Mga artikulo sa agham at matematika
Mga katangian ng mga kapangyarihan na may parehong mga base
May tatlong katangian ng mga degree na may sa parehong mga batayan at natural na mga tagapagpahiwatig. Ito
Mag-ingat ka! Mga tuntunin tungkol sa pagdagdag at pagbawas degree na may parehong mga base ay wala.
Isulat natin ang mga property-rules na ito sa anyo ng mga formula:
Ngayon tingnan natin ang mga ito gamit ang mga partikular na halimbawa at subukang patunayan ang mga ito.
5 2 × 5 3 = 5 5 - dito namin inilapat ang panuntunan; Ngayon isipin natin kung paano natin lulutasin ang halimbawang ito kung hindi natin alam ang mga patakaran:
5 2 × 5 3 \u003d 5 × 5 × 5 × 5 × 5 \u003d 5 5 - limang squared ay limang beses lima, at cubed ay ang produkto ng tatlong fives. Ang resulta ay isang produkto ng limang fives, ngunit ito ay isang bagay maliban sa lima hanggang sa ikalimang kapangyarihan: 5 5 .
3 9 ÷ 3 5 = 3 9–5 = 3 4. Isulat natin ang dibisyon bilang isang fraction:
Maaari itong paikliin: 
Bilang resulta, nakukuha namin ang: 
Kaya, napatunayan namin na kapag hinahati ang dalawang kapangyarihan na may parehong mga base, ang kanilang mga tagapagpahiwatig ay dapat ibawas.
Gayunpaman, kapag naghahati, imposible para sa divisor na maging katumbas ng zero (dahil hindi mo maaaring hatiin sa zero). Bilang karagdagan, dahil isinasaalang-alang namin ang mga degree na may natural na mga tagapagpahiwatig lamang, hindi kami makakakuha ng isang numero na mas mababa sa 1 bilang isang resulta ng pagbabawas ng mga tagapagpahiwatig. Samakatuwid, ang mga paghihigpit ay ipinapataw sa formula na a m ÷ a n = a m–n: a ≠ 0 at m > n .
Lumipat tayo sa ikatlong pag-aari:
(2 2) 4 = 2 2×4 = 2 8
Isulat natin ito sa pinalawak na anyo:
(2 2) 4 = (2 × 2) 4 = (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2 8
Makakarating ka sa konklusyong ito sa pamamagitan ng lohikal na pangangatwiran. Kailangan mong magparami ng dalawang parisukat ng apat na beses. Ngunit mayroong dalawang dalawa sa bawat parisukat, na nangangahulugang magkakaroon ng walong dalawa sa kabuuan.
scienceland.info
Mga katangian ng degree
Ipinapaalala namin sa iyo na sa araling ito ay mauunawaan natin katangian ng mga degree na may mga natural na tagapagpahiwatig at zero. Tatalakayin sa mga aralin para sa ika-8 baitang ang mga degree na may mga rational indicator at ang kanilang mga katangian.
Ang kapangyarihan na may natural na exponent ay may ilang mahahalagang katangian na nagbibigay-daan sa amin na pasimplehin ang mga kalkulasyon sa mga halimbawang may kapangyarihan.
Ari-arian Blg. 1
Produkto ng mga kapangyarihan
Kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong mga base, ang base ay nananatiling hindi nagbabago, at ang mga exponent ng mga kapangyarihan ay idinagdag.
a m · a n = a m + n, kung saan ang “a” ay anumang numero, at “m”, “n” ay anumang natural na mga numero.
Ang ari-arian na ito Ang mga kapangyarihan ay nakakaapekto rin sa produkto ng tatlo o higit pang mga kapangyarihan.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
(0.8) 3 · (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15
Pakitandaan na sa tinukoy na pag-aari ay pinag-uusapan lamang namin ang tungkol sa pagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong mga base. Hindi ito naaangkop sa kanilang karagdagan.
Hindi mo maaaring palitan ang kabuuan (3 3 + 3 2) ng 3 5 . Ito ay maliwanag kung
kalkulahin ang (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 at 3 5 = 243
Ari-arian Blg. 2
Mga bahagyang degree
Kapag naghahati ng mga kapangyarihan na may parehong mga base, ang base ay nananatiling hindi nagbabago, at ang exponent ng divisor ay ibabawas mula sa exponent ng dibidendo.
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Halimbawa. Lutasin ang equation. Ginagamit namin ang pag-aari ng mga bahagyang degree.
3 8: t = 3 4
Sagot: t = 3 4 = 81
Gamit ang mga katangian No. 1 at No. 2, madali mong gawing simple ang mga expression at magsagawa ng mga kalkulasyon.
- Halimbawa. Pasimplehin ang expression.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
Halimbawa. Hanapin ang halaga ng isang expression gamit ang mga katangian ng degree.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Pakitandaan na sa Property 2 ay pinag-uusapan lang namin ang paghahati ng mga kapangyarihan na may parehong mga base.
Hindi mo maaaring palitan ang pagkakaiba (4 3 −4 2) ng 4 1 . Maiintindihan ito kung kalkulahin mo ang (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48, at 4 1 = 4
Ari-arian Blg. 3
Pagtaas ng antas sa isang kapangyarihan
Kapag nagtataas ng isang antas sa isang kapangyarihan, ang base ng antas ay nananatiling hindi nagbabago, at ang mga exponent ay pinarami.
(a n) m = a n · m, kung saan ang “a” ay anumang numero, at “m”, “n” ay anumang natural na mga numero.
Pakitandaan na ang property No. 4, tulad ng iba pang property ng degrees, ay ginagamit din sa baligtarin ang pagkakasunod-sunod.
(a n · b n)= (a · b) n
Iyon ay, upang i-multiply ang mga kapangyarihan sa ang parehong mga tagapagpahiwatig Maaari mong i-multiply ang mga base at iwanan ang exponent na hindi nagbabago.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10,000
0.5 16 2 16 = (0.5 2) 16 = 1
Sa mas maraming kumplikadong mga halimbawa Maaaring may mga kaso kapag ang multiplikasyon at paghahati ay dapat gawin sa mga kapangyarihan na may sa iba't ibang dahilan At iba't ibang mga tagapagpahiwatig. Sa kasong ito, ipinapayo namin sa iyo na gawin ang sumusunod.
Halimbawa, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
Isang halimbawa ng pagpapataas ng decimal sa kapangyarihan.
4 21 (−0.25) 20 = 4 4 20 (−0.25) 20 = 4 (4 (−0.25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4
Mga Katangian 5
Kapangyarihan ng isang quotient (fraction)
Upang itaas ang isang quotient sa isang kapangyarihan, maaari mong itaas ang dibidendo at ang divisor nang hiwalay sa kapangyarihang ito, at hatiin ang unang resulta sa pangalawa.
(a: b) n = a n: b n, kung saan ang “a”, “b” ay anumang mga rational na numero, b ≠ 0, n - anumang natural na numero.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Ipinapaalala namin sa iyo na ang isang quotient ay maaaring katawanin bilang isang fraction. Samakatuwid, tatalakayin natin ang paksa ng pagtataas ng isang fraction sa isang kapangyarihan nang mas detalyado sa susunod na pahina.
Pagpaparami at paghahati ng mga numero na may kapangyarihan
Kung kailangan mong itaas ang isang partikular na numero sa isang power, maaari mong gamitin ang power table natural na mga numero mula 2 hanggang 25 sa algebra. Susuriin natin ngayon nang mas malapitan katangian ng mga degree.
Mga numero ng exponential magbukas ng magagandang posibilidad, pinapayagan tayo nitong baguhin ang multiplikasyon sa karagdagan, at ang pagdaragdag ay mas madali kaysa sa pagpaparami. 
Halimbawa, kailangan nating i-multiply ang 16 sa 64. Ang produkto ng pagpaparami ng dalawang numerong ito ay 1024. Ngunit ang 16 ay 4x4, at ang 64 ay 4x4x4. Kaya 16 beses 64=4x4x4x4x4 na 1024 din.
Ang numerong 16 ay maaari ding irepresenta bilang 2x2x2x2, at 64 bilang 2x2x2x2x2x2, at kung mag-multiply tayo, muli tayong makakakuha ng 1024.
At ngayon ginagamit namin ang panuntunan ng pagtaas ng isang numero sa isang kapangyarihan. 16=4 2 , o 2 4 , 64=4 3 , o 2 6 , habang 1024=6 4 =4 5 , o 2 10 .
Samakatuwid, ang aming problema ay maaaring isulat sa iba't ibang paraan: 4 2 x4 3 =4 5 o 2 4 x2 6 =2 10, at sa bawat oras na makakakuha tayo ng 1024.
Maaari naming malutas ang isang bilang ng mga katulad na halimbawa at makita na ang pagpaparami ng mga numero na may kapangyarihan ay nababawasan sa pagdaragdag ng mga exponent, o isang exponent, siyempre, sa kondisyon na ang mga batayan ng mga kadahilanan ay pantay.
Kaya, nang hindi nagsasagawa ng multiplikasyon, masasabi natin kaagad na 2 4 x2 2 x2 14 = 2 20.
Totoo rin ang panuntunang ito kapag hinahati ang mga numero sa mga kapangyarihan, ngunit sa kasong ito ang exponent ng divisor ay ibabawas mula sa exponent ng dibidendo. Kaya, 2 5:2 3 =2 2 , na sa mga ordinaryong bilang ay katumbas ng 32:8=4, iyon ay, 2 2 . Ibuod natin:
a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, kung saan ang m at n ay mga integer.
Sa unang tingin, ito ay maaaring mukhang iyon multiplikasyon at paghahati ng mga numero na may kapangyarihan hindi masyadong maginhawa, dahil kailangan mo munang kumatawan sa numero sa exponential form. Hindi mahirap na katawanin ang mga numero 8 at 16, iyon ay, 2 3 at 2 4, sa form na ito, ngunit paano ito gagawin sa mga numero 7 at 17? O kung ano ang gagawin sa mga kaso kung saan ang isang numero ay maaaring katawanin sa exponential form, ngunit ang mga base para sa exponential expression ng mga numero ay ibang-iba. Halimbawa, ang 8×9 ay 2 3 x 3 2 , kung saan hindi natin masusuma ang mga exponent. Hindi 2 5 o 3 5 ang sagot, ni ang sagot ay nasa pagitan ng dalawang numerong ito.
Kung gayon ito ay nagkakahalaga ng pag-abala sa pamamaraang ito sa lahat? Talagang sulit. Nagbibigay ito ng napakalaking benepisyo, lalo na para sa mga kumplikado at matagal na kalkulasyon.
Hanggang ngayon, naniniwala kami na ang exponent ay ang bilang ng magkaparehong mga kadahilanan. Sa kasong ito, ang pinakamababang halaga ng exponent ay 2. Gayunpaman, kung gagawin natin ang operasyon ng paghahati ng mga numero o pagbabawas ng mga exponent, makakakuha din tayo ng numerong mas mababa sa 2, na nangangahulugan na hindi na angkop sa atin ang lumang kahulugan. Magbasa pa sa susunod na artikulo.
Pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami, at paghahati ng mga kapangyarihan
Pagdaragdag at pagbabawas ng mga kapangyarihan
Ito ay malinaw na ang mga numero na may kapangyarihan ay maaaring idagdag tulad ng iba pang mga dami , sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga ito nang sunud-sunod sa kanilang mga palatandaan.
Kaya, ang kabuuan ng a 3 at b 2 ay isang 3 + b 2.
Ang kabuuan ng isang 3 - b n at h 5 -d 4 ay isang 3 - b n + h 5 - d 4.
Odds pantay na kapangyarihan ng magkatulad na mga variable maaaring idagdag o ibawas.
Kaya, ang kabuuan ng 2a 2 at 3a 2 ay katumbas ng 5a 2.
Halata rin na kung kukuha ka ng dalawang parisukat a, o tatlong parisukat a, o limang parisukat a.
Ngunit degree iba't ibang variable At iba't ibang grado magkaparehong mga variable, ay dapat na binubuo sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga ito kasama ng kanilang mga palatandaan.
Kaya, ang kabuuan ng isang 2 at isang 3 ay ang kabuuan ng isang 2 + a 3.
Malinaw na ang parisukat ng a, at ang kubo ng a, ay hindi katumbas ng dalawang beses na parisukat ng a, ngunit dalawang beses ang kubo ng a.
Ang kabuuan ng a 3 b n at 3a 5 b 6 ay isang 3 b n + 3a 5 b 6.
Pagbabawas Ang mga kapangyarihan ay isinasagawa sa parehong paraan tulad ng karagdagan, maliban na ang mga palatandaan ng mga subtrahends ay dapat baguhin nang naaayon.
O kaya:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Pagpaparami ng kapangyarihan
Ang mga numerong may kapangyarihan ay maaaring paramihin, tulad ng iba pang mga dami, sa pamamagitan ng pagsusulat ng mga ito nang sunud-sunod, mayroon man o walang multiplication sign sa pagitan ng mga ito.
Kaya, ang resulta ng pagpaparami ng a 3 sa b 2 ay isang 3 b 2 o aaabb.
O kaya:
x -3 ⋅ a m = isang m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Ang resulta sa huling halimbawa ay maaaring i-order sa pamamagitan ng pagdaragdag ng magkaparehong mga variable.
Ang ekspresyon ay kukuha ng anyo: a 5 b 5 y 3.
Sa pamamagitan ng paghahambing ng ilang mga numero (mga variable) na may mga kapangyarihan, makikita natin na kung alinman sa dalawa sa mga ito ay pinarami, ang resulta ay isang numero (variable) na may kapangyarihan na katumbas ng halaga antas ng mga termino.
Kaya, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Narito ang 5 ay ang kapangyarihan ng resulta ng pagpaparami, na katumbas ng 2 + 3, ang kabuuan ng mga kapangyarihan ng mga termino.
Kaya, a n .a m = a m+n .
Para sa isang n , ang a ay kinuha bilang isang kadahilanan nang kasing dami ng kapangyarihan ng n;
At ang isang m ay kinuha bilang isang kadahilanan nang kasing dami ng antas ng m ay katumbas ng;
kaya lang, Ang mga kapangyarihan na may parehong mga base ay maaaring paramihin sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga exponents ng mga kapangyarihan.
Kaya, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . At x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
O kaya:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Multiply (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Sagot: x 4 - y 4.
Multiply (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Ang panuntunang ito ay totoo rin para sa mga numero na ang mga exponent ay − negatibo.
1. Kaya, a -2 .a -3 = a -5 . Ito ay maaaring isulat bilang (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y -n .y -m = y -n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Kung ang a + b ay pinarami ng a - b, ang resulta ay isang 2 - b 2: ibig sabihin
Ang resulta ng pagpaparami ng kabuuan o pagkakaiba ng dalawang numero ay katumbas ng kabuuan o pagkakaiba ng kanilang mga parisukat.
Kung ang kabuuan at pagkakaiba ng dalawang numero ay nakataas sa parisukat, ang resulta ay magiging katumbas ng kabuuan o pagkakaiba ng mga numerong ito sa pang-apat degrees.
Kaya, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.
Dibisyon ng mga degree
Ang mga numerong may kapangyarihan ay maaaring hatiin tulad ng ibang mga numero, sa pamamagitan ng pagbabawas mula sa dibidendo, o sa pamamagitan ng paglalagay sa kanila sa fraction form.
Kaya ang a 3 b 2 na hinati sa b 2 ay isang 3 .
Ang pagsulat ng 5 na hinati ng 3 ay parang $\frac $. Ngunit ito ay katumbas ng isang 2 . Sa isang serye ng mga numero
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
anumang numero ay maaaring hatiin ng isa pa, at ang exponent ay magiging katumbas ng pagkakaiba mga tagapagpahiwatig ng mahahati na mga numero.
Kapag naghahati ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang kanilang mga exponent ay ibinabawas..
Kaya, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Ibig sabihin, $\frac = y$.
At a n+1:a = a n+1-1 = a n . Ibig sabihin, $\frac = a^n$.
O kaya:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3
Ang panuntunan ay may bisa din para sa mga numerong may negatibo mga halaga ng degree.
Ang resulta ng paghahati ng isang -5 sa isang -3 ay isang -2.
Gayundin, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 o $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
Ito ay kinakailangan upang makabisado ang multiplikasyon at paghahati ng mga kapangyarihan nang napakahusay, dahil ang mga naturang operasyon ay napakalawak na ginagamit sa algebra.
Mga halimbawa ng paglutas ng mga halimbawa na may mga fraction na naglalaman ng mga numerong may kapangyarihan
1. Bawasan ang mga exponents ng $\frac $ Sagot: $\frac $.
2. Bawasan ang mga exponent ng $\frac$. Sagot: $\frac$ o 2x.
3. Bawasan ang mga exponent na a 2 /a 3 at a -3 /a -4 at dalhin sa isang common denominator.
a 2 .a -4 ay a -2 ang unang numerator.
a 3 .a -3 ay isang 0 = 1, ang pangalawang numerator.
a 3 .a -4 ay a -1 , ang karaniwang numerator.
Pagkatapos ng pagpapasimple: a -2 /a -1 at 1/a -1 .
4. Bawasan ang mga exponents 2a 4 /5a 3 at 2 /a 4 at dalhin sa isang common denominator.
Sagot: 2a 3 /5a 7 at 5a 5 /5a 7 o 2a 3 /5a 2 at 5/5a 2.
5. I-multiply ang (a 3 + b)/b 4 sa (a - b)/3.
6. I-multiply ang (a 5 + 1)/x 2 sa (b 2 - 1)/(x + a).
7. I-multiply ang b 4 /a -2 sa h -3 /x at a n /y -3 .
8. Hatiin ang isang 4 /y 3 sa isang 3 /y 2 . Sagot: a/y.
Degree at mga katangian nito. Average na antas.
Gusto mo bang subukan ang iyong lakas at malaman ang resulta kung gaano ka kahanda para sa Unified State Examination o sa OGE?
Degree ay tinatawag na pagpapahayag ng anyo: , kung saan: 
Degree na may integer exponent
degree, ang exponent nito ay isang natural na numero (i.e. integer at positive).
Kapangyarihan na may makatwirang exponent
degree, ang indicator kung saan ay negatibo at fractional na mga numero.
Degree na may hindi makatwirang exponent
degree na ang exponent ay walang katapusan decimal o ugat.
Mga katangian ng mga degree
Mga tampok ng degree.
Ano ang kapangyarihan ng isang numero?
Ang exponentiation ay isang mathematical operation tulad ng pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami o paghahati.
Ngayon ipapaliwanag ko ang lahat wika ng tao napaka mga simpleng halimbawa. Mag-ingat ka. Ang mga halimbawa ay elementarya, ngunit ipaliwanag ang mahahalagang bagay.
Magsimula tayo sa karagdagan.
Walang maipaliwanag dito. Alam mo na ang lahat: walo kami. Bawat isa ay may dalawang bote ng cola. Magkano ang cola? Tama iyon - 16 na bote.
Ngayon multiplication.
Ang parehong halimbawa sa cola ay maaaring isulat sa ibang paraan: . Ang mga mathematician ay tuso at tamad na tao. Una nilang napansin ang ilang mga pattern, at pagkatapos ay gumawa ng paraan upang "mabilang" ang mga ito nang mas mabilis. Sa aming kaso, napansin nila na ang bawat isa sa walong tao ay may parehong bilang ng mga bote ng cola at nakabuo sila ng isang pamamaraan na tinatawag na multiplication. Sumang-ayon, ito ay itinuturing na mas madali at mas mabilis kaysa sa.
Kaya, upang mabilang nang mas mabilis, mas madali at walang mga error, kailangan mo lang tandaan talaan ng multiplikasyon. Siyempre, magagawa mo ang lahat nang mas mabagal, mas mahirap at may mga pagkakamali! Pero…
Narito ang talahanayan ng pagpaparami. Ulitin.
At isa pa, mas maganda:
Anong iba pang matalinong trick sa pagbibilang ang naisip ng mga tamad na mathematician? tama - pagtataas ng isang numero sa isang kapangyarihan.
Pagtaas ng isang numero sa isang kapangyarihan.
Kung kailangan mong i-multiply ang isang numero sa sarili nitong limang beses, pagkatapos ay sinabi ng mga mathematician na kailangan mong itaas ang numerong ito sa ikalimang kapangyarihan. Halimbawa, . Natatandaan ng mga mathematician na ang dalawa hanggang ikalimang kapangyarihan ay... At nalulutas nila ang mga naturang problema sa kanilang mga ulo - mas mabilis, mas madali at walang mga pagkakamali.
Ang kailangan mo lang gawin ay tandaan kung ano ang naka-highlight sa kulay sa talahanayan ng mga kapangyarihan ng mga numero. Maniwala ka sa akin, gagawin nitong mas madali ang iyong buhay.
Nga pala, bakit second degree ang tawag dito? parisukat mga numero, at ang pangatlo - kubo? Ano ang ibig sabihin nito? napaka magandang tanong. Ngayon ay magkakaroon ka ng parehong mga parisukat at mga cube.
Halimbawa sa totoong buhay #1.
Magsimula tayo sa parisukat o sa pangalawang kapangyarihan ng numero.
Isipin ang isang parisukat na pool na may sukat na isang metro sa isang metro. Ang pool ay nasa iyong dacha. Ang init at gusto ko talagang lumangoy. Pero... walang ilalim ang pool! Kailangan mong takpan ang ilalim ng pool na may mga tile. Ilang tile ang kailangan mo? Upang matukoy ito, kailangan mong malaman ang ilalim na lugar ng pool.
Maaari mo lamang bilangin sa pamamagitan ng pagsundot ng iyong daliri na ang ilalim ng pool ay binubuo ng mga cube metro bawat metro. Kung mayroon kang mga tile na isang metro sa isang metro, kakailanganin mo ng mga piraso. Madali lang... Pero saan ka nakakita ng ganyang tiles? Ang tile ay malamang na magiging cm por cm. At pagkatapos ay pahihirapan ka sa pamamagitan ng "pagbibilang gamit ang iyong daliri." Pagkatapos ay kailangan mong magparami. Kaya, sa isang gilid ng ilalim ng pool, magkakasya kami ng mga tile (piraso) at sa kabilang banda, din, mga tile. I-multiply at makakakuha ka ng mga tile ().
Napansin mo ba na upang matukoy ang lugar ng ilalim ng pool, pinarami namin ang parehong numero sa pamamagitan ng kanyang sarili? Ano ang ibig sabihin nito? Dahil ang parehong numero ay pinarami, maaari naming gamitin ang exponentiation technique. (Siyempre, kapag dalawa lang ang numero mo, kailangan mo pa ring i-multiply ang mga ito o itaas sa isang power. Pero kung marami ka sa kanila, kung gayon ang pagtaas ng mga ito sa isang power ay mas madali at mas kaunti rin ang mga error sa mga kalkulasyon. Para sa Unified State Exam, ito ay napakahalaga).
Kaya, tatlumpu hanggang sa ikalawang kapangyarihan ay magiging (). O maaari nating sabihin na tatlumpung squared ang magiging. Sa madaling salita, ang pangalawang kapangyarihan ng isang numero ay maaaring palaging kinakatawan bilang isang parisukat. At vice versa, kung makakita ka ng isang parisukat, ito ay palaging ang pangalawang kapangyarihan ng ilang numero. Ang parisukat ay isang imahe ng pangalawang kapangyarihan ng isang numero.
Halimbawa sa totoong buhay #2.
Narito ang isang gawain para sa iyo, bilangin kung gaano karaming mga parisukat ang nasa chessboard gamit ang parisukat ng numero. Sa isang bahagi ng mga selula at sa kabilang panig din. Upang mabilang ang kanilang bilang, kailangan mong i-multiply ang walo sa walo, o ... kung mapapansin mo na ang isang chessboard ay isang parisukat na may gilid, maaari mong kuwadrado ang walo. Makakakuha ka ng mga cell. () Kaya?
Halimbawa sa totoong buhay #3.
Ngayon ang kubo o ang ikatlong kapangyarihan ng isang numero. Ang parehong pool. Ngunit ngayon kailangan mong malaman kung gaano karaming tubig ang kailangang ibuhos sa pool na ito. Kailangan mong kalkulahin ang lakas ng tunog. (Ang mga volume at likido, sa paraan, ay sinusukat sa metro kubiko. Hindi inaasahan, tama ba?) Gumuhit ng isang pool: ang ibaba ay isang metro ang laki at isang metro ang lalim, at subukang bilangin kung gaano karaming mga cube na sumusukat ng isang metro sa isang metro ay magkasya sa iyong pool.
Ituro mo lang ang iyong daliri at magbilang! Isa, dalawa, tatlo, apat...dalawampu't dalawa, dalawampu't tatlo...Ilan ang nakuha mo? Hindi nawala? Mahirap bang magbilang gamit ang iyong daliri? Kaya yun! Kumuha ng isang halimbawa mula sa mga mathematician. Sila ay tamad, kaya napansin nila na upang makalkula ang dami ng pool, kailangan mong i-multiply ang haba, lapad at taas nito sa bawat isa. Sa aming kaso, ang dami ng pool ay magiging katumbas ng mga cube... Mas madali, di ba?
Ngayon isipin kung gaano katamad at tuso ang mga mathematician kung pinasimple rin nila ito. Binawasan namin ang lahat sa isang aksyon. Napansin nila na ang haba, lapad at taas ay pantay at ang parehong bilang ay pinarami sa sarili nito... Ano ang ibig sabihin nito? Nangangahulugan ito na maaari mong samantalahin ang degree. Kaya, ang minsan mong binilang gamit ang iyong daliri, ginagawa nila sa isang aksyon: tatlong cubed ay pantay. Ito ay nakasulat tulad nito: .
Ang natitira na lang tandaan ang talahanayan ng mga degree. Maliban kung, siyempre, ikaw ay tamad at tuso bilang mga mathematician. Kung gusto mong magtrabaho nang husto at magkamali, maaari kang magpatuloy sa pagbibilang gamit ang iyong daliri.
Buweno, upang sa wakas ay kumbinsihin ka na ang mga degree ay naimbento ng mga huminto at tusong tao upang malutas ang kanilang mga problema sa buhay, at hindi upang lumikha ng mga problema para sa iyo, narito ang ilang higit pang mga halimbawa mula sa buhay.
Halimbawa sa totoong buhay #4.
Mayroon kang isang milyong rubles. Sa simula ng bawat taon, sa bawat milyon na kinikita mo, kumikita ka ng isa pang milyon. Ibig sabihin, bawat milyon mayroon kang doble sa simula ng bawat taon. Magkano ang pera mo sa mga taon? Kung nakaupo ka ngayon at "nagbibilang gamit ang iyong daliri," kung gayon ikaw ay isang napakasipag na tao at... tanga. Ngunit malamang na magbibigay ka ng sagot sa loob ng ilang segundo, dahil matalino ka! Kaya, sa unang taon - ang dalawa ay pinarami ng dalawa ... sa ikalawang taon - ang nangyari, sa pamamagitan ng dalawa pa, sa ikatlong taon ... Stop! Napansin mo na ang bilang ay pinarami ng sarili nitong beses. Kaya ang dalawa hanggang ikalimang kapangyarihan ay isang milyon! Ngayon isipin na mayroon kang isang kumpetisyon at ang isa na pinakamabilis na bilang ay makakakuha ng mga milyon-milyong ito... Ito ay nagkakahalaga ng pag-alala sa mga kapangyarihan ng mga numero, hindi ba?
Halimbawa sa totoong buhay #5.
Mayroon kang isang milyon. Sa simula ng bawat taon, sa bawat milyong kinikita mo, kumikita ka pa ng dalawa. Ang galing di ba? Bawat milyon ay triple. Magkano ang pera mo sa isang taon? Magbilang tayo. Ang unang taon - paramihin ng, pagkatapos ay ang resulta ng isa pa... Nakakabagot na, dahil naintindihan mo na ang lahat: ang tatlo ay pinarami ng sarili nitong beses. Kaya sa pang-apat na kapangyarihan ito ay katumbas ng isang milyon. Kailangan mo lamang tandaan na ang tatlo hanggang ikaapat na kapangyarihan ay o.
Ngayon alam mo na na sa pamamagitan ng pagtaas ng isang numero sa isang kapangyarihan ay gagawin mong mas madali ang iyong buhay. Tingnan natin kung ano ang maaari mong gawin sa mga degree at kung ano ang kailangan mong malaman tungkol sa mga ito.
Mga tuntunin at konsepto.
Kaya, una, tukuyin natin ang mga konsepto. Ano sa tingin mo, ano ang exponent? Ito ay napaka-simple - ito ang numero na "nasa itaas" ng kapangyarihan ng numero. Hindi siyentipiko, ngunit malinaw at madaling tandaan...
Well, at the same time, ano tulad ng isang base ng degree? Kahit na mas simple - ito ang numero na matatagpuan sa ibaba, sa base.
Narito ang isang guhit para sa mahusay na sukat.
Well sa pangkalahatang pananaw, upang gawing pangkalahatan at mas matandaan... Ang isang degree na may base na " " at isang exponent " " ay binabasa bilang "sa antas" at isinusulat tulad ng sumusunod:
"Kapangyarihan ng isang numero na may natural na exponent"
Marahil ay nahulaan mo na: dahil ang exponent ay isang natural na numero. Oo, pero ano natural na numero? elementarya! Ang mga natural na numero ay ang mga numerong iyon na ginagamit sa pagbibilang kapag naglilista ng mga bagay: isa, dalawa, tatlo... Kapag nagbibilang tayo ng mga bagay, hindi natin sinasabing: “minus five,” “minus six,” “minus seven.” Hindi rin namin sinasabi: "one third", o "zero point five". Ang mga ito ay hindi natural na mga numero. Anong mga numero sa tingin mo ang mga ito?
Ang mga numero tulad ng "minus five", "minus six", "minus seven" ay tumutukoy sa buong numero. Sa pangkalahatan, kasama sa mga integer ang lahat ng natural na numero, mga numerong kabaligtaran ng mga natural na numero (iyon ay, kinuha gamit ang minus sign), at isang numero. Ang zero ay madaling maunawaan - ito ay kapag wala. Ano ang ibig sabihin ng mga negatibong (“minus”) na numero? Ngunit sila ay naimbento lalo na upang tukuyin ang mga utang: kung mayroon kang balanse sa iyong telepono sa rubles, nangangahulugan ito na may utang ka sa operator na rubles.
Ang lahat ng mga fraction ay mga rational na numero. Paano sila lumitaw, sa palagay mo? Napakasimple. Ilang libong taon na ang nakalilipas, natuklasan ng ating mga ninuno na wala silang sapat na natural na mga numero upang sukatin ang haba, timbang, lawak, atbp. At nakaisip sila mga rational na numero... Kawili-wili, hindi ba?
meron pa ba hindi nakapangangatwiran numero. Ano ang mga numerong ito? Sa madaling salita, ito ay isang walang katapusang decimal fraction. Halimbawa, kung hahatiin mo ang circumference ng isang bilog sa diameter nito, makakakuha ka ng hindi makatwiran na numero.
Degree na may natural na tagapagpahiwatig
Tukuyin natin ang konsepto ng isang degree, ang exponent nito ay isang natural na numero (ibig sabihin, integer at positibo).
- Anumang numero sa unang kapangyarihan ay katumbas ng sarili nito:
- Ang ibig sabihin ng pag-square ng isang numero ay i-multiply ito sa sarili nito:
- Ang ibig sabihin ng pag-cube ng isang numero ay i-multiply ito sa sarili nitong tatlong beses:
Kahulugan. Upang itaas ang isang numero sa isang natural na kapangyarihan ay nangangahulugan na i-multiply ang numero sa sarili nitong mga beses:
Isang degree na may negatibong exponent. Dibisyon ng mga kapangyarihan na may parehong base. 4. Bawasan ang mga exponent na 2a4/5a3 at 2/a4 at dalhin ang mga ito sa isang common denominator. Ang batayan at argumento ng unang logarithm ay eksaktong kapangyarihan. Ang ari-arian na ito ay umaabot sa kapangyarihan ng produkto ng tatlo at higit pa mga multiplier. Samakatuwid, ang am−an>0 at am>an, na siyang kailangang patunayan. Ito ay nananatiling patunayan ang huli sa mga nakalistang katangian ng mga kapangyarihan na may mga natural na exponent.
Pakitandaan na ang property No. 4, tulad ng iba pang property ng degrees, ay inilalapat din sa reverse order. Iyon ay, upang i-multiply ang mga kapangyarihan na may parehong mga exponent, maaari mong i-multiply ang mga base, ngunit iwanan ang exponent na hindi nagbabago. Ang pagkalkula ng halaga ng isang kapangyarihan ay tinatawag na aksyon ng exponentiation. Iyon ay, kapag kinakalkula ang halaga ng isang expression na hindi naglalaman ng mga panaklong, unang gawin ang pagkilos ng ikatlong yugto, pagkatapos ay ang pangalawa (pagpaparami at paghahati) at, sa wakas, ang una (pagdaragdag at pagbabawas).
Matapos matukoy ang antas ng isang numero, makatuwirang pag-usapan ang mga katangian ng antas. Sa artikulong ito ibibigay namin ang mga pangunahing katangian ng kapangyarihan ng isang numero, habang hinahawakan ang lahat ng posibleng exponent. Dito ay magbibigay kami ng mga patunay ng lahat ng mga katangian ng antas, at ipapakita din kung paano inilalapat ang mga katangiang ito kapag nilulutas ang mga halimbawa. Napansin namin kaagad na ang lahat ng nakasulat na pagkakapantay-pantay ay magkapareho sa ilalim ng tinukoy na mga kondisyon, at ang kanilang kanan at kaliwang bahagi ay maaaring palitan.
Magbigay tayo ng isang halimbawa na nagpapatunay sa pangunahing pag-aari ng degree. Bago ibigay ang patunay ng ari-arian na ito, talakayin natin ang kahulugan ng mga karagdagang kondisyon sa pagbabalangkas. Ang kundisyon m>n ay ipinakilala upang hindi tayo lumampas sa natural exponents. Ang pangunahing katangian ng isang fraction ay nagbibigay-daan sa atin na isulat ang pagkakapantay-pantay na am−n·an=a(m−n)+n=am.
Paglipat sa isang bagong pundasyon
Ibig sabihin, ang natural na degree property n ng produkto ng k factor ay isinusulat bilang (a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn. Para sa kalinawan, ipapakita namin ang property na ito na may isang halimbawa. Ang patunay ay maaaring isagawa gamit ang dating ari-arian. Halimbawa, para sa anumang natural na mga numerong p, q, r at s ang pagkakapantay-pantay ay totoo. Para sa higit na kalinawan, magbigay tayo ng isang halimbawa na may mga tiyak na numero: (((5,2)3)2)5=(5,2)3+2+5=(5,2)10.
Ang katotohanang ito at ang mga katangian ng pagpaparami ay nagpapahintulot sa amin na igiit na ang resulta ng pagpaparami ng anumang bilang ng mga positibong numero ay magiging positibong numero. Malinaw na para sa anumang positibong integer n na may a=0 ang antas ng an ay zero. Sa katunayan, 0n=0·0·…·0=0. Halimbawa, 03=0 at 0762=0. Lumipat tayo sa mga negatibong dahilan degrees. Magsimula tayo sa kaso kapag ang exponent ay isang even na numero, ipahiwatig ito bilang 2·m, kung saan ang m ay isang natural na numero.
Magpatuloy tayo sa patunay ng ari-arian na ito. Patunayan natin na para sa m>n at 0 Sa pamamagitan ng parehong prinsipyo posible na patunayan ang lahat ng iba pang mga katangian ng degree na may isang integer exponent, na nakasulat bilang mga pagkakapantay-pantay. Ang mga kondisyon p 0 sa kasong ito ay magiging katumbas ng mga kondisyon m 0, ayon sa pagkakabanggit. Sa kasong ito, ang kundisyon p>q ay tumutugma sa kundisyong m1>m2, na sumusunod mula sa panuntunan sa paghahambing ordinaryong fraction na may parehong denominador.
Mga operasyon na may mga ugat. Pagpapalawak ng konsepto ng degree. Sa ngayon, isinasaalang-alang lamang namin ang mga degree na may natural na exponent; ngunit ang mga pagkilos na may mga degree at ugat ay maaari ding humantong sa negatibo, zero, at mga praksyonal na tagapagpahiwatig. Ang lahat ng mga exponent na ito ay nangangailangan ng karagdagang kahulugan. Kung gusto nating maging wasto ang formula a m: a n=a m - n para sa m = n, kailangan natin ng depinisyon ng degree zero. Ang mga logarithm, tulad ng anumang mga numero, ay maaaring idagdag, ibawas at baguhin sa lahat ng paraan.
Pag-extract ng exponent mula sa logarithm
Kung magkaiba ang mga dahilan, hindi gagana ang mga patakarang ito! Sa pagsasalita tungkol sa mga patakaran para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms, partikular kong binigyang-diin na gumagana lamang ang mga ito sa parehong mga base. Mula sa pangalawang pormula ay sumusunod na ang base at argumento ng logarithm ay maaaring palitan, ngunit sa kasong ito ang buong expression ay "ibinalik", i.e. lumalabas ang logarithm sa denominator.
Posibleng suriin kung gaano kaginhawa ang mga ito sa pamamagitan lamang ng pagpapasya logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay. Dahil ang produkto ay hindi nagbabago kapag muling inaayos ang mga kadahilanan, mahinahon naming pinarami ang apat at dalawa, at pagkatapos ay hinarap ang mga logarithms. Kadalasan sa proseso ng solusyon ay kinakailangan upang kumatawan sa isang numero bilang isang logarithm sa isang naibigay na base.
Mga katangian ng degree, formulations, proofs, halimbawa.
Ang numero n ay maaaring maging ganap na anuman, dahil ito ay isang logarithm value lamang. Iyon ang tawag dito: basic pagkakakilanlan ng logarithmic. Tulad ng mga formula para sa paglipat sa isang bagong base, ang pangunahing logarithmic identity ay minsan natatangi posibleng solusyon. Sa konklusyon, magbibigay ako ng dalawang pagkakakilanlan na halos hindi matatawag na mga katangian - sa halip, ang mga ito ay mga kahihinatnan ng kahulugan ng logarithm.
Mga halimbawa ng paglutas ng mga halimbawa na may mga fraction na naglalaman ng mga numerong may kapangyarihan
Tandaan minsan at para sa lahat: ang logarithm sa anumang base a ng base na iyon mismo ay katumbas ng isa. 1 = 0 ay logarithmic zero. Ang base a ay maaaring anuman, ngunit kung ang argumento ay naglalaman ng isa, ang logarithm ay katumbas ng zero! Dahil ang a0 = 1 ay direktang bunga ng kahulugan. Iyon ang lahat ng mga pag-aari. I-download ang cheat sheet sa simula ng aralin, i-print ito - at lutasin ang mga problema.
Logarithmic unit at logarithmic zero
Ang 2.a-4 ay a-2 ang unang numerator. Sa kasong ito, ipinapayo namin sa iyo na gawin ang sumusunod. Ito ang ikatlong yugto ng pagkilos. Halimbawa, ang pangunahing katangian ng fraction na am·an=am+n ay kadalasang ginagamit sa anyong am+n=am·an kapag pinasimple ang mga expression. Ang kundisyong a≠0 ay kinakailangan upang maiwasan ang paghahati ng zero, dahil 0n=0, at nang tayo ay ipinakilala sa dibisyon, napagkasunduan natin na hindi natin mahahati sa zero. Mula sa nagresultang pagkakapantay-pantay na am−n·an=am at mula sa koneksyon sa pagitan ng multiplikasyon at paghahati ay sumusunod na ang am−n ay ang quotient ng powers am at an. Pinatutunayan nito ang pag-aari ng mga bahagyang kapangyarihan na may parehong mga base.
Katulad nito, kung q=0, kung gayon (ap)0=1 at ap·0=a0=1, kung saan (ap)0=ap·0. Sa mas kumplikadong mga halimbawa, maaaring may mga kaso kung saan dapat gawin ang multiplikasyon at paghahati sa mga kapangyarihan na may iba't ibang base at iba't ibang exponent. Ang mga hindi pagkakapantay-pantay sa mga katangian ng mga ugat ay maaaring muling isulat nang naaayon bilang at. At ang kahulugan ng isang degree na may rational exponent ay nagpapahintulot sa amin na lumipat sa hindi pagkakapantay-pantay at, nang naaayon.
Unang antas
Degree at mga katangian nito. Komprehensibong gabay (2019)
Bakit kailangan ang mga degree? Saan mo sila kakailanganin? Bakit kailangan mong maglaan ng oras upang pag-aralan ang mga ito?
Upang matutunan ang lahat tungkol sa mga degree, para saan ang mga ito, kung paano gamitin ang iyong kaalaman Araw-araw na buhay basahin ang artikulong ito.
At, siyempre, ang kaalaman sa mga degree ay magdadala sa iyo na mas malapit sa tagumpay pagpasa sa OGE o ang Unified State Exam at pagpasok sa unibersidad na iyong pinapangarap.
Tara na... (Let's go!)
Mahalagang paalaala! Kung nakikita mo ang gobbledygook sa halip na mga formula, i-clear ang iyong cache. Upang gawin ito, pindutin ang CTRL+F5 (sa Windows) o Cmd+R (sa Mac).
UNANG ANTAS
Ang exponentiation ay ang parehong mathematical operation bilang karagdagan, pagbabawas, multiplikasyon o paghahati.
Ngayon ay ipapaliwanag ko ang lahat sa wika ng tao gamit ang napakasimpleng mga halimbawa. Mag-ingat ka. Ang mga halimbawa ay elementarya, ngunit ipaliwanag ang mahahalagang bagay.
Magsimula tayo sa karagdagan.
Walang maipaliwanag dito. Alam mo na ang lahat: walo kami. Bawat isa ay may dalawang bote ng cola. Magkano ang cola? Tama iyon - 16 na bote.
Ngayon multiplication.
Ang parehong halimbawa sa cola ay maaaring isulat sa ibang paraan: . Ang mga mathematician ay tuso at tamad na tao. Una nilang napansin ang ilang mga pattern, at pagkatapos ay gumawa ng paraan upang "mabilang" ang mga ito nang mas mabilis. Sa aming kaso, napansin nila na ang bawat isa sa walong tao ay may parehong bilang ng mga bote ng cola at nakabuo sila ng isang pamamaraan na tinatawag na multiplication. Sumang-ayon, ito ay itinuturing na mas madali at mas mabilis kaysa sa.
Kaya, upang mabilang nang mas mabilis, mas madali at walang mga error, kailangan mo lang tandaan talaan ng multiplikasyon. Siyempre, magagawa mo ang lahat nang mas mabagal, mas mahirap at may mga pagkakamali! Pero…
Narito ang talahanayan ng pagpaparami. Ulitin.
At isa pa, mas maganda:
Anong iba pang matalinong trick sa pagbibilang ang naisip ng mga tamad na mathematician? tama - pagtataas ng isang numero sa isang kapangyarihan.
Pagtaas ng isang numero sa isang kapangyarihan
Kung kailangan mong i-multiply ang isang numero sa sarili nitong limang beses, pagkatapos ay sinabi ng mga mathematician na kailangan mong itaas ang numerong ito sa ikalimang kapangyarihan. Halimbawa, . Natatandaan ng mga mathematician na ang dalawa hanggang ikalimang kapangyarihan ay... At nalulutas nila ang mga naturang problema sa kanilang mga ulo - mas mabilis, mas madali at walang mga pagkakamali.
Ang kailangan mo lang gawin ay tandaan kung ano ang naka-highlight sa kulay sa talahanayan ng mga kapangyarihan ng mga numero. Maniwala ka sa akin, gagawin nitong mas madali ang iyong buhay.
Nga pala, bakit second degree ang tawag dito? parisukat mga numero, at ang pangatlo - kubo? Ano ang ibig sabihin nito? Napakagandang tanong. Ngayon ay magkakaroon ka ng parehong mga parisukat at mga cube.
Halimbawa sa totoong buhay #1
Magsimula tayo sa parisukat o sa pangalawang kapangyarihan ng numero.
Isipin ang isang parisukat na pool na may sukat na isang metro sa isang metro. Ang pool ay nasa iyong dacha. Ang init at gusto ko talagang lumangoy. Pero... walang ilalim ang pool! Kailangan mong takpan ang ilalim ng pool na may mga tile. Ilang tile ang kailangan mo? Upang matukoy ito, kailangan mong malaman ang ilalim na lugar ng pool.
Maaari mo lamang bilangin sa pamamagitan ng pagsundot ng iyong daliri na ang ilalim ng pool ay binubuo ng mga cube metro bawat metro. Kung mayroon kang mga tile na isang metro sa isang metro, kakailanganin mo ng mga piraso. Madali lang... Pero saan ka nakakita ng ganyang tiles? Ang tile ay malamang na magiging cm por cm. At pagkatapos ay pahihirapan ka sa pamamagitan ng "pagbibilang gamit ang iyong daliri." Pagkatapos ay kailangan mong magparami. Kaya, sa isang gilid ng ilalim ng pool, magkakasya kami ng mga tile (piraso) at sa kabilang banda, din, mga tile. I-multiply at makakakuha ka ng mga tile ().
Napansin mo ba na upang matukoy ang lugar ng ilalim ng pool, pinarami namin ang parehong numero sa pamamagitan ng kanyang sarili? Ano ang ibig sabihin nito? Dahil ang parehong numero ay pinarami, maaari naming gamitin ang exponentiation technique. (Siyempre, kapag dalawa lang ang numero mo, kailangan mo pa ring i-multiply ang mga ito o itaas sa isang power. Pero kung marami ka sa kanila, kung gayon ang pagtaas ng mga ito sa isang power ay mas madali at mas kaunti rin ang mga error sa mga kalkulasyon. Para sa Unified State Exam, ito ay napakahalaga).
Kaya, tatlumpu hanggang sa ikalawang kapangyarihan ay magiging (). O maaari nating sabihin na tatlumpung squared ang magiging. Sa madaling salita, ang pangalawang kapangyarihan ng isang numero ay maaaring palaging kinakatawan bilang isang parisukat. At vice versa, kung makakita ka ng isang parisukat, ito ay palaging ang pangalawang kapangyarihan ng ilang numero. Ang parisukat ay isang imahe ng pangalawang kapangyarihan ng isang numero.
Halimbawa sa totoong buhay #2
Narito ang isang gawain para sa iyo: bilangin kung gaano karaming mga parisukat ang mayroon sa chessboard gamit ang parisukat ng numero... Sa isang gilid ng mga cell at sa kabilang panig din. Upang kalkulahin ang kanilang numero, kailangan mong i-multiply ang walo sa walo o... kung napansin mo na ang isang chessboard ay isang parisukat na may isang gilid, pagkatapos ay maaari mong kuwadrado ang walo. Makakakuha ka ng mga cell. () Kaya?
Halimbawa sa totoong buhay #3
Ngayon ang kubo o ang ikatlong kapangyarihan ng isang numero. Ang parehong pool. Ngunit ngayon kailangan mong malaman kung gaano karaming tubig ang kailangang ibuhos sa pool na ito. Kailangan mong kalkulahin ang lakas ng tunog. (Ang mga volume at likido, sa paraan, ay sinusukat sa metro kubiko. Hindi inaasahan, tama ba?) Gumuhit ng isang pool: ang ibaba ay isang metro ang laki at isang metro ang lalim, at subukang bilangin kung gaano karaming mga cube na sumusukat ng isang metro sa isang metro ay magkasya sa iyong pool.
Ituro mo lang ang iyong daliri at magbilang! Isa, dalawa, tatlo, apat...dalawampu't dalawa, dalawampu't tatlo...Ilan ang nakuha mo? Hindi nawala? Mahirap bang magbilang gamit ang iyong daliri? Kaya yun! Kumuha ng isang halimbawa mula sa mga mathematician. Sila ay tamad, kaya napansin nila na upang makalkula ang dami ng pool, kailangan mong i-multiply ang haba, lapad at taas nito sa bawat isa. Sa aming kaso, ang dami ng pool ay magiging katumbas ng mga cube... Mas madali, di ba?
Ngayon isipin kung gaano katamad at tuso ang mga mathematician kung pinasimple rin nila ito. Binawasan namin ang lahat sa isang aksyon. Napansin nila na ang haba, lapad at taas ay pantay at ang parehong bilang ay pinarami sa sarili nito... Ano ang ibig sabihin nito? Nangangahulugan ito na maaari mong samantalahin ang degree. Kaya, ang minsan mong binilang gamit ang iyong daliri, ginagawa nila sa isang aksyon: tatlong cubed ay pantay. Ito ay nakasulat tulad nito: .
Ang natitira na lang tandaan ang talahanayan ng mga degree. Maliban kung, siyempre, ikaw ay tamad at tuso bilang mga mathematician. Kung gusto mong magtrabaho nang husto at magkamali, maaari kang magpatuloy sa pagbibilang gamit ang iyong daliri.
Buweno, upang sa wakas ay kumbinsihin ka na ang mga degree ay naimbento ng mga huminto at tusong tao upang malutas ang kanilang mga problema sa buhay, at hindi upang lumikha ng mga problema para sa iyo, narito ang ilang higit pang mga halimbawa mula sa buhay.
Halimbawa sa totoong buhay #4
Mayroon kang isang milyong rubles. Sa simula ng bawat taon, sa bawat milyon na kinikita mo, kumikita ka ng isa pang milyon. Ibig sabihin, bawat milyon mayroon kang doble sa simula ng bawat taon. Magkano ang pera mo sa mga taon? Kung nakaupo ka ngayon at "nagbibilang gamit ang iyong daliri," kung gayon ikaw ay isang napakasipag na tao at... tanga. Ngunit malamang na magbibigay ka ng sagot sa loob ng ilang segundo, dahil matalino ka! Kaya, sa unang taon - ang dalawa ay pinarami ng dalawa ... sa ikalawang taon - ang nangyari, sa pamamagitan ng dalawa pa, sa ikatlong taon ... Stop! Napansin mo na ang bilang ay pinarami ng sarili nitong beses. Kaya ang dalawa hanggang ikalimang kapangyarihan ay isang milyon! Ngayon isipin na mayroon kang isang kumpetisyon at ang isa na pinakamabilis na bilang ay makakakuha ng mga milyon-milyong ito... Ito ay nagkakahalaga ng pag-alala sa mga kapangyarihan ng mga numero, hindi ba?
Halimbawa sa totoong buhay #5
Mayroon kang isang milyon. Sa simula ng bawat taon, sa bawat milyong kinikita mo, kumikita ka pa ng dalawa. Ang galing di ba? Bawat milyon ay triple. Magkano ang pera mo sa isang taon? Magbilang tayo. Ang unang taon - paramihin ng, pagkatapos ay ang resulta ng isa pa... Nakakabagot na, dahil naintindihan mo na ang lahat: ang tatlo ay pinarami ng sarili nitong beses. Kaya sa pang-apat na kapangyarihan ito ay katumbas ng isang milyon. Kailangan mo lamang tandaan na ang tatlo hanggang ikaapat na kapangyarihan ay o.
Ngayon alam mo na na sa pamamagitan ng pagtaas ng isang numero sa isang kapangyarihan ay gagawin mong mas madali ang iyong buhay. Tingnan natin kung ano ang maaari mong gawin sa mga degree at kung ano ang kailangan mong malaman tungkol sa mga ito.
Terms and concepts... para hindi malito
Kaya, una, tukuyin natin ang mga konsepto. Ano sa tingin mo, ano ang exponent? Ito ay napaka-simple - ito ang numero na "nasa itaas" ng kapangyarihan ng numero. Hindi siyentipiko, ngunit malinaw at madaling tandaan...
Well, at the same time, ano tulad ng isang base ng degree? Kahit na mas simple ay ang numero na nasa ibaba, sa base.
Narito ang isang guhit para sa mahusay na sukat.
Buweno, sa mga pangkalahatang tuntunin, upang mas maging pangkalahatan at matandaan... Ang isang degree na may base na " " at isang exponent " " ay binabasa bilang "sa antas" at isinusulat tulad ng sumusunod:
Kapangyarihan ng isang numero na may natural na exponent
Marahil ay nahulaan mo na: dahil ang exponent ay isang natural na numero. Oo, pero ano natural na numero? elementarya! Ang mga natural na numero ay ang mga numerong iyon na ginagamit sa pagbibilang kapag naglilista ng mga bagay: isa, dalawa, tatlo... Kapag nagbibilang tayo ng mga bagay, hindi natin sinasabing: “minus five,” “minus six,” “minus seven.” Hindi rin namin sinasabi: "one third", o "zero point five". Ang mga ito ay hindi natural na mga numero. Anong mga numero sa tingin mo ang mga ito?
Ang mga numero tulad ng "minus five", "minus six", "minus seven" ay tumutukoy sa buong numero. Sa pangkalahatan, kasama sa mga integer ang lahat ng natural na numero, mga numerong kabaligtaran ng mga natural na numero (iyon ay, kinuha gamit ang minus sign), at isang numero. Madaling maunawaan ang Zero - ito ay kapag wala. Ano ang ibig sabihin ng mga negatibong (“minus”) na numero? Ngunit sila ay naimbento lalo na upang tukuyin ang mga utang: kung mayroon kang balanse sa iyong telepono sa rubles, nangangahulugan ito na may utang ka sa operator na rubles.
Ang lahat ng mga fraction ay mga rational na numero. Paano sila lumitaw, sa palagay mo? Napakasimple. Ilang libong taon na ang nakalilipas, natuklasan ng ating mga ninuno na wala silang sapat na natural na mga numero upang sukatin ang haba, timbang, lawak, atbp. At nakaisip sila mga rational na numero... Kawili-wili, hindi ba?
Mayroon ding mga hindi makatwirang numero. Ano ang mga numerong ito? Sa madaling salita, ito ay isang walang katapusang decimal fraction. Halimbawa, kung hahatiin mo ang circumference ng isang bilog sa diameter nito, makakakuha ka ng hindi makatwiran na numero.
Buod:
Tukuyin natin ang konsepto ng isang degree na ang exponent ay isang natural na numero (ibig sabihin, integer at positibo).
- Anumang numero sa unang kapangyarihan ay katumbas ng sarili nito:
- Ang ibig sabihin ng pag-square ng isang numero ay i-multiply ito sa sarili nito:
- Ang ibig sabihin ng pag-cube ng isang numero ay i-multiply ito sa sarili nitong tatlong beses:
Kahulugan. Ang pagpapataas ng isang numero sa isang natural na kapangyarihan ay nangangahulugan ng pagpaparami ng numero sa sarili nitong mga beses:
.
Mga katangian ng mga degree
Saan nagmula ang mga ari-arian na ito? Ipapakita ko sa iyo ngayon.
Tingnan natin: ano ito At ?
A-priory:
Ilang multiplier ang kabuuan?
Napakasimple nito: nagdagdag kami ng mga multiplier sa mga salik, at ang resulta ay mga multiplier.
Ngunit sa pamamagitan ng kahulugan, ito ay isang kapangyarihan ng isang numero na may isang exponent, iyon ay: , na kung saan ay kung ano ang kailangan upang mapatunayan.
Halimbawa: Pasimplehin ang expression.
Solusyon:
Halimbawa: Pasimplehin ang expression.
Solusyon: Mahalagang tandaan na sa ating panuntunan Kailangan dapat may parehong dahilan!
Samakatuwid, pinagsama namin ang mga kapangyarihan sa base, ngunit nananatili itong isang hiwalay na kadahilanan:
para lamang sa produkto ng mga kapangyarihan!
Sa anumang pagkakataon ay hindi mo maisusulat iyon.
2. yun lang ika kapangyarihan ng isang numero
Tulad ng sa nakaraang pag-aari, buksan natin ang kahulugan ng degree:
Ito ay lumalabas na ang expression ay pinarami ng sarili nitong beses, iyon ay, ayon sa kahulugan, ito ang ika-kapangyarihan ng numero:
Sa esensya, ito ay matatawag na "pag-alis ng indicator sa mga bracket." Ngunit hindi mo ito magagawa sa kabuuan:
Alalahanin natin ang mga pinaikling pormula ng pagpaparami: ilang beses natin gustong sumulat?
Ngunit ito ay hindi totoo, pagkatapos ng lahat.
Power na may negatibong base
Hanggang sa puntong ito, tinalakay lang namin kung ano ang dapat na exponent.
Ngunit ano ang dapat na maging batayan?
Sa mga degree mula sa natural na tagapagpahiwatig maaaring maging batayan kahit anong numero. Sa katunayan, maaari nating i-multiply ang anumang mga numero sa bawat isa, maging sila ay positibo, negatibo, o kahit na.
Isipin natin kung aling mga palatandaan ("" o "") ang magkakaroon ng mga antas ng positibo at negatibong mga numero?
Halimbawa, ang bilang ba ay positibo o negatibo? A? ? Sa una, malinaw ang lahat: gaano man karaming positibong numero ang i-multiply natin sa isa't isa, magiging positibo ang resulta.
Ngunit ang mga negatibo ay medyo mas kawili-wili. Naaalala namin ang simpleng panuntunan mula sa ika-6 na baitang: "ang minus para sa minus ay nagbibigay ng plus." Iyon ay, o. Ngunit kung tayo ay dumami, ito ay gumagana.
Tukuyin para sa iyong sarili kung anong senyales ang magkakaroon ng mga sumusunod na expression:
| 1) | 2) | 3) |
| 4) | 5) | 6) |
Inayos mo ba?
Narito ang mga sagot: Sa unang apat na halimbawa, sana ay malinaw ang lahat? Tinitingnan lang namin ang base at exponent at inilalapat ang naaangkop na panuntunan.
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
Sa halimbawa 5) ang lahat ay hindi rin nakakatakot gaya ng tila: pagkatapos ng lahat, hindi mahalaga kung ano ang katumbas ng base - ang antas ay pantay, na nangangahulugang ang resulta ay palaging magiging positibo.
Well, maliban kung ang base ay zero. Hindi pantay ang base, di ba? Malinaw na hindi, dahil (dahil).
Halimbawa 6) ay hindi na napakasimple!
6 na mga halimbawa sa pagsasanay
Pagsusuri ng solusyon 6 na halimbawa
Kung hindi natin papansinin ang ikawalong antas, ano ang makikita natin dito? Tingnan natin ang programa sa ika-7 baitang. So, naalala mo ba? Ito ang pinaikling formula ng multiplikasyon, lalo na ang pagkakaiba ng mga parisukat! Nakukuha namin:
Maingat naming tinitingnan ang denominator. Mukha itong isa sa mga kadahilanan ng numerator, ngunit ano ang mali? Mali ang pagkakasunud-sunod ng mga tuntunin. Kung sila ay pinagpalit, maaaring ilapat ang panuntunan.
Ngunit paano gawin iyon? Ito ay lumiliko na ito ay napakadali: ang pantay na antas ng denominator ay tumutulong sa amin dito.
Magically nagbago ang mga termino. Ang "phenomenon" na ito ay nalalapat sa anumang ekspresyon sa isang pantay na antas: madali nating mababago ang mga palatandaan sa panaklong.
Ngunit mahalagang tandaan: lahat ng mga palatandaan ay nagbabago sa parehong oras!
Bumalik tayo sa halimbawa:
At muli ang formula:
buo tinatawag namin ang mga natural na numero, ang kanilang mga kabaligtaran (iyon ay, kinuha gamit ang " " sign) at ang numero.
positibong integer, at ito ay hindi naiiba mula sa natural, kung gayon ang lahat ay mukhang eksaktong katulad sa nakaraang seksyon.
Ngayon tingnan natin ang mga bagong kaso. Magsimula tayo sa isang tagapagpahiwatig na katumbas ng.
Ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa:
Gaya ng dati, tanungin natin ang ating sarili: bakit ganito?
Isaalang-alang natin ang ilang antas na may batayan. Kunin, halimbawa, at i-multiply sa:
Kaya, pinarami namin ang numero sa, at nakuha namin ang parehong bagay tulad ng dati - . Anong numero ang dapat mong i-multiply para walang magbago? Tama iyon, sa. ibig sabihin.
Magagawa natin ang parehong sa isang arbitrary na numero:
Ulitin natin ang panuntunan:
Ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa.
Ngunit may mga pagbubukod sa maraming mga patakaran. At narito din doon - ito ay isang numero (bilang base).
Sa isang banda, ito ay dapat na katumbas ng anumang antas - gaano man karami mong i-multiply ang zero sa sarili mo, makakakuha ka pa rin ng zero, ito ay malinaw. Ngunit sa kabilang banda, tulad ng anumang numero sa zero na kapangyarihan, dapat itong pantay. Kaya gaano ito katotoo? Nagpasya ang mga mathematician na huwag makisali at tumanggi na itaas ang zero sa zero na kapangyarihan. Iyon ay, ngayon ay hindi lamang natin mahahati sa zero, ngunit itaas din ito sa zero na kapangyarihan.
Mag-move on na tayo. Bilang karagdagan sa mga natural na numero at numero, kasama rin sa mga integer ang mga negatibong numero. Upang maunawaan kung ano ang isang negatibong antas, gawin natin ang katulad ng huling pagkakataon: minu-multiply natin ang ilang normal na numero sa pareho sa isang negatibong antas:
Mula rito, madaling ipahayag ang iyong hinahanap:
Ngayon palawakin natin ang nagresultang panuntunan sa isang di-makatwirang antas:
Kaya, gumawa tayo ng isang panuntunan:
Ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan ay ang kabaligtaran ng parehong numero sa isang positibong kapangyarihan. Ngunit sa parehong oras Ang base ay hindi maaaring null:(dahil hindi mo mahahati sa).
Ibuod natin:
I. Ang expression ay hindi tinukoy sa kaso. Kung, kung gayon.
II. Ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa: .
III. Ang isang numero na hindi katumbas ng zero sa isang negatibong kapangyarihan ay ang kabaligtaran ng parehong numero sa isang positibong kapangyarihan: .
Mga gawain para sa independiyenteng solusyon:
Well, gaya ng dati, mga halimbawa para sa mga independiyenteng solusyon:
Pagsusuri ng mga problema para sa independiyenteng solusyon:
Alam ko, alam ko, nakakatakot ang mga numero, ngunit sa Unified State Exam kailangan mong maging handa sa anumang bagay! Lutasin ang mga halimbawang ito o suriin ang kanilang solusyon kung hindi mo ito malutas at matututunan mo kung paano madaling harapin ang mga ito sa pagsusulit!
Patuloy nating palawakin ang hanay ng mga numerong “angkop” bilang isang exponent.
Ngayon isaalang-alang natin mga rational na numero. Anong mga numero ang tinatawag na rational?
Sagot: lahat ng bagay na maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan at mga integer, at.
Upang maunawaan kung ano ito "fractional degree", isaalang-alang ang fraction:
Itaas natin ang magkabilang panig ng equation sa isang kapangyarihan:
Ngayon tandaan natin ang tuntunin tungkol sa "degree to degree":
Anong numero ang dapat itaas sa isang kapangyarihan para makuha?
Ang pagbabalangkas na ito ay ang kahulugan ng ugat ng ika-degree.
Paalalahanan ko kayo: ang ugat ng ika-kapangyarihan ng isang numero () ay isang numero na, kapag itinaas sa isang kapangyarihan, ay katumbas ng.
Iyon ay, ang ugat ng ika kapangyarihan ay ang kabaligtaran na operasyon ng pagtaas sa isang kapangyarihan: .
Lumalabas na. Malinaw, ang espesyal na kaso na ito ay maaaring palawakin: .
Ngayon idagdag namin ang numerator: ano ito? Ang sagot ay madaling makuha gamit ang power-to-power rule:
Ngunit maaari bang maging anumang numero ang base? Pagkatapos ng lahat, ang ugat ay hindi maaaring makuha mula sa lahat ng mga numero.
wala!
Tandaan natin ang panuntunan: anumang numerong itinaas sa pantay na kapangyarihan ay isang positibong numero. Iyon ay, imposibleng kunin ang kahit na mga ugat mula sa mga negatibong numero!
Nangangahulugan ito na ang mga naturang numero ay hindi maaaring itaas sa isang fractional na kapangyarihan na may pantay na denominator, iyon ay, ang expression ay walang kahulugan.
Paano ang expression?
Ngunit narito ang isang problema ay lumitaw.
Ang numero ay maaaring katawanin sa anyo ng iba, mababawasan na mga fraction, halimbawa, o.
At ito ay lumalabas na ito ay umiiral, ngunit hindi umiiral, ngunit ang mga ito ay dalawang magkaibang mga talaan ng parehong numero.
O isa pang halimbawa: isang beses, pagkatapos ay maaari mo itong isulat. Ngunit kung iba ang isusulat natin sa indicator, muli tayong magkakaproblema: (iyon ay, nakakuha tayo ng ganap na kakaibang resulta!).
Upang maiwasan ang gayong mga kabalintunaan, isaalang-alang namin tanging positibong base exponent na may fractional exponent.
Kaya kung:
- - natural na numero;
- - integer;
Mga halimbawa:
Ang mga kapangyarihan na may rational exponent ay lubhang kapaki-pakinabang para sa pagbabago ng mga expression na may mga ugat, halimbawa:
5 mga halimbawa sa pagsasanay
Pagsusuri ng 5 halimbawa para sa pagsasanay
Well, ngayon ay dumating ang pinakamahirap na bahagi. Ngayon ay aalamin natin ito degree na may hindi makatwirang exponent.
Ang lahat ng mga patakaran at katangian ng mga degree dito ay eksaktong kapareho ng para sa mga degree na may isang rational exponent, maliban sa
Sa katunayan, ayon sa kahulugan, ang mga hindi makatwirang numero ay mga numero na hindi maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan at mga integer (iyon ay, ang mga hindi makatwiran na numero ay lahat ng tunay na numero maliban sa mga makatwiran).
Kapag nag-aaral ng mga degree na may natural, integer at rational na indicator, sa bawat oras na bumubuo kami ng isang partikular na "imahe", "analogy", o paglalarawan sa mas pamilyar na mga termino.
Halimbawa, ang natural na exponent ay isang numero na pinarami ng sarili nitong ilang beses;
...numero sa zeroth power- ito ay, parang, isang numero na pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, hindi pa ito nagsimulang dumami, na nangangahulugang ang numero mismo ay hindi pa lumitaw - samakatuwid ang resulta ay isang tiyak na "blangko ng numero" , ibig sabihin ang numero;
...negatibong integer degree- para bang isang tiyak na "reverse process" ang naganap, iyon ay, ang bilang ay hindi pinarami ng sarili nito, ngunit hinati.
Nagkataon, sa agham, isang degree na may kumplikadong tagapagpahiwatig, ibig sabihin, ang indicator ay hindi kahit isang tunay na numero.
Ngunit sa paaralan hindi namin iniisip ang tungkol sa mga paghihirap; magkakaroon ka ng pagkakataong maunawaan ang mga bagong konseptong ito sa institute.
KUNG SAAN KAMI SIGURO PUPUNTA KA! (kung matututo kang lutasin ang mga ganitong halimbawa :))
Halimbawa:
Magpasya para sa iyong sarili:
Pagsusuri ng mga solusyon:
1. Magsimula tayo sa karaniwang tuntunin para sa pagtataas ng kapangyarihan sa isang kapangyarihan:
Ngayon tingnan ang tagapagpahiwatig. Wala ba siyang naaalala sayo? Alalahanin natin ang formula para sa pinaikling multiplikasyon ng pagkakaiba ng mga parisukat:
Sa kasong ito,
Lumalabas na:
Sagot: .
2. Binabawasan namin ang mga fraction sa exponents sa parehong anyo: alinman sa parehong mga decimal o parehong mga ordinaryong. Nakukuha namin, halimbawa:
Sagot: 16
3. Walang espesyal, ginagamit namin ang karaniwang katangian ng mga degree:
ADVANCED LEVEL
Pagpapasiya ng degree
Ang degree ay isang pagpapahayag ng anyo: , kung saan:
- — base ng degree;
- - exponent.
Degree na may natural na indicator (n = 1, 2, 3,...)
Ang pagtaas ng isang numero sa natural na kapangyarihan n ay nangangahulugan ng pagpaparami ng numero sa sarili nitong mga beses:
Degree na may integer exponent (0, ±1, ±2,...)
Kung ang exponent ay positibong integer numero:
Konstruksyon sa zero degree:
Ang expression ay hindi tiyak, dahil, sa isang banda, sa anumang antas ay ito, at sa kabilang banda, anumang numero sa ika-degree ay ito.
Kung ang exponent ay negatibong integer numero:
(dahil hindi mo mahahati sa).
Muli tungkol sa mga zero: ang expression ay hindi tinukoy sa kaso. Kung, kung gayon.
Mga halimbawa:
Kapangyarihan na may makatwirang exponent
- - natural na numero;
- - integer;
Mga halimbawa:
Mga katangian ng mga degree
Upang gawing mas madali ang paglutas ng mga problema, subukan nating maunawaan: saan nagmula ang mga katangiang ito? Patunayan natin sila.
Tingnan natin: ano ang at?
A-priory:
Kaya, sa kanang bahagi ng expression na ito nakukuha namin ang sumusunod na produkto:
Ngunit sa pamamagitan ng kahulugan ito ay isang kapangyarihan ng isang numero na may isang exponent, iyon ay:
Q.E.D.
Halimbawa : Pasimplehin ang expression.
Solusyon : .
Halimbawa : Pasimplehin ang expression.
Solusyon : Mahalagang tandaan na sa ating panuntunan Kailangan dapat may parehong dahilan. Samakatuwid, pinagsama namin ang mga kapangyarihan sa base, ngunit nananatili itong isang hiwalay na kadahilanan:
Isa pang mahalagang tala: ang panuntunang ito - para lamang sa produkto ng mga kapangyarihan!
Sa anumang pagkakataon ay hindi mo maisusulat iyon.
Tulad ng sa nakaraang pag-aari, buksan natin ang kahulugan ng degree:
Ipangkat muli natin ang gawaing ito tulad nito:
Ito ay lumalabas na ang expression ay pinarami ng sarili nitong beses, iyon ay, ayon sa kahulugan, ito ang ika-kapangyarihan ng numero:
Sa esensya, ito ay matatawag na "pag-alis ng indicator sa mga bracket." Ngunit hindi mo ito magagawa sa kabuuan: !
Alalahanin natin ang mga pormula para sa pinaikling multiplikasyon: ilang beses natin gustong sumulat? Ngunit ito ay hindi totoo, pagkatapos ng lahat.
Power na may negatibong base.
Hanggang sa puntong ito, napag-usapan lang natin kung ano ang dapat index degrees. Ngunit ano ang dapat na maging batayan? Sa kapangyarihan ng natural tagapagpahiwatig maaaring maging batayan kahit anong numero .
Sa katunayan, maaari nating i-multiply ang anumang mga numero sa bawat isa, maging sila ay positibo, negatibo, o kahit na. Isipin natin kung aling mga palatandaan ("" o "") ang magkakaroon ng mga antas ng positibo at negatibong mga numero?
Halimbawa, ang bilang ba ay positibo o negatibo? A? ?
Sa una, malinaw ang lahat: gaano man karaming positibong numero ang i-multiply natin sa isa't isa, magiging positibo ang resulta.
Ngunit ang mga negatibo ay medyo mas kawili-wili. Naaalala namin ang simpleng panuntunan mula sa ika-6 na baitang: "ang minus para sa minus ay nagbibigay ng plus." Iyon ay, o. Ngunit kung i-multiply natin sa (), makakakuha tayo ng - .
At iba pa ang ad infinitum: sa bawat kasunod na pagpaparami ay magbabago ang tanda. Maaari nating bumalangkas ang mga sumusunod simpleng tuntunin:
- kahit degree, - numero positibo.
- Negatibong numero itinaas sa kakaiba degree, - numero negatibo.
- Ang isang positibong numero sa anumang antas ay isang positibong numero.
- Ang zero sa anumang kapangyarihan ay katumbas ng zero.
Tukuyin para sa iyong sarili kung anong senyales ang magkakaroon ng mga sumusunod na expression:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
Inayos mo ba? Narito ang mga sagot:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
Sa unang apat na halimbawa, sana ay malinaw ang lahat? Tinitingnan lang namin ang base at exponent at inilalapat ang naaangkop na panuntunan.
Sa halimbawa 5) ang lahat ay hindi rin nakakatakot gaya ng tila: pagkatapos ng lahat, hindi mahalaga kung ano ang katumbas ng base - ang antas ay pantay, na nangangahulugang ang resulta ay palaging magiging positibo. Well, maliban kung ang base ay zero. Hindi pantay ang base, di ba? Malinaw na hindi, dahil (dahil).
Halimbawa 6) ay hindi na gaanong simple. Dito kailangan mong malaman kung alin ang mas kaunti: o? Kung natatandaan mo iyon, ito ay nagiging malinaw na, na nangangahulugan na ang base ay mas mababa sa zero. Ibig sabihin, inilalapat namin ang panuntunan 2: magiging negatibo ang resulta.
At muli ginagamit namin ang kahulugan ng degree:
Ang lahat ay tulad ng dati - isinulat namin ang kahulugan ng mga degree at hatiin ang mga ito sa bawat isa, hatiin ang mga ito sa mga pares at makuha:
Bago natin tingnan ang huling tuntunin, lutasin natin ang ilang halimbawa.
Kalkulahin ang mga expression:
Mga solusyon :
Kung papansinin natin ang ikawalong kapangyarihan, ano ang makikita natin dito? Alalahanin natin ang programa sa ika-7 baitang. So, naalala mo ba? Ito ang formula para sa pinaikling multiplikasyon, lalo na ang pagkakaiba ng mga parisukat!
Nakukuha namin:
Tingnan nating mabuti ang denominator. Mukha itong isa sa mga kadahilanan ng numerator, ngunit ano ang mali? Mali ang pagkakasunud-sunod ng mga tuntunin. Kung mababaligtad ang mga ito, maaaring ilapat ang panuntunan 3. Ngunit paano? Lumalabas na napakadali: ang pantay na antas ng denominator ay nakakatulong sa atin dito.
Kung i-multiply mo ito, walang magbabago di ba? Ngunit ngayon ito ay naging ganito:
Magically nagbago ang mga termino. Ang "phenomenon" na ito ay nalalapat sa anumang ekspresyon sa isang pantay na antas: madali nating mababago ang mga palatandaan sa panaklong. Ngunit mahalagang tandaan: Ang lahat ng mga palatandaan ay nagbabago sa parehong oras! Hindi mo ito mapapalitan sa pamamagitan ng pagpapalit ng isang kawalan lamang na hindi namin gusto!
Bumalik tayo sa halimbawa:
At muli ang formula:
Kaya ngayon ang huling tuntunin:
Paano natin ito mapapatunayan? Siyempre, gaya ng dati: palawakin natin ang konsepto ng degree at pasimplehin ito:
Well, ngayon buksan natin ang mga bracket. Ilang titik ang kabuuan? beses sa pamamagitan ng mga multiplier - ano ang ipinaaalala nito sa iyo? Ito ay walang iba kundi isang kahulugan ng isang operasyon pagpaparami: May mga multiplier lang doon. Iyon ay, ito, sa pamamagitan ng kahulugan, ay isang kapangyarihan ng isang numero na may exponent:
Halimbawa:
Degree na may hindi makatwirang exponent
Bilang karagdagan sa impormasyon tungkol sa mga degree para sa average na antas, susuriin namin ang degree na may hindi makatwirang tagapagpahiwatig. Ang lahat ng mga patakaran at katangian ng mga degree dito ay eksaktong kapareho ng para sa isang degree na may rational exponent, maliban sa lahat - pagkatapos ng lahat, sa pamamagitan ng kahulugan, ang mga hindi makatwiran na numero ay mga numero na hindi maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan at mga integer (iyon ay , ang mga hindi makatwirang numero ay lahat ng tunay na numero maliban sa mga rational na numero).
Kapag nag-aaral ng mga degree na may natural, integer at rational na indicator, sa bawat oras na bumubuo kami ng isang partikular na "imahe", "analogy", o paglalarawan sa mas pamilyar na mga termino. Halimbawa, ang natural na exponent ay isang numero na pinarami ng sarili nitong ilang beses; ang isang numero sa zero degree ay, kumbaga, isang numero na pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, hindi pa ito nagsisimulang i-multiply, na nangangahulugan na ang numero mismo ay hindi pa lumitaw - samakatuwid, ang resulta ay isang tiyak na "paghahanda ng isang numero", katulad ng isang numero; isang degree na may isang integer negatibong tagapagpahiwatig - ito ay parang isang tiyak na "reverse na proseso" ay naganap, iyon ay, ang numero ay hindi pinarami ng sarili nito, ngunit hinati.
Napakahirap isipin ang isang degree na may hindi makatwirang exponent (tulad ng mahirap isipin ang isang 4-dimensional na espasyo). Sa halip, ito ay isang purong matematikal na bagay na nilikha ng mga mathematician upang palawigin ang konsepto ng isang antas sa buong espasyo ng mga numero.
Sa pamamagitan ng paraan, ang agham ay madalas na gumagamit ng isang degree na may isang kumplikadong exponent, iyon ay, ang isang exponent ay hindi kahit isang tunay na numero. Ngunit sa paaralan hindi namin iniisip ang tungkol sa mga paghihirap; magkakaroon ka ng pagkakataong maunawaan ang mga bagong konseptong ito sa institute.
Kaya ano ang gagawin natin kung makakita tayo ng hindi makatwiran na exponent? Sinusubukan namin ang aming makakaya upang mapupuksa ito! :)
Halimbawa:
Magpasya para sa iyong sarili:
| 1) | 2) | 3) |
Mga sagot:
- Tandaan natin ang pagkakaiba ng formula ng mga parisukat. Sagot: .
- Binabawasan namin ang mga fraction sa parehong anyo: alinman sa parehong mga decimal o parehong mga ordinaryong. Nakukuha namin, halimbawa: .
- Walang espesyal, ginagamit namin ang karaniwang katangian ng mga degree:
BUOD NG SEKSYON AT MGA BATAYANG FORMULA
Degree ay tinatawag na pagpapahayag ng anyo: , kung saan:
Degree na may integer exponent
isang degree na ang exponent ay isang natural na numero (ibig sabihin, integer at positibo).
Kapangyarihan na may makatwirang exponent
degree, ang exponent nito ay negatibo at fractional na mga numero.
Degree na may hindi makatwirang exponent
isang degree na ang exponent ay isang infinite decimal fraction o ugat.
Mga katangian ng mga degree
Mga tampok ng degree.
- Negatibong numero itinaas sa kahit degree, - numero positibo.
- Negatibong numero itinaas sa kakaiba degree, - numero negatibo.
- Ang isang positibong numero sa anumang antas ay isang positibong numero.
- Ang zero ay katumbas ng anumang kapangyarihan.
- Ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas.
NGAYON IKAW NA ANG SALITA...
Paano mo gusto ang artikulo? Isulat sa ibaba sa mga komento kung nagustuhan mo ito o hindi.
Sabihin sa amin ang tungkol sa iyong karanasan sa paggamit ng mga katangian ng degree.
Marahil ay mayroon kang mga katanungan. O mga mungkahi.
Sumulat sa mga komento.
At good luck sa iyong mga pagsusulit!
Ang bawat operasyon ng aritmetika kung minsan ay nagiging napakahirap upang itala at sinusubukan nilang gawing simple ito. Ito ay minsan ang kaso sa pagpapatakbo ng karagdagan. Kinakailangan para sa mga tao na magsagawa ng paulit-ulit na pagdaragdag ng parehong uri, halimbawa, upang kalkulahin ang halaga ng isang daang Persian carpet, ang halaga nito ay 3 gintong barya para sa bawat isa. 3+3+3+…+3 = 300. Dahil sa pagiging mahirap nito, napagpasyahan na paikliin ang notasyon sa 3 * 100 = 300. Sa katunayan, ang notasyong “tatlong beses ng isang daan” ay nangangahulugan na kailangan mong kumuha ng isa daang tatlo at idagdag ang mga ito nang sama-sama. Ang pagpaparami ay nakuha at nakakuha ng pangkalahatang katanyagan. Ngunit ang mundo ay hindi tumitigil, at sa Middle Ages ang pangangailangan na isagawa ang paulit-ulit na pagpaparami ng parehong uri. Naaalala ko ang isang lumang bugtong ng India tungkol sa isang pantas na humingi ng mga butil ng trigo sa mga sumusunod na dami bilang gantimpala para sa trabahong nagawa: para sa unang cell chessboard humingi siya ng isang butil, para sa pangalawa - dalawa, para sa pangatlo - apat, para sa ikalima - walo, at iba pa. Ito ay kung paano lumitaw ang unang pagpaparami ng mga kapangyarihan, dahil ang bilang ng mga butil ay katumbas ng dalawa sa kapangyarihan ng numero ng cell. Halimbawa, sa huling cell ay magkakaroon ng 2*2*2*...*2 = 2^63 grains, na katumbas ng bilang na 18 character ang haba, na, sa katunayan, ay ang kahulugan ng bugtong.
Ang pagpapatakbo ng pagtaas sa isang kapangyarihan ay nag-ugat nang napakabilis, at mabilis din itong naging kinakailangan upang magsagawa ng karagdagan, pagbabawas, paghahati at pagpaparami ng mga degree. Ang huli ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang nang mas detalyado. Ang mga formula para sa pagdaragdag ng mga kapangyarihan ay simple at madaling matandaan. Bilang karagdagan, napakadaling maunawaan kung saan sila nanggaling kung ang pagpapatakbo ng kuryente ay papalitan ng multiplikasyon. Ngunit kailangan mo munang maunawaan ang ilang pangunahing terminolohiya. Ang expression na a ^ b (basahin ang "a sa kapangyarihan ng b") ay nangangahulugan na ang bilang a ay dapat na i-multiply sa sarili nitong b beses, at ang "a" ay tinatawag na base ng degree, at ang "b" ay ang exponent. Kung ang mga batayan ng mga degree ay pareho, kung gayon ang mga formula ay hinango nang simple. Tukoy na halimbawa: hanapin ang halaga ng expression na 2^3 * 2^4. Upang malaman kung ano ang dapat mangyari, dapat mong malaman ang sagot sa computer bago simulan ang solusyon. Pagmamarka expression na ito sa anumang online na calculator, search engine, pag-type ng "multiplication of powers with different bases and the same" o isang mathematical package, ang output ay magiging 128. Ngayon, isulat natin ang expression na ito: 2^3 = 2*2*2, at 2^ 4 = 2*2* 2*2. Lumalabas na 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . Lumalabas na ang produkto ng mga kapangyarihan na may parehong base ay katumbas ng base na itinaas sa isang kapangyarihan na katumbas ng kabuuan ng nakaraang dalawang kapangyarihan.
Maaari mong isipin na ito ay isang aksidente, ngunit hindi: ang anumang iba pang halimbawa ay maaari lamang kumpirmahin panuntunang ito. Kaya, sa pangkalahatan, ang formula ay ganito: a^n * a^m = a^(n+m) . Mayroon ding panuntunan na ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa. Dito dapat nating tandaan ang tuntunin ng mga negatibong kapangyarihan: a^(-n) = 1 / a^n. Iyon ay, kung 2^3 = 8, pagkatapos ay 2^(-3) = 1/8. Gamit ang panuntunang ito, mapapatunayan mo ang bisa ng pagkakapantay-pantay a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^( n), a^ (n) ay maaaring bawasan at ang isa ay nananatili. Mula dito ang tuntunin ay hinango na ang quotient ng mga kapangyarihan na may parehong mga base ay katumbas ng base na ito sa isang antas na katumbas ng quotient ng dividend at divisor: a^n: a^m = a^(n-m) . Halimbawa: pasimplehin ang expression na 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) . Ang multiplication ay isang commutative operation, samakatuwid, kailangan mo munang idagdag ang multiplication exponents: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 =2. Susunod na kailangan mong harapin ang paghahati sa pamamagitan ng negatibong kapangyarihan. Kinakailangang ibawas ang exponent ng divisor mula sa exponent ng dibidendo: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. Lumalabas na ang operasyon ng paghahati sa isang negatibong antas ay magkapareho sa pagpapatakbo ng multiplikasyon ng isang katulad na positibong exponent. Kaya ang huling sagot ay 8.
May mga halimbawa kung saan nagaganap ang non-canonical multiplication of powers. Ang pagpaparami ng mga kapangyarihan na may iba't ibang mga base ay kadalasang mas mahirap, at kung minsan ay imposible pa. Mayroong ilang mga halimbawa ng iba't ibang posibleng mga pamamaraan. Halimbawa: pasimplehin ang expression na 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. Malinaw, mayroong multiplikasyon ng mga kapangyarihan na may iba't ibang base. Ngunit dapat tandaan na ang lahat ng mga base ay magkakaibang kapangyarihan ng tatlo. 9 = 3^2.1 = 3^4.3 = 3^5.9 = 3^6. Gamit ang panuntunan (a^n) ^m = a^(n*m) , dapat mong muling isulat ang expression sa isang mas maginhawang anyo: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * ( 3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12 -10+6) = 3^(11) . Sagot: 3^11. Sa mga kaso kung saan iba't ibang batayan, ang panuntunang a^n * b^n = (a*b) ^n ay gumagana para sa pantay na mga indicator. Halimbawa, 3^3 * 7^3 = 21^3. Kung hindi man, kapag ang mga base at exponent ay magkaiba, ang kumpletong multiplikasyon ay hindi maisagawa. Minsan maaari mong bahagyang pasimplehin o gamitin sa tulong ng teknolohiya ng computer.
Dibisyon ng mga kapangyarihan na may parehong base. Ang pangunahing katangian ng isang degree na batay sa mga katangian ng multiplikasyon ay maaaring pangkalahatan sa produkto ng tatlo at higit pa degree na may parehong mga base at natural na mga tagapagpahiwatig.
Ang 3.a-3 ay a0 = 1, ang pangalawang numerator. Sa mas kumplikadong mga halimbawa, maaaring may mga kaso kung saan dapat gawin ang multiplikasyon at paghahati sa mga kapangyarihan na may iba't ibang base at iba't ibang exponent. Ngayon tingnan natin ang mga ito gamit ang mga partikular na halimbawa at subukang patunayan ang mga ito.
Kaya, napatunayan namin na kapag hinahati ang dalawang kapangyarihan na may parehong mga base, ang kanilang mga tagapagpahiwatig ay dapat ibawas. Matapos matukoy ang antas ng isang numero, makatuwirang pag-usapan ang mga katangian ng antas.
Dito ay magbibigay kami ng mga patunay ng lahat ng mga katangian ng antas, at ipapakita din kung paano inilalapat ang mga katangiang ito kapag nilulutas ang mga halimbawa. Halimbawa, ang pangunahing katangian ng fraction na am·an=am+n ay kadalasang ginagamit sa anyong am+n=am·an kapag pinasimple ang mga expression. Magbigay tayo ng isang halimbawa na nagpapatunay sa pangunahing pag-aari ng degree. Bago ibigay ang patunay ng ari-arian na ito, talakayin natin ang kahulugan ng mga karagdagang kondisyon sa pagbabalangkas.
Mga katangian ng mga degree na may natural na mga tagapagpahiwatig
Ang kundisyon m>n ay ipinakilala upang hindi tayo lumampas sa natural exponents. Mula sa nagresultang pagkakapantay-pantay na am−n·an=am at mula sa koneksyon sa pagitan ng multiplikasyon at paghahati ay sumusunod na ang am−n ay ang quotient ng powers am at an. Pinatutunayan nito ang pag-aari ng mga bahagyang kapangyarihan na may parehong mga base. Para sa kalinawan, ipapakita namin ang property na ito na may isang halimbawa. Halimbawa, para sa anumang natural na mga numerong p, q, r at s ang pagkakapantay-pantay ay totoo. Para sa higit na kalinawan, magbigay tayo ng isang halimbawa na may mga tiyak na numero: (((5,2)3)2)5=(5,2)3+2+5=(5,2)10.
Pagdaragdag at pagbabawas ng mga monomial
Ang katotohanang ito at ang mga katangian ng pagpaparami ay nagmumungkahi na ang resulta ng pagpaparami ng anumang bilang ng mga positibong numero ay magiging isang positibong numero. Malinaw na para sa anumang positibong integer n na may a=0 ang antas ng an ay zero. Sa katunayan, 0n=0·0·…·0=0. Halimbawa, 03=0 at 0762=0. Lumipat tayo sa mga negatibong batayan. Magsimula tayo sa kaso kapag ang exponent ay isang even na numero, ipahiwatig ito bilang 2·m, kung saan ang m ay isang natural na numero.
Magpatuloy tayo sa patunay ng ari-arian na ito. Patunayan natin na para sa m>n at 0 Ito ay nananatiling patunayan ang pangalawang bahagi ng ari-arian. Samakatuwid, ang am−an>0 at am>an, na siyang kailangang patunayan. Ang pagpapatunay sa bawat isa sa mga katangiang ito ay hindi mahirap; upang gawin ito, sapat na gamitin ang mga kahulugan ng mga degree na may natural at integer exponents, pati na rin ang mga katangian ng mga operasyon na may totoong mga numero.
Kung p=0, mayroon tayong (a0)q=1q=1 at a0 q=a0=1, kung saan (a0)q=a0 q. Gamit ang parehong prinsipyo, maaari mong patunayan ang lahat ng iba pang mga katangian ng isang degree na may isang integer exponent, na nakasulat sa anyo ng mga pagkakapantay-pantay. Ang mga kondisyon p 0 sa kasong ito ay magiging katumbas ng mga kondisyon m 0, ayon sa pagkakabanggit.
Sa kasong ito, ang kundisyon p>q ay tumutugma sa kundisyong m1>m2, na sumusunod sa panuntunan para sa paghahambing ng mga ordinaryong fraction na may parehong denominator. Ang mga hindi pagkakapantay-pantay sa mga katangian ng mga ugat ay maaaring muling isulat nang naaayon bilang at. At ang kahulugan ng isang degree na may rational exponent ay nagpapahintulot sa amin na lumipat sa hindi pagkakapantay-pantay at, nang naaayon.
Mga pangunahing katangian ng logarithms
Ang pagkalkula ng halaga ng isang kapangyarihan ay tinatawag na aksyon ng exponentiation. Iyon ay, kapag kinakalkula ang halaga ng isang expression na hindi naglalaman ng mga panaklong, unang gawin ang pagkilos ng ikatlong yugto, pagkatapos ay ang pangalawa (pagpaparami at paghahati) at, sa wakas, ang una (pagdaragdag at pagbabawas). Mga operasyon na may mga ugat.
Pagpapalawak ng konsepto ng degree. Sa ngayon ay isinasaalang-alang lamang namin ang mga kapangyarihan gamit ang mga natural na exponents; ngunit ang mga operasyong may mga kapangyarihan at mga ugat ay maaari ding humantong sa mga negatibo, zero at fractional na exponent. Ang lahat ng mga exponent na ito ay nangangailangan ng karagdagang kahulugan. Kung gusto nating maging wasto ang formula a m: a n=a m - n para sa m = n, kailangan natin ng depinisyon ng degree zero.
Pagpaparami ng mga kapangyarihan ng mga numero na may parehong mga exponent. Susunod, bubuo tayo ng isang teorama sa paghahati ng mga kapangyarihan na may magkaparehong mga batayan, lutasin ang mga paliwanag na problema at patunayan ang teorama sa pangkalahatang kaso. Lumipat tayo ngayon sa kahulugan ng negatibong kapangyarihan. Madali mong ma-verify ito sa pamamagitan ng pagpapalit ng formula mula sa kahulugan sa natitirang mga katangian. Upang malutas ang problemang ito, tandaan na: 49 = 7^2, at 147 = 7^2 * 3^1. Kung maingat mong ginagamit ngayon ang mga katangian ng mga kapangyarihan (kapag itinaas ang isang kapangyarihan sa isang kapangyarihan, ang mga exponent...
Iyon ay, ang mga exponent ay talagang binabawasan, ngunit dahil ang exponent ay may negatibong exponent sa denominator, kapag ang pagbabawas ng minus sa pamamagitan ng minus ay nagbibigay ito ng plus, at ang mga exponent ay nagdaragdag. Tandaan natin kung ano ang tinatawag na monomial, at kung anong mga operasyon ang maaaring gawin sa mga monomial. Alalahanin na upang mabawasan ang isang monomial sa karaniwang view Kailangan mo munang kumuha ng numerical coefficient sa pamamagitan ng pagpaparami ng lahat ng numerical factor, at pagkatapos ay i-multiply ang kaukulang kapangyarihan.
Paglipat sa isang bagong pundasyon
Ibig sabihin, dapat nating matutunang makilala ang magkatulad at hindi magkatulad na mga monomial. Tapusin natin: ang mga katulad na monomial ay may parehong bahagi ng titik, at ang mga naturang monomial ay maaaring idagdag at ibawas.
Salamat sa iyong feedback. Kung nagustuhan mo ang aming proyekto at handa kang tumulong o makibahagi dito, ipasa ang impormasyon tungkol sa proyekto sa iyong mga kaibigan at kasamahan. Sa nakaraang video, sinabi na sa mga halimbawa na may monomials ay maaari lamang magkaroon ng multiplikasyon: "Hanapin natin ang pagkakaiba sa pagitan ng mga expression na ito at ng mga nauna.
Ang mismong konsepto ng isang monomial bilang isang mathematical unit ay nagpapahiwatig lamang ng pagpaparami ng mga numero at mga variable; kung may iba pang mga operasyon, ang expression ay hindi na isang monomial. Ngunit sa parehong oras, ang mga monomial ay maaaring idagdag, ibawas, hatiin sa kanilang mga sarili... Logarithms, tulad ng anumang mga numero, ay maaaring idagdag, ibawas at transformed sa bawat posibleng paraan. Ngunit dahil ang logarithms ay hindi eksaktong ordinaryong mga numero, mayroon silang sariling mga patakaran, na tinatawag na mga pangunahing katangian.
Tandaan: mahalagang sandali narito ang parehong mga dahilan. Kung magkaiba ang mga dahilan, hindi gagana ang mga patakarang ito! Sa pagsasalita tungkol sa mga patakaran para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms, partikular kong binigyang-diin na gumagana lamang ang mga ito sa parehong mga base. Mula sa pangalawang pormula ay sumusunod na ang base at argumento ng logarithm ay maaaring palitan, ngunit sa kasong ito ang buong expression ay "ibinalik", i.e. lumalabas ang logarithm sa denominator.
Ibig sabihin, ang natural na degree property n ng produkto ng k factor ay isinusulat bilang (a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn. Walang mga patakaran tungkol sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga kapangyarihan na may parehong mga batayan. Ang batayan at argumento ng unang logarithm ay eksaktong kapangyarihan. 4. Bawasan ang mga exponent na 2a4/5a3 at 2/a4 at dalhin ang mga ito sa isang common denominator.