Arithmetic progression. Detalyadong teorya may mga halimbawa (2019)

Pagkakasunod-sunod ng numero

Kaya, umupo tayo at magsimulang magsulat ng ilang mga numero. Halimbawa:
Maaari kang magsulat ng anumang mga numero, at maaaring magkaroon ng marami sa mga ito hangga't gusto mo (sa aming kaso, mayroon sila). Gaano man karaming mga numero ang ating isulat, palagi nating masasabi kung alin ang una, alin ang pangalawa, at iba pa hanggang sa huli, ibig sabihin, maaari nating bilangin ang mga ito. Ito ay isang halimbawa ng pagkakasunod-sunod ng numero:

Pagkakasunod-sunod ng numero
Halimbawa, para sa aming sequence:

Ang nakatalagang numero ay partikular sa isang numero lamang sa pagkakasunud-sunod. Sa madaling salita, walang tatlong segundong numero sa sequence. Ang pangalawang numero (tulad ng ika-numero) ay palaging pareho.
Ang numerong may numero ay tinatawag na ika-katawagan ng sequence.

Karaniwan naming tinatawag ang buong sequence sa pamamagitan ng ilang titik (halimbawa,), at ang bawat miyembro ng sequence na ito ay parehong titik na may index na katumbas ng bilang ng miyembrong ito: .

Sa kaso natin:

Sabihin nating mayroon tayong pagkakasunod-sunod ng numero kung saan ang pagkakaiba sa pagitan ng mga katabing numero ay pareho at pantay.
Halimbawa:

atbp.
Ang pagkakasunud-sunod ng numero na ito ay tinatawag na pag-unlad ng aritmetika.
Ang terminong "pag-unlad" ay ipinakilala ng Romanong may-akda na si Boethius noong ika-6 na siglo at naunawaan sa isang mas malawak na kahulugan bilang isang walang katapusang numerical sequence. Ang pangalan na "arithmetic" ay inilipat mula sa teorya ng tuluy-tuloy na proporsyon, na pinag-aralan ng mga sinaunang Griyego.

Ito ay isang pagkakasunod-sunod ng numero, ang bawat miyembro nito ay katumbas ng naunang idinagdag sa parehong numero. Ang bilang na ito ay tinatawag na pagkakaiba ng isang pag-unlad ng aritmetika at itinalaga.

Subukang tukuyin kung aling mga pagkakasunud-sunod ng numero ang isang pag-unlad ng aritmetika at alin ang hindi:

a)
b)
c)
d)

Nakuha ko? Ihambing natin ang ating mga sagot:
Ay pag-unlad ng aritmetika - b, c.
Ay hindi pag-unlad ng aritmetika - a, d.

Bumalik tayo sa ibinigay na pag-unlad () at subukang hanapin ang halaga ng ika-termino nito. Umiiral dalawa paraan upang mahanap ito.

1. Pamamaraan

Maaari naming idagdag ang numero ng pag-unlad sa nakaraang halaga hanggang sa maabot namin ang ika-tanim na termino ng pag-unlad. Mabuti na wala tayong gaanong ibuod - tatlong value lang:

Kaya, ang ika-termino ng inilarawang pag-unlad ng aritmetika ay katumbas ng.

2. Pamamaraan

Paano kung kailangan nating hanapin ang halaga ng ika-taon ng pag-unlad? Ang pagsusuma ay aabutin tayo ng higit sa isang oras, at hindi isang katotohanan na hindi tayo magkakamali kapag nagdadagdag ng mga numero.
Siyempre, ang mga mathematician ay gumawa ng isang paraan kung saan hindi kinakailangan na idagdag ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng aritmetika sa nakaraang halaga. Tingnang mabuti ang iginuhit na larawan... Tiyak na napansin mo na ang isang tiyak na pattern, katulad:

Halimbawa, tingnan natin kung ano ang halaga ng ika-katawagan ng pag-unlad ng arithmetic na ito:

Sa ibang salita:

Subukang hanapin ang halaga ng isang miyembro ng isang naibigay na pag-unlad ng aritmetika sa ganitong paraan.

Nakalkula mo ba? Ihambing ang iyong mga tala sa sagot:

Pakitandaan na nakuha mo ang eksaktong parehong numero tulad ng sa nakaraang paraan, nang sunud-sunod naming idinagdag ang mga tuntunin ng pag-unlad ng arithmetic sa nakaraang halaga.
Subukan nating "i-depersonalize" ang formula na ito- Ilagay natin ito sa pangkalahatang anyo at makuha ang:

Arithmetic progression equation.

Ang mga pag-unlad ng aritmetika ay maaaring tumaas o bumababa.

Tumataas- mga pag-unlad kung saan ang bawat kasunod na halaga ng mga termino ay mas malaki kaysa sa nauna.
Halimbawa:

Pababa- mga pag-unlad kung saan ang bawat kasunod na halaga ng mga termino ay mas mababa kaysa sa nauna.
Halimbawa:

Ang hinangong formula ay ginagamit sa pagkalkula ng mga termino sa parehong pagtaas at pagbaba ng mga termino ng isang pag-unlad ng arithmetic.
Suriin natin ito sa pagsasanay.
Binigyan tayo ng arithmetic progression na binubuo ng mga sumusunod na numero: Suriin natin kung ano ang magiging th number ng arithmetic progression na ito kung gagamitin natin ang ating formula para kalkulahin ito:

Simula noon:

Kaya, kami ay kumbinsido na ang formula ay gumagana sa parehong pagpapababa at pagtaas ng pag-unlad ng aritmetika.
Subukang hanapin ang ika at ika-ika-katawagan ng pag-unlad ng aritmetika na ito sa iyong sarili.

Ihambing natin ang mga resulta:

Arithmetic progression property

Gawin natin ang problema - makukuha natin ang ari-arian ng pag-unlad ng aritmetika.
Sabihin nating binibigyan tayo ng sumusunod na kondisyon:
- pag-unlad ng aritmetika, hanapin ang halaga.
Madali, sabihin mo at simulan ang pagbibilang ayon sa formula na alam mo na:

Hayaan, ah, kung gayon:

Ganap na tama. Ito ay lumiliko na una naming mahanap, pagkatapos ay idagdag ito sa unang numero at makuha ang aming hinahanap. Kung ang pag-unlad ay kinakatawan ng maliliit na halaga, kung gayon walang kumplikado tungkol dito, ngunit paano kung bibigyan tayo ng mga numero sa kondisyon? Sumang-ayon, may posibilidad na magkamali sa mga kalkulasyon.
Ngayon isipin kung posible bang malutas ang problemang ito sa isang hakbang gamit ang anumang formula? Siyempre oo, at iyon ang susubukan naming ilabas ngayon.

Tukuyin natin ang kinakailangang termino ng pag-unlad ng aritmetika bilang, ang pormula para sa paghahanap nito ay alam natin - ito ang parehong pormula na nakuha natin sa simula:
, Pagkatapos:

ang nakaraang termino ng pag-unlad ay:
ang susunod na termino ng pag-unlad ay:

Ibuod natin ang nakaraan at kasunod na mga tuntunin ng pag-unlad:

Lumalabas na ang kabuuan ng nakaraan at kasunod na mga termino ng pag-unlad ay ang dobleng halaga ng termino ng pag-unlad na matatagpuan sa pagitan nila. Sa madaling salita, upang mahanap ang halaga ng isang termino ng pag-unlad na may kilalang dati at sunud-sunod na mga halaga, kailangan mong idagdag ang mga ito at hatiin ayon sa.

Ayun, pareho kami ng number. I-secure natin ang materyal. Kalkulahin ang halaga para sa pag-unlad sa iyong sarili, hindi ito mahirap.

Magaling! Alam mo halos lahat tungkol sa pag-unlad! Ito ay nananatiling alamin lamang ang isang pormula, na, ayon sa alamat, ay madaling hinihinuha ng isa sa mga pinakadakilang mathematician sa lahat ng panahon, ang "hari ng mga mathematician" - Karl Gauss...

Noong 9 na taong gulang si Carl Gauss, isang guro, na abala sa pagsuri sa gawain ng mga mag-aaral sa ibang mga klase, ay nagtalaga ng sumusunod na gawain sa klase: "Kalkulahin ang kabuuan ng lahat ng natural na numero mula sa (ayon sa iba pang mga mapagkukunan hanggang) kasama." Isipin ang sorpresa ng guro nang ang isa sa kanyang mga estudyante (ito ay si Karl Gauss) makalipas ang isang minuto ay nagbigay ng tamang sagot sa gawain, habang karamihan sa mga kaklase ng pangahas, pagkatapos ng mahabang kalkulasyon, ay nakatanggap ng maling resulta...

Napansin ng batang si Carl Gauss ang isang tiyak na pattern na madali mo ring mapapansin.
Sabihin nating mayroon tayong pag-unlad ng aritmetika na binubuo ng mga -th na termino: Kailangan nating hanapin ang kabuuan ng mga terminong ito ng pag-unlad ng aritmetika. Siyempre, maaari nating manu-manong buod ang lahat ng mga halaga, ngunit paano kung ang gawain ay nangangailangan ng paghahanap ng kabuuan ng mga termino nito, tulad ng hinahanap ni Gauss?

Ilarawan natin ang pag-unlad na ibinigay sa atin. Tingnang mabuti ang mga naka-highlight na numero at subukang magsagawa ng iba't ibang mga operasyong matematika sa kanila.

Nasubukan mo na ba? Ano ang napansin mo? Tama! Ang kanilang mga kabuuan ay pantay

Ngayon sabihin sa akin, ilang mga pares ang mayroon sa kabuuan sa pag-unlad na ibinigay sa amin? Siyempre, eksaktong kalahati ng lahat ng mga numero, iyon ay.
Batay sa katotohanan na ang kabuuan ng dalawang termino ng isang pag-unlad ng aritmetika ay pantay-pantay, at magkatulad na mga pares ay pantay, nakukuha natin na kabuuang halaga ay katumbas ng:
.
Kaya, ang formula para sa kabuuan ng mga unang termino ng anumang pag-unlad ng arithmetic ay magiging:

Sa ilang mga problema hindi namin alam ang ika-katawagan, ngunit alam namin ang pagkakaiba ng pag-unlad. Subukang palitan ang formula ng ika-katawagan sa sum formula.
Ano ang nakuha mo?

Magaling! Ngayon bumalik tayo sa problemang itinanong kay Carl Gauss: kalkulahin para sa iyong sarili kung ano ang katumbas ng kabuuan ng mga numero na nagsisimula sa ika at ang kabuuan ng mga numero na nagsisimula sa ika.

Magkano ang nakuha mo?
Nalaman ni Gauss na ang kabuuan ng mga termino ay pantay, at ang kabuuan ng mga termino. Yan ba ang napagdesisyunan mo?

Sa katunayan, ang pormula para sa kabuuan ng mga termino ng isang pag-unlad ng aritmetika ay napatunayan ng sinaunang siyentipikong Griyego na si Diophantus noong ika-3 siglo, at sa buong panahong ito, ang mga matalinong tao ay ganap na gumamit ng mga katangian ng pag-unlad ng aritmetika.
Halimbawa, isipin Sinaunang Ehipto at ang pinakamalaking construction project noong panahong iyon - ang pagtatayo ng pyramid... Makikita sa larawan ang isang gilid nito.

Nasaan ang pag-unlad dito, sabi mo? Tumingin ng mabuti at maghanap ng pattern sa bilang ng mga bloke ng buhangin sa bawat hilera ng pyramid wall.

Bakit hindi isang arithmetic progression? Kalkulahin kung gaano karaming mga bloke ang kailangan upang makabuo ng isang pader kung ang mga bloke ng brick ay inilalagay sa base. Sana hindi ka magbibilang habang ginagalaw ang iyong daliri sa monitor, naaalala mo ang huling formula at lahat ng sinabi namin tungkol sa pag-unlad ng aritmetika?

SA sa kasong ito Ang pag-unlad ay ganito ang hitsura: .
Pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika.
Ang bilang ng mga termino ng isang pag-unlad ng arithmetic.
Ipalit natin ang ating data sa mga huling formula (kalkulahin ang bilang ng mga bloke sa 2 paraan).

Paraan 1.

Paraan 2.

At ngayon maaari mong kalkulahin sa monitor: ihambing ang nakuha na mga halaga sa bilang ng mga bloke na nasa aming pyramid. Nakuha ko? Magaling, pinagkadalubhasaan mo ang kabuuan ng ika-n na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic.
Siyempre, hindi ka makakagawa ng isang pyramid mula sa mga bloke sa base, ngunit mula sa? Subukang kalkulahin kung gaano karaming mga sand brick ang kailangan upang makabuo ng pader na may ganitong kondisyon.
Inayos mo ba?
Ang tamang sagot ay mga bloke:

Pagsasanay

Mga gawain:

Si Masha ay nasa hugis para sa tag-araw. Araw-araw dinadagdagan niya ang bilang ng mga squats. Ilang beses gagawa ng squats si Masha sa isang linggo kung nag-squats siya sa unang training session?
Ano ang kabuuan ng lahat ng mga kakaibang numero na nakapaloob sa.
Kapag nag-iimbak ng mga log, isinalansan ng mga logger ang mga ito sa paraang ang bawat isa itaas na layer naglalaman ng isang mas kaunting log kaysa sa nauna. Ilang troso ang nasa isang masonerya, kung ang pundasyon ng masonerya ay troso?

Mga sagot:

Tukuyin natin ang mga parameter ng pag-unlad ng aritmetika. Sa kasong ito
(linggo = araw).
Sagot: Sa dalawang linggo, dapat mag-squats si Masha isang beses sa isang araw.
Unang odd na numero, huling numero.
Pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika.
Ang bilang ng mga kakaibang numero sa ay kalahati, gayunpaman, suriin natin ang katotohanang ito gamit ang pormula para sa paghahanap ng ika-apat na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic:
Ang mga numero ay naglalaman ng mga kakaibang numero.
Palitan natin ang magagamit na data sa formula:
Sagot: Ang kabuuan ng lahat ng mga kakaibang numero na nakapaloob sa ay pantay.
Alalahanin natin ang problema tungkol sa mga pyramid. Para sa aming kaso, a , dahil ang bawat tuktok na layer ay nababawasan ng isang log, pagkatapos ay sa kabuuan mayroong isang grupo ng mga layer, iyon ay.
I-substitute natin ang data sa formula:
Sagot: May mga troso sa pagmamason.

Isa-isahin natin

- isang pagkakasunud-sunod ng numero kung saan ang pagkakaiba sa pagitan ng mga katabing numero ay pareho at pantay. Maaari itong tumaas o bumaba.
Paghahanap ng formula Ang ika-apat na termino ng isang pag-unlad ng aritmetika ay isinulat ng formula - , kung saan ang bilang ng mga numero sa pag-unlad.
Pag-aari ng mga miyembro ng isang arithmetic progression- - kung saan ang bilang ng mga numero sa pagpapatuloy.
Ang kabuuan ng mga tuntunin ng isang pag-unlad ng arithmetic ay matatagpuan sa dalawang paraan:

, kung saan ang bilang ng mga halaga.

ARITMETIKONG PAG-UNLAD. AVERAGE LEVEL

Pagkakasunod-sunod ng numero

Umupo tayo at magsimulang magsulat ng ilang mga numero. Halimbawa:

Maaari kang magsulat ng anumang mga numero, at maaaring magkaroon ng marami sa kanila hangga't gusto mo. Ngunit lagi nating masasabi kung alin ang una, alin ang pangalawa, at iba pa, ibig sabihin, maaari nating bilangin sila. Ito ay isang halimbawa ng pagkakasunod-sunod ng numero.

Pagkakasunod-sunod ng numero ay isang hanay ng mga numero, ang bawat isa ay maaaring magtalaga ng isang natatanging numero.

Sa madaling salita, ang bawat numero ay maaaring iugnay sa isang tiyak na natural na numero, at isang kakaiba. At hindi namin itatalaga ang numerong ito sa anumang iba pang numero mula sa set na ito.

Ang bilang na may numero ay tinatawag na ika-ka miyembro ng sequence.

Ito ay lubos na maginhawa kung ang ika-katawagan ng pagkakasunod-sunod ay maaaring tukuyin ng ilang formula. Halimbawa, ang formula

nagtatakda ng pagkakasunud-sunod:

At ang formula ay ang sumusunod na pagkakasunud-sunod:

Halimbawa, ang isang pag-unlad ng aritmetika ay isang pagkakasunud-sunod (ang unang termino dito ay pantay, at ang pagkakaiba ay). O (, pagkakaiba).

pormula ng ika-apat na termino

Tinatawag namin ang isang pormula na paulit-ulit kung saan, upang malaman ang ika-apat na termino, kailangan mong malaman ang nauna o ilang mga nauna:

Upang mahanap, halimbawa, ang ika-taon ng pag-unlad gamit ang formula na ito, kailangan nating kalkulahin ang nakaraang siyam. Halimbawa, hayaan mo. Pagkatapos:

Well, malinaw na ba ngayon kung ano ang formula?

Sa bawat linya na idinaragdag namin, na pinarami ng ilang numero. Alin? Napakasimple: ito ang bilang ng kasalukuyang miyembro na binawasan:

Mas maginhawa ngayon, tama? Sinusuri namin:

Magpasya para sa iyong sarili:

Sa isang pag-unlad ng arithmetic, hanapin ang formula para sa ika-n na termino at hanapin ang ika-100 termino.

Solusyon:

Ang unang termino ay pantay. Ano ang pagkakaiba? Narito kung ano:

(Ito ang dahilan kung bakit ito ay tinatawag na pagkakaiba dahil ito ay katumbas ng pagkakaiba ng sunud-sunod na mga termino ng pag-unlad).

Kaya, ang formula:

Kung gayon ang ika-daang termino ay katumbas ng:

Ano ang kabuuan ng lahat ng natural na numero mula hanggang?

Ayon sa alamat, ang mahusay na matematiko na si Carl Gauss, bilang isang 9 na taong gulang na batang lalaki, ay kinakalkula ang halagang ito sa loob ng ilang minuto. Napansin niya na ang kabuuan ng una at huling mga numero ay pantay, ang kabuuan ng pangalawa at penultimate ay pareho, ang kabuuan ng ikatlo at ika-3 mula sa dulo ay pareho, at iba pa. Ilan ang mga ganoong pares sa kabuuan? Tama, eksaktong kalahati ng bilang ng lahat ng mga numero, iyon ay. Kaya,

Ang pangkalahatang formula para sa kabuuan ng mga unang termino ng anumang pag-unlad ng arithmetic ay:

Halimbawa:
Hanapin ang kabuuan ng lahat dobleng digit na mga numero, maramihan.

Solusyon:

Ang unang ganoong numero ay ito. Ang bawat kasunod na numero ay nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag sa nakaraang numero. Kaya, ang mga numero na interesado kami sa pagbuo ng isang pag-unlad ng aritmetika na may unang termino at ang pagkakaiba.

Formula ng ika-taning na termino para sa pag-unlad na ito:

Ilang termino ang mayroon sa pag-unlad kung lahat sila ay kailangang dalawang-digit?

Napakadaling: .

Magiging pantay ang huling termino ng pag-unlad. Pagkatapos ang kabuuan:

Sagot: .

Ngayon magpasya para sa iyong sarili:

Araw-araw ang atleta ay tumatakbo ng mas maraming metro kaysa sa nakaraang araw. Ilang kabuuang kilometro ang kanyang tatakbuhin sa isang linggo kung tinakbo niya ang km m sa unang araw?
Ang isang siklista ay naglalakbay ng mas maraming kilometro araw-araw kaysa sa nakaraang araw. Sa unang araw ay naglakbay siya ng km. Ilang araw ang kailangan niyang maglakbay para maabot ang isang kilometro? Ilang kilometro ang lalakbayin niya sa huling araw ng kanyang paglalakbay?
Ang presyo ng refrigerator sa isang tindahan ay bumababa ng parehong halaga bawat taon. Tukuyin kung magkano ang presyo ng isang refrigerator na nabawasan bawat taon kung, ilagay para sa pagbebenta para sa rubles, anim na taon mamaya ito ay ibinebenta para sa rubles.

Mga sagot:

Ang pinakamahalagang bagay dito ay kilalanin ang pag-unlad ng aritmetika at matukoy ang mga parameter nito. Sa kasong ito, (linggo = araw). Kailangan mong tukuyin ang kabuuan ng mga unang tuntunin ng pag-unlad na ito:
.
Sagot:
Dito ibinigay: , dapat matagpuan.
Malinaw, kailangan mong gumamit ng parehong sum formula tulad ng sa nakaraang problema:
.
Palitan ang mga halaga:
Ang ugat ay halatang hindi magkasya, kaya ang sagot ay.
Kalkulahin natin ang landas na nilakbay sa huling araw gamit ang formula ng ika-termino:
(km).
Sagot:
Ibinigay: . Hanapin: .
Hindi ito maaaring maging mas simple:
(kuskusin).
Sagot:

ARITMETIKONG PAG-UNLAD. MAIKLING TUNGKOL SA MGA PANGUNAHING BAGAY

Ito ay isang pagkakasunud-sunod ng numero kung saan ang pagkakaiba sa pagitan ng mga katabing numero ay pareho at pantay.

Ang pag-unlad ng aritmetika ay maaaring tumaas () at bumababa ().

Halimbawa:

Formula para sa paghahanap ng ika-n na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic

ay nakasulat sa pamamagitan ng formula, kung saan ay ang bilang ng mga numero sa pag-unlad.

Pag-aari ng mga miyembro ng isang arithmetic progression

Binibigyang-daan ka nitong madaling makahanap ng termino ng isang progression kung kilala ang mga katabing termino nito - nasaan ang bilang ng mga numero sa progression.

Kabuuan ng mga termino ng isang pag-unlad ng arithmetic

Mayroong dalawang paraan upang mahanap ang halaga:

Nasaan ang bilang ng mga halaga.

Ano ang pangunahing punto mga formula?

Ang formula na ito ay nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap anuman SA NUMERO NIYA" n" .

Siyempre, kailangan mo ring malaman ang unang termino a 1 at pagkakaiba sa pag-unlad d, mabuti, kung wala ang mga parameter na ito, hindi mo maisusulat ang isang partikular na pag-unlad.

Ang pagsasaulo (o pag-cribing) ng formula na ito ay hindi sapat. Kailangan mong maunawaan ang kakanyahan nito at ilapat ang formula sa iba't ibang mga problema. At huwag ding kalimutan sa tamang sandali, oo...) Paano huwag kalimutan- Hindi ko alam. At dito paano maalala Kung kinakailangan, talagang ipapayo ko sa iyo. Para sa mga nakakumpleto ng aralin hanggang sa wakas.)

Kaya, tingnan natin ang formula para sa ika-n na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic.

Ano ang isang pormula sa pangkalahatan? By the way, tingnan mo kung hindi mo pa ito nabasa. Simple lang ang lahat doon. Ito ay nananatiling upang malaman kung ano ito nth term.

Pag-unlad sa pangkalahatang pananaw maaaring isulat bilang isang serye ng mga numero:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1- nagsasaad ng unang termino ng isang pag-unlad ng aritmetika, a 3- ikatlong miyembro, a 4- ang ikaapat, at iba pa. Kung interesado tayo sa ikalimang termino, sabihin nating nakikipagtulungan tayo isang 5, kung isang daan at dalawampu - s isang 120.

Paano natin ito matutukoy sa mga pangkalahatang termino? anuman termino ng isang arithmetic progression, na may anuman numero? Napakasimple! Ganito:

isang n

Iyon na iyon nth term ng isang arithmetic progression. Itinago ng letrang n ang lahat ng numero ng miyembro nang sabay-sabay: 1, 2, 3, 4, at iba pa.

At ano ang ibinibigay sa atin ng gayong rekord? Isipin mo na lang, sa halip na isang numero ay sumulat sila ng isang liham...

Ang entry na ito ay nagbibigay sa amin makapangyarihang kasangkapan para sa pagtatrabaho sa pag-unlad ng aritmetika. Gamit ang notasyon isang n, mabilis nating mahahanap anuman miyembro anuman pag-unlad ng aritmetika. At lutasin ang isang bungkos ng iba pang mga problema sa pag-unlad. Mas makikita mo ang iyong sarili.

Sa formula para sa ika-n na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic:

a n = a 1 + (n-1)d

a 1- ang unang termino ng isang pag-unlad ng aritmetika;

n- numero ng miyembro.

Ang formula ay nag-uugnay sa mga pangunahing parameter ng anumang pag-unlad: a n ; isang 1; d At n. Ang lahat ng mga problema sa pag-unlad ay umiikot sa mga parameter na ito.

Ang nth term formula ay maaari ding gamitin upang magsulat ng isang tiyak na pag-unlad. Halimbawa, maaaring sabihin ng problema na ang pag-unlad ay tinukoy ng kundisyon:

a n = 5 + (n-1) 2.

Ang ganitong problema ay maaaring maging isang dead end... Walang serye o pagkakaiba... Ngunit, sa paghahambing ng kondisyon sa formula, madaling maunawaan na sa pag-unlad na ito. a 1 =5, at d=2.

At maaari itong maging mas malala pa!) Kung gagawin natin ang parehong kundisyon: a n = 5 + (n-1) 2, Oo, buksan ang mga panaklong at magdala ng mga katulad nito? Kumuha kami ng bagong formula:

a n = 3 + 2n.

Ito Hindi lang pangkalahatan, ngunit para sa isang tiyak na pag-unlad. Dito nakatago ang hukay. Iniisip ng ilang tao na ang unang termino ay tatlo. Bagama't sa katotohanan ang unang termino ay lima... Mas mababa ng kaunti ay gagana tayo sa gayong binagong formula.

Sa mga problema sa pag-unlad ay may isa pang notasyon - isang n+1. Ito ay, gaya ng nahulaan mo, ang terminong "n plus first" ng progression. Ang kahulugan nito ay simple at hindi nakakapinsala.) Ito ay isang miyembro ng progression na ang bilang ay mas malaki kaysa sa numero n ng isa. Halimbawa, kung sa ilang problema ay kinukuha natin isang n ikalimang termino noon isang n+1 magiging ikaanim na miyembro. atbp.

Kadalasan ang pagtatalaga isang n+1 matatagpuan sa mga formula ng pag-ulit. Huwag matakot sa nakakatakot na salitang ito!) Ito ay isang paraan lamang ng pagpapahayag ng isang miyembro ng isang pag-unlad ng aritmetika sa pamamagitan ng nauna. Sabihin nating binibigyan tayo ng aritmetika na pag-unlad sa form na ito, gamit ang paulit-ulit na formula:

isang n+1 = isang n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Ang ikaapat - hanggang sa ikatlo, ang ikalima - hanggang sa ikaapat, at iba pa. Paano natin mabibilang kaagad, sabihin, ang ikadalawampung termino? isang 20? Ngunit walang paraan!) Hanggang sa malaman natin ang ika-19 na termino, hindi natin mabibilang ang ika-20. Heto na pangunahing pagkakaiba paulit-ulit na pormula mula sa pormula ng nth term. Ang paulit-ulit ay gumagana lamang sa pamamagitan ng dati termino, at ang formula ng ika-n na termino ay tapos na una at nagpapahintulot kaagad maghanap ng sinumang miyembro sa pamamagitan ng numero nito. Nang hindi kinakalkula ang buong serye ng mga numero sa pagkakasunud-sunod.

Sa isang pag-unlad ng aritmetika, madaling gawing regular ang isang paulit-ulit na formula. Bilangin ang isang pares ng magkakasunod na termino, kalkulahin ang pagkakaiba d, hanapin, kung kinakailangan, ang unang termino a 1, isulat ang formula sa karaniwang anyo nito, at gawin ito. Ang ganitong mga gawain ay madalas na nakatagpo sa State Academy of Sciences.

Paglalapat ng formula para sa ika-n na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic.

Una, tingnan natin direktang aplikasyon mga formula. Sa pagtatapos ng nakaraang aralin ay nagkaroon ng problema:

Isang arithmetic progression (a n) ang ibinibigay. Maghanap ng 121 kung ang isang 1 =3 at d=1/6.

Ang problemang ito ay maaaring malutas nang walang anumang mga formula, batay lamang sa kahulugan ng isang pag-unlad ng aritmetika. Magdagdag at magdagdag... Isang oras o dalawa.)

At ayon sa formula, ang solusyon ay tatagal ng mas mababa sa isang minuto. You can time it.) Let's decide.

Ang mga kundisyon ay nagbibigay ng lahat ng data para sa paggamit ng formula: a 1 =3, d=1/6. Ito ay nananatiling upang malaman kung ano ang pantay n. Walang problema! Kailangan nating maghanap isang 121. Kaya sumulat kami:

Mangyaring bigyang-pansin! Sa halip na isang index n isang tiyak na numero ang lumitaw: 121. Na medyo lohikal.) Interesado kami sa miyembro ng pag-unlad ng aritmetika bilang isang daan dalawampu't isa. Ito ay magiging atin n. Ito ang kahulugan n= 121 papalitan pa natin ang formula, sa mga bracket. Pinapalitan namin ang lahat ng mga numero sa formula at kinakalkula:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Ayan yun. Kung gaano kabilis mahahanap ng isa ang limang daan at ikasampung termino, at ang libo at pangatlo, kahit sino. Inilagay namin sa halip n ang nais na numero sa index ng titik " a" at sa mga bracket, at binibilang namin.

Hayaan mong ipaalala ko sa iyo ang punto: ang formula na ito ay nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap anuman termino ng pag-unlad ng aritmetika SA NUMERO NIYA" n" .

Solusyonan natin ang problema sa mas tusong paraan. Ating harapin ang sumusunod na problema:

Hanapin ang unang termino ng arithmetic progression (a n), kung a 17 =-2; d=-0.5.

Kung mayroon kang anumang mga paghihirap, sasabihin ko sa iyo ang unang hakbang. Isulat ang formula para sa ika-n na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic! Oo Oo. Isulat gamit ang iyong mga kamay, mismo sa iyong kuwaderno:

a n = a 1 + (n-1)d

At ngayon, tinitingnan ang mga titik ng formula, naiintindihan namin kung anong data ang mayroon kami at kung ano ang nawawala? Available d=-0.5, may panglabing pitong miyembro... Yun ba? Kung sa tingin mo iyon lang, hindi mo malulutas ang problema, oo...

May number pa kami n! Sa kondisyon isang 17 =-2 nakatago dalawang parameter. Ito ay parehong halaga ng ikalabing pitong termino (-2) at ang bilang nito (17). Yung. n=17. Ang "walang kabuluhan" na ito ay madalas na dumaan sa ulo, at kung wala ito, (nang walang "walang kabuluhan", hindi ang ulo!) ang problema ay hindi malulutas. Bagaman... at walang ulo rin.)

Ngayon ay maaari nating palitan ng katangahan ang ating data sa formula:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0.5)

oo, isang 17 alam namin na -2. Okay, palitan natin:

-2 = isang 1 + (17-1)·(-0.5)

Iyon lang talaga. Ito ay nananatiling ipahayag ang unang termino ng pag-unlad ng aritmetika mula sa formula at kalkulahin ito. Ang sagot ay: a 1 = 6.

Ang pamamaraan na ito - ang pagsusulat ng isang formula at simpleng pagpapalit ng kilalang data - ay isang malaking tulong sa mga simpleng gawain. Well, siyempre, dapat mong maipahayag ang isang variable mula sa isang formula, ngunit ano ang gagawin!? Kung wala ang kasanayang ito, maaaring hindi na pag-aralan ang matematika...

Isa pang sikat na palaisipan:

Hanapin ang pagkakaiba ng arithmetic progression (a n), kung a 1 =2; a 15 =12.

Anong gagawin natin? Magugulat ka, sinusulat namin ang formula!)

a n = a 1 + (n-1)d

Isaalang-alang natin ang alam natin: a 1 =2; a 15 =12; at (lalo kong iha-highlight!) n=15. Huwag mag-atubiling palitan ito sa formula:

12=2 + (15-1)d

Ginagawa namin ang aritmetika.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Ito ang tamang sagot.

Kaya, ang mga gawain para sa isang n, isang 1 At d nagpasya. Ang natitira na lang ay upang matutunan kung paano hanapin ang numero:

Ang bilang na 99 ay miyembro ng arithmetic progression (a n), kung saan a 1 =12; d=3. Hanapin ang numero ng miyembrong ito.

Pinapalitan namin ang mga dami na alam namin sa formula ng ika-n na termino:

a n = 12 + (n-1) 3

Sa unang sulyap, mayroong dalawang hindi kilalang dami dito: a n at n. Pero isang n- ito ay ilang miyembro ng progression na may numero n...At kilala natin itong miyembro ng progression! Ito ay 99. Hindi namin alam ang numero nito. n, Kaya ang numerong ito ang kailangan mong hanapin. Pinapalitan namin ang termino ng progression 99 sa formula:

99 = 12 + (n-1) 3

Nagpapahayag kami mula sa formula n, sa tingin namin. Nakukuha namin ang sagot: n=30.

At ngayon ay isang problema sa parehong paksa, ngunit mas malikhain):

Tukuyin kung ang numerong 117 ay miyembro ng arithmetic progression (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Isulat natin muli ang formula. Ano, walang mga parameter? Hm... Bakit tayo binibigyan ng mata?) Nakikita ba natin ang unang termino ng pag-unlad? Nakikita namin. Ito ay -3.6. Maaari mong ligtas na magsulat: a 1 = -3.6. Pagkakaiba d Masasabi mo ba mula sa serye? Madali kung alam mo kung ano ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng arithmetic:

d = -2.4 - (-3.6) = 1.2

Kaya, ginawa namin ang pinakasimpleng bagay. Ito ay nananatiling humarap sa hindi kilalang numero n at ang hindi maintindihan na numero 117. Sa nakaraang problema, hindi bababa sa ito ay kilala na ito ay ang termino ng pag-unlad na ibinigay. Ngunit dito hindi natin alam... Anong gagawin!? Well, kung ano ang gagawin, kung ano ang gagawin... I-on Mga malikhaing kasanayan!)

Kami kunwari na ang 117 ay, pagkatapos ng lahat, isang miyembro ng ating pag-unlad. Sa unknown number n. At, tulad ng sa nakaraang problema, subukan nating hanapin ang numerong ito. Yung. isinusulat namin ang formula (oo, oo!)) at palitan ang aming mga numero:

117 = -3.6 + (n-1) 1.2

Muli naming ipinapahayag mula sa formulan, binibilang namin at nakukuha namin:

Oops! Ang dami pala fractional! Isang daan at isa't kalahati. At mga fractional na numero sa mga progressions Hindi maaaring. Anong konklusyon ang maaari nating gawin? Oo! Numero 117 ay hindi miyembro ng ating pag-unlad. Ito ay nasa pagitan ng isang daan at una at isang daan at ikalawang termino. Kung ang numero ay naging natural, i.e. ay isang positibong integer, kung gayon ang numero ay magiging isang miyembro ng pag-unlad na may nakitang numero. At sa aming kaso, ang sagot sa problema ay: Hindi.

Isang gawain batay sa isang tunay na bersyon ng GIA:

Ang isang pag-unlad ng aritmetika ay ibinibigay ng kondisyon:

a n = -4 + 6.8n

Hanapin ang una at ikasampung termino ng progression.

Dito nakatakda ang pag-unlad sa isang hindi pangkaraniwang paraan. Ilang uri ng formula... Nangyayari ito.) Gayunpaman, ang formula na ito (tulad ng isinulat ko sa itaas) - gayundin ang formula para sa ika-1 na termino ng isang pag-unlad ng aritmetika! Pinapayagan din niya hanapin ang sinumang miyembro ng progression ayon sa numero nito.

Hinahanap namin ang unang miyembro. Ang nag-iisip. na ang unang termino ay minus apat ay nakamamatay na nagkakamali!) Dahil ang formula sa problema ay binago. Ang unang termino ng pag-unlad ng arithmetic dito nakatago. Okay lang, hahanapin natin ngayon.)

Tulad ng mga nakaraang problema, pinapalitan natin n=1 sa formula na ito:

a 1 = -4 + 6.8 1 = 2.8

Dito! Ang unang termino ay 2.8, hindi -4!

Hinahanap namin ang ikasampung termino sa parehong paraan:

a 10 = -4 + 6.8 10 = 64

Ayan yun.

At ngayon, para sa mga nakabasa sa mga linyang ito, ang ipinangakong bonus.)

Ipagpalagay, sa isang mahirap na sitwasyon ng labanan ng State Examination o Unified State Examination, nakalimutan mo ang kapaki-pakinabang na formula para sa ika-10 termino ng isang pag-unlad ng aritmetika. May naalala ako, pero hindi sigurado... O n doon, o n+1, o n-1... Paano maging!?

Kalmado! Ang formula na ito ay madaling makuha. Hindi masyadong mahigpit, ngunit para sa kumpiyansa at ang tamang desisyon tiyak na sapat na!) Upang makagawa ng isang konklusyon, sapat na upang matandaan ang elementarya na kahulugan ng isang pag-unlad ng aritmetika at magkaroon ng ilang minuto ng oras. Kailangan mo lang gumuhit ng larawan. Para sa kaliwanagan.

Gumuhit ng linya ng numero at markahan ang una dito. pangalawa, pangatlo, atbp. mga miyembro. At napansin namin ang pagkakaiba d sa pagitan ng mga miyembro. Ganito:

Tinitingnan namin ang larawan at iniisip: ano ang katumbas ng pangalawang termino? Pangalawa isa d:

a 2 =a 1 + 1 d

Ano ang ikatlong termino? Pangatlo termino ay katumbas ng unang termino plus dalawa d.

a 3 =a 1 + 2 d

Nakuha mo ba? It's not for nothing that I highlight some words in bold. Okay, isang hakbang pa).

Ano ang ikaapat na termino? Pang-apat termino ay katumbas ng unang termino plus tatlo d.

a 4 =a 1 + 3 d

Panahon na upang mapagtanto na ang bilang ng mga puwang, i.e. d, Laging mas mababa ng isa sa numero ng miyembrong hinahanap mo n. Ibig sabihin, sa numero n, bilang ng mga puwang kalooban n-1. Samakatuwid, ang formula ay magiging (walang mga pagkakaiba-iba!):

a n = a 1 + (n-1)d

Sa pangkalahatan, ang mga visual na larawan ay nakakatulong sa paglutas ng maraming problema sa matematika. Huwag pabayaan ang mga larawan. Ngunit kung mahirap gumuhit ng isang larawan, kung gayon... isang pormula lamang!) Bilang karagdagan, ang formula ng nth term ay nagbibigay-daan sa iyo upang ikonekta ang buong malakas na arsenal ng matematika sa solusyon - mga equation, hindi pagkakapantay-pantay, mga sistema, atbp. Hindi ka maaaring magpasok ng larawan sa equation...

Mga gawain para sa malayang solusyon.

Para magpainit:

1. Sa arithmetic progression (a n) a 2 =3; a 5 =5.1. Maghanap ng 3.

Hint: ayon sa larawan, ang problema ay maaaring malutas sa loob ng 20 segundo... Ayon sa formula, ito ay lumalabas na mas mahirap. Ngunit para sa pag-master ng formula, ito ay mas kapaki-pakinabang.) Sa Seksyon 555, ang problemang ito ay nalulutas gamit ang parehong larawan at ang formula. Pakiramdaman ang pagkakaiba!)

At hindi na ito isang warm-up.)

2. Sa arithmetic progression (a n) a 85 =19.1; a 236 =49, 3. Humanap ng 3 .

Ano, ayaw mong gumuhit ng larawan?) Siyempre! Mas maganda ayon sa formula, oo...

3. Ang pag-unlad ng arithmetic ay ibinibigay ng kondisyon:a 1 = -5.5; isang n+1 = isang n +0.5. Hanapin ang isang daan at dalawampu't limang termino ng pag-unlad na ito.

Sa gawaing ito, ang pag-unlad ay tinukoy sa isang paulit-ulit na paraan. Ngunit ang pagbibilang hanggang sa ika-isang daan at dalawampu't limang termino... Hindi lahat ay may kakayahan sa ganoong gawain.) Ngunit ang pormula ng ika-apat na termino ay nasa kapangyarihan ng lahat!

4. Dahil sa pag-unlad ng arithmetic (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Hanapin ang bilang ng pinakamaliit na positibong termino ng progression.

5. Ayon sa mga kondisyon ng gawain 4, hanapin ang kabuuan ng pinakamaliit na positibo at pinakamalaking negatibong termino ng pag-unlad.

6. Ang produkto ng ikalima at ikalabindalawang termino ng tumataas na pag-unlad ng aritmetika ay katumbas ng -2.5, at ang kabuuan ng ikatlo at ikalabing-isang termino ay katumbas ng zero. Maghanap ng 14 .

Hindi ang pinakamadaling gawain, oo...) Ang paraan ng "fingertip" ay hindi gagana dito. Kakailanganin mong magsulat ng mga formula at lutasin ang mga equation.

Mga sagot (magulo):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Nangyari? Maayos!)

Hindi ba gumagana ang lahat? Nangyayari. Sa pamamagitan ng paraan, mayroong isang banayad na punto sa huling gawain. Kakailanganin ang pangangalaga kapag binabasa ang problema. At lohika.

Ang solusyon sa lahat ng mga problemang ito ay tinalakay nang detalyado sa Seksyon 555. At ang elemento ng pantasya para sa ikaapat, at ang banayad na punto para sa ikaanim, at pangkalahatang mga diskarte para sa paglutas ng anumang mga problema na kinasasangkutan ng formula ng ika-10 termino - lahat ay inilarawan. Nirerekomenda ko.

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Matuto tayo - nang may interes!)

Maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

Ang konsepto ng isang pagkakasunud-sunod ng numero ay nagpapahiwatig na ang bawat natural na numero ay tumutugma sa ilang tunay na halaga. Ang ganitong serye ng mga numero ay maaaring alinman sa arbitrary o may ilang partikular na katangian - isang pag-unlad. Sa huling kaso, ang bawat kasunod na elemento (miyembro) ng sequence ay maaaring kalkulahin gamit ang nauna.

Ang isang pag-unlad ng aritmetika ay isang pagkakasunud-sunod ng mga numerong halaga kung saan ang mga kalapit na termino nito ay naiiba sa bawat isa sa pamamagitan ng parehong numero(lahat ng mga elemento ng serye, simula sa ika-2, ay may katulad na pag-aari). Ang bilang na ito - ang pagkakaiba sa pagitan ng nauna at kasunod na mga termino - ay pare-pareho at tinatawag na pagkakaiba sa pag-unlad.

Pagkakaiba sa pag-unlad: kahulugan

Isaalang-alang ang isang pagkakasunud-sunod na binubuo ng mga halaga ng j A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j ay kabilang sa hanay ng mga natural na numero N. Isang arithmetic Ang pag-unlad, ayon sa kahulugan nito, ay isang sequence , kung saan ang a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Ang halaga d ay ang nais na pagkakaiba ng pag-unlad na ito.

d = a(j) – a(j-1).

I-highlight:

Isang tumataas na pag-unlad, kung saan d > 0. Halimbawa: 4, 8, 12, 16, 20, ...
Pagbaba ng pag-unlad, pagkatapos d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Pag-unlad ng pagkakaiba at ang mga di-makatwirang elemento nito

Kung ang 2 arbitrary na termino ng pag-unlad ay kilala (i-th, k-th), kung gayon ang pagkakaiba para sa isang naibigay na pagkakasunod-sunod ay maaaring matukoy batay sa relasyon:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, na nangangahulugang d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Pagkakaiba ng pag-unlad at ang unang termino nito

Ang expression na ito ay makakatulong na matukoy ang isang hindi kilalang halaga lamang sa mga kaso kung saan ang bilang ng elemento ng pagkakasunud-sunod ay kilala.

Pagkakaiba ng pag-unlad at ang kabuuan nito

Ang kabuuan ng isang pag-unlad ay ang kabuuan ng mga termino nito. Upang kalkulahin ang kabuuang halaga ng unang j elemento nito, gamitin ang naaangkop na formula:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, ngunit mula noon a(j) = a(1) + d(j – 1), pagkatapos ay S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

Arithmetic at geometric progressions

Teoretikal na impormasyon

Teoretikal na impormasyon

	Arithmetic progression	Geometric na pag-unlad
Kahulugan	Arithmetic progression isang n ay isang pagkakasunud-sunod kung saan ang bawat miyembro, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nakaraang miyembro na idinagdag sa parehong numero d (d- pagkakaiba sa pag-unlad)	Geometric na pag-unlad b n ay isang pagkakasunud-sunod ng mga di-zero na numero, ang bawat termino kung saan, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nakaraang termino na pinarami ng parehong numero q (q- denominator ng pag-unlad)
Formula ng pag-ulit	Para sa anumang natural n a n + 1 = a n + d	Para sa anumang natural n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Formula ika-apat na termino	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Katangiang ari-arian
Kabuuan ng unang n termino

Mga halimbawa ng mga gawain na may mga komento

Ehersisyo 1

Sa pag-unlad ng aritmetika ( isang n) a 1 = -6, a 2

Ayon sa pormula ng ika-n term:

isang 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 d

Ayon sa kondisyon:

a 1= -6, pagkatapos isang 22= -6 + 21 d .

Ito ay kinakailangan upang mahanap ang pagkakaiba ng mga pag-unlad:

d = isang 2 – isang 1 = -8 – (-6) = -2

isang 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Sagot: isang 22 = -48.

Gawain 2

Hanapin ang ikalimang termino ng geometric progression: -3; 6;....

1st method (gamit ang n-term formula)

Ayon sa formula para sa ika-n na termino ng isang geometric na pag-unlad:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

kasi b 1 = -3,

Pangalawang paraan (gamit ang paulit-ulit na formula)

Dahil ang denominator ng progression ay -2 (q = -2), kung gayon:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Sagot: b 5 = -48.

Gawain 3

Sa pag-unlad ng aritmetika ( a n ) a 74 = 34; isang 76= 156. Hanapin ang pitumpu't limang termino ng pag-unlad na ito.

Para sa isang pag-unlad ng aritmetika, ang katangian ng katangian ay may anyo .

Samakatuwid:

I-substitute natin ang data sa formula:

Sagot: 95.

Gawain 4

Sa pag-unlad ng aritmetika ( a n ) a n= 3n - 4. Hanapin ang kabuuan ng unang labimpitong termino.

Upang mahanap ang kabuuan ng unang n termino ng isang pag-unlad ng arithmetic, dalawang formula ang ginagamit:

Alin sa mga ito ang mas maginhawang gamitin sa kasong ito?

Sa pamamagitan ng kundisyon, ang formula para sa ika-n na termino ng orihinal na pag-unlad ay kilala ( isang n) isang n= 3n - 4. Makakahanap ka agad at a 1, At isang 16 walang mahanap d. Samakatuwid, gagamitin namin ang unang formula.

Sagot: 368.

Gawain 5

Sa pag-unlad ng arithmetic( isang n) a 1 = -6; a 2= -8. Hanapin ang dalawampu't dalawang termino ng progression.

Ayon sa pormula ng ika-n term:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21d.

Sa kondisyon, kung a 1= -6, pagkatapos isang 22= -6 + 21d . Ito ay kinakailangan upang mahanap ang pagkakaiba ng mga pag-unlad:

d = isang 2 – isang 1 = -8 – (-6) = -2

isang 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Sagot: isang 22 = -48.

Gawain 6

Ilang magkakasunod na termino ng geometric progression ang nakasulat:

Hanapin ang termino ng progression na may label na x.

Kapag nag-solve, gagamitin namin ang formula para sa nth term b n = b 1 ∙ q n - 1 para sa mga geometric na pag-unlad. Ang unang termino ng pag-unlad. Upang mahanap ang denominator ng progression q, kailangan mong kunin ang alinman sa mga ibinigay na termino ng progression at hatiin sa nauna. Sa ating halimbawa, maaari nating kunin at hatiin sa pamamagitan ng. Nakukuha namin ang q = 3. Sa halip na n, pinapalitan namin ang 3 sa formula, dahil kinakailangan upang mahanap ang ikatlong termino ng isang ibinigay na geometric na pag-unlad.

Ang pagpapalit ng mga nahanap na halaga sa formula, nakukuha namin:

Sagot: .

Gawain 7

Mula sa mga pag-usad ng arithmetic na ibinigay ng formula ng ika-n na termino, piliin ang isa kung saan nasiyahan ang kundisyon isang 27 > 9:

Dahil ang ibinigay na kondisyon ay dapat matugunan para sa ika-27 na termino ng pag-unlad, pinapalitan namin ang 27 sa halip na n sa bawat isa sa apat na pag-unlad. Sa ika-4 na pag-unlad ay nakukuha natin:

Sagot: 4.

Gawain 8

Sa pag-unlad ng aritmetika a 1= 3, d = -1.5. Tukuyin pinakamataas na halaga n kung saan pinanghahawakan ang hindi pagkakapantay-pantay isang n > -6.

Kung para sa bawat natural na numero n tumugma sa isang tunay na numero isang n , tapos sinasabi nila na binigay pagkakasunod-sunod ng numero :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , isang n , . . . .

Kaya, ang pagkakasunud-sunod ng numero ay isang function ng natural na argumento.

Numero a 1 tinawag unang termino ng pagkakasunod-sunod , numero a 2 — ikalawang termino ng pagkakasunod-sunod , numero a 3 — pangatlo at iba pa. Numero isang n tinawag nth term mga pagkakasunod-sunod , at isang natural na numero n — number niya .

Mula sa dalawang magkatabing miyembro isang n At isang n +1 miyembro ng pagkakasunud-sunod isang n +1 tinawag kasunod (patungo isang n ), A isang n — dati (patungo isang n +1 ).

Upang tukuyin ang isang sequence, kailangan mong tukuyin ang isang paraan na nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang isang miyembro ng sequence na may anumang numero.

Kadalasan ang pagkakasunod-sunod ay tinukoy gamit nth term formula , iyon ay, isang formula na nagbibigay-daan sa iyo upang matukoy ang isang miyembro ng isang sequence sa pamamagitan ng numero nito.

Halimbawa,

pagkakasunod-sunod ng positibo kakaibang numero maaaring ibigay ng formula

isang n= 2n- 1,

at ang pagkakasunod-sunod ng alternating 1 At -1 - pormula

b n = (-1)n +1 . ◄

Maaaring matukoy ang pagkakasunud-sunod paulit-ulit na formula, ibig sabihin, isang pormula na nagpapahayag ng sinumang miyembro ng sequence, simula sa ilan, sa pamamagitan ng mga nakaraang (isa o higit pa) na miyembro.

Halimbawa,

Kung a 1 = 1 , A isang n +1 = isang n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Kung a 1= 1, a 2 = 1, isang n +2 = isang n + isang n +1 , pagkatapos ay ang unang pitong termino ng numerical sequence ay itinatag gaya ng sumusunod:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

isang 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Ang mga pagkakasunud-sunod ay maaaring pangwakas At walang katapusan .

Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag panghuli , kung ito ay may hangganan na bilang ng mga miyembro. Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag walang katapusan , kung ito ay may walang katapusang maraming miyembro.

Halimbawa,

pagkakasunud-sunod ng dalawang-digit na natural na mga numero:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

pangwakas.

Pagkakasunud-sunod ng mga pangunahing numero:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

walang katapusan. ◄

Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag dumarami , kung ang bawat isa sa mga miyembro nito, simula sa pangalawa, ay mas malaki kaysa sa nauna.

Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag bumababa , kung ang bawat miyembro nito, simula sa pangalawa, ay mas mababa kaysa sa nauna.

Halimbawa,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - pagtaas ng pagkakasunud-sunod;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — pagbaba ng pagkakasunod-sunod. ◄

Ang isang pagkakasunud-sunod na ang mga elemento ay hindi bumababa habang tumataas ang bilang, o, sa kabaligtaran, ay hindi tumataas, ay tinatawag monotonous sequence .

Ang mga monotonic na sequence, sa partikular, ay ang pagtaas ng mga sequence at ang pagbaba ng mga sequence.

Arithmetic progression

Arithmetic progression ay isang pagkakasunud-sunod kung saan ang bawat miyembro, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nauna, kung saan idinaragdag ang parehong numero.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , isang n, . . .

ay isang arithmetic progression kung para sa alinman natural na numero n natugunan ang kondisyon:

isang n +1 = isang n + d,

saan d - isang tiyak na numero.

Kaya, ang pagkakaiba sa pagitan ng kasunod at nakaraang mga termino ng isang naibigay na pag-unlad ng arithmetic ay palaging pare-pareho:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = isang n +1 - isang n = d.

Numero d tinawag pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika.

Upang tukuyin ang isang pag-unlad ng aritmetika, sapat na upang ipahiwatig ang unang termino at pagkakaiba nito.

Halimbawa,

Kung a 1 = 3, d = 4 , pagkatapos ay makikita natin ang unang limang termino ng pagkakasunud-sunod tulad ng sumusunod:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Para sa isang pag-unlad ng arithmetic na may unang termino a 1 at ang pagkakaiba d kanya n

isang n = a 1 + (n- 1)d.

Halimbawa,

hanapin ang ika-tatlumpung termino ng pag-unlad ng aritmetika

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

isang 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

isang n-1 = a 1 + (n- 2)d,

isang n= a 1 + (n- 1)d,

isang n +1 = a 1 + nd,

tapos obvious naman

isang n=	isang n-1 + isang n+1
	2

Ang bawat miyembro ng isang arithmetic progression, simula sa pangalawa, ay katumbas ng arithmetic mean ng nauna at kasunod na mga miyembro.

ang mga numerong a, b at c ay sunud-sunod na termino ng ilang pag-unlad ng arithmetic kung at kung ang isa sa mga ito ay katumbas ng arithmetic mean ng dalawa pa.

Halimbawa,

isang n = 2n- 7 , ay isang arithmetic progression.

Gamitin natin ang pahayag sa itaas. Meron kami:

isang n = 2n- 7,

isang n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

isang n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Kaya naman,

isang n+1 + isang n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = isang n,
2		2

◄

Tandaan na n Ang ika-apat na termino ng isang pag-unlad ng aritmetika ay matatagpuan hindi lamang sa pamamagitan ng a 1 , ngunit pati na rin ang anumang nakaraan isang k

isang n = isang k + (n- k)d.

Halimbawa,

Para sa a 5 maaaring isulat

isang 5 = a 1 + 4d,

isang 5 = a 2 + 3d,

isang 5 = a 3 + 2d,

isang 5 = a 4 + d. ◄

isang n = isang n-k + kd,

isang n = isang n+k - kd,

tapos obvious naman

isang n=	a n-k +a n+k
	2

sinumang miyembro ng isang arithmetic progression, simula sa pangalawa, ay katumbas ng kalahati ng kabuuan ng pantay na espasyong miyembro ng arithmetic progression na ito.

Bilang karagdagan, para sa anumang pag-unlad ng aritmetika ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay pinanghahawakan:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Halimbawa,

sa pag-unlad ng aritmetika

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = isang 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) isang 10= 28 = (19 + 37)/2 = (isang 7 + isang 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, kasi

isang 2 + isang 12= 4 + 34 = 38,

isang 5 + isang 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ isang n,

una n Ang mga termino ng isang pag-unlad ng arithmetic ay katumbas ng produkto ng kalahati ng kabuuan ng mga matinding termino at ang bilang ng mga termino:

Mula dito, sa partikular, ito ay sumusunod na kung kailangan mong isama ang mga tuntunin

isang k, isang k +1 , . . . , isang n,

pagkatapos ay pinapanatili ng nakaraang formula ang istraktura nito:

Halimbawa,

sa pag-unlad ng aritmetika 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Kung ang isang pag-unlad ng aritmetika ay ibinigay, kung gayon ang mga dami a 1 , isang n, d, n AtS n konektado ng dalawang formula:

Samakatuwid, kung kahulugan ng tatlo ng mga dami na ito ay ibinigay, pagkatapos ay ang kaukulang mga halaga ng iba pang dalawang dami ay tinutukoy mula sa mga formula na ito, pinagsama sa isang sistema ng dalawang equation na may dalawang hindi alam.

Ang pag-unlad ng aritmetika ay isang monotonic sequence. kung saan:

Kung d > 0 , pagkatapos ito ay tumataas;
Kung d < 0 , pagkatapos ito ay bumababa;
Kung d = 0 , kung gayon ang pagkakasunud-sunod ay magiging nakatigil.

Geometric na pag-unlad

Geometric na pag-unlad ay isang pagkakasunud-sunod kung saan ang bawat miyembro, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nauna na pinarami ng parehong numero.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

ay isang geometric na pag-unlad kung para sa anumang natural na numero n natugunan ang kondisyon:

b n +1 = b n · q,

saan q ≠ 0 - isang tiyak na numero.

Kaya, ang ratio ng kasunod na termino ng isang ibinigay na geometric na pag-unlad sa nauna ay isang pare-parehong numero:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Numero q tinawag denominator ng geometric progression.

Upang tukuyin ang isang geometric na pag-unlad, sapat na upang ipahiwatig ang unang termino at denominator nito.

Halimbawa,

Kung b 1 = 1, q = -3 , pagkatapos ay makikita natin ang unang limang termino ng pagkakasunud-sunod tulad ng sumusunod:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 at denominador q kanya n Ang ika-apat na termino ay matatagpuan gamit ang formula:

b n = b 1 · qn -1 .

Halimbawa,

hanapin ang ikapitong termino ng geometric progression 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

tapos obvious naman

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

bawat miyembro ng geometric progression, simula sa pangalawa, ay katumbas ng geometric mean (proporsyonal) ng nauna at kasunod na mga miyembro.

Dahil ang kabaligtaran ay totoo rin, ang sumusunod na pahayag ay nagtataglay:

ang mga numerong a, b at c ay sunud-sunod na termino ng ilang geometric progression kung at kung ang parisukat ng isa sa mga ito ay katumbas ng produkto ng iba pang dalawa, iyon ay, ang isa sa mga numero ay ang geometric na mean ng dalawa pa.

Halimbawa,

Patunayan natin na ang pagkakasunod-sunod na ibinigay ng formula b n= -3 2 n , ay isang geometric na pag-unlad. Gamitin natin ang pahayag sa itaas. Meron kami:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Kaya naman,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

na nagpapatunay sa nais na pahayag. ◄

Tandaan na n Ang ika-kataga ng isang geometric na pag-unlad ay matatagpuan hindi lamang sa pamamagitan ng b 1 , ngunit gayundin ang sinumang nakaraang miyembro b k , kung saan ito ay sapat na upang gamitin ang formula

b n = b k · qn - k.

Halimbawa,

Para sa b 5 maaaring isulat

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

tapos obvious naman

b n 2 = b n - k· b n + k

ang parisukat ng anumang termino ng isang geometric progression, simula sa pangalawa, ay katumbas ng produkto ng mga termino ng progression na ito na katumbas ng layo mula dito.

Bilang karagdagan, para sa anumang geometric na pag-unlad ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Halimbawa,

sa geometric na pag-unlad

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , kasi

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

una n mga miyembro ng isang geometric na progression na may denominator q ≠ 0 kinakalkula ng formula:

At kailan q = 1 - ayon sa formula

S n= nb 1

Tandaan na kung kailangan mong isama ang mga tuntunin

b k, b k +1 , . . . , b n,

pagkatapos ay ginamit ang formula:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - qn - k +1	.
	1 - q

Halimbawa,

sa geometric na pag-unlad 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Kung ang isang geometric na pag-unlad ay ibinigay, kung gayon ang mga dami b 1 , b n, q, n At S n konektado ng dalawang formula:

Samakatuwid, kung ang mga halaga ng alinman sa tatlo sa mga dami na ito ay ibinigay, kung gayon ang mga katumbas na halaga ng iba pang dalawang dami ay tinutukoy mula sa mga formula na ito, na pinagsama sa isang sistema ng dalawang equation na may dalawang hindi alam.

Para sa isang geometric na pag-unlad na may unang termino b 1 at denominador q magaganap ang mga sumusunod mga katangian ng monotonicity :

ang pag-unlad ay tumataas kung ang isa sa mga sumusunod na kondisyon ay natutugunan:

b 1 > 0 At q> 1;

b 1 < 0 At 0 < q< 1;

Ang pag-unlad ay bumababa kung ang isa sa mga sumusunod na kundisyon ay natutugunan:

b 1 > 0 At 0 < q< 1;

b 1 < 0 At q> 1.

Kung q< 0 , pagkatapos ay ang geometric na pag-usad ay papalit-palit: ang mga termino nito na may mga kakaibang numero ay may parehong tanda sa unang termino nito, at ang mga terminong may even na numero ay may kabaligtaran na tanda. Ito ay malinaw na ang isang alternating geometric progression ay hindi monotonic.

Produkto ng una n Ang mga tuntunin ng isang geometric na pag-unlad ay maaaring kalkulahin gamit ang formula:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Halimbawa,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad

Walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad tinatawag na walang katapusang geometric progression na ang denominator modulus ay mas mababa 1 , yan ay

|q| < 1 .

Tandaan na ang isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad ay maaaring hindi isang pababang pagkakasunod-sunod. Akma ito sa okasyon

1 < q< 0 .

Sa gayong denominator, ang pagkakasunud-sunod ay papalit-palit. Halimbawa,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Ang kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad pangalanan ang bilang kung saan lumalapit ang kabuuan ng mga una nang walang limitasyon n mga miyembro ng isang pag-unlad na may walang limitasyong pagtaas sa bilang n . Ang bilang na ito ay palaging may hangganan at ipinapahayag ng formula

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Halimbawa,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Relasyon sa pagitan ng arithmetic at geometric progressions

Ang mga aritmetika at geometric na pag-unlad ay malapit na nauugnay. Tingnan natin ang dalawang halimbawa lamang.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , Iyon

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Halimbawa,

1, 3, 5, . . . - pag-unlad ng aritmetika na may pagkakaiba 2 At

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geometric progression na may denominator 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - geometric progression na may denominator q , Iyon

mag-log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - pag-unlad ng aritmetika na may pagkakaiba log aq .

Halimbawa,

2, 12, 72, . . . - geometric progression na may denominator 6 At

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - pag-unlad ng aritmetika na may pagkakaiba lg 6 . ◄