Alam namin na ang mga halaga ng cosine ay nasa hanay [-1; 1], ibig sabihin. -1 ≤ cos α ≤ 1. Samakatuwid, kung |a| > 1, kung gayon ang equation cos x = a ay walang mga ugat. Halimbawa, ang equation cos x = -1.5 ay walang mga ugat.

Isaalang-alang natin ang ilang mga problema.

Lutasin ang equation cos x = 1/2.

Solusyon.

Alalahanin na ang cos x ay ang abscissa ng isang punto sa isang bilog na may radius na katumbas ng 1, na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng puntong P (1; 0) sa pamamagitan ng isang anggulo x sa paligid ng pinanggalingan.

Ang abscissa 1/2 ay nasa dalawang punto ng bilog na M 1 at M 2. Dahil 1/2 = cos π/3, makakakuha tayo ng point M 1 mula sa point P (1; 0) sa pamamagitan ng pag-ikot sa pamamagitan ng anggulo x 1 = π/3, gayundin ng mga anggulo x = π/3 + 2πk, kung saan k = +/-1, +/-2, …

Ang punto M 2 ay nakukuha mula sa puntong P (1; 0) sa pamamagitan ng pag-ikot sa pamamagitan ng isang anggulo x 2 = -π/3, gayundin ng mga anggulo -π/3 + 2πk, kung saan ang k = +/-1, +/-2 ,...

Kaya ang lahat ng mga ugat cos equation x = 1/2 ay matatagpuan gamit ang mga formula
x = π/3 + 2πk
x = -π/3 + 2πk,

Ang dalawang ipinakita na mga formula ay maaaring pagsamahin sa isa:

x = +/-π/3 + 2πk, k € Z.

Lutasin ang equation cos x = -1/2.

Solusyon.

Ang dalawang punto ng bilog na M 1 at M 2 ay may abscissa na katumbas ng – 1/2. Dahil -1/2 = cos 2π/3, anggulo x 1 = 2π/3, at samakatuwid anggulo x 2 = -2π/3.

Dahil dito, ang lahat ng ugat ng equation cos x = -1/2 ay matatagpuan gamit ang formula: x = +/-2π/3 + 2πk, k € Z.

Kaya, ang bawat isa sa mga equation cos x = 1/2 at cos x = -1/2 ay may walang katapusang bilang ng mga ugat. Sa pagitan ng 0 ≤ x ≤ π, ang bawat isa sa mga equation na ito ay may isang ugat lamang: x 1 = π/3 ang ugat ng equation cos x = 1/2 at x 1 = 2π/3 ang ugat ng equation cos x = -1/2.

Ang numerong π/3 ay tinatawag na arccosine ng numerong 1/2 at nakasulat: arccos 1/2 = π/3, at ang bilang na 2π/3 ay tinatawag na arccosine ng numero (-1/2) at nakasulat : arccos (-1/2) = 2π/3 .

Sa pangkalahatan, ang equation cos x = a, kung saan -1 ≤ a ≤ 1, ay may isang ugat lamang sa pagitan 0 ≤ x ≤ π. Kung ang isang ≥ 0, kung gayon ang ugat ay nakapaloob sa pagitan ; kung ang< 0, то в промежутке (π/2; π]. Этот корень называют арккосинусом числа а и обозначают: arccos а.

Kaya, ang arc cosine ng numerong a € [-1; Ang 1 ] ay isang numerong a € na ang cosine ay katumbas ng a:

arccos а = α, kung cos α = а at 0 ≤ а ≤ π (1).

Halimbawa, arccos √3/2 = π/6, dahil cos π/6 = √3/2 at 0 ≤ π/6 ≤ π;
arccos (-√3/2) = 5π/6, dahil cos 5π/6 = -√3/2 at 0 ≤ 5π/6 ≤ π.

Sa parehong paraan tulad ng ginawa sa proseso ng paglutas ng mga problema 1 at 2, maipapakita na ang lahat ng mga ugat ng equation cos x = a, kung saan |a| ≤ 1, na ipinahayag ng formula

x = +/-arccos a + 2 πn, n € Z (2).

Lutasin ang equation cos x = -0.75.

Solusyon.

Gamit ang formula (2) nakita natin ang x = +/-arccos (-0.75) + 2 πn, n € Z.

Ang halaga ng arcos (-0.75) ay tinatayang matatagpuan sa figure sa pamamagitan ng pagsukat ng anggulo gamit ang isang protractor. Ang tinatayang mga halaga ng arc cosine ay maaari ding matagpuan gamit ang mga espesyal na talahanayan (Bradis tables) o isang microcalculator. Halimbawa, ang halaga ng arccos (-0.75) ay maaaring kalkulahin sa isang microcalculator upang magbigay ng tinatayang halaga na 2.4188583. Kaya, arccos (-0.75) ≈ 2.42. Samakatuwid, ang arccos (-0.75) ≈ 139°.

Sagot: arccos (-0.75) ≈ 139°.

Lutasin ang equation (4cos x – 1)(2cos 2x + 1) = 0.

Solusyon.

1) 4cos x – 1 = 0, cos x = 1/4, x = +/-arcos 1/4 + 2 πn, n € Z.

2) 2cos 2x + 1 = 0, cos 2x = -1/2, 2x = +/-2π/3 + 2 πn, x = +/-π/3 + πn, n € Z.

Sagot. x = +/-arcos 1/4 + 2 πn, x = +/-π/3 + πn.

Mapapatunayan na para sa anumang € [-1; 1] ang formula arccos (-а) = π – arccos а (3) ay wasto.

Pinapayagan ka ng formula na ito na ipahayag ang mga halaga ng mga arc cosine mga negatibong numero sa pamamagitan ng mga halaga ng arc cosine mga positibong numero. Halimbawa:

arccos (-1/2) = π – arccos 1/2 = π – π/3 = 2π/3;

arccos (-√2/2) = π – arccos √2/2 = π – π/4 = 3π/4

mula sa formula (2) sumusunod na ang mga ugat ng equation, cos x = a para sa a = 0, a = 1 at a = -1 ay matatagpuan gamit ang mas simpleng mga formula:

cos x = 0 x = π/2 + πn, n € Z (4)

cos x = 1 x = 2πn, n € Z (5)

cos x = -1 x = π + 2πn, n € Z (6).

website, kapag kumukopya ng materyal nang buo o bahagi, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.

Nakasentro sa isang punto A.
α - anggulo na ipinahayag sa radians.

Kahulugan
Sine (sin α)- Ito trigonometriko function, depende sa anggulo α sa pagitan ng hypotenuse at ng binti kanang tatsulok, katumbas ng ratio ng haba ng tapat na bahagi |BC| sa haba ng hypotenuse |AC|.

Cosine (cos α) ay isang trigonometric function depende sa anggulo α sa pagitan ng hypotenuse at ng binti ng isang right triangle, katumbas ng ratio ng haba ng katabing binti |AB| sa haba ng hypotenuse |AC|.

Mga tinatanggap na notasyon

;
;
.

;
;
.

Graph ng sine function, y = sin x

Graph ng cosine function, y = cos x

Mga katangian ng sine at cosine

Periodicity

Mga function y = kasalanan x at y = kasi x periodic na may period 2π.

Pagkakapantay-pantay

Ang pag-andar ng sine ay kakaiba. Ang cosine function ay pantay.

Domain ng kahulugan at mga halaga, extrema, pagtaas, pagbaba

Ang mga function ng sine at cosine ay tuluy-tuloy sa kanilang domain ng kahulugan, iyon ay, para sa lahat ng x (tingnan ang patunay ng pagpapatuloy). Ang kanilang mga pangunahing katangian ay ipinakita sa talahanayan (n - integer).

	y = kasalanan x	y = kasi x
Saklaw at pagpapatuloy	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Saklaw ng mga halaga	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Tumataas
Pababa
Maxima, y ​​= 1
Minima, y ​​= - 1
Mga zero, y = 0
Harangin ang mga puntos na may ordinate axis, x = 0	y = 0	y = 1

Mga pangunahing formula

Kabuuan ng mga parisukat ng sine at cosine

Mga formula para sa sine at cosine mula sa kabuuan at pagkakaiba

;
;

Mga formula para sa produkto ng mga sine at cosine

Mga formula ng kabuuan at pagkakaiba

Pagpapahayag ng sine sa pamamagitan ng cosine

;
;
;
.

Pagpapahayag ng cosine sa pamamagitan ng sine

;
;
;
.

Pagpapahayag sa pamamagitan ng tangent

; .

Kapag , mayroon tayong:
; .

Sa:
; .

Talaan ng mga sine at cosine, tangent at cotangent

Ipinapakita ng talahanayang ito ang mga halaga ng mga sine at cosine para sa ilang mga halaga ng argumento.

Mga expression sa pamamagitan ng mga kumplikadong variable

;

formula ni Euler

Mga expression sa pamamagitan ng hyperbolic function

;
;

Derivatives

; . Pagkuha ng mga formula > > >

Derivatives ng nth order:
{ -∞ < x < +∞ }

Secant, cosecant

Mga kabaligtaran na pag-andar

Ang mga inverse function ng sine at cosine ay arcsine at arccosine, ayon sa pagkakabanggit.

Arcsine, arcsin

Arccosine, arccos

Mga sanggunian:
SA. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng matematika para sa mga inhinyero at mag-aaral sa kolehiyo, "Lan", 2009.

cos equation X = A

Ang bawat ugat ng equation

cos X = A (1)

ay maaaring ituring bilang abscissa ng ilang intersection point ng sinusoid y = cosX na may tuwid na linya y =A , at, sa kabaligtaran, ang abscissa ng bawat naturang intersection point ay isa sa mga ugat ng equation (1). Kaya, ang set ng lahat ng roots ng equation (1) ay tumutugma sa set ng abscissas ng lahat ng intersection point ng cosine wave y = cosX na may tuwid na linya y = A .

Kung | A| >1 , pagkatapos ay ang cosine y = cosX hindi bumalandra sa isang linya y = A .

Sa kasong ito, ang equation (1) ay walang mga ugat.

Sa |A| < 1 mayroong walang katapusang maraming mga punto ng intersection.

para sa isang > 0

para sa< 0.

Hahatiin namin ang lahat ng mga intersection point na ito sa dalawang grupo:

A -2 , A - 1 , A 1 , A 2 , ... ,

B -2 , B - 1 , B 1 , B 2 , ... ,

Dot A may abscissa arccos A , at lahat ng iba pang mga punto ng unang pangkat ay pinaghihiwalay mula rito sa mga distansyang multiple ng 2 π

arccos a+ 2k π . (2)

Dot SA, na madaling maunawaan mula sa mga figure, ay may abscissa - arccosA , at lahat ng iba pang mga punto ng pangalawang pangkat ay aalisin mula dito sa mga distansya na multiple ng 2 π . Samakatuwid ang kanilang mga abscissas ay ipinahayag bilang

arccos A+ 2nπ . (3)

Kaya, ang equation (1) ay may dalawang grupo ng mga ugat na tinukoy ng mga formula (2) at (3). Ngunit ang dalawang formula na ito ay malinaw na maisusulat bilang isang formula

X = ± arccos a+ 2m π , (4)

saan m tumatakbo sa lahat ng integer (m = 0, ±1, ±2, ±3, ...).

Ang pangangatwiran na aming isinagawa sa pagkuha ng formula na ito ay tama lamang kung
| a| =/= 1. Gayunpaman, pormal ang kaugnayan (4) tinutukoy ang lahat ng mga ugat ng equation cosx=a at sa | A| =1. (Patunayan ito!) Samakatuwid maaari naming sabihin na ang formula (4) nagbibigay ng lahat ng mga ugat ng equation (1) para sa anumang mga halaga A , Kung pwede lang |A| < 1 .

Ngunit sa tatlong espesyal na kaso pa rin ( A = 0, A = -1, A= +1) inirerekomenda naming huwag gamitin ang formula (4) , ngunit gumamit ng ibang mga relasyon. Ito ay kapaki-pakinabang na tandaan na ang mga ugat ng equation cos X = 0 ay ibinigay ng formula

X = π / 2 +n π ; (5)

mga ugat ng equation cos X = -1 ay ibinigay ng formula

X = π + 2m π ; (6)

at sa wakas, ang mga ugat ng equation cos X = 1 ay ibinigay ng formula

X = 2m π ; (7)

Sa konklusyon, tandaan namin na ang mga formula (4) , (5), (6) at (7) ay tama lamang sa ilalim ng pagpapalagay na ang nais na anggulo X ipinahayag sa radians. Kung ito ay ipinahayag sa mga degree, ang mga formula na ito ay kailangang natural na baguhin. Kaya, ang formula (4) dapat palitan ng formula

X = ± arccos a+ 360° n,

pormula (5) pormula

X = 90° + 180° n atbp.

Ang pinakasimpleng mga equation ng trigonometriko ay nalulutas, bilang panuntunan, gamit ang mga formula. Ipaalala ko sa iyo na ang pinakasimpleng mga equation ng trigonometriko ay:

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

x ay ang anggulo na mahahanap,
a ay anumang numero.

At narito ang mga formula kung saan maaari mong agad na isulat ang mga solusyon sa mga pinakasimpleng equation na ito.

Para sa sine:

Para sa cosine:

x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Para sa tangent:

x = arctan a + π n, n ∈ Z

Para sa cotangent:

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

Sa totoo lang, ito ang teoretikal na bahagi ng paglutas ng pinakasimpleng trigonometriko equation. At saka, lahat!) Wala naman. Gayunpaman, ang bilang ng mga error sa paksang ito ay wala sa mga chart. Lalo na kung ang halimbawa ay bahagyang lumihis mula sa template. Bakit?

Oo, dahil maraming tao ang nagsusulat ng mga liham na ito, nang hindi nauunawaan ang kanilang kahulugan! Nagsusulat siya nang may pag-iingat, baka may mangyari...) Kailangang ayusin ito. Trigonometry para sa mga tao, o mga tao para sa trigonometry, pagkatapos ng lahat!?)

Alamin natin ito?

Ang isang anggulo ay magiging katumbas ng arccos a, pangalawa: -arccos a.

At ito ay palaging gagana sa ganitong paraan. Para sa anumang A.

Kung hindi ka naniniwala sa akin, i-hover ang iyong mouse sa ibabaw ng larawan, o pindutin ang larawan sa iyong tablet.) Binago ko ang numero A sa isang bagay na negatibo. Anyway, may isang sulok kami arccos a, pangalawa: -arccos a.

Samakatuwid, ang sagot ay maaaring palaging isulat bilang dalawang serye ng mga ugat:

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Pagsamahin natin ang dalawang seryeng ito sa isa:

x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

At yun lang. Nakakuha kami ng isang pangkalahatang formula para sa paglutas ng pinakasimpleng trigonometric equation na may cosine.

Kung naiintindihan mo na ito ay hindi isang uri ng superscientific na karunungan, ngunit isang pinaikling bersyon lamang ng dalawang serye ng mga sagot, Magagawa mo ring pangasiwaan ang mga gawain na "C". Sa mga hindi pagkakapantay-pantay, sa pagpili ng mga ugat mula sa isang naibigay na pagitan... Doon ang sagot na may plus/minus ay hindi gumagana. Ngunit kung ituturing mo ang sagot sa paraang tulad ng negosyo at hahatiin ito sa dalawang magkahiwalay na sagot, malulutas ang lahat.) Sa totoo lang, iyon ang dahilan kung bakit tinitingnan namin ito. Ano, paano at saan.

Sa pinakasimpleng trigonometric equation

sinx = a

nakakakuha din kami ng dalawang serye ng mga ugat. Laging. At ang dalawang seryeng ito ay maaari ding maitala sa isang linya. Tanging ang linyang ito ay magiging mas nakakalito:

x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

Ngunit ang kakanyahan ay nananatiling pareho. Dinisenyo lang ng mga mathematician ang isang formula para gumawa ng isa sa halip na dalawang entry para sa serye ng mga ugat. Iyon lang!

Suriin natin ang mga mathematician? At hindi mo alam...)

Sa nakaraang aralin, ang solusyon (nang walang anumang mga formula) ng isang trigonometric equation na may sine ay tinalakay nang detalyado:

Ang sagot ay nagresulta sa dalawang serye ng mga ugat:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Kung malulutas natin ang parehong equation gamit ang formula, makukuha natin ang sagot:

x = (-1) n arcsin 0.5 + π n, n ∈ Z

Actually, this is an unfinished answer.) Dapat alam yan ng estudyante arcsin 0.5 = π /6. Ang kumpletong sagot ay:

x = (-1)n π /6+ π n, n ∈ Z

Ito ay nagtataas ng isang kawili-wiling tanong. Sumagot sa pamamagitan ng x 1; x 2 (ito ang tamang sagot!) and through lonely X (at ito ang tamang sagot!) - pareho ba sila o hindi? Malalaman natin ngayon.)

Pinapalitan namin sa sagot ang x 1 mga halaga n =0; 1; 2; atbp., binibilang namin, nakakakuha kami ng isang serye ng mga ugat:

x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 at iba pa.

Sa parehong pagpapalit bilang tugon sa x 2 , nakukuha namin ang:

x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 at iba pa.

Ngayon ay palitan natin ang mga halaga n (0; 1; 2; 3; 4...) sa pangkalahatang formula para sa single X . Ibig sabihin, itinaas namin ang minus one sa zero degree, pagkatapos ay sa una, pangalawa, atbp. Well, siyempre, pinapalitan namin ang 0 sa pangalawang termino; 1; 2 3; 4, atbp. At binibilang namin. Nakukuha namin ang serye:

x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 at iba pa.

Iyon lang ang makikita mo.) Pangkalahatang pormula nagbibigay sa atin eksaktong parehong mga resulta gaya ng magkahiwalay na sagot ng dalawang sagot. Sabay-sabay lang ang lahat, sa pagkakasunud-sunod. Ang mga mathematician ay hindi nalinlang.)

Ang mga formula para sa paglutas ng mga trigonometric equation na may tangent at cotangent ay maaari ding suriin. But we won’t.) Simple na sila.

Isinulat ko ang lahat ng pagpapalit na ito at partikular na sinuri. Narito mahalagang maunawaan ang isang simpleng bagay: may mga formula para sa paglutas ng mga elementarya na trigonometric equation, maikling buod lamang ng mga sagot. Para sa kaiklian na ito, kinailangan naming ipasok ang plus/minus sa cosine solution at (-1) n sa sine solution.

Ang mga pagsingit na ito ay hindi nakakasagabal sa anumang paraan sa mga gawain kung saan kailangan mo lang isulat ang sagot sa isang elementary equation. Ngunit kung kailangan mong lutasin ang isang hindi pagkakapantay-pantay, o pagkatapos ay kailangan mong gumawa ng isang bagay sa sagot: piliin ang mga ugat sa isang agwat, suriin para sa ODZ, atbp., ang mga pagsingit na ito ay madaling makagambala sa isang tao.

Kaya ano ang dapat kong gawin? Oo, isulat ang sagot sa dalawang serye, o lutasin ang equation/inquality gamit ang trigonometric circle. Pagkatapos ang mga pagsingit na ito ay mawawala at ang buhay ay nagiging mas madali.)

Maaari nating ibuod.

Upang malutas ang pinakasimpleng mga equation ng trigonometriko, mayroong mga handa na mga formula ng sagot. Apat na piraso. Ang mga ito ay mabuti para sa agarang pagsusulat ng solusyon sa isang equation. Halimbawa, kailangan mong lutasin ang mga equation:

sinx = 0.3

Madaling: x = (-1) n arcsin 0.3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0.2

Walang problema: x = ± arccos 0.2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1.2

Madaling: x = arctan 1,2 + π n, n ∈ Z

ctgx = 3.7

Umalis ang isa: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

cos x = 1.8

Kung ikaw, nagniningning sa kaalaman, agad na isulat ang sagot:

x= ± arccos 1.8 + 2π n, n ∈ Z

tapos kumikinang ka na, ito... na... galing sa isang lusak.) Tamang sagot: walang solusyon. Hindi maintindihan kung bakit? Basahin kung ano ang arc cosine. Bilang karagdagan, kung sa kanang bahagi ng orihinal na equation mayroong mga tabular na halaga ng sine, cosine, tangent, cotangent, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 at iba pa. - ang sagot sa pamamagitan ng mga arko ay hindi natapos. Ang mga arko ay dapat i-convert sa mga radian.

At kung nakatagpo ka ng hindi pagkakapantay-pantay, tulad ng

tapos ang sagot ay:

x πn, n ∈ Z

may bihirang kalokohan, oo...) Dito kailangan mong i-solve gamit ang trigonometric circle. Ano ang gagawin natin sa kaukulang paksa.

Para sa mga magiting na nagbabasa sa mga linyang ito. Hindi ko talaga maiwasang ma-appreciate ang iyong titanic efforts. Bonus para sa iyo.)

Bonus:

Kapag nagsusulat ng mga formula sa isang nakababahalang sitwasyon ng labanan, kahit na ang mga batikang nerd ay madalas nalilito kung saan πn, At saan 2π n. Narito ang isang simpleng trick para sa iyo. Sa lahat halaga ng mga formula πn. Maliban sa nag-iisang formula na may arc cosine. Nakatayo ito doon 2πn. Dalawa peen. Keyword - dalawa. Sa parehong formula mayroong dalawa sign sa simula. Plus at minus. Dito at doon - dalawa.

Kaya kung nagsulat ka dalawa mag-sign bago ang arc cosine, mas madaling matandaan kung ano ang mangyayari sa dulo dalawa peen. At ito rin ay nangyayari sa kabaligtaran. Ang tao ay makaligtaan ang tanda ± , nakakarating sa dulo, nagsusulat ng tama dalawa Pien, at magkakaroon siya ng katinuan. May nasa unahan dalawa tanda! Babalik ang tao sa simula at itatama ang pagkakamali! Ganito.)

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Matuto tayo - nang may interes!)

Maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

Mga halimbawa:

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

Paano malutas ang mga equation ng trigonometriko:

Anumang trigonometric equation ay dapat na bawasan sa isa sa mga sumusunod na uri:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

kung saan ang \(t\) ay isang expression na may x, ang \(a\) ay isang numero. Ang ganitong mga trigonometric equation ay tinatawag ang pinakasimple. Madali silang malulutas gamit ang () o mga espesyal na formula:

Tingnan ang mga infographics sa paglutas ng mga simpleng trigonometric equation dito:, at.

Halimbawa . Lutasin ang trigonometric equation \(\sin⁡x=-\)\(\frac(1)(2)\).
Solusyon:

Sagot: \(\left[ \begin(gathered)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(gathered)\right.\) \(k,n∈Z\)

Ano ang ibig sabihin ng bawat simbolo sa formula para sa mga ugat ng trigonometric equation, tingnan.

Pansin! Ang mga equation na \(\sin⁡x=a\) at \(\cos⁡x=a\) ay walang solusyon kung \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). Dahil ang sine at cosine para sa anumang x ay mas malaki sa o katumbas ng \(-1\) at mas mababa sa o katumbas ng \(1\):

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

Halimbawa . Lutasin ang equation \(\cos⁡x=-1,1\).
Solusyon: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Sagot : walang solusyon.

Halimbawa . Lutasin ang trigonometric equation tg\(⁡x=1\).
Solusyon:

Lutasin natin ang equation gamit ang number circle. Para dito: 1) Bumuo ng bilog) 2) Buuin ang mga axes \(x\) at \(y\) at ang tangent axis (dumadaan ito sa puntong \((0;1)\) parallel sa axis \(y\)). 3) Sa tangent axis, markahan ang puntong \(1\). 4) Ikonekta ang puntong ito at ang pinagmulan ng mga coordinate - isang tuwid na linya. 5) Markahan ang mga intersection point ng linyang ito at ang bilog na numero. 6) Lagdaan natin ang mga halaga ng mga puntong ito: \(\frac(π)(4)\) ,\(\frac(5π)(4)\) 7) Isulat ang lahat ng mga halaga ng mga puntong ito. Dahil ang mga ito ay matatagpuan sa layo na eksaktong \(π\) mula sa isa't isa, ang lahat ng mga halaga ay maaaring isulat sa isang formula:

Sagot: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πk\), \(k∈Z\).

Halimbawa . Lutasin ang trigonometric equation \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\).
Solusyon:

Gamitin natin muli ang numero ng bilog. 1) Bumuo ng bilog, mga palakol \(x\) at \(y\). 2) Sa cosine axis (\(x\) axis), markahan ang \(0\). 3) Gumuhit ng patayo sa cosine axis sa puntong ito. 4) Markahan ang mga intersection point ng perpendicular at ng bilog. 5) Lagdaan natin ang mga halaga ng mga puntong ito: \(-\) \(\frac(π)(2)\),\(\frac(π)(2)\). 6) Isinulat namin ang buong halaga ng mga puntong ito at itinutumbas ang mga ito sa cosine (sa kung ano ang nasa loob ng cosine). \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\) \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) 8) Gaya ng dati, ipapahayag namin ang \(x\) sa mga equation. Huwag kalimutang tratuhin ang mga numero ng \(π\), gayundin ang \(1\), \(2\), \(\frac(1)(4)\), atbp. Ang mga ito ay ang parehong mga numero tulad ng lahat ng iba pa. Walang diskriminasyon sa numero! \(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac(3π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\)

Sagot: \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) , \(k∈Z\).

Ang pagbabawas ng mga trigonometric equation sa pinakasimpleng ay isang malikhaing gawain; dito kailangan mong gumamit ng pareho at mga espesyal na pamamaraan para sa paglutas ng mga equation:
- Paraan (ang pinakasikat sa Unified State Examination).
- Pamamaraan.
- Paraan ng mga pantulong na argumento.

Isaalang-alang natin ang isang halimbawa ng paglutas ng quadratic trigonometric equation

Halimbawa . Lutasin ang trigonometric equation \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)
Solusyon:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	Gawin natin ang kapalit na \(t=\cos⁡x\).
	Ang aming equation ay naging tipikal. Maaari mong lutasin ito gamit ang .
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	Gumagawa kami ng reverse replacement.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	Malutas namin ang unang equation gamit ang numero ng bilog. Ang pangalawang equation ay walang mga solusyon dahil \(\cos⁡x∈[-1;1]\) at hindi maaaring katumbas ng dalawa para sa alinmang x.
	Isulat natin ang lahat ng mga numerong nakahiga sa mga puntong ito.

Sagot: \(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\).

Isang halimbawa ng paglutas ng isang trigonometric equation sa pag-aaral ng ODZ:

Halimbawa (GAMIT) . Lutasin ang trigonometric equation \(=0\)

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	May fraction at may cotangent - ibig sabihin kailangan natin itong isulat. Ipaalala ko sa iyo na ang cotangent ay talagang isang fraction: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) Samakatuwid, ang ODZ para sa ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0\).
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	Markahan natin ang "mga hindi solusyon" sa bilog ng numero.
\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Alisin natin ang denominator sa equation sa pamamagitan ng pagpaparami nito sa ctg\(x\). Magagawa namin ito, dahil isinulat namin sa itaas ang ctg\(x ≠0\).
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	Ilapat natin ang double angle formula para sa sine: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	Kung ang iyong mga kamay ay umabot upang hatiin sa cosine, hilahin sila pabalik! Maaari mong hatiin sa pamamagitan ng isang expression na may isang variable kung ito ay tiyak na hindi katumbas ng zero (halimbawa, ang mga ito: \(x^2+1.5^x\)). Sa halip, alisin natin ang \(\cos⁡x\) sa mga bracket.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	"Hatiin" natin ang equation sa dalawa.
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	Lutasin natin ang unang equation gamit ang number circle. Hatiin ang pangalawang equation sa \(2\) at ilipat ang \(\sin⁡x\) sa kanang bahagi.
\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	Ang mga resultang ugat ay hindi kasama sa ODZ. Samakatuwid, hindi namin isusulat ang mga ito bilang tugon. Ang pangalawang equation ay tipikal. Hatiin natin ito sa \(\sin⁡x\) (\(\sin⁡x=0\) ay hindi maaaring maging solusyon sa equation dahil sa kasong ito \(\cos⁡x=1\) o \(\cos⁡ x=-1\)).
	Gumamit ulit kami ng bilog.
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	Ang mga ugat na ito ay hindi ibinukod ng ODZ, kaya maaari mong isulat ang mga ito sa sagot.

Sagot: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\).