Ang Problema B7 ay nagbibigay ng ilang pagpapahayag na kailangang gawing simple. Ang resulta ay dapat na isang regular na numero na maaaring isulat sa iyong sagutang papel. Ang lahat ng mga expression ay karaniwang nahahati sa tatlong uri:
- Logarithmic,
- Nagpapahiwatig,
- Pinagsama-sama.
Ang mga exponential at logarithmic na expression sa kanilang purong anyo ay halos hindi na matagpuan. Gayunpaman, ang pag-alam kung paano sila kinakalkula ay ganap na kinakailangan.
Sa pangkalahatan, ang problema B7 ay nalutas nang simple at nasa loob ng mga kakayahan ng karaniwang nagtapos. Ang kakulangan ng malinaw na mga algorithm ay binabayaran ng standardisasyon at monotony nito. Matututuhan mong lutasin ang mga ganitong problema sa pamamagitan lamang ng malaking dami pagsasanay.
Logarithmic Expressions
Ang karamihan sa mga problema sa B7 ay nagsasangkot ng mga logarithms sa isang anyo o iba pa. Ang paksang ito ay tradisyonal na itinuturing na mahirap, dahil ang pag-aaral nito ay karaniwang nangyayari sa ika-11 baitang - ang panahon ng paghahanda ng masa para sa panghuling pagsusulit. Bilang resulta, maraming mga nagtapos ang may napakalabing malabo na pag-unawa sa logarithms.
Ngunit sa gawaing ito walang nangangailangan ng malalim na teoretikal na kaalaman. Makakaharap lamang natin ang pinakasimpleng mga expression na nangangailangan ng simpleng pangangatwiran at madaling ma-master nang nakapag-iisa. Nasa ibaba ang mga pangunahing formula na kailangan mong malaman upang makayanan ang mga logarithms:
Bilang karagdagan, dapat mong palitan ang mga ugat at fraction na may mga kapangyarihan ng isang rational exponent, kung hindi, sa ilang mga expression ay wala nang dapat alisin mula sa ilalim ng logarithm sign. Mga formula sa pagpapalit:
Gawain. Hanapin ang kahulugan ng mga expression:
log 6 270 − log 6 7.5
log 5 775 − log 5 6.2
Ang unang dalawang expression ay na-convert bilang pagkakaiba ng logarithms:
log 6 270 − log 6 7.5 = log 6 (270: 7.5) = log 6 36 = 2;
log 5 775 − log 5 6.2 = log 5 (775: 6.2) = log 5 125 = 3.
Upang kalkulahin ang ikatlong expression, kakailanganin mong ihiwalay ang mga kapangyarihan - kapwa sa base at sa argumento. Una, hanapin natin ang panloob na logarithm:
Pagkatapos - panlabas:
Ang mga pagtatayo ng form na log a log b x ay tila kumplikado at hindi naiintindihan ng marami. Samantala, ito ay isang logarithm lamang ng logarithm, i.e. log a (log b x ). Una, kinakalkula ang panloob na logarithm (ilagay ang log b x = c), at pagkatapos ay ang panlabas: log a c.
Mga Demonstratibong Ekspresyon
Tatawagin natin ang exponential expression na anumang pagbuo ng form na a k, kung saan ang mga numero a at k ay arbitrary constants, at a > 0. Ang mga pamamaraan para sa pagtatrabaho sa mga ganitong expression ay medyo simple at tinatalakay sa mga aralin sa algebra sa ika-8 baitang.
Nasa ibaba ang mga pangunahing formula na tiyak na kailangan mong malaman. Ang paggamit ng mga formula na ito sa pagsasanay, bilang panuntunan, ay hindi nagiging sanhi ng mga problema.
- a n · a m = a n + m ;
- a n / a m = a n − m ;
- (a n ) m = a n · m ;
- (a · b ) n = a n · b n ;
- (a : b ) n = a n : b n .
Kung nakilala kumplikadong pagpapahayag na may mga degree, at hindi malinaw kung paano lapitan ito, ginagamit nila pangkalahatang pagtanggap- pagkabulok sa pangunahing mga kadahilanan. Ang resulta malalaking numero sa mga base ng degree ay pinalitan ng simple at naiintindihan na mga elemento. Pagkatapos ang lahat na natitira ay ilapat ang mga formula sa itaas - at ang problema ay malulutas.
Gawain. Hanapin ang mga halaga ng mga expression: 7 9 · 3 11: 21 8, 24 7: 3 6: 16 5, 30 6: 6 5: 25 2.
Solusyon. I-decompose natin ang lahat ng base ng kapangyarihan sa mga simpleng salik:
7 9 3 11: 21 8 = 7 9 3 11: (7 3) 8 = 7 9 3 11: (7 8 3 8) = 7 9 3 11: 7 8: 3 8 = 7 3 3 = 189.
24 7: 3 6: 16 5 = (3 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 = 3 7 2 21: 3 6: 2 20 = 3 2 = 6.
30 6: 6 5: 25 2 = (5 3 2) 6: (3 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 = 5 2 3 2 = 150 .
Pinagsama-samang mga gawain
Kung alam mo ang mga formula, ang lahat ng exponential at logarithmic na expression ay maaaring malutas nang literal sa isang linya. Gayunpaman, sa Problema B7 ang mga kapangyarihan at logarithms ay maaaring pagsamahin upang bumuo ng medyo malakas na kumbinasyon.
Mga tagubilin
Isulat ang ibinigay na logarithmic expression. Kung ang expression ay gumagamit ng logarithm ng 10, ang notasyon nito ay pinaikli at ganito ang hitsura: lg b ay ang decimal logarithm. Kung ang logarithm ay may numerong e bilang base nito, pagkatapos ay isulat ang expression: ln b – natural logarithm. Nauunawaan na ang resulta ng alinman ay ang kapangyarihan kung saan ang batayang numero ay dapat na itaas upang makuha ang numero b.
Kapag hinahanap ang kabuuan ng dalawang function, kailangan mo lang na ibahin ang mga ito nang isa-isa at idagdag ang mga resulta: (u+v)" = u"+v";
Kapag hinahanap ang derivative ng produkto ng dalawang function, kailangang i-multiply ang derivative ng unang function sa pangalawa at idagdag ang derivative ng pangalawang function na pinarami ng unang function: (u*v)" = u"*v +v"*u;
Upang mahanap ang derivative ng quotient ng dalawang function, kinakailangan na ibawas mula sa produkto ng derivative ng dividend na pinarami ng divisor function ang produkto ng derivative ng divisor na pinarami ng function ng dividend, at hatiin lahat ng ito sa pamamagitan ng divisor function squared. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
Kung bibigyan kumplikadong pag-andar, kung gayon kinakailangan na i-multiply ang derivative ng panloob na pag-andar at ang hinango ng panlabas. Hayaan ang y=u(v(x)), pagkatapos ay y"(x)=y"(u)*v"(x).
Gamit ang mga resulta na nakuha sa itaas, maaari mong iiba ang halos anumang function. Kaya tingnan natin ang ilang mga halimbawa:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Mayroon ding mga problema na kinasasangkutan ng pagkalkula ng derivative sa isang punto. Hayaang maibigay ang function na y=e^(x^2+6x+5), kailangan mong hanapin ang halaga ng function sa puntong x=1.
1) Hanapin ang derivative ng function: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) Kalkulahin ang halaga ng function sa isang naibigay na punto y"(1)=8*e^0=8
Video sa paksa
Alamin ang talahanayan ng mga elementary derivatives. Makakatipid ito ng oras.
Mga Pinagmulan:
- derivative ng isang pare-pareho
Kaya, ano ang pagkakaiba sa pagitan ng rational equation mula sa makatwiran? Kung ang hindi kilalang variable ay nasa ilalim ng sign parisukat na ugat, kung gayon ang equation ay itinuturing na hindi makatwiran.
Mga tagubilin
Ang pangunahing paraan para sa paglutas ng mga naturang equation ay ang paraan ng pagbuo ng magkabilang panig mga equation sa isang parisukat. Gayunpaman. ito ay natural, ang unang bagay na kailangan mong gawin ay alisin ang tanda. Ang pamamaraang ito ay hindi teknikal na mahirap, ngunit kung minsan maaari itong humantong sa problema. Halimbawa, ang equation ay v(2x-5)=v(4x-7). Sa pamamagitan ng pag-square sa magkabilang panig makakakuha ka ng 2x-5=4x-7. Ang paglutas ng gayong equation ay hindi mahirap; x=1. Ngunit ang numero 1 ay hindi ibibigay mga equation. Bakit? Palitan ang isa sa equation sa halip na ang halaga ng x. At ang kanan at kaliwang panig ay maglalaman ng mga expression na hindi makatuwiran, ibig sabihin. Ang halagang ito ay hindi wasto para sa isang square root. Samakatuwid, ang 1 ay isang extraneous na ugat, at samakatuwid ang equation na ito ay walang mga ugat.
Kaya, hindi makatwirang equation ay nalutas gamit ang paraan ng pag-squaring sa magkabilang bahagi nito. At nang malutas ang equation, kinakailangan na putulin ang mga extraneous na ugat. Upang gawin ito, palitan ang mga natagpuang ugat sa orihinal na equation.
Isaalang-alang ang isa pa.
2х+vх-3=0
Siyempre, ang equation na ito ay maaaring malutas gamit ang parehong equation tulad ng nauna. Ilipat ang mga Compound mga equation, na walang square root, in kanang bahagi at pagkatapos ay gamitin ang paraan ng pag-squaring. lutasin ang nagresultang rational equation at mga ugat. Ngunit isa pa, mas matikas. Maglagay ng bagong variable; vх=y. Alinsunod dito, makakatanggap ka ng equation ng form na 2y2+y-3=0. Iyon ay, ang karaniwan quadratic equation. Hanapin ang mga ugat nito; y1=1 at y2=-3/2. Susunod, lutasin ang dalawa mga equation vх=1; vх=-3/2. Ang pangalawang equation ay walang mga ugat; mula sa una ay makikita natin na x=1. Huwag kalimutang suriin ang mga ugat.
Ang paglutas ng mga pagkakakilanlan ay medyo simple. Upang gawin ito, kinakailangan na magsagawa ng magkatulad na pagbabagong-anyo hanggang sa makamit ang itinakdang layunin. Kaya, sa tulong ng mga simpleng operasyon ng aritmetika, ang gawain sa kamay ay malulutas.
Kakailanganin mong
- - papel;
- - panulat.
Mga tagubilin
Ang pinakasimpleng mga pagbabagong-anyo ay ang algebraic abbreviated multiplications (tulad ng parisukat ng kabuuan (difference), pagkakaiba ng mga parisukat, kabuuan (difference), cube ng kabuuan (difference)). Bilang karagdagan, mayroong maraming at mga formula ng trigonometriko, na mahalagang magkaparehong pagkakakilanlan.
Sa katunayan, ang parisukat ng kabuuan ng dalawang termino ay katumbas ng parisukat ng una at dalawang beses ang produkto ng una sa pamamagitan ng pangalawa at kasama ang parisukat ng pangalawa, iyon ay, (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.
Pasimplehin pareho
Pangkalahatang mga prinsipyo ng solusyon
Ulitin ayon sa aklat-aralin pagsusuri sa matematika o mas mataas na matematika, kung ano ang isang tiyak na integral. Tulad ng nalalaman, ang solusyon tiyak na integral mayroong isang function na ang derivative ay nagbibigay ng isang integrand. Ang function na ito ay tinatawag na isang antiderivative. Batay sa prinsipyong ito, ang mga pangunahing integral ay itinayo.Tukuyin ayon sa anyo ng integrat kung alin sa mga integral ng talahanayan ang akma sa kasong ito. Hindi laging posible na matukoy ito kaagad. Kadalasan, ang tabular form ay nagiging kapansin-pansin lamang pagkatapos ng ilang pagbabago upang gawing simple ang integrand.
Paraan ng Pagpapalit ng Variable
Kung ang integrand function ay trigonometriko function, na ang argumento ay naglalaman ng ilang polynomial, pagkatapos ay subukang gamitin ang variable na paraan ng pagpapalit. Upang magawa ito, palitan ang polynomial sa argument ng integrand ng ilang bagong variable. Batay sa relasyon sa pagitan ng bago at lumang mga variable, tukuyin ang mga bagong limitasyon ng pagsasama. Differentiation ibinigay na pagpapahayag humanap ng bagong kaugalian sa . Kaya makakakuha ka ang bagong uri ng nakaraang integral, malapit sa o kahit na tumutugma sa alinmang tabular.Paglutas ng mga integral ng pangalawang uri
Kung ang integral ay isang integral ng pangalawang uri, isang vector form ng integrand, kakailanganin mong gamitin ang mga patakaran para sa paglipat mula sa mga integral na ito patungo sa mga scalar. Ang isa sa gayong tuntunin ay ang ugnayang Ostrogradsky-Gauss. Ang batas na ito ay nagpapahintulot sa amin na lumipat mula sa rotor flux ng isang partikular na vector function patungo sa triple integral sa divergence ng isang binigay na vector field.Pagpapalit ng mga limitasyon sa pagsasama
Matapos mahanap ang antiderivative, kinakailangan na palitan ang mga limitasyon ng pagsasama. Palitan muna ang halaga itaas na limitasyon sa isang expression para sa antiderivative. Makakakuha ka ng ilang numero. Susunod, ibawas mula sa resultang numero ang isa pang numerong nakuha mula sa mas mababang limitasyon patungo sa antiderivative. Kung ang isa sa mga limitasyon ng pagsasama ay infinity, pagkatapos ay kapag pinapalitan ito sa antiderivative function kinakailangang pumunta sa limitasyon at hanapin kung ano ang sinisikap ng expression.Kung ang integral ay two-dimensional o three-dimensional, kakailanganin mong katawanin ang mga limitasyon ng integration sa geometriko upang maunawaan kung paano suriin ang integral. Sa katunayan, sa kaso ng, sabihin nating, isang three-dimensional na integral, ang mga limitasyon ng pagsasama ay maaaring mga buong eroplano na naglilimita sa volume na isinama.
Ang mga logarithm, tulad ng anumang mga numero, ay maaaring idagdag, ibawas at baguhin sa lahat ng paraan. Ngunit dahil ang logarithms ay hindi eksaktong ordinaryong mga numero, may mga panuntunan dito, na tinatawag pangunahing katangian.
Talagang kailangan mong malaman ang mga patakarang ito - kung wala ang mga ito, hindi malulutas ang isang seryosong problema sa logarithmic. Bilang karagdagan, napakakaunti sa kanila - maaari mong matutunan ang lahat sa isang araw. Kaya simulan na natin.
Pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms
Isaalang-alang ang dalawang logarithms na may parehong mga base: log a x at mag-log a y. Pagkatapos ay maaari silang idagdag at ibawas, at:
- log a x+ log a y=log a (x · y);
- log a x− log a y=log a (x : y).
Kaya, ang kabuuan ng logarithm ay katumbas ng logarithm ng produkto, at ang pagkakaiba ay katumbas ng logarithm ng quotient. Tandaan: mahalagang sandali dito - magkatulad na batayan. Kung magkaiba ang mga dahilan, hindi gagana ang mga patakarang ito!
Tutulungan ka ng mga formula na ito na kalkulahin ang isang logarithmic expression kahit na ang mga indibidwal na bahagi nito ay hindi isinasaalang-alang (tingnan ang aralin "Ano ang logarithm"). Tingnan ang mga halimbawa at tingnan:
Log 6 4 + log 6 9.
Dahil ang logarithms ay may parehong mga base, ginagamit namin ang sum formula:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 2 48 − log 2 3.
Ang mga base ay pareho, ginagamit namin ang formula ng pagkakaiba:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 3 135 − log 3 5.
Muli ang mga base ay pareho, kaya mayroon kaming:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Tulad ng makikita mo, ang orihinal na mga expression ay binubuo ng "masamang" logarithms, na hindi hiwalay na kinakalkula. Ngunit pagkatapos ng mga pagbabago, ganap na normal na mga numero ang nakuha. Marami ang binuo sa katotohanang ito mga test paper. Oo, ang mga ekspresyong tulad ng pagsubok ay inaalok sa lahat ng kaseryosohan (kung minsan ay halos walang pagbabago) sa Pinag-isang Estado na Pagsusuri.
Pag-extract ng exponent mula sa logarithm
Ngayon pasimplehin natin ng kaunti ang gawain. Paano kung ang batayan o argumento ng isang logarithm ay isang kapangyarihan? Kung gayon ang exponent ng degree na ito ay maaaring alisin sa sign ng logarithm ayon sa mga sumusunod na patakaran:
Madaling makita na ang huling tuntunin ay sumusunod sa unang dalawa. Ngunit mas mahusay na tandaan ito pa rin - sa ilang mga kaso ay makabuluhang bawasan nito ang dami ng mga kalkulasyon.
Siyempre, ang lahat ng mga patakarang ito ay may katuturan kung ang ODZ ng logarithm ay sinusunod: a > 0, a ≠ 1, x> 0. At isa pang bagay: matutong ilapat ang lahat ng mga formula hindi lamang mula kaliwa hanggang kanan, kundi pati na rin sa kabaligtaran, i.e. Maaari mong ipasok ang mga numero bago mag-sign ang logarithm sa logarithm mismo. Ito ang madalas na kinakailangan.
Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 7 49 6 .
Tanggalin natin ang antas sa argumento gamit ang unang formula:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Gawain. Hanapin ang kahulugan ng expression:
[Caption para sa larawan]
Tandaan na ang denominator ay naglalaman ng logarithm, na ang base at argumento ay eksaktong mga kapangyarihan: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Meron kami:
[Caption para sa larawan] Sa tingin ko ang huling halimbawa ay nangangailangan ng ilang paglilinaw. Saan napunta ang logarithms? Hanggang sa pinakahuling sandali ay nagtatrabaho lamang kami sa denominator. Iniharap namin ang base at argumento ng logarithm na nakatayo doon sa anyo ng mga kapangyarihan at kinuha ang mga exponents - nakakuha kami ng isang "tatlong-kuwento" na bahagi.
Ngayon tingnan natin ang pangunahing bahagi. Ang numerator at denominator ay naglalaman ng parehong numero: log 2 7. Dahil log 2 7 ≠ 0, maaari nating bawasan ang fraction - 2/4 ay mananatili sa denominator. Ayon sa mga tuntunin ng aritmetika, ang apat ay maaaring ilipat sa numerator, na kung ano ang ginawa. Ang naging resulta ay ang sagot: 2.
Paglipat sa isang bagong pundasyon
Sa pagsasalita tungkol sa mga patakaran para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms, partikular kong binigyang-diin na gumagana lamang ang mga ito sa parehong mga base. Paano kung magkaiba ang mga dahilan? Paano kung hindi sila eksaktong mga kapangyarihan ng parehong bilang?
Ang mga formula para sa paglipat sa isang bagong pundasyon ay sumagip. Bumalangkas tayo sa anyo ng isang teorama:
Hayaang ibigay ang logarithm log a x. Pagkatapos ay para sa anumang numero c ganyan c> 0 at c≠ 1, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:
[Caption para sa larawan]
Sa partikular, kung ilalagay natin c = x, nakukuha namin:
[Caption para sa larawan]
Mula sa pangalawang pormula ay sumusunod na ang base at argumento ng logarithm ay maaaring palitan, ngunit sa kasong ito ang buong expression ay "ibinalik", i.e. lumalabas ang logarithm sa denominator.
Ang mga formula na ito ay bihirang makita sa mga ordinaryong numerical expression. Posibleng suriin kung gaano kaginhawa ang mga ito sa pamamagitan lamang ng pagpapasya logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay.
Gayunpaman, may mga problema na hindi malulutas sa lahat maliban sa paglipat sa isang bagong pundasyon. Tingnan natin ang ilan sa mga ito:
Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 5 16 log 2 25.
Tandaan na ang mga argumento ng parehong logarithms ay naglalaman ng eksaktong mga kapangyarihan. Kunin natin ang mga tagapagpahiwatig: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
Ngayon ay "baligtarin" natin ang pangalawang logarithm:
[Caption para sa larawan]Dahil ang produkto ay hindi nagbabago kapag muling inaayos ang mga kadahilanan, mahinahon naming pinarami ang apat at dalawa, at pagkatapos ay hinarap ang mga logarithms.
Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 9 100 lg 3.
Ang batayan at argumento ng unang logarithm ay eksaktong kapangyarihan. Isulat natin ito at alisin ang mga tagapagpahiwatig:
[Caption para sa larawan]Ngayon tanggalin na natin decimal logarithm, paglipat sa isang bagong base:
[Caption para sa larawan]Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan
Kadalasan sa proseso ng solusyon ay kinakailangan upang kumatawan sa isang numero bilang isang logarithm sa isang naibigay na base. Sa kasong ito, ang mga sumusunod na formula ay makakatulong sa amin:
Sa unang kaso, ang numero n nagiging tagapagpahiwatig ng antas na nakatayo sa argumento. Numero n maaaring maging anumang bagay, dahil isa lamang itong halaga ng logarithm.
Ang pangalawang formula ay talagang isang paraphrased na kahulugan. Iyon ang tawag dito: ang pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan.
Sa katunayan, ano ang mangyayari kung ang numero b itaas sa ganoong kapangyarihan na ang bilang b sa kapangyarihang ito ay nagbibigay ng numero a? Tama iyan: makukuha mo ang parehong numero a. Basahin muli ang talatang ito nang mabuti - maraming tao ang natigil dito.
Tulad ng mga formula para sa paglipat sa isang bagong base, ang pangunahing logarithmic identity ay minsan ang tanging posibleng solusyon.
Gawain. Hanapin ang kahulugan ng expression:
[Caption para sa larawan]
Tandaan na ang log 25 64 = log 5 8 - kinuha lamang ang parisukat mula sa base at argumento ng logarithm. Isinasaalang-alang ang mga patakaran para sa pagpaparami ng mga kapangyarihan sa parehong batayan, nakukuha namin:
[Caption para sa larawan]Kung sinuman ang hindi nakakaalam, ito ay isang tunay na gawain mula sa Unified State Exam :)
Logarithmic unit at logarithmic zero
Sa konklusyon, magbibigay ako ng dalawang pagkakakilanlan na halos hindi matatawag na mga katangian - sa halip, ang mga ito ay mga kahihinatnan ng kahulugan ng logarithm. Patuloy silang lumilitaw sa mga problema at, nakakagulat, lumikha ng mga problema kahit para sa "advanced" na mga mag-aaral.
- log a a Ang = 1 ay isang logarithmic unit. Tandaan minsan at para sa lahat: logarithm sa anumang base a mula sa baseng ito ay katumbas ng isa.
- log a 1 = 0 ay logarithmic zero. Base a maaaring maging anuman, ngunit kung ang argumento ay naglalaman ng isa, ang logarithm ay katumbas ng zero! kasi a Ang 0 = 1 ay isang direktang bunga ng kahulugan.
Iyon ang lahat ng mga pag-aari. Siguraduhing magsanay sa pagsasabuhay ng mga ito! I-download ang cheat sheet sa simula ng aralin, i-print ito, at lutasin ang mga problema.
Logarithmic expression, paglutas ng mga halimbawa. Sa artikulong ito ay titingnan natin ang mga problemang nauugnay sa paglutas ng mga logarithms. Ang mga gawain ay nagtatanong sa paghahanap ng kahulugan ng isang pagpapahayag. Dapat pansinin na ang konsepto ng logarithm ay ginagamit sa maraming mga gawain at ang pag-unawa sa kahulugan nito ay napakahalaga. Tulad ng para sa Unified State Exam, ang logarithm ay ginagamit kapag nilulutas ang mga equation, sa mga inilapat na problema, at gayundin sa mga gawain na may kaugnayan sa pag-aaral ng mga function.
Magbigay tayo ng mga halimbawa upang maunawaan ang mismong kahulugan ng logarithm:
Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan:
Mga katangian ng logarithms na dapat laging tandaan:
*Ang logarithm ng produkto ay katumbas ng kabuuan ng logarithm ng mga salik.
* * *
*Ang logarithm ng isang quotient (fraction) ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng logarithms ng mga salik.
* * *
*Ang logarithm ng isang exponent ay katumbas ng produkto ng exponent at ang logarithm ng base nito.
* * *
*Transition sa isang bagong pundasyon
* * *
Higit pang mga katangian:
* * *
Ang pagkalkula ng logarithms ay malapit na nauugnay sa paggamit ng mga katangian ng mga exponent.
Ilista natin ang ilan sa mga ito:
Ang kakanyahan ng ari-arian na ito ay nakasalalay sa katotohanan na kapag inililipat ang numerator sa denominator at kabaligtaran, ang tanda ng exponent ay nagbabago sa kabaligtaran. Halimbawa:
Isang resulta mula sa property na ito:
* * *
Kapag nagtataas ng isang kapangyarihan sa isang kapangyarihan, ang base ay nananatiling pareho, ngunit ang mga exponent ay pinarami.
* * *
Tulad ng nakita mo, ang konsepto ng logarithm mismo ay simple. Ang pangunahing bagay ay kailangan mo ng mahusay na kasanayan, na nagbibigay sa iyo ng isang tiyak na kasanayan. Siyempre, kailangan ang kaalaman sa mga formula. Kung ang kasanayan sa pag-convert ng elementarya na logarithms ay hindi nabuo, kung gayon kapag nilutas ang mga simpleng gawain madali kang magkamali.
Magsanay, lutasin muna ang mga pinakasimpleng halimbawa mula sa kursong matematika, pagkatapos ay lumipat sa mas kumplikado. Sa hinaharap, tiyak kong ipapakita kung paano nalutas ang mga "nakakatakot" na logarithms; hindi sila lilitaw sa Pinag-isang Pagsusuri ng Estado, ngunit interesado sila, huwag palampasin ang mga ito!
Iyon lang! Good luck sa iyo!
Taos-puso, Alexander Krutitskikh
P.S: Magpapasalamat ako kung sasabihin mo sa akin ang tungkol sa site sa mga social network.
Mga gawain na ang solusyon ay pagbabagong-anyo logarithmic expression , ay karaniwan sa Pinag-isang Estado na Pagsusuri.
Upang matagumpay na makayanan ang mga ito sa isang minimum na pamumuhunan ng oras bilang karagdagan sa mga pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan, kailangan mong malaman at gumamit ng ilan pang mga formula nang tama.
Ito ay: isang log a b = b, kung saan a, b > 0, a ≠ 1 (Direkta itong sumusunod sa kahulugan ng logarithm).
log a b = log c b / log c a o log a b = 1/log b a
kung saan a, b, c > 0; a, c ≠ 1.
log a m b n = (m/n) log |a| |b|
kung saan ang a, b > 0, a ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0.
isang log c b = b log c a
kung saan ang a, b, c > 0 at a, b, c ≠ 1
Upang ipakita ang bisa ng ikaapat na pagkakapantay-pantay, kunin natin ang logarithm ng kaliwa at kanang panig upang ibase a. Nakukuha natin ang log a (a log na may b) = log a (b log na may a) o log na may b = log na may a · log a b; log c b = log c a · (log c b / log c a); log with b = log with b.
Napatunayan namin ang pagkakapantay-pantay ng logarithms, na nangangahulugan na ang mga expression sa ilalim ng logarithms ay pantay din. Napatunayan na ang Formula 4.
Halimbawa 1.
Kalkulahin ang 81 log 27 5 log 5 4 .
Solusyon.
81 = 3 4 , 27 = 3 3 .
log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5. Samakatuwid,
log 27 5 log 5 4 = 1/3 log 3 5 (log 3 4 / log 3 5) = 1/3 log 3 4.
Pagkatapos ay 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.
Maaari mong kumpletuhin ang sumusunod na gawain sa iyong sarili.
Kalkulahin (8 log 2 3 + 3 1/ log 2 3) - log 0.2 5.
Bilang pahiwatig, 0.2 = 1/5 = 5 -1 ; log 0.2 5 = -1.
Sagot: 5.
Halimbawa 2.
Kalkulahin (√11) log √3 9- log 121 81 .
Solusyon.
Baguhin natin ang mga expression: 9 = 3 2, √3 = 3 1/2, log √3 9 = 4,
121 = 11 2, 81 = 3 4, log 121 81 = 2 log 11 3 (ginamit ang formula 3).
Pagkatapos (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / ( 11 log 11 3) = 121/3.
Halimbawa 3.
Kalkulahin ang log 2 24 / log 96 2 - log 2 192 / log 12 2.
Solusyon.
Pinapalitan namin ang logarithms na nakapaloob sa halimbawa ng logarithms na may base 2.
log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);
log 2 192 = log 2 (2 6 3) = (log 2 2 6 + log 2 3) = (6 + log 2 3);
log 2 24 = log 2 (2 3 3) = (log 2 2 3 + log 2 3) = (3 + log 2 3);
log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3).
Pagkatapos log 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/( 2 + log 2 3)) =
= (3 + log 2 3) · (5 + log 2 3) – (6 + log 2 3)(2 + log 2 3).
Pagkatapos buksan ang mga panaklong at magdala ng mga katulad na termino, makuha natin ang numero 3. (Kapag pinasimple ang expression, maaari nating tukuyin ang log 2 3 sa pamamagitan ng n at gawing simple ang expression
(3 + n) · (5 + n) – (6 + n)(2 + n)).
Sagot: 3.
Maaari mong kumpletuhin ang sumusunod na gawain sa iyong sarili:
Kalkulahin (log 3 4 + log 4 3 + 2) log 3 16 log 2 144 3.
Dito kinakailangan na gawin ang paglipat sa base 3 logarithms at factorization ng malalaking numero sa prime factor.
Sagot:1/2
Halimbawa 4.
Ibinigay ang tatlong numero A = 1/(log 3 0.5), B = 1/(log 0.5 3), C = log 0.5 12 – log 0.5 3. Ayusin ang mga ito sa pataas na ayos.
Solusyon.
Ibahin natin ang mga numerong A = 1/(log 3 0.5) = log 0.5 3; C = log 0.5 12 – log 0.5 3 = log 0.5 12/3 = log 0.5 4 = -2.
Ikumpara natin sila
log 0.5 3 > log 0.5 4 = -2 at log 0.5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.
O 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.
Sagot. Samakatuwid, ang pagkakasunud-sunod ng paglalagay ng mga numero ay: C; A; SA.
Halimbawa 5.
Ilang integer ang nasa pagitan (log 3 1 / 16 ; log 2 6 48).
Solusyon.
Alamin natin sa pagitan ng kung aling mga kapangyarihan ng numero 3 ang numero 1/16 ay matatagpuan. Nakakuha kami ng 1/27< 1 / 16 < 1 / 9 .
Dahil ang function na y = log 3 x ay tumataas, pagkatapos ay log 3 (1 / 27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.
log 6 48 = log 6 (36 4 / 3) = log 6 36 + log 6 (4 / 3) = 2 + log 6 (4 / 3). Ihambing natin ang log 6 (4/3) at 1/5. At para dito inihambing namin ang mga numero 4/3 at 6 1/5. Itaas natin ang parehong mga numero sa 5th power. Nakukuha namin ang (4 / 3) 5 = 1024 / 243 = 4 52 / 243< 6. Следовательно,
log 6 (4/3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.
Samakatuwid, kasama sa pagitan (log 3 1 / 16 ; log 6 48) ang pagitan [-2; 4] at ang integer -2 ay inilalagay dito; -1; 0; 1; 2; 3; 4.
Sagot: 7 integers.
Halimbawa 6.
Kalkulahin ang 3 lglg 2/ lg 3 - lg20.
Solusyon.
3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lо g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.
Pagkatapos 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 – lg 20 = lg 0.1 = -1.
Sagot: -1.
Halimbawa 7.
Nabatid na ang log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 – 2) = A. Hanapin ang log 2 (√3 –1) + log 2 (√6 + 2).
Solusyon.
Mga Numero (√3 + 1) at (√3 – 1); Ang (√6 – 2) at (√6 + 2) ay conjugate.
Isagawa natin ang sumusunod na pagbabago ng mga ekspresyon
√3 – 1 = (√3 – 1) · (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);
√6 + 2 = (√6 + 2) · (√6 – 2)) / (√6 – 2) = 2/(√6 – 2).
Pagkatapos ay log 2 (√3 – 1) + log 2 (√6 + 2) = log 2 (2/(√3 + 1)) + log 2 (2/(√6 – 2)) =
Log 2 2 – log 2 (√3 + 1) + log 2 2 – log 2 (√6 – 2) = 1 – log 2 (√3 + 1) + 1 – log 2 (√6 – 2) =
2 – log 2 (√3 + 1) – log 2 (√6 – 2) = 2 – A.
Sagot: 2 – A.
Halimbawa 8.
Pasimplehin at hanapin ang tinatayang halaga ng expression (log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9.
Solusyon.
Bawasan natin ang lahat ng logarithms sa isang karaniwang base 10.
(log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9 = (lg 2 / lg 3) (lg 3 / lg 4) (lg 4 / lg 5) (lg 5 / lg 6) · … · (lg 8 / lg 9) · lg 9 = lg 2 ≈ 0.3010 (Ang tinatayang halaga ng lg 2 ay matatagpuan gamit ang isang table, slide rule o calculator).
Sagot: 0.3010.
Halimbawa 9.
Kalkulahin ang log a 2 b 3 √(a 11 b -3) kung log √ a b 3 = 1. (Sa halimbawang ito, a 2 b 3 ang base ng logarithm).
Solusyon.
Kung log √ a b 3 = 1, pagkatapos ay 3/(0.5 log a b = 1. At log a b = 1/6.
Pagkatapos ay mag-log a 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (log a a 11 + log a b -3) / (2(log a a 2 + log a b 3)) = (11 – 3log a b) / (2(2 + 3log a b)) Isinasaalang-alang na ang log a b = 1/ 6 ang nakukuha natin (11 – 3 1 / 6) / (2(2 + 3 1 / 6)) = 10.5/5 = 2.1.
Sagot: 2.1.
Maaari mong kumpletuhin ang sumusunod na gawain sa iyong sarili:
Kalkulahin ang log √3 6 √2.1 kung log 0.7 27 = a.
Sagot: (3 + a) / (3a).
Halimbawa 10.
Kalkulahin ang 6.5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log125.
Solusyon.
6.5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log 125 = (13/2) 4/2 log 3 13 · 3 2/ log 2 13 + 2log 5 5 3 = (13/2) 2 log 13 3 3 2 log 13 2 + 6 = (13 log 13 3 / 2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = ( 3 2 /(2 log 13 3) 2) · (2 log 13 3) 2 + 6.
(2 log 13 3 = 3 log 13 2 (formula 4))
Nakukuha namin ang 9 + 6 = 15.
Sagot: 15.
May mga tanong pa ba? Hindi sigurado kung paano mahahanap ang halaga ng isang logarithmic expression?
Upang makakuha ng tulong mula sa isang tutor, magparehistro.
Ang unang aralin ay libre!
website, kapag kumukopya ng materyal nang buo o bahagi, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.