Uri ng trabaho: 8
Tema: Prisma

Kundisyon

Sa isang regular na tatsulok na prism ABCA_1B_1C_1, ang mga gilid ng base ay 4 at ang mga gilid ng gilid ay 10. Hanapin ang cross-sectional area ng prism sa pamamagitan ng eroplanong dumadaan sa mga midpoint ng mga gilid AB, AC, A_1B_1 at A_1C_1.

Ipakita ang solusyon

Solusyon

Isaalang-alang ang sumusunod na pigura.

Ang segment na MN ay midline tatsulok A_1B_1C_1, samakatuwid MN = \frac12 B_1C_1=2. Gayundin, KL=\frac12BC=2. Bilang karagdagan, MK = NL = 10. Ito ay sumusunod na ang may apat na gilid MNLK ay isang paralelogram. Dahil MK\parallel AA_1, pagkatapos ay MK\perp ABC at MK\perp KL. Samakatuwid, ang quadrilateral MNLK ay isang parihaba. S_(MNLK) = MK\cdot KL = 10\cdot 2 = 20.

Sagot

Uri ng trabaho: 8
Tema: Prisma

Kundisyon

Ang volume ng isang regular na quadrangular prism ABCDA_1B_1C_1D_1 ay 24 . Ang point K ay ang gitna ng gilid CC_1. Hanapin ang volume ng pyramid KBCD.

Ipakita ang solusyon

Solusyon

Ayon sa kondisyon, si KC ang taas ng pyramid KBCD. Ang CC_1 ay ang taas ng prisma ABCDA_1B_1C_1D_1 .

Dahil ang K ang midpoint ng CC_1, kung gayon KC=\frac12CC_1. Hayaan ang CC_1=H , pagkatapos KC=\frac12H. Tandaan din yan S_(BCD)=\frac12S_(ABCD). pagkatapos, V_(KBCD)= \frac13S_(BCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac13\cdot\frac12S_(ABCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac(1)(12)\cdot S_(ABCD)\cdot H= \frac(1)(12)V_(ABCDA_1B_1C_1D_1). Kaya naman, V_(KBCD)=\frac(1)(12)\cdot24=2.

Sagot

Pinagmulan: “Matematika. Paghahanda para sa Unified State Exam 2017. Antas ng profile." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Uri ng trabaho: 8
Tema: Prisma

Kundisyon

Hanapin ang lateral surface area ng isang regular na hexagonal prism na ang base side ay 6 at ang taas ay 8.

Ipakita ang solusyon

Solusyon

Ang lugar ng lateral surface ng prism ay matatagpuan gamit ang formula S side. = P basic · h = 6a\cdot h, kung saan ang P basic. at ang h ay, ayon sa pagkakabanggit, ang perimeter ng base at ang taas ng prism, katumbas ng 8, at ang a ay ang gilid ng isang regular na hexagon, katumbas ng 6. Samakatuwid, S side. = 6\cdot 6\cdot 8 = 288.

Sagot

Pinagmulan: “Matematika. Paghahanda para sa Unified State Exam 2017. Antas ng profile." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Uri ng trabaho: 8
Tema: Prisma

Kundisyon

Sa isang sisidlan na may regular na hugis tatsulok na prisma, binuhusan ng tubig. Ang antas ng tubig ay umabot sa 40 cm Sa anong taas ang antas ng tubig kung ito ay ibubuhos sa isa pang sisidlan ng parehong hugis, na ang gilid ng base ay dalawang beses na mas malaki kaysa sa una? Ipahayag ang iyong sagot sa sentimetro.

Ipakita ang solusyon

Solusyon

Hayaang a ang gilid ng base ng unang sisidlan, pagkatapos ang 2 a ay ang gilid ng base ng pangalawang sisidlan. Sa kondisyon, ang dami ng likido V sa una at pangalawang sisidlan ay pareho. Ipahiwatig natin sa pamamagitan ng H ang antas kung saan tumaas ang likido sa pangalawang sisidlan. Pagkatapos V= \frac12\cdot a^2\cdot\sin60^(\circ)\cdot40= \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40, at, V=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H. Mula rito \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H, 40=4H, H=10.

Sagot

Pinagmulan: “Matematika. Paghahanda para sa Unified State Exam 2017. Antas ng profile." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Uri ng trabaho: 8
Tema: Prisma

Kundisyon

Sa isang regular na hexagonal prism ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 lahat ng mga gilid ay katumbas ng 2. Hanapin ang distansya sa pagitan ng mga punto A at E_1.

Ipakita ang solusyon

Solusyon

Ang Triangle AEE_1 ay hugis-parihaba, dahil ang gilid EE_1 ay patayo sa eroplano ng base ng prism, ang anggulong AEE_1 ay magiging isang tamang anggulo.

Pagkatapos, sa pamamagitan ng Pythagorean theorem, AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2. Hanapin natin ang AE mula sa tatsulok na AFE gamit ang cosine theorem. Ang bawat panloob na anggulo ng isang regular na hexagon ay 120^(\circ). Pagkatapos AE^2= AF^2+FE^2-2\cdot AF\cdot FE\cdot\cos120^(\circ)= 2^2+2^2-2\cdot2\cdot2\cdot\left (-\frac12 \right).

Kaya, AE^2=4+4+4=12,

AE_1^2=12+4=16,

AE_1=4.

Sagot

Pinagmulan: “Matematika. Paghahanda para sa Unified State Exam 2017. Antas ng profile." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Uri ng trabaho: 8
Tema: Prisma

Kundisyon

Hanapin ang lateral surface area ng isang tuwid na prisma, sa base kung saan matatagpuan ang isang rhombus na may mga diagonal na katumbas ng 4\sqrt5 at 8, at isang gilid na gilid na katumbas ng 5.

Ipakita ang solusyon

Solusyon

Ang lugar ng lateral surface ng isang tuwid na prisma ay matatagpuan sa gilid ng formula S. = P basic · h = 4a\cdot h, kung saan ang P basic. at h, ayon sa pagkakabanggit, ang perimeter ng base at ang taas ng prism, katumbas ng 5, at ang a ay ang gilid ng rhombus. Hanapin natin ang gilid ng rhombus gamit ang katotohanan na ang mga dayagonal ng rhombus ABCD ay magkaparehong patayo at nahahati sa punto ng intersection.

Kahulugan.

Ito ay isang heksagono, ang mga base nito ay dalawang pantay na parisukat, at ang mga gilid ng mukha ay pantay na parihaba

Tadyang sa gilid- Ito karaniwang panig dalawang magkatabing gilid na mukha

Taas ng prisma- ito ay isang segment na patayo sa mga base ng prisma

Prism dayagonal- isang segment na nagkokonekta sa dalawang vertice ng mga base na hindi kabilang sa parehong mukha

Diagonal na eroplano- isang eroplano na dumadaan sa dayagonal ng prisma at nito lateral ribs

Diagonal na seksyon- ang mga hangganan ng intersection ng prism at ang diagonal na eroplano. Ang diagonal na cross section ng isang regular na quadrangular prism ay isang parihaba

Perpendicular section (orthogonal section)- ito ang intersection ng isang prism at isang eroplanong iginuhit patayo sa mga gilid nito.

Mga elemento ng isang regular na quadrangular prism

Ang figure ay nagpapakita ng dalawang regular na quadrangular prisms, na ipinahiwatig ng kaukulang mga titik:

• Ang mga batayang ABCD at A 1 B 1 C 1 D 1 ay pantay at magkatulad sa bawat isa
• Nakaharap sa gilid AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C at CC 1 D 1 D, bawat isa ay parihaba
• Ibabaw sa gilid- ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng lateral na mukha ng prisma
• Kabuuang ibabaw - ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga base at gilid na mukha (kabuuan ng lugar ng gilid na ibabaw at mga base)
• Mga gilid na tadyang AA 1, BB 1, CC 1 at DD 1.
• Diagonal B 1 D
• Base dayagonal BD
• Diagonal na seksyon BB 1 D 1 D
• Perpendikular na seksyon A 2 B 2 C 2 D 2.

Mga katangian ng isang regular na quadrangular prism

• Ang mga base ay dalawang pantay na parisukat
• Ang mga base ay parallel sa bawat isa
• Ang mga gilid na mukha ay parihaba
• Ang mga gilid ng gilid ay pantay sa bawat isa
• Ang mga gilid na mukha ay patayo sa mga base
• Ang mga lateral ribs ay parallel sa isa't isa at pantay
• Perpendicular section patayo sa lahat ng side ribs at parallel sa bases
• Mga anggulo ng patayong seksyon - tuwid
• Ang diagonal na cross section ng isang regular na quadrangular prism ay isang parihaba
• Perpendicular (orthogonal section) parallel sa mga base

Mga formula para sa isang regular na quadrangular prism

Mga tagubilin para sa paglutas ng mga problema

Kapag nilulutas ang mga problema sa paksa " regular na quadrangular prism" ibig sabihin ay:

Tamang prisma- isang prisma sa base kung saan matatagpuan ang isang regular na polygon, at ang mga gilid ng gilid ay patayo sa mga eroplano ng base. Iyon ay, ang isang regular na quadrangular prism ay naglalaman sa base nito parisukat. (tingnan ang mga katangian ng isang regular na quadrangular prism sa itaas) Tandaan. Ito ay bahagi ng isang aralin na may mga problema sa geometry (section stereometry - prism). Narito ang mga problemang mahirap lutasin. Kung kailangan mong lutasin ang isang problema sa geometry na wala dito, isulat ang tungkol dito sa forum. Upang ipahiwatig ang pagkilos ng pagkuha parisukat na ugat ang simbolo ay ginagamit sa paglutas ng mga suliranin√ .

Gawain.

Sa isang regular na quadrangular prism, ang base area ay 144 cm 2 at ang taas ay 14 cm. Hanapin ang dayagonal ng prism at ang kabuuang surface area.

Solusyon.
Ang isang regular na quadrilateral ay isang parisukat.
Alinsunod dito, ang gilid ng base ay magiging pantay

√144 = 12 cm.
Saan nagmula ang dayagonal ng base? parihabang prisma magiging pantay
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

dayagonal tamang prisma mga form na may dayagonal ng base at ang taas ng prisma kanang tatsulok. Alinsunod dito, ayon sa Pythagorean theorem, ang dayagonal ng isang regular na quadrangular prism ay magiging katumbas ng:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Sagot: 22 cm

Gawain

Tukuyin ang kabuuang ibabaw ng isang regular na quadrangular prism kung ang dayagonal nito ay 5 cm at ang dayagonal ng gilid na mukha nito ay 4 cm.

Solusyon.
Dahil ang base ng isang regular na quadrangular prism ay isang parisukat, makikita natin ang gilid ng base (na tinukoy bilang a) gamit ang Pythagorean theorem:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5

Ang taas ng gilid na mukha (na tinukoy bilang h) ay magiging katumbas ng:

H 2 + 12.5 = 4 2
h 2 + 12.5 = 16
h 2 = 3.5
h = √3.5

Ang kabuuang lugar sa ibabaw ay magiging katumbas ng kabuuan ng lateral surface area at dalawang beses sa base area

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12.5 * √3.5
S = 25 + 4√43.75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51.46 cm 2.

Sagot: 25 + 10√7 ≈ 51.46 cm 2.

Ang iba't ibang mga prisma ay naiiba sa bawat isa. Kasabay nito, marami silang pagkakatulad. Upang mahanap ang lugar ng base ng prisma, kakailanganin mong maunawaan kung anong uri ito.

Pangkalahatang teorya

Ang prisma ay anumang polyhedron na ang mga gilid ay may hugis ng paralelogram. Bukod dito, ang base nito ay maaaring maging anumang polyhedron - mula sa isang tatsulok hanggang sa isang n-gon. Bukod dito, ang mga base ng prisma ay palaging pantay sa bawat isa. Ang hindi naaangkop sa mga mukha sa gilid ay maaari silang mag-iba nang malaki sa laki.

Kapag nilulutas ang mga problema, hindi lamang ang lugar ng base ng prisma ang nakatagpo. Maaaring mangailangan ito ng kaalaman sa lateral surface, iyon ay, lahat ng mga mukha na hindi base. Buong ibabaw magkakaroon na ng unyon ng lahat ng mukha na bumubuo sa prisma.

Minsan ang mga problema ay may kinalaman sa taas. Ito ay patayo sa mga base. Ang dayagonal ng isang polyhedron ay isang segment na nag-uugnay sa mga pares ng anumang dalawang vertices na hindi kabilang sa parehong mukha.

Dapat pansinin na ang base area ng isang tuwid o hilig na prisma ay hindi nakasalalay sa anggulo sa pagitan ng mga ito at ng mga gilid na mukha. Kung mayroon silang parehong mga numero sa itaas at ibabang mga mukha, kung gayon ang kanilang mga lugar ay magiging pantay.

Triangular na prisma

Ito ay nasa base nito ng isang pigura na may tatlong vertex, iyon ay, isang tatsulok. Tulad ng alam mo, maaaring iba ito. Kung gayon, sapat na tandaan na ang lugar nito ay tinutukoy ng kalahati ng produkto ng mga binti.

Ang mathematical notation ay ganito ang hitsura: S = ½ av.

Upang malaman ang lugar ng base sa pangkalahatang pananaw, ang mga formula ay magiging kapaki-pakinabang: Heron at ang isa kung saan ang kalahati ng gilid ay dadalhin sa taas na iginuhit dito.

Ang unang formula ay dapat na nakasulat tulad ng sumusunod: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Ang notasyong ito ay naglalaman ng isang semi-perimeter (p), iyon ay, ang kabuuan ng tatlong panig na hinati ng dalawa.

Pangalawa: S = ½ n a * a.

Kung nais mong malaman ang lugar ng base ng isang tatsulok na prism, na regular, kung gayon ang tatsulok ay nagiging equilateral. Mayroong formula para dito: S = ¼ a 2 * √3.

Quadrangular prism

Ang base nito ay alinman sa mga kilalang quadrangles. Maaari itong maging isang parihaba o parisukat, parallelepiped o rhombus. Sa bawat kaso, upang makalkula ang lugar ng base ng prisma, kakailanganin mo ang iyong sariling formula.

Kung ang base ay isang parihaba, ang lugar nito ay tinutukoy bilang mga sumusunod: S = ab, kung saan ang a, b ay ang mga gilid ng parihaba.

Pagdating sa isang quadrangular prism, ang lugar ng base ng isang regular na prism ay kinakalkula gamit ang formula para sa isang parisukat. Dahil siya ang namamalagi sa pundasyon. S = a 2.

Sa kaso kapag ang base ay parallelepiped, kakailanganin ang sumusunod na pagkakapantay-pantay: S = a * n a. Ito ay nangyayari na ang gilid ng isang parallelepiped at isa sa mga anggulo ay ibinigay. Pagkatapos, upang kalkulahin ang taas, kakailanganin mong gumamit ng karagdagang formula: n a = b * sin A. Bukod dito, ang anggulo A ay katabi ng gilid na "b", at ang taas n ay kabaligtaran ng anggulong ito.

Kung mayroong isang rhombus sa base ng prisma, pagkatapos ay upang matukoy ang lugar nito kakailanganin mo ang parehong formula tulad ng para sa isang paralelogram (dahil ito ay isang espesyal na kaso nito). Ngunit maaari mo ring gamitin ito: S = ½ d 1 d 2. Narito ang d 1 at d 2 ay dalawang dayagonal ng rhombus.

Regular na pentagonal prism

Ang kasong ito ay nagsasangkot ng paghahati ng polygon sa mga tatsulok, ang mga lugar kung saan mas madaling malaman. Bagama't nangyayari na ang mga numero ay maaaring magkaroon ng ibang bilang ng mga vertex.

Dahil ang base ng prisma ay isang regular na pentagon, maaari itong hatiin sa limang equilateral triangles. Kung gayon ang lugar ng base ng prisma ay katumbas ng lugar ng isang ganoong tatsulok (ang formula ay makikita sa itaas), pinarami ng lima.

Regular na hexagonal prism

Gamit ang prinsipyong inilarawan para sa isang pentagonal prism, posibleng hatiin ang hexagon ng base sa 6 equilateral triangles. Ang formula para sa base area ng naturang prisma ay katulad ng nauna. Dapat lang itong i-multiply sa anim.

Magiging ganito ang formula: S = 3/2 a 2 * √3.

Mga gawain

Hindi. 1. Dahil sa isang regular na tuwid na linya, ang dayagonal nito ay 22 cm, ang taas ng polyhedron ay 14 cm Kalkulahin ang lugar ng base ng prisma at ang buong ibabaw.

Solusyon. Ang base ng prisma ay isang parisukat, ngunit ang gilid nito ay hindi kilala. Mahahanap mo ang halaga nito mula sa dayagonal ng parisukat (x), na nauugnay sa dayagonal ng prisma (d) at taas nito (h). x 2 = d 2 - n 2. Sa kabilang banda, ang segment na ito na "x" ay ang hypotenuse sa isang tatsulok na ang mga binti ay katumbas ng gilid ng parisukat. Iyon ay, x 2 = a 2 + a 2. Kaya lumalabas na ang isang 2 = (d 2 - n 2)/2.

Palitan ang numero 22 sa halip na d, at palitan ang "n" ng halaga nito - 14, lumalabas na ang gilid ng parisukat ay 12 cm Ngayon alamin lamang ang lugar ng base: 12 * 12 = 144 cm 2.

Upang malaman ang lugar ng buong ibabaw, kailangan mong magdagdag ng dalawang beses sa base area at quadruple ang side area. Ang huli ay madaling mahanap gamit ang formula para sa isang parihaba: i-multiply ang taas ng polyhedron at ang gilid ng base. Iyon ay, 14 at 12, ang bilang na ito ay magiging katumbas ng 168 cm 2. Ang kabuuang lugar ng ibabaw ng prisma ay lumalabas na 960 cm 2.

Sagot. Ang lugar ng base ng prism ay 144 cm 2. Ang buong ibabaw ay 960 cm 2.

Hindi. 2. Ibinigay Sa base mayroong isang tatsulok na may gilid na 6 cm Sa kasong ito, ang dayagonal ng gilid na mukha ay 10 cm Kalkulahin ang mga lugar: ang base at ang gilid na ibabaw.

Solusyon. Dahil ang prisma ay regular, ang base nito ay isang equilateral triangle. Samakatuwid, lumalabas na ang lawak nito ay katumbas ng 6 na parisukat, pinarami ng ¼ at ang parisukat na ugat ng 3. Ang isang simpleng pagkalkula ay humahantong sa resulta: 9√3 cm 2. Ito ang lugar ng isang base ng prisma.

Ang lahat ng mga gilid na mukha ay pareho at mga parihaba na may mga gilid na 6 at 10 cm Upang kalkulahin ang kanilang mga lugar, i-multiply lamang ang mga numerong ito. Pagkatapos ay i-multiply ang mga ito sa tatlo, dahil ang prisma ay may eksaktong ganoong karaming mga mukha sa gilid. Pagkatapos ang lugar ng lateral surface ng sugat ay lumalabas na 180 cm 2.

Sagot. Mga lugar: base - 9√3 cm 2, lateral surface ng prism - 180 cm 2.

Kasama sa kursong video na "Kumuha ng A" ang lahat ng mga paksang kinakailangan para sa matagumpay pagpasa sa Unified State Exam sa matematika para sa 60-65 puntos. Ganap ang lahat ng mga gawain 1-13 ng Profile Unified State Exam sa matematika. Angkop din para sa pagpasa sa Basic Unified State Examination sa matematika. Kung gusto mong makapasa sa Unified State Exam na may 90-100 points, kailangan mong lutasin ang part 1 sa loob ng 30 minuto at walang pagkakamali!

Kurso sa paghahanda para sa Unified State Exam para sa grade 10-11, gayundin para sa mga guro. Lahat ng kailangan mo para malutas ang Part 1 ng Unified State Exam sa matematika (ang unang 12 problema) at Problema 13 (trigonometry). At ito ay higit sa 70 puntos sa Unified State Exam, at hindi magagawa ng isang 100-point na mag-aaral o ng isang mag-aaral sa humanities kung wala sila.

Lahat ng kinakailangang teorya. Mabilis na paraan mga solusyon, mga pitfalls at mga lihim ng Unified State Exam. Ang lahat ng kasalukuyang gawain ng bahagi 1 mula sa FIPI Task Bank ay nasuri. Ang kurso ay ganap na sumusunod sa mga kinakailangan ng Unified State Exam 2018.

Ang kurso ay naglalaman ng 5 malalaking paksa, 2.5 oras bawat isa. Ang bawat paksa ay ibinigay mula sa simula, simple at malinaw.

Daan-daang mga gawain ng Pinag-isang State Exam. Mga problema sa salita at teorya ng posibilidad. Simple at madaling matandaan ang mga algorithm para sa paglutas ng mga problema. Geometry. Teorya, sangguniang materyal, pagsusuri ng lahat ng uri ng mga gawain sa Pinag-isang Estado ng Pagsusuri. Stereometry. Mga nakakalito na solusyon, kapaki-pakinabang na cheat sheet, pag-unlad spatial na imahinasyon. Trigonometry mula sa simula hanggang sa problema 13. Pag-unawa sa halip na pag-cramming. Malinaw na pagpapaliwanag ng mga kumplikadong konsepto. Algebra. Mga ugat, kapangyarihan at logarithms, function at derivative. Isang batayan para sa paglutas ng mga kumplikadong problema ng Bahagi 2 ng Pinag-isang Pagsusulit ng Estado.