Aralin Blg. 19-20 Paksa: Trigonometric inequalities

Uri ng aralin: may pagkakaiba, may problema.

Layunin ng aralin: Pagpapabuti mga kasanayan sa pakikipag-ugnayan sa klase sa mga pangkat, paglutas ng mga problema sa problema. Pagbuo ng mga kakayahan sa sariling pagtatasa ng mga mag-aaral. Organisasyon ng magkasanib na aktibidad na pang-edukasyon, na ginagawang posible na bumalangkas at malutas ang mga problemang problema.

Mga layunin ng aralin:

Pang-edukasyon: Ulitin ang mga algorithm para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko; pagsamahin ang mga kasanayan sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko; ipakilala ang mga mag-aaral sa paglutas ng isang sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko; bumuo ng isang algorithm para sa paglutas ng isang sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko; pagsama-samahin ang kakayahang malutas ang isang sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko

Pag-unlad: Matutong maglagay ng hypothesis at mahusay na ipagtanggol ang iyong opinyon gamit ang ebidensya. Magagawang makilala at malutas ang mga problemang may problema. Subukan ang iyong kakayahan na gawing pangkalahatan at i-systematize ang iyong kaalaman.

Pang-edukasyon: Dagdagan ang interes sa paksa at maghanda para sa paglutas ng mas kumplikadong mga problema.

Aralin 1

1. Pagpapakilala ng organisasyon. Pagtatakda ng gawain sa pag-aaral.

Ang klase ay nahahati sa tatlong pangkat na nagbubuklod sa mga mag-aaral na may parehong antas ng kaalaman.

Pangkat I "A"

II pangkat "B"

III pangkat "C"

Mga mag-aaral na nag-aaral nang may kondisyon sa "3"

Mga mag-aaral na nag-aaral nang may kondisyon sa "4"

Mga mag-aaral na nag-aaral nang may kondisyon sa "5"

Ang bawat mag-aaral ay tumatanggap ng personal na achievement sheet.

Guro: Tingnang mabuti ang sheet ng mga personal na tagumpay. Ilagay ang iyong apelyido, pangalan at pangalan ng grupo. Ang paksa ng aming aralin ay "Paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometric, mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay." Kasama mo kami ngayon

Ulitin natin ang mga algorithm para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko;

Palakasin natin ang kakayahang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko;

Kilalanin natin ang solusyon sa sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko;

Bumuo tayo ng isang algorithm para sa paglutas ng isang sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko;

Palalakasin natin ang kakayahang lutasin ang isang sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko;

Maglaro tayo ng isang tugma sa computer.

1. Pag-uulit

Ang algorithm para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko ay inuulit gamit ang mga slide. Bago ipakita ang bawat slide, itinakda ng guro ang gawain: "Sabihin ang algorithm para sa paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay," at tumawag ng 4 na mag-aaral, isa para sa bawat punto ng algorithm. Binibigkas ng bawat mag-aaral ang nilalaman ng isa sa mga punto ng algorithm at pagkatapos lamang lumitaw ang impormasyon sa slide. Marahil ay gagawa ng sariling komento ang mag-aaral; ang bahaging ito ng sagot ay naka-italic sa teksto.

Guro: .

Guro: Ipaliwanag ang algorithm para sa paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay

Guro: Ipaliwanag ang algorithm para sa paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay

Guro: Ipaliwanag ang algorithm para sa paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay

2. Magpangkat-pangkat

Namamahagi ang guro sa bawat mag-aaral sa mga sheet ng album ng pangkat kung saan iginuhit ang 3 numerical trigonometriko na bilog. (Iba-ibang handout)

Guro: Dapat lutasin ng bawat mag-aaral ang 3 problema. Sa pangkat na "A" ang isang gawain ay may problema (ang huli). Sa pangkat na "B" dalawang gawain ang may problema (ang huling dalawa). Sa pangkat "C" lahat ng mga gawain ay may problema. Sa loob ng 5 minuto, tinutulungan ng mga mag-aaral ang isa't isa na alamin ang mga takdang-aralin, pagkatapos sa loob ng 10 minuto, lutasin ng mga mag-aaral ang mga takdang-aralin nang mag-isa at, habang nalulutas nila ang problema, pumunta sa pisara at i-pin ang kanilang mga piraso ng papel gamit ang solusyon sa pisara.

Sinusuri ng guro ang mga ito habang naka-post ang mga ito. Para sa isang wastong nalutas na gawain, isang "+" ang ibinibigay, at para sa isang maling nalutas na gawain, isang "-" ay ibinibigay. Pagkatapos ng 10 minuto, huminto ang solusyon at magsisimula ang pagsusuri ng mga nalutas na gawain sa loob ng 5 minuto. Ang mga problemang gawain lamang ang sinusuri, ngunit kung may pangangailangan, maaaring masuri ang iba pang mga gawain.

Pangkatang takdang-aralin para sa mga mag-aaral

Pangkat I "A"

Gawain Blg. 3 ng tumaas na kahirapan para sa antas na "A"

II pangkat "B"

Mga Gawain Blg. 2 at Blg. 3 ng tumaas na kahirapan para sa antas na "B"

III pangkat "C"

2.

3.

2.

3.

2.

3.

2.

3.

2.

2.

2.

3.

Lahat ng mga gawain ng tumaas na kahirapan para sa antas

"SA"

Guro: Ang mga mag-aaral ay nakikipagkumpitensya sa loob ng grupo (ang mga namamahala sa pag-post ng mga tamang takdang-aralin ay makakatanggap ng karagdagang 3 puntos para sa bilis). Ang mga koponan ay nakikipagkumpitensya din sa isa't isa (ang mga pangkat ng mag-aaral ay makakatanggap ng 3 karagdagang puntos kung ang pangkat na ito ay may mas wastong paglutas ng mga gawain)

Ang mga karagdagang puntos para sa bilis ay ibinibigay ng guro sa huling hanay.

Aralin 2

Indibidwal na pagsusulit sa isang problemadong paksa

Guro: Alalahanin natin kung paano lutasin ang isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay ng anyo:

Sagot:

Ang guro ay tumawag ng isang mag-aaral mula sa pangkat "C" hanggang sa pisara upang lutasin ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay, ang mga mag-aaral mula sa pangkat "B" ay boses ang solusyon mula sa kanilang mga upuan.

Guro: Ang bawat pangkat ay binibigyan ng isang problema sa anyo ng paglutas ng tatlong sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko (bawat grupo ay tumatanggap ng parehong mga sistema, ibig sabihin, ang lahat ng mga mag-aaral ay nasa pantay na mga kondisyon).

№1.

Sagot: .

: malaking arko.

AT .

.

Piliin ang pabilog na arko na naaayon sa pagitan: malaking arko.

Isulat ang mga numerical na halaga ng mga punto ng hangganan ng arko: At .

Isulat ang pangkalahatang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay:.

3. Mag-aaral ng pangkat "C" (3 puntos) (isang mag-aaral mula sa parehong grupo ay tumulong mula sa lugar):

- Piliin ang intersection ng mga arko at tukuyin ang mga numerical na halaga ng mga hangganan ng mga nagresultang arko: At ; At .

Isulat ang pangkalahatang solusyon sa sistema ng hindi pagkakapantay-pantay:

№2 Lumikha ng isang algorithm at lutasin ang isang sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko ng anyo:

Sagot: .

Ang mga grupo ay binibigyan ng 2 minuto upang talakayin ang problema, at pagkatapos ay ang guro mismo ang tumawag sa mga mag-aaral sa pisara, na, gamit ang mga inihandang bilog, kasama ang nakatagong pahiwatig ng guro, ay malulutas ang isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay. Tinatawag ng guro ang mga mag-aaral mula sa iba't ibang grupo, hinihiling sa kanila na tapusin ang mga gawain na may iba't ibang kahirapan. Ang isang estudyante ay nagtatrabaho sa board, at ang isa ay tumutulong mula sa upuan.

Mag-aaral ng pangkat "A" (3 puntos) (isang mag-aaral mula sa parehong grupo ay tumulong mula sa upuan):

Piliin ang pabilog na arko na naaayon sa pagitan: malaking arko.

Isulat ang mga numerical na halaga ng mga punto ng hangganan ng arko: At .

Isulat ang pangkalahatang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay:.

2. Mag-aaral ng pangkat "B" (3 puntos) (isang mag-aaral mula sa parehong grupo ay tumulong mula sa lugar):

Piliin ang pabilog na arko na naaayon sa pagitan: mas maliit na arko.

Isulat ang mga numerical na halaga ng mga punto ng hangganan ng arko: At . Lumikha ng isang algorithm at lutasin ang isang sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko ng anyo:

Sagot: .

Ang mga grupo ay binibigyan ng 2 minuto upang talakayin ang problema, at pagkatapos ay ang guro mismo ang tumawag sa mga mag-aaral sa pisara, na, gamit ang mga inihandang bilog, kasama ang nakatagong pahiwatig ng guro, ay malulutas ang isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay. Tinatawag ng guro ang mga mag-aaral mula sa iba't ibang grupo, hinihiling sa kanila na tapusin ang mga gawain na may iba't ibang kahirapan. Ang isang estudyante ay nagtatrabaho sa board, at ang isa ay tumutulong mula sa upuan.

Mag-aaral ng pangkat "A" (3 puntos) (isang mag-aaral mula sa parehong grupo ay tumulong mula sa upuan):

Piliin ang pabilog na arko na naaayon sa pagitan.

5. Pagbubuod

Kasama mo kami:

Inulit namin ang mga algorithm para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko;

Nalutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko sa mga pangkat, parehong simple at may problema;

Sinuri namin ang solusyon ng 3 trigonometric system ng hindi pagkakapantay-pantay;

Nakabuo kami ng isang algorithm para sa paglutas ng isang sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko sa pangkalahatang anyo.

Karagdagang impormasyon para sa aralin:

Annex 1: Mga personal na nakamit na sheet.

Appendix 2: "Paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko"

Appendix 3 "Paglutas ng isang sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko"

Personal na Achievement Sheet

Apelyido Pangalan ________________________________________________

Pangkat_______________

1. Pag-uulit (lagyan ng tsek ang kahon):

0 puntos para sa maling sagot ______

1 b para sa hindi malinaw na sagot ______

2 puntos para sa isang malinaw na sagot ______

3 b para sa kakayahang maghanap at magtama ng error ______

2. Magpangkat-pangkat (lagyan ng tsek ang kahon):

0 puntos para sa isang hindi nalutas na gawain ______

1 b para sa isang maling desisyon (itinuwid ng guro ang pagkakamali) ______

2 puntos para sa isang maling desisyon (itinuwid ng mag-aaral ang pagkakamali) ______

3 puntos para sa wastong paglutas ng isang gawain ______

3. Indibidwal na pagsusulit sa isang problemadong paksa (lagyan ng tsek ang kahon):

0 puntos para sa hindi pakikilahok sa talakayan ng problema _______

1 b para sa pakikilahok sa talakayan ng problema _______

2b para sa aktibong pagtalakay sa problema _______

3 b para sa kakayahang lumikha ng isang algorithm para sa paglutas ng _______

I-rate ang iyong kaalaman

Modelo ng aralin sa paksa:

"Paglutas ng mga trigonometric equation at hindi pagkakapantay-pantay"

bilang bahagi ng pagpapatupad ng bahagi ng rehiyon sa matematika

para sa mga mag-aaral sa ika-10 baitang.

Pomykalova

Elena Viktorovna

guro sa matematika

Munisipal na institusyong pang-edukasyon pangalawang paaralan ng nayon ng Voskhod

distrito ng Balashovsky

Rehiyon ng Saratov

Ang layunin ng aralin.

1. Ibuod ang teoretikal na kaalaman sa paksa: "Paglutas ng mga trigonometrikong equation at hindi pagkakapantay-pantay", ulitin ang mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga trigonometrikong equation at hindi pagkakapantay-pantay.

2. Paunlarin ang mga katangian ng pag-iisip: flexibility, focus, rationality. Ayusin ang gawain ng mga mag-aaral sa tinukoy na paksa sa isang antas na tumutugma sa antas ng kaalaman na nabuo na.

3. Linangin ang kawastuhan ng mga tala, kultura ng pananalita, at pagsasarili.

Uri ng aralin: isang aral sa paglalahat at pagsasaayos ng kaalamang nakuha habang pinag-aaralan ang paksang ito.

Mga pamamaraan ng pagtuturo: generalization ng system, pagsusuri ng pagsubok sa antas ng kaalaman, paglutas ng mga problema sa generalization.

Mga anyo ng organisasyon ng aralin: pangharap, indibidwal.

Kagamitan: kompyuter , multimedia projector, mga sagutang papel, mga task card, talahanayan ng mga formula para sa mga ugat ng trigonometric equation.

Sa panahon ng mga klase.

ako . Pagsisimula ng aralin

Ipinapaalam ng guro sa mga mag-aaral ang tungkol sa paksa ng aralin, ang layunin, at hinihikayat ang atensyon ng mga mag-aaral sa mga handout.

II . Pagsubaybay sa kaalaman ng mag-aaral

1) Oral na gawain (Ang gawain ay ipapakita sa screen)

Kalkulahin:

A);

b);

V);

G);

d);
e) .

2) Frontal survey ng mga mag-aaral.

Anong mga equation ang tinatawag na trigonometric?

Anong mga uri ng trigonometric equation ang alam mo?

Anong mga equation ang tinatawag na pinakasimpleng trigonometric equation?

Anong mga equation ang tinatawag na homogenous?

Anong mga equation ang tinatawag na quadratic?

Anong mga equation ang tinatawag na inhomogeneous?

Anong mga paraan ng paglutas ng mga trigonometric equation ang alam mo?

Pagkatapos sumagot ng mga mag-aaral, ang ilang mga paraan upang malutas ang mga equation ng trigonometriko ay makikita sa screen.

Pagpapakilala ng bagong variable:

№1 . 2sin²x – 5sinx + 2 = 0.№2. tg + 3ctg = 4.

Hayaan sinx = t, |t|≤1, Hayaan tg = z,

Meron kami: 2 t² – 5 t + 2 = 0. Meron kami: z + = 4.

2. Factorization :

2 sinxcos 5 x – cos 5 x = 0;

cos5x (2sinx – 1) = 0.

Meron kami : cos5x = 0,

2sinx – 1 = 0; ...

3. Mga homogeneous na trigonometric equation:

ako degrees II degrees

a sinx + b cosx = 0, (a,b ≠ 0). a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0.

Hatiin sa pamamagitan ng cosx≠ 0. 1) kung a ≠ 0, hatiin sacos² x ≠ 0

Meron kami : isang tgx + b = 0; ...meron kami : a tg²x + b tgx + c = 0.

2) kung a = 0, kung gayon

meron kami: bsinxcosx + ccos² x =0;…

4. Mga hindi magkakatulad na trigonometric equation:

Mga equation ng form: asinx + bcosx = c

4 sinx + 3 cosx = 5.

(Ipakita ang dalawang paraan)

1) paggamit ng unibersal na pagpapalit:

sinx = (2 tgx/2) / (1 + tg 2 x/2);

cosx = (1– tg 2 x/2) / (1 + tg 2 x/2);

2) pagpapakilala ng pantulong na argumento:

4 sinx + 3 cosx = 5

Hatiin ang magkabilang panig ng 5:

4/5 sinx + 3/5 cosx = 1

Dahil (4/5) 2 + (3/5) 2 = 1, hayaan ang 4/5 = kasalananφ; 3/5= cosφ, kung saan 0< φ < π /2, pagkatapos

sinφsinx + cosφcosx = 1

cos(x – φ ) = 1

x – φ = 2 πn, n € Z

x = 2 πn + φ , n € Z

φ = arccos 3/5 ibig sabihin x = arcos 3/5 +2 πn, n € Z

Sagot: arccos 3/5 + 2 πn, n € Z

3) Paglutas ng mga equation gamit ang mga formula para sa pagbabawas ng antas.

4) Paglalapat ng doble at triple na mga formula ng argumento.

a) 2sin4xcos2x = 4cos 3 2x – 3cos2x

cos6x +cos2x = cos6x

III . Pagpapatupad ng isang pagsubok na gawain

Hinihiling ng guro sa mga mag-aaral na ilapat ang mga teoretikal na katotohanan na nabuo lamang upang malutas ang mga equation.

Ang gawain ay isinasagawa sa anyo ng isang pagsubok. Punan ng mga mag-aaral ang form ng sagot na matatagpuan sa kanilang mga mesa.

Ang gawain ay naka-project sa screen.

Magmungkahi ng paraan upang malutas ang trigonometric equation na ito:

1) pagbawas sa parisukat;

2) pagbawas sa homogeneity;

3) factorization;

4) pagbawas sa antas;

5) pag-convert ng kabuuan ng trigonometriko function sa isang produkto.

Form ng sagot.

Pagpipilian ako

Ang equation

Mga solusyon

3 sin²x + cos²x = 1 - sinx cosx

4 co s²x- cosx– 1 = 0

2 kasalanan² x / 2 +cosx=1

cosx + cos3x = 0

2 sinx cos5x – cos5x = 0

Pagpipilian II

Ang equation

Mga solusyon

2sinxcosx – sinx = 0

3 cos²x - cos2x = 1

6 sin²x + 4 sinx cosx = 1

4 sin²x + 11 sin²x = 3

sin3x = sin17x

Mga sagot:

Pagpipilian ako Pagpipilian II

IV . Pag-uulit ng mga formula upang malutas ang mga equation

Mga formula para sa mga ugat ng trigonometric equation.

Ay karaniwan

Pribado

Ang equation

Root formula

Ang equation

Root formula

1. sinx = a, |a|≤1

x = (-1) n arcsin a + πk,

kє Z

1. sinx = 0

x = πk, kє Z

2. cosx = a, |a|≤1

x = ± arccos a + 2πk,

kє Z

2. sinx = 1

x = + 2πk, k є Z

3. tg x = a

x = arctan a + πk, kє Z

3. sinx = –1

x = – + 2πk, k є Z

4.ctg x = a

x = arcctg a + πk,kє Z

4. cosx = 0

x = + πk, k є Z

5. cosx = 1

x = 2πk, k є Z

6. cosx = –1

x = π + 2πk, k є Z

Oral na gawain sa paglutas ng mga simpleng trigonometric equation

Hinihiling ng guro sa mga mag-aaral na ilapat ang mga teoretikal na katotohanan na nabuo lamang upang malutas ang mga equation. Isang simulator para sa oral na gawain sa paksang: "Mga Trigonometric equation" ay ipino-project sa screen.

Lutasin ang mga equation.

kasalananx = 0

cosx = 1

tan x = 0

ctg x = 1

kasalanan x = - 1 / 2

kasalanan x = 1

cos x = 1 / 2

kasalanan x = - √3 / 2

cos x = √2 / 2

kasalanan x = √2 / 2

cos x = √3 / 2

tan x = √3

kasalanan x = 1 / 2

kasalanan x = -1

cos x = - 1 / 2

kasalanan x = √3 / 2

tan x = -√3

ctg x = √3 / 3

tan x = - √3 / 3

higaan x = -√3

cos x – 1 =0

2 kasalanan x – 1 =0

2ctg x + √3 = 0

V . Paglutas ng mga halimbawa.

Ang mga card na may mga gawain ay ipinamamahagi sa bawat desk, ang isa ay nasa mesa ng guro para sa mga mag-aaral na pumupunta sa board.

№1. Hanapin ang arithmetic mean ng lahat ng mga ugat ng equation , nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon ;

Solusyon.

Hanapin natin ang arithmetic mean ng lahat ng mga ugat ng isang ibinigay na equation mula sa pagitan .

.

Sagot: a).

№2 . Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay .

Solusyon.

,

,

.

Sagot:

№3. Lutasin ang equation .

(Sama-samang tukuyin ang isang paraan para sa paglutas ng problema)

Solusyon.

Tantyahin natin ang kanan at kaliwang bahagi ng huling pagkakapantay-pantay.

Samakatuwid, ang pagkakapantay-pantay ay nananatili kung at tanging kung ang sistema ay humahawak

Sagot: 0.5

VI . Pansariling gawain

Ang guro ay nagbibigay ng mga gawain para sa malayang gawain. Ang mga card ay inihanda ayon sa mga antas ng kahirapan.

Ang mga mas handa na mag-aaral ay maaaring bigyan ng mga kard na may mga gawain na mas mataas ang antas ng pagiging kumplikado.

Binigyan ng guro ang mga mag-aaral ng mga card ng 2nd group na may mga gawain ng isang pangunahing antas ng pagiging kumplikado.

Para sa mga mag-aaral ng ika-3 pangkat, ang guro ay nag-compile ng mga card na may mga gawain ng isang pangunahing antas ng pagiging kumplikado, ngunit ito ay, bilang isang patakaran, mga mag-aaral na may mahinang paghahanda sa matematika; maaari nilang kumpletuhin ang mga gawain sa ilalim ng pangangasiwa ng guro.

Kasama ng mga takdang-aralin, ang mga mag-aaral ay tumatanggap ng mga form upang makumpleto ang mga takdang-aralin.

1 pangkat

Opsyon #1 (1)

1. Lutasin ang equation

2. Lutasin ang equation .

Opsyon #2 (1)

1. Lutasin ang equation .

2. Lutasin ang equation .

2nd group

Opsyon #1 (2)

1. Lutasin ang equation .

2. Lutasin ang equation .