MGA LINEAR EQUATIONS AT INEQUALITIES I

§ 10 Mga pangunahing katangian hindi pagkakapantay-pantay ng numero

1. Kung a > b, Iyon b< а , at, sa kabaligtaran, kung A< b , Iyon b > a.

Patunay. Hayaan a > b . Sa pamamagitan ng kahulugan, nangangahulugan ito na ang bilang ( a - b ) ay positibo. Kung maglalagay tayo ng minus sign sa harap nito, ang resultang numero ay ( a - b ) ay malinaw na magiging negatibo. Kaya pala-( a - b ) < 0, или b - a < 0. А это (опять же по определению) и означает, что b< a .

Inaanyayahan namin ang mga mag-aaral na patunayan ang kabaligtaran na pahayag sa kanilang sarili.

Ang napatunayang pag-aari ng hindi pagkakapantay-pantay ay nagbibigay-daan para sa isang simpleng geometric na interpretasyon: kung ang punto A ay nasa linya ng numero sa kanan ng punto B, ang punto B ay nasa kaliwa ng punto A, at kabaliktaran (tingnan ang Fig. 20).

2. Kung a>b,a b > c, Iyon a > c.

Sa geometriko, ang ari-arian na ito ay ang mga sumusunod. Hayaan ang point A (naaayon sa numero A ) ay nasa kanan ng punto B (naaayon sa numero b ), at ang punto B, naman, ay nasa kanan ng punto C (naaayon sa numero Sa ). Pagkatapos ang point A ay higit na magsisinungaling sa kanan ng point C (Fig. 21).

Magbigay tayo ng algebraic na patunay ng katangiang ito ng hindi pagkakapantay-pantay.

Hayaan a > b ,a b > c . Nangangahulugan ito na ang mga numero ( a - b ) At ( b-c ) ay positibo. Ang kabuuan ng dalawang positibong numero ay malinaw na positibo. kaya naman ( a - b ) + (b-c ) > 0, o a - c > 0. Ngunit ito ay nangangahulugan na A > Sa .

3. Kung a > b, pagkatapos ay para sa anumang numero Sa a + c > b + c, a - c > b - c.

Sa madaling salita, kung idinagdag mo ang parehong numero sa magkabilang panig ng isang hindi pagkakapantay-pantay ng numero o ibawas ang parehong numero mula sa magkabilang panig, kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi malalabag.

Patunay. Hayaan a > b . Ibig sabihin nito ay a - b > 0. Ngunit a - b = (a + c ) - (b + c ). kaya naman ( a + c ) - (b + c ) > 0. At ayon sa kahulugan, nangangahulugan ito na a + c > b + c . Katulad din ito ay ipinapakita na a - c > b - c .

Halimbawa, kung idaragdag natin ang 1 1/2 sa magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay 5 > 4, makakakuha tayo ng
6 1/2 > 5 1/2. Ang pagbabawas ng numero 5 mula sa magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay na ito, makakakuha tayo ng 0 > - 1.

Bunga. Anumang termino ng isang bahagi ng isang hindi pagkakapantay-pantay ng numero ay maaaring ilipat sa isa pang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng pagbabago ng tanda ng terminong ito sa kabaligtaran.

Hayaan, halimbawa, a + b > c . Ito ay kinakailangan upang patunayan iyon a > c - b . Upang patunayan ito, sapat na upang ibawas ang numero mula sa magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay na ito b .

4. Hayaan a > b. Kung c > 0, Iyon ac > bc . Kung Sa< 0 , Iyon ac< bс .

Sa ibang salita, kung ang magkabilang panig ng isang hindi pagkakapantay-pantay ng numero ay pinarami ng isang positibong numero, kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi malalabag;
kung ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay ay pinarami ng isang negatibong numero, pagkatapos ay ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay magbabago sa kabaligtaran.

Sa madaling salita, ang ari-arian na ito ay nabuo bilang mga sumusunod:

Ang hindi pagkakapantay-pantay ay pinapanatili kapag nag-multiply ng termwise sa isang positibong numero at nagbabago ng sign sa kabaligtaran kapag nag-multiply ng termwise sa isang negatibong numero.

Halimbawa, ang pag-multiply ng inequality 5 > 1 termwise sa 7, makakakuha tayo ng 35 > 7. Ang pagpaparami ng parehong inequality termwise sa - 7 ay nagbibigay - 35< - 7.

Katibayan ng ika-4 na ari-arian.

Hayaan a > b. Nangangahulugan ito na ang numero a - b positibo. Produkto ng dalawang positibong numero a - b At Sa , malinaw naman, ay positibo rin, ibig sabihin. ( a - b ) Sa > 0, o
ac - bc > 0. Samakatuwid ac > bс .

Ang kaso ay ginagamot nang katulad kapag ang numero Sa negatibo. Produkto ng isang positibong numero a - b sa isang negatibong numero Sa , malinaw naman, negatibo, i.e.
(a - b) c< 0; kaya lang aс - bс< 0, mula saan ac< bс .

Bunga. Ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay pinapanatili kapag hinahati ang termwise sa isang positibong numero at binabaligtad kapag hinahati ang termwise sa isang negatibong numero.

Ito ay sumusunod mula sa katotohanan na ang paghahati sa isang numero Sa =/= 0 ay katumbas ng pagpaparami ng bilang 1 / c .

Mga ehersisyo

81. Posible bang i-multiply ang hindi pagkakapantay-pantay 2 > 1 termino sa termino?

A) A 2 + 1; b) | A |; V) A ; d) 1 - 2a + A 2

para mapangalagaan ang inequality sign?

82. Lagi bang 5 X higit sa 4 X , A - sa mas mababa sa ?

83. Ano ang maaaring maging numero? X , kung alam na - X > 7?

84. Ayusin ang mga numero sa pataas na ayos: a) a 2, 5a 2, 2a 2; b) 5 A , 2A ; V) A , A 2 , A 3. 85. Ayusin sa pababang pagkakasunud-sunod ng mga numero

a - b , A - 2b , A - 3b .

86. Magbigay ng geometric na interpretasyon ng ikatlong katangian ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero.

Ang mga pangunahing uri ng hindi pagkakapantay-pantay ay ipinakita, kabilang ang Bernoulli, Cauchy - Bunyakovsky, Minkowski, Chebyshev na hindi pagkakapantay-pantay. Ang mga katangian ng hindi pagkakapantay-pantay at mga aksyon sa mga ito ay isinasaalang-alang. Ang mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ay ibinigay.

Mga formula para sa mga pangunahing hindi pagkakapantay-pantay

Mga formula para sa mga unibersal na hindi pagkakapantay-pantay

Ang mga unibersal na hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan para sa anumang mga halaga ng mga dami na kasama sa kanila. Ang mga pangunahing uri ng unibersal na hindi pagkakapantay-pantay ay nakalista sa ibaba.

1) | isang b | ≤ |a| + |b| ; | a 1 a 2 ... a n | ≤ |a 1 | + |a 2 | + ... + |a n |

2) |a| + |b| ≥ | a - b | ≥ | |a| - |b| |

3)
Ang pagkakapantay-pantay ay nangyayari lamang kapag a 1 = a 2 = ... = a n.

4) Cauchy-Bunyakovsky hindi pagkakapantay-pantay

Nananatili ang pagkakapantay-pantay kung at kung α a k = β b k para sa lahat ng k = 1, 2, ..., n at ilang α, β, |α| + |β| > 0 .

5) Ang hindi pagkakapantay-pantay ni Minkowski, para sa p ≥ 1

Mga formula ng kasiya-siyang hindi pagkakapantay-pantay

Ang mga kasiya-siyang hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan para sa ilang mga halaga ng mga dami na kasama sa kanila.

1) Ang hindi pagkakapantay-pantay ni Bernoulli:
.
Sa mas maraming pangkalahatang pananaw:
,
kung saan , mga numero ng parehong sign at mas malaki kaysa -1 : .
Lemma ni Bernoulli:
.
Tingnan ang "Mga patunay ng hindi pagkakapantay-pantay at lemma ni Bernoulli".

2)
para sa isang i ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n) .

3) Ang hindi pagkakapantay-pantay ni Chebyshev
sa 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n At 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
Sa 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n At b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

4) Pangkalahatang hindi pagkakapantay-pantay ng Chebyshev
sa 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n At 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n at k natural
.
Sa 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n At b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

Mga katangian ng hindi pagkakapantay-pantay

Ang mga katangian ng hindi pagkakapantay-pantay ay isang hanay ng mga patakaran na nasiyahan kapag binabago ang mga ito. Nasa ibaba ang mga katangian ng hindi pagkakapantay-pantay. Ipinapalagay na ang mga orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan para sa mga halaga ng x i (i = 1, 2, 3, 4) na kabilang sa ilang paunang natukoy na pagitan.

1) Kapag nagbago ang pagkakasunud-sunod ng mga panig, ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay nagbabago sa kabaligtaran.
Kung x 1< x 2 , то x 2 >x 1 .
Kung x 1 ≤ x 2, kung gayon x 2 ≥ x 1.
Kung x 1 ≥ x 2, kung gayon x 2 ≤ x 1.
Kung x 1 > x 2 kung gayon x 2< x 1 .

2) Ang isang pagkakapantay-pantay ay katumbas ng dalawang mahinang hindi pagkakapantay-pantay magkaibang tanda.
Kung x 1 = x 2, kung gayon x 1 ≤ x 2 at x 1 ≥ x 2.
Kung x 1 ≤ x 2 at x 1 ≥ x 2, kung gayon x 1 = x 2.

3) Transitivity property
Kung x 1< x 2 и x 2 < x 3 , то x 1 < x 3 .
Kung x 1< x 2 и x 2 ≤ x 3 , то x 1 < x 3 .
Kung x 1 ≤ x 2 at x 2< x 3 , то x 1 < x 3 .
Kung x 1 ≤ x 2 at x 2 ≤ x 3, kung gayon x 1 ≤ x 3.

4) Ang parehong bilang ay maaaring idagdag (bawas) sa magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay.
Kung x 1< x 2 , то x 1 + A < x 2 + A .
Kung x 1 ≤ x 2, kung gayon x 1 + A ≤ x 2 + A.
Kung x 1 ≥ x 2, kung gayon x 1 + A ≥ x 2 + A.
Kung x 1 > x 2, kung gayon x 1 + A > x 2 + A.

5) Kung mayroong dalawa o higit pang mga hindi pagkakapantay-pantay na may palatandaan ng parehong direksyon, kung gayon ang kanilang kaliwa at kanang bahagi ay maaaring idagdag.
Kung x 1< x 2 , x 3 < x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Kung x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Kung x 1 ≤ x 2 , x 3< x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Kung x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, kung gayon x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4.
Ang mga katulad na expression ay nalalapat sa mga palatandaan ≥, >.
Kung ang mga orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay naglalaman ng mga palatandaan ng hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay at hindi bababa sa isang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay (ngunit lahat ng mga palatandaan ay may parehong direksyon), kung gayon ang pagdaragdag ay nagreresulta sa isang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay.

6) Ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring i-multiply (hatiin) sa isang positibong numero.
Kung x 1< x 2 и A >0, pagkatapos ay A x 1< A · x 2 .
Kung x 1 ≤ x 2 at A > 0, pagkatapos ay A x 1 ≤ A x 2.
Kung x 1 ≥ x 2 at A > 0, pagkatapos ay A x 1 ≥ A x 2.
Kung x 1 > x 2 at A > 0, A · x 1 > A · x 2.

7) Ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring i-multiply (hatiin) sa isang negatibong numero. Sa kasong ito, ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay magbabago sa kabaligtaran.
Kung x 1< x 2 и A < 0 , то A · x 1 >A x 2.
Kung x 1 ≤ x 2 at A< 0 , то A · x 1 ≥ A · x 2 .
Kung x 1 ≥ x 2 at A< 0 , то A · x 1 ≤ A · x 2 .
Kung x 1 > x 2 at A< 0 , то A · x 1 < A · x 2 .

8) Kung mayroong dalawa o higit pang hindi pagkakapantay-pantay na may mga positibong termino, na may tanda ng parehong direksyon, kung gayon ang kanilang kaliwa at kanang bahagi ay maaaring i-multiply sa bawat isa.
Kung x 1< x 2 , x 3 < x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 pagkatapos x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Kung x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 pagkatapos x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Kung x 1 ≤ x 2 , x 3< x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 pagkatapos x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Kung x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, x 1, x 2, x 3, x 4 > 0 kung gayon x 1 x 3 ≤ x 2 x 4.
Ang mga katulad na expression ay nalalapat sa mga palatandaan ≥, >.
Kung ang mga orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay naglalaman ng mga palatandaan ng hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay at hindi bababa sa isang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay (ngunit lahat ng mga palatandaan ay may parehong direksyon), kung gayon ang pagpaparami ay nagreresulta sa isang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay.

9) Hayaang ang f(x) ay isang monotonically increase na function. Ibig sabihin, para sa anumang x 1 > x 2, f(x 1) > f(x 2). Pagkatapos ang function na ito ay maaaring ilapat sa magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay, na hindi magbabago sa tanda ng hindi pagkakapantay-pantay.
Kung x 1< x 2 , то f(x 1) < f(x 2) .
Kung x 1 ≤ x 2 kung gayon f(x 1) ≤ f(x 2) .
Kung x 1 ≥ x 2 kung gayon f(x 1) ≥ f(x 2) .
Kung x 1 > x 2, kung gayon ang f(x 1) > f(x 2).

10) Hayaang ang f(x) ay isang monotonically decreasing function, Ibig sabihin, para sa anumang x 1 > x 2, f(x 1)< f(x 2) . Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
Kung x 1< x 2 , то f(x 1) >f(x 2) .
Kung x 1 ≤ x 2 kung gayon f(x 1) ≥ f(x 2) .
Kung x 1 ≥ x 2 kung gayon ang f(x 1) ≤ f(x 2) .
Kung x 1 > x 2 kung gayon f(x 1)< f(x 2) .

Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay

Paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay gamit ang paraan ng pagitan

Naaangkop ang paraan ng agwat kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay may kasamang isang variable, na tinutukoy namin bilang x, at mayroon itong anyo:
f(x) > 0
kung saan ang f(x) ay isang tuluy-tuloy na function na may hangganan na bilang ng mga discontinuity point. Ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring anuman: >, ≥,<, ≤ .

Ang paraan ng pagitan ay ang mga sumusunod.

1) Hanapin ang domain ng kahulugan ng function na f(x) at markahan ito ng mga pagitan sa axis ng numero.

2) Hanapin ang mga discontinuity point ng function na f(x). Halimbawa, kung ito ay isang fraction, makikita natin ang mga punto kung saan ang denominator ay nagiging zero. Minarkahan namin ang mga puntong ito sa axis ng numero.

3) Lutasin ang equation
f(x) = 0 .
Minarkahan namin ang mga ugat ng equation na ito sa axis ng numero.

4) Bilang resulta, ang number axis ay mahahati sa mga pagitan (segment) ayon sa mga puntos. Sa loob ng bawat pagitan na kasama sa domain ng kahulugan, pipili kami ng anumang punto at sa puntong ito kinakalkula namin ang halaga ng function. Kung mas malaki sa zero ang value na ito, maglalagay kami ng "+" sign sa itaas ng segment (interval). Kung mas mababa sa zero ang value na ito, maglalagay kami ng "-" sign sa itaas ng segment (interval).

5) Kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay may anyo: f(x) > 0, pagkatapos ay piliin ang mga agwat na may tandang “+”. Ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay pagsamahin ang mga agwat na ito, na hindi kasama ang kanilang mga hangganan.
Kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay may anyo: f(x) ≥ 0, pagkatapos ay sa solusyon ay nagdaragdag kami ng mga puntos kung saan ang f(x) = 0. Iyon ay, ang ilang mga pagitan ay maaaring may mga saradong hangganan (ang hangganan ay kabilang sa pagitan). ang ibang bahagi ay maaaring may bukas na mga hangganan (ang hangganan ay hindi kabilang sa pagitan).
Katulad nito, kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay may anyo: f(x)< 0 , то выбираем интервалы с знаком „-“ . Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay may anyo: f(x) ≤ 0, pagkatapos ay sa solusyon ay nagdaragdag kami ng mga puntos kung saan ang f(x) = 0.

Paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay gamit ang kanilang mga katangian

Ang pamamaraang ito ay naaangkop sa mga hindi pagkakapantay-pantay ng anumang kumplikado. Binubuo ito sa paglalapat ng mga pag-aari (na ipinakita sa itaas) upang dalhin ang mga hindi pagkakapantay-pantay sa higit pa simpleng view at makakuha ng solusyon. Ito ay lubos na posible na ito ay magreresulta sa hindi lamang isa, ngunit isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay. Ito unibersal na pamamaraan. Nalalapat ito sa anumang hindi pagkakapantay-pantay.

Mga sanggunian:
SA. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng matematika para sa mga inhinyero at mag-aaral sa kolehiyo, "Lan", 2009.

§ 1 Isang pangkalahatang paraan upang ihambing ang mga numero

Kilalanin natin ang mga pangunahing katangian ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero, at isaalang-alang din ang isang unibersal na paraan upang ihambing ang mga numero.

Ang resulta ng paghahambing ng mga numero ay maaaring isulat gamit ang pagkakapantay-pantay o hindi pagkakapantay-pantay. Ang hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring mahigpit o hindi mahigpit. Halimbawa, ang a>3 ay isang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay; Ang a≥3 ay isang mahinang hindi pagkakapantay-pantay. Ang paraan ng paghahambing ng mga numero ay depende sa uri ng mga numero na inihahambing. Halimbawa, kung kailangan mong ihambing mga decimal, pagkatapos ay inihambing namin ang mga ito nang paunti-unti; kung kinakailangan upang ihambing mga karaniwang fraction na may iba't ibang denominator, pagkatapos ay kailangan mong dalhin ang mga ito sa isang karaniwang denominator at ihambing ang mga numerator. Ngunit mayroong isang unibersal na paraan upang ihambing ang mga numero. Binubuo ito ng mga sumusunod: hanapin ang pagkakaiba sa pagitan ng mga numerong a at b; kung a - b > 0, iyon ay, isang positibong numero, pagkatapos ay a > b; kung a - b< 0, то есть отрицательное число, то a < b; если a - b = 0, то a = b. Этот способ удобно использовать для доказательства неравенств. Например, доказать неравенство:

2b2 - 6b + 1 > 2b(b- 3)

Samantalahin natin sa unibersal na paraan paghahambing. Hanapin natin ang pagkakaiba sa pagitan ng mga expression na 2b2 - 6b + 1 at 2b(b - 3);

2b2 - 6b + 1- 2b(b-3)= 2b2 - 6b + 1 - 2b2 + 6b; Magdagdag tayo ng mga katulad na termino at makakuha ng 1. Dahil ang 1 ay mas malaki sa zero, isang positibong numero, pagkatapos ay 2b2 - 6b+1 > 2b(b-3).

§ 2 Mga katangian ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero

Ari-arian 1. Kung a> b, b > c, pagkatapos ay a> c.

Patunay. Kung a > b, kung gayon ang pagkakaiba a - b > 0, iyon ay, isang positibong numero. Kung b >c, ang pagkakaiba b - c > 0 ay isang positibong numero. Dagdagan natin mga positibong numero a - b at b - c, buksan ang mga bracket at magdagdag ng mga katulad na termino, nakukuha natin (a - b) + (b - c) = a - b + b - c = a - c. Dahil ang kabuuan ng mga positibong numero ay isang positibong numero, kung gayon ang a - c ay isang positibong numero. Samakatuwid, ang a > c, na siyang kailangang patunayan.

Ari-arian 2. Kung a< b, c- любое число, то a + с < b+ с. Это свойство можно трактовать так: «К обеим частям верного неравенства можно прибавить одно и то же число, при этом знак неравенства не изменится».

Patunay. Hanapin natin ang pagkakaiba sa pagitan ng mga expression na a + c at b+ c, buksan ang mga bracket at magdagdag ng mga katulad na termino, nakukuha natin (a + c) - (b+ c) = a + c - b - c = a - b. Sa pamamagitan ng kondisyon a< b, тогда разность a - b- отрицательное число. Значит, и разность (a + с) -(b+ с) отрицательна. Следовательно, a + с < b+ с, что и требовалось доказать.

Ari-arian 3. Kung a< b, c - положительное число, то aс < bс.

Kung ang< b, c- отрицательное число, то aс >bc.

Patunay. Hanapin natin ang pagkakaiba sa pagitan ng mga expression na ac at bc, ilagay ang c sa mga bracket, pagkatapos ay mayroon tayong ac-bc = c(a-b). Ngunit dahil a

Kung i-multiply natin ang isang negatibong numero a-b sa isang positibong numero c, kung gayon ang produkto c(a-b) ay negatibo, samakatuwid, ang pagkakaiba ac-bc ay negatibo, na nangangahulugang ac

Kung ang isang negatibong numero na a-b ay pinarami ng isang negatibong numero c, kung gayon ang produkto c(a-b) ay magiging positibo, samakatuwid, ang pagkakaiba ac-bc ay magiging positibo, na nangangahulugang ac>bc. Q.E.D.

Halimbawa, a -7b.

Dahil ang paghahati ay maaaring palitan ng multiplikasyon ng katumbas na numero, = n∙, ang napatunayang ari-arian ay maaari ding ilapat sa paghahati. Kaya, ang kahulugan ng pag-aari na ito ay ang mga sumusunod: "Ang magkabilang panig ng isang hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring i-multiply o hatiin sa parehong positibong numero, at ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nagbabago. Ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring i-multiply o hatiin sa isang negatibong numero, ngunit kinakailangan na baguhin ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay sa kabaligtaran na palatandaan."

Isaalang-alang natin ang kaakibat ng ari-arian 3.

Bunga. Kung ang

Patunay. Hatiin natin ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay a

bawasan ang mga fraction at makuha

Ang pahayag ay napatunayan.

Sa katunayan, halimbawa, 2< 3, но

Property 4. Kung a > b at c > d, a + c > b+ d.

Patunay. Dahil a>b at c >d, pagkatapos pagkakaiba a-b at ang c-d ay mga positibong numero. Kung gayon ang kabuuan ng mga numerong ito ay isa ring positibong numero (a-b)+(c-d). Buksan natin ang mga bracket at pangkat (a-b)+(c-d) = a-b+ c-d= (a+c)-(b+ d). Dahil sa pagkakapantay-pantay na ito, ang resultang expression (a+c)-(b+d) ay magiging positibong numero. Samakatuwid, a+ c> b+ d.

Mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyong a>b, c >d o a< b, c< d называют неравенствами одинакового смысла, а неравенства a>b, c

Property 5. Kung a > b, c > d, pagkatapos ay ac> bd, kung saan ang a, b, c, d ay mga positibong numero.

Patunay. Dahil ang a>b at c ay isang positibong numero, kung gayon, gamit ang property 3, makakakuha tayo ng ac > bc. Dahil ang c >d at b ay isang positibong numero, kung gayon ang bc > bd. Samakatuwid, sa pamamagitan ng unang ari-arian ac > bd. Ang kahulugan ng napatunayang pag-aari ay ang mga sumusunod: "Kung i-multiply natin ang termino sa pamamagitan ng term na hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan, na ang kaliwa at kanang bahagi ay positibong mga numero, nakakakuha tayo ng hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan."

Halimbawa, 6< a < 7, 4 < b< 5 тогда, 24 < ab < 35.

Ari-arian 6. Kung a< b, a и b - положительные числа, то an< bn, где n- натуральное число.

Patunay. Kung i-multiply natin ang n ibinigay na hindi pagkakapantay-pantay na termino sa pamamagitan ng termino a< b, то, согласно утверждению свойства 5, получим an< bn. Прочесть доказанное утверждение можно так: «Если обе части неравенства - положительные числа, то их можно возвести в одну и ту же натуральную степень, сохранив знак неравенства».

§ 3 Paglalapat ng mga ari-arian

Isaalang-alang natin ang isang halimbawa ng aplikasyon ng mga katangian na ating isinaalang-alang.

Hayaan 33< a < 34, 3 < b< 4. Оценить сумму a + b, разность a - b, произведение a ∙ b и частное a: b.

1) Tantyahin natin ang kabuuan ng a + b. Gamit ang property 4, makakakuha tayo ng 33 + 3< a + b < 34 + 4 или

36 < a+ b <38.

2) Tantyahin natin ang pagkakaiba a - b. Dahil walang pag-aari ng pagbabawas, pinapalitan namin ang pagkakaiba a - b ng kabuuan a + (-b). Tantyahin muna natin (- b). Upang gawin ito, gamit ang property 3, magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay 3< b< 4 умножим на -1, при этом меняем знак неравенства на противоположный знак 3 ∙ (-1) >b∙ (-1) > 4 ∙ (-1). Nakukuha namin -4< -b< -3. Теперь можно сложить два неравенства одного знака 33< a < 34 и -4< -b< -3. Имеем 2 9< a - b <31.

3) Tantyahin natin ang produkto a ∙ b. Sa pamamagitan ng ari-arian 5, pinaparami namin ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng parehong tanda