Mga layunin ng aralin:

• Ipakilala ang konsepto parallel na eroplano.
• Isaalang-alang at patunayan ang mga theorems na nagpapahayag ng tanda ng parallelism ng mga eroplano at ang mga katangian ng mga parallel na eroplano.
• Sundan ang aplikasyon ng mga teorema na ito sa paglutas ng mga problema.

Lesson plan (isulat sa pisara):

I. Preparatory oral work.

II. Pag-aaral ng bagong materyal:

1. Ang relatibong posisyon ng dalawang eroplano sa kalawakan.
2. Pagpapasiya ng parallel planes.
3. Tanda ng parallel planes.
4. Pag-aari ng mga parallel na eroplano.

III. Buod ng aralin.

IV. Takdang aralin.

SA PANAHON NG MGA KLASE

I. Oral na gawain

Nais kong simulan ang aralin sa isang quote mula sa pilosopikal na liham ni Chaadaev:

“Saan nagmula ang mahimalang kapangyarihang ito ng pagsusuri sa matematika? Ang katotohanan ay ang isip dito ay kumikilos sa ganap na pagpapasakop sa tuntuning ito.”

Titingnan natin ang pagsunod sa panuntunang ito sa susunod na gawain. Upang matuto ng bagong materyal, kailangan mong ulitin ang ilang mga tanong. Upang gawin ito, kailangan mong magtatag ng isang pahayag na sumusunod sa mga pahayag na ito at bigyang-katwiran ang iyong sagot:

II. Pag-aaral ng bagong materyal

1. Paano matatagpuan ang dalawang eroplano sa kalawakan? Ano ang set ng mga puntos na kabilang sa parehong eroplano?

Sagot:

a) nag-tutugma (pagkatapos ay haharapin natin ang isang eroplano, hindi ito kasiya-siya);
b) bumalandra, ;
c) huwag mag-intersect (walang mga karaniwang punto sa lahat).

2. Kahulugan: Kung ang dalawang eroplano ay hindi nagsalubong, kung gayon sila ay tinatawag na parallel

3. pagtatalaga:

4. Magbigay ng mga halimbawa ng parallel planes mula sa kapaligiran

5. Paano malalaman kung ang alinmang dalawang eroplano sa kalawakan ay magkatulad?

Sagot:

Maaari mong gamitin ang kahulugan, ngunit ito ay hindi naaangkop, dahil Hindi laging posible na itatag ang intersection ng mga eroplano. Samakatuwid, kinakailangang isaalang-alang ang isang kondisyon na sapat upang igiit na ang mga eroplano ay parallel.

6. Isaalang-alang natin ang mga sitwasyon:

b) kung ?

c) kung ?

Bakit ang sagot sa a) at b) "hindi palaging", ngunit sa c) "oo"? (Ang mga intersecting na linya ay tumutukoy sa isang eroplano sa isang natatanging paraan, na nangangahulugang ang mga ito ay natatanging tinukoy!)

Ang sitwasyon 3 ay isang tanda ng paralelismo ng dalawang eroplano.

7. Teorama: Kung ang dalawang intersecting na linya ng isang eroplano ay magkapareho sa dalawang linya ng isa pang eroplano, kung gayon ang mga eroplanong ito ay parallel.

Ibinigay:

Patunayan:

Patunay:

(Ang mga mag-aaral ay naglalapat ng mga pagtatalaga sa pagguhit.)

1. Tandaan: . Gayundin:
2. Hayaan: .
3. Mayroon kaming: Katulad nito:
4. Nakukuha natin: sa pamamagitan ng M mayroong isang kontradiksyon sa axiom ng planimetry.
5. Kaya: hindi tama, ibig sabihin , atbp.

8. Lutasin ang Blg. 51 (Ang mga mag-aaral ay naglalagay ng mga simbolo sa guhit).

Ibinigay:

Patunayan:

Patunay:

1 paraan

1. Buuin natin

Paraan 2

Ipasok sa pamamagitan ng .

9. Isaalang-alang natin ang dalawang katangian ng parallel planes:

Teorama: Kung ang dalawang parallel na eroplano ay intersected ng isang third, kung gayon ang mga linya ng kanilang intersection ay parallel.

(Ang mga mag-aaral mismo ang kumukumpleto sa pagbuo at markahan ito sa guhit).

Ibinigay:

Dalawang eroplano sa kalawakan ay maaaring magkatulad o maaaring magsalubong, tulad ng ipinapakita sa sumusunod na talahanayan.

Dalawang magkasalubong na eroplano

Kahulugan: Tinatawag ang dalawang eroplano nagsasalubong, kung sila hindi magkapareho, at mayroon sila may mga karaniwang punto. Kapag nagsalubong ang dalawang eroplano, interseksyon mga eroplanong ito ay isang tuwid na linya.

Dalawang magkatulad na eroplano

Kahulugan: Ang dalawang eroplano ay tinatawag na parallel kung sila walang mga karaniwang puntos.

Mga palatandaan ng paralelismo ng dalawang eroplano

Ang unang tanda ng paralelismo ng dalawang eroplano. Kung dalawa mga linyang interseksyonmga linyang interseksyon, nakahiga sa parehong eroplano, ayon sa pagkakabanggit parallelparallel dalawang tuwid na linya na nakahiga sa isa pang eroplano, kung gayon ang gayong mga eroplano ay magkatulad.

Patunay . Isaalang-alang ang Figure 1, na nagpapakita ng mga eroplanong α at β

Ang mga linya a at b ay nasa eroplanong α at nagsalubong sa puntong K. Ang mga linyang c at d ay nasa β plane at kahanay ng mga linya a at b, ayon sa pagkakabanggit.

Patunayan natin ang unang tanda ng parallelism ng dalawang eroplano gamit ang "sa pamamagitan ng kontradiksyon" na paraan. Upang gawin ito, ipagpalagay na ang mga eroplanong α at β ay hindi magkatulad. Dahil dito, ang mga eroplanong α at β ay dapat mag-intersect, at mag-intersect sa ilang tuwid na linya. Tukuyin natin ang tuwid na linya kung saan ang mga eroplanong α at β ay nagsalubong sa letrang l (Larawan 2) at gamitin ang tanda ng paralelismo sa pagitan ng tuwid na linya at ng eroplano.

Ang eroplanong α ay dumadaan sa isang linya na kahanay ng linya c at nag-intersect sa eroplanong β kasama ng linya l. Mula dito, dahil sa , napagpasyahan namin na ang mga linya a at l ay magkatulad. Kasabay nito, ang eroplanong α ay dumadaan sa linya b, kahanay ng linya d, at nag-intersect sa eroplanong β kasama ng linya l. Mula dito, dahil sa tampok na parallelism ng linya at ng eroplano, napagpasyahan namin na ang mga linya b at l ay parallel. Kaya, nakuha namin na sa eroplano α dalawang linya ang dumadaan sa punto K, ibig sabihin, mga linya a at b , na kahanay ng linya l. Ang nagresultang kontradiksyon sa axiom ng parallel lines ginagawang posible na igiit na ang pagpapalagay na ang mga eroplanong α at β ay nagsalubong ay hindi tama. Ang patunay ng unang tanda ng paralelismo ng dalawang eroplano ay nakumpleto.

Ang pangalawang tanda ng paralelismo ng dalawang eroplano. Kung ang dalawang intersecting na linya na nakahiga sa isang eroplano ay parallel sa isa pang eroplano, kung gayon ang mga naturang eroplano ay parallel.

Patunay . Isaalang-alang ang Figure 3, na nagpapakita ng mga eroplanong α at β.

Ipinapakita rin ng figure na ito ang mga linyang a at b, na nasa eroplanong α at bumalandra sa puntong K. Ayon sa kondisyon, ang bawat isa sa mga linyang a at b ay kahanay sa eroplanong β. Kailangan nating patunayan na ang mga eroplanong α at β ay parallel.

Ang patunay ng pahayag na ito ay katulad ng patunay ng unang pamantayan para sa paralelismo ng dalawang eroplano, at iniiwan namin ito sa mambabasa bilang isang kapaki-pakinabang na ehersisyo.

Sa aming website maaari ka ring makilala ang mga binuo na guro sentro ng pagsasanay"Resolventa" na mga materyal na pang-edukasyon para sa paghahanda para sa Unified State Exam sa matematika.

mga indibidwal na sesyon may mga tutor sa matematika at wikang Ruso

Ang paralelismo ng mga eroplano ay isang konsepto na unang lumitaw sa Euclidean geometry mahigit dalawang libong taon na ang nakalilipas.

Mga pangunahing katangian ng klasikal na geometry

Ang pagsilang ng disiplinang pang-agham na ito ay nauugnay sa sikat na gawain ng sinaunang Greek thinker na si Euclid, na sumulat ng polyetong "Mga Elemento" noong ikatlong siglo BC. Nahahati sa labintatlong aklat, ang mga Elemento ay pinakamataas na tagumpay sa buong sinaunang matematika at nagtakda ng mga pangunahing postulate na may kaugnayan sa mga katangian ng mga figure ng eroplano.

Ang klasikal na kondisyon para sa paralelismo ng mga eroplano ay nabuo tulad ng sumusunod: dalawang eroplano ay maaaring tawaging magkatulad kung wala silang mga karaniwang punto sa bawat isa. Ito ay nakasaad sa ikalimang postulate ng Euclidean labor.

Mga katangian ng parallel na eroplano

Sa Euclidean geometry, karaniwang lima sa kanila:

• Property one(naglalarawan ng paralelismo ng mga eroplano at ang kanilang natatangi). Sa pamamagitan ng isang punto na nasa labas ng isang partikular na ibinigay na eroplano, maaari tayong gumuhit ng isa at isang eroplano lamang na kahanay nito

• Tatlong ari-arian(sa madaling salita, ito ay tinatawag na pag-aari ng isang linya na nagsasalubong sa parallelism ng mga eroplano). Kung ang isang solong tuwid na linya ay nag-intersect sa isa sa mga parallel na eroplano na ito, pagkatapos ay magsa-intersect din ito sa isa pa.

• Apat na ari-arian(ang pag-aari ng mga tuwid na linya na pinutol sa mga eroplano na kahanay sa bawat isa). Kapag ang dalawang magkatulad na eroplano ay nagsalubong sa isang pangatlo (sa anumang anggulo), ang mga linya ng kanilang intersection ay parallel din.

• Limang ari-arian(isang property na naglalarawan ng mga segment ng iba't ibang parallel na linya na nakapaloob sa pagitan ng mga eroplanong parallel sa isa't isa). Ang mga segment ng mga parallel na linya na nasa pagitan ng dalawang parallel na eroplano ay kinakailangang pantay.

Parallelism ng mga eroplano sa non-Euclidean geometries

Ang ganitong mga diskarte ay, sa partikular, ang geometry ng Lobachevsky at Riemann. Kung ang geometry ni Euclid ay natanto sa mga patag na puwang, kung gayon sa Lobachevsky ito ay nasa negatibong hubog na mga puwang (curved, simpleng ilagay), at sa Riemann ay nahahanap nito ang pagsasakatuparan nito sa mga positibong hubog na espasyo (sa madaling salita, mga sphere). Mayroong isang napakalawak na stereotypical na opinyon na sa mga parallel na eroplano ng Lobachevsky (at mga linya din) ay nagsalubong.

Gayunpaman, hindi ito totoo. Sa katunayan, ang pagsilang ng hyperbolic geometry ay nauugnay sa patunay ng ikalimang postulate ni Euclid at isang pagbabago sa mga pananaw dito, ngunit ang mismong kahulugan ng magkatulad na mga eroplano at mga tuwid na linya ay nagpapahiwatig na hindi sila maaaring mag-intersect alinman sa Lobachevsky o Riemann, kahit sa anong mga puwang. napagtanto nila. At ang pagbabago sa mga pananaw at pormulasyon ay ang mga sumusunod. Ang postulate na ang isang parallel plane lamang ang maaaring iguhit sa isang punto na hindi nakahiga sa isang partikular na eroplano ay pinalitan ng isa pang formulation: dalawang parallel na eroplano ay maaaring dumaan sa isang punto na hindi nakahiga sa isang partikular na eroplano. kahit na, mga tuwid na linya na nasa parehong eroplano tulad ng ibinigay na isa at hindi nagsalubong dito.

e ari-arian ng pa parallel lines, tinatawag na transitiveparalelismo:

• Kung ang dalawang linya a at b ay parallel sa ikatlong linya c, kung gayon sila ay parallel tayo sa isa't isa.

Ngunit mas mahirap patunayan ang ari-arian na ito sa stereometry. Sa isang eroplano, ang mga hindi magkatulad na linya ay dapat mag-intersect at samakatuwid ay hindi maaaring maging parallel sa isang ikatlong linya sa parehong oras (kung hindi, ang parallel axiom ay nilabag). Sa prosa kalawakan may mga di-parallel atdami ng magkahiwalay na linyakung nakahiga sila sa magkaibang eroplano. Ang ganitong mga tuwid na linya ay sinasabing tumatawid.

Sa Fig. 4 ay nagpapakita ng isang kubo; tuwid na linya AB at BC nagsalubong, AB at CDay parallel, at AB at B SA magkaibang lahi. Sa hinaharap, madalas tayong gumamit ng tulong ng isang kubo upang ilarawansubukan ang mga konsepto at katotohanan ng stereometry. Ang aming kubo ay pinagsama-sama mula sa anim na parisukat na mukha. Batay dito, kukunin natin ang iba pang mga katangian nito. Halimbawa, masasabi nating ang linyang AB ay kahanay ng CD,parallel kasi silang dalawa karaniwang panig CD na maymga parisukat na humahawak sa kanila.

Sa stereometry, ang parallelism relation ay isinasaalang-alang din para sa mga eroplano: dalawang eroplanoAng isang linya o isang linya at isang eroplano ay parallel kung wala silang mga karaniwang puntos. Ito ay maginhawa upang isaalang-alang ang isang tuwid na linya at isang eroplano upang maging parallel kahit na ito ay namamalagi sa eroplano. Para sa mga eroplano at tuwid na linya ang mga sumusunod na theorems sa transitivity ay wasto:

• Kung ang dalawang eroplano ay parallel sa isang ikatlong eroplano, kung gayon sila ay parallel sa isa't isa.
• Kung ang isang linya at isang eroplano ay parallel sa ilang linya (o eroplano), kung gayon sila ay parallel sa isa't isa.

Ang pinakamahalagang espesyal na kaso ng pangalawang teorama ay ang tanda ng paralelismo sa pagitan ng isang linya at isang eroplano:

• Ang isang linya ay parallel sa isang eroplano kung ito ay parallel sa ilang linya sa eroplanong ito.

At narito ang isang palatandaan ng magkatulad na mga eroplano:

• Kung ang dalawang intersecting na linya sa isang eroplano ay parallel sa dalawang intersecting na linya sa isa pang eroplano, kung gayon ang mga eroplano ay parallel.

Ang sumusunod na simpleng teorama ay kadalasang ginagamit:

• Ang mga linya kung saan ang dalawang parallel na eroplano ay nagsalubong sa isang pangatlo ay parallel sa bawat isa.

Tingnan natin muli ang kubo (Larawan 4). Mula sa tanda ng paralelismo sa pagitan ng isang linya at isang eroplano ay sumusunod, halimbawa, ang tuwid na linyang A SA parallel sa plane ABCD (dahil ito ay parallel sa line AB sa plane na ito), at ang magkasalungat na mukha ng cube, lalo na ang A SA SA D at ABCD, parallel batay sa parallelism ng mga eroplano: tuwid na linya A B at B SA sa isang mukha ay parallel sa tuwid na linya AB at BC sa isa pa. At isang medyo hindi gaanong simpleng halimbawa. Eroplanong naglalaman ng mga parallel na linya AA at SS, mag-intersect ng magkatulad na eroplanong ABCD at A B C D sa mga tuwid na linya AC at A SA, nangangahulugan ito na ang mga linyang ito ay parallel: katulad din, parallel lines B C at A D. Samakatuwid, parallel planes AB C at A DC intersecting ang kubo sa triangles.

III. Larawan ng spatial figure.

Mayroong tulad ng isang aphorism Geometryito ay isang tuksokakayahang mangatuwiran nang tama sa isang maling guhit. Sa katunayan, kung tayo ay babalik saBatay sa pangangatwiran sa itaas, lumalabas:

ang tanging pakinabang na nakuha namin mula sa kasamang pagguhit ng kubo ay na ito ay nakatipid sa amin ng ilang espasyo sa pagpapaliwanagMga notasyon ng NI. Madali itong mailarawan tulad ng katawan sa Fig. 4, Ako, bagaman, malinaw naman, ang isang bagay na kinakatawan dito ay hindi lamang isang kubo, ngunit hindi rin isang polyhedron. Gayunpaman, ang aphorism sa itaas ay naglalaman lamang ng bahagi ng katotohanan. Pagkatapos ng lahat, bago pag-usapanipakita ang isang tapos na patunay, ito ay dapat naisipin. At para dito kailangan mong malinaw na isipin ang ibinigay na pigura, ang mga ugnayan sa pagitan ng mga elemento nito. Ang isang mahusay na pagguhit ay nakakatulong upang makabuo ng gayong ideya. Bukod dito, tulad ng makikita natin, sa stereometry ang isang matagumpay na pagguhit ay maaaringmaaaring maging hindi lamang isang paglalarawan, ngunit ang batayan para sa paglutas ng isang problema.

Isang artist (o sa halip, isang realist artist) saiginuguhit ang ating kubo sa paraang nakikita natin ito (Larawan 5, b), ibig sabihin, sa pananaw, o gitnangwalang projection. Sa pamamagitan ng isang gitnang projection mula sa punto O (projection center) papunta sa eroplano a,isang arbitrary point X ay kinakatawan ng isang punto X kung saan ang isang intersects ang tuwid na linya OX (Larawan 6). Ang central projection ay nagpapanatili ng tuwidlinear na pag-aayos ng mga punto, ngunit, bilang isang panuntunan, binabago ang mga parallel na linya sa mga interseksyonnagbabago, hindi banggitin ang katotohanan na nagbabago ito ng mga distansya at anggulo. Pag-aaral ng mga ari-arian nito sahumantong sa paglitaw mahalagang seksyon geometry (tingnan ang artikulong Projective geometry).

Ngunit sa mga geometric na guhit ay ginagamit ang ibang projection. Masasabi nating ito ay nakuha mula sa gitna kapag ang sentro O ay lumayo sa infinity at ang mga tuwid na linya na OX ay naging pa.parallel.

Pumili tayo ng isang eroplano a at isang tuwid na linya na nagsasalubong dito. Gumuhit tayo ng isang tuwid na linya hanggang sa punto X, paparallel l. Ang punto X kung saan ang linyang ito ay nakakatugon sa a ay isang parallel projection ng X papunta sa eroplano, a kasama ang tuwid na linya l (Larawan 7). Tungkol saang projection ng isang figure ay binubuo ng mga projection ng lahat ng mga punto nito. Sa geometry, ang imahe ng isang figure ay ang parallel projection nito.

Sa partikular, ang imahe ng isang tuwid na linyaito ba ay isang tuwid na linya o (sa mga pambihirang kaso)tsaa, kapag ang linya ay parallel sa direksyon ng projection) point. May parallel sa larawan

Ang bawat isa na nag-aral o kasalukuyang nag-aaral sa paaralan ay kailangang harapin ang iba't ibang kahirapan sa pag-aaral ng mga disiplina na kasama sa programa na binuo ng Ministri ng Edukasyon.

Anong mga paghihirap ang iyong kinakaharap?

Ang pag-aaral ng mga wika ay sinamahan ng pagsasaulo ng umiiral na mga tuntunin sa gramatika at ang mga pangunahing pagbubukod sa kanila. Ang pisikal na edukasyon ay nangangailangan ng maraming pagsisikap mula sa mga mag-aaral, mabuti kaangkupang pisikal at malaking pasensya.

Gayunpaman, walang maihahambing sa mga paghihirap na lumitaw kapag nag-aaral ng eksaktong mga disiplina. Algebra, na naglalaman ng masalimuot na paraan ng paglutas ng mga problema sa elementarya. Physics na may maraming hanay ng mga formula ng mga pisikal na batas. Geometry at mga sanga nito, na batay sa mga kumplikadong theorems at axioms.

Ang isang halimbawa ay ang mga axiom na nagpapaliwanag sa teorya ng magkatulad na mga eroplano, na dapat isaulo, dahil sila ang nagiging batayan ng buong kurso. kurikulum ng paaralan sa pamamagitan ng stereometry. Subukan nating malaman kung paano ito gagawin nang mas madali at mas mabilis.

Parallel planes na may mga halimbawa

Ang axiom na nagpapahiwatig ng parallelism ng mga eroplano ay ang mga sumusunod: " Anumang dalawang eroplano ay itinuturing na magkatulad lamang kung ang mga ito ay hindi naglalaman ng mga karaniwang punto", ibig sabihin, hindi sila nagsasalubong sa isa't isa. Upang isipin nang mas detalyado ang larawang ito, ang pangunahing halimbawa ay ang ugnayan sa pagitan ng kisame at ng sahig o magkatapat na dingding sa isang gusali. Ito ay agad na nagiging malinaw kung ano ang ibig sabihin, at kinukumpirma rin ang katotohanan na ang mga eroplanong ito sa normal na kaso ay hindi kailanman magsalubong.

Ang isa pang halimbawa ay isang double-glazed window, kung saan ang mga glass sheet ay kumikilos bilang mga eroplano. Hindi rin sila bubuo ng mga intersection point sa bawat isa sa anumang pagkakataon. Bukod pa rito, maaari kang magdagdag ng mga bookshelf, isang Rubik's cube, kung saan ang mga eroplano ay nasa magkabilang mukha nito, at iba pang pang-araw-araw na elemento.

Ang mga eroplano na isinasaalang-alang ay itinalaga ng isang espesyal na tanda sa anyo ng dalawang tuwid na linya "||", na malinaw na naglalarawan ng paralelismo ng mga eroplano. Kaya, gamit tunay na mga halimbawa, maaari kang bumuo ng isang mas malinaw na pang-unawa sa paksa, at, samakatuwid, maaari kang magpatuloy upang isaalang-alang ang mas kumplikadong mga konsepto.

Saan at paano inilalapat ang teorya ng parallel planes?

Kapag nag-aaral ng kursong geometry ng paaralan, kailangang harapin ng mga mag-aaral ang magkakaibang mga problema, kung saan madalas na kinakailangan upang matukoy ang parallelism ng mga linya, isang tuwid na linya at isang eroplano sa isa't isa, o ang pag-asa ng mga eroplano sa isa't isa. Sa pamamagitan ng pagsusuri sa umiiral na kundisyon, ang bawat gawain ay maaaring maiugnay sa apat na pangunahing klase ng stereometry.

Kasama sa unang klase ang mga problema kung saan kinakailangan upang matukoy ang parallelism ng isang tuwid na linya at isang eroplano sa bawat isa. Ang solusyon nito ay bumaba sa patunay ng theorem ng parehong pangalan. Upang gawin ito, kailangan mong matukoy kung para sa isang linya na hindi kabilang sa eroplano na isinasaalang-alang, mayroong isang parallel na linya na nakahiga sa eroplanong ito.

Kasama sa pangalawang klase ng mga problema ang mga kung saan ginagamit ang tampok ng mga parallel na eroplano. Ginagamit ito upang pasimplehin ang proseso ng patunay, sa gayon ay makabuluhang binabawasan ang oras upang makahanap ng solusyon.

Ang susunod na klase ay sumasaklaw sa isang hanay ng mga problema sa pagsusulatan ng mga tuwid na linya sa mga pangunahing katangian ng paralelismo ng mga eroplano. Ang solusyon sa mga problema ng ika-apat na klase ay upang matukoy kung ang kondisyon ng parallel na eroplano ay nasiyahan. Alam na eksakto kung paano nangyayari ang patunay ng isang partikular na problema, nagiging mas madali para sa mga mag-aaral na mag-navigate kapag ginagamit ang umiiral na arsenal ng mga geometric na axiom.

Kaya, ang mga problema na ang mga kondisyon ay nangangailangan ng pagtukoy at pagpapatunay ng paralelismo ng mga tuwid na linya, isang tuwid na linya at isang eroplano, o dalawang eroplano sa pagitan ng isa't isa, ay nabawasan sa tamang pagpili teorama at solusyon ayon sa umiiral na hanay ng mga tuntunin.

Sa parallelism ng isang linya at isang eroplano

Ang parallelism ng isang tuwid na linya at isang eroplano ay isang espesyal na paksa sa stereometry, dahil ito ang pangunahing konsepto kung saan nakabatay ang lahat ng kasunod na katangian ng parallelism ng mga geometric na figure.

Ayon sa magagamit na mga axiom, sa kaso kapag ang dalawang punto ng isang linya ay nabibilang sa isang tiyak na eroplano, maaari nating tapusin na ang linyang ito ay namamalagi din dito. Sa sitwasyong ito, nagiging malinaw na mayroong tatlong posibleng mga opsyon para sa lokasyon ng isang tuwid na linya na may kaugnayan sa isang eroplano sa kalawakan:

1. Ang tuwid na linya ay kabilang sa eroplano.
2. Ang isang linya at isang eroplano ay may isang karaniwang punto ng intersection.
3. Walang mga intersection point para sa isang tuwid na linya at isang eroplano.

Kami, sa partikular, ay interesado sa huling opsyon, kapag walang mga intersection point. Noon lamang natin masasabi na ang tuwid na linya at ang eroplano ay magkatulad sa bawat isa. Kaya, ang kondisyon ng pangunahing teorama tungkol sa pag-sign ng parallelism ng isang linya at isang eroplano ay nakumpirma, na nagsasaad na: "Kung ang isang linya na hindi kabilang sa eroplanong isinasaalang-alang ay parallel sa anumang linya sa eroplanong ito, kung gayon ang linya na isinasaalang-alang ay parallel din sa ibinigay na eroplano."

Ang pangangailangan na gamitin ang tampok na paralelismo

Ang tanda ng parallelism ng mga eroplano ay karaniwang ginagamit upang makahanap ng isang pinasimple na solusyon sa mga problema tungkol sa mga eroplano. Ang kakanyahan ng katangiang ito ay ang sumusunod: " Kung mayroong dalawang intersecting na linya na nakahiga sa parehong eroplano, parallel sa dalawang linya na kabilang sa isa pang eroplano, kung gayon ang mga nasabing eroplano ay matatawag na parallel».

Karagdagang teorema

Bilang karagdagan sa paggamit ng isang palatandaan na nagpapatunay sa paralelismo ng mga eroplano, sa pagsasanay ay maaaring makatagpo ng paggamit ng dalawa pang karagdagang theorems. Ang una ay ipinakita sa sumusunod na anyo: « Kung ang isa sa dalawang magkatulad na eroplano ay parallel sa pangatlo, kung gayon ang pangalawang eroplano ay kahanay din sa pangatlo o ganap na katapat nito.».

Batay sa paggamit ng mga ibinigay na theorems, palaging posible na patunayan ang paralelismo ng mga eroplano na may paggalang sa espasyong isinasaalang-alang. Ang pangalawang teorama ay nagpapakita ng pag-asa ng mga eroplano sa isang patayong linya at may anyo: " Kung ang dalawang magkaibang mga eroplano ay patayo sa isang tiyak na linya, kung gayon sila ay itinuturing na parallel sa bawat isa».

Ang konsepto ng kinakailangan at sapat na mga kondisyon

Sa pamamagitan ng paulit-ulit na paglutas ng mga problema sa pagpapatunay ng paralelismo ng mga eroplano, isang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa paralelismo ng mga eroplano ay nagmula. Ito ay kilala na ang anumang eroplano ay ibinibigay ng isang parametric equation ng anyo: A 1 x+ B 1 y+ C 1 z+D 1 =0. Ang aming kondisyon ay batay sa paggamit ng isang sistema ng mga equation na tumutukoy sa lokasyon ng mga eroplano sa kalawakan, at kinakatawan ng sumusunod na pormulasyon: " Upang patunayan ang parallelism ng dalawang eroplano, kinakailangan at sapat na ang sistema ng mga equation na naglalarawan sa mga eroplanong ito ay hindi magkatugma, iyon ay, walang solusyon.».

Mga pangunahing katangian

Gayunpaman, kapag nagpasya mga problemang geometriko Ang paggamit ng parallelism feature ay hindi palaging sapat. Minsan lumitaw ang isang sitwasyon kung kinakailangan upang patunayan ang paralelismo ng dalawa o higit pang mga linya sa magkaibang mga eroplano o ang pagkakapantay-pantay ng mga segment na nakapaloob sa mga linyang ito. Upang gawin ito, gamitin ang mga katangian ng paralelismo ng mga eroplano. Sa geometry, dalawa lang sila.

Ang unang pag-aari ay nagpapahintulot sa amin na hatulan ang paralelismo ng mga tuwid na linya sa ilang mga eroplano at ipinakita sa ang sumusunod na anyo: « Kung ang dalawang magkatulad na eroplano ay nagsalubong sa isang pangatlo, ang mga tuwid na linya na nabuo ng mga linya ng intersection ay magkakatulad din sa bawat isa.».

Ang kahulugan ng pangalawang pag-aari ay upang patunayan ang pagkakapantay-pantay ng mga segment na matatagpuan sa parallel na linya. Ang interpretasyon nito ay ipinakita sa ibaba. " Kung isasaalang-alang natin ang dalawang magkatulad na eroplano at ilakip ang isang rehiyon sa pagitan ng mga ito, maaari nating sabihin na ang haba ng mga segment na nabuo ng rehiyong ito ay magiging pareho.».