Ang matrix ay isang hugis-parihaba na talahanayan na binubuo ng mga numero.
Hayaang magbigay ng square matrix ng order 2:
Ang determinant (o determinant) ng order 2 na tumutugma sa isang ibinigay na matrix ay ang numero
Ang 3rd order determinant (o determinant) na tumutugma sa isang matrix ay isang numero
Halimbawa 1: Maghanap ng mga determinant ng matrices at
Sistema ng mga linear algebraic equation
Hayaang magbigay ng sistema ng 3x linear na equation na may 3 hindi alam
Ang system (1) ay maaaring isulat sa anyong matrix-vector
kung saan ang A ay ang coefficient matrix
B - pinalawak na matrix
X ang kinakailangang component vector;
Paglutas ng mga sistema ng mga equation gamit ang pamamaraan ni Cramer
Hayaang magbigay ng isang sistema ng mga linear na equation na may dalawang hindi alam:
Isaalang-alang natin ang paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation na may dalawa at tatlong hindi alam gamit ang mga formula ng Cramer. Theorem 1. Kung ang pangunahing determinant ng system ay iba sa zero, kung gayon ang sistema ay may solusyon, at isang kakaiba. Ang solusyon ng system ay tinutukoy ng mga formula:
kung saan ang x1, x2 ay ang mga ugat ng sistema ng mga equation,
Ang pangunahing determinant ng system, x1, x2 ay mga auxiliary determinants.
Mga pantulong na kwalipikasyon:
Paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation na may tatlong hindi alam gamit ang pamamaraan ni Cramer.
Hayaang magbigay ng isang sistema ng mga linear na equation na may tatlong hindi alam:
Theorem 2. Kung ang pangunahing determinant ng system ay naiiba sa zero, kung gayon ang sistema ay may solusyon, at isang kakaiba. Ang solusyon ng system ay tinutukoy ng mga formula:
kung saan ang x1, x2, x3 ay ang mga ugat ng sistema ng mga equation,
Ang pangunahing determinant ng system,
Ang x1, x2, x3 ay mga pantulong na pantukoy.
Ang pangunahing determinant ng system ay tinutukoy ng:
Mga pantulong na kwalipikasyon:
- 1. Gumawa ng talahanayan (matrix) ng mga coefficient para sa mga hindi alam at kalkulahin ang pangunahing determinant.
- 2. Find - isang karagdagang determinant ng x na nakuha sa pamamagitan ng pagpapalit sa unang column ng column ng mga free terms.
- 3. Find - isang karagdagang determinant ng y na nakuha sa pamamagitan ng pagpapalit sa pangalawang column ng column ng mga libreng termino.
- 4. Hanapin - isang karagdagang determinant ng z, na nakuha sa pamamagitan ng pagpapalit sa ikatlong hanay ng isang haligi ng mga libreng termino. Kung ang pangunahing determinant ng system ay hindi katumbas ng zero, pagkatapos ay gagawin ang hakbang 5.
- 5. Hanapin ang halaga ng variable na x gamit ang formula x / .
- 6. Hanapin ang halaga ng variable na y gamit ang formula y /.
- 7. Hanapin ang halaga ng variable na z gamit ang formula z / .
- 8. Isulat ang sagot: x=...; y=…, z=… .
KOSTROMA BRANCH NG MILITARY UNIVERSITY OF RCB PROTECTION
Kagawaran ng Automation ng Troop Control
Para sa mga guro lamang
"Sang-ayon ako"
Pinuno ng Departamento Blg. 9
Koronel YAKOVLEV A.B.
"____"________________ 2004
Associate Professor A.I. SMIRNOVA
"Mga KUALIFIER.
SOLUSYON NG SYSTEM NG LINEAR EQUATIONS"
LECTURE Blg. 2 / 1
Tinalakay sa pulong ng departamento Blg. 9
"____"___________ 2004
Protocol No.___________
Kostroma, 2004.
Panimula
1. Pangalawa at pangatlong mga determinant ng pagkakasunud-sunod.
2. Mga katangian ng mga determinant. Decomposition theorem.
3. Teorama ni Cramer.
Konklusyon
Panitikan
1. V.E. Schneider et al. Maikling kurso Higher Mathematics, Volume I, Ch. 2, talata 1.
2. V.S. Shchipachev, Higher Mathematics, kabanata 10, talata 2.
PANIMULA
Tinatalakay ng panayam ang mga determinant ng ikalawa at pangatlong order at ang kanilang mga katangian. At gayundin ang teorema ng Cramer, na nagbibigay-daan sa iyo upang malutas ang mga sistema ng mga linear na equation gamit ang mga determinant. Ginagamit din ang mga determinant mamaya sa paksang "Vector Algebra" kapag kinakalkula ang vector product ng mga vectors.
1st study na tanong MGA DETERMINANTS NG PANGALAWA AT PANGATLO
ORDER
Isaalang-alang ang isang talahanayan ng apat na numero ng form
Ang mga numero sa talahanayan ay ipinahiwatig ng isang titik na may dalawang indeks. Ang unang index ay nagpapahiwatig ng row number, ang pangalawa ay ang column number.
KAHULUGAN 1. Determinant ng pangalawang order tinawag pagpapahayag mabait :
(1)
Numero A 11, …, A 22 ay tinatawag na mga elemento ng determinant.
Diagonal na nabuo ng mga elemento A 11 ; A 22 ay tinatawag na pangunahing isa, at ang dayagonal na nabuo ng mga elemento A 12 ; A 21 - magkatabi.
Kaya, ang pangalawang-order na determinant ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng mga produkto ng mga elemento ng pangunahing at pangalawang diagonal.
Tandaan na ang sagot ay isang numero.
MGA HALIMBAWA. Kalkulahin:
Ngayon isaalang-alang ang isang talahanayan ng siyam na numero, nakasulat sa tatlong hanay at tatlong hanay:
KAHULUGAN 2. Pangatlong determinant ng order tinatawag na pagpapahayag ng anyo :
Mga elemento A 11; A 22 ; A 33 – bumuo ng pangunahing dayagonal.
Numero A 13; A 22 ; A 31 - bumuo ng isang gilid dayagonal.
Ilarawan natin sa eskematiko kung paano nabuo ang mga plus at minus na termino:
" + " " – "
Kasama sa plus ang: ang produkto ng mga elemento sa pangunahing dayagonal, ang natitirang dalawang termino ay ang produkto ng mga elemento na matatagpuan sa mga vertices ng mga tatsulok na may mga base na kahanay sa pangunahing dayagonal.
Ang mga minus na termino ay nabuo ayon sa parehong pamamaraan na may paggalang sa pangalawang dayagonal.
Ang panuntunang ito para sa pagkalkula ng third-order determinant ay tinatawag
Panuntunan T reugolnikov.
MGA HALIMBAWA. Kalkulahin gamit ang panuntunang tatsulok:
COMMENT. Ang mga determinant ay tinatawag ding mga determinant.
2nd pag-aaral na tanong MGA KATANGIAN NG MGA DETERMINANTS.
TEOREM NG EXPANSION
Ari-arian 1. Ang halaga ng determinant ay hindi magbabago kung ang mga hilera nito ay ipinagpalit sa mga kaukulang column.
.
Sa pamamagitan ng paglalahad ng parehong mga determinant, kami ay kumbinsido sa bisa ng pagkakapantay-pantay.
Itinatag ng Property 1 ang pagkakapantay-pantay ng mga row at column ng determinant. Samakatuwid, bubuo kami ng lahat ng karagdagang katangian ng determinant para sa parehong mga hilera at mga haligi.
Ari-arian 2. Kapag muling inaayos ang dalawang row (o column), binabago ng determinant ang sign nito sa kabaligtaran, pinapanatili ang ganap na halaga nito .
.
Ari-arian 3. Karaniwang kadahilanan ng mga elemento ng row (o kolum)maaaring kunin bilang determinant sign.
.
Ari-arian 4. Kung ang determinant ay may dalawang magkaparehong row (o column), ito ay katumbas ng zero.
Maaaring patunayan ang property na ito sa pamamagitan ng direktang pag-verify, o maaari mong gamitin ang property 2.
Tukuyin natin ang determinant sa pamamagitan ng D. Kapag ang dalawang magkaparehong una at ikalawang hanay ay muling inayos, hindi ito magbabago, ngunit ayon sa pangalawang pag-aari ay dapat itong baguhin ang tanda, i.e.
D = - DÞ 2 D = 0 ÞD = 0.
Ari-arian 5. Kung ang lahat ng mga elemento ng isang string (o kolum)ay katumbas ng zero, kung gayon ang determinant ay katumbas ng zero.
Ang ari-arian na ito ay maaaring ituring bilang isang espesyal na kaso ng ari-arian 3 kapag
Ari-arian 6. Kung ang mga elemento ng dalawang linya (o mga hanay)ang mga determinant ay proporsyonal, kung gayon ang determinant ay katumbas ng zero.
.
Maaaring mapatunayan sa pamamagitan ng direktang pag-verify o paggamit ng mga katangian 3 at 4.
Ari-arian 7. Ang halaga ng determinant ay hindi magbabago kung ang mga kaukulang elemento ng isa pang row (o column) ay idinagdag sa mga elemento ng isang row (o column), na i-multiply sa parehong numero.
.
Napatunayan sa pamamagitan ng direktang pag-verify.
Aplikasyon tinukoy na mga katangian maaari sa ilang mga kaso mapadali ang proseso ng pagkalkula ng mga determinant, lalo na sa ikatlong pagkakasunud-sunod.
Para sa mga sumusunod, kakailanganin natin ang mga konsepto ng minor at algebraic complement. Isaalang-alang natin ang mga konseptong ito upang tukuyin ang ikatlong pagkakasunud-sunod.
KAHULUGAN 3. menor de edad ng isang ibinigay na elemento ng isang third-order determinant ay tinatawag na pangalawang-order na determinant na nakuha mula sa isang ibinigay na elemento sa pamamagitan ng pagtawid sa row at column sa intersection kung saan nakatayo ang ibinigay na elemento.
Elementong menor de edad A i j ipinapahiwatig ng M i j. Kaya para sa elemento A 11 menor de edad
Ito ay nakuha sa pamamagitan ng pagtawid sa unang hilera at unang hanay sa ikatlong-order na determinant.
KAHULUGAN 4. Algebraic complement ng elemento ng determinant tinatawag nilang minor multiply by (-1)k , Saan k - ang kabuuan ng mga numero ng row at column sa intersection kung saan nakatayo ang elementong ito.
Algebraic complement ng isang elemento A i j ipinapahiwatig ng A i j .
kaya, A i j =
.Isulat natin ang algebraic na mga karagdagan para sa mga elemento A 11 at A 12.
.
.
Kapaki-pakinabang na tandaan ang panuntunan: ang algebraic complement ng isang elemento ng isang determinant ay katumbas ng signed minor nito. plus, kung ang kabuuan ng mga numero ng row at column kung saan lumalabas ang elemento ay kahit, at may tanda minus, kung ang halagang ito kakaiba .
1. Mga Determinant ng ikalawa at ikatlong order at ang kanilang mga katangian 1.1. Ang konsepto ng isang matrix at isang pangalawang-order na determinant
Isang parihabang talahanayan ng mga numero na naglalaman ng isang arbitrary na numero m
row at isang arbitrary na bilang ng mga column ay tinatawag na matrix. Upang ipahiwatig
Ang mga matrice ay gumagamit ng alinman sa dobleng patayong mga bar o mga bilog
mga bracket. Halimbawa:
28 20 18 28 20 18
Kung ang bilang ng mga row ng isang matrix ay tumutugma sa bilang ng mga column nito, kung gayon ang matrix
tinatawag na parisukat. Tinatawag ito ng mga numerong bumubuo sa matrix
mga elemento.
Isaalang-alang ang isang parisukat na matrix na binubuo ng apat na elemento:
Ang pangalawang-order na determinant na naaayon sa matrix (3.1),
ay isang numero na katumbas ng - at tinutukoy ng simbolo
Kaya, sa pamamagitan ng kahulugan
Ang mga elemento na bumubuo sa matrix ng isang ibinigay na determinant ay karaniwang
ay tinatawag na mga elemento ng determinant na ito.
Ang sumusunod na pahayag ay totoo: para sa determinant
pangalawang order ay katumbas ng zero, ito ay kinakailangan at sapat na
ang mga elemento ng mga hilera nito (o, naaayon, ang mga haligi nito) ay
proporsyonal.
Upang patunayan ang pahayag na ito, sapat na tandaan na ang bawat isa
mula sa mga proporsyon / = / at / = / ay katumbas ng pagkakapantay-pantay = , at ang huling pagkakapantay-pantay sa
ang puwersa (3.2) ay katumbas ng paglalaho ng determinant.
1.2. Sistema ng dalawang linear equation na may dalawang hindi alam
Ipakita natin kung paano ginagamit ang mga second-order determinants
pananaliksik at paghahanap ng mga solusyon sa isang sistema ng dalawang linear equation na may
dalawang hindi alam
(Ang mga coefficient at libreng termino ay isinasaalang-alang sa kasong ito
ibinigay). Alalahanin na ang isang pares ng mga numero ay tinatawag na solusyon sa system (3.3),
kung ang pagpapalit ng mga numerong ito sa lugar at sa ibinigay na sistema ay magiging pareho
equation (3.3) sa mga pagkakakilanlan.
Pagpaparami ng unang equation ng system (3.3) sa -, at ang pangalawa sa - at pagkatapos
pagdaragdag ng mga resultang pagkakapantay-pantay, nakukuha natin
Katulad nito, sa pamamagitan ng pagpaparami ng mga equation (3.3) sa - at naaayon
Ipakilala natin ang sumusunod na notasyon:
= , = , = . (3.6)
Gamit ang mga notasyong ito at ang expression para sa determinant ng pangalawa
pagkakasunud-sunod ng magnitude, ang mga equation (3.4) at (3.5) ay maaaring muling isulat bilang:
Determinant na binubuo ng mga coefficient para sa mga hindi alam
sistema (3.3) ay karaniwang tinatawag determinant ng sistemang ito. pansinin mo yan
determinants at nakuha mula sa determinant ng system sa pamamagitan ng pagpapalit
ang una o ikalawang hanay nito, ayon sa pagkakabanggit, sa pamamagitan ng mga libreng termino.
Dalawang kaso ang maaaring lumitaw: 1) ang determinant ng system ay iba sa
zero; 2) ang determinant na ito ay katumbas ng zero.
Isaalang-alang muna natin ang kaso 0. Mula sa mga equation (3.7) agad nating nakuha
mga formula para sa mga hindi alam, tinatawag Mga formula ng Cramer:
Ang mga resultang Cramer formula (3.8) ay nagbibigay ng solusyon sa system (3.7) at
samakatuwid pinatunayan nila ang pagiging natatangi ng solusyon sa orihinal na sistema (3.3). Sa pinaka
sa katunayan, ang system (3.7) ay isang kinahinatnan ng system (3.3), samakatuwid anuman
ang solusyon sa system (3.3) (kung mayroon!) ay dapat na
solusyon at sistema (3.7). Kaya, sa ngayon ito ay napatunayan na kung ang orihinal na sistema
(3.3) mayroong isang solusyon sa 0, kung gayon ang solusyon na ito ay natatanging tinutukoy
Mga formula ng Cramer (3.8).
Madaling i-verify ang pagkakaroon ng solusyon, i.e. na sa 0 dalawa
mga numero at tinukoy ng mga formula ng Cramer (3.8). inilalagay
ilagay ang mga hindi alam sa mga equation (3.3), gawing mga pagkakakilanlan ang mga equation na ito.
(Iniiwan namin sa mambabasa na isulat ang mga expression para sa mga determinant,
at, at i-verify ang bisa ng mga pagkakakilanlan na ito.)
Dumating tayo sa sumusunod na konklusyon: kung ang determinant ng system (3.3)
ay iba mula sa zero, pagkatapos ay mayroong, at, bukod pa rito, ang tanging solusyon dito
sistema na tinukoy ng mga formula ng Cramer (3.8).
Isaalang-alang natin ngayon ang kaso kapag ang determinant ng system ay katumbas ng sero.
Maaari silang magpakilala dalawang subcase: a) kahit isa sa mga determinant o,
naiiba mula sa zero; b) parehong determinants at katumbas ng zero. (kung ang determinant at
ang isa sa dalawang determinant ay katumbas ng zero, pagkatapos ang isa sa dalawang ito
determinants ay zero. Sa katunayan, hayaan, halimbawa, = 0 = 0, i.e. / = /
at / = /. Pagkatapos mula sa mga proporsyon na ito ay nakukuha natin iyon /= /, ibig sabihin = 0).
Sa subcase a) hindi bababa sa isa sa mga pagkakapantay-pantay ay naging imposible
(3.7), ibig sabihin, ang system (3.7) ay walang mga solusyon, at samakatuwid ay walang mga solusyon at
orihinal na sistema (3.3) (ang kinahinatnan nito ay sistema (3.7)).
Sa subcase b) ang orihinal na sistema (3.3) ay may isang infinite set
mga desisyon. Sa katunayan, mula sa mga pagkakapantay-pantay === 0 at mula sa pahayag sa dulo ng seksyon. 1.1
napagpasyahan namin na ang pangalawang equation ng system (3.3) ay bunga ng una
at maaari itong itapon. Ngunit isang equation na may dalawang hindi alam
ay may walang katapusang maraming solusyon (kahit isa sa mga coefficient, o
ay iba sa zero, at ang hindi alam na nauugnay dito ay maaaring matukoy mula sa
equation (3.9) sa pamamagitan ng isang arbitraryong ibinigay na halaga ng isa pang hindi alam).
Kaya, kung ang determinant ng system (3.3) ay katumbas ng zero, kung gayon
system (3.3) alinman ay walang mga solusyon sa lahat (kung hindi bababa sa isa sa
determinants o iba sa zero), o may hindi mabilang na hanay
mga solusyon (sa kaso kapag == 0). Sa huling kaso, dalawang equation (3.3)
maaaring palitan ng isa at kapag nalutas ito ay maaaring itanong ang isang hindi alam
arbitraryo.
Magkomento. Sa kaso kung saan ang mga libreng termino at ay katumbas ng zero, ang linear
sistema (3.3) ay tinatawag homogenous. Tandaan na ang homogenous system
laging may tinatawag na trivial solution: = 0, = 0 (ang dalawang numerong ito
parehong nagbabayad homogenous equation sa mga pagkakakilanlan).
Kung ang determinant ng isang homogenous na sistema ay naiiba sa zero, kung gayon ito
ang sistema ay mayroon lamang isang maliit na solusyon. Kung = 0, pagkatapos ay homogenous
ang sistema ay may hindi mabilang na mga solusyon(dahil para sa
homogenous system, ang posibilidad ng kakulangan ng mga solusyon ay hindi kasama). Kaya
paraan, ang isang homogenous na sistema ay may isang nontrivial na solusyon kung at lamang
sa kaso kapag ang determinant nito ay katumbas ng zero.
1.3. Mga determinant ng ikatlong order
Isaalang-alang ang isang parisukat na matrix na binubuo ng siyam na elemento
Pangatlong determinant ng order, na tumutugma sa matrix (3.10), ay ang bilang na katumbas ng:
at tinutukoy ng simbolo
Kaya, sa pamamagitan ng kahulugan
Tulad ng sa kaso ng second-order determinant, ang mga elemento ng matrix (3.10) ay magiging
tawag mga elemento ng determinant mismo. Tsaka magkasundo tayo
pangalanan ang dayagonal na nabuo ng mga elemento at, pangunahing, at ang dayagonal,
nabuo ng mga elemento, at - gilid.
Upang matandaan ang pagbuo ng mga terminong kasama sa expression para sa
determinant (3.11), ipinapahiwatig namin susunod na tuntunin, na hindi nangangailangan ng marami
stress ng atensyon at memorya. Upang gawin ito, pumunta sa matrix kung saan ito binubuo
determinant, idagdag muli ang una at pagkatapos ay ang pangalawang column sa kanan. SA
ang resultang matrix
isang solidong linya ang nag-uugnay sa tatlong triplets ng mga terminong nakuha sa pamamagitan ng parallel
sa pamamagitan ng paglipat ng pangunahing dayagonal at naaayon sa tatlong terminong kasama sa
expression (3.11) na may plus sign; tatlo ay konektado sa pamamagitan ng isang tuldok na linya
iba pang triplets ng mga termino na nakuha sa pamamagitan ng parallel na paglipat ng panig
diagonal at katumbas ng tatlong terminong kasama sa pagpapahayag (3.11) na may
minus sign.
1.4. Mga katangian ng mga determinant
Ari-arian 1. Ang halaga ng determinant ay hindi magbabago kung ang mga linya at
baguhin ang mga tungkulin ng mga column ng determinant na ito, i.e.
Upang patunayan ang pag-aari na ito, sapat na upang isulat ang mga determinant,
nakatayo sa kaliwa at tamang bahagi(3.13), gaya ng ipinahiwatig sa Seksyon. 1.3 tuntunin at
siguraduhin na ang mga resultang termino ay pantay.
Property 1 set ganap na pagkakapantay-pantay mga row at column. kaya lang
ang lahat ng karagdagang katangian ng determinant ay maaaring mabuo para sa parehong mga string at
para sa mga column, at para patunayan - para lang sa mga row, o para lang sa column.
Ari-arian 2. Muling pag-aayos ng dalawang row (o dalawang column)
ang determinant ay katumbas ng pagpaparami nito sa bilang na -1.
Ang patunay ay nagmumula rin sa tuntuning nakasaad sa nauna
Property 3. Kung ang determinant ay may dalawang magkaparehong string (o dalawa
magkaparehong mga haligi), pagkatapos ito ay katumbas ng zero.
Sa katunayan, kapag muling inaayos ang dalawang magkaparehong mga string, mula sa isa
sa isang banda, hindi magbabago ang determinant, ngunit sa kabilang banda, dahil sa property 2
babaguhin nito ang senyales sa kabaligtaran. Kaya, = -, i.e. 2 = 0 o = 0.
Property 4. Multiplikasyon ng lahat ng elemento ng ilang string (o
ilang column) ng isang determinant sa pamamagitan ng isang numero ay katumbas ng multiply
determinant para sa numerong ito.
Sa madaling salita, ang karaniwang kadahilanan ng lahat ng mga elemento ng isang tiyak na string
(o ilang column) ng determinant ay maaaring kunin bilang tanda nito
determinant.
Halimbawa,
Upang patunayan ang ari-arian na ito, sapat na tandaan iyon
ang determinant ay ipinahayag bilang isang kabuuan (3.12), kung saan ang bawat termino
naglalaman ng isa at isang elemento lamang mula sa bawat hilera at isa at lamang
isang elemento mula sa bawat column.
Property 5. Kung ang lahat ng elemento ng ilang string (o ilang
column) ng determinant ay katumbas ng zero, kung gayon ang determinant mismo ay katumbas ng zero.
Ang ari-arian na ito ay sumusunod mula sa nauna (na may = 0).
Property 6. Kung ang mga elemento ay dalawang row (o dalawang column)
ang mga determinant ay proporsyonal, kung gayon ang determinant ay katumbas ng zero.
Sa katunayan, dahil sa property 4, ang proportionality factor ay maaaring
kinuha lampas sa tanda ng determinant, pagkatapos nito ang isang determinant ay nananatili sa dalawa
magkaparehong linya, katumbas ng zero ayon sa property 3.
Ari-arian 7. Kung lahat nth elemento row (o nth column)
determinant ay ang kabuuan ng dalawang termino, pagkatapos ay ang determinant
ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng dalawang determinant, ang una sa
na mayroon siya ika-na linya(o sa nth column) ang unang nabanggit
mga termino at ang parehong mga elemento bilang orihinal na determinant, sa iba pa
mga hilera (columns), at ang pangalawang determinant ay nasa ika-n hilera (sa ika-n
column) ang pangalawa sa mga terminong nabanggit at ang parehong mga elemento bilang
ang orihinal na determinant, sa natitirang mga row (columns).
Halimbawa,
Upang patunayan ang pag-aari na ito, muli itong sapat na tandaan iyon
ang determinant ay ipinahayag bilang isang kabuuan ng mga termino, kung saan ang bawat isa
naglalaman ng isa at isang elemento lamang mula sa bawat linya at isa at isa lamang
elemento mula sa bawat column.
Property 8. Kung ang mga elemento ng ilang string (o ilang
column) determinant idagdag ang mga kaukulang elemento ng isa pa
mga hilera (ng isa pang column) na pinarami ng isang arbitrary na salik, pagkatapos
hindi magbabago ang halaga ng determinant.
Sa katunayan, nakuha bilang isang resulta ng ipinahiwatig na karagdagan
ang determinant ay maaaring (sa bisa ng ari-arian 7) ay nahahati sa kabuuan ng dalawa
determinants, ang una ay tumutugma sa orihinal, at ang pangalawa ay katumbas ng
zero dahil sa proporsyonalidad ng mga elemento ng dalawang row (o column) at
ari-arian 6.
1.5. Algebraic complements at menor de edad
Kolektahin natin sa pagpapahayag (3.12) para sa determinant ang mga terminong naglalaman
alinman sa isang elemento ng determinant na ito, at kunin ang tinukoy na elemento
lampas sa mga bracket; ang dami na natitira sa mga bracket ay tinatawag
algebraic na pandagdag ang tinukoy na elemento.
Ipatukoy natin ang algebraic na pandagdag ng isang ibinigay na elemento
kabisera Latin na titik ang parehong pangalan ng elemento, at
magbigay ng parehong numero ng ibinigay na elemento. Halimbawa,
ang algebraic na komplemento ng isang elemento ay ilalarawan ng algebraic
pagdaragdag ng elemento - sa pamamagitan ng, atbp.
Direkta mula sa expression para sa determinant (3.12) at mula sa katotohanan na
bawat termino sa kanang bahagi ng (3.12) ay naglalaman ng isa at isang elemento lamang
mula sa bawat hilera (mula sa bawat hanay), sumusunod ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay:
Ang mga pagkakapantay-pantay na ito ay nagpapahayag ng sumusunod na katangian ng determinant:
ang determinant ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng mga elemento ng anumang hilera
(ng alinmang column) sa kaukulang algebraic na mga karagdagan
mga elemento ng hilera na ito (kolum na ito).
Ang mga pagkakapantay-pantay (3.14) ay karaniwang tinatawag pagpapalawak ng determinant Sa pamamagitan ng
mga elemento ng una, pangalawa o pangatlong hilera, ayon sa pagkakabanggit, at pagkakapantay-pantay
(3.15) - pagpapalawak ng determinant ayon sa mga elemento ng una, ayon sa pagkakabanggit,
pangalawa o pangatlong hanay.
Ipakilala natin ngayon ang mahalagang konsepto menor de edad ng elementong ito ng determinant
menor de edad ng isang ibinigay na elemento ng determinant ng nth order (sa aming kaso n = 3)
ay ang (n-1)th order determinant na nakuha mula sa isang ibinigay
determinant sa pamamagitan ng pag-cross out sa row at column na iyon sa intersection
ang halaga ng elementong ito.
Ang algebraic complement ng anumang elemento ng determinant ay katumbas ng
ang menor de edad ng elementong ito, na kinuha na may tulad na "plus", kung ang kabuuan ng mga numero
ang row at column sa intersection kung saan nakatayo ang elementong ito ay
ang numero ay pantay, at may minus sign kung hindi man.
Kaya, ang kaukulang algebraic complement at minor
maaaring magkaiba lamang sa sign.
Ang sumusunod na talahanayan ay nagbibigay ng isang malinaw na ideya kung aling palatandaan
ang kaukulang algebraic complement at minor ay magkakaugnay:
Ang itinatag na panuntunan ay nagpapahintulot sa mga formula (3.14) at (3.15) ang pagpapalawak
determinant sa mga elemento ng mga row at column sa lahat ng dako sa halip na mga algebraic
mga karagdagan isulat ang kaukulang mga menor de edad (na may kinakailangang tanda).
Kaya, halimbawa, ang una sa mga formula (3.14), na nagbibigay ng pagpapalawak
determinant sa mga elemento ng unang hilera ang bumubuo
Sa konklusyon, itatag natin ang sumusunod na pangunahing pag-aari
determinant.
Ari-arian 9. Kabuuan ng mga produkto ng mga elemento ng anumang hanay
determinant sa kaukulang algebraic complements ng mga elemento
ng column na ito (iba pa) ay katumbas ng halaga ng determinant na ito (katumbas ng zero).
Siyempre, totoo rin ang isang katulad na katangian kapag inilapat sa mga string
determinant. Ang kaso kapag ang mga algebraic na pagdaragdag at mga elemento
tumutugma sa parehong column, na tinalakay na sa itaas. Ito ay nananatiling upang patunayan
na ang kabuuan ng mga produkto ng mga elemento ng anumang hanay sa pamamagitan ng katumbas
ang algebraic complement ng mga elemento ng kabilang column ay zero.
Patunayan natin, halimbawa, na ang kabuuan ng mga produkto ng mga elemento ng una o
ang ikatlong hanay ay zero.
Magsisimula tayo sa ikatlong formula (3.15), na nagbibigay ng pagpapalawak
determinant sa pamamagitan ng mga elemento ng ikatlong hanay:
Dahil ang mga algebraic na karagdagan at mga elemento ng ikatlong hanay ay hindi
depende sa mga elemento mismo, at ang column na ito, pagkatapos ay sa pagkakapantay-pantay (3.17) ang mga numero, at
maaaring mapalitan ng mga arbitrary na numero, at habang pinapanatili sa kaliwa
bahagi (3.17) ang unang dalawang hanay ng determinant, at sa kanang bahagi - ang mga dami,
at algebraic na mga karagdagan.
kaya, para sa anumang, at ang pagkakapantay-pantay ay totoo:
Pagkuha ngayon sa pagkakapantay-pantay (3.18) bilang, at una sa mga elemento, at
ang unang column, at pagkatapos ay ang mga elemento, at ang pangalawang column at ibinigay iyon
ang determinant na may dalawang magkatapat na column dahil sa property 3 ay katumbas ng
zero, dumating tayo sa mga sumusunod na pagkakapantay-pantay:
Ito ay nagpapatunay na ang kabuuan ng mga produkto ng mga elemento ng una o
ikalawang hanay sa kaukulang algebraic complements ng mga elemento
ang ikatlong hanay ay katumbas ng zero: Ang mga pagkakapantay-pantay ay napatunayang pareho:
at ang mga katumbas na pagkakapantay-pantay na nauugnay hindi sa mga hanay, ngunit sa mga hilera:
2. Sistema ng mga linear equation na may tatlong hindi alam 2.1. Mga sistema ng tatlong linear na equation sa tatlong hindi alam na may
determinant maliban sa zero.
Bilang aplikasyon ng teoryang nakabalangkas sa itaas, isaalang-alang ang sistema
tatlong linear equation na may tatlong hindi alam:
(coefficients, , at libreng termino ay itinuturing na ibinigay).
Ang triple ng mga numero ay tinatawag na solusyon sa sistema (3.19) kung ang pagpapalit ng mga ito
ang mga numero sa lugar, sa system (3.19) ay nagiging lahat ng tatlong equation (3.19).
pagkakakilanlan.
Ang sumusunod na apat ay gaganap ng isang pangunahing papel sa hinaharap:
determinant:
Ang determinant ay karaniwang tinatawag na determinant ng system (3.19) (it
binubuo ng mga coefficient para sa mga hindi alam). Mga Determinant, at
ay nakuha mula sa determinant ng system sa pamamagitan ng pagpapalit sa kanila ng mga libre
miyembro ng mga elemento ng una, pangalawa at pangatlong hanay, ayon sa pagkakabanggit.
Upang ibukod ang mga hindi alam mula sa system (3.19), pinaparami namin ang mga equation
(3.19) nang naaayon sa mga algebraic na pandagdag ng mga elemento ng una
column ng determinant ng system, at pagkatapos ay idagdag ang resulta
mga equation Bilang resulta, nakukuha namin ang:
Isinasaalang-alang na ang kabuuan ng mga produkto ng mga elemento ng isang naibigay na hanay
determinant sa kaukulang algebraic complements ng mga elemento
ng column na ito (iba pang) ay katumbas ng determinant (zero) (tingnan ang property 9),
0, ++= 0.
Bilang karagdagan, sa pamamagitan ng pag-decompose ng determinant sa mga elemento ng unang hanay, ang formula ay nakuha:
Gamit ang mga formula (3.21) at (3.22), ang pagkakapantay-pantay (3.20) ay muling isusulat bilang
sa sumusunod (hindi naglalaman ng mga hindi alam) na form:
Ang mga pagkakapantay-pantay = at
Kaya, itinatag namin na ang sistema ng mga equation = , = , =
ay bunga ng orihinal na sistema (3.19).
Sa hinaharap, hiwalay nating isasaalang-alang dalawang kaso:
1) kapag ang system determinant hindi zero,
2) kapag ito determinant katumbas ng zero.
Kaya, hayaan ang 0. Pagkatapos mula sa system (3.23) agad kaming kumuha ng mga formula para sa mga hindi alam, na tinatawag Mga formula ng Cramer:
Ang mga formula ng Cramer na nakuha namin ay nagbibigay ng solusyon sa system (3.23) at
samakatuwid pinatunayan nila ang pagiging natatangi ng solusyon sa orihinal na sistema (3.19), dahil
Ang system (3.23) ay bunga ng system (3.19), at anumang solusyon ng system
(3.19) ay dapat ding solusyon sa system (3.23).
Kaya, napatunayan namin na kung ang orihinal na sistema (3.19) ay umiiral para sa
0 solusyon, pagkatapos ang solusyon na ito ay natatanging tinutukoy ng mga formula ng Cramer
Para patunayan na may solusyon talaga, kailangan natin
palitan ang kanilang mga halaga sa orihinal na sistema (3.19) para sa x, y at z,
tinukoy ng mga formula ng Cramer (3.24), at tiyaking ang lahat ng tatlo
ang mga equation (3.19) ay nagiging mga pagkakakilanlan. Siguraduhin natin, halimbawa, iyon
ang unang equation (3.19) ay nagiging isang pagkakakilanlan kapag pinapalitan ang mga halaga ng x,
y at z, na tinutukoy ng mga formula ng Cramer (3.24). Isinasaalang-alang na
nakukuha natin sa pamamagitan ng pagpapalit kaliwang bahagi ang una sa mga equation (2.19) na halaga, at,
tinutukoy ng mga formula ng Cramer:
Pagpapangkat ng mga termino na nauugnay sa A, A2 at A3 sa loob ng curly brace,
makuha natin yan:
Sa bisa ng ari-arian 9 sa huling pagkakapantay-pantay, ang parehong square bracket ay pantay
zero, at ang panaklong ay katumbas ng determinant. Kaya nakakakuha kami ng ++
At ang conversion sa pagkakakilanlan ng unang equation ng system (3.19) ay itinatag.
Katulad nito, ang conversion sa pagkakakilanlan ng pangalawa at pangatlo ay itinatag
mga equation (3.19).
Dumating tayo sa sumusunod na konklusyon: kung ang determinant ng system (3.19)
ay naiiba mula sa zero, pagkatapos ay mayroong, at, bukod dito, isang natatanging solusyon dito
system, na tinutukoy ng mga formula ng Cramer (3.24).
2.2. Homogeneous system ng dalawang linear equation sa tatlong hindi alam
Sa ito at sa seksyon ay bubuo tayo ng kagamitan na kinakailangan upang isaalang-alang ang hindi homogenous na sistema (3.19) na may determinant na katumbas ng zero. Una, isaalang-alang ang isang homogenous na sistema ng dalawang linear equation na may tatlong hindi alam:
Kung lahat tatlong second-order determinants na maaaring
bumuo mula sa isang matrix
ay katumbas ng zero, pagkatapos ay sa bisa ng pahayag mula sa Seksyon. 1.1 coefficients ng una sa
ang mga equation (3.25) ay proporsyonal sa kaukulang coefficient
ang pangalawa sa mga equation na ito. Samakatuwid, sa kasong ito ang pangalawang equation (3.25)
ay bunga ng una, at maaaring itapon. Ngunit isang equation na may
tatlong hindi alam ++= 0 ay natural na may walang katapusang bilang
mga solusyon (dalawang hindi alam ay maaaring italaga ng mga arbitrary na halaga, at
tukuyin ang pangatlong hindi alam mula sa equation).
Isaalang-alang natin ngayon ang system (3.25) para sa kaso kung kailan kahit isa sa
second order determinants na binubuo ng matrix(3.26), mahusay
mula sa zero. Nang walang pagkawala ng pangkalahatan, ipagpalagay natin na ito ay iba sa zero
determinant
0 Pagkatapos ay maaari nating muling isulat ang system (3.25) sa form
at igiit na para sa bawat z mayroong natatanging solusyon dito
system, na tinukoy ng mga formula ng Cramer (tingnan ang Seksyon 1.2, mga formula (3.8)):
ikatlong linya ng determinant:
Dahil sa resulta ng Sect. 1.5 tungkol sa koneksyon sa pagitan ng algebraic na mga karagdagan at
maaaring isulat ang mga menor de edad
Batay sa (3.29), maaari nating muling isulat ang mga formula (3.28) sa form
Upang makakuha ng solusyon sa anyo, simetriko
kamag-anak sa lahat ng hindi alam x, y, at z, itinakda namin (tandaan na dahil sa (3.27)
ang determinant ay iba sa zero). Since z can take any
mga halaga, pagkatapos ay ang bagong variable na t maaaring tumagal ng anumang halaga.
Dumating tayo sa konklusyon na sa kaso kapag ang determinant (3.27) ay iba sa zero, ang homogenous system (3.25) ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon na tinukoy ng mga formula
kung saan t tumatagal ng anumang mga halaga, at algebraic
mga karagdagan, atay tinutukoy ng mga formula (3.29).
2.3. Homogeneous system ng tatlong linear equation sa tatlong hindi alam
Isaalang-alang natin ngayon ang isang homogenous na sistema ng tatlong equation na may tatlo
hindi alam:
Malinaw, ang sistemang ito ay laging may tinatawag na trivial
solusyon: x = 0, y = 0, z = 0.
Sa kaso kung saan ang determinant ng system, ito ay isang maliit na solusyon
ay natatangi (dahil sa Seksyon 2.1).
Patunayan natin iyan kaso kapag ang determinant ay katumbas ng zero, homogenous
system (3.32) ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon.
Kung lahat ng second-order determinants na maaaring binubuo mula sa
ay katumbas ng zero, pagkatapos ay sa bisa ng pahayag mula sa Seksyon. 1.1 kaugnay
ang mga coefficient ng lahat ng tatlong equation (3.32) ay proporsyonal. Ngunit pagkatapos ay ang pangalawa
at ang ikatlong equation (3.32) ay mga kahihinatnan ng una at maaaring maging
ay itinapon, at isang equation ++= 0, gaya ng nabanggit na sa Seksyon. 2.2, ay may
hindi mabilang na mga solusyon.
Ito ay nananatiling isaalang-alang ang kaso kung kailan kahit isang menor de edad matrice (3.33)
iba sa zero. Dahil ang pagkakasunud-sunod ng mga equation at hindi alam
ay nasa ating pagtatapon, kung gayon, nang walang pagkawala ng pangkalahatan, magagawa natin
seksyon 2.2, ang sistema ng unang dalawang equation (3.32) ay hindi mabilang
ang hanay ng mga solusyon na tinukoy ng mga formula (3.31) (para sa anumang t).
Ito ay nananatiling patunayan na ang x, y, z, ay tinukoy ng mga formula (3.31) (na may
anumang t, ang ikatlong equation (3.32) ay binago din sa isang pagkakakilanlan. Pagpapalit sa
ang kaliwang bahagi ng ikatlong equation (3.32) x, y at z, na tinukoy ng mga formula
(3.31), nakukuha natin
Sinamantala namin ang katotohanan na, dahil sa property 9, ang expression sa round
sa mga bracket ay katumbas ng determinant ng system (3.32). Ngunit ang determinant sa pamamagitan ng kondisyon
ay katumbas ng zero, at samakatuwid para sa anumang t makuha natin ++= 0.
So, napatunayan na homogenous system (3.32) na may determinant A.
katumbas ng zero, ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon. Kung iba sa zero
minor (3.27), pagkatapos ang mga solusyong ito ay tinutukoy ng mga formula (3.31) para sa
arbitraryong kinuha t.
Ang resulta na nakuha ay maaari ding mabalangkas tulad ng sumusunod: homogenous
sistema (3.32) ay may isang hindi mahalaga na solusyon kung at kung lamang
kapag ang determinant nito ay zero.
2.4. Inhomogeneous system ng tatlong linear equation na may tatlo
hindi alam na may determinant na katumbas ng zero.
Mayroon na tayong apparatus para sa pagsasaalang-alang ng inhomogeneous
system (3.19) na may determinant na katumbas ng zero. Maaaring magpakilala ang dalawa
kaso: a) kahit isa sa mga determinant, o - ay iba sa zero; b) lahat ng tatlo
determinant at katumbas ng zero.
Kung sakaling a) hindi bababa sa isa sa mga pagkakapantay-pantay (3.23) ay naging imposible,
ibig sabihin, ang system (3.23) ay walang mga solusyon, at samakatuwid ay ang orihinal
system (3.19) (ang kinahinatnan nito ay system (3.23)).
Ipaalam sa amin magpatuloy upang isaalang-alang ang kaso b), kapag ang lahat ng apat na determinants , ,
at katumbas ng zero. Magsimula tayo sa isang halimbawa na nagpapakita na sa kasong ito din
ang sistema ay maaaring walang iisang solusyon. Isaalang-alang ang sistema:
Malinaw na walang solusyon ang sistemang ito. Sa katunayan, kung
umiral ang solusyon, pagkatapos ay mula sa unang dalawang equation na makukuha natin, at
mula dito, pagpaparami ng unang pagkakapantay-pantay ng 2, makukuha natin na 2 = 3. Dagdag pa,
ito ay malinaw na ang lahat ng apat na determinants , , at katumbas ng zero. Talaga,
determinant ng sistema
may tatlong magkaparehong column, determinants, at nakukuha sa pamamagitan ng pagpapalit
isa sa mga column na ito bilang mga libreng termino at, samakatuwid, mayroong dalawa
magkatulad na mga hanay. Sa bisa ng ari-arian 3, ang lahat ng mga determinant na ito ay katumbas ng zero.
Patunayan natin ngayon iyan kung system (3.19) na may determinant na katumbas ng
Ang zero ay may hindi bababa sa isang solusyon, pagkatapos ay mayroon itong walang katapusang numero
iba't ibang solusyon.
Ipagpalagay natin na ang ipinahiwatig na sistema ay may solusyon, . Pagkatapos
ang mga pagkakakilanlan ay wasto
Ang pagbabawas ng mga pagkakakilanlan (3.34) na termino ayon sa termino mula sa mga equation (3.19), nakukuha namin
sistema ng mga equation
katumbas sistema (3.19). Ngunit ang sistema (3.35) ay homogenous
isang sistema ng tatlong linear equation para sa tatlong hindi alam, at may
determinant na katumbas ng zero. Ayon sa seksyon 2.3 ang pinakabagong sistema (at naging
be, at system (3.19)) ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon. Halimbawa, sa
kaso kapag ang minor (3.27) ay nonzero, gumagamit kami ng mga formula (3.31)
nakukuha namin ang sumusunod na walang katapusang hanay ng mga solusyon sa system (3.19):
(t maaaring tumagal ng anumang halaga).
Ang nakasaad na pahayag ay napatunayan, at magagawa natin
sumusunod na konklusyon: Kung= = = = 0, pagkatapos ay ang inhomogeneous system ng mga equation
(3.19) alinman ay walang mga solusyon sa lahat o may isang walang katapusang bilang ng mga ito.
3. Ang konsepto ng mga determinant ng anumang pagkakasunod-sunod at linear
mga system na may anumang bilang ng mga hindi alam Ang pag-aari na itinatag namin ng pagpapalawak ng determinant ng ikatlo
ang pagkakasunud-sunod hanggang sa mga elemento ng alinman (halimbawa, ang una) na linya ay maaaring
bumubuo ng batayan para sa sunud-sunod na pagpapakilala sa pamamagitan ng induction ng determinant
ikaapat, ikalima at lahat ng kasunod na mga order.
Ipagpalagay natin na naipakilala na natin ang konsepto ng isang determinant ng order
(n-1), at isaalang-alang ang isang arbitrary square matrix na binubuo ng
mga elemento
Tawagin natin ang menor ng anumang elemento ng matrix (3.36) ang isa na ipinakilala na natin
determinant ng order (n-1), na tumutugma sa matrix (3.36), kung saan i-
i row at jth column. Sumang-ayon tayo na tukuyin ang menor de edad na elemento sa pamamagitan ng isang simbolo.
Halimbawa, ang minor ng anumang elemento ng unang hilera ng matrix (3.36)
ay ang sumusunod na determinant ng pagkakasunud-sunod (n-1):
Tawagan natin ang determinant ng order n naaayon sa matrix (3.36) ang numero
katumbas ng kabuuan
at tinutukoy ng simbolo
= Tandaan na para sa n = 3, ang pagpapalawak (3.37) ay kasabay ng pagpapalawak
(3.16) ng third-order determinant sa unang row.
Isaalang-alang natin ngayon ang isang inhomogeneous system ng n equation na may n hindi alam:
Determinant ng order n, na binubuo ng mga coefficient sa
hindi alam ng system (3.39) at kasabay ng determinant mula sa pagkakapantay-pantay
(3.38), ay tinatawag na determinant ng sistemang ito Para sa anumang j na katumbas ng 1, 2, ...,
n, tinutukoy namin sa pamamagitan ng simbolo ang determinant ng order n nakuha mula sa determinant
system sa pamamagitan ng pagpapalit sa j-th column nito ng column ng mga libreng termino, ..., .
Sa kumpletong pagkakatulad sa kaso n = 3, lumalabas na
ang sumusunod na resulta: kung ang determinant ng isang inhomogeneous system (3.39)
ay iba sa zero, kung gayon ang sistemang ito ay may natatanging solusyon,
tinutukoy ng mga formula ni Cramer:
hindi bababa sa isa sa mga determinant, ..., ay naiiba mula sa zero, at ang sistema (3.39) ay hindi
may mga solusyon.
Kung sakali kung n > 2 at lahat ng determinants, ..., ay katumbas ng zero, ang sistema
(3.39) ay maaari ding walang mga solusyon, ngunit kung mayroon itong kahit isa
solusyon, pagkatapos ay mayroon siyang hindi mabilang sa mga ito.
4. Paghanap ng solusyon linear na sistema Gaussian na pamamaraan Isaalang-alang natin ang hindi magkakatulad na sistema (3.39), kung saan natin ngayon
Daikliin namin ang notasyon sa pamamagitan ng muling pagtatalaga ng mga libreng termino, ..., gamit para sa kanila
notasyon para sa i = 1, 2 ..., n. Ibalangkas natin ang isa sa mga pinakasimpleng pamamaraan
solusyon ng sistemang ito, na binubuo sa sequential elimination
hindi kilala at tinawag Gaussian na pamamaraan.
Pumili tayo mula sa mga coefficient para sa mga hindi alam ng isang koepisyent na naiiba
mula sa zero, at tawagin natin itong nangunguna. Nang walang pagkawala ng pangkalahatan, ipagpalagay natin iyon
ano ang ganoong koepisyent (kung hindi, maaari naming baguhin ang pagkakasunud-sunod
sumusunod sa mga hindi alam at equation).
Hinahati ang lahat ng mga termino ng unang equation (3.39) sa pamamagitan ng, makuha natin ang unang ibinigay na equation
kung saan para sa j = 1, 2, ..., (n+1).
Alalahanin natin iyon, at, lalo na, .
Upang alisin ang hindi alam, ibawas namin mula sa i-th equation ng system (3.39)
(i = 2, 3 ..., n)
pinarami ng ibinigay na equation (3.40).
Bilang resulta, para sa anumang i = 2, 3, ..., n makuha natin ang equation
kung saan
para sa j = 2, 3, ..., (n+1).
Kaya, nakukuha namin ang unang pinaikling sistema:
na ang mga coefficient ay tinutukoy ng mga formula (3.41).
Sa system (3.42) nakita namin ang isang nonzero leading coefficient.
Hayaan na. Pagkatapos, hatiin ang unang equation (3.42) sa pamamagitan nito
coefficient, nakukuha natin ang pangalawang equation na ibinigay at, inaalis ang c
gamit ang equation na ito ayon sa iskema na inilarawan sa itaas, ang hindi alam, narating natin
ang pangalawang pinaikling sistema na hindi naglalaman ng i.
Ang pagpapatuloy ng pangangatwiran ayon sa pamamaraang ito, na tinatawag straight forward
Pamamaraan ng Gauss, makukumpleto namin ang pagpapatupad nito sa pamamagitan ng pag-abot sa isang linear
equation na naglalaman lamang ng isang hindi alam, o hindi namin makukumpleto
ang pagpapatupad nito (dahil sa katotohanan na ang orihinal na sistema (3.39) ay wala
mga desisyon). Kung ang orihinal na sistema (3.39) ay may mga solusyon, makukuha natin
chain ng mga ibinigay na equation
mula sa kung saan, gamit ang kabaligtaran ng pamamaraang Gaussian, sunud-sunod nating nahahanap
hindi kilala
Binibigyang-diin namin na ang lahat ng mga operasyon sa panahon ng kabaligtaran ng pamamaraang Gauss (1.43)
ay pinapatay nang walang paghahati,
Bilang halimbawa, isaalang-alang ang isang inhomogeneous system ng tatlong equation
na may tatlong hindi alam
Siyempre, mapapatunayan ng isa na ang determinant ng system (3.44)
ay iba sa zero, at hanapin ito gamit ang mga formula ng Cramer, ngunit ilalapat namin ang pamamaraan
Hinahati ang unang equation ng system (3.44) sa 2, makuha natin ang una
ibinigay na equation:
Ibinawas mula sa pangalawang equation ng system (3.44) ang ibinigay na equation
(3.45), i-multiply sa 3, at ibinawas sa ikatlong equation ng system (3.44)
ibinigay na equation (3.45), pinarami ng 4, nakakakuha tayo ng pinaikling
sistema ng dalawang equation na may dalawang hindi alam:
Hinahati ang unang equation (3.46) sa pamamagitan ng, makuha natin ang pangalawang ibinigay
ang equation:
Ibinawas ang pinababang equation (3.47) mula sa pangalawang equation (3.46),
pinarami ng 8, nakukuha natin ang equation:
na pagkatapos ng pagbabawas ng nagbibigay = 3.
Ang pagpapalit ng halagang ito sa pangalawang equation (3.47), nakuha namin
na = -2. Sa wakas, pinapalitan ang mga nahanap na halaga = -2 at = 3 sa una
ibinigay na equation (3.45), nakuha namin na = 1.
PANITIKAN 1. Ilyin V.A., Kurkina A.V. – “Higher Mathematics”, M.: TK Welby, Prospekt Publishing House,
Kapag nilulutas ang mga problema sa mas mataas na matematika, ang pangangailangan ay madalas na lumitaw kalkulahin ang determinant ng isang matrix. Ang determinant ng isang matrix ay makikita sa linear algebra, analytic geometry, pagsusuri sa matematika at iba pang sangay ng mas mataas na matematika. Kaya, imposibleng gawin nang walang kasanayan sa paglutas ng mga determinant. Gayundin, para sa self-testing, maaari kang mag-download ng isang determinant calculator nang libre; hindi ito magtuturo sa iyo kung paano lutasin ang mga determinant nang mag-isa, ngunit ito ay napaka-maginhawa, dahil palaging kapaki-pakinabang na malaman ang tamang sagot nang maaga!
Hindi ako magbibigay ng mahigpit na depinisyon sa matematika ng determinant, at, sa pangkalahatan, susubukan kong bawasan ang terminolohiya sa matematika; hindi nito gagawing mas madali para sa karamihan ng mga mambabasa. Ang layunin ng artikulong ito ay turuan ka kung paano lutasin ang pangalawa, pangatlo at ikaapat na determinant ng pagkakasunud-sunod. Ang lahat ng materyal ay ipinakita sa isang simple at naa-access na form, at kahit na isang buong (walang laman) teapot sa mas mataas na matematika, pagkatapos maingat na pag-aralan ang materyal, ay magagawang maayos na malutas ang mga determinant.
Sa pagsasagawa, madalas kang makakahanap ng second-order determinant, halimbawa: at third-order determinant, halimbawa: 
.
Pang-apat na determinant ng order 
Hindi rin ito antique, at aalamin natin ito sa pagtatapos ng aralin.
Sana maintindihan ng lahat ang sumusunod: Ang mga numero sa loob ng determinant ay nabubuhay sa kanilang sarili, at walang tanong ng anumang pagbabawas! Hindi maaaring palitan ang mga numero!
(Sa partikular, posibleng magsagawa ng pairwise rearrangements ng mga row o column ng isang determinant na may pagbabago sa sign nito, ngunit madalas na hindi ito kinakailangan - tingnan ang susunod na aralin Mga katangian ng determinant at pagbaba ng pagkakasunud-sunod nito)
Kaya, kung may ibibigay na determinant, kung gayon Wala kaming hinahawakan sa loob nito!
Mga pagtatalaga: Kung bibigyan ng matrix 
, kung gayon ang determinant nito ay tinutukoy . Kadalasan din ang determinant ay tinutukoy ng isang Latin na titik o Griyego.
1)Ano ang ibig sabihin ng paglutas (hanapin, ibunyag) ang isang determinant? Upang kalkulahin ang determinant ay nangangahulugang HANAPIN ANG NUMERO. Ang mga tandang pananong sa mga halimbawa sa itaas ay ganap na ordinaryong mga numero.
2) Ngayon ay nananatili itong malaman PAANO mahahanap ang numerong ito? Upang gawin ito kailangan mong mag-aplay ilang mga tuntunin, mga formula at algorithm, na siyang pag-uusapan natin ngayon.
Magsimula tayo sa determinant na "dalawa" ng "dalawa":
ITO AY KAILANGAN TANDAAN, hindi bababa sa habang nag-aaral ng mas mataas na matematika sa isang unibersidad.
Tingnan natin kaagad ang isang halimbawa:
handa na. Ang pinakamahalagang bagay ay HUWAG MALITO SA MGA ALAMAT.
Determinant ng isang three-by-three matrix maaaring buksan sa 8 paraan, 2 sa kanila ay simple at 6 ay normal.
Magsimula tayo sa dalawa mga simpleng paraan
Katulad ng two-by-two determinant, ang three-by-three determinant ay maaaring palawakin gamit ang formula:
Mahaba ang formula at madaling magkamali dahil sa kawalang-ingat. Paano maiwasan ang mga nakakainis na pagkakamali? Para sa layuning ito, ang pangalawang paraan ng pagkalkula ng determinant ay naimbento, na aktwal na tumutugma sa una. Tinatawag itong pamamaraang Sarrus o ang pamamaraang "parallel strips".
Ang ilalim na linya ay na sa kanan ng determinant, italaga ang una at pangalawang hanay at maingat na gumuhit ng mga linya gamit ang isang lapis:
Ang mga multiplier na matatagpuan sa "pula" na mga diagonal ay kasama sa formula na may "plus" sign.
Ang mga multiplier na matatagpuan sa "asul" na mga diagonal ay kasama sa formula na may minus sign:
Halimbawa:
Paghambingin ang dalawang solusyon. Madaling makita na ito ang PAREHONG bagay, sa pangalawang kaso ang mga kadahilanan ng formula ay bahagyang muling inayos, at, higit sa lahat, ang posibilidad na magkamali ay mas mababa.
Ngayon tingnan natin ang anim normal na paraan upang kalkulahin ang determinant
Bakit normal? Dahil sa karamihan ng mga kaso, ang mga kwalipikado ay kailangang ibunyag sa ganitong paraan.
Tulad ng napansin mo, ang three-by-three determinant ay may tatlong column at tatlong row.
Maaari mong lutasin ang determinant sa pamamagitan ng pagbubukas nito sa pamamagitan ng anumang hilera o ng anumang hanay.
Kaya, mayroong 6 na pamamaraan, sa lahat ng kaso gamit parehong uri algorithm.
Ang determinant ng matrix ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng mga elemento ng row (column) ng kaukulang algebraic complements. Nakakatakot? Ang lahat ay mas simple; gagamit tayo ng di-siyentipiko ngunit nauunawaan na diskarte, naa-access kahit sa isang taong malayo sa matematika.
Sa susunod na halimbawa ay palawakin natin ang determinant sa unang linya.
Para dito kailangan namin ng isang matrix ng mga palatandaan: . Madaling mapansin na ang mga palatandaan ay nakaayos sa isang pattern ng checkerboard.
Pansin! Ang sign matrix ay sarili kong imbensyon. Ang konseptong ito hindi pang-agham, hindi ito kailangang gamitin sa panghuling disenyo ng mga takdang-aralin, tinutulungan ka lamang nitong maunawaan ang algorithm para sa pagkalkula ng determinant.
Dadalhin ko muna kumpletong solusyon. Kinukuha namin muli ang aming pang-eksperimentong determinant at isinasagawa ang mga kalkulasyon:
AT pangunahing tanong: PAANO ito makuha mula sa "tatlo sa tatlong" determinant: 
?
Kaya, ang "tatlo sa tatlong" determinant ay bumaba sa paglutas ng tatlong maliliit na determinant, o kung tawagin din sila, MINOROV. Inirerekomenda ko ang pag-alala sa termino, lalo na dahil ito ay hindi malilimutan: menor de edad - maliit.
Kapag ang paraan ng agnas ng determinant ay napili sa unang linya, halatang umiikot sa kanya ang lahat:
Karaniwang tinitingnan ang mga elemento mula kaliwa hanggang kanan (o itaas hanggang ibaba kung may napiling column)
Tara, una nating haharapin ang unang elemento ng linya, iyon ay, sa isa:
1) Mula sa matrix ng mga palatandaan isinulat namin ang kaukulang tanda: 
2) Pagkatapos ay isinulat namin ang elemento mismo: 
3) MENTALly i-cross out ang row at column kung saan lumalabas ang unang elemento: 
Ang natitirang apat na numero ay bumubuo ng "dalawa sa dalawa" na determinant, na tinatawag na MINOR ng isang ibinigay na elemento (unit).
Lumipat tayo sa pangalawang elemento ng linya.
4) Mula sa matrix ng mga palatandaan isinulat namin ang kaukulang tanda:
5) Pagkatapos ay isulat ang pangalawang elemento: 
6) METALLY na i-cross out ang row at column kung saan lumalabas ang pangalawang elemento: 
Well, ang ikatlong elemento ng unang linya. Walang pagka-orihinal:
7) Mula sa matrix ng mga palatandaan isinulat namin ang kaukulang tanda: 
8) Isulat ang ikatlong elemento: 
9) MENTALly i-cross out ang row at column na naglalaman ng ikatlong elemento: 
Isinulat namin ang natitirang apat na numero sa isang maliit na determinant.
Ang natitirang mga aksyon ay hindi nagpapakita ng anumang mga paghihirap, dahil alam na natin kung paano bilangin ang dalawa-sa-dalawang determinant. HUWAG MALITO SA MGA SINYALES!
Katulad nito, ang determinant ay maaaring palawakin sa anumang row o sa anumang column. Naturally, sa lahat ng anim na kaso ang sagot ay pareho.
Maaaring kalkulahin ang four-by-four determinant gamit ang parehong algorithm.
Sa kasong ito, ang aming matrix ng mga palatandaan ay tataas:
Sa sumusunod na halimbawa ay pinalawak ko ang determinant ayon sa ikaapat na hanay:
Paano ito nangyari, subukan mong malaman ito sa iyong sarili. karagdagang impormasyon Mamaya na. Kung nais ng sinuman na lutasin ang determinant hanggang sa wakas, ang tamang sagot ay: 18. Para sa pagsasanay, mas mahusay na lutasin ang determinant sa pamamagitan ng ibang hanay o iba pang hanay.
Ang pagsasanay, pag-alis ng takip, paggawa ng mga kalkulasyon ay napakahusay at kapaki-pakinabang. Ngunit gaano karaming oras ang gugugulin mo sa malaking qualifier? Wala bang mas mabilis at mas maaasahang paraan? Iminumungkahi kong maging pamilyar ka mabisang pamamaraan pagkalkula ng mga determinant sa ikalawang aralin - Mga katangian ng determinant. Pagbawas ng pagkakasunud-sunod ng determinant.
MAG-INGAT KA!
Mga sistema ng linear equation
Ang sistema ng mga equation ay ang mga sumusunod:
kung saan ang a ij, b i ay mga numerical coefficient, x i ay mga variable, na tinatawag sistema ng mga linear na equation.
Upang malutas ang isang sistema ng mga linear na equation ay nangangahulugan na ipahiwatig ang lahat ng mga solusyon ng system, iyon ay, ang mga naturang hanay ng mga halaga ng mga variable na ginagawang mga pagkakakilanlan ang mga equation ng system.
Ang sistema ng mga linear na equation ay tinatawag na:
joint kung mayroon itong hindi bababa sa isang solusyon;
hindi naaayon kung wala itong mga solusyon;
tiyak kung mayroon itong natatanging solusyon;
homogenous kung lahat b i = 0;
heterogenous kung lahat b i ≠ 0.
Ang panuntunan ni Cramer
(Gabriel Cramer (1704-1752) Swiss mathematician)
Ang pamamaraang ito ay naaangkop lamang sa kaso ng mga sistema ng mga linear na equation, kung saan ang bilang ng mga variable ay tumutugma sa bilang ng mga equation. Bilang karagdagan, kinakailangan upang ipakilala ang mga paghihigpit sa mga coefficient ng system. Kinakailangan na ang lahat ng mga equation ay linearly independent, i.e. walang equation ang magiging linear na kumbinasyon ng iba.
Upang gawin ito, kinakailangan na ang determinant ng system matrix ay hindi katumbas ng 0.
= det A 0;
Teorama. (Cramer's Rule):
Sistema ng n equation na may n hindi alam
Kung ang determinant ng system matrix ay hindi katumbas ng zero, kung gayon ang system ay may natatanging solusyon at ang solusyon na ito ay matatagpuan gamit ang mga formula:
x i = 
;
saan - pangunahing determinant, na binubuo ng mga numerical coefficient para sa mga hindi alam, at i – pantulong na kwalipikasyon, nakuha mula sa pangunahing isa sa pamamagitan ng pagpapalit sa i-th column ng isang column ng mga libreng termino b i.
ako = 
Halimbawa. Lutasin ang system gamit ang panuntunan ng Cramer.
;
1 =
;
2 =
;
3 =
;
x 1 = 
; x 2 = 
; x 3 = 
;
Halimbawa. Hanapin ang solusyon sa sistema ng mga equation:
=
= 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;
1 =
= (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.
2 =
= 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.
3 =
= 5(32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.
Kung ang sistema ay homogenous, i.e. b i = 0, pagkatapos ay sa 0 ang system ay may natatanging zero solution x 1 = x 2 = … = x n = 0.
Paraan ng matrix
Ang pamamaraan ng matrix ay naaangkop sa paglutas ng mga sistema ng mga equation kung saan ang bilang ng mga equation ay katumbas ng bilang ng mga hindi alam.
Ang pamamaraang ito ay maginhawa para sa paglutas ng mga low-order system. Ito ay batay sa aplikasyon ng mga katangian ng matrix multiplication.
Hayaang ibigay ang sistema ng mga equation:
Ipakilala natin ang sumusunod na notasyon:
A= 
- matrix ng mga coefficient ng system;
B = matrix – hanay ng mga libreng termino;
X = - matrix – column ng mga hindi alam.
Ang sistema ng mga equation ay maaaring isulat sa matrix form:
Gawin natin ang sumusunod na pagbabago: A -1 AX = A -1 B,
kasi A -1 A = E, pagkatapos EX = A -1 B, nakukuha natin
X = A -1 B - solusyon ng matrix equation
Halimbawa .
Lutasin ang system gamit ang matrix method 
Solusyon. Tukuyin natin:
, 
, 
.
Nakukuha namin ang matrix equation 
.
Ang kanyang desisyon 
, ibig sabihin.
(Ang paghahanap ng inverse matrix ay tinalakay kanina).
Pamamaraan ng Gauss
(Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Aleman na matematiko)
Hindi tulad ng matrix method at Cramer's method, ang Gaussian method ay maaaring ilapat sa mga sistema ng linear equation na may arbitrary na bilang ng mga equation at hindi alam. Ang kakanyahan ng pamamaraan ay ang sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam.
Isaalang-alang ang isang sistema ng mga linear na equation:
Kahulugan: Ang isang matrix na binubuo ng mga coefficient para sa mga hindi alam ng system ay tinatawag na system matrix.
Kahulugan: Ang isang matrix ay tinatawag na isang pinalawig na matrix ng isang sistema kung ang isang haligi ng mga libreng termino ng system ay idinagdag sa matrix A.
Ang pinalawig na matrix ay isang naka-code na talaan ng system. Ang mga hilera ng matrix ay tumutugma sa mga equation ng system. Ang pag-multiply ng equation sa isang numero at pagdaragdag ng produktong ito sa isa pang equation ay katumbas ng pagpaparami ng matrix row sa numerong ito at pagdaragdag ng product termwise sa isa pang matrix row. Kaya, ang pagtatrabaho sa mga equation ay maaaring mapalitan ng pagtatrabaho sa mga hilera ng matrix.
Kahulugan: Ang Matrix A ay tinatawag na stepwise kung:
A) alinman sa mga hilera nito ay may kahit isang hindi zero na elemento,
B) ang unang di-zero na elemento ng bawat linya, simula sa pangalawa, ay matatagpuan sa kanan ng hindi-zero na elemento ng nakaraang linya.
Ang Gauss method ay isang mabisang paraan para sa paglutas at pag-aaral ng mga sistema ng linear equation. Ito ay binubuo sa katotohanan na ang sistemang ito Ang mga linear equation ay binago sa isang katumbas na stepwise system, na madaling malutas at mapag-aralan. Ang aplikasyon ng pamamaraang Gaussian ay hindi nakasalalay sa alinman sa bilang ng mga equation o bilang ng mga hindi alam sa sistema.
Tingnan natin ang ideya ng pamamaraang Gaussian gamit ang mga tiyak na halimbawa.
Halimbawa. Lutasin ang isang sistema ng mga linear equation gamit ang Gauss method.
Gumawa tayo ng pinahabang matrix ng system at, gamit ang mga elementarya na pagbabago, dalhin ito sa anyo:
, mula sa kung saan natin nakukuha: x 3 = 2; x 2 = 5; x 1 = 1.
Halimbawa. Lutasin ang sistema gamit ang Gaussian method.
Gumawa tayo ng pinahabang matrix ng system.
Kaya, ang orihinal na sistema ay maaaring katawanin bilang:
Tala ng paliwanag ng proyekto ng kurso
Proyekto ng kursoAt ang ikatlong hanay ng matrix, nakita namin pantulong mga kwalipikasyon: Hanapin ang mga coefficient ng polynomial: Kaya... produkto: Hanapin ang produkto: Hanapin ang pangunahing determinant: Nahanap namin pantulong mga kwalipikasyon at, pinapalitan ang matrix isa-isa sa...
Mga rekomendasyong metodolohikal para sa pagsasagawa ng extracurricular na independiyenteng gawain ng isang mag-aaral sa disiplina na "Matematika" para sa espesyalidad
Mga AlituntuninHalimbawa: kalkulahin determinant pangalawang order 1) 2) 2. Kalkulahin determinant ikatlong order Determinant ikatlong pagkakasunod-sunod ay tinatawag na... mula sa mga koepisyent ng hindi alam Bumuo tayo pantulong mga kwalipikasyon sistema tulad ng sumusunod: ... Pagkatapos...
Ang Russian Federation bilang isang aklat-aralin para sa mga mag-aaral ng mas mataas na institusyong pang-edukasyon na nag-aaral ng mga espesyalidad sa wika Moscow "Higher School" 2002
TeksbukMga replenisher, pantulong pandiwa, aspekto at bahaging pandiwa, mga pang-abay na tumitindi, mga demonstratibo mga kwalipikasyon; heterogenous... sa pamamagitan ng pagsasama ng isang "materyal" na salita sa " pantulong-panggramatika" na salita. Alinsunod dito, at...