Trigonometric equation na may pi. Paglutas ng mga simpleng trigonometriko equation

Ang pinakasimpleng solusyon trigonometriko equation.

Ang paglutas ng mga trigonometric equation ng anumang antas ng pagiging kumplikado sa huli ay bumababa sa paglutas ng pinakasimpleng trigonometriko equation. At sa ito ang trigonometriko na bilog muli ay naging pinakamahusay na katulong.

Alalahanin natin ang mga kahulugan ng cosine at sine.

Ang cosine ng isang anggulo ay ang abscissa (iyon ay, ang coordinate sa kahabaan ng axis) ng isang punto sa unit circle na tumutugma sa isang pag-ikot sa isang naibigay na anggulo.

Ang sine ng isang anggulo ay ang ordinate (iyon ay, ang coordinate sa kahabaan ng axis) ng isang punto sa unit circle na tumutugma sa isang pag-ikot sa isang naibigay na anggulo.

Ang positibong direksyon ng paggalaw sa trigonometric circle ay counterclockwise. Ang pag-ikot ng 0 degrees (o 0 radians) ay tumutugma sa isang puntong may mga coordinate (1;0)

Ginagamit namin ang mga kahulugang ito upang malutas ang mga simpleng equation ng trigonometriko.

1. Lutasin ang equation

Ang equation na ito ay nasiyahan sa lahat ng mga halaga ng anggulo ng pag-ikot na tumutugma sa mga punto sa bilog na ang ordinate ay katumbas ng .

Markahan natin ang isang punto ng ordinate sa ordinate axis:

Gumuhit ng pahalang na linya parallel sa x-axis hanggang sa mag-intersect ito sa bilog. Nakakuha kami ng dalawang puntos na nakahiga sa bilog at pagkakaroon ng ordinate. Ang mga puntong ito ay tumutugma sa mga anggulo ng pag-ikot sa at radians:

Kung tayo, na iniiwan ang punto na tumutugma sa anggulo ng pag-ikot sa bawat radian, ay umikot sa isang buong bilog, pagkatapos ay darating tayo sa isang punto na tumutugma sa anggulo ng pag-ikot bawat radian at pagkakaroon ng parehong ordinate. Ibig sabihin, ang anggulo ng pag-ikot na ito ay nakakatugon din sa ating equation. Maaari tayong gumawa ng maraming "idle" na mga rebolusyon hangga't gusto natin, bumalik sa parehong punto, at lahat ng mga halaga ng anggulo na ito ay masisiyahan ang ating equation. Ang bilang ng mga "idle" na rebolusyon ay ilalarawan ng titik (o). Dahil maaari nating gawin ang mga rebolusyong ito sa parehong positibo at negatibong direksyon, (o) maaaring tumagal sa anumang mga halaga ng integer.

Iyon ay, ang unang serye ng mga solusyon sa orihinal na equation ay may anyo:

, , - set ng mga integer (1)

Katulad nito, ang pangalawang serye ng mga solusyon ay may anyo:

, Saan , . (2)

Tulad ng maaaring nahulaan mo, ang serye ng mga solusyon na ito ay batay sa punto sa bilog na tumutugma sa anggulo ng pag-ikot ng .

Ang dalawang serye ng mga solusyon na ito ay maaaring pagsamahin sa isang entry:

Kung kukuha tayo (iyon ay, kahit na) sa entry na ito, pagkatapos ay makukuha natin ang unang serye ng mga solusyon.

Kung kukuha tayo (iyon ay, kakaiba) sa entry na ito, makukuha natin ang pangalawang serye ng mga solusyon.

2. Ngayon, lutasin natin ang equation

Dahil ito ang abscissa ng isang punto sa bilog ng yunit na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot sa isang anggulo, minarkahan namin ang punto gamit ang abscissa sa axis:

Gumuhit ng patayong linya parallel sa axis hanggang sa mag-intersect ito sa bilog. Makakakuha tayo ng dalawang puntos na nakahiga sa bilog at pagkakaroon ng abscissa. Ang mga puntong ito ay tumutugma sa mga anggulo ng pag-ikot sa at radian. Alalahanin na kapag gumagalaw nang pakanan ay nakukuha natin negatibong anggulo pag-ikot:

Isulat natin ang dalawang serye ng mga solusyon:

(Nakarating tayo sa nais na punto sa pamamagitan ng pagpunta mula sa pangunahing buong bilog, iyon ay.

Pagsamahin natin ang dalawang seryeng ito sa isang entry:

3. Lutasin ang equation

Ang padaplis na linya ay dumadaan sa punto na may mga coordinate (1,0) ng unit circle na kahanay sa OY axis

Markahan natin ito ng isang ordinate na katumbas ng 1 (hinahanap natin ang tangent kung saan ang mga anggulo ay katumbas ng 1):

Ikonekta natin ang puntong ito sa pinanggalingan ng mga coordinate na may isang tuwid na linya at markahan ang mga punto ng intersection ng linya na may bilog na yunit. Ang mga intersection point ng tuwid na linya at ang bilog ay tumutugma sa mga anggulo ng pag-ikot sa at :

Dahil ang mga puntos na tumutugma sa mga anggulo ng pag-ikot na nakakatugon sa ating equation ay nasa layo ng radians mula sa isa't isa, maaari nating isulat ang solusyon sa ganitong paraan:

4. Lutasin ang equation

Ang linya ng mga cotangent ay dumadaan sa punto na may mga coordinate ng unit circle na kahanay sa axis.

Markahan natin ang isang punto ng abscissa -1 sa linya ng mga cotangent:

Ikonekta natin ang puntong ito sa pinanggalingan ng tuwid na linya at ipagpatuloy ito hanggang sa mag-intersect ito sa bilog. Ang tuwid na linyang ito ay magsalubong sa bilog sa mga puntong tumutugma sa mga anggulo ng pag-ikot sa at radians:

Dahil ang mga puntong ito ay pinaghihiwalay mula sa isa't isa ng isang distansya na katumbas ng , kung gayon karaniwang desisyon Maaari naming isulat ang equation na ito tulad nito:

Sa ibinigay na mga halimbawa na naglalarawan ng solusyon ng pinakasimpleng trigonometric equation, ginamit ang mga halaga ng tabular trigonometriko function.

Gayunpaman, kung ang kanang bahagi ng equation ay naglalaman ng isang di-tabular na halaga, pagkatapos ay papalitan namin ang halaga sa pangkalahatang solusyon ng equation:

MGA ESPESYAL NA SOLUSYON:

Markahan natin ang mga punto sa bilog na ang ordinate ay 0:

Markahan natin ang isang punto sa bilog na ang ordinate ay 1:

Markahan natin ang isang punto sa bilog na ang ordinate ay katumbas ng -1:

Dahil kaugalian na ipahiwatig ang mga halaga na pinakamalapit sa zero, isinusulat namin ang solusyon tulad ng sumusunod:

Markahan natin ang mga punto sa bilog na ang abscissa ay katumbas ng 0:

5.
Markahan natin ang isang punto sa bilog na ang abscissa ay katumbas ng 1:

Markahan natin ang isang punto sa bilog na ang abscissa ay katumbas ng -1:

At bahagyang mas kumplikadong mga halimbawa:

Ang sine ay katumbas ng isa kung ang argumento ay katumbas ng

Ang argumento ng ating sine ay pantay, kaya nakukuha natin:

Hatiin natin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay sa 3:

Sagot:

Ang cosine ay zero kung ang argumento ng cosine ay

Ang argumento ng aming cosine ay katumbas ng , kaya nakukuha namin ang:

Ipahayag natin , para magawa ito lumipat muna tayo sa kanan na may kabaligtaran na senyales:

Pasimplehin natin ang kanang bahagi:

Hatiin ang magkabilang panig ng -2:

Tandaan na ang sign sa harap ng term ay hindi nagbabago, dahil ang k ay maaaring kumuha ng anumang integer value.

Sagot:

At panghuli, panoorin ang video lesson na "Pagpili ng mga ugat sa isang trigonometric equation gamit ang isang trigonometric circle"

Ito ay nagtatapos sa aming pag-uusap tungkol sa paglutas ng mga simpleng trigonometric equation. Sa susunod ay pag-uusapan natin kung paano magdesisyon.

Kasama sa kursong video na "Kumuha ng A" ang lahat ng mga paksang kinakailangan para sa matagumpay pagpasa sa Unified State Exam sa matematika para sa 60-65 puntos. Ganap ang lahat ng mga gawain 1-13 ng Profile Unified State Exam sa matematika. Angkop din para sa pagpasa sa Basic Unified State Examination sa matematika. Kung gusto mong makapasa sa Unified State Exam na may 90-100 points, kailangan mong lutasin ang part 1 sa loob ng 30 minuto at walang pagkakamali!

Kurso sa paghahanda para sa Unified State Exam para sa grade 10-11, gayundin para sa mga guro. Lahat ng kailangan mo para malutas ang Part 1 ng Unified State Exam sa matematika (ang unang 12 problema) at Problema 13 (trigonometry). At ito ay higit sa 70 puntos sa Unified State Exam, at hindi magagawa ng isang 100-point na mag-aaral o ng isang mag-aaral sa humanities kung wala sila.

Lahat ng kinakailangang teorya. Mabilis na paraan mga solusyon, mga pitfalls at mga lihim ng Unified State Exam. Ang lahat ng kasalukuyang gawain ng bahagi 1 mula sa FIPI Task Bank ay nasuri. Ang kurso ay ganap na sumusunod sa mga kinakailangan ng Unified State Exam 2018.

Ang kurso ay naglalaman ng 5 malalaking paksa, 2.5 oras bawat isa. Ang bawat paksa ay ibinigay mula sa simula, simple at malinaw.

Daan-daang mga gawain ng Pinag-isang State Exam. Mga problema sa salita at teorya ng posibilidad. Simple at madaling matandaan ang mga algorithm para sa paglutas ng mga problema. Geometry. Teorya, sangguniang materyal, pagsusuri ng lahat ng uri ng mga gawain sa Pinag-isang Estado ng Pagsusuri. Stereometry. Mga nakakalito na solusyon, kapaki-pakinabang na cheat sheet, pag-unlad spatial na imahinasyon. Trigonometry mula sa simula hanggang sa problema 13. Pag-unawa sa halip na pag-cramming. Malinaw na pagpapaliwanag ng mga kumplikadong konsepto. Algebra. Mga ugat, kapangyarihan at logarithms, function at derivative. Isang batayan para sa paglutas ng mga kumplikadong problema ng Bahagi 2 ng Pinag-isang Pagsusulit ng Estado.

Kapag nag-solve ng marami mga problema sa matematika, lalo na ang mga nangyari bago ang grade 10, ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na isinagawa na hahantong sa layunin ay malinaw na tinukoy. Kasama sa mga naturang problema, halimbawa, linear at quadratic equation, linear at quadratic inequalities, fractional equation at equation na bumababa sa quadratic. Ang prinsipyo ng matagumpay na paglutas ng bawat isa sa mga nabanggit na problema ay ang mga sumusunod: kinakailangan upang maitatag kung anong uri ng problema ang malulutas, tandaan ang kinakailangang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na hahantong sa ang nais na resulta, ibig sabihin. sagutin at sundin ang mga hakbang na ito.

Malinaw na ang tagumpay o kabiguan sa paglutas ng isang partikular na problema ay higit sa lahat ay nakasalalay sa kung gaano katama ang uri ng equation na nalulutas, kung gaano katama ang pagkakasunud-sunod ng lahat ng mga yugto ng solusyon nito ay muling ginawa. Siyempre, sa kasong ito ay kinakailangan na magkaroon ng mga kasanayan upang magsagawa ng magkatulad na mga pagbabago at kalkulasyon.

Iba ang sitwasyon sa trigonometriko equation. Hindi naman mahirap itatag ang katotohanan na ang equation ay trigonometric. Ang mga paghihirap ay lumitaw kapag tinutukoy ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na hahantong sa tamang sagot.

Sa pamamagitan ng hitsura equation, minsan mahirap matukoy ang uri nito. At nang hindi nalalaman ang uri ng equation, halos imposibleng pumili ng tama mula sa ilang dosenang mga formula ng trigonometriko.

Upang malutas ang isang trigonometric equation, kailangan mong subukan:

1. dalhin ang lahat ng mga function na kasama sa equation sa "parehong mga anggulo";
2. dalhin ang equation sa "magkaparehong pag-andar";
3. buksan kaliwang bahagi factoring equation, atbp.

Isaalang-alang natin mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko.

I. Pagbawas sa pinakasimpleng trigonometric equation

Diagram ng solusyon

Hakbang 1. Ipahayag ang isang trigonometric function sa mga tuntunin ng mga kilalang bahagi.

Hakbang 2. Hanapin ang argumento ng function gamit ang mga formula:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

kasalanan x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Hakbang 3. Hanapin ang hindi kilalang variable.

Halimbawa.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Solusyon.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Sagot: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Pagpapalit ng variable

Diagram ng solusyon

Hakbang 1. Bawasan ang equation sa algebraic form na may paggalang sa isa sa mga trigonometric function.

Hakbang 2. Tukuyin ang resultang function ng variable na t (kung kinakailangan, ipakilala ang mga paghihigpit sa t).

Hakbang 3. Isulat at lutasin ang resultang algebraic equation.

Hakbang 4. Gumawa ng reverse replacement.

Hakbang 5. Lutasin ang pinakasimpleng trigonometric equation.

Halimbawa.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Solusyon.

1) 2(1 – kasalanan 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Hayaan ang kasalanan (x/2) = t, kung saan |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 o e = -3/2, ay hindi nakakatugon sa kondisyon |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Sagot: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Paraan ng pagbabawas ng pagkakasunud-sunod ng equation

Diagram ng solusyon

Hakbang 1. Palitan ang equation na ito ng isang linear, gamit ang formula para sa pagbabawas ng degree:

kasalanan 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Hakbang 2. Lutasin ang resultang equation gamit ang mga pamamaraan I at II.

Halimbawa.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Solusyon.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Sagot: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Mga homogenous na equation

Diagram ng solusyon

Hakbang 1. Bawasan ang equation na ito sa anyo

a) isang kasalanan x + b cos x = 0 ( homogenous equation unang degree)

o sa view

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (homogeneous equation ng pangalawang degree).

Hakbang 2. Hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

at kunin ang equation para sa tan x:

a) isang tan x + b = 0;

b) isang tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Hakbang 3. Lutasin ang equation gamit ang mga kilalang pamamaraan.

Halimbawa.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Solusyon.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

kasalanan 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Hayaan ang tg x = t, pagkatapos

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 o t = -4, ibig sabihin

tg x = 1 o tg x = -4.

Mula sa unang equation x = π/4 + πn, n Є Z; mula sa pangalawang equation x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Sagot: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Paraan ng pagbabago ng isang equation gamit ang mga trigonometric formula

Diagram ng solusyon

Hakbang 1. Gamit ang lahat ng uri ng mga formula ng trigonometriko, bawasan ang equation na ito sa isang equation na nalutas ng mga pamamaraan I, II, III, IV.

Hakbang 2. Lutasin ang resultang equation gamit ang mga kilalang pamamaraan.

Halimbawa.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Solusyon.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) kasalanan 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 o 2cos x + 1 = 0;

Mula sa unang equation 2x = π/2 + πn, n Є Z; mula sa pangalawa cos equation x = -1/2.

Mayroon kaming x = π/4 + πn/2, n Є Z; mula sa pangalawang equation x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Bilang resulta, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Sagot: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Ang kakayahan at kasanayan upang malutas ang mga trigonometric equation ay napaka mahalaga, ang kanilang pag-unlad ay nangangailangan ng makabuluhang pagsisikap, kapwa sa bahagi ng mag-aaral at sa bahagi ng guro.

Maraming problema ng stereometry, physics, atbp. ang nauugnay sa solusyon ng mga trigonometric equation. Ang proseso ng paglutas ng mga naturang problema ay naglalaman ng marami sa mga kaalaman at kasanayan na nakukuha sa pamamagitan ng pag-aaral ng mga elemento ng trigonometry.

Ang mga equation ng trigonometric ay sumasakop sa isang mahalagang lugar sa proseso ng pag-aaral ng matematika at personal na pag-unlad sa pangkalahatan.

May mga tanong pa ba? Hindi mo alam kung paano lutasin ang mga equation ng trigonometriko?
Upang makakuha ng tulong mula sa isang tutor, magparehistro.
Ang unang aralin ay libre!

website, kapag kumukopya ng materyal nang buo o bahagi, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.

Kapag nag-solve ng marami mga problema sa matematika, lalo na ang mga nangyari bago ang grade 10, ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na isinagawa na hahantong sa layunin ay malinaw na tinukoy. Kabilang sa mga naturang problema, halimbawa, ang mga linear at quadratic equation, linear at quadratic inequalities, fractional equation at equation na bumababa sa quadratic na mga equation. Ang prinsipyo ng matagumpay na paglutas ng bawat isa sa mga nabanggit na problema ay ang mga sumusunod: kailangan mong itatag kung anong uri ng problema ang iyong nilulutas, tandaan ang kinakailangang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na hahantong sa nais na resulta, i.e. sagutin at sundin ang mga hakbang na ito.

Minsan mahirap matukoy ang uri nito batay sa hitsura ng isang equation. At nang hindi nalalaman ang uri ng equation, halos imposibleng pumili ng tama mula sa ilang dosenang mga formula ng trigonometriko.

Upang malutas ang isang trigonometric equation, kailangan mong subukan:

1. dalhin ang lahat ng mga function na kasama sa equation sa "parehong mga anggulo";
2. dalhin ang equation sa "magkaparehong pag-andar";
3. i-factor ang kaliwang bahagi ng equation, atbp.

Isaalang-alang natin mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko.

I. Pagbawas sa pinakasimpleng trigonometric equation

Diagram ng solusyon

Hakbang 1. Ipahayag ang isang trigonometric function sa mga tuntunin ng mga kilalang bahagi.

Hakbang 2. Hanapin ang argumento ng function gamit ang mga formula:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

kasalanan x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Hakbang 3. Hanapin ang hindi kilalang variable.

Halimbawa.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Solusyon.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Sagot: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Pagpapalit ng variable

Diagram ng solusyon

Hakbang 1. Bawasan ang equation sa algebraic form na may paggalang sa isa sa mga trigonometric function.

Hakbang 2. Tukuyin ang resultang function ng variable na t (kung kinakailangan, ipakilala ang mga paghihigpit sa t).

Hakbang 3. Isulat at lutasin ang resultang algebraic equation.

Hakbang 4. Gumawa ng reverse replacement.

Hakbang 5. Lutasin ang pinakasimpleng trigonometric equation.

Halimbawa.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Solusyon.

1) 2(1 – kasalanan 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Hayaan ang kasalanan (x/2) = t, kung saan |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 o e = -3/2, ay hindi nakakatugon sa kondisyon |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Sagot: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Paraan ng pagbabawas ng pagkakasunud-sunod ng equation

Diagram ng solusyon

Hakbang 1. Palitan ang equation na ito ng isang linear, gamit ang formula para sa pagbabawas ng degree:

kasalanan 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Hakbang 2. Lutasin ang resultang equation gamit ang mga pamamaraan I at II.

Halimbawa.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Solusyon.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Sagot: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Mga homogenous na equation

Diagram ng solusyon

Hakbang 1. Bawasan ang equation na ito sa anyo

a) a sin x + b cos x = 0 (homogeneous equation ng unang degree)

o sa view

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (homogeneous equation ng pangalawang degree).

Hakbang 2. Hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

at kunin ang equation para sa tan x:

a) isang tan x + b = 0;

b) isang tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Hakbang 3. Lutasin ang equation gamit ang mga kilalang pamamaraan.

Halimbawa.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Solusyon.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

kasalanan 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Hayaan ang tg x = t, pagkatapos

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 o t = -4, ibig sabihin

tg x = 1 o tg x = -4.

Mula sa unang equation x = π/4 + πn, n Є Z; mula sa pangalawang equation x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Sagot: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Paraan ng pagbabago ng isang equation gamit ang mga trigonometric formula

Diagram ng solusyon

Hakbang 1. Gamit ang lahat ng posibleng trigonometriko formula, bawasan ang equation na ito sa isang equation na nalutas ng mga pamamaraan I, II, III, IV.

Hakbang 2. Lutasin ang resultang equation gamit ang mga kilalang pamamaraan.

Halimbawa.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Solusyon.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) kasalanan 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 o 2cos x + 1 = 0;

Mula sa unang equation 2x = π/2 + πn, n Є Z; mula sa pangalawang equation cos x = -1/2.

Mayroon kaming x = π/4 + πn/2, n Є Z; mula sa pangalawang equation x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Bilang resulta, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Sagot: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Ang mga equation ng trigonometric ay sumasakop sa isang mahalagang lugar sa proseso ng pag-aaral ng matematika at personal na pag-unlad sa pangkalahatan.

May mga tanong pa ba? Hindi mo alam kung paano lutasin ang mga equation ng trigonometriko?
Upang makakuha ng tulong mula sa isang tagapagturo -.
Ang unang aralin ay libre!

blog.site, kapag kumukopya ng materyal nang buo o bahagi, kinakailangan ang isang link sa orihinal na pinagmulan.

Ang mga trigonometric equation ay hindi isang madaling paksa. Masyado silang magkakaibang.) Halimbawa, ang mga ito:

kasalanan 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = cot(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

atbp...

Ngunit ang mga ito (at lahat ng iba pang) trigonometric monsters ay may dalawang karaniwan at obligadong tampok. Una - hindi ka maniniwala - may mga trigonometric function sa mga equation.) Pangalawa: lahat ng expression na may x ay matatagpuan sa loob ng parehong mga function na ito. At doon lang! Kung lilitaw ang X sa isang lugar sa labas, Halimbawa, sin2x + 3x = 3, magiging equation na ito halo-halong uri. Ang ganitong mga equation ay nangangailangan indibidwal na diskarte. Hindi namin sila isasaalang-alang dito.

Hindi rin natin lulutasin ang masasamang equation sa araling ito.) Dito natin haharapin ang pinakasimpleng trigonometriko equation. Bakit? Oo dahil ang solusyon anuman Ang mga equation ng trigonometriko ay binubuo ng dalawang yugto. Sa unang yugto, ang masamang equation ay nabawasan sa isang simple sa pamamagitan ng iba't ibang pagbabago. Sa pangalawa, ang pinakasimpleng equation na ito ay nalutas. Walang ibang paraan.

Kaya, kung mayroon kang mga problema sa ikalawang yugto, ang unang yugto ay hindi gaanong makabuluhan.)

Ano ang hitsura ng elementarya na trigonometric equation?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Dito A ay kumakatawan sa anumang numero. Anuman.

Sa pamamagitan ng paraan, sa loob ng isang function ay maaaring walang purong X, ngunit ilang uri ng pagpapahayag, tulad ng:

cos(3x+π /3) = 1/2

atbp. Ginagawa nitong kumplikado ang buhay, ngunit hindi nakakaapekto sa paraan ng paglutas ng isang trigonometriko equation.

Paano malutas ang mga equation ng trigonometriko?

Ang mga equation ng trigonometric ay maaaring malutas sa dalawang paraan. Ang unang paraan: gamit ang logic at ang trigonometric circle. Titingnan natin ang landas na ito dito. Ang ikalawang paraan - gamit ang memorya at mga formula - ay tatalakayin sa susunod na aralin.

Ang unang paraan ay malinaw, maaasahan, at mahirap kalimutan.) Ito ay mabuti para sa paglutas ng mga trigonometric equation, hindi pagkakapantay-pantay, at lahat ng uri ng nakakalito na hindi karaniwang mga halimbawa. Ang lohika ay mas malakas kaysa sa memorya!)

Paglutas ng mga equation gamit ang isang trigonometric na bilog.

Kasama namin ang elementarya na lohika at ang kakayahang gamitin ang trigonometriko na bilog. Hindi mo ba alam kung paano? Gayunpaman... Mahihirapan ka sa trigonometry...) Ngunit hindi mahalaga. Tingnan ang mga aralin na "Trigonometric circle...... Ano ito?" at "Pagsukat ng mga anggulo sa isang trigonometric na bilog." Simple lang ang lahat doon. Hindi tulad ng mga aklat-aralin...)

Alam mo na!? At pinagkadalubhasaan pa ang "Praktikal na gawain sa trigonometric circle"!? Binabati kita. Ang paksang ito ay magiging malapit at mauunawaan sa iyo.) Ang nakatutuwa ay ang trigonometriko na bilog ay walang pakialam kung anong equation ang iyong malulutas. Sine, cosine, tangent, cotangent - lahat ay pareho para sa kanya. Mayroon lamang isang prinsipyo ng solusyon.

Kaya kumukuha kami ng anumang elementarya na trigonometric equation. Hindi bababa sa ito:

cosx = 0.5

Kailangan nating hanapin si X. Kung mag-uusap tayo wika ng tao, kailangan hanapin ang anggulo (x) na ang cosine ay 0.5.

Paano natin ginamit ang bilog dati? Gumuhit kami ng isang anggulo dito. Sa mga degree o radian. At kaagad nakita trigonometriko function ng anggulong ito. Ngayon gawin natin ang kabaligtaran. Gumuhit tayo ng cosine sa bilog na katumbas ng 0.5 at kaagad makikita natin sulok. Ang natitira na lang ay isulat ang sagot.) Oo, oo!

Gumuhit ng bilog at markahan ang cosine na katumbas ng 0.5. Sa cosine axis, siyempre. Ganito:

Ngayon ay iguhit natin ang anggulo na ibinibigay sa atin ng cosine na ito. I-hover ang iyong mouse sa ibabaw ng larawan (o pindutin ang larawan sa iyong tablet), at makikita mo mismong sulok na ito X.

Ang cosine ng aling anggulo ay 0.5?

x = π /3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Ang ilang mga tao ay tatawa nang may pag-aalinlangan, oo... Tulad ng, sulit bang gumawa ng bilog kapag malinaw na ang lahat... Maaari mo, siyempre, tumawa...) Ngunit ang katotohanan ay ito ay isang maling sagot. O sa halip, hindi sapat. Nauunawaan ng mga connoisseurs ng bilog na mayroong isang buong grupo ng iba pang mga anggulo dito na nagbibigay din ng cosine na 0.5.

Kung iikot mo ang gumagalaw na bahagi OA buong pagliko, babalik ang point A sa orihinal nitong posisyon. Na may parehong cosine na katumbas ng 0.5. Yung. magbabago ang anggulo sa pamamagitan ng 360° o 2π radians, at cosine - hindi. Ang bagong anggulo 60° + 360° = 420° ay magiging solusyon din sa ating equation, dahil

ganyan buong rebolusyon maaari mong i-wind up ang isang walang katapusang numero... At lahat ng mga bagong anggulong ito ay magiging mga solusyon sa ating trigonometric equation. At lahat sila ay kailangang isulat kahit papaano bilang tugon. Lahat. Kung hindi, ang desisyon ay hindi binibilang, oo...)

Magagawa ito ng matematika nang simple at elegante. Isulat sa isang maikling sagot walang katapusang set mga desisyon. Narito kung ano ang hitsura nito para sa aming equation:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

I-decipher ko ito. Sumulat pa rin makahulugan Ito ay mas kaaya-aya kaysa sa hangal na pagguhit ng ilang mahiwagang mga titik, tama?)

π /3 - ito ay ang parehong sulok na namin nakita sa bilog at determinado ayon sa cosine table.

2π ay isang kumpletong rebolusyon sa radians.

n - ito ang bilang ng mga kumpleto, i.e. buo rpm Ito ay malinaw na n maaaring katumbas ng 0, ±1, ±2, ±3.... at iba pa. Tulad ng ipinahiwatig ng maikling entry:

n ∈ Z

n kabilang ( ∈ ) set ng mga integer ( Z ). Sa pamamagitan ng paraan, sa halip na ang sulat n maaaring gamitin ang mga titik k, m, t atbp.

Ang notasyong ito ay nangangahulugan na maaari kang kumuha ng anumang integer n . Hindi bababa sa -3, hindi bababa sa 0, hindi bababa sa +55. Kahit anong gusto mo. Kung papalitan mo ang numerong ito sa sagot, makakakuha ka ng isang tiyak na anggulo, na tiyak na magiging solusyon sa aming malupit na equation.)

O, sa madaling salita, x = π /3 ay ang tanging ugat ng isang walang katapusang set. Upang makuha ang lahat ng iba pang mga ugat, sapat na upang magdagdag ng anumang bilang ng mga buong rebolusyon sa π /3 ( n ) sa radians. Yung. 2πn radian.

Lahat? Hindi. Sinadya kong pahabain ang kasiyahan. Para mas maalala.) Bahagi lang ng mga sagot sa equation namin ang natanggap namin. Isusulat ko itong unang bahagi ng solusyon tulad nito:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - hindi lamang isang ugat, ngunit isang buong serye ng mga ugat, na isinulat sa maikling anyo.

Ngunit mayroon ding mga anggulo na nagbibigay din ng cosine na 0.5!

Bumalik tayo sa ating larawan kung saan isinulat natin ang sagot. Narito siya:

I-hover ang iyong mouse sa larawan at Nakikita namin ibang anggulo yan nagbibigay din ng cosine na 0.5. Ano sa tingin mo ang katumbas nito? Ang mga tatsulok ay pareho... Oo! Siya katumbas ng anggulo X , naantala lamang sa negatibong direksyon. Ito ang sulok -X. Ngunit nakalkula na namin ang x. π /3 o 60°. Samakatuwid, maaari naming ligtas na magsulat:

x 2 = - π /3

Well, siyempre, idinagdag namin ang lahat ng mga anggulo na nakuha sa pamamagitan ng buong rebolusyon:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Iyon lang ngayon.) Sa trigonometric circle namin nakita(sino ang nakakaintindi, siyempre)) Lahat ang mga anggulo na nagbibigay ng cosine na 0.5. At isinulat namin ang mga anggulong ito sa isang maikling mathematical form. Ang sagot ay nagresulta sa dalawang walang katapusang serye ng mga ugat:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Ito ang tamang sagot.

pag-asa, pangkalahatang prinsipyo para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko ang paggamit ng bilog ay malinaw. Minarkahan namin ang cosine (sine, tangent, cotangent) mula sa ibinigay na equation sa isang bilog, iguhit ang mga anggulo na naaayon dito at isulat ang sagot. Siyempre, kailangan nating malaman kung anong mga sulok tayo nakita sa bilog. Minsan hindi masyadong halata. Well, sinabi ko na kailangan ang logic dito.)

Halimbawa, tingnan natin ang isa pang trigonometric equation:

Mangyaring isaalang-alang na ang bilang na 0.5 ay hindi lamang ang posibleng numero sa mga equation!) Mas maginhawa para sa akin na isulat ito kaysa sa mga ugat at praksyon.

Nagtatrabaho kami ayon sa pangkalahatang prinsipyo. Gumuhit kami ng isang bilog, markahan (sa sine axis, siyempre!) 0.5. Iginuhit namin ang lahat ng mga anggulo na naaayon sa sine na ito nang sabay-sabay. Nakuha namin ang larawang ito:

Hayaan muna natin ang anggulo X sa unang quarter. Naaalala namin ang talahanayan ng mga sine at tinutukoy ang halaga ng anggulong ito. Ito ay isang simpleng bagay:

x = π /6

Naaalala namin ang tungkol sa buong rebolusyon at, kasama ang malinis ang budhi, isinulat namin ang unang serye ng mga sagot:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Tapos na ang kalahati ng trabaho. Ngunit ngayon kailangan nating matukoy pangalawang kanto... Ito ay mas nakakalito kaysa sa paggamit ng mga cosine, oo... Ngunit ililigtas tayo ng lohika! Paano matukoy ang pangalawang anggulo sa pamamagitan ng x? Oo Madali! Ang mga tatsulok sa larawan ay pareho, at ang pulang sulok X katumbas ng anggulo X . Tanging ito ay binibilang mula sa anggulo π sa negatibong direksyon. Iyon ang dahilan kung bakit ito ay pula.) At para sa sagot kailangan namin ng isang anggulo, sinusukat nang tama, mula sa positibong semi-axis na OX, i.e. mula sa isang anggulo ng 0 degrees.

I-hover namin ang cursor sa ibabaw ng drawing at makita ang lahat. Inalis ko ang unang sulok upang hindi kumplikado ang larawan. Ang anggulo kung saan kami interesado (iginuhit sa berde) ay magiging katumbas ng:

π - x

X alam namin ito π /6 . Samakatuwid, ang pangalawang anggulo ay magiging:

π - π /6 = 5π /6

Muli naming naaalala ang tungkol sa pagdaragdag ng buong rebolusyon at isulat ang pangalawang serye ng mga sagot:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Iyon lang. Ang isang kumpletong sagot ay binubuo ng dalawang serye ng mga ugat:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Ang mga tangent at cotangent equation ay madaling malutas gamit ang parehong pangkalahatang prinsipyo para sa paglutas ng mga trigonometriko equation. Kung, siyempre, alam mo kung paano gumuhit ng tangent at cotangent sa isang trigonometriko na bilog.

Sa mga halimbawa sa itaas, ginamit ko ang table value ng sine at cosine: 0.5. Yung. isa sa mga kahulugan na alam ng mag-aaral dapat. Ngayon palawakin natin ang ating mga kakayahan upang lahat ng iba pang mga halaga. Magpasya, kaya magpasya!)

Kaya, sabihin nating kailangan nating lutasin ang trigonometric equation na ito:

Ang ganitong halaga ng cosine sa maikling mga talahanayan Hindi. Malamig naming binabalewala ang kakila-kilabot na katotohanang ito. Gumuhit ng bilog, markahan ang 2/3 sa cosine axis at iguhit ang kaukulang mga anggulo. Nakukuha namin ang larawang ito.

Tingnan natin, una, sa anggulo sa unang quarter. Kung alam lang natin kung ano ang katumbas ng x, agad nating isusulat ang sagot! Hindi namin alam... Failure!? Kalmado! Hindi iniiwan ng matematika ang sarili nitong mga tao sa problema! Nakaisip siya ng mga arc cosine para sa kasong ito. Hindi alam? walang kabuluhan. Alamin, Ito ay mas madali kaysa sa iyong iniisip. Walang isang nakakalito na spell tungkol sa "inverse trigonometric functions" sa link na ito... Ito ay kalabisan sa paksang ito.

Kung alam mo, sabihin lang sa iyong sarili: "Ang X ay isang anggulo na ang cosine ay katumbas ng 2/3." At kaagad, sa pamamagitan lamang ng kahulugan ng arc cosine, maaari nating isulat:

Naaalala namin ang tungkol sa mga karagdagang rebolusyon at mahinahong isulat ang unang serye ng mga ugat ng aming trigonometric equation:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Ang pangalawang serye ng mga ugat para sa pangalawang anggulo ay halos awtomatikong naisulat. Ang lahat ay pareho, ang X (arccos 2/3) lamang ang magkakaroon ng minus:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

At ayun na nga! Ito ang tamang sagot. Kahit na mas madali kaysa sa mga halaga ng talahanayan. Hindi na kailangang tandaan ang anuman.) Sa pamamagitan ng paraan, ang pinaka-matulungin ay mapapansin na ang larawang ito ay nagpapakita ng solusyon sa pamamagitan ng arc cosine mahalagang hindi naiiba mula sa larawan para sa mga equation ng cosx = 0,5.

Eksakto! Pangkalahatang prinsipyo Kaya pala karaniwan! Sinadya kong gumuhit ng dalawang halos magkaparehong larawan. Ipinapakita sa amin ng bilog ang anggulo X sa pamamagitan ng cosine nito. Kung ito ay isang tabular cosine o hindi ay hindi alam ng lahat. Anong uri ng anggulo ito, π /3, o kung ano ang arc cosine - nasa atin na ang pagpapasya.

Parehong kanta na may sine. Halimbawa:

Gumuhit muli ng isang bilog, markahan ang sine na katumbas ng 1/3, iguhit ang mga anggulo. Ito ang nakuha naming larawan:

At muli ang larawan ay halos kapareho ng para sa equation sinx = 0.5. Muli tayong magsisimula sa kanto sa unang quarter. Ano ang katumbas ng X kung ang sine nito ay 1/3? Walang problema!

Ngayon ang unang pakete ng mga ugat ay handa na:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Harapin natin ang pangalawang anggulo. Sa halimbawa na may halaga ng talahanayan na 0.5, ito ay katumbas ng:

π - x

Ito ay magiging eksaktong pareho din dito! Ang x lang ang naiiba, arcsin 1/3. E ano ngayon!? Maaari mong ligtas na isulat ang pangalawang pakete ng mga ugat:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Ito ay isang ganap na tamang sagot. Bagama't hindi ito masyadong pamilyar. Ngunit ito ay malinaw, umaasa ako.)

Ito ay kung paano nalulutas ang mga trigonometric equation gamit ang isang bilog. Ang landas na ito ay malinaw at naiintindihan. Siya ang nagtitipid sa mga trigonometric equation na may pagpili ng mga ugat sa isang naibigay na pagitan, in mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko- ang mga ito ay karaniwang nareresolba halos palaging sa isang bilog. Sa madaling salita, sa anumang mga gawain na medyo mas mahirap kaysa sa mga karaniwang gawain.

Ilapat natin ang kaalaman sa pagsasanay?)

Lutasin ang mga equation ng trigonometriko:

Una, mas simple, diretso mula sa araling ito.

Ngayon ay mas kumplikado.

Pahiwatig: dito kailangan mong isipin ang tungkol sa bilog. Sa personal.)

At ngayon sila ay panlabas na simple... Tinatawag din silang mga espesyal na kaso.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Hint: dito kailangan mong malaman sa isang bilog kung saan mayroong dalawang serye ng mga sagot at kung saan mayroong isa... At kung paano magsulat ng isa sa halip na dalawang serye ng mga sagot. Oo, upang walang isang ugat mula sa isang walang katapusang bilang ang nawala!)

Well, napaka-simple):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Hint: dito kailangan mong malaman kung ano ang arcsine at arccosine? Ano ang arctangent, arccotangent? Ang pinaka mga simpleng kahulugan. Ngunit hindi mo kailangang tandaan ang anumang mga halaga ng talahanayan!)

Ang mga sagot ay, siyempre, isang gulo):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0.3 + 2

Hindi ba gumagana ang lahat? Nangyayari. Basahin muli ang aralin. Tanging nag-iisip(may ganyan lipas na salita...) At sundin ang mga link. Ang mga pangunahing link ay tungkol sa bilog. Kung wala ito, ang trigonometry ay parang tumatawid sa kalsada na nakapiring. Minsan ito ay gumagana.)

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Matuto tayo - nang may interes!)

Maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.