kaso. Kung, kung gayon.

Mga halimbawa:

Kapangyarihan na may makatwirang exponent

• - natural na numero;
• - integer;

Mga halimbawa:

Mga katangian ng mga degree

Upang gawing mas madali ang paglutas ng mga problema, subukan nating maunawaan: saan nagmula ang mga katangiang ito? Patunayan natin sila.

Tingnan natin: ano ang at?

A-priory:

Kaya, sa kanang bahagi ng expression na ito nakukuha namin ang sumusunod na produkto:

Ngunit sa pamamagitan ng kahulugan ito ay isang kapangyarihan ng isang numero na may isang exponent, iyon ay:

Q.E.D.

Halimbawa : Pasimplehin ang expression.

Solusyon : .

Halimbawa : Pasimplehin ang expression.

Solusyon : Mahalagang tandaan na sa ating panuntunan Kailangan dapat may parehong dahilan. Samakatuwid, pinagsama namin ang mga kapangyarihan sa base, ngunit nananatili itong isang hiwalay na kadahilanan:

Isa pang mahalagang tala: ang panuntunang ito - para lamang sa produkto ng mga kapangyarihan!

Sa anumang pagkakataon ay hindi mo maisusulat iyon.

Tulad ng sa nakaraang pag-aari, buksan natin ang kahulugan ng degree:

Ipangkat muli natin ang gawaing ito tulad nito:

Ito ay lumalabas na ang expression ay pinarami ng sarili nitong beses, iyon ay, ayon sa kahulugan, ito ang ika-kapangyarihan ng numero:

Sa esensya, ito ay matatawag na "pag-alis ng indicator sa mga bracket." Ngunit hindi mo ito magagawa sa kabuuan: !

Alalahanin natin ang mga pinaikling pormula ng pagpaparami: ilang beses natin gustong sumulat? Ngunit ito ay hindi totoo, pagkatapos ng lahat.

Power na may negatibong base.

Hanggang dito na lang napag-usapan kung ano ang dapat index degrees. Ngunit ano ang dapat na maging batayan? Sa kapangyarihan ng natural tagapagpahiwatig maaaring maging batayan kahit anong numero .

Sa katunayan, maaari nating i-multiply ang anumang mga numero sa bawat isa, maging sila ay positibo, negatibo, o kahit na. Isipin natin kung aling mga palatandaan ("" o "") ang magkakaroon ng mga antas ng positibo at negatibong mga numero?

Halimbawa, ang bilang ba ay positibo o negatibo? A? ?

Sa una, malinaw ang lahat: gaano man karaming positibong numero ang i-multiply natin sa isa't isa, magiging positibo ang resulta.

Ngunit ang mga negatibo ay medyo mas kawili-wili. Naaalala namin ang simpleng panuntunan mula sa ika-6 na baitang: "ang minus para sa minus ay nagbibigay ng plus." Iyon ay, o. Ngunit kung i-multiply natin sa (), makakakuha tayo ng - .

At iba pa ang ad infinitum: sa bawat kasunod na pagpaparami ay magbabago ang tanda. Maaari nating bumalangkas ang mga sumusunod simpleng tuntunin:

1. kahit degree, - numero positibo.
2. Negatibong numero itinaas sa kakaiba degree, - numero negatibo.
3. Ang isang positibong numero sa anumang antas ay isang positibong numero.
4. Ang zero sa anumang kapangyarihan ay katumbas ng zero.

Tukuyin para sa iyong sarili kung anong senyales ang magkakaroon ng mga sumusunod na expression:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Inayos mo ba? Narito ang mga sagot:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Sa unang apat na halimbawa, sana ay malinaw ang lahat? Tinitingnan lang namin ang base at exponent at inilalapat ang naaangkop na panuntunan.

Sa halimbawa 5) ang lahat ay hindi rin nakakatakot gaya ng tila: pagkatapos ng lahat, hindi mahalaga kung ano ang katumbas ng base - ang antas ay pantay, na nangangahulugang ang resulta ay palaging magiging positibo. Well, maliban kung ang base ay zero. Hindi pantay ang base, di ba? Malinaw na hindi, dahil (dahil).

Halimbawa 6) ay hindi na gaanong simple. Dito kailangan mong malaman kung alin ang mas kaunti: o? Kung natatandaan natin iyan, nagiging malinaw na, ibig sabihin ang base ay mas mababa sa zero. Ibig sabihin, inilalapat namin ang panuntunan 2: magiging negatibo ang resulta.

At muli ginagamit namin ang kahulugan ng degree:

Ang lahat ay tulad ng dati - isinulat namin ang kahulugan ng mga degree at hatiin ang mga ito sa bawat isa, hatiin ang mga ito sa mga pares at makuha:

Bago natin tingnan ang huling tuntunin, lutasin natin ang ilang halimbawa.

Kalkulahin ang mga expression:

Mga solusyon :

Kung papansinin natin ang ikawalong kapangyarihan, ano ang makikita natin dito? Alalahanin natin ang programa sa ika-7 baitang. So, naalala mo ba? Ito ang formula para sa pinaikling multiplikasyon, lalo na ang pagkakaiba ng mga parisukat!

Nakukuha namin:

Tingnan nating mabuti ang denominator. Mukha itong isa sa mga kadahilanan ng numerator, ngunit ano ang mali? Mali ang pagkakasunud-sunod ng mga tuntunin. Kung mababaligtad ang mga ito, maaaring ilapat ang panuntunan 3. Ngunit paano? Lumalabas na napakadali: ang pantay na antas ng denominator ay nakakatulong sa atin dito.

Kung i-multiply mo ito, walang magbabago di ba? Ngunit ngayon ito ay naging ganito:

Magically nagbago ang mga termino. Ang "phenomenon" na ito ay nalalapat sa anumang ekspresyon sa isang pantay na antas: madali nating mababago ang mga palatandaan sa panaklong. Ngunit mahalagang tandaan: Ang lahat ng mga palatandaan ay nagbabago sa parehong oras! Hindi mo ito mapapalitan sa pamamagitan ng pagpapalit ng isang kawalan lamang na hindi namin gusto!

Bumalik tayo sa halimbawa:

At muli ang formula:

Kaya ngayon ang huling tuntunin:

Paano natin ito mapapatunayan? Siyempre, gaya ng dati: palawakin natin ang konsepto ng degree at pasimplehin ito:

Well, ngayon buksan natin ang mga bracket. Ilang titik ang kabuuan? beses sa pamamagitan ng mga multiplier - ano ang ipinaaalala nito sa iyo? Ito ay walang iba kundi isang kahulugan ng isang operasyon pagpaparami: May mga multiplier lang doon. Iyon ay, ito, sa pamamagitan ng kahulugan, ay isang kapangyarihan ng isang numero na may exponent:

Halimbawa:

Degree na may hindi makatwirang exponent

Bilang karagdagan sa impormasyon tungkol sa mga degree para sa average na antas, susuriin namin ang degree na may hindi makatwirang exponent. Ang lahat ng mga patakaran at katangian ng mga degree dito ay eksaktong kapareho ng para sa isang degree na may rational exponent, maliban sa lahat - pagkatapos ng lahat, sa pamamagitan ng kahulugan, ang mga hindi makatwiran na numero ay mga numero na hindi maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan at mga integer (iyon ay , ang mga hindi makatwirang numero ay lahat ng tunay na numero maliban sa mga rational na numero).

Kapag nag-aaral ng mga degree na may natural, integer at rational exponents, sa bawat oras na gumawa kami ng partikular na "imahe", "analogy", o paglalarawan sa mas pamilyar na mga termino. Halimbawa, ang isang degree na may natural na exponent ay isang numero na pinarami ng sarili nitong ilang beses; ang isang numero hanggang sa zero na kapangyarihan ay, kumbaga, isang numero na pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, hindi pa nila sinimulan na i-multiply ito, na nangangahulugang ang numero mismo ay hindi pa lumitaw - samakatuwid ang resulta ay tiyak na "blangko na numero", ibig sabihin ay isang numero; isang degree na may integer na negatibong exponent - para bang may naganap na "reverse process", iyon ay, ang bilang ay hindi pinarami ng sarili nito, ngunit hinati.

Napakahirap isipin ang isang degree na may hindi makatwirang exponent (tulad ng mahirap isipin ang isang 4-dimensional na espasyo). Ito ay sa halip ay isang purong matematikal na bagay na nilikha ng mga mathematician upang palawigin ang konsepto ng antas sa buong espasyo ng mga numero.

Sa pamamagitan ng paraan, sa agham ang isang degree na may isang kumplikadong exponent ay madalas na ginagamit, iyon ay, ang exponent ay hindi kahit isang tunay na numero. Ngunit sa paaralan hindi namin iniisip ang tungkol sa mga paghihirap; magkakaroon ka ng pagkakataong maunawaan ang mga bagong konseptong ito sa institute.

Kaya ano ang gagawin natin kung makakita tayo ng hindi makatwiran na exponent? Sinusubukan namin ang aming makakaya upang mapupuksa ito! :)

Halimbawa:

Magpasya para sa iyong sarili:

1)

2)

3)

Mga sagot:

1. Tandaan natin ang pagkakaiba ng formula ng mga parisukat. Sagot: .
2. Binabawasan namin ang mga fraction sa parehong anyo: alinman sa parehong mga decimal o parehong mga ordinaryong. Nakukuha namin, halimbawa: .
3. Walang espesyal, ginagamit namin ang karaniwang katangian ng mga degree:

BUOD NG SEKSYON AT MGA BATAYANG FORMULA

Degree tinatawag na pagpapahayag ng anyo: , kung saan:

Degree na may integer exponent

isang degree na ang exponent ay isang natural na numero (ibig sabihin, integer at positibo).

Kapangyarihan na may makatwirang exponent

degree, ang indicator ay negatibo at mga fractional na numero.

Degree na may hindi makatwirang exponent

isang degree na ang exponent ay isang infinite decimal fraction o ugat.

Mga katangian ng mga degree

Mga tampok ng degree.

• Negatibong numero itinaas sa kahit degree, - numero positibo.
• Negatibong numero itinaas sa kakaiba degree, - numero negatibo.
• Ang isang positibong numero sa anumang antas ay isang positibong numero.
• Ang zero ay katumbas ng anumang kapangyarihan.
• Ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas.

NGAYON IKAW NA ANG SALITA...

Paano mo gusto ang artikulo? Isulat sa ibaba sa mga komento kung nagustuhan mo ito o hindi.

Sabihin sa amin ang tungkol sa iyong karanasan sa paggamit ng mga katangian ng degree.

Marahil ay mayroon kang mga katanungan. O mga mungkahi.

Sumulat sa mga komento.

At good luck sa iyong mga pagsusulit!

Mga formula ng degree ginagamit sa proseso ng pagbabawas at pagpapagaan kumplikadong mga ekspresyon, sa paglutas ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay.

Numero c ay n-ika-kapangyarihan ng isang numero a Kailan:

Mga operasyon na may mga degree.

1. Multiplying powers ng c parehong batayan ang kanilang mga tagapagpahiwatig ay nagdaragdag:

isang m·a n = a m + n .

2. Kapag hinahati ang mga degree na may parehong base, ang kanilang mga exponent ay ibinabawas:

3. Kapangyarihan ng produkto ng 2 o higit pa ang mga kadahilanan ay katumbas ng produkto ng mga kapangyarihan ng mga salik na ito:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Ang antas ng isang fraction ay katumbas ng ratio ng mga antas ng dibidendo at ang divisor:

(a/b) n = a n /b n .

5. Pagtaas ng kapangyarihan sa isang kapangyarihan, ang mga exponent ay pinarami:

(a m) n = a m n .

Ang bawat formula sa itaas ay totoo sa mga direksyon mula kaliwa hanggang kanan at vice versa.

Halimbawa. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Mga operasyon na may mga ugat.

1. Ang ugat ng produkto ng ilang salik ay katumbas ng produkto ng mga ugat ng mga salik na ito:

2. Ang ugat ng isang ratio ay katumbas ng ratio ng dibidendo at ang divisor ng mga ugat:

3. Kapag itinaas ang ugat sa isang kapangyarihan, sapat na upang itaas ang radikal na numero sa kapangyarihang ito:

4. Kung tataas mo ang antas ng ugat sa n sabay-sabay na bumuo sa n Ang kapangyarihan ay isang radikal na numero, kung gayon ang halaga ng ugat ay hindi magbabago:

5. Kung bawasan mo ang antas ng ugat sa n sabay-sabay na kunin ang ugat n-th kapangyarihan ng isang radikal na numero, kung gayon ang halaga ng ugat ay hindi magbabago:

Isang degree na may negatibong exponent. Ang kapangyarihan ng isang tiyak na numero na may isang hindi positibo (integer) na exponent ay tinukoy bilang isang hinati sa kapangyarihan ng parehong numero na may isang exponent na katumbas ng ganap na halaga ng hindi positibong exponent:

Formula isang m:a n =a m - n maaaring gamitin hindi lamang para sa m> n, ngunit kasama rin m< n.

Halimbawa. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Sa formula isang m:a n =a m - n naging patas noong m=n, ang pagkakaroon ng zero degree ay kinakailangan.

Isang degree na may zero index. Ang kapangyarihan ng anumang numero na hindi katumbas ng zero na may zero exponent ay katumbas ng isa.

Halimbawa. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Degree na may fractional exponent. Upang itaas ang isang tunay na numero A sa antas m/n, kailangan mong kunin ang ugat n ika-degree ng m-ika-kapangyarihan ng numerong ito A.

Ang pagtaas sa isang negatibong kapangyarihan ay isa sa mga pangunahing elemento ng matematika, na kadalasang kinakaharap sa paglutas ng mga problema sa algebraic. Nasa ibaba ang mga detalyadong tagubilin.

Paano itaas sa isang negatibong kapangyarihan - teorya

Kapag itinaas natin ang isang numero sa isang ordinaryong kapangyarihan, pinarami natin ang halaga nito nang maraming beses. Halimbawa, 3 3 = 3×3×3 = 27. Sa isang negatibong fraction ang kabaligtaran ay totoo. Pangkalahatang anyo ayon sa formula ay magkakaroon susunod na view: a -n = 1/a n . Kaya, upang itaas ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan, kailangan mong hatiin ang isa sa ibinigay na numero, ngunit sa isang positibong kapangyarihan.

Paano itaas sa isang negatibong kapangyarihan - mga halimbawa sa mga ordinaryong numero

Kapag isinasaisip ang panuntunan sa itaas, lutasin natin ang ilang halimbawa.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Sagot: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Sagot -4 -2 = 1/16.

Ngunit bakit pareho ang mga sagot sa una at pangalawang halimbawa? Ang katotohanan ay kapag nagtatayo negatibong numero sa pantay na kapangyarihan (2, 4, 6, atbp.), nagiging positibo ang tanda. Kung ang antas ay pantay, kung gayon ang minus ay mananatili:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Paano itaas sa isang negatibong kapangyarihan - mga numero mula 0 hanggang 1

Alalahanin na kapag ang isang numero sa pagitan ng 0 at 1 ay itinaas sa isang positibong kapangyarihan, ang halaga ay bumababa habang tumataas ang kapangyarihan. Kaya halimbawa, 0.5 2 = 0.25. 0.25

Halimbawa 3: Kalkulahin ang 0.5 -2
Solusyon: 0.5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Sagot: 0.5 -2 = 4

Pagsusuri (sequence of actions):

• I-convert ang decimal fraction na 0.5 sa fractional fraction na 1/2. Mas madali sa ganoong paraan.
  Itaas ang 1/2 sa isang negatibong kapangyarihan. 1/(2) -2 . Hatiin ang 1 sa 1/(2) 2, makakakuha tayo ng 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Halimbawa 4: Kalkulahin ang 0.5 -3
Solusyon: 0.5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Halimbawa 5: Kalkulahin -0.5 -3
Solusyon: -0.5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Sagot: -0.5 -3 = -8

Batay sa ika-4 at ika-5 na halimbawa, makakagawa tayo ng ilang konklusyon:

• Para sa positibong numero sa hanay mula 0 hanggang 1 (halimbawa 4), itinaas sa isang negatibong kapangyarihan, kahit na ang kapangyarihan ay pantay o kakaiba ay hindi mahalaga, ang halaga ng expression ay magiging positibo. Kasabay nito, kaysa mas maraming degree, mas malaki ang halaga.
• Para sa isang negatibong numero sa hanay mula 0 hanggang 1 (halimbawa 5), ​​itinaas sa isang negatibong kapangyarihan, kahit na ang kapangyarihan ay kahit o kakaiba ay hindi mahalaga, ang halaga ng expression ay magiging negatibo. Sa kasong ito, mas mataas ang antas, mas mababa ang halaga.

Paano itaas sa isang negatibong kapangyarihan - isang kapangyarihan sa anyo ng isang fractional na numero

Ang mga expression ng ganitong uri ay may sumusunod na anyo: a -m/n, kung saan ang a ay isang regular na numero, m ang numerator ng degree, n ang denominator ng degree.

Tingnan natin ang isang halimbawa:
Kalkulahin: 8 -1/3

Solusyon (pagkakasunod-sunod ng mga aksyon):

• Tandaan natin ang panuntunan para sa pagtaas ng numero sa negatibong kapangyarihan. Nakukuha namin ang: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• Pansinin na ang denominator ay may numerong 8 sa isang fractional power. Ang pangkalahatang anyo ng pagkalkula ng fractional power ay ang mga sumusunod: a m/n = n √8 m.
• Kaya, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Nakukuha namin ang cube root ng walo, na katumbas ng 2. Mula dito, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Sagot: 8 -1/3 = 2

Mula sa paaralan, alam nating lahat ang panuntunan tungkol sa exponentiation: anumang numero na may exponent N ay katumbas ng resulta ng pagpaparami ng numerong ito sa sarili nitong N bilang ng beses. Sa madaling salita, ang 7 sa kapangyarihan ng 3 ay 7 na pinarami ng sarili nitong tatlong beses, iyon ay, 343. Ang isa pang tuntunin ay ang pagtaas ng anumang dami sa kapangyarihan ng 0 ay nagbibigay ng isa, at ang pagtaas ng negatibong dami ay resulta ng ordinaryong pagtaas sa ang kapangyarihan kung ito ay kahit na, at ang parehong resulta na may isang minus sign kung ito ay kakaiba.

Ang mga patakaran ay nagbibigay din ng sagot sa kung paano itaas ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan. Upang gawin ito, kailangan mong itaas ang kinakailangang halaga sa pamamagitan ng modulus ng indicator sa karaniwang paraan, at pagkatapos ay hatiin ang yunit sa resulta.

Mula sa mga panuntunang ito ay nagiging malinaw na ang pagpapatupad tunay na mga problema mangangailangan ng kakayahang magamit ang paghawak ng malalaking dami teknikal na paraan. Manu-manong maaari mong i-multiply sa iyong sarili ang isang maximum na hanay ng mga numero hanggang dalawampu't tatlumpu, at pagkatapos ay hindi hihigit sa tatlo o apat na beses. Ito ay hindi banggitin pagkatapos ay hatiin ang isa sa resulta. Samakatuwid, para sa mga walang espesyal na calculator ng engineering, sasabihin namin sa iyo kung paano itaas ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan sa Excel.

Paglutas ng mga problema sa Excel

Upang malutas ang mga problemang kinasasangkutan ng exponentiation, pinapayagan ka ng Excel na gumamit ng isa sa dalawang opsyon.

Ang una ay ang paggamit ng isang formula na may karaniwang tanda na "takip". Ipasok ang sumusunod na data sa mga cell ng worksheet:

Sa parehong paraan, maaari mong itaas ang nais na halaga sa anumang kapangyarihan - negatibo, fractional. Gawin natin ang mga sumusunod na aksyon at sagutin ang tanong kung paano itaas ang isang numero sa negatibong kapangyarihan. Halimbawa:

Maaari mong itama ang =B2^-C2 nang direkta sa formula.

Ang pangalawang opsyon ay ang paggamit ng yari na function na "Degree", na tumatagal ng dalawang kinakailangang argumento - isang numero at isang exponent. Upang simulan ang paggamit nito, ilagay lamang ang equal sign (=) sa anumang libreng cell, na nagpapahiwatig ng simula ng formula, at ilagay ang mga salita sa itaas. Ang natitira na lang ay pumili ng dalawang cell na lalahok sa operasyon (o manu-manong tukuyin ang mga partikular na numero) at pindutin ang Enter key. Tingnan natin ang ilang simpleng halimbawa.

			Formula	Resulta
			DEGREE(B2;C2)
			DEGREE(B3;C3)	0,002915

Tulad ng nakikita mo, walang kumplikado tungkol sa kung paano itaas ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan at sa isang regular na kapangyarihan gamit ang Excel. Pagkatapos ng lahat, upang malutas ang problemang ito, maaari mong gamitin ang parehong pamilyar na simbolo ng "takip" at ang built-in na function ng programa, na madaling matandaan. Ito ay isang tiyak na plus!

Lumipat tayo sa higit pa kumplikadong mga halimbawa. Tandaan natin ang panuntunan tungkol sa kung paano itaas ang isang numero sa isang negatibong fractional power, at makikita natin na ang problemang ito ay napakadaling malutas sa Excel.

Fractional indicator

Sa madaling salita, ang algorithm para sa pagkalkula ng isang numero na may fractional exponent ay ang mga sumusunod.

1. I-convert ang isang fraction sa tamang o di-wastong fraction.
2. Itaas ang aming numero sa numerator ng resultang na-convert na fraction.
3. Mula sa bilang na nakuha sa nakaraang talata, kalkulahin ang ugat, na may kondisyon na ang exponent ng ugat ang magiging denominator ng fraction na nakuha sa unang yugto.

Sumang-ayon na kahit na kapag tumatakbo sa maliit na numero at tamang fractions Ang ganitong mga kalkulasyon ay maaaring tumagal ng maraming oras. Mabuti na ang Excel spreadsheet processor ay walang pakialam kung anong numero ang itataas sa kung anong kapangyarihan. Subukang lutasin ang sumusunod na halimbawa sa isang worksheet ng Excel:

Gamit ang mga panuntunan sa itaas, maaari mong suriin at tiyakin na ang pagkalkula ay ginawa nang tama.

Sa dulo ng aming artikulo, ipapakita namin sa anyo ng isang talahanayan na may mga formula at mga resulta ng ilang mga halimbawa kung paano itaas ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan, pati na rin ang ilang mga halimbawa ng pagpapatakbo gamit ang mga fractional na numero at kapangyarihan.

Halimbawang talahanayan

Tingnan ang mga sumusunod na halimbawa sa iyong Excel worksheet. Para gumana nang tama ang lahat, kailangan mong gumamit ng halo-halong sanggunian kapag kinokopya ang formula. Ayusin ang numero ng column na naglalaman ng numerong itinataas at ang numero ng row na naglalaman ng indicator. Dapat ganito ang hitsura ng iyong formula: “=$B4^C$3.”

Numero/Degree

Pakitandaan na ang mga positibong numero (kahit na hindi integer) ay maaaring kalkulahin nang walang mga problema para sa anumang exponent. Walang mga problema sa pagpapataas ng anumang mga numero sa mga integer. Ngunit ang pagtaas ng negatibong numero sa isang fractional na kapangyarihan ay magiging isang pagkakamali para sa iyo, dahil imposibleng sundin ang panuntunang ipinahiwatig sa simula ng aming artikulo tungkol sa pagtaas ng mga negatibong numero, dahil ang parity ay isang katangian na eksklusibo ng isang BUONG numero.

Isang numero na itinaas sa isang kapangyarihan Tumatawag sila sa isang numero na pinarami ng sarili nitong ilang beses.

Kapangyarihan ng isang numero na may negatibong halaga (a - n) ay maaaring matukoy sa katulad na paraan kung paano tinutukoy ang kapangyarihan ng parehong numero na may positibong exponent (a n) . Gayunpaman, nangangailangan din ito ng karagdagang kahulugan. Ang formula ay tinukoy bilang:

a-n = (1/a n)

Ang mga katangian ng mga negatibong kapangyarihan ng mga numero ay katulad ng mga kapangyarihan na may positibong exponent. Iniharap na equation a m/a n= isang m-n maaaring maging patas bilang

« Wala kahit saan, tulad ng sa matematika, na ang kalinawan at katumpakan ng konklusyon ay nagbibigay-daan sa isang tao na umikot sa isang sagot sa pamamagitan ng pakikipag-usap sa paligid ng tanong.».

A. D. Alexandrov

sa n higit pa m , at kasama ang m higit pa n . Tingnan natin ang isang halimbawa: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Una kailangan mong matukoy ang numero na gumaganap bilang isang kahulugan ng antas. b=a(-n) . Sa halimbawang ito -n ay isang exponent b - ang nais na halaga ng numero, a - ang base ng degree sa anyo ng natural na numeric na halaga. Pagkatapos ay tukuyin ang modyul, iyon ay ganap na halaga isang negatibong numero na nagsisilbing exponent. Kalkulahin ang antas ng isang naibigay na numero na nauugnay sa isang ganap na numero, bilang isang tagapagpahiwatig. Ang halaga ng antas ay matatagpuan sa pamamagitan ng paghahati ng isa sa resultang numero.

kanin. 1

Isaalang-alang ang kapangyarihan ng isang numero na may negatibong fractional exponent. Isipin natin na ang numero a ay anumang positibong numero, mga numero n At m - mga integer. Ayon sa kahulugan a , na itinataas sa kapangyarihan - katumbas ng isang hinati sa parehong numero na may positibong kapangyarihan (Figure 1). Kapag ang kapangyarihan ng isang numero ay isang fraction, kung gayon sa mga ganitong kaso ay mga numero lamang na may positibong exponent ang ginagamit.

Worth remembering na ang zero ay hindi kailanman maaaring maging isang exponent ng isang numero (ang panuntunan ng paghahati sa pamamagitan ng zero).

Ang pagkalat ng naturang konsepto bilang isang numero ay naging mga manipulasyon gaya ng mga kalkulasyon ng pagsukat, gayundin ang pag-unlad ng matematika bilang isang agham. Ang pagpapakilala ng mga negatibong halaga ay dahil sa pag-unlad ng algebra, na nagbigay pangkalahatang solusyon mga problema sa aritmetika, anuman ang kanilang partikular na kahulugan at paunang numerical data. Sa India, noong ika-6 hanggang ika-11 na siglo, sistematikong ginamit ang mga negatibong numero sa paglutas ng mga problema at binibigyang-kahulugan sa parehong paraan tulad ng ngayon. Sa agham ng Europa, nagsimulang malawakang gamitin ang mga negatibong numero salamat kay R. Descartes, na nagbigay ng geometriko na interpretasyon ng mga negatibong numero bilang mga direksyon ng mga segment. Si Descartes ang nagmungkahi ng pagtatalaga ng isang numero na itinaas sa isang kapangyarihan upang ipakita bilang isang dalawang palapag na formula isang n .

Ang pagtaas sa negatibong kapangyarihan ay isa sa mga pangunahing elemento ng matematika at kadalasang nakakaharap sa paglutas ng mga problema sa algebraic. Nasa ibaba ang mga detalyadong tagubilin.

Paano itaas sa isang negatibong kapangyarihan - teorya

Kapag itinaas natin ang isang numero sa isang ordinaryong kapangyarihan, pinarami natin ang halaga nito nang maraming beses. Halimbawa, 3 3 = 3×3×3 = 27. Sa isang negatibong fraction ang kabaligtaran ay totoo. Ang pangkalahatang anyo ng formula ay ang mga sumusunod: a -n = 1/a n. Kaya, upang itaas ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan, kailangan mong hatiin ang isa sa ibinigay na numero, ngunit sa isang positibong kapangyarihan.

Paano itaas sa isang negatibong kapangyarihan - mga halimbawa sa mga ordinaryong numero

Kapag isinasaisip ang panuntunan sa itaas, lutasin natin ang ilang halimbawa.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Sagot: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Sagot -4 -2 = 1/16.

Ngunit bakit pareho ang mga sagot sa una at pangalawang halimbawa? Ang katotohanan ay kapag ang isang negatibong numero ay itinaas sa isang pantay na kapangyarihan (2, 4, 6, atbp.), ang tanda ay nagiging positibo. Kung ang antas ay pantay, kung gayon ang minus ay mananatili:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Paano itaas ang mga numero mula 0 hanggang 1 sa isang negatibong kapangyarihan

Alalahanin na kapag ang isang numero sa pagitan ng 0 at 1 ay itinaas sa isang positibong kapangyarihan, ang halaga ay bumababa habang tumataas ang kapangyarihan. Kaya halimbawa, 0.5 2 = 0.25. 0.25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Halimbawa 3: Kalkulahin ang 0.5 -2
Solusyon: 0.5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Sagot: 0.5 -2 = 4

Pagsusuri (sequence of actions):

• I-convert ang decimal fraction na 0.5 sa fractional fraction na 1/2. Mas madali sa ganoong paraan.
  Itaas ang 1/2 sa isang negatibong kapangyarihan. 1/(2) -2 . Hatiin ang 1 sa 1/(2) 2, makakakuha tayo ng 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Halimbawa 4: Kalkulahin ang 0.5 -3
Solusyon: 0.5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Halimbawa 5: Kalkulahin -0.5 -3
Solusyon: -0.5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Sagot: -0.5 -3 = -8

Batay sa ika-4 at ika-5 na halimbawa, makakagawa tayo ng ilang konklusyon:

• Para sa isang positibong numero sa hanay mula 0 hanggang 1 (halimbawa 4), itinaas sa isang negatibong kapangyarihan, kahit na ang kapangyarihan ay kahit o kakaiba ay hindi mahalaga, ang halaga ng expression ay magiging positibo. Bukod dito, mas malaki ang antas, mas malaki ang halaga.
• Para sa isang negatibong numero sa hanay mula 0 hanggang 1 (halimbawa 5), ​​itinaas sa isang negatibong kapangyarihan, kahit na ang kapangyarihan ay kahit o kakaiba ay hindi mahalaga, ang halaga ng expression ay magiging negatibo. Sa kasong ito, mas mataas ang antas, mas mababa ang halaga.

Paano itaas sa isang negatibong kapangyarihan - isang kapangyarihan sa anyo ng isang fractional na numero

Ang mga expression ng ganitong uri ay may sumusunod na anyo: a -m/n, kung saan ang a ay isang regular na numero, m ang numerator ng degree, n ang denominator ng degree.

Tingnan natin ang isang halimbawa:
Kalkulahin: 8 -1/3

Solusyon (pagkakasunod-sunod ng mga aksyon):

• Tandaan natin ang panuntunan para sa pagtaas ng numero sa negatibong kapangyarihan. Nakukuha namin ang: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• Pansinin na ang denominator ay may numerong 8 sa isang fractional power. Ang pangkalahatang anyo ng pagkalkula ng fractional power ay ang mga sumusunod: a m/n = n √8 m.
• Kaya, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Nakukuha namin ang cube root ng walo, na katumbas ng 2. Mula dito, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Sagot: 8 -1/3 = 2

Sa materyal na ito titingnan natin kung ano ang kapangyarihan ng isang numero. Bilang karagdagan sa mga pangunahing kahulugan, bubuuin natin kung anong mga kapangyarihan ang may natural, integer, rational at irrational exponents. Gaya ng dati, ang lahat ng mga konsepto ay ilalarawan sa mga halimbawang problema.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Una, bumalangkas tayo ng pangunahing kahulugan ng isang degree na may natural na exponent. Upang gawin ito, kailangan nating tandaan ang mga pangunahing patakaran ng pagpaparami. Ating linawin nang maaga na sa ngayon ay kukuha tayo ng isang tunay na numero bilang batayan (na tinutukoy ng titik a), at isang natural na numero bilang isang tagapagpahiwatig (na tinutukoy ng titik n).

Kahulugan 1

Ang kapangyarihan ng isang numero a na may natural na exponent n ay ang produkto ng ika-n bilang ng mga kadahilanan, na ang bawat isa ay katumbas ng bilang a. Ang degree ay nakasulat tulad nito: isang n, at sa anyo ng isang formula ang komposisyon nito ay maaaring katawanin bilang mga sumusunod:

Halimbawa, kung ang exponent ay 1 at ang base ay a, kung gayon ang unang kapangyarihan ng a ay nakasulat bilang a 1. Dahil ang a ay ang halaga ng kadahilanan at ang 1 ay ang bilang ng mga kadahilanan, maaari nating tapusin iyon a 1 = a.

Sa pangkalahatan, maaari nating sabihin na ang isang degree ay isang maginhawang paraan ng pag-record malaking dami pantay na salik. Kaya, isang talaan ng form 8 8 8 8 maaaring paikliin sa 8 4 . Sa parehong paraan, tinutulungan tayo ng isang gawa na maiwasan ang pag-record Malaking numero termino (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4); Napag-usapan na natin ito sa artikulong nakatuon sa pagpaparami ng mga natural na numero.

Paano basahin nang tama ang entry sa degree? Ang karaniwang tinatanggap na opsyon ay "a sa kapangyarihan ng n". O maaari mong sabihin ang "nth power of a" o "anth power". Kung, sabihin nating, sa halimbawa ay nakatagpo namin ang entry 8 12 , mababasa natin ang "8 hanggang ika-12 na kapangyarihan", "8 hanggang sa kapangyarihan ng 12" o "ika-12 na kapangyarihan ng 8".

Ang pangalawa at pangatlong kapangyarihan ng mga numero ay may sariling itinatag na mga pangalan: parisukat at kubo. Kung nakikita natin ang pangalawang kapangyarihan, halimbawa, ang numero 7 (7 2), pagkatapos ay masasabi nating "7 squared" o "square of the number 7". Katulad nito, ang ikatlong antas ay binabasa tulad nito: 5 3 - ito ang "kubo ng numero 5" o "5 kubo." Gayunpaman, maaari mo ring gamitin ang karaniwang pagbabalangkas "sa pangalawa/ikatlong kapangyarihan"; hindi ito magiging isang pagkakamali.

Halimbawa 1

Tingnan natin ang isang halimbawa ng isang degree na may natural na exponent: para sa 5 7 lima ang magiging base, at pito ang magiging exponent.

Ang base ay hindi kailangang isang integer: para sa degree (4 , 32) 9 ang base ay magiging fraction 4, 32, at ang exponent ay magiging siyam. Bigyang-pansin ang mga panaklong: ang notasyong ito ay ginawa para sa lahat ng kapangyarihan na ang mga base ay naiiba sa mga natural na numero.

Halimbawa: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

Para saan ang mga panaklong? Tumutulong sila na maiwasan ang mga pagkakamali sa mga kalkulasyon. Sabihin nating mayroon tayong dalawang entry: (− 2) 3 At − 2 3 . Ang una sa mga ito ay nangangahulugan ng negatibong numero na binawasan ng dalawa na itinaas sa isang kapangyarihan na may natural na exponent na tatlo; ang pangalawa ay ang katumbas na numero kasalungat na kahulugan degrees 2 3 .

Minsan sa mga aklat ay makakahanap ka ng bahagyang naiibang spelling ng kapangyarihan ng isang numero - a^n(kung saan ang a ay ang base at n ang exponent). Ibig sabihin, ang 4^9 ay kapareho ng 4 9 . Kung ang n ay isang multi-digit na numero, ito ay inilalagay sa panaklong. Halimbawa, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Ngunit gagamitin namin ang notasyon isang n bilang mas karaniwan.

Madaling hulaan kung paano kalkulahin ang halaga ng isang exponent na may natural na exponent mula sa kahulugan nito: kailangan mo lamang na i-multiply ang isang ika-1 na bilang ng beses. Sumulat kami ng higit pa tungkol dito sa isa pang artikulo.

Ang konsepto ng degree ay ang kabaligtaran ng isa pang matematikal na konsepto - ang ugat ng isang numero. Kung alam natin ang halaga ng kapangyarihan at ang exponent, maaari nating kalkulahin ang base nito. Ang degree ay may ilang partikular na katangian na kapaki-pakinabang para sa paglutas ng mga problema, na aming tinalakay sa isang hiwalay na materyal.

Ang mga exponent ay maaaring magsama hindi lamang ng mga natural na numero, kundi pati na rin ang anumang mga halaga ng integer sa pangkalahatan, kabilang ang mga negatibo at mga zero, dahil kabilang din sila sa hanay ng mga integer.

Kahulugan 2

Ang kapangyarihan ng isang numero na may positibong integer exponent ay maaaring katawanin bilang isang formula: .

Sa kasong ito, ang n ay anumang positibong integer.

Unawain natin ang konsepto ng zero degree. Upang gawin ito, gumagamit kami ng diskarte na isinasaalang-alang ang quotient property para sa mga kapangyarihan na may pantay na base. Ito ay nabuo tulad nito:

Kahulugan 3

Pagkakapantay-pantay a m: a n = a m − n ay magiging totoo sa ilalim ng mga sumusunod na kondisyon: m at n ay natural na mga numero, m< n , a ≠ 0 .

Ang huling kondisyon ay mahalaga dahil iniiwasan nito ang paghahati ng zero. Kung ang mga halaga ng m at n ay pantay, pagkatapos ay makuha namin ang sumusunod na resulta: a n: a n = a n − n = a 0

Ngunit sa parehong oras a n: a n = 1 ay ang quotient ng pantay na mga numero isang n at a. Lumalabas na ang zero power ng anumang non-zero na numero ay katumbas ng isa.

Gayunpaman, ang gayong patunay ay hindi nalalapat sa zero sa zeroth power. Upang gawin ito, kailangan namin ng isa pang pag-aari ng mga kapangyarihan - ang pag-aari ng mga produkto ng mga kapangyarihan na may pantay na mga base. Mukhang ganito: a m · a n = a m + n .

Kung ang n ay katumbas ng 0, kung gayon isang m · a 0 = isang m(Ang pagkakapantay-pantay na ito ay nagpapatunay din sa atin na a 0 = 1). Ngunit kung at ay katumbas din ng zero, ang ating pagkakapantay-pantay ay nasa anyo 0 m · 0 0 = 0 m, Magiging totoo ito para sa anumang natural na halaga ng n, at hindi mahalaga kung ano ang eksaktong halaga ng antas ay katumbas ng 0 0 , iyon ay, maaari itong maging katumbas ng anumang numero, at hindi ito makakaapekto sa katumpakan ng pagkakapantay-pantay. Samakatuwid, isang notasyon ng form 0 0 ay walang sariling espesyal na kahulugan, at hindi namin ito iuugnay dito.

Kung ninanais, madaling suriin iyon a 0 = 1 converges sa antas ng ari-arian (a m) n = isang m n sa kondisyon na ang base ng degree ay hindi zero. Kaya, ang kapangyarihan ng anumang hindi-zero na numero na may exponent zero ay isa.

Halimbawa 2

Tingnan natin ang isang halimbawa na may mga tiyak na numero: Kaya, 5 0 - yunit, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , at ang halaga 0 0 hindi natukoy.

Pagkatapos ng zero degree, kailangan lang nating malaman kung ano ang negatibong degree. Upang gawin ito, kailangan natin ang parehong pag-aari ng produkto ng mga kapangyarihan na may pantay na mga base na ginamit na natin sa itaas: a m · a n = a m + n.

Ipakilala natin ang kundisyon: m = − n, kung gayon ang a ay hindi dapat katumbas ng zero. Sinusundan nito iyon a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1. Ito pala ay isang n at a−n mayroon tayong mutually reciprocal na mga numero.

Bilang resulta, ang a sa negatibong buong kapangyarihan ay walang iba kundi ang fraction 1 a n.

Kinukumpirma ng formulation na ito na para sa isang degree na may integer negative exponent, lahat ng parehong property ay valid na mayroon ang isang degree na may natural na exponent (sa kondisyon na ang base ay hindi katumbas ng zero).

Halimbawa 3

Ang power a na may negatibong integer exponent n ay maaaring katawanin bilang isang fraction 1 a n . Kaya, a - n = 1 a n paksa sa isang ≠ 0 at ang n ay anumang natural na numero.

Ilarawan natin ang ating ideya sa mga partikular na halimbawa:

Halimbawa 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Sa huling bahagi ng talata, susubukan naming ilarawan ang lahat ng malinaw na sinabi sa isang pormula:

Kahulugan 4

Ang kapangyarihan ng isang numero na may natural na exponent z ay: a z = a z, e na may l at z - positive integer 1, z = 0 at a ≠ 0, (para sa z = 0 at a = 0 ang resulta ay 0 0, ang ang mga halaga ng expression na 0 0 ay hindi tinukoy) 1 a z, kung at z ay isang negatibong integer at isang ≠ 0 ( kung z ay isang negatibong integer at a = 0 makakakuha ka ng 0 z, egoz ang halaga ay hindi natukoy)

Ano ang mga kapangyarihan na may rational exponent?

Sinuri namin ang mga kaso kapag ang exponent ay naglalaman ng isang integer. Gayunpaman, maaari mong itaas ang isang numero sa isang kapangyarihan kahit na ang exponent nito ay naglalaman ng isang fractional na numero. Ito ay tinatawag na kapangyarihan na may rational exponent. Sa seksyong ito ay patunayan natin na ito ay may parehong mga katangian tulad ng iba pang mga kapangyarihan.

Ano ang mga rational na numero? Kasama sa kanilang hanay ang parehong buo at fractional na mga numero, at ang mga fractional na numero ay maaaring katawanin bilang mga ordinaryong fraction (parehong positibo at negatibo). Bumuo tayo ng kahulugan ng kapangyarihan ng isang numero a na may fractional exponent na m / n, kung saan ang n ay isang natural na numero at ang m ay isang integer.

Mayroon kaming ilang degree na may fractional exponent a m n . Upang mapanatili ang kapangyarihan sa pag-aari, ang pagkakapantay-pantay na a m n n = a m n · n = a m ay dapat na totoo.

Dahil sa depinisyon ng nth root at na a m n n = a m, maaari nating tanggapin ang kondisyon na a m n = a m n kung ang a m n ay may katuturan para sa mga ibinigay na halaga ng m, n at a.

Ang mga katangian sa itaas ng isang degree na may integer exponent ay magiging totoo sa ilalim ng kondisyong a m n = a m n .

Ang pangunahing konklusyon mula sa aming pangangatwiran ay ito: ang kapangyarihan ng isang tiyak na numero a na may isang fractional exponent m / n ay ang nth root ng numero a sa kapangyarihan m. Totoo ito kung, para sa mga ibinigay na halaga ng m, n at a, ang expression na a m n ay nananatiling makabuluhan.

1. Maaari nating limitahan ang halaga ng base ng degree: kunin natin ang isang, na para sa mga positibong halaga ng m ay mas malaki kaysa sa o katumbas ng 0, at para sa mga negatibong halaga - mahigpit na mas mababa (dahil para sa m ≤ 0 nakukuha namin 0 m, ngunit hindi tinukoy ang gayong antas). Sa kasong ito, magiging ganito ang kahulugan ng isang degree na may fractional exponent:

Ang power na may fractional exponent na m/n para sa ilang positibong numerong a ay ang nth root ng isang nakataas sa power m. Ito ay maaaring ipahayag bilang isang pormula:

Para sa isang kapangyarihan na may zero base, ang probisyong ito ay angkop din, ngunit kung ang exponent nito ay isang positibong numero.

Ang isang kapangyarihan na may base zero at isang fractional positive exponent m/n ay maaaring ipahayag bilang

0 m n = 0 m n = 0 kung ang m ay isang positibong integer at n ay isang natural na numero.

Para sa isang negatibong ratio m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Pansinin natin ang isang punto. Dahil ipinakilala namin ang kundisyon na ang a ay mas malaki sa o katumbas ng zero, nauwi kami sa pagtatapon ng ilang kaso.

Ang ekspresyong a m n minsan ay may katuturan pa rin para sa ilang negatibong halaga ng a at ilang m. Kaya, ang tamang mga entry ay (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, kung saan negatibo ang base.

2. Ang pangalawang diskarte ay isaalang-alang nang hiwalay ang root a m n na may even at odd exponents. Pagkatapos ay kakailanganin nating ipakilala ang isa pang kundisyon: ang degree a, sa exponent kung saan mayroong isang reducible ordinary fraction, ay itinuturing na degree a, sa exponent kung saan mayroong katumbas na irreducible fraction. Sa ibang pagkakataon, ipapaliwanag natin kung bakit kailangan natin ang kundisyong ito at kung bakit ito napakahalaga. Kaya, kung mayroon tayong notasyon na a m · k n · k , maaari nating bawasan ito sa isang m n at gawing simple ang mga kalkulasyon.

Kung n - kakaibang numero, at ang halaga ng m ay positibo, ang a ay anumang di-negatibong numero, kung gayon ang isang m n ay may katuturan. Ang kundisyon para sa isang maging hindi negatibo ay kinakailangan dahil ang isang ugat ng pantay na antas ay hindi maaaring makuha mula sa isang negatibong numero. Kung ang halaga ng m ay positibo, ang a ay maaaring parehong negatibo at zero, dahil ugat kakaibang degree maaaring makuha mula sa anumang tunay na numero.

Pagsamahin natin ang lahat ng mga kahulugan sa itaas sa isang entry:

Dito ang m/n ay nangangahulugan ng isang hindi mababawasang bahagi, ang m ay anumang integer, at n ay anumang natural na numero.

Kahulugan 5

Para sa anumang ordinaryong nababawas na bahagi m · k n · k ang antas ay maaaring mapalitan ng isang m n .

Ang kapangyarihan ng isang numero a na may hindi mababawasan na fractional exponent m / n – ay maaaring ipahayag bilang isang m n sa mga sumusunod na kaso: - para sa anumang tunay na a, integers mga positibong halaga m at kakaibang likas na halaga n. Halimbawa: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

Para sa anumang di-zero real a, mga negatibong integer na halaga ng m at kakaibang halaga ng n, halimbawa, 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

Para sa anumang di-negatibong a, positive integer m at kahit n, halimbawa, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

Para sa anumang positibong a, negatibong integer m at kahit n, halimbawa, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .

Sa kaso ng iba pang mga halaga, ang antas na may fractional exponent ay hindi tinutukoy. Mga halimbawa ng naturang mga degree: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Ngayon, ipaliwanag natin ang kahalagahan ng kundisyong tinalakay sa itaas: bakit palitan ang isang fraction ng isang reducible exponent na may isang fraction na may hindi mababawasang exponent. Kung hindi natin ginawa ito, magkakaroon tayo ng mga sumusunod na sitwasyon, sabihin nating, 6/10 = 3/5. Kung gayon ito ay dapat na totoo (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , ngunit - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 , at (- 1) 3 5 = (- 1 ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

Ang kahulugan ng isang degree na may fractional exponent, na una naming ipinakita, ay mas maginhawang gamitin sa pagsasanay kaysa sa pangalawa, kaya patuloy naming gagamitin ito.

Kahulugan 6

Kaya, ang kapangyarihan ng isang positibong numero a na may fractional exponent m/n ay tinukoy bilang 0 m n = 0 m n = 0. Sa kaso ng negatibo a walang saysay ang notasyong a m n. Power ng zero para sa mga positibong fractional exponents m/n ay tinukoy bilang 0 m n = 0 m n = 0 , para sa mga negatibong fractional exponents hindi namin tinukoy ang antas ng zero.

Sa mga konklusyon, tandaan namin na ang anumang fractional indicator ay maaaring isulat pareho sa anyo ng isang halo-halong numero at sa form decimal: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .

Kapag nagkalkula, mas mahusay na palitan ang exponent ordinaryong fraction at patuloy na gamitin ang kahulugan ng degree na may fractional exponent. Para sa mga halimbawa sa itaas nakukuha namin:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Ano ang mga kapangyarihan na may hindi makatwiran at tunay na mga exponent?

Ano ang mga tunay na numero? Kasama sa kanilang set ang parehong rational at irrational na mga numero. Samakatuwid, upang maunawaan kung ano ang isang degree na may tunay na exponent, kailangan nating tukuyin ang mga degree na may mga rational at irrational exponent. Nabanggit na natin ang mga makatwiran sa itaas. Hayaan ang mga hindi makatwiran na mga tagapagpahiwatig na hakbang-hakbang.

Halimbawa 5

Ipagpalagay natin na mayroon tayong hindi makatwirang numero a at isang pagkakasunod-sunod ng mga pagtatantya ng decimal nito a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Halimbawa, kunin natin ang halaga a = 1.67175331. . . , Pagkatapos

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1.67, a 1 = 1.6717, a 2 = 1.671753, . . .

Maaari naming iugnay ang mga pagkakasunud-sunod ng mga pagtatantya sa isang pagkakasunud-sunod ng mga degree a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Kung naaalala natin ang sinabi natin kanina tungkol sa pagtaas ng mga numero sa mga makatwirang kapangyarihan, maaari nating kalkulahin ang mga halaga ng mga kapangyarihang ito sa ating sarili.

Kunin natin halimbawa a = 3, pagkatapos ay a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . atbp.

Ang pagkakasunud-sunod ng mga kapangyarihan ay maaaring bawasan sa isang numero, na magiging halaga ng kapangyarihan na may base a at hindi makatwiran na exponent a. Bilang resulta: isang degree na may hindi makatwirang exponent ng form 3 1, 67175331. . maaaring bawasan sa bilang na 6, 27.

Kahulugan 7

Ang kapangyarihan ng isang positibong numero a na may hindi makatwirang exponent a ay isinusulat bilang a . Ang halaga nito ay ang limitasyon ng sequence a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , kung saan ang a 0 , a 1 , a 2 , . . . ay sunud-sunod na pagtatantya ng decimal hindi makatwiran na numero a. Ang isang degree na may zero base ay maaari ding tukuyin para sa mga positibong irrational exponents, na may 0 a = 0 Kaya, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Ngunit hindi ito magagawa para sa mga negatibo, dahil, halimbawa, ang halaga 0 - 5, 0 - 2 π ay hindi tinukoy. Ang isang yunit na itinaas sa anumang hindi makatwirang kapangyarihan ay nananatiling isang yunit, halimbawa, at ang 1 2, 1 5 sa 2 at 1 - 5 ay magiging katumbas ng 1.

Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter