Uri ng trabaho: 8
Tema: Prisma

Kundisyon

Sa isang regular na triangular prism ABCA_1B_1C_1 ang mga gilid ng base ay 4, at gilid tadyang ay katumbas ng 10. Hanapin ang cross-sectional area ng prism sa pamamagitan ng eroplano na dumadaan sa mga midpoint ng mga gilid AB, AC, A_1B_1 at A_1C_1.

Ipakita ang solusyon

Solusyon

Isaalang-alang ang sumusunod na pigura.

Ang segment na MN ay midline tatsulok A_1B_1C_1, samakatuwid MN = \frac12 B_1C_1=2. Gayundin, KL=\frac12BC=2. Bilang karagdagan, MK = NL = 10. Ito ay sumusunod na ang may apat na gilid MNLK ay isang paralelogram. Dahil MK\parallel AA_1, pagkatapos ay MK\perp ABC at MK\perp KL. Samakatuwid, ang quadrilateral MNLK ay isang parihaba. S_(MNLK) = MK\cdot KL = 10\cdot 2 = 20.

Sagot

Uri ng trabaho: 8
Tema: Prisma

Kundisyon

Ang volume ng isang regular na quadrangular prism ABCDA_1B_1C_1D_1 ay 24 . Ang point K ay ang gitna ng gilid CC_1. Hanapin ang volume ng pyramid KBCD.

Ipakita ang solusyon

Solusyon

Ayon sa kondisyon, ang KC ay ang taas ng pyramid KBCD. Ang CC_1 ay ang taas ng prisma ABCDA_1B_1C_1D_1 .

Dahil ang K ay ang midpoint ng CC_1, kung gayon KC=\frac12CC_1. Hayaan ang CC_1=H , pagkatapos KC=\frac12H. Tandaan din iyan S_(BCD)=\frac12S_(ABCD). pagkatapos, V_(KBCD)= \frac13S_(BCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac13\cdot\frac12S_(ABCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac(1)(12)\cdot S_(ABCD)\cdot H= \frac(1)(12)V_(ABCDA_1B_1C_1D_1). Kaya naman, V_(KBCD)=\frac(1)(12)\cdot24=2.

Sagot

Source: “Matematika. Paghahanda para sa Unified State Exam 2017. Antas ng profile." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Uri ng trabaho: 8
Tema: Prisma

Kundisyon

Hanapin ang lateral surface area ng isang regular na hexagonal prism na ang base side ay 6 at taas ay 8.

Ipakita ang solusyon

Solusyon

Ang lugar ng lateral surface ng prism ay matatagpuan sa gilid ng formula S. = P basic · h = 6a\cdot h, kung saan ang P basic. at ang h ay, ayon sa pagkakabanggit, ang perimeter ng base at ang taas ng prism, katumbas ng 8, at ang a ay ang gilid ng isang regular na hexagon, katumbas ng 6. Samakatuwid, S side. = 6\cdot 6\cdot 8 = 288.

Sagot

Source: “Matematika. Paghahanda para sa Unified State Exam 2017. Antas ng profile." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Uri ng trabaho: 8
Tema: Prisma

Kundisyon

Sa isang sisidlan na may regular na hugis tatsulok na prisma, binuhusan ng tubig. Ang antas ng tubig ay umabot sa 40 cm. Sa anong taas ang antas ng tubig kung ito ay ibubuhos sa isa pang sisidlan ng parehong hugis, na ang gilid ng base ay dalawang beses na mas malaki kaysa sa una? Ipahayag ang iyong sagot sa sentimetro.

Ipakita ang solusyon

Solusyon

Hayaang a ang gilid ng base ng unang sisidlan, pagkatapos ang 2 a ay ang gilid ng base ng pangalawang sisidlan. Sa kondisyon, ang dami ng likido V sa una at pangalawang sisidlan ay pareho. Ipahiwatig natin sa pamamagitan ng H ang antas kung saan tumaas ang likido sa pangalawang sisidlan. Pagkatapos V= \frac12\cdot a^2\cdot\sin60^(\circ)\cdot40= \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40, at, V=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H. Mula rito \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H, 40=4H, H=10.

Sagot

Source: “Matematika. Paghahanda para sa Unified State Exam 2017. Antas ng profile." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Uri ng trabaho: 8
Tema: Prisma

Kundisyon

Sa isang regular na hexagonal prism ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 lahat ng mga gilid ay katumbas ng 2. Hanapin ang distansya sa pagitan ng mga punto A at E_1.

Ipakita ang solusyon

Solusyon

Ang Triangle AEE_1 ay hugis-parihaba, dahil ang gilid EE_1 ay patayo sa eroplano ng base ng prism, ang anggulong AEE_1 ay magiging isang tamang anggulo.

Pagkatapos, sa pamamagitan ng Pythagorean theorem, AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2. Hanapin natin ang AE mula sa tatsulok na AFE gamit ang cosine theorem. Ang bawat panloob na anggulo ng isang regular na hexagon ay 120^(\circ). Pagkatapos AE^2= AF^2+FE^2-2\cdot AF\cdot FE\cdot\cos120^(\circ)= 2^2+2^2-2\cdot2\cdot2\cdot\left (-\frac12 \right).

Kaya, AE^2=4+4+4=12,

AE_1^2=12+4=16,

AE_1=4.

Sagot

Source: “Matematika. Paghahanda para sa Unified State Exam 2017. Antas ng profile." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Uri ng trabaho: 8
Tema: Prisma

Kundisyon

Hanapin ang lateral surface area ng isang tuwid na prisma, sa base kung saan matatagpuan ang isang rhombus na may mga diagonal na katumbas ng 4\sqrt5 at 8, at isang gilid na gilid na katumbas ng 5.

Ipakita ang solusyon

Solusyon

Ang lugar ng lateral surface ng isang tuwid na prisma ay matatagpuan sa gilid ng formula S. = P basic · h = 4a\cdot h, kung saan ang P basic. at h, ayon sa pagkakabanggit, ang perimeter ng base at ang taas ng prism, katumbas ng 5, at ang a ay ang gilid ng rhombus. Hanapin natin ang gilid ng rhombus gamit ang katotohanan na ang mga dayagonal ng rhombus ABCD ay magkaparehong patayo at nahahati sa punto ng intersection.

Ang video course na "Kumuha ng A" ay kinabibilangan ng lahat ng mga paksang kinakailangan upang matagumpay na makapasa sa Pinag-isang State Exam sa matematika na may 60-65 puntos. Ganap ang lahat ng mga gawain 1-13 ng Profile Unified State Exam sa matematika. Angkop din para sa pagpasa sa Basic Unified State Examination sa matematika. Kung gusto mong makapasa sa Unified State Exam na may 90-100 points, kailangan mong lutasin ang part 1 sa loob ng 30 minuto at walang pagkakamali!

Kurso sa paghahanda para sa Unified State Exam para sa grade 10-11, gayundin para sa mga guro. Lahat ng kailangan mo para malutas ang Part 1 ng Unified State Exam sa matematika (ang unang 12 problema) at Problema 13 (trigonometry). At ito ay higit sa 70 puntos sa Unified State Exam, at hindi magagawa ng isang 100-point na mag-aaral o ng isang mag-aaral sa humanities kung wala sila.

Lahat ng kinakailangang teorya. Mabilis na paraan mga solusyon, mga pitfalls at mga lihim ng Unified State Exam. Ang lahat ng kasalukuyang gawain ng bahagi 1 mula sa FIPI Task Bank ay nasuri. Ang kurso ay ganap na sumusunod sa mga kinakailangan ng Unified State Exam 2018.

Ang kurso ay naglalaman ng 5 malalaking paksa, 2.5 oras bawat isa. Ang bawat paksa ay ibinigay mula sa simula, simple at malinaw.

Daan-daang mga gawain ng Pinag-isang State Exam. Mga problema sa salita at teorya ng posibilidad. Simple at madaling matandaan ang mga algorithm para sa paglutas ng mga problema. Geometry. Teorya, sangguniang materyal, pagsusuri ng lahat ng uri ng mga gawain sa Pinag-isang Estado ng Pagsusuri. Stereometry. Mga nakakalito na solusyon, kapaki-pakinabang na cheat sheet, pag-unlad spatial na imahinasyon. Trigonometry mula sa simula hanggang sa problema 13. Pag-unawa sa halip na pag-cramming. Malinaw na pagpapaliwanag ng mga kumplikadong konsepto. Algebra. Mga ugat, kapangyarihan at logarithms, function at derivative. Isang batayan para sa paglutas ng mga kumplikadong problema ng Bahagi 2 ng Pinag-isang Pagsusulit ng Estado.

Mga mag-aaral na naghahanda para sa pagpasa sa Unified State Exam sa matematika, dapat mong matutunan kung paano lutasin ang mga problema upang mahanap ang lugar ng isang tuwid na linya at tamang prisma. Maraming taon ng pagsasanay ang nagpapatunay sa katotohanang itinuturing ng maraming estudyante na medyo mahirap ang mga gawaing geometry.

Kasabay nito, ang mga mag-aaral sa high school na may anumang antas ng pagsasanay ay dapat na mahanap ang lugar at dami ng isang regular at tuwid na prisma. Sa kasong ito lamang sila makakaasa sa pagtanggap ng mapagkumpitensyang mga marka batay sa mga resulta ng pagpasa sa Unified State Exam.

Mga Pangunahing Punto na Dapat Tandaan

• Kung ang mga lateral na gilid ng isang prisma ay patayo sa base, ito ay tinatawag na isang tuwid na linya. Ang lahat ng panig na mukha ng figure na ito ay mga parihaba. Ang taas ng isang tuwid na prisma ay tumutugma sa gilid nito.
• Ang isang regular na prisma ay isa na ang mga gilid ng gilid ay patayo sa base kung saan matatagpuan ang regular na polygon. Ang mga gilid na mukha ng figure na ito ay pantay na mga parihaba. Ang tamang prisma ay palaging tuwid.

Ang paghahanda para sa pinag-isang pagsusulit ng estado kasama ang Shkolkovo ay ang susi sa iyong tagumpay!

Upang gawing madali at pinakamabisa ang iyong mga klase hangga't maaari, piliin ang aming portal ng matematika. Lahat ay ipinakita dito kinakailangang materyal, na tutulong sa iyo na maghanda para sa pagpasa sa pagsusulit sa sertipikasyon.

Mga espesyalista proyektong pang-edukasyon Ang "Shkolkovo" ay nagmumungkahi na pumunta mula sa simple hanggang sa kumplikado: una ay nagbibigay kami ng teorya, mga pangunahing formula, theorems at elementarya na mga problema sa mga solusyon, at pagkatapos ay unti-unting lumipat sa mga takdang-aralin antas ng eksperto.

Ang pangunahing impormasyon ay sistematiko at malinaw na ipinakita sa seksyong "Teoretikal na Impormasyon". Kung nagawa mo nang ulitin ang kinakailangang materyal, inirerekumenda namin na magsanay ka sa paglutas ng mga problema sa paghahanap ng lugar at dami ng tamang prisma. Ang seksyong "Catalog" ay nagpapakita malaking seleksyon mga pagsasanay na may iba't ibang antas ng kahirapan.

Subukang kalkulahin ang lugar ng isang tuwid at regular na prisma o ngayon. Pag-aralan ang anumang gawain. Kung hindi ito nagdudulot ng anumang kahirapan, maaari kang ligtas na magpatuloy sa mga pagsasanay sa antas ng eksperto. At kung lumitaw ang ilang mga paghihirap, inirerekumenda namin na regular kang maghanda para sa Pinag-isang Estado ng Pagsusulit online kasama ang portal ng matematika ng Shkolkovo, at ang mga gawain sa paksang "Straight and Regular Prism" ay magiging madali para sa iyo.

Kahulugan.

Ito ay isang heksagono, ang mga base nito ay dalawang pantay na parisukat, at ang mga gilid ng mukha ay pantay na mga parihaba

Tadyang sa gilid- Ito karaniwang panig dalawang magkatabing gilid na mukha

Taas ng prisma- ito ay isang segment na patayo sa mga base ng prisma

Prism dayagonal- isang segment na nagkokonekta sa dalawang vertice ng mga base na hindi kabilang sa parehong mukha

Diagonal na eroplano- isang eroplano na dumadaan sa dayagonal ng prism at sa mga gilid nito

Diagonal na seksyon- ang mga hangganan ng intersection ng prism at ang diagonal na eroplano. Ang diagonal na cross section ng isang regular na quadrangular prism ay isang parihaba

Perpendicular section (orthogonal section)- ito ang intersection ng isang prisma at isang eroplanong iginuhit patayo sa mga gilid nito.

Mga elemento ng isang regular na quadrangular prism

Ang figure ay nagpapakita ng dalawang regular na quadrangular prisms, na ipinahiwatig ng kaukulang mga titik:

• Ang mga batayang ABCD at A 1 B 1 C 1 D 1 ay pantay at magkatulad sa isa't isa
• Nakaharap sa gilid AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C at CC 1 D 1 D, bawat isa ay parihaba
• Ibabaw sa gilid- ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng lateral na mukha ng prisma
• Kabuuang ibabaw - ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga base at gilid na mukha (kabuuan ng lugar ng gilid na ibabaw at mga base)
• Mga tadyang sa gilid AA 1, BB 1, CC 1 at DD 1.
• Diagonal B 1 D
• Base dayagonal BD
• Diagonal na seksyon BB 1 D 1 D
• Perpendikular na seksyon A 2 B 2 C 2 D 2.

Mga katangian ng isang regular na quadrangular prism

• Ang mga base ay dalawang pantay na parisukat
• Ang mga base ay parallel sa bawat isa
• Ang mga gilid na mukha ay parihaba
• Ang mga gilid ng gilid ay pantay sa bawat isa
• Ang mga gilid na mukha ay patayo sa mga base
• Ang mga lateral ribs ay parallel sa isa't isa at pantay
• Perpendicular section patayo sa lahat ng side ribs at parallel sa bases
• Ang mga anggulo ng patayong seksyon - tuwid
• Ang diagonal na cross section ng isang regular na quadrangular prism ay isang parihaba
• Perpendicular (orthogonal section) parallel sa mga base

Mga formula para sa isang regular na quadrangular prism

Mga tagubilin para sa paglutas ng mga problema

Kapag nilulutas ang mga problema sa paksa " regular na quadrangular prism" ibig sabihin ay:

Tamang prisma- isang prisma sa base kung saan matatagpuan ang isang regular na polygon, at ang mga gilid ng gilid ay patayo sa mga eroplano ng base. Iyon ay, ang isang regular na quadrangular prism ay naglalaman sa base nito parisukat. (tingnan ang mga katangian ng isang regular na quadrangular prism sa itaas) Tandaan. Ito ay bahagi ng isang aralin na may mga problema sa geometry (section stereometry - prism). Narito ang mga problemang mahirap lutasin. Kung kailangan mong lutasin ang isang problema sa geometry na wala dito, isulat ang tungkol dito sa forum. Upang ipahiwatig ang pagkilos ng pagkuha parisukat na ugat ang simbolo ay ginagamit sa paglutas ng mga suliranin√ .

Gawain.

Sa isang regular na quadrangular prism, ang base area ay 144 cm 2 at ang taas ay 14 cm. Hanapin ang dayagonal ng prism at ang area buong ibabaw.

Solusyon.
Ang isang regular na may apat na gilid ay isang parisukat.
Alinsunod dito, ang gilid ng base ay magiging pantay

√144 = 12 cm.
Saan nagmula ang dayagonal ng base? parihabang prisma magiging pantay
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Ang dayagonal ng isang regular na prism ay bumubuo ng isang tamang tatsulok na may dayagonal ng base at ang taas ng prisma. Alinsunod dito, ayon sa Pythagorean theorem, ang dayagonal ng isang regular na quadrangular prism ay magiging katumbas ng:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Sagot: 22 cm

Gawain

Tukuyin ang kabuuang ibabaw ng isang regular na quadrangular prism kung ang dayagonal nito ay 5 cm at ang dayagonal ng gilid na mukha nito ay 4 cm.

Solusyon.
Dahil ang base ng isang regular na quadrangular prism ay isang parisukat, makikita natin ang gilid ng base (na tinukoy bilang a) gamit ang Pythagorean theorem:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5

Ang taas ng gilid na mukha (na tinukoy bilang h) ay magiging katumbas ng:

H 2 + 12.5 = 4 2
h 2 + 12.5 = 16
h 2 = 3.5
h = √3.5

Ang kabuuang lugar sa ibabaw ay magiging katumbas ng kabuuan ng lateral surface area at dalawang beses sa base area

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12.5 * √3.5
S = 25 + 4√43.75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51.46 cm 2.

Sagot: 25 + 10√7 ≈ 51.46 cm 2.

Ipagpalagay na kailangan nating hanapin ang volume ng isang right triangular prism, ang base area na katumbas ng S, at ang taas ay katumbas ng h= AA’ = BB’ = CC’ (Larawan 306).

Hiwalay nating iguhit ang base ng prisma, ibig sabihin, tatsulok na ABC (Larawan 307, a), at itayo ito hanggang sa isang parihaba, kung saan gumuhit tayo ng isang tuwid na linya KM sa pamamagitan ng vertex B || AC at mula sa mga puntong A at C ay ibinababa namin ang mga perpendikular na AF at CE sa linyang ito. Kumuha kami ng rectangle ACEF. Ang pagguhit ng taas ВD ng tatsulok na ABC, nakikita natin na ang parihaba na ACEF ay nahahati sa 4 kanang tatsulok. Bukod dito, \(\Delta\)ALL = \(\Delta\)BCD at \(\Delta\)BAF = \(\Delta\)BAD. Nangangahulugan ito na ang lugar ng rektanggulo na ACEF ay nadoble mas maraming lugar tatsulok na ABC, ibig sabihin, katumbas ng 2S.

Sa prisma na ito na may batayang ABC ay ikakabit namin ang mga prisma na may mga baseng LAHAT at BAF at taas h(Larawan 307, b). Kumuha kami ng isang parihabang parallelepiped na may base ng ACEF.

Kung hihiwalayin natin ang parallelepiped na ito sa isang eroplanong dumadaan sa mga tuwid na linya na BD at BB', makikita natin na ang rectangular parallelepiped ay binubuo ng 4 na prisms na may mga baseng BCD, ALL, BAD at BAF.

Ang mga prism na may mga base BCD at BC ay maaaring pagsamahin, dahil ang kanilang mga base ay pantay (\(\Delta\)BCD = \(\Delta\)BCE) at ang kanilang mga gilid na gilid, na patayo sa parehong eroplano, ay pantay din. Nangangahulugan ito na ang mga volume ng mga prism na ito ay pantay. Ang mga volume ng prisms na may mga baseng BAD at BAF ay pantay din.

Kaya, lumalabas na ang dami ng isang naibigay na tatsulok na prisma na may batayang ABC ay nadoble mas kaunting volume parihabang parallelepiped may ACEF base.

Alam namin na ang dami ng isang parihabang parallelepiped ay katumbas ng produkto ng lugar ng base nito at taas nito, i.e. sa kasong ito katumbas ng 2S h. Kaya't ang dami ng kanang tatsulok na prisma na ito ay katumbas ng S h.

Ang dami ng isang right triangular prism ay katumbas ng produkto ng lugar ng base nito at taas nito.

2. Dami ng isang tamang polygonal prism.

Upang mahanap ang volume ng isang tamang polygonal prism, halimbawa isang pentagonal, na may base area S at taas h, hatiin natin ito sa tatsulok na prisma (Larawan 308).

Ang pagtukoy sa mga batayang lugar ng tatsulok na prisma ng S 1, S 2 at S 3, at ang dami ng isang binigay na polygonal prism ng V, nakukuha namin ang:

V = S 1 h+ S 2 h+ S 3 h, o

V = (S 1 + S 2 + S 3) h.

At sa wakas: V = S h.

Sa parehong paraan, ang formula para sa dami ng isang tamang prisma na may anumang polygon sa base nito ay hinango.

Ibig sabihin, Ang dami ng anumang tamang prisma ay katumbas ng produkto ng lugar ng base nito at taas nito.

Dami ng prisma

Teorama. Ang dami ng isang prisma ay katumbas ng produkto ng lugar ng base at taas.

Una naming patunayan ang teorama na ito para sa isang tatsulok na prisma, at pagkatapos ay para sa isang polygonal.

1) Gumuhit tayo (Larawan 95) sa gilid AA 1 ng tatsulok na prism ABCA 1 B 1 C 1 ng isang eroplanong parallel sa harap ng BB 1 C 1 C, at sa gilid ng CC 1 ng isang eroplanong parallel sa mukha AA 1 B 1 B ; pagkatapos ay ipagpapatuloy namin ang mga eroplano ng magkabilang base ng prisma hanggang sa magsalubong sila sa mga iginuhit na eroplano.

Pagkatapos ay nakakakuha tayo ng parallelepiped BD 1, na hinati ng diagonal plane AA 1 C 1 C sa dalawang triangular prisms (isa dito ay ito). Patunayan natin na ang mga prism na ito ay pantay sa laki. Upang gawin ito, gumuhit kami ng isang patayo na seksyon a B C D. Ang cross-section ay gagawa ng paralelogram na ang dayagonal ac ay nahahati sa dalawang pantay na tatsulok. Ang prisma na ito ay katumbas ng laki sa isang tuwid na prisma na ang base ay \(\Delta\) abc, at ang taas ay gilid AA 1. Ang isa pang tatsulok na prisma ay katumbas ng lugar sa isang tuwid na linya na ang base ay \(\Delta\) adc, at ang taas ay gilid AA 1. Ngunit ang dalawang tuwid na prisma na may pantay na base at pantay na taas ay pantay (dahil kapag ipinasok ang mga ito ay pinagsama), ibig sabihin, ang mga prisma na ABCA 1 B 1 C 1 at ADCA 1 D 1 C 1 ay magkapareho sa laki. Ito ay sumusunod mula dito na ang dami ng prisma na ito ay kalahati ng dami ng parallelepiped BD 1; samakatuwid, na nagsasaad ng taas ng prisma sa pamamagitan ng H, nakukuha natin:

$$ V_(\Delta ex.) = \frac(S_(ABCD)\cdot H)(2) = \frac(S_(ABCD))(2)\cdot H = S_(ABC)\cdot H $$

2) Gumuhit tayo ng mga diagonal na eroplano AA 1 C 1 C at AA 1 D 1 D sa gilid ng AA 1 ng polygonal prism (Fig. 96).

Pagkatapos ang prisma na ito ay gupitin sa ilang tatsulok na prisma. Ang kabuuan ng mga volume ng mga prism na ito ay bumubuo ng kinakailangang dami. Kung tukuyin natin ang mga lugar ng kanilang mga base sa pamamagitan ng b 1 , b 2 , b 3, at ang kabuuang taas hanggang H, nakukuha natin:

dami ng polygonal prism = b 1H+ b 2H+ b 3 H =( b 1 + b 2 + b 3) H =

= (lugar ABCDE) H.

Bunga. Kung ang V, B at H ay mga numero na nagpapahayag sa kaukulang mga yunit ng lakas ng tunog, base area at taas ng prisma, kung gayon, ayon sa napatunayan, maaari nating isulat:

Iba pang mga materyales