Oo, oo: ang pag-unlad ng aritmetika ay hindi isang laruan para sa iyo :)

Buweno, mga kaibigan, kung binabasa mo ang tekstong ito, ang panloob na cap-ebidensya ay nagsasabi sa akin na hindi mo pa alam kung ano ang pag-unlad ng aritmetika, ngunit talagang (hindi, ganyan: SOOOOO!) gusto mong malaman. Samakatuwid, hindi kita pahihirapan sa mahabang pagpapakilala at diretso sa punto.

Una, isang pares ng mga halimbawa. Tingnan natin ang ilang hanay ng mga numero:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Ano ang pagkakatulad ng lahat ng set na ito? Sa unang tingin, wala. Pero sa totoo lang may something. Namely: bawat susunod na elemento ay naiiba mula sa nauna sa pamamagitan ng parehong numero.

Maghusga para sa iyong sarili. Ang unang set ay simpleng magkakasunod na numero, bawat susunod ay isa pa kaysa sa nauna. Sa pangalawang kaso, ang pagkakaiba sa pagitan ng mga katabing numero ay lima na, ngunit ang pagkakaiba na ito ay pare-pareho pa rin. Sa ikatlong kaso, may mga ugat sa kabuuan. Gayunpaman, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, at $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, ibig sabihin. at sa kasong ito, ang bawat susunod na elemento ay tumataas lamang ng $\sqrt(2)$ (at huwag matakot na ang numerong ito ay hindi makatwiran).

Kaya: ang lahat ng gayong mga pagkakasunud-sunod ay tinatawag na mga pag-unlad ng aritmetika. Bigyan natin ng mahigpit na kahulugan:

Kahulugan. Ang pagkakasunud-sunod ng mga numero kung saan ang bawat kasunod ay naiiba mula sa nauna sa eksaktong parehong halaga ay tinatawag na aritmetika na pag-unlad. Ang mismong halaga kung saan naiiba ang mga numero ay tinatawag na pagkakaiba sa pag-unlad at kadalasang tinutukoy ng titik na $d$.

Notation: $\left(((a)_(n)) \right)$ ang mismong progression, $d$ ang difference nito.

At ilang mahahalagang tala lamang. Una, ang pag-unlad ay isinasaalang-alang lamang inutusan pagkakasunud-sunod ng mga numero: pinapayagan silang basahin nang mahigpit sa pagkakasunud-sunod kung saan nakasulat ang mga ito - at wala nang iba pa. Ang mga numero ay hindi maaaring muling ayusin o palitan.

Pangalawa, ang pagkakasunud-sunod mismo ay maaaring may hangganan o walang katapusan. Halimbawa, ang set (1; 2; 3) ay malinaw na isang may hangganang pag-unlad ng aritmetika. Ngunit kung sumulat ka ng isang bagay sa espiritu (1; 2; 3; 4; ...) - ito ay isang walang katapusang pag-unlad. Ang ellipsis pagkatapos ng apat ay tila nagpapahiwatig na may ilang higit pang mga numero na darating. Walang hanggan marami, halimbawa. :)

Gusto ko ring tandaan na ang mga pag-unlad ay maaaring tumaas o bumaba. Nakita na natin ang mga dumarami - ang parehong set (1; 2; 3; 4; ...). Narito ang mga halimbawa ng bumababang pag-unlad:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Okay, okay: ang huling halimbawa ay maaaring mukhang masyadong kumplikado. Ngunit ang natitira, sa palagay ko, naiintindihan mo. Samakatuwid, ipinakilala namin ang mga bagong kahulugan:

Kahulugan. Arithmetic progression tinatawag na:

1. pagtaas kung ang bawat susunod na elemento ay mas malaki kaysa sa nauna;
2. bumababa kung, sa kabaligtaran, ang bawat kasunod na elemento ay mas mababa kaysa sa nauna.

Bilang karagdagan, mayroong mga tinatawag na "nakatigil" na mga pagkakasunud-sunod - binubuo sila ng parehong umuulit na numero. Halimbawa, (3; 3; 3; ...).

Isang tanong na lang ang natitira: kung paano makilala ang isang pagtaas ng pag-unlad mula sa isang bumababa? Sa kabutihang palad, ang lahat dito ay nakasalalay lamang sa tanda ng numerong $d$, i.e. mga pagkakaiba sa pag-unlad:

1. Kung $d \gt 0$, kung gayon ang pag-unlad ay tataas;
2. Kung $d \lt 0$, kung gayon ang pag-unlad ay malinaw na bumababa;
3. Sa wakas, mayroong kaso $d=0$ - sa kasong ito ang buong pag-unlad ay nabawasan sa isang nakatigil na pagkakasunud-sunod magkaparehong numero: (1; 1; 1; 1; ...), atbp.

Subukan nating kalkulahin ang pagkakaiba $d$ para sa tatlong bumababa na pag-unlad na ibinigay sa itaas. Upang gawin ito, sapat na kumuha ng anumang dalawang katabing elemento (halimbawa, ang una at pangalawa) at ibawas ang numero sa kaliwa mula sa numero sa kanan. Magiging ganito ang hitsura:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Tulad ng nakikita natin, sa lahat tatlong kaso ang pagkakaiba talaga ay naging negatibo. At ngayon na higit pa o mas mababa na natin ang mga kahulugan, oras na para malaman kung paano inilarawan ang mga pag-unlad at kung anong mga katangian ang mayroon sila.

Mga tuntunin sa pag-unlad at formula ng pag-uulit

Dahil ang mga elemento ng aming mga sequence ay hindi maaaring palitan, maaari silang bilangin:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \right\)\]

Ang mga indibidwal na elemento ng set na ito ay tinatawag na mga miyembro ng isang pag-unlad. Ang mga ito ay ipinahiwatig ng isang numero: unang miyembro, pangalawang miyembro, atbp.

Bilang karagdagan, tulad ng alam na natin, ang mga kalapit na termino ng pag-unlad ay nauugnay sa pamamagitan ng formula:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Sa madaling salita, upang mahanap ang $n$th term ng isang progression, kailangan mong malaman ang $n-1$th term at ang pagkakaiba $d$. Ang formula na ito ay tinatawag na paulit-ulit, dahil sa tulong nito maaari kang makahanap ng anumang numero sa pamamagitan lamang ng pag-alam sa nauna (at sa katunayan, lahat ng mga nauna). Ito ay napaka-inconvenient, kaya mayroong isang mas tusong formula na binabawasan ang anumang mga kalkulasyon sa unang termino at ang pagkakaiba:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\kaliwa(n-1 \kanan)d\]

Marahil ay nakita mo na ang formula na ito. Gusto nilang ibigay ito sa lahat ng uri ng mga reference na libro at mga libro ng solusyon. At sa anumang matinong aklat-aralin sa matematika ito ay isa sa mga una.

Gayunpaman, iminumungkahi kong magsanay ka ng kaunti.

Gawain Blg. 1. Isulat ang unang tatlong termino ng arithmetic progression $\left(((a)_(n)) \right)$ kung $((a)_(1))=8,d=-5$.

Solusyon. Kaya, alam natin ang unang termino $((a)_(1))=8$ at ang pagkakaiba ng progression $d=-5$. Gamitin natin ang formula na ibinigay at palitan ang $n=1$, $n=2$ at $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\kaliwa(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\kaliwa(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\kaliwa(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]

Sagot: (8; 3; −2)

Iyon lang! Mangyaring tandaan: ang aming pag-unlad ay bumababa.

Siyempre, hindi maaaring palitan ang $n=1$ - alam na natin ang unang termino. Gayunpaman, sa pamamagitan ng pagpapalit ng pagkakaisa, kumbinsido kami na kahit sa unang termino ay gumagana ang aming formula. Sa ibang mga kaso, ang lahat ay bumaba sa banal na aritmetika.

Gawain Blg. 2. Isulat ang unang tatlong termino ng isang pag-unlad ng aritmetika kung ang ikapitong termino nito ay katumbas ng −40 at ang ikalabimpitong termino nito ay katumbas ng −50.

Solusyon. Isulat natin ang kondisyon ng problema sa mga pamilyar na termino:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \tama.\]

Inilagay ko ang sign ng system dahil ang mga kinakailangan na ito ay dapat matugunan nang sabay-sabay. Ngayon tandaan natin na kung ibawas natin ang una sa pangalawang equation (may karapatan tayong gawin ito, dahil mayroon tayong sistema), makukuha natin ito:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]

Ganyan kadaling hanapin ang pagkakaiba sa pag-unlad! Ang natitira na lang ay palitan ang nahanap na numero sa alinman sa mga equation ng system. Halimbawa, sa una:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matrix)\]

Ngayon, alam ang unang termino at ang pagkakaiba, nananatili itong hanapin ang pangalawa at pangatlong termino:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]

handa na! Ang problema ay nalutas.

Sagot: (−34; −35; −36)

Pansinin ang kawili-wiling pag-aari ng pag-unlad na aming natuklasan: kung kukunin namin ang mga terminong $n$th at $m$th at ibawas ang mga ito sa isa't isa, makukuha namin ang pagkakaiba ng pag-usad na na-multiply sa $n-m$ na numero:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Simple ngunit napaka kapaki-pakinabang na ari-arian, na tiyak na kailangan mong malaman - sa tulong nito maaari mong makabuluhang mapabilis ang solusyon ng maraming problema sa pag-unlad. Dito maliwanag na halimbawa:

Gawain Blg. 3. Ang ikalimang termino ng isang pag-unlad ng aritmetika ay 8.4, at ang ikasampung termino nito ay 14.4. Hanapin ang ikalabinlimang termino ng pag-unlad na ito.

Solusyon. Dahil $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, at kailangan naming hanapin ang $((a)_(15))$, tandaan namin ang sumusunod:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ at ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]

Ngunit ayon sa kundisyon $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, samakatuwid ay $5d=6$, kung saan mayroon tayong:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \end(align)\]

Sagot: 20.4

Iyon lang! Hindi namin kinailangang lumikha ng anumang mga sistema ng mga equation at kalkulahin ang unang termino at ang pagkakaiba - lahat ay nalutas sa loob lamang ng ilang linya.

Ngayon tingnan natin ang isa pang uri ng problema - paghahanap ng mga negatibo at positibong termino ng isang pag-unlad. Hindi lihim na kung ang isang pag-unlad ay tumaas, at ang unang termino nito ay negatibo, sa kalaunan ay lilitaw ang mga positibong termino dito. At kabaligtaran: ang mga tuntunin ng isang bumababa na pag-unlad ay malaon o huli ay magiging negatibo.

Kasabay nito, hindi laging posible na mahanap ang sandaling ito na "head-on" sa pamamagitan ng sunud-sunod na pagdaan sa mga elemento. Kadalasan, ang mga problema ay isinulat sa paraang nang hindi nalalaman ang mga pormula, ang mga kalkulasyon ay kukuha ng ilang mga sheet ng papel-kami ay matutulog lamang habang nahanap namin ang sagot. Samakatuwid, subukan nating lutasin ang mga problemang ito sa mas mabilis na paraan.

Gawain Blg. 4. Ilang negatibong termino ang mayroon sa pag-unlad ng arithmetic −38.5; −35.8; ...?

Solusyon. Kaya, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, mula sa kung saan agad naming nakita ang pagkakaiba:

Tandaan na ang pagkakaiba ay positibo, kaya ang pag-unlad ay tumataas. Ang unang termino ay negatibo, kaya't sa isang punto ay madadapa tayo sa mga positibong numero. Ang tanging tanong ay kung kailan ito mangyayari.

Subukan nating alamin kung gaano katagal (i.e. hanggang sa kung anong natural na bilang na $n$) ang nananatili sa negatibiti ng mga termino:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \kanan. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(align)\]

Ang huling linya ay nangangailangan ng ilang paliwanag. Kaya alam natin na ang $n \lt 15\frac(7)(27)$. Sa kabilang banda, nasiyahan kami sa mga integer value lang ng numero (bukod dito: $n\in \mathbb(N)$), kaya ang pinakamalaking pinahihintulutang numero ay tiyak na $n=15$, at sa anumang kaso 16 .

Gawain Blg. 5. Sa arithmetic progression $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Hanapin ang bilang ng unang positibong termino ng pag-unlad na ito.

Ito ay magiging eksaktong parehong problema tulad ng nauna, ngunit hindi namin alam ang $((a)_(1))$. Ngunit ang mga katabing termino ay kilala: $((a)_(5))$ at $((a)_(6))$, kaya madali nating mahanap ang pagkakaiba ng pag-unlad:

Bilang karagdagan, subukan nating ipahayag ang ikalimang termino sa pamamagitan ng una at ang pagkakaiba gamit ang karaniwang formula:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ at ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]

Ngayon ay nagpapatuloy kami sa pamamagitan ng pagkakatulad sa nakaraang gawain. Alamin natin kung anong punto sa ating sequence ang lalabas na mga positibong numero:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]

Ang pinakamababang integer na solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay na ito ay ang bilang na 56.

Pakitandaan: sa huling gawain ang lahat ay napunta sa mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay, kaya ang opsyon na $n=55$ ay hindi angkop sa amin.

Ngayon na natutunan natin kung paano lutasin ang mga simpleng problema, lumipat tayo sa mas kumplikado. Ngunit una, pag-aralan natin ang isa pang napaka-kapaki-pakinabang na katangian ng mga pag-unlad ng aritmetika, na magliligtas sa atin ng maraming oras at hindi pantay na mga cell sa hinaharap. :)

Arithmetic mean at pantay na indentations

Isaalang-alang natin ang ilang magkakasunod na termino ng tumataas na pag-unlad ng arithmetic $\left(((a)_(n)) \right)$. Subukan nating markahan ang mga ito sa linya ng numero:

Mga tuntunin ng pag-unlad ng aritmetika sa linya ng numero

Partikular kong minarkahan ang mga arbitrary na termino $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, at hindi ilang $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, atbp. Dahil gumagana na ngayon ang panuntunang sasabihin ko sa iyo para sa anumang "mga segment."

At ang panuntunan ay napaka-simple. Tandaan natin ang paulit-ulit na formula at isulat ito para sa lahat ng may markang termino:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]

Gayunpaman, ang mga pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring muling isulat sa ibang paraan:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]

Well, ano? At ang katotohanan na ang mga terminong $((a)_(n-1))$ at $((a)_(n+1))$ ay nasa parehong distansya mula sa $((a)_(n)) $ . At ang distansyang ito ay katumbas ng $d$. Ganoon din ang masasabi tungkol sa mga terminong $((a)_(n-2))$ at $((a)_(n+2))$ - inalis din ang mga ito sa $((a)_(n) )$ sa parehong distansya na katumbas ng $2d$. Maaari naming ipagpatuloy ang ad infinitum, ngunit ang kahulugan ay mahusay na inilalarawan ng larawan

Ang mga tuntunin ng pag-unlad ay nasa parehong distansya mula sa gitna

Ano ang ibig sabihin nito para sa atin? Nangangahulugan ito na ang $((a)_(n))$ ay matatagpuan kung ang mga kalapit na numero ay kilala:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Nakakuha kami ng isang mahusay na pahayag: bawat termino ng isang pag-unlad ng aritmetika ay katumbas ng ibig sabihin ng aritmetika ng mga kalapit na termino nito! Bukod dito: maaari tayong umatras mula sa ating $((a)_(n))$ sa kaliwa at pakanan hindi sa pamamagitan ng isang hakbang, ngunit sa pamamagitan ng $k$ na mga hakbang - at ang formula ay magiging tama pa rin:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Yung. madali tayong makakahanap ng ilang $((a)_(150))$ kung alam natin ang $((a)_(100))$ at $((a)_(200))$, dahil $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Sa unang sulyap, maaaring mukhang ang katotohanang ito ay hindi nagbibigay sa amin ng anumang kapaki-pakinabang. Gayunpaman, sa pagsasagawa, maraming mga problema ang espesyal na iniayon sa paggamit ng arithmetic mean. Tingnan mo:

Gawain Blg. 6. Hanapin ang lahat ng value ng $x$ kung saan ang mga numerong $-6((x)^(2))$, $x+1$ at $14+4((x)^(2))$ ay magkasunod na termino ng isang pag-unlad ng aritmetika (sa pagkakasunud-sunod na ipinahiwatig).

Solusyon. Dahil ang mga numerong ito ay miyembro ng isang progression, ang arithmetic mean na kondisyon ay nasiyahan para sa kanila: ang gitnang elemento na $x+1$ ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng mga kalapit na elemento:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ at ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]

Ang resulta ay isang klasikong quadratic equation. Ang mga ugat nito: $x=2$ at $x=-3$ ang mga sagot.

Sagot: −3; 2.

Gawain Blg. 7. Hanapin ang mga halaga ng $$ kung saan ang mga numerong $-1;4-3;(()^(2))+1$ ay bumubuo ng isang arithmetic progression (sa ganoong pagkakasunud-sunod).

Solusyon. Ipahayag natin muli karaniwang miyembro sa pamamagitan ng arithmetic mean ng mga katabing termino:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \kanan.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ at ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]

Quadratic equation na naman. At muli mayroong dalawang ugat: $x=6$ at $x=1$.

Sagot: 1; 6.

Kung sa proseso ng paglutas ng isang problema ay nakabuo ka ng ilang mga brutal na numero, o hindi ka lubos na sigurado sa tama ng mga sagot na natagpuan, kung gayon mayroong isang kahanga-hangang pamamaraan na nagbibigay-daan sa iyo upang suriin: nalutas ba namin nang tama ang problema?

Sabihin natin sa problema Blg. 6 nakatanggap tayo ng mga sagot −3 at 2. Paano natin masusuri kung tama ang mga sagot na ito? Isaksak lang natin ang mga ito sa orihinal na kundisyon at tingnan kung ano ang mangyayari. Hayaan mong ipaalala ko sa iyo na mayroon kaming tatlong numero ($-6(()^(2))$, $+1$ at $14+4(()^(2))$), na dapat bumuo ng arithmetic progression. Palitan natin ang $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

Nakuha namin ang mga numero −54; −2; Ang 50 na naiiba ng 52 ay walang alinlangan na isang pag-unlad ng aritmetika. Ang parehong bagay ay nangyayari para sa $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

Muli isang pag-unlad, ngunit may pagkakaiba na 27. Kaya, ang problema ay nalutas nang tama. Ang mga nais ay maaaring suriin ang pangalawang problema sa kanilang sarili, ngunit sasabihin ko kaagad: lahat ay tama din doon.

Sa pangkalahatan, habang nilulutas ang mga huling problema, nakatagpo kami ng isa pa kawili-wiling katotohanan, na kailangan ding tandaan:

Kung ang tatlong numero ay tulad na ang pangalawa ay ang arithmetic mean ng una at huli, ang mga numerong ito ay bumubuo ng isang arithmetic progression.

Sa hinaharap, ang pag-unawa sa pahayag na ito ay magbibigay-daan sa amin na literal na "buuin" ang mga kinakailangang pag-unlad batay sa mga kondisyon ng problema. Ngunit bago tayo makisali sa naturang "konstruksyon", dapat nating bigyang pansin ang isa pang katotohanan, na direktang sumusunod sa kung ano ang napag-usapan na.

Pagpapangkat at pagsusuma ng mga elemento

Bumalik tayo sa number axis muli. Tandaan natin doon ang ilang miyembro ng pag-unlad, kung saan, marahil. ay nagkakahalaga ng maraming iba pang mga miyembro:

Mayroong 6 na elemento na minarkahan sa linya ng numero

Subukan nating ipahayag ang “kaliwang buntot” sa pamamagitan ng $((a)_(n))$ at $d$, at ang “kanang buntot” sa pamamagitan ng $((a)_(k))$ at $d$. Ito ay napaka-simple:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]

Ngayon tandaan na ang mga sumusunod na halaga ay pantay-pantay:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]

Sa madaling salita, kung isasaalang-alang natin bilang panimula ang dalawang elemento ng pag-unlad, na sa kabuuan ay katumbas ng ilang bilang na $S$, at pagkatapos ay magsisimulang humakbang mula sa mga elementong ito sa magkasalungat na direksyon (papunta sa isa't isa o kabaligtaran upang lumayo), pagkatapos magkakapantay din ang kabuuan ng mga elementong ating madadapa$S$. Ito ay maaaring pinaka-malinaw na kinakatawan sa graphic na paraan:

Ang mga pantay na indentasyon ay nagbibigay ng pantay na halaga

Ang pag-unawa sa katotohanang ito ay magbibigay-daan sa amin upang malutas ang mga problema sa isang mas panimula mataas na lebel mga kahirapan kaysa sa mga napag-isipan natin sa itaas. Halimbawa, ang mga ito:

Gawain Blg. 8. Tukuyin ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng aritmetika kung saan ang unang termino ay 66, at ang produkto ng ikalawa at ikalabindalawang termino ay ang pinakamaliit na posible.

Solusyon. Isulat natin ang lahat ng ating nalalaman:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]

Kaya, hindi namin alam ang pagkakaiba ng pag-unlad $d$. Sa totoo lang, ang buong solusyon ay bubuuin sa paligid ng pagkakaiba, dahil ang produkto na $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(align)\]

Para sa mga nasa tangke: Kinuha ko ang kabuuang multiplier ng 11 mula sa pangalawang bracket. Kaya, ang nais na produkto ay isang parisukat na function na may paggalang sa variable na $d$. Samakatuwid, isaalang-alang ang function na $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - ang graph nito ay magiging isang parabola na may mga sanga sa itaas, dahil kung palawakin natin ang mga bracket, makakakuha tayo ng:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Tulad ng nakikita mo, ang koepisyent ng pinakamataas na termino ay 11 - ito ay positibong numero, kaya talagang nakikipag-usap tayo sa isang parabola na may mga sanga pataas:

iskedyul quadratic function- parabola

Tandaan: pinakamababang halaga ang parabola na ito ay tumatagal ng $((d)_(0))$ sa tuktok nito na may abscissa. Siyempre, maaari nating kalkulahin ang abscissa na ito gamit ang karaniwang scheme (mayroong formula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), ngunit mas makatwirang tandaan na ang gustong vertex ay nasa axis symmetry ng parabola, samakatuwid ang puntong $((d)_(0))$ ay katumbas ng layo mula sa mga ugat ng equation $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]

Iyon ang dahilan kung bakit hindi ako nagmamadaling buksan ang mga bracket: sa kanilang orihinal na anyo, ang mga ugat ay napakadaling mahanap. Samakatuwid, ang abscissa ay katumbas ng ibig sabihin mga numero ng aritmetika−66 at −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Ano ang ibinibigay sa atin ng natuklasang numero? Sa pamamagitan nito, ang kinakailangang produkto ay tumatagal sa pinakamaliit na halaga (nga pala, hindi namin kailanman nakalkula ang $((y)_(\min ))$ - hindi ito kinakailangan sa amin). Kasabay nito, ang bilang na ito ay ang pagkakaiba mula sa orihinal na pag-unlad, i.e. nakita namin ang sagot. :)

Sagot: −36

Gawain Blg. 9. Sa pagitan ng mga numerong $-\frac(1)(2)$ at $-\frac(1)(6)$ ay magpasok ng tatlong numero upang kasama ng mga numerong ito ay bumuo sila ng isang pag-unlad ng aritmetika.

Solusyon. Sa esensya, kailangan nating gumawa ng pagkakasunod-sunod ng limang numero, na alam na ang una at huling numero. Tukuyin natin ang mga nawawalang numero sa pamamagitan ng mga variable na $x$, $y$ at $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Tandaan na ang numerong $y$ ay ang “gitna” ng aming sequence - ito ay katumbas ng distansya mula sa mga numerong $x$ at $z$, at mula sa mga numerong $-\frac(1)(2)$ at $-\frac (1)( 6)$. At kung mula sa mga numerong $x$ at $z$ tayo ay nasa sa sandaling ito hindi namin makuha ang $y$, kung gayon ang sitwasyon ay iba sa mga dulo ng pag-unlad. Tandaan natin ang ibig sabihin ng arithmetic:

Ngayon, alam ang $y$, makikita natin ang natitirang mga numero. Tandaan na ang $x$ ay nasa pagitan ng mga numerong $-\frac(1)(2)$ at ang $y=-\frac(1)(3)$ na kakahanap lang namin. kaya lang

Gamit ang katulad na pangangatwiran, nakita namin ang natitirang numero:

handa na! Natagpuan namin ang lahat ng tatlong numero. Isulat natin ang mga ito sa sagot sa pagkakasunud-sunod kung saan dapat silang maipasok sa pagitan ng mga orihinal na numero.

Sagot: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Gawain Blg. 10. Sa pagitan ng mga numero 2 at 42, magpasok ng ilang mga numero na, kasama ng mga numerong ito, ay bumubuo ng isang pag-unlad ng aritmetika, kung alam mo na ang kabuuan ng una, pangalawa at huli ng mga ipinasok na numero ay 56.

Solusyon. Ang isang mas kumplikadong problema, na, gayunpaman, ay nalutas ayon sa parehong pamamaraan tulad ng mga nauna - sa pamamagitan ng arithmetic mean. Ang problema ay hindi namin alam kung gaano karaming mga numero ang kailangang ipasok. Samakatuwid, ipagpalagay natin para sa katiyakan na pagkatapos ipasok ang lahat ay magkakaroon ng eksaktong $n$ na mga numero, at ang una sa mga ito ay 2, at ang huli ay 42. Sa kasong ito, ang kinakailangang pag-unlad ng aritmetika ay maaaring katawanin sa anyo:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \kanan\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Tandaan, gayunpaman, na ang mga numerong $((a)_(2))$ at $((a)_(n-1))$ ay nakuha mula sa mga numero 2 at 42 sa mga gilid sa pamamagitan ng isang hakbang patungo sa isa't isa, ibig sabihin.. sa gitna ng pagkakasunod-sunod. At ito ay nangangahulugan na

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Ngunit ang expression na nakasulat sa itaas ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]

Alam ang $((a)_(3))$ at $((a)_(1))$, madali nating mahahanap ang pagkakaiba ng progression:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\kaliwa(3-1 \kanan)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rightarrow d=5. \\ \end(align)\]

Ang natitira na lang ay hanapin ang mga natitirang termino:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]

Kaya, nasa ika-9 na hakbang na tayo ay darating sa kaliwang dulo ng pagkakasunud-sunod - ang bilang na 42. Sa kabuuan, 7 numero lamang ang kailangang ipasok: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Sagot: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Mga problema sa salita sa mga pag-unlad

Sa konklusyon, nais kong isaalang-alang ang isang pares ng medyo mga simpleng gawain. Well, kasing simple niyan: para sa karamihan ng mga mag-aaral na nag-aaral ng matematika sa paaralan at hindi pa nababasa ang nakasulat sa itaas, ang mga problemang ito ay maaaring mukhang mahirap. Gayunpaman, ito ang mga uri ng mga problema na lumilitaw sa OGE at Unified State Exam sa matematika, kaya inirerekomenda ko na maging pamilyar ka sa kanila.

Gawain Blg. 11. Ang koponan ay gumawa ng 62 bahagi noong Enero, at sa bawat kasunod na buwan ay gumawa sila ng 14 na mas maraming bahagi kaysa sa nakaraang buwan. Ilang bahagi ang ginawa ng pangkat noong Nobyembre?

Solusyon. Malinaw, ang bilang ng mga bahagi na nakalista ayon sa buwan ay kumakatawan sa isang pagtaas ng pag-unlad ng aritmetika. Bukod dito:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Ang Nobyembre ay ang ika-11 buwan ng taon, kaya kailangan nating hanapin ang $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Samakatuwid, 202 bahagi ang gagawin sa Nobyembre.

Gawain Blg. 12. Ang bookbinding workshop ay nag-bound ng 216 na aklat noong Enero, at sa bawat susunod na buwan ay nag-bound ito ng 4 pang aklat kaysa sa nakaraang buwan. Ilang mga libro ang bind ng workshop noong Disyembre?

Solusyon. Lahat pare-pareho:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Ang Disyembre ay ang huling, ika-12 buwan ng taon, kaya hinahanap namin ang $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Ito ang sagot - 260 na libro ang ibubulid sa Disyembre.

Buweno, kung nabasa mo na ito, nagmamadali akong batiin ka: matagumpay mong nakumpleto ang "kurso ng batang manlalaban" sa mga pag-unlad ng aritmetika. Maaari kang ligtas na magpatuloy sa susunod na aralin, kung saan pag-aaralan natin ang pormula para sa kabuuan ng pag-unlad, pati na rin ang mahalaga at lubhang kapaki-pakinabang na mga kahihinatnan mula rito.

Halimbawa, ang sequence \(2\); \(5\); \(8\); \(labing-isa\); Ang \(14\)... ay isang pag-unlad ng aritmetika, dahil ang bawat kasunod na elemento ay naiiba sa nauna nang tatlo (maaaring makuha mula sa nauna sa pamamagitan ng pagdaragdag ng tatlo):

Sa pag-unlad na ito, ang pagkakaiba \(d\) ay positibo (katumbas ng \(3\)), at samakatuwid ang bawat susunod na termino ay mas malaki kaysa sa nauna. Ang ganitong mga pag-unlad ay tinatawag dumarami.

Gayunpaman, ang \(d\) ay maaari ding negatibong numero. Halimbawa, sa arithmetic progression \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... ang progression difference \(d\) ay katumbas ng minus anim.

At sa kasong ito, ang bawat susunod na elemento ay magiging mas maliit kaysa sa nauna. Ang mga pag-unlad na ito ay tinatawag bumababa.

Arithmetic progression notation

Ang pag-unlad ay ipinahiwatig ng isang maliit na titik ng Latin.

Tinatawag ang mga numerong bumubuo ng progression mga miyembro(o mga elemento).

Ang mga ito ay tinutukoy ng parehong titik bilang isang pag-unlad ng aritmetika, ngunit may isang numerical index na katumbas ng bilang ng elemento sa pagkakasunud-sunod.

Halimbawa, ang arithmetic progression \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) ay binubuo ng mga elementong \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) at iba pa.

Sa madaling salita, para sa pag-unlad \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Paglutas ng mga problema sa pag-unlad ng aritmetika

Sa prinsipyo, ang impormasyong ipinakita sa itaas ay sapat na upang malutas ang halos anumang problema sa pag-unlad ng aritmetika (kabilang ang mga inaalok sa OGE).

Halimbawa (OGE). Ang pag-unlad ng arithmetic ay tinukoy ng mga kondisyon \(b_1=7; d=4\). Hanapin ang \(b_5\).
Solusyon:

Sagot: \(b_5=23\)

Halimbawa (OGE). Ang unang tatlong termino ng isang pag-unlad ng aritmetika ay ibinigay: \(62; 49; 36…\) Hanapin ang halaga ng unang negatibong termino ng pag-usad na ito..
Solusyon:

	Ibinigay sa amin ang mga unang elemento ng pagkakasunud-sunod at alam na ito ay isang pag-unlad ng aritmetika. Iyon ay, ang bawat elemento ay naiiba sa kapitbahay nito sa parehong numero. Alamin natin kung alin sa pamamagitan ng pagbabawas ng nauna sa susunod na elemento: \(d=49-62=-13\).
	Ngayon ay maaari nating ibalik ang ating pag-unlad sa (unang negatibo) elemento na kailangan natin.
	handa na. Maaari kang sumulat ng sagot.

Sagot: \(-3\)

Halimbawa (OGE). Dahil sa ilang magkakasunod na elemento ng isang pag-unlad ng aritmetika: \(...5; x; 10; 12.5...\) Hanapin ang halaga ng elementong itinalaga ng titik \(x\).
Solusyon:

	Upang mahanap ang \(x\), kailangan nating malaman kung gaano kalaki ang pagkakaiba ng susunod na elemento sa nauna, sa madaling salita, ang pagkakaiba ng pag-unlad. Hanapin natin ito mula sa dalawang kilalang kalapit na elemento: \(d=12.5-10=2.5\).
	At ngayon madali na nating mahahanap ang ating hinahanap: \(x=5+2.5=7.5\).
	handa na. Maaari kang sumulat ng sagot.

Sagot: \(7,5\).

Halimbawa (OGE). Ang pag-unlad ng arithmetic ay tinukoy ng mga sumusunod na kondisyon: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Hanapin ang kabuuan ng unang anim na termino ng progression na ito.
Solusyon:

Kailangan nating hanapin ang kabuuan ng unang anim na termino ng pag-unlad. Ngunit hindi natin alam ang kanilang mga kahulugan; binigyan lamang tayo ng unang elemento. Samakatuwid, una naming kalkulahin ang mga halaga nang paisa-isa, gamit ang ibinigay sa amin: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) At nang makalkula ang anim na elemento na kailangan namin, nakita namin ang kanilang kabuuan.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Nahanap na ang kinakailangang halaga.

Sagot: \(S_6=9\).

Halimbawa (OGE). Sa arithmetic progression \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Hanapin ang pagkakaiba ng pag-unlad na ito.
Solusyon:

Sagot: \(d=7\).

Mahahalagang formula para sa pag-unlad ng aritmetika

Tulad ng nakikita mo, maraming mga problema sa pag-unlad ng aritmetika ay maaaring malutas sa pamamagitan lamang ng pag-unawa sa pangunahing bagay - na ang isang pag-unlad ng aritmetika ay isang hanay ng mga numero, at ang bawat kasunod na elemento sa chain na ito ay nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng parehong numero sa nauna (ang pagkakaiba ng pag-unlad).

Gayunpaman, kung minsan may mga sitwasyon kapag ang pagpapasya sa "head-on" ay napaka-inconvenient. Halimbawa, isipin na sa pinakaunang halimbawa kailangan nating hanapin hindi ang ikalimang elemento \(b_5\), ngunit ang tatlong daan at walumpu't anim na \(b_(386)\). Dapat ba tayong magdagdag ng apat na \(385\) beses? O isipin na sa penultimate na halimbawa kailangan mong hanapin ang kabuuan ng unang pitumpu't tatlong elemento. Mapapagod ka magbilang...

Samakatuwid, sa ganitong mga kaso hindi nila nilulutas ang mga bagay na "head-on", ngunit gumagamit ng mga espesyal na formula na nagmula para sa pag-unlad ng aritmetika. At ang mga pangunahing ay ang pormula para sa ika-n na termino ng pag-unlad at ang pormula para sa kabuuan ng \(n\) mga unang termino.

Formula ng \(n\)th term: \(a_n=a_1+(n-1)d\), kung saan ang \(a_1\) ay ang unang termino ng progression;
\(n\) – numero ng kinakailangang elemento;
\(a_n\) – termino ng progression na may numerong \(n\).

Ang formula na ito ay nagbibigay-daan sa amin upang mabilis na mahanap kahit na ang tatlong-daan o ang ika-milyong elemento, alam lamang ang una at ang pagkakaiba ng pag-unlad.

Halimbawa. Ang pag-unlad ng arithmetic ay tinukoy ng mga kondisyon: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). Hanapin ang \(b_(246)\).
Solusyon:

Sagot: \(b_(246)=1850\).

Formula para sa kabuuan ng unang n termino: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), kung saan

\(a_n\) – ang huling summed term;

Halimbawa (OGE). Ang pag-unlad ng arithmetic ay tinukoy ng mga kondisyon \(a_n=3.4n-0.6\). Hanapin ang kabuuan ng unang \(25\) mga tuntunin ng pag-usad na ito.
Solusyon:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Upang kalkulahin ang kabuuan ng unang dalawampu't limang termino, kailangan nating malaman ang halaga ng una at dalawampu't limang termino. Ang aming pag-unlad ay ibinibigay ng pormula ng ika-n na termino depende sa bilang nito (para sa higit pang mga detalye, tingnan). Kalkulahin natin ang unang elemento sa pamamagitan ng pagpapalit ng isa para sa \(n\).
\(n=1;\) \(a_1=3.4·1-0.6=2.8\)		Ngayon, hanapin natin ang ikadalawampu't limang termino sa pamamagitan ng pagpapalit ng dalawampu't lima sa halip na \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4·25-0.6=84.4\)		Well, ngayon ay madali nating kalkulahin ang kinakailangang halaga.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Handa na ang sagot.

Sagot: \(S_(25)=1090\).

Para sa kabuuan ng \(n\) ng mga unang termino, maaari kang makakuha ng isa pang formula: kailangan mo lang na \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) sa halip na \(a_n\) palitan ang formula para dito \(a_n=a_1+(n-1)d\). Nakukuha namin:

Formula para sa kabuuan ng unang n termino: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), kung saan

\(S_n\) – ang kinakailangang kabuuan ng \(n\) unang elemento;
\(a_1\) – ang unang summed term;
\(d\) – pagkakaiba sa pag-unlad;
\(n\) – bilang ng mga elemento sa kabuuan.

Halimbawa. Hanapin ang kabuuan ng unang \(33\)-ex terms ng arithmetic progression: \(17\); \(15.5\); \(14\)…
Solusyon:

Sagot: \(S_(33)=-231\).

Mas kumplikadong mga problema sa pag-unlad ng aritmetika

Ngayon nasa iyo na ang lahat kinakailangang impormasyon para sa paglutas ng halos anumang problema sa pag-unlad ng aritmetika. Tapusin natin ang paksa sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang ng mga problema kung saan hindi mo lamang kailangan mag-apply ng mga formula, ngunit mag-isip din ng kaunti (sa matematika ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang ☺)

Halimbawa (OGE). Hanapin ang kabuuan ng lahat ng negatibong termino ng progression: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
Solusyon:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Ang gawain ay halos kapareho sa nauna. Nagsisimula kaming lutasin ang parehong bagay: una naming mahanap ang \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		Ngayon gusto kong palitan ang \(d\) sa pormula para sa kabuuan... at dito lumalabas ang isang maliit na nuance - hindi natin alam \(n\). Sa madaling salita, hindi namin alam kung ilang termino ang kailangang idagdag. Paano malalaman? Tayo'y mag isip. Ihihinto namin ang pagdaragdag ng mga elemento kapag naabot namin ang unang positibong elemento. Iyon ay, kailangan mong malaman ang bilang ng elementong ito. Paano? Isulat natin ang formula para sa pagkalkula ng anumang elemento ng isang pag-unlad ng arithmetic: \(a_n=a_1+(n-1)d\) para sa aming kaso.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19.3+(n-1)·0.3\)		Kailangan natin ang \(a_n\) upang maging mas malaki sa zero. Alamin natin kung anong \(n\) ito ang mangyayari.
\(-19.3+(n-1)·0.3>0\)
\((n-1)·0.3>19.3\) \(|:0.3\)		Hinahati namin ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay sa \(0.3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Inilipat namin ang minus one, hindi nakakalimutang baguhin ang mga palatandaan
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		kalkulahin natin...
\(n>65,333…\)		...at lumalabas na ang unang positibong elemento ay magkakaroon ng numerong \(66\). Alinsunod dito, ang huling negatibo ay mayroong \(n=65\). Kung sakali, tingnan natin ito.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1)·0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1)·0.3=0.2\)		Kaya kailangan nating idagdag ang unang \(65\) na mga elemento.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		Handa na ang sagot.

Sagot: \(S_(65)=-630.5\).

Halimbawa (OGE). Ang pag-unlad ng arithmetic ay tinukoy ng mga kondisyon: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Hanapin ang kabuuan mula sa \(26\)th hanggang sa \(42\) element inclusive.
Solusyon:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Sa problemang ito kailangan mo ring hanapin ang kabuuan ng mga elemento, ngunit hindi nagsisimula sa una, ngunit mula sa \(26\)th. Para sa ganoong kaso wala kaming formula. Paano magdesisyon? Madali lang - upang makuha ang kabuuan mula sa \(26\)th hanggang sa \(42\)th, kailangan mo munang hanapin ang kabuuan mula sa \(1\)th hanggang \(42\)th, at pagkatapos ay ibawas mula dito ang kabuuan mula sa una hanggang \(25\)th (tingnan ang larawan).
	Para sa aming pag-unlad \(a_1=-33\), at ang pagkakaiba \(d=4\) (pagkatapos ng lahat, idinaragdag namin ang apat sa nakaraang elemento upang mahanap ang susunod). Sa pag-alam nito, makikita natin ang kabuuan ng unang \(42\)-y elemento.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Ngayon ang kabuuan ng unang \(25\) elemento.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	At sa wakas, kinakalkula namin ang sagot.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Sagot: \(S=1683\).

Para sa pag-unlad ng aritmetika, may ilan pang mga formula na hindi namin isinasaalang-alang sa artikulong ito dahil sa kanilang mababang praktikal na pagiging kapaki-pakinabang. Gayunpaman, madali mong mahahanap ang mga ito.

Unang antas

Arithmetic progression. Detalyadong teorya may mga halimbawa (2019)

Pagkakasunod-sunod ng numero

Kaya, umupo tayo at magsimulang magsulat ng ilang mga numero. Halimbawa:
Maaari kang magsulat ng anumang mga numero, at maaaring magkaroon ng marami sa mga ito hangga't gusto mo (sa aming kaso, mayroon sila). Gaano man karaming mga numero ang ating isulat, palagi nating masasabi kung alin ang una, alin ang pangalawa, at iba pa hanggang sa huli, ibig sabihin, maaari nating bilangin ang mga ito. Ito ay isang halimbawa ng pagkakasunod-sunod ng numero:

Pagkakasunod-sunod ng numero
Halimbawa, para sa aming sequence:

Ang nakatalagang numero ay partikular sa isang numero lamang sa pagkakasunud-sunod. Sa madaling salita, walang tatlong segundong numero sa sequence. Ang pangalawang numero (tulad ng ika-numero) ay palaging pareho.
Ang numerong may numero ay tinatawag na ika-katawagan ng sequence.

Karaniwan naming tinatawag ang buong sequence sa pamamagitan ng ilang titik (halimbawa,), at ang bawat miyembro ng sequence na ito ay parehong titik na may index na katumbas ng bilang ng miyembrong ito: .

Sa kaso natin:

Sabihin nating mayroon tayong pagkakasunod-sunod ng numero kung saan ang pagkakaiba sa pagitan ng mga katabing numero ay pareho at pantay.
Halimbawa:

atbp.
Ang pagkakasunud-sunod ng numero na ito ay tinatawag na pag-unlad ng aritmetika.
Ang terminong "pag-unlad" ay ipinakilala ng Romanong may-akda na si Boethius noong ika-6 na siglo at naunawaan sa isang mas malawak na kahulugan bilang isang walang katapusang numerical sequence. Ang pangalan na "arithmetic" ay inilipat mula sa teorya ng tuluy-tuloy na proporsyon, na pinag-aralan ng mga sinaunang Griyego.

Ito ay isang pagkakasunod-sunod ng numero, ang bawat miyembro nito ay katumbas ng naunang idinagdag sa parehong numero. Ang bilang na ito ay tinatawag na pagkakaiba ng isang pag-unlad ng aritmetika at itinalaga.

Subukang tukuyin kung aling mga pagkakasunud-sunod ng numero ang isang pag-unlad ng aritmetika at alin ang hindi:

a)
b)
c)
d)

Nakuha ko? Ihambing natin ang ating mga sagot:
Ay pag-unlad ng aritmetika - b, c.
Ay hindi pag-unlad ng aritmetika - a, d.

Bumalik tayo sa ibinigay na pag-unlad () at subukang hanapin ang halaga ng ika-termino nito. Umiiral dalawa paraan upang mahanap ito.

1. Pamamaraan

Maaari naming idagdag ang numero ng pag-unlad sa nakaraang halaga hanggang sa maabot namin ang ika-tanim na termino ng pag-unlad. Mabuti na wala tayong gaanong ibuod - tatlong value lang:

Kaya, ang ika-termino ng inilarawang pag-unlad ng aritmetika ay katumbas ng.

2. Pamamaraan

Paano kung kailangan nating hanapin ang halaga ng ika-taon ng pag-unlad? Ang pagsusuma ay aabutin tayo ng higit sa isang oras, at hindi isang katotohanan na hindi tayo magkakamali kapag nagdadagdag ng mga numero.
Siyempre, ang mga mathematician ay gumawa ng isang paraan kung saan hindi kinakailangan na idagdag ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng aritmetika sa nakaraang halaga. Tingnang mabuti ang iginuhit na larawan... Tiyak na napansin mo na ang isang tiyak na pattern, katulad:

Halimbawa, tingnan natin kung ano ang halaga ng ika-katawagan ng pag-unlad ng arithmetic na ito:


Sa ibang salita:

Subukang hanapin ang halaga ng isang miyembro ng isang naibigay na pag-unlad ng aritmetika sa ganitong paraan.

Nakalkula mo ba? Ihambing ang iyong mga tala sa sagot:

Pakitandaan na nakuha mo ang eksaktong parehong numero tulad ng sa nakaraang paraan, nang sunud-sunod naming idinagdag ang mga tuntunin ng pag-unlad ng arithmetic sa nakaraang halaga.
Subukan nating "i-depersonalize" ang formula na ito- dalhin natin siya sa pangkalahatang anyo at makuha namin:

Arithmetic progression equation.

Ang mga pag-unlad ng aritmetika ay maaaring tumaas o bumababa.

Tumataas- mga pag-unlad kung saan ang bawat kasunod na halaga ng mga termino ay mas malaki kaysa sa nauna.
Halimbawa:

Pababa- mga pag-unlad kung saan ang bawat kasunod na halaga ng mga termino ay mas mababa kaysa sa nauna.
Halimbawa:

Ang hinangong formula ay ginagamit sa pagkalkula ng mga termino sa parehong pagtaas at pagbaba ng mga termino ng isang pag-unlad ng arithmetic.
Suriin natin ito sa pagsasanay.
Binigyan tayo ng arithmetic progression na binubuo ng mga sumusunod na numero: Suriin natin kung ano ang magiging th number ng arithmetic progression na ito kung gagamitin natin ang ating formula para kalkulahin ito:

Simula noon:

Kaya, kami ay kumbinsido na ang formula ay gumagana sa parehong pagpapababa at pagtaas ng pag-unlad ng aritmetika.
Subukang hanapin ang ika at ika-ika-katawagan ng pag-unlad ng aritmetika na ito sa iyong sarili.

Ihambing natin ang mga resulta:

Arithmetic progression property

Gawin natin ang problema - makukuha natin ang ari-arian ng pag-unlad ng aritmetika.
Sabihin nating binibigyan tayo ng sumusunod na kondisyon:
- pag-unlad ng aritmetika, hanapin ang halaga.
Madali, sabihin mo at simulan ang pagbibilang ayon sa formula na alam mo na:

Hayaan, ah, kung gayon:

Ganap na tama. Ito ay lumiliko na una naming mahanap, pagkatapos ay idagdag ito sa unang numero at makuha ang aming hinahanap. Kung ang pag-unlad ay kinakatawan ng maliliit na halaga, kung gayon walang kumplikado tungkol dito, ngunit paano kung bibigyan tayo ng mga numero sa kondisyon? Sumang-ayon, may posibilidad na magkamali sa mga kalkulasyon.
Ngayon isipin kung posible bang malutas ang problemang ito sa isang hakbang gamit ang anumang formula? Siyempre oo, at iyon ang susubukan naming ilabas ngayon.

Tukuyin natin ang kinakailangang termino ng pag-unlad ng aritmetika bilang, ang pormula para sa paghahanap nito ay alam natin - ito ang parehong pormula na nakuha natin sa simula:
, Pagkatapos:

• ang nakaraang termino ng pag-unlad ay:
• ang susunod na termino ng pag-unlad ay:

Ibuod natin ang nakaraan at kasunod na mga tuntunin ng pag-unlad:

Lumalabas na ang kabuuan ng nakaraan at kasunod na mga termino ng pag-unlad ay ang dobleng halaga ng termino ng pag-unlad na matatagpuan sa pagitan nila. Sa madaling salita, upang mahanap ang halaga ng isang termino ng pag-unlad na may kilalang dati at sunud-sunod na mga halaga, kailangan mong idagdag ang mga ito at hatiin ayon sa.

Ayun, pareho kami ng number. I-secure natin ang materyal. Kalkulahin ang halaga para sa pag-unlad sa iyong sarili, hindi ito mahirap.

Magaling! Alam mo halos lahat tungkol sa pag-unlad! Ito ay nananatiling alamin lamang ang isang pormula, na, ayon sa alamat, ay madaling hinihinuha ng isa sa mga pinakadakilang mathematician sa lahat ng panahon, ang "hari ng mga mathematician" - Karl Gauss...

Noong 9 na taong gulang si Carl Gauss, isang guro, na abala sa pagsuri sa gawain ng mga estudyante sa ibang mga klase, ay nagtanong ng sumusunod na problema sa klase: “Kalkulahin ang kabuuan ng lahat natural na mga numero mula sa (ayon sa iba pang mga mapagkukunan hanggang sa) kasama.” Isipin ang sorpresa ng guro nang ang isa sa kanyang mga estudyante (ito ay si Karl Gauss) makalipas ang isang minuto ay nagbigay ng tamang sagot sa gawain, habang karamihan sa mga kaklase ng pangahas, pagkatapos ng mahabang kalkulasyon, ay nakatanggap ng maling resulta...

Napansin ng batang si Carl Gauss ang isang tiyak na pattern na madali mo ring mapapansin.
Sabihin nating mayroon tayong pag-unlad ng aritmetika na binubuo ng mga -th na termino: Kailangan nating hanapin ang kabuuan ng mga terminong ito ng pag-unlad ng aritmetika. Siyempre, maaari nating manu-manong buod ang lahat ng mga halaga, ngunit paano kung ang gawain ay nangangailangan ng paghahanap ng kabuuan ng mga termino nito, tulad ng hinahanap ni Gauss?

Ilarawan natin ang pag-unlad na ibinigay sa atin. Tingnang mabuti ang mga naka-highlight na numero at subukang magsagawa ng iba't ibang mga operasyong matematika sa kanila.


Nasubukan mo na ba? Ano ang napansin mo? Tama! Ang kanilang mga kabuuan ay pantay

Ngayon sabihin sa akin, ilang mga pares ang mayroon sa kabuuan sa pag-unlad na ibinigay sa amin? Siyempre, eksaktong kalahati ng lahat ng mga numero, iyon ay.
Batay sa katotohanan na ang kabuuan ng dalawang termino ng isang pag-unlad ng aritmetika ay pantay-pantay, at magkatulad na mga pares ay pantay, nakukuha natin na kabuuang halaga ay katumbas ng:
.
Kaya, ang formula para sa kabuuan ng mga unang termino ng anumang pag-unlad ng arithmetic ay magiging:

Sa ilang mga problema hindi namin alam ang ika-katawagan, ngunit alam namin ang pagkakaiba ng pag-unlad. Subukang palitan ang formula ng ika-katawagan sa sum formula.
Ano ang nakuha mo?

Magaling! Ngayon bumalik tayo sa problemang itinanong kay Carl Gauss: kalkulahin para sa iyong sarili kung ano ang katumbas ng kabuuan ng mga numero na nagsisimula sa ika at ang kabuuan ng mga numero na nagsisimula sa ika.

Magkano ang nakuha mo?
Nalaman ni Gauss na ang kabuuan ng mga termino ay pantay, at ang kabuuan ng mga termino. Yan ba ang napagdesisyunan mo?

Sa katunayan, ang pormula para sa kabuuan ng mga termino ng isang pag-unlad ng aritmetika ay napatunayan ng sinaunang siyentipikong Griyego na si Diophantus noong ika-3 siglo, at sa buong panahong ito, ang mga matalinong tao ay ganap na gumamit ng mga katangian ng pag-unlad ng aritmetika.
Halimbawa, isipin Sinaunang Ehipto at ang pinakamalaking construction project noong panahong iyon - ang pagtatayo ng pyramid... Makikita sa larawan ang isang gilid nito.

Nasaan ang pag-unlad dito, sabi mo? Tumingin ng mabuti at maghanap ng pattern sa bilang ng mga bloke ng buhangin sa bawat hilera ng pyramid wall.


Bakit hindi isang arithmetic progression? Kalkulahin kung gaano karaming mga bloke ang kailangan upang makabuo ng isang pader kung ang mga bloke ng brick ay inilalagay sa base. Sana hindi ka magbibilang habang ginagalaw ang iyong daliri sa monitor, naaalala mo ang huling formula at lahat ng sinabi namin tungkol sa pag-unlad ng aritmetika?

SA sa kasong ito Ang pag-unlad ay ganito ang hitsura: .
Pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika.
Ang bilang ng mga termino ng isang pag-unlad ng arithmetic.
Ipalit natin ang ating data sa mga huling formula (kalkulahin ang bilang ng mga bloke sa 2 paraan).

Paraan 1.

Paraan 2.

At ngayon maaari mong kalkulahin sa monitor: ihambing ang nakuha na mga halaga sa bilang ng mga bloke na nasa aming pyramid. Nakuha ko? Magaling, pinagkadalubhasaan mo ang kabuuan ng ika-n na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic.
Siyempre, hindi ka makakagawa ng isang pyramid mula sa mga bloke sa base, ngunit mula sa? Subukang kalkulahin kung gaano karaming mga sand brick ang kailangan upang makabuo ng pader na may ganitong kondisyon.
Inayos mo ba?
Ang tamang sagot ay mga bloke:

Pagsasanay

Mga gawain:

1. Si Masha ay nasa hugis para sa tag-araw. Araw-araw dinadagdagan niya ang bilang ng mga squats. Ilang beses gagawa ng squats si Masha sa isang linggo kung nag-squats siya sa unang training session?
2. Ano ang kabuuan ng lahat ng mga kakaibang numero na nakapaloob sa.
3. Kapag nag-iimbak ng mga log, isinalansan ng mga logger ang mga ito sa paraang ang bawat isa itaas na layer naglalaman ng isang mas kaunting log kaysa sa nauna. Ilang troso ang nasa isang masonerya, kung ang pundasyon ng masonerya ay troso?

Mga sagot:

1. Tukuyin natin ang mga parameter ng pag-unlad ng aritmetika. Sa kasong ito
   (linggo = araw).

   Sagot: Sa dalawang linggo, dapat mag-squats si Masha isang beses sa isang araw.

2. Una kakaibang numero, huling numero.
   Pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika.
   Ang bilang ng mga kakaibang numero sa ay kalahati, gayunpaman, suriin natin ang katotohanang ito gamit ang pormula para sa paghahanap ng ika-apat na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic:

   Ang mga numero ay naglalaman ng mga kakaibang numero.
   Palitan natin ang magagamit na data sa formula:

   Sagot: Ang kabuuan ng lahat ng mga kakaibang numero na nakapaloob sa ay pantay.

3. Alalahanin natin ang problema tungkol sa mga pyramids. Para sa aming kaso, a , dahil ang bawat tuktok na layer ay nababawasan ng isang log, pagkatapos ay sa kabuuan mayroong isang grupo ng mga layer, iyon ay.
   I-substitute natin ang data sa formula:

   Sagot: May mga troso sa pagmamason.

Isa-isahin natin

1. - isang pagkakasunud-sunod ng numero kung saan ang pagkakaiba sa pagitan ng mga katabing numero ay pareho at pantay. Maaari itong tumaas o bumaba.
2. Paghahanap ng formula Ang ika-apat na termino ng isang pag-unlad ng aritmetika ay isinulat ng formula - , kung saan ang bilang ng mga numero sa pag-unlad.
3. Pag-aari ng mga miyembro ng isang arithmetic progression- - kung saan ang bilang ng mga numero sa pagpapatuloy.
4. Ang kabuuan ng mga tuntunin ng isang pag-unlad ng arithmetic ay matatagpuan sa dalawang paraan:
   
   , kung saan ang bilang ng mga halaga.

ARITMETIKONG PAG-UNLAD. AVERAGE LEVEL

Pagkakasunod-sunod ng numero

Umupo tayo at magsimulang magsulat ng ilang mga numero. Halimbawa:

Maaari kang magsulat ng anumang mga numero, at maaaring magkaroon ng marami sa kanila hangga't gusto mo. Ngunit lagi nating masasabi kung alin ang una, alin ang pangalawa, at iba pa, ibig sabihin, maaari nating bilangin sila. Ito ay isang halimbawa ng pagkakasunod-sunod ng numero.

Pagkakasunod-sunod ng numero ay isang hanay ng mga numero, ang bawat isa ay maaaring magtalaga ng isang natatanging numero.

Sa madaling salita, ang bawat numero ay maaaring iugnay sa isang tiyak na natural na numero, at isang kakaiba. At hindi namin itatalaga ang numerong ito sa anumang iba pang numero mula sa set na ito.

Ang bilang na may numero ay tinatawag na ika-ka miyembro ng sequence.

Karaniwan naming tinatawag ang buong sequence sa pamamagitan ng ilang titik (halimbawa,), at ang bawat miyembro ng sequence na ito ay parehong titik na may index na katumbas ng bilang ng miyembrong ito: .

Ito ay lubos na maginhawa kung ang ika-katawagan ng pagkakasunod-sunod ay maaaring tukuyin ng ilang formula. Halimbawa, ang formula

nagtatakda ng pagkakasunud-sunod:

At ang formula ay ang sumusunod na pagkakasunud-sunod:

Halimbawa, ang isang pag-unlad ng aritmetika ay isang pagkakasunud-sunod (ang unang termino dito ay pantay, at ang pagkakaiba ay). O (, pagkakaiba).

pormula ng ika-apat na termino

Tinatawag namin ang isang pormula na paulit-ulit kung saan, upang malaman ang ika-apat na termino, kailangan mong malaman ang nauna o ilang mga nauna:

Upang mahanap, halimbawa, ang ika-taon ng pag-unlad gamit ang formula na ito, kailangan nating kalkulahin ang nakaraang siyam. Halimbawa, hayaan mo. Pagkatapos:

Well, malinaw na ba ngayon kung ano ang formula?

Sa bawat linya na idinaragdag namin, na pinarami ng ilang numero. Alin? Napakasimple: ito ang bilang ng kasalukuyang miyembro na binawasan:

Mas maginhawa ngayon, tama? Sinusuri namin:

Magpasya para sa iyong sarili:

Sa isang pag-unlad ng arithmetic, hanapin ang formula para sa ika-n na termino at hanapin ang ika-100 termino.

Solusyon:

Ang unang termino ay pantay. Ano ang pagkakaiba? Narito kung ano:

(Ito ang dahilan kung bakit ito ay tinatawag na pagkakaiba dahil ito ay katumbas ng pagkakaiba ng sunud-sunod na mga termino ng pag-unlad).

Kaya, ang formula:

Kung gayon ang ika-daang termino ay katumbas ng:

Ano ang kabuuan ng lahat ng natural na numero mula hanggang?

Ayon sa alamat, ang mahusay na matematiko na si Carl Gauss, bilang isang 9 na taong gulang na batang lalaki, ay kinakalkula ang halagang ito sa loob ng ilang minuto. Napansin niya na ang kabuuan ng una at huling mga numero ay pantay, ang kabuuan ng pangalawa at penultimate ay pareho, ang kabuuan ng ikatlo at ika-3 mula sa dulo ay pareho, at iba pa. Ilan ang mga ganoong pares sa kabuuan? Tama, eksaktong kalahati ng bilang ng lahat ng mga numero, iyon ay. Kaya,

Ang pangkalahatang formula para sa kabuuan ng mga unang termino ng anumang pag-unlad ng arithmetic ay:

Halimbawa:
Hanapin ang kabuuan ng lahat dobleng digit na mga numero, maramihan.

Solusyon:

Ang unang ganoong numero ay ito. Ang bawat kasunod na numero ay nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag sa nakaraang numero. Kaya, ang mga numero na interesado kami sa pagbuo ng isang pag-unlad ng aritmetika na may unang termino at ang pagkakaiba.

Formula ng ika-taning na termino para sa pag-unlad na ito:

Ilang termino ang mayroon sa pag-unlad kung lahat sila ay kailangang dalawang-digit?

Napakadaling: .

Magiging pantay ang huling termino ng pag-unlad. Pagkatapos ang kabuuan:

Sagot: .

Ngayon magpasya para sa iyong sarili:

1. Araw-araw ang atleta ay tumatakbo ng mas maraming metro kaysa sa nakaraang araw. Ilang kabuuang kilometro ang kanyang tatakbuhin sa isang linggo kung tinakbo niya ang km m sa unang araw?
2. Ang isang siklista ay naglalakbay ng mas maraming kilometro araw-araw kaysa sa nakaraang araw. Sa unang araw ay naglakbay siya ng km. Ilang araw ang kailangan niyang maglakbay para maabot ang isang kilometro? Ilang kilometro ang lalakbayin niya sa huling araw ng kanyang paglalakbay?
3. Ang presyo ng refrigerator sa isang tindahan ay bumababa ng parehong halaga bawat taon. Tukuyin kung magkano ang presyo ng isang refrigerator na nabawasan bawat taon kung, ilagay para sa pagbebenta para sa rubles, anim na taon mamaya ito ay ibinebenta para sa rubles.

Mga sagot:

1. Ang pinakamahalagang bagay dito ay kilalanin ang pag-unlad ng aritmetika at matukoy ang mga parameter nito. Sa kasong ito, (linggo = araw). Kailangan mong tukuyin ang kabuuan ng mga unang tuntunin ng pag-unlad na ito:
   .
   Sagot:
2. Dito ibinigay: , dapat matagpuan.
   Malinaw, kailangan mong gumamit ng parehong sum formula tulad ng sa nakaraang problema:
   .
   Palitan ang mga halaga:

   Ang ugat ay halatang hindi magkasya, kaya ang sagot ay.
   Kalkulahin natin ang landas na nilakbay sa huling araw gamit ang formula ng ika-termino:
   (km).
   Sagot:

3. Ibinigay: . Hanapin: .
   Hindi ito maaaring maging mas simple:
   (kuskusin).
   Sagot:

ARITMETIKONG PAG-UNLAD. MAIKLING TUNGKOL SA MGA PANGUNAHING BAGAY

Ito ay isang pagkakasunud-sunod ng numero kung saan ang pagkakaiba sa pagitan ng mga katabing numero ay pareho at pantay.

Ang pag-unlad ng aritmetika ay maaaring tumaas () at bumababa ().

Halimbawa:

Formula para sa paghahanap ng ika-n na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic

ay nakasulat sa pamamagitan ng formula, kung saan ay ang bilang ng mga numero sa pag-unlad.

Pag-aari ng mga miyembro ng isang arithmetic progression

Binibigyang-daan ka nitong madaling makahanap ng termino ng isang progression kung kilala ang mga katabing termino nito - nasaan ang bilang ng mga numero sa progression.

Kabuuan ng mga termino ng isang pag-unlad ng arithmetic

Mayroong dalawang paraan upang mahanap ang halaga:

Nasaan ang bilang ng mga halaga.

Nasaan ang bilang ng mga halaga.

Online na calculator.
Paglutas ng isang pag-unlad ng aritmetika.
Ibinigay: a n , d, n
Hanapin: a 1

Hinahanap ng mathematical program na ito ang \(a_1\) ng isang arithmetic progression batay sa mga numerong tinukoy ng user \(a_n, d\) at \(n\).
Ang mga numerong \(a_n\) at \(d\) ay maaaring tukuyin hindi lamang bilang mga integer, kundi pati na rin bilang mga fraction. Bukod dito, isang fractional number maaaring ipasok bilang isang decimal fraction (\(2.5\)) at bilang karaniwang fraction(\(-5\frac(2)(7)\)).

Ang programa ay hindi lamang nagbibigay ng sagot sa problema, ngunit ipinapakita din ang proseso ng paghahanap ng solusyon.

Ang online na calculator na ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang para sa mga mag-aaral sa high school mga paaralang sekondarya bilang paghahanda sa mga pagsubok at mga pagsusulit, kapag sinusuri ang kaalaman bago ang Pinag-isang Pagsusulit ng Estado, para makontrol ng mga magulang ang solusyon ng maraming problema sa matematika at algebra. O baka masyadong mahal para sa iyo na kumuha ng tutor o bumili ng mga bagong aklat-aralin? O gusto mo lang bang matapos ito sa lalong madaling panahon? takdang aralin sa matematika o algebra? Sa kasong ito, maaari mo ring gamitin ang aming mga programa na may mga detalyadong solusyon.

Sa ganitong paraan maaari kang magsagawa ng iyong sariling pagsasanay at/o pagsasanay sa iyo. mga nakababatang kapatid o kapatid na babae, habang tumataas ang antas ng edukasyon sa larangan ng mga problemang nilulutas.

Kung hindi ka pamilyar sa mga patakaran para sa pagpasok ng mga numero, inirerekomenda namin na maging pamilyar ka sa mga ito.

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga numero

Ang mga numerong \(a_n\) at \(d\) ay maaaring tukuyin hindi lamang bilang mga integer, kundi pati na rin bilang mga fraction.
Ang numerong \(n\) ay maaari lamang maging isang positibong integer.

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga decimal fraction.
Buo at maliit na bahagi sa mga decimal fraction ay maaaring paghiwalayin ng alinman sa isang tuldok o isang kuwit.
Halimbawa, maaari kang pumasok mga decimal kaya 2.5 o kaya 2.5

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga ordinaryong fraction.
Isang buong numero lamang ang maaaring kumilos bilang numerator, denominator at integer na bahagi ng isang fraction.

Ang denominator ay hindi maaaring negatibo.

Kapag nagpapasok ng isang numerical fraction, ang numerator ay pinaghihiwalay mula sa denominator sa pamamagitan ng isang tanda ng dibisyon: /
Input:
Resulta: \(-\frac(2)(3)\)

Ang buong bahagi ay pinaghihiwalay mula sa fraction ng ampersand sign: &
Input:
Resulta: \(-1\frac(2)(3)\)

Maglagay ng mga numero a n , d, n

Maghanap ng 1

Natuklasan na ang ilang mga script na kinakailangan upang malutas ang problemang ito ay hindi na-load, at ang programa ay maaaring hindi gumana.
Maaaring pinagana mo ang AdBlock.
Sa kasong ito, huwag paganahin ito at i-refresh ang pahina.

Naka-disable ang JavaScript sa iyong browser.
Para lumitaw ang solusyon, kailangan mong paganahin ang JavaScript.
Narito ang mga tagubilin kung paano paganahin ang JavaScript sa iyong browser.

kasi Maraming mga tao na handang lutasin ang problema, ang iyong kahilingan ay nakapila.
Sa ilang segundo ang solusyon ay lilitaw sa ibaba.
Mangyaring maghintay sec...

kung ikaw napansin ang isang error sa solusyon, pagkatapos ay maaari mong isulat ang tungkol dito sa Form ng Feedback.
Huwag kalimutan ipahiwatig kung aling gawain magpasya ka kung ano pumasok sa mga patlang.

Ang aming mga laro, puzzle, emulator:

Isang maliit na teorya.

Pagkakasunod-sunod ng numero

SA araw-araw na pagsasanay Ang pagnunumero ng iba't ibang bagay ay kadalasang ginagamit upang ipahiwatig ang pagkakasunud-sunod ng pagkakaayos ng mga ito. Halimbawa, ang mga bahay sa bawat kalye ay binibilang. Sa library, ang mga subscription ng mambabasa ay binibilang at pagkatapos ay isinaayos sa pagkakasunud-sunod ng mga nakatalagang numero sa mga espesyal na file ng card.

Sa isang savings bank, gamit ang personal na account number ng depositor, madali mong mahahanap ang account na ito at makita kung anong deposito ang nakalagay dito. Hayaang maglaman ang account No. 1 ng deposito ng a1 rubles, ang account No. 2 ay naglalaman ng deposito ng a2 rubles, atbp. Lumalabas pagkakasunod-sunod ng numero
a 1 , a 2 , a 3 , ..., isang N
kung saan ang N ay ang bilang ng lahat ng mga account. Dito, ang bawat natural na numero n mula 1 hanggang N ay nauugnay sa isang numero a n.

Nag-aral din sa matematika infinite number sequences:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Ang numerong a 1 ay tinatawag unang termino ng pagkakasunod-sunod, numero a 2 - ikalawang termino ng pagkakasunod-sunod, numero a 3 - ikatlong termino ng pagkakasunod-sunod atbp.
Ang numero a n ay tinatawag nth (nth) miyembro ng sequence, at ang natural na bilang n ay nito numero.

Halimbawa, sa pagkakasunud-sunod ng mga parisukat ng mga natural na numero 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... at 1 = 1 ay ang unang termino ng pagkakasunod-sunod; at n = n 2 ay nth term mga pagkakasunud-sunod; a n+1 = (n + 1) 2 ay ang (n + 1)th (n plus first) term ng sequence. Kadalasan ang isang pagkakasunud-sunod ay maaaring tukuyin sa pamamagitan ng pormula ng ika-n termino nito. Halimbawa, ang formula na \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) ay tumutukoy sa sequence \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)

Arithmetic progression

Ang haba ng taon ay humigit-kumulang 365 araw. Higit pa eksaktong halaga ay katumbas ng \(365\frac(1)(4)\) araw, kaya bawat apat na taon ay may naipon na error sa isang araw.

Upang isaalang-alang ang error na ito, isang araw ay idinagdag sa bawat ikaapat na taon, at ang pinalawig na taon ay tinatawag na isang taon ng paglukso.

Halimbawa, sa ikatlong milenyo leap years ay ang mga taong 2004, 2008, 2012, 2016, ... .

Sa pagkakasunud-sunod na ito, ang bawat miyembro, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nauna, idinagdag sa parehong numero 4. Ang ganitong mga pagkakasunud-sunod ay tinatawag mga pag-unlad ng aritmetika.

Kahulugan.
Ang pagkakasunod-sunod ng numero a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... ay tinatawag pag-unlad ng aritmetika, kung para sa lahat ng natural n ang pagkakapantay-pantay
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
kung saan ang d ay ilang numero.

Mula sa formula na ito ay sumusunod na ang isang n+1 - a n = d. Ang bilang d ay tinatawag na pagkakaiba pag-unlad ng aritmetika.

Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang pag-unlad ng aritmetika mayroon tayong:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
saan
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), kung saan \(n>1 \)

Kaya, ang bawat termino ng isang pag-unlad ng aritmetika, simula sa pangalawa, ay katumbas ng arithmetic mean ng dalawang katabing termino nito. Ipinapaliwanag nito ang pangalang "aritmetika" na pag-unlad.

Tandaan na kung ang isang 1 at d ay ibinigay, kung gayon ang natitirang mga termino ng pag-unlad ng arithmetic ay maaaring kalkulahin gamit ang paulit-ulit na formula na a n+1 = a n + d. Sa ganitong paraan hindi mahirap kalkulahin ang unang ilang termino ng pag-unlad, gayunpaman, halimbawa, ang 100 ay mangangailangan na ng maraming kalkulasyon. Karaniwan, ang nth term formula ay ginagamit para dito. Sa pamamagitan ng kahulugan ng arithmetic progression
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
atbp.
sa lahat,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
kasi nth term ng isang arithmetic progression ay nakukuha mula sa unang termino sa pamamagitan ng pagdaragdag ng (n-1) beses ng numero d.
Ang formula na ito ay tinatawag na formula para sa ika-n na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic.

Kabuuan ng unang n termino ng isang pag-unlad ng aritmetika

Hanapin ang kabuuan ng lahat ng natural na numero mula 1 hanggang 100.
Isulat natin ang halagang ito sa dalawang paraan:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Idagdag natin ang mga pagkakapantay-pantay na ito ayon sa termino:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Ang kabuuan na ito ay may 100 termino
Samakatuwid, 2S = 101 * 100, kaya S = 101 * 50 = 5050.

Isaalang-alang natin ngayon ang isang di-makatwirang pag-unlad ng aritmetika
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
Hayaang S n ang kabuuan ng unang n termino ng pag-unlad na ito:
S n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
Pagkatapos ang kabuuan ng unang n termino ng isang pag-unlad ng aritmetika ay katumbas ng
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

Dahil \(a_n=a_1+(n-1)d\), pagkatapos ay pinapalitan ang a n sa formula na ito ay makakakuha tayo ng isa pang formula para sa paghahanap kabuuan ng unang n termino ng isang pag-unlad ng arithmetic:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

Mga aklat (mga aklat-aralin) Mga Abstract ng Unified State Examination at ang Unified State Examination na pagsusulit online Mga laro, puzzle Pag-plot ng mga graph ng mga function Diksyunaryo ng pagbabaybay ng wikang Russian Dictionary of youth slang Catalog of Russian schools Catalog of secondary educational institutions of Russia Catalog of Russian universities List ng mga gawain