Bilang:

± d m … d 1 d 0 , d -1 d -2 …

kung saan ang ± ay ang fraction sign: alinman sa +, o -,

, ay isang decimal point na nagsisilbing separator sa pagitan ng integer at fractional na bahagi ng isang numero,

dk- mga decimal na numero.

Sa kasong ito, ang pagkakasunud-sunod ng mga numero bago ang decimal point (sa kaliwa nito) ay may dulo (bilang min 1 bawat digit), at pagkatapos ng decimal point (sa kanan) maaari itong parehong may hangganan (bilang isang opsyon, maaaring walang mga digit pagkatapos ng decimal point) at walang katapusan.

halaga ng desimal ± d m … d 1 d 0 , d -1 d -2 … ay isang tunay na numero:

na katumbas ng kabuuan ng isang may hangganan o walang katapusang bilang ng mga termino.

Ang kumakatawan sa mga tunay na numero gamit ang mga decimal fraction ay isang paglalahat ng pagsulat ng mga integer sa sistema ng decimal na numero. Ang decimal na representasyon ng isang integer ay walang mga digit pagkatapos ng decimal point, kaya ang representasyon ay ganito ang hitsura:

± d m … d 1 d 0 ,

At ito ay kasabay ng pagsulat ng ating numero sa sistema ng decimal na numero.

Decimal - ito ang resulta ng paghahati ng 1 sa 10, 100, 1000 at iba pa. Ang mga fraction na ito ay medyo maginhawa para sa mga kalkulasyon, dahil nakabatay ang mga ito sa parehong positional system kung saan nakabatay ang pagbibilang at pagtatala ng mga integer. Dahil dito, ang notasyon at mga panuntunan para sa pagtatrabaho sa mga decimal fraction ay halos kapareho ng para sa mga buong numero.

Kapag nagsusulat ng mga decimal fraction, hindi mo kailangang markahan ang denominator; ito ay tinutukoy ng lugar na inookupahan ng kaukulang digit. Una naming isulat ang buong bahagi ng numero, pagkatapos ay naglalagay kami ng decimal point sa kanan. Ang unang digit pagkatapos ng decimal point ay nagpapahiwatig ng bilang ng mga tenths, ang pangalawa - ang bilang ng hundredths, ang pangatlo - ang bilang ng thousandths, at iba pa. Ang mga numerong matatagpuan pagkatapos ng decimal point ay mga decimal.

Halimbawa:

Ang isa sa mga pakinabang ng mga decimal fraction ay ang mga ito ay napakadaling bawasan sa ordinaryong mga fraction: ang numero pagkatapos ng decimal point (para sa amin ito ay 5047) ay numerator; denominador katumbas n-ika kapangyarihan ng 10, kung saan n- ang bilang ng mga decimal na lugar (para sa amin ito ay n=4):

Kapag walang integer na bahagi sa isang decimal fraction, naglalagay kami ng zero bago ang decimal point:

Mga katangian ng mga decimal fraction.

1. Hindi nagbabago ang decimal kapag idinagdag ang mga zero sa kanan:

13.6 =13.6000.

2. Hindi nagbabago ang decimal kapag inalis ang mga zero sa dulo ng decimal:

0.00123000 = 0.00123.

Pansin! Hindi mo maaaring alisin ang mga zero na HINDI matatagpuan sa dulo ng decimal fraction!

3. Ang decimal fraction ay tumataas ng 10, 100, 1000 at iba pa kapag inililipat natin ang decimal point sa 1, 2, 2 at iba pa na mga posisyon sa kanan, ayon sa pagkakabanggit:

3.675 → 367.5 (nadagdagan ang fraction ng isang daang beses).

4. Ang decimal fraction ay nagiging sampu, isang daan, libo, at iba pa nang mas maliit kapag inilipat natin ang decimal point sa 1, 2, 3, at iba pa na mga posisyon sa kaliwa, ayon sa pagkakabanggit:

1536.78 → 1.53678 (ang fraction ay naging isang libong beses na mas maliit).

Mga uri ng decimal fraction.

Ang mga desimal na praksiyon ay nahahati sa pangwakas, walang katapusan At panaka-nakang mga decimal.

Ang huling decimal fraction ay ito ay isang fraction na naglalaman ng isang may hangganang bilang ng mga digit pagkatapos ng decimal point (o wala talaga), i.e. parang ganyan:

Ang isang tunay na numero ay maaaring katawanin bilang isang finite decimal fraction lamang kung ang numerong ito ay makatwiran at kapag isinulat bilang isang irreducible fraction p/q denominador q ay walang pangunahing mga kadahilanan maliban sa 2 at 5.

Walang katapusang decimal.

Naglalaman ng walang katapusan na paulit-ulit na pangkat ng mga numero na tinatawag panahon. Ang panahon ay nakasulat sa mga bracket. Halimbawa, 0.12345123451234512345… = 0.(12345).

Pana-panahong decimal- ito ay isang infinite decimal fraction kung saan ang sequence ng mga digit pagkatapos ng decimal point, simula sa isang partikular na lugar, ay isang pana-panahong umuulit na pangkat ng mga digit. Sa ibang salita, periodic fraction- isang decimal fraction na ganito ang hitsura:

Ang nasabing fraction ay karaniwang maikli na isinusulat tulad ng sumusunod:

Grupo ng mga numero b 1 … b l, na umuulit, ay panahon ng fraction, ang bilang ng mga digit sa pangkat na ito ay haba ng panahon.

Kapag nasa periodic fraction tumatakbo ang period kaagad pagkatapos ng decimal point, na nangangahulugang ang fraction ay puro periodic. Kapag may mga numero sa pagitan ng decimal point at ang 1st period, ang fraction ay halo-halong pana-panahon, at ang pangkat ng mga digit pagkatapos ng decimal point hanggang sa 1st digit ng tuldok ay fraction preperiod.

Halimbawa, ang fraction 1,(23) = 1.2323... ay purong periodic, at ang fraction na 0.1(23) = 0.12323... ay mixed periodic.

Ang pangunahing pag-aari ng mga periodic fraction, dahil sa kung saan sila ay nakikilala mula sa buong hanay ng mga decimal fraction, ay nakasalalay sa katotohanan na ang mga periodic fraction at ang mga ito lamang ang kumakatawan sa mga rational na numero. Mas tiyak, ang mga sumusunod ay nangyayari:

Ang anumang walang katapusang periodic decimal fraction ay kumakatawan sa isang rational na numero. Sa kabaligtaran, kapag ang isang rational na numero ay pinalawak sa isang walang katapusang decimal fraction, nangangahulugan ito na ang fraction na ito ay magiging pana-panahon.

Ang artikulong ito ay tungkol sa mga decimal. Dito natin mauunawaan ang decimal notation ng fractional number, ipakilala ang konsepto ng decimal fraction at magbigay ng mga halimbawa ng decimal fraction. Susunod na pag-uusapan natin ang tungkol sa mga digit ng decimal fraction at ibibigay ang mga pangalan ng mga digit. Pagkatapos nito, tututukan natin ang mga infinite decimal fraction, pag-usapan natin ang periodic at non-periodic fraction. Susunod, inilista namin ang mga pangunahing operasyon na may mga decimal fraction. Sa konklusyon, itatag natin ang posisyon ng mga decimal fraction sa coordinate beam.

Pag-navigate sa pahina.

Decimal notation ng isang fractional number

Pagbasa ng Decimal

Sabihin natin ang ilang mga salita tungkol sa mga panuntunan para sa pagbabasa ng mga decimal fraction.

Ang mga desimal na praksiyon, na tumutugma sa wastong ordinaryong mga praksiyon, ay binabasa sa parehong paraan tulad ng mga ordinaryong praksiyon na ito, tanging "zero integer" ang unang idinagdag. Halimbawa, ang decimal na fraction 0.12 ay tumutugma sa karaniwang fraction na 12/100 (basahin ang "labindalawang daan"), samakatuwid, ang 0.12 ay binabasa bilang "zero point twelve hundredths".

Ang mga desimal na praksiyon na tumutugma sa mga pinaghalong numero ay eksaktong kapareho ng pagbasa sa mga pinaghalong numerong ito. Halimbawa, ang decimal fraction na 56.002 ay tumutugma sa isang mixed number, kaya ang decimal fraction na 56.002 ay binabasa bilang "fifty-six point two thousandths."

Mga lugar sa mga decimal

Sa pagsulat ng mga decimal fraction, gayundin sa pagsulat natural na mga numero, ang kahulugan ng bawat digit ay depende sa posisyon nito. Sa katunayan, ang numero 3 sa decimal fraction 0.3 ay nangangahulugang tatlong tenths, sa decimal fraction 0.0003 - tatlong ten thousandths, at sa decimal fraction 30,000.152 - tatlong sampu-sampung libo. Para mapag-usapan natin mga decimal na lugar, pati na rin ang tungkol sa mga digit sa natural na mga numero.

Ang mga pangalan ng mga digit sa decimal fraction hanggang sa decimal point ay ganap na tumutugma sa mga pangalan ng mga digit sa natural na mga numero. At ang mga pangalan ng mga decimal na lugar pagkatapos ng decimal point ay makikita mula sa sumusunod na talahanayan.

Halimbawa, sa decimal fraction 37.051, ang digit 3 ay nasa sampu na lugar, 7 ay nasa units place, 0 ay nasa tenths place, 5 ay nasa hundredths place, at 1 ay nasa thousandths place.

Ang mga lugar sa mga decimal fraction ay magkakaiba din sa precedence. Kung sa pagsulat ng isang decimal fraction ay lumipat tayo mula sa digit hanggang sa digit mula kaliwa hanggang kanan, pagkatapos ay lilipat tayo mula sa mga nakatatanda Upang junior ranks. Halimbawa, ang hundreds place ay mas matanda kaysa sa tenths place, at ang millions place ay mas mababa kaysa sa hundredths place. Sa isang binigay na panghuling bahagi ng decimal, maaari nating pag-usapan ang mga major at minor na digit. Halimbawa, sa decimal fraction 604.9387 nakatatanda (pinakamataas) ang lugar ay ang daan-daang lugar, at junior (pinakamababa)- sampung-libong digit.

Para sa mga decimal fraction, nagaganap ang pagpapalawak sa mga digit. Ito ay katulad ng pagpapalawak sa mga digit ng natural na mga numero. Halimbawa, ang pagpapalawak sa mga decimal na lugar ng 45.6072 ay ang mga sumusunod: 45.6072=40+5+0.6+0.007+0.0002. At ang mga katangian ng karagdagan mula sa decomposition ng isang decimal fraction sa mga digit ay nagbibigay-daan sa iyo na lumipat sa iba pang mga representasyon ng decimal fraction na ito, halimbawa, 45.6072=45+0.6072, o 45.6072=40.6+5.007+0.0002, o 45.6072= 45.6072= 45.6072= 45. 0.6.

Nagtatapos ang mga decimal

Hanggang sa puntong ito, napag-usapan lamang natin ang tungkol sa mga decimal fraction, sa notasyon kung saan mayroong isang may hangganang bilang ng mga digit pagkatapos ng decimal point. Ang mga nasabing fraction ay tinatawag na finite decimals.

Kahulugan.

Nagtatapos ang mga decimal- Ito ay mga decimal fraction, ang mga talaan ay naglalaman ng isang may hangganang bilang ng mga character (mga digit).

Narito ang ilang halimbawa ng mga final decimal fraction: 0.317, 3.5, 51.1020304958, 230,032.45.

Gayunpaman, hindi lahat ng fraction ay maaaring katawanin bilang isang panghuling decimal. Halimbawa, ang fraction na 5/13 ay hindi maaaring palitan ng isang katumbas na fraction na may isa sa mga denominator na 10, 100, ..., samakatuwid, ay hindi maaaring ma-convert sa isang final decimal fraction. Pag-uusapan natin ang higit pa tungkol dito sa seksyon ng teorya, pag-convert ng mga ordinaryong fraction sa mga decimal.

Infinite Decimals: Periodic Fractions at Non-Periodic Fractions

Sa pagsulat ng isang decimal fraction pagkatapos ng decimal point, maaaring ipalagay ng isa ang posibilidad ng isang walang katapusang bilang ng mga digit. Sa kasong ito, isasaalang-alang natin ang tinatawag na mga infinite decimal fraction.

Kahulugan.

Walang katapusang mga decimal- Ito ay mga decimal fraction, na naglalaman ng walang katapusang bilang ng mga digit.

Malinaw na hindi natin maisusulat ang mga infinite decimal fraction sa buong anyo, kaya't sa kanilang pagtatala ay nililimitahan natin ang ating sarili sa isang tiyak na may hangganang bilang lamang ng mga digit pagkatapos ng decimal point at naglalagay ng ellipsis na nagpapahiwatig ng walang katapusan na patuloy na pagkakasunud-sunod ng mga digit. Narito ang ilang halimbawa ng mga infinite decimal fraction: 0.143940932…, 3.1415935432…, 153.02003004005…, 2.111111111…, 69.74152152152….

Kung titingnan mong mabuti ang huling dalawang infinite decimal fraction, pagkatapos ay sa fraction 2.111111111... ang walang katapusang pag-uulit ng numero 1 ay malinaw na makikita, at sa fraction 69.74152152152..., simula sa ikatlong decimal place, isang paulit-ulit na grupo ng mga numero. Malinaw na nakikita ang 1, 5 at 2. Ang ganitong mga walang katapusang decimal fraction ay tinatawag na periodic.

Kahulugan.

Pana-panahong mga decimal(o simple lang periodic fractions) ay walang katapusang mga decimal fraction, sa pagtatala kung saan, simula sa isang tiyak na lugar ng decimal, ilang numero o pangkat ng mga numero ay walang katapusang inuulit, na tinatawag panahon ng fraction.

Halimbawa, ang panahon ng periodic fraction 2.111111111... ay ang digit 1, at ang panahon ng fraction na 69.74152152152... ay isang pangkat ng mga digit ng form na 152.

Para sa walang katapusan na periodic decimal fraction ito ay tinatanggap espesyal na hugis mga tala. Para sa maikli, napagkasunduan naming isulat ang tuldok nang isang beses, kasama ito sa mga panaklong. Halimbawa, ang periodic fraction 2.111111111... ay isinusulat bilang 2,(1) , at ang periodic fraction na 69.74152152152... ay isinusulat bilang 69.74(152) .

Ito ay nagkakahalaga ng noting na para sa parehong periodic decimal fraction maaari mong tukuyin iba't ibang panahon. Halimbawa, ang periodic decimal fraction na 0.73333... ay maaaring ituring bilang isang fraction 0.7(3) na may period na 3, at bilang isang fraction na 0.7(33) na may period na 33, at iba pa 0.7(333), 0.7 (3333), ... Maaari mo ring tingnan ang periodic fraction 0.73333 ... tulad nito: 0.733(3), o tulad nito 0.73(333), atbp. Dito, upang maiwasan ang kalabuan at mga pagkakaiba, sumasang-ayon kaming isaalang-alang bilang panahon ng isang decimal fraction ang pinakamaikli sa lahat ng posibleng pagkakasunud-sunod ng mga umuulit na digit, at simula sa pinakamalapit na posisyon hanggang sa decimal point. Iyon ay, ang panahon ng decimal na fraction 0.73333... ay ituturing na pagkakasunod-sunod ng isang digit 3, at ang periodicity ay magsisimula sa pangalawang posisyon pagkatapos ng decimal point, iyon ay, 0.73333...=0.7(3). Isa pang halimbawa: ang periodic fraction 4.7412121212... ay may period na 12, ang periodicity ay nagsisimula sa ikatlong digit pagkatapos ng decimal point, iyon ay, 4.7412121212...=4.74(12).

Ang mga infinite decimal periodic fraction ay nakukuha sa pamamagitan ng pag-convert sa decimal fraction ng ordinaryong mga fraction na ang mga denominator ay naglalaman pangunahing mga kadahilanan, iba sa 2 at 5.

Narito ito ay nagkakahalaga ng pagbanggit ng mga periodic fraction na may panahon na 9. Magbigay tayo ng mga halimbawa ng naturang mga fraction: 6.43(9) , 27,(9) . Ang mga fraction na ito ay isa pang notasyon para sa mga periodic fraction na may tuldok 0, at karaniwan nang palitan ang mga ito periodic fractions may period 0. Upang gawin ito, ang panahon 9 ay pinalitan ng panahon 0, at ang halaga ng susunod na pinakamataas na digit ay nadagdagan ng isa. Halimbawa, ang isang fraction na may period 9 ng form 7.24(9) ay pinapalitan ng periodic fraction na may period 0 ng form 7.25(0) o isang katumbas na final decimal fraction na 7.25. Isa pang halimbawa: 4,(9)=5,(0)=5. Ang pagkakapantay-pantay ng isang fraction na may tuldok 9 at ang katumbas na fraction nito na may tuldok 0 ay madaling maitatag pagkatapos palitan ang mga decimal fraction na ito ng pantay na ordinaryong fraction.

Panghuli, tingnan natin ang mga walang katapusang decimal fraction, na hindi naglalaman ng walang katapusang paulit-ulit na pagkakasunod-sunod ng mga digit. Ang mga ito ay tinatawag na non-periodic.

Kahulugan.

Mga hindi umuulit na decimal(o simple lang non-periodic fractions) ay mga infinite decimal fraction na walang tuldok.

Minsan ang mga non-periodic fraction ay may anyo na katulad ng periodic fraction, halimbawa, 8.02002000200002... ay isang non-periodic fraction. Sa mga kasong ito, dapat kang maging maingat lalo na upang mapansin ang pagkakaiba.

Tandaan na ang mga non-periodic fraction ay hindi nagko-convert sa ordinaryong fraction; infinite non-periodic decimal fraction ay kumakatawan sa mga irrational na numero.

Mga operasyon na may mga decimal

Ang isa sa mga operasyon na may mga decimal fraction ay paghahambing, at ang apat na pangunahing arithmetic function ay tinukoy din mga operasyon na may mga decimal: karagdagan, pagbabawas, pagpaparami at paghahati. Isaalang-alang natin ang bawat isa sa mga aksyon na may mga decimal fraction.

Paghahambing ng mga decimal mahalagang batay sa paghahambing ng mga ordinaryong fraction na tumutugma sa mga decimal fraction na inihahambing. Gayunpaman, ang pag-convert ng mga decimal fraction sa mga ordinaryong fraction ay medyo labor-intensive na operasyon, at ang mga infinite non-periodic fraction ay hindi maaaring katawanin sa anyo. karaniwang fraction, samakatuwid ito ay maginhawang gumamit ng paghahambing sa bawat lugar ng mga decimal fraction. Place-wise na paghahambing ng mga decimal fraction ay katulad ng paghahambing ng mga natural na numero. Para sa mas detalyadong impormasyon, inirerekomenda naming pag-aralan ang artikulo: paghahambing ng mga decimal fraction, mga panuntunan, mga halimbawa, mga solusyon.

Lumipat tayo sa susunod na hakbang - pagpaparami ng mga decimal. Ang pagpaparami ng mga finite decimal fraction ay isinasagawa katulad ng pagbabawas ng mga decimal fraction, mga panuntunan, mga halimbawa, mga solusyon sa multiplikasyon sa pamamagitan ng isang column ng mga natural na numero. Sa kaso ng mga periodic fraction, ang multiplikasyon ay maaaring bawasan sa multiplikasyon ng mga ordinaryong fraction. Sa turn, ang multiplikasyon ng walang katapusang non-periodic decimal fraction pagkatapos ng kanilang pag-round ay nababawasan sa multiplication ng finite decimal fraction. Inirerekomenda namin para sa karagdagang pag-aaral ng materyal sa artikulo: pagpaparami ng mga decimal fraction, mga panuntunan, mga halimbawa, mga solusyon.

Mga desimal sa isang coordinate ray

Mayroong isa-sa-isang pagsusulatan sa pagitan ng mga puntos at mga decimal.

Alamin natin kung paano nabuo ang mga punto sa coordinate ray na tumutugma sa isang binigay na bahagi ng decimal.

Maaari nating palitan ang mga finite decimal fraction at infinite periodic decimal fraction na may pantay na ordinaryong fraction, at pagkatapos ay buuin ang kaukulang ordinaryong fraction sa coordinate ray. Halimbawa, ang decimal na fraction 1.4 ay tumutugma sa karaniwang fraction na 14/10, kaya ang punto na may coordinate 1.4 ay inalis mula sa pinanggalingan sa positibong direksyon ng 14 na segment na katumbas ng ikasampu ng isang unit segment.

Ang mga desimal na fraction ay maaaring markahan sa isang coordinate ray, simula sa decomposition ng isang binigay na decimal fraction sa mga digit. Halimbawa, kailangan nating bumuo ng isang punto na may coordinate 16.3007, dahil 16.3007=16+0.3+0.0007, pagkatapos ay makakarating tayo sa puntong ito sa pamamagitan ng sunud-sunod na paglalagay ng 16 na mga segment ng yunit mula sa pinanggalingan ng mga coordinate, 3 mga segment na ang haba ay katumbas ng ikasampu ng isang yunit, at 7 mga segment, ang haba nito ay katumbas ng isang ikasampung libo ng isang segment ng yunit.

Ang ganitong paraan ng pagtatayo decimal na mga numero sa coordinate ray ay nagbibigay-daan sa iyo upang makakuha ng mas malapit hangga't gusto mo sa punto na tumutugma sa walang katapusang decimal fraction.

Minsan posible na tumpak na i-plot ang punto na tumutugma sa isang walang katapusang decimal fraction. Halimbawa, , pagkatapos itong walang katapusang decimal fraction na 1.41421... ay tumutugma sa isang punto sa coordinate ray, na malayo sa pinanggalingan ng mga coordinate sa pamamagitan ng haba ng dayagonal ng isang parisukat na may gilid ng 1 unit na segment.

Ang baligtad na proseso ng pagkuha ng decimal fraction na tumutugma sa isang naibigay na punto sa isang coordinate ray ay ang tinatawag na decimal na pagsukat ng isang segment. Alamin natin kung paano ito ginagawa.

Hayaan ang aming gawain ay upang makakuha mula sa pinanggalingan sa isang naibigay na punto sa linya ng coordinate (o upang lapitan ito nang walang katapusan kung hindi natin ito maabot). Gamit ang decimal na pagsukat ng isang segment, maaari naming sunud-sunod na tanggalin mula sa pinanggalingan ang anumang bilang ng mga segment ng unit, pagkatapos ay mga segment na ang haba ay katumbas ng isang ikasampu ng isang unit, pagkatapos ay mga segment na ang haba ay katumbas ng isang hundredth ng isang unit, atbp. Sa pamamagitan ng pagtatala ng bilang ng mga segment ng bawat haba na nakatabi, nakukuha namin ang decimal na fraction na tumutugma sa isang naibigay na punto sa coordinate ray.

Halimbawa, upang makarating sa point M sa figure sa itaas, kailangan mong magtabi ng 1 unit segment at 4 na segment, na ang haba nito ay katumbas ng ikasampu ng isang unit. Kaya, ang point M ay tumutugma sa decimal fraction 1.4.

Malinaw na ang mga punto ng coordinate ray na hindi maabot sa proseso ng pagsukat ng decimal ay tumutugma sa mga walang katapusang decimal fraction.

Bibliograpiya.

• Mathematics: aklat-aralin para sa ika-5 baitang. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21st ed., nabura. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 pp.: may sakit. ISBN 5-346-00699-0.
• Mathematics. Ika-6 na baitang: pang-edukasyon. para sa pangkalahatang edukasyon mga institusyon / [N. Oo. Vilenkin at iba pa]. - 22nd ed., rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: may sakit. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: aklat-aralin para sa ika-8 baitang. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; inedit ni S. A. Teleyakovsky. - ika-16 na ed. - M.: Edukasyon, 2008. - 271 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (isang manwal para sa mga pumapasok sa mga teknikal na paaralan): Proc. allowance.- M.; Mas mataas paaralan, 1984.-351 p., may sakit.

Ilalaan namin ang materyal na ito sa isang mahalagang paksa tulad ng mga decimal fraction. Una, tukuyin natin ang mga pangunahing kahulugan, magbigay ng mga halimbawa at pag-isipan ang mga panuntunan ng decimal notation, pati na rin kung ano ang mga digit ng decimal fractions. Susunod, binibigyang-diin namin ang mga pangunahing uri: may hangganan at walang katapusan, pana-panahon at hindi pana-panahong mga praksyon. Sa huling bahagi ipapakita namin kung paano matatagpuan ang mga puntos na tumutugma sa mga fractional na numero sa coordinate axis.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ano ang decimal notation ng fractional numbers

Ang tinatawag na decimal notation ng mga fractional na numero ay maaaring gamitin para sa parehong natural at fractional na mga numero. Mukhang isang set ng dalawa o higit pang mga numero na may kuwit sa pagitan ng mga ito.

Ang decimal point ay kailangan upang paghiwalayin ang buong bahagi mula sa fractional na bahagi. Bilang isang panuntunan, ang huling digit ng isang decimal fraction ay hindi isang zero, maliban kung ang decimal point ay lilitaw kaagad pagkatapos ng unang zero.

Ano ang ilang halimbawa ng mga fractional na numero sa decimal notation? Ito ay maaaring 34, 21, 0, 35035044, 0, 0001, 11,231,552, 9, atbp.

Sa ilang mga aklat-aralin ay makikita mo ang paggamit ng tuldok sa halip na isang kuwit (5. 67, 6789. 1011, atbp.). Ang opsyong ito ay itinuturing na katumbas, ngunit mas karaniwan ito para sa mga pinagmumulan ng wikang Ingles.

Kahulugan ng mga decimal

Batay sa konsepto sa itaas ng decimal notation, maaari nating bumalangkas ang sumusunod na kahulugan ng decimal fractions:

Kahulugan 1

Kinakatawan ng mga desimal na fraction mga fractional na numero sa decimal notation.

Bakit kailangan nating magsulat ng mga fraction sa form na ito? Nagbibigay ito sa amin ng ilang mga pakinabang kaysa sa mga ordinaryong, halimbawa, isang mas compact na notasyon, lalo na sa mga kaso kung saan ang denominator ay naglalaman ng 1000, 100, 10, atbp., o isang halo-halong numero. Halimbawa, sa halip na 6 10 maaari nating tukuyin ang 0.6, sa halip na 25 10000 - 0.0023, sa halip na 512 3 100 - 512.03.

Kung paano kumatawan nang tama ang mga ordinaryong fraction na may sampu, daan, libo sa denominator sa decimal form ay tatalakayin sa isang hiwalay na materyal.

Paano basahin nang tama ang mga decimal

Mayroong ilang mga panuntunan para sa pagbabasa ng mga decimal notation. Kaya, ang mga decimal fraction na iyon na tumutugma sa kanilang mga regular na ordinaryong katumbas ay binabasa halos sa parehong paraan, ngunit sa pagdaragdag ng mga salitang "zero tenths" sa simula. Kaya, ang entry na 0, 14, na katumbas ng 14,100, ay binabasa bilang “zero point labing apat na raan.”

Kung ang isang decimal fraction ay maaaring iugnay sa isang halo-halong numero, ito ay binabasa sa parehong paraan tulad ng numerong ito. Kaya, kung mayroon tayong fraction na 56, 002, na tumutugma sa 56 2 1000, binasa natin ang entry na ito bilang "fifty-six point two thousandths."

Ang kahulugan ng isang digit sa isang decimal fraction ay depende sa kung saan ito matatagpuan (katulad ng sa kaso ng mga natural na numero). Kaya, sa decimal na fraction 0.7, pito ay tenths, sa 0.0007 ito ay ten thousandths, at sa fraction 70,000.345 ibig sabihin pitong sampu-sampung libo ng buong units. Kaya, sa mga decimal fraction ay mayroon ding konsepto ng place value.

Ang mga pangalan ng mga digit na matatagpuan bago ang decimal point ay katulad ng mga nasa natural na mga numero. Ang mga pangalan ng mga matatagpuan pagkatapos ay malinaw na ipinakita sa talahanayan:

Tingnan natin ang isang halimbawa.

Halimbawa 1

Mayroon tayong decimal fraction na 43,098. Siya ay may apat sa sampu-sampung lugar, isang tatlo sa lugar ng mga yunit, isang zero sa ika-sampung lugar, 9 sa ika-sandaang lugar, at 8 sa ika-libo.

Nakaugalian na makilala ang mga ranggo ng mga decimal fraction ayon sa pagkakauna. Kung lilipat tayo sa mga numero mula kaliwa hanggang kanan, pupunta tayo mula sa pinakamahalaga hanggang sa hindi gaanong makabuluhan. Lumalabas na ang daan-daan ay mas matanda sa sampu, at ang mga bahagi bawat milyon ay mas bata kaysa sa daan-daang. Kung kukunin natin ang huling bahagi ng decimal na binanggit natin bilang isang halimbawa sa itaas, kung gayon ang pinakamataas, o pinakamataas, na lugar dito ay magiging daan-daang lugar, at ang pinakamababa, o pinakamababa, na lugar ay ang ika-10-libong lugar.

Anumang decimal fraction ay maaaring palawakin sa mga indibidwal na digit, ibig sabihin, ipinakita bilang isang kabuuan. Ang pagkilos na ito ay ginagawa sa parehong paraan tulad ng para sa mga natural na numero.

Halimbawa 2

Subukan nating palawakin ang fraction 56, 0455 sa mga digit.

Kukunin namin:

56 , 0455 = 50 + 6 + 0 , 4 + 0 , 005 + 0 , 0005

Kung naaalala natin ang mga katangian ng karagdagan, maaari nating katawanin ang fraction na ito sa iba pang mga anyo, halimbawa, bilang ang kabuuan 56 + 0, 0455, o 56, 0055 + 0, 4, atbp.

Ano ang mga trailing decimal?

Ang lahat ng mga fraction na napag-usapan natin sa itaas ay may hangganan na mga decimal. Nangangahulugan ito na ang bilang ng mga digit pagkatapos ng decimal point ay may hangganan. Kunin natin ang kahulugan:

Kahulugan 1

Ang mga sumusunod na decimal ay isang uri ng decimal fraction na may hangganan na bilang ng mga decimal na lugar pagkatapos ng decimal sign.

Ang mga halimbawa ng naturang mga fraction ay maaaring 0, 367, 3, 7, 55, 102567958, 231 032, 49, atbp.

Ang alinman sa mga fraction na ito ay maaaring i-convert sa isang mixed number (kung ang value ng kanilang fractional na bahagi ay iba sa zero) o sa isang ordinaryong fraction (kung ang integer na bahagi ay zero). Nagtalaga kami ng isang hiwalay na artikulo sa kung paano ito ginagawa. Dito ay magtuturo lamang tayo ng ilang halimbawa: halimbawa, maaari nating bawasan ang panghuling bahagi ng decimal 5, 63 sa anyo 5 63 100, at 0, 2 ay tumutugma sa 2 10 (o anumang iba pang bahaging katumbas nito, para sa halimbawa, 4 20 o 1 5.)

Ngunit ang baligtad na proseso, i.e. Maaaring hindi laging posible ang pagsulat ng karaniwang fraction sa anyong decimal. Kaya, ang 5 13 ay hindi maaaring palitan ng isang katumbas na fraction na may denominator na 100, 10, atbp., na nangangahulugan na ang isang panghuling decimal na bahagi ay hindi maaaring makuha mula dito.

Mga pangunahing uri ng walang katapusang decimal fraction: periodic at non-periodic fraction

Isinaad namin sa itaas na ang mga finite fraction ay tinatawag na kaya dahil mayroon silang isang finite number of digit pagkatapos ng decimal point. Gayunpaman, maaari itong maging walang hanggan, kung saan ang mga fraction mismo ay tatawagin ding walang katapusan.

Kahulugan 2

Ang mga infinite decimal fraction ay ang mga may walang katapusang bilang ng mga digit pagkatapos ng decimal point.

Malinaw, ang mga naturang numero ay hindi maaaring isulat nang buo, kaya ipahiwatig lamang namin ang bahagi ng mga ito at pagkatapos ay magdagdag ng isang ellipsis. Ang sign na ito ay nagpapahiwatig ng isang walang katapusang pagpapatuloy ng pagkakasunud-sunod ng mga decimal na lugar. Kabilang sa mga halimbawa ng mga infinite decimal fraction ang 0, 143346732…, ​​​​3, 1415989032…, 153, 0245005…, 2, 66666666666…, 69, 748768152…. atbp.

Ang "buntot" ng naturang fraction ay maaaring maglaman hindi lamang ng mga tila random na pagkakasunud-sunod ng mga numero, kundi pati na rin ng patuloy na pag-uulit ng parehong karakter o grupo ng mga character. Ang mga fraction na may mga alternating number pagkatapos ng decimal point ay tinatawag na periodic.

Kahulugan 3

Ang mga periodic decimal fraction ay ang mga walang katapusang decimal fraction kung saan ang isang digit o isang pangkat ng ilang digit ay inuulit pagkatapos ng decimal point. Ang paulit-ulit na bahagi ay tinatawag na panahon ng fraction.

Halimbawa, para sa fraction 3, 444444…. ang panahon ay magiging numero 4, at para sa 76, 134134134134... - ang pangkat 134.

Ano ang pinakamababang bilang ng mga character na maaaring iwan sa notasyon ng isang periodic fraction? Para sa mga periodic fraction, sapat na na isulat ang buong tuldok nang isang beses sa panaklong. Kaya, fraction 3, 444444…. Tamang isulat ito bilang 3, (4), at 76, 134134134134... – bilang 76, (134).

Sa pangkalahatan, ang mga entry na may ilang mga tuldok sa mga bracket ay magkakaroon ng eksaktong parehong kahulugan: halimbawa, ang periodic fraction na 0.677777 ay pareho sa 0.6 (7) at 0.6 (77), atbp. Ang mga talaan ng form 0, 67777 (7), 0, 67 (7777), atbp. ay tinatanggap din.

Upang maiwasan ang mga pagkakamali, ipinakilala namin ang pagkakapareho ng notasyon. Sumang-ayon tayo na isulat lamang ang isang tuldok (ang pinakamaikling posibleng pagkakasunud-sunod ng mga numero), na pinakamalapit sa decimal point, at ilakip ito sa mga panaklong.

Iyon ay, para sa fraction sa itaas, isasaalang-alang namin ang pangunahing entry na 0, 6 (7), at, halimbawa, sa kaso ng fraction 8, 9134343434, isusulat namin ang 8, 91 (34).

Kung ang denominator ng isang ordinaryong fraction ay naglalaman ng mga pangunahing salik na hindi katumbas ng 5 at 2, kung gayon kapag na-convert sa decimal notation, magreresulta ang mga ito sa mga walang katapusang fraction.

Sa prinsipyo, maaari nating isulat ang anumang finite fraction bilang periodic one. Para magawa ito, kailangan lang nating magdagdag ng walang katapusang bilang ng mga zero sa kanan. Ano ang hitsura nito sa pag-record? Sabihin nating mayroon tayong huling bahagi na 45, 32. Sa periodic form ito ay magmumukhang 45, 32 (0). Posible ang pagkilos na ito dahil ang pagdaragdag ng mga zero sa kanan ng anumang decimal fraction ay nagreresulta sa isang fraction na katumbas nito.

Ang espesyal na atensyon ay dapat bayaran sa mga periodic fraction na may panahon na 9, halimbawa, 4, 89 (9), 31, 6 (9). Ang mga ito ay isang alternatibong notasyon para sa mga katulad na fraction na may tuldok na 0, kaya ang mga ito ay madalas na pinapalitan kapag nagsusulat ng mga fraction na may zero na tuldok. Sa kasong ito, ang isa ay idinagdag sa halaga ng susunod na digit, at (0) ay ipinahiwatig sa mga panaklong. Ang pagkakapantay-pantay ng mga resultang numero ay madaling ma-verify sa pamamagitan ng pagrepresenta sa kanila bilang mga ordinaryong fraction.

Halimbawa, ang fraction 8, 31 (9) ay maaaring palitan ng katumbas na fraction 8, 32 (0). O 4, (9) = 5, (0) = 5.

Ang mga infinite decimal periodic fraction ay inuri bilang mga rational na numero. Sa madaling salita, ang anumang periodic fraction ay maaaring katawanin bilang isang ordinaryong fraction, at vice versa.

Mayroon ding mga fraction na walang walang katapusang umuulit na pagkakasunod-sunod pagkatapos ng decimal point. Sa kasong ito, ang mga ito ay tinatawag na non-periodic fractions.

Kahulugan 4

Kabilang sa mga non-periodic decimal fraction ang mga infinite decimal fraction na hindi naglalaman ng tuldok pagkatapos ng decimal point, i.e. paulit-ulit na pangkat ng mga numero.

Minsan ang mga non-periodic fraction ay halos kapareho ng mga periodic. Halimbawa, 9, 03003000300003 ... sa unang tingin ay tila may period ito, gayunpaman detalyadong pagsusuri Ang mga decimal na lugar ay nagpapatunay na ito ay isang non-periodic fraction pa rin. Kailangan mong maging maingat sa gayong mga numero.

Ang mga non-periodic fraction ay tumutukoy sa hindi nakapangangatwiran numero. Hindi sila na-convert sa mga ordinaryong fraction.

Mga pangunahing operasyon na may mga decimal

Sa mga decimal fraction na magagawa mo ang mga sumusunod na aksyon: paghahambing, pagbabawas, pagdaragdag, paghahati at pagpaparami. Tingnan natin ang bawat isa sa kanila nang hiwalay.

Ang paghahambing ng mga decimal ay maaaring bawasan sa paghahambing ng mga fraction na tumutugma sa orihinal na mga decimal. Ngunit ang mga walang katapusang non-periodic fraction ay hindi maaaring bawasan sa form na ito, at ang pag-convert ng mga decimal fraction sa mga ordinaryong fraction ay kadalasang isang labor-intensive na gawain. Paano tayo mabilis na makakapagsagawa ng paghahambing na pagkilos kung kailangan nating gawin ito habang nilulutas ang isang problema? Maginhawang ihambing ang mga decimal fraction sa pamamagitan ng digit sa parehong paraan tulad ng paghahambing natin ng mga natural na numero. Maglalaan kami ng isang hiwalay na artikulo sa pamamaraang ito.

Upang magdagdag ng ilang decimal fraction sa iba, maginhawang gamitin ang paraan ng pagdaragdag ng column, tulad ng para sa mga natural na numero. Upang magdagdag ng mga periodic decimal fraction, kailangan mo munang palitan ang mga ito ng mga ordinaryo at bilangin ayon sa karaniwang scheme. Kung, ayon sa mga kondisyon ng problema, kailangan nating magdagdag ng walang katapusan na di-pana-panahong mga praksyon, pagkatapos ay kailangan muna nating bilugan ang mga ito sa isang tiyak na digit, at pagkatapos ay idagdag ang mga ito. Kung mas maliit ang digit kung saan tayo iikot, mas mataas ang katumpakan ng pagkalkula. Para sa pagbabawas, pagpaparami at paghahati ng mga walang katapusang fraction, kailangan din ang pre-rounding.

Ang paghahanap ng pagkakaiba sa pagitan ng mga decimal fraction ay ang kabaligtaran ng karagdagan. Sa esensya, gamit ang pagbabawas ay makakahanap tayo ng isang numero na ang kabuuan sa fraction na ating binabawasan ay magbibigay sa atin ng fraction na ating pinapaliit. Pag-uusapan natin ito nang mas detalyado sa isang hiwalay na artikulo.

Ang pagpaparami ng mga decimal fraction ay ginagawa sa parehong paraan tulad ng para sa mga natural na numero. Ang paraan ng pagkalkula ng hanay ay angkop din para dito. Muli naming binabawasan ang pagkilos na ito gamit ang mga periodic fraction sa pagpaparami ng mga ordinaryong fraction ayon sa mga panuntunang napag-aralan na. Ang mga infinite fraction, gaya ng naaalala natin, ay dapat bilugan bago ang mga kalkulasyon.

Ang proseso ng paghahati ng mga decimal ay ang kabaligtaran ng multiply. Kapag nilulutas ang mga problema, gumagamit din kami ng mga kalkulasyon ng columnar.

Maaari kang magtatag ng eksaktong pagsusulatan sa pagitan ng huling decimal fraction at isang punto sa coordinate axis. Alamin natin kung paano markahan ang isang punto sa axis na eksaktong tumutugma sa kinakailangang bahagi ng decimal.

Napag-aralan na natin kung paano bumuo ng mga puntos na tumutugma sa mga ordinaryong fraction, ngunit ang mga decimal fraction ay maaaring bawasan sa form na ito. Halimbawa, ang karaniwang fraction 14 10 ay kapareho ng 1, 4, kaya ang katumbas na punto ay aalisin mula sa pinanggalingan sa positibong direksyon sa eksaktong parehong distansya:

Magagawa mo nang hindi pinapalitan ang decimal na bahagi ng isang ordinaryong, ngunit gamitin ang paraan ng pagpapalawak ng mga digit bilang batayan. Kaya, kung kailangan nating markahan ang isang punto na ang coordinate ay magiging katumbas ng 15, 4008, ipapakita muna natin ang numerong ito bilang kabuuan na 15 + 0, 4 +, 0008. Upang magsimula, magtabi tayo ng 15 buong segment ng unit sa positibong direksyon mula sa simula ng countdown, pagkatapos ay 4 tenths ng isang segment, at pagkatapos ay 8 ten-thousandths ng isang segment. Bilang resulta, nakakakuha tayo ng coordinate point na tumutugma sa fraction 15, 4008.

Para sa isang walang katapusang decimal fraction, mas mainam na gamitin ang paraang ito, dahil pinapayagan ka nitong makarating nang mas malapit hangga't gusto mo sa nais na punto. Sa ilang mga kaso, posibleng bumuo ng eksaktong pagsusulatan sa isang walang katapusang fraction sa coordinate axis: halimbawa, 2 = 1, 41421. . . , at ang fraction na ito ay maaaring iugnay sa isang punto sa coordinate ray, na malayo sa 0 sa haba ng dayagonal ng parisukat, ang gilid nito ay magiging katumbas ng isang yunit ng segment.

Kung wala kaming nakitang punto sa axis, ngunit isang decimal fraction na tumutugma dito, ang aksyon na ito ay tinatawag na decimal na pagsukat ng isang segment. Tingnan natin kung paano ito gagawin nang tama.

Sabihin nating kailangan nating makuha mula sa zero hanggang sa isang naibigay na punto sa coordinate axis (o maging mas malapit hangga't maaari sa kaso ng isang walang katapusang fraction). Para magawa ito, unti-unti naming ipinagpaliban ang mga segment ng unit mula sa pinanggalingan hanggang sa makarating kami sa gustong punto. Pagkatapos ng buong mga segment, kung kinakailangan, sinusukat namin ang mga tenth, hundredth at mas maliit na mga fraction upang ang tugma ay tumpak hangga't maaari. Bilang resulta, nakatanggap kami ng decimal fraction na tumutugma sa isang naibigay na punto sa coordinate axis.

Sa itaas ay ipinakita namin ang isang guhit na may punto M. Tingnan muli: upang makarating sa puntong ito, kailangan mong sukatin ang isang segment ng yunit at apat na ikasampu nito mula sa zero, dahil ang puntong ito ay tumutugma sa decimal na bahagi 1, 4.

Kung hindi tayo makakarating sa isang punto sa proseso ng pagsukat ng decimal, nangangahulugan ito na tumutugma ito sa isang walang katapusang decimal fraction.

Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Ang mga desimal na praksiyon ay kapareho ng mga ordinaryong praksiyon, ngunit sa tinatawag na decimal notation. Decimal notation ay ginagamit para sa mga fraction na may denominator na 10, 100, 1000, atbp. Sa halip na mga fraction, 1/10; 1/100; 1/1000; ... sumulat ng 0.1; 0.01; 0.001;... .

Halimbawa, 0.7 ( zero point seven) ay isang fraction na 7/10; 5.43 ( limang punto apatnapu't tatlo) ay isang mixed fraction 5 43/100 (o, ano ang pareho, hindi wastong bahagi 543/100).

Maaaring mangyari na mayroong isa o higit pang mga zero kaagad pagkatapos ng decimal point: 1.03 ang fraction 1 3/100; Ang 17.0087 ay ang fraction na 17 87/10000. Pangkalahatang tuntunin ito ba: ang denominator ng isang karaniwang fraction ay dapat magkaroon ng kasing dami ng mga zero gaya ng may mga digit pagkatapos ng decimal point sa decimal fraction.

Ang isang decimal fraction ay maaaring magtapos sa isa o higit pang mga zero. Lumalabas na ang mga zero na ito ay "dagdag" - maaari lamang silang alisin: 1.30 = 1.3; 5.4600 = 5.46; 3,000 = 3. Alamin kung bakit ganito?

Ang mga desimal ay natural na lumilitaw kapag hinahati sa pamamagitan ng mga numerong "ikot" - 10, 100, 1000, ... Siguraduhing maunawaan ang mga sumusunod na halimbawa:

27:10 = 27/10 = 2 7/10 = 2,7;

579:100 = 579/100 = 5 79/100 = 5,79;

33791:1000 = 33791/1000 = 33 791/1000 = 33,791;

34,9:10 = 349/10:10 = 349/100 = 3,49;

6,35:100 = 635/100:100 = 635/10000 = 0,0635.

May napapansin ka bang pattern dito? Subukang bumalangkas ito. Ano ang mangyayari kung i-multiply mo ang isang decimal fraction sa 10, 100, 1000?

Upang i-convert ang isang ordinaryong fraction sa isang decimal, kailangan mong bawasan ito sa ilang "round" denominator:

2/5 = 4/10 = 0.4; 11/20 = 55/100 = 0.55; 9/2 = 45/10 = 4.5, atbp.

Ang pagdaragdag ng mga decimal ay mas madali kaysa sa pagdaragdag ng mga fraction. Ang pagdaragdag ay isinasagawa sa parehong paraan tulad ng sa mga ordinaryong numero - ayon sa kaukulang mga numero. Kapag nagdadagdag sa isang hanay, ang mga termino ay dapat na nakasulat upang ang kanilang mga kuwit ay nasa parehong patayo. Ang kuwit ng kabuuan ay nasa parehong patayo din. Ang pagbabawas ng mga decimal fraction ay ginagawa sa parehong paraan.

Kung, kapag nagdaragdag o nagbawas sa isa sa mga fraction, ang bilang ng mga digit pagkatapos ng decimal point ay mas mababa kaysa sa isa, ang kinakailangang bilang ng mga zero ay dapat idagdag sa dulo ng fraction na ito. Hindi mo maaaring idagdag ang mga zero na ito, ngunit isipin lamang ang mga ito sa iyong isip.

Kapag nagpaparami ng mga decimal fraction, dapat silang muling i-multiply bilang mga ordinaryong numero (hindi na kailangang magsulat ng kuwit sa ilalim ng decimal point). Sa resultang resulta, kailangan mong paghiwalayin gamit ang kuwit ang isang bilang ng mga digit na katumbas ng kabuuang bilang ng mga decimal na lugar sa parehong mga salik.

Kapag hinahati ang mga decimal fraction, maaari mong sabay na ilipat ang decimal point sa dibidendo at divisor sa kanan sa parehong bilang ng mga lugar: hindi nito babaguhin ang quotient:

2,8:1,4 = 2,8/1,4 = 28/14 = 2;

4,2:0,7 = 4,2/0,7 = 42/7 = 6;

6:1,2 = 6,0/1,2 = 60/12 = 5.

Ipaliwanag kung bakit ganito?

1. Gumuhit ng 10x10 square. Kulayan ang ilang bahagi nito na katumbas ng: a) 0.02; b) 0.7; c) 0.57; d) 0.91; e) 0.135 na lugar ng buong parisukat.
2. Ano ang 2.43 square? Iguhit ito sa isang larawan.
3. Hatiin ang bilang na 37 sa 10; 795; 4; 2.3; 65.27; 0.48 at isulat ang resulta bilang isang decimal fraction. Hatiin ang parehong mga numero sa pamamagitan ng 100 at 1000.
4. I-multiply ang mga numerong 4.6 sa 10; 6.52; 23.095; 0.01999. I-multiply ang parehong mga numero sa pamamagitan ng 100 at 1000.
5. Kinakatawan ang decimal bilang isang fraction at bawasan ito:
   a) 0.5; 0.2; 0.4; 0.6; 0.8;
   b) 0.25; 0.75; 0.05; 0.35; 0.025;
   c) 0.125; 0.375; 0.625; 0.875;
   d) 0.44; 0.26; 0.92; 0.78; 0.666; 0.848.
6. Ipakita bilang isang mixed fraction: 1.5; 3.2; 6.6; 2.25; 10.75; 4.125; 23.005; 7.0125.
7. Ipahayag ang isang fraction bilang isang decimal:
   a) 1/2; 3/2; 7/2; 15/2; 1/5; 3/5; 4/5; 18/5;
   b) 1/4; 3/4; 5/4; 19/4; 1/20; 7/20; 49/20; 1/25; 13/25; 77/25; 1/50; 17/50; 137/50;
   c) 1/8; 3/8; 5/8; 7/8; 11/8; 125/8; 1/16; 5/16; 9/16; 23/16;
   d) 1/500; 3/250; 71/200; 9/125; 27/2500; 1999/2000.
8. Hanapin ang kabuuan: a) 7.3+12.8; b) 65.14+49.76; c) 3.762+12.85; d) 85.4+129.756; e) 1.44+2.56.
9. Isipin ang isa bilang kabuuan ng dalawang decimal. Maghanap ng dalawampung higit pang mga paraan upang ipakita ito sa ganitong paraan.
10. Hanapin ang pagkakaiba: a) 13.4–8.7; b) 74.52–27.04; c) 49.736–43.45; d) 127.24–93.883; e) 67–52.07; e) 35.24–34.9975.
11. Hanapin ang produkto: a) 7.6·3.8; b) 4.8·12.5; c) 2.39·7.4; d) 3.74·9.65.

Nasabi na natin na may fractions karaniwan At decimal. Naka-on sa sandaling ito Nag-aral kami ng mga fraction ng kaunti. Nalaman namin na may mga regular at improper fraction. Nalaman din namin na ang mga karaniwang praksiyon ay maaaring bawasan, idagdag, ibawas, i-multiply at hatiin. At nalaman din namin na may mga tinatawag na mixed numbers, na binubuo ng integer at fractional part.

Hindi pa namin ganap na na-explore ang mga common fraction. Maraming mga subtleties at mga detalye na dapat pag-usapan, ngunit ngayon ay magsisimula tayong mag-aral decimal mga fraction, dahil madalas na kailangang pagsamahin ang ordinaryo at decimal na mga fraction. Iyon ay, kapag nilulutas ang mga problema kailangan mong gamitin ang parehong uri ng mga fraction.

Ang araling ito ay maaaring mukhang kumplikado at nakalilito. Ito ay medyo normal. Ang mga uri ng mga aralin na ito ay nangangailangan na sila ay pag-aralan, at hindi sinagap ng mababaw.

Nilalaman ng aralin

Pagpapahayag ng mga dami sa fractional form

Minsan ito ay maginhawa upang ipakita ang isang bagay sa fractional form. Halimbawa, ang isang ikasampu ng isang decimeter ay nakasulat tulad nito:

Ang ekspresyong ito ay nangangahulugan na ang isang decimeter ay nahahati sa sampung bahagi, at mula sa sampung bahaging ito ay kinuha ang isang bahagi:

Tulad ng makikita mo sa figure, ang isang ikasampu ng isang decimeter ay isang sentimetro.

Isaalang-alang ang sumusunod na halimbawa. Ipakita ang 6 cm at isa pang 3 mm sa sentimetro sa fractional form.

Kaya, kailangan mong ipahayag ang 6 cm at 3 mm sa sentimetro, ngunit sa fractional form. Mayroon na tayong 6 buong sentimetro:

pero may natitira pang 3 millimeters. Paano ipakita ang 3 millimeters na ito, at sa sentimetro? Ang mga fraction ay dumating upang iligtas. Ang 3 millimeters ay ang ikatlong bahagi ng isang sentimetro. At ang ikatlong bahagi ng isang sentimetro ay nakasulat bilang cm

Ang isang fraction ay nangangahulugan na ang isang sentimetro ay nahahati sa sampung pantay na bahagi, at mula sa sampung bahagi na ito ay kinuha ang tatlong bahagi (tatlo sa sampu).

Bilang resulta, mayroon kaming anim na buong sentimetro at tatlong ikasampu ng isang sentimetro:

Sa kasong ito, ipinapakita ng 6 ang bilang ng buong sentimetro, at ang fraction ay nagpapakita ng bilang ng mga fractional centimeter. Ang fraction na ito ay binabasa bilang "anim na puntong tatlong sentimetro".

Ang mga fraction na ang denominator ay naglalaman ng mga numerong 10, 100, 1000 ay maaaring isulat nang walang denominator. Isulat muna ang buong bahagi, at pagkatapos ay ang numerator ng fractional na bahagi. Ang integer na bahagi ay pinaghihiwalay mula sa numerator ng fractional na bahagi ng kuwit.

Halimbawa, isulat natin ito nang walang denominator. Para magawa ito, isulat muna natin ang buong bahagi. Ang integer na bahagi ay ang numero 6. Una naming isulat ang numerong ito:

Ang buong bahagi ay naitala. Kaagad pagkatapos isulat ang buong bahagi ay naglalagay kami ng kuwit:

At ngayon isulat namin ang numerator ng fractional na bahagi. Sa isang halo-halong numero, ang numerator ng fractional na bahagi ay ang numero 3. Nagsusulat kami ng tatlo pagkatapos ng decimal point:

Ang anumang numero na kinakatawan sa form na ito ay tinatawag decimal.

Samakatuwid, maaari mong ipakita ang 6 cm at isa pang 3 mm sa sentimetro gamit ang isang decimal fraction:

6.3 cm

Magiging ganito ang hitsura:

Sa katunayan, ang mga decimal ay kapareho ng mga ordinaryong fraction at mixed number. Ang kakaiba ng naturang mga fraction ay ang denominator ng kanilang fractional na bahagi ay naglalaman ng mga numero 10, 100, 1000 o 10000.

Tulad ng isang halo-halong numero, ang isang decimal na fraction ay may isang integer na bahagi at isang fractional na bahagi. Halimbawa, sa isang mixed number ang integer na bahagi ay 6, at ang fractional na bahagi ay .

Sa decimal fraction 6.3, ang integer na bahagi ay ang numero 6, at ang fractional na bahagi ay ang numerator ng fraction, iyon ay, ang numero 3.

Nangyayari din na ang mga ordinaryong fraction sa denominator kung saan ang mga numero na 10, 100, 1000 ay ibinibigay nang walang integer na bahagi. Halimbawa, ang isang fraction ay ibinibigay nang walang isang buong bahagi. Upang isulat ang naturang fraction bilang isang decimal, isulat muna ang 0, pagkatapos ay maglagay ng kuwit at isulat ang numerator ng fraction. Ang isang fraction na walang denominator ay isusulat tulad ng sumusunod:

Nagbabasa tulad ng "zero point five".

Pag-convert ng mga pinaghalong numero sa mga decimal

Kapag sumulat tayo ng mga pinaghalong numero nang walang denominator, sa gayon ay iko-convert natin ang mga ito sa mga decimal fraction. Kapag nagko-convert ng mga fraction sa mga decimal, may ilang bagay na kailangan mong malaman, na pag-uusapan natin ngayon.

Matapos maisulat ang buong bahagi, kinakailangang bilangin ang bilang ng mga zero sa denominator ng fractional na bahagi, dahil ang bilang ng mga zero ng fractional na bahagi at ang bilang ng mga digit pagkatapos ng decimal point sa decimal na bahagi ay dapat na pareho. Ano ang ibig sabihin nito? Isaalang-alang ang sumusunod na halimbawa:

Sa simula

At maaari mong agad na isulat ang numerator ng fractional na bahagi at ang decimal na bahagi ay handa na, ngunit tiyak na kailangan mong bilangin ang bilang ng mga zero sa denominator ng fractional na bahagi.

Kaya, binibilang namin ang bilang ng mga zero sa fractional na bahagi ng isang pinaghalong numero. Ang denominator ng fractional na bahagi ay may isang zero. Nangangahulugan ito na sa isang decimal fraction ay magkakaroon ng isang digit pagkatapos ng decimal point at ang digit na ito ang magiging numerator ng fractional na bahagi ng mixed number, iyon ay, ang numero 2

Kaya, kapag na-convert sa isang decimal fraction, ang isang mixed number ay nagiging 3.2.

Ang desimal na fraction na ito ay nagbabasa ng ganito:

"Three point two"

"Tenths" dahil ang numero 10 ay nasa fractional na bahagi ng isang pinaghalong numero.

Halimbawa 2. I-convert ang isang pinaghalong numero sa isang decimal.

Isulat ang buong bahagi at lagyan ng kuwit:

At maaari mong agad na isulat ang numerator ng fractional na bahagi at makuha ang decimal na fraction na 5.3, ngunit ang panuntunan ay nagsasabi na pagkatapos ng decimal point ay dapat mayroong maraming mga digit na may mga zero sa denominator ng fractional na bahagi ng pinaghalong numero. At nakikita natin na ang denominator ng fractional na bahagi ay may dalawang zero. Nangangahulugan ito na ang ating decimal fraction ay dapat mayroong dalawang digit pagkatapos ng decimal point, hindi isa.

Sa ganitong mga kaso, ang numerator ng fractional na bahagi ay kailangang bahagyang mabago: magdagdag ng zero bago ang numerator, iyon ay, bago ang numero 3

Ngayon ay maaari mong i-convert ang pinaghalong numerong ito sa isang decimal fraction. Isulat ang buong bahagi at lagyan ng kuwit:

At isulat ang numerator ng fractional na bahagi:

Ang decimal fraction 5.03 ay binabasa gaya ng sumusunod:

"Limang punto tatlo"

"Daan-daan" dahil ang denominator ng fractional na bahagi ng isang pinaghalong numero ay naglalaman ng bilang na 100.

Halimbawa 3. I-convert ang isang pinaghalong numero sa isang decimal.

Mula sa mga nakaraang halimbawa, natutunan namin na upang matagumpay na ma-convert ang isang pinaghalong numero sa isang decimal, ang bilang ng mga digit sa numerator ng fraction at ang bilang ng mga zero sa denominator ng fraction ay dapat na pareho.

Bago i-convert ang isang pinaghalong numero sa isang decimal fraction, ito praksyonal na bahagi kailangan mong baguhin ito ng kaunti, ibig sabihin, siguraduhin na ang bilang ng mga digit sa numerator ng fractional na bahagi at ang bilang ng mga zero sa denominator ng fractional na bahagi ay pareho.

Una sa lahat, tinitingnan natin ang bilang ng mga zero sa denominator ng fractional na bahagi. Nakita namin na mayroong tatlong mga zero:

Ang aming gawain ay ayusin ang tatlong numero sa numerator ng fractional na bahagi. Mayroon na kaming isang digit - ito ang numero 2. Nananatili itong magdagdag ng dalawa pang digit. Sila ay magiging dalawang zero. Idagdag ang mga ito bago ang numero 2. Bilang resulta, ang bilang ng mga zero sa denominator at ang bilang ng mga digit sa numerator ay magiging pareho:

Ngayon ay maaari mong simulan ang pag-convert ng pinaghalong numerong ito sa isang decimal fraction. Una naming isulat ang buong bahagi at maglagay ng kuwit:

at agad na isulat ang numerator ng fractional na bahagi

3,002

Nakikita namin na ang bilang ng mga digit pagkatapos ng decimal point at ang bilang ng mga zero sa denominator ng fractional na bahagi ng pinaghalong numero ay pareho.

Ang decimal fraction 3.002 ay binabasa gaya ng sumusunod:

"Tatlong punto dalawang libo"

"Isa-libo" dahil ang denominator ng fractional na bahagi ng pinaghalong numero ay naglalaman ng bilang na 1000.

Pag-convert ng mga fraction sa mga decimal

Ang mga karaniwang fraction na may denominator na 10, 100, 1000, o 10000 ay maaari ding i-convert sa mga decimal. Dahil ang ordinaryong fraction ay walang integer na bahagi, isulat muna ang 0, pagkatapos ay maglagay ng kuwit at isulat ang numerator ng fractional na bahagi.

Dito rin dapat magkapareho ang bilang ng mga zero sa denominator at ang bilang ng mga digit sa numerator. Samakatuwid, dapat kang mag-ingat.

Halimbawa 1.

Nawawala ang buong bahagi, kaya sumulat muna tayo ng 0 at naglalagay ng kuwit:

Ngayon ay tinitingnan natin ang bilang ng mga zero sa denominator. Nakikita natin na mayroong isang zero. At ang numerator ay may isang digit. Nangangahulugan ito na maaari mong ligtas na ipagpatuloy ang decimal fraction sa pamamagitan ng pagsulat ng numero 5 pagkatapos ng decimal point

Sa resultang decimal fraction 0.5, ang bilang ng mga digit pagkatapos ng decimal point at ang bilang ng mga zero sa denominator ng fraction ay pareho. Nangangahulugan ito na ang fraction ay naisalin nang tama.

Ang decimal fraction 0.5 ay binabasa gaya ng sumusunod:

"Zero point five"

Halimbawa 2. I-convert ang isang fraction sa isang decimal.

Kulang ang isang buong bahagi. Una naming isulat ang 0 at maglagay ng kuwit:

Ngayon ay tinitingnan natin ang bilang ng mga zero sa denominator. Nakikita natin na mayroong dalawang zero. At ang numerator ay may isang digit lamang. Upang gawing pareho ang bilang ng mga digit at ang bilang ng mga zero, magdagdag ng isang zero sa numerator bago ang numero 2. Pagkatapos ang fraction ay kukuha ng anyo . Ngayon ang bilang ng mga zero sa denominator at ang bilang ng mga digit sa numerator ay pareho. Kaya maaari mong ipagpatuloy ang decimal fraction:

Sa resultang decimal fraction 0.02, ang bilang ng mga digit pagkatapos ng decimal point at ang bilang ng mga zero sa denominator ng fraction ay pareho. Nangangahulugan ito na ang fraction ay naisalin nang tama.

Ang decimal fraction 0.02 ay binabasa gaya ng sumusunod:

"Zero point two."

Halimbawa 3. I-convert ang isang fraction sa isang decimal.

Sumulat ng 0 at maglagay ng kuwit:

Ngayon binibilang namin ang bilang ng mga zero sa denominator ng fraction. Nakita namin na mayroong limang mga zero, at mayroon lamang isang digit sa numerator. Upang gawing pareho ang bilang ng mga zero sa denominator at ang bilang ng mga digit sa numerator, kailangan mong magdagdag ng apat na zero sa numerator bago ang numero 5:

Ngayon ang bilang ng mga zero sa denominator at ang bilang ng mga digit sa numerator ay pareho. Kaya maaari tayong magpatuloy sa decimal fraction. Isulat ang numerator ng fraction pagkatapos ng decimal point

Sa resultang decimal fraction 0.00005, ang bilang ng mga digit pagkatapos ng decimal point at ang bilang ng mga zero sa denominator ng fraction ay pareho. Nangangahulugan ito na ang fraction ay naisalin nang tama.

Ang decimal fraction na 0.00005 ay binabasa gaya ng sumusunod:

"Zero point five hundred thousandths."

Pag-convert ng mga improper fraction sa mga decimal

Ang improper fraction ay isang fraction kung saan ang numerator ay mas malaki kaysa sa denominator. May mga improper fraction kung saan ang denominator ay ang mga numerong 10, 100, 1000 o 10000. Ang mga nasabing fraction ay maaaring i-convert sa mga decimal. Ngunit bago i-convert sa isang decimal fraction, ang mga naturang fraction ay dapat na ihiwalay sa buong bahagi.

Halimbawa 1.

Ang fraction ay isang improper fraction. Upang i-convert ang naturang fraction sa decimal fraction, kailangan mo munang piliin ang buong bahagi nito. Tandaan natin kung paano ihiwalay ang buong bahagi ng mga hindi wastong fraction. Kung nakalimutan mo, ipinapayo namin sa iyo na bumalik at pag-aralan ito.

Kaya, i-highlight natin ang buong bahagi sa hindi tamang fraction. Alalahanin na ang isang fraction ay nangangahulugang dibisyon - sa sa kasong ito hinahati ang numerong 112 sa numerong 10

Tingnan natin ang larawang ito at mag-assemble ng bagong mixed number, tulad ng construction set ng mga bata. Ang numerong 11 ang magiging bahaging integer, ang numero 2 ang magiging numerator ng bahaging praksyonal, at ang bilang na 10 ang magiging denominator ng bahaging praksyonal.

Nakakuha kami ng mixed number. I-convert natin ito sa decimal fraction. At alam na natin kung paano i-convert ang mga naturang numero sa mga decimal fraction. Una, isulat ang buong bahagi at lagyan ng kuwit:

Ngayon binibilang namin ang bilang ng mga zero sa denominator ng fractional na bahagi. Nakikita natin na mayroong isang zero. At ang numerator ng fractional na bahagi ay may isang digit. Nangangahulugan ito na ang bilang ng mga zero sa denominator ng fractional na bahagi at ang bilang ng mga digit sa numerator ng fractional na bahagi ay pareho. Nagbibigay ito sa amin ng pagkakataon na agad na isulat ang numerator ng fractional na bahagi pagkatapos ng decimal point:

Sa resultang decimal fraction 11.2, ang bilang ng mga digit pagkatapos ng decimal point at ang bilang ng mga zero sa denominator ng fraction ay pareho. Nangangahulugan ito na ang fraction ay naisalin nang tama.

Nangangahulugan ito na ang isang improper fraction ay nagiging 11.2 kapag na-convert sa isang decimal.

Ang decimal fraction 11.2 ay binabasa tulad ng sumusunod:

"Eleven point two."

Halimbawa 2. I-convert ang improper fraction sa decimal.

Ito ay isang improper fraction dahil ang numerator ay mas malaki kaysa sa denominator. Ngunit maaari itong i-convert sa isang decimal fraction, dahil ang denominator ay naglalaman ng bilang na 100.

Una sa lahat, piliin natin ang buong bahagi ng fraction na ito. Upang gawin ito, hatiin ang 450 sa 100 na may isang sulok:

Mangolekta tayo ng bagong mixed number - makuha natin . At alam na natin kung paano i-convert ang mga mixed number sa decimal fraction.

Isulat ang buong bahagi at lagyan ng kuwit:

Ngayon binibilang namin ang bilang ng mga zero sa denominator ng fractional na bahagi at ang bilang ng mga digit sa numerator ng fractional na bahagi. Nakikita namin na ang bilang ng mga zero sa denominator at ang bilang ng mga digit sa numerator ay pareho. Nagbibigay ito sa amin ng pagkakataon na agad na isulat ang numerator ng fractional na bahagi pagkatapos ng decimal point:

Sa resultang decimal fraction 4.50, ang bilang ng mga digit pagkatapos ng decimal point at ang bilang ng mga zero sa denominator ng fraction ay pareho. Nangangahulugan ito na ang fraction ay naisalin nang tama.

Nangangahulugan ito na ang isang improper fraction ay nagiging 4.50 kapag na-convert sa isang decimal.

Kapag nilulutas ang mga problema, kung mayroong mga zero sa dulo ng decimal fraction, maaari silang itapon. I-drop din natin ang zero sa ating sagot. Pagkatapos ay makakakuha tayo ng 4.5

Isa ito sa kawili-wiling mga tampok decimal fractions. Ito ay nakasalalay sa katotohanan na ang mga zero na lumilitaw sa dulo ng isang fraction ay hindi nagbibigay sa fraction na ito ng anumang timbang. Sa madaling salita, ang mga decimal na 4.50 at 4.5 ay pantay. Maglagay tayo ng pantay na tanda sa pagitan nila:

4,50 = 4,5

Ang tanong ay lumitaw: bakit ito nangyayari? Pagkatapos ng lahat, ang 4.50 at 4.5 ay mukhang magkaibang mga fraction. Ang buong lihim ay nakasalalay sa pangunahing pag-aari ng mga fraction, na pinag-aralan natin kanina. Susubukan naming patunayan kung bakit pantay ang mga decimal fraction na 4.50 at 4.5, ngunit pagkatapos pag-aralan ang susunod na paksa, na tinatawag na "pag-convert ng decimal fraction sa isang mixed number."

Pag-convert ng decimal sa isang mixed number

Anumang decimal fraction ay maaaring i-convert pabalik sa isang mixed number. Upang gawin ito, sapat na upang makapagbasa ng mga decimal fraction. Halimbawa, i-convert natin ang 6.3 sa isang mixed number. Ang 6.3 ay anim na puntong tatlo. Una naming isulat ang anim na integer:

at sa tabi ng tatlong ikasampu:

Halimbawa 2. I-convert ang decimal 3.002 sa mixed number

Ang 3.002 ay tatlong buo at dalawang libo. Una naming isulat ang tatlong integer

at sa tabi nito ay isinusulat namin ang dalawang ikalibo:

Halimbawa 3. I-convert ang decimal 4.50 sa mixed number

Ang 4.50 ay four point fifty. Isulat ang apat na integer

at susunod na limampung daan:

Sa pamamagitan ng paraan, tandaan natin ang huling halimbawa mula sa nakaraang paksa. Sinabi namin na ang mga decimal na 4.50 at 4.5 ay pantay. Sinabi rin namin na ang zero ay maaaring itapon. Subukan nating patunayan na ang mga decimal na 4.50 at 4.5 ay pantay. Upang gawin ito, iko-convert namin ang parehong mga decimal fraction sa magkahalong numero.

Kapag na-convert sa isang halo-halong numero, ang decimal na 4.50 ay magiging , at ang decimal na 4.5 ay magiging

Mayroon kaming dalawang magkahalong numero at . I-convert natin ang mga pinaghalong numerong ito sa mga hindi wastong fraction:

Ngayon mayroon kaming dalawang fraction at . Panahon na upang alalahanin ang pangunahing katangian ng isang fraction, na nagsasabing kapag pinarami mo (o hinati) ang numerator at denominator ng isang fraction sa parehong numero, hindi nagbabago ang halaga ng fraction.

Hatiin natin ang unang bahagi ng 10

Nakuha namin ang , at ito ang pangalawang bahagi. Nangangahulugan ito na pareho ang pareho sa isa't isa at katumbas ng parehong halaga:

Subukang gumamit ng calculator upang hatiin ang unang 450 sa 100, at pagkatapos ay 45 sa 10. Ito ay magiging isang nakakatawang bagay.

Pag-convert ng decimal fraction sa fraction

Anumang decimal fraction ay maaaring i-convert pabalik sa isang fraction. Upang gawin ito, muli, sapat na upang makapagbasa ng mga decimal fraction. Halimbawa, i-convert natin ang 0.3 sa isang karaniwang fraction. Ang 0.3 ay zero point three. Una naming isulat ang zero integer:

at sa tabi ng tatlong ikasampu 0. Ang zero ay tradisyonal na hindi isinulat, kaya ang huling sagot ay hindi magiging 0, ngunit simpleng .

Halimbawa 2. I-convert ang decimal fraction 0.02 sa isang fraction.

Ang 0.02 ay zero point two. Hindi namin isinusulat ang zero, kaya agad naming isinusulat ang dalawang daan

Halimbawa 3. I-convert ang 0.00005 sa fraction

Ang 0.00005 ay zero point five. Hindi namin isinusulat ang zero, kaya agad naming isinulat ang limang daang libo

Nagustuhan mo ba ang aralin?
Sumali sa aming bagong grupo VKontakte at magsimulang makatanggap ng mga abiso tungkol sa mga bagong aralin