Tulad ng nalalaman, ang hanay ng mga rational na numero (Q) ay kinabibilangan ng hanay ng mga integer (Z), na kasama naman ang hanay ng mga natural na numero (N). Bilang karagdagan sa mga buong numero, ang mga rational na numero ay kinabibilangan ng mga fraction.

Bakit kung gayon ang buong hanay ng mga rational na numero kung minsan ay itinuturing na walang katapusan na periodic decimal fraction? Sa katunayan, bilang karagdagan sa mga fraction, kasama rin nila ang mga integer, pati na rin ang mga non-periodic fraction.

Ang katotohanan ay ang lahat ng mga integer, pati na rin ang anumang fraction, ay maaaring katawanin bilang isang walang katapusang periodic decimal fraction. Iyon ay, para sa lahat ng mga makatwirang numero maaari mong gamitin ang parehong paraan ng pag-record.

Paano kinakatawan ang isang walang katapusang periodic decimal? Sa loob nito, ang isang paulit-ulit na pangkat ng mga numero pagkatapos ng decimal point ay inilalagay sa mga bracket. Halimbawa, ang 1.56(12) ay isang fraction kung saan inuulit ang pangkat ng mga digit na 12, ibig sabihin, ang fraction ay may halaga na 1.561212121212... at iba pa nang walang katapusan. Ang paulit-ulit na pangkat ng mga numero ay tinatawag na tuldok.

Gayunpaman, maaari naming katawanin ang anumang numero sa form na ito kung isasaalang-alang namin ang panahon nito bilang bilang 0, na umuulit din nang walang katapusang. Halimbawa, ang bilang 2 ay kapareho ng 2.00000.... Samakatuwid, maaari itong isulat bilang isang walang katapusang periodic fraction, ibig sabihin, 2,(0).

Ang parehong ay maaaring gawin sa anumang finite fraction. Halimbawa:

0,125 = 0,1250000... = 0,125(0)

Gayunpaman, sa pagsasagawa, hindi nila ginagamit ang pagbabago ng isang may hangganang bahagi sa isang walang katapusang periodic. Samakatuwid, pinaghihiwalay nila ang mga finite fraction at infinite periodic. Kaya, mas tamang sabihin na kasama ang mga rational na numero

• lahat ng integer
• panghuling fraction,
• walang katapusang periodic fractions.

Kasabay nito, tandaan lamang na ang mga integer at finite fraction ay kinakatawan sa teorya sa anyo ng walang katapusang periodic fraction.

Sa kabilang banda, ang mga konsepto ng finite at infinite fraction ay naaangkop sa decimal fraction. Pagdating sa mga fraction, parehong may hangganan at walang katapusan na mga decimal ay maaaring natatanging kinakatawan bilang isang fraction. Nangangahulugan ito na mula sa punto ng view ng mga ordinaryong fraction, ang periodic at finite fraction ay pareho. Bukod pa rito, ang mga buong numero ay maaari ding katawanin bilang isang fraction sa pamamagitan ng pag-iisip na hinahati natin ang numero sa 1.

Paano kinakatawan ang isang decimal na walang katapusang periodic fraction bilang isang ordinaryong fraction? Ang pinakakaraniwang ginagamit na algorithm ay tulad nito:

1. Bawasan ang fraction upang pagkatapos ng decimal point ay mayroon lamang tuldok.
2. I-multiply ang isang walang katapusang periodic fraction sa pamamagitan ng 10 o 100 o ... upang ang decimal point ay lumipat sa kanan ng isang tuldok (ibig sabihin, isang tuldok ay nagtatapos sa buong bahagi).
3. Itumbas ang orihinal na fraction (a) sa variable na x, at ang fraction (b) na nakuha sa pamamagitan ng pag-multiply sa bilang na N sa Nx.
4. Ibawas ang x sa Nx. Mula sa b ibawas ko ang a. Ibig sabihin, binubuo nila ang equation na Nx – x = b – a.
5. Kapag nilulutas ang equation na nakukuha natin karaniwang fraction.

Isang halimbawa ng pag-convert ng infinite periodic decimal fraction sa ordinaryong fraction:
x = 1.13333...
10x = 11.3333...
10x * 10 = 11.33333... * 10
100x = 113.3333...
100x – 10x = 113.3333... – 11.3333...
90x = 102
x =

Tandaan kung paano sa pinakaunang aralin tungkol sa mga decimal na sinabi ko na may mga numerical fraction na hindi maaaring katawanin bilang mga decimal (tingnan ang aralin "Mga Desimal")? Natutunan din namin kung paano i-factor ang mga denominator ng mga fraction upang makita kung mayroong anumang mga numero maliban sa 2 at 5.

Kaya: nagsinungaling ako. At ngayon matututunan natin kung paano i-convert ang ganap na anumang numerical fraction sa isang decimal. Kasabay nito, makikilala natin ang isang buong klase ng mga fraction na may walang katapusang makabuluhang bahagi.

Ang periodic decimal ay anumang decimal na:

1. Ang makabuluhang bahagi ay binubuo ng isang walang katapusang bilang ng mga digit;
2. Sa ilang mga agwat, ang mga numero sa makabuluhang bahagi ay inuulit.

Ang hanay ng mga umuulit na digit na bumubuo sa makabuluhang bahagi ay tinatawag na periodic na bahagi ng isang fraction, at ang bilang ng mga digit sa set na ito ay tinatawag na panahon ng fraction. Ang natitirang bahagi ng makabuluhang bahagi, na hindi nauulit, ay tinatawag na di-pana-panahong bahagi.

Dahil maraming mga kahulugan, ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang ng ilan sa mga fraction na ito nang detalyado:

Ang fraction na ito ay madalas na lumilitaw sa mga problema. Hindi panaka-nakang bahagi: 0; pana-panahong bahagi: 3; haba ng panahon: 1.

Hindi panaka-nakang bahagi: 0.58; pana-panahong bahagi: 3; haba ng panahon: muli 1.

Di-pana-panahong bahagi: 1; pana-panahong bahagi: 54; haba ng panahon: 2.

Hindi panaka-nakang bahagi: 0; pana-panahong bahagi: 641025; haba ng panahon: 6. Para sa kaginhawahan, ang mga paulit-ulit na bahagi ay pinaghihiwalay sa bawat isa ng isang puwang - hindi ito kinakailangan sa solusyon na ito.

Hindi panaka-nakang bahagi: 3066; panaka-nakang bahagi: 6; haba ng panahon: 1.

Tulad ng makikita mo, ang kahulugan ng isang periodic fraction ay batay sa konsepto makabuluhang bahagi ng isang numero. Samakatuwid, kung nakalimutan mo kung ano ito, inirerekumenda kong ulitin ito - tingnan ang aralin "".

Transition sa periodic decimal fraction

Isaalang-alang ang isang ordinaryong bahagi ng anyong a /b. Palawakin natin ang denominator nito sa pangunahing mga kadahilanan. Mayroong dalawang mga pagpipilian:

1. Ang pagpapalawak ay naglalaman lamang ng mga salik 2 at 5. Ang mga fraction na ito ay madaling ma-convert sa mga decimal - tingnan ang aralin na "Mga Desimal". Hindi kami interesado sa gayong mga tao;
2. May iba pa sa pagpapalawak maliban sa 2 at 5. Sa kasong ito, ang fraction ay hindi maaaring katawanin bilang isang decimal, ngunit maaari itong ma-convert sa isang periodic decimal.

Upang tukuyin ang isang periodic decimal fraction, kailangan mong hanapin ang periodic at non-periodic na bahagi nito. Paano? I-convert ang fraction sa hindi tamang fraction, at pagkatapos ay hatiin ang numerator sa denominator gamit ang isang sulok.

Ang mga sumusunod ay mangyayari:

1. Maghihiwalay muna buong bahagi, kung ito ay umiiral;
2. Maaaring may ilang numero pagkatapos ng decimal point;
3. Pagkaraan ng ilang sandali ay magsisimula na ang mga numero ulitin.

Iyon lang! Ang mga umuulit na numero pagkatapos ng decimal point ay tinutukoy ng periodic na bahagi, at ang nasa unahan ay tinutukoy ng non-periodic na bahagi.

Gawain. I-convert ang mga ordinaryong fraction sa periodic decimal:

Ang lahat ng mga fraction na walang integer na bahagi, kaya hinahati lang namin ang numerator sa denominator na may "sulok":

Tulad ng nakikita mo, ang mga natitira ay paulit-ulit. Isulat natin ang fraction sa “tama” na anyo: 1.733 ... = 1.7(3).

Ang resulta ay isang fraction: 0.5833 ... = 0.58(3).

Sumulat sa normal na anyo: 4,0909 ... = 4,(09).

Nakukuha namin ang fraction: 0.4141 ... = 0.(41).

Transition mula sa periodic decimal fraction tungo sa ordinaryong fraction

Isaalang-alang ang periodic decimal fraction X = abc (a 1 b 1 c 1). Kinakailangang i-convert ito sa isang klasikong "two-story" one. Upang gawin ito, sundin ang apat na simpleng hakbang:

1. Hanapin ang panahon ng fraction, i.e. bilangin kung ilang digit ang nasa periodic part. Hayaang ito ang bilang k;
2. Hanapin ang halaga ng expression na X · 10 k. Katumbas ito ng paglilipat ng decimal point sa kanan sa buong panahon - tingnan ang aralin na "Pagpaparami at paghahati ng mga decimal";
3. Ang orihinal na expression ay dapat ibawas mula sa resultang numero. Sa kasong ito, ang pana-panahong bahagi ay "nasusunog" at nananatili karaniwang fraction;
4. Hanapin ang X sa resultang equation. Kino-convert namin ang lahat ng decimal fraction sa ordinaryong fraction.

Gawain. Bawasan sa karaniwan hindi wastong bahagi numero:

• 9,(6);
• 32,(39);
• 0,30(5);
• 0,(2475).

Nagtatrabaho kami sa unang bahagi: X = 9,(6) = 9.666 ...

Ang mga panaklong ay naglalaman lamang ng isang digit, kaya ang panahon ay k = 1. Susunod, i-multiply natin ang fraction na ito sa 10 k = 10 1 = 10. Mayroon tayong:

10X = 10 9.6666... ​​​​= 96.666...

Ibawas ang orihinal na fraction at lutasin ang equation:

10X − X = 96.666 ... − 9.666 ... = 96 − 9 = 87;
9X = 87;
X = 87/9 = 29/3.

Ngayon tingnan natin ang pangalawang bahagi. Kaya X = 32,(39) = 32.393939...

Panahon k = 2, kaya i-multiply ang lahat sa 10 k = 10 2 = 100:

100X = 100 · 32.393939 ... = 3239.3939 ...

Ibawas muli ang orihinal na fraction at lutasin ang equation:

100X − X = 3239.3939 ... − 32.3939 ... = 3239 − 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

Lumipat tayo sa ikatlong bahagi: X = 0.30(5) = 0.30555... Ang diagram ay pareho, kaya ibibigay ko na lang ang mga kalkulasyon:

Panahon k = 1 ⇒ i-multiply ang lahat sa 10 k = 10 1 = 10;

10X = 10 0.30555... = 3.05555...
10X − X = 3.0555 ... − 0.305555 ... = 2.75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4) : 9 = 11/36.

Sa wakas, ang huling bahagi: X = 0,(2475) = 0.2475 2475... Muli, para sa kaginhawahan, ang mga pana-panahong bahagi ay pinaghihiwalay sa bawat isa ng mga puwang. Meron kami:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10,000;
10,000X = 10,000 0.2475 2475 = 2475.2475 ...
10,000X − X = 2475.2475 ... − 0.2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.

Nakapasok na mababang Paaralan ang mga mag-aaral ay nakatagpo ng mga fraction. At pagkatapos ay lumilitaw sila sa bawat paksa. Hindi mo makakalimutan ang mga aksyon sa mga numerong ito. Samakatuwid, kailangan mong malaman ang lahat ng impormasyon tungkol sa mga ordinaryong at decimal na fraction. Ang mga konsepto na ito ay hindi kumplikado, ang pangunahing bagay ay upang maunawaan ang lahat sa pagkakasunud-sunod.

Bakit kailangan ang mga fraction?

Ang mundo sa paligid natin ay binubuo ng buong mga bagay. Samakatuwid, hindi na kailangan ng pagbabahagi. Pero araw-araw na buhay patuloy na nagtutulak sa mga tao na gumawa ng mga bahagi ng mga bagay at bagay.

Halimbawa, ang tsokolate ay binubuo ng ilang piraso. Isaalang-alang ang isang sitwasyon kung saan ang kanyang tile ay nabuo sa pamamagitan ng labindalawang parihaba. Kung hahatiin mo ito sa dalawa, makakakuha ka ng 6 na bahagi. Madali itong mahahati sa tatlo. Ngunit hindi posible na bigyan ang limang tao ng isang buong bilang ng mga hiwa ng tsokolate.

Sa pamamagitan ng paraan, ang mga hiwa na ito ay mga fraction na. At ang kanilang karagdagang dibisyon ay humahantong sa paglitaw ng mas kumplikadong mga numero.

Ano ang "fraction"?

Ito ay isang numero na binubuo ng mga bahagi ng isang yunit. Sa panlabas, mukhang dalawang numero na pinaghihiwalay ng pahalang o slash. Ang tampok na ito ay tinatawag na fractional. Ang numerong nakasulat sa itaas (kaliwa) ay tinatawag na numerator. Ang nasa ibaba (kanan) ay ang denominator.

Sa esensya, ang slash ay lumalabas na isang tanda ng dibisyon. Iyon ay, ang numerator ay maaaring tawaging dibidendo, at ang denominator ay maaaring tawaging divisor.

Anong mga fraction ang mayroon?

Sa matematika mayroon lamang dalawang uri: ordinaryo at decimal na mga praksyon. Unang nagkikita ang mga mag-aaral mababang Paaralan, na tinatawag lang silang "fractions". Ang huli ay matutunan sa ika-5 baitang. Iyon ay kapag lumitaw ang mga pangalan na ito.

Ang mga karaniwang praksyon ay ang lahat ng isinulat bilang dalawang numero na pinaghihiwalay ng isang linya. Halimbawa, 4/7. Ang decimal ay isang numero kung saan ang fractional na bahagi ay mayroong positional notation at pinaghihiwalay mula sa buong numero ng kuwit. Halimbawa, 4.7. Kailangang malinaw na maunawaan ng mga mag-aaral na ang dalawang halimbawang ibinigay ay ganap na magkaibang mga numero.

Ang bawat simpleng fraction ay maaaring isulat bilang isang decimal. Ang pahayag na ito ay halos palaging totoo sa magkasalungat na daan. May mga panuntunan na nagbibigay-daan sa iyong magsulat ng decimal fraction bilang common fraction.

Anong mga subtype ang mayroon ang mga uri ng fraction na ito?

Mas mabuting magsimula sa magkakasunod-sunod, habang pinag-aaralan sila. Nauuna ang mga karaniwang fraction. Kabilang sa mga ito, 5 subspecies ang maaaring makilala.

Tama. Ang numerator nito ay palaging mas mababa kaysa sa denominator nito.

mali. Ang numerator nito ay mas malaki kaysa o katumbas ng denominator nito.

Nababawasan/hindi mababawasan. Maaari itong maging tama o mali. Ang isa pang mahalagang bagay ay kung ang numerator at denominator ay may mga karaniwang salik. Kung mayroon, kung gayon kinakailangan na hatiin ang parehong bahagi ng fraction sa kanila, iyon ay, bawasan ito.

Magkakahalo. Ang isang integer ay itinalaga sa karaniwan nitong regular (irregular) fractional na bahagi. Bukod dito, ito ay palaging nasa kaliwa.

Composite. Ito ay nabuo mula sa dalawang fraction na hinati sa bawat isa. Iyon ay, naglalaman ito ng tatlong fractional na linya nang sabay-sabay.

Ang mga desimal na praksiyon ay may dalawang subtype lamang:

may hangganan, iyon ay, isa na ang fractional na bahagi ay limitado (may katapusan);

walang hanggan - isang numero na ang mga digit pagkatapos ng decimal point ay hindi nagtatapos (maaari silang isulat nang walang katapusan).

Paano i-convert ang isang decimal fraction sa isang karaniwang fraction?

Kung ito ay isang may hangganang numero, kung gayon ang isang asosasyon ay inilalapat batay sa panuntunan - tulad ng naririnig ko, kaya ako nagsusulat. Iyon ay, kailangan mong basahin ito ng tama at isulat ito, ngunit walang kuwit, ngunit may isang fractional bar.

Bilang isang pahiwatig tungkol sa kinakailangang denominator, kailangan mong tandaan na ito ay palaging isa at ilang mga zero. Kailangan mong isulat ang marami sa huli dahil mayroong mga digit sa fractional na bahagi ng numerong pinag-uusapan.

Paano i-convert ang mga decimal fraction sa mga ordinaryong fraction kung ang kanilang integer na bahagi ay nawawala, iyon ay, katumbas ng zero? Halimbawa, 0.9 o 0.05. Matapos ilapat ang tinukoy na panuntunan, lumalabas na kailangan mong magsulat ng mga zero integer. Ngunit hindi ito ipinahiwatig. Ang natitira na lang ay isulat ang mga fractional na bahagi. Ang unang numero ay magkakaroon ng denominator ng 10, ang pangalawa ay magkakaroon ng denominator ng 100. Ibig sabihin, ang mga ibinigay na halimbawa ay magkakaroon ng mga sumusunod na numero bilang mga sagot: 9/10, 5/100. Bukod dito, lumalabas na ang huli ay maaaring mabawasan ng 5. Samakatuwid, ang resulta para dito ay kailangang isulat bilang 1/20.

Paano mo mako-convert ang isang decimal fraction sa isang ordinaryong fraction kung ang integer na bahagi nito ay iba sa zero? Halimbawa, 5.23 o 13.00108. Sa parehong mga halimbawa, ang buong bahagi ay binabasa at ang halaga nito ay nakasulat. Sa unang kaso ito ay 5, sa pangalawa ito ay 13. Pagkatapos ay kailangan mong lumipat sa fractional na bahagi. Ang parehong operasyon ay dapat na isagawa sa kanila. Ang unang numero ay lilitaw 23/100, ang pangalawa - 108/100000. Ang pangalawang halaga ay kailangang bawasan muli. Ang sagot ay ganito pinaghalong fraction: 5 23/100 at 13 27/25000.

Paano i-convert ang isang walang katapusang decimal fraction sa isang ordinaryong fraction?

Kung ito ay hindi pana-panahon, kung gayon ang naturang operasyon ay hindi posible. Ang katotohanang ito ay dahil sa ang katunayan na ang bawat decimal fraction ay palaging kino-convert sa alinman sa isang may hangganan o isang periodic fraction.

Ang tanging bagay na maaari mong gawin sa naturang fraction ay bilugan ito. Ngunit ang decimal ay magiging humigit-kumulang katumbas ng walang katapusan na iyon. Maaari na itong gawing ordinaryo. Ngunit ang baligtad na proseso: ang pag-convert sa decimal ay hindi kailanman magbibigay ng paunang halaga. Ibig sabihin, ang mga infinite non-periodic fraction ay hindi na-convert sa mga ordinaryong fraction. Ito ay kailangang tandaan.

Paano magsulat ng isang walang katapusang periodic fraction bilang isang ordinaryong fraction?

Sa mga numerong ito, palaging may isa o higit pang mga digit pagkatapos ng decimal point na inuulit. Tinatawag silang period. Halimbawa, 0.3(3). Narito ang "3" ay nasa panahon. Ang mga ito ay inuri bilang makatwiran dahil maaari silang ma-convert sa mga ordinaryong fraction.

Alam ng mga nakatagpo ng periodic fraction na maaari silang maging dalisay o halo-halong. Sa unang kaso, ang tuldok ay nagsisimula kaagad mula sa kuwit. Sa pangalawa, ang fractional na bahagi ay nagsisimula sa ilang mga numero, at pagkatapos ay magsisimula ang pag-uulit.

Ang panuntunan kung saan kailangan mong sumulat ng isang walang katapusang decimal bilang isang karaniwang fraction ay mag-iiba para sa dalawang uri ng mga numerong ipinahiwatig. Napakadaling magsulat ng mga purong periodic fraction bilang ordinaryong fraction. Tulad ng mga may hangganan, kailangan nilang ma-convert: isulat ang tuldok sa numerator, at ang denominator ay ang numero 9, na mauulit nang maraming beses sa bilang ng mga digit na nilalaman ng tuldok.

Halimbawa, 0,(5). Ang numero ay walang integer na bahagi, kaya kailangan mong agad na magsimula sa fractional na bahagi. Isulat ang 5 bilang numerator at 9 bilang denominator. Ibig sabihin, ang sagot ay ang fraction na 5/9.

Ang panuntunan kung paano sumulat ng ordinaryong decimal periodic fraction na pinaghalo.

Tingnan mo ang tagal ng panahon. Ganyan karaming 9 ang magkakaroon ng denominator.

Isulat ang denominator: unang siyam, pagkatapos ay mga zero.

Upang matukoy ang numerator, kailangan mong isulat ang pagkakaiba ng dalawang numero. Ang lahat ng mga numero pagkatapos ng decimal point ay mababawasan, kasama ang tuldok. Deductible - ito ay walang period.

Halimbawa, 0.5(8) - isulat ang periodic decimal fraction bilang common fraction. Ang fractional na bahagi bago ang tuldok ay naglalaman ng isang digit. Kaya magkakaroon ng isang zero. Isa lang din ang numero sa period - 8. Ibig sabihin, isa lang siyam. Ibig sabihin, kailangan mong isulat ang 90 sa denominator.

Upang matukoy ang numerator, kailangan mong ibawas ang 5 mula sa 58. Ito ay naging 53. Halimbawa, kailangan mong isulat ang sagot bilang 53/90.

Paano nako-convert ang mga fraction sa mga decimal?

Ang pinakasimpleng opsyon ay isang numero na ang denominator ay ang numero 10, 100, atbp. Pagkatapos ang denominator ay itatapon lamang, at isang kuwit ang inilalagay sa pagitan ng mga bahagi ng fractional at integer.

May mga sitwasyon kung saan ang denominator ay madaling nagiging 10, 100, atbp. Halimbawa, ang mga numero 5, 20, 25. Ito ay sapat na upang i-multiply ang mga ito sa 2, 5 at 4, ayon sa pagkakabanggit. Kailangan mo lamang i-multiply hindi lamang ang denominator, kundi pati na rin ang numerator sa parehong numero.

Para sa lahat ng iba pang mga kaso, ang isang simpleng panuntunan ay kapaki-pakinabang: hatiin ang numerator sa denominator. Sa kasong ito, maaari kang makakuha ng dalawang posibleng sagot: isang finite o isang periodic decimal fraction.

Mga operasyon na may mga ordinaryong fraction

Pagdagdag at pagbawas

Mas maaga silang nakikilala ng mga estudyante kaysa sa iba. Bukod dito, sa una ang mga fraction ay may parehong denominator, at pagkatapos ay mayroon silang iba't ibang mga. Pangkalahatang tuntunin maaaring bawasan sa ganoong plano.

Hanapin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga denominator.

Sumulat ng mga karagdagang salik para sa lahat ng ordinaryong fraction.

I-multiply ang mga numerator at denominator sa mga salik na tinukoy para sa kanila.

Idagdag (bawas) ang mga numerator ng mga fraction at iwanan ang karaniwang denominator na hindi nagbabago.

Kung ang numerator ng minuend ay mas mababa kaysa sa subtrahend, kailangan nating malaman kung mayroon tayong mixed number o tamang fraction.

Sa unang kaso, kailangan mong humiram ng isa mula sa buong bahagi. Idagdag ang denominator sa numerator ng fraction. At pagkatapos ay gawin ang pagbabawas.

Sa pangalawa, kinakailangang ilapat ang panuntunan ng pagbabawas ng isang mas malaking numero mula sa isang mas maliit na numero. Iyon ay, mula sa module ng subtrahend, ibawas ang module ng minuend, at bilang tugon ay maglagay ng "-" sign.

Tingnang mabuti ang resulta ng karagdagan (pagbabawas). Kung nakakuha ka ng hindi tamang bahagi, kailangan mong piliin ang buong bahagi. Ibig sabihin, hatiin ang numerator sa denominator.

Pagpaparami at paghahati

Upang maisagawa ang mga ito, ang mga fraction ay hindi kailangang bawasan sa isang karaniwang denominator. Ginagawa nitong mas madaling magsagawa ng mga aksyon. Ngunit hinihiling pa rin nila na sundin mo ang mga patakaran.

Kapag nagpaparami ng mga fraction, kailangan mong tingnan ang mga numero sa mga numerator at denominator. Kung ang anumang numerator at denominator ay may isang karaniwang kadahilanan, kung gayon maaari silang bawasan.

I-multiply ang mga numerator.

I-multiply ang mga denominator.

Kung ang resulta ay isang reducible fraction, dapat itong gawing simple muli.

Kapag hinahati, kailangan mo munang palitan ang dibisyon ng multiplikasyon, at ang divisor (pangalawang fraction) ng reciprocal fraction (palitan ang numerator at denominator).

Pagkatapos ay magpatuloy tulad ng pagpaparami (simula sa punto 1).

Sa mga gawain kung saan kailangan mong i-multiply (hatiin) sa isang buong numero, ang huli ay dapat na isulat bilang isang hindi wastong bahagi. Iyon ay, na may denominator na 1. Pagkatapos ay kumilos tulad ng inilarawan sa itaas.



Mga operasyon na may mga decimal

Pagdagdag at pagbawas

Siyempre, maaari mong palaging i-convert ang isang decimal sa isang fraction. At kumilos ayon sa planong inilarawan na. Ngunit kung minsan ay mas maginhawang kumilos nang walang pagsasaling ito. Kung gayon ang mga patakaran para sa kanilang karagdagan at pagbabawas ay magiging eksaktong pareho.

I-equalize ang bilang ng mga digit sa fractional na bahagi ng numero, iyon ay, pagkatapos ng decimal point. Idagdag ang nawawalang bilang ng mga zero dito.

Isulat ang mga fraction upang ang kuwit ay nasa ibaba ng kuwit.

Magdagdag (magbawas) tulad ng mga natural na numero.

Alisin ang kuwit.

Pagpaparami at paghahati

Mahalaga na hindi mo kailangang magdagdag ng mga zero dito. Dapat iwanan ang mga fraction gaya ng ibinigay sa halimbawa. At pagkatapos ay pumunta ayon sa plano.

Upang dumami, kailangan mong isulat ang mga fraction sa ibaba ng isa, hindi papansinin ang mga kuwit.

Multiply tulad ng natural na mga numero.

Maglagay ng kuwit sa sagot, na binibilang mula sa kanang dulo ng sagot kung gaano karaming numero ang nasa fractional na bahagi parehong multiplier.

Upang hatiin kailangan mo munang i-convert ang divisor: gawin ito natural na numero. Iyon ay, i-multiply ito sa 10, 100, atbp., depende sa kung gaano karaming mga numero ang nasa fractional na bahagi ng divisor.

I-multiply ang dibidendo sa parehong numero.

Hatiin ang isang decimal fraction sa isang natural na numero.

Maglagay ng kuwit sa iyong sagot sa sandaling matapos ang paghahati ng buong bahagi.



Paano kung ang isang halimbawa ay naglalaman ng parehong uri ng mga fraction?

Oo, sa matematika ay madalas na may mga halimbawa kung saan kailangan mong magsagawa ng mga operasyon sa ordinaryong at decimal na mga fraction. Sa ganitong mga gawain mayroong dalawang posibleng solusyon. Kailangan mong talagang timbangin ang mga numero at piliin ang pinakamainam.

Unang paraan: kumakatawan sa mga ordinaryong decimal

Ito ay angkop kung ang paghahati o pagsasalin ay nagreresulta sa mga finite fraction. Kung hindi bababa sa isang numero ang nagbibigay ng isang pana-panahong bahagi, kung gayon ang pamamaraan na ito ay ipinagbabawal. Samakatuwid, kahit na hindi mo gustong magtrabaho sa mga ordinaryong fraction, kailangan mong bilangin ang mga ito.

Pangalawang paraan: isulat ang mga decimal fraction bilang karaniwan

Ang diskarteng ito ay lumalabas na maginhawa kung ang bahagi pagkatapos ng decimal point ay naglalaman ng 1-2 digit. Kung marami pa sa kanila, maaari kang magkaroon ng napakalaking common fraction at gagawing mas mabilis at mas madaling kalkulahin ng decimal notation ang gawain. Samakatuwid, palaging kailangan mong maingat na suriin ang gawain at piliin ang pinakasimpleng paraan ng solusyon.

Ang katotohanan na marami square roots ay hindi nakapangangatwiran numero, ay hindi nakakabawas sa kanilang kahalagahan; lalo na, ang bilang na $\sqrt2$ ay napakadalas na ginagamit sa iba't ibang mga kalkulasyon ng inhinyero at siyentipiko. Ang numerong ito ay maaaring kalkulahin gamit ang katumpakan na kinakailangan sa bawat isa tiyak na kaso. Maaari mong makuha ang numerong ito sa pinakamaraming decimal na lugar hangga't mayroon kang pasensya.

Halimbawa, ang numerong $\sqrt2$ ay maaaring matukoy na may katumpakan ng anim na decimal na lugar: $\sqrt2=1.414214$. Ang value na ito ay hindi masyadong naiiba sa totoong value, dahil $1.414214 \times 1.414214=2.000001237796$. Ang sagot na ito ay naiiba sa 2 ng halos higit sa isang milyon. Samakatuwid, ang halaga ng $\sqrt2$ na katumbas ng $1.414214$ ay itinuturing na katanggap-tanggap para sa paglutas ng karamihan sa mga praktikal na problema. Sa mga kaso kung saan ang higit na katumpakan ay kinakailangan, ito ay hindi mahirap makakuha ng mas maraming makabuluhang numero pagkatapos ng decimal point, hangga't kinakailangan sa sa kasong ito.

Gayunpaman, kung nagpapakita ka ng bihirang katigasan ng ulo at subukang kunin Kuwadrado na ugat mula sa numerong $\sqrt2$ hanggang sa makamit mo ang eksaktong resulta, hindi mo matatapos ang iyong trabaho. Ito ay isang walang katapusang proseso. Gaano man karaming mga decimal na lugar ang makuha mo, palaging may natitira pa.

Ang katotohanang ito ay maaaring sorpresa sa iyo tulad ng paggawa ng $\frac13$ sa isang walang katapusang decimal na $0.333333333...$ at iba pa nang walang katapusan, o ang $\frac17$ sa $0.142857142857142857...$ at iba pa nang walang katapusan. Sa unang sulyap ay maaaring mukhang ang mga walang hanggan at hindi makatwirang square root na ito ay mga phenomena ng parehong pagkakasunud-sunod, ngunit ito ay hindi sa lahat ng kaso. Pagkatapos ng lahat, ang mga ito walang katapusang fraction ay may fractional na katumbas, habang ang $\sqrt2$ ay wala. Bakit eksakto? Ang katotohanan ay ang decimal na katumbas ng $\frac13$ at $\frac17$, pati na rin ang walang katapusang bilang ang iba pang mga praksiyon ay panaka-nakang walang katapusan na mga praksiyon.

Kasabay nito, ang decimal na katumbas ng $\sqrt2$ ay isang non-periodic fraction. Ang pahayag na ito ay totoo rin para sa anumang hindi makatwirang numero.

Ang problema ay ang anumang decimal na isang approximation ng square root ng 2 ay non-periodic fraction. Gaano man tayo kalayo sa ating mga kalkulasyon, anumang fraction na makukuha natin ay magiging non-periodic.

Isipin ang isang fraction na may isang malaking halaga hindi panaka-nakang mga decimal na lugar. Kung biglang pagkatapos ng milyon-milyong digit ang buong pagkakasunud-sunod ng mga decimal na lugar ay nauulit, ibig sabihin decimal- panaka-nakang at mayroong katumbas para dito sa anyo ng isang ratio ng mga integer. Kung ang isang fraction na may malaking bilang (bilyon o milyon) ng hindi pana-panahong mga decimal na lugar sa ilang mga punto ay may walang katapusang serye ng mga umuulit na digit, halimbawa $...55555555555...$, nangangahulugan din ito na ang fraction na ito ay pana-panahon at mayroong isang katumbas sa anyo ng isang ratio ng mga numero ng integer.

Gayunpaman, kung sakaling, ang kanilang mga katumbas na decimal ay ganap na hindi pana-panahon at hindi maaaring maging pana-panahon.

Syempre pwede kang magtanong sunod na tanong: “Sino ang makakaalam at makakapagsabi kung ano ang mangyayari sa isang fraction, sabihin, pagkatapos ng trilyong tanda? Sino ang magagarantiya na ang isang bahagi ay hindi magiging pana-panahon?” May mga paraan upang mapagtibay na patunayan na ang mga hindi makatwirang numero ay hindi pana-panahon, ngunit ang mga naturang patunay ay nangangailangan ng kumplikadong matematika. Pero kung biglang lumabas yun hindi makatwiran na numero nagiging periodic fraction, ito ay mangangahulugan ng kumpletong pagbagsak ng mga pundasyon ng mga agham matematika. At sa katunayan ito ay halos hindi posible. Hindi madali para sa iyo na itapon ito sa magkatabi sa iyong mga buko, mayroong isang kumplikadong teorya ng matematika dito.