Kasama sa kursong video na "Kumuha ng A" ang lahat ng mga paksang kinakailangan para sa matagumpay pagpasa sa Unified State Exam sa matematika para sa 60-65 puntos. Ganap ang lahat ng mga gawain 1-13 ng Profile Unified State Exam sa matematika. Angkop din para sa pagpasa sa Basic Unified State Examination sa matematika. Kung gusto mong makapasa sa Unified State Exam na may 90-100 points, kailangan mong lutasin ang part 1 sa loob ng 30 minuto at walang pagkakamali!

Kurso sa paghahanda para sa Unified State Exam para sa grade 10-11, gayundin para sa mga guro. Lahat ng kailangan mo para malutas ang Part 1 ng Unified State Exam sa matematika (ang unang 12 problema) at Problema 13 (trigonometry). At ito ay higit sa 70 puntos sa Unified State Exam, at hindi magagawa ng isang 100-point na mag-aaral o ng isang mag-aaral sa humanities kung wala sila.

Lahat ng kinakailangang teorya. Mabilis na paraan mga solusyon, mga pitfalls at mga lihim ng Unified State Exam. Ang lahat ng kasalukuyang gawain ng bahagi 1 mula sa FIPI Task Bank ay nasuri. Ang kurso ay ganap na sumusunod sa mga kinakailangan ng Unified State Exam 2018.

Ang kurso ay naglalaman ng 5 malalaking paksa, 2.5 oras bawat isa. Ang bawat paksa ay ibinigay mula sa simula, simple at malinaw.

Daan-daang mga gawain ng Pinag-isang State Exam. Mga problema sa salita at teorya ng posibilidad. Simple at madaling matandaan ang mga algorithm para sa paglutas ng mga problema. Geometry. Teorya, sangguniang materyal, pagsusuri ng lahat ng uri ng mga gawain sa Pinag-isang Estado ng Pagsusuri. Stereometry. Mga nakakalito na solusyon, kapaki-pakinabang na cheat sheet, pag-unlad spatial na imahinasyon. Trigonometry mula sa simula hanggang sa problema 13. Pag-unawa sa halip na pag-cramming. Malinaw na pagpapaliwanag ng mga kumplikadong konsepto. Algebra. Mga ugat, kapangyarihan at logarithms, function at derivative. Isang batayan para sa paglutas ng mga kumplikadong problema ng Bahagi 2 ng Pinag-isang Pagsusulit ng Estado.

Pangkalahatang impormasyon tungkol sa tuwid na prisma

Ang lateral surface ng isang prism (mas tiyak, ang lateral surface area) ay tinatawag kabuuan mga lugar ng mga gilid na mukha. Ang kabuuang ibabaw ng prisma ay katumbas ng kabuuan ng lateral surface at ang mga lugar ng mga base.

Teorama 19.1. Ang pag-ilid na ibabaw ng isang tuwid na prisma ay katumbas ng produkto ng perimeter ng base at ang taas ng prisma, ibig sabihin, ang haba ng gilid ng gilid.

Patunay. Ang mga lateral na mukha ng isang tuwid na prisma ay mga parihaba. Ang mga base ng mga parihaba na ito ay ang mga gilid ng polygon na nakahiga sa base ng prisma, at ang mga taas ay katumbas ng haba ng mga gilid ng gilid. Sinusundan nito iyon ibabaw ng gilid pantay ang prisma

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

kung saan ang a 1 at n ay ang mga haba ng mga gilid ng base, ang p ay ang perimeter ng base ng prism, at ang I ay ang haba ng mga gilid ng gilid. Ang teorama ay napatunayan.

Praktikal na gawain

Problema (22) . Sa isang hilig na prisma ito ay isinasagawa seksyon, patayo sa gilid ng tadyang at intersecting lahat lateral ribs. Hanapin ang lateral surface ng prism kung ang perimeter ng seksyon ay katumbas ng p at ang mga gilid ng gilid ay katumbas ng l.

Solusyon. Ang eroplano ng iginuhit na seksyon ay naghahati sa prisma sa dalawang bahagi (Larawan 411). Ipasailalim natin ang isa sa kanila sa parallel na pagsasalin, na pinagsasama ang mga base ng prisma. Sa kasong ito, nakakakuha kami ng isang tuwid na prisma, ang base nito ay ang cross-section ng orihinal na prism, at ang mga gilid ng gilid ay katumbas ng l. Ang prisma na ito ay may parehong lateral surface gaya ng orihinal. Kaya, ang lateral surface ng orihinal na prisma ay katumbas ng pl.

Buod ng sakop na paksa

Ngayon subukan nating ibuod ang paksang tinalakay natin tungkol sa mga prisma at tandaan kung anong mga katangian ang taglay ng prisma.

Mga katangian ng prisma

Una, ang isang prisma ay mayroong lahat ng mga base nito bilang pantay na mga polygon;
Pangalawa, sa isang prisma ang lahat ng mga lateral na mukha nito ay parallelograms;
Pangatlo, sa tulad ng isang multifaceted figure bilang isang prisma, lahat ng mga lateral na gilid ay pantay;

Gayundin, dapat tandaan na ang polyhedra tulad ng prisms ay maaaring tuwid o hilig.

Aling prisma ang tinatawag na tuwid na prisma?

Kung ang gilid na gilid ng isang prisma ay matatagpuan patayo sa eroplano ng base nito, kung gayon ang naturang prisma ay tinatawag na isang tuwid.

Hindi magiging labis na alalahanin na ang mga lateral na mukha ng isang tuwid na prisma ay mga parihaba.

Anong uri ng prisma ang tinatawag na pahilig?

Ngunit kung ang gilid na gilid ng isang prisma ay hindi matatagpuan patayo sa eroplano ng base nito, maaari nating ligtas na sabihin na ito ay isang hilig na prisma.

Aling prisma ang tinatawag na tama?

Kung ang isang regular na polygon ay nasa base ng isang tuwid na prisma, kung gayon ang gayong prisma ay regular.

Ngayon alalahanin natin ang mga katangian ng isang regular na prisma.

Mga katangian ng isang regular na prisma

Una, ang mga regular na polygon ay palaging nagsisilbing mga base ng isang regular na prisma;
Pangalawa, kung isasaalang-alang natin ang mga gilid na mukha ng isang regular na prisma, sila ay palaging pantay na mga parihaba;
Pangatlo, kung ihahambing mo ang mga sukat ng mga tadyang sa gilid, kung gayon sa isang regular na prisma sila ay palaging pantay.
Pang-apat, ang tamang prisma ay palaging tuwid;
Ikalima, kung sa isang regular na prisma ang mga lateral na mukha ay may hugis ng mga parisukat, kung gayon ang naturang figure ay karaniwang tinatawag na semi-regular na polygon.

Prism cross section

Ngayon tingnan natin ang cross section ng prisma:

Takdang aralin

Ngayon, subukan nating pagsamahin ang paksang natutunan natin sa pamamagitan ng paglutas ng mga problema.

Gumuhit tayo ng isang slant tatsulok na prisma, kung saan ang distansya sa pagitan ng mga gilid nito ay magiging katumbas ng: 3 cm, 4 cm at 5 cm, at ang lateral surface ng prisma na ito ay magiging katumbas ng 60 cm2. Ang pagkakaroon ng mga parameter na ito, hanapin ang gilid na gilid ng prisma na ito.

Alam mo ba na ang mga geometric na numero ay patuloy na nakapaligid sa amin hindi lamang sa mga aralin sa geometry, kundi pati na rin sa Araw-araw na buhay May mga bagay na kahawig ng isa o ibang geometric na pigura.

Ang bawat tao sa bahay, sa paaralan o sa trabaho ay may isang computer na ang yunit ng system ay hugis tulad ng isang tuwid na prisma.

Kung kukuha ka ng isang simpleng lapis, makikita mo na ang pangunahing bahagi ng lapis ay isang prisma.

Sa paglalakad sa gitnang kalye ng lungsod, nakita namin na sa ilalim ng aming mga paa ay namamalagi ang isang tile na may hugis ng isang hexagonal prism.

A. V. Pogorelov, Geometry para sa mga baitang 7-11, Textbook para sa mga institusyong pang-edukasyon

Polygons ABCDE at FHKMP nakahiga parallel na eroplano, ay tinatawag na mga base ng prisma, ang patayo OO 1 ay bumaba mula sa anumang punto ng base patungo sa eroplano ng isa pa ay tinatawag na taas ng prisma. Parallelograms ABHF, BCKH, atbp. ay tinatawag na mga lateral na mukha ng prisma, at ang kanilang mga gilid SC, DM, atbp., na nagkokonekta sa kaukulang vertices ng mga base, ay tinatawag na lateral edges. Sa isang prisma, ang lahat ng lateral edge ay pantay-pantay sa bawat isa bilang mga segment ng parallel straight lines na nakapaloob sa pagitan ng parallel planes.
Ang prisma ay tinatawag na tuwid na linya ( Larawan 282, b) o pahilig ( Fig.282,c) depende sa kung ang mga tadyang sa gilid nito ay patayo o nakahilig sa mga base. Ang isang tuwid na prisma ay may mga hugis-parihaba na mukha sa gilid. Ang gilid ng gilid ay maaaring kunin bilang taas ng naturang prisma.
Ang tamang prisma ay tinatawag na regular kung ang mga base nito ay mga regular na polygon. Sa gayong prisma, ang lahat ng mga mukha sa gilid ay pantay na mga parihaba.
Upang ilarawan ang isang prisma sa isang kumplikadong pagguhit, kailangan mong malaman at magawang ilarawan ang mga elemento kung saan ito ay binubuo (isang punto, isang tuwid na linya, isang patag na pigura).
at ang kanilang imahe sa kumplikadong pagguhit (Larawan 283, a - i)

a) Kumplikadong pagguhit ng isang prisma. Ang base ng prism ay matatagpuan sa projection plane P 1; ang isa sa mga gilid na mukha ng prism ay parallel sa projection plane P 2.
b) Ang mas mababang base ng prism DEF ay isang flat figure - isang regular na tatsulok na matatagpuan sa eroplano P 1; ang gilid ng tatsulok DE ay parallel sa x-axis 12 - Ang pahalang na projection ay sumasama sa ibinigay na base at, samakatuwid, ay katumbas ng natural na sukat nito; Ang frontal projection ay sumasama sa x 12 axis at katumbas ng gilid ng base ng prisma.
c) Ang itaas na base ng ABC prism ay isang flat figure - isang tatsulok na matatagpuan sa isang pahalang na eroplano. Ang pahalang na projection ay sumasama sa projection ng mas mababang base at sumasakop dito, dahil ang prisma ay tuwid; frontal projection - tuwid, parallel sa x 12 axis, sa layo ng taas ng prisma.
d) Ang lateral face ng ABED prism ay isang flat figure - isang parihaba na nakahiga sa frontal plane. Frontal projection - isang rektanggulo na katumbas ng natural na sukat ng mukha; Ang pahalang na projection ay isang tuwid na linya na katumbas ng gilid ng base ng prisma.
e) at f) Ang mga lateral na mukha ng ACFD at CBEF prisms ay mga flat figure - mga parihaba na nakahiga sa pahalang na projecting na mga eroplano na matatagpuan sa isang anggulo na 60° sa projection plane P 2. Ang mga pahalang na projection ay mga tuwid na linya, na matatagpuan sa x 12 axis sa isang anggulo na 60°, at katumbas ng natural na laki ng mga gilid ng base ng prisma; Ang mga frontal projection ay mga parihaba na ang mga imahe ay mas maliit kaysa sa laki ng buhay: ang dalawang gilid ng bawat parihaba ay katumbas ng taas ng prisma.
g) Ang gilid AD ng prism ay isang tuwid na linya, patayo sa projection plane P 1. Pahalang na projection - punto; frontal - tuwid, patayo sa x 12 axis, katumbas ng gilid na gilid ng prisma (taas ng prisma).
h) Ang gilid ng AB ng itaas na base ay tuwid, parallel sa mga eroplano P 1 at P 2. Ang mga pahalang at pangharap na projection ay tuwid, parallel sa x 12 axis at katumbas ng gilid ng ibinigay na base ng prisma. Ang frontal projection ay may pagitan mula sa x-axis 12 sa layo na katumbas ng taas ng prisma.
i) Ang mga vertex ng prisma. Point E - ang tuktok ng ibabang base ay matatagpuan sa eroplano P 1. Ang pahalang na projection ay tumutugma sa punto mismo; frontal - namamalagi sa x 12 axis Point C - ang tuktok ng itaas na base - ay matatagpuan sa kalawakan. Ang pahalang na projection ay may lalim; frontal - taas na katumbas ng taas ng prisma na ito.
Ito ay nagpapahiwatig: Kapag nagdidisenyo ng anumang polyhedron, kailangan mong pag-isipang hatiin ito sa mga elemento ng bahagi nito at matukoy ang pagkakasunud-sunod ng kanilang representasyon, na binubuo ng sunud-sunod na mga graphic na operasyon. Ang mga figure 284 at 285 ay nagpapakita ng mga halimbawa ng sequential graphic operations kapag nagsasagawa ng kumplikadong pagguhit at visual na representasyon (axonometry) ng mga prisma.
(Larawan 284).

Ibinigay:
1. Ang base ay matatagpuan sa projection plane P 1.
2. Wala alinman sa gilid ng base ay kahanay sa x-axis 12.
I. Kumplikadong pagguhit.
Ako, a. Idinisenyo namin ang mas mababang base - isang polygon, na, ayon sa kondisyon, ay nasa eroplano na P1.
Ako, b. Kami ay nagdidisenyo tuktok na base- isang polygon na katumbas ng lower base na may mga gilid na katumbas ng parallel sa lower base, na may pagitan mula sa lower base ng taas H ng isang prisma.
Ako, c. Idinisenyo namin ang mga gilid ng gilid ng prisma - mga segment na matatagpuan parallel; ang kanilang mga pahalang na projection ay mga puntos na pinagsasama sa mga projection ng vertices ng mga base; frontal - mga segment (parallel) na nakuha mula sa pagkonekta sa mga tuwid na linya ang mga projection ng vertices ng mga base ng parehong pangalan. Ang mga frontal projection ng ribs, na iginuhit mula sa mga projection ng vertices B at C ng lower base, ay inilalarawan ng mga dashed na linya bilang invisible.
Ako, g. Ibinigay: horizontal projection F 1 ng point F sa upper base at frontal projection K 2 ng point K sa side face. Kinakailangang matukoy ang mga lokasyon ng kanilang pangalawang projection.
Para sa punto F. Ang pangalawang (frontal) projection F 2 ng punto F ay magkakasabay sa projection ng itaas na base, bilang isang punto na nakahiga sa eroplano ng base na ito; ang lugar nito ay tinutukoy ng patayong linya ng komunikasyon.
Para sa punto K - Ang pangalawang (pahalang) na projection K 1 ng punto K ay magkakasabay sa pahalang na projection ng gilid ng mukha, bilang isang punto na nakahiga sa eroplano ng mukha; ang lugar nito ay tinutukoy ng patayong linya ng komunikasyon.
II. Pag-unlad ng ibabaw ng prisma- isang flat figure na binubuo ng mga gilid na mukha - mga parihaba, kung saan ang dalawang panig ay katumbas ng taas ng prisma, at ang iba pang dalawa ay katumbas ng kaukulang panig ng base, at mula sa dalawang base na katumbas ng bawat isa - hindi regular na polygons .
Ang mga likas na sukat ng mga base at gilid ng mga mukha na kinakailangan para sa pagtatayo ng pag-unlad ay ipinahayag sa mga projection; nagtatayo tayo ayon sa kanila; Sa isang tuwid na linya, sunud-sunod naming i-plot ang mga gilid AB, BC, CD, DE at EA ng polygon - ang mga base ng prisma, na kinuha mula sa pahalang na projection. Sa mga perpendicular na iginuhit mula sa mga puntong A, B, C, D, E at A, inilalagay namin ang taas H ng prisma na ito na kinuha mula sa frontal projection at gumuhit ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng mga marka. Bilang resulta, nakakakuha kami ng pag-scan ng mga gilid na mukha ng prisma.
Kung ilakip natin ang mga base ng prisma sa pag-unlad na ito, makakakuha tayo ng pag-unlad ng buong ibabaw ng prisma. Ang mga base ng prisma ay dapat na nakakabit sa kaukulang bahagi ng mukha gamit ang paraan ng triangulation.
Sa itaas na base ng prism, gamit ang radii R at R 1, tinutukoy namin ang lokasyon ng punto F, at sa gilid na mukha, gamit ang radius R 3 at H 1, tinutukoy namin ang punto K.
III. Biswal na representasyon prisms sa dimetry.
III, a. Inilalarawan namin ang mas mababang base ng prisma ayon sa mga coordinate ng mga puntos A, B, C, D at E (Larawan 284 I, a).
III, b. Inilalarawan namin ang itaas na base na kahanay sa mas mababang isa, na may pagitan mula dito sa taas ng H ng prisma.
III, c. Inilalarawan namin ang mga gilid ng gilid sa pamamagitan ng pagkonekta sa kaukulang mga vertices ng mga base na may mga tuwid na linya. Tinutukoy namin ang nakikita at hindi nakikitang mga elemento ng prisma at binabalangkas ang mga ito sa kaukulang mga linya,
III, d Tinutukoy namin ang mga punto F at K sa ibabaw ng prisma - Point F - sa itaas na base ay tinutukoy gamit ang mga sukat i at e; point K - sa gilid na mukha gamit ang i 1 at H" .
Para sa isang isometric na imahe ng prism at pagtukoy ng mga lokasyon ng mga punto F at K, ang parehong pagkakasunud-sunod ay dapat sundin.
Fig.285).

Ibinigay:
1. Ang base ay matatagpuan sa eroplano P 1.
2. Ang mga tadyang sa gilid ay parallel sa P 2 plane.
3. Wala alinman sa gilid ng base ay parallel sa x 12 axis
I. Kumplikadong pagguhit.
Ako, a. Nagdidisenyo kami ayon sa kondisyong ito: ang ibabang base ay isang polygon na nakahiga sa eroplanong P1, at ang gilid ng gilid ay isang segment na kahanay sa eroplanong P2 at nakahilig sa eroplanong P1.
Ako, b. Idinisenyo namin ang natitirang mga gilid ng gilid - mga segment na pantay at kahanay sa unang gilid SE.
Ako, c. Idinisenyo namin ang itaas na base ng prisma bilang isang polygon, pantay at kahanay sa ibabang base, at kumuha ng kumplikadong pagguhit ng prisma.
Tinutukoy namin ang mga hindi nakikitang elemento sa mga projection. Ang frontal projection ng gilid ng VM at ang pahalang na projection ng gilid ng base CD ay inilalarawan ng mga dashed na linya bilang invisible.
I, g Given ang frontal projection Q 2 ng point Q sa projection A 2 K 2 F 2 D 2 ng side face; kailangan mong hanapin ang pahalang na projection nito. Upang gawin ito, gumuhit ng pantulong na linya hanggang sa punto Q 2 sa projection A 2 K 2 F 2 D 2 ng prism face, parallel sa mga gilid na gilid ng mukha na ito. Nahanap namin ang pahalang na projection ng auxiliary line at dito, gamit ang isang patayong linya ng koneksyon, tinutukoy namin ang lokasyon ng nais na pahalang na projection Q 1 ng punto Q.
II. Pag-unlad ng ibabaw ng prisma.
Ang pagkakaroon ng mga natural na sukat ng mga gilid ng base sa pahalang na projection, at ang mga sukat ng mga tadyang sa frontal projection, posible na bumuo ng isang kumpletong pag-unlad ng ibabaw ng isang naibigay na prisma.
Igulong namin ang prisma, paikutin ito sa bawat oras sa paligid ng gilid ng gilid, pagkatapos ang bawat gilid na mukha ng prisma sa eroplano ay mag-iiwan ng bakas (parallelogram) na katumbas ng natural na sukat nito. Gagawin namin ang side scan sa sumusunod na pagkakasunud-sunod:
a) mula sa mga puntos A 2, B 2, D 2. . . E 2 (frontal projection ng vertices ng mga base) gumuhit kami ng mga auxiliary straight na linya patayo sa mga projection ng ribs;
b) na may radius R (katumbas ng gilid ng base CD), gumawa kami ng isang bingaw sa punto D sa isang pantulong na tuwid na linya na iginuhit mula sa punto D2; sa pamamagitan ng pagkonekta ng mga tuwid na punto C 2 at D at pagguhit ng mga tuwid na linya parallel sa E 2 C 2 at C 2 D, nakuha namin ang gilid na mukha ng CEFD;
c) pagkatapos, sa pamamagitan ng katulad na pag-aayos ng mga sumusunod na mukha sa gilid, nakakakuha tayo ng pag-unlad ng mga gilid na mukha ng prisma. Upang makakuha ng kumpletong pag-unlad ng ibabaw ng prisma na ito, ikinakabit namin ito sa kaukulang mga mukha ng base.
III. Isang visual na representasyon ng isang prisma sa isometry.
III, a. Inilalarawan namin ang mas mababang base ng prism at ang gilid ng CE, gamit ang mga coordinate ayon sa (

Lecture: Prisma, ang mga base nito, mga tadyang sa gilid, taas, lateral surface; tuwid na prisma; tamang prisma

Prisma

Kung natutunan mo ang mga flat figure sa amin mula sa mga nakaraang tanong, pagkatapos ay ganap kang handa na mag-aral ng mga three-dimensional na figure. Ang unang solid na matututunan natin ay isang prisma.

Prisma ay isang volumetric na katawan na mayroong malaking bilang ng mga mukha.

Ang figure na ito ay may dalawang polygon sa mga base, na matatagpuan sa parallel na mga eroplano, at ang lahat ng mga gilid na mukha ay may hugis ng isang paralelogram.

Fig. 1. Fig. 2

Kaya, alamin natin kung ano ang binubuo ng isang prisma. Upang gawin ito, bigyang pansin ang Fig. 1

Gaya ng nabanggit kanina, ang isang prisma ay may dalawang base na parallel sa isa't isa - ito ang mga pentagons ABCEF at GMNJK. Bukod dito, ang mga polygon na ito ay katumbas ng bawat isa.

Ang lahat ng iba pang mga mukha ng prisma ay tinatawag na mga lateral na mukha - binubuo sila ng mga parallelograms. Halimbawa BMNC, AGKF, FKJE, atbp.

Ang kabuuang ibabaw ng lahat ng lateral na mukha ay tinatawag lateral surface.

Ang bawat pares ng magkatabing mukha ay may iisang panig. ganyan karaniwang panig tinatawag na tadyang. Halimbawa MV, SE, AB, atbp.

Kung ang itaas at ibabang base ng prisma ay konektado sa pamamagitan ng isang patayo, kung gayon ito ay tatawaging taas ng prisma. Sa figure, ang taas ay minarkahan bilang tuwid na linya OO 1.

Mayroong dalawang pangunahing uri ng prisma: pahilig at tuwid.

Kung ang mga lateral na gilid ng prisma ay hindi patayo sa mga base, kung gayon ang naturang prisma ay tinatawag hilig.

Kung ang lahat ng mga gilid ng isang prisma ay patayo sa mga base, kung gayon ang naturang prisma ay tinatawag na tuwid.

Kung ang mga base ng isang prisma ay naglalaman ng mga regular na polygons (yaong may pantay na panig), kung gayon ang gayong prisma ay tinatawag tama.

Kung ang mga base ng isang prisma ay hindi parallel sa bawat isa, kung gayon ang gayong prisma ay tatawagin pinutol.

Makikita mo ito sa Fig. 2

Mga pormula para sa paghahanap ng dami at lugar ng isang prisma

Mayroong tatlong pangunahing mga formula para sa paghahanap ng volume. Magkaiba sila sa bawat isa sa aplikasyon:

Katulad na mga formula para sa paghahanap ng ibabaw na lugar ng isang prisma: