Ano ang ibig sabihin ng mabulok sa pangunahing mga kadahilanan? Paano ito gagawin? Ano ang matututuhan mo sa pag-factor ng isang numero sa prime factor? Ang mga sagot sa mga tanong na ito ay inilalarawan ng mga tiyak na halimbawa.

Mga Kahulugan:

Ang isang numero na may eksaktong dalawang magkaibang divisors ay tinatawag na prime.

Ang isang numero na mayroong higit sa dalawang divisors ay tinatawag na composite.

Palawakin natural na numero ang ibig sabihin ng factor ay kumakatawan dito bilang produkto ng mga natural na numero.

Ang pagsasaalang-alang ng isang natural na numero sa mga pangunahing kadahilanan ay nangangahulugan na kinakatawan ito bilang isang produkto ng mga pangunahing numero.

Mga Tala:

• Sa decomposition ng isang prime number, ang isa sa mga salik ay katumbas ng isa, at ang isa ay katumbas ng numero mismo.
• Walang saysay na pag-usapan ang factoring unity.
• Ang isang pinagsama-samang numero ay maaaring isaalang-alang sa mga kadahilanan, na ang bawat isa ay naiiba sa 1.

	I-factor natin ang bilang na 150. Halimbawa, ang 150 ay 15 beses na 10. Ang 15 ay isang pinagsama-samang numero. Maaari itong mai-factor sa prime factor ng 5 at 3. Ang 10 ay isang pinagsama-samang numero. Maaari itong mai-factor sa prime factor ng 5 at 2. Sa pamamagitan ng pagsulat ng kanilang mga decomposition sa prime factor sa halip na 15 at 10, nakuha namin ang decomposition ng numerong 150.
	Ang bilang na 150 ay maaaring i-factor sa ibang paraan. Halimbawa, ang 150 ay ang produkto ng mga numerong 5 at 30. Ang 5 ay isang pangunahing numero. Ang 30 ay isang pinagsama-samang numero. Maaari itong isipin bilang produkto ng 10 at 3. Ang 10 ay isang pinagsama-samang numero. Maaari itong mai-factor sa prime factor ng 5 at 2. Nakuha namin ang factorization ng 150 sa prime factor sa ibang paraan.
	Tandaan na ang una at pangalawang pagpapalawak ay pareho. Nag-iiba lamang sila sa pagkakasunud-sunod ng mga kadahilanan. Nakaugalian na ang pagsulat ng mga kadahilanan sa pataas na pagkakasunud-sunod.
Ang bawat pinagsama-samang numero ay maaaring i-factor sa mga pangunahing kadahilanan sa isang natatanging paraan, hanggang sa pagkakasunud-sunod ng mga kadahilanan.

Sa panahon ng agnas malalaking numero Para sa mga pangunahing salik, gamitin ang notasyon ng hanay:

	Ang pinakamaliit na prime number na nahahati sa 216 ay 2. Hatiin ang 216 sa 2. Nakukuha natin ang 108.
	Ang resultang numero 108 ay nahahati sa 2. Gawin natin ang paghahati. Ang resulta ay 54.
	Ayon sa pagsubok ng divisibility ng 2, ang bilang na 54 ay nahahati ng 2. Pagkatapos hatiin, nakakuha tayo ng 27.
	Ang numero 27 ay nagtatapos sa kakaibang digit na 7. Ito Hindi nahahati ng 2. Ang susunod na prime number ay 3. Hatiin ang 27 sa 3. Nakukuha namin ang 9. Pinakamababang prime Ang bilang na hinati ng 9 ay 3. Tatlo ang sarili nito pangunahing numero, ito ay nahahati sa sarili at ng isa. Hatiin natin ang 3 sa ating sarili. Sa huli nakakuha kami ng 1.

• Ang isang numero ay nahahati lamang sa mga prime number na bahagi ng pagkabulok nito.
• Ang bilang ay nahahati lamang ng mga iyon pinagsama-samang mga numero, ang agnas na kung saan sa mga pangunahing kadahilanan ay ganap na nakapaloob dito.

Tingnan natin ang mga halimbawa:

	Ang 4900 ay nahahati sa mga pangunahing numero 2, 5 at 7 (kasama sila sa pagpapalawak ng bilang na 4900), ngunit hindi nahahati ng, halimbawa, 13.
	11 550 75. Ito ay dahil ang agnas ng numerong 75 ay ganap na nakapaloob sa agnas ng numerong 11550. Ang resulta ng paghahati ay magiging produkto ng mga salik 2, 7 at 11. Ang 11550 ay hindi nahahati ng 4 dahil may dagdag na dalawa sa pagpapalawak ng apat.

Hanapin ang quotient ng paghahati ng numero a sa bilang b, kung ang mga numerong ito ay nabubulok sa prime factor gaya ng sumusunod: a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

	Ang agnas ng bilang b ay ganap na nakapaloob sa agnas ng bilang a.
	Ang resulta ng paghahati ng a sa b ay ang produkto ng tatlong numero na natitira sa pagpapalawak ng a. Kaya ang sagot ay: 30.

Bibliograpiya

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Mathematics ika-6 na baitang. - Gymnasium. 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Sa likod ng mga pahina ng isang aklat-aralin sa matematika. - M.: Edukasyon, 1989.
4. Rurukin A.N., Tchaikovsky I.V. Mga takdang-aralin para sa kursong matematika para sa mga baitang 5-6. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Matematika 5-6. Isang manwal para sa mga mag-aaral sa ika-6 na baitang sa MEPhI correspondence school. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Mathematics: Textbook-interlocutor para sa 5-6 na baitang ng sekondaryang paaralan. - M.: Edukasyon, Aklatan ng Guro sa Matematika, 1989.

1. Internet portal Matematika-na.ru ().
2. Internet portal Math-portal.ru ().

Takdang aralin

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Mathematics 6. - M.: Mnemosyne, 2012. No. 127, No. 129, No. 141.
2. Iba pang mga gawain: No. 133, No. 144.

Ang online na calculator nabubulok ang mga numero sa prime factor sa pamamagitan ng pag-enumerate ng prime factor. Kung malaki ang numero, para sa kadalian ng pagtatanghal, gumamit ng digit na separator.

Ang resulta ay natanggap na!

Pag-factor ng isang numero sa mga pangunahing kadahilanan - teorya, algorithm, mga halimbawa at solusyon

Isa sa mga pinakasimpleng paraan upang i-factor ang isang numero ay ang pagsuri kung ang numero ay nahahati sa 2, 3, 5,... atbp., i.e. suriin kung ang isang numero ay nahahati sa isang serye ng mga pangunahing numero. Kung ang bilang n ay hindi nahahati sa anumang prime number hanggang sa , kung gayon ang numerong ito ay prime, dahil kung ang bilang ay pinagsama-sama, kung gayon mayroon ito kahit na dalawang mga kadahilanan at pareho sa mga ito ay hindi maaaring maging mas malaki.

Isipin natin ang algorithm ng decomposition ng numero n sa pangunahing mga kadahilanan. Maghanda tayo ng isang talahanayan ng mga prime number nang maaga s=. Tukuyin natin ang isang serye ng mga prime number sa pamamagitan ng p 1 , p 2 , p 3 , ...

Algorithm para sa pag-decompose ng isang numero sa mga pangunahing kadahilanan:

Halimbawa 1. I-factor ang numerong 153 sa prime factors.

Solusyon. Ito ay sapat na para sa amin na magkaroon ng isang talahanayan ng mga prime number hanggang sa , ibig sabihin. 2, 3, 5, 7, 11.

Hatiin ang 153 sa 2. Ang 153 ay hindi mahahati ng 2 nang walang nalalabi. Susunod, hatiin ang 153 sa susunod na elemento ng talahanayan ng mga prime number, i.e. sa 3. 153:3=51. Punan ang talahanayan:

Susunod, tinitingnan namin kung ang numero 17 ay nahahati sa 3. Ang numero 17 ay hindi nahahati ng 3. Hindi ito nahahati sa mga numero 5, 7, 11. Ang susunod na divisor ay mas malaki . Samakatuwid, ang 17 ay isang prime number na nahahati lamang sa sarili nito: 17:17=1. Ang pamamaraan ay tumigil. punan ang talahanayan:

Pinipili namin ang mga divisors kung saan ang mga numero 153, 51, 17 ay nahahati nang walang natitira, i.e. lahat ng mga numero mula sa kanang bahagi mga mesa. Ito ang mga divisors 3, 3, 17. Ngayon ang bilang na 153 ay maaaring katawanin bilang isang produkto ng mga prime number: 153=3·3·17.

Halimbawa 2. I-factor ang bilang 137 sa prime factors.

Solusyon. Kinakalkula namin . Nangangahulugan ito na kailangan nating suriin ang divisibility ng numerong 137 sa pamamagitan ng mga prime number hanggang 11: 2,3,5,7,11. Sa pamamagitan ng paghahati ng numerong 137 sa mga numerong ito nang paisa-isa, nalaman natin na ang bilang na 137 ay hindi nahahati sa alinman sa mga numerong 2,3,5,7,11. Samakatuwid ang 137 ay isang pangunahing numero.

Ang artikulong ito ay nagbibigay ng mga sagot sa tanong ng pag-factor ng isang numero sa isang sheet. Isaalang-alang natin Pangkalahatang ideya tungkol sa agnas na may mga halimbawa. Suriin natin ang kanonikal na anyo ng pagpapalawak at ang algorithm nito. Lahat ay isasaalang-alang mga alternatibong paraan gamit ang mga divisibility sign at multiplication table.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ano ang ibig sabihin ng pag-factor ng isang numero sa prime factor?

Tingnan natin ang konsepto ng pangunahing mga kadahilanan. Ito ay kilala na ang bawat prime factor ay isang prime number. Sa isang produkto ng form 2 · 7 · 7 · 23 mayroon kaming 4 na pangunahing kadahilanan sa form 2, 7, 7, 23.

Ang factorization ay kinabibilangan ng representasyon nito sa anyo ng mga produkto ng primes. Kung kailangan nating i-decompose ang numerong 30, makakakuha tayo ng 2, 3, 5. Ang entry ay kukuha ng form 30 = 2 · 3 · 5. Posible na ang mga multiplier ay maaaring maulit. Ang isang numero tulad ng 144 ay may 144 = 2 2 2 2 3 3.

Hindi lahat ng numero ay madaling mabulok. Maaaring i-factorize ang mga numerong mas malaki sa 1 at mga integer. Ang mga pangunahing numero, kapag naka-factor, ay nahahati lamang ng 1 at ng kanilang mga sarili, kaya imposibleng katawanin ang mga numerong ito bilang isang produkto.

Kapag ang z ay tumutukoy sa mga integer, ito ay kinakatawan bilang isang produkto ng a at b, kung saan ang z ay hinati ng a at b. Ang mga composite na numero ay isinasali gamit ang pangunahing teorama ng arithmetic. Kung ang bilang ay mas malaki kaysa sa 1, kung gayon ang factorization nito p 1, p 2, ..., p n ay nasa anyong a = p 1 , p 2 , … , p n . Ang agnas ay ipinapalagay na nasa iisang variant.

Canonical factorization ng isang numero sa prime factor

Sa panahon ng pagpapalawak, ang mga kadahilanan ay maaaring ulitin. Ang mga ito ay nakasulat nang compact gamit ang mga degree. Kung, kapag nabubulok ang bilang a, mayroon tayong factor p 1, na nangyayari s 1 beses at iba pa p n – s n beses. Kaya ang pagpapalawak ay kukuha ng anyo a=p 1 s 1 · a = p 1 s 1 · p 2 s 2 · … · p n s n. Ang entry na ito ay tinatawag na canonical factorization ng isang numero sa prime factor.

Kapag pinalawak ang bilang na 609840, nakukuha natin na 609 840 = 2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, ang canonical form nito ay magiging 609 840 = 2 4 3 2 5 7 11 2. Gamit ang canonical expansion, mahahanap mo ang lahat ng divisors ng isang numero at ang kanilang numero.

Upang ma-factorize nang tama, kailangan mong magkaroon ng pag-unawa sa prime at composite na mga numero. Ang punto ay upang makakuha ng sunud-sunod na bilang ng mga divisors ng form p 1, p 2, ..., p n numero a , a 1 , a 2 , … , a n - 1, ginagawa nitong posible na makuha a = p 1 a 1, kung saan ang a 1 = a: p 1 , a = p 1 · a 1 = p 1 · p 2 · a 2 , kung saan ang a 2 = a 1: p 2 , … , a = p 1 · p 2 · … · p n · a n , kung saan a n = a n - 1: p n. Pagkatanggap a n = 1, pagkatapos ay ang pagkakapantay-pantay a = p 1 · p 2 · … · p n nakukuha natin ang kinakailangang agnas ng bilang a sa prime factor. pansinin mo yan p 1 ≤ p 2 ≤ p 3 ≤ … ≤ p n.

Upang makahanap ng hindi gaanong karaniwang mga kadahilanan, kailangan mong gumamit ng talahanayan ng mga prime number. Ginagawa ito gamit ang halimbawa ng paghahanap ng pinakamaliit na prime divisor ng numerong z. Kapag kumukuha ng mga pangunahing numero 2, 3, 5, 11 at iba pa, at hinahati ang bilang na z sa kanila. Dahil ang z ay hindi isang prime number, dapat itong isaalang-alang na ang pinakamaliit na prime divisor ay hindi hihigit sa z. Makikita na walang mga divisors ng z, pagkatapos ay malinaw na ang z ay isang prime number.

Halimbawa 1

Tingnan natin ang halimbawa ng numerong 87. Kapag ito ay hinati sa 2, mayroon tayong 87: 2 = 43 na may natitirang 1. Ito ay sumusunod na ang 2 ay hindi maaaring maging isang divisor; ang paghahati ay dapat gawin nang buo. Kapag hinati sa 3, makukuha natin na 87: 3 = 29. Kaya ang konklusyon ay ang 3 ay ang pinakamaliit na prime divisor ng numerong 87.

Kapag nagsasaalang-alang sa mga pangunahing kadahilanan, dapat kang gumamit ng isang talaan ng mga pangunahing numero, kung saan a. Kapag nagfa-factor ng 95, dapat kang gumamit ng humigit-kumulang 10 prime, at kapag nagfa-factor ng 846653, mga 1000.

Isaalang-alang natin ang algorithm ng decomposition sa mga pangunahing kadahilanan:

• paghahanap ng pinakamaliit na salik ng divisor p 1 ng isang numero a sa pamamagitan ng formula na a 1 = a: p 1, kapag ang a 1 = 1, ang a ay isang prime number at kasama sa factorization, kapag hindi katumbas ng 1, pagkatapos ay a = p 1 · a 1 at sundin sa punto sa ibaba;
• paghahanap ng prime divisor p 2 ng isang numero a 1 sa pamamagitan ng sunud-sunod na pagbilang ng mga prime number gamit ang 2 = a 1: p 2 , kapag ang 2 = 1 , pagkatapos ang pagpapalawak ay kukuha ng anyong a = p 1 p 2 , kapag a 2 = 1, pagkatapos ay a = p 1 p 2 a 2 , at magpatuloy tayo sa susunod na hakbang;
• paghahanap sa pamamagitan ng mga prime number at paghahanap ng prime divisor p 3 numero a 2 ayon sa formula a 3 = a 2: p 3 kapag a 3 = 1 , pagkatapos ay makuha natin na a = p 1 p 2 p 3 , kapag hindi katumbas ng 1, a = p 1 p 2 p 3 a 3 at magpatuloy sa susunod na hakbang;
• matatagpuan ang pangunahing divisor p n numero isang n - 1 sa pamamagitan ng pagbilang ng mga prime number na may pn - 1, at a n = a n - 1: p n, kung saan ang a n = 1, ang hakbang ay pangwakas, bilang resulta ay nakukuha namin na a = p 1 · p 2 · … · p n .

Ang resulta ng algorithm ay nakasulat sa anyo ng isang talahanayan na may mga nabubulok na kadahilanan na may isang patayong bar na sunud-sunod sa isang haligi. Isaalang-alang ang figure sa ibaba.

Ang resultang algorithm ay maaaring ilapat sa pamamagitan ng pag-decomposing ng mga numero sa mga pangunahing kadahilanan.

Kapag nagsasaalang-alang sa mga pangunahing kadahilanan, ang pangunahing algorithm ay dapat sundin.

Halimbawa 2

I-factor ang bilang na 78 sa prime factor.

Solusyon

Upang mahanap ang pinakamaliit na prime divisor, kailangan mong dumaan sa lahat ng prime number sa 78. Iyon ay 78: 2 = 39. Ang dibisyon na walang natitira ay nangangahulugan na ito ang unang simpleng divisor, na tinutukoy namin bilang p 1. Nakukuha natin na a 1 = a: p 1 = 78: 2 = 39. Nakarating kami sa isang pagkakapantay-pantay ng form a = p 1 · a 1 , kung saan 78 = 2 39. Pagkatapos ay isang 1 = 39, ibig sabihin, dapat tayong magpatuloy sa susunod na hakbang.

Mag-focus tayo sa paghahanap ng prime divisor p2 numero a 1 = 39. Dapat kang dumaan sa mga pangunahing numero, iyon ay, 39: 2 = 19 (natitirang 1). Dahil ang paghahati na may natitira, ang 2 ay hindi isang divisor. Kapag pumipili ng numero 3, nakukuha natin na 39: 3 = 13. Nangangahulugan ito na ang p 2 = 3 ay ang pinakamaliit na prime divisor ng 39 ng isang 2 = a 1: p 2 = 39: 3 = 13. Nakukuha namin ang pagkakapantay-pantay ng form a = p 1 p 2 a 2 sa anyong 78 = 2 3 13. Mayroon tayong 2 = 13 ay hindi katumbas ng 1, kung gayon dapat tayong magpatuloy.

Ang pinakamaliit na prime divisor ng numerong a 2 = 13 ay matatagpuan sa pamamagitan ng paghahanap sa mga numero, simula sa 3. Nakukuha namin na 13: 3 = 4 (natitirang 1). Mula dito makikita natin na ang 13 ay hindi nahahati ng 5, 7, 11, dahil 13: 5 = 2 (pahinga. 3), 13: 7 = 1 (pahinga. 6) at 13: 11 = 1 (pahinga. 2) . Makikita na ang 13 ay isang prime number. Ayon sa formula, ganito ang hitsura: a 3 = a 2: p 3 = 13: 13 = 1. Nalaman namin na ang isang 3 = 1, na nangangahulugang ang pagkumpleto ng algorithm. Ngayon ang mga kadahilanan ay nakasulat bilang 78 = 2 · 3 · 13 (a = p 1 · p 2 · p 3) .

Sagot: 78 = 2 3 13.

Halimbawa 3

I-factor ang bilang na 83,006 sa pangunahing mga kadahilanan.

Solusyon

Ang unang hakbang ay nagsasangkot ng factoring p 1 = 2 At a 1 = a: p 1 = 83,006: 2 = 41,503, kung saan 83,006 = 2 · 41,503.

Ipinapalagay ng ikalawang hakbang na ang 2, 3 at 5 ay hindi pangunahing divisors para sa numerong a 1 = 41,503, ngunit ang 7 ay isang prime divisor, dahil 41,503: 7 = 5,929. Nakukuha natin na p 2 = 7, a 2 = a 1: p 2 = 41,503: 7 = 5,929. Malinaw, 83,006 = 2 7 5 929.

Ang paghahanap ng pinakamaliit na prime divisor ng p 4 sa numerong a 3 = 847 ay 7. Makikita na ang a 4 = a 3: p 4 = 847: 7 = 121, kaya 83 006 = 2 7 7 7 121.

Upang mahanap ang prime divisor ng numero a 4 = 121, ginagamit namin ang numero 11, iyon ay, p 5 = 11. Pagkatapos ay nakakakuha kami ng isang pagpapahayag ng form a 5 = a 4: p 5 = 121: 11 = 11, at 83,006 = 2 7 7 7 11 11.

Para sa numero a 5 = 11 numero p 6 = 11 ay ang pinakamaliit na prime divisor. Kaya a 6 = a 5: p 6 = 11: 11 = 1. Pagkatapos ay isang 6 = 1. Ipinapahiwatig nito ang pagkumpleto ng algorithm. Ang mga salik ay isusulat bilang 83 006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 11 · 11.

Ang canonical notation ng sagot ay kukuha ng anyong 83 006 = 2 · 7 3 · 11 2.

Sagot: 83 006 = 2 7 7 7 11 11 = 2 7 3 11 2.

Halimbawa 4

I-factor ang bilang na 897,924,289.

Solusyon

Upang mahanap ang unang prime factor, maghanap sa mga prime number, simula sa 2. Ang pagtatapos ng paghahanap ay nangyayari sa numerong 937. Pagkatapos p 1 = 937, a 1 = a: p 1 = 897 924 289: 937 = 958 297 at 897 924 289 = 937 958 297.

Ang ikalawang hakbang ng algorithm ay ang umulit sa mas maliliit na prime number. Ibig sabihin, nagsisimula tayo sa numerong 937. Ang bilang na 967 ay maaaring ituring na prime dahil ito ay isang prime divisor ng numerong a 1 = 958,297. Mula dito nakukuha natin na p 2 = 967, pagkatapos ay a 2 = a 1: p 1 = 958 297: 967 = 991 at 897 924 289 = 937 967 991.

Sinasabi ng ikatlong hakbang na ang 991 ay isang prime number, dahil wala itong isang solong prime factor na hindi lalampas sa 991. Ang tinatayang halaga ng radical expression ay 991< 40 2 . Иначе запишем как 991 < 40 2 . Ipinapakita nito na p 3 = 991 at a 3 = a 2: p 3 = 991: 991 = 1. Nalaman namin na ang decomposition ng numerong 897 924 289 sa prime factor ay nakuha bilang 897 924 289 = 937 967 991.

Sagot: 897 924 289 = 937 967 991.

Paggamit ng divisibility test para sa prime factorization

Upang i-factor ang isang numero sa mga pangunahing kadahilanan, kailangan mong sundin ang isang algorithm. Kapag may maliit na bilang, pinahihintulutang gamitin ang multiplication table at divisibility signs. Tingnan natin ito sa mga halimbawa.

Halimbawa 5

Kung kinakailangan na i-factorize ang 10, ang talahanayan ay nagpapakita ng: 2 · 5 = 10. Ang mga resultang numero 2 at 5 ay prime number, kaya ang mga ito ay prime factor para sa number 10.

Halimbawa 6

Kung kinakailangan upang mabulok ang numero 48, ang talahanayan ay nagpapakita ng: 48 = 6 8. Ngunit ang 6 at 8 ay hindi pangunahing mga kadahilanan, dahil maaari rin silang mapalawak bilang 6 = 2 3 at 8 = 2 4. Pagkatapos ang kumpletong pagpapalawak mula dito ay nakuha bilang 48 = 6 8 = 2 3 2 4. Ang canonical notation ay kukuha ng anyong 48 = 2 4 · 3.

Halimbawa 7

Kapag nabubulok ang bilang na 3400, maaari mong gamitin ang mga palatandaan ng divisibility. SA sa kasong ito Ang pamantayan para sa divisibility ng 10 at 100 ay may kaugnayan. Mula dito ay nakukuha natin ang 3,400 = 34 · 100, kung saan ang 100 ay maaaring hatiin ng 10, iyon ay, nakasulat bilang 100 = 10 · 10, na nangangahulugang 3,400 = 34 · 10 · 10. Batay sa divisibility test, nakita namin na 3 400 = 34 10 10 = 2 17 2 5 2 5. Ang lahat ng mga kadahilanan ay pangunahin. Ang canonical expansion ay tumatagal ng anyo 3 400 = 2 3 5 2 17.

Kapag nakakita tayo ng mga pangunahing kadahilanan, kailangan nating gumamit ng mga pagsusuri sa divisibility at multiplication table. Kung iniisip mo ang numero 75 bilang isang produkto ng mga kadahilanan, kailangan mong isaalang-alang ang panuntunan ng divisibility ng 5. Nakukuha natin na 75 = 5 15, at 15 = 3 5. Iyon ay, ang nais na pagpapalawak ay isang halimbawa ng anyo ng produkto 75 = 5 · 3 · 5.

Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Anong nangyari factorization? Ito ay isang paraan upang gawing simple at maganda ang isang hindi maginhawa at kumplikadong halimbawa.) Isang napakalakas na pamamaraan! Ito ay matatagpuan sa bawat hakbang sa parehong elementarya at mas mataas na matematika.

Ang ganitong mga pagbabago sa matematikal na wika ay tinatawag na magkaparehong pagbabago ng mga ekspresyon. Para sa mga hindi nakakaalam, tingnan ang link. Napakakaunti doon, simple at kapaki-pakinabang.) Ang kahulugan ng anumang pagbabago sa pagkakakilanlan ay ang pagtatala ng ekspresyon sa ibang anyo habang pinapanatili ang kakanyahan nito.

Ibig sabihin factorization sobrang simple at malinaw. Mula mismo sa pangalan. Maaaring nakalimutan mo (o hindi alam) kung ano ang multiplier, ngunit maaari mong malaman na ang salitang ito ay nagmula sa salitang "multiply"?) Ang ibig sabihin ng Factoring ay: kumakatawan sa isang pagpapahayag sa anyo ng pagpaparami ng isang bagay sa isang bagay. Nawa'y patawarin ako ng matematika at wikang Ruso...) Iyon lang.

Halimbawa, kailangan mong palawakin ang numerong 12. Maaari mong ligtas na isulat ang:

Kaya ipinakita namin ang numero 12 bilang isang multiplikasyon ng 3 sa 4. Pakitandaan na ang mga numero sa kanan (3 at 4) ay ganap na naiiba kaysa sa kaliwa (1 at 2). Ngunit lubos naming naiintindihan na ang 12 at 3 4 pareho. Ang kakanyahan ng numero 12 mula sa pagbabagong-anyo hindi nagbago.

Posible bang mabulok ang 12 sa ibang paraan? Madali lang!

12=3·4=2·6=3·2·2=0.5·24=........

Ang mga pagpipilian sa agnas ay walang katapusan.

Ang pag-factor ng mga numero ay isang kapaki-pakinabang na bagay. Malaki ang naitutulong nito, halimbawa, kapag nagtatrabaho sa mga ugat. Ngunit ang factoring algebraic expression ay hindi lamang kapaki-pakinabang, ito ay kailangan! Halimbawa lang:

Pasimplehin:

Ang mga hindi alam kung paano i-factor ang isang expression ay nasa gilid. Ang mga nakakaalam kung paano - pasimplehin at makuha ang:

Ang epekto ay kamangha-manghang, tama?) Sa pamamagitan ng paraan, ang solusyon ay medyo simple. Makikita mo para sa iyong sarili sa ibaba. O, halimbawa, ang gawaing ito:

Lutasin ang equation:

x 5 - x 4 = 0

Ito ay napagpasyahan sa isip, sa pamamagitan ng paraan. Gamit ang factorization. Lutasin natin ang halimbawang ito sa ibaba. Sagot: x 1 = 0; x 2 = 1.

O, ang parehong bagay, ngunit para sa mga nakatatanda):

Lutasin ang equation:

Sa mga halimbawang ito ay ipinakita ko pangunahing layunin factorization: pagpapasimple ng fractional expression at paglutas ng ilang uri ng equation. Inirerekomenda kong tandaan mo pamantayan:

Kung may nakakatakot sa harap namin fractional expression, maaari mong subukang i-factor ang numerator at denominator. Kadalasan ang fraction ay nababawasan at pinasimple.

Kung mayroon tayong isang equation sa harap natin, kung saan sa kanan ay may zero, at sa kaliwa - Hindi ko maintindihan kung ano, maaari nating subukang i-factor ang kaliwang bahagi. Minsan nakakatulong ito).

Mga pangunahing pamamaraan ng factorization.

Narito ang mga ito, ang pinakasikat na mga pamamaraan:

4. Pagpapalawak ng isang quadratic trinomial.

Ang mga pamamaraang ito ay dapat tandaan. Eksakto sa ayos na iyon. Ang mga kumplikadong halimbawa ay sinusuri para sa lahat mga posibleng paraan pagkabulok. At mas mabuting mag-check in order para hindi malito... So let's start in order.)

1. Pag-alis ng karaniwang salik sa mga bracket.

Simple at maaasahang paraan. Walang masamang nanggaling sa kanya! It happens either well or not at all.) Kaya naman nauuna siya. Alamin natin ito.

Alam ng lahat (naniniwala ako!) ang panuntunan:

a(b+c) = ab+ac

O higit pang mga pangkalahatang pananaw:

a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....

Gumagana ang lahat ng pagkakapantay-pantay mula kaliwa hanggang kanan at vice versa, mula kanan hanggang kaliwa. Maaari kang sumulat:

ab+ac = a(b+c)

ab+ac+ad+.... = a(b+c+d+.....)

Iyan ang buong punto ng pag-alis ng karaniwang kadahilanan sa mga bracket.

Sa kaliwang bahagi A - karaniwang multiplier para sa lahat ng termino. Pinarami ng lahat ng bagay na umiiral). Sa kanan ang pinaka A ay matatagpuan na sa labas ng mga bracket.

Praktikal na paggamit Tingnan natin ang pamamaraan gamit ang mga halimbawa. Sa una ang pagpipilian ay simple, kahit na primitive.) Ngunit sa pagpipiliang ito ay mapapansin ko ( berde) Napaka mahahalagang puntos para sa anumang factorization.

I-factorize:

ah+9x

Alin pangkalahatan lalabas ba ang multiplier sa parehong termino? X, syempre! Ilalabas namin ito sa mga bracket. Gawin natin ito. Agad naming isinusulat ang X sa labas ng mga bracket:

ax+9x=x(

At sa panaklong isinusulat namin ang resulta ng paghahati bawat termino sa mismong X na ito. sa pagkakasunud-sunod:

Iyon lang. Siyempre, hindi na kailangang ilarawan ito nang detalyado, ito ay ginagawa sa isip. Ngunit ipinapayong maunawaan kung ano). Nagre-record kami sa memorya:

Isinulat namin ang karaniwang kadahilanan sa labas ng mga bracket. Sa panaklong isinusulat namin ang mga resulta ng paghahati ng lahat ng mga termino sa pamamagitan ng karaniwang salik na ito. Sa pagkakasunud-sunod.

Kaya pinalawak namin ang expression ah+9x sa pamamagitan ng multipliers. Ginawa itong pagpaparami ng x sa (a+9). Pansinin ko na sa orihinal na expression mayroon ding multiplikasyon, kahit dalawa: a·x at 9·x. Ngunit ito hindi factorized! Dahil bilang karagdagan sa multiplikasyon, ang expression na ito ay naglalaman din ng karagdagan, ang "+" sign! At sa pagpapahayag x(a+9) Walang iba kundi pagpaparami!

Paano kaya!? - Naririnig ko ang galit na boses ng mga tao - At sa mga bracket!?)

Oo, mayroong karagdagan sa loob ng mga panaklong. Ngunit ang trick ay na habang ang mga bracket ay hindi binuksan, isinasaalang-alang namin ang mga ito parang isang letra. At ginagawa namin ang lahat ng mga aksyon na may mga bracket nang buo, tulad ng sa isang letra. Sa ganitong kahulugan, sa pagpapahayag x(a+9) Walang anuman maliban sa pagpaparami. Ito ang buong punto ng factorization.

Sa pamamagitan ng paraan, posible bang suriin kung ginawa namin ang lahat nang tama? Madali lang! Sapat na upang i-multiply pabalik ang inilagay mo (x) sa pamamagitan ng mga bracket at tingnan kung ito ay gumana orihinal pagpapahayag? Kung ito ay gumagana, ang lahat ay mahusay!)

x(a+9)=ax+9x

Nangyari.)

Walang mga problema sa primitive na halimbawang ito. Ngunit kung mayroong ilang mga termino, at kahit na may iba't ibang palatandaan... Sa madaling sabi, bawat ikatlong estudyante ay nagkakagulo). Samakatuwid:

Kung kinakailangan, suriin ang factorization sa pamamagitan ng inverse multiplication.

I-factorize:

3ax+9x

Naghahanap kami ng isang karaniwang kadahilanan. Well, lahat ay malinaw sa X, maaari itong alisin. meron pa ba pangkalahatan salik? Oo! Ito ay isang tatlo. Maaari mong isulat ang expression tulad nito:

3ax+3 3x

Dito ay agad na malinaw na ang karaniwang kadahilanan ay magiging 3x. Dito natin ilalabas:

3ax+3 3x=3x(a+3)

Maghiwa-hiwalay.

Ano ang mangyayari kung ilabas mo ito x lang? Normal lang, walang espesyal:

3ax+9x=x(3a+9)

Magiging factorization din ito. Ngunit sa kaakit-akit na prosesong ito, nakaugalian na ang lahat ng bagay sa limitasyon habang may pagkakataon. Dito sa mga bracket ay may pagkakataon na maglabas ng tatlo. Ito ay lalabas:

3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)

Ang parehong bagay, lamang sa isang karagdagang aksyon.) Tandaan:

Kapag inaalis ang karaniwang kadahilanan sa mga bracket, sinusubukan naming alisin maximum karaniwang salik.

Itutuloy ba natin ang saya?)

Salik ang expression:

3akh+9х-8а-24

Ano ang aming dadalhin? Tatlo, X? Hindi... Hindi mo kaya. I remind you na pwede ka lang mag take out pangkalahatan multiplier yan sa lahat mga tuntunin ng pagpapahayag. Kaya pala siya pangkalahatan. Walang ganyang multiplier dito... Ano, hindi mo na kailangang palawakin pa!? Well, oo, napakasaya namin... Meet:

2. Pagpapangkat.

Sa totoo lang, mahirap pangalanan ang grupo sa isang malayang paraan factorization. Ito ay higit pa sa isang paraan upang makalabas kumplikadong halimbawa.) Kailangan nating igrupo ang mga termino para maayos ang lahat. Ito ay maipapakita lamang sa pamamagitan ng halimbawa. Kaya, mayroon kaming expression:

3akh+9х-8а-24

Makikita na mayroong ilang karaniwang mga titik at numero. Pero... Heneral walang multiplier sa lahat ng termino. Huwag tayong mawalan ng loob at hatiin ang ekspresyon sa mga piraso. Pagpapangkat. Upang ang bawat piraso ay may isang karaniwang kadahilanan, mayroong isang bagay na aalisin. Paano natin ito masisira? Oo, naglalagay lang kami ng panaklong.

Hayaan mong ipaalala ko sa iyo na ang mga panaklong ay maaaring ilagay kahit saan at kahit anong gusto mo. Ang kakanyahan lamang ng halimbawa hindi nagbago. Halimbawa, magagawa mo ito:

3akh+9х-8а-24=(3ах+9х)-(8а+24)

Mangyaring bigyang-pansin ang pangalawang bracket! Ang mga ito ay pinangungunahan ng isang minus sign, at 8a At 24 naging positive! Kung, upang suriin, bubuksan namin ang mga bracket pabalik, ang mga palatandaan ay magbabago, at makukuha namin orihinal pagpapahayag. Yung. ang kakanyahan ng expression mula sa mga bracket ay hindi nagbago.

Ngunit kung nagpasok ka lang ng mga panaklong nang hindi isinasaalang-alang ang pagbabago ng tanda, halimbawa, tulad nito:

3akh+9х-8а-24=(3ax+9x) -(8a-24 )

ito ay magiging isang pagkakamali. Sa kanan - na iba pa pagpapahayag. Buksan ang mga bracket at lahat ay makikita. Hindi mo na kailangang magdesisyon pa, oo...)

Ngunit bumalik tayo sa factorization. Tingnan natin ang mga unang bracket (3ax+9x) at sa tingin namin, mayroon bang anumang bagay na maaari naming ilabas? Well, nalutas namin ang halimbawang ito sa itaas, maaari naming kunin ito 3x:

(3ax+9x)=3x(a+3)

Pag-aralan natin ang pangalawang bracket, maaari tayong magdagdag ng walo doon:

(8a+24)=8(a+3)

Ang aming buong ekspresyon ay magiging:

(3ax+9x)-(8a+24)=3x(a+3)-8(a+3)

Naka-factor? Hindi. Ang resulta ng agnas ay dapat na pagpaparami lamang Ngunit sa amin ang minus sign ay sumisira sa lahat. Ngunit... Ang parehong mga termino ay may isang karaniwang kadahilanan! Ito (a+3). Ito ay hindi para sa wala na sinabi ko na ang buong bracket ay, kumbaga, isang titik. Nangangahulugan ito na ang mga bracket na ito ay maaaring alisin sa mga bracket. Oo, ganyan talaga ang tunog.)

Ginagawa namin tulad ng inilarawan sa itaas. Sinusulat namin ang karaniwang kadahilanan (a+3), sa pangalawang bracket ay isinusulat namin ang mga resulta ng paghahati ng mga termino sa pamamagitan ng (a+3):

3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)

Lahat! Walang anuman sa kanan maliban sa pagpaparami! Nangangahulugan ito na matagumpay na nakumpleto ang factorization!) Narito ito:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

Ulitin natin sandali ang kakanyahan ng grupo.

Kung ang expression ay hindi pangkalahatan multiplier para sa lahat mga tuntunin, sinisira namin ang expression sa mga bracket upang sa loob ng mga bracket ang karaniwang kadahilanan ay. Inilabas namin ito at tingnan kung ano ang mangyayari. Kung ikaw ay mapalad at may ganap na magkatulad na mga expression na natitira sa mga bracket, inililipat namin ang mga bracket na ito mula sa mga bracket.

Idaragdag ko na ang pagpapangkat ay isang malikhaing proseso). Hindi ito palaging gumagana sa unang pagkakataon. ayos lang. Minsan kailangan mong magpalit ng mga termino at isaalang-alang iba't ibang variant grupo hanggang sa matagpuan ang isang matagumpay. Ang pangunahing bagay dito ay hindi mawalan ng puso!)

Mga halimbawa.

Ngayon, sa pagpapayaman sa iyong sarili ng kaalaman, maaari mong lutasin ang mga nakakalito na halimbawa.) Sa simula ng aralin mayroong tatlo sa mga ito...

Pasimplehin:

Sa esensya, nalutas na natin ang halimbawang ito. Lingid sa ating kaalaman.) Ipinaaalala ko sa iyo: kung tayo ay bibigyan ng isang kahila-hilakbot na bahagi, sinusubukan nating i-factor ang numerator at denominator. Iba pang mga pagpipilian sa pagpapasimple hindi lang.

Well, ang denominator dito ay hindi pinalawak, ngunit ang numerator... Pinalawak na natin ang numerator sa panahon ng aralin! Ganito:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

Isinulat namin ang resulta ng pagpapalawak sa numerator ng fraction:

Ayon sa panuntunan ng pagbabawas ng mga fraction (ang pangunahing katangian ng isang fraction), maaari nating hatiin (sa parehong oras!) ang numerator at denominator sa parehong numero, o expression. Fraction mula dito hindi nagbabago. Kaya hinati namin ang numerator at denominator sa pamamagitan ng expression (3x-8). At dito at doon ay makakakuha tayo ng mga. Ang huling resulta ng pagpapasimple:

Gusto kong bigyang-diin lalo na: ang pagbawas ng isang fraction ay posible kung at kung sa numerator at denominator, bilang karagdagan sa pagpaparami ng mga expression walang kahit ano. Kaya naman ang pagbabago ng kabuuan (pagkakaiba) sa pagpaparami napakahalaga para sa pagpapasimple. Siyempre, kung ang mga expression iba, tapos walang mababawasan. Mangyayari ito. Pero factorization nagbibigay ng pagkakataon. Ang pagkakataong ito na walang agnas ay wala doon.

Halimbawa na may equation:

Lutasin ang equation:

x 5 - x 4 = 0

Inalis namin ang karaniwang kadahilanan x 4 wala sa mga bracket. Nakukuha namin:

x 4 (x-1)=0

Napagtanto namin na ang produkto ng mga kadahilanan ay katumbas ng zero pagkatapos at pagkatapos lamang, kapag ang alinman sa mga ito ay zero. Kung may pag-aalinlangan, hanapin ako ng ilang di-zero na numero na, kapag pinarami, ay magbibigay ng zero.) Kaya't isinusulat namin, una ang unang kadahilanan:

Sa gayong pagkakapantay-pantay, ang pangalawang kadahilanan ay hindi nag-aalala sa atin. Kahit sino ay maaaring maging, ngunit sa huli ay magiging zero pa rin ito. Anong numero sa ikaapat na kapangyarihan ang ibinibigay ng zero? Zero lang! At walang iba... Samakatuwid:

Nalaman namin ang unang kadahilanan at natagpuan ang isang ugat. Tingnan natin ang pangalawang kadahilanan. Ngayon wala na kaming pakialam sa unang salik.):

Dito nakahanap kami ng solusyon: x 1 = 0; x 2 = 1. Ang alinman sa mga ugat na ito ay umaangkop sa aming equation.

Napakahalagang tala. Pakitandaan na nalutas namin ang equation pira-piraso! Ang bawat kadahilanan ay katumbas ng zero, hindi alintana ang iba pang mga kadahilanan. Sa pamamagitan ng paraan, kung sa gayong equation ay walang dalawang kadahilanan, tulad ng sa amin, ngunit tatlo, lima, hangga't gusto mo, malulutas namin katulad. Piraso-piraso. Halimbawa:

(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0

Ang sinumang magbukas ng mga bracket at magparami ng lahat ay mananatili sa equation na ito magpakailanman.) Ang isang tamang mag-aaral ay agad na makikita na walang anuman sa kaliwa maliban sa multiplikasyon, at zero sa kanan. At sisimulan niya (sa isip niya!) na i-equate ang lahat ng bracket para maging zero. At makakatanggap siya (sa 10 segundo!) ang tamang desisyon: x 1 = 1; x 2 = -5; x 3 = 3; x 4 = -2.

Mahusay, tama?) Ang ganitong eleganteng solusyon ay posible kung kaliwang bahagi mga equation factorized. Nakuha mo ba ang pahiwatig?)

Well, isang huling halimbawa, para sa mga nakatatanda):

Lutasin ang equation:

Ito ay medyo katulad sa nauna, hindi ba?) Siyempre. Oras na para tandaan na sa ikapitong baitang algebra, sines, logarithms, at anumang bagay ay maaaring itago sa ilalim ng mga titik! Ang pag-factor ay gumagana sa buong matematika.

Inalis namin ang karaniwang kadahilanan lg 4x wala sa mga bracket. Nakukuha namin:

log 4 x=0

Ito ay isang ugat. Tingnan natin ang pangalawang kadahilanan.

Narito ang huling sagot: x 1 = 1; x 2 = 10.

Sana ay napagtanto mo ang kapangyarihan ng factoring sa pagpapasimple ng mga fraction at paglutas ng mga equation.)

Sa araling ito natutunan natin ang tungkol sa common factoring at grouping. Nananatili itong maunawaan ang mga formula para sa pinaikling multiplikasyon at ang quadratic trinomial.

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Matuto tayo - nang may interes!)

Maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

Sa artikulong ito makikita mo ang lahat kinakailangang impormasyon pagsagot sa tanong kung paano i-factor ang isang numero sa prime factor. Una, ang isang pangkalahatang ideya ng agnas ng isang numero sa mga pangunahing kadahilanan ay ibinigay, at ang mga halimbawa ng mga agnas ay ibinigay. Ang sumusunod ay nagpapakita ng kanonikal na anyo ng pag-decompose ng isang numero sa prime factor. Pagkatapos nito, ang isang algorithm ay ibinigay para sa decomposing arbitrary na mga numero sa prime factor at mga halimbawa ng mga nabubulok na numero gamit ang algorithm na ito ay ibinigay. Isinasaalang-alang din ang mga alternatibong pamamaraan na nagbibigay-daan sa iyong mabilis na maisaalang-alang ang maliliit na integer sa mga pangunahing salik gamit ang mga pagsubok sa divisibility at multiplication table.

Pag-navigate sa pahina.

Ano ang ibig sabihin ng pag-factor ng isang numero sa prime factor?

Una, tingnan natin kung ano ang mga pangunahing kadahilanan.

Malinaw na dahil ang salitang "mga kadahilanan" ay naroroon sa pariralang ito, kung gayon mayroong isang produkto ng ilang mga numero, at ang kwalipikadong salitang "simple" ay nangangahulugan na ang bawat kadahilanan ay isang pangunahing numero. Halimbawa, sa isang produkto ng anyong 2·7·7·23, mayroong apat na pangunahing salik: 2, 7, 7 at 23.

Ano ang ibig sabihin ng pag-factor ng isang numero sa prime factor?

Nangangahulugan ito na ang numerong ito ay dapat na kinakatawan bilang isang produkto ng mga pangunahing kadahilanan, at ang halaga ng produktong ito ay dapat na katumbas ng orihinal na numero. Bilang halimbawa, isaalang-alang ang produkto ng tatlong prime number 2, 3 at 5, ito ay katumbas ng 30, kaya ang decomposition ng numero 30 sa prime factor ay 2·3·5. Karaniwan ang pagkabulok ng isang numero sa prime factor ay isinusulat bilang isang pagkakapantay-pantay; sa aming halimbawa ito ay magiging ganito: 30=2·3·5. Hiwalay naming binibigyang-diin na ang mga pangunahing salik sa pagpapalawak ay maaaring maulit. Ito ay malinaw na inilalarawan ng sumusunod na halimbawa: 144=2·2·2·2·3·3. Ngunit ang isang representasyon ng form na 45=3·15 ay hindi isang decomposition sa prime factors, dahil ang numero 15 ay isang composite number.

Bumangon sunod na tanong: "Anong mga numero ang maaaring i-factor sa prime factor?"

Sa paghahanap ng sagot dito, ipinakita namin ang sumusunod na pangangatwiran. Ang mga pangunahing numero, ayon sa kahulugan, ay kabilang sa mga higit sa isa. Isinasaalang-alang ang katotohanang ito at , maaaring pagtalunan na ang produkto ng ilang pangunahing mga kadahilanan ay isang integer positibong numero, lampas sa isa. Samakatuwid, ang factorization sa prime factor ay nangyayari lamang para sa mga positive integer na mas malaki sa 1.

Ngunit lahat ba ng integer na mas malaki sa isa ay maisasaalang-alang sa pangunahing mga kadahilanan?

Malinaw na hindi posibleng i-factor ang mga simpleng integer sa prime factor. Ito ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng katotohanan na ang mga pangunahing numero ay mayroon lamang dalawang positibong divisors - isa at mismo, kaya hindi sila maaaring katawanin bilang isang produkto ng dalawa o higit pa mga pangunahing numero. Kung ang integer z ay maaaring katawanin bilang produkto ng mga prime number na a at b, kung gayon ang konsepto ng divisibility ay magbibigay-daan sa amin upang tapusin na ang z ay nahahati ng parehong a at b, na imposible dahil sa pagiging simple ng numerong z. Gayunpaman, naniniwala sila na ang anumang prime number ay isang decomposition.

Paano naman ang mga composite number? Nabulok ba ang mga composite number sa prime factor, at lahat ba ng composite na numero ay napapailalim sa naturang decomposition? Ang pangunahing teorama ng arithmetic ay nagbibigay ng isang positibong sagot sa isang bilang ng mga tanong na ito. Ang pangunahing theorem ng arithmetic ay nagsasaad na ang anumang integer a na mas malaki sa 1 ay maaaring mabulok sa produkto ng prime factor p 1, p 2, ..., p n, at ang decomposition ay may anyo na a = p 1 · p 2 · … · p n, at ito ang pagpapalawak ay natatangi, kung hindi mo isasaalang-alang ang pagkakasunud-sunod ng mga kadahilanan

Canonical factorization ng isang numero sa prime factor

Sa pagpapalawak ng isang numero, ang mga pangunahing kadahilanan ay maaaring ulitin. Ang pag-uulit ng mga pangunahing kadahilanan ay maaaring isulat nang mas compact gamit ang . Hayaan sa decomposition ng isang numero ang prime factor p 1 mangyari s 1 beses, ang prime factor p 2 – s 2 beses, at iba pa, p n – s n beses. Kung gayon ang prime factorization ng numero a ay maaaring isulat bilang a=p 1 s 1 ·p 2 s 2 ·…·p n s n. Ang anyo ng pagtatala na ito ay ang tinatawag na canonical factorization ng isang numero sa prime factor.

Magbigay tayo ng isang halimbawa ng canonical decomposition ng isang numero sa prime factor. Ipaalam sa amin ang agnas 609 840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, ang canonical notation nito ay may anyo 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.

Ang canonical factorization ng isang numero sa prime factor ay nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang lahat ng mga divisors ng numero at ang bilang ng mga divisors ng numero.

Algorithm para sa pag-factor ng isang numero sa mga pangunahing kadahilanan

Upang matagumpay na makayanan ang gawain ng pag-decomposing ng isang numero sa mga pangunahing kadahilanan, kailangan mong magkaroon ng napakahusay na kaalaman sa impormasyon sa artikulong prime at composite na mga numero.

Ang kakanyahan ng proseso ng pagbubulok ng isang positibong integer na numero a na lumampas sa isa ay malinaw mula sa patunay ng pangunahing teorama ng arithmetic. Ang punto ay ang sunud-sunod na hanapin ang pinakamaliit na prime divisors p 1, p 2, ..., p n ng mga numero a, a 1, a 2, ..., a n-1, na nagpapahintulot sa amin na makakuha ng isang serye ng mga pagkakapantay-pantay. a=p 1 ·a 1, kung saan a 1 = a:p 1 , a=p 1 ·a 1 =p 1 ·p 2 ·a 2 , kung saan a 2 =a 1:p 2 , …, a=p 1 ·p 2 ·…·p n ·a n , kung saan a n =a n-1:p n . Kapag naging a n =1, ang pagkakapantay-pantay na a=p 1 ·p 2 ·…·p n ay magbibigay sa atin ng nais na agnas ng numerong a sa prime factor. Dapat ding tandaan dito na p 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤…≤p n.

Ito ay nananatiling alamin kung paano hanapin ang pinakamaliit na prime factor sa bawat hakbang, at magkakaroon tayo ng algorithm para sa pag-decompose ng isang numero sa prime factor. Ang isang talahanayan ng mga pangunahing numero ay makakatulong sa amin na makahanap ng mga pangunahing kadahilanan. Ipakita natin kung paano ito gamitin upang makuha ang pinakamaliit na prime divisor ng numerong z.

Sunud-sunod naming kinukuha ang mga prime number mula sa talahanayan ng mga prime number (2, 3, 5, 7, 11, at iba pa) at hinahati ang ibinigay na numero z sa kanila. Ang unang prime number kung saan ang z ay pantay na nahahati ang magiging pinakamaliit nitong prime divisor. Kung ang numerong z ay prime, ang pinakamaliit na prime divisor nito ay ang numerong z mismo. Dapat alalahanin dito na kung ang z ay hindi isang prime number, kung gayon ang pinakamaliit na prime divisor nito ay hindi lalampas sa numero , kung saan mula sa z. Kaya, kung kabilang sa mga prime number na hindi hihigit sa , walang isang solong divisor ng numerong z, maaari nating tapusin na ang z ay isang prime number (higit pa tungkol dito ay nakasulat sa seksyon ng teorya sa ilalim ng heading Ang numerong ito ay prime o composite ).

Bilang halimbawa, ipapakita namin kung paano hanapin ang pinakamaliit na prime divisor ng numerong 87. Kunin natin ang numero 2. Hatiin ang 87 sa 2, makakakuha tayo ng 87:2=43 (natitirang 1) (kung kinakailangan, tingnan ang artikulo). Iyon ay, kapag hinahati ang 87 sa 2, ang natitira ay 1, kaya ang 2 ay hindi isang divisor ng numero 87. Kinukuha namin ang susunod na prime number mula sa prime numbers table, ito ang number 3. Hatiin ang 87 sa 3, makakakuha tayo ng 87:3=29. Kaya, ang 87 ay nahahati ng 3, samakatuwid, ang numero 3 ay ang pinakamaliit na prime divisor ng numerong 87.

Tandaan na sa pangkalahatang kaso, upang i-factor ang isang numero a sa mga pangunahing kadahilanan, kailangan namin ng isang talahanayan ng mga prime na numero hanggang sa isang numero na hindi bababa sa . Kakailanganin nating sumangguni sa talahanayang ito sa bawat hakbang, kaya kailangan natin itong nasa kamay. Halimbawa, para i-factor ang numerong 95 sa prime factor, kakailanganin lang namin ng table ng mga prime number hanggang 10 (dahil ang 10 ay mas malaki kaysa sa ). At para mabulok ang bilang na 846,653, kakailanganin mo na ng talahanayan ng mga prime number hanggang 1,000 (dahil ang 1,000 ay mas malaki kaysa sa ).

Mayroon na tayong sapat na impormasyon para isulat algorithm para sa pag-factor ng isang numero sa prime factor. Ang algorithm para sa decomposing ng numero a ay ang mga sumusunod:

• Sa sunud-sunod na pag-uuri sa mga numero mula sa talahanayan ng mga prime number, makikita natin ang pinakamaliit na prime divisor p 1 ng numero a, pagkatapos ay kalkulahin natin ang isang 1 =a:p 1. Kung ang isang 1 =1, kung gayon ang bilang a ay prime, at ito mismo ay ang pagkabulok nito sa mga pangunahing kadahilanan. Kung ang isang 1 ay hindi katumbas ng 1, mayroon tayong a=p 1 ·a 1 at magpatuloy sa susunod na hakbang.
• Nahanap namin ang pinakamaliit na prime divisor p 2 ng numerong a 1 , upang gawin ito ay sunud-sunod naming inuri-uriin ang mga numero mula sa talahanayan ng mga prime number, simula sa p 1 , at pagkatapos ay kalkulahin ang a 2 =a 1:p 2 . Kung ang a 2 =1, ang kinakailangang decomposition ng numero a sa prime factor ay may anyo na a=p 1 ·p 2. Kung ang isang 2 ay hindi katumbas ng 1, mayroon tayong a=p 1 ·p 2 ·a 2 at magpatuloy sa susunod na hakbang.
• Sa pamamagitan ng mga numero mula sa talahanayan ng mga prime number, simula sa p 2, makikita natin ang pinakamaliit na prime divisor p 3 ng numero a 2, pagkatapos ay kinakalkula natin ang isang 3 =a 2:p 3. Kung ang a 3 =1, ang kinakailangang decomposition ng numero a sa prime factor ay may anyo na a=p 1 ·p 2 ·p 3. Kung ang isang 3 ay hindi katumbas ng 1, mayroon tayong a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 at magpatuloy sa susunod na hakbang.
• Nahanap namin ang pinakamaliit na prime divisor p n ng numero a n-1 sa pamamagitan ng pag-uuri sa mga prime number, simula sa p n-1, pati na rin ang a n =a n-1:p n, at ang a n ay katumbas ng 1. Ang hakbang na ito ay ang huling hakbang ng algorithm; dito natin nakukuha ang kinakailangang decomposition ng numero a sa prime factor: a=p 1 ·p 2 ·…·p n.

Para sa kalinawan, ang lahat ng mga resulta na nakuha sa bawat hakbang ng algorithm para sa decomposing isang numero sa mga pangunahing kadahilanan ay ipinakita sa anyo ng sumusunod na talahanayan, kung saan ang mga numero a, a 1, a 2, ..., a n ay nakasulat nang sunud-sunod sa isang haligi sa kaliwa ng patayong linya, at sa kanan ng linya - ang katumbas na pinakamaliit na prime divisors p 1, p 2, ..., p n.

Ang natitira na lang ay isaalang-alang ang ilang mga halimbawa ng aplikasyon ng resultang algorithm para sa nabubulok na mga numero sa mga pangunahing kadahilanan.

Mga halimbawa ng prime factorization

Ngayon ay titingnan natin nang detalyado mga halimbawa ng factoring numbers sa prime factors. Kapag nabubulok, gagamitin namin ang algorithm mula sa nakaraang talata. Magsimula tayo sa mga simpleng kaso, at unti-unting gawing kumplikado ang mga ito upang makatagpo ng lahat ng posibleng mga nuances na lumitaw kapag nabubulok ang mga numero sa mga pangunahing kadahilanan.

Halimbawa.

I-factor ang bilang na 78 sa mga pangunahing salik nito.

Solusyon.

Sinimulan namin ang paghahanap para sa unang pinakamaliit na prime divisor p 1 ng numerong a=78. Upang gawin ito, sisimulan namin ang sunud-sunod na pag-uri-uriin sa mga prime number mula sa talahanayan ng mga prime number. Kinukuha namin ang numero 2 at hatiin ang 78 dito, makakakuha kami ng 78:2=39. Ang bilang na 78 ay hinati sa 2 na walang natitira, kaya ang p 1 =2 ay ang unang natagpuang prime divisor ng numerong 78. Sa kasong ito, a 1 =a:p 1 =78:2=39. Kaya dumating tayo sa pagkakapantay-pantay na a=p 1 ·a 1 na may anyong 78=2·39. Malinaw, ang isang 1 =39 ay iba sa 1, kaya nagpapatuloy kami sa pangalawang hakbang ng algorithm.

Ngayon hinahanap namin ang pinakamaliit na prime divisor p 2 ng numerong a 1 =39. Nagsisimula kaming magbilang ng mga numero mula sa talahanayan ng mga prime number, simula sa p 1 =2. Hatiin ang 39 sa 2, makakakuha tayo ng 39:2=19 (natitirang 1). Dahil ang 39 ay hindi pantay na nahahati ng 2, kung gayon ang 2 ay hindi ang divisor nito. Pagkatapos ay kukunin natin ang susunod na numero mula sa talahanayan ng mga prime number (number 3) at hatiin ang 39 dito, makakakuha tayo ng 39:3=13. Samakatuwid, ang p 2 =3 ay ang pinakamaliit na prime divisor ng numerong 39, habang ang isang 2 =a 1:p 2 =39:3=13. Mayroon tayong pagkakapantay-pantay na a=p 1 ·p 2 ·a 2 sa anyong 78=2·3·13. Dahil ang 2 =13 ay iba sa 1, nagpapatuloy kami sa susunod na hakbang ng algorithm.

Dito kailangan nating hanapin ang pinakamaliit na prime divisor ng numerong a 2 =13. Sa paghahanap ng pinakamaliit na prime divisor p 3 ng numero 13, sunud-sunod nating pag-uuri-uriin ang mga numero mula sa talahanayan ng mga prime number, simula sa p 2 =3. Ang bilang na 13 ay hindi nahahati ng 3, dahil ang 13:3=4 (pahinga. 1), gayundin ang 13 ay hindi nahahati ng 5, 7 at 11, dahil ang 13:5=2 (pahinga. 3), 13:7=1 (pahinga. 6) at 13:11=1 (pahinga. 2). Ang susunod na prime number ay 13, at 13 ay nahahati nito nang walang nalalabi, samakatuwid, ang pinakamaliit na prime divisor p 3 ng 13 ay ang bilang na 13 mismo, at a 3 =a 2:p 3 =13:13=1. Dahil ang isang 3 =1, ang hakbang na ito ng algorithm ay ang huli, at ang kinakailangang decomposition ng numero 78 sa prime factor ay may anyo na 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3 ).

Sagot:

78=2·3·13.

Halimbawa.

Ipahayag ang bilang na 83,006 bilang produkto ng mga pangunahing salik.

Solusyon.

Sa unang hakbang ng algorithm para sa pag-decompose ng isang numero sa prime factor, makikita natin ang p 1 =2 at isang 1 =a:p 1 =83,006:2=41,503, kung saan 83,006=2·41,503.

Sa ikalawang hakbang, nalaman natin na ang 2, 3 at 5 ay hindi pangunahing divisors ng numerong a 1 =41,503, ngunit ang bilang na 7 ay, dahil 41,503:7=5,929. Mayroon tayong p 2 =7, a 2 =a 1:p 2 =41,503:7=5,929. Kaya, 83,006=2 7 5 929.

Ang pinakamaliit na prime divisor ng numerong a 2 =5 929 ay ang numerong 7, dahil 5 929:7 = 847. Kaya, p 3 =7, a 3 =a 2:p 3 =5 929:7 = 847, kung saan 83 006 = 2·7·7·847.

Susunod na makikita natin na ang pinakamaliit na prime divisor p 4 ng numerong a 3 =847 ay katumbas ng 7. Pagkatapos ay isang 4 =a 3:p 4 =847:7=121, kaya 83 006=2·7·7·7·121.

Ngayon nakita namin ang pinakamaliit na prime divisor ng numero a 4 =121, ito ay ang numero p 5 =11 (dahil ang 121 ay nahahati ng 11 at hindi nahahati ng 7). Pagkatapos ay isang 5 =a 4:p 5 =121:11=11, at 83 006=2·7·7·7·11·11.

Panghuli, ang pinakamaliit na prime divisor ng numerong a 5 =11 ay ang numero p 6 =11. Pagkatapos ay isang 6 =a 5:p 6 =11:11=1. Dahil ang isang 6 =1, ang hakbang na ito ng algorithm para sa pag-decompose ng isang numero sa prime factor ay ang huli, at ang nais na decomposition ay may anyo na 83 006 = 2·7·7·7·11·11.

Ang resultang nakuha ay maaaring isulat bilang canonical decomposition ng numero sa prime factor 83 006 = 2·7 3 ·11 2.

Sagot:

83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 Ang 991 ay isang pangunahing numero. Sa katunayan, wala itong isang pangunahing divisor na hindi hihigit sa ( maaaring tinatayang bilang , dahil malinaw na 991<40 2 ), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p 3 =991 и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1 . Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991 .

Sagot:

897 924 289 = 937 967 991 .

Paggamit ng divisibility test para sa prime factorization

Sa mga simpleng kaso, maaari mong i-decompose ang isang numero sa mga pangunahing kadahilanan nang hindi ginagamit ang algorithm ng decomposition mula sa unang talata ng artikulong ito. Kung ang mga numero ay hindi malaki, kung gayon upang mabulok ang mga ito sa mga pangunahing kadahilanan, kadalasan ay sapat na upang malaman ang mga palatandaan ng divisibility. Magbigay tayo ng mga halimbawa para sa paglilinaw.

Halimbawa, kailangan nating i-factor ang numero 10 sa prime factor. Mula sa multiplication table alam natin na 2·5=10, at ang mga numero 2 at 5 ay malinaw na prime, kaya ang prime factorization ng numero 10 ay parang 10=2·5.

Isa pang halimbawa. Gamit ang talahanayan ng multiplikasyon, isasaalang-alang natin ang numero 48 sa pangunahing mga kadahilanan. Alam namin na ang anim ay walo - apatnapu't walo, iyon ay, 48 = 6·8. Gayunpaman, hindi 6 o 8 ang mga pangunahing numero. Ngunit alam natin na dalawang beses tatlo ay anim, at dalawang beses apat ay walo, iyon ay, 6=2·3 at 8=2·4. Pagkatapos ay 48=6·8=2·3·2·4. Ito ay nananatiling tandaan na ang dalawang beses dalawa ay apat, pagkatapos ay makuha natin ang ninanais na pagkabulok sa pangunahing mga kadahilanan 48 = 2·3·2·2·2. Isulat natin ang pagpapalawak na ito sa canonical form: 48=2 4 ·3.

Ngunit kapag isinasali ang bilang na 3,400 sa mga pangunahing kadahilanan, maaari mong gamitin ang pamantayan sa divisibility. Ang mga palatandaan ng divisibility sa pamamagitan ng 10, 100 ay nagpapahintulot sa amin na sabihin na ang 3,400 ay nahahati sa 100, na may 3,400=34·100, at 100 ay nahahati ng 10, na may 100=10·10, samakatuwid, 3,400=34·10·10. At batay sa pagsubok ng divisibility ng 2, masasabi natin na ang bawat isa sa mga salik 34, 10 at 10 ay nahahati ng 2, nakukuha natin 3 400=34 10 10=2 17 2 5 2 5. Ang lahat ng mga kadahilanan sa nagresultang pagpapalawak ay simple, kaya ang pagpapalawak na ito ang ninanais. Ang natitira na lang ay muling ayusin ang mga salik upang pumunta sila sa pataas na pagkakasunud-sunod: 3 400 = 2·2·2·5·5·17. Isulat din natin ang canonical decomposition ng numerong ito sa prime factors: 3 400 = 2 3 ·5 2 ·17.

Kapag nabubulok ang isang naibigay na numero sa mga pangunahing kadahilanan, maaari mong gamitin ang parehong mga palatandaan ng divisibility at ang multiplication table. Isipin natin ang bilang 75 bilang isang produkto ng mga pangunahing kadahilanan. Ang pagsubok ng divisibility sa pamamagitan ng 5 ay nagpapahintulot sa amin na sabihin na ang 75 ay nahahati ng 5, at nakuha namin na 75 = 5·15. At mula sa multiplication table alam natin na 15=3·5, samakatuwid, 75=5·3·5. Ito ang kinakailangang agnas ng numerong 75 sa prime factor.

Bibliograpiya.

• Vilenkin N.Ya. at iba pa.Mathematics. Ika-6 na baitang: aklat-aralin para sa mga institusyong pangkalahatang edukasyon.
• Vinogradov I.M. Mga Batayan ng teorya ng numero.
• Mikhelovich Sh.H. Teorya ng numero.
• Kulikov L.Ya. at iba pa.Koleksyon ng mga problema sa algebra at teorya ng numero: Teksbuk para sa mga mag-aaral ng pisika at matematika. mga espesyalidad ng mga institusyong pedagogical.