Kapag hinango ang pinakaunang formula ng talahanayan, magpapatuloy tayo mula sa kahulugan ng derivative function sa isang punto. Dalhin natin kung saan x– anumang tunay na numero, iyon ay, x– anumang numero mula sa domain ng kahulugan ng function. Isulat natin ang limitasyon ng ratio ng increment ng function sa increment ng argument sa : 
Dapat pansinin na sa ilalim ng limit sign ang expression ay nakuha, na hindi ang kawalan ng katiyakan ng zero na hinati ng zero, dahil ang numerator ay hindi naglalaman ng isang infinitesimal na halaga, ngunit tiyak na zero. Sa madaling salita, ang pagtaas ng isang pare-parehong pag-andar ay palaging zero.
kaya, derivative ng isang pare-parehong functionay katumbas ng zero sa buong domain ng kahulugan.
Derivative ng isang power function.
Ang formula para sa derivative ng isang power function ay may anyo 
, kung saan ang exponent p– anumang tunay na numero.
Patunayan muna natin ang formula para sa natural na exponent, iyon ay, para sa p = 1, 2, 3, …
Gagamitin natin ang kahulugan ng derivative. Isulat natin ang limitasyon ng ratio ng pagtaas ng isang function ng kapangyarihan sa pagtaas ng argumento: 
Upang gawing simple ang expression sa numerator, bumaling tayo sa Newton binomial formula: 
Kaya naman, 
Pinatutunayan nito ang formula para sa derivative ng isang power function para sa isang natural na exponent.
Derivative ng isang exponential function.
Ipinakita namin ang derivation ng derivative formula batay sa kahulugan:
Dumating kami sa kawalan ng katiyakan. Upang palawakin ito, ipinakilala namin ang isang bagong variable, at sa . Tapos . Sa huling paglipat, ginamit namin ang formula para sa paglipat sa isang bagong logarithmic base.
Palitan natin ang orihinal na limitasyon: 
Kung naaalala natin ang pangalawang kapansin-pansin na limitasyon, dumating tayo sa formula para sa derivative ng exponential function: 
Derivative ng isang logarithmic function.
Patunayan natin ang formula para sa derivative ng isang logarithmic function para sa lahat x mula sa domain ng kahulugan at lahat ng wastong halaga ng base a logarithm Sa pamamagitan ng kahulugan ng derivative mayroon kaming: 
Tulad ng napansin mo, sa panahon ng patunay ang mga pagbabago ay isinagawa gamit ang mga katangian ng logarithm. Pagkakapantay-pantay 
ay totoo dahil sa pangalawang kahanga-hangang limitasyon.
Mga derivative ng trigonometriko function.
Upang makakuha ng mga formula para sa mga derivatives ng trigonometriko function, kailangan nating alalahanin ang ilang mga formula ng trigonometry, pati na rin ang unang kapansin-pansing limitasyon.
Sa pamamagitan ng kahulugan ng derivative para sa sine function na mayroon tayo 
.
Gamitin natin ang pagkakaiba ng sinus formula: 
Ito ay nananatiling lumiko sa unang kapansin-pansing limitasyon: 
Kaya, ang derivative ng function kasalanan x meron kasi x.
Ang formula para sa derivative ng cosine ay napatunayan sa eksaktong parehong paraan. 
Samakatuwid, ang derivative ng function kasi x meron – kasalanan x.
Magkukuha tayo ng mga formula para sa talahanayan ng mga derivatives para sa tangent at cotangent gamit ang mga napatunayang panuntunan ng pagkita ng kaibhan (derivative ng isang fraction). 
Mga derivative ng hyperbolic function.
Ang mga patakaran ng pagkita ng kaibhan at ang formula para sa derivative ng exponential function mula sa talahanayan ng mga derivatives ay nagbibigay-daan sa amin upang makakuha ng mga formula para sa mga derivatives ng hyperbolic sine, cosine, tangent at cotangent. 
Derivative ng inverse function.
Upang maiwasan ang pagkalito sa panahon ng pagtatanghal, tukuyin natin sa subscript ang argumento ng function kung saan ginagawa ang pagkita ng kaibhan, iyon ay, ito ay ang derivative ng function. f(x) Sa pamamagitan ng x.
Ngayon ay magbalangkas tayo panuntunan para sa paghahanap ng derivative ng isang inverse function.
Hayaan ang mga function y = f(x) At x = g(y) magkabaligtaran, tinukoy sa pagitan at ayon sa pagkakabanggit. Kung sa isang punto ay mayroong isang finite non-zero derivative ng function f(x), pagkatapos ay sa puntong mayroong isang finite derivative ng inverse function g(y), at 
. Sa ibang post 
.
Ang panuntunang ito ay maaaring reformulated para sa alinman x mula sa pagitan , pagkatapos ay makuha namin 
.
Suriin natin ang bisa ng mga formula na ito.
Hanapin natin ang inverse function para sa natural logarithm 
(Dito y ay isang function, at x- argumento). Nang malutas ang equation na ito para sa x, nakukuha natin (dito x ay isang function, at y- ang kanyang argumento). Yan ay, 
at magkabaligtaran na mga pag-andar.
Mula sa talahanayan ng mga derivatives makikita natin iyon 
At 
.
Siguraduhin natin na ang mga formula para sa paghahanap ng mga derivatives ng inverse function ay magdadala sa atin sa parehong mga resulta: 
Ang operasyon ng paghahanap ng derivative ay tinatawag na differentiation.
Bilang resulta ng paglutas ng mga problema sa paghahanap ng mga derivatives ng pinakasimpleng (at hindi masyadong simple) na mga function sa pamamagitan ng pagtukoy sa derivative bilang limitasyon ng ratio ng increment sa increment ng argument, lumitaw ang isang table ng derivatives at eksaktong ilang mga tuntunin pagkakaiba-iba. Ang unang nagtrabaho sa larangan ng paghahanap ng mga derivatives ay sina Isaac Newton (1643-1727) at Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Samakatuwid, sa ating panahon, upang mahanap ang derivative ng anumang function, hindi mo kailangang kalkulahin ang nabanggit na limitasyon ng ratio ng pagtaas ng function sa pagtaas ng argument, ngunit kailangan mo lamang gamitin ang talahanayan ng derivatives at ang mga patakaran ng pagkita ng kaibhan. Ang sumusunod na algorithm ay angkop para sa paghahanap ng derivative.
Upang mahanap ang derivative, kailangan mo ng expression sa ilalim ng prime sign hatiin ang mga simpleng function sa mga bahagi at tukuyin kung anong mga aksyon (produkto, kabuuan, quotient) magkaugnay ang mga function na ito. Karagdagang derivatives mga pag-andar ng elementarya makikita natin sa talahanayan ng mga derivatives, at ang mga formula para sa mga derivatives ng produkto, sum at quotient ay nasa mga patakaran ng pagkita ng kaibhan. Ibinibigay ang derivative table at mga panuntunan sa pagkakaiba-iba pagkatapos ng unang dalawang halimbawa.
Halimbawa 1. Hanapin ang derivative ng isang function
Solusyon. Mula sa mga patakaran ng pagkita ng kaibhan nalaman natin na ang hinango ng isang kabuuan ng mga pag-andar ay ang kabuuan ng mga derivatives ng mga pag-andar, i.e.
Mula sa talahanayan ng mga derivatives nalaman natin na ang derivative ng "x" ay katumbas ng isa, at ang derivative ng sine ay katumbas ng cosine. Pinapalitan namin ang mga halagang ito sa kabuuan ng mga derivatives at hanapin ang derivative na kinakailangan ng kondisyon ng problema:
Halimbawa 2. Hanapin ang derivative ng isang function
Solusyon. Nag-iiba tayo bilang derivative ng kabuuan kung saan ang pangalawang termino ay may pare-parehong salik; maaari itong alisin sa tanda ng derivative:
Kung may mga tanong pa rin tungkol sa kung saan nagmumula ang isang bagay, kadalasang nililinaw ang mga ito pagkatapos na maging pamilyar sa talahanayan ng mga derivatives at ang pinakasimpleng mga patakaran ng pagkita ng kaibhan. Kami ay lumipat sa kanila ngayon.
Talaan ng mga derivatives ng mga simpleng function
| 1. Derivative ng isang pare-pareho (numero). Anumang numero (1, 2, 5, 200...) na nasa expression ng function. Palaging katumbas ng zero. Napakahalagang tandaan ito, dahil madalas itong kinakailangan | |
| 2. Derivative ng independent variable. Kadalasan ay "X". Laging katumbas ng isa. Mahalaga rin itong tandaan sa mahabang panahon | |
| 3. Derivative ng degree. Kapag nilulutas ang mga problema, kailangan mong i-convert ang mga di-square na ugat sa mga kapangyarihan. | |
| 4. Derivative ng isang variable sa kapangyarihan -1 | |
| 5. Derivative ng square root | |
| 6. Derivative ng sine | |
| 7. Derivative ng cosine |  |
| 8. Derivative ng padaplis |  |
| 9. Derivative ng cotangent |  |
| 10. Derivative ng arcsine |  |
| 11. Derivative ng arccosine |  |
| 12. Derivative ng arctangent |  |
| 13. Derivative ng arc cotangent |  |
| 14. Derivative ng natural logarithm | |
| 15. Derivative ng isang logarithmic function |  |
| 16. Derivative ng exponent | |
| 17. Hinalaw exponential function |
Mga tuntunin ng pagkita ng kaibhan
| 1. Derivative ng isang kabuuan o pagkakaiba |  |
| 2. Derivative ng produkto |  |
| 2a. Derivative ng isang expression na pinarami ng isang pare-parehong kadahilanan | |
| 3. Derivative ng quotient |  |
| 4. Derivative ng isang kumplikadong function |  |
Panuntunan 1.Kung ang mga function
ay naiba-iba sa isang punto, pagkatapos ang mga pag-andar ay naiba sa parehong punto
at
mga. ang derivative ng algebraic sum of functions ay katumbas ng algebraic sum ng derivatives ng mga function na ito.
Bunga. Kung ang dalawang naiba-iba na pag-andar ay naiiba sa isang pare-parehong termino, kung gayon ang kanilang mga derivative ay pantay, ibig sabihin.
Panuntunan 2.Kung ang mga function
ay naiba sa isang punto, pagkatapos ang kanilang produkto ay naiba sa parehong punto
at
mga. Ang derivative ng produkto ng dalawang function ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng bawat isa sa mga function na ito at ang derivative ng isa pa.
Bunga 1. Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa tanda ng derivative:
Bunga 2. Ang derivative ng produkto ng ilang differentiable function ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng derivative ng bawat factor at lahat ng iba pa.
Halimbawa, para sa tatlong multiplier:
Panuntunan 3.Kung ang mga function
naiba sa isang punto At , pagkatapos sa puntong ito ang kanilang quotient ay din differentiableu/v , at
mga. ang derivative ng quotient ng dalawang function ay katumbas ng isang fraction, ang numerator nito ay ang pagkakaiba sa pagitan ng mga produkto ng denominator at ang derivative ng numerator at numerator at ang derivative ng denominator, at ang denominator ay ang parisukat ng ang dating numerator.
Kung saan hahanapin ang mga bagay sa ibang mga pahina
Kapag hinahanap ang derivative ng isang produkto at ang quotient sa tunay na mga problema Palaging kinakailangan na maglapat ng ilang mga panuntunan sa pagkakaiba-iba nang sabay-sabay, kaya mayroong higit pang mga halimbawa sa mga derivatives na ito sa artikulo"Derivative ng produkto at quotient ng mga function".
Magkomento. Hindi mo dapat malito ang isang pare-pareho (iyon ay, isang numero) bilang isang termino sa isang kabuuan at bilang isang pare-parehong kadahilanan! Sa kaso ng isang termino, ang derivative nito ay katumbas ng zero, at sa kaso ng isang pare-parehong kadahilanan, ito ay kinuha mula sa tanda ng mga derivatives. Ito tipikal na pagkakamali, na nangyayari sa paunang yugto nag-aaral ng mga derivatives, ngunit habang nilulutas nila ang ilang isa at dalawang bahagi na halimbawa, ang karaniwang mag-aaral ay hindi na nakakagawa ng pagkakamaling ito.
At kung, kapag iniiba ang isang produkto o quotient, mayroon kang termino u"v, kung saan u- isang numero, halimbawa, 2 o 5, iyon ay, isang pare-pareho, kung gayon ang derivative ng numerong ito ay magiging katumbas ng zero at, samakatuwid, ang buong termino ay magiging katumbas ng zero (ang kasong ito ay tinalakay sa halimbawa 10).
Iba pa karaniwang pagkakamali- mekanikal na solusyon ng derivative ng isang kumplikadong function bilang isang derivative ng isang simpleng function. kaya lang derivative ng isang kumplikadong function isang hiwalay na artikulo ay nakatuon. Ngunit matututunan muna nating maghanap ng mga derivatives mga simpleng function.
Sa daan, hindi mo magagawa nang hindi binabago ang mga expression. Upang gawin ito, maaaring kailanganin mong buksan ang manual sa mga bagong window. Mga aksyon na may kapangyarihan at ugat At Mga operasyon na may mga fraction .
Kung naghahanap ka ng mga solusyon sa mga derivatives ng mga fraction na may mga kapangyarihan at ugat, iyon ay, kapag ang function ay mukhang 
, pagkatapos ay sundan ang aralin na “Derivative of sums of fractions with powers and roots.”
Kung mayroon kang gawain tulad ng 
, pagkatapos ay kukunin mo ang aralin na "Derivatives ng mga simpleng trigonometric function".
Hakbang-hakbang na mga halimbawa - kung paano hanapin ang derivative
Halimbawa 3. Hanapin ang derivative ng isang function
Solusyon. Tinutukoy namin ang mga bahagi ng expression ng function: ang buong expression ay kumakatawan sa isang produkto, at ang mga kadahilanan nito ay mga kabuuan, sa pangalawa kung saan ang isa sa mga termino ay naglalaman ng isang pare-parehong kadahilanan. Inilapat namin ang panuntunan sa pagkakaiba-iba ng produkto: ang derivative ng produkto ng dalawang function ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng bawat isa sa mga function na ito sa pamamagitan ng derivative ng isa pa:
Susunod, inilalapat namin ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng kabuuan: ang derivative ng algebraic sum ng mga function ay katumbas ng algebraic sum ng mga derivatives ng mga function na ito. Sa aming kaso, sa bawat kabuuan ang pangalawang termino ay may minus sign. Sa bawat kabuuan makikita natin ang parehong independiyenteng variable, ang derivative nito ay katumbas ng isa, at isang pare-pareho (numero), ang derivative nito ay katumbas ng zero. Kaya, ang "X" ay nagiging isa, at ang minus 5 ay nagiging zero. Sa pangalawang expression, ang "x" ay pinarami ng 2, kaya pinarami namin ang dalawa sa parehong yunit bilang derivative ng "x". Nakukuha namin ang mga sumusunod na derivative value:
Pinapalitan namin ang mga nahanap na derivatives sa kabuuan ng mga produkto at nakuha ang derivative ng buong function na kinakailangan ng kondisyon ng problema:
Halimbawa 4. Hanapin ang derivative ng isang function
Solusyon. Kinakailangan nating hanapin ang derivative ng quotient. Inilapat namin ang formula para sa pagkakaiba-iba ng quotient: ang derivative ng quotient ng dalawang function ay katumbas ng isang fraction, ang numerator nito ay ang pagkakaiba sa pagitan ng mga produkto ng denominator at ang derivative ng numerator at numerator at ang derivative ng denominator, at ang denominator ay ang parisukat ng dating numerator. Nakukuha namin:
Natagpuan na natin ang derivative ng mga salik sa numerator sa halimbawa 2. Huwag din nating kalimutan na ang produkto, na siyang pangalawang salik sa numerator sa kasalukuyang halimbawa, ay kinuha gamit ang minus sign:
Kung naghahanap ka ng mga solusyon sa mga problema kung saan kailangan mong hanapin ang derivative ng isang function, kung saan mayroong tuluy-tuloy na tumpok ng mga ugat at kapangyarihan, tulad ng, halimbawa, 
, pagkatapos ay maligayang pagdating sa klase "Derivative ng mga kabuuan ng mga fraction na may kapangyarihan at mga ugat" .
Kung kailangan mong matuto nang higit pa tungkol sa mga derivatives ng sines, cosines, tangents at iba pa trigonometriko function, iyon ay, kapag ang function ay mukhang , pagkatapos ay isang aral para sa iyo "Derivatives ng simpleng trigonometriko function" .
Halimbawa 5. Hanapin ang derivative ng isang function
Solusyon. Sa function na ito nakikita natin ang isang produkto, isa sa mga kadahilanan kung saan ay ang square root ng independent variable, ang derivative kung saan pamilyar tayo sa talahanayan ng mga derivatives. Gamit ang panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng produkto at ang tabular na halaga ng derivative ng square root, nakukuha namin ang:
Halimbawa 6. Hanapin ang derivative ng isang function
Solusyon. Sa function na ito makikita natin ang isang quotient na ang dibidendo ay ang square root ng independent variable. Gamit ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng mga quotient, na inulit namin at inilapat sa halimbawa 4, at ang tabulated na halaga ng derivative ng square root, nakuha namin:
Upang maalis ang isang fraction sa numerator, i-multiply ang numerator at denominator sa .
Patunay at derivation ng mga formula para sa derivative ng exponential (e sa x power) at exponential function (a sa x power). Mga halimbawa ng pagkalkula ng mga derivative ng e^2x, e^3x at e^nx. Mga formula para sa mga derivatives ng mas matataas na order.
Ang derivative ng isang exponent ay katumbas ng exponent mismo (ang derivative ng e sa x power ay katumbas ng e sa x power):
(1)
(e x )′ = e x.
Ang derivative ng isang exponential function na may base a ay katumbas ng function mismo na pinarami ng natural na logarithm ng a:
(2)
.
Derivation ng formula para sa derivative ng exponential, e sa x power
Ang exponential ay isang exponential function na ang base ay katumbas ng bilang e, na siyang sumusunod na limitasyon:
.
Dito maaari itong maging natural na numero o totoong numero. Susunod, nakukuha namin ang formula (1) para sa derivative ng exponential.
Derivation ng exponential derivative formula
Isaalang-alang ang exponential, e sa x power:
y = e x .
Ang function na ito ay tinukoy para sa lahat. Hanapin natin ang derivative nito patungkol sa variable na x. Sa pamamagitan ng kahulugan, ang derivative ay ang sumusunod na limitasyon:
(3)
.
Ibahin natin ang ekspresyong ito upang bawasan ito sa mga kilalang katangian at panuntunan sa matematika. Upang gawin ito kailangan namin ang mga sumusunod na katotohanan:
A) Exponent property:
(4)
;
B) Katangian ng logarithm:
(5)
;
SA) Pagpapatuloy ng logarithm at pag-aari ng mga limitasyon para sa tuluy-tuloy na pag-andar:
(6)
.
Narito ang isang function na may limitasyon at ang limitasyong ito ay positibo.
G) Ang kahulugan ng pangalawang kahanga-hangang limitasyon:
(7)
.
Ilapat natin ang mga katotohanang ito sa ating limitasyon (3). Ginagamit namin ang ari-arian (4):
;
.
Gumawa tayo ng substitution. Pagkatapos ; .
Dahil sa pagpapatuloy ng exponential,
.
Samakatuwid, kapag , . Bilang resulta, nakukuha namin ang:
.
Gumawa tayo ng substitution. Tapos . Sa , . At mayroon kaming:
.
Ilapat natin ang logarithm property (5):
. Pagkatapos
.
Ilapat natin ang ari-arian (6). Dahil mayroong positibong limitasyon at ang logarithm ay tuloy-tuloy, kung gayon:
.
Dito rin namin ginamit ang pangalawang kapansin-pansing limitasyon (7). Pagkatapos
.
Kaya, nakuha namin ang formula (1) para sa derivative ng exponential.
Derivation ng formula para sa derivative ng isang exponential function
Ngayon ay nakukuha namin ang formula (2) para sa derivative ng exponential function na may base ng degree a. Naniniwala kami na at . Pagkatapos ay ang exponential function
(8)
Tinukoy para sa lahat.
Ibahin natin ang formula (8). Para dito gagamitin namin katangian ng exponential function at logarithm.
;
.
Kaya, binago namin ang formula (8) sa sumusunod na anyo:
.
Higher order derivatives ng e sa x power
Ngayon, hanapin natin ang mga derivatives ng mas matataas na order. Tingnan muna natin ang exponent:
(14)
.
(1)
.
Nakikita natin na ang derivative ng function (14) ay katumbas ng function (14) mismo. Sa pagkakaiba (1), nakakakuha tayo ng mga derivatives ng pangalawa at pangatlong order:
;
.
Ipinapakita nito na ang nth order derivative ay katumbas din ng orihinal na function:
.
Higher order derivatives ng exponential function
Ngayon isaalang-alang ang isang exponential function na may base ng degree a:
.
Natagpuan namin ang first-order derivative nito:
(15)
.
Sa differentiating (15), nakakakuha tayo ng derivatives ng ikalawa at ikatlong order:
;
.
Nakikita namin na ang bawat pagkakaiba ay humahantong sa pagpaparami ng orihinal na function sa pamamagitan ng . Samakatuwid, ang nth order derivative ay may sumusunod na anyo:
.
Kung saan sinuri namin ang pinakasimpleng derivatives, at nakilala rin ang mga patakaran ng pagkita ng kaibhan at ilang teknikal na pamamaraan paghahanap ng mga derivatives. Kaya, kung hindi ka masyadong mahusay sa mga derivatives ng mga function o ilang mga punto sa artikulong ito ay hindi lubos na malinaw, pagkatapos ay basahin muna ang aralin sa itaas. Mangyaring makakuha ng isang seryosong kalagayan - ang materyal ay hindi simple, ngunit susubukan ko pa ring ipakita ito nang simple at malinaw.
Sa pagsasagawa ng derivative kumplikadong pag-andar kailangan mong harapin nang madalas, sasabihin ko pa nga, halos palagi, kapag binigyan ka ng mga gawain upang maghanap ng mga derivatives.
Tinitingnan namin ang talahanayan sa panuntunan (No. 5) para sa pagkakaiba ng isang kumplikadong function:
Alamin natin ito. Una sa lahat, bigyang pansin natin ang entry. Narito mayroon kaming dalawang function - at , at ang function, sa matalinghagang pagsasalita, ay naka-nest sa loob ng function . Ang isang function ng ganitong uri (kapag ang isang function ay nested sa loob ng isa pa) ay tinatawag na isang kumplikadong function.
Tatawagin ko ang function panlabas na pag-andar, at ang function – panloob (o nested) function.
! Ang mga kahulugang ito ay hindi teoretikal at hindi dapat lumabas sa panghuling disenyo ng mga takdang-aralin. Gumagamit ako ng mga impormal na expression na "panlabas na pag-andar", "panloob" na pag-andar para lang gawing mas madali para sa iyo na maunawaan ang materyal.
Upang linawin ang sitwasyon, isaalang-alang:
Halimbawa 1
Hanapin ang derivative ng isang function
Sa ilalim ng sine mayroon kaming hindi lamang titik na "X", ngunit isang buong expression, kaya ang paghahanap ng derivative kaagad mula sa talahanayan ay hindi gagana. Napansin din namin na imposibleng ilapat ang unang apat na panuntunan dito, tila may pagkakaiba, ngunit ang katotohanan ay ang sine ay hindi maaaring "punit sa piraso":
Sa halimbawang ito, malinaw na malinaw mula sa aking mga paliwanag na ang function ay isang kumplikadong function, at ang polynomial ay panloob na pag-andar(pamumuhunan), at – isang panlabas na tungkulin.
Unang hakbang ang kailangan mong gawin kapag naghahanap ng derivative ng isang kumplikadong function ay ang maunawaan kung aling function ang panloob at kung alin ang panlabas.
Kailan mga simpleng halimbawa Tila malinaw na ang isang polynomial ay naka-embed sa ilalim ng sine. Pero paano kung hindi halata ang lahat? Paano tumpak na matukoy kung aling pag-andar ang panlabas at alin ang panloob? Para dito iminumungkahi kong gamitin susunod na appointment, na maaaring gawin sa isip o sa draft form.
Isipin natin na kailangan nating kalkulahin ang halaga ng expression sa sa isang calculator (sa halip na isa ay maaaring mayroong anumang numero).
Ano ang una nating kalkulahin? Una sa lahat ay kailangang gawin susunod na aksyon: , samakatuwid ang polynomial ay magiging isang panloob na function: 
Pangalawa ay kailangang matagpuan, kaya ang sine - ay magiging isang panlabas na function: 
Pagkatapos nating UBOS NA na may panloob at panlabas na mga pag-andar, oras na upang ilapat ang panuntunan ng pagkita ng kaibahan ng mga kumplikadong pag-andar 
.
Simulan na natin ang pagpapasya. Mula sa aralin Paano mahahanap ang derivative? naaalala namin na ang disenyo ng isang solusyon sa anumang derivative ay palaging nagsisimula tulad nito - isinasama namin ang expression sa mga bracket at naglalagay ng isang stroke sa kanang tuktok:
Sa simula hanapin ang derivative panlabas na pag-andar(sine), tingnan ang talahanayan ng mga derivatives ng elementarya function at pansinin na . Ang lahat ng mga formula ng talahanayan ay naaangkop din kung ang "x" ay papalitan ng isang kumplikadong expression, V sa kasong ito:
Mangyaring tandaan na ang panloob na function ay hindi nagbago, hindi namin ito ginagalaw.
Well, medyo obvious naman yun
Ang resulta ng paglalapat ng formula 
sa huling anyo nito ay ganito ang hitsura:
Ang pare-parehong kadahilanan ay karaniwang inilalagay sa simula ng expression:
Kung mayroong anumang hindi pagkakaunawaan, isulat ang solusyon sa papel at basahin muli ang mga paliwanag.
Halimbawa 2
Hanapin ang derivative ng isang function
Halimbawa 3
Hanapin ang derivative ng isang function
Gaya ng nakasanayan, isinusulat namin: 
Alamin natin kung saan tayo may panlabas na function at kung saan tayo may panloob. Upang gawin ito, sinusubukan namin (sa isip o sa isang draft) na kalkulahin ang halaga ng expression sa . Ano ang dapat mong gawin muna? Una sa lahat, kailangan mong kalkulahin kung ano ang katumbas ng base: samakatuwid, ang polynomial ay ang panloob na function: 
At pagkatapos lamang ay ginanap ang exponentiation, samakatuwid, ang power function ay isang panlabas na function: 
Ayon sa formula 
, kailangan mo munang hanapin ang derivative ng panlabas na function, sa kasong ito, ang degree. Hinahanap sa mesa ang kinakailangang formula: . Ulitin namin muli: anumang tabular formula ay may bisa hindi lamang para sa "X", ngunit para din sa isang kumplikadong expression. Kaya, ang resulta ng paglalapat ng panuntunan para sa pagkakaiba ng isang kumplikadong function 
susunod:
Muli kong binibigyang-diin na kapag kinuha natin ang derivative ng panlabas na pag-andar, ang ating panloob na pag-andar ay hindi nagbabago: 
Ngayon ang natitira na lang ay maghanap ng napakasimpleng derivative ng internal function at i-tweak ang resulta ng kaunti:
Halimbawa 4
Hanapin ang derivative ng isang function
Ito ay isang halimbawa para malutas mo nang mag-isa (sagutin sa katapusan ng aralin).
Upang pagsamahin ang iyong pag-unawa sa derivative ng isang kumplikadong function, magbibigay ako ng isang halimbawa nang walang mga komento, subukang malaman ito sa iyong sarili, dahilan kung saan ang panlabas at kung saan ang panloob na pag-andar, bakit ang mga gawain ay nalutas sa ganitong paraan?
Halimbawa 5
a) Hanapin ang derivative ng function
b) Hanapin ang derivative ng function
Halimbawa 6
Hanapin ang derivative ng isang function 
Dito mayroon tayong ugat, at upang maiba ang ugat, dapat itong ilarawan bilang isang kapangyarihan. Kaya, dinadala muna namin ang function sa form na naaangkop para sa pagkita ng kaibhan:
Kapag pinag-aaralan ang function, nakarating tayo sa konklusyon na ang kabuuan ng tatlong termino ay isang panloob na function, at ang pagtaas sa isang kapangyarihan ay isang panlabas na function. Inilalapat namin ang panuntunan ng pagkita ng kaibahan ng mga kumplikadong pag-andar 
:
Muli naming kinakatawan ang antas bilang isang radikal (ugat), at para sa hinango ng panloob na pag-andar ay inilalapat namin ang isang simpleng panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng kabuuan:
handa na. Maaari mo ring bawasan ang expression sa isang common denominator sa mga bracket at isulat ang lahat bilang isang fraction. Maganda ito, siyempre, ngunit kapag nakakuha ka ng masalimuot na mahabang derivatives, mas mahusay na huwag gawin ito (madaling malito, gumawa ng hindi kinakailangang pagkakamali, at magiging abala para sa guro na suriin).
Halimbawa 7
Hanapin ang derivative ng isang function
Ito ay isang halimbawa para malutas mo nang mag-isa (sagutin sa katapusan ng aralin).
Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na kung minsan sa halip na ang panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng isang kumplikadong function, maaari mong gamitin ang panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng isang kusyente 
, ngunit ang ganitong solusyon ay magmumukhang hindi pangkaraniwang perwisyo. Narito ang isang tipikal na halimbawa:
Halimbawa 8
Hanapin ang derivative ng isang function
Dito maaari mong gamitin ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng quotient 
, ngunit ito ay higit na kumikita upang mahanap ang derivative sa pamamagitan ng panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong function:
Inihahanda namin ang function para sa pagkita ng kaibhan - inililipat namin ang minus mula sa derivative sign, at itinaas ang cosine sa numerator:
Ang cosine ay isang panloob na pag-andar, ang exponentiation ay isang panlabas na pag-andar.
Gamitin natin ang ating panuntunan 
:
Hinahanap namin ang derivative ng internal function at i-reset ang cosine pabalik pababa:
handa na. Sa halimbawang isinasaalang-alang, mahalagang huwag malito sa mga palatandaan. Sa pamamagitan ng paraan, subukang lutasin ito gamit ang panuntunan 
, dapat magkatugma ang mga sagot.
Halimbawa 9
Hanapin ang derivative ng isang function
Ito ay isang halimbawa para malutas mo nang mag-isa (sagutin sa katapusan ng aralin).
Sa ngayon ay tiningnan namin ang mga kaso kung saan mayroon lamang kaming isang pugad sa isang kumplikadong function. Sa mga praktikal na gawain, madalas kang makakahanap ng mga derivatives, kung saan, tulad ng mga nesting doll, isa sa loob ng isa, 3 o kahit 4-5 na function ay nakapugad nang sabay-sabay.
Halimbawa 10
Hanapin ang derivative ng isang function
Unawain natin ang mga attachment ng function na ito. Subukan nating kalkulahin ang expression gamit ang pang-eksperimentong halaga. Paano tayo mabibilang sa isang calculator?
Una kailangan mong hanapin ang , na nangangahulugang ang arcsine ay ang pinakamalalim na pag-embed:
Ang arcsine na ito ng isa ay dapat na kuwadrado:
At sa wakas, itinaas namin ang pito sa isang kapangyarihan: 
Iyon ay, sa halimbawang ito mayroon kaming tatlo iba't ibang function at dalawang embeddings, na ang pinakaloob na function ay ang arcsine at ang pinakalabas na function ay ang exponential function.
Simulan na natin ang pagpapasya
Ayon sa tuntunin 
Una kailangan mong kunin ang derivative ng panlabas na function. Tinitingnan namin ang talahanayan ng mga derivatives at hinahanap ang derivative ng exponential function: Ang pagkakaiba lang ay sa halip na "x" mayroon kami kumplikadong pagpapahayag, na hindi binabalewala ang bisa ng formula na ito. Kaya, ang resulta ng paglalapat ng panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng isang kumplikadong function 
susunod.
- Talaan ng mga derivative ng exponential at logarithmic function
Derivatives ng mga simpleng function
1. Ang derivative ng isang numero ay zeroс´ = 0
Halimbawa:
5' = 0
Paliwanag:
Ipinapakita ng derivative ang rate kung saan nagbabago ang halaga ng isang function kapag nagbago ang argumento nito. Dahil ang numero ay hindi nagbabago sa anumang paraan sa ilalim ng anumang mga kundisyon, ang rate ng pagbabago nito ay palaging zero.
2. Derivative ng isang variable katumbas ng isa
x' = 1
Paliwanag:
Sa bawat pagtaas ng argument (x) ng isa, ang halaga ng function (ang resulta ng pagkalkula) ay tumataas ng parehong halaga. Kaya, ang rate ng pagbabago sa halaga ng function na y = x ay eksaktong katumbas ng rate ng pagbabago sa halaga ng argumento.
3. Ang derivative ng isang variable at isang factor ay katumbas ng factor na ito
сx´ = с
Halimbawa:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Paliwanag:
Sa kasong ito, sa tuwing nagbabago ang argumento ng function ( X) ang halaga nito (y) ay tumataas sa Sa minsan. Kaya, ang rate ng pagbabago ng halaga ng function na may kaugnayan sa rate ng pagbabago ng argumento ay eksaktong katumbas ng halaga Sa.
Kung saan sinusundan iyon
(cx + b)" = c
iyon ay, ang pagkakaiba linear function y=kx+b ay katumbas ng slope ng tuwid na linya (k).
4. Modulo derivative ng isang variable katumbas ng quotient ng variable na ito sa modulus nito
|x|"= x / |x| sa kondisyon na x ≠ 0
Paliwanag:
Dahil ang derivative ng isang variable (tingnan ang formula 2) ay katumbas ng isa, ang derivative ng module ay nagkakaiba lamang dahil ang halaga ng rate ng pagbabago ng function ay nagbabago sa kabaligtaran kapag tumatawid sa punto ng pinagmulan (subukang gumuhit ng graph ng function na y = |x| at tingnan para sa iyong sarili. Ito ang eksaktong halaga at ibinabalik ang expression na x / |x|. Kapag x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - isa. Iyon ay, para sa mga negatibong halaga ng variable x, sa bawat pagtaas sa argumento, ang halaga ng function ay bumababa ng eksaktong parehong halaga, at para sa mga positibong halaga, sa kabaligtaran, ito ay tumataas, ngunit sa eksaktong parehong halaga. .
5. Derivative ng isang variable sa isang kapangyarihan katumbas ng produkto ng isang bilang ng kapangyarihang ito at isang variable sa kapangyarihan na binawasan ng isa
(x c)"= cx c-1, sa kondisyon na ang x c at cx c-1 ay tinukoy at c ≠ 0
Halimbawa:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Para maalala ang formula:
Ilipat ang antas ng variable pababa bilang isang salik, at pagkatapos ay bawasan ng isa ang antas mismo. Halimbawa, para sa x 2 - ang dalawa ay nauuna sa x, at pagkatapos ay ang pinababang kapangyarihan (2-1 = 1) ay nagbigay lamang sa amin ng 2x. Ang parehong bagay ay nangyari para sa x 3 - "ibinababa" namin ang triple, bawasan ito ng isa at sa halip na isang kubo mayroon kaming isang parisukat, iyon ay, 3x 2. Medyo "unscientific" pero napakadaling tandaan.
6.Derivative ng isang fraction 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Halimbawa:
Dahil ang isang fraction ay maaaring katawanin sa pamamagitan ng pagtaas nito sa negatibong antas
(1/x)" = (x -1)", pagkatapos ay maaari mong ilapat ang formula mula sa panuntunan 5 ng talahanayan ng mga derivatives
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2
7. Derivative ng isang fraction na may variable na di-makatwirang antas sa denominator
(1 / x c)" = - c / x c+1
Halimbawa:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3
8. Derivative ng ugat(derivative ng variable sa ilalim parisukat na ugat)
(√x)" = 1 / (2√x) o 1/2 x -1/2
Halimbawa:
(√x)" = (x 1/2)" ay nangangahulugang maaari mong ilapat ang formula mula sa panuntunan 5
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)
9. Derivative ng isang variable sa ilalim ng root ng isang arbitrary degree
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)