Ang mga problema sa quadratic equation ay pinag-aralan din sa kurikulum ng paaralan at sa mga unibersidad. Ang ibig nilang sabihin ay mga equation ng anyong a*x^2 + b*x + c = 0, kung saan x- variable, a, b, c - mga pare-pareho; a<>0 . Ang gawain ay upang mahanap ang mga ugat ng equation.

Geometric na kahulugan ng quadratic equation

Ang graph ng isang function na kinakatawan ng isang quadratic equation ay isang parabola. Ang mga solusyon (roots) ng isang quadratic equation ay ang mga punto ng intersection ng parabola na may abscissa (x) axis. Ito ay sumusunod na mayroong tatlong posibleng mga kaso:
1) ang parabola ay walang mga punto ng intersection sa abscissa axis. Nangangahulugan ito na ito ay nasa itaas na eroplano na may mga sanga sa itaas o sa ibaba na may mga sanga pababa. Sa ganitong mga kaso, ang quadratic equation ay walang tunay na ugat (ito ay may dalawang kumplikadong ugat).

2) ang parabola ay may isang punto ng intersection sa Ox axis. Ang nasabing punto ay tinatawag na vertex ng parabola, at ang quadratic equation dito ay nakakakuha ng pinakamababa o pinakamataas na halaga. Sa kasong ito, ang quadratic equation ay may isang tunay na ugat (o dalawa magkaparehong ugat).

3) Ang huling kaso ay mas kawili-wili sa pagsasanay - mayroong dalawang punto ng intersection ng parabola na may abscissa axis. Nangangahulugan ito na mayroong dalawang tunay na ugat ng equation.

Batay sa pagsusuri ng mga koepisyent ng mga kapangyarihan ng mga variable, ang mga kagiliw-giliw na konklusyon ay maaaring iguguhit tungkol sa paglalagay ng parabola.

1) Kung ang coefficient a ay mas malaki kaysa sa zero, ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta paitaas; kung ito ay negatibo, ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta pababa.

2) Kung ang coefficient b ay mas malaki kaysa sa zero, kung gayon ang vertex ng parabola ay nasa kaliwang kalahating eroplano, kung kukuha ito ng negatibong halaga, pagkatapos ay sa kanan.

Derivation ng formula para sa paglutas ng isang quadratic equation

Ilipat natin ang pare-pareho mula sa quadratic equation

para sa pantay na tanda, nakukuha namin ang expression

I-multiply ang magkabilang panig sa 4a

Upang makakuha ng kumpletong parisukat sa kaliwa, magdagdag ng b^2 sa magkabilang panig at isagawa ang pagbabago

Mula dito makikita natin

Formula para sa discriminant at mga ugat ng isang quadratic equation

Ang discriminant ay ang halaga ng radical expression. Kung ito ay positibo, ang equation ay may dalawang tunay na ugat, na kinakalkula ng formula Kapag ang discriminant ay zero, ang quadratic equation ay may isang solusyon (dalawang coinciding roots), na madaling makuha mula sa formula sa itaas para sa D = 0. negatibong diskriminasyon walang tunay na root equation. Gayunpaman, ang mga solusyon sa quadratic equation ay matatagpuan sa kumplikadong eroplano, at ang kanilang halaga ay kinakalkula gamit ang formula

Ang teorama ni Vieta

Isaalang-alang natin ang dalawang ugat ng isang quadratic equation at bumuo ng isang quadratic equation sa kanilang batayan. Ang theorem ng Vieta mismo ay madaling sumusunod mula sa notation: kung mayroon tayong quadratic equation ng form kung gayon ang kabuuan ng mga ugat nito ay katumbas ng coefficient p na kinuha mula sa kabaligtaran ng tanda, at ang produkto ng mga ugat ng equation ay katumbas ng libreng termino q. Ang formulaic na representasyon ng nasa itaas ay magmumukhang Kung sa isang klasikal na equation ang pare-parehong a ay nonzero, pagkatapos ay kailangan mong hatiin ang buong equation sa pamamagitan nito, at pagkatapos ay ilapat ang Vieta's theorem.

Factoring quadratic equation schedule

Hayaang itakda ang gawain: i-factor ang isang quadratic equation. Upang gawin ito, lutasin muna natin ang equation (hanapin ang mga ugat). Susunod, pinapalitan natin ang mga natagpuang ugat sa formula ng pagpapalawak para sa quadratic equation. Ito ay malulutas ang problema.

Mga problema sa quadratic equation

Gawain 1. Hanapin ang mga ugat ng isang quadratic equation

x^2-26x+120=0 .

Solusyon: Isulat ang mga coefficient at palitan ang mga ito sa discriminant formula

ugat ng binigay na halaga ay katumbas ng 14, ito ay madaling mahanap sa isang calculator, o tandaan na may madalas na paggamit, gayunpaman, para sa kaginhawahan, sa dulo ng artikulo ay bibigyan kita ng isang listahan ng mga parisukat ng mga numero na maaaring madalas na nakatagpo sa mga naturang problema.
Pinapalitan namin ang nahanap na halaga sa root formula

at nakukuha namin

Gawain 2. Lutasin ang equation

2x 2 +x-3=0.

Solusyon: Mayroon kaming kumpletong quadratic equation, isulat ang mga coefficient at hanapin ang discriminant

Gamit ang mga kilalang formula, makikita natin ang mga ugat ng quadratic equation

Gawain 3. Lutasin ang equation

9x 2 -12x+4=0.

Solusyon: Mayroon kaming kumpletong quadratic equation. Pagtukoy sa diskriminasyon

Mayroon kaming isang kaso kung saan ang mga ugat ay nag-tutugma. Hanapin ang mga halaga ng mga ugat gamit ang formula

Gawain 4. Lutasin ang equation

x^2+x-6=0 .

Solusyon: Sa mga kaso kung saan may maliliit na coefficient para sa x, ipinapayong ilapat ang theorem ng Vieta. Sa pamamagitan ng kondisyon nito ay nakakakuha tayo ng dalawang equation

Mula sa pangalawang kundisyon nakita namin na ang produkto ay dapat na katumbas ng -6. Nangangahulugan ito na ang isa sa mga ugat ay negatibo. Mayroon kaming sumusunod na posibleng pares ng mga solusyon (-3;2), (3;-2) . Isinasaalang-alang ang unang kundisyon, tinatanggihan namin ang pangalawang pares ng mga solusyon.
Ang mga ugat ng equation ay pantay

Suliranin 5. Hanapin ang mga haba ng mga gilid ng isang parihaba kung ang perimeter nito ay 18 cm at ang lawak nito ay 77 cm 2.

Solusyon: Ang kalahati ng perimeter ng isang parihaba ay katumbas ng kabuuan ng mga katabing gilid nito. Tukuyin natin ang x bilang mas malaking bahagi, pagkatapos ay 18-x ang mas maliit na bahagi nito. Ang lugar ng rektanggulo ay katumbas ng produkto ng mga haba na ito:
x(18-x)=77;
o
x 2 -18x+77=0.
Hanapin natin ang discriminant ng equation

Pagkalkula ng mga ugat ng equation

Kung x=11, yun 18's=7 , ang kabaligtaran ay totoo rin (kung x=7, pagkatapos ay 21's=9).

Suliranin 6. I-factor ang quadratic equation na 10x 2 -11x+3=0.

Solusyon: Kalkulahin natin ang mga ugat ng equation, upang gawin ito ay makikita natin ang discriminant

Pinapalitan namin ang nahanap na halaga sa root formula at kalkulahin

Inilapat namin ang formula para sa decomposing isang quadratic equation sa pamamagitan ng mga ugat

Pagbukas ng mga bracket, makakakuha tayo ng pagkakakilanlan.

Quadratic equation na may parameter

Halimbawa 1. Sa anong mga halaga ng parameter A , may isang ugat ba ang equation (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0?

Solusyon: Sa pamamagitan ng direktang pagpapalit ng halaga a=3 makikita natin na wala itong solusyon. Susunod, gagamitin namin ang katotohanan na sa isang zero discriminant ang equation ay may isang ugat ng multiplicity 2. Isulat natin ang discriminant

Pasimplehin natin ito at i-equate ito sa zero

Nakuha namin ang isang quadratic equation na may paggalang sa parameter a, ang solusyon kung saan ay madaling makuha gamit ang teorem ng Vieta. Ang kabuuan ng mga ugat ay 7, at ang kanilang produkto ay 12. Sa pamamagitan ng simpleng paghahanap, itinatag namin na ang mga numero 3,4 ang magiging ugat ng equation. Dahil tinanggihan na namin ang solusyon a=3 sa simula ng mga kalkulasyon, ang tanging tama ay - a=4. Kaya, para sa a=4 ang equation ay may isang ugat.

Halimbawa 2. Sa anong mga halaga ng parameter A , ang equation a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 may higit sa isang ugat?

Solusyon: Isaalang-alang muna natin ang mga singular na puntos, ang mga ito ay ang mga halaga a=0 at a=-3. Kapag a=0, ang equation ay pasimplehin sa anyo na 6x-9=0; x=3/2 at magkakaroon ng isang ugat. Para sa a= -3 makuha natin ang pagkakakilanlan 0=0.
Kalkulahin natin ang discriminant

at hanapin ang halaga ng isang kung saan ito ay positibo

Mula sa unang kundisyon nakakakuha tayo ng>3. Para sa pangalawa, makikita natin ang discriminant at mga ugat ng equation

Tukuyin natin ang mga pagitan kung saan tumatagal ang function mga positibong halaga. Sa pamamagitan ng pagpapalit ng puntong a=0 nakukuha natin 3>0 . Kaya, sa labas ng pagitan (-3;1/3) ang function ay negatibo. Huwag kalimutan ang punto a=0, na dapat na hindi kasama dahil ang orihinal na equation ay may isang ugat dito.
Bilang resulta, nakakakuha kami ng dalawang pagitan na nakakatugon sa mga kondisyon ng problema

Magkakaroon ng maraming katulad na mga gawain sa pagsasanay, subukang malaman ang mga gawain sa iyong sarili at huwag kalimutang isaalang-alang ang mga kondisyon na kapwa eksklusibo. Pag-aralan mabuti ang mga formula para sa solusyon quadratic equation, sila ay madalas na kailangan sa mga kalkulasyon sa iba't ibang mga problema at agham.

Kopyevskaya rural secondary school

10 Paraan para Malutas ang Mga Quadratic Equation

Pinuno: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

guro sa matematika

nayon Kopevo, 2007

1. Kasaysayan ng pagbuo ng mga quadratic equation

1.1 Quadratic equation sa Sinaunang Babylon

1.2 Paano binubuo at nalulutas ni Diophantus ang mga quadratic equation

1.3 Quadratic equation sa India

1.4 Quadratic equation ni al-Khorezmi

1.5 Quadratic equation sa Europe XIII - XVII siglo

1.6 Tungkol sa teorama ni Vieta

2. Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation

Konklusyon

Panitikan

1. Kasaysayan ng pagbuo ng mga quadratic equation

1.1 Quadratic equation sa Sinaunang Babylon

Ang pangangailangan upang malutas ang mga equation hindi lamang ng una, kundi pati na rin ng pangalawang antas noong sinaunang panahon ay sanhi ng pangangailangan upang malutas ang mga problema na may kaugnayan sa paghahanap ng mga lugar mga kapirasong lupa at sa earthworks ng militar kalikasan, pati na rin sa pag-unlad ng astronomy at matematika mismo. Ang mga quadratic equation ay maaaring malutas sa paligid ng 2000 BC. e. Babylonians.

Gamit ang modernong algebraic notation, maaari nating sabihin na sa kanilang mga cuneiform na teksto ay mayroong, bilang karagdagan sa mga hindi kumpleto, tulad, halimbawa, kumpletong quadratic equation:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Ang panuntunan para sa paglutas ng mga equation na ito, na itinakda sa mga teksto ng Babylonian, ay mahalagang tumutugma sa modernong isa, ngunit hindi alam kung paano nakarating ang mga Babylonians sa panuntunang ito. Halos lahat ng mga tekstong cuneiform na natagpuan sa ngayon ay nagbibigay lamang ng mga problema sa mga solusyon na inilatag sa anyo ng mga recipe, na walang indikasyon kung paano sila natagpuan.

Sa kabila mataas na lebel pag-unlad ng algebra sa Babylon, ang mga tekstong cuneiform ay kulang sa konsepto ng negatibong numero at pangkalahatang pamamaraan paglutas ng mga quadratic equation.

1.2 Paano binubuo at nalulutas ni Diophantus ang mga quadratic equation.

Ang Diophantus' Arithmetic ay hindi naglalaman ng isang sistematikong presentasyon ng algebra, ngunit naglalaman ito ng isang sistematikong serye ng mga problema, na sinamahan ng mga paliwanag at nalutas sa pamamagitan ng pagbuo ng mga equation ng iba't ibang antas.

Kapag bumubuo ng mga equation, mahusay na pinipili ni Diophantus ang mga hindi alam upang gawing simple ang solusyon.

Narito, halimbawa, ang isa sa kanyang mga gawain.

Suliranin 11."Maghanap ng dalawang numero, alam na ang kanilang kabuuan ay 20 at ang kanilang produkto ay 96"

Ang mga dahilan ni Diophantus ay ang mga sumusunod: mula sa mga kondisyon ng problema ay sumusunod na ang mga kinakailangang numero ay hindi pantay, dahil kung sila ay pantay, kung gayon ang kanilang produkto ay hindi magiging katumbas ng 96, ngunit sa 100. Kaya, ang isa sa kanila ay higit pa sa kalahati ng kanilang kabuuan, ibig sabihin. 10 + x, ang isa ay mas mababa, i.e. 10's. Ang pagkakaiba sa pagitan nila 2x .

Kaya ang equation:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Mula rito x = 2. Ang isa sa mga kinakailangang numero ay katumbas ng 12 , iba pa 8 . Solusyon x = -2 para sa Diophantus ay hindi umiiral, dahil ang Griyego matematika alam lamang positibong numero.

Kung malulutas natin ang problemang ito sa pamamagitan ng pagpili ng isa sa mga kinakailangang numero bilang hindi alam, pagkatapos ay darating tayo sa isang solusyon sa equation

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Malinaw na sa pamamagitan ng pagpili ng kalahating pagkakaiba ng mga kinakailangang numero bilang hindi alam, pinapasimple ni Diophantus ang solusyon; nagagawa niyang bawasan ang problema sa paglutas ng hindi kumpletong quadratic equation (1).

1.3 Mga Quadratic Equation sa India

Ang mga problema sa quadratic equation ay matatagpuan na sa astronomical treatise na "Aryabhattiam", na pinagsama-sama noong 499 ng Indian mathematician at astronomer na si Aryabhatta. Binalangkas ng isa pang siyentipikong Indian, si Brahmagupta (ika-7 siglo). pangkalahatang tuntunin mga solusyon ng quadratic equation na binawasan sa iisang canonical form:

ah 2 + b x = c, a > 0. (1)

Sa equation (1), ang mga coefficient, maliban A, maaari ding maging negatibo. Ang pamumuno ni Brahmagupta ay halos pareho sa atin.

SA Sinaunang India Ang mga pampublikong kumpetisyon sa paglutas ng mahihirap na problema ay karaniwan. Ganito ang sabi ng isa sa mga lumang aklat sa India tungkol sa gayong mga kompetisyon: “Kung paanong ang araw ay naglalaho sa mga bituin sa taglay nitong kinang, gayon din aral na tao lampasan ang kaluwalhatian ng iba sa mga popular na asembliya sa pamamagitan ng pagmumungkahi at paglutas ng mga problema sa algebraic.” Ang mga suliranin ay madalas na ipinakita sa anyong patula.

Ito ay isa sa mga problema ng sikat na Indian mathematician noong ika-12 siglo. Mga Bhaskar.

Suliranin 13.

“Isang kawan ng mga malikot na unggoy, at labindalawa sa tabi ng mga baging...

Ang mga awtoridad, pagkatapos kumain, ay nagsaya. Nagsimula silang tumalon, magbitin...

Nandiyan sila sa plaza, walong bahagi. Ilang unggoy ang naroon?

Nagsasaya ako sa clearing. Sabihin mo sa akin, sa paketeng ito?

Ang solusyon ni Bhaskara ay nagpapahiwatig na alam niya na ang mga ugat ng quadratic equation ay may dalawang halaga (Fig. 3).

Ang equation na tumutugma sa problema 13 ay:

( x /8) 2 + 12 = x

Sumulat si Bhaskara sa ilalim ng pagkukunwari:

x 2 - 64x = -768

at upang umakma kaliwang bahagi ng equation na ito sa parisukat, nagdaragdag sa magkabilang panig 32 2 , pagkatapos ay makakakuha ng:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Quadratic equation sa al - Khorezmi

Sa algebraic treatise ng al-Khorezmi, isang klasipikasyon ng linear at quadratic equation ang ibinigay. Ang may-akda ay nagbibilang ng 6 na uri ng mga equation, na nagpapahayag ng mga ito bilang mga sumusunod:

1) "Ang mga parisukat ay katumbas ng mga ugat," i.e. palakol 2 + c = b X.

2) "Ang mga parisukat ay katumbas ng mga numero", i.e. palakol 2 = c.

3) "Ang mga ugat ay katumbas ng bilang," i.e. ah = s.

4) "Ang mga parisukat at numero ay katumbas ng mga ugat," i.e. palakol 2 + c = b X.

5) "Ang mga parisukat at ugat ay katumbas ng mga numero", i.e. ah 2 + bx = s.

6) "Ang mga ugat at numero ay katumbas ng mga parisukat," i.e. bx + c = palakol 2 .

Para kay al-Khorezmi, na umiwas sa paggamit ng mga negatibong numero, ang mga termino ng bawat isa sa mga equation na ito ay mga addend at hindi mga subtractable. Sa kasong ito, ang mga equation na walang positibong solusyon ay malinaw na hindi isinasaalang-alang. Ang may-akda ay nagtatakda ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation na ito gamit ang mga pamamaraan ng al-jabr at al-muqabala. Ang kanyang mga desisyon, siyempre, ay hindi ganap na tumutugma sa atin. Hindi sa banggitin na ito ay purong retorika, dapat tandaan, halimbawa, na kapag nilutas ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng unang uri

Si al-Khorezmi, tulad ng lahat ng mga mathematician bago ang ika-17 siglo, ay hindi isinasaalang-alang ang zero na solusyon, marahil dahil sa mga partikular na praktikal na problema ay hindi ito mahalaga. Kapag nilulutas ang kumpletong quadratic equation, itinakda ni al-Khorezmi ang mga patakaran para sa paglutas ng mga ito gamit ang mga partikular na halimbawang numero, at pagkatapos ay mga geometric na patunay.

Suliranin 14.“Ang parisukat at ang bilang na 21 ay katumbas ng 10 ugat. Hanapin ang ugat" (nagpapahiwatig ng ugat ng equation x 2 + 21 = 10x).

Ang solusyon ng may-akda ay ganito: hatiin ang bilang ng mga ugat sa kalahati, makakakuha ka ng 5, i-multiply ang 5 sa sarili nito, ibawas ang 21 mula sa produkto, ang natitira ay 4. Kunin ang ugat mula sa 4, makakakuha ka ng 2. Ibawas ang 2 mula sa 5 , makakakuha ka ng 3, ito ang magiging ninanais na ugat. O magdagdag ng 2 hanggang 5, na nagbibigay ng 7, ito ay ugat din.

Ang treatise ng al-Khorezmi ay ang unang libro na dumating sa amin, na sistematikong nagtatakda ng pag-uuri ng mga quadratic equation at nagbibigay ng mga formula para sa kanilang solusyon.

1.5 Quadratic equation sa Europe XIII - XVII bb

Ang mga pormula para sa paglutas ng mga quadratic equation sa mga linya ng al-Khwarizmi sa Europe ay unang itinakda sa Book of Abacus, na isinulat noong 1202 ng Italian mathematician na si Leonardo Fibonacci. Ang malaking gawaing ito, na sumasalamin sa impluwensya ng matematika, parehong mga bansang Islamiko at Sinaunang Greece, ay nakikilala sa pamamagitan ng parehong pagkakumpleto at kalinawan ng presentasyon. Ang may-akda ay nakapag-iisa na bumuo ng ilang mga bagong algebraic na halimbawa ng paglutas ng mga problema at siya ang una sa Europa na lumapit sa pagpapakilala ng mga negatibong numero. Ang kanyang libro ay nag-ambag sa paglaganap ng kaalaman sa algebraic hindi lamang sa Italya, kundi pati na rin sa Alemanya, Pransya at iba pang mga bansa sa Europa. Maraming mga problema mula sa Aklat ng Abacus ang ginamit sa halos lahat ng mga aklat-aralin sa Europa noong ika-16 - ika-17 siglo. at bahagyang XVIII.

Ang pangkalahatang tuntunin para sa paglutas ng mga quadratic equation ay binawasan sa isang solong canonical form:

x 2 + bx = c,

para sa lahat ng posibleng kumbinasyon ng mga coefficient sign b , Sa ay binuo sa Europa lamang noong 1544 ni M. Stiefel.

Derivation ng formula para sa paglutas ng isang quadratic equation sa pangkalahatang pananaw Ang Viet ay mayroon nito, ngunit ang Viet ay nakilala lamang ang mga positibong ugat. Ang mga Italian mathematician na sina Tartaglia, Cardano, Bombelli ay kabilang sa mga una noong ika-16 na siglo. Bilang karagdagan sa mga positibo, ang mga negatibong ugat ay isinasaalang-alang din. Noong ika-17 siglo lamang. Salamat sa gawain ni Girard, Descartes, Newton at iba pang mga siyentipiko, ang paraan ng paglutas ng mga quadratic equation ay tumatagal sa isang modernong anyo.

1.6 Tungkol sa teorama ni Vieta

Ang theorem na nagpapahayag ng relasyon sa pagitan ng mga coefficient ng isang quadratic equation at ang mga ugat nito, na pinangalanan sa Vieta, ay binuo niya sa unang pagkakataon noong 1591 tulad ng sumusunod: "Kung B + D, pinarami ng A - A 2 , katumbas BD, Iyon A katumbas SA at pantay D ».

Upang maunawaan ang Vieta, dapat nating tandaan iyon A, tulad ng anumang titik ng patinig, ay nangangahulugang hindi alam (aming X), patinig SA, D- coefficients para sa hindi alam. Sa wika ng modernong algebra, ang nasa itaas na pagbabalangkas ng Vieta ay nangangahulugang: kung mayroon

(isang + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Sa pagpapahayag ng ugnayan sa pagitan ng mga ugat at coefficient ng mga equation na may mga pangkalahatang formula na nakasulat gamit ang mga simbolo, itinatag ni Viète ang pagkakapareho sa mga paraan ng paglutas ng mga equation. Gayunpaman, ang simbolismo ng Viet ay malayo pa rin modernong hitsura. Hindi niya nakilala ang mga negatibong numero at samakatuwid, sa paglutas ng mga equation, isinasaalang-alang lamang niya ang mga kaso kung saan ang lahat ng mga ugat ay positibo.

2. Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation

Ang mga quadratic equation ay ang pundasyon kung saan nakasalalay ang maringal na edipisyo ng algebra. Ang mga quadratic equation ay malawakang ginagamit sa paglutas ng trigonometriko, exponential, logarithmic, irrational at transcendental equation at inequalities. Alam nating lahat kung paano lutasin ang mga quadratic equation mula sa paaralan (ika-8 baitang) hanggang sa pagtatapos.

Unang antas

Quadratic equation. Komprehensibong gabay (2019)

Sa terminong "quadratic equation," ang pangunahing salita ay "quadratic." Nangangahulugan ito na ang equation ay dapat na naglalaman ng isang variable (na parehong x) squared, at hindi dapat magkaroon ng xes sa pangatlo (o mas mataas) na kapangyarihan.

Ang solusyon ng maraming equation ay bumaba sa paglutas ng mga quadratic equation.

Alamin natin na ito ay isang quadratic equation at hindi ibang equation.

Halimbawa 1.

Alisin natin ang denominator at i-multiply ang bawat termino ng equation sa

Ilipat natin ang lahat sa kaliwang bahagi at ayusin ang mga termino sa pababang pagkakasunud-sunod ng mga kapangyarihan ng X

Ngayon ay maaari nating sabihin nang may kumpiyansa na ang equation na ito ay quadratic!

Halimbawa 2.

I-multiply natin ang kaliwa at kanang bahagi sa:

Ang equation na ito, kahit na ito ay orihinal na nasa loob nito, ay hindi quadratic!

Halimbawa 3.

I-multiply natin ang lahat sa pamamagitan ng:

Nakakatakot? Ang ika-apat at ikalawang degree... Gayunpaman, kung gagawa tayo ng kapalit, makikita natin na mayroon tayong simpleng quadratic equation:

Halimbawa 4.

Mukhang naroroon, ngunit tingnan natin nang maigi. Ilipat natin ang lahat sa kaliwang bahagi:

Tingnan, ito ay nabawasan - at ngayon ito ay isang simpleng linear equation!

Ngayon subukang tukuyin para sa iyong sarili kung alin sa mga sumusunod na equation ang quadratic at alin ang hindi:

Mga halimbawa:

Mga sagot:

parisukat;
parisukat;
hindi parisukat;
hindi parisukat;
hindi parisukat;
parisukat;
hindi parisukat;
parisukat.

Karaniwang hinahati ng mga mathematician ang lahat ng quadratic equation sa mga sumusunod na uri:

Kumpletuhin ang mga quadratic equation- mga equation kung saan ang mga coefficient at, pati na rin ang libreng termino c, ay hindi katumbas ng zero (tulad ng sa halimbawa). Bilang karagdagan, sa mga kumpletong quadratic equation ay mayroong binigay- ito ay mga equation kung saan ang coefficient (ang equation mula sa halimbawa ng isa ay hindi lamang kumpleto, ngunit nabawasan din!)

Hindi kumpletong quadratic equation- mga equation kung saan ang coefficient at o ang libreng termino c ay katumbas ng zero:
Hindi kumpleto ang mga ito dahil may nawawala silang elemento. Ngunit ang equation ay dapat palaging naglalaman ng x squared!!! Kung hindi man, hindi na ito magiging isang quadratic equation, ngunit ibang equation.

Bakit sila nagkaroon ng ganitong dibisyon? Mukhang may X squared, at okay. Ang paghahati na ito ay tinutukoy ng mga pamamaraan ng solusyon. Tingnan natin ang bawat isa sa kanila nang mas detalyado.

Paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation

Una, tumuon tayo sa paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation - mas simple ang mga ito!

May mga uri ng hindi kumpletong quadratic equation:

, sa equation na ito ang coefficient ay pantay.
, sa equation na ito ang libreng termino ay katumbas ng.
, sa equation na ito ang coefficient at ang free term ay pantay.

1. i. Alam kasi namin kung paano mag-extract Kuwadrado na ugat, pagkatapos ay ipahayag natin mula sa equation na ito

Ang expression ay maaaring negatibo o positibo. Ang isang numerong parisukat ay hindi maaaring negatibo, dahil kapag nagpaparami ng dalawang negatibo o dalawang positibong numero, ang resulta ay palaging magiging positibong numero, kaya: kung, kung gayon ang equation ay walang mga solusyon.

At kung, pagkatapos ay makakakuha tayo ng dalawang ugat. Hindi na kailangang isaulo ang mga formula na ito. Ang pangunahing bagay ay dapat mong malaman at laging tandaan na hindi ito maaaring mas mababa.

Subukan nating lutasin ang ilang halimbawa.

Halimbawa 5:

Lutasin ang equation

Ngayon ang natitira na lang ay kunin ang ugat mula sa kaliwa at kanang bahagi. Pagkatapos ng lahat, naaalala mo kung paano kunin ang mga ugat?

Sagot:

Huwag kalimutan ang tungkol sa mga ugat na may negatibong palatandaan!!!

Halimbawa 6:

Lutasin ang equation

Sagot:

Halimbawa 7:

Lutasin ang equation

Oh! Ang parisukat ng isang numero ay hindi maaaring negatibo, na nangangahulugan na ang equation

walang ugat!

Para sa mga naturang equation na walang mga ugat, ang mga mathematician ay nakabuo ng isang espesyal na icon - (empty set). At ang sagot ay maaaring isulat tulad nito:

Sagot:

Kaya, ang quadratic equation na ito ay may dalawang ugat. Walang mga paghihigpit dito, dahil hindi namin kinuha ang ugat.
Halimbawa 8:

Lutasin ang equation

Alisin natin ang karaniwang salik sa mga bracket:

kaya,

Ang equation na ito ay may dalawang ugat.

Sagot:

Ang pinakasimpleng uri ng hindi kumpletong quadratic equation (bagama't lahat sila ay simple, tama?). Malinaw, ang equation na ito ay palaging may isang ugat lamang:

Magbibigay kami ng mga halimbawa dito.

Paglutas ng kumpletong quadratic equation

Ipinapaalala namin sa iyo na ang isang kumpletong quadratic equation ay isang equation ng form equation kung saan

Ang paglutas ng kumpletong quadratic equation ay medyo mas mahirap (konti lang) kaysa sa mga ito.

Tandaan, Anumang quadratic equation ay maaaring malutas gamit ang isang discriminant! Kahit hindi kumpleto.

Ang iba pang mga pamamaraan ay makakatulong sa iyo na gawin ito nang mas mabilis, ngunit kung mayroon kang mga problema sa mga quadratic equation, master muna ang solusyon gamit ang discriminant.

1. Paglutas ng mga quadratic equation gamit ang isang discriminant.

Ang paglutas ng mga quadratic equation gamit ang pamamaraang ito ay napaka-simple, ang pangunahing bagay ay tandaan ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon at isang pares ng mga formula.

Kung, kung gayon ang equation ay may ugat. Espesyal na atensyon humakbang. Sinasabi sa atin ng discriminant () ang bilang ng mga ugat ng equation.

Kung, ang formula sa hakbang ay mababawasan sa. Kaya, ang equation ay magkakaroon lamang ng ugat.
Kung, kung gayon, hindi namin ma-extract ang ugat ng discriminant sa hakbang. Ito ay nagpapahiwatig na ang equation ay walang mga ugat.

Bumalik tayo sa ating mga equation at tingnan ang ilang mga halimbawa.

Halimbawa 9:

Lutasin ang equation

Hakbang 1 laktawan natin.

Hakbang 2.

Nakita namin ang discriminant:

Nangangahulugan ito na ang equation ay may dalawang ugat.

Hakbang 3.

Sagot:

Halimbawa 10:

Lutasin ang equation

Ang equation ay ipinakita sa karaniwang anyo, kaya Hakbang 1 laktawan natin.

Hakbang 2.

Nakita namin ang discriminant:

Nangangahulugan ito na ang equation ay may isang ugat.

Sagot:

Halimbawa 11:

Lutasin ang equation

Ang equation ay ipinakita sa karaniwang anyo, kaya Hakbang 1 laktawan natin.

Hakbang 2.

Nakita namin ang discriminant:

Nangangahulugan ito na hindi namin makukuha ang ugat ng discriminant. Walang mga ugat ng equation.

Ngayon alam na natin kung paano isulat nang tama ang mga ganoong sagot.

Sagot: walang ugat

2. Paglutas ng mga quadratic equation gamit ang Vieta's theorem.

Kung naaalala mo, mayroong isang uri ng equation na tinatawag na reduced (kapag ang coefficient a ay katumbas ng):

Ang ganitong mga equation ay napakadaling lutasin gamit ang Vieta's theorem:

Kabuuan ng mga ugat binigay ang quadratic equation ay pantay, at ang produkto ng mga ugat ay pantay.

Halimbawa 12:

Lutasin ang equation

Ang equation na ito ay maaaring malutas gamit ang Vieta's theorem dahil .

Ang kabuuan ng mga ugat ng equation ay pantay, i.e. makuha namin ang unang equation:

At ang produkto ay katumbas ng:

Bumuo tayo at lutasin ang sistema:

At. Ang halaga ay katumbas ng;
At. Ang halaga ay katumbas ng;
At. Ang halaga ay katumbas.

at ang solusyon sa system:

Sagot: ; .

Halimbawa 13:

Lutasin ang equation

Sagot:

Halimbawa 14:

Lutasin ang equation

Ang equation ay ibinigay, na nangangahulugang:

Sagot:

MGA PAQUADRATIC EQUATIONS. AVERAGE LEVEL

Ano ang isang quadratic equation?

Sa madaling salita, ang isang quadratic equation ay isang equation ng form, kung saan - ang hindi alam, - ilang mga numero, at.

Ang bilang ay tinatawag na pinakamataas o unang koepisyent quadratic equation, - pangalawang koepisyent, A - libreng miyembro.

Bakit? Dahil kung magiging linear agad ang equation, kasi mawawala.

Sa kasong ito, at maaaring katumbas ng zero. Sa upuan equation na ito ay tinatawag na hindi kumpleto. Kung ang lahat ng mga termino ay nasa lugar, iyon ay, ang equation ay kumpleto na.

Mga solusyon sa iba't ibang uri ng quadratic equation

Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation:

Una, tingnan natin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation - mas simple ang mga ito.

Maaari nating makilala ang mga sumusunod na uri ng mga equation:

I., sa equation na ito ang coefficient at ang free term ay pantay.

II. , sa equation na ito ang coefficient ay pantay.

III. , sa equation na ito ang libreng termino ay katumbas ng.

Ngayon tingnan natin ang solusyon sa bawat isa sa mga subtype na ito.

Malinaw, ang equation na ito ay palaging may isang ugat lamang:

Ang isang squared na numero ay hindi maaaring negatibo, dahil kapag nag-multiply ka ng dalawang negatibo o dalawang positibong numero, ang resulta ay palaging isang positibong numero. kaya naman:

kung, kung gayon ang equation ay walang mga solusyon;

kung mayroon tayong dalawang ugat

Hindi na kailangang isaulo ang mga formula na ito. Ang pangunahing bagay na dapat tandaan ay hindi ito maaaring mas mababa.

Mga halimbawa:

Mga solusyon:

Sagot:

Huwag kalimutan ang tungkol sa mga ugat na may negatibong tanda!

Ang parisukat ng isang numero ay hindi maaaring negatibo, na nangangahulugan na ang equation

walang ugat.

Upang maisulat sa madaling sabi na walang solusyon ang isang problema, ginagamit namin ang icon na walang laman na hanay.

Sagot:

Kaya, ang equation na ito ay may dalawang ugat: at.

Sagot:

Alisin natin ang karaniwang salik sa mga bracket:

Ang produkto ay katumbas ng zero kung hindi bababa sa isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero. Nangangahulugan ito na ang equation ay may solusyon kapag:

Kaya, ang quadratic equation na ito ay may dalawang ugat: at.

Halimbawa:

Lutasin ang equation.

Solusyon:

I-factor natin ang kaliwang bahagi ng equation at hanapin ang mga ugat:

Sagot:

Mga pamamaraan para sa paglutas ng kumpletong quadratic equation:

1. Diskriminasyon

Ang paglutas ng mga quadratic equation sa ganitong paraan ay madali, ang pangunahing bagay ay tandaan ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon at isang pares ng mga formula. Tandaan, ang anumang quadratic equation ay maaaring malutas gamit ang isang discriminant! Kahit hindi kumpleto.

Napansin mo ba ang ugat mula sa discriminant sa formula para sa mga ugat? Ngunit ang discriminant ay maaaring negatibo. Anong gagawin? Kailangan nating bigyan ng espesyal na pansin ang hakbang 2. Sinasabi sa atin ng discriminant ang bilang ng mga ugat ng equation.

Kung, kung gayon ang equation ay may mga ugat:
Kung, kung gayon ang equation ay may parehong mga ugat, at sa katunayan, isang ugat:
Ang ganitong mga ugat ay tinatawag na dobleng ugat.
Kung, kung gayon ang ugat ng discriminant ay hindi nakuha. Ito ay nagpapahiwatig na ang equation ay walang mga ugat.

Bakit posible iba't ibang dami ugat? Bumaling tayo sa geometric na kahulugan ng quadratic equation. Ang graph ng function ay isang parabola:

Sa isang espesyal na kaso, na isang quadratic equation, . Nangangahulugan ito na ang mga ugat ng isang quadratic equation ay ang mga punto ng intersection sa abscissa axis (axis). Ang isang parabola ay maaaring hindi magsalubong sa axis, o maaaring magsalubong dito sa isa (kapag ang vertex ng parabola ay nasa axis) o dalawang punto.

Bilang karagdagan, ang koepisyent ay responsable para sa direksyon ng mga sanga ng parabola. Kung, kung gayon ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta paitaas, at kung, pagkatapos ay pababa.

Mga halimbawa:

Mga solusyon:

Sagot:

Sagot: .

Sagot:

Nangangahulugan ito na walang mga solusyon.

Sagot: .

2. Vieta's theorem

Napakadaling gamitin ang theorem ng Vieta: kailangan mo lamang pumili ng isang pares ng mga numero na ang produkto ay katumbas ng libreng termino ng equation, at ang kabuuan ay katumbas ng pangalawang koepisyent na kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda.

Mahalagang tandaan na ang theorem ni Vieta ay maaari lamang ilapat sa pinababang quadratic equation ().

Tingnan natin ang ilang halimbawa:

Halimbawa #1:

Lutasin ang equation.

Solusyon:

Ang equation na ito ay maaaring malutas gamit ang Vieta's theorem dahil . Iba pang mga coefficient: ; .

Ang kabuuan ng mga ugat ng equation ay:

At ang produkto ay katumbas ng:

Pumili tayo ng mga pares ng mga numero na ang produkto ay katumbas at suriin kung ang kanilang kabuuan ay pantay:

At. Ang halaga ay katumbas ng;
At. Ang halaga ay katumbas ng;
At. Ang halaga ay katumbas.

at ang solusyon sa system:

Kaya, at ang mga ugat ng aming equation.

Sagot: ; .

Halimbawa #2:

Solusyon:

Pumili tayo ng mga pares ng mga numero na nagbibigay sa produkto, at pagkatapos ay suriin kung pantay ang kanilang kabuuan:

at: nagbibigay sila sa kabuuan.

at: nagbibigay sila sa kabuuan. Upang makuha, ito ay sapat na upang baguhin lamang ang mga palatandaan ng dapat na mga ugat: at, pagkatapos ng lahat, ang produkto.

Sagot:

Halimbawa #3:

Solusyon:

Ang libreng termino ng equation ay negatibo, at samakatuwid ang produkto ng mga ugat ay isang negatibong numero. Ito ay posible lamang kung ang isa sa mga ugat ay negatibo at ang isa ay positibo. Samakatuwid ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng pagkakaiba ng kanilang mga module.

Pumili tayo ng mga pares ng mga numero na nagbibigay sa produkto, at ang pagkakaiba ay katumbas ng:

at: ang kanilang pagkakaiba ay pantay - hindi magkasya;

at: - hindi angkop;

at: - angkop. Ang natitira na lang ay tandaan na ang isa sa mga ugat ay negatibo. Dahil ang kanilang kabuuan ay dapat na pantay, ang ugat na may mas maliit na modulus ay dapat na negatibo: . Sinusuri namin:

Sagot:

Halimbawa #4:

Lutasin ang equation.

Solusyon:

Ang equation ay ibinigay, na nangangahulugang:

Ang libreng termino ay negatibo, at samakatuwid ang produkto ng mga ugat ay negatibo. At ito ay posible lamang kapag ang isang ugat ng equation ay negatibo at ang isa ay positibo.

Pumili tayo ng mga pares ng mga numero na ang produkto ay katumbas, at pagkatapos ay tukuyin kung aling mga ugat ang dapat magkaroon ng negatibong tanda:

Malinaw, ang mga ugat lamang at angkop para sa unang kondisyon:

Sagot:

Halimbawa #5:

Lutasin ang equation.

Solusyon:

Ang equation ay ibinigay, na nangangahulugang:

Ang kabuuan ng mga ugat ay negatibo, na nangangahulugang, ayon sa kahit na, negatibo ang isa sa mga ugat. Pero dahil positive ang produkto nila, ibig sabihin may minus sign ang parehong ugat.

Pumili tayo ng mga pares ng mga numero na ang produkto ay katumbas ng:

Malinaw, ang mga ugat ay ang mga numero at.

Sagot:

Sumang-ayon, napaka-maginhawang magkaroon ng mga ugat nang pasalita, sa halip na bilangin ang masamang diskriminasyong ito. Subukang gamitin ang theorem ni Vieta nang madalas hangga't maaari.

Ngunit kailangan ang teorama ni Vieta upang mapadali at mapabilis ang paghahanap ng mga ugat. Upang makinabang ka sa paggamit nito, dapat mong dalhin ang mga aksyon sa pagiging awtomatiko. At para dito, lutasin ang limang higit pang mga halimbawa. Ngunit huwag mandaya: hindi ka maaaring gumamit ng isang discriminant! Tanging ang teorama ni Vieta:

Mga solusyon sa mga gawain para sa malayang gawain:

Gawain 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Ayon sa teorama ni Vieta:

Gaya ng dati, sinisimulan namin ang pagpili sa piraso:

Hindi angkop dahil ang dami;

: ang dami mo lang kailangan.

Sagot: ; .

Gawain 2.

At muli ang aming paboritong Vieta theorem: ang kabuuan ay dapat na pantay, at ang produkto ay dapat na pantay.

Ngunit dahil ito ay dapat na hindi, ngunit, binago natin ang mga palatandaan ng mga ugat: at (sa kabuuan).

Sagot: ; .

Gawain 3.

Hmm... Nasaan na kaya yun?

Kailangan mong ilipat ang lahat ng mga termino sa isang bahagi:

Ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng produkto.

Okay, stop! Ang equation ay hindi ibinigay. Ngunit ang teorama ni Vieta ay naaangkop lamang sa mga ibinigay na equation. Kaya kailangan mo munang magbigay ng isang equation. Kung hindi ka makapamuno, talikuran ang ideyang ito at lutasin ito sa ibang paraan (halimbawa, sa pamamagitan ng isang discriminant). Hayaan mong ipaalala ko sa iyo na ang pagbibigay ng quadratic equation ay nangangahulugan na gawing pantay ang nangungunang coefficient:

Malaki. Pagkatapos ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng at ang produkto.

Narito ito ay kasingdali ng paghihimay ng peras upang pumili: pagkatapos ng lahat, ito ay isang pangunahing numero (paumanhin para sa tautolohiya).

Sagot: ; .

Gawain 4.

Ang libreng miyembro ay negatibo. Ano ang espesyal dito? At ang katotohanan ay ang mga ugat ay magkakaroon ng iba't ibang mga palatandaan. At ngayon, sa panahon ng pagpili, hindi namin sinusuri ang kabuuan ng mga ugat, ngunit ang pagkakaiba sa kanilang mga module: ang pagkakaiba na ito ay pantay, ngunit isang produkto.

Kaya, ang mga ugat ay katumbas ng at, ngunit ang isa sa kanila ay minus. Sinasabi sa atin ng teorama ni Vieta na ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng pangalawang koepisyent na may kabaligtaran na tanda, iyon ay. Nangangahulugan ito na ang mas maliit na ugat ay magkakaroon ng minus: at, dahil.

Sagot: ; .

Gawain 5.

Ano ang dapat mong gawin muna? Tama iyon, ibigay ang equation:

Muli: pinipili namin ang mga kadahilanan ng numero, at ang kanilang pagkakaiba ay dapat na katumbas ng:

Ang mga ugat ay katumbas ng at, ngunit ang isa sa kanila ay minus. alin? Ang kanilang kabuuan ay dapat na pantay, na nangangahulugan na ang minus ay magkakaroon ng mas malaking ugat.

Sagot: ; .

Hayaan akong buod:

Ang theorem ni Vieta ay ginagamit lamang sa mga quadratic equation na ibinigay.
Gamit ang teorama ni Vieta, mahahanap mo ang mga ugat sa pamamagitan ng pagpili, pasalita.
Kung hindi ibinigay ang equation o walang nakitang equation angkop na pares multiplier ng libreng termino, na nangangahulugang walang buong ugat, at kailangan mong lutasin ito sa ibang paraan (halimbawa, sa pamamagitan ng isang discriminant).

3. Paraan para sa pagpili ng kumpletong parisukat

Kung ang lahat ng mga terminong naglalaman ng hindi alam ay kinakatawan sa anyo ng mga termino mula sa pinaikling mga formula ng multiplikasyon - ang parisukat ng kabuuan o pagkakaiba - pagkatapos ay pagkatapos palitan ang mga variable, ang equation ay maaaring iharap sa anyo ng isang hindi kumpletong quadratic equation ng uri.

Halimbawa:

Halimbawa 1:

Lutasin ang equation: .

Solusyon:

Sagot:

Halimbawa 2:

Lutasin ang equation: .

Solusyon:

Sagot:

Sa pangkalahatan, ang pagbabago ay magiging ganito:

Ito ay nagpapahiwatig: .

Hindi nagpapaalala sa iyo ng kahit ano? Ito ay isang bagay na may diskriminasyon! Iyan ay eksakto kung paano namin nakuha ang discriminant formula.

MGA PAQUADRATIC EQUATIONS. MAIKLING TUNGKOL SA MGA PANGUNAHING BAGAY

Quadratic equation- ito ay isang equation ng anyo, kung saan - ang hindi alam, - ang mga coefficient ng quadratic equation, - ang libreng termino.

Kumpletuhin ang quadratic equation- isang equation kung saan ang mga coefficient ay hindi katumbas ng zero.

Pinababang quadratic equation- isang equation kung saan ang coefficient, iyon ay: .

Hindi kumpletong quadratic equation- isang equation kung saan ang coefficient at o ang libreng termino c ay katumbas ng zero:

kung ang coefficient, ang equation ay mukhang: ,
kung mayroong isang libreng termino, ang equation ay may anyo: ,
kung at, ang equation ay mukhang: .

1. Algorithm para sa paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation

1.1. Isang hindi kumpletong quadratic equation ng form, kung saan, :

1) Ipahayag natin ang hindi alam: ,

2) Suriin ang tanda ng expression:

kung, kung gayon ang equation ay walang mga solusyon,
kung, kung gayon ang equation ay may dalawang ugat.

1.2. Isang hindi kumpletong quadratic equation ng form, kung saan, :

1) Alisin natin ang karaniwang salik sa mga bracket: ,

2) Ang produkto ay katumbas ng zero kung hindi bababa sa isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero. Samakatuwid, ang equation ay may dalawang ugat:

1.3. Isang hindi kumpletong quadratic equation ng form, kung saan:

Ang equation na ito ay palaging may isang ugat lamang: .

2. Algorithm para sa paglutas ng kumpletong quadratic equation ng form kung saan

2.1. Solusyon gamit ang discriminant

1) Dalhin natin ang equation sa karaniwang anyo: ,

2) Kalkulahin natin ang discriminant gamit ang formula: , na nagpapahiwatig ng bilang ng mga ugat ng equation:

3) Hanapin ang mga ugat ng equation:

kung, kung gayon ang equation ay may mga ugat, na matatagpuan sa pamamagitan ng formula:
kung, kung gayon ang equation ay may ugat, na matatagpuan sa pamamagitan ng formula:
kung, kung gayon ang equation ay walang mga ugat.

2.2. Solusyon gamit ang teorama ni Vieta

Ang kabuuan ng mga ugat ng pinababang quadratic equation (equation ng form kung saan) ay pantay, at ang produkto ng mga ugat ay pantay, i.e. , A.

2.3. Solusyon sa pamamagitan ng paraan ng pagpili ng isang kumpletong parisukat

Ang paksang ito ay maaaring mukhang kumplikado sa simula dahil sa maraming hindi gaanong simpleng mga formula. Hindi lamang ang mga quadratic equation mismo ay may mahabang notasyon, ngunit ang mga ugat ay matatagpuan din sa pamamagitan ng discriminant. Sa kabuuan, tatlong bagong formula ang nakuha. Hindi masyadong madaling tandaan. Ito ay posible lamang pagkatapos malutas ang mga naturang equation nang madalas. Pagkatapos ang lahat ng mga formula ay maaalala ng kanilang mga sarili.

Pangkalahatang view ng isang quadratic equation

Dito namin iminumungkahi ang kanilang tahasang pag-record, kapag ang pinaka mataas na antas unang nakasulat, at pagkatapos ay sa pababang pagkakasunud-sunod. Kadalasan mayroong mga sitwasyon kung saan ang mga tuntunin ay hindi naaayon. Pagkatapos ay mas mahusay na muling isulat ang equation sa pababang pagkakasunud-sunod ng antas ng variable.

Ipakilala natin ang ilang notasyon. Ang mga ito ay ipinakita sa talahanayan sa ibaba.

Kung tatanggapin namin ang mga notasyong ito, ang lahat ng mga quadratic equation ay mababawasan sa sumusunod na notasyon.

Bukod dito, ang koepisyent a ≠ 0. Hayaang ang formula na ito ay italaga bilang numero uno.

Kapag ibinigay ang isang equation, hindi malinaw kung gaano karaming mga ugat ang magkakaroon sa sagot. Dahil laging posible ang isa sa tatlong opsyon:

ang solusyon ay magkakaroon ng dalawang ugat;
ang sagot ay isang numero;
ang equation ay walang mga ugat sa lahat.

At hanggang sa ma-finalize ang desisyon, mahirap maunawaan kung aling opsyon ang lalabas sa isang partikular na kaso.

Mga uri ng pag-record ng mga quadratic equation

Maaaring may iba't ibang mga entry sa mga gawain. Hindi sila palaging magiging kamukha pangkalahatang pormula quadratic equation. Minsan ito ay nawawala ang ilang mga termino. Ang nakasulat sa itaas ay kumpletong equation. Kung aalisin mo ang pangalawa o pangatlong termino dito, makakakuha ka ng iba. Ang mga talaang ito ay tinatawag ding mga quadratic equation, hindi kumpleto lamang.

Bukod dito, ang mga termino lamang na may mga coefficient na "b" at "c" ang maaaring mawala. Ang numerong "a" ay hindi maaaring katumbas ng zero sa anumang pagkakataon. Dahil sa kasong ito ang formula ay nagiging isang linear equation. Ang mga formula para sa hindi kumpletong anyo ng mga equation ay ang mga sumusunod:

Kaya, mayroon lamang dalawang uri; bilang karagdagan sa mga kumpleto, mayroon ding mga hindi kumpletong quadratic equation. Hayaang ang unang formula ay numero dalawa, at ang pangalawa - tatlo.

Diskriminasyon at pag-asa ng bilang ng mga ugat sa halaga nito

Kailangan mong malaman ang numerong ito upang makalkula ang mga ugat ng equation. Maaari itong palaging kalkulahin, kahit na ano ang formula ng quadratic equation. Upang makalkula ang discriminant, kailangan mong gamitin ang pagkakapantay-pantay na nakasulat sa ibaba, na magkakaroon ng numero apat.

Pagkatapos palitan ang mga halaga ng koepisyent sa formula na ito, maaari kang makakuha ng mga numero gamit ang iba't ibang palatandaan. Kung oo ang sagot, ang sagot sa equation ay dalawang magkaibang ugat. Kung negatibo ang numero, walang magiging ugat ng quadratic equation. Kung ito ay katumbas ng zero, magkakaroon lamang ng isang sagot.

Paano malutas ang isang kumpletong quadratic equation?

Sa katunayan, ang pagsasaalang-alang sa isyung ito ay nagsimula na. Dahil kailangan mo munang humanap ng discriminant. Matapos matukoy na may mga ugat ng quadratic equation, at ang kanilang numero ay kilala, kailangan mong gumamit ng mga formula para sa mga variable. Kung mayroong dalawang ugat, kailangan mong ilapat ang sumusunod na formula.

Dahil naglalaman ito ng tanda na "±", magkakaroon ng dalawang kahulugan. Ang ekspresyon sa ilalim ng square root sign ay ang discriminant. Samakatuwid, ang formula ay maaaring muling isulat sa ibang paraan.

Limang formula. Mula sa parehong talaan ay malinaw na kung ang discriminant ay katumbas ng zero, ang parehong mga ugat ay kukuha ng parehong mga halaga.

Kung ang paglutas ng mga quadratic equation ay hindi pa nagagawa, mas mahusay na isulat ang mga halaga ng lahat ng mga coefficient bago ilapat ang mga discriminant at variable na mga formula. Sa ibang pagkakataon ang sandaling ito ay hindi magiging sanhi ng mga paghihirap. Ngunit sa umpisa pa lang ay may pagkalito.

Paano malutas ang isang hindi kumpletong quadratic equation?

Ang lahat ay mas simple dito. Hindi na kailangan ng karagdagang mga formula. At ang mga naisulat na para sa discriminant at hindi kilala ay hindi na kakailanganin.

Una, tingnan natin ang hindi kumpletong equation number two. Sa pagkakapantay-pantay na ito, kinakailangan na alisin ang hindi kilalang dami sa mga bracket at lutasin ang linear equation, na mananatili sa mga bracket. Ang sagot ay magkakaroon ng dalawang ugat. Ang una ay kinakailangang katumbas ng zero, dahil mayroong isang multiplier na binubuo ng variable mismo. Ang pangalawa ay makukuha sa pamamagitan ng paglutas ng isang linear equation.

Ang hindi kumpletong equation number three ay nalulutas sa pamamagitan ng paglipat ng numero mula sa kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay sa kanan. Pagkatapos ay kailangan mong hatiin sa pamamagitan ng koepisyent na nakaharap sa hindi alam. Ang natitira na lang ay kunin ang square root at tandaan na isulat ito ng dalawang beses na may kabaligtaran na mga palatandaan.

Nasa ibaba ang ilang hakbang na tutulong sa iyong matutunan kung paano lutasin ang lahat ng uri ng equalities na nagiging quadratic equation. Tutulungan nila ang mag-aaral na maiwasan ang mga pagkakamali dahil sa kawalan ng pansin. Ang mga pagkukulang na ito ay maaaring magdulot ng mahinang mga marka kapag pinag-aaralan ang malawak na paksang “Quadratic Equation (8th Grade).” Kasunod nito, ang mga pagkilos na ito ay hindi kailangang isagawa nang palagian. Dahil lalabas ang isang matatag na kasanayan.

Una kailangan mong isulat ang equation sa karaniwang anyo. Iyon ay, una ang termino na may pinakamalaking antas ng variable, at pagkatapos - walang degree, at huli - isang numero lamang.

Kung lumilitaw ang isang minus bago ang koepisyent na "a", maaari nitong gawing kumplikado ang gawain para sa isang baguhan na nag-aaral ng mga quadratic equation. Mas mabuting tanggalin na ito. Para sa layuning ito, ang lahat ng pagkakapantay-pantay ay dapat na i-multiply sa "-1". Nangangahulugan ito na ang lahat ng mga termino ay magbabago ng sign sa kabaligtaran.

Inirerekomenda na tanggalin ang mga fraction sa parehong paraan. I-multiply lamang ang equation sa naaangkop na salik upang makansela ang mga denominador.

Mga halimbawa

Kinakailangang lutasin ang mga sumusunod na quadratic equation:

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Ang unang equation: x 2 − 7x = 0. Ito ay hindi kumpleto, samakatuwid ito ay nalutas tulad ng inilarawan para sa formula number two.

Pagkatapos alisin ito sa mga bracket, lumalabas na: x (x - 7) = 0.

Ang unang ugat ay tumatagal ng halaga: x 1 = 0. Ang pangalawa ay makikita mula sa linear equation: x - 7 = 0. Madaling makita na x 2 = 7.

Pangalawang equation: 5x 2 + 30 = 0. Muli ay hindi kumpleto. Tanging ito ay nalutas tulad ng inilarawan para sa ikatlong formula.

Pagkatapos ilipat ang 30 sa kanang bahagi ng equation: 5x 2 = 30. Ngayon ay kailangan mong hatiin sa 5. Ito ay lumabas na: x 2 = 6. Ang mga sagot ay ang mga numero: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Ang ikatlong equation: 15 − 2х − x 2 = 0. Dito at higit pa, ang paglutas ng mga quadratic equation ay magsisimula sa kanilang muling pagsulat sa karaniwang view: − x 2 − 2x + 15 = 0. Oras na para gamitin ang pangalawa kapaki-pakinabang na payo at i-multiply ang lahat sa minus one. Lumalabas na x 2 + 2x - 15 = 0. Gamit ang ikaapat na formula, kailangan mong kalkulahin ang discriminant: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Isa itong positibong numero. Mula sa sinabi sa itaas, lumalabas na ang equation ay may dalawang ugat. Kailangang kalkulahin ang mga ito gamit ang ikalimang formula. Lumalabas na x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Pagkatapos x 1 = 3, x 2 = - 5.

Ang ikaapat na equation x 2 + 8 + 3x = 0 ay binago sa ganito: x 2 + 3x + 8 = 0. Ang discriminant nito ay katumbas ng halagang ito: -23. Dahil negatibo ang numerong ito, ang sagot sa gawaing ito ay ang sumusunod na entry: "Walang mga ugat."

Ang ikalimang equation na 12x + x 2 + 36 = 0 ay dapat na muling isulat tulad ng sumusunod: x 2 + 12x + 36 = 0. Pagkatapos ilapat ang formula para sa discriminant, ang numerong zero ay nakuha. Nangangahulugan ito na magkakaroon ito ng isang ugat, ibig sabihin: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Ang ikaanim na equation (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) ay nangangailangan ng mga pagbabago, na binubuo sa katotohanan na kailangan mong magdala ng mga katulad na termino, unang buksan ang mga bracket. Sa halip ng una ay magkakaroon ng sumusunod na expression: x 2 + 2x + 1. Pagkatapos ng pagkakapantay-pantay, lalabas ang entry na ito: x 2 + 3x + 2. Pagkatapos mabilang ang mga katulad na termino, ang equation ay kukuha ng anyo: x 2 - x = 0. Ito ay naging hindi kumpleto . Ang isang bagay na katulad nito ay napag-usapan nang mas mataas. Ang magiging ugat nito ay ang mga numerong 0 at 1.

Mga formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation. Ang mga kaso ng tunay, maramihang at kumplikadong mga ugat ay isinasaalang-alang. Pag-factor ng isang quadratic trinomial. Geometric na interpretasyon. Mga halimbawa ng pagtukoy ng mga ugat at factoring.

Mga pangunahing formula

Isaalang-alang ang quadratic equation:
(1) .
Mga ugat ng isang quadratic equation(1) ay tinutukoy ng mga formula:
; .
Ang mga formula na ito ay maaaring pagsamahin tulad nito:
.
Kapag ang mga ugat ng isang quadratic equation ay kilala, ang isang polynomial ng pangalawang degree ay maaaring katawanin bilang isang produkto ng mga kadahilanan (factored):
.

Susunod na ipinapalagay namin na mga tunay na numero.
Isaalang-alang natin discriminant ng isang quadratic equation:
.
Kung positibo ang discriminant, ang quadratic equation (1) ay may dalawang magkaibang tunay na ugat:
; .
Pagkatapos ang factorization ng quadratic trinomial ay may anyo:
.
Kung ang discriminant ay katumbas ng zero, kung gayon ang quadratic equation (1) ay mayroong dalawang multiple (equal) real roots:
.
Factorization:
.
Kung negatibo ang discriminant, ang quadratic equation (1) ay may dalawang kumplikadong conjugate roots:
;
.
Narito ang haka-haka na yunit, ;
at ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng mga ugat:
; .
Pagkatapos

.

Graphic na interpretasyon

Kung magtatayo ka graph ng isang function
,
na isang parabola, kung gayon ang mga punto ng intersection ng graph na may axis ay magiging mga ugat ng equation
.
Sa , ang graph ay nag-intersect sa x-axis (axis) sa dalawang punto.
Kapag , hinawakan ng graph ang x-axis sa isang punto.
Kapag , hindi tumatawid ang graph sa x-axis.

Nasa ibaba ang mga halimbawa ng naturang mga graph.

Mga kapaki-pakinabang na formula na nauugnay sa quadratic equation

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Derivation ng formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation

Nagsasagawa kami ng mga pagbabagong-anyo at naglalapat ng mga formula (f.1) at (f.3):

,
saan
; .

Kaya, nakuha namin ang formula para sa isang polynomial ng pangalawang degree sa form:
.
Ito ay nagpapakita na ang equation

ginanap sa
At .
Iyon ay, at ang mga ugat ng quadratic equation
.

Mga halimbawa ng pagtukoy sa mga ugat ng isang quadratic equation

Halimbawa 1

(1.1) .

Solusyon

.
Ang paghahambing sa aming equation (1.1), nakita namin ang mga halaga ng mga coefficient:
.
Nakita namin ang discriminant:
.
Dahil ang discriminant ay positibo, ang equation ay may dalawang tunay na ugat:
;
;
.

Mula dito nakukuha natin ang factorization ng quadratic trinomial:

.

Graph ng function na y = 2 x 2 + 7 x + 3 nag-intersect sa x-axis sa dalawang punto.

I-plot natin ang function
.
Ang graph ng function na ito ay isang parabola. Tinatawid nito ang abscissa axis (axis) sa dalawang punto:
At .
Ang mga puntong ito ay ang mga ugat ng orihinal na equation (1.1).

Sagot

;
;
.

Halimbawa 2

Hanapin ang mga ugat ng isang quadratic equation:
(2.1) .

Solusyon

Isulat natin ang quadratic equation sa pangkalahatang anyo:
.
Ang paghahambing sa orihinal na equation (2.1), nakita namin ang mga halaga ng mga coefficient:
.
Nakita namin ang discriminant:
.
Dahil ang discriminant ay zero, ang equation ay may dalawang maramihang (pantay) na ugat:
;
.

Pagkatapos ang factorization ng trinomial ay may anyo:
.

Graph ng function na y = x 2 - 4 x + 4 hinawakan ang x-axis sa isang punto.

I-plot natin ang function
.
Ang graph ng function na ito ay isang parabola. Hinahawakan nito ang x-axis (axis) sa isang punto:
.
Ang puntong ito ay ang ugat ng orihinal na equation (2.1). Dahil ang ugat na ito ay isinasali nang dalawang beses:
,
kung gayon ang gayong ugat ay karaniwang tinatawag na maramihan. Iyon ay, naniniwala sila na mayroong dalawang pantay na ugat:
.

Sagot

;
.

Halimbawa 3

Hanapin ang mga ugat ng isang quadratic equation:
(3.1) .

Solusyon

Isulat natin ang quadratic equation sa pangkalahatang anyo:
(1) .
Isulat muli natin ang orihinal na equation (3.1):
.
Ang paghahambing sa (1), nakita namin ang mga halaga ng mga coefficient:
.
Nakita namin ang discriminant:
.
Ang discriminant ay negatibo, . Samakatuwid walang tunay na mga ugat.

Makakahanap ka ng mga kumplikadong ugat:
;
;
.

Pagkatapos

.

Ang graph ng function ay hindi tumatawid sa x-axis. Walang tunay na ugat.

I-plot natin ang function
.
Ang graph ng function na ito ay isang parabola. Hindi ito bumalandra sa x-axis (axis). Samakatuwid walang tunay na mga ugat.

Sagot

Walang tunay na ugat. Mga kumplikadong ugat:
;
;
.