Bagama't ang nakakatakot na hitsura ng simbolo ng square root ay maaaring gumawa ng isang taong hindi magaling sa matematika, ang mga square root na problema ay hindi kasing hirap gaya ng sa una. Mga simpleng gawain Ang mga square root ay kadalasang malulutas nang kasingdali ng normal na multiplikasyon o mga problema sa paghahati. Sa kabilang banda, ang mas kumplikadong mga gawain ay maaaring mangailangan ng ilang pagsisikap, ngunit sa ang tamang diskarte kahit na hindi sila mahihirapan para sa iyo. Simulan ang paglutas ng mga problema sa kanilang pinagmulan ngayon upang matutunan ang radikal na bagong kasanayan sa matematika!

Mga hakbang

Bahagi 1

Pag-unawa sa mga parisukat ng mga numero at square roots

1. I-square ang numero sa pamamagitan ng pagpaparami nito sa sarili nito. Upang maunawaan ang mga square root, pinakamahusay na magsimula sa mga parisukat ng mga numero. Ang mga parisukat ng mga numero ay medyo simple: ang pag-square ng isang numero ay nangangahulugan ng pagpaparami nito mismo. Halimbawa, ang 3 squared ay kapareho ng 3 × 3 = 9, at 9 squared ay kapareho ng 9 × 9 = 81. Ang mga parisukat ay minarkahan sa pamamagitan ng pagsusulat ng maliit na "2" sa kanan sa itaas ng squaring number. Halimbawa: 3 2, 9 2, 100 2 at iba pa.

   • Subukang mag-square ng ilan pang mga numero sa iyong sarili upang subukan ang konsepto. Tandaan, ang pag-square ng isang numero ay nangangahulugan ng pagpaparami ng numerong iyon sa sarili nitong. Magagawa ito kahit para sa mga negatibong numero. Sa kasong ito, ang resulta ay palaging magiging positibo. Halimbawa: -8 2 = -8 × -8 = 64 .

2. Pagdating sa square roots, ang proseso ay kabaligtaran ng squaring. Ang simbolo ng ugat (√, tinatawag ding radikal) ay mahalagang nangangahulugang kabaligtaran ng simbolo 2. Kapag nakakita ka ng isang radikal, kailangan mong tanungin ang iyong sarili, "Anong numero ang maaaring i-multiply sa sarili nito upang gawin ang numero sa ilalim ng ugat?" Halimbawa, kung nakikita mo ang √(9), dapat kang makahanap ng isang numero na, kapag naka-kuwadrado, ay nagbibigay ng bilang na siyam. Sa aming kaso, ang bilang na ito ay magiging tatlo, dahil 3 2 = 9.

   • Tingnan natin ang isa pang halimbawa at hanapin ang ugat ng 25 (√(25)). Nangangahulugan ito na kailangan nating maghanap ng numero na nagbibigay sa atin ng squared na 25. Dahil 5 2 = 5 × 5 = 25, masasabi natin na √(25) = 5.
   • Maaari mo ring isipin ito bilang "undoing" squaring. Halimbawa, kung kailangan nating hanapin ang √(64), Kuwadrado na ugat 64, pagkatapos ay isipin natin ang numerong ito bilang 8 2. Dahil ang simbolo ng ugat ay "nagkansela" sa pag-squaring, maaari nating sabihin na √(64) = √(8 2) = 8.

3. Alamin ang pagkakaiba sa pagitan ng ideal at non-ideal na pag-squaring. Hanggang ngayon, ang mga sagot sa aming mga problema sa ugat ay maganda at bilog na mga numero, ngunit hindi ito palaging nangyayari. Ang mga sagot sa mga square root na problema ay maaaring napakahaba at awkward na mga decimal na numero. Ang mga numero na ang mga ugat ay mga buong numero (sa madaling salita, mga numero na hindi fraction) ay tinatawag na mga perpektong parisukat. Ang lahat ng mga halimbawa sa itaas (9, 25 at 64) ay perpektong mga parisukat dahil ang kanilang ugat ay magiging isang integer (3.5 at 8).

   • Sa kabilang banda, ang mga numero na, kapag kinuha sa kanilang mga ugat, ay hindi nagbubunga ng isang buong numero ay tinatawag na hindi kumpletong mga parisukat. Kung ilalagay mo ang isa sa mga numerong ito sa ilalim ng ugat, makakakuha ka ng numerong may decimal na fraction. Minsan ang bilang na ito ay maaaring medyo mahaba. Halimbawa, √(13) = 3.605551275464...

4. Isaulo ang unang 1-12 kumpletong parisukat. Tulad ng malamang na napansin mo, ang paghahanap ng ugat ng isang perpektong parisukat ay medyo madali! Dahil ang mga problemang ito ay napakasimple, ito ay nagkakahalaga ng pag-alala sa mga ugat ng unang dosenang kumpletong mga parisukat. Mahahanap mo ang mga numerong ito nang higit sa isang beses, kaya maglaan ng kaunting oras upang kabisaduhin ang mga ito nang maaga at makatipid ng oras sa hinaharap.

   • 1 2 = 1 × 1 = 1
   • 2 2 = 2 × 2 = 4
   • 3 2 = 3 × 3 = 9
   • 4 2 = 4 × 4 = 16
   • 5 2 = 5 × 5 = 25
   • 6 2 = 6 × 6 = 36
   • 7 2 = 7 × 7 = 49
   • 8 2 = 8 × 8 = 64
   • 9 2 = 9 × 9 = 81
   • 10 2 = 10 × 10 = 100
   • 11 2 = 11 × 11 = 121
   • 12 2 = 12 × 12 = 144

5. Pasimplehin ang mga ugat sa pamamagitan ng pag-aalis ng kumpletong mga parisukat kung maaari. Ang paghahanap sa ugat ng isang bahagyang parisukat ay maaaring maging mahirap minsan, lalo na kung hindi ka gumagamit ng calculator (tingnan ang seksyon sa ibaba para sa ilang mga trick upang gawing mas madali ang prosesong ito). Gayunpaman, madalas mong pasimplehin ang numero sa ilalim ng ugat upang gawing mas madaling gamitin. Upang gawin ito, kailangan mo lamang na hatiin ang numero sa ilalim ng ugat sa mga kadahilanan, at pagkatapos ay hanapin ang ugat ng kadahilanan, na isang perpektong parisukat, at isulat ito sa labas ng ugat. Ito ay mas madali kaysa sa tila. Magbasa para sa higit pang impormasyon.

   • Ipagpalagay natin na kailangan nating hanapin ang square root ng 900. Sa unang tingin, ito ay parang isang medyo mahirap na gawain! Gayunpaman, hindi ito magiging napakahirap kung hahatiin natin ang bilang na 900 sa mga kadahilanan. Ang mga kadahilanan ay mga numero na pinarami ng bawat isa upang makabuo ng isang bagong numero. Halimbawa, ang numero 6 ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng 1 × 6 at 2 × 3, ang mga kadahilanan nito ay ang mga numero 1, 2, 3 at 6.
   • Sa halip na hanapin ang ugat ng 900, na medyo nakakalito, isulat natin ang 900 bilang 9 x 100. Ngayon na ang 9, na isang perpektong parisukat, ay pinaghihiwalay mula sa 100, mahahanap natin ang ugat nito. √(9 × 100) = √(9) × √(100) = 3 × √(100). Sa madaling salita, √(900) = 3√(100).
   • Maaari pa nga tayong magpatuloy sa pamamagitan ng paghahati ng 100 sa dalawang salik, 25 at 4. √(100) = √(25 × 4) = √(25) × √(4) = 5 × 2 = 10. Kaya masasabi natin, na √(900) = 3(10) = 30

6. Gumamit ng mga haka-haka na numero upang mahanap ang ugat ng isang negatibong numero. Tanungin ang iyong sarili, anong numero kapag pinarami sa sarili ang magbibigay ng -16? Hindi ito 4 o -4, dahil ang pag-square ng mga numerong ito ay nagbibigay sa atin positibong numero 16. Sumuko ka na ba? Talagang walang paraan upang isulat ang ugat ng -16 o anumang iba pang negatibong numero sa mga regular na numero. Sa kasong ito, dapat nating palitan ang mga haka-haka na numero (karaniwan ay nasa anyo ng mga titik o simbolo) upang palitan ang ugat ng negatibong numero. Halimbawa, ang variable na "i" ay karaniwang ginagamit upang kunin ang ugat ng -1. Bilang isang patakaran, ang ugat ng isang negatibong numero ay palaging isang haka-haka na numero (o kasama dito).

   • Alamin na kahit na ang mga haka-haka na numero ay hindi maaaring katawanin ng mga ordinaryong numero, maaari pa rin silang ituring na ganoon. Halimbawa, ang square root ng isang negatibong numero ay maaaring i-squad upang bigyan ang mga negatibong numerong ito, tulad ng iba pa, ng square root. Halimbawa, i 2 = -1

   Bahagi 2

   Gamit ang Divide Algorithm

   1. Isulat ang root problem bilang long division problem. Bagama't ito ay medyo nakakaubos ng oras, sa ganitong paraan maaari mong lutasin ang bahagyang square roots na problema nang hindi gumagamit ng calculator. Upang gawin ito, gagamit kami ng paraan ng solusyon (o algorithm) na katulad (ngunit hindi eksaktong pareho) sa regular na mahabang paghahati.

      • Una, isulat ang problema sa ugat sa parehong anyo tulad ng para sa mahabang paghahati. Sabihin nating gusto nating hanapin ang square root ng 6.45, na talagang hindi perpektong parisukat. Una ay isusulat namin ang karaniwang parisukat na simbolo, at pagkatapos ay isusulat namin ang isang numero sa ibaba nito. Susunod, gumuhit kami ng isang linya sa itaas ng numero upang ito ay mapunta sa isang maliit na "kahon", tulad ng kapag hinahati sa isang haligi. Pagkatapos nito magkakaroon tayo ng ugat sa mahabang buntot at ang bilang na 6.45 sa ibaba nito.
      • Magsusulat kami ng mga numero sa itaas ng ugat, kaya siguraduhing mag-iwan ng ilang espasyo doon.

   2. Pangkatin ang mga numero sa mga pares. Upang simulan ang paglutas ng problema, kailangan mong pangkatin ang mga digit ng numero sa ilalim ng radikal sa mga pares, simula sa punto sa decimal. Kung gusto mo, maaari kang gumawa ng maliliit na marka (tulad ng mga tuldok, slash, kuwit, atbp.) sa pagitan ng mga pares upang maiwasan ang pagkalito.

      • Sa ating halimbawa, dapat nating hatiin ang bilang na 6.45 sa mga pares tulad ng sumusunod: 6-.45-00. Pakitandaan na mayroong "natitirang" numero sa kaliwa - ito ay normal.

   3. Hanapin ang pinakamalaking numero na ang parisukat ay mas mababa sa o katumbas ng unang "pangkat". Magsimula sa unang numero o pares sa kaliwa. Piliin ang pinakamalaking numero na ang parisukat ay mas mababa sa o katumbas ng natitirang "pangkat". Halimbawa, kung ang grupo ay 37, pipiliin mo ang numero 6 dahil 6 2 = 36< 37, а 7 2 = 49 >37. Isulat ang bilang na ito sa itaas ng unang pangkat. Ito ang magiging unang digit ng iyong sagot.

      • Sa aming halimbawa, ang unang pangkat sa 6-,45-00 ay ang numero 6. Pinakamalaking numero, na ang parisukat ay magiging mas mababa sa o katumbas ng 6 ay 2 2 = 4. Isulat ang numero 2 sa itaas ng numero 6, na nasa ilalim ng ugat.

   4. Doblehin ang numerong isinulat mo, pagkatapos ay ibaba ito sa ugat at ibawas. Kunin ang unang digit ng iyong sagot (ang numero na iyong natagpuan) at i-double ito. Isulat ang resulta sa ilalim ng iyong unang pangkat at ibawas upang mahanap ang pagkakaiba. Ilagay ang susunod na pares ng mga numero sa tabi ng iyong sagot. Panghuli, isulat ang huling digit ng doble ang unang digit ng iyong sagot sa kaliwa at mag-iwan ng puwang sa tabi nito.

      • Sa ating halimbawa, magsisimula tayo sa pagdodoble ng numero 2, na siyang unang digit ng ating sagot. 2 × 2 = 4. Pagkatapos ay ibawas namin ang 4 mula sa 6 (ang aming unang "grupo"), na nag-iiwan ng isang maliit na puwang sa dulo, tulad nito: 4_

   5. Punan ang patlang. Pagkatapos ay dapat mong idagdag ang digit sa kanang bahagi ng nakasulat na numero na nasa kaliwa. Pumili ng isang numero na, kapag i-multiply sa iyong bagong numero, ay magbibigay sa iyo ng pinakamalaking posibleng resulta na magiging mas mababa sa o katumbas ng "inalis" na numero. Halimbawa, kung ang iyong "inalis" na numero ay 1700, at ang iyong kaliwang numero ay 40_, kailangan mong isulat ang numero 4 sa espasyo, dahil 404 × 4 = 1616< 1700, в то время как 405 × 5 = 2025. Найденная в этом шаге цифра и будет второй цифрой вашего ответа, так вы можете записать ее над знаком корня.

      • Sa aming halimbawa, kailangan naming maghanap ng isang numero at isulat ito sa 4_ × _ na mga puwang, na gagawing mas malaki ang sagot hangga't maaari, ngunit mas mababa pa rin sa o katumbas ng 245. Sa aming kaso, ito ang numero 5. 45 × 5 = 225, habang 46 × 6 = 276

   6. Ipagpatuloy ang paggamit ng mga "blangko" na numero upang mahanap ang sagot. Ipagpatuloy ang paglutas sa binagong mahabang dibisyon na ito hanggang sa magsimula kang makakuha ng mga zero kapag binabawasan ang "inalis" na numero o hanggang sa makamit mo ang nais na antas ng katumpakan sa sagot. Kapag tapos ka na, ang mga numerong ginamit mo upang punan ang mga patlang sa bawat hakbang (kasama ang pinakaunang numero) ang bubuo sa iyong numero ng sagot.

      • Sa pagpapatuloy sa aming halimbawa, binabawasan namin ang 225 mula sa 245 upang makakuha ng 20. Pagkatapos, ibinabagsak namin ang susunod na pares ng mga numero, 00, upang makakuha ng 2000. Doblehin ang numero sa itaas ng root sign. Nakukuha namin ang 25 × 2 = 50. Paglutas ng halimbawa na may mga puwang, 50_ × _ =/< 2,000, мы получим 3. На этом этапе над радикалом у нас будет написано 253, а повторив этот процесс снова, следующим нашим числом будет цифра 9.

   7. Ilipat ang decimal point pasulong mula sa orihinal na "dividend" na numero. Upang makumpleto ang iyong sagot, dapat mong ilagay ang decimal point sa tamang lugar. Sa kabutihang palad, ito ay medyo madaling gawin. Ang kailangan mo lang gawin ay ihanay ito sa orihinal na punto ng numero. Halimbawa, kung ang numerong 49.8 ay nasa ilalim ng ugat, kakailanganin mong maglagay ng tuldok sa pagitan ng dalawang numero sa itaas ng siyam at walo.

      • Sa aming halimbawa, ang numero sa ilalim ng radical ay 6.45, kaya ililipat lang namin ang tuldok at ilagay ito sa pagitan ng mga numero 2 at 5 sa aming sagot, na nagbibigay ng sagot na katumbas ng 2.539.

   Bahagi 3

   Mabilis na bilangin ang mga bahagyang parisukat

   1. Hanapin ang mga hindi kumpletong parisukat sa pamamagitan ng pagbibilang sa kanila. Kapag naisaulo mo na ang mga perpektong parisukat, magiging mas madali ang paghahanap ng ugat ng mga hindi perpektong parisukat. Dahil alam mo na ang isang dosenang perpektong parisukat, ang anumang numero na nasa pagitan ng dalawang perpektong parisukat na iyon ay makikita sa pamamagitan ng pagbabawas ng lahat sa tinatayang bilang sa pagitan ng mga halagang iyon. Magsimula sa pamamagitan ng paghahanap ng dalawang perpektong parisukat na nasa pagitan ng iyong numero. Pagkatapos ay tukuyin kung alin sa mga numerong ito ang mas malapit sa iyong numero.

      • Halimbawa, ipagpalagay na kailangan nating hanapin ang square root ng numero 40. Dahil kabisado na natin ang mga perpektong parisukat, masasabi nating ang numero 40 ay nasa pagitan ng 6 2 at 7 2 o ang mga numerong 36 at 49. Dahil ang 40 ay mas malaki sa 6 2, ang magiging ugat nito ay mas malaki sa 6, at dahil mas mababa ito sa 7 2 , ang ugat nito ay magiging mas mababa din sa 7. Ang 40 ay medyo malapit sa 36 kaysa 49, kaya malamang na ang sagot ay mas malapit sa 6 Paliitin namin ang aming sagot sa mga susunod na hakbang.
      Ang susunod na dapat mong gawin ay parisukat ang tinatayang numero. Malamang na malas ka at hindi mo makuha ang orihinal na numero. Ito ay magiging mas malaki ng kaunti o mas maliit. Kung ang iyong resulta ay masyadong mataas, pagkatapos ay subukan muli ngunit sa isang bahagyang mas mababang numero ng ballpark (at kabaliktaran kung ang resulta ay masyadong mababa).
      • I-multiply ang 6.4 sa sarili nito at makakakuha ka ng 6.4 x 6.4 = 40.96, na mas kaunti kaysa sa orihinal na numero.
      • Dahil mas malaki ang sagot natin, dapat nating i-multiply ang numero sa isang ikasampung mas kaunti bilang isang pagtatantya at makuha ang sumusunod: 6.3 × 6.3 = 39.69. Ito ay mas kaunti kaysa sa orihinal na numero. Nangangahulugan ito na ang square root ng 40 ay nasa pagitan ng 6.3 at 6.4. Muli, dahil ang 39.69 ay mas malapit sa 40 kaysa 40.96, alam natin na ang square root ay magiging mas malapit sa 6.3 kaysa sa 6.4.

   2. Ipagpatuloy ang pagkalkula. Sa puntong ito, kung masaya ka sa iyong sagot, maaari mo lamang kunin ang unang nahulaan na hula. Gayunpaman, kung gusto mo ng mas tumpak na sagot, ang kailangan mo lang gawin ay pumili ng tinatayang halaga na may dalawang decimal na lugar na naglalagay ng tinatayang halaga sa pagitan ng unang dalawang numero. Kung ipagpapatuloy mo ang pagkalkulang ito, makakakuha ka ng tatlo, apat o higit pang mga decimal na lugar para sa iyong sagot. Ang lahat ay nakasalalay sa kung gaano kalayo ang gusto mong puntahan.

      • Para sa ating halimbawa, piliin natin ang 6.33 bilang tinatayang halaga sa dalawang decimal na lugar. I-multiply ang 6.33 sa sarili nito upang makakuha ng 6.33 x 6.33 = 40.0689. dahil mas mataas ito ng kaunti sa aming numero, kukuha kami ng mas maliit na numero, halimbawa 6.32. 6.32 × 6.32 = 39.9424. Ang sagot na ito ay bahagyang mas mababa kaysa sa aming numero, kaya alam namin na ang eksaktong square root ay nasa pagitan ng 6.32 at 6.33. Kung gusto naming magpatuloy, magpapatuloy kami sa paggamit ng parehong diskarte upang makakuha ng sagot na magiging mas at mas tumpak.
   • Upang mabilis na makahanap ng solusyon, gamitin ang calculator. Karamihan sa mga modernong calculator ay maaaring agad na mahanap ang square root ng isang numero. Ang kailangan mo lang gawin ay ipasok ang iyong numero at pagkatapos ay i-click ang root sign button. Halimbawa, upang mahanap ang ugat ng 841, pipindutin mo ang 8, 4, 1 at (√). Bilang resulta, matatanggap mo ang sagot 39.

Ang paggamit ng mga equation ay laganap sa ating buhay. Ginagamit ang mga ito sa maraming mga kalkulasyon, pagtatayo ng mga istruktura at maging sa sports. Gumamit ang tao ng mga equation noong sinaunang panahon, at mula noon ay tumaas lamang ang kanilang paggamit. Kadalasan ang root sign ay lumilitaw sa mga equation at maraming tao ang nagkakamali na naniniwala na ang mga naturang equation ay mahirap lutasin. Para sa gayong mga equation sa matematika mayroong isang espesyal na termino, na ginagamit upang tawagan ang mga equation na may ugat - hindi makatwiran na mga equation.

Ang pangunahing pagkakaiba sa paglutas ng mga equation na may mga ugat mula sa iba pang mga equation, halimbawa, quadratic, logarithmic, linear, ay wala silang karaniwang algorithm ng solusyon. Samakatuwid, upang malutas ang isang hindi makatwirang equation, kinakailangan upang pag-aralan ang paunang data at pumili ng isang mas angkop na solusyon.

Sa karamihan ng mga kaso, upang malutas ang ganitong uri ng equation, ginagamit nila ang paraan ng pagtaas ng magkabilang panig ng equation sa parehong kapangyarihan.

Sabihin nating ang sumusunod na equation ay ibinigay:

\[\sqrt((5x-16))=x-2\]

Namin parisukat ang magkabilang panig ng equation:

\[\sqrt((5x-16)))^2 =(x-2)^2\], kung saan palagi nating nakukuha ang:

Pagkatanggap quadratic equation, nakita natin ang mga ugat nito:

Sagot: \

Kung papalitan natin ang mga halagang ito sa equation, makakakuha tayo ng tamang pagkakapantay-pantay, na nagpapahiwatig ng kawastuhan ng data na nakuha.

Saan ko malulutas ang isang equation na may mga ugat gamit ang isang online solver?

Maaari mong lutasin ang equation sa aming website https://site. Ang isang libreng online na solver ay magbibigay-daan sa iyo upang malutas ang equation online kahit ano pagiging kumplikado sa ilang segundo. Ang kailangan mo lang gawin ay ipasok lamang ang iyong data sa solver. Maaari ka ring manood ng mga tagubilin sa video at matutunan kung paano lutasin ang equation sa aming website. At kung mayroon ka pa ring mga katanungan, maaari mong tanungin sila sa aming VKontakte group http://vk.com/pocketteacher. Sumali sa aming grupo, lagi kaming masaya na tulungan ka.

Ang irrational equation ay anumang equation na naglalaman ng function sa ilalim ng root sign. Halimbawa:

Ang mga equation na ito ay palaging nalulutas sa 3 hakbang:

1. Ihiwalay ang ugat. Sa madaling salita, kung sa kaliwa ng pantay na tanda, bilang karagdagan sa ugat, mayroong iba pang mga numero o pag-andar, ang lahat ng ito ay dapat ilipat sa kanan, binabago ang pag-sign. Sa kasong ito, ang radikal lamang ang dapat manatili sa kaliwa - nang walang anumang mga coefficient.
2. 2. Kuwadrado ang magkabilang panig ng equation. Kasabay nito, naaalala namin na ang saklaw ng mga halaga ng ugat ay lahat ng hindi negatibong mga numero. Samakatuwid, ang function sa kanan hindi makatwirang equation dapat ding hindi negatibo: g(x) ≥ 0.
3. Ang ikatlong hakbang ay lohikal na sumusunod mula sa pangalawa: kailangan mong magsagawa ng tseke. Ang katotohanan ay na sa ikalawang hakbang maaari tayong magkaroon ng karagdagang mga ugat. At upang maputol ang mga ito, kailangan mong palitan ang mga resultang numero ng kandidato sa orihinal na equation at suriin: ang tamang pagkakapantay-pantay ng numero ay talagang nakuha?

Paglutas ng hindi makatwirang equation

Tingnan natin ang ating hindi makatwirang equation na ibinigay sa pinakasimula ng aralin. Narito ang ugat ay nakahiwalay na: sa kaliwa ng pantay na tanda ay walang iba kundi ang ugat. parisukat sa magkabilang panig:

2x 2 − 14x + 13 = (5 − x ) 2
2x 2 − 14x + 13 = 25 − 10x + x 2
x 2 − 4x − 12 = 0

Nilulutas namin ang nagresultang quadratic equation sa pamamagitan ng discriminant:

D = b 2 − 4ac = (−4) 2 − 4 1 (−12) = 16 + 48 = 64
x 1 = 6; x 2 = −2

Ang natitira na lang ay palitan ang mga numerong ito sa orihinal na equation, i.e. isagawa ang tseke. Ngunit kahit dito maaari mong gawin ang tamang bagay upang pasimplehin ang pinal na desisyon.

Paano gawing simple ang solusyon

Isipin natin: bakit tayo nagsasagawa ng pagsusuri sa pagtatapos ng paglutas ng hindi makatwirang equation? Gusto naming tiyakin na kapag pinalitan namin ang aming mga ugat, magkakaroon ng hindi negatibong numero sa kanan ng equals sign. Pagkatapos ng lahat, alam na natin na sigurado na mayroong isang hindi negatibong numero sa kaliwa, dahil ang arithmetic square root (kaya naman ang ating equation ay tinatawag na irrational) ayon sa kahulugan ay hindi maaaring mas mababa sa zero.

Samakatuwid, ang kailangan lang nating suriin ay ang function na g (x) = 5 − x, na nasa kanan ng equal sign, ay hindi negatibo:

g(x) ≥ 0

Pinapalitan namin ang aming mga ugat sa function na ito at makakuha ng:

g (x 1) = g (6) = 5 − 6 = −1< 0
g (x 2) = g (−2) = 5 − (−2) = 5 + 2 = 7 > 0

Mula sa nakuha na mga halaga ay sumusunod na ang ugat x 1 = 6 ay hindi angkop sa amin, dahil kapag pinapalitan sa kanang bahagi mula sa orihinal na equation nakakakuha tayo ng negatibong numero. Ngunit ang ugat x 2 = −2 ay angkop para sa atin, dahil:

1. Ang ugat na ito ay ang solusyon sa quadratic equation na nakuha sa pamamagitan ng pagtaas ng magkabilang panig hindi makatwirang equation sa isang parisukat.
2. Kapag pinapalitan ang root x 2 = −2, ang kanang bahagi ng orihinal na irrational equation ay nagiging positibong numero, i.e. ang hanay ng mga halaga ng arithmetic root ay hindi nilalabag.

Iyan ang buong algorithm! Tulad ng nakikita mo, ang paglutas ng mga equation na may mga radical ay hindi ganoon kahirap. Ang pangunahing bagay ay huwag kalimutang suriin ang natanggap na mga ugat, kung hindi man ay may napakataas na posibilidad na makatanggap ng mga hindi kinakailangang sagot.

Ang mga quadratic equation ay pinag-aralan sa ika-8 baitang, kaya walang kumplikado dito. Ang kakayahang malutas ang mga ito ay ganap na kinakailangan.

Ang isang quadratic equation ay isang equation ng form na ax 2 + bx + c = 0, kung saan ang mga coefficient a, b at c ay mga arbitrary na numero, at a ≠ 0.

Bago pag-aralan ang mga tiyak na paraan ng solusyon, tandaan na ang lahat ng mga quadratic equation ay maaaring hatiin sa tatlong klase:

1. Walang mga ugat;
2. Magkaroon ng eksaktong isang ugat;
3. Magkaroon ng dalawa iba't ibang ugat.

Ito ay mahalagang pagkakaiba quadratic equation mula sa mga linear, kung saan ang ugat ay palaging umiiral at natatangi. Paano matukoy kung gaano karaming mga ugat ang isang equation? Mayroong isang kahanga-hangang bagay para dito - may diskriminasyon.

Nakakadiskrimina

Hayaang ibigay ang quadratic equation na ax 2 + bx + c = 0. Kung gayon ang discriminant ay simpleng numero D = b 2 − 4ac.

Kailangan mong malaman ang formula na ito sa puso. Kung saan ito nanggaling ay hindi na mahalaga ngayon. Ang isa pang bagay ay mahalaga: sa pamamagitan ng pag-sign ng discriminant matutukoy mo kung gaano karaming mga ugat mayroon ang isang quadratic equation. Namely:

1. Kung si D< 0, корней нет;
2. Kung D = 0, mayroong eksaktong isang ugat;
3. Kung D > 0, magkakaroon ng dalawang ugat.

Pakitandaan: ang discriminant ay nagpapahiwatig ng bilang ng mga ugat, at hindi sa lahat ng kanilang mga palatandaan, dahil sa ilang kadahilanan ay naniniwala ang maraming tao. Tingnan ang mga halimbawa at mauunawaan mo ang lahat sa iyong sarili:

Gawain. Gaano karaming mga ugat mayroon ang mga quadratic equation:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Isulat natin ang mga coefficient para sa unang equation at hanapin ang discriminant:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Kaya ang discriminant ay positibo, kaya ang equation ay may dalawang magkaibang ugat. Sinusuri namin ang pangalawang equation sa katulad na paraan:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Ang discriminant ay negatibo, walang mga ugat. Ang huling equation na natitira ay:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Ang discriminant ay zero - ang ugat ay magiging isa.

Pakitandaan na ang mga coefficient ay naisulat para sa bawat equation. Oo, ito ay mahaba, oo, ito ay nakakapagod, ngunit hindi mo paghaluin ang mga posibilidad at gumawa ng mga hangal na pagkakamali. Pumili para sa iyong sarili: bilis o kalidad.

Sa pamamagitan ng paraan, kung nakuha mo ito, pagkatapos ng ilang sandali ay hindi mo na kailangang isulat ang lahat ng mga coefficient. Gagawin mo ang gayong mga operasyon sa iyong ulo. Karamihan sa mga tao ay nagsimulang gawin ito sa isang lugar pagkatapos ng 50-70 na nalutas na mga equation - sa pangkalahatan, hindi gaanong.

Mga ugat ng isang quadratic equation

Ngayon ay lumipat tayo sa solusyon mismo. Kung ang discriminant D > 0, ang mga ugat ay makikita gamit ang mga formula:

Pangunahing formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation

Kapag D = 0, maaari mong gamitin ang alinman sa mga formula na ito - makakakuha ka ng parehong numero, na siyang magiging sagot. Sa wakas, kung si D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Unang equation:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ ang equation ay may dalawang ugat. Hanapin natin sila:

Pangalawang equation:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ ang equation muli ay may dalawang ugat. Hanapin natin sila

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

Panghuli, ang ikatlong equation:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ ang equation ay may isang ugat. Maaaring gamitin ang anumang formula. Halimbawa, ang una:

Tulad ng nakikita mo mula sa mga halimbawa, ang lahat ay napaka-simple. Kung alam mo ang mga formula at mabibilang, walang magiging problema. Kadalasan, ang mga error ay nangyayari kapag pinapalitan ang mga negatibong coefficient sa formula. Dito muli, ang pamamaraan na inilarawan sa itaas ay makakatulong: tingnan ang formula nang literal, isulat ang bawat hakbang - at sa lalong madaling panahon ay mapupuksa mo ang mga error.

Hindi kumpletong quadratic equation

Nangyayari na ang isang quadratic equation ay bahagyang naiiba sa ibinigay sa kahulugan. Halimbawa:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Madaling mapansin na ang mga equation na ito ay nawawala ang isa sa mga termino. Ang ganitong mga quadratic equation ay mas madaling lutasin kaysa sa mga karaniwang equation: hindi man lang nila kailangan na kalkulahin ang discriminant. Kaya, ipakilala natin ang isang bagong konsepto:

Ang equation na ax 2 + bx + c = 0 ay tinatawag na incomplete quadratic equation kung b = 0 o c = 0, i.e. ang koepisyent ng variable na x o ang libreng elemento ay katumbas ng zero.

Siyempre, ito ay ganap na posible Mahirap na kaso, kapag pareho sa mga coefficient na ito ay katumbas ng zero: b = c = 0. Sa kasong ito, ang equation ay nasa anyo na ax 2 = 0. Malinaw, ang naturang equation ay may iisang ugat: x = 0.

Isaalang-alang natin ang natitirang mga kaso. Hayaan ang b = 0, pagkatapos ay makakakuha tayo ng hindi kumpletong quadratic equation ng form na ax 2 + c = 0. Ibahin natin ito ng kaunti:

Dahil ang arithmetic square root ay umiiral lamang ng isang di-negatibong numero, ang huling pagkakapantay-pantay ay may katuturan lamang para sa (−c /a) ≥ 0. Konklusyon:

1. Kung sa isang hindi kumpletong quadratic equation ng anyong ax 2 + c = 0 ang hindi pagkakapantay-pantay (−c /a) ≥ 0 ay nasiyahan, magkakaroon ng dalawang ugat. Ang formula ay ibinigay sa itaas;
2. Kung (−c /a)< 0, корней нет.

Gaya ng nakikita mo, hindi kailangan ng discriminant—walang kumplikadong kalkulasyon sa hindi kumpletong quadratic equation. Sa katunayan, hindi na kailangang tandaan ang hindi pagkakapantay-pantay (−c /a) ≥ 0. Ito ay sapat na upang ipahayag ang halaga x 2 at makita kung ano ang nasa kabilang panig ng equal sign. Kung mayroong positibong numero, magkakaroon ng dalawang ugat. Kung ito ay negatibo, walang magiging ugat.

Ngayon tingnan natin ang mga equation ng form na ax 2 + bx = 0, kung saan ang libreng elemento ay katumbas ng zero. Ang lahat ay simple dito: palaging may dalawang ugat. Ito ay sapat na upang i-factor ang polynomial:

Inalis ang karaniwang salik sa mga bracket

Ang produkto ay zero kapag kahit isa sa mga salik ay zero. Dito nagmula ang mga ugat. Sa konklusyon, tingnan natin ang ilan sa mga equation na ito:

Gawain. Lutasin ang mga quadratic equation:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Walang mga ugat, dahil ang isang parisukat ay hindi maaaring katumbas ng isang negatibong numero.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = −1.5.

Mga pag-unlad ng metodolohikal para sa elektibong kurso

"Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi makatwirang equation""

PANIMULA

Ang iminungkahing elektibong kurso na "Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi makatwirang equation" ay inilaan para sa mga mag-aaral sa ika-11 baitang sekondaryang paaralan at partikular sa paksa, na naglalayong palawakin ang teoretikal at praktikal na kaalaman ng mga mag-aaral. Ang elective course ay binuo sa kaalaman at kasanayan na nakukuha ng mga mag-aaral kapag nag-aaral ng matematika sa high school.

Ang pagiging tiyak ng kursong ito ay na ito ay pangunahing inilaan para sa mga mag-aaral na gustong palawakin, palalimin, gawing sistematiko, gawing pangkalahatan ang kanilang kaalaman sa matematika, at matuto ng mga karaniwang pamamaraan at pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi makatwirang equation. Kasama sa programa ang mga isyu na bahagyang lumalampas sa kasalukuyang mga programa sa matematika at hindi karaniwang mga pamamaraan, na nagbibigay-daan sa iyong mas epektibong malutas ang iba't ibang mga problema.

Karamihan sa mga gawain sa USE ay nangangailangan ng mga nagtapos upang makabisado iba't ibang pamamaraan mga solusyon ng iba't ibang uri ng mga equation at kanilang mga sistema. Ang materyal na nauugnay sa mga equation at sistema ng mga equation ay bumubuo ng isang mahalagang bahagi ng kurso sa matematika ng paaralan. Kaugnayan ng pagpili ng paksa elektibong kurso ay tinutukoy ng kahalagahan ng paksang "Hindi makatwiran na mga equation" sa kurso sa matematika ng paaralan at, sa parehong oras, sa pamamagitan ng kakulangan ng oras upang isaalang-alang ang mga hindi pamantayang pamamaraan at diskarte sa paglutas ng mga hindi makatwirang equation, na matatagpuan sa mga gawain ng grupo "C" ng Unified State Examination.

Kasama ang pangunahing gawain ng pagtuturo ng matematika - tinitiyak ang malakas at may kamalayan na karunungan ng mga mag-aaral sa sistema ng kaalaman at kasanayan sa matematika - ang elective course na ito ay nagbibigay para sa pagbuo ng isang napapanatiling interes sa paksa, ang pagbuo ng mga kakayahan sa matematika, pagtaas ng antas ng kulturang matematika ng mga mag-aaral, na lumilikha ng batayan para sa matagumpay na pagpasa sa Unified State Exam at patuloy na edukasyon sa mga unibersidad .

Layunin ng kurso:

Taasan ang antas ng pag-unawa at praktikal na pagsasanay sa paglutas ng mga hindi makatwirang equation;

Pag-aralan ang mga pamamaraan at pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi makatwirang equation;

Bumuo ng kakayahang pag-aralan, i-highlight ang pangunahing bagay, bumuo ng mga elemento ng malikhaing paghahanap batay sa mga diskarte sa generalization;

Palawakin ang kaalaman ng mga mag-aaral sa paksang ito, pagbutihin ang kanilang mga kasanayan sa paglutas ng iba't ibang mga problema upang matagumpay na makapasa sa Pinag-isang State Exam.

Mga layunin ng kurso:

Pagpapalawak ng kaalaman tungkol sa mga pamamaraan at pamamaraan para sa paglutas ng mga algebraic equation;

Generalization at systematization ng kaalaman kapag nag-aaral sa grade 10-11 at naghahanda para sa Unified State Exam;

Pag-unlad ng kakayahang mag-isa na makakuha at mag-aplay ng kaalaman;

Pagpapakilala sa mga mag-aaral na magtrabaho sa panitikan sa matematika;

Pag-unlad ng lohikal na pag-iisip ng mga mag-aaral, ang kanilang algorithmic na kultura at intuwisyon sa matematika;

Pagpapabuti ng kultura ng matematika ng mag-aaral.

Ang elective course program ay nagsasangkot ng pag-aaral ng iba't ibang mga pamamaraan at diskarte sa paglutas ng mga hindi makatwiran na equation at pagbuo ng mga praktikal na kasanayan sa mga isyung isinasaalang-alang. Ang kurso ay tumatagal ng 17 oras.

Ang programa ay kumplikado, lumalampas sa karaniwang kurso ng pag-aaral, nagtataguyod ng pagbuo ng abstract na pag-iisip, at nagpapalawak ng lugar ng katalusan ng mag-aaral. Kasabay nito, pinapanatili nito ang pagpapatuloy sa mga umiiral na programa, bilang kanilang lohikal na pagpapatuloy.

Pang-edukasyon at pampakay na plano

№p/p

Paksa ng aralin

Bilang ng oras

Paglutas ng mga equation na isinasaalang-alang ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga

Paglutas ng mga hindi makatwirang equation sa pamamagitan ng pagtaas sa natural na kapangyarihan

Paglutas ng mga equation sa pamamagitan ng pagpapakilala ng mga auxiliary variable (paraan ng pagpapalit)

Paglutas ng isang equation na may isang radikal ng ikatlong antas.

Magkaparehong pagbabago kapag nilulutas ang mga hindi makatwirang equation

Mga hindi kinaugalian na gawain. Mga problema ng pangkat "C" ng Pinag-isang Pagsusulit ng Estado

Mga anyo ng kontrol: mga pagsusulit sa tahanan, independiyenteng gawain, mga sanaysay at mga research paper.

Bilang resulta ng pag-aaral ng elektibong kursong ito, dapat na kayang lutasin ng mga mag-aaral ang iba't ibang hindi makatwirang equation gamit ang mga pamantayan at hindi pamantayang pamamaraan at pamamaraan;

master ang algorithm para sa paglutas ng karaniwang hindi makatwiran equation;

magagawang gamitin ang mga katangian ng mga equation upang malutas ang hindi karaniwang mga problema;

makapagsagawa ng mga pagbabago sa pagkakakilanlan kapag nilulutas ang mga equation;

magkaroon ng malinaw na pag-unawa sa mga paksa ng isang solong pagsusulit ng estado, tungkol sa mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga ito;

magkaroon ng karanasan sa pagpili ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi karaniwang problema.

PANGUNAHING BAHAGI.

Ang mga equation kung saan ang hindi kilalang dami ay nasa ilalim ng radical sign ay tinatawag hindi makatwiran.

Ang pinakasimpleng irrational equation ay kinabibilangan ng mga equation ng form:

Ang pangunahing ideya ng solusyon ng isang hindi makatwirang equation ay binubuo sa pagbabawas nito sa isang rational algebraic equation, na alinman ay katumbas ng orihinal na irrational equation o ang kinahinatnan nito. Kapag nilulutas ang mga hindi makatwirang equation, palagi nating pinag-uusapan ang paghahanap ng mga tunay na ugat.

Tingnan natin ang ilang mga paraan upang malutas ang mga hindi makatwirang equation.

1. Paglutas ng mga hindi makatwirang equation na isinasaalang-alang ang saklaw ng mga pinahihintulutang halaga (APV).

Ang rehiyon ng mga pinahihintulutang halaga ng isang hindi makatwiran na equation ay binubuo ng mga halaga ng mga hindi alam kung saan ang lahat ng mga expression sa ilalim ng tanda ng isang radikal ng kahit na antas ay hindi negatibo.

Minsan ang kaalaman sa ODZ ay nagpapahintulot sa iyo na patunayan na ang equation ay walang mga solusyon, at kung minsan ay nagbibigay-daan sa iyo na makahanap ng mga solusyon sa equation sa pamamagitan ng direktang pagpapalit ng mga numero mula sa ODZ.

Halimbawa1 . Lutasin ang equation.

Solusyon . Nang matagpuan ang ODZ ng equation na ito, napag-isipan natin na ang ODZ ng orihinal na equation ay isang solong-element set.. Pagpapalitx=2sa equation na ito, dumating tayo sa konklusyon nax=2ay ang ugat ng orihinal na equation.

Sagot : 2 .

Halimbawa 2.

Ang equation ay walang mga solusyon, dahil sa bawat katanggap-tanggap na halaga sa isang variable, ang kabuuan ng dalawang di-negatibong numero ay hindi maaaring negatibo.

Halimbawa 3.
+ 3 =
.

ODZ:

Ang ODZ equation ay isang walang laman na set.

Sagot: ang equation ay walang mga ugat.

Halimbawa 4. 3
−4
−
=−(2+
).

ODZ:

ODZ:
. Sa pamamagitan ng pagsuri ay kumbinsido kami na ang x=1 ay ang ugat ng equation.

Sagot: 1.

Patunayan na ang equation ay wala

mga ugat.

1.
= 0.

2.
=1.

3. 5
.

4.
+
=2.

5.
=
.

Lutasin ang equation.

1. .

2. = 0.

3.
= 92.

4. = 0.

5.
+
+(x+3)(2005−x)=0.

2. B pagtataas ng magkabilang panig ng equation sa natural na kapangyarihan , iyon ay, ang paglipat mula sa equation

(1)

sa equation

. (2)

Ang mga sumusunod na pahayag ay totoo:

1) para sa anumang equation (2) ay resulta ng equation (1);

2) kung ( n – kakaibang numero), pagkatapos ay ang mga equation (1) at (2 ) ay katumbas;

3) kung ( n ay isang even na numero), kung gayon ang equation (2) ay katumbas ng equation

, (3)

at ang equation (3) ay katumbas ng set ng mga equation

. (4)

Sa partikular, ang equation

(5)

ay katumbas ng set ng mga equation (4).

Halimbawa 1. Lutasin ang equation

.

Ang equation ay katumbas ng system

kung saan ito ay sumusunod na x=1, at ang ugat ay hindi nasiyahan ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay. Kasabay nito, ang isang karampatang solusyon ay hindi nangangailangan ng pag-verify.

Sagot:x=1.

Halimbawa 2. Lutasin ang equation.

Paglutas ng unang equation ng sistemang ito, na katumbas ng equation , nakukuha natin ang mga ugat at . Gayunpaman, sa mga halagang ito x ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi humahawak, at samakatuwid ang equation na ito ay walang mga ugat.

Sagot: walang ugat.

Halimbawa 3. Lutasin ang equation

Isolating ang unang radical, makuha namin ang equation

katumbas ng orihinal.

Sa pamamagitan ng pag-squaring sa magkabilang panig ng equation na ito, dahil pareho silang positibo, nakukuha natin ang equation

,

na bunga ng orihinal na equation. Sa pamamagitan ng pag-squaring sa magkabilang panig ng equation na ito sa ilalim ng kondisyon na , nakarating tayo sa equation

.

Ang equation na ito ay may mga ugat , . Ang unang ugat ay nakakatugon sa paunang kondisyon, ngunit ang pangalawa ay hindi.

Sagot: x=2.

Kung ang equation ay naglalaman ng dalawa o higit pang mga radical, pagkatapos ay ihiwalay muna ang mga ito at pagkatapos ay squared.

Halimbawa 1.

Ang paghiwalay sa unang radical, nakakakuha tayo ng equation na katumbas ng ibinigay. I-square natin ang magkabilang panig ng equation:

Ang pagkakaroon ng mga kinakailangang pagbabagong-anyo, parisukat namin ang nagresultang equation

Pagkatapos suriin, napansin namin iyon

ay wala sa saklaw ng mga katanggap-tanggap na halaga.

Sagot: 8.

Sagot: 2

Sagot: 3; 1.4.

3. Maraming hindi makatwirang equation ang nalulutas sa pamamagitan ng pagpapakilala ng mga auxiliary variable.

Ang isang maginhawang paraan ng paglutas ng mga hindi makatwirang equation ay minsan ang paraan ng pagpapakilala ng isang bagong variable, o "paraan ng kapalit" Karaniwang ginagamit ang pamamaraan kapag nasa Eq. ilang expression na lumilitaw nang paulit-ulit, depende sa hindi kilalang dami. Pagkatapos ay makatuwirang tukuyin ang ekspresyong ito gamit ang ilang bagong titik at subukang lutasin muna ang equation na may paggalang sa ipinakilalang hindi alam, at pagkatapos ay hanapin ang orihinal na hindi alam.

Ang matagumpay na pagpili ng isang bagong variable ay ginagawang mas transparent ang istraktura ng equation. Ang bagong variable ay kung minsan ay halata, kung minsan ay medyo nakatalukbong, ngunit "nadama", at kung minsan ay "nagpapakita" lamang sa proseso ng pagbabago.

Halimbawa 1.

Hayaan
t>0, pagkatapos

t =
,

t 2 +5t-14=0,

t 1 =-7, t 2 =2. Ang t=-7 ay hindi nakakatugon sa kundisyon t>0, kung gayon

,

x 2 -2x-5=0,

x 1 =1-
, x 2 =1+
.

Sagot: 1-
; 1+
.

Halimbawa 2. Lutasin ang isang hindi makatwirang equation

Kapalit:

Baliktad na kapalit: /

Sagot:

Halimbawa 3. Lutasin ang equation .

Gumawa tayo ng mga kapalit: , . Ang orihinal na equation ay muling isusulat sa anyo , kung saan makikita natin iyon A = 4b At . Susunod, itaas ang magkabilang panig ng equation squared, nakukuha natin ang: Mula rito X= 15. Ang natitira na lang ay suriin:

- tama!

Sagot: 15.

Halimbawa 4. Lutasin ang equation

Sa paglalagay ng , nakakakuha tayo ng isang makabuluhang mas simple na hindi makatwiran na equation. I-square natin ang magkabilang panig ng equation: .

; ;

; ; , .

Ang pagsuri sa mga nahanap na halaga at pagpapalit sa kanila sa equation ay nagpapakita na iyon ang ugat ng equation, at isang extraneous na ugat.

Pagbabalik sa orihinal na variable x, nakakakuha tayo ng isang equation, iyon ay, isang quadratic equation, paglutas kung saan makikita natin ang dalawang ugat: ,. Ang parehong mga ugat ay nakakatugon sa orihinal na equation.

Sagot: , .

Ang pagpapalit ay lalong kapaki-pakinabang kung ang isang bagong kalidad ay nakamit bilang isang resulta, halimbawa, ang isang hindi makatwiran na equation ay nagiging isang makatwiran.

Halimbawa 6. Lutasin ang equation.

Isulat muli natin ang equation tulad nito: .

Ito ay makikita na kung magpakilala tayo ng isang bagong variable , pagkatapos ay ang equation ay kukuha ng anyo , nasaan ang extraneous root at .

Mula sa equation na nakukuha natin , .

Sagot: , .

Halimbawa 7. Lutasin ang equation .

Ipakilala natin ang isang bagong variable, .

Bilang resulta, ang orihinal na irrational equation ay nasa anyo ng isang quadratic

,

mula sa kung saan, isinasaalang-alang ang limitasyon, nakukuha namin . Paglutas ng equation, nakuha namin ang ugat. Sagot: 2,5.

Mga gawain para sa malayang solusyon.

1.
+
=
.

2.
+
=.

3.
.

5.
.

4.Paraan ng pagpapakilala ng dalawang auxiliary variable.

Mga equation ng form (Dito a , b , c , d – ilang mga numero m , n – natural na mga numero) at ilang iba pang mga equation ay kadalasang malulutas sa pamamagitan ng pagpapakilala ng dalawang auxiliary na hindi alam: at , saan at kasunod na paglipat sa katumbas na sistema ng mga rational equation.

Halimbawa 1. Lutasin ang equation.

Ang pagtaas ng magkabilang panig ng equation na ito sa ikaapat na kapangyarihan ay hindi nangangako ng anumang mabuti. Kung ilalagay natin ang , ang orihinal na equation ay muling isusulat tulad ng sumusunod: . Dahil nagpakilala kami ng dalawang bagong hindi alam, kailangan naming maghanap ng isa pang equation na nauugnay y At z. Upang gawin ito, itinataas namin ang mga pagkakapantay-pantay sa ikaapat na kapangyarihan at tandaan na . Kaya, kailangan nating lutasin ang sistema ng mga equation

Sa pamamagitan ng pag-square, nakukuha natin ang:

Pagkatapos ng pagpapalit mayroon kaming: o . Pagkatapos ang system ay may dalawang solusyon: , ; , , at walang solusyon ang system.

Ito ay nananatiling lutasin ang sistema ng dalawang equation na may isang hindi alam

at ang sistema Ang una sa kanila ay nagbibigay, ang pangalawa ay nagbibigay.

Sagot: , .

Halimbawa 2.

Hayaan

Sagot:

5. Mga equation na may radikal ng ikatlong antas.
Kapag nilulutas ang mga equation na naglalaman ng mga radical ng 3rd degree, maaaring maging kapaki-pakinabang ang paggamit ng karagdagan sa pamamagitan ng mga pagkakakilanlan:

Halimbawa 1. .
Itaas natin ang magkabilang panig ng equation na ito sa ika-3 kapangyarihan at gamitin ang pagkakakilanlan sa itaas:

Tandaan na ang expression sa mga bracket ay katumbas ng 1, na sumusunod mula sa orihinal na equation. Isinasaalang-alang ito at nagdadala ng mga katulad na termino, nakukuha namin ang:
Buksan natin ang mga bracket, magdagdag ng mga katulad na termino at lutasin ang quadratic equation. Ang mga ugat nitoAt. Kung ipagpalagay natin (sa kahulugan) na ang ugat kakaibang degree maaari ding kunin mula sa mga negatibong numero, kung gayon ang parehong mga resultang numero ay mga solusyon sa orihinal na equation.
Sagot:.

6. Pag-multiply sa magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng conjugate expression ng isa sa kanila.

Minsan ang isang hindi makatwirang equation ay maaaring malutas nang mabilis kung ang magkabilang panig ay pinarami ng isang mahusay na napiling function. Siyempre, kapag ang magkabilang panig ng equation ay pinarami ng isang tiyak na function, maaaring lumitaw ang mga extraneous na solusyon; maaari silang maging mga zero ng function na ito mismo. Samakatuwid, ang iminungkahing pamamaraan ay nangangailangan ng mandatoryong pagsasaliksik ng mga resultang halaga.

Halimbawa 1. Lutasin ang equation

Solusyon: Pumili tayo ng isang function

I-multiply natin ang magkabilang panig ng equation sa napiling function:

Dalhin natin ang mga katulad na termino at kumuha ng katumbas na equation

Idagdag natin ang orihinal na equation at ang huli, makuha natin

Sagot: .

7. Magkaparehong pagbabago kapag nilulutas ang mga hindi makatwirang equation

Kapag nilulutas ang mga hindi makatwirang equation, kadalasang kinakailangan na maglapat ng magkatulad na pagbabagong nauugnay sa paggamit ng mga kilalang formula. Sa kasamaang palad, ang mga pagkilos na ito ay kung minsan ay hindi ligtas tulad ng pagtaas sa isang pantay na kapangyarihan—ang mga solusyon ay maaaring makuha o mawala.

Tingnan natin ang ilang sitwasyon kung saan nangyayari ang mga problemang ito, at alamin kung paano kilalanin at pigilan ang mga ito.

ako. Halimbawa 1. Lutasin ang equation.

Solusyon. Ang formula na nalalapat dito ay .

Kailangan mo lang isipin ang kaligtasan ng paggamit nito. Madaling makita na ang kaliwa at kanang bahagi nito ay may magkaibang mga domain ng kahulugan at ang pagkakapantay-pantay na ito ay totoo lamang sa ilalim ng kundisyon. Samakatuwid, ang orihinal na equation ay katumbas ng sistema

Ang paglutas ng equation ng sistemang ito, makuha natin ang mga ugat at . Ang pangalawang ugat ay hindi nakakatugon sa hanay ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng sistema at, samakatuwid, ay isang extraneous na ugat ng orihinal na equation.

Sagot: -1 .

II.Ang susunod na mapanganib na pagbabago kapag nilulutas ang mga hindi makatwirang equation ay tinutukoy ng formula.

Kung gagamitin mo ang formula na ito mula kaliwa pakanan, lumalawak ang ODZ at makakakuha ka ng mga solusyon sa third-party. Sa katunayan, sa kaliwang bahagi ang parehong mga pag-andar ay dapat na hindi negatibo; at sa kanan, ang kanilang produkto ay dapat na hindi negatibo.

Tingnan natin ang isang halimbawa kung saan ang isang problema ay ipinatupad gamit ang formula.

Halimbawa 2. Lutasin ang equation.

Solusyon. Subukan nating lutasin ang equation na ito sa pamamagitan ng factoring

Tandaan na sa pagkilos na ito ang solusyon ay nawala, dahil umaangkop ito sa orihinal na equation at hindi na umaangkop sa nagresultang equation: hindi ito makatuwiran para sa . Samakatuwid, mas mahusay na lutasin ang equation na ito sa pamamagitan ng ordinaryong pag-squaring

Ang paglutas ng equation ng sistemang ito, makuha natin ang mga ugat at . Ang parehong mga ugat ay nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay ng sistema.

Sagot: , .

III.Meron pa mapanganib na aksyon– pagbabawas ng isang karaniwang kadahilanan.

Halimbawa 3. Lutasin ang equation .

Maling pangangatwiran: Bawasan ang magkabilang panig ng equation ng , nakukuha natin .

Wala nang mas mapanganib at mali kaysa sa pagkilos na ito. Una, nawala ang isang angkop na solusyon sa orihinal na equation; pangalawa, dalawang third-party na solusyon ang binili. Lumalabas na ang bagong equation ay walang pagkakatulad sa orihinal! Ibigay natin ang tamang solusyon.

Solusyon. Ilipat natin ang lahat ng miyembro sa kaliwang bahagi equation at salik ito

.

Ang equation na ito ay katumbas ng system

na may kakaibang solusyon.

Sagot: 3 .

KONGKLUSYON.

Bilang bahagi ng elektibong kurso, ang mga di-karaniwang pamamaraan para sa paglutas ng mga kumplikadong problema ay ipinapakita na matagumpay na nabuo lohikal na pag-iisip, ang kakayahang mahanap sa maraming solusyon ang isa na komportable at makatuwiran para sa mag-aaral. Ang kursong ito ay nangangailangan ng mga mag-aaral na pansariling gawain, tumutulong sa paghahanda ng mga mag-aaral na ipagpatuloy ang kanilang pag-aaral at pagbutihin ang antas ng kulturang matematika.

Tinalakay ng gawain ang mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi makatwirang equation, ilang mga diskarte sa paglutas ng mga equation mas mataas na antas, ang paggamit nito ay inaasahan kapag nilulutas ang mga gawain ng Unified State Exam, gayundin kapag pumapasok sa mga unibersidad at nagpapatuloy edukasyon sa matematika. Inihayag din ang nilalaman ng mga pangunahing konsepto at pahayag na may kaugnayan sa teorya ng paglutas ng mga hindi makatwirang equation. Nang matukoy ang pinakakaraniwang paraan para sa paglutas ng mga equation, natukoy namin ang paggamit nito sa karaniwan at hindi pamantayang mga sitwasyon. Bilang karagdagan, isinasaalang-alang namin karaniwang mga pagkakamali kapag nagsasagawa ng magkatulad na pagbabago at mga paraan upang malampasan ang mga ito.

Kapag nakumpleto ang kurso, ang mga mag-aaral ay magkakaroon ng pagkakataon na makabisado ang iba't ibang mga pamamaraan at pamamaraan para sa paglutas ng mga equation, habang natututong mag-systematize at mag-generalize. teoretikal na impormasyon, malayang maghanap ng mga solusyon sa ilang partikular na problema at, kaugnay nito, bumuo ng isang serye ng mga gawain at pagsasanay sa mga paksang ito. Ang pagpili ng kumplikadong materyal ay makakatulong sa mga mag-aaral na ipahayag ang kanilang sarili sa mga aktibidad sa pananaliksik.

Sa positibong panig ang kurso ay isang pagkakataon karagdagang aplikasyon pinag-aralan ng mga mag-aaral ang materyal na may pagpasa sa Unified State Exam, pagpasok sa mga unibersidad.

Negatibong panig ay hindi lahat ng mag-aaral ay nagagawang makabisado ang lahat ng mga teknik ng kursong ito, kahit na sila ay may pagnanais na gawin ito, dahil sa kahirapan ng karamihan sa mga problemang niresolba.

PANITIKAN:

Sharygin I.F. "Mathematics para sa mga pumapasok sa unibersidad." - 3rd ed., - M.: Bustard, 2000.

Mga equation at hindi pagkakapantay-pantay. Gabay sa Sanggunian./ Vavilov V.V., Melnikov I.I., Olehnik S.N., Pasichenko P.I. –M.: Pagsusulit, 1998.

Cherkasov O.Yu., Yakushev A.G. "Matematika: masinsinang kurso paghahanda para sa pagsusulit." – ika-8 ed., rev. at karagdagang – M.:Iris, 2003. – (Tutor sa tahanan)

Balayan E.N. Mga kumplikadong pagsasanay at mga opsyon para sa mga gawain sa pagsasanay para sa Unified State Exam sa matematika. Rostov-on-Don: Phoenix Publishing House, 2004.

Skanavi M.I. "Koleksyon ng mga problema sa matematika para sa mga pumapasok sa mga unibersidad." - M., “Higher School”, 1998.

Igusman O.S. "Mathematics sa oral exam." - M., Iris, 1999.

Mga materyales sa pagsusulit para sa paghahanda para sa Pinag-isang Pagsusulit ng Estado – 2008 – 2012.

V.V. Kochagin, M.N. Kochagina "Pinag-isang Pagsusuri ng Estado - 2010. Matematika. Tutor" Moscow "Enlightenment" 2010

V.A.Gusev, A.G.Mordkovich "Matematika. Mga sanggunian na materyales" Moscow "Enlightenment" 1988