Ngayon, mga kaibigan, walang uhog o sentimental. Sa halip, ipapadala ko sa iyo, nang walang tanong, sa pakikipaglaban sa isa sa mga pinakakakila-kilabot na kalaban sa kursong algebra sa ika-8-9 na baitang.

Oo, naunawaan mo nang tama ang lahat: pinag-uusapan natin ang mga hindi pagkakapantay-pantay na may modulus. Titingnan namin ang apat na pangunahing pamamaraan kung saan matututunan mong lutasin ang tungkol sa 90% ng mga naturang problema. Paano ang natitirang 10%? Well, pag-uusapan natin sila sa isang hiwalay na aralin. :)

Gayunpaman, bago pag-aralan ang alinman sa mga pamamaraan, nais kong ipaalala sa iyo ang dalawang katotohanan na kailangan mo nang malaman. Kung hindi, nanganganib na hindi mo maintindihan ang materyal ng aralin ngayon.

Ang kailangan mo nang malaman

Ang Captain Obviousness ay tila nagpapahiwatig na upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay sa modulus kailangan mong malaman ang dalawang bagay:

1. Paano nareresolba ang mga hindi pagkakapantay-pantay;
2. Ano ang isang module?

Magsimula tayo sa pangalawang punto.

Depinisyon ng Module

Simple lang ang lahat dito. Mayroong dalawang kahulugan: algebraic at graphical. Upang magsimula sa - algebraic:

Kahulugan. Ang modulus ng isang numerong $x$ ay alinman sa numero mismo, kung ito ay hindi negatibo, o ang bilang na kabaligtaran nito, kung ang orihinal na $x$ ay negatibo pa rin.

Ito ay nakasulat tulad nito:

\[\kaliwa| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

nagsasalita sa simpleng wika, ang modulus ay "isang numero na walang minus". At ito ay tiyak sa duality na ito (sa ilang mga lugar hindi mo kailangang gawin ang anumang bagay sa orihinal na numero, ngunit sa iba ay kailangan mong alisin ang ilang uri ng minus) na kung saan ang buong kahirapan ay namamalagi para sa mga nagsisimulang mag-aaral.

Mayroon ding geometric na kahulugan. Kapaki-pakinabang din na malaman, ngunit babalikan lamang natin ito sa kumplikado at ilang mga espesyal na kaso, kung saan ang geometric na diskarte ay mas maginhawa kaysa sa algebraic (spoiler: hindi ngayon).

Kahulugan. Hayaang markahan ang puntong $a$ sa linya ng numero. Pagkatapos ang module na $\left| Ang x-a \right|$ ay ang distansya mula sa puntong $x$ hanggang sa puntong $a$ sa linyang ito.

Kung gumuhit ka ng isang larawan, makakakuha ka ng ganito:

Depinisyon ng graphical na module

Sa isang paraan o iba pa, mula sa kahulugan ng isang module ang pangunahing katangian nito ay agad na sumusunod: ang modulus ng isang numero ay palaging isang di-negatibong dami. Ang katotohanang ito ay magiging isang pulang thread na tumatakbo sa aming buong salaysay ngayon.

Paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay. Paraan ng pagitan

Ngayon tingnan natin ang mga hindi pagkakapantay-pantay. Napakarami ng mga ito, ngunit ang ating gawain ngayon ay ang malutas kahit ang pinakasimpleng mga ito. Ang mga bumaba sa mga linear na hindi pagkakapantay-pantay, pati na rin sa paraan ng pagitan.

Mayroon akong dalawang malalaking aralin sa paksang ito (sa pamamagitan ng paraan, napaka, VERY kapaki-pakinabang - Inirerekumenda kong pag-aralan ang mga ito):

1. Paraan ng pagitan para sa mga hindi pagkakapantay-pantay (lalo na panoorin ang video);
2. Ang mga fractional rational inequalities ay isang napakalawak na aral, ngunit pagkatapos nito ay wala ka nang anumang katanungan.

Kung alam mo ang lahat ng ito, kung ang pariralang "lumipat tayo mula sa hindi pagkakapantay-pantay patungo sa equation" ay hindi nagdudulot sa iyo ng malabong pagnanais na itama ang iyong sarili sa dingding, kung gayon handa ka na: maligayang pagdating sa impiyerno sa pangunahing paksa ng aralin. :)

1. Mga hindi pagkakapantay-pantay ng form na "Modulus is less than function"

Ito ay isa sa mga pinakakaraniwang problema sa mga module. Ito ay kinakailangan upang malutas ang isang hindi pagkakapantay-pantay ng form:

\[\kaliwa| f\right| \ltg\]

Ang mga function na $f$ at $g$ ay maaaring maging anuman, ngunit kadalasan ang mga ito ay mga polynomial. Mga halimbawa ng gayong hindi pagkakapantay-pantay:

\[\begin(align) & \left| 2x+3 \kanan| \lt x+7; \\ & \kaliwa| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \kaliwa| ((x)^(2))-2\kaliwa| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(align)\]

Ang lahat ng mga ito ay maaaring malutas nang literal sa isang linya ayon sa sumusunod na pamamaraan:

\[\kaliwa| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \tama.\kanan)\]

Madaling makita na aalisin natin ang module, ngunit bilang kapalit ay nakakakuha tayo ng dobleng hindi pagkakapantay-pantay (o, na parehong bagay, isang sistema ng dalawang hindi pagkakapantay-pantay). Ngunit ang paglipat na ito ay ganap na isinasaalang-alang ang lahat posibleng mga problema: kung ang numero sa ilalim ng modulus ay positibo, gumagana ang pamamaraan; kung negatibo, gumagana pa rin ito; at kahit na may pinakamaraming hindi sapat na function bilang kapalit ng $f$ o $g$, gagana pa rin ang paraan.

Naturally, ang tanong ay lumitaw: hindi ba ito mas simple? Sa kasamaang palad, hindi ito posible. Ito ang buong punto ng modyul.

Gayunpaman, sapat na sa pamimilosopo. Lutasin natin ang ilang problema:

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| 2x+3 \kanan| \lt x+7\]

Solusyon. Kaya, mayroon kaming bago sa amin ng isang klasikong hindi pagkakapantay-pantay ng anyo na "mas mababa ang modulus" - kahit na wala nang mababago. Nagtatrabaho kami ayon sa algorithm:

\[\begin(align) & \left| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \kaliwa| 2x+3 \kanan| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Huwag magmadali upang buksan ang mga panaklong na sinusundan ng isang "minus": posible na dahil sa iyong pagmamadali ay makakagawa ka ng isang nakakasakit na pagkakamali.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Ang problema ay nabawasan sa dalawang elementarya na hindi pagkakapantay-pantay. Tandaan natin ang kanilang mga solusyon sa parallel number lines:

Intersection ng marami

Ang intersection ng mga set na ito ang magiging sagot.

Sagot: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Solusyon. Ang gawaing ito ay medyo mas mahirap. Una, ihiwalay natin ang module sa pamamagitan ng paglipat ng pangalawang termino sa kanan:

\[\kaliwa| ((x)^(2))+2x-3 \kanan| \lt -3\left(x+1 \right)\]

Malinaw, mayroon kaming hindi pagkakapantay-pantay ng form na "mas maliit ang module", kaya't tinanggal namin ang module gamit ang kilalang algorithm:

\[-\kaliwa(-3\kaliwa(x+1 \kanan) \kanan) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\kaliwa(x+1 \kanan)\]

Ngayon pansinin: may magsasabi na medyo pervert ako sa lahat ng panaklong ito. Ngunit hayaan mong ipaalala ko sa iyo muli na ang aming pangunahing layunin ay wastong lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay at makuha ang sagot. Sa ibang pagkakataon, kapag ganap mong napag-aralan ang lahat ng inilarawan sa araling ito, maaari mo itong ilihis sa iyong sarili ayon sa gusto mo: buksan ang mga panaklong, magdagdag ng mga minus, atbp.

Upang magsimula, aalisin lang natin ang double minus sa kaliwa:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\kaliwa(x+1 \kanan)\]

Ngayon buksan natin ang lahat ng mga bracket sa double inequality:

Lumipat tayo sa dobleng hindi pagkakapantay-pantay. Sa pagkakataong ito ang mga kalkulasyon ay magiging mas seryoso:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( align)\kanan.\]

Ang parehong mga hindi pagkakapantay-pantay ay parisukat at maaaring malutas sa pamamagitan ng paraan ng agwat (kaya nga sinasabi ko: kung hindi mo alam kung ano ito, mas mahusay na huwag kumuha ng mga module pa). Lumipat tayo sa equation sa unang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(align)\]

Tulad ng nakikita mo, ang output ay isang hindi kumpletong quadratic equation, na maaaring malutas sa isang elementarya na paraan. Ngayon tingnan natin ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ng sistema. Doon ay kailangan mong ilapat ang teorama ni Vieta:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(align)\]

Minarkahan namin ang mga nagresultang numero sa dalawang magkatulad na linya (hiwalay para sa unang hindi pagkakapantay-pantay at hiwalay para sa pangalawa):

Muli, dahil nilulutas namin ang isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay, interesado kami sa intersection ng mga shaded set: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Ito ang sagot.

Sagot: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Sa palagay ko pagkatapos ng mga halimbawang ito ang scheme ng solusyon ay napakalinaw:

1. Ihiwalay ang module sa pamamagitan ng paglipat ng lahat ng iba pang termino sa kabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay. Kaya nakakakuha tayo ng hindi pagkakapantay-pantay ng form na $\left| f\right| \ltg$.
2. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay na ito sa pamamagitan ng pag-alis ng module ayon sa scheme na inilarawan sa itaas. Sa ilang mga punto, kakailanganing lumipat mula sa dobleng hindi pagkakapantay-pantay patungo sa isang sistema ng dalawang independiyenteng mga expression, na ang bawat isa ay maaari nang lutasin nang hiwalay.
3. Sa wakas, ang natitira na lang ay pag-intersect ang mga solusyon ng dalawang independiyenteng expression na ito - at iyon lang, makukuha natin ang huling sagot.

Mayroong katulad na algorithm para sa mga hindi pagkakapantay-pantay susunod na uri, kapag ang module ay mas malaki kaysa sa function. Gayunpaman, mayroong isang pares ng mga seryosong "ngunit". Pag-uusapan natin ang mga "ngunit" na ito ngayon.

2. Mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyong “Modulus is greater than function”

Ganito ang hitsura nila:

\[\kaliwa| f\right| \gtg\]

Katulad ng nauna? parang. Gayunpaman, ang gayong mga problema ay nalutas sa isang ganap na naiibang paraan. Sa pormal, ang scheme ay ang mga sumusunod:

\[\kaliwa| f\right| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

Sa madaling salita, isinasaalang-alang namin ang dalawang kaso:

1. Una, binabalewala lang natin ang module at lutasin ang karaniwang hindi pagkakapantay-pantay;
2. Pagkatapos, sa esensya, pinalawak namin ang module na may minus sign, at pagkatapos ay i-multiply ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay sa −1, habang mayroon akong sign.

Sa kasong ito, ang mga pagpipilian ay pinagsama sa isang square bracket, i.e. Mayroon kaming bago sa amin ng isang kumbinasyon ng dalawang mga kinakailangan.

Pakitandaan muli: hindi ito isang sistema, ngunit isang kabuuan, samakatuwid sa sagot ang mga set ay pinagsama kaysa sa intersecting. Ito pangunahing pagkakaiba mula sa nakaraang punto!

Sa pangkalahatan, maraming estudyante ang lubos na nalilito sa mga unyon at intersection, kaya't ayusin natin ang isyung ito nang minsanan:

• Ang "∪" ay isang tanda ng unyon. Sa esensya, ito ay isang naka-istilong titik na "U" na nagmula sa amin sa Ingles at isang pagdadaglat para sa "Union", i.e. "Mga Asosasyon".
• Ang "∩" ay ang intersection sign. Ang crap na ito ay hindi nagmula saanman, ngunit lumitaw lamang bilang isang counterpoint sa "∪".

Para mas madaling matandaan, iguhit lang ang mga paa sa mga palatandaang ito para gumawa ng salamin (huwag mo lang akong akusahan ngayon na nagsusulong ng pagkagumon sa droga at alkoholismo: kung seryoso mong pinag-aaralan ang araling ito, kung gayon ikaw ay adik na sa droga):

Pagkakaiba sa pagitan ng intersection at unyon ng mga set

Isinalin sa Russian, nangangahulugan ito ng sumusunod: ang unyon (kabuuan) ay kinabibilangan ng mga elemento mula sa parehong mga hanay, samakatuwid ito ay hindi mas mababa sa bawat isa sa kanila; ngunit ang intersection (system) ay kinabibilangan lamang ng mga elementong iyon na sabay-sabay sa unang set at pangalawa. Samakatuwid, ang intersection ng mga set ay hindi kailanman mas malaki kaysa sa source set.

Kaya naging mas malinaw? Iyan ay mahusay. Magpatuloy tayo sa pagsasanay.

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| 3x+1 \right| \gt 5-4x\]

Solusyon. Nagpapatuloy kami ayon sa scheme:

\[\kaliwa| 3x+1 \right| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ tama.\]

Nalutas namin ang bawat hindi pagkakapantay-pantay sa populasyon:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Minarkahan namin ang bawat resultang set sa linya ng numero, at pagkatapos ay pagsamahin ang mga ito:

Unyon ng mga hanay

Halatang halata na ang magiging sagot ay $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Sagot: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| ((x)^(2))+2x-3 \kanan| \gt x\]

Solusyon. Well? Wala - lahat ay pareho. Lumipat tayo mula sa isang hindi pagkakapantay-pantay na may isang modulus patungo sa isang set ng dalawang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| ((x)^(2))+2x-3 \kanan| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(align) \right.\]

Niresolba natin ang bawat hindi pagkakapantay-pantay. Sa kasamaang palad, ang mga ugat doon ay hindi magiging napakahusay:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(align)\]

Ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ay medyo ligaw din:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(align)\]

Ngayon ay kailangan mong markahan ang mga numerong ito sa dalawang axes - isang axis para sa bawat hindi pagkakapantay-pantay. Gayunpaman, kailangan mong markahan ang mga puntos sa tamang pagkakasunud-sunod: kaysa mas malaking bilang, lalo pang inililipat namin ang punto sa kanan.

At narito ang isang setup na naghihintay sa amin. Kung malinaw ang lahat sa mga numerong $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (ang mga termino sa numerator ng una ang fraction ay mas mababa kaysa sa mga termino sa numerator ng pangalawa , kaya mas mababa din ang kabuuan), na may mga numerong $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ hindi rin magkakaroon ng mga paghihirap (positive number obviously more negative), tapos sa huling mag-asawa ang lahat ay hindi masyadong malinaw. Alin ang mas malaki: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ o $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Ang paglalagay ng mga puntos sa mga linya ng numero at, sa katunayan, ang sagot ay depende sa sagot sa tanong na ito.

Kaya't ihambing natin:

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrix)\]

Ibinukod namin ang ugat, nakakuha ng mga di-negatibong numero sa magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay, kaya may karapatan kaming i-square ang magkabilang panig:

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrix)\]

Sa palagay ko ay walang utak na $4\sqrt(13) \gt 3$, kaya $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, ang mga huling puntos sa mga palakol ay ilalagay tulad nito:

Isang kaso ng mga pangit na ugat

Ipaalala ko sa iyo na nilulutas namin ang isang set, kaya ang sagot ay isang unyon, hindi isang intersection ng mga shaded set.

Sagot: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

Tulad ng nakikita mo, mahusay ang aming scheme para sa pareho mga simpleng gawain, at para sa mga napakahirap. Ang tanging bagay" kahinaan"Sa ganitong paraan, kailangan mong ihambing nang tama hindi nakapangangatwiran numero(at maniwala ka sa akin: ito ay hindi lamang ang mga ugat). Ngunit ang isang hiwalay (at napakaseryosong) aralin ay ilalaan sa mga isyu sa paghahambing. At magpatuloy kami.

3. Mga hindi pagkakapantay-pantay sa mga hindi negatibong "buntot"

Ngayon makarating tayo sa pinakakagiliw-giliw na bahagi. Ito ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyo:

\[\kaliwa| f\right| \gt\left| g\right|\]

Sa pangkalahatan, ang algorithm na pag-uusapan natin ngayon ay tama lamang para sa module. Gumagana ito sa lahat ng hindi pagkakapantay-pantay kung saan may mga garantisadong di-negatibong expression sa kaliwa at kanan:

Ano ang gagawin sa mga gawaing ito? Tandaan lamang:

Sa mga hindi pagkakapantay-pantay na may hindi negatibong "mga buntot", ang magkabilang panig ay maaaring itaas sa anumang natural na kapangyarihan. wala karagdagang mga paghihigpit hindi ito babangon.

Una sa lahat, magiging interesado kami sa pag-squaring - sinusunog nito ang mga module at ugat:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(align)\]

Huwag lamang malito ito sa pagkuha ng ugat ng isang parisukat:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]

Hindi mabilang na mga pagkakamali ang nagawa kapag nakalimutan ng isang mag-aaral na mag-install ng module! Ngunit iyon ay isang ganap na naiibang kuwento (parang hindi makatwiran na mga equation), kaya hindi na natin ito sasagutin ngayon. Mas mahusay na lutasin natin ang ilang mga problema:

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \right|\]

Solusyon. Agad nating pansinin ang dalawang bagay:

1. Ito ay hindi isang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay. Ang mga puntos sa linya ng numero ay mabutas.
2. Ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay ay malinaw na hindi negatibo (ito ay isang pag-aari ng module: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Samakatuwid, maaari nating parisukat ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay upang maalis ang modulus at malutas ang problema gamit ang karaniwang paraan ng pagitan:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\end(align)\]

Sa huling hakbang, dinaya ko ng kaunti: Binago ko ang pagkakasunud-sunod ng mga termino, sinasamantala ang pantay ng module (sa katunayan, pinarami ko ang expression na $1-2x$ sa −1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ kanan)\kanan)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Malutas namin gamit ang paraan ng agwat. Lumipat tayo mula sa hindi pagkakapantay-pantay patungo sa equation:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(align)\]

Markahan namin ang nahanap na mga ugat sa linya ng numero. Muli: ang lahat ng mga punto ay may kulay dahil ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit!

Pag-alis ng modulus sign

Hayaan akong ipaalala sa iyo para sa mga lalo na matigas ang ulo: kinukuha namin ang mga palatandaan mula sa huling hindi pagkakapantay-pantay, na isinulat bago lumipat sa equation. At pinipinta namin ang mga lugar na kinakailangan sa parehong hindi pagkakapantay-pantay. Sa aming kaso ito ay $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

OK tapos na ang lahat Ngayon. Ang problema ay nalutas.

Sagot: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \kanan|\]

Solusyon. Ginagawa namin ang lahat ng pareho. Hindi ako magkokomento - tingnan lamang ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon.

Kuwadrado ito:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left | ((x)^(2))+3x+4 \kanan| \kanan))^(2)); \\ at ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \kanan))^(2)); \\ at ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ kanan))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Paraan ng pagitan:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Rightarrow x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Mayroon lamang isang ugat sa linya ng numero:

Ang sagot ay isang buong pagitan

Sagot: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Isang maliit na tala tungkol sa huling gawain. Tulad ng tumpak na nabanggit ng isa sa aking mga mag-aaral, ang parehong mga submodular na expression sa hindi pagkakapantay-pantay na ito ay malinaw na positibo, kaya ang modulus sign ay maaaring tanggalin nang walang pinsala sa kalusugan.

Ngunit ito ay isang ganap na naiibang antas ng pag-iisip at ibang diskarte - maaari itong kondisyon na tinatawag na paraan ng mga kahihinatnan. Tungkol dito - sa isang hiwalay na aralin. Ngayon ay lumipat tayo sa huling bahagi ng aralin ngayon at tingnan ang isang pangkalahatang algorithm na palaging gumagana. Kahit na ang lahat ng nakaraang diskarte ay walang kapangyarihan. :)

4. Paraan ng enumeration ng mga opsyon

Paano kung ang lahat ng mga pamamaraan na ito ay hindi makakatulong? Kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi maaaring bawasan sa hindi negatibong mga buntot, kung imposibleng ihiwalay ang module, kung sa pangkalahatan ay may sakit, kalungkutan, mapanglaw?

Pagkatapos ay ang "mabigat na artilerya" ng lahat ng matematika ay dumating sa eksena-ang paraan ng brute force. Kaugnay ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa modulus, ganito ang hitsura:

1. Isulat ang lahat ng mga submodular na expression at itakda ang mga ito katumbas ng zero;
2. Lutasin ang mga resultang equation at markahan ang mga ugat na matatagpuan sa isang linya ng numero;
3. Ang tuwid na linya ay hahatiin sa ilang mga seksyon, kung saan ang bawat module ay may isang nakapirming palatandaan at samakatuwid ay katangi-tanging inihayag;
4. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay sa bawat naturang seksyon (maaari mong hiwalay na isaalang-alang ang mga ugat-hangganan na nakuha sa hakbang 2 - para sa pagiging maaasahan). Pagsamahin ang mga resulta - ito ang magiging sagot. :)

Kaya paano? mahina? Madali lang! Sa loob lamang ng mahabang panahon. Tingnan natin sa pagsasanay:

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| x+2 \kanan| \lt \kaliwa| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Solusyon. Ang crap na ito ay hindi kumukulo sa mga hindi pagkakapantay-pantay tulad ng $\left| f\right| \lt g$, $\left| f\right| \gt g$ o $\left| f\right| \lt \kaliwa| g \right|$, kaya kumilos tayo nang maaga.

Sinusulat namin ang mga submodular na expression, itinutumbas ang mga ito sa zero at hanapin ang mga ugat:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Rightarrow x=1. \\\end(align)\]

Sa kabuuan, mayroon kaming dalawang ugat na naghahati sa linya ng numero sa tatlong seksyon, kung saan ang bawat module ay natatangi:

Paghati sa linya ng numero sa pamamagitan ng mga zero ng submodular function

Tingnan natin ang bawat seksyon nang hiwalay.

1. Hayaan ang $x \lt -2$. Pagkatapos ang parehong mga submodular na expression ay negatibo, at ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay muling isusulat tulad ng sumusunod:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align)\]

Mayroon kaming medyo simpleng limitasyon. I-intersect natin ito sa paunang pagpapalagay na $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Malinaw, ang variable na $x$ ay hindi maaaring sabay na mas mababa sa −2 at mas malaki sa 1.5. Walang mga solusyon sa lugar na ito.

1.1. Isaalang-alang natin nang hiwalay ang borderline case: $x=-2$. Ipalit na lang natin ang numerong ito sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay at suriin: totoo ba ito?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \left| -3\kanan|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Malinaw na ang kadena ng mga kalkulasyon ay humantong sa amin sa isang hindi tamang hindi pagkakapantay-pantay. Samakatuwid, ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay mali rin, at ang $x=-2$ ay hindi kasama sa sagot.

2. Hayaan ngayon $-2 \lt x \lt 1$. Magbubukas na ang kaliwang module na may "plus", ngunit ang kanan ay magbubukas pa rin ng "minus". Meron kami:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(align)\]

Muli kaming bumalandra sa orihinal na kinakailangan:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

At muli, ang hanay ng mga solusyon ay walang laman, dahil walang mga numero na parehong mas mababa sa −2.5 at mas malaki sa −2.

2.1. At muli isang espesyal na kaso: $x=1$. Pinapalitan namin ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \left| 3\kanan| \lt \kaliwa| 0\kanan|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0.5; \\ & 3 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Katulad ng nakaraang "espesyal na kaso", ang numerong $x=1$ ay malinaw na hindi kasama sa sagot.

3. Ang huling piraso ng linya: $x \gt 1$. Narito ang lahat ng mga module ay binuksan na may plus sign:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

At muli naming i-intersect ang natagpuang set na may orihinal na pagpilit:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

Sa wakas! Nakahanap kami ng pagitan na magiging sagot.

Sagot: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Sa wakas, isang pangungusap na maaaring magligtas sa iyo mula sa mga hangal na pagkakamali kapag nilulutas ang mga tunay na problema:

Ang mga solusyon sa mga hindi pagkakapantay-pantay na may moduli ay karaniwang kumakatawan sa mga tuluy-tuloy na hanay sa linya ng numero - mga pagitan at mga segment. Ang mga nakahiwalay na punto ay hindi gaanong karaniwan. At kahit na mas madalas, nangyayari na ang hangganan ng solusyon (ang dulo ng segment) ay tumutugma sa hangganan ng saklaw na isinasaalang-alang.

Dahil dito, kung ang mga hangganan (ang parehong "mga espesyal na kaso") ay hindi kasama sa sagot, kung gayon ang mga lugar sa kaliwa at kanan ng mga hangganan na ito ay halos tiyak na hindi isasama sa sagot. At kabaliktaran: ang hangganan ay pumasok sa sagot, na nangangahulugan na ang ilang mga lugar sa paligid nito ay magiging mga sagot din.

Isaisip ito kapag sinusuri ang iyong mga solusyon.

Modulus ng mga numero ang numerong ito mismo ay tinatawag kung ito ay hindi negatibo, o ang parehong numero sa kabaligtaran ng tanda, kung ito ay negatibo.

Halimbawa, ang modulus ng numero 6 ay 6, at ang modulus ng numero -6 ay 6 din.

Iyon ay, ang modulus ng isang numero ay nauunawaan bilang isang ganap na halaga, ganap na halaga ang numerong ito nang hindi isinasaalang-alang ang tanda nito.

Ito ay itinalaga bilang mga sumusunod: |6|, | X|, |A| atbp.

(Higit pang mga detalye sa seksyong “Number module”).

Mga equation na may modulus.

Halimbawa 1 . Lutasin ang equation|10 X - 5| = 15.

Solusyon.

Ayon sa panuntunan, ang equation ay katumbas ng kumbinasyon ng dalawang equation:

10X - 5 = 15
10X - 5 = -15

Nagpasya kami:

10X = 15 + 5 = 20
10X = -15 + 5 = -10

X = 20: 10
X = -10: 10

X = 2
X = -1

Sagot: X 1 = 2, X 2 = -1.

Halimbawa 2 . Lutasin ang equation|2 X + 1| = X + 2.

Solusyon.

Dahil ang modulus ay isang di-negatibong numero, kung gayon X+ 2 ≥ 0. Alinsunod dito:

X ≥ -2.

Gumawa tayo ng dalawang equation:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -(X + 2)

Nagpasya kami:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -X - 2

2X - X = 2 - 1
2X + X = -2 - 1

X = 1
X = -1

Ang parehong mga numero ay mas malaki kaysa sa -2. Kaya pareho ang mga ugat ng equation.

Sagot: X 1 = -1, X 2 = 1.

Halimbawa 3 . Lutasin ang equation

|X + 3| - 1
————— = 4
X - 1

Solusyon.

Ang equation ay may katuturan kung ang denominator ay hindi zero - ibig sabihin ay kung X≠ 1. Isaalang-alang natin ang kundisyong ito. Ang aming unang aksyon ay simple - hindi lamang namin inaalis ang fraction, ngunit binabago ito upang makuha ang module sa dalisay nitong anyo:

|X+ 3| - 1 = 4 · ( X - 1),

|X + 3| - 1 = 4X - 4,

|X + 3| = 4X - 4 + 1,

|X + 3| = 4X - 3.

Ngayon mayroon na lamang tayong expression sa ilalim ng modulus sa kaliwang bahagi ng equation. Sige lang.
Ang modulus ng isang numero ay isang hindi negatibong numero - iyon ay, dapat itong mas malaki sa zero o katumbas ng zero. Alinsunod dito, nalulutas namin ang hindi pagkakapantay-pantay:

4X - 3 ≥ 0

4X ≥ 3

X ≥ 3/4

Kaya, mayroon tayong pangalawang kundisyon: ang ugat ng equation ay dapat na hindi bababa sa 3/4.

Alinsunod sa panuntunan, bumubuo kami ng isang hanay ng dalawang equation at lutasin ang mga ito:

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -(4X - 3)

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -4X + 3

X - 4X = -3 - 3
X + 4X = 3 - 3

X = 2
X = 0

Nakatanggap kami ng dalawang sagot. Suriin natin kung sila ay mga ugat ng orihinal na equation.

Mayroon kaming dalawang kundisyon: ang ugat ng equation ay hindi maaaring katumbas ng 1, at ito ay dapat na hindi bababa sa 3/4. Yan ay X ≠ 1, X≥ 3/4. Pareho sa mga kundisyong ito ay tumutugma sa isa lamang sa dalawang sagot na natanggap - ang numero 2. Nangangahulugan ito na ito lamang ang ugat ng orihinal na equation.

Sagot: X = 2.

Mga hindi pagkakapantay-pantay sa modulus.

Halimbawa 1 . Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay| X - 3| < 4

Solusyon.

Ang panuntunan ng module ay nagsasaad:

|A| = A, Kung A ≥ 0.

|A| = -A, Kung A < 0.

Ang module ay maaaring magkaroon ng parehong di-negatibo at negatibong mga numero. Kaya dapat nating isaalang-alang ang parehong mga kaso: X- 3 ≥ 0 at X - 3 < 0.

1) Kailan X- 3 ≥ 0 ang aming orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay nananatiling tulad nito, tanging walang modulus sign:
X - 3 < 4.

2) Kailan X - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(X - 3) < 4.

Pagbukas ng mga bracket, nakukuha namin:

-X + 3 < 4.

Kaya, mula sa dalawang kundisyong ito ay napunta tayo sa pag-iisa ng dalawang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay:

X - 3 ≥ 0
X - 3 < 4

X - 3 < 0
-X + 3 < 4

Lutasin natin ang mga ito:

X ≥ 3
X < 7

X < 3
X > -1

Kaya, ang aming sagot ay isang unyon ng dalawang set:

3 ≤ X < 7 U -1 < X < 3.

Tukuyin ang pinakamaliit at pinakamataas na halaga. Ito ay -1 at 7. Bukod dito X mas malaki sa -1 ngunit mas mababa sa 7.
Bukod sa, X≥ 3. Nangangahulugan ito na ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay ang buong hanay ng mga numero mula -1 hanggang 7, hindi kasama ang mga matinding numerong ito.

Sagot: -1 < X < 7.

O kaya: X ∈ (-1; 7).

Mga add-on.

1) May isang mas simple at mas maikling paraan upang malutas ang aming hindi pagkakapantay-pantay - graphical. Upang gawin ito, kailangan mong gumuhit ng pahalang na axis (Larawan 1).

Pagpapahayag | X - 3| < 4 означает, что расстояние от точки X hanggang point 3 ay mas mababa sa apat na unit. Minarkahan namin ang numero 3 sa axis at binibilang ang 4 na dibisyon sa kaliwa at sa kanan nito. Sa kaliwa ay darating tayo sa punto -1, sa kanan - sa puntong 7. Kaya, ang mga puntos X nakita lang namin sila ng hindi kinukwenta.

Bukod dito, ayon sa kondisyon ng hindi pagkakapantay-pantay, ang -1 at 7 mismo ay hindi kasama sa hanay ng mga solusyon. Kaya, nakuha namin ang sagot:

1 < X < 7.

2) Ngunit may isa pang solusyon na mas simple kaysa sa graphical na pamamaraan. Upang gawin ito, ang aming hindi pagkakapantay-pantay ay dapat ipakita sa sumusunod na anyo:

4 < X - 3 < 4.

Pagkatapos ng lahat, ito ay kung paano ito ayon sa panuntunan ng modulus. Ang di-negatibong numero 4 at ang katulad na negatibong numero -4 ay ang mga hangganan para sa paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay.

4 + 3 < X < 4 + 3

1 < X < 7.

Halimbawa 2 . Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay| X - 2| ≥ 5

Solusyon.

Ang halimbawang ito ay makabuluhang naiiba mula sa nauna. Kaliwang bahagi higit sa 5 o katumbas ng 5. Mula sa isang geometric na punto ng view, ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay ang lahat ng mga numero na nasa layo na 5 unit o higit pa mula sa punto 2 (Fig. 2). Ang graph ay nagpapakita na ang mga ito ay ang lahat ng mga numero na mas mababa sa o katumbas ng -3 at mas malaki kaysa sa o katumbas ng 7. Nangangahulugan ito na natanggap na natin ang sagot.

Sagot: -3 ≥ X ≥ 7.

Sa kahabaan ng paraan, malulutas namin ang parehong hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng muling pagsasaayos ng libreng termino sa kaliwa at sa kanan na may kabaligtaran na palatandaan:

5 ≥ X - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ X ≥ 5 + 2

Ang sagot ay pareho: -3 ≥ X ≥ 7.

O kaya: X ∈ [-3; 7]

Ang halimbawa ay nalutas.

Halimbawa 3 . Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay 6 X 2 - | X| - 2 ≤ 0

Solusyon.

Numero X siguro positibong numero, parehong negatibo at zero. Samakatuwid, kailangan nating isaalang-alang ang lahat ng tatlong mga pangyayari. Tulad ng alam mo, ang mga ito ay isinasaalang-alang sa dalawang hindi pagkakapantay-pantay: X≥ 0 at X < 0. При X≥ 0 isinusulat lang namin ang aming orihinal na hindi pagkakapantay-pantay, kung wala lang ang modulus sign:

6x 2 - X - 2 ≤ 0.

Ngayon tungkol sa pangalawang kaso: kung X < 0. Модулем negatibong numero ay ang parehong numero na may kabaligtaran na tanda. Iyon ay, isinusulat namin ang numero sa ilalim ng modulus na may kabaligtaran na tanda at muling palayain ang ating sarili mula sa modulus sign:

6X 2 - (-X) - 2 ≤ 0.

Pagpapalawak ng mga bracket:

6X 2 + X - 2 ≤ 0.

Kaya, nakatanggap kami ng dalawang sistema ng mga equation:

6X 2 - X - 2 ≤ 0
X ≥ 0

6X 2 + X - 2 ≤ 0
X < 0

Kailangan nating lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay sa mga sistema - at nangangahulugan ito na kailangan nating hanapin ang mga ugat ng dalawang quadratic equation. Upang gawin ito, itinutumbas namin ang kaliwang bahagi ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa zero.

Magsimula tayo sa una:

6X 2 - X - 2 = 0.

Paano malutas ang isang quadratic equation - tingnan ang seksyong "Quadratic Equation". Papangalanan namin kaagad ang sagot:

X 1 = -1/2, x 2 = 2/3.

Mula sa unang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay ay nakuha natin na ang solusyon sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay ang buong hanay ng mga numero mula -1/2 hanggang 2/3. Isinulat namin ang unyon ng mga solusyon sa X ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

Ngayon lutasin natin ang pangalawang quadratic equation:

6X 2 + X - 2 = 0.

Ang mga ugat nito:

X 1 = -2/3, X 2 = 1/2.

Konklusyon: kailan X < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

Pagsamahin natin ang dalawang sagot at makuha ang panghuling sagot: ang solusyon ay ang buong hanay ng mga numero mula -2/3 hanggang 2/3, kasama ang mga matinding numerong ito.

Sagot: -2/3 ≤ X ≤ 2/3.

O kaya: X ∈ [-2/3; 2/3].

Mathematics ay isang simbolo ng karunungan ng agham,

isang modelo ng siyentipikong higpit at pagiging simple,

ang pamantayan ng kahusayan at kagandahan sa agham.

Russian pilosopo, propesor A.V. Voloshinov

Mga hindi pagkakapantay-pantay sa modulus

Ang pinakamahirap na problemang lutasin sa matematika ng paaralan ay ang mga hindi pagkakapantay-pantay, naglalaman ng mga variable sa ilalim ng modulus sign. Upang matagumpay na malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay, kailangan mong magkaroon ng isang mahusay na kaalaman sa mga katangian ng modyul at magkaroon ng mga kasanayan sa paggamit ng mga ito.

Mga pangunahing konsepto at katangian

Modulus (ganap na halaga) ng isang tunay na numero ipinapahiwatig ng at tinukoy bilang mga sumusunod:

Ang mga simpleng katangian ng isang module ay kinabibilangan ng mga sumusunod na relasyon:

AT .

Tandaan, na ang huling dalawang pag-aari ay may bisa para sa anumang kahit na antas.

Bukod dito, kung, saan, pagkatapos at

Mas kumplikadong mga katangian ng module, na mabisang magagamit sa paglutas ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay sa moduli, ay nabuo sa pamamagitan ng mga sumusunod na theorems:

Teorama 1.Para sa anumang analytical function At totoo ang hindi pagkakapantay-pantay.

Teorama 2. Pagkakapantay-pantay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay.

Teorama 3. Pagkakapantay-pantay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay.

Ang pinakakaraniwang hindi pagkakapantay-pantay sa matematika ng paaralan, naglalaman ng mga hindi kilalang variable sa ilalim ng modulus sign, ay mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyo at saan ilang positibong pare-pareho.

Teorama 4. Hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng dobleng hindi pagkakapantay-pantay, at ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantaybumababa sa paglutas ng isang hanay ng mga hindi pagkakapantay-pantay At .

Ang theorem na ito ay isang espesyal na kaso ng Theorems 6 at 7.

Mas kumplikadong hindi pagkakapantay-pantay, na naglalaman ng isang module ay hindi pagkakapantay-pantay ng form, At .

Ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring buuin gamit ang sumusunod na tatlong teorema.

Teorama 5. Hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng kumbinasyon ng dalawang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay

ako (1)

Patunay. Simula noon

Ito ay nagpapahiwatig ng bisa ng (1).

Teorama 6. Hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay

Patunay. kasi , pagkatapos ay mula sa hindi pagkakapantay-pantay sinusundan iyon . Sa ilalim ng kondisyong ito, ang hindi pagkakapantay-pantayat sa kasong ito ang pangalawang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay (1) ay lalabas na hindi naaayon.

Ang teorama ay napatunayan.

Teorama 7. Hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng kumbinasyon ng isang hindi pagkakapantay-pantay at dalawang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay

ako (3)

Patunay. Dahil , pagkatapos ay ang hindi pagkakapantay-pantay palaging pinapatay, Kung .

Hayaan mo, pagkatapos ay hindi pagkakapantay-pantayay magiging katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay, mula sa kung saan ay sumusunod sa isang set ng dalawang hindi pagkakapantay-pantay At .

Ang teorama ay napatunayan.

Tingnan natin ang mga karaniwang halimbawa ng paglutas ng mga problema sa paksang “Hindi pagkakapantay-pantay, naglalaman ng mga variable sa ilalim ng modulus sign."

Paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay gamit ang modulus

Karamihan simpleng paraan Ang paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa modulus ay ang pamamaraan, batay sa pagpapalawak ng modyul. Ang pamamaraang ito ay pangkalahatan, gayunpaman, sa pangkalahatang kaso, ang paggamit nito ay maaaring humantong sa napakahirap na kalkulasyon. Samakatuwid, dapat malaman ng mga mag-aaral ang iba pang (mas epektibong) pamamaraan at pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay. Sa partikular, kinakailangang magkaroon ng mga kasanayan sa paglalapat ng mga teorema, ibinigay sa artikulong ito.

Halimbawa 1.Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay

. (4)

Solusyon.Lutasin natin ang hindi pagkakapantay-pantay (4) gamit ang "klasikal" na pamamaraan - ang paraan ng paglalahad ng mga module. Para sa layuning ito, hinahati namin ang axis ng numero tuldok at sa pagitan at isaalang-alang ang tatlong mga kaso.

1. Kung , kung gayon , , , at ang hindi pagkakapantay-pantay (4) ay nasa anyo o kaya .

Dahil ang kaso ay isinasaalang-alang dito, ito ay isang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay (4).

2. Kung, pagkatapos ay mula sa hindi pagkakapantay-pantay (4) makuha namin o . Dahil ang intersection ng mga pagitan At ay walang laman, pagkatapos ay sa pagitan ng mga solusyon na isinasaalang-alang walang hindi pagkakapantay-pantay (4).

3. Kung, pagkatapos ay ang hindi pagkakapantay-pantay (4) ay nasa anyo o kaya . Obvious naman yun ay isa ring solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay (4).

Sagot: , .

Halimbawa 2. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay.

Solusyon. Ipagpalagay natin na. kasi , pagkatapos ay ang ibinigay na hindi pagkakapantay-pantay ay tumatagal ng anyo o kaya . Simula noon at mula rito ay sumusunod o kaya .

Gayunpaman, samakatuwid o.

Halimbawa 3. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay

. (5)

Solusyon. kasi , kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay (5) ay katumbas ng mga hindi pagkakapantay-pantay o kaya . Mula rito, ayon sa Theorem 4, mayroon tayong isang hanay ng mga hindi pagkakapantay-pantay At .

Sagot: , .

Halimbawa 4.Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay

. (6)

Solusyon. Tukuyin natin ang . Pagkatapos mula sa hindi pagkakapantay-pantay (6) nakukuha natin ang mga hindi pagkakapantay-pantay , , o .

Mula rito, gamit ang paraan ng pagitan, nakukuha namin . kasi , tapos dito meron tayong system of inequalities

Ang solusyon sa unang hindi pagkakapantay-pantay ng sistema (7) ay ang pagsasama ng dalawang pagitan at , at ang solusyon sa pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ay ang dobleng hindi pagkakapantay-pantay. Ito ay nagpapahiwatig , na ang solusyon sa sistema ng hindi pagkakapantay-pantay (7) ay ang pagsasama ng dalawang pagitan At .

Sagot: ,

Halimbawa 5.Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay

. (8)

Solusyon. Ibahin natin ang hindi pagkakapantay-pantay (8) gaya ng sumusunod:

O kaya .

Gamit ang paraan ng pagitan, nakakakuha tayo ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay (8).

Sagot: .

Tandaan. Kung ilalagay natin at sa mga kondisyon ng Theorem 5, makukuha natin .

Halimbawa 6. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay

. (9)

Solusyon. Mula sa hindi pagkakapantay-pantay (9) ito ay sumusunod. Ibahin natin ang hindi pagkakapantay-pantay (9) gaya ng sumusunod:

O kaya

Mula noon o .

Sagot: .

Halimbawa 7.Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay

. (10)

Solusyon. Simula at , noon o .

Sa bagay na ito at ang hindi pagkakapantay-pantay (10) ay nasa anyo

O kaya

. (11)

Kasunod nito o . Since , then inequality (11) also implies or .

Sagot: .

Tandaan. Kung ilalapat natin ang Theorem 1 sa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay (10), pagkatapos makuha namin . Mula dito at hindi pagkakapantay-pantay (10) ito ay sumusunod, ano o . kasi , pagkatapos ang hindi pagkakapantay-pantay (10) ay kinuha ang anyo o kaya .

Halimbawa 8. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay

. (12)

Solusyon. Simula noon at mula sa hindi pagkakapantay-pantay (12) ito ay sumusunod o kaya . Gayunpaman, samakatuwid o. Mula dito nakukuha natin o .

Sagot: .

Halimbawa 9. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay

. (13)

Solusyon. Ayon sa Theorem 7, ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay (13) ay o .

Hayaan mo na ngayon. Sa kasong ito at ang hindi pagkakapantay-pantay (13) ay nasa anyo o kaya .

Kung pagsasamahin mo ang mga pagitan at , pagkatapos ay makakakuha tayo ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay (13) ng anyo.

Halimbawa 10. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay

. (14)

Solusyon. Isulat muli natin ang hindi pagkakapantay-pantay (14) sa isang katumbas na anyo: . Kung ilalapat natin ang Theorem 1 sa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay na ito, makukuha natin ang hindi pagkakapantay-pantay .

Mula dito at mula sa Theorem 1 ito ay sumusunod, na ang hindi pagkakapantay-pantay (14) ay nasiyahan para sa anumang mga halaga.

Sagot: anumang numero.

Halimbawa 11. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay

. (15)

Solusyon. Paglalapat ng Theorem 1 sa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay (15), nakukuha namin . Ito at ang hindi pagkakapantay-pantay (15) ay nagbubunga ng equation, na may anyo.

Ayon sa Theorem 3, ang equation katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay. Mula dito nakukuha natin.

Halimbawa 12.Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay

. (16)

Solusyon. Mula sa hindi pagkakapantay-pantay (16), ayon sa Theorem 4, nakakakuha tayo ng isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay

Kapag nilulutas ang hindi pagkakapantay-pantayGamitin natin ang Theorem 6 at kumuha ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantaykung saan ito sumusunod.

Isaalang-alang ang hindi pagkakapantay-pantay. Ayon sa Theorem 7, nakakakuha tayo ng isang hanay ng mga hindi pagkakapantay-pantay At . Ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ng populasyon ay may bisa para sa anumang tunay.

Samakatuwid, ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay (16) ay.

Halimbawa 13.Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay

. (17)

Solusyon. Ayon sa Theorem 1, maaari tayong sumulat

(18)

Isinasaalang-alang ang hindi pagkakapantay-pantay (17), napagpasyahan namin na ang parehong hindi pagkakapantay-pantay (18) ay nagiging mga pagkakapantay-pantay, i.e. mayroong isang sistema ng mga equation

Sa pamamagitan ng Theorem 3 ang sistemang ito ang mga equation ay katumbas ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay

o

Halimbawa 14.Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay

. (19)

Solusyon. Simula noon. I-multiply natin ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay (19) sa pamamagitan ng expression, na para sa anumang mga halaga ay tumatagal lamang mga positibong halaga. Pagkatapos ay nakakakuha tayo ng hindi pagkakapantay-pantay na katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay (19), ng anyo

Mula dito kami kumukuha o , saan . Simula at kung gayon ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay (19) ay At .

Sagot: , .

Para sa isang mas malalim na pag-aaral ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay gamit ang isang modulus, inirerekumenda namin na bumaling sa mga aklat-aralin, ibinigay sa listahan ng mga inirerekomendang literatura.

1. Koleksyon ng mga problema sa matematika para sa mga aplikante sa mga kolehiyo / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Kapayapaan at Edukasyon, 2013. – 608 p.

2. Suprun V.P. Matematika para sa mga mag-aaral sa high school: mga paraan ng paglutas at pagpapatunay ng mga hindi pagkakapantay-pantay. – M.: Lenand / URSS, 2018. – 264 p.

3. Suprun V.P. Matematika para sa mga mag-aaral sa high school: di-karaniwang mga pamamaraan pagtugon sa suliranin. – M.: CD “Librocom” / URSS, 2017. – 296 p.

May mga tanong pa ba?

Upang makakuha ng tulong mula sa isang tutor, magparehistro.

website, kapag kumukopya ng materyal nang buo o bahagi, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.

Ang mga pamamaraan (mga panuntunan) para sa pagsisiwalat ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa mga module ay binubuo sa sunud-sunod na pagsisiwalat ng mga module, gamit ang mga pagitan ng pare-parehong pag-sign ng mga submodular na function. Sa huling bersyon, maraming mga hindi pagkakapantay-pantay ang nakuha kung saan matatagpuan ang mga pagitan o pagitan na nakakatugon sa mga kondisyon ng problema.

Magpatuloy tayo sa paglutas ng mga karaniwang halimbawa sa pagsasanay.

Mga linear na hindi pagkakapantay-pantay sa moduli

Ang ibig sabihin ng linear ay mga equation kung saan ang isang variable ay pumapasok sa equation nang linearly.

Halimbawa 1. Humanap ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay

Solusyon:
Mula sa mga kondisyon ng problema, sumusunod na ang mga module ay nagiging zero sa x=-1 at x=-2. Hinahati ng mga puntong ito ang linya ng numero sa mga pagitan

Sa bawat isa sa mga agwat na ito, nalulutas namin ang ibinigay na hindi pagkakapantay-pantay. Upang gawin ito, una sa lahat, gumuhit kami ng mga graphical na guhit ng mga lugar ng pare-pareho ang pag-sign ng mga submodular na pag-andar. Ang mga ito ay inilalarawan bilang mga lugar na may mga palatandaan ng bawat isa sa mga function

o mga agwat na may mga palatandaan ng lahat ng mga function.

Sa unang pagitan ay pinalawak namin ang mga module

I-multiply namin ang magkabilang panig sa minus one, at ang pag-sign sa hindi pagkakapantay-pantay ay magbabago sa kabaligtaran. Kung mahirap para sa iyo na masanay ang panuntunang ito, maaari mong ilipat ang bawat bahagi sa likod ng karatula upang maalis ang minus. Sa huli matatanggap mo

Ang intersection ng set x>-3 sa lugar kung saan nalutas ang mga equation ay ang pagitan (-3;-2). Para sa mga mas madaling makahanap ng mga solusyon, maaari mong graphical na iguhit ang intersection ng mga lugar na ito

Ang karaniwang intersection ng mga lugar ang magiging solusyon. Kung mahigpit na hindi pantay, ang mga gilid ay hindi kasama. Kung hindi mahigpit, suriin sa pamamagitan ng pagpapalit.

Sa pangalawang pagitan makuha namin

Ang cross section ay ang pagitan (-2;-5/3). Graphically ang magiging hitsura ng solusyon

Sa ikatlong pagitan makuha namin

Ang kundisyong ito ay hindi nagbibigay ng mga solusyon sa nais na rehiyon.

Dahil ang dalawang solusyon ay natagpuan (-3;-2) at (-2;-5/3) na hangganan sa puntong x=-2, sinusuri din namin ito.

Kaya ang puntong x=-2 ay ang solusyon. Karaniwang desisyon isinasaalang-alang ito ay magmumukhang (-3;5/3).

Halimbawa 2. Humanap ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay
|x-2|-|x-3|>=|x-4|

Solusyon:
Ang mga zero ng submodular function ay ang mga puntos na x=2, x=3, x=4. Para sa mga halaga ng argumento na mas mababa sa mga puntong ito, ang mga submodular na function ay negatibo, at para sa mas malalaking halaga, sila ay positibo.

Hinahati ng mga puntos ang totoong axis sa apat na pagitan. Pinapalawak namin ang mga module ayon sa mga pagitan ng pare-parehong pag-sign at lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay.

1) Sa unang agwat, ang lahat ng mga submodular na function ay negatibo, kaya kapag pinalawak ang mga module, binabago namin ang sign sa kabaligtaran.

Ang intersection ng mga nahanap na halaga ng x na may isinasaalang-alang na pagitan ay magiging isang hanay ng mga puntos

2) Sa pagitan ng mga puntos na x=2 at x=3, ang unang submodular function ay positibo, ang pangalawa at pangatlo ay negatibo. Ang pagpapalawak ng mga module, nakukuha namin

isang hindi pagkakapantay-pantay na, kapag na-intersect sa pagitan ng kung saan tayo ay nilulutas, ay nagbibigay ng isang solusyon - x=3.

3) Sa pagitan ng mga puntos na x=3 at x=4, ang una at pangalawang submodular na function ay positibo, at ang pangatlo ay negatibo. Batay dito nakukuha natin

Ang kundisyong ito ay nagpapakita na ang buong pagitan ay masisiyahan ang hindi pagkakapantay-pantay sa moduli.

4) Para sa mga halaga ng x>4 lahat ng mga function ay may mga positibong palatandaan. Kapag nagpapalawak ng mga module, hindi namin binabago ang kanilang sign.

Ang nahanap na kondisyon sa intersection na may pagitan ay nagbibigay ng sumusunod na hanay ng mga solusyon

Dahil ang hindi pagkakapantay-pantay ay nalutas sa lahat ng mga pagitan, nananatili itong hanapin ang karaniwang halaga ng lahat ng nahanap na halaga ng x. Ang solusyon ay magiging dalawang pagitan

Ito ay nagtatapos sa halimbawa.

Halimbawa 3. Humanap ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay
||x-1|-5|>3-2x

Solusyon:
Mayroon kaming hindi pagkakapantay-pantay sa modulus mula sa modulus. Ang ganitong mga hindi pagkakapantay-pantay ay ipinahayag habang ang mga module ay nakapugad, simula sa mga mas malalim na matatagpuan.

Ang submodular function na x-1 ay na-convert sa zero sa x=1 . Para sa mas maliliit na halaga na lampas sa 1 ito ay negatibo at positibo para sa x>1. Batay dito, pinalawak namin ang panloob na module at isinasaalang-alang ang hindi pagkakapantay-pantay sa bawat isa sa mga pagitan.

Una, isaalang-alang ang pagitan mula sa minus infinity hanggang sa isa

Ang submodular function ay zero sa x=-4 . Sa mas maliit na halaga ito ay positibo, sa mas malaking halaga ito ay negatibo. Palawakin natin ang modyul para sa x<-4:

Sa intersection sa lugar kung saan namin isinasaalang-alang, nakakakuha kami ng isang hanay ng mga solusyon

Ang susunod na hakbang ay palawakin ang module sa pagitan (-4;1)

Isinasaalang-alang ang lugar ng pagpapalawak ng module, nakuha namin ang agwat ng solusyon

TANDAAN: kung sa gayong mga iregularidad sa mga module ay nakakakuha ka ng dalawang pagitan na may hangganan sa isang karaniwang punto, kung gayon, bilang panuntunan, ito rin ay isang solusyon.

Upang gawin ito, kailangan mo lamang suriin.

Sa kasong ito, pinapalitan natin ang puntong x=-4.

Kaya x=-4 ang solusyon.
Palawakin natin ang panloob na module para sa x>1

Submodular function na negatibo para sa x<6.
Pagpapalawak ng module na nakuha namin

Ang kundisyong ito sa seksyong may pagitan (1;6) ay nagbibigay ng walang laman na hanay ng mga solusyon.

Para sa x>6 nakukuha namin ang hindi pagkakapantay-pantay

Ang paglutas din ay nakakuha kami ng isang walang laman na set.
Isinasaalang-alang ang lahat ng nasa itaas, ang tanging solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay sa mga module ay ang susunod na agwat.

Mga hindi pagkakapantay-pantay sa moduli na naglalaman ng mga quadratic equation

Halimbawa 4. Humanap ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay
|x^2+3x|>=2-x^2

Solusyon:
Ang submodular function ay naglalaho sa mga puntong x=0, x=-3. Simpleng pagpapalit ng minus one

itinatag namin na ito ay mas mababa sa zero sa pagitan (-3;0) at positibong lampas dito.
Palawakin natin ang module sa mga lugar kung saan positibo ang submodular function

Ito ay nananatiling upang matukoy ang mga rehiyon kung saan ang square function ay positibo. Upang gawin ito, tinutukoy namin ang mga ugat quadratic equation

Para sa kaginhawahan, pinapalitan namin ang puntong x=0, na kabilang sa pagitan (-2;1/2). Ang function ay negatibo sa pagitan na ito, na nangangahulugang ang solusyon ay ang mga sumusunod na set x

Narito ang mga gilid ng mga lugar na may mga solusyon ay ipinahiwatig ng mga bracket; ito ay sinadya, na isinasaalang-alang ang sumusunod na panuntunan.

TANDAAN: Kung ang isang hindi pagkakapantay-pantay na may moduli, o isang simpleng hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit, kung gayon ang mga gilid ng mga nahanap na lugar ay hindi mga solusyon, ngunit kung ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit (), kung gayon ang mga gilid ay mga solusyon (na tinutukoy ng mga square bracket).

Ang panuntunang ito ay ginagamit ng maraming mga guro: kung ang isang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ay ibinigay, at sa panahon ng mga kalkulasyon magsulat ka ng isang parisukat na bracket ([,]) sa solusyon, awtomatiko nilang ituturing na ito ay isang hindi tamang sagot. Gayundin, kapag sinusubukan, kung ang isang hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay sa mga module ay ibinigay, pagkatapos ay maghanap ng mga lugar na may mga square bracket sa mga solusyon.

Sa pagitan (-3;0), pagpapalawak ng module, binago namin ang sign ng function sa kabaligtaran

Isinasaalang-alang ang lugar ng pagsisiwalat ng hindi pagkakapantay-pantay, ang solusyon ay magkakaroon ng form

Kasama ang nakaraang lugar na ito ay magbibigay ng dalawang kalahating pagitan

Halimbawa 5. Humanap ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay
9x^2-|x-3|>=9x-2

Solusyon:
Ang isang hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ay ibinibigay na ang submodular function ay katumbas ng zero sa puntong x=3. Para sa mas maliit na halaga ito ay negatibo, para sa mas malaking halaga ito ay positibo. Palawakin ang modyul sa pagitan ng x<3.

Paghahanap ng discriminant ng equation

at mga ugat

Ang pagpapalit ng point zero, nalaman natin na sa pagitan [-1/9;1] ang quadratic function ay negatibo, samakatuwid ang interval ay isang solusyon. Susunod na palawakin namin ang module sa x>3