May mga numero na napakalaki, hindi kapani-paniwalang malaki na kakailanganin ng buong sansinukob upang isulat ang mga ito. Ngunit narito ang talagang nakakabaliw... ang ilan sa mga hindi matukoy na malalaking bilang na ito ay mahalaga sa pag-unawa sa mundo.

Kapag sinabi kong "pinakamalaking bilang sa uniberso," ang ibig kong sabihin ay ang pinakamalaki makabuluhan numero, ang maximum na posibleng numero na kapaki-pakinabang sa anumang paraan. Maraming mga contenders para sa pamagat na ito, ngunit babalaan kita kaagad: talagang may panganib na ang pagsisikap na maunawaan ang lahat ng ito ay masisira ang iyong isip. And besides, sa sobrang dami ng math, hindi ka na magiging masaya.

Googol at googolplex

Edward Kasner

Maaari tayong magsimula sa kung ano ang posibleng dalawang pinakamalaking numero na narinig mo na, at ito nga ang dalawang pinakamalaking numero na karaniwang tinatanggap ang mga kahulugan sa wikang Ingles. (May isang medyo tumpak na katawagan na ginagamit upang tukuyin ang mga numero na kasing laki ng gusto mo, ngunit ang dalawang numerong ito ay hindi mo makikita sa mga diksyunaryo sa kasalukuyan.) Googol, dahil ito ay naging tanyag sa buong mundo (kahit na may mga pagkakamali, tandaan. sa katunayan ito ay googol ) sa anyo ng Google, ipinanganak noong 1920 bilang isang paraan upang maging interesado ang mga bata sa malaking bilang.

Sa layuning ito, dinala ni Edward Kasner (nakalarawan) ang kanyang dalawang pamangkin, sina Milton at Edwin Sirott, para mamasyal sa New Jersey Palisades. Inanyayahan niya silang magkaroon ng anumang ideya, at pagkatapos ay iminungkahi ng siyam na taong gulang na si Milton ang "googol." Kung saan niya nakuha ang salitang ito ay hindi alam, ngunit napagpasyahan iyon ni Kasner o isang numero kung saan sinusundan ng isang daang zero ang unit mula ngayon ay tatawaging googol.

Ngunit ang batang si Milton ay hindi tumigil doon; iminungkahi niya ang isang mas malaking bilang, ang googolplex. Ito ay isang numero, ayon kay Milton, kung saan ang unang lugar ay 1, at pagkatapos ay kasing dami ng mga zero na maaari mong isulat bago ka mapagod. Bagama't kaakit-akit ang ideya, nagpasya si Kasner na kailangan ang isang mas pormal na kahulugan. Gaya ng ipinaliwanag niya sa kanyang 1940 na aklat na Mathematics and the Imagination, ang kahulugan ni Milton ay nag-iiwan ng mapanganib na posibilidad na ang isang aksidenteng buffoon ay maaaring maging isang mathematician na nakahihigit kay Albert Einstein dahil lamang sa siya ay may mas mataas na tibay.

Kaya't nagpasya si Kasner na ang isang googolplex ay magiging , o 1, at pagkatapos ay isang googol ng mga zero. Kung hindi, at sa notasyong katulad ng haharapin natin para sa iba pang mga numero, sasabihin natin na ang isang googolplex ay . Upang ipakita kung gaano ito kaakit-akit, minsang nabanggit ni Carl Sagan na pisikal na imposibleng isulat ang lahat ng mga zero ng isang googolplex dahil walang sapat na espasyo sa uniberso. Kung pupunuin natin ang buong dami ng nakikitang Uniberso ng maliliit na particle ng alikabok na humigit-kumulang 1.5 microns ang laki, kung gayon ang bilang sa iba't ibang paraan ang lokasyon ng mga particle na ito ay humigit-kumulang katumbas ng isang googolplex.

Sa linguistikong pagsasalita, ang googol at googolplex ay marahil ang dalawang pinakamalaking makabuluhang numero (ni kahit na, sa Ingles), ngunit, tulad ng itatatag natin ngayon, mayroong walang katapusang maraming paraan upang tukuyin ang "kabuluhan".

Tunay na mundo

Kung pag-uusapan natin ang tungkol sa pinakamalaking makabuluhang numero, mayroong isang makatwirang argumento na talagang nangangahulugan ito na kailangan nating hanapin ang pinakamalaking numero na may halaga na aktwal na umiiral sa mundo. Maaari tayong magsimula sa kasalukuyang populasyon ng tao, na kasalukuyang nasa 6920 milyon. Ang World GDP noong 2010 ay tinatayang nasa $61,960 bilyon, ngunit ang parehong mga bilang na ito ay hindi gaanong mahalaga kumpara sa humigit-kumulang 100 trilyong mga selula na bumubuo sa katawan ng tao. Siyempre, wala sa mga numerong ito ang maihahambing sa kabuuang bilang ng mga particle sa Uniberso, na karaniwang itinuturing na humigit-kumulang , at ang bilang na ito ay napakalaki na ang ating wika ay walang salita para dito.

Maaari tayong maglaro nang kaunti sa mga sistema ng mga panukala, na ginagawang mas malaki at mas malaki ang mga numero. Kaya, ang masa ng Araw sa tonelada ay magiging mas mababa kaysa sa pounds. Mahusay na paraan upang gawin ito ay ang paggamit ng Planck system ng mga yunit, na siyang pinakamaliit posibleng mga hakbang, kung saan ang mga batas ng pisika ay nananatiling may bisa. Halimbawa, ang edad ng Uniberso sa oras ng Planck ay tungkol sa . Kung babalik tayo sa unang Planck unit ng oras pagkatapos ng Big Bang, makikita natin na ang density ng Uniberso noon ay . Dumadami na kami, pero hindi pa nga kami nakakarating sa googol.

Ang pinakamalaking bilang na may anumang real world application - o, sa sa kasong ito tunay na aplikasyon sa mga mundo - marahil , - isa sa mga pinakabagong pagtatantya ng bilang ng mga uniberso sa multiverse. Napakalaki ng numerong ito na literal na hindi maiintindihan ng utak ng tao ang lahat ng iba't ibang uniberso na ito, dahil ang utak ay may kakayahan lamang na humigit-kumulang na mga pagsasaayos. Sa katunayan, ang bilang na ito ay marahil ang pinakamarami malaking numero walang praktikal na kahulugan maliban kung isinasaalang-alang mo ang ideya ng multiverse sa kabuuan. Gayunpaman, mayroon pa ring mas malaking bilang na nakatago doon. Ngunit upang mahanap ang mga ito kailangan nating pumunta sa larangan ng purong matematika, at hindi mas magandang simulan kaysa sa mga pangunahing numero.

Mersenne primes

Bahagi ng kahirapan ay paparating na magandang depinisyon kung ano ang isang "makabuluhang" numero. Ang isang paraan ay mag-isip sa mga tuntunin ng prime at composite na mga numero. Ang prime number, gaya ng malamang na natatandaan mo mula sa school mathematics, ay anumang natural na numero (tala na hindi katumbas ng isa) na nahahati lamang sa pamamagitan ng at mismo. Kaya, at ang mga pangunahing numero, at at ay mga pinagsama-samang numero. Nangangahulugan ito na anuman pinagsama-samang numero sa huli ay maaaring katawanin ng mga pangunahing salik nito. Sa ilang mga paraan, ang numero ay mas mahalaga kaysa, sabihin nating, , dahil walang paraan upang ipahayag ito sa mga tuntunin ng produkto ng mas maliliit na numero.

Malinaw na maaari tayong lumayo nang kaunti. , halimbawa, ay talagang makatarungan , na nangangahulugan na sa isang hypothetical na mundo kung saan ang ating kaalaman sa mga numero ay limitado sa , ang isang mathematician ay maaari pa ring ipahayag ang numero . Ngunit ang susunod na numero ay prime, na nangangahulugan na ang tanging paraan upang ipahayag ito ay ang direktang malaman ang tungkol sa pagkakaroon nito. Nangangahulugan ito na ang pinakamalaking kilalang prime number ay gumaganap ng isang mahalagang papel, ngunit, sabihin nating, isang googol - na sa huli ay isang koleksyon lamang ng mga numero at , na pinarami nang magkasama - ay hindi talaga. At dahil random ang mga prime number, walang alam na paraan para mahulaan na talagang magiging prime ang isang napakalaking numero. Hanggang ngayon, ang pagtuklas ng mga bagong prime number ay isang mahirap na gawain.

Mathematicians Sinaunang Greece nagkaroon ng ideya tungkol sa mga pangunahing numero, kahit kasing aga ng 500 BC, at makalipas ang 2000 taon, alam pa rin ng mga tao kung aling mga numero ang prime lamang hanggang sa humigit-kumulang 750. Nakita ng mga nag-iisip noong panahon ni Euclid ang posibilidad ng pagpapasimple, ngunit hanggang sa ang mga mathematician ng Renaissance ay hindi talaga ito maisasagawa. Ang mga numerong ito ay kilala bilang mga numero ng Mersenne, na pinangalanan sa ika-17 siglong siyentipikong Pranses na si Marin Mersenne. Ang ideya ay medyo simple: ang isang Mersenne number ay anumang numero ng form . Kaya, halimbawa, , at ang numerong ito ay prime, ang parehong ay totoo para sa .

Ito ay mas mabilis at mas madaling matukoy ang Mersenne prime kaysa sa anumang iba pang uri ng prime number, at ang mga computer ay naging mahirap sa paghahanap para sa mga ito sa nakalipas na anim na dekada. Hanggang 1952, ang pinakamalaking kilalang prime number ay isang numero—isang numero na may mga digit. Sa parehong taon, kinakalkula ng computer na ang numero ay prime, at ang numerong ito ay binubuo ng mga digit, na ginagawang mas malaki kaysa sa isang googol.

Ang mga computer ay naghahanap na mula noon, at sa kasalukuyan ang -th Mersenne number ay ang pinakamalaking prime number. kilala sa sangkatauhan. Natuklasan noong 2008, ito ay katumbas ng isang numero na may halos milyon-milyong mga digit. Ito ang pinakamalaking kilalang numero na hindi maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng anumang mas maliliit na numero, at kung gusto mo ng tulong sa paghahanap ng mas malaking numero ng Mersenne, ikaw (at ang iyong computer) ay palaging makakasali sa paghahanap sa http://www.mersenne.org /.

Numero ng skewes

Stanley Skews

Tingnan natin muli ang mga prime number. Gaya ng sinabi ko, sa panimula sila ay mali, ibig sabihin ay walang paraan upang mahulaan kung ano ang susunod na prime number. Napilitan ang mga mathematician na gumamit ng ilang kamangha-manghang mga sukat upang makabuo ng ilang paraan upang mahulaan ang mga prime number sa hinaharap, kahit na sa ilang malabong paraan. Ang pinakamatagumpay sa mga pagtatangka na ito ay marahil ang prime number counting function, na naimbento noong huling bahagi ng ika-18 siglo ng maalamat na mathematician na si Carl Friedrich Gauss.

Ililibre ko sa iyo ang mas kumplikadong matematika - marami pa tayong darating - ngunit ang diwa ng function ay ito: para sa anumang integer, maaari mong tantyahin kung gaano karaming mga prime number ang mas maliit kaysa sa . Halimbawa, kung , hinuhulaan ng function na dapat mayroong mga prime number, kung dapat mayroong prime number na mas maliit sa , at kung , dapat mayroong mas maliliit na numero na prime.

Ang pag-aayos ng mga prime number ay talagang irregular at isang approximation lamang ng aktwal na bilang ng mga prime number. Sa katunayan, alam namin na may mga prime number na mas mababa sa , prime number na mas mababa sa , at prime number na mas mababa sa . Ito ay isang mahusay na pagtatantya, upang makatiyak, ngunit ito ay palaging isang pagtatantya lamang... at, mas partikular, isang pagtatantya mula sa itaas.

Sa lahat ng kilalang kaso hanggang sa , ang function na nakakahanap ng bilang ng mga prime ay bahagyang nagpapalaki sa aktwal na bilang ng mga prime na mas maliit kaysa sa . Minsan naisip ng mga mathematician na ito ang palaging mangyayari, ad infinitum, at tiyak na mailalapat ito sa ilang hindi maisip na malalaking numero, ngunit noong 1914 pinatunayan ni John Edensor Littlewood na para sa ilang hindi alam, hindi mailarawang malaking bilang, ang function na ito ay magsisimulang gumawa ng mas kaunting mga prime , at pagkatapos ay lilipat ito sa pagitan ng pinakamataas na pagtatantya at sa ilalim na pagtatantya ng walang katapusang bilang ng beses.

Ang pangangaso ay para sa panimulang punto ng mga karera, at pagkatapos ay lumitaw si Stanley Skewes (tingnan ang larawan). Noong 1933 pinatunayan niya iyon itaas na limitasyon, kapag ang isang function na tinatantya ang bilang ng mga prime na numero ay unang gumagawa ng isang mas maliit na halaga, ito ang numero . Mahirap talagang maunawaan kahit na sa pinaka-abstract na kahulugan kung ano talaga ang kinakatawan ng numerong ito, at mula sa puntong ito, ito ang pinakamalaking bilang na ginamit sa isang seryosong patunay sa matematika. Mula noon ay nagawang bawasan ng mga mathematician ang upper bound sa isang medyo maliit na numero, ngunit ang orihinal na numero ay nananatiling kilala bilang Skewes number.

Kaya gaano kalaki ang bilang na dwarfs kahit ang makapangyarihang googolplex? Sa The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, ikinuwento ni David Wells ang isang paraan kung saan naisip ng mathematician na si Hardy ang laki ng Skuse number:

"Inisip ni Hardy na ito ang "pinakamalaking bilang na nagsilbi para sa anumang partikular na layunin sa matematika," at iminungkahi na kung ang isang laro ng chess ay nilalaro sa lahat ng mga particle ng uniberso bilang mga piraso, ang isang paglipat ay binubuo ng pagpapalit ng dalawang particle, at ang ang laro ay titigil kapag ang parehong posisyon ay naulit sa pangatlong beses, kung gayon ang bilang ng lahat ng posibleng laro ay humigit-kumulang katumbas ng numero ni Skuse.'

Isang huling bagay bago tayo magpatuloy: pinag-usapan natin ang mas maliit sa dalawang numero ng Skewes. May isa pang numero ng Skuse, na natuklasan ng mathematician noong 1955. Ang unang numero ay nagmula sa katotohanan na ang tinatawag na Riemann hypothesis ay totoo - ito ay isang partikular na mahirap na hypothesis sa matematika na nananatiling hindi napatunayan, lubhang kapaki-pakinabang pagdating sa mga prime number. Gayunpaman, kung mali ang hypothesis ng Riemann, nalaman ni Skuse na ang panimulang punto ng mga pagtalon ay tataas sa .

Problema ng magnitude

Bago tayo makarating sa numero na kahit na ang numero ng Skewes ay mukhang maliit, kailangan nating pag-usapan nang kaunti ang tungkol sa sukat, dahil kung hindi, wala tayong paraan upang masuri kung saan tayo pupunta. Una, kumuha tayo ng isang numero - ito ay isang maliit na numero, napakaliit na ang mga tao ay maaaring magkaroon ng isang madaling maunawaan kung ano ang ibig sabihin nito. Napakakaunting mga numero na umaangkop sa paglalarawang ito, dahil ang mga numerong higit sa anim ay humihinto sa pagiging magkahiwalay na mga numero at nagiging "marami", "marami", atbp.

Ngayon kunin natin , i.e. . Bagaman hindi talaga namin intuitively, tulad ng ginawa namin para sa numero, maunawaan kung ano ito, napakadaling isipin kung ano ito. So far so good. Ngunit ano ang mangyayari kung lumipat tayo sa ? Ito ay katumbas ng , o . Napakalayo namin sa kakayahang isipin ang dami na ito, tulad ng iba pang napakalaki - nawawalan kami ng kakayahang maunawaan ang mga indibidwal na bahagi sa isang lugar sa paligid ng isang milyon. (Nakakabaliw talaga malaking bilang ng Magtatagal upang aktwal na mabilang sa isang milyon ng anumang bagay, ngunit ang katotohanan ay kaya pa rin nating makita ang bilang na iyon.)

Gayunpaman, kahit na hindi natin maisip, hindi bababa sa naiintindihan natin pangkalahatang balangkas, ano ang 7600 bilyon, marahil ay inihahambing ito sa isang bagay tulad ng US GDP. Lumipat tayo mula sa intuwisyon tungo sa representasyon tungo sa simpleng pag-unawa, ngunit kahit papaano ay mayroon pa rin tayong puwang sa ating pag-unawa sa kung ano ang numero. Magbabago na iyon habang umaakyat kami ng isa pang baitang paakyat sa hagdan.

Upang gawin ito, kailangan nating lumipat sa isang notasyong ipinakilala ni Donald Knuth, na kilala bilang arrow notation. Ang notasyong ito ay maaaring isulat bilang . Kapag pumunta kami sa , ang numero na makukuha namin ay . Ito ay katumbas ng kung saan ang kabuuang tatlo ay. Malayo na tayo ngayon at tunay na nalampasan ang lahat ng iba pang mga numerong napag-usapan na natin. Pagkatapos ng lahat, kahit na ang pinakamalaki sa kanila ay mayroon lamang tatlo o apat na termino sa serye ng tagapagpahiwatig. Halimbawa, kahit na ang numero ng super-Skuse ay "lamang" - kahit na may allowance para sa katotohanan na ang base at ang mga exponents ay mas malaki kaysa sa , ito ay ganap na wala pa rin kumpara sa laki ng isang number tower na may isang bilyong miyembro .

Ito ay malinaw na walang paraan upang maunawaan nang labis malalaking numero...at gayon pa man ang proseso kung saan sila ay nilikha ay maaari pa ring maunawaan. Hindi namin maintindihan ang tunay na dami na ibinibigay ng isang tore ng mga kapangyarihan na may isang bilyong triplets, ngunit maaari nating isipin ang gayong tore na may maraming termino, at ang isang talagang disenteng supercomputer ay makakapag-imbak ng mga naturang tore sa memorya kahit na ito. hindi makalkula ang kanilang aktwal na mga halaga.

Ito ay nagiging mas abstract, ngunit ito ay lalala lamang. Maaari mong isipin na ang isang tore ng mga degree na ang haba ng exponent ay pantay (sa katunayan, sa nakaraang bersyon ng post na ito ay ginawa ko nang eksakto ang pagkakamaling ito), ngunit ito ay simple. Sa madaling salita, isipin na mayroon kang kakayahang magkalkula eksaktong halaga power tower ng triplets, na binubuo ng mga elemento, at pagkatapos ay kinuha mo ang halagang iyon at gumawa ng bagong tore na may kasing dami nito... gaya ng nagbibigay .

Ulitin ang prosesong ito sa bawat kasunod na numero ( tala simula sa kanan) hanggang sa gawin mo ito ng ilang beses, at sa wakas makakakuha ka ng . Ito ay isang numero na hindi kapani-paniwalang malaki, ngunit hindi bababa sa ang mga hakbang upang makuha ito ay mukhang naiintindihan kung gagawin mo ang lahat nang napakabagal. Hindi na natin mauunawaan ang mga numero o isipin ang pamamaraan kung saan nakuha ang mga ito, ngunit hindi bababa sa naiintindihan natin ang pangunahing algorithm, sa loob lamang ng sapat na mahabang panahon.

Ngayon ay ihanda natin ang isip upang talagang pumutok ito.

Graham number (Graham)

Ronald Graham

Ito ay kung paano mo makuha ang numero ni Graham, na mayroong isang lugar sa Guinness Book of World Records bilang ang pinakamalaking bilang na ginamit sa isang mathematical proof. Ito ay ganap na imposibleng isipin kung gaano ito kalaki, at pantay na mahirap ipaliwanag nang eksakto kung ano ito. Karaniwan, lumilitaw ang numero ni Graham kapag nakikitungo sa mga hypercube, na mga teoretikal na geometric na hugis na may higit sa tatlong dimensyon. Nais malaman ng mathematician na si Ronald Graham (tingnan ang larawan) kung anong pinakamaliit na bilang ng mga sukat ang ilang mga katangian ng isang hypercube ay mananatiling matatag. (Paumanhin para sa isang malabo na paliwanag, ngunit sigurado akong kailangan nating lahat na makakuha ng hindi bababa sa dalawa akademikong degree sa matematika upang gawin itong mas tumpak.)

Sa anumang kaso, ang numero ni Graham ay isang mas mataas na pagtatantya nito pinakamababang numero mga sukat. Kaya gaano kalaki ang upper bound na ito? Bumalik tayo sa numero, napakalaki na maaari lamang nating maunawaan ang algorithm para sa pagkuha nito. Ngayon, sa halip na tumalon lamang ng isa pang antas sa , bibilangin natin ang bilang na may mga arrow sa pagitan ng una at huling tatlo. Malayo na tayo ngayon sa kahit kaunting pag-unawa sa kung ano ang numerong ito o kung ano ang kailangan nating gawin upang makalkula ito.

Ngayon ulitin natin ang prosesong ito nang isang beses ( tala sa bawat susunod na hakbang isinusulat namin ang bilang ng mga arrow na katumbas ng bilang na nakuha sa nakaraang hakbang).

Ito, mga kababaihan at mga ginoo, ay ang numero ni Graham, na tungkol sa isang order ng magnitude na mas mataas kaysa sa punto ng pag-unawa ng tao. Ito ay isang numero na mas malaki kaysa sa anumang numero na maaari mong isipin-ito ay higit na mas malaki kaysa sa anumang infinity na maaari mong pag-asa na isipin-ito ay sumasalungat lamang kahit na ang pinaka abstract na paglalarawan.

Ngunit narito ang isang kakaibang bagay. Dahil ang Graham number ay karaniwang triplets lang na pinarami nang magkasama, alam natin ang ilan sa mga katangian nito nang hindi aktwal na kinakalkula ito. Hindi namin maaaring katawanin ang numero ng Graham gamit ang anumang pamilyar na notasyon, kahit na ginamit namin ang buong uniberso upang isulat ito, ngunit masasabi ko sa iyo ang huling labindalawang digit ng numero ng Graham ngayon: . At hindi lang iyon: alam natin ang mga huling digit ng numero ni Graham.

Siyempre, ito ay nagkakahalaga ng pag-alala na ang numerong ito ay isang upper bound lamang sa orihinal na problema ni Graham. Ito ay lubos na posible na ang aktwal na bilang ng mga sukat na kinakailangan upang makamit ang ninanais na ari-arian ay marami, mas kaunti. Sa katunayan, pinaniniwalaan na mula noong 1980s, ayon sa karamihan ng mga eksperto sa larangan, na mayroon lang talagang anim na dimensyon—isang bilang na napakaliit na naiintindihan natin ito nang intuitive. Ang lower bound ay itinaas na sa , ngunit mayroon pa ring napakagandang pagkakataon na ang solusyon sa problema ni Graham ay hindi nasa malapit sa isang numerong kasing laki ng numero ni Graham.

Patungo sa kawalang-hanggan

Kaya may mga numero na mas malaki kaysa sa numero ni Graham? Mayroong, siyempre, para sa mga nagsisimula, mayroong numero ng Graham. Tungkol sa makabuluhang numero...okay, may ilang napaka-kumplikadong bahagi ng matematika (partikular ang lugar na kilala bilang combinatorics) at computer science kung saan ang mga numero ay mas malaki pa kaysa sa numero ni Graham. Ngunit halos naabot na natin ang limitasyon ng kung ano ang inaasahan kong maipaliwanag nang may katwiran. Para sa mga hangal na sapat upang pumunta nang higit pa, ang karagdagang pagbabasa ay iminumungkahi sa iyong sariling peligro.

Well, ngayon isang kamangha-manghang quote na iniuugnay kay Douglas Ray ( tala Sa totoo lang, medyo nakakatawa ito:

“Nakikita ko ang mga kumpol ng hindi malinaw na mga numero na nakatago doon sa dilim, sa likod ng maliit na lugar ng liwanag na ibinibigay ng kandila ng katwiran. Nagbubulungan sila sa isa't isa; nakikipagsabwatan tungkol sa kung sino ang nakakaalam kung ano. Marahil ay hindi nila tayo gaanong nagustuhan sa pagkuha ng kanilang maliliit na kapatid sa ating isipan. O marahil ay namumuhay lang sila sa isang solong digit na buhay, doon, na lampas sa ating pang-unawa.

Dalawang bagay ang tunay na walang katapusan:
Ang uniberso at katangahan ng tao.
Gayunpaman, tungkol sa Uniberso na mayroon ako
may mga pagdududa.
Albert Einstein

Itinaas na namin ang isyung ito kamakailan, ngunit ito ay napakahalaga na ito ay nagkakahalaga ng pag-isipan ito nang mas detalyado.

Kung minsan ay sinasabi ang parehong mga salita tungkol sa isang bagay tulad ng tungkol sa isa pa, hindi ito nangangahulugan na ang mga bagay na ito ay may parehong mga katangian.

Ito ay isang mahaba at hindi maintindihan na pangungusap, kaya ipapaliwanag ko sa isang halimbawa:
Maaari mong sabihin ang "tawagan ang telepono", o maaari mong sabihin ang "ring ang kampana" - napaka iba't ibang aksyon, ngunit isang pandiwa. Mula dito hindi namin maaaring tapusin na ang lahat ng iba pang mga aksyon sa telepono (pagtanggap ng SMS, memorya para sa 200 mga numero, at iba pa) ay katangian ng kampanilya. Ito ay napakalinaw na ang talatang ito ay mukhang walang katotohanan.

Ngunit bakit napakadaling kumilos ng maraming tao gamit ang salitang infinity, na para bang ito ay isang numero? Oo, maaari mong ilapat ang ilang pagkilos sa infinity na matagumpay na gumagana sa mga numero ( paggawa ng mga kinakailangang reserbasyon):
2 + ∞ = ∞,
∞ - 5 = ∞,
2 * ∞ = ∞,
∞ / 5 = ∞,
∞ + ∞ = ∞ (higit pa rito, ang serye ng mga tunay na numero ay madalas na pinalawak ng isang pares ng mga elemento +∞ at -∞, ngunit mahigpit na itinakda kung paano sila mahahawakan).

Nangangahulugan ito na hindi lahat ay maaaring gawin sa ganitong mga "infinities". Halimbawa, ∞ - ∞ = ? (dito tayo ay may kawalan ng katiyakan, dahil hindi tayo makakapagbigay ng sagot nang hindi nalalaman ang kalikasan ng dalawang “infinity” na ito). Sa anumang kaso, ito ay walang muwang na agad na sabihin na ang pagkakaiba ay magiging zero.

At kung magsisimula ang pag-uusap tungkol sa katotohanan na ang ilang dami ay may posibilidad na zero o infinity, kung gayon napakadalas na hindi ito dumating sa tamang pangangatwiran. Siyanga pala, anim na buwan na ang nakalilipas ay hinarap namin ang pang-araw-araw na paggamit ng konsepto ng infinity. Nagawa naming "patunayan" na ang kabuuan ng mga binti ng isang tatsulok ay palaging katumbas ng hypotenuse. Ito ay hindi isang napakasimpleng halimbawa, ngunit ito ay isang kapaki-pakinabang na halimbawa. Mayroong higit pang mga sinaunang at sikat na mga konstruksyon na mukhang napakasimple na hindi malinaw kung paano posible ang anumang mga problema sa kanila.

Tandaan natin ang klasikong aporia ni Zeno:
Kung malalaman na si Achilles ay tumatakbo ng sampung beses na mas mabilis kaysa sa isang pagong, at nasa layo na 1 kilometro mula dito, kung gayon sa oras na ginugugol ni Achilles sa kilometrong ito, ang pagong ay gagapang ng 100 metro. Alinsunod dito, kapag tumakbo si Achilles ng isa pang 100 metro, ang pagong ay gagapang ng 10 metro, at iba pa. Ang proseso ay magpapatuloy nang walang katiyakan, at si Achilles ay hindi kailanman makakahabol sa pagong, kahit na siya ay gumagalaw nang mas mabilis.

Ang kakayahang magsabi ng mga bagay na mauunawaan tungkol sa gayong mga problema ay kinakailangan upang kahit papaano ay maunawaan ang pangangatwiran tungkol sa mithiin, limitasyon, kawalang-hanggan at iba pang madaling maunawaan, ngunit sa halip kumplikadong mga konsepto. Kung wala ito, ang pag-uusap ay karaniwang napupunta sa "sino ang may mas malakas na boses," bagaman ang punto ng agham sa matematika ay hindi upang pigilan ang sarili na kumbinsido sa anumang halaga. Naku, nitong mga nakaraang dekada lahat mas kaunting mga tao makilala ang tama mula sa siyentipiko, kaya madalas ay itinuturing na mas mahalaga na huminto sa pagsigaw at kumbinsihin kaysa sa mas malapit sa katotohanan.

Kaya paano natin malulutas ang problema ni Achilles at ng pagong? Mangyaring huwag isulat na sa sandaling tumakbo si Achilles sa ikalawang kilometro, ang pagong ay maiiwan nang malayo. Ito ay malinaw sa lahat, ngunit hindi ito nakakatulong. Dito kailangan mong madama ang problema sa orihinal na solusyon, at hindi makabuo ng iyong sariling pananaw sa parehong kondisyon.

Magandang araw!

10 hanggang sa ika-3003 na kapangyarihan

Mga pagtatalo kung alin ang pinakamarami malaking numero sa mundo ay patuloy. Nag-aalok ang iba't ibang mga sistema ng calculus iba't ibang variant at hindi alam ng mga tao kung ano ang paniniwalaan, at kung aling figure ang ituturing na pinakamalaki.

Ang tanong na ito ay interesado sa mga siyentipiko mula pa noong panahon ng Imperyo ng Roma. Ang pinakamalaking problema ay nakasalalay sa kahulugan ng kung ano ang isang "numero" at kung ano ang isang "digit". Sa isang pagkakataon mga tao matagal na panahon itinuturing na pinaka isang malaking bilang decillion, ibig sabihin, 10 hanggang ika-33 na kapangyarihan. Ngunit, pagkatapos na ang mga siyentipiko ay nagsimulang aktibong mag-aral ng Amerikano at Ingles mga sistema ng panukat, natuklasan na ang pinakamalaking bilang sa mundo ay 10 hanggang 3003rd power - isang milyon. Mga lalaki sa Araw-araw na buhay Naniniwala sila na ang pinakamalaking bilang ay isang trilyon. Bukod dito, ito ay medyo pormal, dahil pagkatapos ng isang trilyon, ang mga pangalan ay hindi ibinigay, dahil ang pagbibilang ay nagsisimula na maging masyadong kumplikado. Gayunpaman, puro theoretically, ang bilang ng mga zero ay maaaring idagdag nang walang katiyakan. Samakatuwid, halos imposible na isipin kahit na puro biswal na isang trilyon at kung ano ang kasunod nito.

Sa Roman numerals

Sa kabilang banda, ang kahulugan ng "numero" na naiintindihan ng mga mathematician ay medyo naiiba. Ang isang numero ay nangangahulugang isang tanda na tinatanggap ng lahat at ginagamit upang ipahiwatig ang isang dami na ipinahayag sa isang katumbas na numero. Ang pangalawang konsepto na "numero" ay nangangahulugang ang expression quantitative na katangian sa isang maginhawang anyo sa pamamagitan ng paggamit ng mga numero. Ito ay sumusunod mula dito na ang mga numero ay binubuo ng mga digit. Mahalaga rin na ang numero ay may simbolikong katangian. Ang mga ito ay nakakondisyon, nakikilala, hindi nababago. Ang mga numero ay mayroon ding mga katangian ng tanda, ngunit sumusunod sila mula sa katotohanan na ang mga numero ay binubuo ng mga digit. Mula dito maaari nating tapusin na ang isang trilyon ay hindi isang figure sa lahat, ngunit isang numero. Kung gayon ano ang pinakamalaking bilang sa mundo kung ito ay hindi isang trilyon, na isang numero?

Ang mahalagang bagay ay ang mga numero ay ginagamit bilang mga bahagi ng mga numero, ngunit hindi lamang iyon. Ang isang numero, gayunpaman, ay ang parehong numero kung pinag-uusapan natin ang ilang mga bagay, binibilang ang mga ito mula sa zero hanggang siyam. Ang sistema ng mga tampok na ito ay nalalapat hindi lamang sa mga pamilyar na Arabic numeral, kundi pati na rin sa Roman I, V, X, L, C, D, M. Ito ay mga Roman numeral. Sa kabilang banda, ang V I I I ay isang Roman numeral. Sa Arabic calculus ito ay tumutugma sa numerong walo.

Sa Arabic numerals

Kaya, lumalabas na ang pagbibilang ng mga yunit mula zero hanggang siyam ay itinuturing na mga numero, at lahat ng iba pa ay mga numero. Kaya ang konklusyon na ang pinakamalaking bilang sa mundo ay siyam. Ang 9 ay isang tanda, at ang isang numero ay isang simpleng quantitative abstraction. Ang isang trilyon ay isang numero, at hindi isang numero, at samakatuwid ay hindi maaaring ang pinakamalaking bilang sa mundo. Ang isang trilyon ay maaaring tawaging pinakamalaking bilang sa mundo, at iyon ay puro nominal, dahil ang mga numero ay mabibilang na ad infinitum. Ang bilang ng mga digit ay mahigpit na limitado - mula 0 hanggang 9.

Dapat ding tandaan na ang mga numero at numero iba't ibang sistema ang mga kalkulasyon ay hindi nag-tutugma, tulad ng nakita natin mula sa mga halimbawa na may mga numero at numeral ng Arabic at Romano. Nangyayari ito dahil ang mga numero at numero ay mga simpleng konsepto na inimbento mismo ng tao. Samakatuwid, ang isang numero sa isang sistema ng numero ay madaling maging isang numero sa isa pa at vice versa.

Kaya, ang pinakamalaking bilang ay hindi mabilang, dahil maaari itong patuloy na maidagdag nang walang katiyakan mula sa mga digit. Tulad ng para sa mga numero mismo, sa pangkalahatang tinatanggap na sistema, ang pinakamalaking bilang ay 9.

Mayroon ding mas mahahabang grupo ng mga digit, na, na nasa dulo ng mga numero, ay napanatili din sa kanilang produkto. Ang bilang ng mga naturang pangkat ng mga numero, gaya ng ipapakita namin, ay walang hanggan na malaki.

Alam namin ang dalawang-digit na grupo ng mga numero na may ganitong katangian: ito ay 25 at 76. Upang makahanap ng tatlong-digit na grupo, kailangan mong magtalaga ng isang digit sa harap ng numerong 25 o 76 upang ang resultang tatlong-digit ang pangkat ng mga numero ay mayroon ding kinakailangang katangian.

Anong digit ang dapat italaga sa numerong 76? Tukuyin natin ito ng k. Pagkatapos ay ipapakita ang nais na tatlong-digit na numero:

100k + 76.

Ang pangkalahatang expression para sa mga numero na nagtatapos sa pangkat ng mga digit na ito ay:

1000a + 100k + 76, 1000b + 100k + 76, atbp.

I-multiply natin ang dalawang numero ng ganitong uri; nakukuha natin:

1000000ab + 100000ak + 100000bk + 76000a + 76000b + 10000k 2 + 15200k + 5776.

Ang lahat ng termino, maliban sa huling dalawa, ay may hindi bababa sa tatlong zero sa dulo. Samakatuwid, ang produkto ay nagtatapos sa 1006+76 kung ang pagkakaiba

15200k + 5776 - (100k + 76) = 15100k + 5700 = 15000k + 5000 + 100 (k + 7)

ay nahahati sa 1000. Malinaw na mangyayari lamang ito para sa k = 3.

Kaya, ang kinakailangang pangkat ng mga numero ay may anyo na 376. Samakatuwid, ang bawat kapangyarihan ng numerong 376 ay nagtatapos sa 376. Halimbawa:

376 2 = 141376.

Kung gusto natin ngayon na makahanap ng apat na digit na pangkat ng mga digit na may parehong katangian, kailangan nating magdagdag ng isa pang digit sa 376 sa harap. Kung ipahiwatig natin ang figure na ito sa pamamagitan ng l, pagkatapos ay dumating tayo sa problema: para sa kung ano ang produkto

(10000a + 1000l + 376) (10000b + 1000l + 376)

nagtatapos sa 1000l + 376? Kung sa produktong ito bubuksan natin ang mga bracket at itapon ang lahat ng terminong nagtatapos sa 4 na zero o higit pa, mananatili ang mga tuntunin

752000l + 141376.

Ang produkto ay nagtatapos sa 1000l + 376 kung ang pagkakaiba

752000l + 141376 - (1000l + 376) = 751000l + 141000 = (750000l + 140000) + 1000(l + 1)

ay nahahati sa 10000. Malinaw na mangyayari lamang ito kapag l = 9.

Ang kinakailangang apat na digit na pangkat ng mga numero ay 9376.

Ang nagreresultang apat na digit na pangkat ng mga numero ay maaaring dagdagan ng isa pang numero, kung saan kailangan mong mangatuwiran nang eksakto sa parehong paraan tulad ng nasa itaas. Nakuha namin ang 09376. Sa paggawa ng isa pang hakbang, nakita namin ang isang pangkat ng mga numero 109376, pagkatapos ay 7109376, atbp.

Ang pagtatalaga ng mga numero sa kaliwa ay maaaring gawin nang walang limitasyong bilang ng beses. Bilang resulta, nakakakuha kami ng "numero" na mayroong walang katapusang maraming digit:

7109376.

Ang mga katulad na "numero" ay maaaring idagdag at i-multiply sa normal na mga tuntunin: pagkatapos ng lahat, ang mga ito ay isinulat mula kanan hanggang kaliwa, at ang pagdaragdag at pagpaparami ("haligi") ay ginaganap din mula kanan pakaliwa, upang sa kabuuan at produkto ng dalawang naturang numero maaari mong kalkulahin ang isang digit pagkatapos ng isa - kasing dami digit ayon sa gusto mo.

Ito ay kagiliw-giliw na ang walang katapusang "numero" na nakasulat sa itaas ay nakakatugon, hindi kapani-paniwala na tila, ang equation

X 2 = x.

Sa katunayan, ang parisukat ng "numero" na ito (i.e., ang produkto nito mismo) ay nagtatapos sa 76, dahil ang bawat isa sa mga kadahilanan ay may 76 sa dulo; sa parehong dahilan ang parisukat ng nakasulat na "numero" ay nagtatapos sa 376; nagtatapos sa 9376, atbp. Sa madaling salita, sa pamamagitan ng pagkalkula ng isa-isa sa mga digit ng "number" x 2, kung saan x =... 7109376, makakakuha tayo ng parehong mga digit na nasa numerong x, kaya x 2 = x.

Tiningnan namin ang mga pangkat ng mga numero na nagtatapos sa 76 *. Kung ang magkatulad na pangangatwiran ay isinasagawa para sa mga pangkat ng mga numero na nagtatapos sa 5, pagkatapos ay makukuha natin ang mga sumusunod na grupo ng mga numero:

5, 25, 625, 0625, 90625, 890625, 2890 625, atbp.

* (Tandaan na ang dalawang-digit na pangkat ng mga digit 76 ay matatagpuan gamit ang pangangatwiran na katulad ng ibinigay sa itaas: sapat na upang malutas ang tanong kung aling digit ang dapat italaga sa harap ng numero 6 upang ang resultang dalawang-digit na pangkat ng digit ang may pinag-uusapang pag-aari. Samakatuwid, ang "numero" ... 7109376 ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga numero sa harap ng anim, isa-isa.)

Bilang resulta, makakapagsulat tayo ng isa pang walang katapusang "numero"

2890625,

nagbibigay-kasiyahan din sa equation x 2 = x. Maaaring ipakita ng isa na ang walang katapusang "numero" na ito ay "katumbas ng"

5 2 2 2...

Ang kawili-wiling resulta na nakuha sa wika ng walang katapusan na "mga numero" ay nabuo tulad ng sumusunod: ang equation x 2 = x ay may (bilang karagdagan sa karaniwang x = 0 at x = 1) dalawang "walang katapusan" na solusyon:

X = ...7109376 at x = ...2890625,

at walang ibang mga solusyon (sa sistema ng decimal na numero) *.

* (Ang walang katapusang "mga numero" ay maaaring isaalang-alang hindi lamang sa decimal, kundi pati na rin sa iba pang mga sistema ng numero. Ang mga nasabing numero, na isinasaalang-alang sa sistema ng numero na may base na p, ay tinatawag na mga p-adic na numero. Mababasa mo ang tungkol sa mga numerong ito sa aklat na "Mathematical Conversations" nina E. B. Dynkin at V. A. Uspensky (Gostekhizdat, 1952).)