Ang pinakasimpleng mga equation ng trigonometriko ay nalulutas, bilang panuntunan, gamit ang mga formula. Ipaalala ko sa iyo na ang pinakasimpleng mga equation ng trigonometriko ay:
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
x ay ang anggulo na mahahanap,
a ay anumang numero.
At narito ang mga formula kung saan maaari mong agad na isulat ang mga solusyon sa mga pinakasimpleng equation na ito.
Para sa sine:
Para sa cosine:
x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Para sa tangent:
x = arctan a + π n, n ∈ Z
Para sa cotangent:
x = arcctg a + π n, n ∈ Z
Sa totoo lang, ito ang teoretikal na bahagi ng paglutas ng pinakasimpleng trigonometriko equation. At saka, lahat!) Wala naman. Gayunpaman, ang bilang ng mga error sa paksang ito ay wala sa mga chart. Lalo na kung ang halimbawa ay bahagyang lumihis mula sa template. Bakit?
Oo, dahil maraming tao ang nagsusulat ng mga liham na ito, nang hindi nauunawaan ang kanilang kahulugan! Nagsusulat siya nang may pag-iingat, baka may mangyari...) Kailangang ayusin ito. Trigonometry para sa mga tao, o mga tao para sa trigonometry, pagkatapos ng lahat!?)
Alamin natin ito?
Ang isang anggulo ay magiging katumbas ng arccos a, pangalawa: -arccos a.
At ito ay palaging gagana sa ganitong paraan. Para sa anumang A.
Kung hindi ka naniniwala sa akin, i-hover ang iyong mouse sa ibabaw ng larawan, o pindutin ang larawan sa iyong tablet.) Binago ko ang numero A sa isang bagay na negatibo. Anyway, may isang sulok kami arccos a, pangalawa: -arccos a.
Samakatuwid, ang sagot ay maaaring palaging isulat bilang dalawang serye ng mga ugat:
x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z
Pagsamahin natin ang dalawang seryeng ito sa isa:
x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
At yun lang. Nakakuha kami ng isang pangkalahatang formula para sa paglutas ng pinakasimpleng trigonometric equation na may cosine.
Kung naiintindihan mo na ito ay hindi isang uri ng superscientific na karunungan, ngunit isang pinaikling bersyon lamang ng dalawang serye ng mga sagot, Magagawa mo ring pangasiwaan ang mga gawain na "C". Sa mga hindi pagkakapantay-pantay, sa pagpili ng mga ugat mula sa isang naibigay na pagitan... Doon ang sagot na may plus/minus ay hindi gumagana. Ngunit kung ituturing mo ang sagot sa paraang tulad ng negosyo at hahatiin ito sa dalawang magkahiwalay na sagot, malulutas ang lahat.) Sa totoo lang, iyon ang dahilan kung bakit tinitingnan namin ito. Ano, paano at saan.
Sa pinakasimpleng trigonometric equation
sinx = a
nakakakuha din kami ng dalawang serye ng mga ugat. Laging. At ang dalawang seryeng ito ay maaari ding maitala sa isang linya. Tanging ang linyang ito ay magiging mas nakakalito:
x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z
Ngunit ang kakanyahan ay nananatiling pareho. Dinisenyo lang ng mga mathematician ang isang formula para gumawa ng isa sa halip na dalawang entry para sa serye ng mga ugat. Iyon lang!
Suriin natin ang mga mathematician? At hindi mo alam...)
Sa nakaraang aralin, ang solusyon (nang walang anumang mga formula) ng isang trigonometric equation na may sine ay tinalakay nang detalyado:
Ang sagot ay nagresulta sa dalawang serye ng mga ugat:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Kung malulutas natin ang parehong equation gamit ang formula, makukuha natin ang sagot:
x = (-1) n arcsin 0.5 + π n, n ∈ Z
Actually, this is an unfinished answer.) Dapat alam ng estudyante yan arcsin 0.5 = π /6. Ang kumpletong sagot ay:
x = (-1)n π /6+ π n, n ∈ Z
Ito ay nagtataas ng isang kawili-wiling tanong. Sumagot sa pamamagitan ng x 1; x 2 (ito ang tamang sagot!) and through lonely X (at ito ang tamang sagot!) - pareho ba sila o hindi? Malalaman natin ngayon.)
Pinapalitan namin sa sagot ang x 1 mga halaga n =0; 1; 2; atbp., binibilang namin, nakakakuha kami ng isang serye ng mga ugat:
x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 at iba pa.
Sa parehong pagpapalit bilang tugon sa x 2 , nakukuha namin:
x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 at iba pa.
Ngayon ay palitan natin ang mga halaga n (0; 1; 2; 3; 4...) sa pangkalahatang formula para sa single X . Ibig sabihin, itinaas namin ang minus one sa zero degree, pagkatapos ay sa una, pangalawa, atbp. Well, siyempre, pinapalitan namin ang 0 sa pangalawang termino; 1; 2 3; 4, atbp. At binibilang namin. Nakukuha namin ang serye:
x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 at iba pa.
Iyon lang ang makikita mo.) Pangkalahatang pormula nagbibigay sa atin eksaktong parehong mga resulta gaya ng magkahiwalay na sagot ng dalawang sagot. Sabay-sabay lang ang lahat, sa pagkakasunud-sunod. Ang mga mathematician ay hindi nalinlang.)
Ang mga formula para sa paglutas ng mga trigonometric equation na may tangent at cotangent ay maaari ding suriin. But we won’t.) Simple na sila.
Isinulat ko ang lahat ng pagpapalit at pagpapatunay na ito partikular. Narito mahalagang maunawaan ang isang simpleng bagay: may mga formula para sa paglutas ng mga elementarya na trigonometric equation, maikling buod lamang ng mga sagot. Para sa kaiklian na ito, kinailangan naming ipasok ang plus/minus sa cosine solution at (-1) n sa sine solution.
Ang mga pagsingit na ito ay hindi nakakasagabal sa anumang paraan sa mga gawain kung saan kailangan mo lang isulat ang sagot sa isang elementary equation. Ngunit kung kailangan mong lutasin ang isang hindi pagkakapantay-pantay, o pagkatapos ay kailangan mong gumawa ng isang bagay sa sagot: piliin ang mga ugat sa isang agwat, suriin para sa ODZ, atbp., ang mga pagpapasok na ito ay madaling makapagpapahina sa isang tao.
Kaya ano ang dapat kong gawin? Oo, isulat ang sagot sa dalawang serye, o lutasin ang equation/inquality gamit ang trigonometric circle. Pagkatapos ang mga pagsingit na ito ay mawawala at ang buhay ay nagiging mas madali.)
Maaari nating ibuod.
Upang malutas ang pinakasimpleng mga equation ng trigonometriko, mayroong mga handa na mga formula ng sagot. Apat na piraso. Ang mga ito ay mabuti para sa agarang pagsusulat ng solusyon sa isang equation. Halimbawa, kailangan mong lutasin ang mga equation:
sinx = 0.3
Madaling: x = (-1) n arcsin 0.3 + π n, n ∈ Z
cosx = 0.2
Walang problema: x = ± arccos 0.2 + 2π n, n ∈ Z
tgx = 1.2
Madaling: x = arctan 1,2 + π n, n ∈ Z
ctgx = 3.7
Umalis ang isa: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z
cos x = 1.8
Kung ikaw, nagniningning sa kaalaman, agad na isulat ang sagot:
x= ± arccos 1.8 + 2π n, n ∈ Z
tapos kumikinang ka na, ito... na... galing sa isang lusak.) Tamang sagot: walang solusyon. Hindi maintindihan kung bakit? Basahin kung ano ang arc cosine. Bilang karagdagan, kung sa kanang bahagi ng orihinal na equation mayroong mga tabular na halaga ng sine, cosine, tangent, cotangent, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 at iba pa. - ang sagot sa pamamagitan ng mga arko ay hindi natapos. Ang mga arko ay dapat i-convert sa mga radian.
At kung nakatagpo ka ng hindi pagkakapantay-pantay, tulad ng
tapos ang sagot ay:
x πn, n ∈ Z
may bihirang kalokohan, oo...) Dito kailangan mong i-solve gamit ang trigonometric circle. Ano ang gagawin natin sa kaukulang paksa.
Para sa mga magiting na nagbabasa sa mga linyang ito. Hindi ko talaga maiwasang ma-appreciate ang iyong titanic efforts. Bonus para sa iyo.)
Bonus:
Kapag nagsusulat ng mga formula sa isang nakababahalang sitwasyon ng labanan, kahit na ang mga batikang nerd ay madalas nalilito kung saan πn, At saan 2π n. Narito ang isang simpleng trick para sa iyo. Sa lahat halaga ng mga formula πn. Maliban sa nag-iisang formula na may arc cosine. Nakatayo ito doon 2πn. Dalawa peen. Keyword - dalawa. Sa parehong formula mayroong dalawa sign sa simula. Plus at minus. Dito at doon - dalawa.
Kaya kung nagsulat ka dalawa mag-sign bago ang arc cosine, mas madaling matandaan kung ano ang mangyayari sa dulo dalawa peen. At ito rin ay nangyayari sa kabaligtaran. Ang tao ay makaligtaan ang tanda ± , nakakarating sa dulo, nagsusulat ng tama dalawa Pien, at magkakaroon siya ng katinuan. May nasa unahan dalawa tanda! Babalik ang tao sa simula at itatama ang pagkakamali! Ganito.)
Kung gusto mo ang site na ito...
Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)
Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Matuto tayo - nang may interes!)
Maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.
Kasama sa kursong video na "Kumuha ng A" ang lahat ng mga paksang kinakailangan para sa matagumpay pagpasa sa Unified State Exam sa matematika para sa 60-65 puntos. Ganap ang lahat ng mga gawain 1-13 ng Profile Unified State Exam sa matematika. Angkop din para sa pagpasa sa Basic Unified State Examination sa matematika. Kung gusto mong makapasa sa Unified State Exam na may 90-100 points, kailangan mong lutasin ang part 1 sa loob ng 30 minuto at walang pagkakamali!
Kurso sa paghahanda para sa Unified State Exam para sa grade 10-11, gayundin para sa mga guro. Lahat ng kailangan mo para malutas ang Part 1 ng Unified State Exam sa matematika (ang unang 12 problema) at Problema 13 (trigonometry). At ito ay higit sa 70 puntos sa Unified State Exam, at hindi magagawa ng isang 100-point na mag-aaral o ng isang mag-aaral sa humanities kung wala sila.
Lahat ng kinakailangang teorya. Mabilis na paraan mga solusyon, mga pitfalls at mga lihim ng Unified State Exam. Ang lahat ng kasalukuyang gawain ng bahagi 1 mula sa FIPI Task Bank ay nasuri. Ang kurso ay ganap na sumusunod sa mga kinakailangan ng Unified State Exam 2018.
Ang kurso ay naglalaman ng 5 malalaking paksa, 2.5 oras bawat isa. Ang bawat paksa ay ibinigay mula sa simula, simple at malinaw.
Daan-daang mga gawain ng Pinag-isang State Exam. Mga problema sa salita at teorya ng posibilidad. Simple at madaling matandaan ang mga algorithm para sa paglutas ng mga problema. Geometry. Teorya, sangguniang materyal, pagsusuri ng lahat ng uri ng mga gawain sa Pinag-isang Estado ng Pagsusuri. Stereometry. Mga nakakalito na solusyon, kapaki-pakinabang na cheat sheet, pag-unlad spatial na imahinasyon. Trigonometry mula sa simula hanggang sa problema 13. Pag-unawa sa halip na pag-cramming. Malinaw na pagpapaliwanag ng mga kumplikadong konsepto. Algebra. Mga ugat, kapangyarihan at logarithms, function at derivative. Isang batayan para sa paglutas ng mga kumplikadong problema ng Bahagi 2 ng Pinag-isang Pagsusulit ng Estado.
Minsan kong nasaksihan ang pag-uusap ng dalawang aplikante:
– Kailan mo dapat idagdag ang 2πn, at kailan mo dapat idagdag ang πn? Hindi ko lang maalala!
- At mayroon akong parehong problema.
Gusto ko lang sabihin sa kanila: "Hindi mo kailangang isaulo, ngunit unawain!"
Ang artikulong ito ay pangunahing tinutugunan sa mga mag-aaral sa high school at, umaasa ako, ay makakatulong sa kanila na malutas ang pinakasimpleng trigonometriko equation na may "pag-unawa":
Bilog ng numero
Kasabay ng konsepto ng isang number line, mayroon ding konsepto ng isang number circle. Sa pagkakaalam natin, sa isang rectangular coordinate system, ang isang bilog na may sentro sa punto (0;0) at radius 1 ay tinatawag na unit circle. Isipin natin ang isang linya ng numero bilang isang manipis na sinulid at iikot ito sa bilog na ito: ikakabit natin ang pinanggalingan (punto 0) sa "kanan" na punto ng bilog ng yunit, ibalot natin ang positibong semi-axis na pakaliwa, at ang negatibong semi -axis sa direksyon (Larawan 1). Ang nasabing unit circle ay tinatawag na numerical circle.
Mga katangian ng bilog na numero
- Ang bawat tunay na numero ay nasa isang punto sa bilog ng numero.
- Mayroong walang katapusang maraming totoong numero sa bawat punto sa bilog ng numero. Dahil ang haba ng bilog na yunit ay 2π, ang pagkakaiba sa pagitan ng alinmang dalawang numero sa isang punto sa bilog ay katumbas ng isa sa mga numerong ±2π; ±4π ; ±6π ; ...
Tapusin natin: pag-alam ng isa sa mga numero ng punto A, mahahanap natin ang lahat ng mga numero ng punto A.
Iguhit natin ang diameter ng AC (Larawan 2). Dahil ang x_0 ay isa sa mga numero ng point A, kung gayon ang mga numero x_0±π ; x_0±3π; x_0±5π; ... at sila lamang ang magiging mga numero ng punto C. Pumili tayo ng isa sa mga numerong ito, sabihin nating, x_0+π, at gamitin ito upang isulat ang lahat ng mga numero ng punto C: x_C=x_0+π+2πk ,k∈ Z. Tandaan na ang mga numero sa mga puntong A at C ay maaaring pagsamahin sa isang formula: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (para sa k = 0; ±2; ±4; ... nakukuha natin ang mga numero ng punto A, at para sa k = ±1; ±3; ±5; … – mga numero ng punto C).
Tapusin natin: alam ang isa sa mga numero sa isa sa mga puntong A o C ng diameter AC, mahahanap natin ang lahat ng mga numero sa mga puntong ito.
- Ang dalawang magkasalungat na numero ay matatagpuan sa mga punto ng bilog na simetriko na may paggalang sa abscissa axis.
Gumuhit tayo ng vertical chord AB (Fig. 2). Dahil ang mga punto A at B ay simetriko tungkol sa axis ng Ox, ang numero -x_0 ay matatagpuan sa punto B at, samakatuwid, ang lahat ng mga numero ng punto B ay ibinibigay ng formula: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z. Isinulat namin ang mga numero sa mga puntong A at B gamit ang isang formula: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. Tapusin natin: alam natin ang isa sa mga numero sa isa sa mga puntong A o B ng vertical chord AB, mahahanap natin ang lahat ng numero sa mga puntong ito. Isaalang-alang natin ang horizontal chord AD at hanapin ang mga numero ng point D (Fig. 2). Dahil ang BD ay isang diameter at ang numero -x_0 ay kabilang sa punto B, kung gayon -x_0 + π ay isa sa mga numero ng punto D at, samakatuwid, ang lahat ng mga numero ng puntong ito ay ibinibigay ng formula x_D=-x_0+π+ 2πk ,k∈Z. Ang mga numero sa mga puntong A at D ay maaaring isulat gamit ang isang formula: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk ,k∈Z . (para sa k= 0; ±2; ±4; … nakukuha natin ang mga numero ng point A, at para sa k = ±1; ±3; ±5; … – ang mga numero ng point D).
Tapusin natin: alam ang isa sa mga numero sa isa sa mga puntong A o D ng horizontal chord AD, mahahanap natin ang lahat ng numero sa mga puntong ito.
Labing-anim na pangunahing punto ng bilog na numero
Sa pagsasagawa, ang paglutas ng karamihan sa pinakasimpleng trigonometriko equation ay nagsasangkot ng labing-anim na puntos sa isang bilog (Larawan 3). Ano ang mga tuldok na ito? Hinahati ng pula, asul at berdeng tuldok ang bilog sa 12 pantay na bahagi. Dahil ang haba ng kalahating bilog ay π, kung gayon ang haba ng arko A1A2 ay π/2, ang haba ng arko A1B1 ay π/6, at ang haba ng arko A1C1 ay π/3.
Ngayon ay maaari naming ipahiwatig ang isang numero sa isang pagkakataon: 
π/3 sa C1 at
Ang mga vertices ng orange square ay ang mga midpoint ng mga arc ng bawat quarter, samakatuwid, ang haba ng arc A1D1 ay katumbas ng π/4 at, samakatuwid, ang π/4 ay isa sa mga numero ng point D1. Gamit ang mga katangian ng numero ng bilog, maaari tayong gumamit ng mga formula upang isulat ang lahat ng mga numero sa lahat ng mga markang punto ng ating bilog. Ang mga coordinate ng mga puntong ito ay minarkahan din sa figure (aalisin namin ang paglalarawan ng kanilang pagkuha).
Ang pagkakaroon ng natutunan sa itaas, mayroon na kaming sapat na paghahanda upang malutas ang mga espesyal na kaso (para sa siyam na halaga ng numero a) pinakasimpleng equation.
Lutasin ang mga equation
1)sinx=1⁄(2).
- Ano ang kinakailangan sa atin?
– Hanapin ang lahat ng mga numerong x na ang sine ay 1/2.
Tandaan natin ang kahulugan ng sine: sinx – ordinate ng punto sa bilog na numero kung saan matatagpuan ang numerong x. Mayroon kaming dalawang puntos sa bilog na ang ordinate ay katumbas ng 1/2. Ito ang mga dulo ng pahalang na chord B1B2. Nangangahulugan ito na ang requirement na "solve the equation sinx=1⁄2" ay katumbas ng requirement na "hanapin ang lahat ng numero sa point B1 at lahat ng numero sa point B2."
2)sinx=-√3⁄2 .
Kailangan nating hanapin ang lahat ng mga numero sa mga puntong C4 at C3.
3) sinx=1. Sa bilog mayroon lamang tayong isang punto na may ordinate 1 - punto A2 at, samakatuwid, kailangan nating hanapin lamang ang lahat ng mga numero ng puntong ito.
Sagot: x=π/2+2πk, k∈Z.
4)sinx=-1 .
Ang puntong A_4 lamang ang may ordinate na -1. Ang lahat ng mga numero ng puntong ito ay magiging mga kabayo ng equation.
Sagot: x=-π/2+2πk, k∈Z.
5) sinx=0 .
Sa bilog mayroon kaming dalawang puntos na may ordinate 0 - puntos A1 at A3. Maaari mong ipahiwatig ang mga numero sa bawat isa sa mga punto nang hiwalay, ngunit dahil ang mga puntong ito ay magkasalungat na diametric, mas mainam na pagsamahin ang mga ito sa isang formula: x=πk,k∈Z.
Sagot: x=πk ,k∈Z .
6)cosx=√2⁄2 .
Tandaan natin ang kahulugan ng cosine: Ang cosx ay ang abscissa ng punto sa bilog ng numero kung saan matatagpuan ang numerong x. Sa bilog mayroon kaming dalawang puntos na may abscissa √2⁄2 - ang mga dulo ng pahalang na chord D1D4. Kailangan nating hanapin ang lahat ng mga numero sa mga puntong ito. Isulat natin ang mga ito, pagsasama-samahin ang mga ito sa isang formula.
Sagot: x=±π/4+2πk, k∈Z.
7) cosx=-1⁄2 .
Kailangan nating hanapin ang mga numero sa mga puntong C_2 at C_3.
Sagot: x=±2π/3+2πk , k∈Z .
10) cosx=0 .
Ang mga puntos lamang na A2 at A4 ay may abscissa na 0, na nangangahulugan na ang lahat ng mga numero sa bawat isa sa mga puntong ito ay magiging mga solusyon sa equation. 
.
Ang mga solusyon sa equation ng system ay ang mga numero sa mga puntos na B_3 at B_4. Sa cosx inequality<0 удовлетворяют только числа b_3
Sagot: x=-5π/6+2πk, k∈Z.
Tandaan na para sa anumang tinatanggap na halaga ng x, ang pangalawang kadahilanan ay positibo at, samakatuwid, ang equation ay katumbas ng system
Ang mga solusyon sa equation ng system ay ang bilang ng mga puntos na D_2 at D_3. Ang mga numero ng punto D_2 ay hindi nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay na sinx≤0.5, ngunit ang mga bilang ng punto D_3 ay ginagawa.
blog.site, kapag kumukopya ng materyal nang buo o bahagi, kinakailangan ang isang link sa orihinal na pinagmulan.
Ang mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko ay: pagbabawas ng mga equation sa pinakasimpleng (gamit ang mga formula ng trigonometriko), pagpapakilala ng mga bagong variable, at factoring. Tingnan natin ang kanilang paggamit sa mga halimbawa. Bigyang-pansin ang format ng pagsulat ng mga solusyon sa mga equation ng trigonometriko.
Ang isang kinakailangang kondisyon para sa matagumpay na paglutas ng mga equation ng trigonometriko ay ang kaalaman sa mga formula ng trigonometriko (paksa 13 ng gawain 6).
Mga halimbawa.
1. Nabawasan ang mga equation sa pinakasimpleng.
1) Lutasin ang equation
Solusyon:
Sagot:
2) Hanapin ang mga ugat ng equation
(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, na kabilang sa segment.
Solusyon:
Sagot:
2. Mga equation na bumababa sa quadratic.
1) Lutasin ang equation 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.
Solusyon: Gamit ang formula na sin 2 x = 1 – cos 2 x, nakukuha natin
Sagot:
2) Lutasin ang equation cos 2x = 1 + 4 cosx.
Solusyon: Gamit ang formula cos 2x = 2 cos 2 x – 1, nakukuha natin
Sagot:
3) Lutasin ang equation na tgx – 2ctgx + 1 = 0
Solusyon:
Sagot:
3. Mga homogenous na equation
1) Lutasin ang equation na 2sinx – 3cosx = 0
Solusyon: Hayaan ang cosx = 0, pagkatapos ay 2sinx = 0 at sinx = 0 – isang kontradiksyon sa katotohanan na sin 2 x + cos 2 x = 1. Nangangahulugan ito ng cosx ≠ 0 at maaari nating hatiin ang equation sa cosx. Nakukuha namin
Sagot:
2) Lutasin ang equation 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x
Solusyon:
Ginagamit namin ang mga formula 1 = sin 2 x + cos 2 x at sin 2x = 2 sinxcosx, nakukuha namin
sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
kasalanan 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0
Hayaan ang cosx = 0, pagkatapos ay sin 2 x = 0 at sinx = 0 – isang kontradiksyon sa katotohanan na sin 2 x + cos 2 x = 1.
Nangangahulugan ito ng cosx ≠ 0 at maaari nating hatiin ang equation sa cos 2 x .
Nakukuha namin
tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Tukuyin natin ang tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
a) tgx = 4, x= arctan4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x= arctan2 + 2 k, k .
Sagot: arctg4 + 2 k, arctan2 + 2 k,k
4. Mga equation ng form a sinx + b cosx = s, s≠ 0.
1) Lutasin ang equation.
Solusyon:
Sagot:
5. Nalutas ang mga equation sa pamamagitan ng factorization.
1) Lutasin ang equation na sin2x – sinx = 0.
Root ng equation f (X) = φ ( X) ay maaari lamang magsilbi bilang numerong 0. Suriin natin ito:
cos 0 = 0 + 1 – ang pagkakapantay-pantay ay totoo.
Ang numero 0 ay ang tanging ugat ng equation na ito.
Sagot: 0.
Maaari kang mag-order ng isang detalyadong solusyon sa iyong problema!!!
Ang pagkakapantay-pantay na naglalaman ng hindi alam sa ilalim ng tanda ng isang trigonometric function (`sin x, cos x, tan x` o `ctg x`) ay tinatawag na isang trigonometric equation, at ito ay ang kanilang mga formula na aming isasaalang-alang pa.
Ang pinakasimpleng equation ay ang `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, kung saan ang `x` ay ang anggulo na makikita, ang `a` ay anumang numero. Isulat natin ang mga root formula para sa bawat isa sa kanila.
1. Equation `sin x=a`.
Para sa `|a|>1` wala itong mga solusyon.
Kapag `|a| \leq 1` ay may walang katapusang bilang mga desisyon.
Root formula: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. Equation `cos x=a`
Para sa `|a|>1` - tulad ng sa kaso ng sine, wala itong mga solusyon sa mga tunay na numero.
Kapag `|a| Ang \leq 1` ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon.
Root formula: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Mga espesyal na kaso para sa sine at cosine sa mga graph. 
3. Equation `tg x=a`
Mayroong walang katapusang bilang ng mga solusyon para sa anumang halaga ng `a`.
Root formula: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. Equation `ctg x=a`
Mayroon ding walang katapusang bilang ng mga solusyon para sa anumang mga halaga ng `a`.
Root formula: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Mga formula para sa mga ugat ng trigonometric equation sa talahanayan
Para sa sine: 
Para sa cosine: 
Para sa tangent at cotangent: 
Mga formula para sa paglutas ng mga equation na naglalaman ng mga inverse trigonometriko function:
Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko
Ang paglutas ng anumang trigonometric equation ay binubuo ng dalawang yugto:
- sa tulong ng pagbabago nito sa pinakasimpleng;
- lutasin ang pinakasimpleng equation na nakuha gamit ang root formula at mga talahanayan na nakasulat sa itaas.
Tingnan natin ang mga pangunahing pamamaraan ng solusyon gamit ang mga halimbawa.
Algebraic na pamamaraan.
Ang pamamaraang ito ay nagsasangkot ng pagpapalit ng isang variable at pagpapalit nito sa isang pagkakapantay-pantay.
Halimbawa. Lutasin ang equation: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,
gumawa ng kapalit: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, pagkatapos ay `2y^2-3y+1=0`,
nakita namin ang mga ugat: `y_1=1, y_2=1/2`, kung saan sumusunod ang dalawang kaso:
1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.
Sagot: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Factorization.
Halimbawa. Lutasin ang equation: `sin x+cos x=1`.
Solusyon. Ilipat natin ang lahat ng termino ng pagkakapantay-pantay sa kaliwa: `sin x+cos x-1=0`. Gamit ang , binabago at ginagawa namin ang kaliwang bahagi:
`sin x — 2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,
- `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
- `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Sagot: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Pagbawas sa isang homogenous na equation
Una, kailangan mong bawasan ang trigonometric equation na ito sa isa sa dalawang anyo:
`a sin x+b cos x=0` (homogeneous equation ng unang degree) o `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (homogeneous equation ng pangalawang degree).
Pagkatapos ay hatiin ang parehong bahagi ng `cos x \ne 0` - para sa unang kaso, at ng `cos^2 x \ne 0` - para sa pangalawa. Kumuha kami ng mga equation para sa `tg x`: `a tg x+b=0` at `a tg^2 x + b tg x +c =0`, na kailangang lutasin gamit ang mga kilalang pamamaraan.
Halimbawa. Lutasin ang equation: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.
Solusyon. Isulat natin ito kanang bahagi tulad ng `1=sin^2 x+cos^2 x`:
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`
`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.
Ito ay isang homogenous na trigonometric equation ng pangalawang degree, hinahati namin ang kaliwa at kanang gilid nito sa `cos^2 x \ne 0`, nakukuha namin:
`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`
`tg^2 x+tg x — 2=0`. Ipakilala natin ang kapalit na `tg x=t`, na nagreresulta sa `t^2 + t - 2=0`. Ang mga ugat ng equation na ito ay `t_1=-2` at `t_2=1`. Pagkatapos:
- `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
- `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.
Sagot. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.
Lumipat sa Half Angle
Halimbawa. Lutasin ang equation: `11 sin x - 2 cos x = 10`.
Solusyon. Ilapat natin ang mga formula ng double angle, na nagreresulta sa: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`
`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`
Ang paglalapat ng algebraic na pamamaraan na inilarawan sa itaas, makuha namin ang:
- `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
- `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Sagot. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Panimula ng auxiliary angle
Sa trigonometric equation `a sin x + b cos x =c`, kung saan ang a,b,c ay coefficients at x ay isang variable, hatiin ang magkabilang panig ng `sqrt (a^2+b^2)`:
`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.
Ang mga coefficient sa kaliwang bahagi ay may mga katangian ng sine at cosine, lalo na ang kabuuan ng kanilang mga parisukat ay katumbas ng 1 at ang kanilang mga module ay hindi hihigit sa 1. Tukuyin natin ang mga ito bilang mga sumusunod: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, pagkatapos:
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
Tingnan natin ang sumusunod na halimbawa:
Halimbawa. Lutasin ang equation: `3 sin x+4 cos x=2`.
Solusyon. Hatiin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay sa `sqrt (3^2+4^2)`, nakukuha natin:
`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`
`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.
Tukuyin natin ang `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Dahil ang `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, pagkatapos ay kunin namin ang `\varphi=arcsin 4/5` bilang isang auxiliary angle. Pagkatapos ay isusulat namin ang aming pagkakapantay-pantay sa anyo:
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
Ang paglalapat ng formula para sa kabuuan ng mga anggulo para sa sine, isinusulat namin ang aming pagkakapantay-pantay sa sumusunod na anyo:
`kasalanan (x+\varphi)=2/5`,
`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Sagot. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Fractional rational trigonometriko equation
Ito ay mga pagkakapantay-pantay na may mga fraction na ang mga numerator at denominator ay naglalaman ng mga function na trigonometriko.
Halimbawa. Lutasin ang equation. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.
Solusyon. I-multiply at hatiin ang kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay sa `(1+cos x)`. Bilang resulta, nakukuha namin ang:
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`
`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`
Isinasaalang-alang na ang denominator ay hindi maaaring katumbas ng zero, nakukuha natin ang `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.
I-equate natin ang numerator ng fraction sa zero: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Pagkatapos ay `sin x=0` o `1-sin x=0`.
- `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
- `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.
Dahil sa `x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, ang mga solusyon ay `x=2\pi n, n \in Z` at `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.
Sagot. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.
Trigonometry, at trigonometriko equation sa partikular, ay ginagamit sa halos lahat ng mga lugar ng geometry, physics, at engineering. Ang pag-aaral ay nagsisimula sa ika-10 na baitang, palaging may mga gawain para sa Pinag-isang Estado ng Pagsusulit, kaya subukang tandaan ang lahat ng mga formula ng trigonometric equation - tiyak na magiging kapaki-pakinabang sila sa iyo!
Gayunpaman, hindi mo na kailangang kabisaduhin ang mga ito, ang pangunahing bagay ay upang maunawaan ang kakanyahan at makuha ito. Ito ay hindi kasing hirap ng tila. Tingnan para sa iyong sarili sa pamamagitan ng panonood ng video.