Ang pagpapanatili ng iyong privacy ay mahalaga sa amin. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Pakisuri ang aming mga kasanayan sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga tanong.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, address Email atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagbibigay-daan sa amin na makipag-ugnayan sa iyo sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin tulad ng pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pag-aaral upang mapagbuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung lalahok ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na promosyon, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag ng impormasyon sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, hudisyal na pamamaraan, legal na paglilitis, at/o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga ahensya ng gobyerno sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang nasabing pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang layunin ng pampublikong kalusugan. mahahalagang kaso.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib, o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa naaangkop na third party na kahalili.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin ang hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Igalang ang iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga pamantayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

Maraming mga problema ang humahantong sa amin upang maghanap para sa isang hanay ng mga halaga ng function sa isang partikular na segment o sa buong domain ng kahulugan. Kabilang sa mga naturang gawain iba't ibang mga pagtatantya mga expression, paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay.

Sa artikulong ito, tutukuyin namin ang hanay ng mga halaga ng isang function, isaalang-alang ang mga pamamaraan para sa paghahanap nito, at pag-aralan nang detalyado ang solusyon ng mga halimbawa mula sa simple hanggang sa mas kumplikado. Ang lahat ng materyal ay bibigyan ng mga graphic na ilustrasyon para sa kalinawan. Kaya ang artikulong ito ay isang detalyadong sagot sa tanong kung paano hanapin ang hanay ng isang function.

Kahulugan.

Ang hanay ng mga halaga ng function na y = f(x) sa pagitan ng X ay ang set ng lahat ng value ng isang function na kinakailangan kapag umuulit sa lahat .

Kahulugan.

Saklaw ng pag-andar y = f(x) ay ang hanay ng lahat ng mga halaga ng isang function na kinakailangan kapag umuulit sa lahat ng x mula sa domain ng kahulugan.

Ang saklaw ng function ay tinutukoy bilang E(f) .

Ang hanay ng isang function at ang hanay ng mga halaga ng isang function ay hindi pareho. Isasaalang-alang namin ang mga konseptong ito na katumbas kung ang pagitan ng X kapag hinahanap ang hanay ng mga halaga ng function na y = f(x) ay tumutugma sa domain ng kahulugan ng function.

Gayundin, huwag malito ang hanay ng function sa variable na x para sa expression sa kanang bahagi ng equation y=f(x) . Rehiyon mga katanggap-tanggap na halaga variable x para sa expression na f(x) - ito ang domain ng kahulugan ng function na y=f(x) .

Ang figure ay nagpapakita ng ilang mga halimbawa.

Ang mga graph ng mga function ay ipinapakita na may makapal na asul na mga linya, ang mga manipis na pulang linya ay mga asymptotes, ang mga pulang tuldok at linya sa Oy axis ay nagpapakita ng hanay ng mga halaga ng kaukulang function.

Tulad ng nakikita mo, ang hanay ng mga halaga ng isang function ay nakuha sa pamamagitan ng pag-project ng graph ng function sa y-axis. Maaari itong maging isang solong numero (unang kaso), isang hanay ng mga numero (pangalawang kaso), isang segment (ikatlong kaso), isang pagitan (ikaapat na kaso), isang bukas na sinag (ikalimang kaso), isang unyon (ikaanim na kaso), atbp .

Kaya ano ang kailangan mong gawin upang mahanap ang hanay ng mga halaga ng isang function?

Magsimula tayo sa pinakasimpleng kaso: ipapakita namin kung paano matukoy ang hanay ng mga halaga ng isang tuluy-tuloy na function y = f(x) sa segment.

Ito ay kilala na ang isang function na tuloy-tuloy sa isang agwat ay umabot sa maximum at minimum na mga halaga nito. Kaya, ang hanay ng mga halaga ng orihinal na function sa segment ay ang segment . Dahil dito, bumababa ang aming gawain sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function sa segment.

Halimbawa, hanapin natin ang hanay ng mga halaga ng arcsine function.

Halimbawa.

Tukuyin ang hanay ng function y = arcsinx .

Solusyon.

Ang lugar ng kahulugan ng arcsine ay ang segment [-1; 1] . Hanapin natin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function sa segment na ito.

Ang derivative ay positibo para sa lahat ng x mula sa pagitan (-1; 1), iyon ay, ang arcsine function ay tumataas sa buong domain ng kahulugan. Dahil dito, kinakailangan ang pinakamaliit na halaga sa x = -1, at ang pinakamalaking sa x = 1.

Nakuha namin ang hanay ng arcsine function .

Halimbawa.

Hanapin ang hanay ng mga halaga ng function sa segment.

Solusyon.

Hanapin natin ang pinakamalaki at pinakamaliit na value ng function sa isang partikular na segment.

Alamin natin ang mga extremum point na kabilang sa segment:

Kinakalkula namin ang mga halaga ng orihinal na pag-andar sa mga dulo ng segment at sa mga punto :

Samakatuwid, ang hanay ng mga halaga ng isang function sa isang agwat ay ang agwat .

Ngayon ay ipapakita namin kung paano hanapin ang hanay ng mga halaga ng isang tuluy-tuloy na function y = f(x) sa mga pagitan (a; b), .

Una, tinutukoy namin ang mga extremum point, extrema ng function, mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ng function sa isang naibigay na agwat. Susunod, kinakalkula namin sa mga dulo ng agwat at (o) ang mga limitasyon sa infinity (iyon ay, pinag-aaralan namin ang pag-uugali ng function sa mga hangganan ng agwat o sa infinity). Ang impormasyong ito ay sapat na upang mahanap ang hanay ng mga halaga ng pag-andar sa naturang mga agwat.

Halimbawa.

Tukuyin ang hanay ng mga halaga ng function sa pagitan (-2; 2).

Solusyon.

Hanapin natin ang extremum point ng function na bumabagsak sa pagitan (-2; 2):

Dot Ang x = 0 ay isang maximum na punto, dahil ang derivative ay nagbabago ng sign mula plus hanggang minus kapag dumadaan dito, at ang graph ng function ay napupunta mula sa pagtaas patungo sa pagbaba.

mayroong katumbas na maximum ng function.

Alamin natin ang pag-uugali ng function dahil ang x ay may posibilidad na -2 sa kanan at bilang x ay may posibilidad na 2 sa kaliwa, iyon ay, nakikita natin ang isang panig na limitasyon:

Ano ang nakuha namin: kapag ang argument ay nagbabago mula -2 hanggang zero, ang mga halaga ng function ay tumataas mula sa minus infinity hanggang minus one-fourth (ang maximum ng function sa x = 0), kapag ang argumento ay nagbago mula sa zero hanggang 2, ang ang mga halaga ng pag-andar ay bumaba sa minus infinity. Kaya, ang hanay ng mga halaga ng function sa pagitan (-2; 2) ay .

Halimbawa.

Tukuyin ang hanay ng mga halaga ng tangent function na y = tgx sa pagitan.

Solusyon.

Ang derivative ng tangent function sa pagitan ay positibo , na nagpapahiwatig ng pagtaas sa function. Pag-aralan natin ang pag-uugali ng function sa mga hangganan ng pagitan:

Kaya, kapag ang argumento ay nagbago mula sa hanggang, ang mga halaga ng pag-andar ay tumataas mula sa minus infinity hanggang plus infinity, iyon ay, ang hanay ng mga tangent na halaga sa pagitan na ito ay ang hanay ng lahat ng tunay na numero.

Halimbawa.

Hanapin ang hanay ng natural logarithm function na y = lnx.

Solusyon.

Ang natural na logarithm function ay tinukoy para sa mga positibong halaga argumento . Sa pagitan na ito ang derivative ay positibo , ito ay nagpapahiwatig ng pagtaas ng function dito. Hanapin natin ang one-sided na limitasyon ng function dahil ang argument ay may posibilidad na zero sa kanan, at ang limitasyon bilang x ay may posibilidad na plus infinity:

Nakikita namin na habang nagbabago ang x mula sa zero hanggang plus infinity, ang mga halaga ng function ay tumataas mula minus infinity hanggang plus infinity. Samakatuwid, ang saklaw ng natural na logarithm function ay ang buong hanay ng mga tunay na numero.

Halimbawa.

Solusyon.

Ang function na ito ay tinukoy para sa lahat ng tunay na halaga ng x. Alamin natin ang mga extremum point, pati na rin ang mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ng function.

Dahil dito, bumababa ang function sa , tumataas sa , x = 0 ang pinakamataas na punto, ang katumbas na maximum ng function.

Tingnan natin ang pag-uugali ng function sa infinity:

Kaya, sa infinity ang mga halaga ng function ay asymptotically lumalapit sa zero.

Nalaman namin na kapag ang argument ay nagbago mula sa minus infinity hanggang zero (ang pinakamataas na punto), ang mga halaga ng function ay tumataas mula sa zero hanggang siyam (hanggang sa maximum ng function), at kapag ang x ay nagbago mula sa zero hanggang plus infinity, ang function bumababa ang mga halaga mula siyam hanggang zero.

Tingnan ang eskematiko na pagguhit.

Ngayon ay malinaw na nakikita na ang hanay ng mga halaga ng function ay .

Ang paghahanap ng hanay ng mga halaga ng function na y = f(x) sa mga pagitan ay nangangailangan ng katulad na pananaliksik. Hindi na natin tatalakayin nang detalyado ang mga kasong ito ngayon. Makikilala natin silang muli sa mga halimbawa sa ibaba.

Hayaang ang domain ng kahulugan ng function na y = f(x) ay ang unyon ng ilang mga pagitan. Kapag nahanap ang hanay ng mga halaga ng naturang function, ang mga hanay ng mga halaga sa bawat agwat ay tinutukoy at ang kanilang unyon ay kinuha.

Halimbawa.

Hanapin ang hanay ng function.

Solusyon.

Ang denominator ng ating function ay hindi dapat pumunta sa zero, iyon ay, .

Una, hanapin natin ang hanay ng mga halaga ng pag-andar sa bukas na ray.

Derivative ng isang function ay negatibo sa agwat na ito, iyon ay, bumababa ang function dito.

Nalaman namin na habang ang argumento ay may posibilidad na minus infinity, ang mga halaga ng function ay asymptotically lumalapit sa pagkakaisa. Kapag ang x ay nagbago mula sa minus infinity hanggang dalawa, ang mga halaga ng function ay bumababa mula sa isa hanggang minus infinity, iyon ay, sa pagitan na isinasaalang-alang, ang function ay tumatagal sa isang hanay ng mga halaga. Hindi namin isinasama ang pagkakaisa, dahil ang mga halaga ng pag-andar ay hindi umabot dito, ngunit asymptotically lamang ang may posibilidad na ito sa minus infinity.

Nagpapatuloy kami nang katulad para sa bukas na sinag.

Sa agwat na ito bumababa din ang function.

Ang hanay ng mga halaga ng function sa pagitan na ito ay ang set .

Kaya, ang nais na hanay ng mga halaga ng function ay ang unyon ng mga hanay at .

Graphic na paglalarawan.

Ang espesyal na pansin ay dapat bayaran sa mga pana-panahong pag-andar. Ang hanay ng mga halaga ng mga pana-panahong pag-andar ay tumutugma sa hanay ng mga halaga sa pagitan na naaayon sa panahon ng pagpapaandar na ito.

Halimbawa.

Hanapin ang hanay ng sine function y = sinx.

Solusyon.

Ang function na ito ay panaka-nakang may panahon na dalawang pi. Kumuha tayo ng isang segment at tukuyin ang hanay ng mga halaga dito.

Ang segment ay naglalaman ng dalawang extremum point at .

Kinakalkula namin ang mga halaga ng function sa mga puntong ito at sa mga hangganan ng segment, piliin ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga:

Kaya naman, .

Halimbawa.

Hanapin ang hanay ng isang function .

Solusyon.

Alam namin na ang hanay ng arc cosine ay ang segment mula sa zero hanggang pi, iyon ay, o sa ibang post. Function ay maaaring makuha mula sa arccosx sa pamamagitan ng paglilipat at pag-unat kasama ang abscissa axis. Ang ganitong mga pagbabago ay hindi nakakaapekto sa hanay ng mga halaga, samakatuwid, . Function nakuha mula sa na umaabot ng tatlong beses sa kahabaan ng axis ng Oy, iyon ay, . At ang huling yugto ng pagbabago ay ang paglilipat ng apat na yunit pababa sa kahabaan ng ordinate. Ito ay humahantong sa atin sa dobleng hindi pagkakapantay-pantay

Kaya, ang kinakailangang hanay ng mga halaga ay .

Ibigay natin ang solusyon sa isa pang halimbawa, ngunit walang mga paliwanag (hindi sila kinakailangan, dahil ganap silang magkapareho).

Halimbawa.

Tukuyin ang Saklaw ng Pag-andar .

Solusyon.

Isulat natin ang orihinal na function sa form . Saklaw ng mga halaga function ng kapangyarihan ay pagitan. Yan ay, . Pagkatapos

Kaya naman, .

Upang makumpleto ang larawan, dapat nating pag-usapan ang paghahanap ng hanay ng mga halaga ng isang function na hindi tuloy-tuloy sa domain ng kahulugan. Sa kasong ito, hinahati namin ang domain ng kahulugan sa mga pagitan sa pamamagitan ng mga break point, at naghahanap ng mga hanay ng mga halaga sa bawat isa sa kanila. Sa pamamagitan ng pagsasama-sama ng mga nagresultang hanay ng mga halaga, nakukuha namin ang hanay ng mga halaga ng orihinal na function. Inirerekomenda namin na tandaan mo

Ngayon sa aralin ay babalik tayo sa isa sa mga pangunahing konsepto ng matematika - ang konsepto ng function; Tingnan natin ang isa sa mga katangian ng isang function - ang hanay ng mga halaga nito.

Sa panahon ng mga klase

Guro. Habang nilulutas ang mga problema, napapansin namin na kung minsan ay hinahanap nito ang hanay ng mga halaga ng isang function na naglalagay sa amin sa mahihirap na sitwasyon. Bakit? Tila, sa pag-aaral ng isang function mula noong ika-7 baitang, marami tayong alam tungkol dito. Samakatuwid, mayroon kaming lahat ng dahilan upang gumawa ng isang proactive na hakbang. "Maglaro" tayo ng maraming pagpapahalaga sa ating sarili ngayon upang masagot ang maraming tanong sa paksang ito sa paparating na pagsusulit.

Mga hanay ng mga halaga ng elementarya na pag-andar

Guro. Una, kailangan mong ulitin ang mga graph, equation at set ng mga halaga ng mga pangunahing pag-andar ng elementarya sa buong domain ng kahulugan.

Ang mga graph ng mga function ay naka-project sa screen: linear, quadratic, fractional-rational, trigonometric, exponential at logarithmic, para sa bawat isa sa kanila ang isang hanay ng mga halaga ay tinutukoy nang pasalita. Kunin ang atensyon ng mga mag-aaral sa katotohanang iyon linear function E(f) = R o isang numero, para sa isang fractional linear

Ito ang ating alpabeto. Sa pamamagitan ng pagdaragdag dito ng aming kaalaman sa mga pagbabago sa graph: parallel translation, stretching, compression, reflection, malulutas namin ang mga problema ng unang bahagi Ang Unified State Exam ay medyo mas mahirap. Tignan natin.

Pansariling gawain

U Ang mga termino ng problema at mga sistema ng coordinate ay naka-print para sa bawat mag-aaral.

1. Hanapin ang hanay ng mga halaga ng function sa buong domain ng kahulugan:

A) y= 3 kasalanan X ;
b) y = 7 – 2 X ;
V) y= –arccos ( x + 5):
G) y= | arctg x |;
d)

2. Hanapin ang hanay ng mga halaga ng function y = x 2 sa pagitan J, Kung:

A) J = ;
b) J = [–1; 5).

3. Tukuyin ang function na analytically (sa pamamagitan ng isang equation), kung ang hanay ng mga halaga nito ay:

1) E(f(x)) = (–∞ ; 2] at f(x) - pag-andar

a) parisukat,
b) logarithmic,
c) nagpapakita;

2) E(f(x)) = R \{7}.

Kapag tinatalakay ang isang gawain 2independiyenteng gawain, iguhit ang atensyon ng mga mag-aaral sa katotohanan na, sa kaso ng monotonicity at pagpapatuloy ng function y=f(x)sa isang ibinigay na pagitan[a;b],maraming kahulugan nito-pagitan,na ang mga dulo ay ang mga halaga ng f(a)at f(b).

Mga pagpipilian sa sagot para sa gawain 3.

1.
A) y = –x 2 + 2 , y = –(x + 18) 2 + 2,
y= a(x – x c) 2 + 2 sa A < 0.

b) y= –| log 8 x | + 2,

V) y = –| 3 x – 7 | + 2, y = –5 | x | + 3.

2.
a) b)

V) y = 12 – 5x, Saan x ≠ 1 .

Paghahanap ng maraming halaga ng isang function gamit ang derivative

Guro. Sa ika-10 baitang, naging pamilyar kami sa algorithm para sa paghahanap ng extrema ng isang function na tuloy-tuloy sa isang segment at paghahanap ng hanay ng mga value nito, nang hindi umaasa sa graph ng function. Tandaan kung paano namin ginawa ito? ( Paggamit ng derivative.) Tandaan natin ang algorithm na ito .

1. Siguraduhin ang function y = f(x) ay tinukoy at tuloy-tuloy sa segment J = [a; b]. 2. Hanapin ang mga halaga ng function sa mga dulo ng segment: f(a) at f(b). Magkomento. Kung alam natin na ang function ay tuluy-tuloy at monotoniko J, pagkatapos ay maaari mong sagutin kaagad: E(f) = [f(a); f(b)] o E(f) = [f(b); f(A)]. 3. Hanapin ang derivative at pagkatapos ay ang mga kritikal na puntos x kJ. 4. Hanapin ang mga halaga ng function sa kritikal na puntos f(x k). 5. Ihambing ang mga halaga ng function f(a), f(b) At f(x k), piliin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function at ibigay ang sagot: E(f)= [f pangalan; f naib].

Ang mga problemang kinasasangkutan ng paggamit ng algorithm na ito ay matatagpuan sa Mga opsyon sa Pinag-isang State Exam. Halimbawa, noong 2008 ang naturang gawain ay iminungkahi. Kailangan mong lutasin ito Mga bahay .

Gawain C1. Hanapin ang pinakamalaking halaga ng function

f(x) = (0,5x + 1) 4 – 50(0,5x + 1) 2

sa | x + 1| ≤ 3.

Ang mga kondisyon ng takdang-aralin ay naka-print para sa bawat mag-aaral .

Paghahanap ng hanay ng mga halaga ng isang kumplikadong function

Guro. Ang pangunahing bahagi ng ating aralin ay ang mga hindi karaniwang problema na naglalaman ng mga kumplikadong function, ang mga derivatives nito ay napaka kumplikadong mga ekspresyon. At ang mga graph ng mga function na ito ay hindi alam sa amin. Samakatuwid, upang malutas, gagamitin namin ang kahulugan ng isang kumplikadong function, iyon ay, ang pag-asa sa pagitan ng mga variable sa pagkakasunud-sunod ng kanilang nesting sa isang naibigay na function, at isang pagtatantya ng kanilang hanay ng mga halaga (ang agwat ng pagbabago sa kanilang mga halaga). Ang mga problema ng ganitong uri ay matatagpuan sa ikalawang bahagi ng Pinag-isang State Exam. Tingnan natin ang ilang halimbawa.

Ehersisyo 1. Para sa mga function y = f(x) At y = g(x) sumulat ng isang kumplikadong function y = f(g(x)) at hanapin ang hanay ng mga halaga nito:

A) f(x) = –x 2 + 2x + 3, g(x) = kasalanan x;
b) f(x) = –x 2 + 2x + 3, g(x) = log 7 x;
V) g(x) = x 2 + 1;
G)

Solusyon. a) Ang kumplikadong pag-andar ay may anyo: y= –kasalanan 2 x+ 2 kasalanan x + 3.

Pagpapakilala ng isang intermediate argument t, maaari naming isulat ang function na ito tulad nito:

y= –t 2 + 2t+ 3, saan t= kasalanan x.

U panloob na pag-andar t= kasalanan x ang argument ay tumatagal ng anumang mga halaga, at ang hanay ng mga halaga nito ay ang segment [–1; 1].

Kaya, para sa panlabas na pag-andar y = –t 2 +2t+ 3 nalaman namin ang agwat para sa pagbabago ng mga halaga ng argumento nito t: t[-1; 1]. Tingnan natin ang graph ng function y = –t 2 +2t + 3.

Napapansin natin yan quadratic function sa t[-1; 1] kumukuha ng pinakamaliit at pinakamataas na halaga sa dulo nito: y pangalan = y(–1) = 0 at y naib = y(1) = 4. At dahil ang function na ito ay tuloy-tuloy sa pagitan [–1; 1], pagkatapos ay tinatanggap nito ang lahat ng mga halaga sa pagitan nila.

Sagot: y .

b) Ang komposisyon ng mga function na ito ay humahantong sa amin sa isang kumplikadong function na, pagkatapos ng pagpapakilala ng isang intermediate argument, ay maaaring kinakatawan bilang mga sumusunod:

y= –t 2 + 2t+ 3, saan t= log 7 x,

Function t= log 7 x

x (0; +∞ ), t (–∞ ; +∞ ).

Function y = –t 2 + 2t+ 3 (tingnan ang graph) na argumento t tumatagal ng anumang mga halaga, at ang quadratic function mismo ay tumatagal ng lahat ng mga halaga na hindi hihigit sa 4.

Sagot: y (–∞ ; 4].

c) Ang isang kumplikadong function ay may susunod na view:

Ang pagpapakilala ng isang intermediate na argumento, nakukuha namin:

saan t = x 2 + 1.

Dahil para sa panloob na pag-andar x R , A t .

Sagot: y (0; 3].

d) Ang komposisyon ng dalawang function na ito ay nagbibigay sa amin ng isang kumplikadong function

na maaaring isulat bilang

pansinin mo yan

Kaya kapag

saan k Z , t [–1; 0) (0; 1].

Sa pamamagitan ng pagguhit ng graph ng function nakikita natin iyon sa mga halagang ito t

y(–∞ ; –4] c ;

b) sa buong lugar ng kahulugan.

Solusyon. Mag-explore muna kami function na ito sa monotony. Function t= arcctg x- tuloy-tuloy at bumababa ng R at ang hanay ng mga halaga nito (0; π). Function y= log 5 t ay tinukoy sa pagitan (0; π), ay tuloy-tuloy at tumataas dito. Kaya ito kumplikadong pag-andar bumababa sa set R . At ito, bilang isang komposisyon ng dalawang tuluy-tuloy na pag-andar, ay magpapatuloy sa R .

Solusyonan natin ang problemang "a".

Dahil tuloy-tuloy ang function sa buong linya ng numero, tuloy-tuloy ito sa anumang bahagi nito, lalo na, sa isang partikular na segment. At pagkatapos ay sa segment na ito mayroon itong pinakamaliit at pinakamalaking halaga at kinukuha ang lahat ng mga halaga sa pagitan nila:

f(4) = log 5 arcctg 4.

Alin sa mga resultang halaga ang mas malaki? Bakit? At ano ang magiging set ng mga halaga?

Sagot:

Lutasin natin ang problemang "b".

Sagot: sa(–∞ ; log 5 π) sa buong lugar ng kahulugan.

Problema sa isang parameter

Ngayon subukan nating lumikha at lutasin ang isang simpleng equation na may parameter ng form f(x) = a, Saan f(x) - ang parehong function tulad ng sa gawain 4.

Gawain 5. Tukuyin ang bilang ng mga ugat ng equation log 5 (arcctg x) = A para sa bawat halaga ng parameter A.

Solusyon. Tulad ng ipinakita na natin sa gawain 4, ang function sa= log 5(arcctg x) - bumababa at tuloy-tuloy sa R at kumukuha ng mga halagang mas mababa sa log 5 π. Ang impormasyong ito ay sapat na upang magbigay ng sagot.

Sagot: Kung A < log 5 π, то уравнение имеет единственный корень;

Kung A≥ log 5 π, pagkatapos ay walang mga ugat.

Guro. Ngayon ay tiningnan namin ang mga problema na nauugnay sa paghahanap ng hanay ng mga halaga ng isang function. Sa landas na ito, natuklasan namin ang isang bagong paraan para sa paglutas ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay - ang pamamaraan ng pagtatantya, kaya ang paghahanap ng hanay ng mga halaga ng function ay naging isang paraan ng paglutas ng mga problema sa mas mataas na antas. Sa paggawa nito, nakita namin kung paano nabuo ang mga naturang problema at kung paano pinapadali ng mga katangian ng monotonicity ng isang function ang kanilang solusyon.

At nais kong umasa na ang lohika na nag-uugnay sa mga gawaing tinalakay ngayon ay namangha o hindi bababa sa nagulat sa iyo. Hindi ito maaaring maging kung hindi man: ang pag-akyat sa isang bagong tuktok ay hindi nag-iiwan ng sinuman na walang malasakit! Napapansin at pinahahalagahan natin ang magagandang painting, sculpture, atbp. Ngunit ang matematika ay mayroon ding sariling kagandahan, kaakit-akit at nakakabighani - ang kagandahan ng lohika. Sinasabi ng mga mathematician na ang isang magandang solusyon ay, bilang panuntunan, tamang solusyon, at ito ay hindi lamang isang parirala. Ngayon ay kailangan mong hanapin ang gayong mga solusyon sa iyong sarili, at ipinahiwatig namin ang isa sa mga landas patungo sa kanila ngayon. Good luck sa iyo! At tandaan: ang taong naglalakad ay makakabisado sa kalsada!

1) Function domain at function range.

Ang domain ng isang function ay ang hanay ng lahat ng wastong valid na halaga ng argumento x(variable x), kung saan ang function y = f(x) determinado. Ang hanay ng isang function ay ang hanay ng lahat ng tunay na halaga y, na tinatanggap ng function.

Sa elementarya na matematika, ang mga function ay pinag-aaralan lamang sa hanay ng mga tunay na numero.

2) Mga function na zero.

Ang function na zero ay ang halaga ng argumento kung saan ang halaga ng function ay katumbas ng zero.

3) Mga agwat ng patuloy na pag-sign ng isang function.

Ang mga agwat ng patuloy na pag-sign ng isang function ay mga hanay ng mga halaga ng argumento kung saan ang mga halaga ng function ay positibo lamang o negatibo lamang.

4) Monotonicity ng function.

Ang pagtaas ng function (sa isang tiyak na pagitan) ay isang function kung saan mas mataas na halaga ang argumento mula sa agwat na ito ay tumutugma sa isang mas malaking halaga ng function.

Ang pagpapababa ng function (sa isang tiyak na agwat) ay isang function kung saan ang isang mas malaking halaga ng argument mula sa agwat na ito ay tumutugma sa isang mas maliit na halaga ng function.

5) Kahit na (kakaibang) function.

Ang kahit na function ay isang function na ang domain ng kahulugan ay simetriko na may paggalang sa pinagmulan at para sa alinman X mula sa domain ng kahulugan ang pagkakapantay-pantay f(-x) = f(x). Ang graph ng kahit na function ay simetriko tungkol sa ordinate.

Ang kakaibang function ay isang function na ang domain ng kahulugan ay simetriko na may paggalang sa pinagmulan at para sa alinman X mula sa domain ng kahulugan ang pagkakapantay-pantay ay totoo f(-x) = - f(x). Ang graph ng isang kakaibang function ay simetriko tungkol sa pinagmulan.

6) Limitado at walang limitasyong mga pag-andar.

Ang isang function ay tinatawag na bounded kung mayroong isang positibong numero M tulad na |f(x)| ≤ M para sa lahat ng halaga ng x. Kung walang ganoong numero, walang limitasyon ang function.

7) Periodicity ng function.

Ang isang function na f(x) ay panaka-nakang kung mayroong isang hindi-zero na numerong T na para sa alinmang x mula sa domain ng kahulugan ng function ay ang mga sumusunod: f(x+T) = f(x). Ang pinakamaliit na bilang na ito ay tinatawag na panahon ng pagpapaandar. Lahat trigonometriko function ay pana-panahon. (Mga formula ng trigonometriko).

19. Pangunahing mga pag-andar ng elementarya, ang kanilang mga katangian at mga graph. Paglalapat ng mga tungkulin sa ekonomiya.

Mga pangunahing pag-andar ng elementarya. Ang kanilang mga katangian at mga graph

1. Linear function.

Linear function ay tinatawag na function ng form , kung saan ang x ay isang variable, ang a at b ay mga tunay na numero.

Numero A ay tinatawag na slope ng linya, ito katumbas ng tangent ang anggulo ng pagkahilig ng tuwid na linyang ito sa positibong direksyon ng x-axis. Ang graph ng isang linear function ay isang tuwid na linya. Ito ay tinukoy ng dalawang puntos.

Mga Katangian ng Linear Function

1. Domain ng kahulugan - ang hanay ng lahat ng tunay na numero: D(y)=R

2. Ang hanay ng mga halaga ay ang hanay ng lahat ng tunay na numero: E(y)=R

3. Ang function ay tumatagal ng isang zero na halaga kapag o.

4. Ang function ay tumataas (bumababa) sa buong domain ng kahulugan.

5. Ang linear function ay tuloy-tuloy sa buong domain ng definition, differentiable at .

2. Quadratic function.

Ang isang function ng form, kung saan ang x ay isang variable, ang mga coefficient a, b, c ay tunay na mga numero, ay tinatawag parisukat

Ang isang function ay isang modelo. Tukuyin natin ang X bilang isang hanay ng mga halaga ng isang independiyenteng variable // independyente ay nangangahulugang anuman.

Ang isang function ay isang panuntunan sa tulong ng kung saan, para sa bawat halaga ng isang independent variable mula sa set X, ang isa ay makakahanap ng isang natatanging halaga ng dependent variable. // i.e. para sa bawat x mayroong isang y.

Mula sa kahulugan ay sumusunod na mayroong dalawang konsepto - isang independiyenteng variable (na tinutukoy natin ng x at maaari itong tumagal ng anumang halaga) at isang dependent variable (na tinutukoy natin ng y o f (x) at ito ay kinakalkula mula sa function kapag pinapalitan namin ang x).

HALIMBAWA y=5+x

1. Ang Independent ay x, na nangangahulugang kumukuha tayo ng anumang halaga, hayaan ang x=3

2. Ngayon kalkulahin natin ang y, na nangangahulugang y=5+x=5+3=8. (y depende sa x, dahil kahit anong x ang palitan natin, pareho tayong y)

Ang variable na y ay sinasabing functionally ay nakadepende sa variable na x at ito ay tinutukoy bilang mga sumusunod: y = f (x).

HALIMBAWA.

1.y=1/x. (tinatawag na hyperbole)

2. y=x^2. (tinatawag na parabola)

3.y=3x+7. (tinatawag na tuwid na linya)

4. y= √ x. (tinatawag na parabola branch)

Ang independiyenteng variable (na tinutukoy namin ng x) ay tinatawag na function argument.

Function na Domain

Ang hanay ng lahat ng mga halaga na kinukuha ng argumento ng function ay tinatawag na domain ng function at ipinapahiwatig ang D(f) o D(y).

Isaalang-alang ang D(y) para sa 1.,2.,3.,4.

1. D (y)= (∞; 0) at (0;+∞) //ang buong hanay ng mga tunay na numero maliban sa zero.

2. D (y)= (∞; +∞)//lahat ng bilang ng mga tunay na numero

3. D (y)= (∞; +∞)//lahat ng bilang ng mga tunay na numero

4. D (y)= )