Hayaan f(x,y) At g(x, y)- dalawang expression na may mga variable X At sa at saklaw X. Pagkatapos ay hindi pagkakapantay-pantay ng anyo f(x, y) > g(x, y) o f(x, y) < g(x, y) tinawag hindi pagkakapantay-pantay na may dalawang variable .

Kahulugan ng mga Variable x, y mula sa marami X, kung saan nagiging totoo ang hindi pagkakapantay-pantay hindi pagkakapantay-pantay ng numero, ang tawag dito desisyon at itinalaga (x, y). Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay - nangangahulugan ito ng paghahanap ng maraming ganoong pares.

Kung ang bawat pares ng mga numero (x, y) mula sa hanay ng mga solusyon hanggang sa hindi pagkakapantay-pantay, itugma ang punto M(x, y), nakukuha namin ang hanay ng mga punto sa eroplano na tinukoy ng hindi pagkakapantay-pantay na ito. Siya ay tinatawag graph ng hindi pagkakapantay-pantay na ito . Ang graph ng isang hindi pagkakapantay-pantay ay karaniwang isang lugar sa isang eroplano.

Upang ilarawan ang hanay ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay f(x, y) > g(x, y), magpatuloy bilang mga sumusunod. Una, palitan ang inequality sign ng equal sign at maghanap ng linya na may equation f(x,y) = g(x,y). Hinahati ng linyang ito ang eroplano sa ilang bahagi. Pagkatapos nito, sapat na na kumuha ng isang punto sa bawat bahagi at suriin kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan sa puntong ito f(x, y) > g(x, y). Kung ito ay naisakatuparan sa puntong ito, ito ay isasagawa sa buong bahagi kung saan ang puntong ito ay namamalagi. Ang pagsasama-sama ng mga naturang bahagi, nakakakuha kami ng maraming solusyon.

Gawain. y > x.

Solusyon. Una, pinapalitan natin ang inequality sign ng isang equal sign at bumuo ng linya sa isang rectangular coordinate system na may equation. y = x.

Hinahati ng linyang ito ang eroplano sa dalawang bahagi. Pagkatapos nito, kumuha ng isang punto sa bawat bahagi at suriin kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan sa puntong ito y > x.

Gawain. Lutasin nang grapiko ang hindi pagkakapantay-pantay
X 2 + sa 2 £25.

kanin. 18.

Solusyon. Una, palitan ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ng isang pantay na tanda at gumuhit ng isang linya X 2 + sa 2 = 25. Ito ay isang bilog na may sentro sa pinanggalingan at isang radius na 5. Ang resultang bilog ay naghahati sa eroplano sa dalawang bahagi. Sinusuri ang kasiyahan ng hindi pagkakapantay-pantay X 2 + sa 2 £ 25 sa bawat bahagi, nakita namin na ang graph ay isang set ng mga punto sa isang bilog at mga bahagi ng isang eroplano sa loob ng bilog.

Hayaang magbigay ng dalawang hindi pagkakapantay-pantay f 1(x, y) > g 1(x, y) At f 2(x, y) > g 2(x, y).

Mga sistema ng mga hanay ng mga hindi pagkakapantay-pantay na may dalawang variable

Sistema ng hindi pagkakapantay-pantay ay sarili mo pagsasama ng mga hindi pagkakapantay-pantay na ito. Solusyon ng system ay bawat kahulugan (x, y), na ginagawang tunay na hindi pagkakapantay-pantay ang bawat isa sa mga hindi pagkakapantay-pantay. Maraming solusyon mga sistema ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay ang intersection ng mga hanay ng mga solusyon sa mga hindi pagkakapantay-pantay na bumubuo sa isang ibinigay na sistema.

Set ng hindi pagkakapantay-pantay ay sarili mo disjunction ng mga ito hindi pagkakapantay-pantay Sa pamamagitan ng solusyon ng kabuuan ay bawat kahulugan (x, y), na nagko-convert ng hindi bababa sa isa sa hanay ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa isang tunay na hindi pagkakapantay-pantay ng numero. Maraming solusyon kabuuan ay isang unyon ng mga hanay ng mga solusyon sa mga hindi pagkakapantay-pantay na bumubuo ng isang set.

Gawain. Lutasin nang grapiko ang sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay

Solusyon. y = x At X 2 + sa 2 = 25. Nilulutas namin ang bawat hindi pagkakapantay-pantay ng sistema.

Ang graph ng system ay ang hanay ng mga punto sa eroplano na ang intersection (double hatching) ng mga hanay ng mga solusyon sa una at pangalawang hindi pagkakapantay-pantay.

Gawain. Lutasin nang grapiko ang isang hanay ng mga hindi pagkakapantay-pantay

Solusyon. Una, pinapalitan namin ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ng isang pantay na tanda at gumuhit ng mga linya sa isang sistema ng coordinate y = x+ 4 at X 2 + sa 2 = 16. Lutasin ang bawat hindi pagkakapantay-pantay sa populasyon. Ang graph ng populasyon ay isang set ng mga punto sa eroplano, na kung saan ay ang unyon ng mga hanay ng mga solusyon sa una at pangalawang hindi pagkakapantay-pantay.

Mga ehersisyo para sa pansariling gawain

1. Lutasin nang grapiko ang mga hindi pagkakapantay-pantay: a) sa> 2x; b) sa< 2x + 3;

V) x 2+ y 2 > 9; G) x 2+ y 2 £4.

2. Lutasin ang mga graphical na sistema ng hindi pagkakapantay-pantay:

a) b)

Mga layunin:

1. Suriin ang kaalaman tungkol sa quadratic function.

2. Kilalanin ang paraan ng paglutas ng mga quadratic inequalities batay sa mga katangian ng isang quadratic function.

Kagamitan: multimedia, pagtatanghal na "Paglutas ng mga quadratic inequalities", mga card para sa independiyenteng trabaho, talahanayan "Algorithm para sa paglutas ng mga quadratic inequalities", mga test sheet na may carbon paper.

SA PANAHON NG MGA KLASE

ako. Oras ng pag-aayos(1 min).

II. Pag-update ng kaalaman sa sanggunian(10 min).

1. Pag-plot ng graph ng quadratic function na y=x 2 -6x+8<Рисунок 1. Приложение >

• pagtukoy sa direksyon ng mga sanga ng isang parabola;
• pagtukoy ng mga coordinate ng vertex ng isang parabola;
• pagpapasiya ng axis ng simetrya;
• pagpapasiya ng mga intersection point na may coordinate axes;
• paghahanap ng karagdagang mga puntos.

2. Tukuyin mula sa pagguhit ang tanda ng koepisyent a at ang bilang ng mga ugat ng equation na ax 2 + sa + c = 0.<Рисунок 2. Приложение >

3. Gamit ang graph ng function na y=x 2 -4x+3, tukuyin:

• Ano ang mga zero ng function?
• Hanapin ang mga pagitan kung saan tinatanggap ng function mga positibong halaga;
• Hanapin ang mga agwat kung saan kumukuha ang function ng mga negatibong halaga;
• Sa anong mga halaga ng x tumataas ang function at sa anong mga halaga ito bumababa?<Рисунок 3>

4. Pag-aaral ng bagong kaalaman (12 min.)

Problema 1: Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay: x 2 +4x-5 > 0.

Ang hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan sa pamamagitan ng mga halaga ng x kung saan ang mga halaga ng function na y = x 2 + 4x-5 ay katumbas ng zero o positibo, iyon ay, ang mga halaga ng x kung saan ang mga punto ng nakahiga ang parabola sa x-axis o sa itaas ng axis na ito.

Bumuo tayo ng graph ng function na y=x 2 +4x-5.

Gamit ang oh axis: X 2 +4x-5=0. Ayon sa teorama ni Vieta: x 1 = 1, x 2 = -5. Mga Puntos(1;0),(-5;0).

Gamit ang y axis: y(0)=-5. Punto (0;-5).

Mga karagdagang puntos: y(-1)=-8, y(2)=7.<Рисунок 4>

Resulta: Ang mga value ng function ay positibo at katumbas ng zero (non-negative) sa

• Kailangan bang i-graph nang detalyado ang quadratic function sa bawat oras upang malutas ang isang hindi pagkakapantay-pantay?
• Kailangan mo bang hanapin ang mga coordinate ng vertex ng isang parabola?
• Ano ang mahalaga? (a, x 1, x 2)

Konklusyon: Upang malutas ang isang quadratic inequality, sapat na upang matukoy ang mga zero ng function, ang direksyon ng mga sanga ng parabola at gumuhit ng sketch ng graph.

Problema 2: Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay: x 2 -6x+8 < 0.

Solusyon: Tukuyin natin ang mga ugat ng equation x 2 -6x+8=0.

Ayon sa teorama ni Vieta: x 1 =2, x 2 =4.

a>0 - ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta paitaas.

Bumuo tayo ng sketch ng graph.<Рисунок 5>

Markahan natin ng "+" at "–" ang mga agwat kung saan ang function ay tumatagal sa positibo at negatibong mga halaga. Piliin natin ang pagitan na kailangan natin.

Sagot: X€.

5. Pagsasama-sama ng bagong materyal (7 min).

No. 660 (3). Nagpapasya ang mag-aaral sa pisara.

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay x 2 -3x-2<0.

X 2 -3x-2=0; x 2 +3x+2=0;

mga ugat ng equation: x 1 = -1, x 2 = -2.

A<0 – ветви вниз. <Рисунок 6>

No. 660 (1) - Paggawa gamit ang isang hidden board.

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay x 2 -3x+2 < 0.

Solusyon: x 2 -3x+2=0.

Hanapin natin ang mga ugat: ; x 1 =1, x 2 =2.

a>0 – mga sanga pataas. Bumubuo kami ng sketch ng graph ng function.<Рисунок 7>

Algorithm:

1. Hanapin ang mga ugat ng equation na ax 2 + in + c = 0.
2. Markahan ang mga ito sa coordinate plane.
3. Tukuyin ang direksyon ng mga sanga ng parabola.
4. Gumuhit ng sketch ng graph.
5. Markahan ng "+" at "-" ang mga agwat kung saan ang function ay tumatagal sa positibo at negatibong mga halaga.
6. Piliin ang kinakailangang agwat.

6. Malayang gawain (10 min.).

(Reception - carbon paper).

Ang control sheet ay nilagdaan at ibibigay sa guro para sa pagsusuri at pagtukoy ng pagwawasto.

Pagsusuri sa sarili sa pisara.

Karagdagang gawain:

No. 670. Hanapin ang mga halaga ng x kung saan ang function ay kumukuha ng mga halaga na hindi hihigit sa zero: y=x 2 +6x-9.

7. Takdang-Aralin (2 min).

№ 660 (2, 4), № 661 (2, 4).

Punan ang talahanayan:

D	Hindi pagkakapantay-pantay	a	Pagguhit	Solusyon
D>0	ah 2 +in+s > 0	a>0
D>0	ah 2 +in+s > 0	a<0
D>0	ah 2 +in+s < 0	a>0
D>0	ah 2 +in+s < 0	a<0

8. Buod ng aralin (3 min).

1. I-reproduce ang algorithm para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay.
2. Sino ang gumawa ng mahusay na trabaho?
3. Ano ang nakita mong mahirap?

Ang graphical na pamamaraan ay isa sa mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic inequalities. Sa artikulo ay magpapakita kami ng isang algorithm para sa paggamit ng graphical na paraan, at pagkatapos ay isaalang-alang ang mga espesyal na kaso gamit ang mga halimbawa.

Ang kakanyahan ng graphical na pamamaraan

Ang pamamaraan ay naaangkop sa paglutas ng anumang hindi pagkakapantay-pantay, hindi lamang sa mga parisukat. Ang kakanyahan nito ay ito: ang kanan at kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay itinuturing na dalawang magkahiwalay na function y = f (x) at y = g (x), ang kanilang mga graph ay naka-plot sa isang rectangular coordinate system at tingnan kung alin sa mga graph ang matatagpuan sa itaas ng isa, at kung aling mga pagitan. Ang mga pagitan ay tinatantya tulad ng sumusunod:

Kahulugan 1

• ang mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay f (x) > g (x) ay mga pagitan kung saan ang graph ng function na f ay mas mataas kaysa sa graph ng function na g;
• ang mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay f (x) ≥ g (x) ay mga pagitan kung saan ang graph ng function na f ay hindi mas mababa kaysa sa graph ng function na g;
• mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay f(x)< g (x) являются интервалы, где график функции f ниже графика функции g ;
• ang mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay f (x) ≤ g (x) ay mga pagitan kung saan ang graph ng function na f ay hindi mas mataas kaysa sa graph ng function na g;
• Ang mga abscissas ng mga intersection point ng mga graph ng mga function na f at g ay mga solusyon sa equation na f (x) = g (x).

Tingnan natin ang algorithm sa itaas gamit ang isang halimbawa. Upang gawin ito, kunin ang quadratic inequality a x 2 + b x + c< 0 (≤ , >, ≥) at kumuha ng dalawang function mula dito. Kaliwang bahagi ang hindi pagkakapantay-pantay ay tumutugma sa y = a · x 2 + b · x + c (sa kasong ito f (x) = a · x 2 + b · x + c), at ang tama ay y = 0 (sa kasong ito g (x) = 0) .

Ang graph ng unang function ay isang parabola, ang pangalawa ay isang tuwid na linya, na tumutugma sa x-axis O x. Suriin natin ang posisyon ng parabola na may kaugnayan sa O x axis. Upang gawin ito, gumawa tayo ng isang eskematiko na pagguhit.

Ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta paitaas. Nag-intersect ito sa O x axis sa mga punto x 1 At x 2. Coefficient a in sa kasong ito positibo, dahil siya ang may pananagutan sa direksyon ng mga sanga ng parabola. Ang discriminant ay positibo, na nagpapahiwatig na ang quadratic trinomial ay may dalawang ugat a x 2 + b x + c. Tinutukoy namin ang mga ugat ng trinomial bilang x 1 At x 2, at tinanggap iyon x 1< x 2 , dahil ang isang punto na may abscissa ay inilalarawan sa O x axis x 1 sa kaliwa ng abscissa point x 2.

Ang mga bahagi ng parabola na matatagpuan sa itaas ng O x axis ay ilalarawan sa pula, sa ibaba - sa asul. Ito ay magpapahintulot sa amin na gawing mas visual ang pagguhit.

Piliin natin ang mga puwang na tumutugma sa mga bahaging ito at markahan ang mga ito sa larawan ng mga patlang ng isang tiyak na kulay.

Minarkahan namin ng pula ang mga pagitan (− ∞, x 1) at (x 2, + ∞), sa kanila ang parabola ay nasa itaas ng O x axis. Sila ay isang · x 2 + b · x + c > 0. Minarkahan namin ng asul ang pagitan (x 1 , x 2), na siyang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay a x 2 + b x + c< 0 . Числа x 1 и x 2 будут отвечать равенству a · x 2 + b · x + c = 0 .

Gumawa tayo ng maikling buod ng solusyon. Para sa a > 0 at D = b 2 − 4 a c > 0 (o D " = D 4 > 0 para sa pantay na koepisyent b) nakukuha natin:

• ang solusyon sa quadratic inequality a x 2 + b x + c > 0 ay (− ∞ , x 1) ∪ (x 2 , + ∞) o sa ibang notasyon x< x 1 , x >x2;
• ang solusyon sa quadratic inequality a · x 2 + b · x + c ≥ 0 ay (− ∞ , x 1 ] ∪ [ x 2 , + ∞) o sa ibang anyo x ≤ x 1 , x ≥ x 2 ;
• paglutas ng quadratic inequality a x 2 + b x + c< 0 является (x 1 , x 2) или в другой записи x 1 < x < x 2 ;
• ang solusyon sa quadratic inequality a x 2 + b x + c ≤ 0 ay [ x 1 , x 2 ] o sa ibang notasyon x 1 ≤ x ≤ x 2 ,

kung saan ang x 1 at x 2 ay ang mga ugat ng quadratic trinomial a x 2 + b x + c, at x 1< x 2 .

Sa figure na ito, ang parabola ay humipo sa O x axis lamang sa isang punto, na itinalaga bilang x 0 a > 0. D=0, samakatuwid, ang quadratic trinomial ay may isang ugat x 0.

Ang parabola ay ganap na matatagpuan sa itaas ng O x axis, maliban sa punto ng tangency ng coordinate axis. Kulayan natin ang mga pagitan (− ∞ , x 0) , (x 0 , ∞) .

Isulat natin ang mga resulta. Sa a > 0 At D=0:

• paglutas ng quadratic inequality a x 2 + b x + c > 0 ay (− ∞ , x 0) ∪ (x 0 , + ∞) o sa ibang notasyon x ≠ x 0;
• paglutas ng quadratic inequality a x 2 + b x + c ≥ 0 ay (− ∞ , + ∞) o sa ibang notasyon x ∈ R;
• quadratic inequality a x 2 + b x + c< 0 ay walang mga solusyon (walang mga agwat kung saan ang parabola ay matatagpuan sa ibaba ng axis O x);
• quadratic inequality a x 2 + b x + c ≤ 0 ay may natatanging solusyon x = x 0(ito ay ibinigay sa pamamagitan ng punto ng contact),

saan x 0- ugat ng square trinomial a x 2 + b x + c.

Isaalang-alang natin ang ikatlong kaso, kapag ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta paitaas at hindi hawakan ang axis. O x. Ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta paitaas, na nangangahulugang iyon a > 0. Ang square trinomial ay walang tunay na ugat dahil D< 0 .

Walang mga pagitan sa graph kung saan ang parabola ay nasa ibaba ng x-axis. Isasaalang-alang namin ito kapag pumipili ng isang kulay para sa aming pagguhit.

Lumalabas na kapag a > 0 At D< 0 paglutas ng mga quadratic inequalities a x 2 + b x + c > 0 At a x 2 + b x + c ≥ 0 ay ang set ng lahat ng tunay na numero, at ang mga hindi pagkakapantay-pantay a x 2 + b x + c< 0 At a x 2 + b x + c ≤ 0 walang solusyon.

Mayroon kaming tatlong pagpipilian na natitira upang isaalang-alang kapag ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta pababa. Hindi na kailangang pag-isipan nang detalyado ang tatlong opsyong ito, dahil kapag pinarami natin ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay sa − 1, nakakakuha tayo ng katumbas na hindi pagkakapantay-pantay na may positibong koepisyent para sa x 2.

Ang pagsasaalang-alang sa nakaraang seksyon ng artikulo ay naghanda sa amin para sa pang-unawa ng isang algorithm para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay gamit ang isang graphical na pamamaraan. Upang magsagawa ng mga kalkulasyon, kakailanganin naming gumamit ng drawing sa bawat oras, na maglalarawan ng coordinate line O x at isang parabola na tumutugma sa quadratic function. y = a x 2 + b x + c. Sa karamihan ng mga kaso, hindi namin ilarawan ang O y axis, dahil hindi ito kailangan para sa mga kalkulasyon at mag-overload lamang sa pagguhit.

Upang makabuo ng isang parabola, kailangan nating malaman ang dalawang bagay:

Kahulugan 2

• ang direksyon ng mga sanga, na tinutukoy ng halaga ng koepisyent a;
• ang pagkakaroon ng mga punto ng intersection ng parabola at ang abscissa axis, na tinutukoy ng halaga ng discriminant ng quadratic trinomial a · x 2 + b · x + c .

Ipatukoy natin ang mga punto ng intersection at tangency sa karaniwang paraan kapag nilutas ang mga hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay at walang laman kapag nilulutas ang mga mahigpit.

Ang pagkakaroon ng nakumpletong pagguhit ay nagpapahintulot sa iyo na magpatuloy sa susunod na hakbang ng solusyon. Kabilang dito ang pagtukoy sa mga pagitan kung saan matatagpuan ang parabola sa itaas o ibaba ng O x axis. Ang mga pagitan at punto ng intersection ay ang solusyon sa quadratic inequality. Kung walang mga punto ng intersection o tangency at walang mga agwat, pagkatapos ay itinuturing na ang hindi pagkakapantay-pantay na tinukoy sa mga kondisyon ng problema ay walang mga solusyon.

Ngayon, lutasin natin ang ilang mga quadratic inequalities gamit ang algorithm sa itaas.

Halimbawa 1

Kinakailangang lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay na 2 x 2 + 5 1 3 x - 2 nang grapiko.

Solusyon

Gumuhit tayo ng graph ng quadratic function na y = 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 . Coefficient sa x 2 positibo dahil ito ay pantay 2 . Nangangahulugan ito na ang mga sanga ng parabola ay ididirekta pataas.

Kalkulahin natin ang discriminant ng quadratic trinomial 2 x 2 + 5 1 3 x - 2 upang malaman kung ang parabola ay may mga karaniwang puntos sa abscissa axis. Nakukuha namin:

D = 5 1 3 2 - 4 2 (- 2) = 400 9

Tulad ng nakikita natin, ang D ay mas malaki kaysa sa zero, samakatuwid, mayroon tayong dalawang intersection point: x 1 = - 5 1 3 - 400 9 2 2 at x 2 = - 5 1 3 + 400 9 2 2, iyon ay, x 1 = − 3 At x 2 = 1 3.

Nilulutas namin ang isang hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay, kaya naglalagay kami ng mga ordinaryong puntos sa graph. Gumuhit tayo ng parabola. Tulad ng nakikita mo, ang pagguhit ay may parehong hitsura tulad ng sa unang template na aming isinasaalang-alang.

Ang ating hindi pagkakapantay-pantay ay may palatandaan na ≤. Samakatuwid, kailangan nating i-highlight ang mga pagitan sa graph kung saan matatagpuan ang parabola sa ibaba ng O x axis at magdagdag ng mga intersection point sa kanila.

Ang pagitan na kailangan natin ay 3, 1 3. Nagdaragdag kami ng mga intersection point dito at kumuha ng numerical na segment − 3, 1 3. Ito ang solusyon sa ating problema. Ang sagot ay maaaring isulat bilang dobleng hindi pagkakapantay-pantay: − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Sagot:− 3 , 1 3 o − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Halimbawa 2

− x 2 + 16 x − 63< 0 graphical na pamamaraan.

Solusyon

Ang parisukat ng variable ay may negatibong numerical coefficient, kaya ang mga sanga ng parabola ay ididirekta pababa. Kalkulahin natin ang ikaapat na bahagi ng discriminant D " = 8 2 − (− 1) · (− 63) = 64 − 63 = 1. Sinasabi sa amin ng resultang ito na magkakaroon ng dalawang punto ng intersection.

Kalkulahin natin ang mga ugat ng quadratic trinomial: x 1 = - 8 + 1 - 1 at x 2 = - 8 - 1 - 1, x 1 = 7 at x 2 = 9.

Lumalabas na ang parabola ay nagsalubong sa x-axis sa mga punto 7 At 9 . Markahan natin ang mga puntong ito sa graph bilang walang laman, dahil nagtatrabaho tayo nang may mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay. Pagkatapos nito, gumuhit ng parabola na nag-intersect sa O x axis sa mga markadong punto.

Magiging interesado tayo sa mga pagitan kung saan matatagpuan ang parabola sa ibaba ng O x axis. Markahan natin ng asul ang mga agwat na ito.

Nakukuha natin ang sagot: ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay ang mga pagitan (− ∞, 7) , (9, + ∞) .

Sagot:(− ∞ , 7) ∪ (9 , + ∞) o sa ibang notasyon x< 7 , x > 9 .

Sa mga kaso kung saan ang discriminant ng isang quadratic trinomial ay zero, kinakailangang maingat na isaalang-alang kung isasama ang abscissa ng mga tangent point sa sagot. Para tanggapin tamang solusyon, kinakailangang isaalang-alang ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay. Sa mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay, ang punto ng tangency ng x-axis ay hindi isang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay, ngunit sa hindi mahigpit na mga ito ay.

Halimbawa 3

Lutasin ang quadratic inequality 10 x 2 − 14 x + 4, 9 ≤ 0 graphical na pamamaraan.

Solusyon

Ang mga sanga ng parabola sa kasong ito ay ididirekta pataas. Hahawakan nito ang O x axis sa punto 0, 7, dahil

I-plot natin ang function y = 10 x 2 − 14 x + 4, 9. Ang mga sanga nito ay nakadirekta paitaas, dahil ang coefficient sa x 2 positibo, at hinawakan nito ang x-axis sa x-axis point 0 , 7 , dahil D " = (− 7) 2 − 10 4, 9 = 0, mula sa kung saan x 0 = 7 10 o 0 , 7 .

Maglagay tayo ng punto at gumuhit ng parabola.

Niresolba namin ang isang hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay na may sign na ≤. Kaya naman. Magiging interesado tayo sa mga pagitan kung saan matatagpuan ang parabola sa ibaba ng x-axis at ang punto ng tangency. Walang mga pagitan sa figure na makakatugon sa aming mga kondisyon. Mayroon lamang isang punto ng contact 0, 7. Ito ang solusyon na hinahanap namin.

Sagot: Ang hindi pagkakapantay-pantay ay may isang solusyon lamang 0, 7.

Halimbawa 4

Lutasin ang quadratic inequality – x 2 + 8 x − 16< 0 .

Solusyon

Ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta pababa. Ang discriminant ay zero. Intersection point x 0 = 4.

Minarkahan namin ang punto ng tangency sa x-axis at gumuhit ng parabola.

Nakikitungo tayo sa matinding hindi pagkakapantay-pantay. Dahil dito, kami ay interesado sa mga pagitan kung saan ang parabola ay matatagpuan sa ibaba ng O x axis. Markahan natin sila ng asul.

Ang puntong may abscissa 4 ay hindi isang solusyon, dahil ang parabola dito ay hindi matatagpuan sa ibaba ng O x axis. Dahil dito, nakakakuha tayo ng dalawang pagitan (− ∞ , 4) , (4 , + ∞) .

Sagot: (− ∞, 4) ∪ (4, + ∞) o sa ibang notasyon x ≠ 4.

Hindi palaging, kung negatibo ang discriminant value, walang solusyon ang hindi pagkakapantay-pantay. May mga kaso kapag ang solusyon ay ang hanay ng lahat ng tunay na numero.

Halimbawa 5

Lutasin ang quadratic inequality 3 x 2 + 1 > 0 sa grapiko.

Solusyon

Ang koepisyent a ay positibo. Ang discriminant ay negatibo. Ang mga sanga ng parabola ay ididirekta pataas. Walang mga punto ng intersection ng parabola na may O x axis. Tingnan natin ang pagguhit.

Nagtatrabaho kami nang may mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay, na mayroong > palatandaan. Nangangahulugan ito na kami ay interesado sa mga pagitan kung saan ang parabola ay matatagpuan sa itaas ng x-axis. Ito ang eksaktong kaso kapag ang sagot ay ang hanay ng lahat ng tunay na numero.

Sagot:(− ∞, + ∞) o kaya x ∈ R.

Halimbawa 6

Ito ay kinakailangan upang makahanap ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay − 2 x 2 − 7 x − 12 ≥ 0 graphically.

Solusyon

Ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta pababa. Ang discriminant ay negatibo, samakatuwid, walang mga karaniwang punto sa pagitan ng parabola at ng x-axis. Tingnan natin ang pagguhit.

Kami ay nagtatrabaho sa isang hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay na may sign na ≥, samakatuwid, ang mga pagitan kung saan ang parabola ay matatagpuan sa itaas ng x-axis ay interesado sa amin. Sa paghusga sa graph, walang ganoong gaps. Nangangahulugan ito na ang hindi pagkakapantay-pantay na ibinigay sa mga kondisyon ng problema ay walang mga solusyon.

Sagot: Walang solusyon.

Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Ang graphical na paraan ay binubuo sa pagbuo ng isang set ng mga tinatanggap na solusyon sa PLP, at paghahanap sa set na ito ng punto na tumutugma sa max/min na layunin ng function.

Dahil sa mga kapansanan malinaw na graphical na representasyon ang pamamaraang ito nalalapat lamang sa mga sistema ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay na may dalawang hindi alam at mga sistema na maaaring bawasan sa form na ito.

Upang malinaw na maipakita ang graphical na pamamaraan, lutasin natin ang sumusunod na problema:

1. Sa unang yugto, kinakailangan na bumuo ng isang rehiyon ng mga magagawang solusyon. Para sa halimbawang ito, pinaka-maginhawang piliin ang X2 bilang abscissa, at X1 bilang ordinate, at isulat ang mga hindi pagkakapantay-pantay sa sumusunod na anyo:

Dahil ang parehong mga graph at ang lugar ng mga magagawang solusyon ay nasa unang quarter. Upang mahanap ang mga boundary point, malulutas namin ang mga equation (1)=(2), (1)=(3) at (2)=(3).

Tulad ng makikita mula sa ilustrasyon, ang polyhedron ABCDE ay bumubuo ng isang rehiyon ng mga magagawang solusyon.

Kung ang rehiyon ng mga magagawang solusyon ay hindi sarado, ang alinman sa max(f)=+ ?, o min(f)= -?.

2. Ngayon ay maaari na tayong magpatuloy sa direktang paghahanap ng maximum ng function f.

Sa pamamagitan ng halili na pagpapalit ng mga coordinate ng vertices ng polyhedron sa function na f at paghahambing ng mga halaga, makikita natin na ang f(C)=f (4; 1)=19 ay ang maximum ng function.

Ang diskarte na ito ay lubos na kapaki-pakinabang sa isang maliit na bilang ng mga vertices. Ngunit ang pamamaraang ito ay maaaring tumagal ng mahabang panahon kung mayroong masyadong maraming mga vertices.

Sa kasong ito, mas maginhawang isaalang-alang ang isang antas na linya ng anyong f=a. Sa isang monotonic na pagtaas sa bilang a mula sa -? sa +? Ang mga tuwid na linya f=a ay inililipat kasama ang normal na vector. Kung, sa gayong paggalaw ng linya ng antas, mayroong isang tiyak na punto X - ang unang karaniwang punto ng rehiyon ng mga magagawang solusyon (polyhedron ABCDE) at ang linya ng antas, kung gayon ang f(X) ay ang minimum na f sa set ABCDE. Kung ang X ay ang huling punto ng intersection ng linya ng antas at ang hanay ng ABCDE, kung gayon ang f(X) ay ang pinakamataas sa hanay ng mga magagawang solusyon. Kung para sa isang>-? ang tuwid na linya f=a ay nagsalubong sa hanay ng mga magagawang solusyon, pagkatapos ay min(f)= -?. Kung nangyari ito para sa a>+?, pagkatapos ay max(f)=+?.

Unang antas

Paglutas ng mga equation, hindi pagkakapantay-pantay, mga sistema gamit ang mga function graph. Biswal na gabay (2019)

Maraming mga gawain na nakasanayan na nating kalkulahin ang purong algebraically ay maaaring malutas nang mas madali at mas mabilis; ang paggamit ng mga function graph ay makakatulong sa amin dito. Sabi mo "paano kaya?" gumuhit ng isang bagay, at ano ang iguguhit? Maniwala ka sa akin, kung minsan ito ay mas maginhawa at mas madali. Magsimula na tayo? Magsimula tayo sa mga equation!

Graphical na solusyon ng mga equation

Graphical na solusyon ng mga linear na equation

Tulad ng alam mo na, ang graph ng isang linear equation ay isang tuwid na linya, kaya ang pangalan ng ganitong uri. Ang mga linear equation ay medyo madaling lutasin sa algebraically - inililipat namin ang lahat ng hindi alam sa isang bahagi ng equation, lahat ng alam namin sa isa pa, at voila! Natagpuan namin ang ugat. Ngayon ay ipapakita ko sa iyo kung paano ito gagawin graphically.

Kaya mayroon kang equation:

Paano ito lutasin?
Opsyon 1, at ang pinakakaraniwan ay ang paglipat ng mga hindi alam sa isang tabi at ang mga alam sa isa pa, nakukuha natin ang:

Ngayon ay bumuo tayo. Ano ang nakuha mo?

Ano sa palagay mo ang ugat ng ating equation? Tama, ang coordinate ng intersection point ng mga graph ay:

Ang sagot namin ay

Iyan ang buong karunungan ng graphic na solusyon. Bilang madali mong suriin, ang ugat ng aming equation ay isang numero!

Tulad ng sinabi ko sa itaas, ito ang pinakakaraniwang opsyon, malapit sa algebraic na solusyon, ngunit maaari mo itong lutasin sa ibang paraan. Upang isaalang-alang ang isang alternatibong solusyon, bumalik tayo sa ating equation:

Sa pagkakataong ito, hindi na kami ililipat ng anuman mula sa gilid patungo sa gilid, ngunit direktang gagawa ng mga graph, tulad ng mga ito ngayon:

Itinayo? Tingnan natin!

Ano ang solusyon sa pagkakataong ito? Tama iyan. Ang parehong bagay - ang coordinate ng intersection point ng mga graph:

At, muli, ang sagot namin ay.

Tulad ng nakikita mo, kasama linear na equation lahat ay sobrang simple. Panahon na upang tumingin sa isang bagay na mas kumplikado... Halimbawa, graphical na solusyon ng mga quadratic equation.

Graphical na solusyon ng mga quadratic equation

Kaya, ngayon simulan natin ang paglutas ng quadratic equation. Sabihin nating kailangan mong hanapin ang mga ugat ng equation na ito:

Siyempre, maaari mo na ngayong simulan ang pagbibilang sa pamamagitan ng discriminant, o ayon sa teorama ni Vieta, ngunit maraming tao, dahil sa nerbiyos, ay nagkakamali kapag nagpaparami o nag-square, lalo na kung ang halimbawa ay may malalaking numero, at, tulad ng alam mo, hindi ka magkakaroon ng calculator para sa pagsusulit... Samakatuwid, subukan nating mag-relax ng kaunti at gumuhit habang nilulutas ang equation na ito.

Makakahanap ka ng mga solusyon sa equation na ito nang grapiko iba't ibang paraan. Isaalang-alang natin iba't ibang mga pagpipilian, at maaari mong piliin kung alin ang pinakagusto mo.

Paraan 1. Direkta

Bumubuo lang kami ng parabola gamit ang equation na ito:

Upang gawin ito nang mabilis, bibigyan kita ng isang maliit na pahiwatig: Ito ay maginhawa upang simulan ang konstruksiyon sa pamamagitan ng pagtukoy sa tuktok ng parabola. Ang mga sumusunod na formula ay makakatulong na matukoy ang mga coordinate ng vertex ng isang parabola:

Sasabihin mo "Tumigil ka! Ang formula para sa ay halos kapareho sa pormula para sa paghahanap ng discriminant," oo, ito nga, at ito ay isang malaking kawalan ng "direktang" pagbuo ng isang parabola upang mahanap ang mga ugat nito. Gayunpaman, magbilang tayo hanggang sa dulo, at pagkatapos ay ipapakita ko sa iyo kung paano ito gagawin nang mas madali (mas!)!

Nagbilang ka ba? Anong mga coordinate ang nakuha mo para sa vertex ng parabola? Sabay-sabay nating alamin ito:

Eksaktong parehong sagot? Magaling! At ngayon alam na natin ang mga coordinate ng vertex, ngunit upang makabuo ng isang parabola kailangan natin ng higit... puntos. Ilang minimum na puntos sa tingin mo ang kailangan natin? Tama, .

Alam mo na ang isang parabola ay simetriko sa tuktok nito, halimbawa:

Alinsunod dito, kailangan namin ng dalawa pang punto sa kaliwa o kanang sanga parabolas, at sa hinaharap ay ipapakita natin ang simetriko na mga puntong ito sa kabilang panig:

Bumalik tayo sa ating parabola. Para sa aming kaso, panahon. Kailangan natin ng dalawa pang puntos, para makuha natin ang mga positibo, o maaari nating kunin ang mga negatibo? Aling mga punto ang mas maginhawa para sa iyo? Mas maginhawa para sa akin na magtrabaho kasama ang mga positibo, kaya kakalkulahin ko sa at.

Ngayon ay mayroon na tayong tatlong puntos, madali nating mabuo ang ating parabola sa pamamagitan ng pagpapakita ng huling dalawang puntos na nauugnay sa tuktok nito:

Ano sa tingin mo ang solusyon sa equation? Iyan ay tama, mga punto kung saan, iyon ay, at. kasi.

At kung sasabihin natin iyan, nangangahulugan ito na dapat ding pantay-pantay, o.

Basta? Natapos na namin ang paglutas ng equation sa iyo sa isang kumplikadong graphical na paraan, o magkakaroon ng higit pa!

Siyempre, maaari mong suriin ang aming sagot sa algebraically - maaari mong kalkulahin ang mga ugat gamit ang Vieta's theorem o Discriminant. Ano ang nakuha mo? Pareho? Dito mo nakikita! Ngayon tingnan natin ang isang napakasimpleng graphic na solusyon, sigurado akong magugustuhan mo ito!

Paraan 2. Nahahati sa ilang mga function

Kunin natin ang ating parehong equation: , ngunit isusulat natin ito nang medyo naiiba, ibig sabihin:

Maaari ba nating isulat ito ng ganito? Kaya natin, dahil ang pagbabago ay katumbas. Tingnan pa natin.

Bumuo tayo ng dalawang function nang hiwalay:

1. - ang graph ay isang simpleng parabola, na madali mong mabuo kahit na hindi tinukoy ang vertex gamit ang mga formula at pagguhit ng isang talahanayan upang matukoy ang iba pang mga punto.
2. - ang graph ay isang tuwid na linya, na madali mong mabuo sa pamamagitan ng pagtantya ng mga halaga sa iyong ulo nang hindi gumagamit ng calculator.

Itinayo? Ihambing natin sa nakuha ko:

Ano sa palagay mo ang mga ugat ng equation sa kasong ito? Tama! Ang mga coordinate na nakuha sa pamamagitan ng intersection ng dalawang graph at, iyon ay:

Alinsunod dito, ang solusyon sa equation na ito ay:

Anong masasabi mo? Sumang-ayon, ang paraan ng solusyon na ito ay mas madali kaysa sa nauna at mas madali kaysa sa paghahanap ng mga ugat sa pamamagitan ng isang discriminant! Kung gayon, subukang lutasin ang sumusunod na equation gamit ang paraang ito:

Ano ang nakuha mo? Ihambing natin ang ating mga graph:

Ipinapakita ng mga graph na ang mga sagot ay:

Inayos mo ba? Magaling! Ngayon tingnan natin ang mga equation na medyo mas kumplikado, ibig sabihin, ang solusyon ng mga mixed equation, iyon ay, mga equation na naglalaman ng mga function ng iba't ibang uri.

Graphical na solusyon ng halo-halong mga equation

Ngayon subukan nating lutasin ang sumusunod:

Siyempre, maaari mong dalhin ang lahat sa isang karaniwang denominator, hanapin ang mga ugat ng nagresultang equation, nang hindi nalilimutang isaalang-alang ang ODZ, ngunit muli, susubukan naming lutasin ito nang graphical, tulad ng ginawa namin sa lahat ng nakaraang mga kaso.

Sa pagkakataong ito, buuin natin ang sumusunod na 2 graph:

1. - ang graph ay isang hyperbola
2. - ang graph ay isang tuwid na linya, na madali mong mabuo sa pamamagitan ng pagtantya ng mga halaga sa iyong ulo nang hindi gumagamit ng calculator.

Napagtanto ito? Ngayon simulan ang pagbuo.

Narito ang nakuha ko:

Sa pagtingin sa larawang ito, sabihin sa akin kung ano ang mga ugat ng ating equation?

Tama iyon, at. Narito ang kumpirmasyon:

Subukang isaksak ang aming mga ugat sa equation. Nangyari?

Tama iyan! Sumang-ayon, ang paglutas ng mga naturang equation sa graphical na paraan ay isang kasiyahan!

Subukang lutasin ang equation nang graphical sa iyong sarili:

Bibigyan kita ng pahiwatig: ilipat ang bahagi ng equation sa kanang bahagi, upang sa magkabilang panig mayroong mga pinakasimpleng function na gagawin. Nakuha mo ba ang pahiwatig? Gumawa ng aksyon!

Ngayon tingnan natin kung ano ang nakuha mo:

Ayon sa pagkakabanggit:

1. - kubiko parabola.
2. - ordinaryong tuwid na linya.

Buweno, buuin natin:

Gaya ng isinulat mo noon pa man, ang ugat ng equation na ito ay - .

Napagpasyahan na ito malaking bilang ng mga halimbawa, sigurado akong napagtanto mo kung gaano kadali at kabilis mong malutas ang mga equation sa graphical na paraan. Panahon na upang malaman kung paano lutasin ang mga sistema sa ganitong paraan.

Graphic na solusyon ng mga system

Graphic na solusyon Ang mga sistema ay mahalagang walang pinagkaiba sa mga graphical na paglutas ng mga equation. Bubuo din kami ng dalawang graph, at ang kanilang mga intersection point ang magiging ugat ng system na ito. Ang isang graph ay isang equation, ang pangalawang graph ay isa pang equation. Ang lahat ay sobrang simple!

Magsimula tayo sa pinakasimpleng bagay - paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation.

Paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation

Sabihin nating mayroon tayong sumusunod na sistema:

Una, ibahin natin ito upang sa kaliwa ay mayroong lahat ng bagay na konektado, at sa kanan - lahat ng bagay na konektado. Sa madaling salita, isulat natin ang mga equation na ito bilang isang function sa ating karaniwang anyo:

Ngayon kami ay bumuo lamang ng dalawang tuwid na linya. Ano ang solusyon sa ating kaso? Tama! Ang punto ng intersection nila! At dito kailangan mong maging napaka, maingat! Isipin mo, bakit? Hayaan akong bigyan ka ng isang pahiwatig: tayo ay nakikitungo sa isang sistema: sa system mayroong pareho, at... Nakuha ang pahiwatig?

Tama iyan! Kapag nilulutas ang isang sistema, dapat nating tingnan ang parehong mga coordinate, at hindi tulad ng paglutas ng mga equation! Isa pa mahalagang punto- isulat ang mga ito ng tama at huwag malito kung saan mayroon tayong kahulugan at kung saan ang kahulugan! Isinulat mo ba ito? Ngayon ihambing natin ang lahat sa pagkakasunud-sunod:

At ang mga sagot: at. Gumawa ng check - palitan ang mga nahanap na ugat sa system at siguraduhin kung nalutas namin ito nang tama sa graphically?

Paglutas ng mga sistema ng nonlinear equation

Paano kung, sa halip na isang tuwid na linya, mayroon tayo quadratic equation? ayos lang! Gumawa ka lang ng parabola sa halip na isang tuwid na linya! Hindi naniniwala? Subukang lutasin ang sumusunod na sistema:

Ano ang ating susunod na hakbang? Tama, isulat ito upang maging maginhawa para sa amin na bumuo ng mga graph:

At ngayon ang lahat ay isang bagay ng maliliit na bagay - buuin ito nang mabilis at narito ang iyong solusyon! Kami ay nagtatayo:

Pareho ba ang mga graph? Ngayon markahan ang mga solusyon ng system sa figure at isulat nang tama ang mga natukoy na sagot!

Ginawa ko na lahat? Ikumpara sa aking mga tala:

Tama ba ang lahat? Magaling! Nagagawa mo na ang mga ganitong uri ng mga gawain tulad ng mga mani! Kung gayon, bigyan ka namin ng mas kumplikadong sistema:

Anong gagawin natin? Tama! Isinulat namin ang system upang ito ay maginhawa upang bumuo:

Bibigyan kita ng kaunting pahiwatig, dahil mukhang napakakomplikado ng system! Kapag gumagawa ng mga graph, buuin ang mga ito "higit pa", at higit sa lahat, huwag magulat sa bilang ng mga intersection point.

Kaya, tayo na! Napabuga ng hangin? Ngayon simulan ang pagbuo!

Kaya paano? maganda? Ilang intersection point ang nakuha mo? Ako ay may tatlong! Ihambing natin ang ating mga graph:

Gayundin? Ngayon maingat na isulat ang lahat ng mga solusyon ng aming system:

Ngayon tingnan muli ang system:

Maaari mo bang isipin na nalutas mo ito sa loob lamang ng 15 minuto? Sumang-ayon, ang matematika ay simple pa rin, lalo na kapag tumitingin sa isang expression na hindi ka natatakot na magkamali, ngunit kunin lamang ito at lutasin ito! Ikaw ay isang malaking bata!

Graphical na solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay

Graphical na solusyon ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay

Pagkatapos ng huling halimbawa, magagawa mo ang anumang bagay! Ngayon huminga - kumpara sa mga nakaraang seksyon, ang isang ito ay magiging napaka, napakadali!

Magsisimula kami, gaya ng dati, sa isang graphical na solusyon linear inequality. Halimbawa, ito:

Una, gawin natin ang pinakasimpleng pagbabago - buksan ang mga bracket ng perpektong mga parisukat at ipakita ang mga katulad na termino:

Ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit, kaya hindi ito kasama sa pagitan, at ang solusyon ay ang lahat ng mga punto na nasa kanan, dahil higit pa, higit pa, at iba pa:

Sagot:

Iyon lang! madali? Lutasin natin ang isang simpleng hindi pagkakapantay-pantay na may dalawang variable:

Gumuhit tayo ng function sa coordinate system.

Nakakuha ka ba ng ganoong iskedyul? Ngayon tingnan nating mabuti kung anong hindi pagkakapantay-pantay ang mayroon tayo doon? Mas kaunti? Nangangahulugan ito na pinipinta namin ang lahat ng nasa kaliwa ng aming tuwid na linya. Paano kung marami pa? Tama iyon, pagkatapos ay ipinta namin ang lahat ng nasa kanan ng aming tuwid na linya. Simple lang.

Ang lahat ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay na ito ay "naliliman" kahel. Iyon lang, nalutas ang hindi pagkakapantay-pantay na may dalawang variable. Nangangahulugan ito na ang mga coordinate ng anumang punto mula sa may kulay na lugar ay ang mga solusyon.

Graphical na solusyon ng mga quadratic inequalities

Ngayon ay mauunawaan natin kung paano graphical na lutasin ang mga quadratic inequalities.

Ngunit bago tayo bumaba sa negosyo, suriin natin ang ilang materyal tungkol sa quadratic function.

Ano ang pananagutan ng discriminant? Tama iyon, para sa posisyon ng graph na nauugnay sa axis (kung hindi mo ito naaalala, pagkatapos ay tiyak na basahin ang teorya tungkol sa mga quadratic function).

Sa anumang kaso, narito ang isang maliit na paalala para sa iyo:

Ngayong na-refresh na natin ang lahat ng materyal sa ating memorya, mag-negosyo tayo - lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay nang graphical.

Sasabihin ko kaagad sa iyo na mayroong dalawang pagpipilian para sa paglutas nito.

Opsyon 1

Isinulat namin ang aming parabola bilang isang function:

Gamit ang mga formula, tinutukoy namin ang mga coordinate ng vertex ng parabola (eksaktong kapareho ng kapag nilulutas ang mga quadratic equation):

Nagbilang ka ba? Ano ang nakuha mo?

Ngayon ay kumuha tayo ng dalawa pang magkakaibang puntos at kalkulahin para sa kanila:

Simulan natin ang pagbuo ng isang sangay ng parabola:

Kami ay simetriko na sumasalamin sa aming mga punto sa isa pang sangay ng parabola:

Ngayon bumalik tayo sa ating hindi pagkakapantay-pantay.

Kailangan namin itong mas mababa sa zero, ayon sa pagkakabanggit:

Dahil sa aming hindi pagkakapantay-pantay ang pag-sign ay mahigpit na mas mababa kaysa sa, ibinubukod namin ang mga punto ng pagtatapos - "butas".

Sagot:

Malayo, tama? Ngayon ay ipapakita ko sa iyo ang isang mas simpleng bersyon ng graphical na solusyon gamit ang halimbawa ng parehong hindi pagkakapantay-pantay:

Opsyon 2

Bumalik tayo sa ating hindi pagkakapantay-pantay at markahan ang mga agwat na kailangan natin:

Sumang-ayon, ito ay mas mabilis.

Isulat natin ngayon ang sagot:

Isaalang-alang natin ang isa pang solusyon na nagpapasimple sa algebraic na bahagi, ngunit ang pangunahing bagay ay hindi malito.

I-multiply ang kaliwa at kanang bahagi sa pamamagitan ng:

Subukang lutasin ang sumusunod na quadratic inequality sa iyong sarili sa anumang paraan na gusto mo: .

Inayos mo ba?

Tingnan kung paano lumabas ang aking graph:

Sagot: .

Graphical na solusyon ng magkahalong hindi pagkakapantay-pantay

Ngayon ay lumipat tayo sa mas kumplikadong hindi pagkakapantay-pantay!

Paano mo ito gusto:

Ang creepy, di ba? Sa totoo lang, wala akong ideya kung paano lutasin ito sa algebraically... Ngunit hindi ito kailangan. Sa graphically, walang kumplikado tungkol dito! Ang mga mata ay natatakot, ngunit ang mga kamay ay gumagawa!

Ang unang bagay na sisimulan natin ay sa pamamagitan ng pagbuo ng dalawang graph:

Hindi ako magsusulat ng isang talahanayan para sa bawat isa - sigurado akong magagawa mo ito nang perpekto sa iyong sarili (wow, napakaraming mga halimbawa upang malutas!).

Pinintahan mo ba ito? Ngayon bumuo ng dalawang graph.

Ihambing natin ang ating mga guhit?

Ganun din ba sayo? Malaki! Ngayon ay ayusin natin ang mga intersection point at gumamit ng kulay upang matukoy kung aling graph ang dapat nating magkaroon ng mas malaki sa teorya, iyon ay. Tingnan kung ano ang nangyari sa huli:

Ngayon tingnan lang natin kung saan mas mataas ang napili nating graph kaysa sa graph? Huwag mag-atubiling kumuha ng lapis at pinturahan ito lugar na ito! Siya ang magiging solusyon sa ating kumplikadong hindi pagkakapantay-pantay!

Sa anong mga agwat sa kahabaan ng axis kami ay matatagpuan mas mataas kaysa? Tama, . Ito ang sagot!

Kaya, ngayon ay maaari mong pangasiwaan ang anumang equation, anumang sistema, at higit pa sa anumang hindi pagkakapantay-pantay!

MAIKLING TUNGKOL SA MGA PANGUNAHING BAGAY

Algorithm para sa paglutas ng mga equation gamit ang mga function graph:

1. Ipahayag natin ito sa pamamagitan ng
2. Tukuyin natin ang uri ng pag-andar
3. Bumuo tayo ng mga graph ng mga resultang function
4. Hanapin natin ang mga intersection point ng mga graph
5. Isulat natin nang tama ang sagot (isinasaalang-alang ang mga palatandaan ng ODZ at hindi pagkakapantay-pantay)
6. Suriin natin ang sagot (palitan ang mga ugat sa equation o system)

Para sa higit pang impormasyon tungkol sa pagbuo ng mga function graph, tingnan ang paksang "".