Ang kahulugan ng gintong ratio. Banal na pagkakaisa: ano ang ginintuang ratio sa mga simpleng salita

Golden ratio - ito ay tulad ng isang proporsyonal na paghahati ng isang segment sa hindi pantay na mga bahagi, kung saan ang mas maliit na segment ay nauugnay sa mas malaki, dahil ang mas malaki ay sa kabuuan.

a: b = b: c o c: b = b: a.

Ang proporsyon na ito ay:

Halimbawa, sa tama limang-tulis na bituin, ang bawat segment ay nahahati sa isang segment na nagsasalubong dito sa golden ratio (ibig sabihin, ang ratio ng asul na segment sa berde, pula sa asul, berde hanggang violet ay katumbas 1.618

Karaniwang tinatanggap na ang konsepto ng golden ratio ay ipinakilala sa siyentipikong paggamit ni Pythagoras. May isang palagay na hiniram ni Pythagoras ang kanyang kaalaman mula sa mga Egyptian at Babylonians. Sa katunayan, ang mga proporsyon ng Cheops pyramid, mga templo, bas-relief, mga gamit sa bahay at alahas mula sa libingan ng Tutankhamun ay nagpapahiwatig na ginamit ng mga manggagawang Egyptian ang mga ratio ng gintong dibisyon kapag nilikha ang mga ito.

Noong 1855, inilathala ng German researcher ng golden ratio, Propesor Zeising, ang kanyang trabaho "Aesthetic Research".
Mga dalawang libo ang sukat ni Zeising katawan ng tao at dumating sa konklusyon na ang ginintuang ratio ay nagpapahayag ng average na batas sa istatistika.

Mga gintong proporsyon sa mga bahagi ng katawan ng tao

Ang paghahati ng katawan sa pamamagitan ng pusod ay ang pinakamahalagang tagapagpahiwatig ng gintong ratio. Mga proporsyon katawan ng lalaki nagbabago sa loob ng average na ratio na 13:8 = 1.625 at medyo lumalapit sa golden ratio kaysa sa mga proporsyon katawan ng babae, na may kaugnayan sa kung saan ang average na halaga ng proporsyon ay ipinahayag sa ratio na 8: 5 = 1.6.

Sa isang bagong panganak ang proporsyon ay 1:1, sa edad na 13 ito ay 1.6, at sa edad na 21 ito ay katumbas ng sa isang lalaki.
Ang mga proporsyon ng gintong ratio ay lilitaw din na may kaugnayan sa iba pang mga bahagi ng katawan - ang haba ng balikat, bisig at kamay, kamay at mga daliri, atbp.
Sinubukan ni Zeising ang bisa ng kanyang teorya sa mga estatwa ng Greek. Binuo niya ang mga proporsyon ng Apollo Belvedere sa pinakadetalye. Ang mga plorera ng Griyego, mga istrukturang arkitektura ng iba't ibang panahon, mga halaman, mga hayop, mga itlog ng ibon, mga tono ng musika, at mga mala-tula na metro ay pinag-aralan.

Nagbigay ng depinisyon si Zeising sa golden ratio at ipinakita kung paano ito ipinahayag sa mga segment ng tuwid na linya at sa mga numero. Nang makuha ang mga figure na nagpapahayag ng mga haba ng mga segment, nakita ni Zeising na ang mga ito ay umaabot Serye ng Fibonacci.

Kaya, 21: 34 = 0.617, at 34: 55 = 0,618. (o 1.618 , kung hinati mas malaking bilang sa mas kaunti).

Serye ng Fibonacci ay maaaring nanatili lamang sa isang matematikal na insidente, kung hindi para sa katotohanan na ang lahat ng mga mananaliksik ng ginintuang dibisyon sa mundo ng halaman at hayop, hindi banggitin ang sining, ay palaging dumating sa seryeng ito bilang isang pagpapahayag ng aritmetika ng batas ng ginintuang seksyon.

Golden ratio sa sining

Noong 1925, ang kritiko ng sining na si L.L. Sabaneev, na sinuri ang 1,770 musikal na gawa ng 42 na may-akda, ay nagpakita na ang karamihan sa mga natatanging gawa ay madaling mahahati sa mga bahagi alinman sa tema, o sa istruktura ng intonasyon, o sa istruktura ng modal, na may kaugnayan. sa bawat isa gintong ratio.

Bukod dito, mas talented ang kompositor, mas marami higit pa ang mga gintong ratio ay natagpuan sa kanyang mga gawa. Sa Arensky, Beethoven, Borodin, Haydn, Mozart, Scriabin, Chopin at Schubert, ang mga gintong seksyon ay natagpuan sa 90% ng lahat ng mga gawa. Ayon kay Sabaneev, ang gintong ratio ay humahantong sa impresyon ng isang espesyal na pagkakaisa ng isang musikal na komposisyon.

Sa sinehan, artipisyal na itinayo ni S. Eisenstein ang pelikulang Battleship Potemkin ayon sa mga patakaran ng "golden ratio". Hinati niya ang tape sa limang bahagi. Una tatlong aksyon naglalahad sa barko. Sa huling dalawang - sa Odessa, kung saan ang pag-aalsa ay paglalahad. Ang paglipat na ito sa lungsod ay nangyayari nang eksakto sa gintong ratio point. At ang bawat bahagi ay may sariling bali, na nangyayari ayon sa batas ng gintong ratio.

Golden ratio sa arkitektura, iskultura, pagpipinta

Ang isa sa mga pinakamagandang gawa ng sinaunang arkitektura ng Greek ay ang Parthenon (ika-5 siglo BC).

Ang mga figure ay nagpapakita ng isang bilang ng mga pattern na nauugnay sa golden ratio. Ang mga proporsyon ng gusali ay maaaring ipahayag sa pamamagitan ng iba't ibang kapangyarihan ng numero Ф=0.618...

Sa floor plan ng Parthenon makikita mo rin ang "mga gintong parihaba":

Makikita natin ang golden ratio sa gusali ng Notre Dame Cathedral (Notre Dame de Paris) at sa Pyramid of Cheops:

Hindi lamang ang Egyptian pyramids ay itinayo alinsunod sa perpektong proporsyon ng golden ratio; ang parehong phenomenon ay natagpuan sa Mexican pyramids.

Ang ginintuang proporsyon ay ginamit ng maraming sinaunang iskultor. Ang ginintuang proporsyon ng estatwa ni Apollo Belvedere ay kilala: ang taas ng itinatanghal na tao ay nahahati sa linya ng pusod sa gintong seksyon.

Ang paglipat sa mga halimbawa ng "gintong ratio" sa pagpipinta, hindi maaaring hindi tumutok ang isang tao sa gawain ni Leonardo da Vinci. Tingnan nating mabuti ang pagpipinta na "La Gioconda". Ang komposisyon ng larawan ay batay sa "mga gintong tatsulok".

Golden ratio sa mga font at gamit sa bahay

Golden ratio sa kalikasan

SA biyolohikal na pananaliksik ipinakita na, simula sa mga virus at halaman at nagtatapos sa katawan ng tao, ang ginintuang proporsyon ay ipinahayag sa lahat ng dako, na nagpapakilala sa proporsyonalidad at pagkakatugma ng kanilang istraktura. Ang gintong ratio ay kinikilala unibersal na batas mga sistema ng pamumuhay.

Napag-alaman na serye ng numero Ang mga numero ng Fibonacci ay nagpapakilala istruktural na organisasyon maraming mga sistema ng pamumuhay. Halimbawa, ang helical leaf arrangement sa isang branch ay bumubuo ng isang fraction (bilang ng mga revolutions sa stem/bilang ng mga dahon sa isang cycle, hal 2/5; 3/8; 5/13), na tumutugma sa Fibonacci series.

Ang "ginintuang" proporsyon ng limang talulot na mga bulaklak ng mansanas, peras at maraming iba pang mga halaman ay kilala. Ang mga carrier ng genetic code - DNA at RNA molecules - ay may double helix structure; ang mga sukat nito ay halos ganap na tumutugma sa mga numero ng serye ng Fibonacci.

Binigyang-diin ni Goethe ang hilig ng kalikasan patungo sa spirality.

Hinahabi ng spider ang web nito sa isang spiral pattern. Ang isang bagyo ay umiikot na parang spiral. Takot na kawan reindeer spiral ang layo.

Tinawag ni Goethe ang spiral na "kurba ng buhay." Ang spiral ay nakita sa pag-aayos ng mga buto ng sunflower, pine cones, pineapples, cacti, atbp.

Ang mga bulaklak at buto ng mga sunflower, chamomile, kaliskis sa mga prutas ng pinya, conifer cone ay "naka-pack" sa logarithmic ("gintong") na mga spiral, na kumukulot sa isa't isa, at ang mga bilang ng "kanan" at "kaliwa" na mga spiral ay palaging nauugnay sa bawat isa. iba pa, tulad ng mga kalapit na numerong Fibonacci.

Isaalang-alang ang isang chicory shoot. Ang isang shoot ay nabuo mula sa pangunahing tangkay. Ang unang dahon ay matatagpuan doon. Ang shoot ay gumagawa ng isang malakas na pagbuga sa kalawakan, huminto, naglalabas ng isang dahon, ngunit sa pagkakataong ito ito ay mas maikli kaysa sa una, muli ay gumagawa ng isang pagbuga sa kalawakan, ngunit sa mas kaunting puwersa, naglalabas ng isang dahon na mas maliit pa ang sukat at muling na-eject. .

Kung ang unang paglabas ay kinuha bilang 100 mga yunit, kung gayon ang pangalawa ay katumbas ng 62 mga yunit, ang pangatlo - 38, ang ikaapat - 24, atbp. Ang haba ng mga petals ay napapailalim din sa ginintuang proporsyon. Sa paglaki at pagsakop sa espasyo, ang halaman ay nagpapanatili ng ilang mga sukat. Ang mga impulses ng paglago nito ay unti-unting bumaba sa proporsyon sa gintong ratio.

Sa maraming butterflies, ang ratio ng laki ng thoracic at tiyan na bahagi ng katawan ay tumutugma sa golden ratio. Paghalukipkip sa aking mga pakpak gamu-gamo bumubuo ng isang regular na equilateral triangle. Ngunit kung ikakalat mo ang iyong mga pakpak, makikita mo ang parehong prinsipyo ng paghahati ng katawan sa 2,3,5,8. Ang tutubi ay nilikha din ayon sa mga batas ng ginintuang proporsyon: ang ratio ng haba ng buntot at katawan ay katumbas ng ratio ng kabuuang haba sa haba ng buntot.

Sa butiki, ang haba ng buntot nito ay nauugnay sa haba ng natitirang bahagi ng katawan bilang 62 hanggang 38. Mapapansin mo ang ginintuang sukat kung titingnan mong mabuti ang itlog ng ibon.

Nakikilala ng isang tao ang mga bagay sa paligid niya sa pamamagitan ng kanilang hugis. Ang interes sa hugis ng isang bagay ay maaaring idikta ng mahahalagang pangangailangan, o maaaring sanhi ito ng kagandahan ng hugis. Ang anyo, na batay sa isang kumbinasyon ng mahusay na proporsyon at ang ginintuang ratio, ay nag-aambag sa pinakamahusay visual na pagdama at ang paglitaw ng isang pakiramdam ng kagandahan at pagkakaisa. Ang kabuuan ay palaging binubuo ng mga bahagi, ang mga bahagi ng iba't ibang laki ay nasa isang tiyak na kaugnayan sa bawat isa at sa kabuuan. Ang prinsipyo ng gintong ratio ay ang pinakamataas na pagpapakita ng istruktura at pagganap na pagiging perpekto ng kabuuan at mga bahagi nito sa sining, agham, teknolohiya at kalikasan.

Golden ratio - maharmonya na proporsyon

Sa matematika proporsyon(lat. proportio) tawag sa pagkakapantay-pantay ng dalawang relasyon:

a : b = c : d.

Tuwid na segment AB maaaring hatiin sa dalawang bahagi sa mga sumusunod na paraan:

sa dalawang pantay na bahagi - AB : A.C. = AB : B.C.;
sa dalawang hindi pantay na bahagi sa anumang paggalang (ang mga bahagi ay hindi bumubuo ng mga proporsyon);
kaya, kapag AB : A.C. = A.C. : B.C..

Ang huli ay ang golden division o dibisyon ng isang segment sa extreme at average na ratio.

Ang golden ratio ay isang proporsyonal na paghahati ng isang segment sa hindi pantay na mga bahagi, kung saan ang buong segment ay nauugnay sa mas malaking bahagi dahil ang mas malaking bahagi mismo ay nauugnay sa mas maliit; o sa madaling salita, ang mas maliit na segment ay sa mas malaki habang ang mas malaki ay sa kabuuan:

a : b = b : c
o
c : b = b : a.

kanin. 1. Geometric na imahe ng gintong ratio

Ang praktikal na kakilala sa golden ratio ay nagsisimula sa paghahati ng isang tuwid na linya ng segment sa ginintuang proporsyon gamit ang isang compass at ruler.

kanin. 2.B.C. = 1/2 AB; CD = B.C.

Mula sa punto B ang isang patayo na katumbas ng kalahati ay naibalik AB. Natanggap na punto C konektado ng isang linya sa isang punto A. Ang isang segment ay naka-plot sa resultang linya B.C. nagtatapos sa isang tuldok D. Segment ng linya AD inilipat sa direktang AB. Ang resultang punto E naghahati ng isang segment AB sa golden ratio ratio.

Ang mga segment ng golden ratio ay ipinahayag bilang isang walang katapusang irrational fraction A.E.= 0.618..., kung AB kunin bilang isa MAGING= 0.382... Para sa mga praktikal na layunin, kadalasang ginagamit ang tinatayang halaga ng 0.62 at 0.38. Kung ang segment AB kinuha bilang 100 bahagi, pagkatapos ay ang mas malaking bahagi ng segment ay katumbas ng 62, at ang mas maliit na bahagi ay 38 bahagi.

Ang mga katangian ng gintong ratio ay inilarawan ng equation:

x 2 – x – 1 = 0.

Solusyon sa equation na ito:

Ang mga katangian ng golden ratio ay lumikha ng isang romantikong aura ng misteryo at halos mystical na pagsamba sa paligid ng numerong ito.

Pangalawang ginintuang ratio

Ang Bulgarian magazine na "Fatherland" (No. 10, 1983) ay naglathala ng isang artikulo ni Tsvetan Tsekov-Karandash "Sa pangalawang gintong seksyon", na sumusunod mula sa pangunahing seksyon at nagbibigay ng isa pang ratio na 44: 56.

Ang proporsyon na ito ay matatagpuan sa arkitektura, at nangyayari rin kapag gumagawa ng mga komposisyon ng mga imahe ng isang pinahabang pahalang na format.

kanin. 3.

Ang paghahati ay isinasagawa tulad ng sumusunod. Segment ng linya AB hinati ayon sa golden ratio. Mula sa punto C ang patayo ay naibalik CD. Radius AB may punto D, na kung saan ay konektado sa pamamagitan ng isang linya sa isang punto A. Tamang anggulo ACD ay nahahati sa kalahati. Mula sa punto C ang isang linya ay iguguhit hanggang sa ito ay magsalubong sa linya AD. Dot E naghahati ng isang segment AD kaugnay ng 56:44.

kanin. 4.

Ipinapakita ng figure ang posisyon ng linya ng pangalawang gintong ratio. Ito ay matatagpuan sa gitna sa pagitan ng gintong ratio na linya at midline parihaba.

Golden Triangle

Upang mahanap ang mga segment ng ginintuang proporsyon ng pataas at pababang serye, maaari mong gamitin pentagram.

kanin. 5. Konstruksyon ng isang regular na pentagon at pentagram

Upang bumuo ng isang pentagram, kailangan mong bumuo ng isang regular na pentagon. Ang paraan ng pagtatayo nito ay binuo ng Aleman na pintor at graphic artist na si Albrecht Durer (1471...1528). Hayaan O- gitna ng bilog, A– isang punto sa isang bilog at E– gitna ng segment O.A.. Patayo sa radius O.A., naibalik sa punto O, nag-intersect sa bilog sa punto D. Gamit ang isang compass, i-plot ang isang segment sa diameter C.E. = ED. Ang haba ng gilid ng isang regular na pentagon na nakasulat sa isang bilog ay DC. Ilatag ang mga segment sa bilog DC at nakakakuha kami ng limang puntos upang gumuhit ng isang regular na pentagon. Ikinonekta namin ang mga sulok ng pentagon sa isa't isa na may mga diagonal at kumuha ng pentagram. Ang lahat ng mga diagonal ng pentagon ay nahahati sa bawat isa sa mga segment na konektado ng gintong ratio.

Ang bawat dulo ng pentagonal na bituin ay kumakatawan sa isang gintong tatsulok. Ang mga gilid nito ay bumubuo ng isang anggulo ng 36 ° sa tuktok, at ang base, na inilatag sa gilid, hinahati ito sa proporsyon ng gintong ratio.

kanin. 6. Konstruksyon ng gintong tatsulok

Nagsasagawa kami ng direktang AB. Mula sa punto A maglagay ng segment dito ng tatlong beses O arbitrary na halaga, sa pamamagitan ng resultang punto P gumuhit ng patayo sa linya AB, sa patayo sa kanan at kaliwa ng punto P isantabi ang mga segment O. Nakatanggap ng mga puntos d At d 1 kumonekta sa mga tuwid na linya patungo sa isang punto A. Segment ng linya DD ilagay ang 1 sa linya Ad 1, pagkuha ng isang punto C. Hinati niya ang linya Ad 1 sa proporsyon sa gintong ratio. Mga linya Ad 1 at DD 1 ay ginagamit upang bumuo ng isang "ginintuang" parihaba.

Kasaysayan ng gintong ratio

Karaniwang tinatanggap na ang konsepto ng gintong dibisyon ay ipinakilala sa siyentipikong paggamit ni Pythagoras, sinaunang Griyegong pilosopo at mathematician (VI siglo BC). May isang palagay na hiniram ni Pythagoras ang kanyang kaalaman sa gintong dibisyon mula sa mga Egyptian at Babylonians. Sa katunayan, ang mga proporsyon ng Cheops pyramid, mga templo, bas-relief, mga gamit sa bahay at mga dekorasyon mula sa libingan ay nagpapahiwatig na ginamit ng mga manggagawang Egyptian ang mga ratio ng gintong dibisyon kapag nilikha ang mga ito. Natuklasan ng arkitekto ng Pransya na si Le Corbusier na sa relief mula sa templo ni Pharaoh Seti I sa Abydos at sa relief na naglalarawan kay Pharaoh Ramses, ang mga proporsyon ng mga figure ay tumutugma sa mga halaga ng gintong dibisyon. Ang arkitekto na si Khesira, na inilalarawan sa lunas kahoy na tabla mula sa libingan na pinangalanan sa kanya, hawak sa kanyang mga kamay ang mga instrumento sa pagsukat kung saan ang mga proporsyon ng gintong dibisyon ay naitala.

Ang mga Griyego ay mga bihasang geometer. Nagturo pa sila ng aritmetika sa kanilang mga anak gamit ang mga geometric na numero. Ang Pythagorean square at ang dayagonal ng parisukat na ito ay ang batayan para sa pagbuo ng mga dynamic na parihaba.

kanin. 7. Mga dynamic na parihaba

Alam din ni Plato (427...347 BC) ang tungkol sa golden division. Ang kanyang dialogue na "Timaeus" ay nakatuon sa matematika at aesthetic na pananaw ng Pythagorean school at, lalo na, sa mga isyu ng golden division.

Ang harapan ng sinaunang Greek na templo ng Parthenon ay nagtatampok ng mga gintong sukat. Sa mga paghuhukay nito, natuklasan ang mga compass na ginamit ng mga arkitekto at eskultor ng sinaunang mundo. Ang Pompeian compass (museum sa Naples) ay naglalaman din ng mga proporsyon ng gintong dibisyon.

kanin. 8.

Sa nabubuhay pa sinaunang panitikan ang gintong dibisyon ay unang nabanggit sa Euclid's Elements. Sa 2nd book ng "Beginnings" ito ay ibinigay geometric na konstruksyon gintong dibisyon. Pagkatapos ng Euclid, ang pag-aaral ng ginintuang paghahati ay isinagawa ng Hypsicles (II siglo BC), Pappus (III siglo AD) at iba pa. medyebal na Europa Nakilala namin ang ginintuang dibisyon mula sa mga pagsasalin ng Arabic ng Euclid's Elements. Ang tagapagsalin na si J. Campano mula sa Navarre (III siglo) ay nagbigay ng mga komento sa pagsasalin. Ang mga lihim ng ginintuang dibisyon ay naiinggit na binantayan at itinatago sa mahigpit na lihim. Sila ay kilala lamang sa mga nagsisimula.

Noong Renaissance, tumaas ang interes sa ginintuang dibisyon sa mga siyentipiko at artista dahil sa paggamit nito sa geometry at sining, lalo na sa arkitektura. Nakita iyon ni Leonardo da Vinci, isang pintor at siyentipiko, sa mga artistang Italyano karanasang empirikal malaki, ngunit maliit na kaalaman. Naglihi siya at nagsimulang magsulat ng isang libro sa geometry, ngunit sa oras na iyon ay lumitaw ang isang libro ng monghe na si Luca Pacioli, at tinalikuran ni Leonardo ang kanyang ideya. Ayon sa mga kontemporaryo at istoryador ng agham, si Luca Pacioli ay isang tunay na luminary, ang pinakadakilang mathematician ng Italya sa panahon sa pagitan ng Fibonacci at Galileo. Si Luca Pacioli ay isang mag-aaral ng pintor na si Piero della Francesca, na nagsulat ng dalawang aklat, na ang isa ay pinamagatang "On Perspective in Painting". Siya ay itinuturing na lumikha ng descriptive geometry.

Si Luca Pacioli ay lubos na naunawaan ang kahalagahan ng agham para sa sining. Noong 1496, sa imbitasyon ni Duke Moreau, dumating siya sa Milan, kung saan nagbigay siya ng mga lektura sa matematika. Si Leonardo da Vinci ay nagtrabaho din sa Milan sa korte ng Moro noong panahong iyon. Noong 1509, ang aklat ni Luca Pacioli na "The Divine Proportion" ay nai-publish sa Venice na may napakatalino na mga guhit, kaya naman pinaniniwalaan na sila ay ginawa ni Leonardo da Vinci. Ang aklat ay isang masigasig na himno sa ginintuang ratio. Kabilang sa maraming mga pakinabang ng gintong ratio, ang monghe na si Luca Pacioli ay hindi nabigo na pangalanan ito " banal na kakanyahan"bilang isang pagpapahayag ng Banal na Trinidad - Diyos Ama, Diyos Anak at Diyos Espiritu Santo (ito ay ipinahiwatig na ang maliit na bahagi ay ang personipikasyon ng Diyos Anak, ang mas malaking bahagi ay ang Diyos Ama, at ang buong bahagi ay Diyos Espiritu Santo).

E-libro:

Mario Livio.

Nakikilala ng isang tao ang mga bagay sa paligid niya sa pamamagitan ng kanilang hugis. Ang interes sa hugis ng isang bagay ay maaaring idikta ng mahahalagang pangangailangan, o maaaring sanhi ito ng kagandahan ng hugis. Ang anyo, ang pagtatayo nito ay batay sa isang kumbinasyon ng mahusay na proporsyon at ang ginintuang ratio, ay nag-aambag sa pinakamahusay na visual na pang-unawa at ang hitsura ng isang pakiramdam ng kagandahan at pagkakaisa. Ang kabuuan ay palaging binubuo ng mga bahagi, ang mga bahagi ng iba't ibang laki ay nasa isang tiyak na kaugnayan sa bawat isa at sa kabuuan. Ang prinsipyo ng gintong ratio ay ang pinakamataas na pagpapakita ng istruktura at pagganap na pagiging perpekto ng kabuuan at mga bahagi nito sa sining, agham, teknolohiya at kalikasan.

Golden ratio - maharmonya na proporsyon

Sa matematika proporsyon(lat. proportio) tawag sa pagkakapantay-pantay ng dalawang relasyon: a : b = c : d.

Tuwid na segment AB maaaring hatiin sa dalawang bahagi sa mga sumusunod na paraan:

sa dalawang pantay na bahagi - AB : AC = AB : Araw;

sa dalawang hindi pantay na bahagi sa anumang paggalang (ang mga bahagi ay hindi bumubuo ng mga proporsyon);

kaya, kapag AB : AC = AC : Araw.

Ang huli ay ang golden division o dibisyon ng isang segment sa extreme at average na ratio.

Ang golden ratio ay isang proporsyonal na paghahati ng isang segment sa hindi pantay na mga bahagi, kung saan ang buong segment ay nauugnay sa mas malaking bahagi dahil ang mas malaking bahagi mismo ay nauugnay sa mas maliit; o sa madaling salita, ang mas maliit na bahagi ay patungo sa mas malaki gaya ng mas malaki sa kabuuan

a : b = b : c o Sa : b = b : A.

kanin. 1. Geometric na imahe ng gintong ratio

Ang praktikal na kakilala sa golden ratio ay nagsisimula sa paghahati ng isang tuwid na linya ng segment sa ginintuang proporsyon gamit ang isang compass at ruler.

kanin. 2. Paghahati ng isang tuwid na bahagi ng linya gamit ang gintong ratio. B.C. = 1/2 AB; CD = B.C.

Mula sa punto SA ang isang patayo na katumbas ng kalahati ay naibalik AB. Natanggap na punto SA konektado ng isang linya sa isang punto A. Ang isang segment ay naka-plot sa resultang linya Araw nagtatapos sa isang tuldok D. Segment ng linya AD inilipat sa direktang AB. Ang resultang punto E naghahati ng isang segment AB sa golden ratio ratio.

Ang mga katangian ng gintong ratio ay inilarawan ng equation:

x 2 - x - 1 = 0.

Solusyon sa equation na ito:

Ang mga katangian ng golden ratio ay lumikha ng isang romantikong aura ng misteryo at halos mystical na pagsamba sa paligid ng numerong ito.

Pangalawang ginintuang ratio

Ang proporsyon na ito ay matatagpuan sa arkitektura, at nangyayari rin kapag gumagawa ng mga komposisyon ng mga imahe ng isang pinahabang pahalang na format.

kanin. 3. Konstruksyon ng pangalawang gintong ratio

Ang paghahati ay isinasagawa bilang mga sumusunod (tingnan ang Fig. 3). Segment ng linya AB hinati ayon sa golden ratio. Mula sa punto SA ang patayo ay naibalik CD. Radius AB may punto D, na kung saan ay konektado sa pamamagitan ng isang linya sa isang punto A. Tamang anggulo ACD ay nahahati sa kalahati. Mula sa punto SA ang isang linya ay iguguhit hanggang sa ito ay magsalubong sa linya AD. Dot E naghahati ng isang segment AD kaugnay ng 56:44.

kanin. 4. Paghahati ng isang parihaba na may linya ng pangalawang gintong ratio

Sa Fig. Ipinapakita ng Figure 4 ang posisyon ng linya ng ikalawang golden ratio. Matatagpuan ito sa gitna sa pagitan ng linya ng golden ratio at gitnang linya ng rectangle.

Golden Triangle

Upang mahanap ang mga segment ng ginintuang proporsyon ng pataas at pababang serye, maaari mong gamitin pentagram.

kanin. 5. Konstruksyon ng isang regular na pentagon at pentagram

Upang bumuo ng isang pentagram, kailangan mong bumuo ng isang regular na pentagon. Ang paraan ng pagtatayo nito ay binuo ng Aleman na pintor at graphic artist na si Albrecht Durer (1471...1528). Hayaan O- gitna ng bilog, A- isang punto sa isang bilog at E- gitna ng segment OA. Patayo sa radius OA, naibalik sa punto TUNGKOL SA, nag-intersect sa bilog sa punto D. Gamit ang isang compass, i-plot ang isang segment sa diameter C.E. = ED. Ang haba ng gilid ng isang regular na pentagon na nakasulat sa isang bilog ay DC. Ilatag ang mga segment sa bilog DC at nakakakuha kami ng limang puntos upang gumuhit ng isang regular na pentagon. Ikinonekta namin ang mga sulok ng pentagon sa isa't isa na may mga diagonal at kumuha ng pentagram. Ang lahat ng mga diagonal ng pentagon ay nahahati sa bawat isa sa mga segment na konektado ng gintong ratio.

kanin. 6. Konstruksyon ng gintong tatsulok

Nagsasagawa kami ng direktang AB. Mula sa punto A maglagay ng segment dito ng tatlong beses TUNGKOL SA arbitrary na halaga, sa pamamagitan ng resultang punto R gumuhit ng patayo sa linya AB, sa patayo sa kanan at kaliwa ng punto R isantabi ang mga segment TUNGKOL SA. Nakatanggap ng mga puntos d At d 1 kumonekta sa mga tuwid na linya patungo sa isang punto A. Segment ng linya DD ilagay ang 1 sa linya Ad 1, pagkuha ng isang punto SA. Hinati niya ang linya Ad 1 sa proporsyon sa gintong ratio. Mga linya Ad 1 at DD 1 ay ginagamit upang bumuo ng isang "ginintuang" parihaba.

Kasaysayan ng gintong ratio

Karaniwang tinatanggap na ang konsepto ng ginintuang dibisyon ay ipinakilala sa siyentipikong paggamit ni Pythagoras, isang sinaunang Griyegong pilosopo at matematiko (VI siglo BC). May isang palagay na hiniram ni Pythagoras ang kanyang kaalaman sa gintong dibisyon mula sa mga Egyptian at Babylonians. Sa katunayan, ang mga proporsyon ng Cheops pyramid, mga templo, bas-relief, mga gamit sa bahay at alahas mula sa libingan ng Tutankhamun ay nagpapahiwatig na ginamit ng mga manggagawang Egyptian ang mga ratio ng gintong dibisyon kapag nilikha ang mga ito. Nalaman ng arkitekto ng Pransya na si Le Corbusier na sa relief mula sa templo ni Pharaoh Seti I sa Abydos at sa relief na naglalarawan kay Pharaoh Ramses, ang mga proporsyon ng mga figure ay tumutugma sa mga halaga ng gintong dibisyon. Ang arkitekto na si Khesira, na inilalarawan sa isang kaluwagan ng isang kahoy na tabla mula sa isang libingan na pinangalanan sa kanya, ay humahawak sa kanyang mga kamay ng mga instrumento sa pagsukat kung saan ang mga proporsyon ng gintong dibisyon ay naitala.

kanin. 7. Mga dynamic na parihaba

kanin. 8. Antique golden ratio compass

Sa sinaunang panitikan na dumating sa atin, ang gintong dibisyon ay unang nabanggit sa Euclid's Elements. Sa ika-2 aklat ng "Mga Prinsipyo" ay ibinigay ang geometriko na konstruksyon ng ginintuang dibisyon. Pagkatapos ng Euclid, ang pag-aaral ng ginintuang dibisyon ay isinagawa ng Hypsicles (ika-2 siglo BC), Pappus (III siglo AD), at iba pa. Sa medieval Europe, with the golden division Nakilala namin sa pamamagitan ng Arabic translations ng Euclid’s Elements. Ang tagapagsalin na si J. Campano mula sa Navarre (III siglo) ay nagbigay ng mga komento sa pagsasalin. Ang mga lihim ng ginintuang dibisyon ay naiinggit na binantayan at itinatago sa mahigpit na lihim. Sila ay kilala lamang sa mga nagsisimula.

Sa panahon ng Renaissance, tumaas ang interes sa gintong dibisyon sa mga siyentipiko at artista dahil sa paggamit nito sa geometry at sining, lalo na sa arkitektura. Nakita ni Leonardo da Vinci, isang pintor at siyentipiko, na ang mga artistang Italyano ay may maraming karanasan sa empirikal, ngunit kakaunti kaalaman . Naglihi siya at nagsimulang magsulat ng isang libro sa geometry, ngunit sa oras na iyon ay lumitaw ang isang libro ng monghe na si Luca Pacioli, at tinalikuran ni Leonardo ang kanyang ideya. Ayon sa mga kontemporaryo at istoryador ng agham, si Luca Pacioli ay isang tunay na luminary, ang pinakadakilang mathematician ng Italya sa panahon sa pagitan ng Fibonacci at Galileo. Si Luca Pacioli ay isang mag-aaral ng pintor na si Piero della Franceschi, na sumulat ng dalawang aklat, na ang isa ay tinawag na "On Perspective in Painting." Siya ay itinuturing na lumikha ng descriptive geometry.

Si Luca Pacioli ay lubos na naunawaan ang kahalagahan ng agham para sa sining. Noong 1496, sa paanyaya ng Duke ng Moreau, dumating siya sa Milan, kung saan nagturo siya sa matematika. Si Leonardo da Vinci ay nagtrabaho din sa Milan sa korte ng Moro noong panahong iyon. Noong 1509, ang aklat ni Luca Pacioli na "The Divine Proportion" ay nai-publish sa Venice na may napakatalino na mga guhit, kaya naman pinaniniwalaan na sila ay ginawa ni Leonardo da Vinci. Ang aklat ay isang masigasig na himno sa ginintuang ratio. Kabilang sa maraming mga pakinabang ng ginintuang proporsyon, hindi nabigo ang monghe na si Luca Pacioli na pangalanan ang "divine essence" nito bilang pagpapahayag ng banal na trinidad: Diyos Anak, Diyos Ama at Diyos Espiritu Santo (ito ay ipinahiwatig na ang maliit Ang segment ay ang personipikasyon ng Diyos Anak, ang mas malaking bahagi ay ang Diyos ng Ama, at ang buong segment - Diyos ng Banal na Espiritu).

Si Leonardo da Vinci ay nagbigay din ng maraming pansin sa pag-aaral ng gintong dibisyon. Gumawa siya ng mga seksyon ng isang stereometric na katawan na nabuo ng mga regular na pentagon, at sa bawat oras na nakakuha siya ng mga parihaba na may mga aspect ratio sa golden division. Kaya naman binigyan niya ng pangalan ang dibisyong ito gintong ratio. Kaya nananatili pa rin itong pinakasikat.

Kasabay nito, sa hilaga ng Europa, sa Alemanya, si Albrecht Dürer ay nagtatrabaho sa parehong mga problema. Ini-sketches niya ang panimula sa unang bersyon ng treatise sa mga proporsyon. Sumulat si Dürer. “Kailangan na ang isang taong marunong gumawa ng isang bagay ay dapat magturo nito sa ibang nangangailangan nito. Ito ang itinakda kong gawin."

Sa paghusga sa isa sa mga liham ni Dürer, nakilala niya si Luca Pacioli habang nasa Italya. Detalyadong binuo ni Albrecht Durer ang teorya ng mga proporsyon ng katawan ng tao. Nagtalaga si Dürer ng isang mahalagang lugar sa kanyang sistema ng mga relasyon sa gintong seksyon. Ang taas ng isang tao ay nahahati sa ginintuang sukat sa pamamagitan ng linya ng sinturon, pati na rin sa pamamagitan ng isang linya na iginuhit sa mga dulo ng gitnang daliri ng mga nakababang kamay, ang ibabang bahagi ng mukha sa pamamagitan ng bibig, atbp. Kilalang-kilala ang proportional compass ni Dürer.

Mahusay na astronomo noong ika-16 na siglo. Tinawag ni Johannes Kepler ang golden ratio na isa sa mga kayamanan ng geometry. Siya ang unang nagbigay pansin sa kahalagahan ng ginintuang proporsyon para sa botany (paglago ng halaman at ang kanilang istraktura).

Tinawag ni Kepler ang ginintuang proporsyon na self-continuing. "Ito ay nakabalangkas sa paraang," isinulat niya, "na ang dalawang pinakamababang termino ng walang katapusang proporsyon na ito ay nagdaragdag ng hanggang sa ikatlong termino, at anumang dalawang huling termino, kung idinagdag magkasama. , ibigay ang susunod na termino, at ang parehong proporsyon ay pinananatili hanggang sa infinity."

Ang pagtatayo ng isang serye ng mga segment ng ginintuang proporsyon ay maaaring gawin pareho sa direksyon ng pagtaas (pagtaas ng serye) at sa direksyon ng pagbaba (pababang serye).

Kung nasa isang tuwid na linya ng di-makatwirang haba, itabi ang segment m, ilagay ang segment sa tabi nito M. Batay sa dalawang segment na ito, bumuo kami ng sukat ng mga segment ng ginintuang proporsyon ng pataas at pababang serye

kanin. 9. Konstruksyon ng isang sukat ng mga gintong bahagi ng proporsyon

Sa kasunod na mga siglo, ang panuntunan ng ginintuang proporsyon ay naging isang akademikong kanon, at nang, sa paglipas ng panahon, ang pakikibaka laban sa akademikong gawain ay nagsimula sa sining, sa init ng pakikibaka "itinapon nila ang sanggol na may tubig na paliguan." Ang gintong ratio ay "natuklasan" muli noong kalagitnaan ng ika-19 na siglo. Noong 1855, inilathala ng German researcher ng golden ratio, Propesor Zeising, ang kanyang akdang "Aesthetic Studies". Ang nangyari kay Zeising ay kung ano mismo ang hindi maiiwasang mangyari sa isang mananaliksik na isinasaalang-alang ang isang kababalaghan bilang ganoon, nang walang koneksyon sa iba pang mga phenomena. Binubuo niya ang proporsyon ng gintong seksyon, na idineklara itong unibersal para sa lahat ng phenomena ng kalikasan at sining. Si Zeising ay may maraming tagasunod, ngunit mayroon ding mga kalaban na nagpahayag ng kanyang doktrina ng mga sukat bilang "matematika na aesthetics."

kanin. 10. Mga gintong proporsyon sa mga bahagi ng katawan ng tao

Napakalaking trabaho ang ginawa ni Zeising. Sinukat niya ang humigit-kumulang dalawang libong katawan ng tao at dumating sa konklusyon na ang ginintuang ratio ay nagpapahayag ng average na batas sa istatistika. Ang paghahati ng katawan sa pamamagitan ng pusod ay ang pinakamahalagang tagapagpahiwatig ng gintong ratio. Ang mga proporsyon ng katawan ng lalaki ay nagbabago sa loob ng average na ratio ng 13: 8 = 1.625 at medyo mas malapit sa gintong ratio kaysa sa mga proporsyon ng babaeng katawan, na may kaugnayan kung saan ang average na halaga ng proporsyon ay ipinahayag sa ratio 8: 5 = 1.6. Sa isang bagong panganak ang proporsyon ay 1:1, sa edad na 13 ito ay 1.6, at sa edad na 21 ito ay katumbas ng sa isang lalaki. Ang mga proporsyon ng gintong ratio ay lilitaw din na may kaugnayan sa iba pang mga bahagi ng katawan - ang haba ng balikat, bisig at kamay, kamay at mga daliri, atbp.

kanin. labing-isa. Mga gintong proporsyon sa pigura ng tao

Sinubukan ni Zeising ang bisa ng kanyang teorya sa mga estatwa ng Greek. Binuo niya ang mga proporsyon ng Apollo Belvedere sa pinakadetalye. Ang mga plorera ng Griyego, mga istrukturang arkitektura ng iba't ibang panahon, mga halaman, mga hayop, mga itlog ng ibon, mga tono ng musika, at mga mala-tula na metro ay pinag-aralan. Nagbigay ng depinisyon si Zeising sa golden ratio at ipinakita kung paano ito ipinahayag sa mga segment ng tuwid na linya at sa mga numero. Nang makuha ang mga numerong nagpapahayag ng mga haba ng mga segment, nakita ni Zeising na bumubuo sila ng seryeng Fibonacci, na maaaring ipagpatuloy nang walang katapusan sa isang direksyon o sa iba pa. Ang kanyang susunod na libro ay pinamagatang "Ang Ginintuang Dibisyon bilang Batayang Batas ng Morpolohiya sa Kalikasan at Sining." Noong 1876, isang maliit na aklat, halos isang brochure, ang inilathala sa Russia na nagbabalangkas sa gawaing ito ni Zeising. Ang may-akda ay sumilong sa ilalim ng mga inisyal na Yu.F.V. Ang edisyong ito ay walang binanggit na isang gawa ng pagpipinta.

Sa pagtatapos ng ika-19 - simula ng ika-20 siglo. Maraming puro pormalistikong teorya ang lumitaw tungkol sa paggamit ng gintong ratio sa mga gawa ng sining at arkitektura. Sa pag-unlad ng disenyo at teknikal na aesthetics, ang batas ng gintong ratio ay pinalawak sa disenyo ng mga kotse, kasangkapan, atbp.

Serye ng Fibonacci

Ang pangalan ng Italian mathematician na monghe na si Leonardo ng Pisa, na mas kilala bilang Fibonacci (anak ni Bonacci), ay hindi direktang konektado sa kasaysayan ng golden ratio. Marami siyang naglakbay sa Silangan, ipinakilala ang Europa sa mga numerong Indian (Arabic). Noong 1202, ang kanyang gawaing matematika na "The Book of the Abacus" (counting board) ay nai-publish, na nakolekta ang lahat ng mga problema na kilala sa oras na iyon. Ang isa sa mga problema ay nabasa na "Ilang pares ng kuneho ang isisilang mula sa isang pares sa isang taon." Sa pagmumuni-muni sa paksang ito, binuo ni Fibonacci ang sumusunod na serye ng mga numero:

Isang serye ng mga numero 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, atbp. kilala bilang ang seryeng Fibonacci. Ang kakaiba ng pagkakasunud-sunod ng mga numero ay ang bawat isa sa mga miyembro nito, simula sa ikatlo, ay katumbas ng kabuuan ng nakaraang dalawang 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34, atbp., at ang ratio ng mga katabing numero sa serye ay lumalapit sa ratio ng gintong dibisyon. Kaya, 21: 34 = 0.617, at 34: 55 = 0.618. Ang relasyon na ito ay tinutukoy ng simbolo F. Tanging ang ratio na ito - 0.618: 0.382 - ay nagbibigay ng tuloy-tuloy na dibisyon ng isang tuwid na linya ng segment sa ginintuang proporsyon, pagtaas o pagbaba nito hanggang sa infinity, kapag ang mas maliit na segment ay nauugnay sa mas malaki dahil ang mas malaki ay sa kabuuan.

Tinutugunan din ni Fibonacci ang mga praktikal na pangangailangan ng kalakalan: ano ang pinakamaliit na bilang ng mga timbang na maaaring gamitin sa pagtimbang ng isang produkto? Pinatunayan ng Fibonacci na ang pinakamainam na sistema ng mga timbang ay: 1, 2, 4, 8, 16...

Pangkalahatang ginintuang ratio

Ang serye ng Fibonacci ay maaaring nanatili lamang sa isang matematikal na insidente, kung hindi para sa katotohanan na ang lahat ng mga mananaliksik ng gintong dibisyon sa mundo ng halaman at hayop, hindi banggitin ang sining, ay palaging dumating sa seryeng ito bilang isang aritmetika na pagpapahayag ng batas ng ginintuang dibisyon.

Patuloy na aktibong binuo ng mga siyentipiko ang teorya ng mga numero ng Fibonacci at ang gintong ratio. Nilulutas ni Yu. Matiyasevich ang ika-10 problema ni Hilbert gamit ang mga numerong Fibonacci. Ang mga eleganteng pamamaraan ay umuusbong para sa paglutas ng ilang mga problema sa cybernetic (teorya sa paghahanap, laro, programming) gamit ang mga numero ng Fibonacci at ang ginintuang ratio. Sa USA, kahit na ang Mathematical Fibonacci Association ay nilikha, na naglalathala ng isang espesyal na journal mula noong 1963.

Isa sa mga nagawa sa larangang ito ay ang pagtuklas ng mga pangkalahatang numero ng Fibonacci at mga pangkalahatang gintong ratio.

Ang serye ng Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8) at ang "binary" na serye ng mga timbang na natuklasan niya 1, 2, 4, 8, 16... sa unang tingin ay ganap na naiiba. Ngunit ang mga algorithm para sa kanilang pagtatayo ay halos kapareho sa bawat isa: sa unang kaso, ang bawat numero ay ang kabuuan ng nakaraang numero na may sarili nitong 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2..., sa pangalawa - ito ang kabuuan ng dalawang naunang numero 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... Posible bang makahanap ng pangkalahatan mathematical formula kung saan kami kumukuha ng “ binary series at Fibonacci series? O baka ang formula na ito ay magbibigay sa amin ng mga bagong numerical set na may ilang bagong natatanging katangian?

Sa katunayan, itakda natin ang numerical parameter S, na maaaring tumagal ng anumang mga halaga: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Isaalang-alang ang isang serye ng numero, S+ 1 sa mga unang termino kung saan ay mga yunit, at ang bawat isa sa mga kasunod ay katumbas ng kabuuan ng dalawang termino ng nauna at pinaghihiwalay mula sa nauna ng S hakbang. Kung n Tinutukoy namin ang ika-kataga ng seryeng ito sa pamamagitan ng φ S ( n), pagkatapos makuha namin pangkalahatang pormulaφ S ( n) = φ S ( n- 1) + φ S ( n - S - 1).

Ito ay malinaw na kapag S= 0 mula sa formula na ito nakakakuha tayo ng isang "binary" na serye, na may S= 1 - Fibonacci series, na may S= 2, 3, 4. bagong serye ng mga numero, na tinatawag S-Mga numero ng Fibonacci.

SA pangkalahatang pananaw ginto S-ang proporsyon ay ang positibong ugat ng golden equation S-mga seksyon x S+1 - x S - 1 = 0.

Madaling ipakita iyon kapag S= 0, ang segment ay nahahati sa kalahati, at kung kailan S= 1 - ang pamilyar na klasikal na gintong ratio.

Relasyon sa pagitan ng mga kapitbahay S- Ang mga numero ng Fibonacci ay tumutugma sa ganap na katumpakan ng matematika sa limitasyon sa ginto S-proporsyon! Ang mga mathematician sa mga ganitong kaso ay nagsasabi na ang ginto S-ang mga seksyon ay mga numerical invariant S-Mga numero ng Fibonacci.

Mga katotohanang nagpapatunay sa pagkakaroon ng ginto S-mga seksyon sa kalikasan, binanggit ng Belarusian scientist na si E.M. Soroko sa aklat na "Structural Harmony of Systems" (Minsk, "Science and Technology", 1984). Lumalabas, halimbawa, na ang pinag-aralan na binary alloys ay may mga espesyal, binibigkas na functional na mga katangian (thermal stable, hard, wear-resistant, lumalaban sa oksihenasyon, atbp.) kung tiyak na gravity ang mga orihinal na bahagi ay konektado sa isa't isa sa pamamagitan ng isa sa ginto S-proporsyon. Pinahintulutan nito ang may-akda na ilagay ang hypothesis na ginto S-ang mga seksyon ay mga numerical invariant ng self-organizing system. Kapag nakumpirma nang eksperimento, ang hypothesis na ito ay maaaring maging pangunahing kahalagahan para sa pagbuo ng synergetics - bagong lugar agham na nag-aaral ng mga proseso sa self-organizing system.

Gamit ang mga gintong code S-Ang mga proporsyon ay maaaring ipahayag ng anumang tunay na bilang bilang isang kabuuan ng mga kapangyarihan ng ginto S-mga proporsyon na may mga integer coefficient.

Ang pangunahing pagkakaiba sa pagitan ng pamamaraang ito ng pag-encode ng mga numero ay ang mga base ng mga bagong code, na ginto S-proporsyon, na may S> 0 pala ang mga numerong hindi makatwiran. Kaya, ang mga bagong sistema ng numero na may hindi makatwirang mga batayan ay tila naglalagay ng makasaysayang itinatag na hierarchy ng mga ugnayan sa pagitan ng mga makatwiran at hindi makatwiran na mga numero "mula ulo hanggang paa." Ang katotohanan ay ang mga natural na numero ay unang "natuklasan"; pagkatapos ang kanilang mga ratio ay mga rational na numero. At mamaya lamang - pagkatapos ng pagtuklas ng mga hindi matutumbasan na mga segment ng mga Pythagorean - ipinanganak ang mga hindi makatwiran na numero. Halimbawa, sa decimal, quinary, binary at iba pang classical positional number system, ang mga natural na numero ay pinili bilang isang uri ng pangunahing prinsipyo - 10, 5, 2 - kung saan ilang mga tuntunin lahat ng iba pang natural na numero, gayundin ang mga rational at irrational na numero, ay ginawa.

Isang uri ng alternatibo umiiral na mga pamamaraan Ang sistema ng numero ay isang bago, hindi makatwiran na sistema, bilang isang pangunahing prinsipyo, ang simula nito ay pinili hindi makatwiran na numero(na, alalahanin, ay ang ugat ng golden ratio equation); iba pang tunay na mga numero ay naipahayag na sa pamamagitan nito.

Sa ganoong sistema ng numero, anuman natural na numero laging kinakatawan bilang may hangganan - at hindi walang hanggan, gaya ng naunang naisip! - ang kabuuan ng mga antas ng alinman sa ginto S-proporsyon. Ito ay isa sa mga dahilan kung bakit ang "hindi makatwiran" na aritmetika, na nagtataglay ng kamangha-manghang pagiging simple at kagandahan ng matematika, ay tila sumipsip pinakamahusay na mga katangian classical binary at Fibonacci arithmetic.

Mga prinsipyo ng pagbuo sa kalikasan

Lahat ng bagay na kinuha sa ilang anyo ay nabuo, lumago, nagsikap na kumuha ng isang lugar sa kalawakan at mapanatili ang sarili nito. Ang pagnanais na ito ay natanto pangunahin sa dalawang mga pagpipilian - lumalaki paitaas o kumakalat sa ibabaw ng lupa at umiikot sa isang spiral.

Ang shell ay baluktot sa isang spiral. Kung buksan mo ito, makakakuha ka ng isang haba na bahagyang mas maikli kaysa sa haba ng ahas. Ang isang maliit na sampung sentimetro na shell ay may spiral na 35 cm ang haba. Ang mga spiral ay karaniwan sa kalikasan. Ang ideya ng golden ratio ay hindi kumpleto nang hindi pinag-uusapan ang spiral.

kanin. 12. Archimedes spiral

Ang hugis ng spirally curled shell ay nakakuha ng atensyon ni Archimedes. Pinag-aralan niya ito at nakabuo ng isang equation para sa spiral. Ang spiral na iginuhit ayon sa equation na ito ay tinatawag sa kanyang pangalan. Ang pagtaas ng kanyang hakbang ay palaging pare-pareho. Sa kasalukuyan, ang Archimedes spiral ay malawakang ginagamit sa teknolohiya.

Binigyang-diin din ni Goethe ang hilig ng kalikasan patungo sa spirality. Matagal nang napansin ang helical at spiral arrangement ng mga dahon sa mga sanga ng puno. Ang spiral ay nakita sa pag-aayos ng mga buto ng sunflower, pine cones, pineapples, cacti, atbp. Pakikipagtulungan Ang mga botanist at mathematician ay nagbigay liwanag sa mga kamangha-manghang natural na phenomena na ito. Ito ay lumabas na ang serye ng Fibonacci ay nagpapakita ng sarili sa pag-aayos ng mga dahon sa isang sangay (phylotaxis), mga buto ng mirasol, at mga pine cone, at samakatuwid, ang batas ng gintong ratio ay nagpapakita mismo. Hinahabi ng spider ang web nito sa isang spiral pattern. Ang isang bagyo ay umiikot na parang spiral. Ang isang takot na kawan ng mga reindeer ay nakakalat sa isang spiral. Ang molekula ng DNA ay pinaikot sa isang double helix. Tinawag ni Goethe ang spiral na "kurba ng buhay."

Kabilang sa mga damo sa gilid ng kalsada ay lumalaki ang isang hindi kapansin-pansin na halaman - chicory. Tingnan natin ito nang maigi. Ang isang shoot ay nabuo mula sa pangunahing tangkay. Ang unang dahon ay matatagpuan doon.

kanin. 13. Chicory

Ang shoot ay gumagawa ng isang malakas na pagbuga sa kalawakan, huminto, naglalabas ng isang dahon, ngunit sa pagkakataong ito ito ay mas maikli kaysa sa una, muli ay gumagawa ng isang pagbuga sa kalawakan, ngunit sa mas kaunting puwersa, naglalabas ng isang dahon na mas maliit pa ang sukat at muling na-eject. . Kung ang unang paglabas ay kinuha bilang 100 mga yunit, kung gayon ang pangalawa ay katumbas ng 62 mga yunit, ang pangatlo - 38, ang ikaapat - 24, atbp. Ang haba ng mga petals ay napapailalim din sa ginintuang proporsyon. Sa paglaki at pagsakop sa espasyo, ang halaman ay nagpapanatili ng ilang mga sukat. Ang mga impulses ng paglago nito ay unti-unting bumaba sa proporsyon sa gintong ratio.

kanin. 14. Masiglang butiki

Sa unang tingin, ang butiki ay may mga proporsyon na kaaya-aya sa ating mga mata - ang haba ng buntot nito ay nauugnay sa haba ng natitirang bahagi ng katawan bilang 62 hanggang 38.

Sa parehong mundo ng halaman at hayop, ang pagbuo ng tendensya ng kalikasan ay patuloy na bumabagsak - simetriya tungkol sa direksyon ng paglaki at paggalaw. Dito lumilitaw ang gintong ratio sa mga proporsyon ng mga bahagi na patayo sa direksyon ng paglago.

Ang kalikasan ay nagsagawa ng paghahati sa mga simetriko na bahagi at ginintuang sukat. Ang mga bahagi ay nagpapakita ng pag-uulit ng istraktura ng kabuuan.

kanin. 15. itlog ng ibon

Ang dakilang Goethe, isang makata, naturalista at artista (iginuhit niya at ipininta sa mga watercolor), pinangarap na lumikha ng isang pinag-isang doktrina ng anyo, pagbuo at pagbabago ng mga organikong katawan. Siya ang nagpasimula ng terminong morphology sa siyentipikong paggamit.

Si Pierre Curie sa simula ng siglong ito ay bumalangkas ng ilang malalim na ideya tungkol sa simetrya. Nagtalo siya na hindi maaaring isaalang-alang ng isa ang simetrya ng anumang katawan nang hindi isinasaalang-alang ang simetrya ng kapaligiran.

Ang mga batas ng "ginintuang" symmetry ay ipinakita sa mga paglipat ng enerhiya ng mga elementarya na particle, sa istraktura ng ilang mga kemikal na compound, sa planetary at mga sistema ng espasyo, sa mga istruktura ng gene ng mga buhay na organismo. Ang mga pattern na ito, tulad ng ipinahiwatig sa itaas, ay nasa istraktura mga indibidwal na organo ng tao at ng katawan sa kabuuan, at nagpapakita rin ng kanilang sarili sa mga biorhythms at ang paggana ng utak at visual na pang-unawa.

Golden ratio at simetrya

Ang gintong ratio ay hindi maaaring isaalang-alang sa sarili nitong, hiwalay, nang walang koneksyon sa mahusay na proporsyon. Ang dakilang Russian crystallographer na si G.V. Itinuring ni Wulf (1863...1925) ang gintong ratio bilang isa sa mga pagpapakita ng simetrya.

Ang ginintuang paghahati ay hindi isang manipestasyon ng kawalaan ng simetrya, isang bagay na kabaligtaran ng simetrya.Ayon sa modernong ideya Ang golden division ay isang asymmetrical symmetry. Kasama sa agham ng simetrya ang mga konsepto tulad ng static At dynamic na simetrya. Ang static symmetry ay nagpapakilala sa kapayapaan at balanse, habang ang dynamic na simetrya ay nagpapakilala sa paggalaw at paglaki. Kaya, sa kalikasan, ang static na simetrya ay kinakatawan ng istraktura ng mga kristal, at sa sining ay nailalarawan nito ang kapayapaan, balanse at kawalang-kilos. Ang dinamikong simetrya ay nagpapahayag ng aktibidad, nagpapakilala sa paggalaw, pag-unlad, ritmo, ito ay katibayan ng buhay. Ang static na simetrya ay nailalarawan sa pamamagitan ng pantay na mga segment, pantay na halaga. Ang dinamikong simetrya ay nailalarawan sa pamamagitan ng pagtaas ng mga segment o ang kanilang pagbaba, at ito ay ipinahayag sa mga halaga ng ginintuang seksyon ng isang pagtaas o pagbaba ng serye.

Ang pagkakatugma na ito ay kapansin-pansin sa laki nito...

Kumusta Mga Kaibigan!

May narinig ka na ba tungkol sa Divine Harmony o sa Golden Ratio? Naisip mo na ba kung bakit ang isang bagay ay tila perpekto at maganda sa atin, ngunit may isang bagay na nagtataboy sa atin?

Kung hindi, kung gayon matagumpay kang nakarating sa artikulong ito, dahil dito tatalakayin natin ang ginintuang ratio, alamin kung ano ito, kung ano ang hitsura nito sa kalikasan at sa mga tao. Pag-usapan natin ang mga prinsipyo nito, alamin kung ano ang serye ng Fibonacci at marami pang iba, kabilang ang konsepto ng golden rectangle at golden spiral.

Oo, ang artikulo ay may maraming mga imahe, mga formula, pagkatapos ng lahat, ang gintong ratio ay matematika din. Ngunit ang lahat ay sapat na inilarawan sa simpleng wika, malinaw. At sa dulo ng artikulo, malalaman mo kung bakit mahal na mahal ng lahat ang pusa =)

Ano ang golden ratio?

Upang ilagay ito nang simple, ang ginintuang ratio ay isang tiyak na tuntunin ng proporsyon na lumilikha ng pagkakaisa?. Iyon ay, kung hindi namin nilalabag ang mga alituntunin ng mga proporsyon na ito, pagkatapos ay nakakakuha kami ng isang napaka-maayos na komposisyon.

Ang pinakakomprehensibong kahulugan ng golden ratio ay nagsasaad na mas maliit na bahagi nauugnay sa mas malaki habang ang mas malaki ay nauugnay sa kabuuan.

Ngunit bukod dito, ang ginintuang ratio ay matematika: mayroon itong tiyak na pormula at tiyak na numero. Maraming mga mathematician, sa pangkalahatan, ang itinuturing na formula ng banal na pagkakaisa, at tinatawag itong "asymmetrical symmetry".

Ang ginintuang ratio ay umabot na sa ating mga kontemporaryo mula pa noong panahon Sinaunang Greece Gayunpaman, mayroong isang opinyon na ang mga Greeks mismo ay nakita na ang ginintuang ratio sa mga Egyptian. Dahil maraming mga gawa ng sining Sinaunang Ehipto malinaw na itinayo ayon sa mga canon ng proporsyon na ito.

Ito ay pinaniniwalaan na si Pythagoras ang unang nagpakilala ng konsepto ng golden ratio. Ang mga gawa ni Euclid ay nakaligtas hanggang sa araw na ito (ginamit niya ang ginintuang ratio upang bumuo ng mga regular na pentagon, kaya naman ang naturang pentagon ay tinatawag na "ginintuang"), at ang bilang ng gintong ratio ay pinangalanan sa sinaunang Griyegong arkitekto na si Phidias. Iyon ay, ito ang aming numerong "phi" (na tinutukoy ng letrang Griyego na φ), at ito ay katumbas ng 1.6180339887498948482... Naturally, ang halagang ito ay bilugan: φ = 1.618 o φ = 1.62, at sa porsyento Ang golden ratio ay mukhang 62% at 38%.

Ano ang kakaiba sa proporsyon na ito (at maniwala ka sa akin, umiiral ito)? Subukan muna nating alamin ito gamit ang isang halimbawa ng isang segment. Kaya, kumuha kami ng isang segment at hinahati ito sa hindi pantay na mga bahagi sa paraang ang mas maliit na bahagi nito ay nauugnay sa mas malaki, dahil ang mas malaking bahagi ay nauugnay sa kabuuan. Naiintindihan ko, hindi pa masyadong malinaw kung ano, susubukan kong ilarawan ito nang mas malinaw gamit ang halimbawa ng mga segment:

Kaya, kumuha kami ng isang segment at hinahati ito sa dalawa pang iba, upang ang mas maliit na segment a ay nauugnay sa mas malaking segment b, tulad ng segment b na nauugnay sa kabuuan, iyon ay, ang buong linya (a + b). Sa matematika, ganito ang hitsura:

Gumagana ang panuntunang ito nang walang katapusan; maaari mong hatiin ang mga segment hangga't gusto mo. At, tingnan kung gaano ito kasimple. Ang pangunahing bagay ay upang maunawaan nang isang beses at iyon lang.

Ngunit ngayon tingnan natin nang mas malapitan kumplikadong halimbawa, na napakadalas, dahil ang gintong ratio ay kinakatawan din sa anyo ng isang gintong parihaba (ang aspect ratio ay φ = 1.62). Ito ay isang napaka-kagiliw-giliw na rektanggulo: kung "puputol" tayo ng isang parisukat mula dito, muli tayong makakakuha ng isang gintong parihaba. At iba pa nang walang katapusan. Tingnan:

Ngunit ang matematika ay hindi magiging matematika kung wala itong mga pormula. Kaya, mga kaibigan, ngayon ito ay "masakit" ng kaunti. Itinago ko ang solusyon sa ginintuang ratio sa ilalim ng isang spoiler; mayroong maraming mga formula, ngunit hindi ko nais na iwanan ang artikulo nang wala ang mga ito.

Fibonacci series at golden ratio

Patuloy kaming lumilikha at nagmamasid sa mahika ng matematika at ang gintong ratio. Sa Middle Ages mayroong isang kasama - Fibonacci (o Fibonacci, iba ang spelling nila sa lahat ng dako). Mahilig siya sa matematika at mga problema, mayroon din siyang interesanteng problema sa pagpaparami ng mga kuneho =) Ngunit hindi iyon ang punto. Natuklasan niya ang isang pagkakasunud-sunod ng numero, ang mga numero sa loob nito ay tinatawag na "mga numero ng Fibonacci".

Ang pagkakasunud-sunod mismo ay ganito ang hitsura:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233... at iba pa ad infinitum.

Sa madaling salita, ang Fibonacci sequence ay isang sequence ng mga numero kung saan ang bawat kasunod na numero ay katumbas ng kabuuan ng naunang dalawa.

Ano ang kinalaman ng golden ratio dito? Makikita mo na ngayon.

Fibonacci Spiral

Upang makita at maramdaman ang buong koneksyon sa pagitan ng serye ng numero ng Fibonacci at ang ginintuang ratio, kailangan mong tingnan muli ang mga formula.

Sa madaling salita, mula sa ika-9 na termino ng Fibonacci sequence nagsisimula kaming makuha ang mga halaga ng golden ratio. At kung isasalarawan natin ang buong larawang ito, makikita natin kung paano lumilikha ng mga parihaba ang Fibonacci sequence na palapit nang palapit sa gintong parihaba. Ito ang koneksyon.

Ngayon pag-usapan natin ang Fibonacci spiral, tinatawag din itong "golden spiral".

Ang golden spiral ay isang logarithmic spiral na ang growth coefficient ay φ4, kung saan ang φ ay ang golden ratio.

Sa pangkalahatan, mula sa isang mathematical point of view, ang golden ratio ay isang perpektong proporsyon. Ngunit ito ay simula pa lamang ng kanyang mga himala. Halos ang buong mundo ay napapailalim sa mga prinsipyo ng gintong ratio; ang kalikasan mismo ang lumikha ng proporsyon na ito. Kahit na ang mga esotericist ay nakikita ang numerical na kapangyarihan dito. Ngunit tiyak na hindi namin ito pag-uusapan sa artikulong ito, kaya upang hindi makaligtaan ang anuman, maaari kang mag-subscribe sa mga pag-update ng site.

Golden ratio sa kalikasan, tao, sining

Bago tayo magsimula, nais kong linawin ang ilang mga kamalian. Una, ang mismong kahulugan ng golden ratio sa sa kontekstong ito hindi ganap na totoo. Ang katotohanan ay ang mismong konsepto ng "seksyon" ay isang geometric na termino, palaging nagsasaad ng isang eroplano, ngunit hindi isang pagkakasunud-sunod ng mga numero ng Fibonacci.

At, pangalawa, ang serye ng numero at ang ratio ng isa sa isa, siyempre, ay naging isang uri ng stencil na maaaring ilapat sa lahat ng bagay na tila kahina-hinala, at ang isa ay maaaring maging napakasaya kapag may mga pagkakataon, ngunit pa rin , bait Hindi katumbas ng halaga ang mawala.

Gayunpaman, “halo-halo ang lahat sa ating kaharian” at ang isa ay naging magkasingkahulugan sa isa pa. Kaya, sa pangkalahatan, ang kahulugan ay hindi nawala mula dito. Ngayon ay bumaba tayo sa negosyo.

Magugulat ka, ngunit ang ginintuang ratio, o sa halip ang mga proporsyon na mas malapit hangga't maaari dito, ay makikita halos lahat ng dako, kahit na sa salamin. Huwag maniwala sa akin? Magsimula tayo dito.

Alam mo, noong nag-aaral akong gumuhit, ipinaliwanag nila sa amin kung gaano kadali ang pagbuo ng mukha ng isang tao, kanyang katawan, at iba pa. Ang lahat ay dapat kalkulahin na may kaugnayan sa ibang bagay.

Lahat, ganap na lahat ay proporsyonal: mga buto, ang ating mga daliri, mga palad, mga distansya sa mukha, ang distansya ng mga nakaunat na braso na may kaugnayan sa katawan, at iba pa. Ngunit kahit na hindi lang iyon panloob na istraktura ng ating katawan, maging ito, ay katumbas o halos katumbas ng golden section formula. Narito ang mga distansya at sukat:

mula sa balikat hanggang sa korona hanggang sa laki ng ulo = 1:1.618

mula sa pusod hanggang sa korona hanggang sa segment mula sa mga balikat hanggang sa korona = 1:1.618

mula pusod hanggang tuhod at mula tuhod hanggang paa = 1:1.618

mula baba hanggang matinding punto itaas na labi at mula dito hanggang sa ilong = 1:1.618

Hindi ba ito kahanga-hanga!? Harmony sa pinakadalisay nitong anyo, sa loob at labas. At iyon ang dahilan kung bakit, sa ilang antas ng hindi malay, ang ilang mga tao ay tila hindi maganda sa atin, kahit na mayroon silang isang malakas, tono ng katawan, makinis na balat, magandang buhok, mata, atbp., at lahat ng iba pa. Ngunit, pareho, ang pinakamaliit na paglabag sa mga proporsyon ng katawan, at ang hitsura ay bahagyang "masakit sa mga mata."

Sa madaling salita, kung mas maganda ang isang tao sa amin, mas malapit ang kanyang mga proporsyon sa perpekto. At ito, sa pamamagitan ng paraan, ay maaaring maiugnay hindi lamang sa katawan ng tao.

Golden ratio sa kalikasan at ang mga phenomena nito

Ang isang klasikong halimbawa ng golden ratio sa kalikasan ay ang shell ng mollusk na Nautilus pompilius at ang ammonite. Ngunit hindi lang ito, marami pang mga halimbawa:

sa mga kulot ng tainga ng tao ay makikita natin ang isang gintong spiral;

pareho nito (o malapit dito) sa mga spiral kung saan umiikot ang mga kalawakan;

at sa molekula ng DNA;

Ayon sa serye ng Fibonacci, ang gitna ng isang sunflower ay nakaayos, ang mga cone ay lumalaki, ang gitna ng mga bulaklak, isang pinya at marami pang ibang prutas.

Mga kaibigan, napakaraming halimbawa na iiwan ko na lang ang video dito (nasa ibaba lang) para hindi ma-overload ng text ang artikulo. Dahil kung maghuhukay ka sa paksang ito, maaari kang pumunta nang mas malalim sa sumusunod na gubat: kahit na ang mga sinaunang Greeks ay pinatunayan na ang Uniberso at, sa pangkalahatan, ang lahat ng espasyo ay binalak ayon sa prinsipyo ng gintong ratio.

Magugulat ka, ngunit ang mga patakarang ito ay matatagpuan kahit na sa tunog. Tingnan:

Ang pinakamataas na punto ng tunog masakit at ang kakulangan sa ginhawa sa ating mga tainga ay katumbas ng 130 decibels.

Hinahati namin ang proporsyon na 130 sa gintong ratio na numero φ = 1.62 at nakakuha kami ng 80 decibels - ang tunog ng sigaw ng tao.

Patuloy kaming naghahati nang proporsyonal at nakukuha, sabihin natin, ang normal na dami ng pagsasalita ng tao: 80 / φ = 50 decibels.

Well, ang huling tunog na nakuha namin salamat sa formula ay isang kaaya-ayang tunog ng pagbulong = 2.618.

Gamit ang prinsipyong ito, posibleng matukoy ang pinakamainam-kumportable, pinakamababa at pinakamataas na bilang ng temperatura, presyon, at halumigmig. Hindi ko pa ito sinubukan, at hindi ko alam kung gaano katotoo ang teoryang ito, ngunit dapat kang sumang-ayon, ito ay kahanga-hanga.

Mababasa ng isa ang pinakamataas na kagandahan at pagkakaisa sa ganap na lahat ng bagay na nabubuhay at walang buhay.

Ang pangunahing bagay ay huwag madala dito, dahil kung gusto nating makita ang isang bagay sa isang bagay, makikita natin ito, kahit na wala ito. Halimbawa, binigyan ko ng pansin ang disenyo ng PS4 at nakita ko ang golden ratio doon =) Gayunpaman, ang console na ito ay napaka-cool na hindi ako magtataka kung ang taga-disenyo ay talagang gumawa ng isang bagay na matalino doon.

Golden ratio sa sining

Isa rin itong napakalaki at malawak na paksa na dapat isaalang-alang nang hiwalay. Dito ay mapapansin ko lamang ang ilang mga pangunahing punto. Ang pinaka-kahanga-hangang bagay ay ang maraming mga gawa ng sining at mga obra maestra ng arkitektura ng unang panahon (at hindi lamang) ay ginawa ayon sa mga prinsipyo ng gintong ratio.

Egyptian at Mayan pyramids, Notre Dame de Paris, Greek Parthenon at iba pa.

Sa mga musikal na gawa ng Mozart, Chopin, Schubert, Bach at iba pa.

Sa pagpipinta (ito ay malinaw na nakikita): lahat ng pinakasikat na mga pagpipinta ng mga sikat na artista ay ginawa na isinasaalang-alang ang mga patakaran ng gintong ratio.

Ang mga prinsipyong ito ay matatagpuan sa mga tula ni Pushkin at sa bust ng magandang Nefertiti.

Kahit na ngayon, ang mga patakaran ng golden ratio ay ginagamit, halimbawa, sa photography. Well, at siyempre, sa lahat ng iba pang sining, kabilang ang cinematography at disenyo.

Mga gintong Fibonacci na pusa

At sa wakas, tungkol sa mga pusa! Naisip mo na ba kung bakit mahal na mahal ng lahat ang mga pusa? Kinuha na nila ang Internet! Ang mga pusa ay nasa lahat ng dako at ito ay kahanga-hanga =)

At ang buong punto ay ang mga pusa ay perpekto! Huwag maniwala sa akin? Ngayon patunayan ko ito sa iyo sa matematika!

Nakikita mo ba? Nabubunyag ang sikreto! Ang mga pusa ay perpekto mula sa punto ng view ng matematika, kalikasan at Uniberso =)

*Syempre naman biro ko. Hindi, ang mga pusa ay talagang perpekto) Ngunit walang sinuman ang sumukat sa kanila sa matematika, marahil.

Iyon talaga, mga kaibigan! Magkita-kita tayo sa mga susunod na artikulo. Good luck sa iyo!

P.S. Mga larawang kinuha mula sa medium.com.

Ang ginintuang ratio ay isang unibersal na pagpapakita ng pagkakaisa ng istruktura. Ito ay matatagpuan sa kalikasan, agham, sining - sa lahat ng bagay na maaaring makontak ng isang tao. Sa sandaling nakilala ang ginintuang tuntunin, hindi na ito ipinagkanulo ng sangkatauhan.

DEPINISYON

Ang pinakakomprehensibong kahulugan ng golden ratio ay nagsasaad na ang mas maliit na bahagi ay nauugnay sa mas malaki, dahil ang mas malaking bahagi ay nauugnay sa kabuuan. Ang tinatayang halaga nito ay 1.6180339887. Sa isang bilugan na halaga ng porsyento, ang mga proporsyon ng mga bahagi ng kabuuan ay tumutugma sa 62% hanggang 38%. Ang relasyon na ito ay gumagana sa mga anyo ng espasyo at oras.

Nakita ng mga sinaunang tao ang golden ratio bilang isang salamin ng cosmic order, at tinawag ito ni Johannes Kepler na isa sa mga kayamanan ng geometry. Makabagong agham Itinuturing ang ginintuang ratio bilang "asymmetrical symmetry", na tinatawag ito sa isang malawak na kahulugan pangkalahatang tuntunin, na sumasalamin sa istruktura at kaayusan ng ating kaayusan sa mundo.

KWENTO

Ang mga sinaunang Egyptian ay may ideya tungkol sa mga gintong proporsyon, alam nila ang tungkol sa mga ito sa Rus ', ngunit sa unang pagkakataon ang ginintuang ratio ay ipinaliwanag sa siyensya ng monghe na si Luca Pacioli sa aklat na "Banal na Proporsyon" (1509), mga guhit na kung saan ay gawa daw ni Leonardo da Vinci. Nakita ni Pacioli sa ginintuang seksyon ang banal na trinidad: ang maliit na bahagi ay nagpapakilala sa Anak, ang malaking bahagi ng Ama, at ang buong Banal na Espiritu.

Ang pangalan ng Italyano na matematiko na si Leonardo Fibonacci ay direktang nauugnay sa panuntunan ng gintong ratio. Bilang resulta ng paglutas ng isa sa mga problema, nakabuo ang siyentipiko ng isang pagkakasunud-sunod ng mga numero na kilala ngayon bilang serye ng Fibonacci: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, atbp. Binigyang-pansin ni Kepler ang kaugnayan ng pagkakasunud-sunod na ito sa ginintuang proporsyon: "Ito ay inayos sa paraang ang dalawang mas mababang termino ng walang katapusang proporsyon na ito ay nagdaragdag sa ikatlong termino, at anumang dalawang huling termino, kung idinagdag, ay magbibigay ng sa susunod na termino, at ang parehong proporsyon ay pinananatili ad infinitum " Ngayon ang serye ng Fibonacci ay ang batayan ng aritmetika para sa pagkalkula ng mga proporsyon ng ginintuang seksyon sa lahat ng mga pagpapakita nito.

Si Leonardo da Vinci ay naglaan din ng maraming oras sa pag-aaral ng mga tampok ng gintong ratio; malamang, ang termino mismo ay pag-aari niya. Ang kanyang mga guhit ng isang stereometric na katawan na nabuo ng mga regular na pentagon ay nagpapatunay na ang bawat isa sa mga parihaba na nakuha ng seksyon ay nagbibigay ng aspect ratio sa gintong dibisyon.

Sa paglipas ng panahon, ang panuntunan ng ginintuang ratio ay naging isang akademikong gawain, at tanging ang pilosopo na si Adolf Zeising ang nagbigay nito ng pangalawang buhay noong 1855. Dinala niya ang mga proporsyon ng ginintuang seksyon sa ganap, na ginagawa itong unibersal para sa lahat ng mga phenomena ng nakapaligid na mundo. Gayunpaman, ang kanyang "mathematical aesthetics" ay nagdulot ng maraming kritisismo.

KALIKASAN

Kahit na walang pagpunta sa mga kalkulasyon, ang ginintuang ratio ay madaling matagpuan sa kalikasan. Kaya, ang ratio ng buntot at katawan ng isang butiki, ang mga distansya sa pagitan ng mga dahon sa isang sanga ay nahulog sa ilalim nito, mayroong isang gintong ratio sa hugis ng isang itlog, kung ang isang kondisyon na linya ay iguguhit sa pinakamalawak na bahagi nito.

Ang Belarusian scientist na si Eduard Soroko, na nag-aral ng mga anyo ng mga gintong dibisyon sa kalikasan, ay nabanggit na ang lahat ng lumalaki at nagsusumikap na maganap sa espasyo ay pinagkalooban ng mga proporsyon ng gintong seksyon. Sa kanyang opinyon, ang isa sa mga pinaka-kagiliw-giliw na anyo ay spiral twisting.

Ang Archimedes, na binibigyang pansin ang spiral, ay nakakuha ng isang equation batay sa hugis nito, na ginagamit pa rin sa teknolohiya. Kalaunan ay binanggit ni Goethe ang pagkahumaling ng kalikasan sa mga spiral form, na tinawag ang spiral na "curve of life." Natuklasan ng mga modernong siyentipiko na ang gayong mga pagpapakita ng mga spiral form sa kalikasan bilang isang snail shell, ang pag-aayos ng mga buto ng sunflower, mga pattern ng spider web, ang paggalaw ng isang bagyo, ang istraktura ng DNA at maging ang istraktura ng mga kalawakan ay naglalaman ng serye ng Fibonacci.

TAO

Ang mga taga-disenyo ng fashion at taga-disenyo ng damit ay gumagawa ng lahat ng mga kalkulasyon batay sa mga proporsyon ng ginintuang ratio. Ang tao ay isang unibersal na anyo para sa pagsubok sa mga batas ng gintong ratio. Siyempre, sa likas na katangian, hindi lahat ng tao ay may perpektong sukat, na lumilikha ng ilang mga paghihirap sa pagpili ng mga damit.

Sa talaarawan ni Leonardo da Vinci ay may guhit ng isang hubad na lalaki na nakasulat sa isang bilog, sa dalawang superimposed na posisyon. Batay sa pananaliksik ng Roman architect na si Vitruvius, Leonardo Sa parehong paraan sinubukang itatag ang mga proporsyon ng katawan ng tao. Nang maglaon, ang Pranses na arkitekto na si Le Corbusier, gamit ang "Vitruvian Man" ni Leonardo, ay lumikha ng kanyang sariling sukat ng "harmonic proportions," na nakaimpluwensya sa aesthetics ng ika-20 siglong arkitektura.

Si Adolf Zeising, na nag-aaral ng proporsyonalidad ng isang tao, ay gumawa ng napakalaking trabaho. Sinukat niya ang humigit-kumulang dalawang libong katawan ng tao, pati na rin ang maraming mga sinaunang estatwa, at napagpasyahan na ang gintong ratio ay nagpapahayag ng average na batas sa istatistika. Sa isang tao, halos lahat ng bahagi ng katawan ay nasa ilalim nito, ngunit pangunahing tagapagpahiwatig Ang golden ratio ay ang dibisyon ng katawan sa pamamagitan ng pusod.
Bilang resulta ng mga sukat, natuklasan ng mananaliksik na ang mga proporsyon ng katawan ng lalaki na 13:8 ay mas malapit sa gintong ratio kaysa sa mga proporsyon ng katawan ng babae - 8:5.

SINING NG MGA ANYONG SPATIAL

Sinabi ng artist na si Vasily Surikov "na sa komposisyon mayroong isang hindi nababagong batas, kapag sa isang larawan ay hindi mo maaaring alisin o magdagdag ng anuman, hindi ka maaaring magdagdag ng dagdag na punto, ito ay tunay na matematika." Sa mahabang panahon intuitive na sinunod ng mga artista ang batas na ito, ngunit pagkatapos ni Leonardo da Vinci, ang proseso ng paglikha ng isang pagpipinta ay hindi na maisasakatuparan nang hindi nalulutas ang mga geometric na problema. Halimbawa, ginamit ni Albrecht Durer ang proporsyonal na kumpas na kanyang naimbento upang matukoy ang mga punto ng gintong seksyon.

Ang kritiko ng sining na si F.V. Kovalev, nang masuri nang detalyado ang pagpipinta ni Nikolai Ge "Alexander Sergeevich Pushkin sa nayon ng Mikhailovskoye," ay nagsasaad na ang bawat detalye ng canvas, maging ito ay isang fireplace, isang aparador ng mga aklat, isang armchair o ang makata mismo, ay mahigpit na nakasulat sa ginintuang sukat.

Ang mga mananaliksik ng golden ratio ay walang kapagurang nag-aaral at sumusukat sa mga obra maestra ng arkitektura, na sinasabing sila ay naging ganoon dahil sila ay nilikha ayon sa mga ginintuang canon: kasama sa kanilang listahan ang Great Pyramids of Giza, Notre Dame Cathedral, St. Basil's Cathedral, at ang Parthenon.

At ngayon, sa anumang sining ng mga spatial na anyo, sinusubukan nilang sundin ang mga proporsyon ng ginintuang seksyon, dahil, ayon sa mga kritiko ng sining, pinadali nila ang pang-unawa sa gawain at bumubuo ng isang aesthetic na pakiramdam sa manonood.

SALITA, TUNOG AT PELIKULA

Ang mga anyo ng pansamantalang sining sa kanilang sariling paraan ay nagpapakita sa atin ng prinsipyo ng gintong dibisyon. Ang mga iskolar sa panitikan, halimbawa, ay napansin na ang pinakasikat na bilang ng mga linya sa mga tula late period Ang pagkamalikhain ni Pushkin ay tumutugma sa serye ng Fibonacci - 5, 8, 13, 21, 34.

Nalalapat din ang panuntunan ng gintong seksyon sa mga indibidwal na gawa ng klasikong Ruso. Kaya, ang kasukdulan ng "The Queen of Spades" ay ang dramatikong eksena ni Herman and the Countess, na nagtatapos sa pagkamatay ng huli. Ang kuwento ay may 853 na linya, at ang rurok ay nangyayari sa linya 535 (853:535 = 1.6) - ito ang punto ng gintong ratio.

Ang musikero ng Sobyet na si E.K. Rosenov ay nagsasaad ng kamangha-manghang katumpakan ng mga ratio ng gintong ratio sa mahigpit at libreng mga anyo ng mga gawa ni Johann Sebastian Bach, na tumutugma sa maalalahanin, puro, teknikal na na-verify na istilo ng master. Totoo rin ito sa mga namumukod-tanging gawa ng iba pang mga kompositor, kung saan ang pinakakapansin-pansin o hindi inaasahang solusyon sa musika ay kadalasang nangyayari sa puntong ginintuang ratio.

Ang direktor ng pelikula na si Sergei Eisenstein ay sadyang nag-coordinate ng script ng kanyang pelikulang "Battleship Potemkin" na may panuntunan ng golden ratio, na hinati ang pelikula sa limang bahagi. Sa unang tatlong seksyon ang aksyon ay nagaganap sa barko, at sa huling dalawa - sa Odessa. Ang paglipat sa mga eksena sa lungsod ay ang ginintuang gitna ng pelikula.