Kaugnay sa

ang gawain ng paghahanap ng alinman sa tatlong mga numero mula sa iba pang dalawang ibinigay na mga ay maaaring itakda. Kung ang a at pagkatapos ay ang N ay ibinigay, sila ay matatagpuan sa pamamagitan ng exponentiation. Kung ang N at pagkatapos ay a ay ibinigay sa pamamagitan ng pagkuha ng ugat ng digri x (o pagpapataas nito sa kapangyarihan). Ngayon isaalang-alang ang kaso kung kailan, ibinigay ang a at N, kailangan nating hanapin ang x.

Hayaang maging positibo ang bilang N: ang bilang a ay positibo at hindi katumbas ng isa: .

Kahulugan. Ang logarithm ng numero N sa base a ay ang exponent kung saan dapat itaas ang a upang makuha ang numerong N; ang logarithm ay tinutukoy ng

Kaya, sa pagkakapantay-pantay (26.1) ang exponent ay matatagpuan bilang logarithm ng N sa base a. Mga post

may parehong kahulugan. Ang pagkakapantay-pantay (26.1) ay kung minsan ay tinatawag na pangunahing pagkakakilanlan ng teorya ng logarithms; sa katotohanan ito ay nagpapahayag ng kahulugan ng konsepto ng logarithm. Sa pamamagitan ng depinisyon na ito Ang batayan ng logarithm a ay palaging positibo at naiiba sa pagkakaisa; ang logarithmic number N ay positibo. Ang mga negatibong numero at zero ay walang logarithms. Mapapatunayan na ang anumang numero na may ibinigay na base ay may mahusay na tinukoy na logarithm. Samakatuwid ang pagkakapantay-pantay ay nagsasangkot ng . Tandaan na ang kondisyon ay mahalaga dito; kung hindi, ang konklusyon ay hindi mabibigyang katwiran, dahil ang pagkakapantay-pantay ay totoo para sa anumang mga halaga ng x at y.

Halimbawa 1. Hanapin

Solusyon. Upang makakuha ng numero, dapat mong itaas ang base 2 sa kapangyarihan Samakatuwid.

Maaari kang gumawa ng mga tala kapag nilulutas ang mga naturang halimbawa sa sumusunod na anyo:

Halimbawa 2. Hanapin .

Solusyon. Meron kami

Sa mga halimbawa 1 at 2, madali naming natagpuan ang nais na logarithm sa pamamagitan ng pagre-represent sa numero ng logarithm bilang kapangyarihan ng base na may rational exponent. Sa pangkalahatang kaso, halimbawa, para sa atbp., hindi ito magagawa, dahil ang logarithm ay may hindi makatwirang halaga. Bigyang-pansin natin ang isang isyu na may kaugnayan sa pahayag na ito. Sa talata 12, ibinigay namin ang konsepto ng posibilidad ng pagtukoy ng anumang tunay na kapangyarihan ng isang naibigay na positibong numero. Ito ay kinakailangan para sa pagpapakilala ng mga logarithms, na, sa pangkalahatan, ay maaaring hindi makatwiran na mga numero.

Tingnan natin ang ilang mga katangian ng logarithms.

Property 1. Kung ang numero at base ay pantay, kung gayon ang logarithm ay katumbas ng isa, at, sa kabaligtaran, kung ang logarithm ay katumbas ng isa, kung gayon ang numero at base ay pantay.

Patunay. Hayaan Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang logarithm mayroon tayo at kung saan

Sa kabaligtaran, hayaan ang Pagkatapos sa pamamagitan ng kahulugan

Property 2. Ang logarithm ng isa sa anumang base ay katumbas ng zero.

Patunay. Sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm ( zero degree anumang positibong base ay katumbas ng isa, tingnan ang (10.1)). Mula rito

Q.E.D.

Ang kabaligtaran na pahayag ay totoo rin: kung , kung gayon N = 1. Sa katunayan, mayroon tayong .

Bago bumalangkas ng susunod na katangian ng logarithms, sumang-ayon tayo na sabihin na ang dalawang numero a at b ay nasa magkabilang panig ng ikatlong numero c kung pareho silang mas malaki sa c o mas mababa sa c. Kung ang isa sa mga numerong ito ay mas malaki sa c, at ang isa ay mas mababa sa c, sasabihin natin na nakahiga sila magkaibang panig mula sa nayon

Property 3. Kung ang numero at base ay nasa magkabilang panig ng isa, ang logarithm ay positibo; Kung ang numero at base ay nasa magkabilang panig ng isa, ang logarithm ay negatibo.

Ang patunay ng property 3 ay batay sa katotohanan na ang kapangyarihan ng a ay mas malaki kaysa sa isa kung ang base ay mas malaki kaysa sa isa at ang exponent ay positibo o ang base ay mas mababa sa isa at ang exponent ay negatibo. Ang kapangyarihan ay mas mababa sa isa kung ang base ay mas malaki sa isa at ang exponent ay negatibo o ang base ay mas mababa sa isa at ang exponent ay positibo.

Mayroong apat na kaso na dapat isaalang-alang:

Limitahan natin ang ating sarili sa pagsusuri sa una sa kanila; isasaalang-alang ng mambabasa ang natitira sa kanyang sarili.

Hayaan pagkatapos sa pagkakapantay-pantay ang exponent ay maaaring hindi negatibo o katumbas ng zero, samakatuwid, ito ay positibo, ibig sabihin, kung kinakailangan upang mapatunayan.

Halimbawa 3. Alamin kung alin sa mga logarithm sa ibaba ang positibo at alin ang negatibo:

Solusyon, a) dahil ang numero 15 at ang base 12 ay matatagpuan sa parehong bahagi ng isa;

b) dahil ang 1000 at 2 ay matatagpuan sa isang bahagi ng yunit; sa kasong ito, hindi mahalaga na ang base ay mas malaki kaysa sa logarithmic number;

c) dahil ang 3.1 at 0.8 ay nasa magkabilang panig ng pagkakaisa;

G); Bakit?

d); Bakit?

Ang mga sumusunod na katangian 4-6 ay madalas na tinatawag na mga patakaran ng logarithmation: pinapayagan nila, alam ang logarithms ng ilang mga numero, upang mahanap ang logarithms ng kanilang produkto, quotient, at antas ng bawat isa sa kanila.

Property 4 (product logarithm rule). Ang logarithm ng produkto ng ilang positibong numero sa isang ibinigay na base ay katumbas ng kabuuan ng logarithms ng mga numerong ito sa parehong base.

Patunay. Hayaang maging positibo ang mga ibinigay na numero.

Para sa logarithm ng kanilang produkto, isinusulat namin ang pagkakapantay-pantay (26.1) na tumutukoy sa logarithm:

Mula dito makikita natin

Ang paghahambing ng mga exponents ng una at huling mga expression, makuha namin ang kinakailangang pagkakapantay-pantay:

Tandaan na ang kondisyon ay mahalaga; ang logarithm ng produkto ng dalawang negatibong numero ay may katuturan, ngunit sa kasong ito nakukuha natin

Sa pangkalahatan, kung ang produkto ng ilang mga kadahilanan ay positibo, kung gayon ang logarithm nito ay katumbas ng kabuuan ng mga logarithms ng mga ganap na halaga ng mga salik na ito.

Property 5 (panuntunan para sa pagkuha ng logarithms ng mga quotient). Ang logarithm ng isang quotient ng mga positibong numero ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng logarithms ng dibidendo at ng divisor, na dinala sa parehong base. Patunay. Palagi kaming nakakahanap

Q.E.D.

Property 6 (power logarithm rule). Logarithm ng kapangyarihan ng ilang positibong numero katumbas ng logarithm ang bilang na ito ay pinarami ng exponent.

Patunay. Isulat nating muli ang pangunahing pagkakakilanlan (26.1) para sa numero:

Q.E.D.

Bunga. Ang logarithm ng isang ugat ng isang positibong numero ay katumbas ng logarithm ng radical na hinati sa exponent ng ugat:

Ang bisa ng corollary na ito ay mapapatunayan sa pamamagitan ng pag-iisip kung paano at paggamit ng ari-arian 6.

Halimbawa 4. Kunin ang logarithm sa base a:

a) (pinapalagay na ang lahat ng mga halaga b, c, d, e ay positibo);

b) (pinapalagay na ).

Solusyon, a) Maginhawang pumunta sa fractional powers sa expression na ito:

Batay sa mga pagkakapantay-pantay (26.5)-(26.7), maaari na nating isulat ang:

Napansin namin na ang mga mas simpleng operasyon ay ginagawa sa mga logarithms ng mga numero kaysa sa mga numero mismo: kapag nagpaparami ng mga numero, ang kanilang mga logarithm ay idinagdag, kapag naghahati, sila ay ibawas, atbp.

Iyon ang dahilan kung bakit ginagamit ang mga logarithm sa pagsasanay sa pag-compute (tingnan ang talata 29).

Ang kabaligtaran na aksyon ng logarithm ay tinatawag na potentiation, ibig sabihin: ang potentiation ay ang aksyon kung saan ang numero mismo ay matatagpuan mula sa isang ibinigay na logarithm ng isang numero. Sa esensya, ang potentiation ay hindi anumang espesyal na aksyon: ito ay bumababa sa pagtataas ng base sa isang kapangyarihan ( katumbas ng logarithm numero). Ang terminong "potentiation" ay maaaring ituring na kasingkahulugan ng terminong "exponentiation".

Kapag potentiating, dapat mong gamitin ang mga patakaran na kabaligtaran sa mga patakaran ng logarithmation: palitan ang kabuuan ng logarithm ng logarithm ng produkto, ang pagkakaiba ng logarithm sa logarithm ng quotient, atbp. Sa partikular, kung mayroong isang kadahilanan sa harap ng sign ng logarithm, pagkatapos ay sa panahon ng potentiation dapat itong ilipat sa exponent degrees sa ilalim ng sign ng logarithm.

Halimbawa 5. Hanapin ang N kung alam na

Solusyon. Kaugnay ng nakasaad na tuntunin ng potentiation, ililipat namin ang mga salik na 2/3 at 1/3 na nakatayo sa harap ng mga palatandaan ng logarithms sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay na ito sa mga exponent sa ilalim ng mga palatandaan ng logarithms na ito; nakukuha namin

Ngayon ay pinapalitan namin ang pagkakaiba ng logarithms sa logarithm ng quotient:

para makuha ang huling fraction sa chain of equalities na ito, pinalaya namin ang nakaraang fraction mula sa irrationality sa denominator (sugnay 25).

Ari-arian 7. Kung ang base ay mas malaki kaysa sa isa, kung gayon mas malaking bilang ay may mas malaking logarithm (at ang isang mas maliit na numero ay may mas maliit), kung ang base ay mas mababa sa isa, kung gayon ang isang mas malaking numero ay may mas maliit na logarithm (at ang isang mas maliit na numero ay may mas malaki).

Ang ari-arian na ito ay binabalangkas din bilang isang panuntunan para sa pagkuha ng mga logarithms ng mga hindi pagkakapantay-pantay, ang magkabilang panig nito ay positibo:

Kapag nag-logarithming ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa isang base na mas malaki sa isa, ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay napanatili, at kapag ang logarithming sa isang base na mas mababa sa isa, ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay nagbabago sa kabaligtaran (tingnan din ang talata 80).

Ang patunay ay batay sa mga katangian 5 at 3. Isaalang-alang ang kaso kapag Kung , pagkatapos at, pagkuha ng logarithms, nakuha namin

(a at N/M ay nasa magkabilang panig ng pagkakaisa). Mula rito

Kaso a sumusunod, ang mambabasa ang mag-isa niyang unawain.

Habang umuunlad ang lipunan at naging mas kumplikado ang produksyon, umunlad din ang matematika. Paggalaw mula simple hanggang kumplikado. Mula sa ordinaryong accounting gamit ang paraan ng pagdaragdag at pagbabawas, sa kanilang paulit-ulit na pag-uulit, dumating kami sa konsepto ng multiplikasyon at paghahati. Ang pagbabawas ng paulit-ulit na operasyon ng multiplikasyon ay naging konsepto ng exponentiation. Ang mga unang talahanayan ng pag-asa ng mga numero sa base at ang bilang ng exponentiation ay pinagsama-sama noong ika-8 siglo ng Indian mathematician na si Varasena. Mula sa kanila maaari mong bilangin ang oras ng paglitaw ng logarithms.

Makasaysayang sketch

Ang muling pagkabuhay ng Europa noong ika-16 na siglo ay nagpasigla din sa pag-unlad ng mekanika. T nangangailangan ng malaking halaga ng pagtutuos may kaugnayan sa multiplikasyon at paghahati ng mga multi-digit na numero. Napakahusay ng serbisyo ng mga sinaunang mesa. Pinayagan nila ang kapalit kumplikadong operasyon sa mas simple - karagdagan at pagbabawas. Ang isang malaking hakbang pasulong ay ang gawain ng mathematician na si Michael Stiefel, na inilathala noong 1544, kung saan napagtanto niya ang ideya ng maraming mathematician. Ginawa nitong posible na gumamit ng mga talahanayan hindi lamang para sa mga degree sa anyo mga pangunahing numero, ngunit para din sa mga arbitraryong makatuwiran.

Noong 1614, unang ipinakilala ng Scotsman na si John Napier ang mga ideyang ito, ang bagong terminong "logarithm ng isang numero." Ang mga bagong kumplikadong talahanayan ay pinagsama-sama para sa pagkalkula ng logarithms ng mga sine at cosine, pati na rin ang mga tangent. Ito ay lubhang nabawasan ang gawain ng mga astronomo.

Nagsimulang lumitaw ang mga bagong talahanayan, na matagumpay na ginamit ng mga siyentipiko sa loob ng tatlong siglo. Maraming oras ang lumipas kanina bagong operasyon sa algebra nakuha nito ang kumpletong anyo. Ang kahulugan ng logarithm ay ibinigay at ang mga katangian nito ay pinag-aralan.

Noong ika-20 siglo lamang, sa pagdating ng calculator at computer, iniwan ng sangkatauhan ang mga sinaunang talahanayan na matagumpay na gumana sa buong ika-13 siglo.

Tinatawag natin ngayon ang logarithm ng b upang ibase sa a ang numerong x na siyang kapangyarihan ng a upang gawing b. Ito ay isinulat bilang isang formula: x = log a(b).

Halimbawa, ang log 3(9) ay magiging katumbas ng 2. Ito ay malinaw kung susundin mo ang kahulugan. Kung itataas natin ang 3 sa kapangyarihan ng 2, makakakuha tayo ng 9.

Kaya, ang nabuong kahulugan ay nagtatakda lamang ng isang paghihigpit: ang mga numerong a at b ay dapat na totoo.

Mga uri ng logarithms

Ang klasikong kahulugan ay tinatawag na tunay na logarithm at talagang ang solusyon sa equation na a x = b. Ang opsyon a = 1 ay borderline at hindi interesado. Pansin: Ang 1 sa anumang kapangyarihan ay katumbas ng 1.

Tunay na halaga ng logarithm tinukoy lamang kapag ang base at ang argumento ay mas malaki sa 0, at ang base ay hindi dapat katumbas ng 1.

Espesyal na lugar sa larangan ng matematika maglaro ng logarithms, na papangalanan depende sa laki ng kanilang base:

Mga tuntunin at paghihigpit

Ang pangunahing katangian ng logarithms ay ang panuntunan: ang logarithm ng isang produkto ay katumbas ng logarithmic sum. log abp = log a(b) + log a(p).

Bilang isang variant ng pahayag na ito ay magkakaroon ng: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), ang quotient function ay katumbas ng pagkakaiba ng mga function.

Mula sa nakaraang dalawang panuntunan, madaling makita na: log a(b p) = p * log a(b).

Kasama sa iba pang mga ari-arian ang:

Magkomento. Hindi na kailangang gumawa ng isang karaniwang pagkakamali - ang logarithm ng isang kabuuan ay hindi katumbas ng kabuuan ng logarithms.

Sa loob ng maraming siglo, ang operasyon ng paghahanap ng logarithm ay isang medyo matagal na gawain. Ginamit ng mga mathematician ang kilalang formula ng logarithmic theory ng polynomial expansion:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), kung saan ang n ay isang natural na numero na higit sa 1, na tumutukoy sa katumpakan ng pagkalkula.

Ang mga logarithm sa iba pang mga base ay kinakalkula gamit ang theorem tungkol sa paglipat mula sa isang base patungo sa isa pa at ang ari-arian ng logarithm ng produkto.

Dahil ang pamamaraang ito ay napaka-labor-intensive at kapag nilulutas ang mga praktikal na problema mahirap ipatupad, gumamit kami ng mga pre-compiled na talahanayan ng logarithms, na makabuluhang pinabilis ang lahat ng gawain.

Sa ilang mga kaso, ginamit ang mga espesyal na idinisenyong logarithm graph, na nagbigay ng mas kaunting katumpakan, ngunit makabuluhang pinabilis ang paghahanap nais na halaga. Ang curve ng function na y = log a(x), na binuo sa ilang mga punto, ay nagpapahintulot sa iyo na gumamit ng isang regular na ruler upang mahanap ang halaga ng function sa anumang iba pang punto. Mga inhinyero matagal na panahon Para sa mga layuning ito, ginamit ang tinatawag na graph paper.

Noong ika-17 siglo, lumitaw ang unang auxiliary analog computing na kondisyon, na ika-19 na siglo nakakuha ng tapos na hitsura. Ang pinakamatagumpay na device ay tinatawag na slide rule. Sa kabila ng pagiging simple ng aparato, ang hitsura nito ay makabuluhang pinabilis ang proseso ng lahat ng mga kalkulasyon ng engineering, at ito ay mahirap na mag-overestimate. Sa kasalukuyan, kakaunti ang mga taong pamilyar sa device na ito.

Ang pagdating ng mga calculator at computer ay ginawa ang paggamit ng anumang iba pang mga aparato na walang kabuluhan.

Mga equation at hindi pagkakapantay-pantay

Para sa mga solusyon iba't ibang equation at mga hindi pagkakapantay-pantay gamit ang logarithms, ang mga sumusunod na formula ay ginagamit:

• Paglipat mula sa isang base patungo sa isa pa: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Bilang resulta ng nakaraang opsyon: log a(b) = 1 / log b(a).

Upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay, kapaki-pakinabang na malaman:

• Ang halaga ng logarithm ay magiging positibo lamang kung ang base at argumento ay parehong mas malaki o mas mababa sa isa; kung hindi bababa sa isang kundisyon ang nilabag, ang halaga ng logarithm ay magiging negatibo.
• Kung ang logarithm function ay inilapat sa kanan at kaliwang bahagi ng isang hindi pagkakapantay-pantay, at ang base ng logarithm ay mas malaki kaysa sa isa, kung gayon ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay mapangalagaan; kung hindi ito ay nagbabago.

Mga sample na problema

Isaalang-alang natin ang ilang mga opsyon para sa paggamit ng logarithms at ang kanilang mga katangian. Mga halimbawa sa paglutas ng mga equation:

Isaalang-alang ang opsyon ng paglalagay ng logarithm sa isang kapangyarihan:

• Suliranin 3. Kalkulahin ang 25^log 5(3). Solusyon: sa mga kondisyon ng problema, ang entry ay katulad ng sumusunod (5^2)^log5(3) o 5^(2 * log 5(3)). Isulat natin ito sa ibang paraan: 5^log 5(3*2), o ang parisukat ng isang numero bilang function argument ay maaaring isulat bilang square ng function mismo (5^log 5(3))^2. Gamit ang mga katangian ng logarithms, ang expression na ito ay katumbas ng 3^2. Sagot: bilang isang resulta ng pagkalkula ay makakakuha tayo ng 9.

Praktikal na paggamit

Ang pagiging isang purong mathematical tool, tila malayo sa totoong buhay na biglang nakuha ng logarithm pinakamahalaga upang ilarawan ang mga bagay tunay na mundo. Mahirap maghanap ng agham kung saan hindi ito ginagamit. Ito ay ganap na nalalapat hindi lamang sa natural, kundi pati na rin sa makataong larangan ng kaalaman.

Mga dependency ng logarithmic

Narito ang ilang halimbawa ng mga numerical na dependencies:

Mechanics at physics

Sa kasaysayan, ang mga mekanika at pisika ay palaging binuo gamit ang mga pamamaraan ng pananaliksik sa matematika at sa parehong oras ay nagsisilbing isang insentibo para sa pagbuo ng matematika, kabilang ang mga logarithms. Ang teorya ng karamihan sa mga batas ng pisika ay nakasulat sa wika ng matematika. Magbigay lamang tayo ng dalawang halimbawa ng paglalarawan ng mga pisikal na batas gamit ang logarithm.

Ang problema sa pagkalkula ng tulad ng isang kumplikadong dami bilang ang bilis ng isang rocket ay maaaring malutas sa pamamagitan ng paggamit ng Tsiolkovsky formula, na naglatag ng pundasyon para sa teorya ng paggalugad sa kalawakan:

V = I * ln (M1/M2), kung saan

• Ang V ay ang huling bilis ng sasakyang panghimpapawid.
• I - tiyak na salpok ng makina.
• M 1 - paunang masa ng rocket.
• M 2 – huling masa.

Isa pang mahalagang halimbawa- ito ay ginagamit sa pormula ng isa pang mahusay na siyentipiko na si Max Planck, na nagsisilbing pagsusuri sa estado ng ekwilibriyo sa thermodynamics.

S = k * ln (Ω), kung saan

• S - thermodynamic na pag-aari.
• k – Boltzmann pare-pareho.
• Ang Ω ay ang istatistikal na timbang ng iba't ibang estado.

Chemistry

Hindi gaanong halata ang paggamit ng mga formula sa kimika na naglalaman ng ratio ng logarithms. Magbigay lamang tayo ng dalawang halimbawa:

• Nernst equation, ang kondisyon ng redox potential ng medium na may kaugnayan sa aktibidad ng mga substance at ang equilibrium constant.
• Ang pagkalkula ng mga pare-pareho tulad ng autolysis index at ang kaasiman ng solusyon ay hindi rin magagawa nang wala ang ating function.

Sikolohiya at biyolohiya

At hindi malinaw kung ano ang kinalaman ng sikolohiya dito. Ito ay lumalabas na ang lakas ng pandamdam ay mahusay na inilarawan ng function na ito bilang ang kabaligtaran na ratio ng halaga ng stimulus intensity sa mas mababang halaga ng intensity.

Matapos ang mga halimbawa sa itaas, hindi na nakakagulat na ang paksa ng logarithms ay malawakang ginagamit sa biology. Maaaring isulat ang buong volume tungkol sa mga biyolohikal na anyo na tumutugma sa mga logarithmic spiral.

Ibang lugar

Tila imposible ang pagkakaroon ng mundo nang walang koneksyon sa tungkuling ito, at ito ang namamahala sa lahat ng batas. Lalo na kapag ang mga batas ng kalikasan ay nauugnay sa geometric na pag-unlad. Ito ay nagkakahalaga ng pagpunta sa MatProfi website, at mayroong maraming mga tulad na halimbawa sa mga sumusunod na lugar ng aktibidad:

Ang listahan ay maaaring walang katapusan. Ang pagkakaroon ng mastered ang mga pangunahing prinsipyo ng function na ito, maaari mong plunge sa mundo ng walang katapusang karunungan.

(mula sa Greek λόγος - “salita”, “relasyon” at ἀριθμός - “numero”) mga numero b batay sa a(log α b) ay tinatawag na ganoong numero c, At b= isang c, ibig sabihin, records log α b=c At b=ac ay katumbas. Makatuwiran ang logarithm kung a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Sa ibang salita logarithm numero b batay sa A binabalangkas bilang isang exponent kung saan dapat itaas ang isang numero a para makuha ang numero b(umiiral lamang ang logarithm para sa mga positibong numero).

Mula sa pagbabalangkas na ito ay sumusunod na ang pagkalkula x= log α b, ay katumbas ng paglutas ng equation a x =b.

Halimbawa:

log 2 8 = 3 dahil 8 = 2 3 .

Bigyang-diin natin na ang ipinahiwatig na pagbabalangkas ng logarithm ay ginagawang posible upang agad na matukoy halaga ng logarithm, kapag ang numero sa ilalim ng logarithm sign ay kumikilos bilang isang tiyak na kapangyarihan ng base. Sa katunayan, ang pagbabalangkas ng logarithm ay ginagawang posible upang bigyang-katwiran na kung b=a c, pagkatapos ay ang logarithm ng numero b batay sa a katumbas Sa. Malinaw din na ang paksa ng logarithms ay malapit na nauugnay sa paksa kapangyarihan ng isang numero.

Ang pagkalkula ng logarithm ay tinatawag logarithm. Ang Logarithm ay ang matematikal na operasyon ng pagkuha ng logarithm. Kapag kumukuha ng logarithms, ang mga produkto ng mga salik ay binago sa kabuuan ng mga termino.

Potentiation ay ang inverse mathematical operation ng logarithm. Sa panahon ng potentiation, ang isang naibigay na base ay itinataas sa antas ng pagpapahayag kung saan ginaganap ang potentiation. Sa kasong ito, ang mga kabuuan ng mga termino ay binago sa isang produkto ng mga kadahilanan.

Kadalasan, ang mga tunay na logarithm ay ginagamit sa mga base 2 (binary), Euler's number e ≈ 2.718 (natural logarithm) at 10 (decimal).

Naka-on sa puntong ito ito ay ipinapayong isaalang-alang mga sample ng logarithm log 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

At ang mga entry na lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 ay walang katuturan, dahil sa una sa kanila isang negatibong numero ang inilalagay sa ilalim ng tanda ng logarithm, sa pangalawa mayroong negatibong numero sa base, at sa pangatlo ay may negatibong numero sa ilalim ng logarithm sign at unit sa base.

Mga kondisyon para sa pagtukoy ng logarithm.

Ito ay nagkakahalaga na isaalang-alang nang hiwalay ang mga kundisyon a > 0, a ≠ 1, b > 0. sa ilalim kung saan nakukuha natin kahulugan ng logarithm. Isaalang-alang natin kung bakit kinuha ang mga paghihigpit na ito. Ang pagkakapantay-pantay ng form na x = log α ay makakatulong sa atin dito b, na tinatawag na pangunahing logarithmic identity, na direktang sumusunod sa kahulugan ng logarithm na ibinigay sa itaas.

Kunin natin ang kondisyon a≠1. Dahil ang isa sa anumang kapangyarihan ay katumbas ng isa, kung gayon ang pagkakapantay-pantay x=log α b maaari lamang umiral kapag b=1, ngunit ang log 1 1 ay magiging anumang tunay na numero. Upang maalis ang kalabuan na ito, kukunin namin a≠1.

Patunayan natin ang pangangailangan ng kondisyon a>0. Sa a=0 ayon sa pagbabalangkas ng logarithm ay maaari lamang umiral kapag b=0. At ayon noon log 0 0 maaaring maging anumang di-zero na tunay na numero, dahil ang zero sa anumang di-zero na kapangyarihan ay zero. Ang kalabuan na ito ay maaaring alisin ng kondisyon a≠0. At kailan a<0 kailangan nating tanggihan ang pagsusuri ng mga makatwiran at hindi makatwiran na mga halaga ng logarithm, dahil ang isang antas na may makatwiran at hindi makatwiran na exponent ay tinukoy lamang para sa mga di-negatibong base. Ito ay para sa kadahilanang ito na ang kondisyon ay itinakda a>0.

At ang huling kondisyon b>0 sumusunod mula sa hindi pagkakapantay-pantay a>0, dahil x=log α b, at ang halaga ng degree na may positibong base a laging positibo.

Mga tampok ng logarithms.

Logarithms nailalarawan sa pamamagitan ng katangi-tangi mga tampok, na humantong sa kanilang malawakang paggamit upang makabuluhang mapadali ang maingat na pagkalkula. Kapag lumipat "sa mundo ng logarithms," ang multiplikasyon ay nababago sa isang mas madaling karagdagan, ang paghahati ay binago sa pagbabawas, at ang exponentiation at root extraction ay binago, ayon sa pagkakabanggit, sa multiplikasyon at paghahati ng exponent.

Pagbubuo ng mga logarithms at talahanayan ng kanilang mga halaga (para sa trigonometriko function) ay unang inilathala noong 1614 ng Scottish mathematician na si John Napier. Ang mga logarithmic table, na pinalaki at idinetalye ng ibang mga siyentipiko, ay malawakang ginagamit sa mga kalkulasyon ng siyensya at inhinyero, at nanatiling may kaugnayan hanggang sa magamit ang mga ito. mga elektronikong calculator at mga kompyuter.

Patuloy kaming nag-aaral ng logarithms. Sa artikulong ito ay pag-uusapan natin pagkalkula ng logarithms, ang prosesong ito ay tinatawag logarithm. Una ay mauunawaan natin ang pagkalkula ng logarithms sa pamamagitan ng kahulugan. Susunod, tingnan natin kung paano matatagpuan ang mga halaga ng logarithms gamit ang kanilang mga katangian. Pagkatapos nito, tututukan namin ang pagkalkula ng mga logarithms sa pamamagitan ng unang tinukoy na mga halaga ng iba pang mga logarithms. Sa wakas, alamin natin kung paano gamitin ang mga talahanayan ng logarithm. Ang buong teorya ay binibigyan ng mga halimbawa na may mga detalyadong solusyon.

Pag-navigate sa pahina.

Pagkalkula ng logarithms sa pamamagitan ng kahulugan

Sa pinakasimpleng mga kaso posible na gumanap nang mabilis at madali paghahanap ng logarithm sa pamamagitan ng kahulugan. Tingnan natin kung paano nangyayari ang prosesong ito.

Ang kakanyahan nito ay upang kumatawan sa bilang b sa anyong a c, kung saan, sa pamamagitan ng kahulugan ng isang logarithm, ang numero c ay ang halaga ng logarithm. Iyon ay, sa pamamagitan ng kahulugan, ang sumusunod na chain ng equalities ay tumutugma sa paghahanap ng logarithm: log a b=log a a c =c.

Kaya, ang pagkalkula ng logarithm sa pamamagitan ng kahulugan ay bumababa sa paghahanap ng isang numero c na ang isang c = b, at ang numero c mismo ay ang nais na halaga ng logarithm.

Isinasaalang-alang ang impormasyon sa mga nakaraang talata, kapag ang numero sa ilalim ng logarithm sign ay ibinigay ng isang tiyak na kapangyarihan ng logarithm base, maaari mong agad na ipahiwatig kung ano ang katumbas ng logarithm - ito ay katumbas ng exponent. Ipakita natin ang mga solusyon sa mga halimbawa.

Halimbawa.

Hanapin ang log 2 2 −3, at kalkulahin din ang natural na logarithm ng numerong e 5,3.

Solusyon.

Ang kahulugan ng logarithm ay nagpapahintulot sa atin na agad na sabihin na ang log 2 2 −3 =−3. Sa katunayan, ang numero sa ilalim ng logarithm sign ay katumbas ng base 2 sa −3 na kapangyarihan.

Katulad nito, makikita natin ang pangalawang logarithm: lne 5.3 =5.3.

Sagot:

log 2 2 −3 =−3 at lne 5,3 =5,3.

Kung ang numero b sa ilalim ng logarithm sign ay hindi tinukoy bilang isang kapangyarihan ng base ng logarithm, pagkatapos ay kailangan mong maingat na tumingin upang makita kung ito ay posible na magkaroon ng isang representasyon ng numero b sa form a c . Kadalasan ang representasyong ito ay medyo halata, lalo na kapag ang numero sa ilalim ng logarithm sign ay katumbas ng base sa kapangyarihan ng 1, o 2, o 3, ...

Halimbawa.

Kalkulahin ang logarithms log 5 25 , at .

Solusyon.

Madaling makita na 25=5 2, ito ay nagpapahintulot sa iyo na kalkulahin ang unang logarithm: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Magpatuloy tayo sa pagkalkula ng pangalawang logarithm. Ang numero ay maaaring katawanin bilang isang kapangyarihan ng 7: (tingnan kung kinakailangan). Kaya naman, .

Isulat muli natin ang ikatlong logarithm sa sumusunod na anyo. Ngayon ay makikita mo na , kung saan napagpasyahan namin iyon . Samakatuwid, sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm .

Sa madaling sabi, ang solusyon ay maaaring isulat tulad ng sumusunod: .

Sagot:

log 5 25=2 , At .

Kapag mayroong sapat na malaking natural na numero sa ilalim ng logarithm sign, hindi masakit na palawakin ito pangunahing mga kadahilanan. Kadalasan ay nakakatulong na kumatawan sa naturang numero bilang ilang kapangyarihan ng base ng logarithm, at samakatuwid ay kalkulahin ang logarithm na ito sa pamamagitan ng kahulugan.

Halimbawa.

Hanapin ang halaga ng logarithm.

Solusyon.

Ang ilang mga katangian ng logarithms ay nagbibigay-daan sa iyo upang agad na tukuyin ang halaga ng logarithms. Kasama sa mga katangiang ito ang pag-aari ng logarithm ng isa at ang pag-aari ng logarithm ng isang numero na katumbas ng base: log 1 1=log a a 0 =0 at log a a=log a a 1 =1. Iyon ay, kapag sa ilalim ng tanda ng logarithm mayroong isang numero 1 o isang numero na katumbas ng base ng logarithm, kung gayon sa mga kasong ito ang mga logarithm ay katumbas ng 0 at 1, ayon sa pagkakabanggit.

Halimbawa.

Ano ang katumbas ng logarithms at log10?

Solusyon.

Dahil , pagkatapos ay mula sa kahulugan ng logarithm ito ay sumusunod .

Sa pangalawang halimbawa, ang numero 10 sa ilalim ng logarithm sign ay tumutugma sa base nito, kaya ang decimal logarithm ng sampu ay katumbas ng isa, iyon ay, lg10=lg10 1 =1.

Sagot:

AT lg10=1 .

Tandaan na ang pagkalkula ng logarithms ayon sa kahulugan (na tinalakay natin sa nakaraang talata) ay nagpapahiwatig ng paggamit ng equality log a a p =p, na isa sa mga katangian ng logarithms.

Sa pagsasagawa, kapag ang isang numero sa ilalim ng logarithm sign at ang base ng logarithm ay madaling kinakatawan bilang isang kapangyarihan ng isang tiyak na numero, napaka-maginhawang gamitin ang formula. , na tumutugma sa isa sa mga katangian ng logarithms. Tingnan natin ang isang halimbawa ng paghahanap ng logarithm na naglalarawan ng paggamit ng formula na ito.

Halimbawa.

Kalkulahin ang logarithm.

Solusyon.

Sagot:

.

Ang mga katangian ng logarithms na hindi nabanggit sa itaas ay ginagamit din sa mga kalkulasyon, ngunit pag-uusapan natin ito sa mga sumusunod na talata.

Paghahanap ng mga logarithm sa pamamagitan ng iba pang kilalang logarithms

Ang impormasyon sa talatang ito ay nagpapatuloy sa paksa ng paggamit ng mga katangian ng logarithms kapag kinakalkula ang mga ito. Ngunit dito ang pangunahing pagkakaiba ay ang mga katangian ng logarithm ay ginagamit upang ipahayag ang orihinal na logarithm sa mga tuntunin ng isa pang logarithm, ang halaga nito ay kilala. Magbigay tayo ng isang halimbawa para sa paglilinaw. Sabihin nating alam natin na log 2 3≈1.584963, pagkatapos ay mahahanap natin, halimbawa, log 2 6 sa pamamagitan ng paggawa ng kaunting pagbabago gamit ang mga katangian ng logarithm: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Sa halimbawa sa itaas, sapat na para sa amin na gamitin ang property ng logarithm ng isang produkto. Gayunpaman, mas madalas na kinakailangan na gumamit ng isang mas malawak na arsenal ng mga katangian ng logarithms upang makalkula ang orihinal na logarithm sa pamamagitan ng mga ibinigay.

Halimbawa.

Kalkulahin ang logarithm ng 27 hanggang base 60 kung alam mo na ang log 60 2=a at log 60 5=b.

Solusyon.

Kaya kailangan nating hanapin ang log 60 27 . Madaling makita na ang 27 = 3 3 , at ang orihinal na logarithm, dahil sa pag-aari ng logarithm ng kapangyarihan, ay maaaring muling isulat bilang 3·log 60 3 .

Ngayon tingnan natin kung paano ipahayag ang log 60 3 sa mga tuntunin ng mga kilalang logarithms. Ang pag-aari ng logarithm ng isang numero na katumbas ng base ay nagpapahintulot sa amin na isulat ang equality log 60 60=1. Sa kabilang banda, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . kaya, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Kaya naman, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Sa wakas, kinakalkula namin ang orihinal na logarithm: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Sagot:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Hiwalay, ito ay nagkakahalaga ng pagbanggit ng kahulugan ng formula para sa paglipat sa isang bagong base ng logarithm ng form . Pinapayagan ka nitong lumipat mula sa logarithms na may anumang base patungo sa logarithms na may isang tiyak na base, ang mga halaga nito ay kilala o posible na mahanap ang mga ito. Karaniwan, mula sa orihinal na logarithm, gamit ang formula ng paglipat, lumipat sila sa logarithms sa isa sa mga base 2, e o 10, dahil para sa mga base na ito ay may mga talahanayan ng logarithms na nagpapahintulot sa kanilang mga halaga na kalkulahin na may isang tiyak na antas ng katumpakan. Sa susunod na talata ay ipapakita natin kung paano ito ginagawa.

Logarithm table at ang mga gamit nito

Para sa tinatayang pagkalkula ng mga halaga ng logarithm ay maaaring gamitin mga talahanayan ng logarithm. Ang pinakakaraniwang ginagamit na base 2 logarithm table, natural logarithm table, at decimal logarithms. Kapag nagtatrabaho sa sistema ng decimal na numero, maginhawang gumamit ng talahanayan ng mga logarithms batay sa base ten. Sa tulong nito matututunan nating hanapin ang mga halaga ng logarithms.

Ang ipinakita na talahanayan ay nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang mga halaga ng decimal logarithms ng mga numero mula 1,000 hanggang 9,999 (na may tatlong decimal na lugar) na may katumpakan ng isang sampung libo. Susuriin namin ang prinsipyo ng paghahanap ng halaga ng logarithm gamit ang talahanayan ng mga decimal logarithm gamit ang isang partikular na halimbawa - mas malinaw ito sa ganitong paraan. Hanapin natin ang log1.256.

Sa kaliwang hanay ng talahanayan ng mga decimal logarithms makikita natin ang unang dalawang digit ng numerong 1.256, iyon ay, nakita natin ang 1.2 (ang numerong ito ay binilog sa asul para sa kalinawan). Ang ikatlong digit ng numerong 1.256 (digit 5) ay matatagpuan sa una o huling linya sa kaliwa ng dobleng linya (ang numerong ito ay binilog ng pula). Ang ikaapat na digit ng orihinal na numero 1.256 (digit 6) ay matatagpuan sa una o huling linya sa kanan ng dobleng linya (ang numerong ito ay binibigyang bilog ng berdeng linya). Ngayon nakita namin ang mga numero sa mga cell ng talahanayan ng mga logarithms sa intersection ng minarkahang hilera at minarkahang mga haligi (ang mga numerong ito ay naka-highlight kahel). Ang kabuuan ng mga minarkahang numero ay nagbibigay ng nais na halaga ng decimal logarithm na tumpak sa ikaapat na decimal place, iyon ay, log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

Posible ba, gamit ang talahanayan sa itaas, upang mahanap ang mga halaga ng decimal logarithms ng mga numero na may higit sa tatlong digit pagkatapos ng decimal point, pati na rin ang mga lumalampas sa saklaw mula 1 hanggang 9.999? Oo kaya mo. Ipakita natin kung paano ito ginagawa gamit ang isang halimbawa.

Kalkulahin natin ang lg102.76332. Una kailangan mong isulat numero sa karaniwang anyo : 102.76332=1.0276332·10 2. Pagkatapos nito, ang mantissa ay dapat na bilugan sa ikatlong decimal na lugar, mayroon kami 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, habang ang orihinal na decimal logarithm ay humigit-kumulang katumbas ng logarithm ng resultang numero, ibig sabihin, kumukuha kami ng log102.76332≈lg1.028·10 2. Ngayon inilalapat namin ang mga katangian ng logarithm: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Sa wakas, nakita namin ang halaga ng logarithm lg1.028 mula sa talahanayan ng decimal logarithms lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Bilang resulta, ang buong proseso ng pagkalkula ng logarithm ay ganito: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

Sa konklusyon, ito ay nagkakahalaga ng noting na gamit ang isang talahanayan ng decimal logarithms maaari mong kalkulahin ang tinatayang halaga ng anumang logarithm. Upang gawin ito, sapat na gamitin ang formula ng paglipat upang pumunta sa decimal logarithms, hanapin ang kanilang mga halaga sa talahanayan, at isagawa ang natitirang mga kalkulasyon.

Halimbawa, kalkulahin natin ang log 2 3 . Ayon sa formula para sa paglipat sa isang bagong base ng logarithm, mayroon kaming . Mula sa talahanayan ng decimal logarithms makikita natin ang log3≈0.4771 at log2≈0.3010. kaya, .

Bibliograpiya.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. at iba pa.Algebra at ang simula ng pagsusuri: Teksbuk para sa mga baitang 10 - 11 ng mga institusyong pangkalahatang edukasyon.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematics (isang manwal para sa mga pumapasok sa mga teknikal na paaralan).