Isang numero na itinaas sa isang kapangyarihan Tumatawag sila sa isang numero na pinarami ng sarili nitong ilang beses.

Kapangyarihan ng isang numero na may negatibong halaga (a - n) ay maaaring matukoy sa katulad na paraan kung paano tinutukoy ang kapangyarihan ng parehong numero na may positibong exponent (a n) . Gayunpaman, nangangailangan din ito ng karagdagang kahulugan. Ang formula ay tinukoy bilang:

a-n = (1/a n)

Ang mga katangian ng mga negatibong kapangyarihan ng mga numero ay katulad ng mga kapangyarihan na may positibong exponent. Iniharap na equation a m/a n= isang m-n maaaring maging patas bilang

« Wala kahit saan, tulad ng sa matematika, na ang kalinawan at katumpakan ng konklusyon ay nagpapahintulot sa isang tao na mamilipit sa isang sagot sa pamamagitan ng pakikipag-usap sa paligid ng tanong.».

A. D. Alexandrov

sa n higit pa m , at kasama ang m higit pa n . Tingnan natin ang isang halimbawa: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Una kailangan mong matukoy ang numero na gumaganap bilang isang kahulugan ng antas. b=a(-n) . Sa halimbawang ito -n ay isang exponent b - ang nais na halaga ng numero, a - ang base ng degree sa anyo ng natural na numeric na halaga. Pagkatapos ay tukuyin ang modyul, iyon ay ganap na halaga isang negatibong numero na nagsisilbing exponent. Kalkulahin ang antas ng isang naibigay na numero na nauugnay sa isang ganap na numero, bilang isang tagapagpahiwatig. Ang halaga ng antas ay matatagpuan sa pamamagitan ng paghahati ng isa sa resultang numero.

kanin. 1

Isaalang-alang ang kapangyarihan ng isang numero na may negatibo fractional indicator. Isipin natin na ang numero a ay anuman positibong numero, numero n At m - mga integer. Ayon sa kahulugan a , na itinataas sa kapangyarihan - katumbas ng isang hinati sa parehong numero na may positibong kapangyarihan (Figure 1). Kapag ang kapangyarihan ng isang numero ay isang fraction, kung gayon sa mga ganitong kaso ay mga numero lamang na may positibong exponent ang ginagamit.

Worth remembering na ang zero ay hindi kailanman maaaring maging isang exponent ng isang numero (ang panuntunan ng paghahati sa pamamagitan ng zero).

Ang pagkalat ng naturang konsepto bilang isang numero ay naging mga manipulasyon gaya ng mga kalkulasyon ng pagsukat, gayundin ang pag-unlad ng matematika bilang isang agham. Ang pagpapakilala ng mga negatibong halaga ay dahil sa pag-unlad ng algebra, na nagbigay pangkalahatang solusyon mga problema sa aritmetika, anuman ang kanilang partikular na kahulugan at paunang numerical data. Sa India, noong ika-6 hanggang ika-11 na siglo, sistematikong ginamit ang mga negatibong numero sa paglutas ng mga problema at binibigyang-kahulugan sa parehong paraan tulad ng ngayon. Sa agham ng Europa, nagsimulang malawakang gamitin ang mga negatibong numero salamat kay R. Descartes, na nagbigay ng geometriko na interpretasyon ng mga negatibong numero bilang mga direksyon ng mga segment. Si Descartes ang nagmungkahi ng pagtatalaga ng isang numero na itinaas sa isang kapangyarihan upang ipakita bilang isang dalawang palapag na formula isang n .

Unang antas

Degree at mga katangian nito. Komprehensibong gabay (2019)

Bakit kailangan ang mga degree? Saan mo sila kakailanganin? Bakit kailangan mong maglaan ng oras upang pag-aralan ang mga ito?

Upang matutunan ang lahat tungkol sa mga degree, para saan ang mga ito, kung paano gamitin ang iyong kaalaman Araw-araw na buhay basahin ang artikulong ito.

At, siyempre, ang kaalaman sa mga degree ay magdadala sa iyo na mas malapit sa tagumpay pagpasa sa OGE o ang Unified State Exam at pagpasok sa unibersidad na iyong pinapangarap.

Tara na... (Let's go!)

Mahalagang paalaala! Kung nakikita mo ang gobbledygook sa halip na mga formula, i-clear ang iyong cache. Upang gawin ito, pindutin ang CTRL+F5 (sa Windows) o Cmd+R (sa Mac).

UNANG ANTAS

Ang exponentiation ay isang mathematical operation tulad ng pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami o paghahati.

Ngayon ipapaliwanag ko ang lahat wika ng tao napaka mga simpleng halimbawa. Mag-ingat ka. Ang mga halimbawa ay elementarya, ngunit ipaliwanag ang mahahalagang bagay.

Magsimula tayo sa karagdagan.

Walang maipaliwanag dito. Alam mo na ang lahat: walo kami. Ang bawat isa ay may dalawang bote ng cola. Magkano ang cola? Tama iyon - 16 na bote.

Ngayon multiplication.

Ang parehong halimbawa sa cola ay maaaring isulat sa ibang paraan: . Ang mga mathematician ay tuso at tamad na tao. Una nilang napansin ang ilang mga pattern, at pagkatapos ay gumawa ng paraan upang "mabilang" ang mga ito nang mas mabilis. Sa aming kaso, napansin nila na ang bawat isa sa walong tao ay may parehong bilang ng mga bote ng cola at nakabuo sila ng isang pamamaraan na tinatawag na multiplication. Sumang-ayon, ito ay itinuturing na mas madali at mas mabilis kaysa sa.

Kaya, upang mabilang nang mas mabilis, mas madali at walang mga error, kailangan mo lang tandaan talaan ng multiplikasyon. Siyempre, magagawa mo ang lahat nang mas mabagal, mas mahirap at may mga pagkakamali! Pero…

Narito ang talahanayan ng pagpaparami. Ulitin.

At isa pa, mas maganda:

Anong iba pang matalinong trick sa pagbibilang ang naisip ng mga tamad na mathematician? tama - pagtataas ng isang numero sa isang kapangyarihan.

Pagtaas ng isang numero sa isang kapangyarihan

Kung kailangan mong i-multiply ang isang numero sa sarili nitong limang beses, pagkatapos ay sasabihin ng mga mathematician na kailangan mong itaas ang numerong iyon sa ikalimang kapangyarihan. Halimbawa, . Natatandaan ng mga mathematician na ang dalawa hanggang ikalimang kapangyarihan ay... At nalulutas nila ang mga naturang problema sa kanilang mga ulo - mas mabilis, mas madali at walang mga pagkakamali.

Ang kailangan mo lang gawin ay tandaan kung ano ang naka-highlight sa kulay sa talahanayan ng mga kapangyarihan ng mga numero. Maniwala ka sa akin, gagawin nitong mas madali ang iyong buhay.

Nga pala, bakit second degree ang tawag dito? parisukat mga numero, at ang pangatlo - kubo? Ano ang ibig sabihin nito? napaka magandang tanong. Ngayon ay magkakaroon ka ng parehong mga parisukat at mga cube.

Halimbawa sa totoong buhay #1

Magsimula tayo sa parisukat o sa pangalawang kapangyarihan ng numero.

Isipin ang isang parisukat na pool na may sukat na isang metro sa isang metro. Ang pool ay nasa iyong dacha. Ang init at gusto ko talagang lumangoy. Pero... walang ilalim ang pool! Kailangan mong takpan ang ilalim ng pool na may mga tile. Ilang tile ang kailangan mo? Upang matukoy ito, kailangan mong malaman ang ilalim na lugar ng pool.

Maaari mo lamang kalkulahin sa pamamagitan ng pagturo ng iyong daliri na ang ilalim ng pool ay binubuo ng metro bawat metrong cube. Kung mayroon kang mga tile na isang metro sa isang metro, kakailanganin mo ng mga piraso. Madali lang... Pero saan ka nakakita ng ganyang tiles? Ang tile ay malamang na magiging cm por cm. At pagkatapos ay pahihirapan ka sa pamamagitan ng "pagbibilang gamit ang iyong daliri." Pagkatapos ay kailangan mong magparami. Kaya, sa isang gilid ng ilalim ng pool ay magkasya kami ng mga tile (piraso) at sa kabilang banda, masyadong, mga tile. I-multiply at makakakuha ka ng mga tile ().

Napansin mo ba na upang matukoy ang lugar ng ilalim ng pool, pinarami namin ang parehong numero sa pamamagitan ng kanyang sarili? Ano ang ibig sabihin nito? Dahil pina-multiply natin ang parehong numero, maaari nating gamitin ang "exponentiation" technique. (Siyempre, kapag dalawa lang ang numero mo, kailangan mo pa rin silang i-multiply o itaas sa isang power. Pero kung marami ka sa kanila, mas madali ang pagpapataas sa kanila sa isang power at mas kaunti rin ang mga error sa mga kalkulasyon. Para sa Unified State Exam, ito ay napakahalaga).
Kaya, tatlumpu hanggang sa ikalawang kapangyarihan ay magiging (). O maaari nating sabihin na tatlumpung squared ang magiging. Sa madaling salita, ang pangalawang kapangyarihan ng isang numero ay maaaring palaging kinakatawan bilang isang parisukat. At vice versa, kung makakita ka ng isang parisukat, ito ay palaging ang pangalawang kapangyarihan ng ilang numero. Ang parisukat ay isang imahe ng pangalawang kapangyarihan ng isang numero.

Halimbawa sa totoong buhay #2

Narito ang isang gawain para sa iyo: bilangin kung gaano karaming mga parisukat ang mayroon sa chessboard gamit ang parisukat ng numero... Sa isang gilid ng mga cell at sa kabilang panig din. Upang mabilang ang kanilang bilang, kailangan mong i-multiply ang walo sa walo o... kung mapapansin mo iyon Chess board- ito ay isang parisukat na may gilid, pagkatapos ay maaari mong kuwadrado ang walo. Makakakuha ka ng mga cell. () Kaya?

Halimbawa sa totoong buhay #3

Ngayon ang kubo o ang ikatlong kapangyarihan ng isang numero. Ang parehong pool. Ngunit ngayon kailangan mong malaman kung gaano karaming tubig ang kailangang ibuhos sa pool na ito. Kailangan mong kalkulahin ang lakas ng tunog. (Ang mga volume at likido, sa paraan, ay sinusukat sa metro kubiko. Hindi inaasahan, tama ba?) Gumuhit ng isang pool: ang ibaba ay isang metro ang laki at isang metro ang lalim, at subukang bilangin kung gaano karaming mga cube na sumusukat ng isang metro sa isang metro ay magkasya sa iyong pool.

Ituro lamang ang iyong daliri at magbilang! Isa, dalawa, tatlo, apat...dalawampu't dalawa, dalawampu't tatlo...Ilan ang nakuha mo? Hindi nawala? Mahirap bang magbilang gamit ang iyong daliri? Kaya yun! Kumuha ng isang halimbawa mula sa mga mathematician. Sila ay tamad, kaya napansin nila na upang makalkula ang dami ng pool, kailangan mong i-multiply ang haba, lapad at taas nito sa bawat isa. Sa aming kaso, ang dami ng pool ay magiging katumbas ng mga cube... Mas madali, di ba?

Ngayon isipin kung gaano katamad at tuso ang mga mathematician kung pinasimple rin nila ito. Binawasan namin ang lahat sa isang aksyon. Napansin nila na ang haba, lapad at taas ay pantay at ang parehong bilang ay pinarami sa sarili nito... Ano ang ibig sabihin nito? Nangangahulugan ito na maaari mong samantalahin ang degree. Kaya, ang minsan mong binilang gamit ang iyong daliri, ginagawa nila sa isang aksyon: tatlong cubed ay pantay. Ito ay nakasulat tulad nito: .

Ang natitira na lang tandaan ang talahanayan ng mga degree. Maliban kung, siyempre, ikaw ay tamad at tuso bilang mga mathematician. Kung gusto mong magtrabaho nang husto at magkamali, maaari kang magpatuloy sa pagbibilang gamit ang iyong daliri.

Buweno, upang sa wakas ay kumbinsihin ka na ang mga degree ay naimbento ng mga huminto at tusong tao upang malutas ang kanilang mga problema sa buhay, at hindi upang lumikha ng mga problema para sa iyo, narito ang ilang higit pang mga halimbawa mula sa buhay.

Halimbawa sa totoong buhay #4

Mayroon kang isang milyong rubles. Sa simula ng bawat taon, sa bawat milyon na kinikita mo, kumikita ka ng isa pang milyon. Ibig sabihin, bawat milyon mayroon kang doble sa simula ng bawat taon. Magkano ang pera mo sa mga taon? Kung nakaupo ka ngayon at "nagbibilang gamit ang iyong daliri," kung gayon ikaw ay isang napakasipag na tao at... tanga. Ngunit malamang na magbibigay ka ng sagot sa loob ng ilang segundo, dahil matalino ka! Kaya, sa unang taon - ang dalawa ay pinarami ng dalawa ... sa ikalawang taon - ang nangyari, ng dalawa pa, sa ikatlong taon ... Stop! Napansin mo na ang bilang ay pinarami ng sarili nitong beses. Kaya ang dalawa hanggang ikalimang kapangyarihan ay isang milyon! Ngayon isipin na mayroon kang kumpetisyon at ang pinakamabilis na mabibilang ay makakakuha ng mga milyun-milyong ito... Ito ay nagkakahalaga ng pag-alala sa mga kapangyarihan ng mga numero, hindi ba?

Halimbawa sa totoong buhay #5

Mayroon kang isang milyon. Sa simula ng bawat taon, sa bawat milyong kinikita mo, kumikita ka pa ng dalawa. Ang galing di ba? Bawat milyon ay triple. Magkano ang pera mo sa isang taon? Magbilang tayo. Ang unang taon - paramihin ng, pagkatapos ay ang resulta ng isa pa... Nakakabagot na, dahil naintindihan mo na ang lahat: ang tatlo ay pinarami ng sarili nitong beses. Kaya sa pang-apat na kapangyarihan ito ay katumbas ng isang milyon. Kailangan mo lamang tandaan na ang tatlo hanggang ikaapat na kapangyarihan ay o.

Ngayon alam mo na na sa pamamagitan ng pagtaas ng isang numero sa isang kapangyarihan ay gagawin mong mas madali ang iyong buhay. Tingnan natin kung ano ang maaari mong gawin sa mga degree at kung ano ang kailangan mong malaman tungkol sa mga ito.

Terms and concepts... para hindi malito

Kaya, una, tukuyin natin ang mga konsepto. Ano sa tingin mo, ano ang exponent? Ito ay napaka-simple - ito ang numero na "nasa itaas" ng kapangyarihan ng numero. Hindi siyentipiko, ngunit malinaw at madaling tandaan...

Well, at the same time, ano ganyang degree basis? Kahit na mas simple - ito ang numero na matatagpuan sa ibaba, sa base.

Narito ang isang guhit para sa mahusay na sukat.

Buweno, sa mga pangkalahatang tuntunin, upang mas maging pangkalahatan at matandaan... Ang isang degree na may base na " " at isang exponent " " ay binabasa bilang "sa antas" at isinusulat tulad ng sumusunod:

Kapangyarihan ng isang numero na may natural na exponent

Marahil ay nahulaan mo na: dahil ang exponent ay isang natural na numero. Oo, ngunit ano ito natural na numero? elementarya! Ang mga natural na numero ay ang mga numerong iyon na ginagamit sa pagbibilang kapag naglilista ng mga bagay: isa, dalawa, tatlo... Kapag nagbibilang tayo ng mga bagay, hindi natin sinasabing: “minus five,” “minus six,” “minus seven.” Hindi rin namin sinasabi: "one third", o "zero point five". Ang mga ito ay hindi natural na mga numero. Anong mga numero sa tingin mo ang mga ito?

Ang mga numero tulad ng "minus five", "minus six", "minus seven" ay tumutukoy sa buong numero. Sa pangkalahatan, kasama sa mga integer ang lahat ng natural na numero, mga numerong kabaligtaran ng mga natural na numero (iyon ay, kinuha gamit ang minus sign), at numero. Ang zero ay madaling maunawaan - ito ay kapag wala. Ano ang ibig sabihin ng mga negatibong (“minus”) na numero? Ngunit sila ay naimbento lalo na upang ipahiwatig ang mga utang: kung mayroon kang balanse sa iyong telepono sa rubles, nangangahulugan ito na may utang ka sa operator na rubles.

Ang lahat ng mga fraction ay mga rational na numero. Paano sila lumitaw, sa palagay mo? Napakasimple. Ilang libong taon na ang nakalilipas, natuklasan ng ating mga ninuno na kulang sila natural na mga numero para sa pagsukat ng haba, timbang, lugar, atbp. At nakaisip sila mga rational na numero... Kawili-wili, hindi ba?

Mayroon ding mga hindi makatwirang numero. Ano ang mga numerong ito? Sa madaling salita, ito ay isang walang katapusang decimal fraction. Halimbawa, kung ang circumference ng isang bilog ay nahahati sa diameter nito, pagkatapos ay nakukuha natin hindi makatwiran na numero.

Buod:

Tukuyin natin ang konsepto ng isang degree na ang exponent ay isang natural na numero (ibig sabihin, integer at positibo).

Anumang numero sa unang kapangyarihan ay katumbas ng sarili nito:
Ang ibig sabihin ng pag-square ng isang numero ay i-multiply ito sa sarili nito:
Ang ibig sabihin ng pag-cube ng isang numero ay i-multiply ito sa sarili nitong tatlong beses:

Kahulugan. Ang pagpapataas ng isang numero sa isang natural na kapangyarihan ay nangangahulugan ng pagpaparami ng numero sa sarili nitong mga beses:
.

Mga katangian ng mga degree

Saan nagmula ang mga ari-arian na ito? Ipapakita ko sa iyo ngayon.

Tingnan natin: ano ito At ?

A-priory:

Ilang multiplier ang kabuuan?

Napakasimple nito: nagdagdag kami ng mga multiplier sa mga salik, at ang resulta ay mga multiplier.

Ngunit sa pamamagitan ng kahulugan, ito ay isang kapangyarihan ng isang numero na may isang exponent, iyon ay: , na kung saan ay kung ano ang kailangan upang mapatunayan.

Halimbawa: Pasimplehin ang expression.

Solusyon:

Halimbawa: Pasimplehin ang expression.

Solusyon: Mahalagang tandaan na sa ating panuntunan Kailangan dapat magkatulad na batayan!
Samakatuwid, pinagsama namin ang mga kapangyarihan sa base, ngunit nananatili itong isang hiwalay na kadahilanan:

para lamang sa produkto ng mga kapangyarihan!

Sa anumang pagkakataon ay hindi mo maisusulat iyon.

2. yun lang ika kapangyarihan ng isang numero

Tulad ng sa nakaraang pag-aari, buksan natin ang kahulugan ng degree:

Ito ay lumalabas na ang expression ay pinarami ng sarili nitong beses, iyon ay, ayon sa kahulugan, ito ang ika-kapangyarihan ng numero:

Sa esensya, ito ay matatawag na "pag-alis ng indicator sa mga bracket." Ngunit hindi mo ito magagawa sa kabuuan:

Alalahanin natin ang mga pinaikling pormula ng pagpaparami: ilang beses natin gustong sumulat?

Ngunit ito ay hindi totoo, pagkatapos ng lahat.

Power na may negatibong base

Hanggang sa puntong ito, tinalakay lang namin kung ano ang dapat na exponent.

Ngunit ano ang dapat na maging batayan?

Sa kapangyarihan ng natural na tagapagpahiwatig maaaring maging batayan kahit anong numero. Sa katunayan, maaari nating i-multiply ang anumang mga numero sa bawat isa, maging sila ay positibo, negatibo, o kahit na.

Isipin natin kung aling mga palatandaan ("" o "") ang magkakaroon ng mga antas ng positibo at negatibong mga numero?

Halimbawa, ang bilang ba ay positibo o negatibo? A? ? Sa una, malinaw ang lahat: gaano man karaming positibong numero ang i-multiply natin sa isa't isa, magiging positibo ang resulta.

Ngunit ang mga negatibo ay medyo mas kawili-wili. Naaalala namin ang simpleng panuntunan mula sa ika-6 na baitang: "ang minus para sa minus ay nagbibigay ng plus." Iyon ay, o. Ngunit kung tayo ay dumami, ito ay gumagana.

Tukuyin para sa iyong sarili kung anong senyales ang magkakaroon ng mga sumusunod na expression:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Inayos mo ba?

Narito ang mga sagot: Sa unang apat na halimbawa, sana ay malinaw ang lahat? Tinitingnan lang namin ang base at exponent at inilalapat ang naaangkop na panuntunan.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Well, maliban kung ang base ay zero. Hindi pantay ang base, di ba? Malinaw na hindi, dahil (dahil).

Halimbawa 6) ay hindi na napakasimple!

6 na mga halimbawa sa pagsasanay

Pagsusuri ng solusyon 6 na halimbawa

Kung papansinin natin ang ikawalong kapangyarihan, ano ang makikita natin dito? Alalahanin natin ang programa sa ika-7 baitang. So, naalala mo ba? Ito ang formula para sa pinaikling multiplikasyon, lalo na ang pagkakaiba ng mga parisukat! Nakukuha namin:

Ngunit paano gawin iyon? Lumalabas na napakadali: ang pantay na antas ng denominator ay nakakatulong sa atin dito.

Magically nagbago ang mga termino. Ang "phenomenon" na ito ay nalalapat sa anumang ekspresyon sa isang pantay na antas: madali nating mababago ang mga palatandaan sa panaklong.

Ngunit mahalagang tandaan: lahat ng mga palatandaan ay nagbabago sa parehong oras!

Bumalik tayo sa halimbawa:

At muli ang formula:

buo tinatawag namin ang mga natural na numero, ang kanilang mga kabaligtaran (iyon ay, kinuha gamit ang " " sign) at ang numero.

positibong integer, at ito ay hindi naiiba mula sa natural, kung gayon ang lahat ay mukhang eksaktong katulad sa nakaraang seksyon.

Ngayon tingnan natin ang mga bagong kaso. Magsimula tayo sa isang tagapagpahiwatig na katumbas ng.

Ang anumang numero sa zero power ay katumbas ng isa:

Gaya ng dati, tanungin natin ang ating sarili: bakit ganito?

Isaalang-alang natin ang ilang antas na may batayan. Kunin, halimbawa, at i-multiply sa:

Kaya, pinarami namin ang numero sa, at nakuha namin ang parehong bagay tulad ng dati - . Anong numero ang dapat mong i-multiply para walang magbago? Tama iyon, sa. ibig sabihin.

Magagawa natin ang parehong sa isang arbitrary na numero:

Ulitin natin ang panuntunan:

Ang anumang numero sa zero power ay katumbas ng isa.

Ngunit may mga pagbubukod sa maraming mga patakaran. At narito din doon - ito ay isang numero (bilang base).

Sa isang banda, ito ay dapat na katumbas ng anumang antas - gaano man karami mong i-multiply ang zero sa sarili mo, makakakuha ka pa rin ng zero, ito ay malinaw. Ngunit sa kabilang banda, tulad ng anumang numero sa zero na kapangyarihan, dapat itong pantay. Kaya gaano ito katotoo? Nagpasya ang mga mathematician na huwag makisali at tumanggi na itaas ang zero sa zero degree. Iyon ay, ngayon ay hindi lamang natin mahahati sa zero, ngunit itaas din ito sa zero na kapangyarihan.

Mag-move on na tayo. Bilang karagdagan sa mga natural na numero at numero, kasama rin sa mga integer ang mga negatibong numero. Upang maunawaan kung ano ang negatibong kapangyarihan, gawin natin ang huling pagkakataon: i-multiply ang ilang normal na numero sa parehong numero sa isang negatibong kapangyarihan:

Mula rito, madaling ipahayag ang iyong hinahanap:

Ngayon palawakin natin ang nagresultang panuntunan sa isang di-makatwirang antas:

Kaya, gumawa tayo ng isang panuntunan:

Ang isang numero na may negatibong kapangyarihan ay ang katumbas ng parehong numero na may positibong kapangyarihan. Ngunit sa parehong oras Ang base ay hindi maaaring null:(dahil hindi mo mahahati sa).

Ibuod natin:

I. Ang expression ay hindi tinukoy sa kaso. Kung, kung gayon.

II. Ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa: .

III. Ang isang numero na hindi katumbas ng zero sa isang negatibong kapangyarihan ay ang kabaligtaran ng parehong numero sa isang positibong kapangyarihan: .

Mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

Well, gaya ng dati, mga halimbawa para sa mga independiyenteng solusyon:

Pagsusuri ng mga problema para sa independiyenteng solusyon:

Alam ko, alam ko, nakakatakot ang mga numero, ngunit sa Unified State Exam kailangan mong maging handa sa anumang bagay! Lutasin ang mga halimbawang ito o suriin ang kanilang mga solusyon kung hindi mo malutas ang mga ito at matututo kang makayanan ang mga ito nang madali sa pagsusulit!

Patuloy nating palawakin ang hanay ng mga numerong “angkop” bilang isang exponent.

Ngayon isaalang-alang natin mga rational na numero. Anong mga numero ang tinatawag na rational?

Sagot: lahat ng bagay na maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan at mga integer, at.

Upang maunawaan kung ano ito "fractional degree", isaalang-alang ang fraction:

Itaas natin ang magkabilang panig ng equation sa isang kapangyarihan:

Ngayon tandaan natin ang tuntunin tungkol sa "degree to degree":

Anong numero ang dapat itaas sa isang kapangyarihan para makuha?

Ang pagbabalangkas na ito ay ang kahulugan ng ugat ng ika-degree.

Paalalahanan ko kayo: ang ugat ng ika-kapangyarihan ng isang numero () ay isang numero na, kapag itinaas sa isang kapangyarihan, ay katumbas ng.

Iyon ay, ang ugat ng ika kapangyarihan ay ang kabaligtaran na operasyon ng pagtaas sa isang kapangyarihan: .

Lumalabas na. Malinaw, ang espesyal na kaso na ito ay maaaring palawakin: .

Ngayon idagdag namin ang numerator: ano ito? Ang sagot ay madaling makuha gamit ang power-to-power rule:

Ngunit maaari bang maging anumang numero ang base? Pagkatapos ng lahat, ang ugat ay hindi maaaring makuha mula sa lahat ng mga numero.

wala!

Tandaan natin ang panuntunan: anumang numerong itinaas sa pantay na kapangyarihan ay isang positibong numero. Iyon ay, imposibleng kunin ang kahit na mga ugat mula sa mga negatibong numero!

Nangangahulugan ito na ang mga naturang numero ay hindi maaaring itaas sa isang fractional na kapangyarihan na may pantay na denominator, iyon ay, ang expression ay walang kahulugan.

Paano ang expression?

Ngunit narito ang isang problema ay lumitaw.

Ang numero ay maaaring katawanin sa anyo ng iba, mababawasan na mga fraction, halimbawa, o.

At ito ay lumalabas na ito ay umiiral, ngunit hindi umiiral, ngunit ang mga ito ay dalawang magkaibang mga talaan ng parehong numero.

O isa pang halimbawa: isang beses, pagkatapos ay maaari mo itong isulat. Ngunit kung iba ang isusulat natin sa indicator, muli tayong magkakaproblema: (iyon ay, nakakuha tayo ng ganap na kakaibang resulta!).

Upang maiwasan ang gayong mga kabalintunaan, isaalang-alang namin tanging positibong base exponent na may fractional exponent.

Kaya kung:

- natural na numero;
- integer;

Mga halimbawa:

Ang mga rational exponents ay lubhang kapaki-pakinabang para sa pagbabago ng mga expression na may mga ugat, halimbawa:

5 mga halimbawa sa pagsasanay

Pagsusuri ng 5 halimbawa para sa pagsasanay

Well, ngayon ay dumating ang pinakamahirap na bahagi. Ngayon ay aalamin natin ito degree na may hindi makatwirang exponent.

Ang lahat ng mga patakaran at katangian ng mga degree dito ay eksaktong kapareho ng para sa isang degree na may rational exponent, maliban

Pagkatapos ng lahat, ayon sa kahulugan, ang mga hindi makatwirang numero ay mga numero na hindi maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan at mga integer (iyon ay, ang mga hindi makatwiran na numero ay lahat ng tunay na numero maliban sa mga makatwiran).

Kapag nag-aaral ng mga degree na may natural, integer at rational exponents, sa bawat oras na gumawa kami ng partikular na "imahe", "analogy", o paglalarawan sa mas pamilyar na mga termino.

Halimbawa, ang isang degree na may natural na exponent ay isang numero na pinarami ng sarili nitong ilang beses;

...numero sa zeroth power- ito ay, tulad ng, isang numero na pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, hindi pa nila sinimulan na i-multiply ito, na nangangahulugang ang numero mismo ay hindi pa lumitaw - samakatuwid ang resulta ay isang tiyak na "blangko na numero" lamang. , ibig sabihin ay isang numero;

...negatibong integer degree- parang may naganap na "reverse process", iyon ay, ang bilang ay hindi pinarami sa sarili nito, ngunit hinati.

Sa pamamagitan ng paraan, sa agham ng isang degree na may kumplikadong tagapagpahiwatig, ibig sabihin, ang indicator ay hindi kahit isang tunay na numero.

Ngunit sa paaralan hindi namin iniisip ang tungkol sa mga paghihirap; magkakaroon ka ng pagkakataong maunawaan ang mga bagong konseptong ito sa institute.

KUNG SAAN KAMI SIGURO PUPUNTA KA! (kung matututo kang lutasin ang mga ganitong halimbawa :))

Halimbawa:

Magpasya para sa iyong sarili:

Pagsusuri ng mga solusyon:

1. Magsimula tayo sa karaniwang tuntunin para sa pagtataas ng kapangyarihan sa isang kapangyarihan:

Ngayon tingnan ang tagapagpahiwatig. Wala ba siyang naaalala sayo? Alalahanin natin ang formula para sa pinaikling multiplikasyon ng pagkakaiba ng mga parisukat:

Sa kasong ito,

Lumalabas na:

Sagot: .

2. Binabawasan namin ang mga fraction sa exponents sa parehong anyo: alinman sa parehong mga decimal o parehong mga ordinaryong. Nakukuha namin, halimbawa:

Sagot: 16

3. Walang espesyal, ginagamit namin ang karaniwang katangian ng mga degree:

ADVANCED LEVEL

Pagpapasiya ng degree

Ang degree ay isang pagpapahayag ng anyo: , kung saan:

— base ng degree;
- exponent.

Degree na may natural na indicator (n = 1, 2, 3,...)

Ang pagtaas ng isang numero sa natural na kapangyarihan n ay nangangahulugan ng pagpaparami ng numero sa sarili nitong mga beses:

Degree na may integer exponent (0, ±1, ±2,...)

Kung ang exponent ay positibong integer numero:

Konstruksyon sa zero degree:

Ang expression ay hindi tiyak, dahil, sa isang banda, sa anumang antas ay ito, at sa kabilang banda, anumang numero sa ika-degree ay ito.

Kung ang exponent ay negatibong integer numero:

(dahil hindi mo mahahati sa).

Muli tungkol sa mga zero: ang expression ay hindi tinukoy sa kaso. Kung, kung gayon.

Mga halimbawa:

Kapangyarihan na may makatwirang exponent

- natural na numero;
- integer;

Mga halimbawa:

Mga katangian ng mga degree

Upang gawing mas madali ang paglutas ng mga problema, subukan nating maunawaan: saan nagmula ang mga katangiang ito? Patunayan natin sila.

Tingnan natin: ano ang at?

A-priory:

Kaya, sa kanang bahagi ng expression na ito nakukuha namin ang sumusunod na produkto:

Ngunit sa pamamagitan ng kahulugan ito ay isang kapangyarihan ng isang numero na may isang exponent, iyon ay:

Q.E.D.

Halimbawa : Pasimplehin ang expression.

Solusyon : .

Halimbawa : Pasimplehin ang expression.

Solusyon : Mahalagang tandaan na sa ating panuntunan Kailangan dapat may parehong dahilan. Samakatuwid, pinagsama namin ang mga kapangyarihan sa base, ngunit nananatili itong isang hiwalay na kadahilanan:

Isa pang mahalagang tala: ang panuntunang ito - para lamang sa produkto ng mga kapangyarihan!

Sa anumang pagkakataon ay hindi mo maisusulat iyon.

Tulad ng sa nakaraang pag-aari, buksan natin ang kahulugan ng degree:

Ipangkat muli natin ang gawaing ito tulad nito:

Ito ay lumalabas na ang expression ay pinarami ng sarili nitong beses, iyon ay, ayon sa kahulugan, ito ang ika-kapangyarihan ng numero:

Sa esensya, ito ay matatawag na "pag-alis ng indicator sa mga bracket." Ngunit hindi mo ito magagawa sa kabuuan: !

Alalahanin natin ang mga pinaikling pormula ng pagpaparami: ilang beses natin gustong sumulat? Ngunit ito ay hindi totoo, pagkatapos ng lahat.

Power na may negatibong base.

Hanggang dito na lang napag-usapan kung ano ang dapat index degrees. Ngunit ano ang dapat na maging batayan? Sa kapangyarihan ng natural tagapagpahiwatig maaaring maging batayan kahit anong numero .

Sa katunayan, maaari nating i-multiply ang anumang mga numero sa bawat isa, maging sila ay positibo, negatibo, o kahit na. Isipin natin kung aling mga palatandaan ("" o "") ang magkakaroon ng mga antas ng positibo at negatibong mga numero?

Halimbawa, ang bilang ba ay positibo o negatibo? A? ?

Sa una, malinaw ang lahat: gaano man karaming positibong numero ang i-multiply natin sa isa't isa, magiging positibo ang resulta.

At iba pa ang ad infinitum: sa bawat kasunod na pagpaparami ay magbabago ang tanda. Maaari nating bumalangkas ang mga sumusunod simpleng tuntunin:

kahit degree, - numero positibo.
Negatibong numero itinaas sa kakaiba degree, - numero negatibo.
Ang isang positibong numero sa anumang antas ay isang positibong numero.
Ang zero sa anumang kapangyarihan ay katumbas ng zero.

Tukuyin para sa iyong sarili kung anong senyales ang magkakaroon ng mga sumusunod na expression:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Inayos mo ba? Narito ang mga sagot:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Sa unang apat na halimbawa, sana ay malinaw ang lahat? Tinitingnan lang namin ang base at exponent at inilalapat ang naaangkop na panuntunan.

Sa halimbawa 5) ang lahat ay hindi rin nakakatakot gaya ng tila: pagkatapos ng lahat, hindi mahalaga kung ano ang katumbas ng base - ang antas ay pantay, na nangangahulugang ang resulta ay palaging magiging positibo. Well, maliban kung ang base ay zero. Hindi pantay ang base, di ba? Malinaw na hindi, dahil (dahil).

Halimbawa 6) ay hindi na gaanong simple. Dito kailangan mong malaman kung alin ang mas kaunti: o? Kung natatandaan natin iyan, nagiging malinaw na, ibig sabihin ang base ay mas mababa sa zero. Ibig sabihin, inilalapat namin ang panuntunan 2: magiging negatibo ang resulta.

At muli ginagamit namin ang kahulugan ng degree:

Ang lahat ay tulad ng dati - isinulat namin ang kahulugan ng mga degree at hatiin ang mga ito sa bawat isa, hatiin ang mga ito sa mga pares at makuha:

Bago natin tingnan ang huling tuntunin, lutasin natin ang ilang halimbawa.

Kalkulahin ang mga expression:

Mga solusyon :

Nakukuha namin:

Tingnan nating mabuti ang denominator. Mukha itong isa sa mga kadahilanan ng numerator, ngunit ano ang mali? Mali ang pagkakasunud-sunod ng mga tuntunin. Kung mababaligtad ang mga ito, maaaring ilapat ang panuntunan 3. Ngunit paano? Lumalabas na napakadali: ang pantay na antas ng denominator ay nakakatulong sa atin dito.

Kung i-multiply mo ito, walang magbabago di ba? Ngunit ngayon ito ay naging ganito:

Magically nagbago ang mga termino. Ang "phenomenon" na ito ay nalalapat sa anumang ekspresyon sa isang pantay na antas: madali nating mababago ang mga palatandaan sa panaklong. Ngunit mahalagang tandaan: Ang lahat ng mga palatandaan ay nagbabago sa parehong oras! Hindi mo ito mapapalitan sa pamamagitan ng pagpapalit ng isang kawalan lamang na hindi namin gusto!

Bumalik tayo sa halimbawa:

At muli ang formula:

Kaya ngayon ang huling panuntunan:

Paano natin ito mapapatunayan? Siyempre, gaya ng dati: palawakin natin ang konsepto ng degree at pasimplehin ito:

Well, ngayon buksan natin ang mga bracket. Ilang titik ang kabuuan? beses sa pamamagitan ng mga multiplier - ano ang ipinaaalala nito sa iyo? Ito ay walang iba kundi isang kahulugan ng isang operasyon pagpaparami: May mga multiplier lang doon. Iyon ay, ito, sa pamamagitan ng kahulugan, ay isang kapangyarihan ng isang numero na may exponent:

Halimbawa:

Degree na may hindi makatwirang exponent

Bilang karagdagan sa impormasyon tungkol sa mga degree para sa average na antas, susuriin namin ang degree na may hindi makatwirang exponent. Ang lahat ng mga patakaran at katangian ng mga degree dito ay eksaktong kapareho ng para sa isang degree na may rational exponent, maliban sa lahat - pagkatapos ng lahat, sa pamamagitan ng kahulugan, ang mga hindi makatwiran na numero ay mga numero na hindi maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan at mga integer (iyon ay , ang mga hindi makatwirang numero ay lahat ng tunay na numero maliban sa mga rational na numero).

Kapag nag-aaral ng mga degree na may natural, integer at rational exponents, sa bawat oras na gumawa kami ng partikular na "imahe", "analogy", o paglalarawan sa mas pamilyar na mga termino. Halimbawa, ang isang degree na may natural na exponent ay isang numero na pinarami ng sarili nitong ilang beses; ang isang numero sa zero na kapangyarihan ay, kumbaga, isang numero na pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, hindi pa nila sinimulan na i-multiply ito, na nangangahulugang ang numero mismo ay hindi pa lumitaw - samakatuwid ang resulta ay tiyak na "blangko na numero", ibig sabihin ay isang numero; isang degree na may integer na negatibong exponent - para bang may naganap na "reverse process", iyon ay, ang bilang ay hindi pinarami ng sarili nito, ngunit hinati.

Napakahirap isipin ang isang degree na may hindi makatwirang exponent (tulad ng mahirap isipin ang isang 4-dimensional na espasyo). Ito ay sa halip ay isang purong matematikal na bagay na nilikha ng mga mathematician upang palawigin ang konsepto ng antas sa buong espasyo ng mga numero.

Sa pamamagitan ng paraan, sa agham ang isang degree na may isang kumplikadong exponent ay madalas na ginagamit, iyon ay, ang exponent ay hindi kahit isang tunay na numero. Ngunit sa paaralan hindi namin iniisip ang tungkol sa mga paghihirap; magkakaroon ka ng pagkakataong maunawaan ang mga bagong konseptong ito sa institute.

Kaya ano ang gagawin natin kung makakita tayo ng hindi makatwiran na exponent? Sinusubukan namin ang aming makakaya upang mapupuksa ito! :)

Halimbawa:

Magpasya para sa iyong sarili:

Mga sagot:

Tandaan natin ang pagkakaiba ng formula ng mga parisukat. Sagot: .
Binabawasan namin ang mga fraction sa parehong anyo: alinman sa parehong mga decimal o parehong mga ordinaryong. Nakukuha namin, halimbawa: .
Walang espesyal, ginagamit namin ang karaniwang katangian ng mga degree:

BUOD NG SEKSYON AT MGA BATAYANG FORMULA

Degree tinatawag na pagpapahayag ng anyo: , kung saan:

Degree na may integer exponent

isang degree na ang exponent ay isang natural na numero (ibig sabihin, integer at positibo).

Kapangyarihan na may makatwirang exponent

degree, ang exponent nito ay negatibo at fractional na mga numero.

Degree na may hindi makatwirang exponent

isang degree na ang exponent ay isang infinite decimal fraction o ugat.

Mga katangian ng mga degree

Mga tampok ng degree.

Negatibong numero itinaas sa kahit degree, - numero positibo.
Negatibong numero itinaas sa kakaiba degree, - numero negatibo.
Ang isang positibong numero sa anumang antas ay isang positibong numero.
Ang zero ay katumbas ng anumang kapangyarihan.
Ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas.

NGAYON IKAW NA ANG SALITA...

Paano mo gusto ang artikulo? Isulat sa ibaba sa mga komento kung nagustuhan mo ito o hindi.

Sabihin sa amin ang tungkol sa iyong karanasan sa paggamit ng mga katangian ng degree.

Marahil ay mayroon kang mga katanungan. O mga mungkahi.

Sumulat sa mga komento.

At good luck sa iyong mga pagsusulit!

Sa isa sa mga nakaraang artikulo ay nabanggit na natin ang kapangyarihan ng isang numero. Ngayon ay susubukan naming i-navigate ang proseso ng paghahanap ng kahulugan nito. Sa scientifically speaking, aalamin natin kung paano tataas sa isang kapangyarihan nang tama. Malalaman natin kung paano isinasagawa ang prosesong ito, at sa parehong oras ay hipuin natin ang lahat ng posibleng exponents: natural, hindi makatwiran, rational, integer.

Kaya, tingnan natin ang mga solusyon sa mga halimbawa at alamin kung ano ang ibig sabihin nito:

Kahulugan ng konsepto.
Pagtaas sa negatibong sining.
Isang buong tagapagpahiwatig.
Pagtaas ng numero sa isang hindi makatwirang kapangyarihan.

Narito ang isang kahulugan na tumpak na sumasalamin sa kahulugan: "Ang exponentiation ay ang kahulugan ng halaga ng isang kapangyarihan ng isang numero."

Alinsunod dito, ang pagtaas ng bilang a sa Art. r at ang proseso ng paghahanap ng halaga ng degree a na may exponent r ay magkaparehong konsepto. Halimbawa, kung ang gawain ay kalkulahin ang halaga ng kapangyarihan (0.6)6″, maaari itong gawing simple sa expression na "Itaas ang numero 0.6 sa kapangyarihan ng 6."

Pagkatapos nito, maaari kang magpatuloy nang direkta sa mga panuntunan sa pagtatayo.

Pagtaas sa negatibong kapangyarihan

Para sa kalinawan, dapat mong bigyang pansin ang sumusunod na hanay ng mga expression:

110=0.1=1* 10 minus 1 tbsp.,

1100=0.01=1*10 sa minus 2 degrees,

11000=0.0001=1*10 sa minus 3 st.,

110000=0.00001=1*10 hanggang minus 4 degrees.

Salamat sa mga halimbawang ito, malinaw mong makikita ang kakayahang agad na kalkulahin ang 10 sa anumang minus na kapangyarihan. Para sa layuning ito, sapat na upang ilipat lamang ang bahagi ng decimal:

10 hanggang -1 degree - bago ang isa ay may 1 zero;
sa -3 - tatlong zero bago ang isa;
sa -9 mayroong 9 na zero at iba pa.

Madali ding maunawaan mula sa diagram na ito kung magkano ang magiging 10 minus 5 tbsp. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Paano itaas ang isang numero sa isang natural na kapangyarihan

Ang pag-alala sa kahulugan, isinasaalang-alang namin na ang natural na numero a sa Art. n katumbas ng produkto ng n salik, na ang bawat isa ay katumbas ng a. Ilarawan natin: (a*a*…a)n, kung saan ang n ay ang bilang ng mga numero na pinarami. Alinsunod dito, upang itaas ang a sa n, kinakailangang kalkulahin ang produkto ng sumusunod na anyo: a*a*…a hinati sa n beses.

Mula dito nagiging malinaw na pagtataas sa natural st. umaasa sa kakayahang magsagawa ng multiplikasyon(ang materyal na ito ay sakop sa seksyon sa pagpaparami ng tunay na mga numero). Tingnan natin ang problema:

Itaas ang -2 sa ika-4 na st.

Nakikitungo kami sa isang natural na tagapagpahiwatig. Alinsunod dito, ang takbo ng desisyon ay ang mga sumusunod: (-2) sa Art. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Ngayon ang natitira na lang ay paramihin ang mga integer: (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Kumuha kami ng 16.

Sagot sa problema:

(-2) sa Art. 4=16.

Halimbawa:

Kalkulahin ang halaga: three point two sevenths squared.

Ang halimbawang ito ay katumbas ng sumusunod na produkto: three point two sevenths multiplied by three point two sevenths. Inaalala kung paano pinarami ang magkahalong numero, kinukumpleto namin ang konstruksyon:

3 point 2 sevenths pinarami ng kanilang mga sarili;
katumbas ng 23 ikapitong pinarami ng 23 ikapito;
katumbas ng 529 apatnapu't siyam;
binabawasan natin at nakakuha tayo ng 10 thirty-nine fourty-ninths.

Sagot: 10 39/49

Tungkol sa isyu ng pagtaas sa isang hindi makatwiran na exponent, dapat tandaan na ang mga kalkulasyon ay nagsisimulang isagawa pagkatapos makumpleto ang paunang pag-ikot ng batayan ng antas sa anumang digit na magpapahintulot sa pagkuha ng halaga na may isang naibigay na katumpakan. Halimbawa, kailangan nating i-square ang numero P (pi).

Magsisimula tayo sa pamamagitan ng pag-round sa P hanggang hundredths at makuha ang:

P squared = (3.14)2 = 9.8596. Gayunpaman, kung babawasan natin ang P hanggang sampung libo, makakakuha tayo ng P = 3.14159. Pagkatapos ang pag-squaring ay nagbibigay ng ganap na naiibang numero: 9.8695877281.

Dapat pansinin dito na sa maraming problema ay hindi na kailangang itaas ang mga hindi makatwirang numero sa mga kapangyarihan. Bilang isang patakaran, ang sagot ay ipinasok alinman sa anyo ng aktwal na antas, halimbawa, ang ugat ng 6 hanggang sa kapangyarihan ng 3, o, kung pinapayagan ng expression, ang pagbabagong-anyo nito ay isinasagawa: ugat ng 5 hanggang 7 degree = 125 ugat ng 5.

Paano itaas ang isang numero sa isang integer na kapangyarihan

Angkop ang algebraic manipulation na ito isaalang-alang ang mga sumusunod na kaso:

para sa mga integer;
para sa isang zero indicator;
para sa isang positibong integer exponent.

Dahil halos lahat ng positibong integer ay nag-tutugma sa masa ng mga natural na numero, ang pagtatakda sa isang positibong integer na kapangyarihan ay ang parehong proseso tulad ng pagtatakda sa Art. natural. Inilarawan namin ang prosesong ito sa nakaraang talata.

Ngayon pag-usapan natin ang pagkalkula ng st. wala. Nalaman na namin sa itaas na ang zero na kapangyarihan ng numero a ay maaaring matukoy para sa anumang hindi zero a (totoo), habang ang a sa Art. 0 ay katumbas ng 1.

Alinsunod dito, ang pagtataas ng anumang tunay na numero sa zero st. magbibigay ng isa.

Halimbawa, 10 sa st. 0=1, (-3.65)0=1, at 0 sa st. 0 ay hindi matukoy.

Upang makumpleto ang pagtaas sa isang integer na kapangyarihan, nananatili itong magpasya sa mga opsyon para sa mga negatibong halaga ng integer. Naaalala namin ang Art. mula sa isang may integer exponent -z ay tutukuyin bilang isang fraction. Ang denominator ng fraction ay st. kasama ang kabuuan positibong halaga, ang kahulugan na natutunan na nating hanapin. Ngayon ang lahat na natitira ay upang isaalang-alang ang isang halimbawa ng konstruksiyon.

Halimbawa:

Kalkulahin ang halaga ng numero 2 cubed na may negatibong integer exponent.

Proseso ng solusyon:

Ayon sa kahulugan ng isang degree na may negatibong exponent, tinutukoy namin ang: dalawang minus 3 degree. katumbas ng isa hanggang dalawa sa ikatlong kapangyarihan.

Ang denominator ay kinakalkula lamang: dalawang cubed;

3 = 2*2*2=8.

Sagot: dalawa hanggang minus 3rd art. = isang ikawalo.

Ang pagtaas sa negatibong kapangyarihan ay isa sa mga pangunahing elemento ng matematika at kadalasang nakakaharap sa paglutas ng mga problema sa algebraic. Nasa ibaba ang mga detalyadong tagubilin.

Paano itaas sa isang negatibong kapangyarihan - teorya

Kapag itinaas natin ang isang numero sa isang ordinaryong kapangyarihan, pinarami natin ang halaga nito nang maraming beses. Halimbawa, 3 3 = 3×3×3 = 27. Sa isang negatibong fraction ang kabaligtaran ay totoo. Pangkalahatang anyo ayon sa formula ay magkakaroon susunod na view: a -n = 1/a n . Kaya, upang itaas ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan, kailangan mong hatiin ang isa sa ibinigay na numero, ngunit sa isang positibong kapangyarihan.

Paano itaas sa isang negatibong kapangyarihan - mga halimbawa sa mga ordinaryong numero

Kapag isinasaisip ang panuntunan sa itaas, lutasin natin ang ilang halimbawa.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Sagot: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Sagot -4 -2 = 1/16.

Ngunit bakit pareho ang mga sagot sa una at pangalawang halimbawa? Ang katotohanan ay kapag ang isang negatibong numero ay itinaas sa isang pantay na kapangyarihan (2, 4, 6, atbp.), ang tanda ay nagiging positibo. Kung ang antas ay pantay, kung gayon ang minus ay mananatili:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Paano itaas sa isang negatibong kapangyarihan - mga numero mula 0 hanggang 1

Alalahanin na kapag ang isang numero sa pagitan ng 0 at 1 ay itinaas sa isang positibong kapangyarihan, ang halaga ay bumababa habang tumataas ang kapangyarihan. Kaya halimbawa, 0.5 2 = 0.25. 0.25

Halimbawa 3: Kalkulahin ang 0.5 -2
Solusyon: 0.5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Sagot: 0.5 -2 = 4

Pagsusuri (sequence of actions):

Nagsasalin kami decimal 0.5 hanggang fractional 1/2. Mas madali sa ganoong paraan.
Itaas ang 1/2 sa isang negatibong kapangyarihan. 1/(2) -2 . Hatiin ang 1 sa 1/(2) 2, makakakuha tayo ng 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Halimbawa 4: Kalkulahin ang 0.5 -3
Solusyon: 0.5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Halimbawa 5: Kalkulahin -0.5 -3
Solusyon: -0.5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Sagot: -0.5 -3 = -8

Batay sa ika-4 at ika-5 na halimbawa, makakagawa tayo ng ilang konklusyon:

Para sa isang positibong numero sa hanay mula 0 hanggang 1 (halimbawa 4), itinaas sa isang negatibong kapangyarihan, kahit na ang kapangyarihan ay kahit o kakaiba ay hindi mahalaga, ang halaga ng expression ay magiging positibo. Kasabay nito, kaysa mas maraming degree, mas malaki ang halaga.
Para sa isang negatibong numero sa hanay mula 0 hanggang 1 (halimbawa 5), itinaas sa isang negatibong kapangyarihan, kahit na ang kapangyarihan ay kahit o kakaiba ay hindi mahalaga, ang halaga ng expression ay magiging negatibo. Sa kasong ito, mas mataas ang antas, mas mababa ang halaga.

Paano itaas sa isang negatibong kapangyarihan - isang kapangyarihan sa anyo ng isang fractional na numero

Ang mga expression ng ganitong uri ay may sumusunod na anyo: a -m/n, kung saan ang a ay isang regular na numero, m ang numerator ng degree, n ang denominator ng degree.

Tingnan natin ang isang halimbawa:
Kalkulahin: 8 -1/3

Solusyon (pagkakasunod-sunod ng mga aksyon):

Tandaan natin ang panuntunan para sa pagtaas ng numero sa negatibong kapangyarihan. Nakukuha namin ang: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
Pansinin na ang denominator ay may numerong 8 sa isang fractional power. Ang pangkalahatang anyo ng pagkalkula ng fractional power ay ang mga sumusunod: a m/n = n √8 m.
Kaya, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Nakukuha namin ang cube root ng walo, na katumbas ng 2. Mula dito, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
Sagot: 8 -1/3 = 2

Mula sa paaralan, alam nating lahat ang panuntunan tungkol sa exponentiation: anumang numero na may exponent N ay katumbas ng resulta ng pagpaparami ng numerong ito sa sarili nitong N bilang ng beses. Sa madaling salita, ang 7 sa kapangyarihan ng 3 ay 7 na pinarami ng sarili nitong tatlong beses, iyon ay, 343. Ang isa pang tuntunin ay ang pagtaas ng anumang dami sa kapangyarihan ng 0 ay nagbibigay ng isa, at ang pagtaas ng negatibong dami ay resulta ng ordinaryong pagtaas sa ang kapangyarihan kung ito ay kahit na, at ang parehong resulta na may isang minus sign kung ito ay kakaiba.

Ang mga patakaran ay nagbibigay din ng sagot sa kung paano itaas ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan. Upang gawin ito, kailangan mong itaas ang kinakailangang halaga sa pamamagitan ng modulus ng indicator sa karaniwang paraan, at pagkatapos ay hatiin ang yunit sa resulta.

Mula sa mga panuntunang ito ay nagiging malinaw na ang pagpapatupad tunay na mga problema mangangailangan ng kakayahang magamit ang paghawak ng malalaking dami teknikal na paraan. Manu-manong maaari mong i-multiply sa iyong sarili ang isang maximum na hanay ng mga numero hanggang dalawampu't tatlumpu, at pagkatapos ay hindi hihigit sa tatlo o apat na beses. Ito ay hindi banggitin pagkatapos ay hatiin ang isa sa resulta. Samakatuwid, para sa mga walang espesyal na calculator ng engineering, sasabihin namin sa iyo kung paano itaas ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan sa Excel.

Paglutas ng mga problema sa Excel

Upang malutas ang mga problemang kinasasangkutan ng exponentiation, pinapayagan ka ng Excel na gumamit ng isa sa dalawang opsyon.

Ang una ay ang paggamit ng isang formula na may karaniwang tanda na "takip". Ipasok ang sumusunod na data sa mga cell ng worksheet:

Sa parehong paraan, maaari mong itaas ang nais na halaga sa anumang kapangyarihan - negatibo, fractional. Gawin natin ang mga sumusunod na aksyon at sagutin ang tanong kung paano itaas ang isang numero sa negatibong kapangyarihan. Halimbawa:

Maaari mong itama ang =B2^-C2 nang direkta sa formula.

Ang pangalawang opsyon ay ang paggamit ng yari na function na "Degree", na tumatagal ng dalawang kinakailangang argumento - isang numero at isang exponent. Upang simulan ang paggamit nito, ilagay lamang ang equal sign (=) sa anumang libreng cell, na nagpapahiwatig ng simula ng formula, at ilagay ang mga salita sa itaas. Ang natitira na lang ay pumili ng dalawang cell na lalahok sa operasyon (o manu-manong tukuyin ang mga partikular na numero) at pindutin ang Enter key. Tingnan natin ang ilang simpleng halimbawa.

Formula

Resulta

DEGREE(B2;C2)

DEGREE(B3;C3)

0,002915

Tulad ng nakikita mo, walang kumplikado tungkol sa kung paano itaas ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan at sa isang regular na kapangyarihan gamit ang Excel. Pagkatapos ng lahat, upang malutas ang problemang ito, maaari mong gamitin ang parehong pamilyar na simbolo ng "takip" at ang built-in na function ng programa, na madaling matandaan. Ito ay isang tiyak na plus!

Lumipat tayo sa higit pa kumplikadong mga halimbawa. Tandaan natin ang panuntunan tungkol sa kung paano itaas ang isang numero sa isang negatibong fractional power, at makikita natin na ang problemang ito ay napakadaling malutas sa Excel.

Fractional indicator

Sa madaling salita, ang algorithm para sa pagkalkula ng isang numero na may fractional exponent ay ang mga sumusunod.

I-convert ang isang fraction sa tamang o di-wastong fraction.
Itaas ang aming numero sa numerator ng resultang na-convert na fraction.
Mula sa bilang na nakuha sa nakaraang talata, kalkulahin ang ugat, na may kondisyon na ang exponent ng ugat ang magiging denominator ng fraction na nakuha sa unang yugto.

Sumang-ayon na kahit na kapag tumatakbo sa maliit na numero at tamang fractions Ang ganitong mga kalkulasyon ay maaaring tumagal ng maraming oras. Mabuti na ang Excel spreadsheet processor ay walang pakialam kung anong numero ang itataas sa kung anong kapangyarihan. Subukang lutasin ang sumusunod na halimbawa sa isang worksheet ng Excel:

Gamit ang mga panuntunan sa itaas, maaari mong suriin at tiyakin na ang pagkalkula ay ginawa nang tama.

Sa dulo ng aming artikulo ay ipapakita namin sa anyo ng isang talahanayan na may mga formula at mga resulta ng ilang mga halimbawa kung paano itaas ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan, pati na rin ang ilang mga halimbawa ng pagpapatakbo. mga fractional na numero at digri.

Halimbawang talahanayan

Tingnan ang mga sumusunod na halimbawa sa iyong Excel worksheet. Para gumana nang tama ang lahat, kailangan mong gumamit ng halo-halong sanggunian kapag kinokopya ang formula. Ayusin ang numero ng column na naglalaman ng numerong itinataas at ang numero ng row na naglalaman ng indicator. Dapat ganito ang hitsura ng iyong formula: “=$B4^C$3.”

Numero/Degree

Pakitandaan na ang mga positibong numero (kahit na hindi integer) ay maaaring kalkulahin nang walang mga problema para sa anumang exponent. Walang mga problema sa pagpapataas ng anumang mga numero sa mga integer. Ngunit ang pagtaas ng negatibong numero sa isang fractional na kapangyarihan ay magiging isang pagkakamali para sa iyo, dahil imposibleng sundin ang panuntunang ipinahiwatig sa simula ng aming artikulo tungkol sa pagtaas ng mga negatibong numero, dahil ang parity ay isang katangian na eksklusibo ng isang BUONG numero.

Isang numero na itinaas sa isang kapangyarihan Tumatawag sila sa isang numero na pinarami ng sarili nitong ilang beses.

a-n = (1/a n)

A. D. Alexandrov

sa n higit pa m , at kasama ang m higit pa n . Tingnan natin ang isang halimbawa: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Una kailangan mong matukoy ang numero na gumaganap bilang isang kahulugan ng antas. b=a(-n) . Sa halimbawang ito -n ay isang exponent b - ang nais na halaga ng numero, a - ang base ng degree sa anyo ng natural na numeric na halaga. Pagkatapos ay tukuyin ang module, iyon ay, ang ganap na halaga ng isang negatibong numero, na gumaganap bilang isang exponent. Kalkulahin ang antas ng isang naibigay na numero na nauugnay sa isang ganap na numero, bilang isang tagapagpahiwatig. Ang halaga ng antas ay matatagpuan sa pamamagitan ng paghahati ng isa sa resultang numero.

kanin. 1

Isaalang-alang ang kapangyarihan ng isang numero na may negatibong fractional exponent. Isipin natin na ang numero a ay anumang positibong numero, mga numero n At m - mga integer. Ayon sa kahulugan a , na itinataas sa kapangyarihan - katumbas ng isang hinati sa parehong numero na may positibong kapangyarihan (Figure 1). Kapag ang kapangyarihan ng isang numero ay isang fraction, kung gayon sa mga ganitong kaso ay mga numero lamang na may positibong exponent ang ginagamit.

Worth remembering na ang zero ay hindi kailanman maaaring maging isang exponent ng isang numero (ang panuntunan ng paghahati sa pamamagitan ng zero).

Ang pagkalat ng naturang konsepto bilang isang numero ay naging mga manipulasyon gaya ng mga kalkulasyon ng pagsukat, gayundin ang pag-unlad ng matematika bilang isang agham. Ang pagpapakilala ng mga negatibong halaga ay dahil sa pagbuo ng algebra, na nagbigay ng mga pangkalahatang solusyon sa mga problema sa aritmetika, anuman ang kanilang tiyak na kahulugan at ang orihinal na data ng numero. Sa India, noong ika-6 hanggang ika-11 na siglo, sistematikong ginamit ang mga negatibong numero sa paglutas ng mga problema at binibigyang-kahulugan sa parehong paraan tulad ng ngayon. Sa agham ng Europa, nagsimulang malawakang gamitin ang mga negatibong numero salamat kay R. Descartes, na nagbigay ng geometriko na interpretasyon ng mga negatibong numero bilang mga direksyon ng mga segment. Si Descartes ang nagmungkahi ng pagtatalaga ng isang numero na itinaas sa isang kapangyarihan upang ipakita bilang isang dalawang palapag na formula isang n .

Isa sa mga pangunahing katangian sa algebra, at sa lahat ng matematika, ay degree. Siyempre, sa ika-21 siglo, ang lahat ng mga kalkulasyon ay maaaring gawin sa isang online na calculator, ngunit ito ay mas mahusay para sa pag-unlad ng utak upang malaman kung paano gawin ito sa iyong sarili.

Sa artikulong ito ay titingnan natin ang pinaka mahahalagang tanong nauugnay sa kahulugang ito. Lalo na, maunawaan natin kung ano ito sa pangkalahatan at kung ano ang mga pangunahing pag-andar nito, kung anong mga katangian ang mayroon sa matematika.

Tingnan natin ang mga halimbawa kung ano ang hitsura ng pagkalkula at kung ano ang mga pangunahing formula. Tingnan natin ang mga pangunahing uri ng mga dami at kung paano sila naiiba sa iba pang mga pag-andar.

Unawain natin kung paano lutasin ang iba't ibang problema gamit ang dami na ito. Ipapakita namin sa mga halimbawa kung paano itaas sa zero na kapangyarihan, hindi makatwiran, negatibo, atbp.

Online na calculator ng exponentiation

Ano ang kapangyarihan ng isang numero

Ano ang ibig sabihin ng pananalitang “magtaas ng numero sa isang kapangyarihan”?

Ang kapangyarihan n ng isang numero ay ang produkto ng mga kadahilanan ng magnitude ng isang n beses sa isang hilera.

Sa matematika, ganito ang hitsura:

a n = a * a * a * …a n .

Halimbawa:

2 3 = 2 sa ikatlong antas. = 2 * 2 * 2 = 8;
4 2 = 4 sa hakbang. dalawa = 4 * 4 = 16;
5 4 = 5 sa hakbang. apat = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
10 5 = 10 sa 5 hakbang. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
10 4 = 10 sa 4 na hakbang. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Nasa ibaba ang isang talahanayan ng mga parisukat at cube mula 1 hanggang 10.

Talaan ng mga digri mula 1 hanggang 10

Nasa ibaba ang mga resulta ng pagtaas ng mga natural na numero sa mga positibong kapangyarihan - "mula 1 hanggang 100".

Ch-lo	2nd st.	ika-3 yugto
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Mga katangian ng mga degree

Ano ang katangian ng naturang mathematical function? Tingnan natin ang mga pangunahing katangian.

Itinatag ng mga siyentipiko ang mga sumusunod mga palatandaan na katangian ng lahat ng antas:

a n * a m = (a) (n+m) ;
a n: a m = (a) (n-m);
(a b) m =(a) (b*m) .

Suriin natin gamit ang mga halimbawa:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Sa kabilang banda, 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Katulad nito: 2 3: 2 2 = 8 / 4 =2. Kung hindi 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Paano kung iba ito? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Tulad ng nakikita mo, gumagana ang mga patakaran.

Ngunit paano na na may karagdagan at pagbabawas? Simple lang. Isinasagawa muna ang exponentiation, at pagkatapos ay ang pagdaragdag at pagbabawas.

Tingnan natin ang mga halimbawa:

3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Pakitandaan: hindi gagana ang panuntunan kung babawasan mo muna: (5 – 3) 2 = 2 2 = 4.

Ngunit sa kasong ito, kailangan mo munang kalkulahin ang karagdagan, dahil may mga aksyon sa panaklong: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Paano gumawa mga kalkulasyon sa mas kumplikadong mga kaso? Ang pagkakasunud-sunod ay pareho:

kung may mga bracket, kailangan mong magsimula sa kanila;
pagkatapos exponentiation;
pagkatapos ay isagawa ang mga operasyon ng multiplikasyon at paghahati;
pagkatapos ng karagdagan, pagbabawas.

May mga partikular na katangian na hindi katangian ng lahat ng antas:

Ang nth root ng isang numero a hanggang sa m degree ay isusulat bilang: a m / n.
Kapag tinataas ang isang fraction sa isang kapangyarihan: ang numerator at ang denominator nito ay napapailalim sa pamamaraang ito.
Kapag gumagawa ng isang gawain magkaibang numero sa isang kapangyarihan, ang expression ay tumutugma sa produkto ng mga numerong ito sa ibinigay na kapangyarihan. Iyon ay: (a * b) n = a n * b n .
Kapag itinaas ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan, kailangan mong hatiin ang 1 sa isang numero sa parehong siglo, ngunit may sign na "+".
Kung ang denominator ng isang fraction ay sa isang negatibong kapangyarihan, ang expression na ito ay katumbas ng produkto ng numerator at ang denominator sa isang positibong kapangyarihan.
Anumang numero sa kapangyarihan 0 = 1, at sa kapangyarihan. 1 = sa iyong sarili.

Ang mga patakarang ito ay mahalaga sa sa ibang Pagkakataon, isasaalang-alang namin ang mga ito nang mas detalyado sa ibaba.

Degree na may negatibong exponent

Ano ang gagawin sa minus degree, ibig sabihin, kapag negatibo ang indicator?

Batay sa mga katangian 4 at 5(tingnan ang punto sa itaas), iyon pala:

A (- n) = 1 / A n, 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.

At kabaliktaran:

1 / A (- n) = A n, 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.

Paano kung ito ay isang fraction?

(A / B) (- n) = (B / A) n, (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25/9.

Degree na may natural na tagapagpahiwatig

Ito ay nauunawaan bilang isang degree na may mga exponent na katumbas ng mga integer.

Bagay na dapat alalahanin:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3.15 0 = 1; (-4) 0 = 1...atbp.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3...atbp.

Bilang karagdagan, kung (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2...kung gayon ang resulta ay magkakaroon ng tandang “+”. Kung isang negatibong numero ay itinatayo sa kakaibang degree, pagkatapos ay kabaligtaran.

Ang mga pangkalahatang katangian, at lahat ng mga partikular na tampok na inilarawan sa itaas, ay katangian din ng mga ito.

Fractional degree

Ang ganitong uri ay maaaring isulat bilang isang scheme: A m / n. Basahin bilang: ang nth root ng numero A sa kapangyarihan m.

Maaari mong gawin ang anumang gusto mo sa isang fractional indicator: bawasan ito, hatiin ito sa mga bahagi, itaas ito sa ibang kapangyarihan, atbp.

Degree na may hindi makatwirang exponent

Hayaan ang α ay isang hindi makatwirang numero at A ˃ 0.

Upang maunawaan ang kakanyahan ng isang degree na may tulad na tagapagpahiwatig, Tingnan natin ang iba't ibang posibleng kaso:

A = 1. Ang resulta ay magiging katumbas ng 1. Dahil mayroong isang axiom - 1 sa lahat ng kapangyarihan ay katumbas ng isa;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 – mga rational na numero;

0˂А˂1.

Sa kasong ito, ito ay kabaligtaran: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 sa ilalim ng parehong mga kondisyon tulad ng sa pangalawang talata.

Halimbawa, ang exponent ay ang numerong π. Ito ay makatuwiran.

r 1 - sa kasong ito ay katumbas ng 3;

r 2 – ay magiging katumbas ng 4.

Pagkatapos, para sa A = 1, 1 π = 1.

A = 2, pagkatapos ay 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, pagkatapos ay (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Ang ganitong mga antas ay nailalarawan sa pamamagitan ng lahat ng mga pagpapatakbo ng matematika at mga partikular na katangian na inilarawan sa itaas.

Konklusyon

Ibuod natin - para saan ang mga dami na ito na kailangan, ano ang mga pakinabang ng naturang mga pag-andar? Siyempre, una sa lahat, pinapasimple nila ang buhay ng mga mathematician at programmer kapag nilulutas ang mga halimbawa, dahil pinapayagan nila silang mabawasan ang mga kalkulasyon, paikliin ang mga algorithm, i-systematize ang data, at marami pa.

Saan pa maaaring maging kapaki-pakinabang ang kaalamang ito? sa anumang espesyalidad sa pagtatrabaho: gamot, pharmacology, dentistry, construction, teknolohiya, engineering, disenyo, atbp.