Kahulugan 1. Prime number− ito natural na numero higit sa isa, na nahahati lamang sa sarili at 1.

Sa madaling salita, ang isang numero ay prime kung mayroon lamang itong dalawang natatanging natural na divisors.

Kahulugan 2. Anumang natural na numero na may iba pang divisors bukod sa sarili nito at isa ay tinatawag isang pinagsama-samang numero.

Sa madaling salita, ang mga natural na numero na hindi prime number ay tinatawag na composite numbers. Mula sa Depinisyon 1 ito ay sumusunod na pinagsama-samang numero ay may higit sa dalawang natural na divisors. Ang numero 1 ay hindi prime o composite dahil ay mayroon lamang isang divisor 1 at, bilang karagdagan, maraming theorems tungkol sa mga pangunahing numero walang puwang para sa isa.

Mula sa Mga Kahulugan 1 at 2, sumusunod na ang bawat positibong integer na higit sa 1 ay alinman sa isang prime number o isang composite na numero.

Nasa ibaba ang isang programa upang ipakita ang mga pangunahing numero hanggang sa 5000. Punan ang mga cell, mag-click sa pindutang "Lumikha" at maghintay ng ilang segundo.

Pangunahing talahanayan ng mga numero

Pahayag 1. Kung p- prime number at a anumang integer, pagkatapos ay alinman a hinati ng p, o p At a mga numero ng coprime.

Talaga. Kung p Ang prime number ay nahahati lamang sa sarili nito at 1 kung a hindi mahahati ng p, pagkatapos ay ang pinakamalaking karaniwang divisor a At p ay katumbas ng 1. Pagkatapos p At a mga numero ng coprime.

Pahayag 2. Kung ang produkto ng ilang bilang ng mga numero a 1 , a 2 , a 3, ... ay nahahati sa isang prime number p, pagkatapos ay ayon kahit na isa sa mga numero a 1 , a 2 , a 3, ... nahahati ng p.

Talaga. Kung wala sa mga numero ang nahahati ng p, pagkatapos ay ang mga numero a 1 , a 2 , a 3, ... ay magiging mga coprime na numero na may kinalaman sa p. Ngunit mula sa Corollary 3 () sumusunod na ang kanilang produkto a 1 , a 2 , a 3, ... ay relatibong prime din sa paggalang sa p, na sumasalungat sa kondisyon ng pahayag. Samakatuwid kahit isa sa mga numero ay nahahati sa p.

Teorama 1. Ang anumang pinagsama-samang numero ay maaaring palaging kinakatawan at, higit pa rito, ang tanging paraan bilang isang produkto ng isang may hangganang bilang ng mga prime number.

Patunay. Hayaan k composite number, at hayaan a Ang 1 ay isa sa mga divisors nito na naiiba sa 1 at mismo. Kung a Ang 1 ay pinagsama-sama, pagkatapos ay may karagdagan sa 1 at a 1 at isa pang divisor a 2. Kung a Ang 2 ay isang pinagsama-samang numero, pagkatapos ay mayroon itong, bilang karagdagan sa 1 at a 2 at isa pang divisor a 3. Nangangatuwiran sa ganitong paraan at isinasaalang-alang na ang mga numero a 1 , a 2 , a 3 , ... bumaba at ang seryeng ito ay naglalaman ng isang may hangganang bilang ng mga termino, maaabot natin ang ilang prime number p 1 . Pagkatapos k maaaring katawanin sa anyo

Ipagpalagay na mayroong dalawang decomposition ng isang numero k:

kasi k=p 1 p 2 p 3... nahahati sa isang prime number q 1, pagkatapos ay hindi bababa sa isa sa mga kadahilanan, halimbawa p 1 ay mahahati ng q 1 . Pero p Ang 1 ay isang prime number at nahahati lang ng 1 at mismo. Kaya naman p 1 =q 1 (dahil q 1 ≠1)

Pagkatapos mula sa (2) maaari nating ibukod p 1 at q 1:

Kaya, kami ay kumbinsido na ang bawat prime number na lumilitaw bilang isang salik sa unang pagpapalawak ng isa o higit pang beses ay lilitaw din sa pangalawang pagpapalawak ng kahit gaano karaming beses, at vice versa, anumang prime number na lumalabas bilang isang salik sa pangalawang pagpapalawak. lumilitaw din ang isa o higit pang beses sa unang pagpapalawak ng hindi bababa sa parehong bilang ng beses. Samakatuwid, ang anumang prime number ay kasama bilang isang salik sa parehong pagpapalawak parehong numero beses at sa gayon ang dalawang pagpapalawak na ito ay pareho.■

Pagpapalawak ng isang pinagsama-samang numero k maaaring isulat sa sumusunod na anyo

(3)

saan p 1 , p 2, ... iba't ibang prime number, α, β, γ ... positibong integer.

Ang pagpapalawak (3) ay tinatawag kanonikal na pagpapalawak numero.

Ang mga pangunahing numero ay nangyayari nang hindi pantay sa serye ng mga natural na numero. Sa ilang mga bahagi ng hilera mayroong higit pa sa kanila, sa iba pa - mas kaunti. Ang lakad pa namin serye ng numero, ang hindi gaanong karaniwang mga prime number ay. Ang tanong ay lumitaw, mayroon bang pinakamalaking prime number? Pinatunayan ng sinaunang Griyegong matematiko na si Euclid na mayroong walang katapusang maraming prime number. Iniharap namin ang patunay na ito sa ibaba.

Teorama 2. Ang bilang ng mga pangunahing numero ay walang katapusan.

Patunay. Ipagpalagay na mayroong isang may hangganan na bilang ng mga prime number, at hayaan ang pinakamalaking prime number p. Isaalang-alang natin ang lahat ng mga numero na mas malaki p. Sa pamamagitan ng pagpapalagay ng pahayag, ang mga numerong ito ay dapat na pinagsama-sama at dapat na mahahati ng hindi bababa sa isa sa mga pangunahing numero. Pumili tayo ng numero na produkto ng lahat ng prime number na ito at 1:

Numero z higit pa p kasi 2p mas marami na p. p ay hindi nahahati sa alinman sa mga prime number na ito, dahil kapag hinati sa bawat isa sa kanila ay nagbibigay ng natitira sa 1. Kaya tayo ay dumating sa isang kontradiksyon. Samakatuwid mayroong isang walang katapusang bilang ng mga prime number.

Ang theorem na ito ay isang espesyal na kaso ng isang mas pangkalahatang theorem:

Teorama 3. Hayaan itong ibigay pag-unlad ng aritmetika

Pagkatapos ng anumang prime number na kasama sa n, dapat isama sa m, samakatuwid sa n hindi makapasok ang iba pangunahing mga kadahilanan, na hindi kasama sa m at, bukod dito, ang mga pangunahing salik na ito sa n ay kasama nang hindi hihigit sa mga beses kaysa sa m.

Ang kabaligtaran ay totoo rin. Kung ang bawat prime factor ng isang numero n kasama ng kahit gaano karaming beses sa numero m, Iyon m hinati ng n.

Pahayag 3. Hayaan a 1 ,a 2 ,a 3,... iba't ibang prime number na kasama sa m Kaya

saan i=0,1,...α , j=0,1,...,β , k=0,1,..., γ . pansinin mo yan α i tinatanggap α +1 na halaga, β tumatanggap si j β +1 na halaga, γ tinatanggap ni k γ +1 na halaga, ... .

• Pagsasalin

Ang mga katangian ng prime numbers ay unang pinag-aralan ng mga mathematician Sinaunang Greece. Ang mga mathematician ng Pythagorean school (500 - 300 BC) ay pangunahing interesado sa mystical at numerological na katangian ng mga prime number. Sila ang unang nakaisip ng mga ideya tungkol sa perpekto at magiliw na mga numero.

Ang isang perpektong numero ay may kabuuan ng sarili nitong mga divisors na katumbas ng sarili nito. Halimbawa, ang tamang divisors ng number 6 ay 1, 2 at 3. 1 + 2 + 3 = 6. Ang divisors ng number 28 ay 1, 2, 4, 7 at 14. Bukod dito, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Ang mga numero ay tinatawag na friendly kung ang kabuuan ng mga wastong divisors ng isang numero ay katumbas ng isa pa, at vice versa - halimbawa, 220 at 284. Masasabi nating ang perpektong numero ay palakaibigan sa sarili nito.

Sa panahon ng Euclid's Elements noong 300 B.C. Napatunayan na ang ilang mahahalagang katotohanan tungkol sa mga prime number. Sa Book IX of the Elements, pinatunayan ni Euclid na mayroong walang katapusang bilang ng mga prime number. Ito, sa pamamagitan ng paraan, ay isa sa mga unang halimbawa ng paggamit ng patunay sa pamamagitan ng kontradiksyon. Pinatunayan din niya ang Fundamental Theorem of Arithmetic - bawat integer ay maaaring irepresenta nang natatangi bilang isang produkto ng prime numbers.

Ipinakita rin niya na kung ang bilang na 2n-1 ay prime, kung gayon ang bilang na 2n-1 * (2n-1) ay magiging perpekto. Ang isa pang mathematician, si Euler, ay naipakita noong 1747 na ang lahat ng kahit na perpektong mga numero ay maaaring isulat sa form na ito. Hanggang ngayon ay hindi alam kung may mga kakaibang perpektong numero.

Noong taong 200 BC. Ang Greek Eratosthenes ay gumawa ng algorithm para sa paghahanap ng mga prime number na tinatawag na Sieve of Eratosthenes.

At pagkatapos ay nagkaroon ng malaking pahinga sa kasaysayan ng pag-aaral ng mga pangunahing numero, na nauugnay sa Middle Ages.

Ang mga sumusunod na pagtuklas ay ginawa na sa simula ng ika-17 siglo ng mathematician na si Fermat. Pinatunayan niya ang haka-haka ni Albert Girard na ang anumang prime number ng anyong 4n+1 ay maaaring isulat na kakaiba bilang kabuuan ng dalawang parisukat, at binabalangkas din ang teorama na anumang numero ay maaaring isulat bilang kabuuan ng apat na parisukat.

Nadevelop siya bagong paraan factorization malalaking numero, at ipinakita ito sa bilang na 2027651281 = 44021 × 46061. Pinatunayan din niya ang Fermat's Little Theorem: kung ang p ay isang prime number, kung gayon para sa anumang integer a ay magiging totoo na ang isang p = isang modulo p.

Ang pahayag na ito ay nagpapatunay sa kalahati ng kung ano ang kilala bilang "Chinese conjecture" at nagsimula noong 2000 taon: ang isang integer n ay prime kung at kung ang 2 n -2 ay nahahati sa n. Ang pangalawang bahagi ng hypothesis ay naging mali - halimbawa, 2,341 - 2 ay nahahati sa 341, bagaman ang bilang na 341 ay pinagsama-sama: 341 = 31 × 11.

Ang Little Theorem ni Fermat ay nagsilbing batayan para sa maraming iba pang mga resulta sa teorya ng numero at mga pamamaraan para sa pagsubok kung ang mga numero ay mga prime - marami sa mga ito ay ginagamit pa rin hanggang ngayon.

Maraming nakipag-ugnayan si Fermat sa kanyang mga kontemporaryo, lalo na sa isang monghe na nagngangalang Maren Mersenne. Sa isa sa kanyang mga titik, ipinalagay niya na ang mga numero ng form na 2 n +1 ay palaging magiging prime kung ang n ay isang kapangyarihan ng dalawa. Sinubukan niya ito para sa n = 1, 2, 4, 8 at 16, at kumpiyansa na sa kaso kung saan ang n ay hindi isang kapangyarihan ng dalawa, ang numero ay hindi kinakailangang prime. Ang mga numerong ito ay tinatawag na mga numero ng Fermat, at pagkalipas lamang ng 100 taon ay ipinakita ni Euler na ang susunod na numero, 2 32 + 1 = 4294967297, ay nahahati sa 641, at samakatuwid ay hindi prime.

Ang mga numero ng form 2 n - 1 ay naging paksa din ng pananaliksik, dahil madaling ipakita na kung ang n ay pinagsama-sama, kung gayon ang bilang mismo ay pinagsama din. Ang mga numerong ito ay tinatawag na mga numero ng Mersenne dahil pinag-aralan niya ito nang husto.

Ngunit hindi lahat ng numero ng anyong 2 n - 1, kung saan ang n ay prime, ay prime. Halimbawa, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Ito ay unang natuklasan noong 1536.

Sa loob ng maraming taon, ang mga ganitong uri ay nagbigay sa mga mathematician ng pinakamalaking kilalang prime number. Ang M 19 na iyon ay pinatunayan ni Cataldi noong 1588, at sa loob ng 200 taon ay ang pinakamalaking kilalang prime number, hanggang sa napatunayan ni Euler na ang M 31 ay prime din. Ang rekord na ito ay tumayo ng isa pang daang taon, at pagkatapos ay ipinakita ni Lucas na ang M 127 ay prime (at ito ay isang bilang na ng 39 na numero), at pagkatapos ng pananaliksik na iyon ay nagpatuloy sa pagdating ng mga computer.

Noong 1952 napatunayan ang kalakasan ng mga numerong M 521, M 607, M 1279, M 2203 at M 2281.

Noong 2005, 42 Mersenne prime ang natagpuan. Ang pinakamalaki sa kanila, M 25964951, ay binubuo ng 7816230 digit.

Ang gawain ni Euler ay may malaking epekto sa teorya ng mga numero, kabilang ang mga pangunahing numero. Pinalawak niya ang Little Theorem ni Fermat at ipinakilala ang φ-function. Na-factor ang 5th Fermat number 2 32 +1, nakahanap ng 60 pares ng friendly na numero, at binuo (ngunit hindi mapapatunayan) ang quadratic reciprocity law.

Siya ang unang nagpakilala ng mga pamamaraan pagsusuri sa matematika at binuo ang analytical theory ng mga numero. Pinatunayan niya na hindi lamang ang maharmonya na serye ∑ (1/n), kundi pati na rin ang isang serye ng anyo

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

Ang resulta na nakuha ng kabuuan ng mga kapalit ng mga prime number ay nag-iiba din. Ang kabuuan ng n termino ng harmonic series ay lumalaki nang humigit-kumulang bilang log(n), at ang pangalawang serye ay nag-iiba nang mas mabagal bilang log[ log(n) ]. Nangangahulugan ito na, halimbawa, ang kabuuan ng mga reciprocal ng lahat ng prime number na natagpuan hanggang sa kasalukuyan ay magbibigay lamang ng 4, bagama't ang serye ay nag-iiba pa rin.

Sa unang tingin, tila ang mga pangunahing numero ay ibinahagi nang random sa mga integer. Halimbawa, sa mga 100 na numero kaagad bago ang 10000000 ay mayroong 9 na prime, at kabilang sa 100 na mga numero kaagad pagkatapos ng halagang ito ay mayroon lamang 2. Ngunit sa malalaking segment, ang mga prime na numero ay ipinamamahagi nang pantay-pantay. Hinarap nina Legendre at Gauss ang mga isyu ng kanilang pamamahagi. Minsang sinabi ni Gauss sa isang kaibigan na sa anumang libreng 15 minuto ay palagi niyang binibilang ang bilang ng mga prime sa susunod na 1000 na numero. Sa pagtatapos ng kanyang buhay, binilang niya ang lahat ng prime number hanggang 3 milyon. Ang Legendre at Gauss ay pantay na kinakalkula na para sa malaking n ang prime density ay 1/log(n). Tinantya ni Legendre ang bilang ng mga prime number sa hanay mula 1 hanggang n bilang

π(n) = n/(log(n) - 1.08366)

At ang Gauss ay parang logarithmic integral

π(n) = ∫ 1/log(t) dt

Sa pagitan ng integration mula 2 hanggang n.

Ang pahayag tungkol sa density ng primes 1/log(n) ay kilala bilang Prime Distribution Theorem. Sinubukan nilang patunayan ito sa buong ika-19 na siglo, at ang pag-unlad ay nakamit nina Chebyshev at Riemann. Ikinonekta nila ito sa Riemann hypothesis, isang hindi pa napatunayang hypothesis tungkol sa pamamahagi ng mga zero ng Riemann zeta function. Ang density ng prime numbers ay sabay-sabay na pinatunayan nina Hadamard at Vallée-Poussin noong 1896.

Marami pa ring hindi nalutas na mga tanong sa prime number theory, ang ilan sa mga ito ay daan-daang taong gulang na:

• Ang twin prime hypothesis ay tungkol sa isang walang katapusang bilang ng mga pares ng prime number na may pagkakaiba sa bawat isa ng 2
• Ang haka-haka ni Goldbach: anumang even na numero, simula sa 4, ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng dalawang prime number
• Mayroon bang walang katapusang bilang ng mga prime number ng anyong n 2 + 1?
• Posible bang makahanap ng prime number sa pagitan ng n 2 at (n + 1) 2? (ang katotohanan na palaging may pangunahing numero sa pagitan ng n at 2n ay napatunayan ni Chebyshev)
• Infinite ba ang bilang ng Fermat primes? Mayroon bang anumang Fermat primes pagkatapos ng 4?
• mayroon bang arithmetic progression ng magkakasunod na prime para sa anumang ibinigay na haba? halimbawa, para sa haba 4: 251, 257, 263, 269. Ang maximum na haba na natagpuan ay 26.
• Mayroon bang walang katapusang bilang ng mga set ng tatlong magkakasunod na prime number sa isang arithmetic progression?
• n 2 - n + 41 ay isang prime number para sa 0 ≤ n ≤ 40. Mayroon bang walang katapusang bilang ng naturang prime number? Ang parehong tanong para sa formula n 2 - 79 n + 1601. Ang mga numerong ito ay prime para sa 0 ≤ n ≤ 79.
• Mayroon bang walang katapusang bilang ng mga prime number ng form n# + 1? (n# ay ang resulta ng pagpaparami ng lahat ng prime number na mas mababa sa n)
• Mayroon bang walang katapusang bilang ng mga prime number ng form n# -1 ?
• Mayroon bang walang katapusang bilang ng mga prime number ng anyong n? + 1?
• Mayroon bang walang katapusang bilang ng mga prime number ng anyong n? - 1?
• kung ang p ay prime, ang 2 p -1 ba ay laging hindi naglalaman ng mga prime square sa mga salik nito?
• ang Fibonacci sequence ba ay naglalaman ng walang katapusang bilang ng mga prime number?

Ang pinakamalaking kambal na prime number ay 2003663613 × 2 195000 ± 1. Binubuo ang mga ito ng 58711 digit at natuklasan noong 2007.

Ang pinakamalaking factorial prime number (ng uri n! ± 1) ay 147855! - 1. Binubuo ito ng 142891 digit at natagpuan noong 2002.

Ang pinakamalaking primorial prime number (isang numero ng anyong n# ± 1) ay 1098133# + 1.

Ang lahat ng iba pang natural na numero ay tinatawag na composite. Ang natural na numero 1 ay hindi prime o composite.

Halimbawa

Mag-ehersisyo. Alin sa mga natural na numerong nakasulat sa ibaba ang prime:

Sagot.

Pag-factor ng isang numero

Ang representasyon ng isang natural na numero bilang isang produkto ng mga natural na numero ay tinatawag factorization. Kung sa factorization ng isang natural na numero ang lahat ng mga kadahilanan ay mga pangunahing numero, kung gayon ang naturang factorization ay tinatawag pangunahing factorization.

Teorama

(Fundamental Theorem of Arithmetic)

Ang bawat natural na numero maliban sa 1 ay maaaring i-factor sa prime factor, at sa isang natatanging paraan (kung tutukuyin natin ang mga factorization at , kung saan at ang mga prime number).

Sa pamamagitan ng pagsasama-sama ng magkaparehong mga pangunahing kadahilanan sa pagkabulok ng isang numero, nakukuha natin ang tinatawag na canonical decomposition ng isang numero:

kung saan ang , ay iba't ibang prime number, at mga natural na numero.

Halimbawa

Mag-ehersisyo. Hanapin ang canonical expansion ng mga numero:

Solusyon. Upang mahanap ang canonical decomposition ng mga numero, dapat mo munang i-factor ang mga ito sa prime factor, at pagkatapos ay pagsamahin ang parehong mga kadahilanan at isulat ang kanilang produkto bilang isang kapangyarihan na may natural na exponent:

Sagot.

Makasaysayang sanggunian

Paano matukoy kung aling numero ang prime at alin ang hindi? Ang pinakakaraniwang paraan para sa paghahanap ng lahat ng prime number sa anumang hanay ng numero ay iminungkahi noong ika-3 siglo. BC e. Eratosthenes (ang pamamaraan ay tinatawag na "sieve of Eratosthenes"). Ipagpalagay na kailangan nating matukoy kung aling mga numero ang prime. Isulat natin ang mga ito nang sunud-sunod at ekis ang bawat pangalawang numero mula sa mga sumusunod sa numero 2 - lahat sila ay pinagsama-sama, dahil ang mga ito ay multiple ng numero 2. Ang una sa natitirang uncrossed na mga numero - 3 - ay prime. Ekis natin ang bawat ikatlong numero mula sa mga sumusunod sa numero 3; ang susunod sa mga uncrossed na numero - 5 - ay magiging prime din. Gamit ang parehong prinsipyo, tatawid natin ang bawat ikalimang numero mula sa mga sumusunod sa numero 5 at, sa pangkalahatan, bawat isa mula sa mga sumusunod sa numero . Ang lahat ng natitirang uncrossed na numero ay magiging mga prime number.

Habang tumataas ang mga prime number, unti-unti silang nagiging mas karaniwan. Gayunpaman, alam na ng mga sinaunang tao ang katotohanan na walang hanggan ang marami sa kanila. Ang kanyang patunay ay ibinigay sa Euclid's Elements.

Tama ang sagot ni Ilya, ngunit hindi masyadong detalyado. Sa ika-18 siglo, sa pamamagitan ng paraan, ang isa ay itinuturing pa rin na isang pangunahing numero. Halimbawa, ang mga mahuhusay na mathematician gaya nina Euler at Goldbach. Si Goldbach ang may-akda ng isa sa pitong problema ng milenyo - ang Goldbach hypothesis. Ang orihinal na pormulasyon ay nagsasaad na ang bawat kahit na numero ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng dalawang pangunahing numero. Bukod dito, sa una ay isinasaalang-alang ang 1 bilang isang pangunahing numero, at nakikita natin ito: 2 = 1+1. Ito pinakamaliit na halimbawa, na nagbibigay-kasiyahan sa orihinal na pagbabalangkas ng hypothesis. Nang maglaon ay naitama ito, at ang mga salita ay naging modernong hitsura: “Ang bawat even na numero, simula sa 4, ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng dalawang prime number.”

Tandaan natin ang kahulugan. Ang prime number ay isang natural na numerong p na mayroon lamang 2 magkaibang natural na divisors: p mismo at 1. Corollary mula sa kahulugan: ang isang prime number p ay mayroon lamang isang prime divisor - p mismo.

Ngayon, ipagpalagay natin na ang 1 ay isang prime number. Sa pamamagitan ng kahulugan, ang isang prime number ay mayroon lamang isang prime divisor - mismo. Pagkatapos ay lumalabas na ang anumang prime number na mas malaki sa 1 ay mahahati sa isang prime number na iba dito (sa pamamagitan ng 1). Ngunit ang dalawang magkaibang prime number ay hindi maaaring hatiin ng isa't isa, dahil kung hindi, ang mga ito ay hindi mga pangunahing numero, ngunit pinagsama-samang mga numero, at ito ay sumasalungat sa kahulugan. Sa diskarteng ito, lumalabas na mayroon lamang 1 pangunahing numero - ang yunit mismo. Ngunit ito ay walang katotohanan. Samakatuwid, ang 1 ay hindi isang prime number.

Ang 1, pati na rin ang 0, ay bumubuo ng isa pang klase ng mga numero - ang klase ng mga neutral na elemento na may paggalang sa mga operasyong n-ary sa ilang subset ng algebraic field. Bukod dito, may kinalaman sa pagpapatakbo ng karagdagan, ang 1 ay isa ring bumubuong elemento para sa singsing ng mga integer.

Sa pagsasaalang-alang na ito, hindi mahirap tumuklas ng mga analogue ng mga prime number sa iba pang mga istrukturang algebraic. Ipagpalagay na mayroon tayong multiplicative group na nabuo mula sa mga kapangyarihan ng 2, simula sa 1: 2, 4, 8, 16, ... atbp. 2 ay gumaganap bilang isang formative element dito. Ang prime number sa pangkat na ito ay isang numerong mas malaki kaysa sa pinakamaliit na elemento at nahahati lamang sa sarili nito at sa pinakamaliit na elemento. Sa grupo namin, 4 lang ang may ganung properties. Wala nang prime numbers sa grupo namin.

Kung ang 2 ay isang prime number din sa aming grupo, pagkatapos ay tingnan ang unang talata - muli ay lalabas na 2 lamang ang isang prime number.

Sa artikulong ito ay tutuklasin natin prime at composite na mga numero. Una, magbibigay kami ng mga kahulugan ng prime at composite na mga numero, at magbibigay din ng mga halimbawa. Pagkatapos nito ay patunayan natin na mayroong walang katapusang maraming prime number. Susunod, isusulat namin ang isang talahanayan ng mga pangunahing numero, at isaalang-alang ang mga pamamaraan para sa pag-compile ng isang talahanayan ng mga pangunahing numero, na binibigyang pansin ang pamamaraang tinatawag na salaan ng Eratosthenes. Sa konklusyon, i-highlight namin ang mga pangunahing punto na kailangang isaalang-alang kapag nagpapatunay na ang isang naibigay na numero ay prime o composite.

Pag-navigate sa pahina.

Prime at Composite Numbers - Mga Kahulugan at Halimbawa

Ang mga konsepto ng prime numbers at composite na mga numero ay tumutukoy sa mga numerong mas malaki sa isa. Ang nasabing mga integer, depende sa bilang ng kanilang mga positibong divisors, ay nahahati sa prime at composite na mga numero. Para maintindihan mga kahulugan ng prime at composite na mga numero, kailangan mong magkaroon ng isang mahusay na pag-unawa sa kung ano ang mga divisors at multiple.

Kahulugan.

Pangunahing numero ay mga integer, malalaking unit, na mayroon lamang dalawang positibong divisors, ang kanilang mga sarili at 1.

Kahulugan.

Mga pinagsama-samang numero ay mga integer, malaki, na mayroong hindi bababa sa tatlong positibong divisors.

Hiwalay, tandaan namin na ang numero 1 ay hindi nalalapat sa alinman sa prime o composite na mga numero. Ang unit ay may isang positibong divisor lamang, na ang numero 1 mismo. Tinutukoy nito ang numero 1 mula sa lahat ng iba pang positibong integer na mayroong hindi bababa sa dalawang positibong divisor.

Isinasaalang-alang na ang mga positibong integer ay , at ang isa ay mayroon lamang isang positibong divisor, maaari tayong magbigay ng iba pang mga pormulasyon ng mga nakasaad na kahulugan ng prime at composite na mga numero.

Kahulugan.

Pangunahing numero ay mga natural na numero na mayroon lamang dalawang positibong divisors.

Kahulugan.

Mga pinagsama-samang numero ay mga natural na numero na mayroong higit sa dalawang positibong divisors.

Tandaan na ang bawat positibong integer na mas malaki sa isa ay alinman sa prime o composite na numero. Sa madaling salita, walang isang integer na hindi prime o composite. Ito ay sumusunod mula sa pag-aari ng divisibility, na nagsasaad na ang mga numero 1 at a ay palaging mga divisors ng anumang integer a.

Batay sa impormasyon sa nakaraang talata, maaari nating ibigay ang sumusunod na kahulugan ng mga pinagsama-samang numero.

Kahulugan.

Ang mga natural na numero na hindi prime ay tinatawag pinagsama-sama.

Pagbigyan natin mga halimbawa ng prime at composite na mga numero.

Kasama sa mga halimbawa ng pinagsama-samang numero ang 6, 63, 121, at 6,697. Ang pahayag na ito ay nangangailangan din ng paglilinaw. Ang numero 6, bilang karagdagan sa mga positibong divisors 1 at 6, ay mayroon ding mga divisors 2 at 3, dahil ang 6 = 2 3, samakatuwid ang 6 ay tunay na isang composite number. Ang mga positibong kadahilanan ng 63 ay ang mga numero 1, 3, 7, 9, 21 at 63. Ang bilang na 121 ay katumbas ng produkto 11·11, kaya ang mga positibong divisors nito ay 1, 11 at 121. At ang bilang na 6,697 ay composite, dahil ang mga positive divisors nito, bilang karagdagan sa 1 at 6,697, ay ang mga numerong 37 at 181 din.

Sa pagtatapos ng puntong ito, nais ko ring bigyang pansin ang katotohanan na ang mga prime number at coprime na numero ay malayo sa parehong bagay.

Pangunahing talahanayan ng mga numero

Ang mga pangunahing numero, para sa kaginhawahan ng kanilang karagdagang paggamit, ay itinala sa isang talahanayan na tinatawag na isang talahanayan ng mga pangunahing numero. Sa ibaba ay talahanayan ng mga pangunahing numero hanggang 1,000.

Ang isang lohikal na tanong ay lumitaw: "Bakit namin pinunan ang talahanayan ng mga prime number hanggang sa 1,000 lamang, hindi ba posible na lumikha ng isang talahanayan ng lahat ng umiiral na mga prime number"?

Sagutin muna natin ang unang bahagi ng tanong na ito. Para sa karamihan ng mga problema na nangangailangan ng paggamit ng mga prime number, ang mga prime number sa loob ng isang libo ay magiging sapat. Sa ibang mga kaso, malamang, kakailanganin mong gumamit ng ilang mga espesyal na solusyon. Bagaman, siyempre, maaari tayong gumawa ng talahanayan ng mga prime number hanggang sa isang arbitraryong malaking finite integer positibong numero, maging 10,000 o 1,000,000,000, sa susunod na talata ay pag-uusapan natin ang mga pamamaraan para sa pag-compile ng mga talahanayan ng mga pangunahing numero, lalo na, susuriin natin ang tinatawag na pamamaraan.

Ngayon tingnan natin ang posibilidad (o sa halip, ang imposibilidad) ng pag-compile ng talahanayan ng lahat ng umiiral na prime number. Hindi tayo makakagawa ng isang talahanayan ng lahat ng mga prime number dahil mayroong walang katapusang maraming prime number. Ang huling pahayag ay isang theorem na ating patunayan pagkatapos ng sumusunod na auxiliary theorem.

Teorama.

Ang pinakamaliit na positibong divisor maliban sa 1 ng isang natural na bilang na mas malaki sa isa ay isang prime number.

Patunay.

Hayaan Ang a ay isang natural na bilang na mas malaki sa isa, at ang b ay ang pinakamaliit na positibong divisor ng iba kaysa sa isa. Patunayan natin na ang b ay isang prime number sa pamamagitan ng kontradiksyon.

Ipagpalagay natin na ang b ay isang composite number. Pagkatapos ay mayroong isang divisor ng bilang b (ipahiwatig natin ito b 1), na iba sa parehong 1 at b. Kung isasaalang-alang din natin na ang ganap na halaga ng divisor ay hindi lalampas sa ganap na halaga ng dibidendo (alam natin ito mula sa mga katangian ng divisibility), kung gayon ang kundisyon 1 ay dapat matugunan

Dahil ang numero a ay nahahati ng b ayon sa kondisyon, at sinabi namin na ang b ay nahahati ng b 1, ang konsepto ng divisibility ay nagpapahintulot sa amin na pag-usapan ang pagkakaroon ng mga integer q at q 1 na ang a=b q at b=b 1 q 1 , mula sa kung saan a= b 1 ·(q 1 ·q) . Ito ay sumusunod na ang produkto ng dalawang integer ay isang integer, pagkatapos ay ang pagkakapantay-pantay a=b 1 ·(q 1 ·q) ay nagpapahiwatig na ang b 1 ay isang divisor ng numerong a. Isinasaalang-alang ang mga hindi pagkakapantay-pantay sa itaas 1

Ngayon ay maaari nating patunayan na mayroong walang katapusang maraming prime number.

Teorama.

Mayroong walang katapusang bilang ng mga prime number.

Patunay.

Ipagpalagay natin na hindi ito ang kaso. Ibig sabihin, ipagpalagay na mayroon lamang n mga prime number, at ang mga prime number na ito ay p 1, p 2, ..., p n. Ipakita natin na palagi tayong makakahanap ng prime number na iba sa mga ipinahiwatig.

Isaalang-alang ang bilang na p katumbas ng p 1 ·p 2 ·…·p n +1. Malinaw na ang numerong ito ay iba sa bawat isa sa mga pangunahing numero p 1, p 2, ..., p n. Kung ang bilang p ay prime, kung gayon ang teorama ay napatunayan. Kung ang numerong ito ay pinagsama-sama, kung gayon sa pamamagitan ng naunang teorama ay mayroong pangunahing divisor ng numerong ito (tinutukoy namin itong p n+1). Ipakita natin na ang divisor na ito ay hindi tumutugma sa alinman sa mga numerong p 1, p 2, ..., p n.

Kung hindi ito gayon, kung gayon, ayon sa mga katangian ng divisibility, ang produkto p 1 ·p 2 ·…·p n ay mahahati sa p n+1. Ngunit ang bilang na p ay nahahati din ng p n+1, katumbas ng kabuuan ng p 1 ·p 2 ·…·p n +1. Kasunod nito, dapat hatiin ng p n+1 ang pangalawang termino ng kabuuan na ito, na katumbas ng isa, ngunit imposible ito.

Kaya, napatunayan na ang isang bagong prime number ay palaging makikita na hindi kasama sa anumang bilang ng mga predetermined prime number. Samakatuwid, mayroong walang katapusang maraming prime number.

Kaya, dahil sa katotohanan na mayroong isang walang katapusang bilang ng mga prime number, kapag nag-compile ng mga talahanayan ng mga prime number, palagi mong nililimitahan ang iyong sarili mula sa itaas hanggang sa ilang numero, karaniwang 100, 1,000, 10,000, atbp.

Salaan ng Eratosthenes

Ngayon ay tatalakayin natin ang mga paraan upang lumikha ng mga talahanayan ng mga pangunahing numero. Ipagpalagay na kailangan nating gumawa ng talahanayan ng mga prime number hanggang 100.

Ang pinaka-halatang paraan para sa paglutas ng problemang ito ay ang sunud-sunod na suriin ang mga positibong integer, simula sa 2 at nagtatapos sa 100, para sa pagkakaroon ng positibong divisor na mas malaki kaysa sa 1 at mas mababa sa bilang na sinusuri (mula sa mga katangian ng divisibility na alam natin na ang absolute value ng divisor ay hindi lalampas sa absolute value ng dividend, non-zero). Kung ang naturang divisor ay hindi natagpuan, ang numerong sinusuri ay prime, at ito ay ipinasok sa prime numbers table. Kung ang naturang divisor ay matatagpuan, kung gayon ang numerong sinusuri ay composite; HINDI ito nakalagay sa talahanayan ng mga prime number. Pagkatapos nito, mayroong isang paglipat sa susunod na numero, na katulad na sinuri para sa pagkakaroon ng isang divisor.

Ilarawan natin ang mga unang hakbang.

Magsisimula tayo sa numero 2. Ang numero 2 ay walang positibong divisors maliban sa 1 at 2. Samakatuwid, ito ay simple, samakatuwid, ipinasok namin ito sa talahanayan ng mga pangunahing numero. Dito dapat sabihin na 2 ang pinakamaliit na prime number. Lumipat tayo sa numero 3. Ang posibleng positive divisor nito maliban sa 1 at 3 ay ang numero 2. Ngunit ang 3 ay hindi nahahati sa 2, samakatuwid, ang 3 ay isang prime number, at kailangan din itong isama sa talahanayan ng mga prime number. Lumipat tayo sa numero 4. Ang mga positive divisors nito maliban sa 1 at 4 ay maaaring ang mga numero 2 at 3, suriin natin ang mga ito. Ang numero 4 ay nahahati sa 2, samakatuwid, ang 4 ay isang pinagsama-samang numero at hindi kailangang isama sa talahanayan ng mga prime number. Pakitandaan na ang 4 ay ang pinakamaliit na composite number. Lumipat tayo sa numero 5. Sinusuri namin kung hindi bababa sa isa sa mga numero 2, 3, 4 ang divisor nito. Dahil ang 5 ay hindi nahahati sa 2, 3, o 4, kung gayon ito ay prime, at dapat itong isulat sa talahanayan ng mga prime number. Pagkatapos ay mayroong isang paglipat sa mga numero 6, 7, at iba pa hanggang sa 100.

Ang diskarte na ito sa pag-compile ng isang talahanayan ng mga pangunahing numero ay malayo sa perpekto. One way or another, may karapatan siyang umiral. Tandaan na sa pamamaraang ito ng pagbuo ng isang talahanayan ng mga integer, maaari mong gamitin ang pamantayan ng divisibility, na bahagyang magpapabilis sa proseso ng paghahanap ng mga divisors.

Mayroong isang mas maginhawang paraan upang lumikha ng isang talahanayan ng mga pangunahing numero, na tinatawag na. Ang salitang "sieve" na naroroon sa pangalan ay hindi sinasadya, dahil ang mga aksyon ng pamamaraang ito ay tumutulong, tulad ng, upang "magsala" ng mga buong numero at malalaking yunit sa pamamagitan ng salaan ng Eratosthenes upang paghiwalayin ang mga simple mula sa mga pinagsama-sama.

Ipakita natin ang salaan ng Eratosthenes sa pagkilos kapag nag-compile ng talahanayan ng mga prime number hanggang 50.

Una, isulat ang mga numero 2, 3, 4, ..., 50 sa pagkakasunud-sunod.

Ang unang numerong nakasulat, 2, ay prime. Ngayon, mula sa numero 2, kami ay sunud-sunod na lumipat sa kanan sa pamamagitan ng dalawang numero at i-cross out ang mga numerong ito hanggang sa maabot namin ang dulo ng talahanayan ng mga numero na pinagsama-sama. Tatanggalin nito ang lahat ng numero na multiple ng dalawa.

Ang unang numero na kasunod ng 2 na hindi na-cross out ay 3. Ang numerong ito ay prime. Ngayon, mula sa numero 3, sunud-sunod kaming lumipat sa kanan sa pamamagitan ng tatlong numero (isinasaalang-alang ang na-cross out na mga numero) at i-cross out ang mga ito. Tatanggalin nito ang lahat ng numero na multiple ng tatlo.

Ang unang numero kasunod ng 3 na hindi natatanggal ay 5. Ang numerong ito ay prime. Ngayon mula sa numero 5 patuloy kaming lumilipat sa kanan sa pamamagitan ng 5 numero (isinasaalang-alang din namin ang mga numero na na-cross out nang mas maaga) at i-cross out ang mga ito. Tatanggalin nito ang lahat ng numero na multiple ng lima.

Susunod, tinatanggal namin ang mga numero na multiple ng 7, pagkatapos ay multiple ng 11, at iba pa. Ang proseso ay nagtatapos kapag wala nang mga numero upang i-cross off. Nasa ibaba ang nakumpletong talahanayan ng mga prime number hanggang 50, na nakuha gamit ang salaan ng Eratosthenes. Ang lahat ng uncrossed na numero ay prime, at lahat ng na-cross out na numero ay composite.

Bumuo din tayo at patunayan ang isang theorem na magpapabilis sa proseso ng pag-compile ng isang talahanayan ng mga prime number gamit ang salaan ng Eratosthenes.

Teorama.

Ang pinakamaliit na positive divisor ng isang composite number a na iba sa isa ay hindi lalampas sa , kung saan ay mula sa a .

Patunay.

Tukuyin natin sa pamamagitan ng letrang b ang pinakamaliit na divisor ng isang composite number a na iba sa isa (ang bilang b ay prime, gaya ng sumusunod mula sa theorem na napatunayan sa pinakasimula ng nakaraang talata). Pagkatapos ay mayroong isang integer q na ang a=b·q (dito ang q ay isang positibong integer, na sumusunod mula sa mga patakaran ng pagpaparami ng mga integer), at (para sa b>q ang kundisyon na ang b ay ang pinakamaliit na divisor ng a ay nilabag. , dahil ang q ay isa ring divisor ng bilang a dahil sa pagkakapantay-pantay a=q·b ). Sa pamamagitan ng pagpaparami ng magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay sa isang positibo at isang integer na mas malaki kaysa sa isa (pinahihintulutan kaming gawin ito), nakukuha namin ang , mula sa kung saan at .

Ano ang ibinibigay sa atin ng napatunayang teorama tungkol sa salaan ng Eratosthenes?

Una, ang pagtawid sa mga composite na numero na mga multiple ng isang prime number b ay dapat magsimula sa isang numero na katumbas ng (ito ay sumusunod mula sa hindi pagkakapantay-pantay). Halimbawa, ang pagtawid sa mga numero na multiple ng dalawa ay dapat magsimula sa numero 4, multiple ng tatlo na may numero 9, multiple ng lima na may numerong 25, at iba pa.

Pangalawa, ang pag-compile ng table ng mga prime number hanggang sa number n gamit ang sieve ng Eratosthenes ay maituturing na kumpleto kapag ang lahat ng composite na numero na multiple ng prime numbers ay hindi hihigit sa . Sa aming halimbawa, n=50 (dahil gumagawa kami ng talahanayan ng mga prime number hanggang 50) at, samakatuwid, ang salaan ng Eratosthenes ay dapat alisin ang lahat ng composite na numero na multiple ng prime number 2, 3, 5 at 7 na ginagawa. hindi lalampas sa arithmetic square root na 50. Ibig sabihin, hindi na natin kailangang hanapin at i-cross out ang mga numero na multiple ng prime number 11, 13, 17, 19, 23 at iba pa hanggang 47, dahil ma-e-cross out na ang mga ito bilang multiple ng mas maliliit na prime number 2 , 3, 5 at 7 .

Ang numero bang ito ay prime o composite?

Ang ilang mga gawain ay nangangailangan ng pag-alam kung ang isang ibinigay na numero ay prime o composite. Sa pangkalahatan, ang gawaing ito ay malayo sa simple, lalo na para sa mga numero na ang pagsulat ay binubuo ng isang makabuluhang bilang ng mga character. Sa karamihan ng mga kaso, kailangan mong maghanap ng ilang partikular na paraan upang malutas ito. Gayunpaman, susubukan naming magbigay ng direksyon sa tren ng pag-iisip para sa mga simpleng kaso.

Siyempre, maaari mong subukang gumamit ng mga pagsusuri sa divisibility upang patunayan na ang isang naibigay na numero ay pinagsama-sama. Kung, halimbawa, ang ilang pagsubok sa divisibility ay nagpapakita na ang isang naibigay na numero ay nahahati ng ilang positibong integer na mas malaki sa isa, kung gayon ang orihinal na numero ay pinagsama-sama.

Halimbawa.

Patunayan na ang 898,989,898,989,898,989 ay isang composite number.

Solusyon.

Ang kabuuan ng mga digit ng numerong ito ay 9·8+9·9=9·17. Dahil ang bilang na katumbas ng 9·17 ay nahahati sa 9, sa pamamagitan ng divisibility ng 9 ay masasabi nating ang orihinal na numero ay nahahati din ng 9. Samakatuwid, ito ay pinagsama-sama.

Ang isang makabuluhang disbentaha ng diskarteng ito ay hindi pinapayagan ng pamantayan ng divisibility ang isa na patunayan ang kalakasan ng isang numero. Samakatuwid, kapag sinusubukan ang isang numero upang makita kung ito ay prime o composite, kailangan mong gawin ang mga bagay sa ibang paraan.

Ang pinaka-lohikal na diskarte ay subukan ang lahat ng posibleng divisors ng isang naibigay na numero. Kung wala sa mga posibleng divisor ang tunay na divisor ng isang naibigay na numero, ang numerong ito ay magiging prime, kung hindi, ito ay magiging composite. Mula sa mga theorems na pinatunayan sa nakaraang talata, ito ay sumusunod na ang mga divisors ng isang naibigay na numero ay dapat na hanapin sa mga pangunahing numero na hindi hihigit sa . Kaya, ang isang naibigay na numero a ay maaaring sunud-sunod na hatiin ng mga prime number (na maginhawang kinuha mula sa talahanayan ng mga prime number), sinusubukang hanapin ang divisor ng numero a. Kung may nakitang divisor, kung gayon ang numero a ay pinagsama-sama. Kung kabilang sa mga prime number na hindi lalampas sa , walang divisor ng number a, kung gayon ang number a ay prime.

Halimbawa.

Numero 11 723 simple o tambalan?

Solusyon.

Alamin natin hanggang sa kung anong prime number ang maaaring maging divisors ng number 11,723. Upang gawin ito, suriin natin.

Ito ay medyo halata na , mula noong 200 2 =40,000, at 11,723<40 000 (при необходимости смотрите статью paghahambing ng mga numero). Kaya, ang posibleng mga pangunahing kadahilanan ng 11,723 ay mas mababa sa 200. Pinapadali na nito ang ating gawain. Kung hindi natin alam ito, kailangan nating dumaan sa lahat ng prime number hindi hanggang 200, ngunit hanggang sa numerong 11,723.

Kung ninanais, maaari mong suriin nang mas tumpak. Dahil 108 2 =11,664, at 109 2 =11,881, pagkatapos ay 108 2<11 723<109 2 , следовательно, . Kaya, alinman sa mga prime number na mas mababa sa 109 ay potensyal na isang prime factor ng ibinigay na numero na 11,723.

Ngayon ay sunud-sunod nating hahatiin ang numerong 11,723 sa mga pangunahing numero 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 7 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 . Kung ang bilang na 11,723 ay hinati sa isa sa mga nakasulat na prime number, ito ay magiging composite. Kung hindi ito nahahati sa alinman sa mga nakasulat na prime number, kung gayon ang orihinal na numero ay prime.

Hindi namin ilalarawan ang buong monotonous at monotonous na proseso ng paghahati. Sabihin na natin kaagad na 11,723