Ang pagpapanatili ng iyong privacy ay mahalaga sa amin. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Pakisuri ang aming mga kasanayan sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga tanong.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, address Email atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagbibigay-daan sa amin na makipag-ugnayan sa iyo sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin tulad ng pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pag-aaral upang mapagbuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung lalahok ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na promosyon, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag ng impormasyon sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, hudisyal na pamamaraan, legal na paglilitis, at/o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga ahensya ng gobyerno sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang nasabing pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang layunin ng pampublikong kalusugan. mahahalagang kaso.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib, o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa naaangkop na third party na kahalili.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin ang hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Igalang ang iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga pamantayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

Nangangailangan ng kaalaman sa mga pangunahing pormula ng trigonometrya - ang kabuuan ng mga parisukat ng sine at cosine, ang pagpapahayag ng tangent sa pamamagitan ng sine at cosine, at iba pa. Para sa mga nakalimutan na sila o hindi nakakakilala sa kanila, inirerekomenda naming basahin ang artikulong "".
Kaya, ang mga pangunahing mga formula ng trigonometriko alam nating oras na para isabuhay ang mga ito. Paglutas ng mga equation ng trigonometriko sa ang tamang diskarte- medyo isang kapana-panabik na aktibidad, tulad ng, halimbawa, paglutas ng isang Rubik's cube.

Base sa mismong pangalan, malinaw na trigonometriko equation ay isang equation kung saan ang hindi alam ay nasa ilalim ng tanda ng trigonometric function.
May mga tinatawag na pinakasimpleng trigonometric equation. Narito kung ano ang hitsura nila: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Isaalang-alang natin kung paano lutasin ang gayong mga trigonometric equation, para sa kalinawan gagamitin namin ang pamilyar na trigonometriko na bilog.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

higaan x = a

Anumang trigonometriko equation ay malulutas sa dalawang yugto: binabawasan natin ang equation sa pinakasimpleng anyo nito at pagkatapos ay lutasin ito bilang isang simpleng trigonometric equation.
Mayroong 7 pangunahing pamamaraan kung saan nalulutas ang mga trigonometric equation.

1. Variable substitution at substitution method

Lutasin ang equation na 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Gamit ang mga formula ng pagbabawas na nakukuha natin:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Palitan ang cos(x + /6) ng y upang gawing simple at makuha ang karaniwang quadratic equation:

2y 2 – 3y + 1 + 0

Ang mga ugat nito ay y 1 = 1, y 2 = 1/2

Ngayon, pumunta tayo sa reverse order

Pinapalitan namin ang mga nahanap na halaga ng y at kumuha ng dalawang pagpipilian sa sagot:

2. Paglutas ng mga equation ng trigonometriko sa pamamagitan ng factorization

Paano malutas ang equation na sin x + cos x = 1?

Ilipat natin ang lahat sa kaliwa upang manatili ang 0 sa kanan:

sin x + cos x – 1 = 0

Gamitin natin ang mga pagkakakilanlan na tinalakay sa itaas upang gawing simple ang equation:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

I-factorize natin:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Kumuha kami ng dalawang equation

3. Pagbawas sa isang homogenous na equation

Ang isang equation ay homogenous na may paggalang sa sine at cosine kung ang lahat ng mga termino nito ay nauugnay sa sine at cosine ng parehong antas ng parehong anggulo. Upang malutas ang isang homogenous na equation, magpatuloy tulad ng sumusunod:

a) ilipat ang lahat ng miyembro nito sa kaliwang bahagi;

b) alisin ang lahat ng karaniwang salik sa mga bracket;

c) ipantay ang lahat ng mga salik at mga bracket sa 0;

d) natanggap sa mga bracket homogenous equation sa isang mas mababang antas, ito naman ay nahahati sa sine o cosine sa pinakamataas na antas;

e) lutasin ang nagresultang equation para sa tg.

Lutasin ang equation na 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Gamitin natin ang formula na sin 2 x + cos 2 x = 1 at alisin ang bukas na dalawa sa kanan:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Hatiin sa cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Palitan ang tan x ng y at kumuha ng quadratic equation:

y 2 + 4y +3 = 0, na ang mga ugat ay y 1 =1, y 2 = 3

Mula dito nakita namin ang dalawang solusyon sa orihinal na equation:

x 2 = arctan 3 + k

4. Paglutas ng mga equation sa pamamagitan ng paglipat sa kalahating anggulo

Lutasin ang equation na 3sin x – 5cos x = 7

Lumipat tayo sa x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Ilipat natin ang lahat sa kaliwa:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Hatiin sa cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Panimula ng auxiliary angle

Para sa pagsasaalang-alang, kunin natin ang isang equation ng form: a sin x + b cos x = c,

kung saan ang a, b, c ay ilang di-makatwirang coefficient, at ang x ay hindi kilala.

Hatiin natin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng:



Ngayon ang mga coefficient ng equation, ayon sa mga trigonometric formula, ay may mga katangian na sin at cos, lalo na: ang kanilang modulus ay hindi hihigit sa 1 at ang kabuuan ng mga parisukat = 1. Ipaalam sa amin tukuyin ang mga ito ayon sa pagkakabanggit bilang cos at kasalanan, kung saan - ito ay ang tinatawag na auxiliary angle. Pagkatapos ang equation ay kukuha ng form:

cos * sin x + sin * cos x = C

o sin(x + ) = C

Ang solusyon sa pinakasimpleng trigonometric equation na ito ay

x = (-1) k * arcsin C - + k, kung saan



Dapat pansinin na ang mga notasyong cos at sin ay mapagpapalit.

Lutasin ang equation sin 3x – cos 3x = 1

Ang mga coefficient sa equation na ito ay:

a = , b = -1, kaya hatiin ang magkabilang panig ng = 2

Mas kumplikadong trigonometriko equation

Mga equation

kasalanan x = a,
cos x = a,
tg x = a,
ctg x = a

ay ang pinakasimpleng trigonometric equation. Sa seksyong ito, titingnan natin ang mas kumplikadong mga equation ng trigonometriko gamit ang mga partikular na halimbawa. Ang kanilang solusyon, bilang panuntunan, ay bumababa sa paglutas ng pinakasimpleng mga equation ng trigonometriko.

Halimbawa 1 . Lutasin ang equation

kasalanan 2 X=cos X kasalanan 2 x.

Ang paglilipat ng lahat ng mga termino ng equation na ito sa kaliwang bahagi at pag-factor ng resultang expression, makuha namin ang:

kasalanan 2 X(1 - cos X) = 0.

Ang produkto ng dalawang expression ay katumbas ng zero kung at kung ang isa man lang sa mga salik ay katumbas ng zero, at ang isa ay kumukuha ng anumang numerical na halaga, hangga't ito ay tinukoy.

Kung kasalanan 2 X = 0 , pagkatapos 2 X= n π ; X = π / 2 n.

Kung 1 - cos X = 0 , pagkatapos cos X = 1; X = 2kπ .

Kaya, nakakuha kami ng dalawang grupo ng mga ugat: X = π / 2 n; X = 2kπ . Ang pangalawang pangkat ng mga ugat ay malinaw na nakapaloob sa una, dahil para sa n = 4k ang expression X = π / 2 n nagiging
X = 2kπ .

Samakatuwid, ang sagot ay maaaring isulat sa isang formula: X = π / 2 n, Saan n- anumang integer.

Tandaan na ang equation na ito ay hindi malulutas sa pamamagitan ng pagbabawas ng kasalanan 2 x. Sa katunayan, pagkatapos ng pagbabawas makakakuha tayo ng 1 - cos x = 0, kung saan X= 2k π . Kaya't mawawalan tayo ng ilang mga ugat, halimbawa π / 2 , π , 3π / 2 .

Halimbawa 2. Lutasin ang equation

Ang isang fraction ay katumbas ng zero lamang kung ang numerator nito ay katumbas ng zero.
kaya lang kasalanan 2 X = 0 , mula sa kung saan 2 X= n π ; X = π / 2 n.

Mula sa mga halagang ito X kailangan mong itapon bilang extraneous ang mga halaga kung saan kasalananX napupunta sa zero (ang mga fraction na may zero denominator ay walang kahulugan: dibisyon ng zero ay hindi natukoy). Ang mga halagang ito ay mga numero na maramihan ng π . Sa formula
X = π / 2 n sila ay nakuha para sa kahit na n. Samakatuwid, ang mga ugat ng equation na ito ay ang mga numero

X = π / 2 (2k + 1),

kung saan ang k ay anumang integer.

Halimbawa 3 . Lutasin ang equation

2 kasalanan 2 X+ 7cos x - 5 = 0.

Ipahayag natin kasalanan 2 X sa pamamagitan ng cosx : kasalanan 2 X = 1 - cos 2x . Pagkatapos ang equation na ito ay maaaring muling isulat bilang

2 (1 - cos 2 x) + 7cos x - 5 = 0 , o

2cos 2 x- 7 cos x + 3 = 0.

Nagtatalaga cosx sa pamamagitan ng sa, dumating tayo sa quadratic equation

2у 2 - 7у + 3 = 0,

na ang mga ugat ay ang mga numerong 1/2 at 3. Nangangahulugan ito na alinman sa cos x= 1 / 2, o cos X= 3. Gayunpaman, ang huli ay imposible, dahil ang cosine ng anumang anggulo ay hindi lalampas sa 1 sa ganap na halaga.

Nananatili itong aminin cos x = 1 / 2 , saan

x = ± 60° + 360° n.

Halimbawa 4 . Lutasin ang equation

2 kasalanan X+ 3cos x = 6.

Mula sa kasalanan x at cos x sa ganap na halaga ay hindi hihigit sa 1, pagkatapos ay ang expression
2 kasalanan X+ 3cos x hindi maaaring kumuha ng mga halaga na mas malaki kaysa sa 5 . Samakatuwid, ang equation na ito ay walang mga ugat.

Halimbawa 5 . Lutasin ang equation

kasalanan X+cos x = 1

Sa pamamagitan ng pag-square sa magkabilang panig ng equation na ito, nakukuha natin ang:

kasalanan 2 X+ 2 kasalanan x cos x+ cos 2 x = 1,

Pero kasalanan 2 X + kasi 2 x = 1 . kaya lang 2 kasalanan x cos x = 0 . Kung kasalanan x = 0 , Iyon X = nπ ; kung
cos x , Iyon X = π / 2 + kπ . Ang dalawang pangkat ng mga solusyon na ito ay maaaring isulat sa isang formula:

X = π / 2 n

Dahil nilagyan namin ng squared ang magkabilang panig ng equation na ito, posibleng may mga extraneous na ugat sa mga ugat na nakuha namin. Iyon ang dahilan kung bakit sa halimbawang ito, hindi katulad ng lahat ng nauna, kinakailangan na gumawa ng tseke. Lahat ng kahulugan

X = π / 2 n maaaring hatiin sa 4 na pangkat

	1) X = 2kπ .	(n = 4k)
	2) X = π / 2 + 2kπ .	(n = 4k + 1)
	3) X = π + 2kπ .	(n = 4k + 2)
	4) X = 3π / 2 + 2kπ .	(n = 4k + 3)

Sa X = 2kπ kasalanan x+cos x= 0 + 1 = 1. Samakatuwid, X = 2kπ ang mga ugat ng equation na ito.

Sa X = π / 2 + 2kπ. kasalanan x+cos x= 1 + 0 = 1 Kaya X = π / 2 + 2kπ- din ang mga ugat ng equation na ito.

Sa X = π + 2kπ kasalanan x+cos x= 0 - 1 = - 1. Samakatuwid, ang mga halaga X = π + 2kπ ay hindi mga ugat ng equation na ito. Katulad din ito ay ipinapakita na X = 3π / 2 + 2kπ. ay hindi mga ugat.

Kaya, ang equation na ito ay may mga sumusunod na ugat: X = 2kπ At X = π / 2 + 2mπ., Saan k At m- anumang integer.

Kapag nag-solve ng marami mga problema sa matematika, lalo na ang mga nangyari bago ang grade 10, ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na isinagawa na hahantong sa layunin ay malinaw na tinukoy. Kasama sa mga naturang problema, halimbawa, linear at quadratic equation, linear at quadratic inequalities, fractional equation at equation na bumababa sa quadratic. Ang prinsipyo ng matagumpay na paglutas ng bawat isa sa mga nabanggit na problema ay ang mga sumusunod: kinakailangan upang maitatag kung anong uri ng problema ang nalulutas, tandaan ang kinakailangang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na hahantong sa ang nais na resulta, ibig sabihin. sagutin at sundin ang mga hakbang na ito.

Malinaw na ang tagumpay o kabiguan sa paglutas ng isang partikular na problema ay pangunahing nakasalalay sa kung gaano katama ang uri ng equation na nalutas, kung gaano katama ang pagkakasunud-sunod ng lahat ng mga yugto ng solusyon nito ay muling ginawa. Siyempre, sa kasong ito ay kinakailangan na magkaroon ng mga kasanayan upang magsagawa ng magkatulad na mga pagbabago at kalkulasyon.

Iba ang sitwasyon sa trigonometriko equation. Hindi naman mahirap itatag ang katotohanan na ang equation ay trigonometric. Ang mga paghihirap ay lumitaw kapag tinutukoy ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na hahantong sa tamang sagot.

Sa pamamagitan ng hitsura equation, minsan mahirap matukoy ang uri nito. At nang hindi nalalaman ang uri ng equation, halos imposibleng pumili ng tama mula sa ilang dosenang mga formula ng trigonometriko.

Upang malutas ang isang trigonometric equation, kailangan mong subukan:

1. dalhin ang lahat ng mga function na kasama sa equation sa "parehong mga anggulo";
2. dalhin ang equation sa "magkaparehong pag-andar";
3. i-factor ang kaliwang bahagi ng equation, atbp.

Isaalang-alang natin mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko.

I. Pagbawas sa pinakasimpleng trigonometric equation

Diagram ng solusyon

Hakbang 1. Ipahayag ang isang trigonometric function sa mga tuntunin ng mga kilalang bahagi.

Hakbang 2. Hanapin ang argumento ng function gamit ang mga formula:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

kasalanan x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Hakbang 3. Hanapin ang hindi kilalang variable.

Halimbawa.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Solusyon.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Sagot: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Pagpapalit ng variable

Diagram ng solusyon

Hakbang 1. Bawasan ang equation sa algebraic form na may paggalang sa isa sa trigonometriko function.

Hakbang 2. Tukuyin ang resultang function ng variable na t (kung kinakailangan, ipakilala ang mga paghihigpit sa t).

Hakbang 3. Isulat at lutasin ang resultang algebraic equation.

Hakbang 4. Gumawa ng reverse replacement.

Hakbang 5. Lutasin ang pinakasimpleng trigonometric equation.

Halimbawa.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Solusyon.

1) 2(1 – kasalanan 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Hayaan ang kasalanan (x/2) = t, kung saan |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 o e = -3/2, ay hindi nakakatugon sa kondisyon |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Sagot: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Paraan ng pagbabawas ng pagkakasunud-sunod ng equation

Diagram ng solusyon

Hakbang 1. Palitan ang equation na ito ng isang linear, gamit ang formula para sa pagbabawas ng degree:

kasalanan 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Hakbang 2. Lutasin ang resultang equation gamit ang mga pamamaraan I at II.

Halimbawa.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Solusyon.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Sagot: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Mga homogenous na equation

Diagram ng solusyon

Hakbang 1. Bawasan ang equation na ito sa anyo

a) a sin x + b cos x = 0 (homogeneous equation ng unang degree)

o sa view

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (homogeneous equation ng pangalawang degree).

Hakbang 2. Hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

at kunin ang equation para sa tan x:

a) isang tan x + b = 0;

b) isang tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Hakbang 3. Lutasin ang equation gamit ang mga kilalang pamamaraan.

Halimbawa.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Solusyon.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

kasalanan 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Hayaan ang tg x = t, pagkatapos

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 o t = -4, ibig sabihin

tg x = 1 o tg x = -4.

Mula sa unang equation x = π/4 + πn, n Є Z; mula sa pangalawang equation x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Sagot: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Paraan ng pagbabago ng isang equation gamit ang mga trigonometric formula

Diagram ng solusyon

Hakbang 1. Gamit ang lahat ng posibleng trigonometriko formula, bawasan ang equation na ito sa isang equation na nalutas ng mga pamamaraan I, II, III, IV.

Hakbang 2. Lutasin ang resultang equation gamit ang mga kilalang pamamaraan.

Halimbawa.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Solusyon.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) kasalanan 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 o 2cos x + 1 = 0;

Mula sa unang equation 2x = π/2 + πn, n Є Z; mula sa pangalawa cos equation x = -1/2.

Mayroon kaming x = π/4 + πn/2, n Є Z; mula sa pangalawang equation x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Bilang resulta, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Sagot: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Ang kakayahan at kasanayan upang malutas ang mga trigonometric equation ay napaka mahalaga, ang kanilang pag-unlad ay nangangailangan ng makabuluhang pagsisikap, kapwa sa bahagi ng mag-aaral at sa bahagi ng guro.

Maraming problema ng stereometry, physics, atbp. ang nauugnay sa solusyon ng mga trigonometric equation. Ang proseso ng paglutas ng mga naturang problema ay naglalaman ng marami sa mga kaalaman at kasanayan na nakukuha sa pamamagitan ng pag-aaral ng mga elemento ng trigonometry.

Ang mga equation ng trigonometric ay sumasakop sa isang mahalagang lugar sa proseso ng pag-aaral ng matematika at personal na pag-unlad sa pangkalahatan.

May mga tanong pa ba? Hindi mo alam kung paano lutasin ang mga equation ng trigonometriko?
Upang makakuha ng tulong mula sa isang tutor, magparehistro.
Ang unang aralin ay libre!

website, kapag kumukopya ng materyal nang buo o bahagi, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.

Ang mga trigonometric equation ay hindi isang madaling paksa. Masyado silang magkakaibang.) Halimbawa, ang mga ito:

kasalanan 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = cot(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

atbp...

Ngunit ang mga ito (at lahat ng iba pang) trigonometric monsters ay may dalawang karaniwan at obligadong tampok. Una - hindi ka maniniwala - may mga trigonometric function sa mga equation.) Pangalawa: lahat ng expression na may x ay matatagpuan sa loob ng parehong mga function na ito. At doon lang! Kung lilitaw ang X sa isang lugar sa labas, Halimbawa, sin2x + 3x = 3, magiging equation na ito halo-halong uri. Ang ganitong mga equation ay nangangailangan indibidwal na diskarte. Hindi namin sila isasaalang-alang dito.

Hindi rin natin lulutasin ang masasamang equation sa araling ito.) Dito natin haharapin ang pinakasimpleng trigonometriko equation. Bakit? Oo dahil ang solusyon anuman Ang mga equation ng trigonometriko ay binubuo ng dalawang yugto. Sa unang yugto, ang masamang equation ay nabawasan sa isang simple sa pamamagitan ng iba't ibang pagbabago. Sa pangalawa, ang pinakasimpleng equation na ito ay nalutas. Walang ibang paraan.

Kaya, kung mayroon kang mga problema sa ikalawang yugto, ang unang yugto ay hindi gaanong makabuluhan.)

Ano ang hitsura ng elementarya na trigonometric equation?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Dito A ay kumakatawan sa anumang numero. Anuman.

Sa pamamagitan ng paraan, sa loob ng isang function ay maaaring walang purong X, ngunit ilang uri ng pagpapahayag, tulad ng:

cos(3x+π /3) = 1/2

atbp. Pinapalubha nito ang buhay, ngunit hindi nakakaapekto sa paraan ng paglutas ng isang trigonometric equation.

Paano malutas ang mga equation ng trigonometriko?

Ang mga equation ng trigonometric ay maaaring malutas sa dalawang paraan. Ang unang paraan: gamit ang logic at ang trigonometric circle. Titingnan natin ang landas na ito dito. Ang ikalawang paraan - gamit ang memorya at mga formula - ay tatalakayin sa susunod na aralin.

Ang unang paraan ay malinaw, maaasahan, at mahirap kalimutan.) Ito ay mabuti para sa paglutas ng mga trigonometric equation, hindi pagkakapantay-pantay, at lahat ng uri ng nakakalito na hindi karaniwang mga halimbawa. Ang lohika ay mas malakas kaysa sa memorya!)

Paglutas ng mga equation gamit ang isang trigonometric na bilog.

Kasama namin ang elementarya na lohika at ang kakayahang gamitin ang trigonometriko na bilog. Hindi mo ba alam kung paano? Gayunpaman... Mahihirapan ka sa trigonometry...) Ngunit hindi mahalaga. Tingnan ang mga aralin na "Trigonometric circle...... Ano ito?" at "Pagsukat ng mga anggulo sa isang trigonometric na bilog." Simple lang ang lahat doon. Hindi tulad ng mga aklat-aralin...)

Alam mo na!? At pinagkadalubhasaan pa ang "Praktikal na gawain sa trigonometric circle"!? Binabati kita. Ang paksang ito ay magiging malapit at mauunawaan sa iyo.) Ang nakatutuwa ay ang trigonometriko na bilog ay walang pakialam kung anong equation ang iyong malulutas. Sine, cosine, tangent, cotangent - lahat ay pareho para sa kanya. Mayroon lamang isang prinsipyo ng solusyon.

Kaya kumukuha kami ng anumang elementarya na trigonometric equation. Hindi bababa sa ito:

cosx = 0.5

Kailangan nating hanapin si X. Kung mag-uusap tayo wika ng tao, kailangan hanapin ang anggulo (x) na ang cosine ay 0.5.

Paano natin ginamit ang bilog dati? Gumuhit kami ng isang anggulo dito. Sa mga degree o radian. At kaagad nakita trigonometriko function ng anggulong ito. Ngayon gawin natin ang kabaligtaran. Gumuhit tayo ng cosine sa bilog na katumbas ng 0.5 at kaagad makikita natin sulok. Ang natitira na lang ay isulat ang sagot.) Oo, oo!

Gumuhit ng bilog at markahan ang cosine na katumbas ng 0.5. Sa cosine axis, siyempre. Ganito:

Ngayon ay iguhit natin ang anggulo na ibinibigay sa atin ng cosine na ito. I-hover ang iyong mouse sa ibabaw ng larawan (o pindutin ang larawan sa iyong tablet), at makikita mo mismong sulok na ito X.

Ang cosine ng aling anggulo ay 0.5?

x = π /3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Ang ilang mga tao ay tatawa nang may pag-aalinlangan, oo... Tulad ng, sulit bang gumawa ng bilog kapag malinaw na ang lahat... Maaari mo, siyempre, tumawa...) Ngunit ang katotohanan ay ito ay isang maling sagot. O sa halip, hindi sapat. Nauunawaan ng mga connoisseurs ng bilog na mayroong isang buong grupo ng iba pang mga anggulo dito na nagbibigay din ng cosine na 0.5.

Kung iikot mo ang gumagalaw na bahagi OA buong pagliko, babalik ang point A sa orihinal nitong posisyon. Na may parehong cosine na katumbas ng 0.5. Yung. magbabago ang anggulo sa pamamagitan ng 360° o 2π radians, at cosine - hindi. Ang bagong anggulo 60° + 360° = 420° ay magiging solusyon din sa ating equation, dahil

ganyan buong rebolusyon maaari mong i-wind up ang isang walang katapusang numero... At lahat ng mga bagong anggulong ito ay magiging mga solusyon sa ating trigonometric equation. At lahat sila ay kailangang isulat kahit papaano bilang tugon. Lahat. Kung hindi, ang desisyon ay hindi binibilang, oo...)

Magagawa ito ng matematika nang simple at elegante. Isulat sa isang maikling sagot walang katapusang set mga desisyon. Narito kung ano ang hitsura nito para sa aming equation:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

I-decipher ko ito. Sumulat pa rin makahulugan Ito ay mas kaaya-aya kaysa sa hangal na pagguhit ng ilang mahiwagang mga titik, tama?)

π /3 - ito ay ang parehong sulok na namin nakita sa bilog at determinado ayon sa cosine table.

2π ay isang kumpletong rebolusyon sa radians.

n - ito ang bilang ng mga kumpleto, i.e. buo rpm Ito ay malinaw na n maaaring katumbas ng 0, ±1, ±2, ±3.... at iba pa. Gaya ng ipinahiwatig ng maikling entry:

n ∈ Z

n kabilang ( ∈ ) set ng mga integer ( Z ). Sa pamamagitan ng paraan, sa halip na ang sulat n maaaring magamit nang mabuti ang mga titik k, m, t atbp.

Nangangahulugan ang notasyong ito na maaari kang kumuha ng anumang integer n . Hindi bababa sa -3, hindi bababa sa 0, hindi bababa sa +55. Kahit anong gusto mo. Kung papalitan mo ang numerong ito sa sagot, makakakuha ka ng isang tiyak na anggulo, na tiyak na magiging solusyon sa aming malupit na equation.)

O, sa madaling salita, x = π /3 ay ang tanging ugat ng isang walang katapusang set. Upang makuha ang lahat ng iba pang mga ugat, sapat na upang magdagdag ng anumang bilang ng mga buong rebolusyon sa π /3 ( n ) sa radians. Yung. 2πn radian.

Lahat? Hindi. Sinadya kong pahabain ang kasiyahan. Para mas maalala.) Bahagi lang ng mga sagot sa equation namin ang natanggap namin. Isusulat ko itong unang bahagi ng solusyon tulad nito:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - hindi lamang isang ugat, ngunit isang buong serye ng mga ugat, na isinulat sa maikling anyo.

Ngunit mayroon ding mga anggulo na nagbibigay din ng cosine na 0.5!

Bumalik tayo sa ating larawan kung saan isinulat natin ang sagot. Narito siya:

I-hover ang iyong mouse sa larawan at Nakikita namin ibang anggulo yan nagbibigay din ng cosine na 0.5. Ano sa tingin mo ang katumbas nito? Ang mga tatsulok ay pareho... Oo! Siya katumbas ng anggulo X , naantala lamang sa negatibong direksyon. Ito ang sulok -X. Ngunit nakalkula na namin ang x. π /3 o 60°. Samakatuwid, maaari naming ligtas na magsulat:

x 2 = - π /3

Well, siyempre, idinagdag namin ang lahat ng mga anggulo na nakuha sa pamamagitan ng buong rebolusyon:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Iyon lang ngayon.) Sa trigonometric circle namin nakita(sino ang nakakaintindi, siyempre)) Lahat ang mga anggulo na nagbibigay ng cosine na 0.5. At isinulat namin ang mga anggulong ito sa isang maikling mathematical form. Ang sagot ay nagresulta sa dalawang walang katapusang serye ng mga ugat:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Ito ang tamang sagot.

pag-asa, pangkalahatang prinsipyo para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko ang paggamit ng bilog ay malinaw. Minarkahan namin ang cosine (sine, tangent, cotangent) mula sa ibinigay na equation sa isang bilog, iguhit ang mga anggulo na naaayon dito at isulat ang sagot. Siyempre, kailangan nating malaman kung anong mga sulok tayo nakita sa bilog. Minsan hindi masyadong halata. Well, sinabi ko na kailangan ang logic dito.)

Halimbawa, tingnan natin ang isa pang trigonometric equation:

Mangyaring isaalang-alang na ang bilang na 0.5 ay hindi lamang ang posibleng numero sa mga equation!) Mas maginhawa para sa akin na isulat ito kaysa sa mga ugat at praksyon.

Nagtatrabaho kami ayon sa pangkalahatang prinsipyo. Gumuhit kami ng isang bilog, markahan (sa sine axis, siyempre!) 0.5. Iginuhit namin ang lahat ng mga anggulo na naaayon sa sine na ito nang sabay-sabay. Nakuha namin ang larawang ito:

Hayaan muna natin ang anggulo X sa unang quarter. Naaalala namin ang talahanayan ng mga sine at tinutukoy ang halaga ng anggulong ito. Ito ay isang simpleng bagay:

x = π /6

Naaalala namin ang tungkol sa buong rebolusyon at, kasama ang malinis ang budhi, isinulat namin ang unang serye ng mga sagot:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Tapos na ang kalahati ng trabaho. Ngunit ngayon kailangan nating matukoy pangalawang kanto... Ito ay mas nakakalito kaysa sa paggamit ng mga cosine, oo... Ngunit ililigtas tayo ng lohika! Paano matukoy ang pangalawang anggulo sa pamamagitan ng x? Oo Madali! Ang mga tatsulok sa larawan ay pareho, at ang pulang sulok X katumbas ng anggulo X . Tanging ito ay binibilang mula sa anggulo π sa negatibong direksyon. Iyon ang dahilan kung bakit ito ay pula.) At para sa sagot kailangan namin ng isang anggulo, sinusukat nang tama, mula sa positibong semi-axis na OX, i.e. mula sa isang anggulo ng 0 degrees.

I-hover namin ang cursor sa ibabaw ng drawing at makita ang lahat. Inalis ko ang unang sulok upang hindi kumplikado ang larawan. Ang anggulo kung saan kami interesado (iginuhit sa berde) ay magiging katumbas ng:

π - x

X alam namin ito π /6 . Samakatuwid, ang pangalawang anggulo ay magiging:

π - π /6 = 5π /6

Muli naming naaalala ang tungkol sa pagdaragdag ng buong rebolusyon at isulat ang pangalawang serye ng mga sagot:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Iyon lang. Ang isang kumpletong sagot ay binubuo ng dalawang serye ng mga ugat:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Ang mga tangent at cotangent equation ay madaling malutas gamit ang parehong pangkalahatang prinsipyo para sa paglutas ng mga trigonometriko equation. Kung, siyempre, alam mo kung paano gumuhit ng tangent at cotangent sa isang trigonometriko na bilog.

Sa mga halimbawa sa itaas, ginamit ko ang table value ng sine at cosine: 0.5. Yung. isa sa mga kahulugan na alam ng mag-aaral dapat. Ngayon palawakin natin ang ating mga kakayahan upang lahat ng iba pang mga halaga. Magpasya, kaya magpasya!)

Kaya, sabihin nating kailangan nating lutasin ang trigonometric equation na ito:

Ang ganitong halaga ng cosine sa maikling mesa Hindi. Malamig naming binabalewala ang kakila-kilabot na katotohanang ito. Gumuhit ng bilog, markahan ang 2/3 sa cosine axis at iguhit ang kaukulang mga anggulo. Nakukuha namin ang larawang ito.

Tingnan natin, una, sa anggulo sa unang quarter. Kung alam lang natin kung ano ang katumbas ng x, agad nating isusulat ang sagot! Hindi namin alam... Failure!? Kalmado! Hindi iniiwan ng matematika ang sarili nitong mga tao sa problema! Nakaisip siya ng mga arc cosine para sa kasong ito. Hindi alam? walang kabuluhan. Alamin, Ito ay mas madali kaysa sa iyong iniisip. Walang isang nakakalito na spell tungkol sa "inverse trigonometric functions" sa link na ito... Ito ay kalabisan sa paksang ito.

Kung alam mo, sabihin lang sa iyong sarili: "Ang X ay isang anggulo na ang cosine ay katumbas ng 2/3." At kaagad, sa pamamagitan lamang ng kahulugan ng arc cosine, maaari nating isulat:

Naaalala namin ang tungkol sa mga karagdagang rebolusyon at mahinahong isulat ang unang serye ng mga ugat ng aming trigonometric equation:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Ang pangalawang serye ng mga ugat para sa pangalawang anggulo ay halos awtomatikong naisulat. Ang lahat ay pareho, ang X (arccos 2/3) lamang ang magkakaroon ng minus:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

At ayun na nga! Ito ang tamang sagot. Kahit na mas madali kaysa sa mga halaga ng talahanayan. Hindi na kailangang tandaan ang anuman.) Sa pamamagitan ng paraan, ang pinaka-matulungin ay mapapansin na ang larawang ito ay nagpapakita ng solusyon sa pamamagitan ng arc cosine mahalagang hindi naiiba mula sa larawan para sa mga equation ng cosx = 0,5.

Eksakto! Pangkalahatang prinsipyo Kaya pala karaniwan! Sinadya kong gumuhit ng dalawang halos magkaparehong larawan. Ipinapakita sa amin ng bilog ang anggulo X sa pamamagitan ng cosine nito. Kung ito ay isang tabular cosine o hindi ay hindi alam ng lahat. Anong uri ng anggulo ito, π /3, o kung ano ang arc cosine - nasa atin na ang pagpapasya.

Parehong kanta na may sine. Halimbawa:

Gumuhit muli ng isang bilog, markahan ang sine na katumbas ng 1/3, iguhit ang mga anggulo. Ito ang nakuha naming larawan:

At muli ang larawan ay halos kapareho ng para sa equation sinx = 0.5. Muli tayong magsisimula sa kanto sa unang quarter. Ano ang katumbas ng X kung ang sine nito ay 1/3? Walang problema!

Ngayon ang unang pakete ng mga ugat ay handa na:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Harapin natin ang pangalawang anggulo. Sa halimbawa na may halaga ng talahanayan na 0.5, ito ay katumbas ng:

π - x

Ito ay magiging eksaktong pareho din dito! Ang x lang ang naiiba, arcsin 1/3. E ano ngayon!? Maaari mong ligtas na isulat ang pangalawang pakete ng mga ugat:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Ito ay isang ganap na tamang sagot. Bagama't hindi ito masyadong pamilyar. Ngunit ito ay malinaw, umaasa ako.)

Ito ay kung paano nalulutas ang mga trigonometric equation gamit ang isang bilog. Ang landas na ito ay malinaw at naiintindihan. Siya ang nagtitipid sa mga trigonometric equation na may pagpili ng mga ugat sa isang naibigay na pagitan, in mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko- ang mga iyon ay karaniwang nareresolba halos palaging sa isang bilog. Sa madaling salita, sa anumang mga gawain na medyo mas mahirap kaysa sa mga karaniwang gawain.

Ilapat natin ang kaalaman sa pagsasanay?)

Lutasin ang mga equation ng trigonometriko:

Una, mas simple, diretso mula sa araling ito.

Ngayon ay mas kumplikado.

Pahiwatig: dito kailangan mong isipin ang tungkol sa bilog. Sa personal.)

At ngayon sila ay panlabas na simple... Tinatawag din silang mga espesyal na kaso.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Pahiwatig: dito kailangan mong malaman sa isang bilog kung saan mayroong dalawang serye ng mga sagot at kung saan mayroong isa... At kung paano magsulat ng isa sa halip na dalawang serye ng mga sagot. Oo, upang walang isang ugat mula sa isang walang katapusang bilang ang nawala!)

Well, napaka-simple):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Hint: dito kailangan mong malaman kung ano ang arcsine at arccosine? Ano ang arctangent, arccotangent? Ang pinaka mga simpleng kahulugan. Ngunit hindi mo kailangang tandaan ang anumang mga halaga ng talahanayan!)

Ang mga sagot ay, siyempre, isang gulo):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0.3 + 2

Hindi ba gumagana ang lahat? Nangyayari. Basahin muli ang aralin. Tanging nag-iisip(may ganyan lipas na salita...) At sundin ang mga link. Ang mga pangunahing link ay tungkol sa bilog. Kung wala ito, ang trigonometry ay parang tumatawid sa kalsada na nakapiring. Minsan ito ay gumagana.)

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Matuto tayo - nang may interes!)

Maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.