(maliban sa 0 at 1) ay may hindi bababa sa dalawang divisors: 1 at mismo. Ang mga numero na walang ibang divisors ay tinatawag simple lang numero. Ang mga numero na may iba pang mga divisors ay tinatawag pinagsama-sama(o kumplikado) numero. Mayroong walang katapusang bilang ng mga prime number. Nasa ibaba ang mga mga pangunahing numero, hindi hihigit sa 200:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,

47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,

103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,

157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

Pagpaparami- isa sa apat na pangunahing pagpapatakbo ng aritmetika, isang binary mathematical na operasyon kung saan ang isang argumento ay idinaragdag nang kasing dami ng isa. Sa aritmetika, ang multiplikasyon ay isang maikling anyo ng pagdaragdag ng isang tiyak na bilang ng magkaparehong termino.

Halimbawa, ang notasyong 5*3 ay nangangahulugang “magdagdag ng tatlong lima,” ibig sabihin, 5+5+5. Ang resulta ng pagpaparami ay tinatawag trabaho, at ang mga numerong paramihin ay mga multiplier o mga kadahilanan. Ang unang kadahilanan ay kung minsan ay tinatawag na " multiplikado».

Ang bawat composite number ay maaaring mabulok sa pangunahing mga kadahilanan. Sa anumang paraan, ang parehong pagpapalawak ay nakuha, kung hindi mo isinasaalang-alang ang pagkakasunud-sunod kung saan isinulat ang mga kadahilanan.

Pag-factor ng isang numero (Factorization).

Factorization (factorization)- enumeration of divisors - isang algorithm para sa factorization o pagsubok sa primality ng isang numero sa pamamagitan ng ganap na pag-enumerate ng lahat ng posibleng potensyal na divisors.

Yung., sa simpleng wika, ang factorization ay ang pangalang ibinigay sa proseso ng factoring number, na ipinahayag sa wikang siyentipiko.

Ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon kapag isinasali sa mga pangunahing kadahilanan:

1. Suriin kung ang iminungkahing numero ay prime.

2. Kung hindi, kung gayon, ginagabayan ng mga palatandaan ng dibisyon, pumili kami ng isang divisor mula sa mga pangunahing numero, na nagsisimula sa pinakamaliit (2, 3, 5 ...).

3. Uulitin namin ang pagkilos na ito hanggang sa maging prime number ang quotient.

Ang pag-factor ng isang equation ay ang proseso ng paghahanap ng mga termino o expression na, kapag pinarami, hahantong sa paunang equation. Ang pag-factor ay isang kapaki-pakinabang na kasanayan para sa paglutas ng mga pangunahing problema sa algebra, at nagiging halos mahalaga kapag nagtatrabaho sa mga quadratic equation at iba pang polynomial. Ang pag-factor ay ginagamit upang gawing simple ang mga algebraic equation upang gawing mas madaling malutas ang mga ito. Ang pag-factor ay makakatulong sa iyo na alisin ang ilang posibleng sagot nang mas mabilis kaysa sa gagawin mo sa pamamagitan ng paglutas ng isang equation sa pamamagitan ng kamay.

Mga hakbang

Factoring number at basic algebraic expression

1. Mga numero ng factoring. Ang konsepto ng factorization ay simple, ngunit sa pagsasanay ay maaaring maging factorization hindi isang madaling gawain(kung ang isang kumplikadong equation ay ibinigay). Samakatuwid, una, tingnan natin ang konsepto ng factorization gamit ang mga numero bilang isang halimbawa, at magpatuloy sa simpleng equation, at pagkatapos ay lumipat sa mga kumplikadong equation. Ang mga kadahilanan ng isang ibinigay na numero ay ang mga numero na, kapag pinarami, ay nagbibigay ng orihinal na numero. Halimbawa, ang mga kadahilanan ng numero 12 ay ang mga numero: 1, 12, 2, 6, 3, 4, dahil 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

   • Gayundin, maaari mong isipin ang mga kadahilanan ng isang numero bilang mga divisors nito, iyon ay, ang mga numero kung saan nahahati ang numero.
   • Hanapin ang lahat ng mga kadahilanan ng numerong 60. Madalas nating ginagamit ang numerong 60 (halimbawa, 60 minuto sa isang oras, 60 segundo sa isang minuto, atbp.) at ang numerong ito ay medyo malaking bilang ng mga multiplier.
     • 60 multiplier: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 at 60.

2. Tandaan: Ang mga termino ng isang expression na naglalaman ng isang koepisyent (numero) at isang variable ay maaari ding maging factorized. Upang gawin ito, hanapin ang mga coefficient factor para sa variable. Alam kung paano i-factor ang mga tuntunin ng mga equation, madali mong gawing simple ang equation na ito.

   • Halimbawa, ang terminong 12x ay maaaring isulat bilang produkto ng 12 at x. Maaari mo ring isulat ang 12x bilang 3(4x), 2(6x), atbp., na hatiin ang 12 sa mga salik na pinakamahusay na gumagana para sa iyo.
     • Maaari kang makitungo ng 12x nang maraming beses sa isang hilera. Sa madaling salita, hindi ka dapat huminto sa 3(4x) o 2(6x); ipagpatuloy ang pagpapalawak: 3(2(2x)) o 2(3(2x)) (malinaw na 3(4x)=3(2(2x)), atbp.)

3. Ilapat ang distributive property ng multiplication sa factor algebraic equation. Alam kung paano i-factor ang mga numero at termino ng expression (mga coefficient na may mga variable), maaari mong pasimplehin ang mga simpleng algebraic equation sa pamamagitan ng paghahanap ng common factor ng isang numero at expression term. Kadalasan, para gawing simple ang isang equation, kailangan mong hanapin ang greatest common factor (GCD). Ang pagpapasimpleng ito ay posible dahil sa distributive property ng multiplication: para sa anumang mga numerong a, b, c, ang pagkakapantay-pantay na a(b+c) = ab+ac ay totoo.

   • Halimbawa. I-factor ang equation na 12x + 6. Una, hanapin ang gcd ng 12x at 6. 6 ay ang pinakamalaking bilang, na naghahati sa parehong 12x at 6, upang maaari mong i-factor ang equation na ito sa: 6(2x+1).
   • Ang prosesong ito ay totoo rin para sa mga equation na may negatibo at fractional na termino. Halimbawa, ang x/2+4 ay maaaring i-factor sa 1/2(x+8); halimbawa, -7x+(-21) ay maaaring i-factor sa -7(x+3).

   Factoring Quadratic Equation

   1. Siguraduhin na ang equation ay ibinigay sa quadratic form (ax 2 + bx + c = 0). Ang mga quadratic equation ay may anyo: ax 2 + bx + c = 0, kung saan ang a, b, c ay mga numerical coefficients maliban sa 0. Kung bibigyan ka ng equation na may isang variable (x) at sa equation na ito ay may isa o higit pang termino na may pangalawang-order na variable , maaari mong ilipat ang lahat ng mga termino ng equation sa isang gilid ng equation at itakda itong katumbas ng zero.

      • Halimbawa, ibinigay ang equation: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x – 18. Ito ay maaaring i-convert sa equation na x 2 + 6x + 9 = 0, na isang quadratic equation.
      • Mga equation na may variable na x ng malalaking order, halimbawa, x 3, x 4, atbp. ay hindi mga quadratic equation. Ito ay mga cubic equation, fourth-order equation, at iba pa (maliban kung ang mga naturang equation ay maaaring pasimplehin sa quadratic equation na may variable na x na itinaas sa kapangyarihan ng 2).

   2. Ang mga parisukat na equation, kung saan ang a = 1, ay pinalawak sa (x+d)(x+e), kung saan ang d*e=c at d+e=b. Kung ibibigay sa iyo quadratic equation ay may anyo: x 2 + bx + c = 0 (iyon ay, ang koepisyent ng x 2 ay katumbas ng 1), kung gayon ang gayong equation ay maaaring (ngunit hindi ginagarantiyahan) ay mapalawak sa mga salik sa itaas. Upang gawin ito, kailangan mong makahanap ng dalawang numero na, kapag pinarami, ay nagbibigay ng "c", at kapag idinagdag, "b". Kapag nahanap mo na ang dalawang numerong ito (d at e), palitan ang mga ito sa sumusunod na expression: (x+d)(x+e), na, kapag binubuksan ang mga panaklong, ay humahantong sa orihinal na equation.

      • Halimbawa, binigyan ng isang quadratic equation x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 at 3+2=5, kaya maaari mong i-factor ang equation na ito sa (x+3)(x+2).
      • Para sa mga negatibong termino, gawin ang mga sumusunod na maliliit na pagbabago sa proseso ng factorization:
        • Kung ang isang quadratic equation ay may anyo na x 2 -bx+c, pagkatapos ay lumalawak ito sa: (x-_)(x-_).
        • Kung ang isang quadratic equation ay may anyo na x 2 -bx-c, pagkatapos ay lumalawak ito sa: (x+_)(x-_).
      • Tandaan: ang mga puwang ay maaaring palitan ng mga fraction o decimal na mga numero. Halimbawa, ang equation na x 2 + (21/2)x + 5 = 0 ay pinalawak sa (x+10)(x+1/2).

   3. Factorization sa pamamagitan ng trial and error. Ang mga simpleng quadratic equation ay maaaring i-factorize sa pamamagitan lamang ng pagpapalit ng mga numero sa posibleng solusyon hanggang mahanap mo ang tamang desisyon. Kung ang equation ay may anyo na ax 2 +bx+c, kung saan ang a>1, ang mga posibleng solusyon ay nakasulat sa anyo (dx +/- _)(ex +/- _), kung saan ang d at e ay mga non-zero numerical coefficients , na kapag pinarami ay nagbibigay ng a. Ang alinman sa d o e (o parehong mga coefficient) ay maaaring katumbas ng 1. Kung ang parehong mga coefficient ay katumbas ng 1, pagkatapos ay gamitin ang paraang inilarawan sa itaas.

      • Halimbawa, ibinigay ang equation na 3x 2 - 8x + 4. Dito ang 3 ay may dalawang salik lamang (3 at 1), kaya ang mga posibleng solusyon ay isinulat bilang (3x +/- _)(x +/- _). Sa kasong ito, palitan ang -2 para sa mga puwang, makikita mo ang tamang sagot: -2*3x=-6x at -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x at -2*-2=4, ibig sabihin, ang ganitong pagpapalawak kapag binubuksan ang mga bracket ay hahantong sa mga tuntunin ng orihinal na equation.

Ang bawat isa natural na numero, bukod sa isa, ay may dalawa o higit pang divisors. Halimbawa, ang numero 7 ay nahahati nang walang natitira lamang sa pamamagitan ng 1 at 7, iyon ay, mayroon itong dalawang divisors. At ang numero 8 ay may mga divisors 1, 2, 4, 8, iyon ay, kasing dami ng 4 na divisors nang sabay-sabay.

Ano ang pagkakaiba sa pagitan ng prime at composite na mga numero?

Ang mga numero na mayroong higit sa dalawang divisors ay tinatawag na composite numbers. Ang mga numero na mayroon lamang dalawang divisors: isa at ang numero mismo ay tinatawag na prime number.

Ang numero 1 ay may isang dibisyon lamang, lalo na ang numero mismo. Ang isa ay hindi prime o composite na numero.

• Halimbawa, ang numero 7 ay prime at ang numero 8 ay composite.

Unang 10 prime number: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Ang numero 2 ay ang tanging even na prime number, lahat ng iba pang prime number ay odd.

Ang bilang na 78 ay pinagsama-sama, dahil bilang karagdagan sa 1 at mismo, ito ay nahahati din ng 2. Kapag hinati sa 2, makakakuha tayo ng 39. Ibig sabihin, 78 = 2*39. Sa ganitong mga kaso, sinasabi nila na ang bilang ay isinaalang-alang sa mga kadahilanan ng 2 at 39.

Ang anumang pinagsama-samang numero ay maaaring mabulok sa dalawang salik, na ang bawat isa ay higit sa 1. Ang trick na ito ay hindi gagana sa isang prime number. Kaya ito napupunta.

Pag-factor ng isang numero sa mga pangunahing kadahilanan

Tulad ng nabanggit sa itaas, ang anumang pinagsama-samang numero ay maaaring mabulok sa dalawang salik. Kunin natin, halimbawa, ang bilang na 210. Ang numerong ito ay maaaring mabulok sa dalawang salik na 21 at 10. Ngunit ang mga bilang na 21 at 10 ay pinagsama-sama rin, ating i-decompose ang mga ito sa dalawang salik. Nakukuha natin ang 10 = 2*5, 21=3*7. At bilang isang resulta, ang bilang na 210 ay nabulok sa 4 na mga kadahilanan: 2,3,5,7. Ang mga numerong ito ay prime na at hindi na mapapalawak. Ibig sabihin, isinaalang-alang namin ang numerong 210 sa mga pangunahing kadahilanan.

Kapag isinasali ang mga pinagsama-samang numero sa mga pangunahing kadahilanan, kadalasang isinusulat ang mga ito sa pataas na pagkakasunud-sunod.

Dapat tandaan na ang anumang pinagsama-samang numero ay maaaring mabulok sa mga pangunahing kadahilanan at sa isang natatanging paraan, hanggang sa permutasyon.

• Karaniwan, kapag nabubulok ang isang numero sa mga pangunahing kadahilanan, ginagamit ang mga pamantayan sa divisibility.

I-factor natin ang numerong 378 sa prime factor

Isusulat namin ang mga numero, na pinaghihiwalay ang mga ito sa isang patayong linya. Ang numerong 378 ay nahahati ng 2, dahil nagtatapos ito sa 8. Kapag hinati, nakukuha natin ang numerong 189. Ang kabuuan ng mga digit ng numerong 189 ay nahahati sa 3, na nangangahulugang ang numerong 189 mismo ay nahahati sa 3. Ang resulta ay 63.

Ang bilang na 63 ay nahahati din ng 3, ayon sa divisibility. Nakukuha natin ang 21, ang numero 21 ay maaaring hatiin muli ng 3, makakakuha tayo ng 7. Ang pito ay nahahati lamang sa sarili, makakakuha tayo ng isa. Nakumpleto nito ang paghahati. Sa kanan pagkatapos ng linya ay ang pangunahing mga kadahilanan kung saan ang numero 378 ay nabubulok.

378|2
189|3
63|3
21|3

Ang online na calculator nabubulok ang mga numero sa prime factor sa pamamagitan ng pag-enumerate ng prime factor. Kung malaki ang numero, para sa kadalian ng pagtatanghal, gumamit ng digit na separator.

Ang resulta ay natanggap na!

Pag-factor ng isang numero sa mga pangunahing kadahilanan - teorya, algorithm, mga halimbawa at solusyon

Isa sa mga pinakasimpleng paraan upang i-factor ang isang numero ay ang pagsuri kung ang numero ay nahahati sa 2, 3, 5,... atbp., i.e. suriin kung ang isang numero ay nahahati sa isang serye ng mga pangunahing numero. Kung ang bilang n ay hindi nahahati sa anumang prime number hanggang sa , kung gayon ang numerong ito ay prime, dahil kung ang bilang ay pinagsama-sama, kung gayon mayroon ito kahit na dalawang mga kadahilanan at pareho sa mga ito ay hindi maaaring maging mas malaki.

Isipin natin ang algorithm ng decomposition ng numero n sa pangunahing mga kadahilanan. Maghanda tayo ng talahanayan ng mga prime number nang maaga s=. Tukuyin natin ang isang serye ng mga prime number sa pamamagitan ng p 1 , p 2 , p 3 , ...

Algorithm para sa pag-decompose ng isang numero sa mga pangunahing kadahilanan:

Halimbawa 1. I-factor ang numerong 153 sa prime factors.

Solusyon. Ito ay sapat na para sa amin na magkaroon ng isang talahanayan ng mga prime number hanggang sa , ibig sabihin. 2, 3, 5, 7, 11.

Hatiin ang 153 sa 2. Ang 153 ay hindi mahahati ng 2 nang walang nalalabi. Susunod, hatiin ang 153 sa susunod na elemento ng talahanayan ng mga prime number, i.e. sa 3. 153:3=51. Punan ang talahanayan:

Susunod, sinusuri namin kung ang numero 17 ay nahahati sa 3. Ang numero 17 ay hindi nahahati ng 3. Hindi ito nahahati ng mga numero 5, 7, 11. Ang susunod na divisor ay mas malaki . Samakatuwid, ang 17 ay isang prime number na nahahati lamang sa sarili nito: 17:17=1. Ang pamamaraan ay tumigil. punan ang talahanayan:

Pinipili namin ang mga divisors kung saan ang mga numero 153, 51, 17 ay nahahati nang walang natitira, i.e. lahat ng mga numero mula sa kanang bahagi mga mesa. Ito ang mga divisors 3, 3, 17. Ngayon ang bilang na 153 ay maaaring katawanin bilang isang produkto ng mga prime number: 153=3·3·17.

Halimbawa 2. I-factor ang numerong 137 sa prime factors.

Solusyon. Kinakalkula namin . Nangangahulugan ito na kailangan nating suriin ang divisibility ng numerong 137 sa pamamagitan ng mga prime number hanggang 11: 2,3,5,7,11. Sa pamamagitan ng paghahati ng numerong 137 sa mga numerong ito nang paisa-isa, nalaman natin na ang bilang na 137 ay hindi nahahati sa alinman sa mga numerong 2,3,5,7,11. Samakatuwid ang 137 ay isang pangunahing numero.

8 mga halimbawa ng factoring polynomials ang ibinigay. Kasama sa mga ito ang mga halimbawa ng paglutas ng mga quadratic at biquadratic na equation, mga halimbawa ng reciprocal polynomial, at mga halimbawa ng paghahanap ng integer roots ng third- at fourth-degree polynomial.

1. Mga halimbawa sa paglutas ng isang quadratic equation

Halimbawa 1.1

x 4 + x 3 - 6 x 2.

Solusyon

Inilabas namin ang x 2 sa labas ng mga bracket:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Mga ugat ng equation:
, .

.

Sagot

Halimbawa 1.2

I-factor ang third degree polynomial:
x 3 + 6 x 2 + 9 x.

Solusyon

Alisin natin ang x sa mga bracket:
.
Paglutas ng quadratic equation x 2 + 6 x + 9 = 0:
Ang discriminant nito: .
Dahil ang discriminant ay zero, ang mga ugat ng equation ay multiple: ;
.

Mula dito nakukuha natin ang factorization ng polynomial:
.

Sagot

Halimbawa 1.3

I-factor ang fifth degree polynomial:
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

Solusyon

Inilabas namin ang x 3 sa labas ng mga bracket:
.
Paglutas ng quadratic equation x 2 - 2 x + 10 = 0.
Ang discriminant nito: .
Dahil ang discriminant ay mas mababa sa zero, ang mga ugat ng equation ay kumplikado: ;
, .

Ang factorization ng polynomial ay may anyo:
.

Kung kami ay interesado sa factorization na may totoong coefficients, kung gayon:
.

Sagot

Mga halimbawa ng factoring polynomial gamit ang mga formula

Mga halimbawa na may biquadratic polynomial

Halimbawa 2.1

Salik ang biquadratic polynomial:
x 4 + x 2 - 20.

Solusyon

Ilapat natin ang mga formula:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b).

;
.

Sagot

Halimbawa 2.2

I-factor ang polynomial na bumababa sa isang biquadratic:
x 8 + x 4 + 1.

Solusyon

Ilapat natin ang mga formula:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b):

;

;
.

Sagot

Halimbawa 2.3 na may paulit-ulit na polynomial

I-factor ang reciprocal polynomial:
.

Solusyon

Ang paulit-ulit na polynomial ay may kakaibang degree. Samakatuwid ito ay may ugat x = - 1 . Hatiin ang polynomial sa x - (-1) = x + 1. Bilang resulta, nakukuha namin ang:
.
Gumawa tayo ng pagpapalit:
, ;
;


;
.

Sagot

Mga halimbawa ng factoring polynomial na may mga integer na ugat

Halimbawa 3.1

Salik ang polynomial:
.

Solusyon

Ipagpalagay natin na ang equation

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6·(-6) 2 + 11·(-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6·(-3) 2 + 11·(-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6·(-2) 2 + 11·(-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6·(-1) 2 + 11·(-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.

Kaya, natagpuan namin ang tatlong ugat:
x 1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = 3 .
Dahil ang orihinal na polynomial ay nasa ikatlong antas, ito ay hindi hihigit sa tatlong mga ugat. Dahil nakakita kami ng tatlong ugat, simple lang sila. Pagkatapos
.

Sagot

Halimbawa 3.2

Salik ang polynomial:
.

Solusyon

Ipagpalagay natin na ang equation

ay may hindi bababa sa isang buong ugat. Pagkatapos ito ay isang divisor ng numero 2 (miyembro na walang x). Iyon ay, ang buong ugat ay maaaring isa sa mga numero:
-2, -1, 1, 2 .
Isa-isa naming pinapalitan ang mga halagang ito:
(-2) 4 + 2·(-2) 3 + 3·(-2) 3 + 4·(-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2·(-1) 3 + 3·(-1) 3 + 4·(-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54 .
Kung ipagpalagay natin na ang equation na ito ay may integer root, ito ay isang divisor ng numero 2 (miyembro na walang x). Iyon ay, ang buong ugat ay maaaring isa sa mga numero:
1, 2, -1, -2 .
Palitan natin ang x = -1 :
.

Kaya, nakahanap kami ng isa pang ugat x 2 = -1 . Posible, tulad ng sa nakaraang kaso, na hatiin ang polynomial sa pamamagitan ng , ngunit ipapangkat namin ang mga termino:
.

Dahil ang equation x 2 + 2 = 0 ay walang tunay na mga ugat, kung gayon ang factorization ng polynomial ay may anyo.