Ang paksang "aritmetikong pag-unlad" ay pinag-aralan sa pangkalahatang kurso algebra sa mga paaralan sa ika-9 na baitang. Ang paksang ito ay mahalaga para sa higit pang malalim na pag-aaral ng matematika ng serye ng numero. Sa artikulong ito ay makikilala natin ang pag-unlad ng aritmetika, ang pagkakaiba nito, pati na rin ang mga tipikal na problema na maaaring makaharap ng mga mag-aaral.

Ang konsepto ng algebraic progression

Ang pag-unlad ng numero ay isang pagkakasunud-sunod ng mga numero kung saan ang bawat kasunod na elemento ay maaaring makuha mula sa nauna kung ilalapat natin ang ilang batas sa matematika. May dalawang kilala mga simple progression: geometric at arithmetic, na tinatawag ding algebraic. Tingnan natin ito nang mas detalyado.

Isipin natin ang ilang rational na numero, ipahiwatig ito sa pamamagitan ng simbolo na a 1, kung saan ipinapahiwatig ito ng index serial number sa seryeng isinasaalang-alang. Magdagdag tayo ng ibang numero sa isang 1 at tawagan itong d. Kung gayon ang pangalawang elemento ng serye ay maaaring maipakita tulad ng sumusunod: a 2 = a 1 + d. Ngayon magdagdag muli ng d, nakukuha natin ang: a 3 = a 2 +d. Sa pagpapatuloy ng mathematical operation na ito, maaari kang makakuha ng isang buong serye ng mga numero, na tatawaging aritmetika na pag-unlad.

Tulad ng mauunawaan mula sa itaas, upang mahanap ang ika-n na elemento ng sequence na ito, kailangan mong gamitin ang formula: a n = a 1 + (n-1)*d. Sa katunayan, ang pagpapalit ng n=1 sa expression, makakakuha tayo ng 1 = a 1, kung n = 2, pagkatapos ay sumusunod ang formula: a 2 = a 1 + 1*d, at iba pa.

Halimbawa, kung ang pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika ay 5, at isang 1 = 1, nangangahulugan ito na ang serye ng numero ng uri na pinag-uusapan ay may anyo: 1, 6, 11, 16, 21, ... Habang ikaw makikita, ang bawat miyembro nito ay 5 higit pa kaysa sa nauna .

Mga formula ng pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika

Mula sa kahulugan sa itaas ng serye ng mga numerong isinasaalang-alang, ito ay sumusunod na upang tukuyin ito kailangan mong malaman ang dalawang numero: a 1 at d. Ang huli ay tinatawag na pagkakaiba ng pag-unlad na ito. Natatangi nitong tinutukoy ang pag-uugali ng buong serye. Sa katunayan, kung ang d ay positibo, kung gayon ang serye ng numero ay patuloy na tataas; sa kabaligtaran, kung ang d ay negatibo, ang mga numero sa serye ay tataas lamang sa ganap na halaga, habang ang kanilang ganap na halaga ay bababa sa pagtaas ng bilang n.

Ano ang pagkakaiba ng pag-unlad ng arithmetic? Isaalang-alang natin ang dalawang pangunahing mga formula na ginagamit upang kalkulahin ang halagang ito:

1. d = a n+1 -a n, ang formula na ito ay direktang sumusunod sa kahulugan ng serye ng mga numerong isinasaalang-alang.
2. d = (-a 1 +a n)/(n-1), nakukuha ang ekspresyong ito kung ipahayag natin ang d mula sa formula na ibinigay sa nakaraang talata ng artikulo. Tandaan na ang expression na ito ay nagiging hindi natukoy (0/0) kung n=1. Ito ay dahil sa ang katunayan na ito ay kinakailangan upang malaman ang hindi bababa sa 2 elemento ng serye upang matukoy ang pagkakaiba nito.

Ang dalawang pangunahing formula na ito ay ginagamit upang malutas ang anumang mga problema na kinasasangkutan ng paghahanap ng pagkakaiba ng isang pag-unlad. Gayunpaman, may isa pang formula na kailangan mo ring malaman.

Kabuuan ng mga unang elemento

Ang pormula kung saan maaari mong matukoy ang kabuuan ng anumang bilang ng mga termino ng isang algebraic progression, ayon sa makasaysayang ebidensya, ay unang nakuha ng "prinsipe" ng matematika noong ika-18 siglo, si Carl Gauss. Ang German scientist, habang bata pa mababang Paaralan paaralan ng nayon, napansin na upang magdagdag ng mga natural na numero sa serye mula 1 hanggang 100, dapat mo munang isama ang unang elemento at ang huli (ang resultang halaga ay magiging katumbas ng kabuuan ng penultimate at pangalawa, penultimate at ikatlong elemento, at iba pa), at pagkatapos ay dapat itong i-multiply sa bilang ng mga halagang ito, iyon ay, sa 50.

Ang formula, na sumasalamin sa nakasaad na resulta sa isang partikular na halimbawa, ay maaaring gawing pangkalahatan sa isang arbitrary na kaso. Magmumukha itong: S n = n/2*(a n +a 1). Tandaan na upang mahanap ang ipinahiwatig na halaga, ang kaalaman sa pagkakaiba d ay hindi kinakailangan kung ang dalawang termino ng pag-unlad ay kilala (a n at a 1).

Halimbawa Blg. 1. Tukuyin ang pagkakaiba, alam ang dalawang termino ng seryeng a1 at an

Ipapakita namin sa iyo kung paano ilapat ang mga formula na nabanggit sa itaas sa artikulo. Magbigay tayo ng isang simpleng halimbawa: ang pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika ay hindi alam, kinakailangan upang matukoy kung ano ang magiging katumbas nito kung ang isang 13 = -5.6 at isang 1 = -12.1.

Dahil alam natin ang mga halaga ng dalawang elemento ng pagkakasunod-sunod ng numero, at ang isa sa mga ito ay ang unang numero, maaari nating gamitin ang formula No. 2 upang matukoy ang pagkakaiba d. Mayroon kaming: d =(-1*(-12.1)+(-5.6))/12 = 0.54167. Sa expression na ginamit namin ang halaga n=13, dahil ang termino na may partikular na ordinal na numero ay kilala.

Ang resultang pagkakaiba ay nagpapahiwatig na ang pag-unlad ay tumataas, sa kabila ng katotohanan na ang mga elemento na ibinigay sa mga kondisyon ng gawain ay may negatibong halaga. Makikita na ang isang 13 >a 1, bagaman |a 13 |<|a 1 |.

Halimbawa Blg. 2. Mga positibong tuntunin ng pag-unlad sa halimbawa No. 1

Gamitin natin ang resulta na nakuha sa nakaraang halimbawa upang malutas ang isang bagong problema. Ito ay nabuo bilang mga sumusunod: mula sa anong serial number magsisimulang kumuha ng mga positibong halaga ang mga elemento ng pag-unlad sa halimbawa No.

Tulad ng ipinakita, ang pag-unlad kung saan ang isang 1 = -12.1 at d = 0.54167 ay tumataas, samakatuwid, mula sa isang tiyak na numero ang mga numero ay magsisimulang kumuha lamang ng mga positibong halaga. Upang matukoy ang bilang na ito n, kinakailangan upang malutas ang isang simpleng hindi pagkakapantay-pantay, na nakasulat sa matematika tulad ng sumusunod: a n >0 o, gamit ang naaangkop na formula, muling isinulat namin ang hindi pagkakapantay-pantay: a 1 + (n-1)*d>0. Kinakailangang hanapin ang hindi kilalang n, ipahayag natin ito: n>-1*a 1 /d + 1. Ngayon ay nananatili itong palitan kilalang halaga pagkakaiba at ang unang termino ng pagkakasunod-sunod. Nakukuha namin ang: n>-1*(-12.1) /0.54167 + 1= 23.338 o n>23.338. Dahil ang n ay maaari lamang kumuha ng mga halaga ng integer, sumusunod ito mula sa nagresultang hindi pagkakapantay-pantay na ang anumang mga termino sa serye na may bilang na mas malaki sa 23 ay magiging positibo.

Suriin natin ang sagot na natanggap natin sa pamamagitan ng paggamit ng formula sa itaas upang kalkulahin ang ika-23 at ika-24 na elemento ng pag-unlad ng arithmetic na ito. Mayroon kaming: a 23 = -12.1 + 22*0.54167 = -0.18326 (negatibong numero); a 24 =-12.1 + 23*0.54167 =0.3584 ( positibong halaga). Kaya, ang resulta na nakuha ay tama: simula sa n=24 lahat ng mga termino serye ng numero ay magiging mas malaki kaysa sa zero.

Halimbawa Blg. 3. Ilang log ang magkakasya?

Ipakita natin ang isang kawili-wiling problema: sa panahon ng pag-log, napagpasyahan na isalansan ang mga sawn log sa ibabaw ng bawat isa tulad ng ipinapakita sa figure sa ibaba. Gaano karaming mga log ang maaaring isalansan sa ganitong paraan, alam na ang kabuuang 10 row ay magkasya?

Ang isang kawili-wiling bagay ay mapapansin sa pamamaraang ito ng natitiklop na mga log: ang bawat kasunod na hilera ay maglalaman ng isang log na mas mababa kaysa sa nauna, iyon ay, isang algebraic progression ang nagaganap, ang pagkakaiba nito ay d = 1. Ipagpalagay na ang bilang ng mga log sa bawat hilera ay isang miyembro ng pag-unlad na ito, at isinasaalang-alang din na ang isang 1 = 1 (isang log lamang ang kasya sa pinakatuktok), makikita natin ang numerong a 10. Mayroon kaming: a 10 = 1 + 1*(10-1) = 10. Iyon ay, sa ika-10 hilera, na nasa lupa, magkakaroon ng 10 log.

Ang kabuuang kabuuan ng istrukturang "pyramidal" na ito ay maaaring makuha sa pamamagitan ng paggamit ng Gauss formula. Nakukuha namin ang: S 10 = 10/2*(10+1) = 55 log.

Ang paksang "pag-unlad ng aritmetika" ay pinag-aralan sa pangkalahatang kursong algebra sa mga paaralan sa ika-9 na baitang. Ang paksang ito ay mahalaga para sa higit pang malalim na pag-aaral ng matematika ng serye ng numero. Sa artikulong ito ay makikilala natin ang pag-unlad ng aritmetika, ang pagkakaiba nito, pati na rin ang mga tipikal na problema na maaaring makaharap ng mga mag-aaral.

Ang konsepto ng algebraic progression

Ang pag-unlad ng numero ay isang pagkakasunud-sunod ng mga numero kung saan ang bawat kasunod na elemento ay maaaring makuha mula sa nauna kung ilalapat natin ang ilang batas sa matematika. Mayroong dalawang simpleng uri ng progression: geometric at arithmetic, na tinatawag ding algebraic. Tingnan natin ito nang mas detalyado.

Isipin natin ang ilang makatwirang numero, ipahiwatig ito sa pamamagitan ng simbolo na a1, kung saan ang index ay nagpapahiwatig ng serial number nito sa seryeng isinasaalang-alang. Magdagdag tayo ng ibang numero sa a1 at tawagan itong d. Kung gayon ang pangalawang elemento ng serye ay maaaring maipakita tulad ng sumusunod: a2 = a1+d. Ngayon magdagdag muli ng d, nakukuha natin ang: a3 = a2+d. Sa pagpapatuloy ng mathematical operation na ito, maaari kang makakuha ng isang buong serye ng mga numero, na tatawaging aritmetika na pag-unlad.

Tulad ng mauunawaan mula sa itaas, upang mahanap ang ika-n na elemento ng sequence na ito, kailangan mong gamitin ang formula: an = a1 + (n-1)*d. Sa katunayan, ang pagpapalit ng n=1 sa expression, makakakuha tayo ng a1 = a1, kung n = 2, pagkatapos ay sumusunod ang formula: a2 = a1 + 1*d, at iba pa.

Halimbawa, kung ang pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika ay 5, at a1 = 1, nangangahulugan ito na ang serye ng numero ng uri na isinasaalang-alang ay may anyo: 1, 6, 11, 16, 21, ... Sa abot ng iyong makakaya. tingnan mo, ang bawat miyembro nito ay 5 higit pa kaysa sa nauna.

Mga formula ng pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika

Mula sa kahulugan sa itaas ng serye ng mga numerong isinasaalang-alang, ito ay sumusunod na upang tukuyin ito kailangan mong malaman ang dalawang numero: a1 at d. Ang huli ay tinatawag na pagkakaiba ng pag-unlad na ito. Natatangi nitong tinutukoy ang pag-uugali ng buong serye. Sa katunayan, kung ang d ay positibo, kung gayon ang serye ng numero ay patuloy na tataas; sa kabaligtaran, kung ang d ay negatibo, ang mga numero sa serye ay tataas lamang sa ganap na halaga, habang ang kanilang ganap na halaga ay bababa sa pagtaas ng bilang n.

Ano ang pagkakaiba ng pag-unlad ng arithmetic? Isaalang-alang natin ang dalawang pangunahing mga formula na ginagamit upang kalkulahin ang halagang ito:

d = an+1-an, ang formula na ito ay direktang sumusunod sa kahulugan ng serye ng mga numerong isinasaalang-alang.

d = (-a1+an)/(n-1), ang expression na ito ay nakukuha kung ipahayag natin ang d mula sa formula na ibinigay sa nakaraang talata ng artikulo. Tandaan na ang expression na ito ay nagiging hindi natukoy (0/0) kung n=1. Ito ay dahil sa ang katunayan na ito ay kinakailangan upang malaman ang hindi bababa sa 2 elemento ng serye upang matukoy ang pagkakaiba nito.

Ang dalawang pangunahing formula na ito ay ginagamit upang malutas ang anumang mga problema na kinasasangkutan ng paghahanap ng pagkakaiba ng isang pag-unlad. Gayunpaman, may isa pang formula na kailangan mo ring malaman.

Kabuuan ng mga unang elemento

Ang pormula kung saan maaari mong matukoy ang kabuuan ng anumang bilang ng mga termino ng isang algebraic progression, ayon sa makasaysayang ebidensya, ay unang nakuha ng "prinsipe" ng matematika noong ika-18 siglo, si Carl Gauss. Isang Aleman na siyentipiko, habang bata pa sa mga pangunahing klase ng isang paaralan sa nayon, napansin na upang magdagdag ng mga natural na numero sa serye mula 1 hanggang 100, kailangan munang buuin ang unang elemento at ang huli (ang resultang halaga ay ay katumbas ng kabuuan ng penultimate at pangalawa, penultimate at pangatlong elemento , at iba pa), at pagkatapos ay dapat na i-multiply ang bilang na ito sa bilang ng mga halagang ito, iyon ay, sa 50.

Ang formula, na sumasalamin sa nakasaad na resulta sa isang partikular na halimbawa, ay maaaring gawing pangkalahatan sa isang arbitrary na kaso. Magmumukha itong: Sn = n/2*(an+a1). Tandaan na upang mahanap ang ipinahiwatig na halaga, ang kaalaman sa pagkakaiba d ay hindi kinakailangan kung ang dalawang termino ng pag-unlad (an at a1) ay kilala.

Halimbawa Blg. 1. Tukuyin ang pagkakaiba, alam ang dalawang termino ng seryeng a1 at an

Ipapakita namin sa iyo kung paano ilapat ang mga formula na nabanggit sa itaas sa artikulo. Magbigay tayo ng isang simpleng halimbawa: ang pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika ay hindi alam, kinakailangan upang matukoy kung ano ang magiging katumbas nito kung a13 = -5.6 at a1 = -12.1.

Dahil alam natin ang mga halaga ng dalawang elemento ng pagkakasunod-sunod ng numero, at ang isa sa mga ito ay ang unang numero, maaari nating gamitin ang formula No. 2 upang matukoy ang pagkakaiba d. Mayroon kaming: d =(-1*(-12.1)+(-5.6))/12 = 0.54167. Sa expression na ginamit namin ang halaga n=13, dahil ang termino na may partikular na ordinal na numero ay kilala.

Ang resultang pagkakaiba ay nagpapahiwatig na ang pag-unlad ay tumataas, sa kabila ng katotohanan na ang mga elemento na ibinigay sa mga kondisyon ng gawain ay may negatibong halaga. Malinaw na ang a13>a1, bagaman |a13|<|a1|.

Halimbawa Blg. 2. Mga positibong tuntunin ng pag-unlad sa halimbawa No. 1

Gamitin natin ang resulta na nakuha sa nakaraang halimbawa upang malutas ang isang bagong problema. Ito ay nabuo bilang mga sumusunod: mula sa anong serial number magsisimulang kumuha ng mga positibong halaga ang mga elemento ng pag-unlad sa halimbawa No.

Tulad ng ipinakita, ang pag-unlad kung saan ang a1 = -12.1 at d = 0.54167 ay tumataas, samakatuwid, mula sa isang tiyak na numero ang mga numero ay magsisimulang kumuha lamang ng mga positibong halaga. Upang matukoy ang bilang n ito, kinakailangan upang malutas ang isang simpleng hindi pagkakapantay-pantay, na nakasulat sa matematika tulad ng sumusunod: an>0 o, gamit ang naaangkop na formula, muling isinulat namin ang hindi pagkakapantay-pantay: a1 + (n-1)*d>0. Kinakailangang hanapin ang hindi kilalang n, ipahayag natin ito: n>-1*a1/d + 1. Ngayon ay nananatiling palitan ang mga kilalang halaga ng pagkakaiba at ang unang termino ng pagkakasunud-sunod. Nakukuha namin ang: n>-1*(-12.1) /0.54167 + 1= 23.338 o n>23.338. Dahil ang n ay maaari lamang kumuha ng mga halaga ng integer, sumusunod ito mula sa nagresultang hindi pagkakapantay-pantay na ang anumang mga termino sa serye na may bilang na mas malaki sa 23 ay magiging positibo.

Suriin natin ang sagot na natanggap natin sa pamamagitan ng paggamit ng formula sa itaas upang kalkulahin ang ika-23 at ika-24 na elemento ng pag-unlad ng arithmetic na ito. Mayroon kaming: a23=-12.1 + 22*0.54167 = -0.18326 (negatibong numero); a24=-12.1 + 23*0.54167 =0.3584 (positibong value). Kaya, tama ang resulta na nakuha: simula sa n=24, ang lahat ng miyembro ng serye ng numero ay magiging mas malaki sa zero.

Halimbawa Blg. 3. Ilang log ang magkakasya?

Ipakita natin ang isang kawili-wiling problema: sa panahon ng pag-log, napagpasyahan na isalansan ang mga sawn log sa ibabaw ng bawat isa tulad ng ipinapakita sa figure sa ibaba. Gaano karaming mga log ang maaaring isalansan sa ganitong paraan, alam na ang kabuuang 10 row ay magkasya?

Ang isang kawili-wiling bagay ay mapapansin sa pamamaraang ito ng natitiklop na mga log: ang bawat kasunod na hilera ay maglalaman ng isang log na mas mababa kaysa sa nauna, iyon ay, isang algebraic progression ang nagaganap, ang pagkakaiba nito ay d = 1. Ipagpalagay na ang bilang ng mga log sa bawat hilera ay isang miyembro ng pag-unlad na ito, at isinasaalang-alang din na a1 = 1 (isang log lamang ang kasya sa pinakatuktok), makikita natin ang numerong a10. Mayroon kaming: a10 = 1 + 1*(10-1) = 10. Iyon ay, sa ika-10 hilera, na nasa lupa, magkakaroon ng 10 log.

Ang kabuuang kabuuan ng istrukturang "pyramidal" na ito ay maaaring makuha sa pamamagitan ng paggamit ng Gauss formula. Nakukuha namin ang: S10 = 10/2*(10+1) = 55 log.

Unang antas

Arithmetic progression. Detalyadong teorya may mga halimbawa (2019)

Pagkakasunod-sunod ng numero

Kaya, umupo tayo at magsimulang magsulat ng ilang mga numero. Halimbawa:
Maaari kang magsulat ng anumang mga numero, at maaaring magkaroon ng marami sa mga ito hangga't gusto mo (sa aming kaso, mayroon sila). Gaano man karaming mga numero ang ating isulat, palagi nating masasabi kung alin ang una, alin ang pangalawa, at iba pa hanggang sa huli, ibig sabihin, maaari nating bilangin ang mga ito. Ito ay isang halimbawa ng pagkakasunod-sunod ng numero:

Pagkakasunod-sunod ng numero
Halimbawa, para sa aming sequence:

Ang nakatalagang numero ay partikular sa isang numero lamang sa pagkakasunud-sunod. Sa madaling salita, walang tatlong segundong numero sa sequence. Ang pangalawang numero (tulad ng ika-numero) ay palaging pareho.
Ang numerong may numero ay tinatawag na ika-katawagan ng sequence.

Karaniwan naming tinatawag ang buong sequence sa pamamagitan ng ilang titik (halimbawa,), at ang bawat miyembro ng sequence na ito ay parehong titik na may index na katumbas ng bilang ng miyembrong ito: .

Sa kaso natin:

Sabihin nating mayroon tayong pagkakasunod-sunod ng numero kung saan ang pagkakaiba sa pagitan ng mga katabing numero ay pareho at pantay.
Halimbawa:

atbp.
Ang pagkakasunud-sunod ng numero na ito ay tinatawag na pag-unlad ng aritmetika.
Ang terminong "pag-unlad" ay ipinakilala ng Romanong may-akda na si Boethius noong ika-6 na siglo at naunawaan sa isang mas malawak na kahulugan bilang isang walang katapusang numerical sequence. Ang pangalan na "arithmetic" ay inilipat mula sa teorya ng tuluy-tuloy na proporsyon, na pinag-aralan ng mga sinaunang Griyego.

Ito ay isang pagkakasunod-sunod ng numero, ang bawat miyembro nito ay katumbas ng naunang idinagdag sa parehong numero. Ang bilang na ito ay tinatawag na pagkakaiba ng isang pag-unlad ng aritmetika at itinalaga.

Subukang tukuyin kung aling mga pagkakasunud-sunod ng numero ang isang pag-unlad ng aritmetika at alin ang hindi:

a)
b)
c)
d)

Nakuha ko? Ihambing natin ang ating mga sagot:
Ay pag-unlad ng aritmetika - b, c.
Ay hindi pag-unlad ng aritmetika - a, d.

Bumalik tayo sa ibinigay na pag-unlad () at subukang hanapin ang halaga ng ika-termino nito. Umiiral dalawa paraan upang mahanap ito.

1. Pamamaraan

Maaari naming idagdag ang numero ng pag-unlad sa nakaraang halaga hanggang sa maabot namin ang ika-tanim na termino ng pag-unlad. Mabuti na wala tayong gaanong ibuod - tatlong value lang:

Kaya, ang ika-termino ng inilarawang pag-unlad ng aritmetika ay katumbas ng.

2. Pamamaraan

Paano kung kailangan nating hanapin ang halaga ng ika-taon ng pag-unlad? Ang pagsusuma ay aabutin tayo ng higit sa isang oras, at hindi isang katotohanan na hindi tayo magkakamali kapag nagdadagdag ng mga numero.
Siyempre, ang mga mathematician ay gumawa ng isang paraan kung saan hindi kinakailangan na idagdag ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng aritmetika sa nakaraang halaga. Tingnang mabuti ang iginuhit na larawan... Tiyak na napansin mo na ang isang tiyak na pattern, katulad:

Halimbawa, tingnan natin kung ano ang halaga ng ika-katawagan ng pag-unlad ng arithmetic na ito:


Sa ibang salita:

Subukang hanapin ang halaga ng isang miyembro ng isang naibigay na pag-unlad ng aritmetika sa ganitong paraan.

Nakalkula mo ba? Ihambing ang iyong mga tala sa sagot:

Pakitandaan na nakuha mo ang eksaktong parehong numero tulad ng sa nakaraang pamamaraan, nang sunud-sunod naming idinagdag ang mga tuntunin ng pag-unlad ng arithmetic sa nakaraang halaga.
Subukan nating "i-depersonalize" ang formula na ito- dalhin natin siya sa pangkalahatang anyo at makuha namin:

Arithmetic progression equation.

Ang mga pag-unlad ng aritmetika ay maaaring tumaas o bumababa.

Tumataas- mga pag-unlad kung saan ang bawat kasunod na halaga ng mga termino ay mas malaki kaysa sa nauna.
Halimbawa:

Pababa- mga pag-unlad kung saan ang bawat kasunod na halaga ng mga termino ay mas mababa kaysa sa nauna.
Halimbawa:

Ang hinangong formula ay ginagamit sa pagkalkula ng mga termino sa parehong pagtaas at pagbaba ng mga termino ng isang pag-unlad ng arithmetic.
Suriin natin ito sa pagsasanay.
Binigyan tayo ng arithmetic progression na binubuo ng mga sumusunod na numero: Suriin natin kung ano ang magiging th number ng arithmetic progression na ito kung gagamitin natin ang ating formula para kalkulahin ito:

Simula noon:

Kaya, kami ay kumbinsido na ang formula ay gumagana sa parehong pagpapababa at pagtaas ng pag-unlad ng aritmetika.
Subukang hanapin ang ika at ika-ika-katawagan ng pag-unlad ng aritmetika na ito sa iyong sarili.

Ihambing natin ang mga resulta:

Arithmetic progression property

Gawin natin ang problema - makukuha natin ang ari-arian ng pag-unlad ng aritmetika.
Sabihin nating binibigyan tayo ng sumusunod na kondisyon:
- pag-unlad ng aritmetika, hanapin ang halaga.
Madali, sabihin mo at simulan ang pagbibilang ayon sa formula na alam mo na:

Hayaan, ah, kung gayon:

Ganap na tama. Ito ay lumiliko na una naming mahanap, pagkatapos ay idagdag ito sa unang numero at makuha ang aming hinahanap. Kung ang pag-unlad ay kinakatawan ng maliliit na halaga, kung gayon walang kumplikado tungkol dito, ngunit paano kung bibigyan tayo ng mga numero sa kondisyon? Sumang-ayon, may posibilidad na magkamali sa mga kalkulasyon.
Ngayon isipin kung posible bang malutas ang problemang ito sa isang hakbang gamit ang anumang formula? Siyempre oo, at iyon ang susubukan naming ilabas ngayon.

Tukuyin natin ang kinakailangang termino ng pag-unlad ng aritmetika bilang, ang pormula para sa paghahanap nito ay alam natin - ito ang parehong pormula na nakuha natin sa simula:
, Pagkatapos:

• ang nakaraang termino ng pag-unlad ay:
• ang susunod na termino ng pag-unlad ay:

Ibuod natin ang nakaraan at kasunod na mga tuntunin ng pag-unlad:

Lumalabas na ang kabuuan ng nakaraan at kasunod na mga termino ng pag-unlad ay ang dobleng halaga ng termino ng pag-unlad na matatagpuan sa pagitan nila. Sa madaling salita, upang mahanap ang halaga ng isang termino ng pag-unlad na may kilalang dati at sunud-sunod na mga halaga, kailangan mong idagdag ang mga ito at hatiin ayon sa.

Ayun, pareho kami ng number. I-secure natin ang materyal. Kalkulahin ang halaga para sa pag-unlad sa iyong sarili, hindi ito mahirap.

Magaling! Alam mo halos lahat tungkol sa pag-unlad! Ito ay nananatiling alamin lamang ang isang pormula, na, ayon sa alamat, ay madaling hinihinuha ng isa sa mga pinakadakilang mathematician sa lahat ng panahon, ang "hari ng mga mathematician" - Karl Gauss...

Noong 9 na taong gulang si Carl Gauss, isang guro, na abala sa pagsuri sa gawain ng mga estudyante sa ibang mga klase, ay nagtanong ng sumusunod na problema sa klase: “Kalkulahin ang kabuuan ng lahat natural na mga numero mula sa (ayon sa iba pang mga mapagkukunan hanggang sa) kasama.” Isipin ang sorpresa ng guro nang ang isa sa kanyang mga estudyante (ito ay si Karl Gauss) makalipas ang isang minuto ay nagbigay ng tamang sagot sa gawain, habang karamihan sa mga kaklase ng pangahas, pagkatapos ng mahabang kalkulasyon, ay nakatanggap ng maling resulta...

Napansin ng batang si Carl Gauss ang isang tiyak na pattern na madali mo ring mapapansin.
Sabihin nating mayroon tayong pag-unlad ng aritmetika na binubuo ng mga -th na termino: Kailangan nating hanapin ang kabuuan ng mga terminong ito ng pag-unlad ng aritmetika. Siyempre, maaari nating manu-manong buod ang lahat ng mga halaga, ngunit paano kung ang gawain ay nangangailangan ng paghahanap ng kabuuan ng mga termino nito, tulad ng hinahanap ni Gauss?

Ilarawan natin ang pag-unlad na ibinigay sa atin. Tingnang mabuti ang mga naka-highlight na numero at subukang magsagawa ng iba't ibang mga operasyong matematika sa kanila.


Nasubukan mo na ba? Ano ang napansin mo? Tama! Ang kanilang mga kabuuan ay pantay

Ngayon sabihin sa akin, ilang mga pares ang mayroon sa kabuuan sa pag-unlad na ibinigay sa amin? Siyempre, eksaktong kalahati ng lahat ng mga numero, iyon ay.
Batay sa katotohanan na ang kabuuan ng dalawang termino ng isang pag-unlad ng aritmetika ay pantay-pantay, at magkatulad na mga pares ay pantay, nakukuha natin na kabuuang halaga ay katumbas ng:
.
Kaya, ang formula para sa kabuuan ng mga unang termino ng anumang pag-unlad ng arithmetic ay magiging:

Sa ilang mga problema hindi namin alam ang ika-katawagan, ngunit alam namin ang pagkakaiba ng pag-unlad. Subukang palitan ang formula ng ika-katawagan sa sum formula.
Ano ang nakuha mo?

Magaling! Ngayon bumalik tayo sa problemang itinanong kay Carl Gauss: kalkulahin para sa iyong sarili kung ano ang katumbas ng kabuuan ng mga numero na nagsisimula sa ika at ang kabuuan ng mga numero na nagsisimula sa ika.

Magkano ang nakuha mo?
Nalaman ni Gauss na ang kabuuan ng mga termino ay pantay, at ang kabuuan ng mga termino. Yan ba ang napagdesisyunan mo?

Sa katunayan, ang pormula para sa kabuuan ng mga termino ng isang pag-unlad ng aritmetika ay napatunayan ng sinaunang siyentipikong Griyego na si Diophantus noong ika-3 siglo, at sa buong panahong ito, ang mga matalinong tao ay ganap na gumamit ng mga katangian ng pag-unlad ng aritmetika.
Halimbawa, isipin Sinaunang Ehipto at ang pinakamalaking construction project noong panahong iyon - ang pagtatayo ng pyramid... Makikita sa larawan ang isang gilid nito.

Nasaan ang pag-unlad dito, sabi mo? Tumingin ng mabuti at maghanap ng pattern sa bilang ng mga bloke ng buhangin sa bawat hilera ng pyramid wall.


Bakit hindi isang arithmetic progression? Kalkulahin kung gaano karaming mga bloke ang kailangan upang makabuo ng isang pader kung ang mga bloke ng brick ay inilalagay sa base. Sana hindi ka magbibilang habang ginagalaw ang iyong daliri sa monitor, naaalala mo ang huling formula at lahat ng sinabi namin tungkol sa pag-unlad ng aritmetika?

SA sa kasong ito Ang pag-unlad ay ganito ang hitsura: .
Pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika.
Ang bilang ng mga termino ng isang pag-unlad ng arithmetic.
Ipalit natin ang ating data sa mga huling formula (kalkulahin ang bilang ng mga bloke sa 2 paraan).

Paraan 1.

Paraan 2.

At ngayon maaari mong kalkulahin sa monitor: ihambing ang nakuha na mga halaga sa bilang ng mga bloke na nasa aming pyramid. Nakuha ko? Magaling, pinagkadalubhasaan mo ang kabuuan ng ika-n na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic.
Siyempre, hindi ka makakagawa ng isang pyramid mula sa mga bloke sa base, ngunit mula sa? Subukang kalkulahin kung gaano karaming mga sand brick ang kailangan upang makabuo ng pader na may ganitong kondisyon.
Inayos mo ba?
Ang tamang sagot ay mga bloke:

Pagsasanay

Mga gawain:

1. Si Masha ay nasa hugis para sa tag-araw. Araw-araw dinadagdagan niya ang bilang ng mga squats. Ilang beses gagawa ng squats si Masha sa isang linggo kung nag-squats siya sa unang training session?
2. Ano ang kabuuan ng lahat ng mga kakaibang numero na nakapaloob sa.
3. Kapag nag-iimbak ng mga log, isinalansan ng mga logger ang mga ito sa paraang ang bawat isa itaas na layer naglalaman ng isang mas kaunting log kaysa sa nauna. Ilang troso ang nasa isang masonerya, kung ang pundasyon ng masonerya ay troso?

Mga sagot:

1. Tukuyin natin ang mga parameter ng pag-unlad ng aritmetika. Sa kasong ito
   (linggo = araw).

   Sagot: Sa dalawang linggo, dapat mag-squats si Masha isang beses sa isang araw.

2. Una kakaibang numero, huling numero.
   Pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika.
   Ang bilang ng mga kakaibang numero sa ay kalahati, gayunpaman, suriin natin ang katotohanang ito gamit ang pormula para sa paghahanap ng ika-apat na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic:

   Ang mga numero ay naglalaman ng mga kakaibang numero.
   Palitan natin ang magagamit na data sa formula:

   Sagot: Ang kabuuan ng lahat ng mga kakaibang numero na nakapaloob sa ay pantay.

3. Alalahanin natin ang problema tungkol sa mga pyramids. Para sa aming kaso, a , dahil ang bawat tuktok na layer ay nababawasan ng isang log, pagkatapos ay sa kabuuan mayroong isang grupo ng mga layer, iyon ay.
   I-substitute natin ang data sa formula:

   Sagot: May mga troso sa pagmamason.

Isa-isahin natin

1. - isang pagkakasunud-sunod ng numero kung saan ang pagkakaiba sa pagitan ng mga katabing numero ay pareho at pantay. Maaari itong tumaas o bumaba.
2. Paghahanap ng formula Ang ika-apat na termino ng isang pag-unlad ng aritmetika ay isinulat ng formula - , kung saan ang bilang ng mga numero sa pag-unlad.
3. Pag-aari ng mga miyembro ng isang arithmetic progression- - kung saan ang bilang ng mga numero sa pagpapatuloy.
4. Ang kabuuan ng mga tuntunin ng isang pag-unlad ng arithmetic ay matatagpuan sa dalawang paraan:
   
   , kung saan ang bilang ng mga halaga.

ARITMETIKONG PAG-UNLAD. AVERAGE LEVEL

Pagkakasunod-sunod ng numero

Umupo tayo at magsimulang magsulat ng ilang mga numero. Halimbawa:

Maaari kang magsulat ng anumang mga numero, at maaaring magkaroon ng marami sa kanila hangga't gusto mo. Ngunit lagi nating masasabi kung alin ang una, alin ang pangalawa, at iba pa, ibig sabihin, maaari nating bilangin sila. Ito ay isang halimbawa ng pagkakasunod-sunod ng numero.

Pagkakasunod-sunod ng numero ay isang hanay ng mga numero, ang bawat isa ay maaaring magtalaga ng isang natatanging numero.

Sa madaling salita, ang bawat numero ay maaaring iugnay sa isang tiyak na natural na numero, at isang kakaiba. At hindi namin itatalaga ang numerong ito sa anumang iba pang numero mula sa set na ito.

Ang bilang na may numero ay tinatawag na ika-ka miyembro ng sequence.

Karaniwan naming tinatawag ang buong sequence sa pamamagitan ng ilang titik (halimbawa,), at ang bawat miyembro ng sequence na ito ay parehong titik na may index na katumbas ng bilang ng miyembrong ito: .

Ito ay lubos na maginhawa kung ang ika-katawagan ng pagkakasunod-sunod ay maaaring tukuyin ng ilang formula. Halimbawa, ang formula

nagtatakda ng pagkakasunud-sunod:

At ang formula ay ang sumusunod na pagkakasunud-sunod:

Halimbawa, ang isang pag-unlad ng aritmetika ay isang pagkakasunud-sunod (ang unang termino dito ay pantay, at ang pagkakaiba ay). O (, pagkakaiba).

pormula ng ika-apat na termino

Tinatawag namin ang isang pormula na paulit-ulit kung saan, upang malaman ang ika-apat na termino, kailangan mong malaman ang nauna o ilang mga nauna:

Upang mahanap, halimbawa, ang ika-taon ng pag-unlad gamit ang formula na ito, kailangan nating kalkulahin ang nakaraang siyam. Halimbawa, hayaan mo. Pagkatapos:

Well, malinaw na ba ngayon kung ano ang formula?

Sa bawat linya na idinaragdag namin, na pinarami ng ilang numero. Alin? Napakasimple: ito ang bilang ng kasalukuyang miyembro na binawasan:

Mas maginhawa ngayon, tama ba? Sinusuri namin:

Magpasya para sa iyong sarili:

Sa isang pag-usad ng arithmetic, hanapin ang formula para sa ika-1 na termino at hanapin ang ika-100 termino.

Solusyon:

Ang unang termino ay pantay. Ano ang pagkakaiba? Narito kung ano:

(Ito ang dahilan kung bakit ito ay tinatawag na pagkakaiba dahil ito ay katumbas ng pagkakaiba ng sunud-sunod na mga termino ng pag-unlad).

Kaya, ang formula:

Kung gayon ang ika-daang termino ay katumbas ng:

Ano ang kabuuan ng lahat ng natural na numero mula hanggang?

Ayon sa alamat, ang mahusay na matematiko na si Carl Gauss, bilang isang 9 na taong gulang na batang lalaki, ay kinakalkula ang halagang ito sa loob ng ilang minuto. Napansin niya na ang kabuuan ng una at huling mga numero ay pantay, ang kabuuan ng pangalawa at penultimate ay pareho, ang kabuuan ng ikatlo at ika-3 mula sa dulo ay pareho, at iba pa. Ilan ang mga ganoong pares sa kabuuan? Tama, eksaktong kalahati ng bilang ng lahat ng mga numero, iyon ay. Kaya,

Ang pangkalahatang formula para sa kabuuan ng mga unang termino ng anumang pag-unlad ng arithmetic ay:

Halimbawa:
Hanapin ang kabuuan ng lahat dobleng digit na mga numero, maramihan.

Solusyon:

Ang unang ganoong numero ay ito. Ang bawat kasunod na numero ay nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag sa nakaraang numero. Kaya, ang mga numero na interesado kami sa pagbuo ng isang pag-unlad ng aritmetika na may unang termino at ang pagkakaiba.

Formula ng ika-taning na termino para sa pag-unlad na ito:

Ilang termino ang mayroon sa pag-unlad kung lahat sila ay kailangang dalawang-digit?

Napakadaling: .

Magiging pantay ang huling termino ng pag-unlad. Pagkatapos ang kabuuan:

Sagot: .

Ngayon magpasya para sa iyong sarili:

1. Araw-araw ang atleta ay tumatakbo ng mas maraming metro kaysa sa nakaraang araw. Ilang kabuuang kilometro ang kanyang tatakbuhin sa isang linggo kung tinakbo niya ang km m sa unang araw?
2. Ang isang siklista ay naglalakbay ng mas maraming kilometro araw-araw kaysa sa nakaraang araw. Sa unang araw ay naglakbay siya ng km. Ilang araw ang kailangan niyang maglakbay para maabot ang isang kilometro? Ilang kilometro ang lalakbayin niya sa huling araw ng kanyang paglalakbay?
3. Ang presyo ng refrigerator sa isang tindahan ay bumababa ng parehong halaga bawat taon. Tukuyin kung magkano ang presyo ng isang refrigerator na nabawasan bawat taon kung, ilagay para sa pagbebenta para sa rubles, anim na taon mamaya ito ay ibinebenta para sa rubles.

Mga sagot:

1. Ang pinakamahalagang bagay dito ay kilalanin ang pag-unlad ng aritmetika at matukoy ang mga parameter nito. Sa kasong ito, (linggo = araw). Kailangan mong tukuyin ang kabuuan ng mga unang tuntunin ng pag-unlad na ito:
   .
   Sagot:
2. Dito ibinigay: , dapat matagpuan.
   Malinaw, kailangan mong gumamit ng parehong sum formula tulad ng sa nakaraang problema:
   .
   Palitan ang mga halaga:

   Ang ugat ay halatang hindi magkasya, kaya ang sagot ay.
   Kalkulahin natin ang landas na nilakbay sa huling araw gamit ang formula ng ika-termino:
   (km).
   Sagot:

3. Ibinigay: . Hanapin: .
   Hindi ito maaaring maging mas simple:
   (kuskusin).
   Sagot:

ARITMETIKONG PAG-UNLAD. MAIKLING TUNGKOL SA MGA PANGUNAHING BAGAY

Ito ay isang pagkakasunud-sunod ng numero kung saan ang pagkakaiba sa pagitan ng mga katabing numero ay pareho at pantay.

Ang pag-unlad ng aritmetika ay maaaring tumaas () at bumababa ().

Halimbawa:

Formula para sa paghahanap ng ika-n na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic

ay nakasulat sa pamamagitan ng formula, kung saan ay ang bilang ng mga numero sa pag-unlad.

Pag-aari ng mga miyembro ng isang arithmetic progression

Binibigyang-daan ka nitong madaling makahanap ng termino ng isang progression kung kilala ang mga katabing termino nito - nasaan ang bilang ng mga numero sa progression.

Kabuuan ng mga termino ng isang pag-unlad ng arithmetic

Mayroong dalawang paraan upang mahanap ang halaga:

Nasaan ang bilang ng mga halaga.

Nasaan ang bilang ng mga halaga.

Kapag nag-aaral ng algebra sa paaralang sekondarya(ika-9 na baitang) isa sa mahahalagang paksa ay ang pag-aaral ng mga pagkakasunud-sunod ng numero, na kinabibilangan ng mga pag-usad - geometric at arithmetic. Sa artikulong ito titingnan natin ang isang pag-unlad ng aritmetika at mga halimbawa na may mga solusyon.

Ano ang isang pag-unlad ng aritmetika?

Upang maunawaan ito, kinakailangang tukuyin ang pag-unlad na pinag-uusapan, gayundin ang pagbibigay ng mga pangunahing pormula na gagamitin sa paglutas ng mga problema.

Ang aritmetika o ay isang hanay ng mga nakaayos na rational na numero, na ang bawat miyembro ay naiiba mula sa nauna sa pamamagitan ng ilang pare-parehong halaga. Ang halagang ito ay tinatawag na pagkakaiba. Iyon ay, alam mo ang sinumang miyembro ng isang nakaayos na serye ng mga numero at ang pagkakaiba, maaari mong ibalik ang buong pag-unlad ng aritmetika.

Magbigay tayo ng halimbawa. Ang sumusunod na pagkakasunud-sunod ng mga numero ay isang arithmetic progression: 4, 8, 12, 16, ..., dahil ang pagkakaiba sa kasong ito ay 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Ngunit ang hanay ng mga numero 3, 5, 8, 12, 17 ay hindi na maiuugnay sa uri ng pag-unlad na isinasaalang-alang, dahil ang pagkakaiba para dito ay hindi isang pare-parehong halaga (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Mahahalagang Formula

Ilahad natin ngayon ang mga pangunahing pormula na kakailanganin upang malutas ang mga problema gamit ang pag-unlad ng aritmetika. Tukuyin natin sa pamamagitan ng simbolong a n nth term mga sequence kung saan ang n ay isang integer. Tinutukoy namin ang pagkakaiba Latin na titik d. Pagkatapos ang mga sumusunod na expression ay wasto:

1. Upang matukoy ang halaga ng nth term, ang sumusunod na formula ay angkop: a n = (n-1)*d+a 1 .
2. Upang matukoy ang kabuuan ng unang n termino: S n = (a n +a 1)*n/2.

Upang maunawaan ang anumang mga halimbawa ng pag-unlad ng aritmetika na may mga solusyon sa ika-9 na baitang, sapat na tandaan ang dalawang formula na ito, dahil ang anumang mga problema ng uri na isinasaalang-alang ay batay sa kanilang paggamit. Dapat mo ring tandaan na ang pagkakaiba sa pag-unlad ay tinutukoy ng formula: d = a n - a n-1.

Halimbawa #1: paghahanap ng hindi kilalang termino

Magbigay tayo ng isang simpleng halimbawa ng isang pag-unlad ng aritmetika at ang mga pormula na kailangang gamitin upang malutas ito.

Hayaang ibigay ang sequence 10, 8, 6, 4, ..., kailangan mong hanapin ang limang termino dito.

Mula sa mga kondisyon ng problema ay sumusunod na ang unang 4 na termino ay kilala. Ang ikalima ay maaaring tukuyin sa dalawang paraan:

1. Kalkulahin muna natin ang pagkakaiba. Mayroon kaming: d = 8 - 10 = -2. Sa katulad na paraan, maaari mong kunin ang sinumang dalawang miyembro na nakatayo sa tabi ng isa't isa. Halimbawa, d = 4 - 6 = -2. Dahil alam na d = a n - a n-1, kung gayon d = a 5 - a 4, kung saan nakukuha natin ang: a 5 = a 4 + d. Pinapalitan namin ang mga kilalang halaga: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Ang pangalawang paraan ay nangangailangan din ng kaalaman sa pagkakaiba ng pag-usad na pinag-uusapan, kaya kailangan mo munang tukuyin ito tulad ng ipinapakita sa itaas (d = -2). Alam na ang unang termino a 1 = 10, ginagamit namin ang formula para sa n bilang ng sequence. Mayroon kaming: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Ang pagpapalit ng n = 5 sa huling expression, makukuha natin ang: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Tulad ng nakikita mo, ang parehong mga solusyon ay humantong sa parehong resulta. Tandaan na sa halimbawang ito ang pagkakaiba sa pag-unlad d ay isang negatibong halaga. Ang ganitong mga pagkakasunud-sunod ay tinatawag na pagbaba, dahil ang bawat susunod na termino ay mas mababa kaysa sa nauna.

Halimbawa #2: pagkakaiba sa pag-unlad

Ngayon pasimplehin natin ng kaunti ang problema, magbigay ng isang halimbawa kung paano hanapin ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng aritmetika.

Ito ay kilala na sa ilang algebraic progression ang 1st term ay katumbas ng 6, at ang 7th term ay katumbas ng 18. Ito ay kinakailangan upang mahanap ang pagkakaiba at ibalik ang sequence na ito sa 7th term.

Gamitin natin ang formula upang matukoy ang hindi kilalang termino: a n = (n - 1) * d + a 1 . Palitan natin ang kilalang data mula sa kundisyon dito, iyon ay, ang mga numero a 1 at 7, mayroon tayo: 18 = 6 + 6 * d. Mula sa expression na ito madali mong makalkula ang pagkakaiba: d = (18 - 6) /6 = 2. Kaya, nasagot namin ang unang bahagi ng problema.

Upang maibalik ang sequence sa ika-7 termino, dapat mong gamitin ang kahulugan ng isang algebraic progression, iyon ay, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, at iba pa. Bilang resulta, ibinabalik namin ang buong sequence: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Halimbawa Blg. 3: pagbubuo ng progreso

Gawin pa natin itong kumplikado mas malakas na kondisyon mga gawain. Ngayon kailangan nating sagutin ang tanong kung paano makahanap ng pag-unlad ng aritmetika. Ang sumusunod na halimbawa ay maaaring ibigay: dalawang numero ang ibinigay, halimbawa - 4 at 5. Kinakailangang lumikha ng algebraic progression upang tatlo pang termino ang mailagay sa pagitan ng mga ito.

Bago mo simulan ang paglutas ng problemang ito, kailangan mong maunawaan kung anong lugar ang sasakupin ng mga ibinigay na numero sa pag-unlad sa hinaharap. Dahil magkakaroon ng tatlong higit pang mga termino sa pagitan nila, pagkatapos ay isang 1 = -4 at isang 5 = 5. Kapag naitatag ito, nagpapatuloy tayo sa problema, na katulad ng nauna. Muli, para sa nth term na ginagamit namin ang formula, nakukuha namin ang: a 5 = a 1 + 4 * d. Mula sa: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25. Ang nakuha namin dito ay hindi isang integer na halaga ng pagkakaiba, ngunit ito ay isang rational na numero, kaya ang mga formula para sa algebraic progression ay nananatiling pareho.

Ngayon, idagdag natin ang nakitang pagkakaiba sa isang 1 at ibalik ang mga nawawalang termino ng pag-unlad. Nakukuha namin ang: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5, na nagtutugma sa mga kondisyon ng problema.

Halimbawa Blg. 4: unang termino ng pag-unlad

Patuloy tayong magbigay ng mga halimbawa ng pag-unlad ng aritmetika na may mga solusyon. Sa lahat ng nakaraang problema, ang unang bilang ng algebraic progression ay kilala. Ngayon isaalang-alang natin ang isang problema ng ibang uri: hayaan ang dalawang numero na ibigay, kung saan ang isang 15 = 50 at isang 43 = 37. Ito ay kinakailangan upang mahanap kung aling numero ang sequence na ito ay nagsisimula.

Ang mga formula na ginamit sa ngayon ay ipinapalagay ang kaalaman sa isang 1 at d. Sa pahayag ng problema, walang alam tungkol sa mga numerong ito. Gayunpaman, isusulat namin ang mga expression para sa bawat termino tungkol sa kung aling impormasyon ang makukuha: a 15 = a 1 + 14 * d at a 43 = a 1 + 42 * d. Nakatanggap kami ng dalawang equation kung saan mayroong 2 hindi kilalang dami (a 1 at d). Nangangahulugan ito na ang problema ay nabawasan sa paglutas ng isang sistema ng mga linear equation.

Ang pinakamadaling paraan upang malutas ang sistemang ito ay ang pagpapahayag ng 1 sa bawat equation at pagkatapos ay ihambing ang mga resultang expression. Unang equation: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; pangalawang equation: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Ang equating mga expression na ito, makakakuha tayo ng: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, kung saan ang pagkakaiba d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0.464 (3 decimal place lang ang binigay).

Alam ang d, maaari mong gamitin ang alinman sa 2 expression sa itaas para sa isang 1. Halimbawa, una: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496.

Kung mayroon kang mga pagdududa tungkol sa resulta na nakuha, maaari mong suriin ito, halimbawa, matukoy ang ika-43 na termino ng pag-unlad, na tinukoy sa kondisyon. Nakukuha namin ang: a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. Ang maliit na error ay dahil sa ang katunayan na ang rounding sa thousandths ay ginamit sa mga kalkulasyon.

Halimbawa Blg. 5: halaga

Ngayon tingnan natin ang ilang mga halimbawa na may mga solusyon para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic.

Hayaang magbigay ng numerical progression ang sumusunod na uri: 1, 2, 3, 4, ...,. Paano makalkula ang kabuuan ng 100 ng mga numerong ito?

Salamat sa pag-unlad ng teknolohiya ng computer, posible na malutas ang problemang ito, iyon ay, idagdag ang lahat ng mga numero nang sunud-sunod, na gagawin ng computer sa sandaling pinindot ng isang tao ang Enter key. Gayunpaman, ang problema ay maaaring malutas sa pag-iisip kung bibigyan mo ng pansin na ang ipinakita na serye ng mga numero ay isang algebraic progression, at ang pagkakaiba nito ay katumbas ng 1. Ang paglalapat ng formula para sa kabuuan, makakakuha tayo ng: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na ang problemang ito ay tinatawag na "Gaussian" dahil sa maagang XVIII siglo, ang sikat na Aleman, habang 10 taong gulang pa lamang, ay nagawang lutasin ito sa kanyang ulo sa loob ng ilang segundo. Hindi alam ng batang lalaki ang pormula para sa kabuuan ng isang algebraic progression, ngunit napansin niya na kung idaragdag mo ang mga numero sa dulo ng sequence sa mga pares, palagi kang makakakuha ng parehong resulta, iyon ay, 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., at dahil ang mga kabuuan na ito ay magiging eksaktong 50 (100 / 2), kung gayon para makuha ang tamang sagot sapat na upang i-multiply ang 50 sa 101.

Halimbawa Blg. 6: kabuuan ng mga termino mula n hanggang m

Ang isa pang tipikal na halimbawa ng kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika ay ang sumusunod: binigyan ng serye ng mga numero: 3, 7, 11, 15, ..., kailangan mong hanapin kung ano ang magiging katumbas ng kabuuan ng mga termino nito mula 8 hanggang 14 sa .

Ang problema ay nalutas sa dalawang paraan. Ang una sa mga ito ay nagsasangkot ng paghahanap ng mga hindi kilalang termino mula 8 hanggang 14, at pagkatapos ay pagbubuod ng mga ito nang sunud-sunod. Dahil kakaunti ang mga termino, ang pamamaraang ito ay hindi masyadong labor-intensive. Gayunpaman, iminungkahi na lutasin ang problemang ito gamit ang pangalawang paraan, na mas pangkalahatan.

Ang ideya ay upang makakuha ng isang formula para sa kabuuan ng algebraic progression sa pagitan ng mga terminong m at n, kung saan ang n > m ay mga integer. Para sa parehong mga kaso, sumulat kami ng dalawang expression para sa kabuuan:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

Dahil n > m, halatang kasama sa 2nd sum ang una. Ang huling konklusyon ay nangangahulugan na kung kukunin natin ang pagkakaiba sa pagitan ng mga kabuuan na ito at idagdag ang terminong a m dito (sa kaso ng pagkuha ng pagkakaiba, ito ay ibabawas mula sa kabuuan S n), makukuha natin ang kinakailangang sagot sa problema. Mayroon kaming: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + isang m * (1- m/2). Kinakailangang palitan ang mga formula para sa a n at a m sa expression na ito. Pagkatapos ay makukuha natin ang: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

Ang resultang formula ay medyo mahirap, gayunpaman, ang kabuuan ng S mn ay nakasalalay lamang sa n, m, a 1 at d. Sa aming kaso, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Ang pagpapalit sa mga numerong ito, makakakuha tayo ng: S mn = 301.

Tulad ng makikita mula sa mga solusyon sa itaas, ang lahat ng mga problema ay batay sa kaalaman sa expression para sa ika-n na termino at ang formula para sa kabuuan ng hanay ng mga unang termino. Bago simulan ang paglutas ng alinman sa mga problemang ito, inirerekomenda na maingat mong basahin ang kondisyon, malinaw na maunawaan kung ano ang kailangan mong hanapin, at pagkatapos ay magpatuloy sa solusyon.

Ang isa pang tip ay upang magsikap para sa pagiging simple, iyon ay, kung masasagot mo ang isang tanong nang hindi gumagamit ng kumplikadong mga kalkulasyon sa matematika, kailangan mong gawin iyon, dahil sa kasong ito ang posibilidad na magkamali ay mas mababa. Halimbawa, sa halimbawa ng isang pag-unlad ng arithmetic na may solusyon No. 6, maaaring huminto ang isa sa formula S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, at pahinga karaniwang gawain sa magkahiwalay na mga subtask (sa kasong ito, hanapin muna ang mga terminong a n at a m).

Kung mayroon kang mga pagdududa tungkol sa resulta na nakuha, inirerekumenda na suriin ito, tulad ng ginawa sa ilan sa mga halimbawang ibinigay. Nalaman namin kung paano maghanap ng pag-unlad ng aritmetika. Kung naisip mo ito, hindi ito mahirap.

Halimbawa, ang sequence \(2\); \(5\); \(8\); \(labing-isa\); Ang \(14\)... ay isang pag-unlad ng aritmetika, dahil ang bawat kasunod na elemento ay naiiba sa nauna nang tatlo (maaaring makuha mula sa nauna sa pamamagitan ng pagdaragdag ng tatlo):

Sa pag-unlad na ito, ang pagkakaiba \(d\) ay positibo (katumbas ng \(3\)), at samakatuwid ang bawat susunod na termino ay mas malaki kaysa sa nauna. Ang ganitong mga pag-unlad ay tinatawag dumarami.

Gayunpaman, ang \(d\) ay maaari ding negatibong numero. Halimbawa, sa arithmetic progression \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... ang progression difference \(d\) ay katumbas ng minus anim.

At sa kasong ito, ang bawat susunod na elemento ay magiging mas maliit kaysa sa nauna. Ang mga pag-unlad na ito ay tinatawag bumababa.

Arithmetic progression notation

Ang pag-unlad ay ipinahiwatig ng isang maliit na titik ng Latin.

Tinatawag ang mga numerong bumubuo ng progression mga miyembro(o mga elemento).

Ang mga ito ay tinutukoy ng parehong titik bilang isang pag-unlad ng aritmetika, ngunit may isang numerical index na katumbas ng bilang ng elemento sa pagkakasunud-sunod.

Halimbawa, ang arithmetic progression \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) ay binubuo ng mga elementong \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) at iba pa.

Sa madaling salita, para sa pag-unlad \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Paglutas ng mga problema sa pag-unlad ng aritmetika

Sa prinsipyo, ang impormasyong ipinakita sa itaas ay sapat na upang malutas ang halos anumang problema sa pag-unlad ng aritmetika (kabilang ang mga inaalok sa OGE).

Halimbawa (OGE). Ang pag-unlad ng arithmetic ay tinukoy ng mga kundisyon \(b_1=7; d=4\). Hanapin ang \(b_5\).
Solusyon:

Sagot: \(b_5=23\)

Halimbawa (OGE). Ang unang tatlong termino ng isang pag-usad ng aritmetika ay ibinigay: \(62; 49; 36…\) Hanapin ang halaga ng unang negatibong termino ng pag-usad na ito..
Solusyon:

	Ibinigay sa amin ang mga unang elemento ng pagkakasunud-sunod at alam na ito ay isang pag-unlad ng aritmetika. Iyon ay, ang bawat elemento ay naiiba sa kapitbahay nito sa parehong numero. Alamin natin kung alin sa pamamagitan ng pagbabawas ng nauna sa susunod na elemento: \(d=49-62=-13\).
	Ngayon ay maaari nating ibalik ang ating pag-unlad sa (unang negatibo) elemento na kailangan natin.
	handa na. Maaari kang sumulat ng sagot.

Sagot: \(-3\)

Halimbawa (OGE). Dahil sa ilang magkakasunod na elemento ng isang pag-unlad ng aritmetika: \(...5; x; 10; 12.5...\) Hanapin ang halaga ng elementong itinalaga ng titik \(x\).
Solusyon:

	Upang mahanap ang \(x\), kailangan nating malaman kung gaano kalaki ang pagkakaiba ng susunod na elemento sa nauna, sa madaling salita, ang pagkakaiba ng pag-unlad. Hanapin natin ito mula sa dalawang kilalang kalapit na elemento: \(d=12.5-10=2.5\).
	At ngayon madali na nating mahahanap ang ating hinahanap: \(x=5+2.5=7.5\).
	handa na. Maaari kang sumulat ng sagot.

Sagot: \(7,5\).

Halimbawa (OGE). Ang pag-unlad ng arithmetic ay tinukoy ng mga sumusunod na kondisyon: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Hanapin ang kabuuan ng unang anim na termino ng progression na ito.
Solusyon:

Kailangan nating hanapin ang kabuuan ng unang anim na termino ng pag-unlad. Ngunit hindi natin alam ang kanilang mga kahulugan; binigyan lamang tayo ng unang elemento. Samakatuwid, una naming kalkulahin ang mga halaga nang paisa-isa, gamit ang ibinigay sa amin: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) At nang makalkula ang anim na elemento na kailangan namin, nakita namin ang kanilang kabuuan.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Nahanap na ang kinakailangang halaga.

Sagot: \(S_6=9\).

Halimbawa (OGE). Sa arithmetic progression \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Hanapin ang pagkakaiba ng pag-unlad na ito.
Solusyon:

Sagot: \(d=7\).

Mahahalagang formula para sa pag-unlad ng aritmetika

Tulad ng nakikita mo, maraming mga problema sa pag-unlad ng aritmetika ay maaaring malutas sa pamamagitan lamang ng pag-unawa sa pangunahing bagay - na ang isang pag-unlad ng aritmetika ay isang hanay ng mga numero, at ang bawat kasunod na elemento sa chain na ito ay nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng parehong numero sa nauna (ang pagkakaiba ng pag-unlad).

Gayunpaman, kung minsan may mga sitwasyon kapag ang pagpapasya sa "head-on" ay napaka-inconvenient. Halimbawa, isipin na sa pinakaunang halimbawa kailangan nating hanapin hindi ang ikalimang elemento \(b_5\), ngunit ang tatlong daan at walumpu't anim na \(b_(386)\). Dapat ba tayong magdagdag ng apat na \(385\) beses? O isipin na sa penultimate na halimbawa kailangan mong hanapin ang kabuuan ng unang pitumpu't tatlong elemento. Mapapagod ka magbilang...

Samakatuwid, sa ganitong mga kaso hindi nila nilulutas ang mga bagay na "head-on", ngunit gumagamit ng mga espesyal na formula na nagmula para sa pag-unlad ng aritmetika. At ang mga pangunahing ay ang pormula para sa ika-n na termino ng pag-unlad at ang pormula para sa kabuuan ng \(n\) mga unang termino.

Formula ng \(n\)th term: \(a_n=a_1+(n-1)d\), kung saan ang \(a_1\) ay ang unang termino ng progression;
\(n\) – numero ng kinakailangang elemento;
\(a_n\) – termino ng progression na may numerong \(n\).

Ang formula na ito ay nagbibigay-daan sa amin upang mabilis na mahanap kahit na ang tatlong-daan o ang ika-milyong elemento, alam lamang ang una at ang pagkakaiba ng pag-unlad.

Halimbawa. Ang pag-unlad ng arithmetic ay tinukoy ng mga kondisyon: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). Hanapin ang \(b_(246)\).
Solusyon:

Sagot: \(b_(246)=1850\).

Formula para sa kabuuan ng unang n termino: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), kung saan

\(a_n\) – ang huling summed term;

Halimbawa (OGE). Ang pag-unlad ng arithmetic ay tinukoy ng mga kondisyon \(a_n=3.4n-0.6\). Hanapin ang kabuuan ng unang \(25\) mga tuntunin ng pag-usad na ito.
Solusyon:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Upang kalkulahin ang kabuuan ng unang dalawampu't limang termino, kailangan nating malaman ang halaga ng una at dalawampu't limang termino. Ang aming pag-unlad ay ibinibigay ng pormula ng ika-n na termino depende sa bilang nito (para sa higit pang mga detalye, tingnan). Kalkulahin natin ang unang elemento sa pamamagitan ng pagpapalit ng isa para sa \(n\).
\(n=1;\) \(a_1=3.4·1-0.6=2.8\)		Ngayon, hanapin natin ang ikadalawampu't limang termino sa pamamagitan ng pagpapalit ng dalawampu't lima sa halip na \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4·25-0.6=84.4\)		Well, ngayon ay madali nating kalkulahin ang kinakailangang halaga.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Handa na ang sagot.

Sagot: \(S_(25)=1090\).

Para sa kabuuan ng \(n\) ng mga unang termino, maaari kang makakuha ng isa pang formula: kailangan mo lang na \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) sa halip na \(a_n\) palitan ang formula para dito \(a_n=a_1+(n-1)d\). Nakukuha namin:

Formula para sa kabuuan ng unang n termino: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), kung saan

\(S_n\) – ang kinakailangang kabuuan ng \(n\) unang elemento;
\(a_1\) – ang unang summed term;
\(d\) – pagkakaiba sa pag-unlad;
\(n\) – bilang ng mga elemento sa kabuuan.

Halimbawa. Hanapin ang kabuuan ng unang \(33\)-ex terms ng arithmetic progression: \(17\); \(15.5\); \(14\)…
Solusyon:

Sagot: \(S_(33)=-231\).

Mas kumplikadong mga problema sa pag-unlad ng aritmetika

Ngayon nasa iyo na ang lahat kinakailangang impormasyon para sa paglutas ng halos anumang problema sa pag-unlad ng aritmetika. Tapusin natin ang paksa sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang ng mga problema kung saan hindi mo lamang kailangan mag-apply ng mga formula, ngunit mag-isip din ng kaunti (sa matematika ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang ☺)

Halimbawa (OGE). Hanapin ang kabuuan ng lahat ng negatibong termino ng progression: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
Solusyon:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Ang gawain ay halos kapareho sa nauna. Nagsisimula kaming lutasin ang parehong bagay: una naming mahanap ang \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		Ngayon gusto kong palitan ang \(d\) sa pormula para sa kabuuan... at dito lumalabas ang isang maliit na nuance - hindi natin alam \(n\). Sa madaling salita, hindi namin alam kung ilang termino ang kailangang idagdag. Paano malalaman? Tayo'y mag isip. Ihihinto namin ang pagdaragdag ng mga elemento kapag naabot namin ang unang positibong elemento. Iyon ay, kailangan mong malaman ang bilang ng elementong ito. Paano? Isulat natin ang formula para sa pagkalkula ng anumang elemento ng isang pag-unlad ng arithmetic: \(a_n=a_1+(n-1)d\) para sa aming kaso.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19.3+(n-1)·0.3\)		Kailangan natin ang \(a_n\) upang maging mas malaki sa zero. Alamin natin kung anong \(n\) ito ang mangyayari.
\(-19.3+(n-1)·0.3>0\)
\((n-1)·0.3>19.3\) \(|:0.3\)		Hinahati namin ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay sa \(0.3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Inilipat namin ang minus one, hindi nakakalimutang baguhin ang mga palatandaan
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		kalkulahin natin...
\(n>65,333…\)		...at lumalabas na ang unang positibong elemento ay magkakaroon ng numerong \(66\). Alinsunod dito, ang huling negatibo ay mayroong \(n=65\). Kung sakali, tingnan natin ito.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1)·0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1)·0.3=0.2\)		Kaya kailangan nating idagdag ang unang \(65\) na mga elemento.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		Handa na ang sagot.

Sagot: \(S_(65)=-630.5\).

Halimbawa (OGE). Ang pag-unlad ng arithmetic ay tinukoy ng mga kondisyon: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Hanapin ang kabuuan mula sa \(26\)th hanggang sa \(42\) element inclusive.
Solusyon:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Sa problemang ito kailangan mo ring hanapin ang kabuuan ng mga elemento, ngunit hindi nagsisimula sa una, ngunit mula sa \(26\)th. Para sa ganoong kaso wala kaming formula. Paano magdesisyon? Madali lang - upang makuha ang kabuuan mula sa \(26\)th hanggang sa \(42\)th, kailangan mo munang hanapin ang kabuuan mula sa \(1\)th hanggang \(42\)th, at pagkatapos ay ibawas mula dito ang kabuuan mula sa una hanggang \(25\)th (tingnan ang larawan).
	Para sa aming pag-unlad \(a_1=-33\), at ang pagkakaiba \(d=4\) (pagkatapos ng lahat, ito ay ang apat na idinagdag namin sa nakaraang elemento upang mahanap ang susunod). Sa pag-alam nito, makikita natin ang kabuuan ng unang \(42\)-y elemento.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Ngayon ang kabuuan ng unang \(25\) elemento.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	At sa wakas, kinakalkula namin ang sagot.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Sagot: \(S=1683\).

Para sa pag-unlad ng aritmetika, may ilan pang mga formula na hindi namin isinasaalang-alang sa artikulong ito dahil sa kanilang mababang praktikal na pagiging kapaki-pakinabang. Gayunpaman, madali mong mahahanap ang mga ito.