Dami ng prisma. Pagtugon sa suliranin

Ang geometry ay ang pinakamakapangyarihang paraan para sa pagpapatalas ng ating mga kakayahan sa pag-iisip at pagpapagana sa atin na makapag-isip at mangatuwiran nang tama.

G. Galileo

Layunin ng aralin:

• turuan ang paglutas ng mga problema sa pagkalkula ng dami ng mga prisma, ibuod at i-systematize ang impormasyong mayroon ang mga mag-aaral tungkol sa isang prisma at mga elemento nito, bumuo ng kakayahang malutas ang mga problema ng mas kumplikado;
• bumuo lohikal na pag-iisip, kakayahang magtrabaho nang nakapag-iisa, mga kasanayan sa mutual control at pagpipigil sa sarili, kakayahang magsalita at makinig;
• bumuo ng ugali ng patuloy na pagtatrabaho sa ilang kapaki-pakinabang na aktibidad, pagpapaunlad ng kakayahang tumugon, masipag, at katumpakan.

Uri ng aralin: aralin sa paggamit ng kaalaman, kasanayan at kakayahan.

Kagamitan: control card, media projector, presentasyon “Aralin. Prism Volume", mga computer.

Sa panahon ng mga klase

• Lateral ribs ng prism (Larawan 2).
• Ang lateral surface ng prism (Figure 2, Figure 5).
• Ang taas ng prisma (Larawan 3, Larawan 4).
• Tuwid na prisma (Larawan 2,3,4).
• Isang inclined prism (Larawan 5).
• Ang tamang prisma (Fig. 2, Fig. 3).
• Diagonal na seksyon ng prism (Larawan 2).
• Diagonal ng prism (Larawan 2).
• Perpendikular na seksyon ng prisma (Larawan 3, Larawan 4).
• Ang lateral surface area ng prisma.
• Square buong ibabaw prisma.
• Dami ng prisma.

1. PAGSUSURI NG TRABAHO (8 min)

Magpalitan ng mga notebook, suriin ang solusyon sa mga slide at markahan ito (markahan ang 10 kung ang problema ay pinagsama-sama)

Gumawa ng isang problema batay sa larawan at lutasin ito. Ipinagtanggol ng mag-aaral ang problemang naipon niya sa pisara. Larawan 6 at Larawan 7.





Kabanata 2,§3
Suliranin.2. Ang mga haba ng lahat ng mga gilid ng isang regular na tatsulok na prisma ay katumbas ng bawat isa. Kalkulahin ang volume ng prism kung ang surface area nito ay cm 2 (Fig. 8)



Kabanata 2,§3
Problema 5. Ang base ng tuwid na prisma ABCA 1B 1C1 ay kanang tatsulok ABC (anggulo ABC=90°), AB=4cm. Kalkulahin ang volume ng prism kung ang radius ng bilog na inilarawan sa paligid ng tatsulok na ABC ay 2.5 cm at ang taas ng prisma ay 10 cm. (Larawan 9).



Kabanata2,§3
Problema 29. Ang haba ng gilid ng base ng isang regular na quadrangular prism ay 3 cm. Ang dayagonal ng prism ay bumubuo ng isang anggulo ng 30° sa eroplano ng gilid na mukha. Kalkulahin ang volume ng prism (Figure 10).



2. Pakikipagtulungan mga guro kasama ng klase (2-3 min.).

Layunin: pagbubuod ng theoretical warm-up (nagbibigay ng mga marka ang mga mag-aaral isa't isa), pag-aaral ng mga paraan upang malutas ang mga problema sa isang paksa.

3. PISIKAL NA MINUTO (3 min)
4. PAGSOLUSYON NG PROBLEMA (10 min)

Naka-on sa puntong ito Ang guro ay nag-aayos ng pangharap na gawain sa mga paulit-ulit na pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa planimetric at mga formula ng planimetric. Ang klase ay nahahati sa dalawang grupo, ang ilan ay malulutas ang mga problema, ang iba ay nagtatrabaho sa computer. Pagkatapos ay nagbabago sila. Hinihiling sa mga mag-aaral na lutasin ang lahat ng No. 8 (pasalita), No. 9 (pasalita). Pagkatapos ay nahahati sila sa mga grupo at tumuloy sa paglutas ng mga problema No. 14, No. 30, No. 32.

Kabanata 2, §3, pahina 66-67

Suliranin 8. Ang lahat ng mga gilid ng isang regular na tatsulok na prisma ay pantay sa bawat isa. Hanapin ang volume ng prism kung ang cross-sectional area ay isang eroplanong dumadaan sa gilid ng lower base at sa gitna ng gilid itaas na base, katumbas ng cm (Larawan 11).



Kabanata 2,§3, pahina 66-67
Problema 9. Ang base ng isang tuwid na prisma ay isang parisukat, at ang mga gilid na gilid nito ay dalawang beses ang laki ng gilid ng base. Kalkulahin ang volume ng prism kung ang radius ng bilog na inilarawan malapit sa cross section ng prism sa pamamagitan ng isang eroplanong dumadaan sa gilid ng base at sa gitna ng kabaligtaran lateral rib, katumbas ng cm (Fig. 12)



Kabanata 2,§3, pahina 66-67
Suliranin 14 Ang base ng isang tuwid na prisma ay isang rhombus, isa sa mga diagonal na katumbas ng gilid nito. Kalkulahin ang perimeter ng seksyon na may isang eroplano na dumadaan sa pangunahing dayagonal ng ibabang base, kung ang dami ng prisma ay pantay at ang lahat ng mga gilid na mukha ay mga parisukat (Larawan 13).



Kabanata 2,§3, pahina 66-67
Suliranin 30.АВСА 1 В 1 С 1 – tama tatsulok na prisma, ang lahat ng mga gilid ay pantay-pantay sa bawat isa, ituro ang tungkol sa gitna ng gilid BB 1. Kalkulahin ang radius ng bilog na nakasulat sa seksyon ng prism ng eroplano ng AOS, kung ang volume ng prism ay katumbas ng (Fig. 14).



Kabanata 2,§3, pahina 66-67
Suliranin 32.Sa isang regular na quadrangular prism, ang kabuuan ng mga lugar ng mga base ay katumbas ng lugar ng lateral surface. Kalkulahin ang volume ng prism kung ang diameter ng bilog na inilarawan malapit sa cross section ng prism sa pamamagitan ng isang eroplanong dumadaan sa dalawang vertices ng lower base at ang kabaligtaran na vertex ng upper base ay 6 cm (Fig. 15).



Habang nilulutas ang mga problema, inihahambing ng mga mag-aaral ang kanilang mga sagot sa ipinakita ng guro. Ito ay isang sample na solusyon sa problema sa mga detalyadong komento... Indibidwal na trabaho mga gurong may “malakas” na estudyante (10 min.).

5. Pansariling gawain mga mag-aaral na nagtatrabaho sa isang pagsusulit sa computer

1. Ang gilid ng base ng isang regular na triangular na prism ay katumbas ng , at ang taas ay 5. Hanapin ang volume ng prisma.

1) 152) 45 3) 104) 125) 18

2. Piliin ang tamang pahayag.

1) Ang dami ng isang tamang prisma na ang base ay isang tamang tatsulok ay katumbas ng produkto ng lugar ng base at ang taas.

2) Ang dami ng isang regular na triangular prism ay kinakalkula ng formula V = 0.25a 2 h - kung saan ang a ay ang gilid ng base, h ang taas ng prisma.

3) Ang dami ng isang tuwid na prisma ay katumbas ng kalahati ng produkto ng lugar ng base at taas.

4) Ang dami ng isang regular na quadrangular prism ay kinakalkula ng formula V = a 2 h-kung saan ang a ay ang gilid ng base, h ay ang taas ng prisma.

5) Ang dami ng isang regular na hexagonal prism ay kinakalkula ng formula V = 1.5a 2 h, kung saan ang a ay ang gilid ng base, h ang taas ng prisma.

3. Ang gilid ng base ng isang regular na tatsulok na prism ay katumbas ng . Ang isang eroplano ay iginuhit sa gilid ng ibabang base at ang kabaligtaran na vertex ng itaas na base, na dumadaan sa isang anggulo na 45° patungo sa base. Hanapin ang volume ng prisma.

1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125

4. Ang base ng isang right prism ay isang rhombus, ang gilid nito ay 13, at ang isa sa mga diagonal ay 24. Hanapin ang volume ng prism kung ang dayagonal ng gilid na mukha ay 14.

Kahulugan.

Ito ay isang heksagono, ang mga base nito ay dalawang pantay na parisukat, at ang mga gilid ng mukha ay pantay na parihaba

Tadyang sa gilid- Ito karaniwang panig dalawang magkatabing gilid na mukha

Taas ng prisma- ito ay isang segment na patayo sa mga base ng prisma

Prism dayagonal- isang segment na nagkokonekta sa dalawang vertice ng mga base na hindi kabilang sa parehong mukha

Diagonal na eroplano- isang eroplano na dumadaan sa dayagonal ng prism at sa mga gilid nito

Diagonal na seksyon- ang mga hangganan ng intersection ng prism at ang diagonal na eroplano. Ang diagonal na cross section ng isang regular na quadrangular prism ay isang parihaba

Perpendicular section (orthogonal section)- ito ang intersection ng isang prism at isang eroplanong iginuhit patayo sa mga gilid nito.

Mga elemento ng isang regular na quadrangular prism

Ang figure ay nagpapakita ng dalawang regular na quadrangular prisms, na ipinahiwatig ng kaukulang mga titik:

• Ang mga batayang ABCD at A 1 B 1 C 1 D 1 ay pantay at magkatulad sa bawat isa
• Nakaharap sa gilid AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C at CC 1 D 1 D, bawat isa ay parihaba
• Ibabaw sa gilid- ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng lateral na mukha ng prisma
• Kabuuang ibabaw - ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga base at gilid na mukha (kabuuan ng lugar ng gilid na ibabaw at mga base)
• Mga gilid na tadyang AA 1, BB 1, CC 1 at DD 1.
• Diagonal B 1 D
• Base dayagonal BD
• Diagonal na seksyon BB 1 D 1 D
• Perpendikular na seksyon A 2 B 2 C 2 D 2.

Mga katangian ng isang regular na quadrangular prism

• Ang mga base ay dalawang pantay na parisukat
• Ang mga base ay parallel sa bawat isa
• Ang mga gilid na mukha ay parihaba
• Ang mga gilid ng gilid ay pantay sa bawat isa
• Ang mga gilid na mukha ay patayo sa mga base
• Ang mga lateral ribs ay parallel sa isa't isa at pantay
• Perpendicular section patayo sa lahat ng side ribs at parallel sa bases
• Mga anggulo ng patayong seksyon - tuwid
• Ang diagonal na cross section ng isang regular na quadrangular prism ay isang parihaba
• Perpendicular (orthogonal section) parallel sa mga base

Mga formula para sa isang regular na quadrangular prism

Mga tagubilin para sa paglutas ng mga problema

Kapag nilulutas ang mga problema sa paksa " regular na quadrangular prism" ibig sabihin ay:

Tamang prisma- isang prisma sa base kung saan matatagpuan ang isang regular na polygon, at ang mga gilid ng gilid ay patayo sa mga eroplano ng base. Iyon ay, ang isang regular na quadrangular prism ay naglalaman sa base nito parisukat. (tingnan ang mga katangian ng isang regular na quadrangular prism sa itaas) Tandaan. Ito ay bahagi ng isang aralin na may mga problema sa geometry (section stereometry - prism). Narito ang mga problemang mahirap lutasin. Kung kailangan mong lutasin ang isang problema sa geometry na wala dito, isulat ang tungkol dito sa forum. Upang ipahiwatig ang pagkilos ng pagkuha parisukat na ugat ang simbolo ay ginagamit sa paglutas ng mga suliranin√ .

Gawain.

Sa isang regular na quadrangular prism, ang base area ay 144 cm 2 at ang taas ay 14 cm. Hanapin ang dayagonal ng prism at ang kabuuang surface area.

Solusyon.
Ang isang regular na quadrilateral ay isang parisukat.
Alinsunod dito, ang gilid ng base ay magiging pantay

√144 = 12 cm.
Saan nagmula ang dayagonal ng base? parihabang prisma magiging pantay
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

dayagonal tamang prisma bumubuo ng tamang tatsulok na may dayagonal ng base at taas ng prisma. Alinsunod dito, ayon sa Pythagorean theorem, ang dayagonal ng isang regular na quadrangular prism ay magiging katumbas ng:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Sagot: 22 cm

Gawain

Tukuyin ang kabuuang ibabaw ng isang regular na quadrangular prism kung ang dayagonal nito ay 5 cm at ang dayagonal ng gilid na mukha nito ay 4 cm.

Solusyon.
Dahil ang base ng isang regular na quadrangular prism ay isang parisukat, makikita natin ang gilid ng base (na tinukoy bilang a) gamit ang Pythagorean theorem:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5

Ang taas ng gilid na mukha (na tinukoy bilang h) ay magiging katumbas ng:

H 2 + 12.5 = 4 2
h 2 + 12.5 = 16
h 2 = 3.5
h = √3.5

Ang kabuuang lugar sa ibabaw ay magiging katumbas ng kabuuan ng lateral surface area at dalawang beses sa base area

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12.5 * √3.5
S = 25 + 4√43.75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51.46 cm 2.

Sagot: 25 + 10√7 ≈ 51.46 cm 2.

Ang mga mag-aaral na naghahanda na kumuha ng Unified State Exam sa matematika ay dapat talagang matutunan kung paano lutasin ang mga problema sa paghahanap ng lugar ng isang tuwid at regular na prisma. Maraming taon ng pagsasanay ang nagpapatunay sa katotohanang itinuturing ng maraming estudyante na medyo mahirap ang mga gawaing geometry.

Kasabay nito, ang mga mag-aaral sa high school na may anumang antas ng pagsasanay ay dapat na mahanap ang lugar at dami ng isang regular at tuwid na prisma. Sa kasong ito lamang sila makakaasa sa pagtanggap ng mga mapagkumpitensyang puntos batay sa mga resulta pagpasa sa Unified State Exam.

Mga Pangunahing Punto na Dapat Tandaan

• Kung ang mga lateral na gilid ng isang prisma ay patayo sa base, ito ay tinatawag na isang tuwid na linya. Ang lahat ng panig na mukha ng figure na ito ay mga parihaba. Ang taas ng isang tuwid na prisma ay tumutugma sa gilid nito.
• Ang isang regular na prisma ay isa na ang mga gilid ng gilid ay patayo sa base kung saan matatagpuan ang regular na polygon. Ang mga gilid na mukha ng figure na ito ay pantay na mga parihaba. Ang tamang prisma ay palaging tuwid.

Ang paghahanda para sa pinag-isang pagsusulit ng estado kasama ang Shkolkovo ay ang susi sa iyong tagumpay!

Upang gawing madali at epektibo ang iyong mga klase hangga't maaari, piliin ang aming portal ng matematika. Lahat ay ipinakita dito kinakailangang materyal, na tutulong sa iyo na maghanda para sa pagpasa sa pagsusulit sa sertipikasyon.

Mga espesyalista proyektong pang-edukasyon Ang "Shkolkovo" ay nagmumungkahi na pumunta mula sa simple hanggang sa kumplikado: una ay nagbibigay kami ng teorya, pangunahing mga formula, theorems at elementarya na mga problema sa mga solusyon, at pagkatapos ay unti-unting lumipat sa mga takdang-aralin antas ng eksperto.

Ang pangunahing impormasyon ay sistematiko at malinaw na ipinakita sa seksyong "Teoretikal na Impormasyon". Kung nagawa mo nang ulitin ang kinakailangang materyal, inirerekumenda namin na magsanay ka sa paglutas ng mga problema sa paghahanap ng lugar at dami ng tamang prisma. Ang seksyong "Catalog" ay nagpapakita malaking seleksyon mga pagsasanay na may iba't ibang antas ng kahirapan.

Subukang kalkulahin ang lugar ng isang tuwid at regular na prisma o ngayon. Pag-aralan ang anumang gawain. Kung hindi ito magdulot ng anumang mga paghihirap, maaari kang ligtas na magpatuloy sa mga pagsasanay sa antas ng eksperto. At kung lumitaw ang ilang mga paghihirap, inirerekumenda namin na regular kang maghanda para sa Unified State Exam online kasama ang portal ng matematika ng Shkolkovo, at ang mga gawain sa paksang "Straight and Regular Prism" ay magiging madali para sa iyo.

Sa pisika, ang isang tatsulok na prisma na gawa sa salamin ay kadalasang ginagamit upang pag-aralan ang spectrum ng puting liwanag dahil maaari itong lutasin sa mga indibidwal na bahagi nito. Sa artikulong ito isasaalang-alang natin ang formula ng volume

Ano ang triangular prism?

Bago ibigay ang formula ng volume, isaalang-alang natin ang mga katangian ng figure na ito.

Upang makuha ito kailangan mong kumuha ng isang tatsulok libreng anyo at parallel sa iyong sarili, ilipat ito ng ilang distansya. Ang mga vertice ng tatsulok sa inisyal at panghuling posisyon ay dapat na konektado sa pamamagitan ng mga tuwid na segment. Ang resultang volumetric figure ay tinatawag na triangular prism. Ito ay binubuo ng limang panig. Ang dalawa sa kanila ay tinatawag na mga base: sila ay parallel at pantay sa bawat isa. Ang mga base ng prisma na pinag-uusapan ay mga tatsulok. Ang tatlong natitirang panig ay paralelograms.

Bilang karagdagan sa mga gilid, ang prisma na pinag-uusapan ay nailalarawan sa pamamagitan ng anim na vertices (tatlo para sa bawat base) at siyam na mga gilid (6 na mga gilid ay namamalagi sa mga eroplano ng mga base at 3 mga gilid ay nabuo sa pamamagitan ng intersection ng mga gilid). Kung ang mga gilid ng gilid ay patayo sa mga base, kung gayon ang gayong prisma ay tinatawag na hugis-parihaba.

Ang pagkakaiba sa pagitan ng triangular prism at lahat ng iba pang figure ng klase na ito ay palaging matambok (four-, five-, ..., n-gonal prisms ay maaari ding malukong).

Ito ay isang hugis-parihaba na pigura na may equilateral triangle sa base nito.

Dami ng isang pangkalahatang tatsulok na prisma

Paano mahahanap ang dami ng isang tatsulok na prisma? Formula sa pangkalahatang pananaw katulad ng para sa anumang uri ng prisma. Mayroon itong sumusunod na mathematical notation:

Narito ang h ay ang taas ng figure, iyon ay, ang distansya sa pagitan ng mga base nito, S o ay ang lugar ng tatsulok.

Ang halaga ng S o ay matatagpuan kung ang ilang mga parameter para sa tatsulok ay kilala, halimbawa, isang gilid at dalawang anggulo o dalawang panig at isang anggulo. Ang lugar ng isang tatsulok ay katumbas ng kalahati ng produkto ng taas nito at ang haba ng gilid kung saan ibinababa ang taas na ito.

Kung tungkol sa taas h ng figure, ito ay pinakamadaling hanapin ito para sa isang parihabang prisma. Sa huling kaso, ang h ay tumutugma sa haba ng gilid ng gilid.

Dami ng isang regular na tatsulok na prisma

Pangkalahatang pormula ang volume ng isang triangular prism, na ibinigay sa nakaraang seksyon ng artikulo, ay maaaring gamitin upang kalkulahin ang katumbas na halaga para sa isang regular na triangular prism. Dahil ang base nito ay isang equilateral triangle, ang lugar nito ay katumbas ng:

Maaaring makuha ng sinuman ang formula na ito kung naaalala nila na sa isang equilateral triangle ang lahat ng mga anggulo ay pantay sa isa't isa at may halaga na 60 o. Dito ang simbolo a ay ang haba ng gilid ng tatsulok.

Ang taas h ay ang haba ng gilid. Ito ay sa anumang paraan na konektado sa base ng isang regular na prisma at maaaring kumuha ng mga arbitrary na halaga. Bilang isang resulta, ang formula para sa dami ng isang tatsulok na prism ay ang tamang uri parang ganyan:

Matapos makalkula ang ugat, maaari mong muling isulat ang formula na ito tulad ng sumusunod:

Kaya, upang mahanap ang dami ng isang regular na prisma na may isang tatsulok na base, kinakailangan upang parisukat ang gilid ng base, i-multiply ang halagang ito sa taas at i-multiply ang resultang halaga sa 0.433.

Ang video course na "Kumuha ng A" ay kinabibilangan ng lahat ng mga paksang kinakailangan upang matagumpay na makapasa sa Unified State Exam sa matematika na may 60-65 puntos. Ganap ang lahat ng mga gawain 1-13 ng Profile Unified State Exam sa matematika. Angkop din para sa pagpasa sa Basic Unified State Examination sa matematika. Kung gusto mong makapasa sa Unified State Exam na may 90-100 points, kailangan mong lutasin ang part 1 sa loob ng 30 minuto at walang pagkakamali!

Kurso sa paghahanda para sa Unified State Exam para sa grade 10-11, gayundin para sa mga guro. Lahat ng kailangan mo para malutas ang Part 1 ng Unified State Exam sa matematika (ang unang 12 problema) at Problema 13 (trigonometry). At ito ay higit sa 70 puntos sa Unified State Exam, at hindi magagawa ng isang 100-point na mag-aaral o ng isang mag-aaral sa humanities kung wala sila.

Lahat ng kinakailangang teorya. Mabilis na paraan mga solusyon, mga pitfalls at mga lihim ng Unified State Exam. Ang lahat ng kasalukuyang gawain ng bahagi 1 mula sa FIPI Task Bank ay nasuri. Ang kurso ay ganap na sumusunod sa mga kinakailangan ng Unified State Exam 2018.

Ang kurso ay naglalaman ng 5 malalaking paksa, 2.5 oras bawat isa. Ang bawat paksa ay ibinigay mula sa simula, simple at malinaw.

Daan-daang mga gawain ng Pinag-isang State Exam. Mga problema sa salita at teorya ng posibilidad. Simple at madaling matandaan ang mga algorithm para sa paglutas ng mga problema. Geometry. Teorya, sangguniang materyal, pagsusuri ng lahat ng uri ng mga gawain sa Pinag-isang Estado ng Pagsusuri. Stereometry. Mga nakakalito na solusyon, kapaki-pakinabang na cheat sheet, pag-unlad spatial na imahinasyon. Trigonometry mula sa simula hanggang sa problema 13. Pag-unawa sa halip na pag-cramming. Malinaw na pagpapaliwanag ng mga kumplikadong konsepto. Algebra. Mga ugat, kapangyarihan at logarithms, function at derivative. Isang batayan para sa paglutas ng mga kumplikadong problema ng Bahagi 2 ng Pinag-isang Pagsusulit ng Estado.