Ang konsepto ng midline ng trapezoid

Una, tandaan natin kung anong uri ng pigura ang tinatawag na trapezoid.

Kahulugan 1

Ang trapezoid ay isang may apat na gilid kung saan ang dalawang panig ay parallel at ang iba pang dalawa ay hindi parallel.

Sa kasong ito, ang mga magkatulad na panig ay tinatawag na mga base ng trapezoid, at ang mga di-parallel na panig ay tinatawag na mga lateral na gilid ng trapezoid.

Kahulugan 2

Ang midline ng isang trapezoid ay isang segment na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga lateral na gilid ng trapezoid.

Trapezoid midline theorem

Ngayon ipinakilala namin ang teorama tungkol sa midline ng isang trapezoid at patunayan ito gamit ang paraan ng vector.

Teorama 1

Ang midline ng trapezoid ay kahanay sa mga base at katumbas ng kanilang kalahating kabuuan.

Patunay.

Bigyan tayo ng trapezoid na $ABCD$ na may mga base na $AD\ at\ BC$. At hayaang $MN$ ang gitnang linya ng trapezoid na ito (Larawan 1).

Figure 1. Midline ng trapezoid

Patunayan natin na ang $MN||AD\ at\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.

Isaalang-alang ang vector na $\overrightarrow(MN)$. Susunod naming gagamitin ang polygon rule upang magdagdag ng mga vectors. Sa isang banda, nakukuha natin iyon

Sa kabila

Idagdag natin ang huling dalawang equalities at makuha

Dahil ang $M$ at $N$ ay ang mga midpoint ng mga lateral na gilid ng trapezoid, magkakaroon tayo ng

Nakukuha namin:

Kaya naman

Mula sa parehong pagkakapantay-pantay (dahil ang $\overrightarrow(BC)$ at $\overrightarrow(AD)$ ay codirectional at, samakatuwid, collinear) makuha namin ang $MN||AD$ na iyon.

Ang teorama ay napatunayan.

Mga halimbawa ng mga problema sa konsepto ng midline ng isang trapezoid

Halimbawa 1

Ang mga gilid na gilid ng trapezoid ay $15\ cm$ at $17\ cm$ ayon sa pagkakabanggit. Ang perimeter ng trapezoid ay $52\cm$. Hanapin ang haba ng midline ng trapezoid.

Solusyon.

Tukuyin natin ang midline ng trapezoid sa pamamagitan ng $n$.

Ang kabuuan ng mga panig ay katumbas ng

Samakatuwid, dahil ang perimeter ay $52\ cm$, ang kabuuan ng mga base ay katumbas ng

Kaya, sa pamamagitan ng Theorem 1, nakukuha natin

Sagot:$10\cm$.

Halimbawa 2

Ang mga dulo ng diameter ng bilog ay $9$ cm at $5$ cm ang layo mula sa tangent nito, ayon sa pagkakabanggit. Hanapin ang diameter ng bilog na ito.

Solusyon.

Bigyan tayo ng isang bilog na may sentro sa puntong $O$ at diameter $AB$. Gumuhit tayo ng tangent $l$ at buuin ang mga distansyang $AD=9\ cm$ at $BC=5\ cm$. Iguhit natin ang radius na $OH$ (Larawan 2).

Figure 2.

Dahil ang $AD$ at $BC$ ay ang mga distansya sa tangent, kung gayon ang $AD\bot l$ at $BC\bot l$ at dahil ang $OH$ ay ang radius, kung gayon ang $OH\bot l$, samakatuwid, $OH |\kaliwa|AD\kanan||BC$. Mula sa lahat ng ito, nakuha namin na ang $ ABCD$ ay isang trapezoid, at ang $OH$ ay ang midline nito. Sa pamamagitan ng Theorem 1, nakukuha natin

Ang trapezoid ay isang espesyal na kaso ng isang may apat na gilid kung saan ang isang pares ng mga gilid ay parallel. Ang terminong "trapezoid" ay nagmula sa salitang Griyego na τράπεζα, ibig sabihin ay "talahanayan", "talahanayan". Sa artikulong ito titingnan natin ang mga uri ng trapezoid at mga katangian nito. Bilang karagdagan, malalaman natin kung paano kalkulahin ang mga indibidwal na elemento nito Halimbawa, ang dayagonal ng isang isosceles trapezoid, ang gitnang linya, lugar, atbp. Ang materyal ay ipinakita sa estilo ng elementarya na sikat na geometry, ibig sabihin, sa isang madaling ma-access na form .

Pangkalahatang Impormasyon

Una, alamin natin kung ano ang quadrilateral. Ang figure na ito ay isang espesyal na kaso ng isang polygon na naglalaman ng apat na gilid at apat na vertices. Dalawang vertices ng quadrilateral na hindi magkatabi ay tinatawag na kabaligtaran. Ang parehong ay maaaring sinabi para sa dalawang di-katabing panig. Ang mga pangunahing uri ng quadrilaterals ay parallelogram, rectangle, rhombus, square, trapezoid at deltoid.

Kaya bumalik tayo sa trapezoids. Tulad ng nasabi na natin, ang figure na ito ay may dalawang magkatulad na panig. Tinatawag silang mga base. Ang iba pang dalawa (hindi parallel) ay ang mga gilid na gilid. Sa mga materyales sa pagsusulit at iba't-ibang mga pagsubok napakadalas na makakahanap ka ng mga problema na may kaugnayan sa mga trapezoid, ang solusyon na kadalasang nangangailangan ng mag-aaral na magkaroon ng kaalaman na hindi ibinigay para sa programa. Ang kursong geometry ng paaralan ay nagpapakilala sa mga mag-aaral sa mga katangian ng mga anggulo at dayagonal, pati na rin ang midline ng isang isosceles trapezoid. Ngunit, bilang karagdagan dito, ang nabanggit na geometric figure ay may iba pang mga tampok. Ngunit higit pa tungkol sa kanila mamaya...

Mga uri ng trapezoid

Mayroong maraming mga uri ng figure na ito. Gayunpaman, madalas na kaugalian na isaalang-alang ang dalawa sa kanila - isosceles at hugis-parihaba.

1. Ang isang hugis-parihaba na trapezoid ay isang pigura kung saan ang isa sa mga gilid ay patayo sa mga base. Ang kanyang dalawang anggulo ay palaging katumbas ng siyamnapung degree.

2. Ang isosceles trapezoid ay isang geometric figure na ang mga gilid ay pantay sa bawat isa. Nangangahulugan ito na ang mga anggulo sa mga base ay pantay din sa mga pares.

Ang mga pangunahing prinsipyo ng pamamaraan para sa pag-aaral ng mga katangian ng isang trapezoid

Kasama sa pangunahing prinsipyo ang paggamit ng tinatawag na diskarte sa gawain. Sa katunayan, hindi na kailangang ipakilala ang mga bagong katangian ng figure na ito sa teoretikal na kurso ng geometry. Maaari silang matuklasan at mabalangkas sa proseso ng paglutas ng iba't ibang mga problema (mas mabuti ang mga sistema). Kasabay nito, napakahalaga na alam ng guro kung anong mga gawain ang kailangang italaga sa mga mag-aaral sa isang pagkakataon o iba pa. prosesong pang-edukasyon. Bukod dito, ang bawat pag-aari ng isang trapezoid ay maaaring katawanin bilang isang pangunahing gawain sa sistema ng gawain.

Ang pangalawang prinsipyo ay ang tinatawag na spiral na organisasyon ng pag-aaral ng "kapansin-pansin" na mga katangian ng trapezoid. Ito ay nagpapahiwatig ng pagbabalik sa proseso ng pag-aaral sa mga indibidwal na katangian ng isang ibinigay na geometric figure. Ginagawa nitong mas madali para sa mga mag-aaral na matandaan ang mga ito. Halimbawa, ang pag-aari ng apat na puntos. Maaari itong mapatunayan kapwa kapag nag-aaral ng pagkakatulad at pagkatapos ay gumagamit ng mga vectors. At ang pagkakapareho ng mga tatsulok na katabi ng mga lateral na gilid ng isang pigura ay maaaring mapatunayan sa pamamagitan ng paglalapat hindi lamang ng mga katangian ng mga tatsulok na may pantay na taas na iginuhit sa mga gilid na nakahiga sa parehong tuwid na linya, kundi pati na rin ang paggamit ng formula S = 1/2( ab*sinα). Bilang karagdagan, maaari kang magtrabaho sa isang inscribed trapezoid o isang right triangle sa isang inscribed trapezoid, atbp.

Ang paggamit ng mga tampok na "extracurricular" ng isang geometric na pigura sa nilalaman ng kurso sa paaralan ay isang teknolohiyang nakabatay sa gawain para sa pagtuturo sa kanila. Ang patuloy na pagtukoy sa mga pag-aari na pinag-aaralan habang dumadaan sa iba pang mga paksa ay nagbibigay-daan sa mga mag-aaral na makakuha ng mas malalim na kaalaman sa trapezoid at tinitiyak ang tagumpay sa paglutas ng mga itinalagang problema. Kaya, simulan nating pag-aralan ang kahanga-hangang figure na ito.

Mga elemento at katangian ng isang isosceles trapezoid

Tulad ng nabanggit na natin, ang geometric figure na ito ay may pantay na panig. Ito ay kilala rin bilang ang tamang trapezoid. Bakit ito kapansin-pansin at bakit ito nakakuha ng ganoong pangalan? Ang kakaiba ng figure na ito ay hindi lamang ang mga gilid at anggulo sa mga base ay pantay, kundi pati na rin ang mga diagonal. Bilang karagdagan, ang kabuuan ng mga anggulo ng isang isosceles trapezoid ay 360 degrees. Ngunit hindi lang iyon! Sa lahat ng kilalang trapezoid, isang isosceles lamang ang maaaring ilarawan bilang isang bilog. Ito ay dahil sa ang katunayan na ang kabuuan ng mga kabaligtaran na anggulo ng figure na ito ay katumbas ng 180 degrees, at sa ilalim lamang ng kondisyong ito ay maaaring ilarawan ng isa ang isang bilog sa paligid ng isang quadrilateral. Ang susunod na katangian ng geometric figure na isinasaalang-alang ay ang distansya mula sa vertex ng base hanggang sa projection ng kabaligtaran na vertex papunta sa tuwid na linya na naglalaman ng base na ito ay magiging katumbas ng midline.

Ngayon, alamin natin kung paano hanapin ang mga anggulo ng isang isosceles trapezoid. Isaalang-alang natin ang isang solusyon sa problemang ito, sa kondisyon na ang mga sukat ng mga gilid ng figure ay kilala.

Solusyon

Karaniwan, ang quadrilateral ay karaniwang tinutukoy ng mga letrang A, B, C, D, kung saan ang BS at AD ang mga base. Sa isang isosceles trapezoid, ang mga gilid ay pantay. Ipagpalagay namin na ang kanilang sukat ay katumbas ng X, at ang mga sukat ng mga base ay katumbas ng Y at Z (mas maliit at mas malaki, ayon sa pagkakabanggit). Upang maisagawa ang pagkalkula, kinakailangan upang iguhit ang taas H mula sa anggulo B. Ang resulta ay isang tamang tatsulok na ABN, kung saan ang AB ay ang hypotenuse, at ang BN at AN ay ang mga binti. Kinakalkula namin ang laki ng binti AN: binabawasan namin ang mas maliit mula sa mas malaking base, at hinati ang resulta sa 2. Isinulat namin ito sa anyo ng isang formula: (Z-Y)/2 = F. Ngayon, upang kalkulahin ang talamak anggulo ng tatsulok, ginagamit namin ang cos function. Nakukuha namin ang sumusunod na entry: cos(β) = X/F. Ngayon ay kinakalkula namin ang anggulo: β=arcos (X/F). Dagdag pa, sa pag-alam ng isang anggulo, matutukoy natin ang pangalawa, para dito nagsasagawa kami ng isang elementarya na operasyon ng aritmetika: 180 - β. Ang lahat ng mga anggulo ay tinukoy.

May pangalawang solusyon sa problemang ito. Una, ibababa namin ito mula sa sulok hanggang sa taas H. Kinakalkula namin ang halaga ng binti BN. Alam namin na ang parisukat ng hypotenuse ng isang tamang tatsulok ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti. Nakukuha namin ang: BN = √(X2-F2). Sunod na gamit namin trigonometriko function tg. Bilang resulta, mayroon tayong: β = arctan (BN/F). Isang matinding anggulo ang natagpuan. Susunod, tinukoy namin ito nang katulad sa unang paraan.

Pag-aari ng mga diagonal ng isang isosceles trapezoid

Una, isulat natin ang apat na panuntunan. Kung ang mga diagonal sa isang isosceles trapezoid ay patayo, kung gayon:

Ang taas ng figure ay magiging katumbas ng kabuuan ng mga base na hinati sa dalawa;

Ang taas at midline nito ay pantay;

Ang gitna ng bilog ay ang punto kung saan ;

Kung ang lateral side ay nahahati sa punto ng tangency sa mga segment H at M, kung gayon ito ay katumbas ng parisukat na ugat mga produkto ng mga segment na ito;

Ang quadrilateral na nabuo sa pamamagitan ng mga punto ng tangency, ang vertex ng trapezoid at ang gitna ng inscribed na bilog ay isang parisukat na ang panig ay katumbas ng radius;

Ang lugar ng isang figure ay katumbas ng produkto ng mga base at ang produkto ng kalahati ng kabuuan ng mga base at ang taas nito.

Mga katulad na trapezoid

Ang paksang ito ay napaka-maginhawa para sa pag-aaral ng mga katangian nito. Ang pahayag na ito ay maaaring tawaging pag-aari ng mga tatsulok kung saan ang trapezoid ay nahahati sa mga diagonal nito. Ang unang bahagi ng pahayag na ito ay napatunayan sa pamamagitan ng tanda ng pagkakatulad sa dalawang anggulo. Upang patunayan ang ikalawang bahagi, mas mainam na gamitin ang paraang ibinigay sa ibaba.

Katibayan ng teorama

Tinatanggap namin na ang figure ABSD (AD at BS ay ang mga base ng trapezoid) ay nahahati sa mga diagonal na VD at AC. Ang punto ng kanilang intersection ay O. Nakakuha kami ng apat na tatsulok: AOS - sa ibabang base, BOS - sa itaas na base, ABO at SOD sa mga gilid. Ang mga tatsulok na SOD at BOS ay may isang karaniwang taas kung ang mga segment na BO at OD ay ang kanilang mga base. Nalaman namin na ang pagkakaiba sa pagitan ng kanilang mga lugar (P) ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng mga segment na ito: PBOS/PSOD = BO/OD = K. Samakatuwid, PSOD = PBOS/K. Katulad nito, ang mga tatsulok na BOS at AOB ay may isang karaniwang taas. Kinukuha namin ang mga segment na CO at OA bilang kanilang mga base. Nakukuha natin ang PBOS/PAOB = CO/OA = K at PAOB = PBOS/K. Ito ay sumusunod mula dito na ang PSOD = PAOB.

Upang pagsamahin ang materyal, ang mga mag-aaral ay inirerekomenda na hanapin ang koneksyon sa pagitan ng mga lugar ng mga nagresultang tatsulok kung saan ang trapezoid ay nahahati sa mga diagonal nito sa pamamagitan ng paglutas ng sumusunod na problema. Ito ay kilala na ang mga tatsulok na BOS at AOD ay may pantay na mga lugar; ito ay kinakailangan upang mahanap ang lugar ng trapezoid. Since PSOD = PAOB, it means PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD. Mula sa pagkakatulad ng mga tatsulok na BOS at AOD ay sumusunod na BO/OD = √(PBOS/PAOD). Samakatuwid, PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Nakukuha namin ang PSOD = √(PBOS*PAOD). Pagkatapos PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

Mga katangian ng pagkakatulad

Sa patuloy na pagbuo ng paksang ito, mapapatunayan ng isa ang iba kawili-wiling mga tampok trapezoid. Kaya, gamit ang pagkakatulad, mapapatunayan ng isa ang pag-aari ng isang segment na dumadaan sa punto na nabuo sa pamamagitan ng intersection ng mga diagonal ng geometric figure na ito, parallel sa mga base. Upang gawin ito, lutasin natin ang sumusunod na problema: kailangan nating hanapin ang haba ng segment na RK na dumadaan sa punto O. Mula sa pagkakapareho ng mga tatsulok na AOD at BOS ay sumusunod na ang AO/OS = AD/BS. Mula sa pagkakatulad ng mga tatsulok na AOP at ASB ay sumusunod na ang AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD). Mula dito nakukuha natin ang RO=BS*BP/(BS+BP). Katulad nito, mula sa pagkakatulad ng mga tatsulok na DOC at DBS, sumusunod na OK = BS*AD/(BS+AD). Mula dito nakukuha natin ang RO=OK at RK=2*BS*AD/(BS+AD). Ang isang segment na dumadaan sa punto ng intersection ng mga diagonal, parallel sa mga base at pagkonekta ng dalawang lateral sides, ay nahahati sa kalahati ng punto ng intersection. Ang haba nito ay ang harmonic mean ng mga base ng figure.

Isaalang-alang natin susunod na kalidad trapezoid, na tinatawag na four-point property. Ang mga intersection point ng mga diagonal (O), ang intersection ng pagpapatuloy ng mga gilid (E), pati na rin ang mga midpoint ng mga base (T at F) ay palaging nakahiga sa parehong linya. Ito ay madaling mapatunayan sa pamamagitan ng paraan ng pagkakatulad. Ang mga nagresultang tatsulok na BES at AED ay magkatulad, at sa bawat isa sa kanila ang median ET at EJ ay naghahati sa vertex angle E sa pantay na bahagi. Samakatuwid, ang mga puntong E, T at F ay nasa parehong tuwid na linya. Sa parehong paraan, ang mga puntong T, O, at Zh ay matatagpuan sa parehong tuwid na linya. Ang lahat ng ito ay sumusunod mula sa pagkakatulad ng mga tatsulok na BOS at AOD. Mula dito napagpasyahan namin na ang lahat ng apat na puntos - E, T, O at F - ay nasa parehong tuwid na linya.

Gamit ang magkatulad na trapezoid, maaari mong hilingin sa mga estudyante na hanapin ang haba ng segment (LS) na naghahati sa figure sa dalawang magkatulad. Ang segment na ito ay dapat na parallel sa mga base. Dahil ang mga resultang trapezoids ALFD at LBSF ay magkatulad, pagkatapos ay BS/LF = LF/AD. Kasunod nito na LF=√(BS*AD). Nalaman namin na ang segment na naghahati sa trapezoid sa dalawang magkatulad ay may haba na katumbas ng geometric na ibig sabihin ng mga haba ng mga base ng figure.

Isaalang-alang ang sumusunod na katangian ng pagkakatulad. Ito ay batay sa isang segment na naghahati sa trapezoid sa dalawang pantay na figure. Ipinapalagay namin na ang trapezoid ABSD ay nahahati sa segment na EH sa dalawang magkatulad. Mula sa vertex B isang taas ay tinanggal, na hinati ng segment EN sa dalawang bahagi - B1 at B2. Nakukuha namin ang: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 at PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Susunod, bubuo kami ng system na ang unang equation ay (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2 at ang pangalawa (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Kasunod nito na ang B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) at BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Nalaman namin na ang haba ng segment na naghahati sa trapezoid sa dalawang magkapareho ay katumbas ng root mean square ng mga haba ng mga base: √((BS2+AD2)/2).

Mga natuklasan sa pagkakatulad

Kaya, napatunayan namin na:

1. Ang segment na nagkokonekta sa mga midpoint ng lateral sides ng isang trapezoid ay parallel sa AD at BS at katumbas ng arithmetic mean ng BS at AD (ang haba ng base ng trapezoid).

2. Ang linyang dumadaan sa punto O ng intersection ng mga diagonal na kahanay ng AD at BS ay magiging katumbas ng harmonic mean ng mga numerong AD at BS (2*BS*AD/(BS+AD)).

3. Ang segment na naghahati sa trapezoid sa magkatulad ay may haba ng geometric na mean ng mga baseng BS at AD.

4. Ang isang elemento na naghahati sa isang pigura sa dalawang magkapareho ay may haba ng root mean square ng mga numerong AD at BS.

Upang pagsamahin ang materyal at maunawaan ang koneksyon sa pagitan ng mga isinasaalang-alang na mga segment, kailangan ng mag-aaral na buuin ang mga ito para sa isang tiyak na trapezoid. Madali niyang maipakita ang gitnang linya at ang segment na dumadaan sa punto O - ang intersection ng mga diagonal ng figure - parallel sa mga base. Ngunit saan matatagpuan ang ikatlo at ikaapat? Ang sagot na ito ay magdadala sa mag-aaral sa pagtuklas ng nais na kaugnayan sa pagitan ng mga average na halaga.

Isang segment na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga diagonal ng isang trapezoid

Isaalang-alang ang sumusunod na katangian ng figure na ito. Ipinapalagay namin na ang segment na MH ay parallel sa mga base at hinahati ang mga diagonal. Tawagan natin ang mga intersection point na Ш at Ш. Ang segment na ito ay magiging katumbas ng kalahati ng pagkakaiba ng mga base. Tingnan natin ito nang mas detalyado. Ang MS ay ang gitnang linya ng ABS triangle, ito ay katumbas ng BS/2. Ang MSH ay ang gitnang linya ng tatsulok na ABD, ito ay katumbas ng AD/2. Pagkatapos ay makukuha natin na ShShch = MSh-MSh, samakatuwid, ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.

Sentro ng grabidad

Tingnan natin kung paano tinutukoy ang elementong ito para sa isang ibinigay na geometric na pigura. Upang gawin ito, kinakailangan upang pahabain ang mga base sa magkasalungat na direksyon. Ano ang ibig sabihin nito? Kailangan itaas na base idagdag ang ibaba - sa anumang direksyon, halimbawa, sa kanan. At pinalawak namin ang mas mababang isa sa haba ng itaas na isa sa kaliwa. Susunod, ikinonekta namin ang mga ito nang pahilis. Ang punto ng intersection ng segment na ito kasama ang midline ng figure ay ang sentro ng grabidad ng trapezoid.

Inscribed at circumscribed trapezoids

Ilista natin ang mga tampok ng naturang mga figure:

1. Ang isang trapezoid ay maaaring isulat sa isang bilog lamang kung ito ay isosceles.

2. Ang isang trapezoid ay maaaring ilarawan sa paligid ng isang bilog, sa kondisyon na ang kabuuan ng mga haba ng kanilang mga base ay katumbas ng kabuuan ng mga haba ng mga gilid.

Corollaries ng incircle:

1. Ang taas ng inilarawang trapezoid ay palaging katumbas ng dalawang radii.

2. Ang gilid ng inilarawan na trapezoid ay sinusunod mula sa gitna ng bilog sa isang tamang anggulo.

Ang unang corollary ay halata, ngunit upang patunayan ang pangalawa ito ay kinakailangan upang maitaguyod na ang anggulo SOD ay tama, na, sa katunayan, ay hindi rin mahirap. Ngunit kaalaman ng ari-arian na ito ay magbibigay-daan sa iyo na gumamit ng tamang tatsulok kapag nilulutas ang mga problema.

Ngayon, tukuyin natin ang mga kahihinatnan na ito para sa isang isosceles trapezoid na nakasulat sa isang bilog. Nalaman namin na ang taas ay ang geometric na mean ng mga base ng figure: H=2R=√(BS*AD). Habang nagsasanay ng pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga problema para sa mga trapezoid (ang prinsipyo ng pagguhit ng dalawang taas), dapat lutasin ng mag-aaral ang sumusunod na gawain. Ipinapalagay namin na ang BT ay ang taas ng isosceles figure na ABSD. Kinakailangang hanapin ang mga segment na AT at TD. Gamit ang formula na inilarawan sa itaas, hindi ito magiging mahirap gawin.

Ngayon, alamin natin kung paano matukoy ang radius ng isang bilog gamit ang lugar ng circumscribed trapezoid. Ibinababa namin ang taas mula sa vertex B hanggang sa base AD. Dahil ang bilog ay nakasulat sa isang trapezoid, pagkatapos ay BS+AD = 2AB o AB = (BS+AD)/2. Mula sa tatsulok na ABN makikita natin ang sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD). PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. Nakukuha namin ang PABSD = (BS+BP)*R, kasunod nito na R = PABSD/(BS+BP).

Lahat ng mga formula para sa midline ng isang trapezoid

Ngayon ay oras na upang lumipat sa huling elemento ng geometric figure na ito. Alamin natin kung ano ang katumbas ng gitnang linya ng trapezoid (M):

1. Sa pamamagitan ng mga base: M = (A+B)/2.

2. Sa pamamagitan ng taas, base at sulok:

M = A-H*(ctgα+ctgβ)/2;

M = B+N*(ctgα+ctgβ)/2.

3. Sa pamamagitan ng taas, dayagonal at anggulo sa pagitan nila. Halimbawa, ang D1 at D2 ay ang mga dayagonal ng isang trapezoid; α, β - mga anggulo sa pagitan nila:

M = D1*D2*sinα/2N = D1*D2*sinβ/2N.

4. Sa pamamagitan ng lugar at taas: M = P/N.

Mga layunin ng aralin:

1) ipakilala sa mga mag-aaral ang konsepto ng midline ng isang trapezoid, isaalang-alang ang mga katangian nito at patunayan ang mga ito;

2) turuan kung paano bumuo ng midline ng trapezoid;

3) bumuo ng kakayahan ng mga mag-aaral na gamitin ang kahulugan ng midline ng isang trapezoid at ang mga katangian ng midline ng isang trapezoid kapag nilulutas ang mga problema;

4) patuloy na paunlarin ang kakayahan ng mga mag-aaral na magsalita nang may kakayahan, gamit ang mga kinakailangang termino sa matematika; patunayan ang iyong pananaw;

5) bumuo lohikal na pag-iisip, alaala, atensyon.

Sa panahon ng mga klase

1. Sinusuri ang takdang-aralin sa panahon ng aralin. Ang araling-bahay ay pasalita, tandaan:

a) kahulugan ng isang trapezoid; mga uri ng trapezoid;

b) pagtukoy sa midline ng tatsulok;

c) pag-aari ng midline ng isang tatsulok;

d) tanda ng gitnang linya ng tatsulok.

2. Pag-aaral ng bagong materyal.

a) Ang board ay nagpapakita ng isang trapezoid ABCD.

b) Hinihiling sa iyo ng guro na tandaan ang kahulugan ng trapezoid. Ang bawat desk ay may hint diagram upang matulungan kang matandaan ang mga pangunahing konsepto sa paksang "Trapezoid" (tingnan ang Appendix 1). Ang Appendix 1 ay ibinibigay sa bawat desk.

Iguguhit ng mga mag-aaral ang trapezoid ABCD sa kanilang mga kuwaderno.

c) Hihilingin sa iyo ng guro na alalahanin kung aling paksa ang nakatagpo ng konsepto ng midline (“Midline of a triangle”). Naaalala ng mga mag-aaral ang kahulugan ng midline ng isang tatsulok at ang mga katangian nito.

e) Isulat ang kahulugan ng midline ng trapezoid, iguhit ito sa isang kuwaderno.

Gitnang linya Ang trapezoid ay isang segment na nag-uugnay sa mga midpoint ng mga gilid nito.

Ang pag-aari ng midline ng isang trapezoid ay nananatiling hindi napatunayan sa yugtong ito, kaya ang susunod na yugto ng aralin ay nagsasangkot ng pagtatrabaho sa pagpapatunay ng pag-aari ng midline ng isang trapezoid.

Teorama. Ang midline ng trapezoid ay kahanay sa mga base nito at katumbas ng kanilang kalahating kabuuan.

Ibinigay: ABCD – trapezoid,

MN – gitnang linya ABCD

Patunayan, Ano:

1. BC || MN || AD.

2. MN = (AD + BC).

Maaari naming isulat ang ilang mga corollaries na sumusunod mula sa mga kondisyon ng theorem:

AM = MB, CN = ND, BC || AD.

Imposibleng patunayan kung ano ang kinakailangan batay sa mga nakalistang katangian lamang. Ang sistema ng mga tanong at pagsasanay ay dapat humantong sa mga mag-aaral sa pagnanais na ikonekta ang midline ng isang trapezoid sa midline ng ilang tatsulok, ang mga katangian na alam na nila. Kung walang mga panukala, maaari mong tanungin ang tanong: kung paano bumuo ng isang tatsulok kung saan ang segment na MN ang magiging midline?

Isulat natin ang isang karagdagang konstruksiyon para sa isa sa mga kaso.

Gumuhit tayo ng isang tuwid na linya ng BN na humaharang sa pagpapatuloy ng gilid AD sa puntong K.

Lumilitaw ang mga karagdagang elemento - mga tatsulok: ABD, BNM, DNK, BCN. Kung patunayan natin na BN = NK, nangangahulugan ito na ang MN ay ang midline ng ABD, at pagkatapos ay maaari nating gamitin ang property ng midline ng isang triangle at patunayan ang kinakailangan.

Patunay:

1. Isaalang-alang ang BNC at DNK, naglalaman ang mga ito ng:

a) CNB =DNK (pag-aari ng mga patayong anggulo);

b) BCN = NDK (pag-aari ng panloob na cross-lying na mga anggulo);

c) CN = ND (ayon sa mga kondisyon ng theorem).

Ang ibig sabihin nito ay BNC =DNK (sa gilid at dalawang magkatabing anggulo).

Q.E.D.

Ang patunay ay maaaring gawin nang pasalita sa klase, at maaaring muling buuin at isulat sa isang kuwaderno sa bahay (sa pagpapasya ng guro).

Kinakailangang sabihin ang tungkol sa iba pang posibleng paraan ng pagpapatunay ng teorama na ito:

1. Iguhit ang isa sa mga dayagonal ng trapezoid at gamitin ang tanda at katangian ng midline ng tatsulok.

2. Isagawa ang CF || BA at isaalang-alang ang paralelogram na ABCF at DCF.

3. Isagawa ang EF || BA at isaalang-alang ang pagkakapantay-pantay ng FND at ENC.

g) Sa yugtong ito ito ay tinukoy takdang aralin: talata 84, textbook ed. Atanasyan L.S. (patunay ng katangian ng midline ng isang trapezoid gamit ang isang vector method), isulat ito sa iyong kuwaderno.

h) Nilulutas namin ang mga problema gamit ang kahulugan at katangian ng midline ng isang trapezoid gamit ang mga yari na guhit (tingnan ang Appendix 2). Ang Appendix 2 ay ibinibigay sa bawat mag-aaral, at ang solusyon sa mga problema ay nakasulat sa parehong sheet sa isang maikling anyo.

\[(\Malaki(\text(Libreng trapezoid)))\]

Mga Kahulugan

Ang trapezoid ay isang matambok na may apat na gilid kung saan ang dalawang panig ay magkatulad at ang iba pang dalawang panig ay hindi magkatulad.

Ang magkatulad na mga gilid ng isang trapezoid ay tinatawag na mga base nito, at ang iba pang dalawang panig ay tinatawag na mga gilid nito.

Ang taas ng isang trapezoid ay ang patayo na iginuhit mula sa anumang punto ng isang base patungo sa isa pang base.

Theorems: mga katangian ng isang trapezoid

1) Ang kabuuan ng mga anggulo sa gilid ay \(180^\circ\) .

2) Hinahati ng mga dayagonal ang trapezoid sa apat na tatsulok, dalawa sa mga ito ay magkatulad, at ang iba pang dalawa ay magkapareho sa laki.

Patunay

1) Dahil \(AD\parallel BC\), pagkatapos ay ang mga anggulo \(\angle BAD\) at \(\angle ABC\) ay isang panig para sa mga linyang ito at ang transversal \(AB\), samakatuwid, \(\angle BAD +\angle ABC=180^\circ\).

2) Dahil Ang \(AD\parallel BC\) at \(BD\) ay isang secant, pagkatapos ay ang \(\angle DBC=\angle BDA\) ay naka-crosswise.
Gayundin ang \(\angle BOC=\angle AOD\) bilang patayo.
Samakatuwid, sa dalawang anggulo \(\triangle BOC \sim \triangle AOD\).

Patunayan natin yan \(S_(\triangle AOB)=S_(\triangle COD)\). Hayaang \(h\) ang taas ng trapezoid. Pagkatapos \(S_(\triangle ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\triangle ACD)\). Pagkatapos: \

Kahulugan

Ang midline ng isang trapezoid ay isang segment na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga gilid.

Teorama

Ang midline ng trapezoid ay kahanay sa mga base at katumbas ng kanilang kalahating kabuuan.

Katibayan*

1) Patunayan natin ang paralelismo.

Iguhit natin sa puntong \(M\) ang tuwid na linya \(MN"\parallel AD\) (\(N"\in CD\) ). Pagkatapos, ayon sa teorama ni Thales (mula noong \(MN"\parallel AD\parallel BC, AM=MB\)) point \(N"\) ay ang gitna ng segment \(CD\). Nangangahulugan ito na ang mga puntos na \(N\) at \(N"\) ay magkasabay.

2) Patunayan natin ang formula.

Gawin natin ang \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) . Hayaan \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\).

Pagkatapos, ayon sa teorama ni Thales, ang \(M"\) at \(N"\) ay ang mga midpoint ng mga segment na \(BB"\) at \(CC"\), ayon sa pagkakabanggit. Nangangahulugan ito na ang \(MM"\) ay ang gitnang linya ng \(\triangle ABB"\) , ang \(NN"\) ay ang gitnang linya ng \(\triangle DCC"\) . kaya naman: \

kasi \(MN\parallel AD\parallel BC\) at \(BB", CC"\perp AD\), pagkatapos ay ang \(B"M"N"C"\) at \(BM"N"C\) ay mga parihaba. Ayon sa teorama ni Thales, mula sa \(MN\parallel AD\) at \(AM=MB\) ay sumusunod na \(B"M"=M"B\) . Kaya naman, \(B"M"N"C Ang "\) at \(BM"N"C\) ay magkapantay na mga parihaba, samakatuwid, \(M"N"=B"C"=BC\) .

kaya:

\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

Theorem: pag-aari ng isang arbitrary na trapezoid

Ang mga midpoint ng mga base, ang punto ng intersection ng mga diagonal ng trapezoid at ang punto ng intersection ng mga extension ng mga lateral na gilid ay namamalagi sa parehong tuwid na linya.

Katibayan*
Inirerekomenda na maging pamilyar ka sa patunay pagkatapos mong pag-aralan ang paksang "Pagkatulad ng mga tatsulok".

1) Patunayan natin na ang mga puntos na \(P\) , \(N\) at \(M\) ay nasa parehong linya.

Gumuhit tayo ng isang tuwid na linya \(PN\) (\(P\) ay ang punto ng intersection ng mga extension ng lateral sides, \(N\) ay ang gitna ng \(BC\)). Hayaang bumalandra ito sa gilid \(AD\) sa puntong \(M\) . Patunayan natin na ang \(M\) ay ang midpoint ng \(AD\) .

Isaalang-alang ang \(\triangle BPN\) at \(\triangle APM\) . Magkapareho ang mga ito sa dalawang anggulo (\(\angle APM\) – pangkalahatan, \(\angle PAM=\angle PBN\) bilang katumbas sa \(AD\parallel BC\) at \(AB\) secant). Ibig sabihin: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Isaalang-alang ang \(\triangle CPN\) at \(\triangle DPM\) . Magkapareho sila sa dalawang anggulo (\(\angle DPM\) – pangkalahatan, \(\angle PDM=\angle PCN\) bilang katumbas sa \(AD\parallel BC\) at \(CD\) secant). Ibig sabihin: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Mula rito \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). Ngunit \(BN=NC\) samakatuwid \(AM=DM\) .

2) Patunayan natin na ang mga puntos na \(N, O, M\) ay nasa parehong linya.

Hayaang ang \(N\) ang midpoint ng \(BC\) at ang \(O\) ang punto ng intersection ng mga diagonal. Gumuhit tayo ng isang tuwid na linya \(NO\) , ito ay magsa-intersect sa gilid \(AD\) sa punto \(M\) . Patunayan natin na ang \(M\) ay ang midpoint ng \(AD\) .

\(\triangle BNO\sim \triangle DMO\) kasama ang dalawang anggulo (\(\angle OBN=\angle ODM\) na naka-crosswise sa \(BC\parallel AD\) at \(BD\) secant; \(\angle BON=\angle DOM\) bilang patayo). Ibig sabihin: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

Ganun din \(\triangle CON\sim \triangle AOM\). Ibig sabihin: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

Mula rito \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Ngunit \(BN=CN\) samakatuwid \(AM=MD\) .

\[(\Malaki(\text(Isosceles trapezoid)))\]

Mga Kahulugan

Ang trapezoid ay tinatawag na hugis-parihaba kung ang isa sa mga anggulo nito ay tama.

Ang isang trapezoid ay tinatawag na isosceles kung ang mga gilid nito ay pantay.

Theorems: mga katangian ng isang isosceles trapezoid

1) Ang isosceles trapezoid ay may pantay na base angles.

2) Ang mga dayagonal ng isang isosceles trapezoid ay pantay.

3) Dalawang tatsulok na nabuo sa pamamagitan ng mga dayagonal at isang base ay isosceles.

Patunay

1) Isaalang-alang ang isosceles trapezoid \(ABCD\) .

Mula sa vertices \(B\) at \(C\), ibinabagsak namin ang mga patayo \(BM\) at \(CN\) sa gilid \(AD\), ayon sa pagkakabanggit. Dahil \(BM\perp AD\) at \(CN\perp AD\) , pagkatapos ay \(BM\parallel CN\) ; \(AD\parallel BC\) , pagkatapos ay ang \(MBCN\) ay isang parallelogram, samakatuwid, \(BM = CN\) .

Isaalang-alang natin kanang tatsulok\(ABM\) at \(CDN\) . Dahil ang kanilang mga hypotenuse ay pantay at ang binti \(BM\) ay katumbas ng binti \(CN\) , kung gayon ang mga tatsulok na ito ay pantay, samakatuwid, \(\angle DAB = \angle CDA\) .

2)

kasi \(AB=CD, \angle A=\angle D, AD\)- pangkalahatan, pagkatapos ay ayon sa unang tanda. Samakatuwid, \(AC=BD\) .

3) Dahil \(\triangle ABD=\triangle ACD\), pagkatapos ay \(\angle BDA=\angle CAD\) . Samakatuwid, ang tatsulok na \(\triangle AOD\) ay isosceles. Katulad nito, napatunayan na ang \(\triangle BOC\) ay isosceles.

Theorems: mga palatandaan ng isang isosceles trapezoid

1) Kung ang isang trapezoid ay may pantay na mga anggulo ng base, kung gayon ito ay isosceles.

2) Kung ang isang trapezoid ay may pantay na diagonal, kung gayon ito ay isosceles.

Patunay

Isaalang-alang ang trapezoid \(ABCD\) na \(\angle A = \angle D\) .

Kumpletuhin natin ang trapezoid sa tatsulok \(AED\) tulad ng ipinapakita sa figure. Dahil \(\angle 1 = \angle 2\) , ang tatsulok na \(AED\) ay isosceles at \(AE = ED\) . Ang mga anggulo \(1\) at \(3\) ay katumbas ng mga katumbas na anggulo para sa magkatulad na linya \(AD\) at \(BC\) at secant \(AB\). Katulad nito, ang mga anggulo \(2\) at \(4\) ay pantay, ngunit \(\angle 1 = \angle 2\), pagkatapos \(\angle 3 = \angle 1 = \angle 2 = \angle 4\), samakatuwid, ang tatsulok na \(BEC\) ay isosceles din at \(BE = EC\) .

Sa bandang huli \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\), iyon ay, \(AB = CD\), na siyang kailangang patunayan.

2) Hayaan \(AC=BD\) . kasi \(\triangle AOD\sim \triangle BOC\), pagkatapos ay tinutukoy namin ang kanilang pagkakatulad coefficient bilang \(k\) . Pagkatapos kung \(BO=x\) , pagkatapos ay \(OD=kx\) . Katulad ng \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .

kasi \(AC=BD\) , pagkatapos ay \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\) . Nangangahulugan ito na ang \(\triangle AOD\) ay isosceles at \(\angle OAD=\angle ODA\) .

Kaya, ayon sa unang tanda \(\triangle ABD=\triangle ACD\) (\(AC=BD, \angle OAD=\angle ODA, AD\)– pangkalahatan). Kaya, \(AB=CD\) , bakit.

Ang isang may apat na gilid kung saan ang dalawang gilid lamang ay parallel ay tinatawag trapezoid.

Ang magkatulad na panig ng isang trapezoid ay tinatawag na nito mga dahilan, at ang mga panig na hindi magkatulad ay tinatawag panig. Kung ang mga panig ay pantay, kung gayon ang gayong trapezoid ay isosceles. Ang distansya sa pagitan ng mga base ay tinatawag na taas ng trapezoid.

Gitnang Linya Trapezoid

Ang midline ay isang segment na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga gilid ng trapezoid. Ang midline ng trapezoid ay kahanay sa mga base nito.

Teorama:

Kung ang tuwid na linya na tumatawid sa gitna ng isang gilid ay parallel sa mga base ng trapezoid, pagkatapos ay hinahati nito ang pangalawang bahagi ng trapezoid.

Teorama:

Ang haba ng gitnang linya ay katumbas ng arithmetic mean ng mga haba ng mga base nito

MN || AB || DC
AM = MD; BN=NC

MN midline, AB at CD - mga base, AD at BC - lateral sides

MN = (AB + DC)/2

Teorama:

Ang haba ng midline ng isang trapezoid ay katumbas ng arithmetic mean ng mga haba ng mga base nito.

Ang pangunahing gawain: Patunayan na ang midline ng isang trapezoid ay humahati sa isang segment na ang mga dulo ay nasa gitna ng mga base ng trapezoid.

Gitnang Linya ng Triangle

Ang segment na nagkokonekta sa mga midpoint ng dalawang gilid ng isang tatsulok ay tinatawag na midline ng tatsulok. Ito ay kahanay sa ikatlong panig at ang haba nito ay katumbas ng kalahati ng haba ng ikatlong panig.
Teorama: Kung ang isang linya na nagsasalubong sa gitnang punto ng isang gilid ng isang tatsulok ay parallel sa kabilang panig ng tatsulok, pagkatapos ay hinahati nito ang ikatlong bahagi.

AM = MC at BN = NC =>

Paglalapat ng mga katangian ng midline ng isang tatsulok at trapezoid

Paghahati ng segment sa pamamagitan ng isang tiyak na halaga ng pantay na bahagi.
Gawain: Hatiin ang segment AB sa 5 pantay na bahagi.
Solusyon:
Hayaan ang p ay isang random na sinag na ang pinanggalingan ay punto A at hindi nasa linyang AB. Sunud-sunod kaming nagtabi ng 5 pantay na segment sa p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 ​​​​A 5
Ikinonekta namin ang A 5 sa B at gumuhit ng mga naturang linya sa pamamagitan ng A 4, A 3, A 2 at A 1 na kahanay ng A 5 B. Nag-intersect sila sa AB ayon sa pagkakabanggit sa mga punto B 4, B 3, B 2 at B 1. Hinahati ng mga puntong ito ang segment AB sa 5 pantay na bahagi. Sa katunayan, mula sa trapezoid BB 3 A 3 A 5 makikita natin na BB 4 = B 4 B 3. Sa parehong paraan, mula sa trapezoid B 4 B 2 A 2 A 4 nakukuha natin ang B 4 B 3 = B 3 B 2

Habang mula sa trapezoid B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1.
Pagkatapos mula sa B 2 AA 2 sumusunod na ang B 2 B 1 = B 1 A. Sa konklusyon ay nakukuha natin:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Malinaw na upang hatiin ang segment AB sa isa pang bilang ng pantay na bahagi, kailangan nating i-project ang parehong bilang ng pantay na mga segment sa ray p. At pagkatapos ay magpatuloy sa paraang inilarawan sa itaas.