Sumusunod mula sa kahulugan nito. At kaya ang logarithm ng numero b batay sa A ay tinukoy bilang ang exponent kung saan ang isang numero ay dapat na itaas a para makuha ang numero b(umiiral lamang ang logarithm para sa mga positibong numero).
Mula sa pagbabalangkas na ito ay sumusunod na ang pagkalkula x=log a b, ay katumbas ng paglutas ng equation isang x =b. Halimbawa, log 2 8 = 3 kasi 8 = 2 3 . Ang pagbabalangkas ng logarithm ay ginagawang posible na bigyang-katwiran na kung b=a c, pagkatapos ay ang logarithm ng numero b batay sa a katumbas Sa. Malinaw din na ang paksa ng logarithms ay malapit na nauugnay sa paksa ng mga kapangyarihan ng isang numero.
Sa logarithms, tulad ng anumang mga numero, magagawa mo mga operasyon ng karagdagan, pagbabawas at magbago sa lahat ng posibleng paraan. Ngunit dahil sa ang katunayan na ang logarithms ay hindi ganap na ordinaryong mga numero, ang kanilang sariling mga espesyal na patakaran ay nalalapat dito, na tinatawag pangunahing katangian.
Pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms.
Kumuha tayo ng dalawang logarithms na may parehong mga base: mag-log ng x At mag-log a y. Pagkatapos ay posible na magsagawa ng mga pagpapatakbo ng karagdagan at pagbabawas:
log a x+ log a y= log a (x·y);
log a x - log a y = log a (x:y).
log a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = mag-log ng x 1 + mag-log ng x 2 + mag-log ng x 3 + ... + mag-log a x k.
Mula sa logarithm quotient theorem Ang isa pang pag-aari ng logarithm ay maaaring makuha. Karaniwang kaalaman na ang log a 1= 0, samakatuwid
log a 1 /b=log a 1 - log a b= -log a b.
Nangangahulugan ito na mayroong pagkakapantay-pantay:
log a 1 / b = - log a b.
Logarithms ng dalawang reciprocal na numero para sa parehong dahilan ay mag-iiba sa isa't isa lamang sa pamamagitan ng pag-sign. Kaya:
Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.
Ang mga logarithm, tulad ng anumang mga numero, ay maaaring idagdag, ibawas at baguhin sa lahat ng paraan. Ngunit dahil ang logarithms ay hindi eksaktong ordinaryong mga numero, may mga panuntunan dito, na tinatawag pangunahing katangian.
Talagang kailangan mong malaman ang mga patakarang ito - kung wala ang mga ito, hindi malulutas ang isang seryosong problema sa logarithmic. Bilang karagdagan, napakakaunti sa kanila - maaari mong matutunan ang lahat sa isang araw. Kaya simulan na natin.
Pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms
Isaalang-alang ang dalawang logarithms na may parehong base: log a x at mag-log a y. Pagkatapos ay maaari silang idagdag at ibawas, at:
- log a x+ log a y=log a (x · y);
- log a x− log a y=log a (x : y).
Kaya, ang kabuuan ng logarithm ay katumbas ng logarithm ng produkto, at ang pagkakaiba ay katumbas ng logarithm ng quotient. Mangyaring tandaan: ang pangunahing punto dito ay magkatulad na batayan. Kung magkaiba ang mga dahilan, hindi gagana ang mga patakarang ito!
Tutulungan ka ng mga formula na ito na kalkulahin pagpapahayag ng logarithmic kahit na hindi binibilang ang mga indibidwal na bahagi nito (tingnan ang aralin "Ano ang logarithm"). Tingnan ang mga halimbawa at tingnan:
Log 6 4 + log 6 9.
Dahil ang logarithms ay may parehong mga base, ginagamit namin ang sum formula:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 2 48 − log 2 3.
Ang mga base ay pareho, ginagamit namin ang formula ng pagkakaiba:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 3 135 − log 3 5.
Muli ang mga base ay pareho, kaya mayroon kaming:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Tulad ng makikita mo, ang orihinal na mga expression ay binubuo ng "masamang" logarithms, na hindi hiwalay na kinakalkula. Ngunit pagkatapos ng mga pagbabago, ganap na normal na mga numero ang nakuha. Marami ang binuo sa katotohanang ito mga test paper. Oo, ang mga ekspresyong tulad ng pagsubok ay inaalok sa lahat ng kaseryosohan (kung minsan ay halos walang pagbabago) sa Pinag-isang Estado na Pagsusuri.
Pag-extract ng exponent mula sa logarithm
Ngayon pasimplehin natin ng kaunti ang gawain. Paano kung ang batayan o argumento ng isang logarithm ay isang kapangyarihan? Kung gayon ang exponent ng degree na ito ay maaaring alisin sa sign ng logarithm ayon sa mga sumusunod na patakaran:
Madaling makita na ang huling tuntunin ay sumusunod sa unang dalawa. Ngunit mas mahusay na tandaan ito pa rin - sa ilang mga kaso ay makabuluhang bawasan nito ang dami ng mga kalkulasyon.
Siyempre, ang lahat ng mga patakarang ito ay may katuturan kung ang ODZ ng logarithm ay sinusunod: a > 0, a ≠ 1, x> 0. At isa pang bagay: matutong ilapat ang lahat ng mga formula hindi lamang mula kaliwa hanggang kanan, kundi pati na rin sa kabaligtaran, i.e. Maaari mong ipasok ang mga numero bago mag-sign ang logarithm sa logarithm mismo. Ito ang madalas na kinakailangan.
Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 7 49 6 .
Tanggalin natin ang antas sa argumento gamit ang unang formula:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Gawain. Hanapin ang kahulugan ng expression:
[Caption para sa larawan]
Tandaan na ang denominator ay naglalaman ng logarithm, na ang base at argumento ay eksaktong mga kapangyarihan: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Meron kami:
[Caption para sa larawan] Sa tingin ko ang huling halimbawa ay nangangailangan ng ilang paglilinaw. Saan napunta ang logarithms? Hanggang sa pinakahuling sandali ay nagtatrabaho lamang kami sa denominator. Iniharap namin ang base at argumento ng logarithm na nakatayo doon sa anyo ng mga kapangyarihan at kinuha ang mga exponents - nakakuha kami ng isang "tatlong-kuwento" na bahagi.
Ngayon tingnan natin ang pangunahing bahagi. Ang numerator at denominator ay naglalaman ng parehong numero: log 2 7. Dahil log 2 7 ≠ 0, maaari nating bawasan ang fraction - 2/4 ay mananatili sa denominator. Ayon sa mga tuntunin ng aritmetika, ang apat ay maaaring ilipat sa numerator, na kung ano ang ginawa. Ang naging resulta ay ang sagot: 2.
Paglipat sa isang bagong pundasyon
Sa pagsasalita tungkol sa mga patakaran para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms, partikular kong binigyang-diin na gumagana lamang ang mga ito sa parehong mga base. Paano kung magkaiba ang mga dahilan? Paano kung hindi sila eksaktong mga kapangyarihan ng parehong bilang?
Ang mga formula para sa paglipat sa isang bagong pundasyon ay sumagip. Bumalangkas tayo sa anyo ng isang teorama:
Hayaang ibigay ang logarithm log a x. Pagkatapos ay para sa anumang numero c ganyan c> 0 at c≠ 1, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:
[Caption para sa larawan]
Sa partikular, kung ilalagay natin c = x, nakukuha namin ang:
[Caption para sa larawan]
Mula sa pangalawang pormula ito ay sumusunod na ang base at argumento ng logarithm ay maaaring palitan, ngunit sa kasong ito ang buong expression ay "ibinalik", i.e. lumalabas ang logarithm sa denominator.
Ang mga formula na ito ay bihirang makita sa mga ordinaryong numerical expression. Posibleng suriin kung gaano kaginhawa ang mga ito sa pamamagitan lamang ng pagpapasya logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay.
Gayunpaman, may mga problema na hindi malulutas sa lahat maliban sa paglipat sa isang bagong pundasyon. Tingnan natin ang ilan sa mga ito:
Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 5 16 log 2 25.
Tandaan na ang mga argumento ng parehong logarithms ay naglalaman ng eksaktong mga kapangyarihan. Kunin natin ang mga tagapagpahiwatig: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
Ngayon ay "baligtarin" natin ang pangalawang logarithm:
[Caption para sa larawan]Dahil ang produkto ay hindi nagbabago kapag muling inaayos ang mga kadahilanan, mahinahon naming pinarami ang apat at dalawa, at pagkatapos ay hinarap ang mga logarithms.
Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 9 100 lg 3.
Ang batayan at argumento ng unang logarithm ay eksaktong kapangyarihan. Isulat natin ito at alisin ang mga tagapagpahiwatig:
[Caption para sa larawan]Ngayon tanggalin na natin decimal logarithm, paglipat sa isang bagong base:
[Caption para sa larawan]Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan
Kadalasan sa proseso ng solusyon ay kinakailangan upang kumatawan sa isang numero bilang isang logarithm sa isang naibigay na base. Sa kasong ito, ang mga sumusunod na formula ay makakatulong sa amin:
Sa unang kaso, ang numero n nagiging tagapagpahiwatig ng antas na nakatayo sa argumento. Numero n maaaring maging anumang bagay, dahil isa lamang itong halaga ng logarithm.
Ang pangalawang formula ay talagang isang paraphrased na kahulugan. Iyon ang tawag dito: basic pagkakakilanlan ng logarithmic.
Sa katunayan, ano ang mangyayari kung ang numero b itaas sa ganoong kapangyarihan na ang bilang b sa kapangyarihang ito ay nagbibigay ng numero a? Tama iyon: makukuha mo ang parehong numero a. Basahin muli ang talatang ito nang mabuti - maraming tao ang natigil dito.
Tulad ng mga formula para sa paglipat sa isang bagong base, ang pangunahing logarithmic identity ay minsan ang tanging posibleng solusyon.
Gawain. Hanapin ang kahulugan ng expression:
[Caption para sa larawan]
Tandaan na ang log 25 64 = log 5 8 - kinuha lamang ang parisukat mula sa base at argumento ng logarithm. Isinasaalang-alang ang mga patakaran para sa pagpaparami ng mga kapangyarihan sa parehong batayan, nakukuha namin ang:
[Caption para sa larawan]Kung sinuman ang hindi nakakaalam, ito ay isang tunay na gawain mula sa Unified State Exam :)
Logarithmic unit at logarithmic zero
Sa konklusyon, magbibigay ako ng dalawang pagkakakilanlan na halos hindi matatawag na mga katangian - sa halip, ang mga ito ay mga kahihinatnan ng kahulugan ng logarithm. Patuloy silang lumilitaw sa mga problema at, nakakagulat, lumikha ng mga problema kahit para sa "advanced" na mga mag-aaral.
- log a a Ang = 1 ay isang logarithmic unit. Tandaan minsan at para sa lahat: logarithm sa anumang base a mula sa baseng ito ay katumbas ng isa.
- log a 1 = 0 ay logarithmic zero. Base a maaaring maging anuman, ngunit kung ang argumento ay naglalaman ng isa, ang logarithm ay katumbas ng zero! kasi a Ang 0 = 1 ay isang direktang bunga ng kahulugan.
Iyon ang lahat ng mga pag-aari. Siguraduhing magsanay sa pagsasabuhay ng mga ito! I-download ang cheat sheet sa simula ng aralin, i-print ito, at lutasin ang mga problema.
Ano ang logarithm?
Pansin!
May mga karagdagang
materyales sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga taong "hindi masyadong..."
At para sa mga “napaka…”)
Ano ang logarithm? Paano malutas ang mga logarithms? Ang mga tanong na ito ay nakalilito sa maraming nagtapos. Ayon sa kaugalian, ang paksa ng logarithms ay itinuturing na kumplikado, hindi maintindihan at nakakatakot. Lalo na ang mga equation na may logarithms.
Ito ay ganap na hindi totoo. Ganap! Huwag maniwala sa akin? ayos lang. Ngayon, sa loob lang ng 10 - 20 minuto ay:
1. Maiintindihan mo ano ang logarithm.
2. Matutong lutasin ang isang buong klase mga exponential equation. Kahit na wala kang narinig tungkol sa kanila.
3. Matutong magkalkula ng mga simpleng logarithms.
Bukod dito, para dito kakailanganin mo lamang malaman ang multiplication table at kung paano itaas ang isang numero sa isang kapangyarihan...
Pakiramdam ko ay may pagdududa ka... Well, okay, markahan ang oras! Go!
Una, lutasin ang equation na ito sa iyong ulo:
Kung gusto mo ang site na ito...
Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)
Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Matuto tayo - nang may interes!)
Maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.
Logarithmic expression, paglutas ng mga halimbawa. Sa artikulong ito ay titingnan natin ang mga problemang nauugnay sa paglutas ng mga logarithms. Ang mga gawain ay nagtatanong sa paghahanap ng kahulugan ng isang pagpapahayag. Dapat pansinin na ang konsepto ng logarithm ay ginagamit sa maraming mga gawain at ang pag-unawa sa kahulugan nito ay napakahalaga. Tulad ng para sa Unified State Exam, ang logarithm ay ginagamit kapag nilulutas ang mga equation, sa mga inilapat na problema, at gayundin sa mga gawain na may kaugnayan sa pag-aaral ng mga function.
Magbigay tayo ng mga halimbawa upang maunawaan ang mismong kahulugan ng logarithm:
Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan:
Mga katangian ng logarithms na dapat laging tandaan:
*Ang logarithm ng produkto ay katumbas ng kabuuan ng logarithm ng mga salik.
* * *
*Ang logarithm ng isang quotient (fraction) ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng logarithms ng mga salik.
* * *
*Ang logarithm ng isang exponent ay katumbas ng produkto ng exponent at ang logarithm ng base nito.
* * *
*Transition sa isang bagong pundasyon
* * *
Higit pang mga katangian:
* * *
Ang pagkalkula ng logarithms ay malapit na nauugnay sa paggamit ng mga katangian ng mga exponent.
Ilista natin ang ilan sa mga ito:
Ang kakanyahan ng ari-arian na ito ay nakasalalay sa katotohanan na kapag inililipat ang numerator sa denominator at kabaligtaran, ang tanda ng exponent ay nagbabago sa kabaligtaran. Halimbawa:
Isang resulta mula sa property na ito:
* * *
Kapag nagtataas ng isang kapangyarihan sa isang kapangyarihan, ang base ay nananatiling pareho, ngunit ang mga exponent ay pinarami.
* * *
Tulad ng nakita mo, ang konsepto ng logarithm mismo ay simple. Ang pangunahing bagay ay kailangan mo ng mahusay na kasanayan, na nagbibigay sa iyo ng isang tiyak na kasanayan. Siyempre, kailangan ang kaalaman sa mga formula. Kung ang kasanayan sa pag-convert ng elementarya na logarithms ay hindi nabuo, kung gayon kapag nilutas ang mga simpleng gawain madali kang magkamali.
Magsanay, lutasin muna ang mga pinakasimpleng halimbawa mula sa kursong matematika, pagkatapos ay lumipat sa mas kumplikado. Sa hinaharap, tiyak na ipapakita ko kung paano nalutas ang mga "nakakatakot" na logarithms; hindi sila lilitaw sa Pinag-isang Pagsusuri ng Estado, ngunit interesado sila, huwag palampasin ang mga ito!
Iyon lang! Good luck sa iyo!
Taos-puso, Alexander Krutitskikh
P.S: Magpapasalamat ako kung sasabihin mo sa akin ang tungkol sa site sa mga social network.
Ang pokus ng artikulong ito ay logarithm. Dito ay magbibigay tayo ng kahulugan ng logarithm, ipakita ang tinatanggap na notasyon, magbigay ng mga halimbawa ng logarithm, at pag-uusapan ang natural at decimal logarithms. Pagkatapos nito ay isasaalang-alang natin ang pangunahing logarithmic identity.
Pag-navigate sa pahina.
Kahulugan ng logarithm
Ang konsepto ng isang logarithm ay lumitaw kapag nilutas ang isang problema sa sa isang tiyak na kahulugan kabaligtaran, kapag kailangan mong hanapin ang exponent ng kilalang halaga degree at alam na batayan.
Ngunit sapat na mga paunang salita, oras na upang sagutin ang tanong na "ano ang logarithm"? Ibigay natin ang kaukulang kahulugan.
Kahulugan.
Logarithm ng b sa base a, kung saan ang a>0, a≠1 at b>0 ay ang exponent kung saan kailangan mong itaas ang numerong a upang makuha ang b bilang resulta.
Sa yugtong ito, napapansin namin na ang binibigkas na salitang "logarithm" ay dapat na agad na magtaas ng dalawang follow-up na tanong: "anong numero" at "sa anong batayan." Sa madaling salita, walang logarithm, ngunit ang logarithm lamang ng isang numero sa ilang base.
Pumasok na tayo agad notasyon ng logarithm: ang logarithm ng isang numero b hanggang base a ay karaniwang tinutukoy bilang log a b. Ang logarithm ng isang numero b hanggang base e at ang logarithm sa base 10 ay may sariling mga espesyal na pagtatalaga lnb at logb, ayon sa pagkakabanggit, iyon ay, hindi sila sumulat ng log e b, ngunit lnb, at hindi log 10 b, ngunit lgb.
Ngayon ay maaari tayong magbigay ng: .
At ang mga talaan 
huwag magkaroon ng kahulugan, dahil sa una sa kanila sa ilalim ng tanda ng logarithm mayroong isang negatibong numero, sa pangalawa mayroong negatibong numero sa base, at sa pangatlo ay may negatibong numero sa ilalim ng logarithm sign at isang yunit sa base.
Ngayon pag-usapan natin mga panuntunan para sa pagbabasa ng logarithms. Ang log a b ay binabasa bilang "ang logarithm ng b hanggang base a". Halimbawa, ang log 2 3 ay ang logarithm ng tatlo hanggang base 2, at ang logarithm ng two point two thirds hanggang base 2 Kuwadrado na ugat sa lima. Ang logarithm sa base e ay tinatawag natural na logarithm, at ang notasyong lnb ay "natural logarithm ng b". Halimbawa, ang ln7 ay ang natural na logarithm ng pito, at babasahin natin ito bilang natural na logarithm ng pi. Ang base 10 logarithm ay mayroon din espesyal na pangalan – decimal logarithm, at ang lgb ay binabasa bilang "decimal logarithm ng b". Halimbawa, ang lg1 ay ang decimal logarithm ng isa, at ang lg2.75 ay ang decimal logarithm ng two point seven five hundredths.
Ito ay nagkakahalaga ng paninirahan nang hiwalay sa mga kondisyon a>0, a≠1 at b>0, kung saan ibinibigay ang kahulugan ng logarithm. Ipaliwanag natin kung saan nagmula ang mga paghihigpit na ito. Ang pagkakapantay-pantay ng form na tinatawag na , na direktang sumusunod mula sa kahulugan ng logarithm na ibinigay sa itaas, ay makakatulong sa amin na gawin ito.
Magsimula tayo sa a≠1. Dahil ang isa sa anumang kapangyarihan ay katumbas ng isa, ang pagkakapantay-pantay ay maaari lamang maging totoo kapag b=1, ngunit ang log 1 1 ay maaaring maging anumang tunay na numero. Upang maiwasan ang kalabuan na ito, ipinapalagay ang a≠1.
Bigyan natin ng katwiran ang pagiging angkop ng kondisyon a>0. Sa a=0, ayon sa kahulugan ng logarithm, magkakaroon tayo ng pagkakapantay-pantay, na posible lamang sa b=0. Ngunit ang log 0 0 ay maaaring maging anumang di-zero na tunay na numero, dahil ang zero sa anumang di-zero na kapangyarihan ay zero. Ang kundisyong a≠0 ay nagpapahintulot sa amin na maiwasan ang kalabuan na ito. At kapag a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .
Sa wakas, ang kundisyon b>0 ay sumusunod mula sa hindi pagkakapantay-pantay a>0, dahil , at ang halaga ng isang kapangyarihan na may positibong base a ay palaging positibo.
Upang tapusin ang puntong ito, sabihin natin na ang nakasaad na kahulugan ng logarithm ay nagpapahintulot sa iyo na agad na ipahiwatig ang halaga ng logarithm kapag ang numero sa ilalim ng logarithm sign ay isang tiyak na kapangyarihan ng base. Sa katunayan, ang kahulugan ng isang logarithm ay nagpapahintulot sa amin na sabihin na kung b=a p, kung gayon ang logarithm ng numerong b sa base a ay katumbas ng p. Ibig sabihin, ang equality log a a p =p ay totoo. Halimbawa, alam natin na 2 3 =8, pagkatapos ay log 2 8=3. Pag-uusapan natin ang higit pa tungkol dito sa artikulo.