Mga halimbawa at solusyon sa discriminant formula. Paglutas ng mga quadratic equation na may mga negatibong diskriminasyon

SA modernong lipunan ang kakayahang magsagawa ng mga operasyon na may mga equation na naglalaman ng variable na squared ay maaaring maging kapaki-pakinabang sa maraming lugar ng aktibidad at malawakang ginagamit sa pagsasanay sa siyentipiko at teknikal na mga pag-unlad. Ang katibayan nito ay makikita sa disenyo ng mga sasakyang dagat at ilog, sasakyang panghimpapawid at mga missile. Gamit ang naturang mga kalkulasyon, ang mga trajectory ng paggalaw ng karamihan iba't ibang katawan, kabilang ang mga bagay sa kalawakan. Ang mga halimbawa na may solusyon ng mga quadratic equation ay ginagamit hindi lamang sa pang-ekonomiyang pagtataya, sa disenyo at pagtatayo ng mga gusali, kundi pati na rin sa pinakakaraniwang pang-araw-araw na kalagayan. Maaaring kailanganin sila sa mga paglalakbay sa paglalakad, sa mga sporting event, sa mga tindahan habang namimili, at sa iba pang napakakaraniwang sitwasyon.

Hatiin natin ang expression sa mga component factor nito

Ang antas ng equation ay tinutukoy pinakamataas na halaga antas ng variable na nilalaman ng expression na ito. Kung ito ay katumbas ng 2, kung gayon ang naturang equation ay tinatawag na quadratic.

Kung nagsasalita tayo sa wika ng mga pormula, kung gayon ang mga ipinahiwatig na ekspresyon, gaano man ang hitsura ng mga ito, ay maaaring palaging dalhin sa anyo kapag kaliwang bahagi ang pagpapahayag ay binubuo ng tatlong termino. Kabilang sa mga ito: ax 2 (iyon ay, isang variable na squared kasama ang coefficient nito), bx (isang hindi kilalang walang square na may coefficient nito) at c (isang libreng bahagi, iyon ay, isang ordinaryong numero). Ang lahat ng ito sa kanang bahagi ay katumbas ng 0. Sa kaso kapag ang naturang polynomial ay kulang sa isa sa mga terminong bumubuo nito, maliban sa ax 2, ito ay tinatawag na hindi kumpletong quadratic equation. Ang mga halimbawa na may solusyon sa mga naturang problema, ang mga halaga ng mga variable na kung saan ay madaling mahanap, ay dapat isaalang-alang muna.

Kung ang expression ay mukhang may dalawang termino sa kanang bahagi, mas tiyak na ax 2 at bx, ang pinakamadaling paraan upang mahanap ang x ay sa pamamagitan ng paglalagay ng variable sa labas ng mga bracket. Ngayon ang aming equation ay magiging ganito: x(ax+b). Susunod, nagiging malinaw na ang alinman sa x=0, o ang problema ay bumaba sa paghahanap ng variable mula sa sumusunod na expression: ax+b=0. Ito ay idinidikta ng isa sa mga katangian ng multiplikasyon. Ang panuntunan ay nagsasaad na ang produkto ng dalawang salik ay nagreresulta sa 0 lamang kung ang isa sa mga ito ay zero.

Halimbawa

x=0 o 8x - 3 = 0

Bilang resulta, nakakakuha tayo ng dalawang ugat ng equation: 0 at 0.375.

Ang mga equation ng ganitong uri ay maaaring ilarawan ang paggalaw ng mga katawan sa ilalim ng impluwensya ng gravity, na nagsimulang lumipat mula sa isang tiyak na punto na kinuha bilang pinagmulan ng mga coordinate. Dito tumatagal ang mathematical notation ang sumusunod na anyo: y = v 0 t + gt 2/2. Pagpapalit mga kinakailangang halaga, tinutumbasan kanang bahagi 0 at pagkakaroon ng nahanap na mga posibleng hindi alam, maaari mong malaman ang oras na lumilipas mula sa sandaling ang katawan ay tumaas hanggang sa sandaling ito ay bumagsak, pati na rin ang maraming iba pang mga dami. Ngunit pag-uusapan natin ito mamaya.

Pagsasaliksik ng isang Ekspresyon

Ginagawang posible ng panuntunang inilarawan sa itaas na malutas ang mga problemang ito sa mas kumplikadong mga kaso. Tingnan natin ang mga halimbawa ng paglutas ng mga quadratic equation ng ganitong uri.

X 2 - 33x + 200 = 0

Kumpleto na ang quadratic trinomial na ito. Una, baguhin natin ang expression at i-factor ito. Mayroong dalawa sa kanila: (x-8) at (x-25) = 0. Bilang resulta, mayroon tayong dalawang ugat 8 at 25.

Ang mga halimbawa na may paglutas ng mga quadratic equation sa grade 9 ay nagbibigay-daan sa paraang ito na makahanap ng variable sa mga expression hindi lamang ng pangalawa, kundi maging ng ikatlo at ikaapat na order.

Halimbawa: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Kapag isinasali ang kanang bahagi sa mga salik na may variable, mayroong tatlo sa kanila, iyon ay, (x+1), (x-3) at (x+ 3).

Bilang resulta, nagiging malinaw na ang equation na ito ay may tatlong ugat: -3; -1; 3.

Square Root

Ang isa pang kaso ng hindi kumpletong second-order equation ay isang expression na kinakatawan sa wika ng mga titik sa paraang ang kanang bahagi ay binuo mula sa mga bahaging ax 2 at c. Dito, upang makuha ang halaga ng variable, ang libreng termino ay inililipat sa kanang bahagi, at pagkatapos na ang square root ay kinuha mula sa magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay. Dapat pansinin na sa sa kasong ito Karaniwang mayroong dalawang ugat ng equation. Ang tanging mga pagbubukod ay maaaring mga pagkakapantay-pantay na hindi naglalaman ng isang termino, kung saan ang variable ay katumbas ng zero, pati na rin ang mga variant ng mga expression kapag ang kanang bahagi ay lumabas na negatibo. Sa huling kaso, walang mga solusyon sa lahat, dahil ang mga aksyon sa itaas ay hindi maaaring isagawa gamit ang mga ugat. Ang mga halimbawa ng mga solusyon sa quadratic equation ng ganitong uri ay dapat isaalang-alang.

Sa kasong ito, ang mga ugat ng equation ay ang mga numero -4 at 4.

Pagkalkula ng lugar ng lupa

Ang pangangailangan para sa ganitong uri ng mga kalkulasyon ay lumitaw noong sinaunang panahon, dahil ang pag-unlad ng matematika sa mga malalayong panahon ay higit na tinutukoy ng pangangailangan upang matukoy nang may pinakamalaking katumpakan ang mga lugar at perimeter ng mga plot ng lupa.

Dapat din nating isaalang-alang ang mga halimbawa ng paglutas ng mga quadratic equation batay sa mga problema ng ganitong uri.

Kaya, sabihin nating mayroong isang hugis-parihaba na kapirasong lupa, ang haba nito ay 16 metro na mas malaki kaysa sa lapad. Dapat mong mahanap ang haba, lapad at perimeter ng site kung alam mo na ang lugar nito ay 612 m2.

Upang makapagsimula, gumawa muna tayo ng kinakailangang equation. Ipahiwatig natin sa x ang lapad ng lugar, kung gayon ang haba nito ay magiging (x+16). Mula sa kung ano ang nakasulat ay sumusunod na ang lugar ay tinutukoy ng expression na x(x+16), na, ayon sa mga kondisyon ng ating problema, ay 612. Nangangahulugan ito na x(x+16) = 612.

Ang paglutas ng kumpletong quadratic equation, at ang expression na ito ay eksakto, ay hindi maaaring gawin sa parehong paraan. Bakit? Bagaman ang kaliwang bahagi ay naglalaman pa rin ng dalawang mga kadahilanan, ang kanilang produkto ay hindi katumbas ng 0 sa lahat, kaya iba't ibang mga pamamaraan ang ginagamit dito.

diskriminasyon

Una sa lahat, gawin natin ang mga kinakailangang pagbabago, kung gayon hitsura ibinigay na pagpapahayag magiging ganito ang hitsura: x 2 + 16x - 612 = 0. Nangangahulugan ito na nakatanggap kami ng expression sa isang form na tumutugma sa naunang tinukoy na pamantayan, kung saan a=1, b=16, c=-612.

Ito ay maaaring isang halimbawa ng paglutas ng mga quadratic equation gamit ang isang discriminant. Narito ang mga kinakailangang kalkulasyon ay ginawa ayon sa scheme: D = b 2 - 4ac. Ang auxiliary quantity na ito ay hindi lamang ginagawang posible upang mahanap ang mga kinakailangang dami sa isang second-order equation, ito ay tumutukoy sa dami posibleng mga opsyon. Kung D>0, mayroong dalawa sa kanila; para sa D=0 mayroong isang ugat. Kung sakaling D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Tungkol sa mga ugat at ang kanilang formula

Sa aming kaso, ang discriminant ay katumbas ng: 256 - 4(-612) = 2704. Ito ay nagpapahiwatig na ang aming problema ay may sagot. Kung alam mo ang k, ang solusyon ng mga quadratic equation ay dapat ipagpatuloy gamit ang formula sa ibaba. Pinapayagan ka nitong kalkulahin ang mga ugat.

Nangangahulugan ito na sa ipinakita na kaso: x 1 =18, x 2 =-34. Ang pangalawang opsyon sa dilemma na ito ay hindi maaaring maging solusyon, dahil ang mga sukat ng land plot ay hindi masusukat sa mga negatibong dami, na nangangahulugang x (iyon ay, ang lapad ng plot) ay 18 m Mula dito kinakalkula namin ang haba: 18 +16=34, at ang perimeter 2(34+ 18)=104(m2).

Mga halimbawa at gawain

Ipinagpapatuloy namin ang aming pag-aaral ng mga quadratic equation. Ang mga halimbawa at detalyadong solusyon ng ilan sa mga ito ay ibibigay sa ibaba.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Ilipat natin ang lahat sa kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay, gumawa ng pagbabago, ibig sabihin, makukuha natin ang uri ng equation na karaniwang tinatawag na standard, at i-equate ito sa zero.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Pagdaragdag ng mga katulad, tinutukoy namin ang discriminant: D = 49 - 48 = 1. Nangangahulugan ito na ang aming equation ay magkakaroon ng dalawang ugat. Kalkulahin natin ang mga ito ayon sa formula sa itaas, na nangangahulugang ang una sa kanila ay magiging katumbas ng 4/3, at ang pangalawa sa 1.

2) Ngayon, lutasin natin ang mga misteryo ng ibang uri.

Alamin natin kung mayroong anumang mga ugat dito x 2 - 4x + 5 = 1? Upang makakuha ng komprehensibong sagot, bawasan natin ang polynomial sa kaukulang karaniwang anyo at kalkulahin ang discriminant. Sa halimbawa sa itaas, hindi kinakailangang lutasin ang quadratic equation, dahil hindi ito ang esensya ng problema. Sa kasong ito, D = 16 - 20 = -4, na nangangahulugang wala talagang mga ugat.

Ang teorama ni Vieta

Ito ay maginhawa upang malutas ang mga quadratic equation gamit ang mga formula sa itaas at ang discriminant, kapag ang square root ay kinuha mula sa halaga ng huli. Ngunit hindi ito palaging nangyayari. Gayunpaman, maraming mga paraan upang makuha ang mga halaga ng mga variable sa kasong ito. Halimbawa: paglutas ng mga quadratic equation gamit ang Vieta's theorem. Siya ay pinangalanan na nabuhay noong ika-16 na siglo sa France at gumawa ng isang napakatalino na karera salamat sa kanyang talento sa matematika at mga koneksyon sa korte. Ang kanyang larawan ay makikita sa artikulo.

Ang pattern na napansin ng sikat na Pranses ay ang mga sumusunod. Pinatunayan niya na ang mga ugat ng equation ay nagdaragdag ayon sa numero sa -p=b/a, at ang kanilang produkto ay tumutugma sa q=c/a.

Ngayon tingnan natin ang mga partikular na gawain.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Para sa pagiging simple, baguhin natin ang expression:

x 2 + 7x - 18 = 0

Gamitin natin ang theorem ng Vieta, ito ay magbibigay sa atin ng sumusunod: ang kabuuan ng mga ugat ay -7, at ang kanilang produkto ay -18. Mula dito nakuha namin na ang mga ugat ng equation ay ang mga numero -9 at 2. Pagkatapos suriin, titiyakin namin na ang mga variable na halaga na ito ay talagang magkasya sa expression.

Parabola graph at equation

Ang mga konsepto ng quadratic function at quadratic equation ay malapit na nauugnay. Ang mga halimbawa nito ay naibigay na kanina. Ngayon tingnan natin ang ilang mga bugtong sa matematika nang mas detalyado. Ang anumang equation ng inilarawang uri ay maaaring maipakita nang biswal. Ang ganitong relasyon, na iginuhit bilang isang graph, ay tinatawag na parabola. Ang iba't ibang uri nito ay ipinakita sa figure sa ibaba.

Ang anumang parabola ay may vertex, iyon ay, isang punto kung saan ang mga sanga nito ay lumabas. Kung a>0, mataas ang mga ito sa infinity, at kapag a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Ang mga visual na representasyon ng mga function ay tumutulong sa paglutas ng anumang mga equation, kabilang ang mga quadratic. Ang pamamaraang ito ay tinatawag na graphical. At ang halaga ng x variable ay ang abscissa coordinate sa mga punto kung saan ang linya ng graph ay nagsalubong sa 0x. Ang mga coordinate ng vertex ay matatagpuan gamit ang formula na ibinigay lamang x 0 = -b/2a. At sa pamamagitan ng pagpapalit ng nagresultang halaga sa orihinal na equation ng function, maaari mong malaman ang y 0, iyon ay, ang pangalawang coordinate ng vertex ng parabola, na kabilang sa ordinate axis.

Ang intersection ng mga sanga ng isang parabola na may abscissa axis

Mayroong maraming mga halimbawa ng paglutas ng mga quadratic equation, ngunit mayroon ding mga pangkalahatang pattern. Tingnan natin sila. Malinaw na ang intersection ng graph na may 0x axis para sa a>0 ay posible lamang kung ang 0 ay kumukuha ng mga negatibong halaga. At para sa isang<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Kung hindi man D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Mula sa graph ng parabola maaari mo ring matukoy ang mga ugat. Ang kabaligtaran ay totoo rin. Iyon ay, kung hindi madaling makakuha ng visual na representasyon ng isang quadratic function, maaari mong itumbas ang kanang bahagi ng expression sa 0 at lutasin ang resultang equation. At alam ang mga punto ng intersection sa 0x axis, mas madaling gumawa ng graph.

Mula sa kasaysayan

Gamit ang mga equation na naglalaman ng isang squared variable, sa mga lumang araw hindi lamang sila gumawa ng mga kalkulasyon sa matematika at tinutukoy ang mga lugar ng mga geometric na numero. Ang mga sinaunang tao ay nangangailangan ng gayong mga kalkulasyon para sa mga dakilang pagtuklas sa larangan ng pisika at astronomiya, gayundin sa paggawa ng mga pagtataya sa astrolohiya.

Gaya ng iminumungkahi ng mga modernong siyentipiko, ang mga naninirahan sa Babylon ay kabilang sa mga unang nakalutas ng mga quadratic equation. Nangyari ito apat na siglo bago ang ating panahon. Siyempre, ang kanilang mga kalkulasyon ay radikal na naiiba mula sa mga kasalukuyang tinatanggap at naging mas primitive. Halimbawa, walang ideya ang mga matematikong Mesopotamia tungkol sa pagkakaroon ng mga negatibong numero. Hindi rin sila pamilyar sa iba pang mga subtleties na alam ng sinumang modernong mag-aaral.

Marahil kahit na mas maaga kaysa sa mga siyentipiko ng Babylon, ang pantas mula sa India Baudhayama ay nagsimulang maglutas ng mga quadratic equation. Nangyari ito mga walong siglo bago ang panahon ni Kristo. Totoo, ang mga pangalawang-order na equation, ang mga pamamaraan para sa paglutas na ibinigay niya, ay ang pinakasimpleng. Bukod sa kanya, ang mga Chinese mathematician ay interesado rin sa mga katulad na tanong noong unang panahon. Sa Europa, ang mga quadratic equation ay nagsimulang malutas lamang sa simula ng ika-13 siglo, ngunit kalaunan ay ginamit sila sa kanilang mga gawa ng mga dakilang siyentipiko tulad ng Newton, Descartes at marami pang iba.

Umaasa ako na pagkatapos pag-aralan ang artikulong ito matututunan mo kung paano hanapin ang mga ugat ng isang kumpletong quadratic equation.

Gamit ang discriminant, ang kumpletong quadratic equation lamang ang malulutas; upang malutas ang mga hindi kumpletong quadratic equation, ginagamit ang iba pang mga pamamaraan, na makikita mo sa artikulong "Paglutas ng hindi kumpletong quadratic equation."

Anong mga quadratic equation ang tinatawag na complete? Ito mga equation ng anyong ax 2 + b x + c = 0, kung saan ang mga coefficient a, b at c ay hindi katumbas ng zero. Kaya, upang malutas ang isang kumpletong quadratic equation, kailangan nating kalkulahin ang discriminant D.

D = b 2 – 4ac.

Depende sa halaga ng discriminant, isusulat namin ang sagot.

Kung ang discriminant ay isang negatibong numero (D< 0),то корней нет.

Kung ang discriminant ay zero, kung gayon ang x = (-b)/2a. Kapag ang discriminant positibong numero(D > 0),

pagkatapos x 1 = (-b - √D)/2a, at x 2 = (-b + √D)/2a.

Halimbawa. Lutasin ang equation x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Sagot: 2.

Lutasin ang Equation 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Sagot: walang ugat.

Lutasin ang Equation 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Sagot: – 3.5; 1.

Kaya isipin natin ang solusyon ng kumpletong quadratic equation gamit ang diagram sa Figure 1.

Gamit ang mga formula na ito maaari mong lutasin ang anumang kumpletong quadratic equation. Kailangan mo lang mag-ingat ang equation ay isinulat bilang polynomial karaniwang view

A x 2 + bx + c, kung hindi, maaari kang magkamali. Halimbawa, sa pagsulat ng equation na x + 3 + 2x 2 = 0, maaari kang magkamali na magpasya na

a = 1, b = 3 at c = 2. Pagkatapos

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 at pagkatapos ang equation ay may dalawang ugat. At hindi ito totoo. (Tingnan ang solusyon sa halimbawa 2 sa itaas).

Samakatuwid, kung ang equation ay hindi isinulat bilang polynomial ng standard form, dapat muna ang kumpletong quadratic equation ay isulat bilang polynomial ng standard form (ang monomial na may pinakamalaking exponent ay dapat mauna, iyon ay. A x 2 , pagkatapos ay may mas kaunti – bx at pagkatapos ay isang libreng miyembro Sa.

Kapag nilulutas ang pinababang quadratic equation at isang quadratic equation na may even coefficient sa pangalawang termino, maaari kang gumamit ng iba pang mga formula. Kilalanin natin ang mga formula na ito. Kung sa isang kumpletong quadratic equation ang pangalawang termino ay may pantay na koepisyent (b = 2k), maaari mong lutasin ang equation gamit ang mga formula na ipinapakita sa diagram sa Figure 2.

Ang isang kumpletong quadratic equation ay tinatawag na reduced kung ang coefficient sa x 2 ay katumbas ng isa at ang equation ay nasa anyo x 2 + px + q = 0. Ang ganitong equation ay maaaring ibigay para sa solusyon, o maaari itong makuha sa pamamagitan ng paghati sa lahat ng coefficient ng equation sa coefficient. A, nakatayo sa x 2 .

Ang Figure 3 ay nagpapakita ng isang diagram para sa paglutas ng pinababang parisukat
mga equation. Tingnan natin ang isang halimbawa ng aplikasyon ng mga formula na tinalakay sa artikulong ito.

Halimbawa. Lutasin ang equation

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Lutasin natin ang equation na ito gamit ang mga formula na ipinapakita sa diagram sa Figure 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Sagot: –1 – √3; –1 + √3

Mapapansin mo na ang coefficient ng x sa equation na ito ay isang even number, iyon ay, b = 6 o b = 2k, kung saan k = 3. Pagkatapos ay subukan nating lutasin ang equation gamit ang mga formula na ipinapakita sa diagram ng figure D. 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Sagot: –1 – √3; –1 + √3. Napansin na ang lahat ng mga coefficient sa quadratic equation na ito ay nahahati ng 3 at nagsasagawa ng division, nakukuha natin ang pinababang quadratic equation x 2 + 2x – 2 = 0 Solve ang equation na ito gamit ang mga formula para sa reduced quadratic.
equation figure 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Sagot: –1 – √3; –1 + √3.

Tulad ng nakikita natin, kapag nilulutas ang equation na ito sa pamamagitan ng iba't ibang mga formula parehas kaming nakatanggap ng sagot. Samakatuwid, nang lubusan mong pinagkadalubhasaan ang mga formula na ipinapakita sa diagram sa Figure 1, palagi mong magagawang lutasin ang anumang kumpletong quadratic equation.

website, kapag kumukopya ng materyal nang buo o bahagi, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.

Umaasa ako na pagkatapos pag-aralan ang artikulong ito matututunan mo kung paano hanapin ang mga ugat ng isang kumpletong quadratic equation.

D = b 2 – 4ac.

Depende sa halaga ng discriminant, isusulat namin ang sagot.

Kung ang discriminant ay isang negatibong numero (D< 0),то корней нет.

Kung ang discriminant ay zero, kung gayon ang x = (-b)/2a. Kapag ang discriminant ay isang positibong numero (D > 0),

pagkatapos x 1 = (-b - √D)/2a, at x 2 = (-b + √D)/2a.

Halimbawa. Lutasin ang equation x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Sagot: 2.

Lutasin ang Equation 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Sagot: walang ugat.

Lutasin ang Equation 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Sagot: – 3.5; 1.

Kaya isipin natin ang solusyon ng kumpletong quadratic equation gamit ang diagram sa Figure 1.

Gamit ang mga formula na ito maaari mong lutasin ang anumang kumpletong quadratic equation. Kailangan mo lang mag-ingat ang equation ay isinulat bilang polynomial ng karaniwang anyo

A x 2 + bx + c, kung hindi, maaari kang magkamali. Halimbawa, sa pagsulat ng equation na x + 3 + 2x 2 = 0, maaari kang magkamali na magpasya na

a = 1, b = 3 at c = 2. Pagkatapos

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 at pagkatapos ang equation ay may dalawang ugat. At hindi ito totoo. (Tingnan ang solusyon sa halimbawa 2 sa itaas).

Ang Figure 3 ay nagpapakita ng isang diagram para sa paglutas ng pinababang parisukat
mga equation. Tingnan natin ang isang halimbawa ng aplikasyon ng mga formula na tinalakay sa artikulong ito.

Halimbawa. Lutasin ang equation

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Lutasin natin ang equation na ito gamit ang mga formula na ipinapakita sa diagram sa Figure 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Sagot: –1 – √3; –1 + √3

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Sagot: –1 – √3; –1 + √3.

Tulad ng nakikita mo, kapag nilulutas ang equation na ito gamit ang iba't ibang mga formula, nakatanggap kami ng parehong sagot. Samakatuwid, nang lubusan mong pinagkadalubhasaan ang mga formula na ipinapakita sa diagram sa Figure 1, palagi mong magagawang lutasin ang anumang kumpletong quadratic equation.

blog.site, kapag kumukopya ng materyal nang buo o bahagi, kinakailangan ang isang link sa orihinal na pinagmulan.

KOMPLEXONG MGA BILANG XI

§ 253. Pagkuha ng mga square root mula sa mga negatibong numero.
Paglutas ng mga quadratic equation sa mga negatibong diskriminasyon

Sa pagkakaalam natin,

i 2 = - 1.

Kasabay nito

(- i ) 2 = (- 1 i ) 2 = (- 1) 2 i 2 = -1.

Kaya, mayroong kahit na dalawang halaga ng square root ng - 1, ibig sabihin i At- i . Ngunit marahil mayroong ilang iba pang kumplikadong mga numero na ang mga parisukat ay katumbas ng - 1?

Upang linawin ang tanong na ito, ipagpalagay na ang parisukat ng isang kumplikadong numero isang + bi ay katumbas ng - 1. Pagkatapos

(isang + bi ) 2 = - 1,

A 2 + 2abi - b 2 = - 1

Ang dalawang kumplikadong numero ay pantay-pantay kung at kung ang kanilang mga tunay na bahagi at koepisyent ng kanilang mga haka-haka na bahagi ay magkapantay. kaya lang

{	A 2 - b 2 = - 1 ab = 0 (1)

Ayon sa pangalawang equation ng system (1), kahit isa sa mga numero A At b dapat zero. Kung b = 0, pagkatapos ay mula sa unang equation na nakukuha natin A 2 = - 1. Bilang A tunay, at samakatuwid A 2 > 0. Hindi negatibong numero A 2 ay hindi maaaring katumbas ng isang negatibong numero - 1. Samakatuwid, ang pagkakapantay-pantay b = 0 ay imposible sa kasong ito. Nananatili itong aminin A = 0, ngunit pagkatapos ay mula sa unang equation ng system na nakuha namin: - b 2 = - 1, b = ± 1.

Samakatuwid, ang mga kumplikadong numero lamang na ang mga parisukat ay -1 ay i At- i , Conventionally, ito ay nakasulat sa form:

√-1 = ± i .

Gamit ang katulad na pangangatwiran, makumbinsi ang mga mag-aaral na mayroong eksaktong dalawang numero na ang mga parisukat ay katumbas ng negatibong numero - A . Ang mga nasabing numero ay √ a i at -√ a i . Conventionally, ito ay nakasulat tulad nito:

√- A = ± √ a i .

Sa ilalim ng √ a dito namin ibig sabihin ay isang arithmetic, iyon ay, positibo, ugat. Halimbawa, √4 = 2, √9 =.3; kaya lang

√-4 = + 2i , √-9 = ± 3 i

Kung kanina, kapag isinasaalang-alang ang mga quadratic equation na may mga negatibong diskriminasyon, sinabi namin na ang mga naturang equation ay walang mga ugat, ngayon ay hindi na natin masasabi iyon. Ang mga quadratic na equation na may mga negatibong diskriminasyon ay may mga kumplikadong ugat. Ang mga ugat na ito ay nakuha ayon sa mga pormula na alam natin. Hayaan, halimbawa, ibigay ang equation x 2 + 2X + 5 = 0; Pagkatapos

X 1.2 = - 1 ± √1 -5 = - 1 ± √-4 = - 1 ± 2 i .

Kaya, ang equation na ito ay may dalawang ugat: X 1 = - 1 +2i , X 2 = - 1 - 2i . Ang mga ugat na ito ay magkakaugnay. Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na ang kanilang kabuuan ay - 2, at ang kanilang produkto ay 5, kaya ang Vieta's theorem ay humahawak.

Mga ehersisyo

2022. (Set no.) Lutasin ang mga equation:

A) x 2 = - 16; b) x 2 = - 2; sa 3 x 2 = - 5.

2023. Hanapin ang lahat ng kumplikadong numero na ang mga parisukat ay pantay:

A) i ; b) 1 / 2 - √ 3 / 2 i ;

2024. Lutasin ang mga quadratic equation:

A) x 2 - 2x + 2 = 0; b) 4 x 2 + 4x + 5 = 0; V) x 2 - 14x + 74 = 0.

Lutasin ang mga sistema ng mga equation (No. 2025, 2026):

{	*x+y* = 6 xy = 45

{	2x- 3y = 1 xy = 1

2027. Patunayan na ang mga ugat ng isang quadratic equation na may tunay na coefficients at isang negatibong discriminant ay magkaparehong conjugate.

2028. Patunayan na ang theorem ni Vieta ay totoo para sa anumang mga quadratic equation, at hindi lamang para sa mga equation na may non-negative na discriminant.

2029. Bumuo ng isang quadratic equation na may tunay na coefficient, ang mga ugat nito ay:

a) X 1 = 5 - i , X 2 = 5 + i ; b) X 1 = 3i , X 2 = - 3i .

2030. Bumuo ng isang quadratic equation na may tunay na coefficients, ang isa sa mga ugat nito ay katumbas ng (3 - i ) (2i - 4).

2031. Bumuo ng isang quadratic equation na may tunay na coefficients, ang isa sa mga ugat nito ay katumbas ng 32 - i
1- 3i .

Patuloy naming pinag-aaralan ang paksa " paglutas ng mga equation" Nakilala na natin ang mga linear equation at nagpapatuloy na tayo sa pagkilala sa quadratic equation.

Una ay titingnan natin kung ano ang isang quadratic equation at kung paano ito nakasulat pangkalahatang pananaw, at magbigay ng mga kaugnay na kahulugan. Pagkatapos nito, gagamit kami ng mga halimbawa upang suriin nang detalyado kung paano nalulutas ang mga hindi kumpletong quadratic equation. Lumipat tayo sa solusyon kumpletong equation, makukuha natin ang root formula, makikilala ang discriminant ng isang quadratic equation, at isaalang-alang ang mga solusyon sa mga tipikal na halimbawa. Sa wakas, subaybayan natin ang mga koneksyon sa pagitan ng mga ugat at coefficient.

Pag-navigate sa pahina.

Ano ang isang quadratic equation? Yung mga tipo nila

Una kailangan mong malinaw na maunawaan kung ano ang isang quadratic equation. Samakatuwid, lohikal na magsimula ng isang pag-uusap tungkol sa mga quadratic equation na may kahulugan ng isang quadratic equation, pati na rin ang mga kaugnay na kahulugan. Pagkatapos nito, maaari mong isaalang-alang ang mga pangunahing uri ng quadratic equation: nabawasan at hindi nabawas, pati na rin ang kumpleto at hindi kumpletong mga equation.

Kahulugan at mga halimbawa ng quadratic equation

Kahulugan.

Quadratic equation ay isang equation ng form a x 2 +b x+c=0, kung saan ang x ay isang variable, ang a, b at c ay ilang mga numero, at ang a ay hindi zero.

Sabihin natin kaagad na ang mga quadratic equation ay madalas na tinatawag na mga equation ng pangalawang degree. Ito ay dahil sa ang katunayan na ang quadratic equation ay algebraic equation ikalawang antas.

Ang nakasaad na kahulugan ay nagpapahintulot sa amin na magbigay ng mga halimbawa ng mga quadratic equation. Kaya 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0, atbp. Ito ay mga quadratic equation.

Kahulugan.

Numero a, b at c ay tinatawag coefficients ng quadratic equation a·x 2 +b·x+c=0, at ang coefficient a ay tinatawag na una, o ang pinakamataas, o ang koepisyent ng x 2, b ang pangalawang koepisyent, o ang koepisyent ng x, at ang c ay ang libreng termino .

Halimbawa, kumuha tayo ng isang parisukat na equation ng form na 5 x 2 −2 x −3=0, dito ang nangungunang koepisyent ay 5, ang pangalawang koepisyent ay katumbas ng −2, at ang libreng termino ay katumbas ng −3. Tandaan na kapag ang mga coefficient b at/o c ay negatibo, tulad ng ibinigay na halimbawa, kung gayon maikling porma pagsulat ng quadratic equation ng anyong 5 x 2 −2 x−3=0, at hindi 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0.

Kapansin-pansin na kapag ang mga coefficients a at/o b ay katumbas ng 1 o −1, kadalasang hindi sila hayagang naroroon sa quadratic equation, na dahil sa mga kakaiba ng pagsulat ng naturang . Halimbawa, sa quadratic equation y 2 −y+3=0 ang leading coefficient ay isa, at ang coefficient ng y ay katumbas ng −1.

Nabawasan at hindi nabawas na mga quadratic equation

Depende sa halaga ng nangungunang koepisyent, ang nabawasan at hindi nabawas na mga quadratic na equation ay nakikilala. Ibigay natin ang mga kaukulang kahulugan.

Kahulugan.

Ang isang quadratic equation kung saan ang leading coefficient ay 1 ay tinatawag ibinigay na quadratic equation. Kung hindi, ang quadratic equation ay hindi nagalaw.

Ayon kay depinisyon na ito, mga quadratic equation x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0, atbp. – ibinigay, sa bawat isa sa kanila ang unang koepisyent ay katumbas ng isa. A 5 x 2 −x−1=0, atbp. - unreduced quadratic equation, ang kanilang mga nangungunang coefficient ay iba sa 1.

Mula sa anumang unreduced quadratic equation, sa pamamagitan ng paghahati sa magkabilang panig ng nangungunang coefficient, maaari kang pumunta sa pinababang isa. Ang aksyon na ito ay isang katumbas na pagbabagong-anyo, iyon ay, ang pinababang quadratic na equation na nakuha sa paraang ito ay may parehong mga ugat gaya ng orihinal na unreduced quadratic equation, o, tulad nito, ay walang mga ugat.

Tingnan natin ang isang halimbawa kung paano ginaganap ang paglipat mula sa isang hindi nabawas na quadratic equation patungo sa isang pinababang equation.

Halimbawa.

Mula sa equation na 3 x 2 +12 x−7=0, pumunta sa katumbas na pinababang quadratic equation.

Solusyon.

Kailangan lang nating hatiin ang magkabilang panig ng orihinal na equation sa nangungunang koepisyent 3, ito ay hindi zero, upang maisagawa natin ang pagkilos na ito. Mayroon kaming (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, na pareho, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, at pagkatapos ay (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, mula sa kung saan . Ito ay kung paano namin nakuha ang pinababang quadratic equation, na katumbas ng orihinal.

Sagot:

Kumpleto at hindi kumpletong quadratic equation

Ang kahulugan ng isang quadratic equation ay naglalaman ng kundisyon a≠0. Ang kundisyong ito ay kinakailangan upang ang equation na a x 2 + b x + c = 0 ay parisukat, dahil kapag a = 0 ito ay talagang nagiging isang linear na equation ng anyong b x + c = 0.

Tulad ng para sa mga coefficient b at c, maaari silang maging katumbas ng zero, parehong isa-isa at magkasama. Sa mga kasong ito, ang quadratic equation ay tinatawag na hindi kumpleto.

Kahulugan.

Ang quadratic equation na a x 2 +b x+c=0 ay tinatawag hindi kumpleto, kung hindi bababa sa isa sa mga coefficient b, c ay katumbas ng zero.

Sa turn nito

Kahulugan.

Kumpletuhin ang quadratic equation ay isang equation kung saan ang lahat ng coefficient ay iba sa zero.

Ang ganitong mga pangalan ay hindi ibinigay ng pagkakataon. Magiging malinaw ito sa mga susunod na talakayan.

Kung ang coefficient b ay zero, ang quadratic equation ay kukuha ng anyo na a·x 2 +0·x+c=0, at ito ay katumbas ng equation na a·x 2 +c=0. Kung c=0, ibig sabihin, ang quadratic equation ay may anyo na a·x 2 +b·x+0=0, pagkatapos ay maaari itong muling isulat bilang a·x 2 +b·x=0. At sa b=0 at c=0 makuha natin ang quadratic equation a·x 2 =0. Ang mga resultang equation ay naiiba sa kumpletong quadratic equation dahil ang kanilang kaliwang bahagi ay hindi naglalaman ng alinman sa isang term na may variable na x, o isang libreng termino, o pareho. Samakatuwid ang kanilang pangalan - hindi kumpletong mga quadratic equation.

Kaya ang mga equation na x 2 +x+1=0 at −2 x 2 −5 x+0.2=0 ay mga halimbawa ng kumpletong quadratic equation, at x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 ay mga hindi kumpletong quadratic equation.

Paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation

Mula sa impormasyon sa nakaraang talata ay sumusunod na mayroong tatlong uri ng hindi kumpletong quadratic equation:

a·x 2 =0, ang mga coefficient b=0 at c=0 ay tumutugma dito;
a x 2 +c=0 kapag b=0 ;
at a·x 2 +b·x=0 kapag c=0.

Suriin natin sa pagkakasunud-sunod kung paano nalulutas ang hindi kumpletong mga quadratic equation ng bawat isa sa mga uri na ito.

a x 2 =0

Magsimula tayo sa paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation kung saan ang mga coefficient b at c ay katumbas ng zero, iyon ay, sa mga equation ng form a x 2 =0. Ang equation na a·x 2 =0 ay katumbas ng equation na x 2 =0, na nakuha mula sa orihinal sa pamamagitan ng paghahati ng parehong bahagi sa isang hindi-zero na numero a. Malinaw, ang ugat ng equation x 2 =0 ay zero, dahil 0 2 =0. Ang equation na ito ay walang iba pang mga ugat, na kung saan ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng katotohanan na para sa anumang di-zero na numero p ang hindi pagkakapantay-pantay na p 2 >0 ay humahawak, na nangangahulugan na para sa p≠0 ang pagkakapantay-pantay na p 2 =0 ay hindi kailanman makakamit.

Kaya, ang hindi kumpletong quadratic equation na a·x 2 =0 ay may iisang ugat x=0.

Bilang halimbawa, binibigyan namin ang solusyon sa hindi kumpletong quadratic equation −4 x 2 =0. Katumbas ito ng equation x 2 =0, ang tanging ugat nito ay x=0, samakatuwid, ang orihinal na equation ay may iisang root zero.

Ang isang maikling solusyon sa kasong ito ay maaaring isulat bilang mga sumusunod:
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Ngayon tingnan natin kung paano nalutas ang hindi kumpletong mga quadratic equation kung saan ang coefficient b ay zero at c≠0, iyon ay, mga equation ng form a x 2 +c=0. Alam namin na ang paglipat ng isang termino mula sa isang bahagi ng equation patungo sa isa pa na may kabaligtaran ng tanda, pati na rin ang paghahati sa magkabilang panig ng equation sa isang nonzero na numero ay nagbibigay ng katumbas na equation. Samakatuwid, maaari nating isagawa ang mga sumusunod na katumbas na pagbabagong-anyo ng hindi kumpletong quadratic equation a x 2 +c=0:

ilipat ang c sa kanang bahagi, na nagbibigay ng equation na a x 2 =−c,
at hatiin ang magkabilang panig ng a, nakukuha natin .

Ang resultang equation ay nagpapahintulot sa amin na gumawa ng mga konklusyon tungkol sa mga ugat nito. Depende sa mga halaga ng a at c, ang halaga ng expression ay maaaring negatibo (halimbawa, kung a=1 at c=2, pagkatapos ) o positibo (halimbawa, kung a=−2 at c=6, pagkatapos ), hindi ito zero , dahil sa kondisyon c≠0. Tingnan natin ang mga kaso nang hiwalay.

Kung , kung gayon ang equation ay walang mga ugat. Ang pahayag na ito ay sumusunod sa katotohanan na ang parisukat ng anumang numero ay isang hindi negatibong numero. Ito ay sumusunod mula dito na kapag , kung gayon para sa anumang bilang p ang pagkakapantay-pantay ay hindi maaaring totoo.

Kung , kung gayon ang sitwasyon na may mga ugat ng equation ay iba. Sa kasong ito, kung maaalala natin ang tungkol sa , kung gayon ang ugat ng equation ay agad na nagiging halata; ito ay ang numero, dahil . Madaling hulaan na ang numero ay ang ugat din ng equation, sa katunayan, . Ang equation na ito ay walang iba pang mga ugat, na maaaring ipakita, halimbawa, sa pamamagitan ng kontradiksyon. Gawin natin.

Tukuyin natin ang mga ugat ng equation na inanunsyo lamang bilang x 1 at −x 1 . Ipagpalagay na ang equation ay may isa pang ugat x 2, iba sa ipinahiwatig na mga ugat x 1 at −x 1. Ito ay kilala na ang pagpapalit ng mga ugat nito sa isang equation sa halip na x ay nagiging equation sa isang tamang numerical equality. Para sa x 1 at −x 1 mayroon tayo , at para sa x 2 mayroon tayo . Ang mga katangian ng numerical equalities ay nagbibigay-daan sa amin na magsagawa ng term-by-term na pagbabawas ng mga tamang numerical equalities, kaya ang pagbabawas ng mga katumbas na bahagi ng equalities ay nagbibigay ng x 1 2 −x 2 2 =0. Ang mga katangian ng mga operasyon na may mga numero ay nagbibigay-daan sa amin na muling isulat ang resultang pagkakapantay-pantay bilang (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Alam natin na ang produkto ng dalawang numero ay katumbas ng zero kung at kung kahit isa sa mga ito ay katumbas ng zero. Samakatuwid, mula sa nagresultang pagkakapantay-pantay ay sumusunod na ang x 1 −x 2 =0 at/o x 1 +x 2 =0, na pareho, x 2 =x 1 at/o x 2 =−x 1. Kaya't dumating kami sa isang kontradiksyon, dahil sa simula sinabi namin na ang ugat ng equation x 2 ay naiiba sa x 1 at −x 1. Ito ay nagpapatunay na ang equation ay walang mga ugat maliban sa at .

Isa-isahin natin ang impormasyon sa talatang ito. Ang hindi kumpletong quadratic equation a x 2 +c=0 ay katumbas ng equation na

walang ugat kung ,
ay may dalawang ugat at , kung .

Isaalang-alang natin ang mga halimbawa ng paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation ng anyong a·x 2 +c=0.

Magsimula tayo sa quadratic equation na 9 x 2 +7=0. Pagkatapos ilipat ang libreng termino sa kanang bahagi ng equation, kukuha ito ng anyong 9 x 2 =−7. Ang paghahati sa magkabilang panig ng resultang equation sa pamamagitan ng 9, dumating tayo sa . Dahil ang kanang bahagi ay may negatibong numero, ang equation na ito ay walang mga ugat, samakatuwid, ang orihinal na hindi kumpletong quadratic equation na 9 x 2 +7 = 0 ay walang mga ugat.

Lutasin natin ang isa pang hindi kumpletong quadratic equation −x 2 +9=0. Inilipat namin ang siyam sa kanang bahagi: −x 2 =−9. Ngayon hinati namin ang magkabilang panig sa −1, nakukuha namin ang x 2 =9. Sa kanang bahagi mayroong isang positibong numero, kung saan namin tapusin na o . Pagkatapos ay isulat namin ang huling sagot: ang hindi kumpletong quadratic equation −x 2 +9=0 ay may dalawang ugat x=3 o x=−3.

a x 2 +b x=0

Nananatili itong harapin ang solusyon ng huling uri ng hindi kumpletong quadratic equation para sa c=0. Ang hindi kumpletong quadratic equation ng form na a x 2 + b x = 0 ay nagpapahintulot sa iyo na malutas paraan ng factorization. Malinaw, magagawa natin, na matatagpuan sa kaliwang bahagi ng equation, kung saan sapat na upang alisin ang karaniwang salik na x sa mga bracket. Ito ay nagpapahintulot sa amin na lumipat mula sa orihinal na hindi kumpletong quadratic equation patungo sa isang katumbas na equation ng form na x·(a·x+b)=0. At ang equation na ito ay katumbas ng isang set ng dalawang equation x=0 at a·x+b=0, na ang huli ay linear at may ugat na x=−b/a.

Kaya, ang hindi kumpletong quadratic equation na a·x 2 +b·x=0 ay may dalawang ugat na x=0 at x=−b/a.

Upang pagsama-samahin ang materyal, susuriin namin ang solusyon sa isang partikular na halimbawa.

Halimbawa.

Lutasin ang equation.

Solusyon.

Ang pagkuha ng x sa mga bracket ay nagbibigay ng equation . Ito ay katumbas ng dalawang equation x=0 at . Paglutas ng kung ano ang nakuha namin linear equation: , at paghahati sa pinaghalong numero sa pamamagitan ng karaniwang fraction, nahanap namin. Samakatuwid, ang mga ugat ng orihinal na equation ay x=0 at .

Pagkatapos tumanggap kinakailangang pagsasanay, ang mga solusyon sa naturang mga equation ay maaaring maisulat nang maikli:

Sagot:

x=0 , .

Discriminant, formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation

Upang malutas ang mga quadratic equation, mayroong isang root formula. Isulat natin ito formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation: , Saan D=b 2 −4 a c- tinatawag na discriminant ng isang quadratic equation. Ang entry ay mahalagang nangangahulugan na .

Kapaki-pakinabang na malaman kung paano hinango ang root formula at kung paano ito ginagamit sa paghahanap ng mga ugat ng quadratic equation. Alamin natin ito.

Derivation ng formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation

Kailangan nating lutasin ang quadratic equation na a·x 2 +b·x+c=0. Magsagawa tayo ng ilang katumbas na pagbabago:

Maaari nating hatiin ang magkabilang panig ng equation na ito sa pamamagitan ng isang non-zero number a, na nagreresulta sa sumusunod na quadratic equation.
Ngayon pumili ng isang kumpletong parisukat sa kaliwang bahagi nito: . Pagkatapos nito, ang equation ay kukuha ng form .
Sa yugtong ito, posibleng ilipat ang huling dalawang termino sa kanang bahagi na may kabaligtaran na tanda, mayroon kaming .
At ibahin din natin ang ekspresyon sa kanang bahagi: .

Bilang resulta, nakarating tayo sa isang equation na katumbas ng orihinal na quadratic equation a·x 2 +b·x+c=0.

Nalutas na natin ang mga equation na katulad ng anyo sa mga nakaraang talata, nang ating suriin. Ito ay nagpapahintulot sa amin na gumuhit ng mga sumusunod na konklusyon tungkol sa mga ugat ng equation:

kung , kung gayon ang equation ay walang tunay na solusyon;
kung , kung gayon ang equation ay may anyo , samakatuwid, , kung saan makikita ang tanging ugat nito;
kung , pagkatapos o , na kapareho ng o , ibig sabihin, ang equation ay may dalawang ugat.

Kaya, ang presensya o kawalan ng mga ugat ng equation, at samakatuwid ang orihinal na quadratic equation, ay nakasalalay sa tanda ng expression sa kanang bahagi. Sa turn, ang tanda ng expression na ito ay tinutukoy ng sign ng numerator, dahil ang denominator 4·a 2 ay palaging positibo, iyon ay, sa pamamagitan ng sign ng expression na b 2 −4·a·c. Tinawag ang expression na ito b 2 −4 a c discriminant ng isang quadratic equation at itinalaga ng liham D. Mula dito ang kakanyahan ng discriminant ay malinaw - batay sa halaga at tanda nito, napagpasyahan nila kung ang quadratic equation ay may tunay na mga ugat, at kung gayon, ano ang kanilang numero - isa o dalawa.

Bumalik tayo sa equation at muling isulat ito gamit ang discriminant notation: . At gumawa kami ng mga konklusyon:

kung D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
kung D=0, ang equation na ito ay may iisang ugat;
sa wakas, kung D>0, kung gayon ang equation ay may dalawang ugat o, na maaaring muling isulat sa anyo o, at pagkatapos palawakin at dalhin ang mga fraction sa isang karaniwang denominator na ating nakuha.

Kaya hinango namin ang mga formula para sa mga ugat ng quadratic equation, ang hitsura nila ay , kung saan ang discriminant D ay kinakalkula ng formula D=b 2 −4·a·c.

Sa kanilang tulong, na may positibong diskriminasyon, maaari mong kalkulahin ang parehong tunay na mga ugat ng isang quadratic equation. Kapag ang discriminant ay katumbas ng zero, ang parehong mga formula ay nagbibigay ng parehong halaga ng ugat, na tumutugma sa isang natatanging solusyon sa quadratic equation. At sa isang negatibong diskriminasyon, kapag sinusubukang gamitin ang formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation, nahaharap tayo sa pagkuha parisukat na ugat mula sa negatibong numero, na nagdadala sa atin nang higit pa at kurikulum ng paaralan. Sa isang negatibong discriminant, ang quadratic equation ay walang tunay na mga ugat, ngunit may isang pares kumplikadong conjugate mga ugat, na makikita gamit ang parehong mga formula ng ugat na nakuha namin.

Algorithm para sa paglutas ng mga quadratic equation gamit ang root formula

Sa pagsasagawa, kapag nilulutas ang mga quadratic equation, maaari mong agad na gamitin ang root formula upang kalkulahin ang kanilang mga halaga. Ngunit ito ay higit na nauugnay sa paghahanap ng mga kumplikadong ugat.

Gayunpaman, sa isang kurso sa algebra ng paaralan ay karaniwang hindi namin pinag-uusapan ang tungkol sa kumplikado, ngunit tungkol sa mga tunay na ugat ng isang quadratic equation. Sa kasong ito, ipinapayong, bago gamitin ang mga pormula para sa mga ugat ng isang quadratic equation, upang mahanap muna ang discriminant, siguraduhin na ito ay hindi negatibo (kung hindi man, maaari nating tapusin na ang equation ay walang tunay na mga ugat), at pagkatapos lamang kalkulahin ang mga halaga ng mga ugat.

Ang pangangatwiran sa itaas ay nagpapahintulot sa amin na magsulat algorithm para sa paglutas ng isang quadratic equation. Upang malutas ang quadratic equation a x 2 +b x+c=0, kailangan mong:

gamit ang discriminant formula D=b 2 −4·a·c, kalkulahin ang halaga nito;
tapusin na ang isang quadratic equation ay walang tunay na ugat kung ang discriminant ay negatibo;
kalkulahin ang tanging ugat ng equation gamit ang formula kung D=0;
maghanap ng dalawang tunay na ugat ng isang quadratic equation gamit ang root formula kung ang discriminant ay positibo.

Dito lang natin napapansin na kung ang discriminant ay katumbas ng zero, maaari mo ring gamitin ang formula; ito ay magbibigay ng parehong halaga bilang .

Maaari kang magpatuloy sa mga halimbawa ng paggamit ng algorithm para sa paglutas ng mga quadratic equation.

Mga halimbawa ng paglutas ng mga quadratic equation

Isaalang-alang natin ang mga solusyon sa tatlong quadratic equation na may positibo, negatibo at walang diskriminasyon. Ang pagkakaroon ng pakikitungo sa kanilang solusyon, sa pamamagitan ng pagkakatulad ay magiging posible na malutas ang anumang iba pang quadratic equation. Magsimula tayo.

Halimbawa.

Hanapin ang mga ugat ng equation x 2 +2·x−6=0.

Solusyon.

Sa kasong ito, mayroon tayong mga sumusunod na coefficient ng quadratic equation: a=1, b=2 at c=−6. Ayon sa algorithm, kailangan mo munang kalkulahin ang discriminant; upang gawin ito, pinapalitan namin ang ipinahiwatig na a, b at c sa discriminant formula, mayroon kaming D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Dahil ang 28>0, iyon ay, ang discriminant ay mas malaki kaysa sa zero, ang quadratic equation ay may dalawang tunay na ugat. Hanapin natin ang mga ito gamit ang root formula, makuha natin , dito maaari mong pasimplehin ang mga resultang expression sa pamamagitan ng paggawa paglipat ng multiplier lampas sa root sign sinusundan ng pagbawas ng fraction:

Sagot:

Lumipat tayo sa susunod na karaniwang halimbawa.

Halimbawa.

Lutasin ang quadratic equation −4 x 2 +28 x−49=0 .

Solusyon.

Magsisimula tayo sa paghahanap ng discriminant: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Samakatuwid, ang quadratic equation na ito ay may iisang ugat, na makikita natin bilang , iyon ay,

Sagot:

x=3.5.

Nananatili itong isaalang-alang ang paglutas ng mga quadratic equation na may negatibong discriminant.

Halimbawa.

Lutasin ang equation na 5·y 2 +6·y+2=0.

Solusyon.

Narito ang mga coefficient ng quadratic equation: a=5, b=6 at c=2. Pinapalitan namin ang mga halagang ito sa discriminant formula, mayroon kami D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Ang discriminant ay negatibo, samakatuwid, ang quadratic equation na ito ay walang tunay na ugat.

Kung kailangan mong ipahiwatig ang mga kumplikadong ugat, pagkatapos ay inilalapat namin ang kilalang formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation, at gumanap mga operasyon na may mga kumplikadong numero:

Sagot:

walang tunay na ugat, kumplikadong ugat ay: .

Tandaan natin muli na kung negatibo ang discriminant ng isang quadratic equation, sa paaralan ay kadalasang agad nilang isinusulat ang isang sagot kung saan ipinapahiwatig nila na walang tunay na mga ugat, at ang mga kumplikadong ugat ay hindi matatagpuan.

Root formula para sa kahit na pangalawang coefficient

Ang formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation, kung saan ang D=b 2 −4·a·c ay nagbibigay-daan sa iyo na makakuha ng formula ng isang mas compact form, na nagbibigay-daan sa iyong lutasin ang mga quadratic equation na may pantay na coefficient para sa x (o sa simpleng koepisyent na may anyong 2·n, halimbawa, o 14· ln5=2·7·ln5 ). Ilabas na natin siya.

Sabihin nating kailangan nating lutasin ang isang quadratic equation ng form na a x 2 +2 n x+c=0. Hanapin natin ang mga ugat nito gamit ang formula na alam natin. Upang gawin ito, kinakalkula namin ang discriminant D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), at pagkatapos ay ginagamit namin ang root formula:

Tukuyin natin ang expression na n 2 −a c bilang D 1 (kung minsan ito ay tinutukoy na D "). Pagkatapos ay ang formula para sa mga ugat ng quadratic equation na isinasaalang-alang sa pangalawang coefficient 2 n ay kukuha ng anyo , kung saan ang D 1 =n 2 −a·c.

Madaling makita na D=4·D 1, o D 1 =D/4. Sa madaling salita, ang D 1 ay ang ikaapat na bahagi ng discriminant. Malinaw na ang tanda ng D 1 ay kapareho ng tanda ng D . Iyon ay, ang sign D 1 ay isa ring tagapagpahiwatig ng pagkakaroon o kawalan ng mga ugat ng isang quadratic equation.

Kaya, upang malutas ang isang quadratic equation na may pangalawang coefficient 2·n, kailangan mo

Kalkulahin ang D 1 =n 2 −a·c ;
Kung D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
Kung D 1 =0, pagkatapos ay kalkulahin ang tanging ugat ng equation gamit ang formula;
Kung D 1 >0, pagkatapos ay maghanap ng dalawang tunay na ugat gamit ang formula.

Isaalang-alang natin ang paglutas ng halimbawa gamit ang root formula na nakuha sa talatang ito.

Halimbawa.

Lutasin ang quadratic equation 5 x 2 −6 x −32=0 .

Solusyon.

Ang pangalawang koepisyent ng equation na ito ay maaaring katawanin bilang 2·(−3) . Iyon ay, maaari mong muling isulat ang orihinal na quadratic equation sa anyong 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, dito a=5, n=−3 at c=−32, at kalkulahin ang ikaapat na bahagi ng may diskriminasyon: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Dahil ang halaga nito ay positibo, ang equation ay may dalawang tunay na ugat. Hanapin natin sila gamit ang naaangkop na root formula:

Tandaan na posibleng gamitin ang karaniwang formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation, ngunit sa kasong ito, mas maraming computational work ang kailangang gawin.

Sagot:

Pagpapasimple sa anyo ng mga quadratic equation

Minsan, bago simulan ang pagkalkula ng mga ugat ng isang quadratic equation gamit ang mga formula, hindi masakit na itanong ang tanong na: "Posible bang gawing simple ang anyo ng equation na ito?" Sumang-ayon na sa mga tuntunin ng mga kalkulasyon ay magiging mas madaling lutasin ang quadratic equation na 11 x 2 −4 x−6=0 kaysa sa 1100 x 2 −400 x−600=0.

Karaniwan, ang pagpapasimple ng anyo ng isang quadratic equation ay nakakamit sa pamamagitan ng pagpaparami o paghahati sa magkabilang panig sa isang tiyak na numero. Halimbawa, sa nakaraang talata posible na gawing simple ang equation na 1100 x 2 −400 x −600=0 sa pamamagitan ng paghahati sa magkabilang panig ng 100.

Ang isang katulad na pagbabago ay isinasagawa gamit ang mga quadratic equation, ang mga coefficient nito ay hindi . Sa kasong ito, ang magkabilang panig ng equation ay karaniwang nahahati sa mga ganap na halaga ng mga coefficient nito. Halimbawa, kunin natin ang quadratic equation na 12 x 2 −42 x+48=0. ganap na halaga ng mga coefficient nito: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Ang paghahati sa magkabilang panig ng orihinal na quadratic equation sa pamamagitan ng 6, dumating tayo sa katumbas na quadratic equation na 2 x 2 −7 x+8=0.

At ang pagpaparami ng magkabilang panig ng isang quadratic equation ay karaniwang ginagawa upang maalis ang mga fractional coefficients. Sa kasong ito, ang pagpaparami ay isinasagawa ng mga denominador ng mga coefficient nito. Halimbawa, kung ang magkabilang panig ng quadratic equation ay i-multiply sa LCM(6, 3, 1)=6, kukuha ito ng mas simpleng anyo x 2 +4·x−18=0.

Sa pagtatapos ng puntong ito, tandaan namin na halos palaging inaalis nila ang minus sa pinakamataas na koepisyent ng isang quadratic equation sa pamamagitan ng pagbabago ng mga palatandaan ng lahat ng mga termino, na tumutugma sa pagpaparami (o paghahati) sa magkabilang panig ng −1. Halimbawa, kadalasan ang isa ay gumagalaw mula sa quadratic equation −2 x 2 −3 x+7=0 patungo sa solusyon na 2 x 2 +3 x−7=0 .

Relasyon sa pagitan ng mga ugat at coefficient ng isang quadratic equation

Ang formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation ay nagpapahayag ng mga ugat ng equation sa pamamagitan ng mga coefficient nito. Batay sa root formula, maaari kang makakuha ng iba pang mga ugnayan sa pagitan ng mga ugat at coefficient.

Ang pinakakilala at naaangkop na mga pormula mula sa teorama ni Vieta ay nasa anyo at . Sa partikular, para sa ibinigay na quadratic equation, ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng pangalawang koepisyent na may kabaligtaran na tanda, at ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng termino. Halimbawa, sa pamamagitan ng pagtingin sa anyo ng quadratic equation 3 x 2 −7 x + 22 = 0, masasabi natin kaagad na ang kabuuan ng mga ugat nito ay katumbas ng 7/3, at ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng 22 /3.

Gamit ang nakasulat na mga formula, maaari kang makakuha ng ilang iba pang koneksyon sa pagitan ng mga ugat at coefficient ng quadratic equation. Halimbawa, maaari mong ipahayag ang kabuuan ng mga parisukat ng mga ugat ng isang quadratic equation sa pamamagitan ng mga coefficient nito: .

Bibliograpiya.

Algebra: aklat-aralin para sa ika-8 baitang. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; inedit ni S. A. Teleyakovsky. - ika-16 na ed. - M.: Edukasyon, 2008. - 271 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A. G. Algebra. ika-8 baitang. Sa loob ng 2 oras. Bahagi 1. Textbook para sa mga mag-aaral ng pangkalahatang institusyong pang-edukasyon / A. G. Mordkovich. - 11th ed., nabura. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: may sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.