Ang panuntunan para sa pagpaparami ng mga ugat na may parehong exponents. Mga formula ng ugat

1. Ang ugat ng kapangyarihan ng produkto ay hindi mga negatibong numero ay katumbas ng produkto ng mga ugat ng parehong antas mula sa mga kadahilanan: kung saan (ang panuntunan para sa pagkuha ng ugat mula sa isang produkto).

2. Kung , pagkatapos ay y (ang panuntunan para sa pagkuha ng ugat ng isang fraction).

3. Kung pagkatapos (ang tuntunin para sa pagkuha ng isang ugat mula sa isang ugat).

4. Kung pagkatapos ay ang panuntunan para sa pagtataas ng ugat sa isang kapangyarihan).

5. Kung kung saan, ibig sabihin, ang exponent ng root at ang exponent ng radical expression ay maaaring i-multiply sa parehong numero.

6. Kung pagkatapos ay 0, ibig sabihin, ay tumutugma sa isang mas malaking positibong radikal na pagpapahayag at mas mataas na halaga ugat

7. Ang lahat ng mga formula sa itaas ay kadalasang ginagamit sa baligtarin ang pagkakasunod-sunod(i.e. mula kanan pakaliwa). Halimbawa,

(panuntunan ng pagpaparami ng mga ugat);

(panuntunan ng root division);

8. Ang panuntunan para sa pag-alis ng multiplier mula sa ilalim ng root sign. Sa

9. Ang kabaligtaran na problema ay ang pagpapakilala ng multiplier sa ilalim ng tanda ng ugat. Halimbawa,

10. Pag-aalis ng irrationality sa denominator ng isang fraction.

Tingnan natin ang ilang karaniwang mga kaso.

Halimbawa,

11. Paglalapat ng mga pinaikling pagkakakilanlan ng multiplikasyon sa mga operasyong may mga ugat ng arithmetic:

12. Ang salik sa harap ng ugat ay tinatawag na coefficient nito. Halimbawa, Narito ang 3 ay ang koepisyent.

13. Ang mga ugat (radicals) ay tinatawag na magkatulad kung mayroon silang parehong mga indeks ng ugat at parehong mga radikal na expression, at naiiba lamang sa koepisyent. Upang hatulan kung ang mga ugat (radical) na ito ay magkatulad o hindi, kailangan mong bawasan ang mga ito sa kanilang pinakasimpleng anyo.

Halimbawa, at magkatulad, dahil

MGA PAGSASANAY NA MAY MGA SOLUSYON

1. Pasimplehin ang mga expression:

Solusyon. 1) Walang punto sa pagpaparami ng radikal na expression, dahil ang bawat isa sa mga kadahilanan ay kumakatawan sa parisukat ng isang integer. Gamitin natin ang panuntunan para sa pagkuha ng ugat ng isang produkto:

Sa hinaharap, isasagawa namin ang mga naturang aksyon nang pasalita.

2) Subukan natin, kung maaari, na katawanin ang radikal na expression bilang isang produkto ng mga salik, ang bawat isa ay ang kubo ng isang integer, at ilapat ang panuntunan tungkol sa ugat ng produkto:

2. Hanapin ang halaga ng expression:

Solusyon. 1) Ayon sa panuntunan para sa pagkuha ng ugat ng isang fraction, mayroon tayong:

3) Ibahin ang anyo ng mga radikal na expression at kunin ang ugat:

3. Pasimplehin kapag

Solusyon. Kapag kumukuha ng isang ugat mula sa isang ugat, ang mga tagapagpahiwatig ng mga ugat ay pinarami, ngunit ang radikal na expression ay nananatiling hindi nagbabago

Kung mayroong isang koepisyent sa harap ng ugat na matatagpuan sa ilalim ng ugat, pagkatapos bago isagawa ang operasyon ng pagkuha ng ugat, ipasok ang koepisyent na ito sa ilalim ng tanda ng radikal sa harap kung saan ito lilitaw.

Batay sa mga panuntunan sa itaas, kunin natin ang huling dalawang ugat:

4. Itaas sa isang kapangyarihan:

Solusyon. Kapag itinaas ang isang ugat sa isang kapangyarihan, ang exponent ng ugat ay nananatiling hindi nagbabago, at ang mga exponent ng radikal na expression ay pinarami ng exponent.

(dahil ito ay tinukoy, kung gayon );

Kung ang isang ibinigay na ugat ay may isang koepisyent, ang koepisyent na ito ay itataas sa isang kapangyarihan nang hiwalay at ang resulta ay nakasulat bilang ang koepisyent ng ugat.

Dito ginamit namin ang panuntunan na ang tagapagpahiwatig ng ugat at ang tagapagpahiwatig ng radikal na expression ay maaaring i-multiply sa parehong numero (min multiply sa, ibig sabihin, hinati sa 2).

Halimbawa, o

4) Ang expression sa panaklong, na kumakatawan sa kabuuan ng dalawang magkaibang mga radical, ay cubed at pinasimple:

Dahil mayroon kaming:

5. Tanggalin ang irrationality sa denominator:

Solusyon. Upang maalis (sirain) ang irrationality sa denominator ng isang fraction, kailangan mong hanapin ang pinakasimpleng expression, na sa isang produkto na may denominator ay nagbibigay ng rational expression, at i-multiply ang numerator at denominator ng fraction na ito sa nahanap na kadahilanan.

Halimbawa, kung ang denominator ng isang fraction ay naglalaman ng isang binomial, kung gayon ang numerator at denominator ng fraction ay dapat na i-multiply sa expression na conjugate sa denominator, iyon ay, ang kabuuan ay dapat na i-multiply sa katumbas na pagkakaiba at vice versa.

Sa mas kumplikadong mga kaso, ang kawalan ng katwiran ay hindi nawasak kaagad, ngunit sa ilang mga yugto.

1) Dapat maglaman ang expression

Ang pagpaparami ng numerator at denominator ng fraction sa pamamagitan ng makuha natin:

2) Ang pagpaparami ng numerator at denominator ng fraction sa bahagyang parisukat ng kabuuan, nakukuha natin:

3) Dalhin natin ang mga fraction sa isang common denominator:

Kapag nilulutas ang halimbawang ito, dapat nating tandaan na ang bawat fraction ay may kahulugan, iyon ay, ang denominator ng bawat fraction ay hindi zero. Bukod sa,

Kapag nagko-convert ng mga expression na naglalaman ng mga radical, madalas na nagkakamali. Ang mga ito ay sanhi ng kawalan ng kakayahang mailapat nang wasto ang konsepto (kahulugan) ng isang arithmetic root at absolute value.

Mga panuntunan sa pagpaparami ng mga ugat

Pansin!
May mga karagdagang
materyales sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga sobrang “hindi masyado. »
At para sa mga "napaka-sobra. ")

Sa nakaraang aralin, nalaman natin kung ano ang square root. Panahon na upang malaman kung alin ang umiiral mga pormula para sa mga ugat ano ang mga katangian ng mga ugat, at ano ang magagawa sa lahat ng ito.

Mga formula ng mga ugat, mga katangian ng mga ugat at mga patakaran para sa pagtatrabaho sa mga ugat- ito ay mahalagang ang parehong bagay. Nakakagulat na kakaunti ang mga formula para sa square roots. Na tiyak na nagpapasaya sa akin! O sa halip, maaari kang magsulat ng maraming iba't ibang mga formula, ngunit para sa praktikal at tiwala na trabaho na may mga ugat, tatlo lamang ang sapat. Lahat ng iba ay dumadaloy mula sa tatlong ito. Kahit na maraming tao ang nalilito sa tatlong root formula, oo.

Magsimula tayo sa pinakasimpleng isa. Narito siya:

Hayaan mong ipaalala ko sa iyo (mula sa nakaraang aralin): Ang a at b ay mga di-negatibong numero! Kung hindi, walang saysay ang formula.

Ito ari-arian ng mga ugat , gaya ng nakikita mo, ay simple, maikli at hindi nakakapinsala. Ngunit napakaraming magagandang bagay ang magagawa mo sa root formula na ito! Tignan natin mga halimbawa lahat ng mga kapaki-pakinabang na bagay na ito.

Ang unang kapaki-pakinabang na bagay. Ang formula na ito ay nagpapahintulot sa amin paramihin ang mga ugat.

Paano paramihin ang mga ugat?

Oo, napakasimple. Diretso sa formula. Halimbawa:

Mukhang pinarami nila ito, ano? Marami bang saya?! Sumasang-ayon ako, kaunti. Paano mo ito gusto halimbawa?

Ang mga ugat ay hindi eksaktong nakuha mula sa mga kadahilanan. At ang resulta ay napakahusay! Mas maganda yun diba? Kung sakali, hayaan mong sabihin ko sa iyo na maaaring magkaroon ng maraming multiplier hangga't gusto mo. Gumagana pa rin ang formula para sa pagpaparami ng mga ugat. Halimbawa:

Kaya, sa pagpaparami ay malinaw ang lahat, bakit kailangan ito? ari-arian ng mga ugat- naiintindihan din.

Ang pangalawang kapaki-pakinabang na bagay. Paglalagay ng numero sa ilalim ng root sign.

Paano magpasok ng isang numero sa ilalim ng ugat?

Ipagpalagay natin na mayroon tayong ganitong expression:

Posible bang itago ang deuce sa loob ng ugat? Madali lang! Kung gagawa ka ng ugat mula sa dalawa, gagana ang formula para sa pagpaparami ng mga ugat. Paano ka makakagawa ng ugat mula sa dalawa? Oo, walang tanong din! Dalawa ay square root ng apat!

Sa pamamagitan ng paraan, ang isang ugat ay maaaring gawin mula sa anumang hindi negatibong numero! Ito ang magiging square root ng square ng numerong ito. 3 ang ugat ng 9. 8 ang ugat ng 64. 11 ang ugat ng 121. Well, at iba pa.

Siyempre, hindi na kailangang ilarawan nang detalyado. Well, para sa mga nagsisimula. Ito ay sapat na upang mapagtanto na ang anumang di-negatibong numero na pinarami ng ugat ay maaaring idagdag sa ilalim ng ugat. Ngunit - huwag kalimutan! - sa ilalim ng ugat ang numerong ito ay magiging parisukat sarili mo. Ang aksyon na ito - pagpasok ng isang numero sa ilalim ng ugat - ay maaari ding tawaging pagpaparami ng numero sa ugat. SA pangkalahatang pananaw maaaring isulat:

Ang pamamaraan ay simple, tulad ng nakikita mo. Bakit kailangan ito?

Tulad ng anumang pagbabago, pinapalawak ng pamamaraang ito ang aming mga kakayahan. Mga pagkakataong gawing malambot at malambot ang isang malupit at hindi komportableng ekspresyon). Narito ang isang simple para sa iyo halimbawa:

Tulad ng nakikita mo, ari-arian ng mga ugat, na nagpapahintulot sa iyo na magpasok ng isang multiplier sa ilalim ng tanda ng ugat, ay lubos na angkop para sa pagpapasimple.

Bilang karagdagan, ang pagdaragdag ng isang multiplier sa ugat ay ginagawang madali at simple upang ihambing ang mga halaga iba't ibang ugat. Nang walang anumang mga kalkulasyon o calculator! Ang ikatlong kapaki-pakinabang na bagay.

Paano ihambing ang mga ugat?

Napakahalaga ng kasanayang ito sa mga seryosong gawain, kapag nagpapakita ng mga module at iba pang mga cool na bagay.

Ihambing ang mga ekspresyong ito. Alin ang mas malaki? Nang walang calculator! Bawat isa ay may calculator. uh-uh. Sa madaling salita, lahat ay kayang gawin ito!)

Hindi mo masasabi iyon kaagad. Paano kung maglagay ka ng mga numero sa ilalim ng root sign?

Tandaan natin (paano kung hindi mo alam?): kung ang numero sa ilalim ng root sign ay mas malaki, kung gayon ang ugat mismo ay mas malaki! Kaya ang agad na tamang sagot, nang walang anumang kumplikadong mga kalkulasyon at kalkulasyon:

Mahusay, tama? Ngunit hindi lang iyon! Tandaan na gumagana ang lahat ng mga formula mula kaliwa hanggang kanan at mula kanan papuntang kaliwa. Sa ngayon ay ginamit namin ang formula para sa pagpaparami ng mga ugat mula kaliwa hanggang kanan. Patakbuhin natin ang property na ito ng mga ugat nang pabaliktad, mula kanan pakaliwa. Ganito:

At ano ang pagkakaiba? Nagbibigay ba ito ng kahit ano? tiyak! Ngayon ay makikita mo para sa iyong sarili.

Ipagpalagay na kailangan nating i-extract (nang walang calculator!) ang square root ng numero 6561. Ang ilang mga tao sa yugtong ito ay mahuhulog sa isang hindi pantay na pakikibaka sa gawain. Pero pursigido kami, hindi kami sumusuko! Ang ikaapat na kapaki-pakinabang na bagay.

Paano kunin ang mga ugat mula sa malalaking numero?

Alalahanin natin ang formula para sa pagkuha ng mga ugat mula sa isang produkto. Yung sinulat ko sa taas. Pero nasaan ang trabaho natin!? Meron kami malaking bilang 6561 at iyon lang. Oo, wala dito ang trabaho. Ngunit kung kailangan natin ito, gagawin natin gawin natin! I-factor natin ang numerong ito. May karapatan tayo.

Una, alamin natin kung ano nga ba ang nahahati sa numerong ito? Ano, hindi mo alam!? Nakalimutan mo na ba ang mga senyales ng divisibility!? walang kabuluhan. Pumunta sa Espesyal na Seksyon 555, paksang "Mga Fraction", nandoon sila. Ang numerong ito ay nahahati sa 3 at 9. Dahil ang kabuuan ng mga numero (6+5+6+1=18) ay hinati sa mga numerong ito. Ito ay isa sa mga palatandaan ng divisibility. Hindi natin kailangang hatiin ng tatlo (ngayon ay mauunawaan mo na kung bakit), ngunit hahatiin natin sa 9. Sa isang sulok man lang. Nakakuha kami ng 729. Kaya nakahanap kami ng dalawang salik! Ang una ay siyam (kami mismo ang pumili), at ang pangalawa ay 729 (ganyan ang nangyari). Maaari ka nang sumulat:

Nakukuha mo ba ang ideya? Gayon din ang gagawin natin sa numerong 729. Ito ay nahahati din sa 3 at 9. Hindi na namin hinahati muli sa 3, hinahati namin sa 9. Nakuha namin ang 81. At alam namin ang numerong ito! Sumulat kami:

Ang lahat ay naging madali at eleganteng! Ang ugat ay kailangang bunutin nang paisa-isa, ngunit mabuti. Magagawa ito sa anumang malalaking numero. I-multiply sila at sige!

Nga pala, bakit hindi mo kailangang hatiin sa 3? Nahulaan mo ba? Oo, dahil ang ugat ng tatlo ay hindi maaaring makuha nang eksakto! Makatuwirang i-factor ito sa mga salik na maaaring makuha nang maayos ang ugat mula sa kahit isa. Ito ay 4, 9, 16 well, at iba pa. Hatiin ang iyong malaking bilang sa mga numerong ito nang paisa-isa, at ikaw ay mapalad!

Ngunit hindi kinakailangan. Baka hindi ka swertehin. Sabihin nating ang numerong 432, kapag isinaalang-alang at ginagamit ang root formula para sa produkto, ay magbibigay ng sumusunod na resulta:

Well, okay. Anyway, pinasimple namin ang expression. Sa matematika, kaugalian na iwanan ang pinakamaliit na posibleng numero sa ilalim ng ugat. Sa proseso ng paglutas ng lahat ay nakasalalay sa halimbawa (marahil ang lahat ay maaaring paikliin nang walang pagpapagaan), ngunit sa sagot kailangan mong magbigay ng isang resulta na hindi maaaring mas pinasimple.

By the way, alam mo ba kung ano ang ginawa natin sa root ng 432?

Kami kinuha ang mga kadahilanan mula sa ilalim ng root sign ! Ito ang tawag sa operasyong ito. Kung hindi, makakakuha ka ng isang gawain - " alisin ang kadahilanan mula sa ilalim ng root sign"Ngunit hindi alam ng mga lalaki.) Narito ang isa pang aplikasyon para sa iyo katangian ng mga ugat. Kapaki-pakinabang na bagay ikalima.

Paano tanggalin ang multiplier mula sa ilalim ng ugat?

Madali. I-factor ang radical expression at i-extract ang mga ugat na nakuha. Tingnan natin:

Walang supernatural. Mahalagang piliin ang tamang multiplier. Dito pinalawak namin ang 72 bilang 36·2. At naging maayos ang lahat. O maaari nilang pinalawak ito sa ibang paraan: 72 = 6·12. At ano!? Ang ugat ay hindi maaaring makuha mula sa alinman sa 6 o 12. Anong gagawin?!

ayos lang. Alinman sa maghanap ng iba pang mga opsyon sa agnas, o patuloy na i-decompose ang lahat hanggang sa huminto ito! Ganito:

Tulad ng makikita mo, ang lahat ay nagtrabaho. Ito, sa pamamagitan ng paraan, ay hindi ang pinakamabilis, ngunit ang pinaka maaasahang paraan. Hatiin ang numero sa pinakamaliit na salik, at pagkatapos ay kolektahin ang pareho sa mga tambak. Ang pamamaraan ay matagumpay ding ginagamit kapag nagpaparami ng mga hindi maginhawang ugat. Halimbawa, kailangan mong kalkulahin:

Multiply lahat - makakakuha ka ng isang nakatutuwang numero! At saka paano i-extract ang ugat dito?! Factoring out na naman? Hindi, hindi namin kailangan ng anumang karagdagang trabaho. Agad naming isinasaalang-alang ito sa mga salik at kinokolekta namin ang pareho sa mga pangkat:

Iyon lang. Siyempre, hindi kinakailangan na palawakin ito sa lahat ng paraan. Ang lahat ay tinutukoy ng iyong mga personal na kakayahan. Dinala namin ang halimbawa sa punto kung saan malinaw sa iyo ang lahat Ibig sabihin mabibilang na tayo. Ang pangunahing bagay ay hindi magkamali. Hindi tao para sa matematika, ngunit matematika para sa tao!)

Ilapat natin ang kaalaman sa pagsasanay? Magsimula tayo sa isang simpleng bagay:

DEGREE NA MAY RATIONAL INDICATOR,

POWER FUNCTION IV

§ 82. Pagpaparami at paghahati ng mga ugat

1. Pagpaparami ng mga ugat. Sa § 79 ang panuntunan para sa pagpaparami ng mga ugat sa magkapareho mga tagapagpahiwatig:

Upang i-multiply ang mga ugat sa iba't ibang mga tagapagpahiwatig, kailangan muna silang dalhin sa pangkalahatang tagapagpahiwatig, at pagkatapos ay i-multiply bilang mga ugat na may parehong mga exponent.

Hayaan, halimbawa, kailangan mong magparami n √ a sa m √ b . Gamit ang Theorem 3 ng §80, maaari nating isulat ang:

Halimbawa, √ 3 3 √ 9 = 6 √ 3 3 6 √ 9 2 = 6 √ 3 3 9 2 = 6 √ 3 3 3 4 = 6 √ 3 7 = 3 6 √ 3

Bilang isang pangkalahatang tagapagpahiwatig para sa mga ugat n √ a sa m √ b Ito ay pinaka-maginhawa upang piliin ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng mga numero n At m . Halimbawa, kung kailangan mong i-multiply ang 4 √ 2 sa 6 √ 32, kung gayon ito ay maginhawa upang piliin ang numero 12, na kung saan ay ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng mga numero 4 at 6, bilang isang karaniwang tagapagpahiwatig para sa mga ugat na ito.

Ang Theorem 3 § 80 ay nagbibigay ng: 4 √ 2 = 12 √ 2 3 ; 6 √ 32 = 12 √ 32 2 = 12 √ 2 10.

4 √ 2 6 √ 32 = 12 √ 2 3 12 √ 2 10 = 12 √ 2 13 = 2 12 √ 2

2. Dibisyon ng mga ugat. Sa § 79, isang panuntunan para sa paghahati ng mga ugat na may parehong exponents ay nakuha:

Upang paghiwalayin ang mga ugat na may iba't ibang mga tagapagpahiwatig, dapat muna silang dalhin sa isang karaniwang tagapagpahiwatig, at pagkatapos ay hatiin bilang mga ugat na may parehong mga tagapagpahiwatig.

oldskola1.narod.ru

Pagpaparami ng mga ugat: pangunahing panuntunan

Pagbati, mga pusa! Huling oras na tinalakay namin nang detalyado kung ano ang mga ugat (kung hindi mo matandaan, inirerekumenda kong basahin ito). Ang pangunahing takeaway mula sa araling iyon: mayroon lamang isang pangkalahatang kahulugan ng mga ugat, na kung ano ang kailangan mong malaman. Ang natitira ay walang kapararakan at pag-aaksaya ng oras.

Ngayon ay higit pa tayo. Matututo tayong magparami ng mga ugat, pag-aaralan natin ang ilang problemang nauugnay sa multiplication (kung hindi nalutas ang mga problemang ito, maaari silang maging fatal sa pagsusulit) at magsasanay tayo ng maayos. Kaya't mag-stock ng popcorn, gawing komportable ang iyong sarili - at magsimula na tayo. :)

Hindi ka pa rin naninigarilyo, di ba?

Ang aralin ay naging medyo mahaba, kaya hinati ko ito sa dalawang bahagi:

Una ay titingnan natin ang mga patakaran ng pagpaparami. Ang cap ay tila nagpapahiwatig: ito ay kapag mayroong dalawang ugat, sa pagitan ng mga ito ay may isang "multiply" na senyales - at gusto naming gawin ang isang bagay dito.

Pagkatapos ay tingnan natin ang kabaligtaran na sitwasyon: mayroong isang malaking ugat, ngunit sabik kaming kumatawan dito bilang isang produkto ng dalawang mas simpleng ugat. Bakit ito kinakailangan, ay isang hiwalay na tanong. Susuriin lamang namin ang algorithm.

Para sa mga hindi makapaghintay na tumalon diretso sa ikalawang bahagi, malugod kang tinatanggap. Magsimula tayo sa natitira sa pagkakasunud-sunod.

Pangunahing Tuntunin ng Multiplikasyon

Magsimula tayo sa pinakasimpleng bagay - classic square roots. Ang parehong mga itinalagang $\sqrt$ at $\sqrt $. Ang lahat ay halata sa kanila:

Panuntunan sa pagpaparami. Upang i-multiply ang isang square root sa isa pa, paramihin mo lang ang kanilang mga radical expression, at isulat ang resulta sa ilalim ng karaniwang radical:

Walang karagdagang mga paghihigpit na ipinapataw sa mga numero sa kanan o kaliwa: kung ang mga ugat na kadahilanan ay umiiral, kung gayon ang produkto ay umiiral din.

Mga halimbawa. Tingnan natin ang apat na halimbawa na may mga numero nang sabay-sabay:

Tulad ng nakikita mo, ang pangunahing kahulugan ng panuntunang ito ay upang gawing simple ang mga hindi makatwiran na expression. At kung sa unang halimbawa tayo mismo ay nakuha ang mga ugat ng 25 at 4 nang walang anumang mga bagong panuntunan, kung gayon ang mga bagay ay magiging matigas: $\sqrt $ at $\sqrt $ ay hindi isinasaalang-alang sa kanilang sarili, ngunit ang kanilang produkto ay lumabas na isang perpektong parisukat, kaya ang ugat nito ay katumbas ng isang rational na numero.

Gusto ko lalo na i-highlight ang huling linya. Doon, ang parehong mga radikal na expression ay mga fraction. Salamat sa produkto, maraming mga kadahilanan ang nakansela, at ang buong expression ay nagiging isang sapat na numero.

Siyempre, ang mga bagay ay hindi palaging magiging napakaganda. Minsan sa ilalim ng mga ugat ay magkakaroon ng kumpletong crap - hindi malinaw kung ano ang gagawin dito at kung paano ito ibahin ang anyo pagkatapos ng multiplikasyon. Maya-maya pa, kapag nagsimula kang mag-aral hindi makatwirang equation at hindi pagkakapantay-pantay, sa pangkalahatan ay magkakaroon ng lahat ng uri ng mga variable at function. At napakadalas, umaasa ang mga manunulat ng problema sa katotohanan na matutuklasan mo ang ilang mga termino o salik sa pagkansela, pagkatapos nito ang problema ay pasimplehin nang maraming beses.

Bilang karagdagan, hindi kinakailangan na magparami ng eksaktong dalawang ugat. Maaari kang magparami ng tatlo, apat, o kahit sampu nang sabay-sabay! Hindi nito babaguhin ang panuntunan. Tingnan mo:

At muli isang maliit na tala sa pangalawang halimbawa. Tulad ng nakikita mo, sa ikatlong kadahilanan sa ilalim ng ugat mayroong isang decimal na bahagi - sa proseso ng mga kalkulasyon pinapalitan namin ito ng isang regular, pagkatapos nito ang lahat ay madaling nabawasan. Kaya: Lubos kong inirerekumenda na alisin ang mga decimal fraction sa anumang hindi makatwiran na mga expression (ibig sabihin, naglalaman ng hindi bababa sa isang radikal na simbolo). Makakatipid ito sa iyo ng maraming oras at nerbiyos sa hinaharap.

Ngunit ito ay isang lyrical digression. Ngayon isaalang-alang natin ang isang mas pangkalahatang kaso - kapag ang root exponent ay naglalaman ng isang di-makatwirang numero na $n$, at hindi lamang ang "klasikal" na dalawa.

Ang kaso ng isang di-makatwirang tagapagpahiwatig

Kaya, kasama square roots naisip ito. Ano ang gagawin sa mga kubiko? O kahit na may mga ugat ng di-makatwirang degree na $n$? Oo, ang lahat ay pareho. Ang panuntunan ay nananatiling pareho:

Upang i-multiply ang dalawang ugat ng degree $n$, sapat na upang i-multiply ang kanilang mga radical expression, at pagkatapos ay isulat ang resulta sa ilalim ng isang radical.

Sa pangkalahatan, walang kumplikado. Maliban na ang halaga ng mga kalkulasyon ay maaaring mas malaki. Tingnan natin ang ilang halimbawa:

Mga halimbawa. Kalkulahin ang mga produkto:

At muli, pansin ang pangalawang ekspresyon. Pinarami namin ang mga ugat ng kubo, mapupuksa decimal at bilang resulta, nakukuha natin ang produkto ng mga numerong 625 at 25 sa denominator. malaking numero- Sa personal, hindi ko makalkula kaagad kung ano ang katumbas nito.

Kaya't ibinukod lang namin ang eksaktong cube sa numerator at denominator, at pagkatapos ay ginamit ang isa sa mga pangunahing katangian (o, kung gusto mo, kahulugan) ng $n$th na ugat:

Ang ganitong mga "machinations" ay maaaring makatipid sa iyo ng maraming oras sa pagsusulit o pagsubok na gawain, kaya tandaan:

Huwag magmadali sa pagpaparami ng mga numero gamit ang mga radikal na expression. Una, suriin: paano kung ang eksaktong antas ng anumang expression ay "naka-encrypt" doon?

Sa kabila ng kaliwanagan ng pangungusap na ito, dapat kong aminin na ang karamihan sa mga hindi handa na mga mag-aaral ay hindi nakikita ang eksaktong mga antas sa point-blank na hanay. Sa halip, pinarami nila ang lahat nang tahasan, at pagkatapos ay nagtataka: bakit sila nakakuha ng mga brutal na numero? :)

Gayunpaman, ang lahat ng ito ay baby talk kumpara sa pag-aaralan natin ngayon.

Pagpaparami ng mga ugat na may iba't ibang exponents

Okay, ngayon ay maaari nating i-multiply ang mga ugat na may parehong mga tagapagpahiwatig. Paano kung magkaiba ang mga indicator? Sabihin natin, kung paano i-multiply ang isang ordinaryong $\sqrt $ ng ilang crap tulad ng $\sqrt $? Posible bang gawin ito?

Oo syempre kaya mo. Ang lahat ay ginagawa ayon sa formula na ito:

Gayunpaman, ang formula na ito ay gagana lamang kung Ang mga radikal na ekspresyon ay hindi negatibo. Ito ay isang napakahalagang tala na babalikan natin mamaya.

Sa ngayon, tingnan natin ang ilang halimbawa:

Tulad ng nakikita mo, walang kumplikado. Ngayon, alamin natin kung saan nanggaling ang non-negativity requirement, at ano ang mangyayari kung lalabagin natin ito. :)

Ang pagpaparami ng mga ugat ay madali

Bakit dapat hindi negatibo ang mga radikal na pagpapahayag?

Syempre pwede kang maging katulad mga guro sa paaralan at matalinong sipiin ang aklat-aralin:

Ang pangangailangan ng di-negatibiti ay nauugnay sa iba't ibang kahulugan ng mga ugat ng kahit at kakaibang degree(Ayon, magkaiba rin ang kanilang mga saklaw ng kahulugan).

Well, naging mas malinaw ba? Sa personal, nang basahin ko ang kalokohang ito noong ika-8 baitang, naunawaan ko ang isang bagay tulad ng sumusunod: "Ang kinakailangan ng hindi negatibo ay nauugnay sa *#&^@(*#@^#)

%" - sa madaling salita, wala akong naintindihan sa oras na iyon. :)

Kaya ngayon ipapaliwanag ko ang lahat sa normal na paraan.

Una, alamin natin kung saan nagmula ang multiplication formula sa itaas. Upang gawin ito, hayaan mong ipaalala ko sa iyo ang isang mahalagang katangian ng ugat:

Sa madaling salita, madali nating itaas ang radikal na pagpapahayag sa anumang natural na kapangyarihan $k$ - sa kasong ito, ang exponent ng ugat ay kailangang i-multiply sa parehong kapangyarihan. Samakatuwid, madali nating bawasan ang anumang mga ugat sa isang karaniwang exponent, at pagkatapos ay i-multiply ang mga ito. Dito nagmula ang multiplication formula:

Ngunit mayroong isang problema na mahigpit na naglilimita sa paggamit ng lahat ng mga formula na ito. Isaalang-alang ang numerong ito:

Ayon sa ibinigay na formula, maaari tayong magdagdag ng anumang antas. Subukan nating magdagdag ng $k=2$:

Inalis namin ang minus nang tumpak dahil sinusunog ng parisukat ang minus (tulad ng anumang iba pang kahit na antas). Ngayon gawin natin ang reverse transformation: "bawasan" ang dalawa sa exponent at power. Pagkatapos ng lahat, ang anumang pagkakapantay-pantay ay mababasa mula kaliwa hanggang kanan at mula kanan pakaliwa:

Ngunit pagkatapos ito ay naging isang uri ng kalokohan:

Hindi ito maaaring mangyari dahil $\sqrt \lt 0$ at $\sqrt \gt 0$. Nangangahulugan ito na para sa kahit na mga kapangyarihan at negatibong mga numero ang aming formula ay hindi na gumagana. Pagkatapos nito, mayroon kaming dalawang pagpipilian:

Upang tumama sa pader at sabihin na ang matematika ay isang hangal na agham, kung saan "may ilang mga patakaran, ngunit ang mga ito ay hindi tumpak";
Pumasok karagdagang mga paghihigpit, kung saan gagana nang 100% ang formula.

Sa unang pagpipilian, kailangan nating patuloy na mahuli ang mga "hindi gumagana" na mga kaso - ito ay mahirap, nakakaubos ng oras at sa pangkalahatan ay ugh. Samakatuwid, ginusto ng mga mathematician ang pangalawang opsyon. :)

Ngunit huwag mag-alala! Sa pagsasagawa, ang limitasyong ito ay hindi nakakaapekto sa mga kalkulasyon sa anumang paraan, dahil ang lahat ng mga problema na inilarawan ay nag-aalala lamang sa mga ugat ng kakaibang antas, at ang mga minus ay maaaring makuha mula sa kanila.

Samakatuwid, bumalangkas tayo ng isa pang panuntunan, na karaniwang nalalapat sa lahat ng mga aksyon na may mga ugat:

Bago magparami ng mga ugat, siguraduhin na ang mga radikal na expression ay hindi negatibo.

Halimbawa. Sa numerong $\sqrt$ maaari mong alisin ang minus mula sa ilalim ng root sign - kung gayon ang lahat ay magiging normal:

Nararamdaman mo ba ang pagkakaiba? Kung nag-iiwan ka ng minus sa ilalim ng ugat, pagkatapos ay kapag ang radikal na expression ay parisukat, ito ay mawawala, at ang crap ay magsisimula. At kung aalisin mo muna ang minus, maaari mong kuwadrado/alisin ang parisukat hanggang sa maging asul ka sa mukha - mananatiling negatibo ang numero. :)

Kaya, ang pinaka tama at pinaka-maaasahang paraan ng pagpaparami ng mga ugat ay ang mga sumusunod:

Alisin ang lahat ng mga negatibo mula sa mga radikal. Ang mga minus ay umiiral lamang sa mga ugat ng kakaibang multiplicity - maaari silang ilagay sa harap ng ugat at, kung kinakailangan, bawasan (halimbawa, kung mayroong dalawa sa mga minus na ito).
Magsagawa ng multiplikasyon ayon sa mga tuntuning tinalakay sa itaas sa aralin ngayon. Kung ang mga tagapagpahiwatig ng mga ugat ay pareho, pinaparami lang natin ang mga radikal na expression. At kung magkaiba sila, ginagamit namin ang masamang formula na \[\sqrt[n]\cdot \sqrt[p] =\sqrt>\cdot ^ >>\].
3. Tangkilikin ang resulta at magagandang marka. :)

Well? Magpractice ba tayo?

Halimbawa 1: Pasimplehin ang expression:

Ito ang pinakasimpleng opsyon: ang mga ugat ay pareho at kakaiba, ang tanging problema ay ang pangalawang kadahilanan ay negatibo. Kinukuha namin ang minus na ito sa larawan, pagkatapos ay madaling kalkulahin ang lahat.

Halimbawa 2: Pasimplehin ang expression:

Marami dito ang malilito sa nangyari sa huli hindi makatwiran na numero. Oo, nangyayari ito: hindi namin ganap na mapupuksa ang ugat, ngunit kahit na makabuluhang pinasimple ang expression.

Halimbawa 3: Pasimplehin ang expression:

Nais kong iguhit ang iyong pansin sa gawaing ito. Mayroong dalawang puntos dito:

Ang ugat ay hindi isang tiyak na numero o kapangyarihan, ngunit ang variable na $a$. Sa unang sulyap, ito ay medyo hindi pangkaraniwan, ngunit sa katotohanan, kapag nilutas ang mga problema sa matematika, madalas mong kailangang harapin ang mga variable.
Sa huli, nagawa naming "bawasan" ang radikal na tagapagpahiwatig at ang antas ng radikal na pagpapahayag. Madalas itong nangyayari. At nangangahulugan ito na posible na makabuluhang gawing simple ang mga kalkulasyon kung hindi mo ginamit ang pangunahing formula.

Halimbawa, maaari mong gawin ito:

Sa katunayan, ang lahat ng mga pagbabago ay ginanap lamang sa pangalawang radikal. At kung hindi mo inilalarawan nang detalyado ang lahat ng mga intermediate na hakbang, pagkatapos ay sa dulo ang halaga ng mga kalkulasyon ay makabuluhang bawasan.

Sa katunayan, nakatagpo na kami ng katulad na gawain sa itaas nang malutas namin ang halimbawang $\sqrt \cdot \sqrt $. Ngayon ay maaari itong isulat nang mas simple:

Deprivation lisensya sa pagmamaneho para sa paglalasing noong 2018 Pagmamaneho sa isang estado pagkalasing sa alak- isa sa mga pinaka-seryosong paglabag sa mga patakaran trapiko. Batas ng Hulyo 23, 2013 Blg. 196-FZ […]

Mga formula ng ugat. Mga katangian ng square roots.

Pansin!
May mga karagdagang
materyales sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga taong "hindi masyadong..."
At para sa mga “napaka…”)

Mga formula ng mga ugat, mga katangian ng mga ugat at mga patakaran para sa pagtatrabaho sa mga ugat- ito ay mahalagang ang parehong bagay. Nakakagulat na kakaunti ang mga formula para sa square roots. Na tiyak na nagpapasaya sa akin! O sa halip, maaari kang magsulat ng maraming iba't ibang mga formula, ngunit para sa praktikal at tiwala na trabaho na may mga ugat, tatlo lamang ang sapat. Lahat ng iba ay dumadaloy mula sa tatlong ito. Bagama't maraming tao ang nalilito sa tatlong root formula, oo...

Magsimula tayo sa pinakasimpleng isa. Narito siya:

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Matuto tayo - nang may interes!)

Maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

Ang pagkakaroon ng square roots sa isang expression ay nagpapalubha sa proseso ng paghahati, ngunit may mga patakaran na ginagawang mas madali ang pagtatrabaho sa mga fraction.

Ang tanging bagay na kailangan mong tandaan sa lahat ng oras- Ang mga radikal na pagpapahayag ay nahahati sa mga radikal na pagpapahayag, at mga salik sa mga salik. Sa proseso ng paghahati ng mga square root, pinapasimple namin ang fraction. Gayundin, tandaan na ang ugat ay maaaring nasa denominator.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Paraan 1. Paghahati ng mga radikal na ekspresyon

Algorithm ng mga aksyon:

Sumulat ng isang fraction

Kung ang expression ay hindi kinakatawan bilang isang fraction, ito ay kinakailangan upang isulat ito bilang tulad, dahil ito ay mas madaling sundin ang mga prinsipyo ng paghahati square roots.

Halimbawa 1

144 ÷ 36, dapat na muling isulat ang expression na ito tulad ng sumusunod: 144 36

Gumamit ng isang root sign

Kung pareho ang numerator at denominator ay naglalaman ng mga square root, kinakailangang isulat ang kanilang mga radical expression sa ilalim ng parehong root sign upang gawing mas madali ang proseso ng solusyon.

Ipinapaalala namin sa iyo na ang isang radikal na expression (o numero) ay isang expression sa ilalim ng root sign.

Halimbawa 2

144 36. Ang expression na ito ay dapat na nakasulat tulad ng sumusunod: 144 36

Paghiwalayin ang mga radikal na ekspresyon

Hatiin lamang ang isang expression sa isa pa, at isulat ang resulta sa ilalim ng root sign.

Halimbawa 3

144 36 = 4, isulat natin itong expression na ganito: 144 36 = 4

Pasimplehin ang radikal na expression (kung kinakailangan)

Kung ang radikal na expression o isa sa mga kadahilanan ay isang perpektong parisukat, pasimplehin ang expression.

Alalahanin na ang perpektong parisukat ay isang numero na parisukat ng ilang integer.

Halimbawa 4

Ang 4 ay isang perpektong parisukat dahil 2 × 2 = 4. Samakatuwid:

4 = 2 × 2 = 2. Samakatuwid 144 36 = 4 = 2.

Paraan 2. Pagsasaliksik ng radikal na pagpapahayag

Algorithm ng mga aksyon:

Sumulat ng isang fraction

Isulat muli ang expression bilang isang fraction (kung ito ay kinakatawan sa ganoong paraan). Ginagawa nitong mas madali ang paghahati ng mga expression na may mga square root, lalo na kapag nagfa-factor.

Halimbawa 5

8 ÷ 36, isulat itong muli ng ganito 8 36

I-factor ang bawat isa sa mga radikal na expression

I-factor ang numero sa ilalim ng ugat tulad ng iba pang integer, isulat lamang ang mga kadahilanan sa ilalim ng root sign.

Halimbawa 6

8 36 = 2 × 2 × 2 6 × 6

Pasimplehin ang numerator at denominator ng isang fraction

Upang gawin ito, alisin ang mga salik na kumakatawan sa mga perpektong parisukat mula sa ilalim ng root sign. Kaya, ang kadahilanan ng radikal na expression ay magiging salik bago ang root sign.

Halimbawa 7

2 2 6 6 × 6 2 × 2 × 2, ito ay sumusunod: 8 36 = 2 2 6

I-rationalize ang denominator (alisin ang ugat)

Sa matematika, may mga panuntunan ayon sa kung saan ang pag-iwan ng ugat sa denominator ay isang tanda ng masamang anyo, i.e. ito ay ipinagbabawal. Kung mayroong isang square root sa denominator, pagkatapos ay alisin ito.

I-multiply ang numerator at denominator sa square root na gusto mong alisin.

Halimbawa 8

Sa expression na 6 2 3, kailangan mong i-multiply ang numerator at denominator sa 3 upang maalis ito sa denominator:

6 2 3 × 3 3 = 6 2 × 3 3 × 3 = 6 6 9 = 6 6 3

Pasimplehin ang resultang expression (kung kinakailangan)

Kung ang numerator at denominator ay naglalaman ng mga numero na maaari at dapat bawasan. Pasimplehin ang mga expression na tulad ng gagawin mo sa anumang fraction.

Halimbawa 9

Ang 2 6 ay pinapasimple sa 1 3 ; kaya ang 2 2 6 ay pinapasimple sa 1 2 3 = 2 3

Paraan 3: Paghahati ng mga square root na may mga salik

Algorithm ng mga aksyon:

Pasimplehin ang mga kadahilanan

Alalahanin na ang mga kadahilanan ay ang mga numero na nauuna sa root sign. Upang gawing simple ang mga kadahilanan, kakailanganin mong hatiin o bawasan ang mga ito. Huwag hawakan ang mga radikal na ekspresyon!

Halimbawa 10

4 32 6 16 . Una, binabawasan natin ang 4 6: hatiin ang numerator at denominator ng 2: 4 6 = 2 3.

Pasimplehin ang mga square root

Kung ang numerator ay pantay na mahahati ng denominator, pagkatapos ay hatiin. Kung hindi, pasimplehin ang mga radikal na expression tulad ng iba pa.

Halimbawa 11

Ang 32 ay nahahati sa 16, kaya: 32 16 = 2

I-multiply ang pinasimple na mga salik sa pinasimpleng mga ugat

Tandaan ang panuntunan: huwag mag-iwan ng mga ugat sa denominator. Samakatuwid, pinaparami lang natin ang numerator at denominator sa ugat na ito.

Halimbawa 12

2 3 × 2 = 2 2 3

Rationalize ang denominator (alisin ang ugat sa denominator)

Halimbawa 13

4 3 2 7 . Dapat mong i-multiply ang numerator at denominator sa 7 upang maalis ang ugat sa denominator.

4 3 7 × 7 7 = 4 3 × 7 7 × 7 = 4 21 49 = 4 21 7

Paraan 4: Dibisyon ayon sa binomial na may square root

Algorithm ng mga aksyon:

Tukuyin kung ang isang binomial ay nasa denominator

Alalahanin na ang binomial ay isang expression na may kasamang 2 monomial. Gumagana lang ang pamamaraang ito sa mga kaso kung saan ang denominator ay may binomial na may square root.

Halimbawa 14

1 5 + 2 - mayroong binomial sa denominator, dahil mayroong dalawang monomial.

Hanapin ang conjugate expression ng binomial

Alalahanin na ang conjugate binomial ay isang binomial na may parehong monomials, ngunit may magkasalungat na mga palatandaan. Upang gawing simple ang expression at maalis ang ugat sa denominator, dapat mong i-multiply ang conjugate binomials.

Halimbawa 15

Ang 5 + 2 at 5 - 2 ay conjugate binomials.

I-multiply ang numerator at denominator sa binomial na conjugate ng binomial sa denominator

Makakatulong ang opsyong ito na maalis ang ugat sa denominator, dahil ang produkto ng conjugate binomials ay katumbas ng pagkakaiba ng mga parisukat ng bawat termino ng binomials: (a - b) (a + b) = a 2 - b 2

Halimbawa 16

1 5 + 2 = 1 (5 - 2) (5 - 2) (5 + 2) = 5 - 2 (5 2 - (2) 2 = 5 - 2 25 - 2 = 5 - 2 23 .

Mula dito ito ay sumusunod: 1 5 + 2 = 5 - 2 23.

Payo:

Kung nagtatrabaho ka gamit ang mga square root ng magkahalong numero, i-convert ang mga ito sa mga hindi wastong fraction.
Ang pagkakaiba sa pagitan ng pagdaragdag at pagbabawas mula sa paghahati ay ang mga radikal na expression sa kaso ng paghahati ay hindi inirerekomenda na gawing simple (sa gastos ng kumpletong mga parisukat).
Huwag kailanman (!) mag-iwan ng ugat sa denominator.
Walang mga decimal o halo-halong bago ang ugat - kailangang i-convert ang mga ito sa karaniwang fraction, at pagkatapos ay pasimplehin.
Ang denominator ba ay kabuuan o pagkakaiba ng dalawang monomial? I-multiply ang naturang binomial sa conjugate binomial nito at alisin ang ugat sa denominator.

Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Mga formula ng degree ginagamit sa proseso ng pagbabawas at pagpapagaan kumplikadong mga ekspresyon, sa paglutas ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay.

Numero c ay n-ika-kapangyarihan ng isang numero a Kailan:

Mga operasyon na may mga degree.

1. Multiplying powers ng c parehong batayan ang kanilang mga tagapagpahiwatig ay nagdaragdag:

isang m·a n = a m + n .

2. Kapag hinahati ang mga degree na may parehong base, ang kanilang mga exponent ay ibinabawas:

3. Kapangyarihan ng produkto ng 2 o higit pa ang mga kadahilanan ay katumbas ng produkto ng mga kapangyarihan ng mga salik na ito:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Ang antas ng isang fraction ay katumbas ng ratio ng mga antas ng dibidendo at ang divisor:

(a/b) n = a n /b n .

5. Pagtaas ng kapangyarihan sa isang kapangyarihan, ang mga exponent ay pinarami:

(a m) n = a m n .

Ang bawat formula sa itaas ay totoo sa mga direksyon mula kaliwa hanggang kanan at vice versa.

Halimbawa. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Mga operasyon na may mga ugat.

1. Ang ugat ng produkto ng ilang salik ay katumbas ng produkto ng mga ugat ng mga salik na ito:

2. Ang ugat ng isang ratio ay katumbas ng ratio ng dibidendo at ang divisor ng mga ugat:

3. Kapag itinaas ang ugat sa isang kapangyarihan, sapat na upang itaas ang radikal na numero sa kapangyarihang ito:

4. Kung tataas mo ang antas ng ugat sa n sabay-sabay na bumuo sa n Ang kapangyarihan ay isang radikal na numero, kung gayon ang halaga ng ugat ay hindi magbabago:

5. Kung bawasan mo ang antas ng ugat sa n sabay-sabay na kunin ang ugat n-th kapangyarihan ng isang radikal na numero, kung gayon ang halaga ng ugat ay hindi magbabago:

Isang degree na may negatibong exponent. Ang kapangyarihan ng isang tiyak na numero na may isang hindi positibo (integer) na exponent ay tinukoy bilang isang hinati sa kapangyarihan ng parehong numero na may isang exponent na katumbas ng ganap na halaga ng hindi positibong exponent:

Formula isang m:a n =a m - n maaaring gamitin hindi lamang para sa m> n, ngunit kasama din m< n.

Halimbawa. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Sa formula isang m:a n =a m - n naging patas noong m=n, ang pagkakaroon ng zero degree ay kinakailangan.

Isang degree na may zero index. Ang kapangyarihan ng anumang numero na hindi katumbas ng zero na may zero exponent ay katumbas ng isa.

Halimbawa. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Degree na may fractional exponent. Upang itaas ang isang tunay na numero A sa antas m/n, kailangan mong kunin ang ugat n ika na antas ng m-ika-kapangyarihan ng numerong ito A.

Ngayon ay higit pa tayo. Matututo tayong magparami ng mga ugat, pag-aaralan natin ang ilang problemang nauugnay sa multiplication (kung hindi nalutas ang mga problemang ito, maaari silang maging fatal sa pagsusulit) at magsasanay tayo ng maayos. Kaya mag-stock up ng popcorn, maging komportable, at magsimula tayo. :)

Hindi ka pa rin naninigarilyo, di ba?

Ang aralin ay naging medyo mahaba, kaya hinati ko ito sa dalawang bahagi:

Una ay titingnan natin ang mga patakaran ng pagpaparami. Ang cap ay tila nagpapahiwatig: ito ay kapag mayroong dalawang ugat, sa pagitan ng mga ito ay may isang "multiply" na senyales - at gusto naming gawin ang isang bagay dito.
Pagkatapos ay tingnan natin ang kabaligtaran na sitwasyon: mayroong isang malaking ugat, ngunit sabik kaming kumatawan dito bilang isang produkto ng dalawang mas simpleng ugat. Bakit ito kinakailangan, ay isang hiwalay na tanong. Susuriin lamang namin ang algorithm.

Para sa mga hindi makapaghintay na agad na lumipat sa ikalawang bahagi, malugod ka. Magsimula tayo sa natitira sa pagkakasunud-sunod.

Pangunahing Tuntunin ng Multiplikasyon

Magsimula tayo sa pinakasimpleng bagay - classic square roots. Ang parehong mga na tinutukoy ng $\sqrt(a)$ at $\sqrt(b)$. Ang lahat ay halata sa kanila:

Panuntunan sa pagpaparami. Upang i-multiply ang isang square root sa isa pa, paramihin mo lang ang kanilang mga radical expression, at isulat ang resulta sa ilalim ng karaniwang radical:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Walang karagdagang mga paghihigpit na ipinapataw sa mga numero sa kanan o kaliwa: kung ang mga ugat na kadahilanan ay umiiral, kung gayon ang produkto ay umiiral din.

Mga halimbawa. Tingnan natin ang apat na halimbawa na may mga numero nang sabay-sabay:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(align)\]

Tulad ng nakikita mo, ang pangunahing kahulugan ng panuntunang ito ay upang gawing simple ang mga hindi makatwiran na expression. At kung sa unang halimbawa tayo mismo ay nakuha ang mga ugat ng 25 at 4 nang walang anumang mga bagong panuntunan, kung gayon ang mga bagay ay magiging mahirap: $\sqrt(32)$ at $\sqrt(2)$ ay hindi isinasaalang-alang ng kanilang mga sarili, ngunit ang kanilang produkto ay lumabas na isang perpektong parisukat, kaya ang ugat nito ay katumbas ng isang rational na numero.

Siyempre, ang mga bagay ay hindi palaging magiging napakaganda. Minsan magkakaroon ng kumpletong dumi sa ilalim ng mga ugat - hindi malinaw kung ano ang gagawin dito at kung paano ito baguhin pagkatapos ng multiplikasyon. Maya-maya, kapag sinimulan mong pag-aralan ang mga hindi makatwirang equation at hindi pagkakapantay-pantay, magkakaroon ng lahat ng uri ng mga variable at function. At napakadalas, umaasa ang mga manunulat ng problema sa katotohanan na matutuklasan mo ang ilang mga termino o salik sa pagkansela, pagkatapos nito ang problema ay pasimplehin nang maraming beses.

Bilang karagdagan, hindi kinakailangan na magparami ng eksaktong dalawang ugat. Maaari kang magparami ng tatlo, apat, o kahit sampu nang sabay-sabay! Hindi nito babaguhin ang panuntunan. Tingnan mo:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(align)\]

Ang kaso ng isang di-makatwirang tagapagpahiwatig

Kaya, inayos namin ang mga square root. Ano ang gagawin sa mga kubiko? O kahit na may mga ugat ng di-makatwirang degree na $n$? Oo, ang lahat ay pareho. Ang panuntunan ay nananatiling pareho:

Upang i-multiply ang dalawang ugat ng degree $n$, sapat na upang i-multiply ang kanilang mga radical expression, at pagkatapos ay isulat ang resulta sa ilalim ng isang radical.

Sa pangkalahatan, walang kumplikado. Maliban na ang halaga ng mga kalkulasyon ay maaaring mas malaki. Tingnan natin ang ilang halimbawa:

Mga halimbawa. Kalkulahin ang mga produkto:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0.16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 )) ))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(align)\]

At muli, pansin ang pangalawang ekspresyon. Pinaparami namin ang mga ugat ng kubo, inaalis ang decimal na bahagi at nauuwi sa denominator ang produkto ng mga numerong 625 at 25. Ito ay isang malaking bilang - sa personal, hindi ko personal na malaman kung ano ang katumbas nito mula sa itaas ng ulo ko.

Samakatuwid, ibinukod lang namin ang eksaktong cube sa numerator at denominator, at pagkatapos ay ginamit ang isa sa mga pangunahing katangian (o, kung gusto mo, kahulugan) ng $n$th na ugat:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| isang\kanan|. \\ \end(align)\]

Ang ganitong mga "machinations" ay maaaring makatipid sa iyo ng maraming oras sa isang pagsusulit o pagsubok, kaya tandaan:

Huwag magmadali sa pagpaparami ng mga numero gamit ang mga radikal na expression. Una, suriin: paano kung ang eksaktong antas ng anumang expression ay "naka-encrypt" doon?

Gayunpaman, ang lahat ng ito ay baby talk kumpara sa pag-aaralan natin ngayon.

Pagpaparami ng mga ugat na may iba't ibang exponents

Okay, ngayon ay maaari nating i-multiply ang mga ugat na may parehong mga tagapagpahiwatig. Paano kung magkaiba ang mga indicator? Sabihin natin, kung paano i-multiply ang isang ordinaryong $\sqrt(2)$ ng ilang crap tulad ng $\sqrt(23)$? Posible bang gawin ito?

Oo syempre kaya mo. Ang lahat ay ginagawa ayon sa formula na ito:

Panuntunan para sa pagpaparami ng mga ugat. Upang i-multiply ang $\sqrt[n](a)$ sa $\sqrt[p](b)$, sapat na upang isagawa ang sumusunod na pagbabago:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Gayunpaman, ang formula na ito ay gagana lamang kung Ang mga radikal na ekspresyon ay hindi negatibo. Ito ay isang napakahalagang tala na babalikan natin mamaya.

Sa ngayon, tingnan natin ang ilang halimbawa:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(align)\]

Tulad ng nakikita mo, walang kumplikado. Ngayon, alamin natin kung saan nanggaling ang non-negativity requirement, at ano ang mangyayari kung lalabagin natin ito. :)

Ang pagpaparami ng mga ugat ay madali

Bakit dapat hindi negatibo ang mga radikal na pagpapahayag?

Siyempre, maaari kang maging tulad ng mga guro sa paaralan at banggitin ang aklat-aralin na may matalinong hitsura:

Ang pangangailangan ng di-negatibiti ay nauugnay sa iba't ibang mga kahulugan ng mga ugat ng pantay at kakaibang antas (ayon dito, ang kanilang mga domain ng kahulugan ay magkakaiba din).

Well, naging mas malinaw ba? Sa personal, noong binasa ko ang kalokohang ito noong ika-8 baitang, naunawaan ko ang isang bagay tulad ng sumusunod: "Ang kinakailangan ng hindi negatibo ay nauugnay sa *#&^@(*#@^#)~%" - sa madaling salita, ginawa ko Hindi ko maintindihan ang isang bagay sa oras na iyon. :)

Kaya ngayon ipapaliwanag ko ang lahat sa normal na paraan.

Una, alamin natin kung saan nagmula ang multiplication formula sa itaas. Upang gawin ito, hayaan mong ipaalala ko sa iyo ang isang mahalagang katangian ng ugat:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Ngunit mayroong isang problema na mahigpit na naglilimita sa paggamit ng lahat ng mga formula na ito. Isaalang-alang ang numerong ito:

Ayon sa ibinigay na formula, maaari tayong magdagdag ng anumang antas. Subukan nating magdagdag ng $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(align)\]

Ngunit pagkatapos ito ay naging isang uri ng kalokohan:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Hindi ito maaaring mangyari, dahil $\sqrt(-5) \lt 0$, at $\sqrt(5) \gt 0$. Nangangahulugan ito na para sa kahit na mga kapangyarihan at negatibong mga numero ang aming formula ay hindi na gumagana. Pagkatapos nito, mayroon kaming dalawang pagpipilian:

Upang tumama sa pader at sabihin na ang matematika ay isang hangal na agham, kung saan "may ilang mga patakaran, ngunit ang mga ito ay hindi tumpak";
Ipakilala ang mga karagdagang paghihigpit kung saan ang formula ay magiging 100% gumagana.

Samakatuwid, bumalangkas tayo ng isa pang panuntunan, na karaniwang nalalapat sa lahat ng mga aksyon na may mga ugat:

Bago magparami ng mga ugat, siguraduhin na ang mga radikal na expression ay hindi negatibo.

Halimbawa. Sa numerong $\sqrt(-5)$ maaari mong alisin ang minus mula sa ilalim ng root sign - kung gayon ang lahat ay magiging normal:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Nararamdaman mo ba ang pagkakaiba? Kung nag-iiwan ka ng minus sa ilalim ng ugat, pagkatapos ay kapag ang radikal na expression ay parisukat, ito ay mawawala, at ang crap ay magsisimula. At kung aalisin mo muna ang minus, maaari mong kuwadrado/alisin hanggang sa maging asul ka sa mukha - mananatiling negatibo ang numero. :)

Kaya, ang pinaka tama at pinaka-maaasahang paraan ng pagpaparami ng mga ugat ay ang mga sumusunod:

Alisin ang lahat ng mga negatibo mula sa mga radikal. Ang mga minus ay umiiral lamang sa mga ugat ng kakaibang multiplicity - maaari silang ilagay sa harap ng ugat at, kung kinakailangan, bawasan (halimbawa, kung mayroong dalawa sa mga minus na ito).
Magsagawa ng multiplikasyon ayon sa mga tuntuning tinalakay sa itaas sa aralin ngayon. Kung ang mga tagapagpahiwatig ng mga ugat ay pareho, pinaparami lang natin ang mga radikal na expression. At kung magkaiba sila, ginagamit namin ang masamang formula na \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. Tangkilikin ang resulta at magagandang marka. :)

Well? Magpractice ba tayo?

Halimbawa 1: Pasimplehin ang expression:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 ) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \end(align)\]

Ito ang pinakasimpleng opsyon: ang mga ugat ay pareho at kakaiba, ang tanging problema ay ang pangalawang kadahilanan ay negatibo. Kinukuha namin ang minus na ito sa larawan, pagkatapos ay madaling kalkulahin ang lahat.

Halimbawa 2: Pasimplehin ang expression:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( ihanay)\]

Dito, marami ang malito sa katotohanan na ang output ay naging isang hindi makatwiran na numero. Oo, nangyayari ito: hindi namin ganap na maalis ang ugat, ngunit hindi bababa sa pinasimple namin ang expression.

Halimbawa 3: Pasimplehin ang expression:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \kanan))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Nais kong iguhit ang iyong pansin sa gawaing ito. Mayroong dalawang puntos dito:

Ang ugat ay hindi isang tiyak na numero o kapangyarihan, ngunit ang variable na $a$. Sa unang sulyap, ito ay medyo hindi pangkaraniwan, ngunit sa katotohanan, kapag nilutas ang mga problema sa matematika, madalas mong kailangang harapin ang mga variable.
Sa huli, nagawa naming "bawasan" ang radikal na tagapagpahiwatig at ang antas ng radikal na pagpapahayag. Madalas itong nangyayari. At nangangahulugan ito na posible na makabuluhang gawing simple ang mga kalkulasyon kung hindi mo ginamit ang pangunahing formula.

Halimbawa, maaari mong gawin ito:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a))^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\end(align)\]

Sa katunayan, nakatagpo na kami ng katulad na gawain sa itaas nang malutas namin ang halimbawang $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Ngayon ay maaari itong isulat nang mas simple:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(align)\]

Buweno, inayos namin ang pagpaparami ng mga ugat. Ngayon isaalang-alang natin ang reverse operation: ano ang gagawin kapag may produkto sa ilalim ng ugat?