Apat na nasa ikapitong baitang.
Mayroong 15 babae at 13 lalaki sa 7A,
sa 7B - 12 babae at 12 lalaki,
sa 7B - 9 na babae at 18 lalaki,
sa 7G - 20 babae at 10 lalaki.
Kung kailangan nating sagutin ang tanong kung gaano karaming mga mag-aaral ang nasa bawat ikapitong baitang, kailangan nating gawin ang parehong operasyon ng pagdaragdag ng 4 na beses:
sa 7A 15 + 13 = 28 mag-aaral;
sa 7B 12 +12 = 24 na mag-aaral;
sa 7B 9 + 18 = 27 mag-aaral;
sa 7G 20 + 10 = 30 mag-aaral.
A. V. Pogorelov, Geometry para sa mga baitang 7-11, Textbook para sa mga institusyong pang-edukasyon
Nilalaman ng aralin mga tala ng aralin pagsuporta sa frame lesson presentation acceleration methods interactive na mga teknolohiya Magsanay mga gawain at pagsasanay mga workshop sa pagsusulit sa sarili, mga pagsasanay, mga kaso, mga pakikipagsapalaran sa mga tanong sa talakayan sa araling-bahay, mga retorika na tanong mula sa mga mag-aaral Mga Ilustrasyon audio, mga video clip at multimedia litrato, larawan, graphics, talahanayan, diagram, katatawanan, anekdota, biro, komiks, talinghaga, kasabihan, crosswords, quote Mga add-on mga abstract articles tricks para sa mga curious crib textbooks basic at karagdagang diksyunaryo ng mga terminong iba Pagpapabuti ng mga aklat-aralin at mga aralinpagwawasto ng mga pagkakamali sa aklat-aralin pag-update ng isang fragment sa isang aklat-aralin, mga elemento ng pagbabago sa aralin, pagpapalit ng hindi napapanahong kaalaman ng mga bago Para lamang sa mga guro perpektong mga aralin plano sa kalendaryo para sa taon mga alituntunin mga programa sa talakayan Pinagsanib na AralinPagmomodelo sa matematika
1. Ano ang mathematical modelling?
Mula sa kalagitnaan ng ika-20 siglo. Ang mga pamamaraan ng matematika at mga kompyuter ay nagsimulang malawakang ginagamit sa iba't ibang larangan ng aktibidad ng tao. Ang mga bagong disiplina ay lumitaw tulad ng "mathematical economics", "mathematical chemistry", "mathematical linguistics", atbp., pag-aaral ng mga mathematical models ng mga kaugnay na bagay at phenomena, gayundin ang mga pamamaraan para sa pag-aaral ng mga modelong ito.
Ang mathematical model ay isang tinatayang paglalarawan ng isang klase ng phenomena o mga bagay tunay na mundo sa wika ng matematika. Ang pangunahing layunin ng pagmomodelo ay upang galugarin ang mga bagay na ito at hulaan ang mga resulta ng mga obserbasyon sa hinaharap. Gayunpaman, ang pagmomodelo ay isa ring paraan ng pag-unawa sa mundo sa paligid natin, na ginagawang posible na kontrolin ito.
Ang pagmomodelo ng matematika at ang nauugnay na eksperimento sa computer ay kailangang-kailangan sa mga kaso kung saan imposible o mahirap ang isang buong sukat na eksperimento para sa isang kadahilanan o iba pa. Halimbawa, imposibleng mag-set up ng natural na eksperimento sa kasaysayan upang suriin ang "kung ano ang mangyayari kung..." Imposibleng suriin ang kawastuhan ng isa o isa pang teorya ng kosmolohiya. Posible, ngunit malamang na hindi makatwiran, na mag-eksperimento sa pagkalat ng isang sakit, tulad ng salot, o magsagawa ng nuclear explosion upang pag-aralan ang mga kahihinatnan nito. Gayunpaman, ang lahat ng ito ay maaaring gawin sa isang computer sa pamamagitan ng unang pagbuo ng mga modelo ng matematika ng mga phenomena na pinag-aaralan.
2. Pangunahing yugto ng pagmomodelo ng matematika
1) Pagbuo ng modelo. Sa yugtong ito, ang ilang bagay na "di-matematika" ay tinukoy - isang natural na kababalaghan, disenyo, plano sa ekonomiya, proseso ng pagmamanupaktura atbp. Sa kasong ito, bilang isang panuntunan, ang isang malinaw na paglalarawan ng sitwasyon ay mahirap. Una, ang mga pangunahing tampok ng kababalaghan at ang mga koneksyon sa pagitan ng mga ito sa isang antas ng husay ay nakilala. Pagkatapos ang nahanap na qualitative dependencies ay binuo sa wika ng matematika, iyon ay, isang mathematical model ang binuo. Ito ang pinakamahirap na yugto ng pagmomodelo.
2) Paglutas ng problemang pangmatematika kung saan pinangungunahan ng modelo. Sa yugtong ito, maraming pansin ang binabayaran sa pagbuo ng mga algorithm at numerical na pamamaraan para sa paglutas ng problema sa isang computer, sa tulong kung saan ang resulta ay matatagpuan sa kinakailangang katumpakan at sa loob ng isang katanggap-tanggap na oras.
3) Interpretasyon ng mga nakuhang kahihinatnan mula sa mathematical model. Ang mga kahihinatnan na nagmula sa modelo sa wika ng matematika ay binibigyang kahulugan sa wikang tinatanggap sa larangan.
4) Sinusuri ang kasapatan ng modelo. Sa yugtong ito, natutukoy kung ang mga eksperimentong resulta ay sumasang-ayon sa mga teoretikal na kahihinatnan ng modelo sa loob ng isang tiyak na katumpakan.
5) Pagbabago ng modelo. Sa yugtong ito, alinman sa modelo ay kumplikado upang ito ay mas sapat sa katotohanan, o ito ay pinasimple upang makamit ang isang praktikal na katanggap-tanggap na solusyon.
3. Pag-uuri ng mga modelo
Maaaring uriin ang mga modelo ayon sa iba't ibang pamantayan. Halimbawa, ayon sa likas na katangian ng mga problemang nilulutas, ang mga modelo ay maaaring nahahati sa functional at structural. Sa unang kaso, ang lahat ng mga dami na nagpapakilala sa isang kababalaghan o bagay ay ipinahayag sa dami. Bukod dito, ang ilan sa mga ito ay itinuturing na mga independiyenteng variable, habang ang iba ay itinuturing na mga function ng mga dami na ito. Ang modelong matematikal ay karaniwang isang sistema ng mga equation ng iba't ibang uri (differential, algebraic, atbp.) na nagtatatag ng mga quantitative na relasyon sa pagitan ng mga dami na isinasaalang-alang. Sa pangalawang kaso, ang modelo ay nagpapakilala sa istraktura ng isang kumplikadong bagay na binubuo ng mga indibidwal na bahagi, sa pagitan ng kung saan mayroong ilang mga koneksyon. Karaniwan, ang mga koneksyon na ito ay hindi nasusukat. Upang makabuo ng gayong mga modelo, maginhawang gumamit ng teorya ng graph. Ang graph ay isang mathematical na bagay na kumakatawan sa isang set ng mga punto (vertices) sa isang eroplano o sa espasyo, na ang ilan ay konektado sa pamamagitan ng mga linya (mga gilid).
Batay sa likas na katangian ng paunang data at mga resulta, ang mga modelo ng hula ay maaaring hatiin sa deterministic at probabilistic-statistical. Ang mga modelo ng unang uri ay gumagawa ng tiyak, hindi malabo na mga hula. Ang mga modelo ng pangalawang uri ay batay sa istatistikal na impormasyon, at ang mga hula na nakuha sa kanilang tulong ay probabilistic sa kalikasan.
4. Mga halimbawa ng mathematical models
1) Mga problema tungkol sa paggalaw ng isang projectile.
Isaalang-alang ang sumusunod na problema sa mekanika.
Ang projectile ay inilunsad mula sa Earth na may paunang bilis v 0 = 30 m/s sa isang anggulo a = 45° sa ibabaw nito; ito ay kinakailangan upang mahanap ang tilapon ng paggalaw nito at ang distansya S sa pagitan ng simula at pagtatapos ng mga punto ng tilapon na ito.
Pagkatapos, gaya ng nalalaman mula sa kursong pisika ng paaralan, ang galaw ng projectile ay inilalarawan ng mga formula:
kung saan ang t ay oras, g = 10 m/s 2 ay ang acceleration ng gravity. Ang mga formula na ito ay nagbibigay ng mathematical model ng problema. Ang pagpapahayag ng t hanggang x mula sa unang equation at pinapalitan ito sa pangalawa, nakuha natin ang equation para sa trajectory ng projectile:
Ang curve na ito (parabola) ay nag-intersect sa x axis sa dalawang punto: x 1 = 0 (simula ng trajectory) at 
(lugar kung saan nahulog ang projectile). Ang pagpapalit ng mga ibinigay na halaga ng v0 at a sa mga resultang formula, nakukuha namin
sagot: y = x – 90x 2, S = 90 m.
Tandaan na kapag itinayo ang modelong ito, maraming mga pagpapalagay ang ginamit: halimbawa, ipinapalagay na ang Earth ay patag, at ang hangin at ang pag-ikot ng Earth ay hindi nakakaapekto sa paggalaw ng projectile.
2) Problema tungkol sa isang tangke na may pinakamaliit na lugar sa ibabaw.
Kinakailangang hanapin ang taas h 0 at radius r 0 ng tangke ng lata na may volume na V = 30 m 3, na may hugis ng saradong pabilog na silindro, kung saan ang ibabaw na lugar nito S ay minimal (sa kasong ito, ang hindi bababa sa dami ng lata ang gagamitin para sa produksyon nito).
Isulat natin ang mga sumusunod na formula para sa volume at surface area ng isang silindro ng taas h at radius r:
V = p r 2 h, S = 2p r(r + h).
Ang pagpapahayag ng h hanggang r at V mula sa unang formula at pinapalitan ang nagresultang expression sa pangalawa, nakukuha natin ang:
Kaya, mula sa isang matematikal na punto ng view, ang problema ay bumaba sa pagtukoy ng halaga ng r kung saan ang function na S(r) ay umabot sa pinakamababa nito. Hanapin natin ang mga halagang iyon ng r 0 kung saan ang derivative
napupunta sa zero: 
Maaari mong suriin na ang pangalawang derivative ng function na S(r) ay nagbabago ng sign mula minus hanggang plus kapag ang argument r ay dumaan sa punto r 0 . Dahil dito, sa punto r0 ang function na S(r) ay may pinakamababa. Ang katumbas na halaga ay h 0 = 2r 0 . Ang pagpapalit ng ibinigay na halaga V sa expression para sa r 0 at h 0, nakuha namin ang nais na radius 
at taas 
3) Problema sa transportasyon.
Ang lungsod ay may dalawang bodega ng harina at dalawang panaderya. Araw-araw, 50 tonelada ng harina ang dinadala mula sa unang bodega, at 70 tonelada mula sa pangalawa patungo sa mga pabrika, na may 40 tonelada sa una, at 80 tonelada sa pangalawa.
Ipahiwatig natin sa pamamagitan ng a ij gastos sa pagdadala ng 1 toneladang harina mula sa i-th warehouse hanggang j-th halaman(i, j = 1,2). Hayaan
a 11 = 1.2 rubles, a 12 = 1.6 rubles, a 21 = 0.8 kuskusin., a 22 = 1 kuskusin.
Paano dapat planuhin ang transportasyon upang ang gastos nito ay minimal?
Bigyan natin ang problema ng isang mathematical formulation. Tukuyin natin sa x 1 at x 2 ang dami ng harina na dapat dalhin mula sa unang bodega hanggang sa una at pangalawang pabrika, at sa x 3 at x 4 - mula sa pangalawang bodega hanggang sa una at pangalawang pabrika, ayon sa pagkakabanggit. Pagkatapos:
x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)
Ang kabuuang halaga ng lahat ng transportasyon ay tinutukoy ng formula
f = 1.2x 1 + 1.6x 2 + 0.8x 3 + x 4.
Mula sa isang matematikal na pananaw, ang problema ay upang mahanap ang apat na numero x 1, x 2, x 3 at x 4 na nakakatugon sa lahat ng ibinigay na mga kondisyon at nagbibigay ng pinakamababa sa function na f. Lutasin natin ang sistema ng mga equation (1) para sa xi (i = 1, 2, 3, 4) sa pamamagitan ng pag-aalis ng mga hindi alam. Nakukuha namin iyon
x 1 = x 4 – 30, x 2 = 80 – x 4, x 3 = 70 – x 4, (2)
at ang x 4 ay hindi maaaring matukoy nang natatangi. Dahil x i і 0 (i = 1, 2, 3, 4), sumusunod ito mula sa mga equation (2) na 30Ј x 4 Ј 70. Ang pagpapalit ng expression para sa x 1, x 2, x 3 sa formula para sa f, nakukuha natin
f = 148 – 0.2x 4.
Madaling makita na ang minimum ng function na ito ay nakakamit sa maximum posibleng kahulugan x 4, iyon ay, kapag x 4 = 70. Ang mga katumbas na halaga ng iba pang hindi alam ay tinutukoy ng mga formula (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.
4) Ang problema ng radioactive decay.
Hayaang ang N(0) ay ang paunang bilang ng mga atomo ng isang radioactive substance, at ang N(t) ay ang bilang ng mga hindi nabubulok na atomo sa oras na t. Eksperimento na itinatag na ang rate ng pagbabago sa bilang ng mga atom na ito N"(t) ay proporsyonal sa N(t), ibig sabihin, N"(t)=–l N(t), l >0 ay ang pare-pareho ang radioactivity ng sangkap na ito. Sa kurso ng paaralan ng mathematical analysis ipinapakita na ang solusyon sa differential equation na ito ay may anyo na N(t) = N(0)e –l t. Ang oras na T kung saan ang bilang ng mga unang atomo ay nahati ay tinatawag na kalahating buhay, at ito ay isang mahalagang katangian ng radyaktibidad ng isang sangkap. Upang matukoy ang T, dapat nating ilagay sa formula 
Pagkatapos 
Halimbawa, para sa radon l = 2.084 · 10 –6, at samakatuwid T = 3.15 araw.
5) Ang problema sa naglalakbay na tindero.
Ang isang naglalakbay na tindero na naninirahan sa lungsod A 1 ay kailangang bumisita sa mga lungsod A 2 , A 3 at A 4 , bawat lungsod nang eksaktong isang beses, at pagkatapos ay bumalik sa A 1 . Nabatid na ang lahat ng mga lungsod ay konektado nang pares sa pamamagitan ng mga kalsada, at ang mga haba ng mga kalsada b ij sa pagitan ng mga lungsod A i at A j (i, j = 1, 2, 3, 4) ay ang mga sumusunod:
b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.
Ito ay kinakailangan upang matukoy ang pagkakasunud-sunod ng pagbisita sa mga lungsod kung saan ang haba ng kaukulang landas ay minimal.
Ilarawan natin ang bawat lungsod bilang isang punto sa eroplano at markahan ito ng kaukulang label na Ai (i = 1, 2, 3, 4). Ikonekta natin ang mga puntong ito sa mga tuwid na linya: ang mga ito ay kumakatawan sa mga kalsada sa pagitan ng mga lungsod. Para sa bawat "kalsada" ipinapahiwatig namin ang haba nito sa mga kilometro (Larawan 2). Ang resulta ay isang graph - isang mathematical object na binubuo ng isang tiyak na hanay ng mga punto sa eroplano (tinatawag na vertices) at isang tiyak na hanay ng mga linya na nagkokonekta sa mga puntong ito (tinatawag na mga gilid). Bukod dito, ang graph na ito ay may label, dahil ang mga vertice at mga gilid nito ay itinalaga ng ilang mga label - mga numero (mga gilid) o mga simbolo (mga vertex). Ang cycle sa isang graph ay isang sequence ng vertices V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 na ang vertices V 1 , ..., V k ay magkaiba, at anumang pares ng vertices V i , V i+1 (i = 1, ..., k – 1) at ang pares na V 1, V k ay konektado sa pamamagitan ng isang gilid. Kaya, ang problemang isinasaalang-alang ay ang paghahanap ng cycle sa graph na dumadaan sa lahat ng apat na vertices kung saan ang kabuuan ng lahat ng edge weights ay minimal. Hanapin natin ang lahat ng iba't ibang cycle na dumadaan sa apat na vertices at simula sa A 1:
1) A 1, A 4, A 3, A 2, A 1;
2) A 1, A 3, A 2, A 4, A 1;
3) A 1, A 3, A 4, A 2, A 1.
Hanapin natin ngayon ang mga haba ng mga cycle na ito (sa km): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Kaya, ang ruta ng pinakamaikling haba ay ang una.
Tandaan na kung mayroong n vertices sa isang graph at lahat ng vertices ay konektado sa mga pares sa pamamagitan ng mga gilid (ang ganitong graph ay tinatawag na kumpleto), kung gayon ang bilang ng mga cycle na dumadaan sa lahat ng vertices ay Samakatuwid, sa aming kaso mayroong eksaktong tatlong cycle.
6) Ang problema sa paghahanap ng koneksyon sa pagitan ng istraktura at mga katangian ng mga sangkap.
Tingnan natin ang ilan mga kemikal na compound, tinatawag na normal na alkanes. Binubuo ang mga ito ng n carbon atoms at n + 2 hydrogen atoms (n = 1, 2 ...), na magkakaugnay tulad ng ipinapakita sa Figure 3 para sa n = 3. Hayaang malaman ang mga pang-eksperimentong halaga ng mga punto ng kumukulo ng mga compound na ito:
y e (3) = – 42°, y e (4) = 0°, y e (5) = 28°, y e (6) = 69°.
Kinakailangang maghanap ng tinatayang kaugnayan sa pagitan ng punto ng kumukulo at ang bilang n para sa mga compound na ito. Ipagpalagay natin na ang pag-asa na ito ay may anyo
y" a n+b,
saan a, b - mga constant na tutukuyin. Hanapin a at b pinapalitan natin ang formula na ito nang sunud-sunod n = 3, 4, 5, 6 at ang mga katumbas na halaga ng mga kumukulo. Meron kami:
– 42 » 3 a+ b, 0 » 4 a+ b, 28 » 5 a+ b, 69 » 6 a+ b.
Upang matukoy ang pinakamahusay a at b marami iba't ibang pamamaraan. Gamitin natin ang pinakasimple sa kanila. Ipahayag natin ang b sa pamamagitan ng a mula sa mga equation na ito:
b » – 42 – 3 a, b" – 4 a, b » 28 – 5 a, b » 69 – 6 a.
Kunin natin ang arithmetic mean ng mga halagang ito bilang nais na b, ibig sabihin, inilalagay natin ang b » 16 – 4.5 a. Ipalit natin ang halagang ito ng b sa orihinal na sistema ng mga equation at, pagkalkula a, nakukuha namin para sa a ang mga sumusunod na halaga: a» 37, a» 28, a» 28, a" 36. Kunin natin kung kinakailangan a ang average na halaga ng mga numerong ito, iyon ay, ilagay natin a" 34. Kaya, ang kinakailangang equation ay may anyo
y » 34n – 139.
Suriin natin ang katumpakan ng modelo sa orihinal na apat na compound, kung saan kinakalkula natin ang mga kumukulo gamit ang resultang formula:
y р (3) = – 37°, y р (4) = – 3°, y р (5) = 31°, y р (6) = 65°.
Kaya, ang error sa pagkalkula ng property na ito para sa mga compound na ito ay hindi lalampas sa 5°. Ginagamit namin ang resultang equation upang kalkulahin ang boiling point ng isang compound na may n = 7, na hindi kasama sa orihinal na set, kung saan pinapalitan namin ang n = 7 sa equation na ito: y р (7) = 99°. Ang resulta ay medyo tumpak: ito ay kilala na ang pang-eksperimentong halaga ng boiling point y e (7) = 98°.
7) Ang problema sa pagtukoy ng pagiging maaasahan ng isang de-koryenteng circuit.
Dito ay titingnan natin ang isang halimbawa ng isang probabilistikong modelo. Una, ipinakita namin ang ilang impormasyon mula sa teorya ng posibilidad - isang disiplina sa matematika na nag-aaral sa mga pattern ng mga random na phenomena na naobserbahan sa paulit-ulit na pag-uulit ng mga eksperimento. Tawagan natin ang isang random na kaganapan A bilang isang posibleng resulta ng ilang eksperimento. Ang mga kaganapan A 1, ..., A k ay bumubuo ng isang kumpletong pangkat kung ang isa sa mga ito ay kinakailangang mangyari bilang resulta ng eksperimento. Ang mga kaganapan ay tinatawag na hindi magkatugma kung hindi sila maaaring mangyari nang sabay-sabay sa isang karanasan. Hayaang mangyari ang kaganapan A nang m beses sa isang n-tiklop na pag-uulit ng eksperimento. Ang dalas ng kaganapan A ay ang bilang na W = . Malinaw, ang halaga ng W ay hindi mahuhulaan nang tumpak hanggang sa isang serye ng n eksperimento ay isinasagawa. Gayunpaman, ang likas na katangian ng mga random na kaganapan ay tulad na sa pagsasanay ang sumusunod na epekto ay minsan napapansin: habang ang bilang ng mga eksperimento ay tumataas, ang halaga ay halos hindi na maging random at nagpapatatag sa paligid ng ilang di-random na numerong P(A), na tinatawag na probabilidad ng ang kaganapan A. Para sa isang imposibleng kaganapan (na hindi kailanman nangyayari sa isang eksperimento) P(A)=0, at para sa isang maaasahang kaganapan (na palaging nangyayari sa karanasan) P(A)=1. Kung ang mga kaganapan A 1 , ..., A k ay bumubuo ng isang kumpletong pangkat ng mga hindi magkatugma na mga kaganapan, pagkatapos ay P(A 1)+...+P(A k)=1.
Hayaan, halimbawa, ang eksperimento ay binubuo ng paghagis ng dice at pagmamasid sa bilang ng mga puntos na inilabas na X. Pagkatapos ay maaari nating ipakilala ang mga sumusunod na random na kaganapan A i = (X = i), i = 1, ..., 6. Sila bumuo ng isang kumpletong pangkat ng mga hindi magkatugma na may posibilidad na mga kaganapan, samakatuwid P(A i) = (i = 1, ..., 6).
Ang kabuuan ng mga kaganapan A at B ay ang kaganapan A + B, na binubuo sa katotohanan na kahit isa sa mga ito ay nangyari sa karanasan. Ang produkto ng mga kaganapan A at B ay ang kaganapan AB, na binubuo ng sabay-sabay na paglitaw ng mga kaganapang ito. Para sa mga independiyenteng kaganapan A at B, ang mga sumusunod na formula ay totoo:
P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).
8) Isaalang-alang natin ngayon ang mga sumusunod gawain. Ipagpalagay natin na ang tatlong elemento ay konektado sa serye sa isang de-koryenteng circuit at gumagana nang hiwalay sa isa't isa. Ang mga probabilidad ng pagkabigo ng 1st, 2nd at 3rd elements ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng P1 = 0.1, P2 = 0.15, P3 = 0.2. Isasaalang-alang namin ang isang circuit na maaasahan kung ang posibilidad na walang kasalukuyang sa circuit ay hindi hihigit sa 0.4. Ito ay kinakailangan upang matukoy kung ang isang ibinigay na circuit ay maaasahan.
Dahil ang mga elemento ay konektado sa serye, walang kasalukuyang sa circuit (kaganapan A) kung hindi bababa sa isa sa mga elemento ay nabigo. Let A i be the event that i-ika elemento gumagana (i = 1, 2, 3). Pagkatapos P(A1) = 0.9, P(A2) = 0.85, P(A3) = 0.8. Malinaw, ang A 1 A 2 A 3 ay isang kaganapan kung saan ang lahat ng tatlong elemento ay gumagana nang sabay-sabay, at
P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = 0.612.
Pagkatapos P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, kaya P(A) = 0.388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.
Sa konklusyon, napapansin namin na ang mga ibinigay na halimbawa ng mga modelong matematikal (kabilang ang functional at structural, deterministic at probabilistic) ay likas na naglalarawan at, malinaw naman, hindi nauubos ang iba't ibang mga modelo ng matematika na lumitaw sa mga natural na agham at humanidad.
Mga modelo ng matematika
Matematikal na modelo - tinatayang opiang kahulugan ng object ng pagmomodelo, ipinahayag gamitng simbolismo sa matematika.
Lumitaw ang mga modelo ng matematika kasama ng matematika maraming siglo na ang nakalilipas. Ang pagdating ng mga kompyuter ay nagbigay ng malaking impetus sa pagbuo ng mathematical modelling. Ang paggamit ng mga computer ay naging posible upang pag-aralan at ilapat sa pagsasanay ang maraming mga modelo ng matematika na dati ay hindi pumayag sa analytical na pananaliksik. Ipinatupad sa isang computer sa matematikamodelo ng langit tinawag modelo ng matematika sa computer, A pagsasagawa ng mga naka-target na kalkulasyon gamit ang isang modelo ng computer tinawag eksperimento sa computational.
Mga yugto ng computer mathematical sciencedibisyon ay ipinapakita sa figure. Unayugto - pagtukoy ng mga layunin sa pagmomolde. Maaaring magkaiba ang mga layuning ito:
- kailangan ang isang modelo upang maunawaan kung paano ito gumagana tiyak na bagay ano ang istraktura nito, mga pangunahing katangian, mga batas ng pag-unlad at pakikipag-ugnayan
sa labas ng mundo (pag-unawa); - kailangan ang isang modelo upang matutunan kung paano pamahalaan ang isang bagay (o proseso) at matukoy ang pinakamahusay na paraan pamamahala na may ibinigay na mga layunin at pamantayan (pamamahala);
- ang modelo ay kinakailangan upang mahulaan ang direkta at hindi direktang kahihinatnan ng pagpapatupad ng mga ibinigay na pamamaraan at anyo ng impluwensya sa bagay (pagtataya).
Isang halimbawa mula sa isang ganap na naiibang lugar: ang mga populasyon ng dalawang species ng mga indibidwal na mapayapang nabuhay nang may matatag na mga numero at may karaniwang suplay ng pagkain, "biglang" nagsimulang baguhin ang kanilang mga numero nang husto. At dito pinapayagan ng pagmomolde ng matematika (na may isang tiyak na antas ng pagiging maaasahan) upang maitatag ang dahilan (o kahit na pabulaanan ang isang tiyak na hypothesis).
Ang pagbuo ng isang konsepto para sa pamamahala ng isang bagay ay isa pang posibleng layunin ng pagmomodelo. Aling mode ng paglipad ng sasakyang panghimpapawid ang dapat kong piliin upang matiyak na ang paglipad ay ligtas at pinaka-matipid na kita? Paano mag-iskedyul ng daan-daang uri ng trabaho sa pagtatayo ng isang malaking pasilidad upang ito ay makumpleto sa pinakamaikling panahon? Maraming gayong mga problema ang sistematikong lumitaw sa harap ng mga ekonomista, taga-disenyo, at mga siyentipiko.
Sa wakas, ang paghula sa mga kahihinatnan ng ilang mga epekto sa isang bagay ay maaaring pareho nang medyo simpleng bagay sa simple mga pisikal na sistema, at lubhang kumplikado - nasa bingit ng pagiging posible - sa biyolohikal, pang-ekonomiya, at panlipunang mga sistema. Kung medyo madaling sagutin ang tanong tungkol sa mga pagbabago sa mode ng pamamahagi ng init sa isang manipis na baras dahil sa mga pagbabago sa bumubuo ng haluang metal nito, kung gayon medyo madaling masubaybayan (hulaan) ang kapaligiran at klimatiko na mga kahihinatnan ng pagtatayo ng isang malaking hydroelectric power station o panlipunang kahihinatnan ang mga pagbabago sa batas sa buwis ay hindi maihahambing na mas mahirap. Marahil dito, masyadong, ang mga pamamaraan sa pagmomolde ng matematika ay magbibigay ng mas makabuluhang tulong sa hinaharap.
Ikalawang yugto: pagpapasiya ng mga parameter ng input at output ng modelo; paghahati ng mga parameter ng input ayon sa antas ng kahalagahan ng impluwensya ng kanilang mga pagbabago sa output. Ang prosesong ito ay tinatawag na ranggo, o paghihiwalay ayon sa ranggo (tingnan. "Pagpormaltion at pagmomodelo").
Ikatlong yugto: pagbuo ng isang mathematical model. Sa yugtong ito, mayroong isang paglipat mula sa isang abstract na pagbabalangkas ng modelo sa isang pagbabalangkas na may isang tiyak na representasyon sa matematika. Ang isang mathematical model ay mga equation, mga sistema ng mga equation, mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay, mga differential equation o mga sistema ng mga naturang equation, atbp.
Ikaapat na yugto: pagpili ng isang paraan para sa pag-aaral ng isang modelo ng matematika. Kadalasan, ang mga numerical na pamamaraan ay ginagamit dito, na nagpapahiram ng kanilang mga sarili sa programming. Bilang isang patakaran, maraming mga pamamaraan ang angkop para sa paglutas ng parehong problema, naiiba sa katumpakan, katatagan, atbp. Ang tagumpay ng buong proseso ng pagmomodelo ay madalas na nakasalalay sa tamang pagpili ng paraan.
Ikalimang yugto: Ang pagbuo ng isang algorithm, pag-compile at pag-debug ng isang computer program ay isang mahirap na proseso na gawing pormal. Kabilang sa mga programming language, maraming mga propesyonal ang mas gusto ang FORTRAN para sa pagmomolde ng matematika: kapwa dahil sa mga tradisyon at dahil sa hindi maunahang kahusayan ng mga compiler (para sa gawaing pagkalkula) at ang pagkakaroon ng malaki, maingat na pag-debug at na-optimize na mga aklatan ng mga karaniwang programa para sa mga pamamaraan ng matematika na nakasulat dito . Ang mga wika tulad ng PASCAL, BASIC, C ay ginagamit din, depende sa likas na katangian ng gawain at mga hilig ng programmer.
Ika-anim na yugto: pagsubok ng programa. Ang pagpapatakbo ng programa ay nasubok sa isang pagsubok na problema na may dating alam na sagot. Ito ay simula pa lamang ng isang pagsubok na pamamaraan na mahirap ilarawan sa pormal na komprehensibong paraan. Karaniwan, nagtatapos ang pagsubok kapag ang gumagamit, batay sa kanyang mga propesyonal na katangian, ay isinasaalang-alang na tama ang programa.
Ikapitong yugto: ang aktwal na eksperimento sa computational, kung saan natutukoy kung ang modelo ay tumutugma sa isang tunay na bagay (proseso). Ang modelo ay sapat na sapat sa tunay na proseso kung ang ilang mga katangian ng proseso na nakuha sa isang computer ay nag-tutugma sa mga eksperimentong nakuha na mga katangian na may isang tiyak na antas ng katumpakan. Kung ang modelo ay hindi tumutugma sa tunay na proseso, bumalik kami sa isa sa mga nakaraang yugto.
Pag-uuri ng mga modelo ng matematika
Ang pag-uuri ng mga modelo ng matematika ay maaaring batay sa iba't ibang mga prinsipyo. Maaari mong uriin ang mga modelo ayon sa mga sangay ng agham (mga modelo ng matematika sa pisika, biology, sosyolohiya, atbp.). Maaaring uriin ayon sa mathematical apparatus na ginamit (mga modelo batay sa paggamit ng mga ordinaryong differential equation, partial differential equation, stochastic method, discrete algebraic transformations, atbp.). Sa wakas, batay sa karaniwang gawain pagmomodelo sa iba't ibang agham, anuman ang mathematical apparatus, ang pinaka natural na pag-uuri ay:
- deskriptibo (naglalarawan) mga modelo;
- mga modelo ng pag-optimize;
- mga modelo ng multicriteria;
- mga modelo ng laro.
Ipaliwanag natin ito sa mga halimbawa.
Descriptive (descriptive) na mga modelo. Halimbawa, ang pagmomodelo ng galaw ng isang kometa na sumalakay sa solar system ay isinasagawa upang mahulaan ang landas ng paglipad nito, ang distansya kung saan ito dadaan mula sa Earth, atbp. Sa kasong ito, ang mga layunin sa pagmomolde ay likas na mapaglarawan, dahil walang paraan upang maimpluwensyahan ang paggalaw ng kometa o baguhin ang anumang bagay dito.
Mga modelo ng pag-optimize ay ginagamit upang ilarawan ang mga prosesong maaaring maimpluwensyahan sa pagtatangkang makamit ang isang partikular na layunin. Sa kasong ito, ang modelo ay may kasamang isa o higit pang mga parameter, naa-access sa impluwensya. Halimbawa, kapag binabago ang thermal rehimen sa isang kamalig, maaari mong itakda ang layunin ng pagpili ng isang rehimen na makakamit ang maximum na kaligtasan ng butil, i.e. i-optimize ang proseso ng imbakan.
Mga modelo ng multicriteria. Kadalasan ay kinakailangan upang i-optimize ang isang proseso kasama ang ilang mga parameter nang sabay-sabay, at ang mga layunin ay maaaring magkasalungat. Halimbawa, ang pag-alam sa mga presyo ng pagkain at ang pangangailangan ng isang tao para sa pagkain, kailangan mong ayusin ang mga pagkain malalaking grupo ang mga tao (sa hukbo, kampo ng tag-init ng mga bata, atbp.) ay tama sa pisyolohikal at, sa parehong oras, bilang mura hangga't maaari. Malinaw na ang mga layuning ito ay hindi nagtutugma sa lahat, i.e. Kapag nagmomodelo, maraming pamantayan ang gagamitin, kung saan dapat maghanap ng balanse.
Mga modelo ng laro maaaring nauugnay hindi lamang sa mga laro sa Kompyuter, ngunit pati na rin sa mga seryosong bagay. Halimbawa, bago ang isang labanan, ang isang komandante, kung mayroong hindi kumpletong impormasyon tungkol sa kalabang hukbo, ay dapat bumuo ng isang plano: sa anong pagkakasunud-sunod upang ipakilala ang ilang mga yunit sa labanan, atbp., na isinasaalang-alang ang posibleng reaksyon ng kaaway. Mayroong isang espesyal na sangay ng modernong matematika - teorya ng laro - na nag-aaral ng mga paraan ng paggawa ng desisyon sa ilalim ng mga kondisyon ng hindi kumpletong impormasyon.
Sa kursong computer science ng paaralan, ang mga mag-aaral ay tumatanggap ng paunang pag-unawa sa computer mathematical modelling bilang bahagi ng pangunahing kurso. Sa mataas na paaralan, ang pagmomolde ng matematika ay maaaring pag-aralan nang malalim sa isang pangkalahatang kurso sa edukasyon para sa mga klase sa pisika at matematika, gayundin bilang bahagi ng isang espesyal na elective na kurso.
Ang mga pangunahing anyo ng pagtuturo ng computer mathematical modeling sa mataas na paaralan ay mga lektura, laboratoryo at mga klase sa pagsubok. Karaniwan, ang gawain ng paglikha at paghahanda upang pag-aralan ang bawat bagong modelo ay tumatagal ng 3-4 na mga aralin. Sa panahon ng pagtatanghal ng materyal, ang mga problema ay itinakda na dapat malutas ng mga mag-aaral nang nakapag-iisa sa hinaharap, at ang mga paraan upang malutas ang mga ito ay binalangkas sa mga pangkalahatang tuntunin. Ang mga tanong ay nabuo, ang mga sagot na dapat makuha kapag nakumpleto ang mga gawain. Ang karagdagang literatura ay ipinahiwatig na nagbibigay-daan sa iyo upang makakuha ng pantulong na impormasyon para sa mas matagumpay na pagkumpleto ng mga gawain.
Ang anyo ng organisasyon ng mga klase kapag nag-aaral ng bagong materyal ay karaniwang isang panayam. Matapos makumpleto ang talakayan ng susunod na modelo mga mag-aaral mayroon sa kanilang pagtatapon ng kinakailangan teoretikal na impormasyon at isang hanay ng mga gawain para sa karagdagang gawain. Bilang paghahanda sa pagkumpleto ng isang gawain, pumili ang mga mag-aaral ng angkop na paraan ng solusyon at subukan ang binuong programa gamit ang ilang kilalang pribadong solusyon. Sa kaso ng medyo posibleng mga paghihirap kapag kinukumpleto ang mga gawain, ang konsultasyon ay ibinibigay, at ang isang panukala ay ginawa upang pag-aralan ang mga seksyong ito nang mas detalyado sa mga mapagkukunang pampanitikan.
Ang pinakaangkop para sa praktikal na bahagi ng pagtuturo ng pagmomodelo ng computer ay ang pamamaraan ng proyekto. Ang gawain ay binuo para sa mag-aaral sa anyo ng isang proyektong pang-edukasyon at isinasagawa sa maraming mga aralin, at ang pangunahing porma ng organisasyon ay computer. mga gawain sa laboratoryo. Ang pagtuturo ng pagmomolde gamit ang pamamaraan ng mga proyektong pang-edukasyon ay maaaring ipatupad sa iba't ibang antas. Ang una ay isang problemadong pagtatanghal ng proseso ng pagkumpleto ng proyekto, na pinamumunuan ng guro. Ang pangalawa ay ang pagpapatupad ng proyekto ng mga mag-aaral sa ilalim ng gabay ng isang guro. Ang ikatlo ay para sa mga mag-aaral na independiyenteng kumpletuhin ang isang proyekto sa pananaliksik na pang-edukasyon.
Ang mga resulta ng trabaho ay dapat ipakita sa numerical form, sa anyo ng mga graph at diagram. Kung maaari, ang proseso ay ipinakita sa screen ng computer sa dinamika. Sa pagkumpleto ng mga kalkulasyon at pagtanggap ng mga resulta, sila ay sinusuri at inihambing sa kilalang katotohanan mula sa teorya, ang pagiging maaasahan ay nakumpirma at ang makabuluhang interpretasyon ay ginawa, na pagkatapos ay makikita sa isang nakasulat na ulat.
Kung ang mga resulta ay nagbibigay-kasiyahan sa mag-aaral at guro, pagkatapos ay ang trabaho binibilang natapos, at ang huling yugto nito ay ang paghahanda ng isang ulat. Kasama sa ulat ang maikling teoretikal na impormasyon sa paksang pinag-aaralan, isang mathematical formulation ng problema, isang solusyon sa algorithm at katwiran nito, isang computer program, ang mga resulta ng programa, pagsusuri ng mga resulta at konklusyon, at isang listahan ng mga sanggunian.
Kapag naipon na ang lahat ng ulat, ilalahad ng mga mag-aaral ang kanilang maikling mensahe tungkol sa gawaing ginawa, ipagtanggol ang kanilang proyekto. Ito ay mabisang anyo ulat ng pangkat na nagsasagawa ng proyekto sa klase, kabilang ang pagtatakda ng problema, pagbuo ng isang pormal na modelo, pagpili ng mga pamamaraan para sa pagtatrabaho sa modelo, pagpapatupad ng modelo sa isang computer, pagtatrabaho sa natapos na modelo, pagbibigay-kahulugan sa mga resulta, pagtataya. Bilang resulta, ang mga mag-aaral ay maaaring makatanggap ng dalawang grado: ang una - para sa pagpapaliwanag ng proyekto at ang tagumpay ng pagtatanggol nito, ang pangalawa - para sa programa, ang pinakamainam ng algorithm, interface, atbp. Ang mga mag-aaral ay tumatanggap din ng mga marka sa panahon ng mga pagsusulit sa teorya.
Ang isang mahalagang tanong ay kung anong mga tool ang gagamitin sa kursong computer science ng paaralan para sa pagmomodelo ng matematika? Ang pagpapatupad ng computer ng mga modelo ay maaaring isagawa:
- gamit ang isang spreadsheet processor (karaniwan ay MS Excel);
- sa pamamagitan ng paglikha ng mga programa sa tradisyonal na mga wika ng programming (Pascal, BASIC, atbp.), pati na rin sa kanilang mga modernong bersyon (Delphi, Visual
Basic para sa Application, atbp.); - gamit ang mga espesyal na pakete ng aplikasyon para sa paglutas ng mga problema sa matematika (MathCAD, atbp.).
Sa pangunahing antas ng paaralan, ang unang paraan ay tila mas kanais-nais. Gayunpaman, sa mataas na paaralan, kapag ang programming, kasama ang pagmomodelo, ay isang pangunahing paksa sa computer science, ipinapayong gamitin ito bilang tool sa pagmomodelo. Sa panahon ng proseso ng programming, ang mga detalye ng mga pamamaraan sa matematika ay magagamit sa mga mag-aaral; Bukod dito, napipilitan lamang silang makabisado ang mga ito, at ito ay nag-aambag sa edukasyon sa matematika. Tulad ng para sa paggamit ng mga espesyal na pakete ng software, ito ay angkop sa isang dalubhasang kurso sa agham sa computer bilang karagdagan sa iba pang mga tool.
Mag-ehersisyo :
- Gumawa ng diagram ng mga pangunahing konsepto.
MGA TALA NG LECTURE
Ayon sa rate
"Pagmomodelo ng matematika ng mga makina at mga sistema ng transportasyon»
Sinusuri ng kurso ang mga isyu na may kaugnayan sa pagmomodelo ng matematika, ang anyo at prinsipyo ng representasyon ng mga modelong matematika. Ang mga numerical na pamamaraan para sa paglutas ng mga one-dimensional na nonlinear system ay isinasaalang-alang. Sinasaklaw ang mga isyu sa pagmomodelo ng computer at eksperimento sa computational. Ang mga pamamaraan para sa pagproseso ng data na nakuha bilang isang resulta ng mga pang-agham o pang-industriyang mga eksperimento ay isinasaalang-alang; pananaliksik ng iba't ibang proseso, pagtukoy ng mga pattern sa pag-uugali ng mga bagay, proseso at sistema. Isinasaalang-alang ang mga paraan ng interpolation at approximation ng experimental data. Isinasaalang-alang ang mga isyung nauugnay sa pagmomodelo ng computer at solusyon ng mga nonlinear dynamic na system. Sa partikular, ang mga pamamaraan ng pagsasama ng numero at solusyon ng mga ordinaryong equation ng kaugalian ng una, pangalawa at mas mataas na mga order ay isinasaalang-alang.
Lecture: Pagmomodelo ng matematika. Form at mga prinsipyo ng representasyon ng mga modelo ng matematika
Saklaw ng lecture pangkalahatang isyu pagmomolde ng matematika. Ang isang pag-uuri ng mga modelo ng matematika ay ibinigay.
Ang computer ay matatag na pumasok sa ating buhay, at halos walang lugar ng aktibidad ng tao kung saan hindi ginagamit ang computer. Ang mga kompyuter ay malawak na ginagamit ngayon sa proseso ng paglikha at pagsasaliksik ng mga bagong makina, bago teknolohikal na proseso at hinahanap sila pinakamainam na pagpipilian; kapag nilulutas ang mga problemang pang-ekonomiya, kapag nilulutas ang mga problema ng pagpaplano at pamamahala ng produksyon sa iba't ibang antas. Ang paglikha ng malalaking bagay sa teknolohiya ng rocket, paggawa ng sasakyang panghimpapawid, paggawa ng mga barko, pati na rin ang disenyo ng mga dam, tulay, atbp. ay karaniwang imposible nang walang paggamit ng mga computer.
Upang gumamit ng isang computer sa paglutas ng mga inilapat na problema, una sa lahat, ang inilapat na problema ay dapat na "isalin" sa isang pormal na wikang matematika, i.e. para sa isang tunay na bagay, proseso o sistema dapat itong itayo matematikal na modelo.
Ang salitang "Model" ay nagmula sa Latin na modus (kopya, larawan, balangkas). Ang pagmomodelo ay ang pagpapalit ng ilang bagay A ng isa pang bagay na B. Ang pinalitang bagay na A ay tinatawag na orihinal o bagay na pangmomodelo, at ang kapalit na B ay tinatawag na modelo. Sa madaling salita, ang isang modelo ay isang kapalit na bagay para sa orihinal na bagay, na nagbibigay ng pag-aaral ng ilang mga katangian ng orihinal.
Ang layunin ng pagmomodelo ay upang makakuha, magproseso, magpakita at gumamit ng impormasyon tungkol sa mga bagay na nakikipag-ugnayan sa isa't isa at sa panlabas na kapaligiran; at ang modelo dito ay gumaganap bilang isang paraan ng pag-unawa sa mga katangian at pattern ng pag-uugali ng isang bagay.
Malawakang ginagamit ang pagmomodelo sa iba't ibang larangan ng aktibidad ng tao, lalo na sa mga lugar ng disenyo at pamamahala, kung saan espesyal ang mga proseso ng pag-aampon. mabisang solusyon batay sa impormasyong natanggap.
Ang isang modelo ay palaging binuo na may isang tiyak na layunin, na nakakaimpluwensya kung aling mga katangian ng isang layunin na kababalaghan ang makabuluhan at alin ang hindi. Ang modelo ay tulad ng isang projection ng layunin na katotohanan mula sa isang tiyak na anggulo. Minsan, depende sa mga layunin, maaari kang makakuha ng isang bilang ng mga projection ng layunin na katotohanan na sumasalungat. Karaniwan ito, bilang panuntunan, para sa mga kumplikadong sistema kung saan pinipili ng bawat projection kung ano ang mahalaga para sa isang partikular na layunin mula sa isang hanay ng mga hindi mahalaga.
Ang teorya ng pagmomodelo ay isang sangay ng agham na nag-aaral ng mga paraan upang pag-aralan ang mga katangian ng orihinal na mga bagay batay sa pagpapalit sa kanila ng iba pang mga modelong bagay. Ang teorya ng pagmomolde ay batay sa teorya ng pagkakatulad. Kapag nagmomodelo, hindi nagaganap ang ganap na pagkakatulad at nagsusumikap lamang na tiyakin na ang modelo ay sapat na sumasalamin sa aspeto ng paggana ng bagay sa ilalim ng pag-aaral. Ang ganap na pagkakatulad ay maaari lamang mangyari kapag ang isang bagay ay pinalitan ng isa pang eksaktong kapareho.
Ang lahat ng mga modelo ay maaaring nahahati sa dalawang klase:
1. tunay,
2. mainam.
Sa turn, ang mga tunay na modelo ay maaaring nahahati sa:
1. buong sukat,
2. pisikal,
3. matematikal.
Ang mga ideal na modelo ay maaaring nahahati sa:
1. visual,
2. iconic,
3. matematikal.
Ang mga tunay na full-scale na modelo ay mga tunay na bagay, proseso at sistema kung saan isinasagawa ang mga eksperimentong pang-agham, teknikal at pang-industriya.
Ang mga tunay na pisikal na modelo ay mga modelo, mga dummies na nagpaparami pisikal na katangian mga orihinal (kinematic, dynamic, hydraulic, thermal, electrical, lighting models).
Ang mga tunay na mathematical ay mga analog, structural, geometric, graphic, digital at cybernetic na mga modelo.
Tamang-tama mga visual na modelo- ito ay mga diagram, mapa, drawing, graph, graph, analogues, structural at geometric na mga modelo.
Ang mga ideal na modelo ng sign ay mga simbolo, alpabeto, programming language, ordered notation, topological notation, network representation.
Ang mga ideal na modelo ng matematika ay analytical, functional, simulation, at pinagsamang mga modelo.
Sa pag-uuri sa itaas, ang ilang mga modelo ay may dobleng interpretasyon (halimbawa, analog). Ang lahat ng mga modelo, maliban sa mga full-scale, ay maaaring pagsamahin sa isang klase ng mga modelo ng kaisipan, dahil ang mga ito ay produkto ng abstract na pag-iisip ng tao.
Mag-focus tayo sa isa sa pinaka unibersal na species pagmomolde - matematika, na tumutugma sa simulate na pisikal na proseso sa isang sistema ng mga relasyon sa matematika, ang solusyon na nagbibigay-daan sa isa na makakuha ng sagot sa tanong tungkol sa pag-uugali ng isang bagay nang hindi lumilikha ng isang pisikal na modelo, na kadalasang nagiging mahal at hindi epektibo.
Ang pagmomodelo ng matematika ay isang paraan ng pag-aaral ng isang tunay na bagay, proseso o sistema sa pamamagitan ng pagpapalit sa mga ito ng isang modelong matematikal na mas maginhawa para sa pang-eksperimentong pananaliksik gamit ang isang computer.
Ang modelong matematikal ay isang tinatayang representasyon ng mga tunay na bagay, proseso o sistema, na ipinahayag sa mga terminong pangmatematika at pinapanatili ang mahahalagang katangian ng orihinal. Ang mga modelo ng matematika sa quantitative form, gamit ang lohikal at mathematical na mga konstruksyon, ay naglalarawan ng mga pangunahing katangian ng isang bagay, proseso o sistema, mga parameter nito, panloob at Pakikipag-ugnayang panlabas.
Sa pangkalahatan, ang isang mathematical na modelo ng isang tunay na bagay, proseso o sistema ay kinakatawan bilang isang sistema ng mga functional
Ф i (X,Y,Z,t)=0,
kung saan ang X ay ang vector ng mga variable ng input, X= t,
Y - vector ng mga variable ng output, Y= t,
Z - vector ng mga panlabas na impluwensya, Z= t,
t - time coordinate.
Ang pagtatayo ng isang modelo ng matematika ay binubuo ng pagtukoy ng mga koneksyon sa pagitan ng ilang mga proseso at phenomena, paglikha ng isang mathematical apparatus na nagbibigay-daan sa isa na maipahayag sa quantitatively at qualitatively ang ugnayan sa pagitan ng ilang mga proseso at phenomena, sa pagitan ng pisikal na dami ng interes sa isang espesyalista, at mga salik na nakakaimpluwensya sa huling resulta.
Kadalasan ay napakarami sa kanila na imposibleng ipakilala ang kanilang buong hanay sa modelo. Kapag gumagawa ng modelong matematikal, ang gawain ng pananaliksik ay tukuyin at ibukod mula sa pagsasaalang-alang na mga salik na hindi gaanong nakakaapekto sa panghuling resulta (karaniwang may kasamang mas maliit na bilang ng mga kadahilanan ang isang modelong matematika kaysa sa katotohanan). Batay sa pang-eksperimentong data, inilalagay ang mga hypotheses tungkol sa kaugnayan sa pagitan ng mga dami na nagpapahayag ng huling resulta at ang mga salik na ipinakilala sa modelong matematika. Ang ganitong koneksyon ay madalas na ipinahayag ng mga sistema ng mga partial differential equation (halimbawa, sa mga problema ng mekanika ng mga solido, likido at gas, ang teorya ng pagsasala, thermal conductivity, ang teorya ng electrostatic at electrodynamic field).
Ang pangwakas na layunin ng yugtong ito ay ang pagbabalangkas ng isang problema sa matematika, ang solusyon kung saan, na may kinakailangang katumpakan, ay nagpapahayag ng mga resulta ng interes sa espesyalista.
Ang anyo at mga prinsipyo ng representasyon ng isang mathematical model ay nakasalalay sa maraming salik.
Batay sa mga prinsipyo ng konstruksiyon, ang mga modelo ng matematika ay nahahati sa:
1. analitikal;
2. panggagaya.
Sa analytical na mga modelo, ang mga proseso ng paggana ng mga tunay na bagay, proseso o sistema ay nakasulat sa anyo ng mga tahasang functional dependencies.
Ang analytical model ay nahahati sa mga uri depende sa matematikal na problema:
1. mga equation (algebraic, transendental, differential, integral),
2. mga problema sa approximation (interpolation, extrapolation, numerical integration at differentiation),
3. mga problema sa pag-optimize,
4. stochastic na mga problema.
Gayunpaman, habang nagiging mas kumplikado ang object ng pagmomodelo, ang pagbuo ng isang analytical na modelo ay nagiging isang mahirap na problema. Pagkatapos ang mananaliksik ay napipilitang gumamit ng simulation modeling.
Sa simulation modeling, ang paggana ng mga bagay, proseso o system ay inilalarawan ng isang hanay ng mga algorithm. Ginagaya ng mga algorithm ang totoong elementarya na phenomena na bumubuo sa isang proseso o sistema habang pinapanatili ang kanilang lohikal na istraktura at pagkakasunud-sunod sa paglipas ng panahon. Ang simulation modeling ay nagbibigay-daan, mula sa source data, na makakuha ng impormasyon tungkol sa mga estado ng isang proseso o system sa ilang sandali oras, ngunit ang paghula sa pag-uugali ng mga bagay, proseso o sistema ay mahirap dito. Masasabi nating ang mga modelo ng simulation ay mga eksperimento sa computational na nakabatay sa computer na may mga modelong matematikal na ginagaya ang pag-uugali ng mga tunay na bagay, proseso o system.
Depende sa likas na katangian ng mga tunay na proseso at sistemang pinag-aaralan, ang mga modelo ng matematika ay maaaring:
1. deterministiko,
2. stochastic.
Sa mga deterministikong modelo, ipinapalagay na walang mga random na impluwensya, ang mga elemento ng modelo (mga variable, mga koneksyon sa matematika) ay medyo tumpak na naitatag, at ang pag-uugali ng system ay maaaring tumpak na matukoy. Kapag gumagawa ng mga deterministikong modelo, ang mga algebraic equation, integral equation, at matrix algebra ay kadalasang ginagamit.
Isinasaalang-alang ng stochastic model ang random na katangian ng mga proseso sa mga bagay at sistemang pinag-aaralan, na inilalarawan ng mga pamamaraan ng probability theory at mathematical statistics.
Batay sa uri ng impormasyon sa pag-input, ang mga modelo ay nahahati sa:
1. tuloy-tuloy,
2. discrete.
Kung ang impormasyon at mga parameter ay tuluy-tuloy, at ang mga koneksyon sa matematika ay matatag, kung gayon ang modelo ay tuloy-tuloy. At kabaligtaran, kung ang impormasyon at mga parameter ay discrete, at ang mga koneksyon ay hindi matatag, kung gayon ang mathematical model ay discrete.
Batay sa pag-uugali ng mga modelo sa paglipas ng panahon, nahahati sila sa:
1. static,
2. dinamiko.
Inilalarawan ng mga static na modelo ang pag-uugali ng isang bagay, proseso o sistema sa anumang punto ng oras. Sinasalamin ng mga dynamic na modelo ang pag-uugali ng isang bagay, proseso o system sa paglipas ng panahon.
Batay sa antas ng pagsusulatan sa pagitan ng isang modelo ng matematika at isang tunay na bagay, proseso o sistema, ang mga modelo ng matematika ay nahahati sa:
1. isomorphic (magkapareho sa hugis),
2. homomorphic (iba ang hugis).
Ang isang modelo ay tinatawag na isomorphic kung mayroong kumpletong pagsusulatan sa bawat elemento sa pagitan nito at isang tunay na bagay, proseso o sistema. Homomorphic - kung mayroong isang pagsusulatan lamang sa pagitan ng pinakamahalaga mga bahagi bagay at modelo.
Sa hinaharap para sa maikling kahulugan uri ng modelo ng matematika sa pag-uuri sa itaas ay gagamitin namin ang sumusunod na notasyon:
Unang titik:
D - deterministiko,
C - stochastic.
Pangalawang sulat:
N - tuloy-tuloy,
D - discrete.
ikatlong titik:
A - analitikal,
At - imitasyon.
1. Walang (mas tiyak, hindi isinasaalang-alang) ang impluwensya ng mga random na proseso, i.e. deterministikong modelo (D).
2. Ang impormasyon at mga parameter ay tuloy-tuloy, ibig sabihin. modelo - tuloy-tuloy (N),
3. Ang paggana ng modelo ng mekanismo ng crank ay inilarawan sa anyo ng mga nonlinear transcendental equation, i.e. modelo - analytical (A)
2. Lecture: Mga tampok ng pagbuo ng mga modelo ng matematika
Inilalarawan ng panayam ang proseso ng pagbuo ng isang modelo ng matematika. Ang isang pandiwang algorithm ng proseso ay ibinigay.
Upang gumamit ng isang computer sa paglutas ng mga inilapat na problema, una sa lahat, ang inilapat na problema ay dapat na "isalin" sa isang pormal na wikang matematika, i.e. para sa isang tunay na bagay, proseso o sistema, ang modelong pangmatematika nito ay dapat mabuo.
Ang mga modelo ng matematika sa quantitative form, gamit ang mga lohikal at mathematical na konstruksyon, ay naglalarawan ng mga pangunahing katangian ng isang bagay, proseso o sistema, mga parameter nito, panloob at panlabas na mga koneksyon.
Upang makabuo ng isang mathematical model kailangan mo:
1. maingat na pag-aralan ang isang tunay na bagay o proseso;
2. i-highlight ang pinakamahalagang katangian at katangian nito;
3. tukuyin ang mga variable, i.e. mga parameter na ang mga halaga ay nakakaapekto sa mga pangunahing tampok at katangian ng bagay;
4. ilarawan ang pag-asa ng mga pangunahing katangian ng isang bagay, proseso o sistema sa mga halaga ng mga variable gamit ang lohikal-matematikong relasyon (mga equation, pagkakapantay-pantay, hindi pagkakapantay-pantay, lohikal-matematikong mga konstruksyon);
5. i-highlight ang mga panloob na koneksyon ng isang bagay, proseso o sistema gamit ang mga paghihigpit, equation, pagkakapantay-pantay, hindi pagkakapantay-pantay, lohikal at mathematical na mga konstruksyon;
6. tukuyin ang mga panlabas na koneksyon at ilarawan ang mga ito gamit ang mga paghihigpit, equation, pagkakapantay-pantay, hindi pagkakapantay-pantay, lohikal at mathematical na mga konstruksyon.
Ang pagmomodelo ng matematika, bilang karagdagan sa pag-aaral ng isang bagay, proseso o sistema at pagguhit ng isang paglalarawan sa matematika nito, ay kinabibilangan din ng:
1. pagbuo ng isang algorithm na nagmomodelo ng gawi ng isang bagay, proseso o sistema;
2. pagsuri sa kasapatan ng modelo at ng bagay, proseso o sistema batay sa computational at full-scale na mga eksperimento;
3. pagsasaayos ng modelo;
4. paggamit ng modelo.
Ang matematikal na paglalarawan ng mga proseso at sistemang pinag-aaralan ay nakasalalay sa:
1. ang kalikasan ng isang tunay na proseso o sistema at pinagsama-sama batay sa mga batas ng pisika, kimika, mekanika, thermodynamics, hydrodynamics, electrical engineering, plasticity theory, elasticity theory, atbp.
2. ang kinakailangang pagiging maaasahan at katumpakan ng pag-aaral at pagsasaliksik ng mga tunay na proseso at sistema.
Sa yugto ng pagpili ng isang modelo ng matematika, ang mga sumusunod ay itinatag: linearity at nonlinearity ng isang bagay, proseso o sistema, dynamism o staticity, stationarity o nonstationarity, pati na rin ang antas ng determinism ng object o proseso na pinag-aaralan. Sa matematikal na pagmomodelo, ang isang tao ay sadyang nag-abstract mula sa partikular na pisikal na katangian ng mga bagay, proseso o sistema at pangunahing nakatuon sa pag-aaral ng quantitative dependencies sa pagitan ng mga dami na naglalarawan sa mga prosesong ito.
Ang isang modelo ng matematika ay hindi kailanman ganap na magkapareho sa bagay, proseso o sistemang isinasaalang-alang. Batay sa pagpapasimple at ideyalisasyon, ito ay isang tinatayang paglalarawan ng bagay. Samakatuwid, ang mga resulta na nakuha mula sa pagsusuri ng modelo ay tinatayang. Ang kanilang katumpakan ay tinutukoy ng antas ng kasapatan (pagsunod) sa pagitan ng modelo at ng bagay.
Ang pagbuo ng isang mathematical model ay karaniwang nagsisimula sa pagbuo at pagsusuri ng pinakasimpleng, pinaka-krudong mathematical model ng bagay, proseso o sistemang isinasaalang-alang. Sa hinaharap, kung kinakailangan, ang modelo ay pino at ang pagkakaugnay nito sa bagay ay gagawing mas kumpleto.
Kumuha tayo ng isang simpleng halimbawa. Ito ay kinakailangan upang matukoy ang ibabaw na lugar ng desk. Karaniwan, ginagawa ito sa pamamagitan ng pagsukat ng haba at lapad nito, at pagkatapos ay pagpaparami ng mga resultang numero. Ang elementarya na pamamaraan na ito ay talagang nangangahulugan ng sumusunod: ang isang tunay na bagay (ibabaw ng talahanayan) ay pinalitan ng isang abstract na modelo ng matematika - isang parihaba. Ang mga sukat na nakuha sa pamamagitan ng pagsukat ng haba at lapad ng ibabaw ng talahanayan ay itinalaga sa parihaba, at ang lugar ng naturang parihaba ay tinatayang kinuha bilang kinakailangang lugar ng talahanayan.
Gayunpaman, ang rectangle model para sa isang desk ay ang pinakasimpleng, pinaka-krudong modelo. Kung gumawa ka ng isang mas seryosong diskarte sa problema, bago gumamit ng isang rektanggulo na modelo upang matukoy ang lugar ng talahanayan, ang modelong ito ay kailangang suriin. Maaaring isagawa ang mga pagsusuri tulad ng sumusunod: sukatin ang mga haba ng magkabilang panig ng talahanayan, pati na rin ang mga haba ng mga diagonal nito at ihambing ang mga ito sa bawat isa. Kung, na may kinakailangang antas ng katumpakan, ang mga haba ng magkabilang panig at ang mga haba ng mga dayagonal ay magkapareho sa mga pares, kung gayon ang ibabaw ng talahanayan ay talagang maituturing na isang rektanggulo. Kung hindi, ang rectangle model ay kailangang tanggihan at palitan ng quadrilateral na modelo pangkalahatang pananaw. Sa isang mas mataas na kinakailangan para sa katumpakan, maaaring kinakailangan upang pinuhin pa ang modelo, halimbawa, upang isaalang-alang ang pag-ikot ng mga sulok ng talahanayan.
Sa tulong nito simpleng halimbawa ipinakita na ang modelo ng matematika ay hindi natatanging tinutukoy ng bagay, proseso o sistemang pinag-aaralan. Para sa parehong talahanayan maaari naming gamitin ang alinman sa isang parihaba na modelo, o isang mas kumplikadong modelo ng isang pangkalahatang may apat na gilid, o isang may apat na gilid na may mga bilugan na sulok. Ang pagpili ng isang modelo o iba ay tinutukoy ng pangangailangan ng katumpakan. Sa pagtaas ng katumpakan, ang modelo ay kailangang maging kumplikado, na isinasaalang-alang ang mga bago at bagong tampok ng bagay, proseso o sistemang pinag-aaralan.
Isaalang-alang natin ang isa pang halimbawa: pag-aaral ng paggalaw ng mekanismo ng crank (Larawan 2.1).
kanin. 2.1.
Para sa kinematic analysis ng mekanismong ito, una sa lahat, kinakailangan na bumuo ng kinematic na modelo nito. Para dito:
1. Palitan ang mekanismo nito kinematic diagram, kung saan ang lahat ng mga link ay pinapalitan ng mga mahigpit na koneksyon;
2. Gamit ang diagram na ito, nakukuha namin ang equation ng paggalaw ng mekanismo;
3. Ang pagkakaiba sa huli, nakukuha natin ang mga equation ng velocities at acceleration, na mga differential equation ng 1st at 2nd order.
Isulat natin ang mga equation na ito:
kung saan ang C 0 ay ang matinding kanang posisyon ng slider C:
r – crank radius AB;
l – haba ng connecting rod BC;
– anggulo ng pag-ikot ng pihitan;
Ang mga resultang transendental na equation ay kumakatawan sa isang mathematical na modelo ng paggalaw ng isang flat axial crank mechanism, batay sa mga sumusunod na nagpapasimpleng pagpapalagay:
1. hindi kami interesado sa mga istrukturang anyo at pagsasaayos ng masa na kasama sa mekanismo ng mga katawan, at pinalitan namin ang lahat ng mga katawan ng mekanismo ng mga tuwid na bahagi. Sa katunayan, ang lahat ng mga link ng mekanismo ay may masa at medyo kumplikadong hugis. Halimbawa, ang isang connecting rod ay isang kumplikadong pagpupulong, ang hugis at sukat nito, siyempre, ay makakaapekto sa paggalaw ng mekanismo;
2. kapag nagtatayo ng isang modelo ng matematika ng paggalaw ng mekanismong isinasaalang-alang, hindi rin namin isinasaalang-alang ang pagkalastiko ng mga katawan na kasama sa mekanismo, i.e. ang lahat ng mga link ay itinuturing na abstract ganap na mahigpit na katawan. Sa katotohanan, ang lahat ng mga katawan na kasama sa mekanismo ay nababanat na mga katawan. Kapag gumagalaw ang mekanismo, kahit papaano ay mababago ang mga ito, at maaaring mangyari ang nababanat na panginginig ng boses sa kanila. Ang lahat ng ito, siyempre, ay makakaapekto rin sa paggalaw ng mekanismo;
3. hindi namin isinasaalang-alang ang error sa pagmamanupaktura ng mga link, ang mga puwang sa mga kinematic na pares A, B, C, atbp.
Kaya, mahalagang bigyang-diin muli na kung mas mataas ang mga kinakailangan para sa katumpakan ng mga resulta ng paglutas ng isang problema, mas malaki ang pangangailangan na isaalang-alang ang mga tampok ng bagay, proseso o sistema na pinag-aaralan kapag gumagawa ng isang modelo ng matematika. Gayunpaman, mahalagang huminto dito sa oras, dahil ang isang kumplikadong modelo ng matematika ay maaaring maging isang mahirap na problema upang malutas.
Ang isang modelo ay pinakamadaling mabuo kapag ang mga batas na tumutukoy sa pag-uugali at mga katangian ng isang bagay, proseso o sistema ay kilala, at mayroong malawak na praktikal na karanasan sa kanilang aplikasyon.
Higit pa isang mahirap na sitwasyon nangyayari kapag ang ating kaalaman tungkol sa bagay, proseso o sistemang pinag-aaralan ay hindi sapat. Sa kasong ito, kapag gumagawa ng isang modelo ng matematika, kinakailangan na gumawa ng mga karagdagang pagpapalagay na nasa likas na katangian ng mga hypotheses; ang gayong modelo ay tinatawag na hypothetical. Ang mga konklusyon na nakuha bilang resulta ng pag-aaral ng naturang hypothetical na modelo ay may kondisyon. Upang mapatunayan ang mga konklusyon, kinakailangan upang ihambing ang mga resulta ng pag-aaral ng modelo sa isang computer sa mga resulta ng isang buong sukat na eksperimento. Kaya, ang tanong ng applicability ng isang partikular na modelo ng matematika sa pag-aaral ng bagay, proseso o sistemang isinasaalang-alang ay hindi isang tanong sa matematika at hindi malulutas ng mga pamamaraan ng matematika.
Ang pangunahing criterion ng katotohanan ay eksperimento, pagsasanay sa pinakamalawak na kahulugan ng salita.
Ang pagtatayo ng isang modelo ng matematika sa mga inilapat na problema ay isa sa pinakamasalimuot at mahalagang yugto ng trabaho. Ipinapakita ng karanasan na sa maraming mga kaso ang pagpili ng tamang modelo ay nangangahulugan ng paglutas ng problema sa pamamagitan ng higit sa kalahati. Ang kahirapan ng yugtong ito ay nangangailangan ito ng kumbinasyon ng matematika at espesyal na kaalaman. Samakatuwid, napakahalaga na kapag nilulutas ang mga inilapat na problema, ang mga mathematician ay may espesyal na kaalaman tungkol sa bagay, at ang kanilang mga kasosyo, mga espesyalista, ay may isang tiyak na kultura ng matematika, karanasan sa pananaliksik sa kanilang larangan, kaalaman sa mga computer at programming.
Lecture 3. Computer modeling at computational experiment. Paglutas ng mga modelo ng matematika
Pagmomodelo ng kompyuter kung paano bagong paraan ang siyentipikong pananaliksik ay batay sa:
1. pagbuo ng mga modelo ng matematika upang ilarawan ang mga prosesong pinag-aaralan;
2. gamit ang pinakabagong mga computer na may mataas na bilis (milyong operasyon bawat segundo) at may kakayahang magsagawa ng pakikipag-usap sa isang tao.
Ang kakanyahan ng pagmomodelo ng computer ay ang mga sumusunod: batay sa isang modelo ng matematika, ang isang serye ng mga eksperimento sa computational ay isinasagawa gamit ang isang computer, i.e. ang mga katangian ng mga bagay o proseso ay pinag-aaralan, ang kanilang pinakamainam na mga parameter at operating mode ay matatagpuan, at ang modelo ay pino. Halimbawa, ang pagkakaroon ng isang equation na naglalarawan sa kurso ng isang partikular na proseso, maaari mong baguhin ang mga coefficient nito, mga kondisyon sa simula at hangganan, at pag-aralan kung paano kikilos ang bagay. Bukod dito, posible na mahulaan ang pag-uugali ng isang bagay sa ilalim ng iba't ibang mga kondisyon.
Nagbibigay-daan sa iyo ang isang computational experiment na palitan ang isang mamahaling full-scale na eksperimento ng mga kalkulasyon sa computer. Pinapayagan ka nitong magsagawa ng pananaliksik sa maikling panahon at walang makabuluhang gastos sa materyal. Malaking numero mga opsyon para sa dinisenyong bagay o proseso para sa iba't ibang mga mode ang operasyon nito, na makabuluhang binabawasan ang oras ng pag-unlad ng mga kumplikadong sistema at ang kanilang pagpapatupad sa produksyon.
Ang computer modeling at computational experiment bilang isang bagong paraan ng siyentipikong pananaliksik ay ginagawang posible na mapabuti ang mathematical apparatus na ginagamit sa pagbuo ng mga mathematical models, at nagbibigay-daan, gamit ang mathematical method, na linawin at gawing kumplikado ang mga mathematical models. Ang pinaka-promising na paraan upang magsagawa ng computational experiment ay ang paggamit nito upang malutas ang mga pangunahing problemang pang-agham, teknikal at sosyo-ekonomiko sa ating panahon (pagdidisenyo ng mga reaktor para sa nuclear power plants, disenyo ng mga dam at hydroelectric power plant, magnetohydrodynamic energy converter, at sa larangan ng ekonomiya - pagguhit ng balanseng plano para sa industriya, rehiyon, bansa, atbp.).
Sa ilang mga proseso kung saan ang isang natural na eksperimento ay mapanganib sa buhay at kalusugan ng tao, isang computational na eksperimento ang tanging posible (thermonuclear fusion, space exploration, disenyo at pananaliksik ng kemikal at iba pang mga industriya).
Upang suriin ang kasapatan ng modelo ng matematika at ang tunay na bagay, proseso o sistema, ang mga resulta ng pananaliksik sa computer ay inihambing sa mga resulta ng isang eksperimento sa isang prototype na full-scale na modelo. Ang mga resulta ng pagsubok ay ginagamit upang ayusin ang matematikal na modelo o ang tanong ng pagiging angkop ng itinayong modelo ng matematika sa disenyo o pag-aaral ng mga tinukoy na bagay, proseso o sistema ay nalutas.
Sa konklusyon, muli naming binibigyang-diin na ginagawang posible ng pagmomodelo ng computer at eksperimento sa computational na bawasan ang pag-aaral ng isang bagay na "di-matematika" sa solusyon ng isang problemang matematikal. Binubuksan nito ang posibilidad ng paggamit ng isang mahusay na binuo na kasangkapang pangmatematika kasama ng malakas na teknolohiya sa pag-compute upang pag-aralan ito. Ito ang batayan para sa paggamit ng matematika at mga kompyuter upang maunawaan ang mga batas ng totoong mundo at gamitin ang mga ito sa pagsasanay.
Sa mga problema sa pagdidisenyo o pag-aaral ng pag-uugali ng mga tunay na bagay, proseso o sistema, ang mga modelo ng matematika ay karaniwang hindi linear, dahil dapat ipakita ng mga ito ang tunay na pisikal na mga prosesong hindi linear na nagaganap sa kanila. Bukod dito, ang mga parameter (mga variable) ng mga prosesong ito ay magkakaugnay ng mga pisikal na nonlinear na batas. Samakatuwid, sa mga problema sa pagdidisenyo o pag-aaral ng pag-uugali ng mga tunay na bagay, proseso o sistema, ang mga modelong matematikal gaya ng DNA ay kadalasang ginagamit.
Ayon sa klasipikasyon na ibinigay sa lecture 1:
D - ang modelo ay deterministiko; ang impluwensya ng mga random na proseso ay wala (mas tiyak, hindi ito isinasaalang-alang).
N – tuloy-tuloy na modelo, impormasyon at mga parameter ay tuloy-tuloy.
A - analytical model, ang paggana ng modelo ay inilarawan sa anyo ng mga equation (linear, nonlinear, system of equation, differential at integral equation).
Kaya, nagtayo kami ng isang modelo ng matematika ng bagay, proseso o sistema na isinasaalang-alang, i.e. ipinakita ang inilapat na problema bilang isang matematikal. Pagkatapos nito, magsisimula ang ikalawang yugto ng paglutas ng inilapat na problema - ang paghahanap o pagbuo ng isang pamamaraan para sa paglutas ng nabuong problema sa matematika. Ang pamamaraan ay dapat na maginhawa para sa pagpapatupad nito sa isang computer at tiyakin ang kinakailangang kalidad ng solusyon.
Ang lahat ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa matematika ay maaaring nahahati sa 2 grupo:
1. eksaktong pamamaraan para sa paglutas ng mga problema;
2. numerical na pamamaraan para sa paglutas ng mga problema.
Sa eksaktong mga pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa matematika, ang sagot ay maaaring makuha sa anyo ng mga formula.
Halimbawa, ang pagkalkula ng mga ugat quadratic equation:
o, halimbawa, pagkalkula ng mga derivative function:
o pagkalkula tiyak na integral:
Gayunpaman, ang pagpapalit ng mga numero sa formula sa anyo ng may hangganan mga decimal, nakakakuha pa rin kami ng tinatayang mga halaga ng resulta.
Para sa karamihan ng mga problemang nakatagpo sa pagsasanay, ang mga eksaktong paraan ng solusyon ay hindi alam o nagbibigay ng napakahirap na mga formula. Gayunpaman, hindi sila palaging kinakailangan. Ang isang inilapat na problema ay maaaring ituring na praktikal na nalutas kung kaya nating lutasin ito nang may kinakailangang antas ng katumpakan.
Upang malutas ang mga naturang problema, ang mga pamamaraang pang-numero ay binuo kung saan ang solusyon ng mga kumplikadong problema sa matematika ay nabawasan sa sunud-sunod na pagpapatupad ng isang malaking bilang ng mga simpleng operasyon ng aritmetika. Ang direktang pagbuo ng mga numerical na pamamaraan ay nabibilang sa computational mathematics.
Ang isang halimbawa ng isang numerical na paraan ay ang paraan ng mga parihaba para sa tinatayang pagsasama, na hindi nangangailangan ng pagkalkula ng antiderivative para sa integrand. Sa halip na integral, kinakalkula ang panghuling kabuuan ng quadrature:
x 1 =a – mas mababang limitasyon ng pagsasama;
x n+1 =b – itaas na limitasyon pagsasama-sama;
n – bilang ng mga segment kung saan nahahati ang integration interval (a,b);
– haba ng isang elementarya na segment;
f(x i) – ang halaga ng integrand sa mga dulo ng elementary integration segment.
Paano mas malaking bilang n mga segment kung saan nahahati ang integration interval, mas malapit ang tinatayang solusyon sa totoo, i.e. mas tumpak ang resulta.
Kaya, sa mga inilapat na gawain at kapag gumagamit tumpak na pamamaraan mga solusyon, at kapag nag-aaplay ng mga pamamaraan ng numerical na solusyon, ang mga resulta ng pagkalkula ay tinatayang. Mahalaga lamang na matiyak na ang mga error ay magkasya sa loob ng kinakailangang katumpakan.
Ang mga numerical na pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa matematika ay kilala sa mahabang panahon, kahit na bago ang pagdating ng mga computer, ngunit bihirang ginagamit ang mga ito at sa medyo simpleng mga kaso lamang dahil sa matinding pagiging kumplikado ng mga kalkulasyon. Ang malawakang paggamit ng mga numerical na pamamaraan ay naging posible salamat sa mga computer.
MATHEMATICAL MODEL - isang representasyon ng isang phenomenon o prosesong pinag-aralan sa kongkretong kaalamang siyentipiko sa wika ng mga konseptong matematika. Sa kasong ito, ang isang bilang ng mga katangian ng hindi pangkaraniwang bagay na pinag-aaralan ay inaasahang makukuha sa pamamagitan ng pag-aaral ng mga aktwal na katangian ng matematika ng modelo. Konstruksyon ng M.m. kadalasang idinidikta ng pangangailangang magkaroon quantitative analysis mga phenomena at prosesong pinag-aaralan, kung wala ito, imposibleng gumawa ng mga pang-eksperimentong mapapatunayang hula tungkol sa kanilang kurso.
Ang proseso ng pagmomolde ng matematika, bilang panuntunan, ay dumadaan sa mga sumusunod na yugto. Sa unang yugto, ang mga koneksyon sa pagitan ng mga pangunahing parameter ng hinaharap na M.m. ay natukoy. Pangunahing pinag-uusapan natin ang isang pagsusuri ng husay ng mga phenomena na pinag-aaralan at ang pagbabalangkas ng mga pattern na nagkokonekta sa mga pangunahing bagay ng pananaliksik. Sa batayan na ito, natukoy ang mga bagay na maaaring ilarawan sa dami. Ang yugto ay nagtatapos sa pagbuo ng isang hypothetical na modelo, sa madaling salita, pagtatala sa wika ng mga konsepto ng matematika ng mga ideya ng husay tungkol sa mga ugnayan sa pagitan ng mga pangunahing bagay ng modelo, na maaaring mailalarawan sa dami.
Sa ikalawang yugto, pinag-aaralan ang aktwal na mga problema sa matematika kung saan pinangungunahan ng binuong hypothetical na modelo. Ang pangunahing bagay sa yugtong ito ay upang makakuha ng empirically verifiable theoretical na kahihinatnan (solusyon ng direktang problema) bilang resulta ng mathematical analysis ng modelo. Kasabay nito, madalas na may mga kaso kung kailan, upang mabuo at mapag-aralan ang M.m. partikular sa iba't ibang lugar siyentipikong kaalaman ang parehong mathematical apparatus ay ginagamit (halimbawa, differential equation) at katulad, bagama't napaka hindi mahalaga, ang mga problema ay lumitaw sa bawat tiyak na kaso, mga problema sa matematika. Bilang karagdagan, sa yugtong ito, ang paggamit ng mga high-speed na computer (mga computer) ay nagiging napakahalaga, na ginagawang posible na makakuha ng tinatayang mga solusyon sa mga problema, kadalasang imposible sa loob ng balangkas ng purong matematika, na may antas ng katumpakan na dati ay hindi naa-access ( nang hindi gumagamit ng computer).
Ang ikatlong yugto ay nailalarawan sa pamamagitan ng mga aktibidad upang matukoy ang antas ng kasapatan ng itinayong hypothetical M.M. yaong mga phenomena at proseso kung saan nilayon itong pag-aralan. Lalo na, kung ang lahat ng mga parameter ng modelo ay tinukoy, sinusubukan ng mga mananaliksik na malaman kung hanggang saan, sa loob ng mga limitasyon ng katumpakan ng pagmamasid, ang kanilang mga resulta ay naaayon sa mga teoretikal na kahihinatnan ng modelo. Ang mga paglihis na lampas sa mga limitasyon ng katumpakan ng pagmamasid ay nagpapahiwatig ng kakulangan ng modelo. Gayunpaman, madalas na may mga kaso kung kailan, kapag gumagawa ng isang modelo, nananatili ang isang bilang ng mga parameter nito
hindi sigurado. Ang mga problema kung saan ang mga parametric na katangian ng modelo ay itinatag sa paraang ang mga teoretikal na kahihinatnan ay maihahambing, sa loob ng mga limitasyon ng katumpakan ng pagmamasid, na may mga resulta ng mga empirikal na pagsubok ay tinatawag na kabaligtaran na mga problema.
Sa ika-apat na yugto, isinasaalang-alang ang pagkakakilanlan ng antas ng kasapatan ng itinayong hypothetical na modelo at ang paglitaw ng mga bagong pang-eksperimentong data sa mga phenomena na pinag-aaralan, ang kasunod na pagsusuri at pagbabago ng modelo ay nangyayari. Dito nag-iiba ang desisyong ginawa mula sa walang pasubali na pagtanggi sa mga inilapat na kasangkapang pangmatematika hanggang sa pagtanggap sa itinayong modelo bilang pundasyon para sa pagbuo ng isang panimula na bagong siyentipikong teorya.
Unang M.m. lumitaw sa sinaunang agham. Oo, para sa pagmomodelo solar system Ang Greek mathematician at astronomer na si Eudoxus ay nagbigay sa bawat planeta ng apat na spheres, ang kumbinasyon ng mga paggalaw nito ay lumikha ng isang hippopede - isang mathematical curve na katulad ng naobserbahang paggalaw ng planeta. Dahil, gayunpaman, hindi maipaliwanag ng modelong ito ang lahat ng naobserbahang anomalya sa paggalaw ng mga planeta, kalaunan ay pinalitan ito ng epicyclic na modelo ng Apollonius ng Perga. Ang huling modelo ay ginamit sa kanyang pag-aaral ni Hipparchus, at pagkatapos, sa pagkakaroon ng ilang pagbabago, ni Ptolemy. Ang modelong ito, tulad ng mga nauna nito, ay batay sa paniniwala na ang mga planeta ay sumasailalim sa pare-parehong pabilog na mga galaw, na ang magkakapatong ay nagpapaliwanag ng mga maliwanag na iregularidad. Dapat pansinin na ang modelo ng Copernican ay panimula bago lamang sa isang husay na kahulugan (ngunit hindi bilang isang M.M.). At tanging si Kepler, batay sa mga obserbasyon ni Tycho Brahe, ang nagtayo ng bagong M.M. Solar system, na nagpapatunay na ang mga planeta ay hindi gumagalaw sa pabilog, ngunit sa mga elliptical orbit.
Sa kasalukuyan, ang mga pinaka-sapat ay itinuturing na mga binuo upang ilarawan ang mekanikal at pisikal na phenomena. Sa kasapatan ng M.m. sa labas ng pisika ang isa ay maaaring magsalita, na may ilang mga eksepsiyon, nang may sapat na pag-iingat. Gayunpaman, ang pag-aayos ng hypothetical na kalikasan, at madalas na simpleng kakulangan ng M.m. sa iba't ibang larangan ng kaalaman, hindi dapat maliitin ang kanilang papel sa pagpapaunlad ng agham. Kadalasan ay may mga kaso kung saan kahit na ang mga modelong malayo sa sapat ay lubos na nag-organisa at nagpasigla ng karagdagang pananaliksik, kasama ng mga maling konklusyon na naglalaman din ng mga butil ng katotohanan na ganap na nagbibigay-katwiran sa mga pagsisikap na ginugol sa pagbuo ng mga modelong ito.
Panitikan:
Pagmomodelo sa matematika. M., 1979;
Ruzavin G.I. Mathematization ng siyentipikong kaalaman. M., 1984;
Tutubalin V.N., Barabasheva Yu.M., Grigoryan A.A., Devyatkova G.N., Uger E.G. Differential equation sa ekolohiya: makasaysayang at metodolohikal na pagmuni-muni // Mga tanong ng kasaysayan ng natural na agham at teknolohiya. 1997. Blg. 3.
Diksyunaryo ng mga terminong pilosopikal. Siyentipikong edisyon ni Propesor V.G. Kuznetsova. M., INFRA-M, 2007, p. 310-311.