Dalawang eroplano sa kalawakan ay maaaring magkatulad o maaaring magsalubong, tulad ng ipinapakita sa sumusunod na talahanayan.
| Dalawang magkasalubong na eroplano |
Kahulugan: |
| Dalawang magkatulad na eroplano |
Kahulugan: |
Mga palatandaan ng paralelismo ng dalawang eroplano
Ang unang tanda ng paralelismo ng dalawang eroplano. Kung dalawa mga linyang interseksyonmga linyang interseksyon, nakahiga sa parehong eroplano, ayon sa pagkakabanggit parallelparallel dalawang tuwid na linya na nakahiga sa isa pang eroplano, kung gayon ang gayong mga eroplano ay magkatulad.
Patunay . Isaalang-alang ang Figure 1, na nagpapakita ng mga eroplanong α at β
Ang mga linya a at b ay nasa eroplanong α at nagsalubong sa puntong K. Ang mga linyang c at d ay nasa β plane at kahanay ng mga linya a at b, ayon sa pagkakabanggit.
Patunayan natin ang unang tanda ng parallelism ng dalawang eroplano gamit ang "sa pamamagitan ng kontradiksyon" na paraan. Upang gawin ito, ipagpalagay na ang mga eroplanong α at β ay hindi magkatulad. Dahil dito, ang mga eroplanong α at β ay dapat mag-intersect, at mag-intersect sa ilang tuwid na linya. Tukuyin natin ang tuwid na linya kung saan ang mga eroplanong α at β ay nagsalubong sa letrang l (Larawan 2) at gamitin ang tanda ng paralelismo sa pagitan ng tuwid na linya at ng eroplano.
Ang eroplanong α ay dumadaan sa isang linya na kahanay ng linya c at nag-intersect sa eroplanong β kasama ng linya l. Mula dito, dahil sa , napagpasyahan namin na ang mga linya a at l ay magkatulad. Kasabay nito, ang eroplanong α ay dumadaan sa linya b, kahanay ng linya d, at nag-intersect sa eroplanong β kasama ng linya l. Mula dito, dahil sa tampok na parallelism ng linya at ng eroplano, napagpasyahan namin na ang mga linya b at l ay parallel. Kaya, nakuha namin na sa eroplano α dalawang linya ang dumadaan sa punto K, ibig sabihin, mga linya a at b , na kahanay ng linya l. Ang nagresultang kontradiksyon sa axiom ng parallel lines ginagawang posible na igiit na ang pagpapalagay na ang mga eroplanong α at β ay nagsalubong ay hindi tama. Ang patunay ng unang tanda ng paralelismo ng dalawang eroplano ay nakumpleto.
Ang pangalawang tanda ng paralelismo ng dalawang eroplano. Kung ang dalawang intersecting na linya na nakahiga sa isang eroplano ay parallel sa isa pang eroplano, kung gayon ang mga naturang eroplano ay parallel.
Patunay . Isaalang-alang ang Figure 3, na nagpapakita ng mga eroplanong α at β.
Ipinapakita rin ng figure na ito ang mga linyang a at b, na nasa eroplanong α at bumalandra sa puntong K. Ayon sa kondisyon, ang bawat isa sa mga linyang a at b ay kahanay sa eroplanong β. Kailangan nating patunayan na ang mga eroplanong α at β ay parallel.
Ang patunay ng pahayag na ito ay katulad ng patunay ng unang pamantayan para sa paralelismo ng dalawang eroplano, at iniiwan namin ito sa mambabasa bilang isang kapaki-pakinabang na ehersisyo.
Sa aming website maaari ka ring makilala ang mga binuo na guro sentro ng pagsasanay"Resolventa" na mga materyal na pang-edukasyon para sa paghahanda para sa Unified State Exam sa matematika.
mga indibidwal na sesyon may mga tutor sa matematika at wikang RusoMga layunin ng aralin:
- Ipakilala ang konsepto ng parallel planes.
- Isaalang-alang at patunayan ang mga theorems na nagpapahayag ng tanda ng parallelism ng mga eroplano at ang mga katangian ng mga parallel na eroplano.
- Sundan ang aplikasyon ng mga teorema na ito sa paglutas ng mga problema.
Lesson plan (isulat sa pisara):
I. Paghahanda sa oral na gawain.
II. Pag-aaral ng bagong materyal:
1. Mutual arrangement dalawang eroplano sa kalawakan.
2. Pagpapasiya ng parallel planes.
3. Tanda ng parallel planes.
4. Pag-aari ng mga parallel na eroplano.
III. Buod ng aralin.
IV. Takdang aralin.
SA PANAHON NG MGA KLASE
I. Oral na gawain
Nais kong simulan ang aralin sa isang quote mula sa pilosopikal na liham ni Chaadaev:
“Saan nagmula ang mahimalang kapangyarihang ito ng pagsusuri sa matematika? Ang katotohanan ay ang isip dito ay kumikilos sa ganap na pagpapasakop sa tuntuning ito.”
Titingnan natin ang pagsunod sa panuntunang ito sa susunod na gawain. Upang matuto ng bagong materyal, kailangan mong ulitin ang ilang mga tanong. Upang gawin ito, kailangan mong magtatag ng isang pahayag na sumusunod sa mga pahayag na ito at bigyang-katwiran ang iyong sagot:
II. Pag-aaral ng bagong materyal
1. Paano matatagpuan ang dalawang eroplano sa kalawakan? Ano ang set ng mga puntos na kabilang sa parehong eroplano?
Sagot:
a) nag-tutugma (pagkatapos ay haharapin natin ang isang eroplano, hindi ito kasiya-siya);
b) bumalandra, ;
c) huwag mag-intersect (walang mga karaniwang punto sa lahat).
2. Kahulugan: Kung ang dalawang eroplano ay hindi nagsalubong, kung gayon sila ay tinatawag na parallel
3. pagtatalaga:
4. Magbigay ng mga halimbawa ng parallel planes mula sa kapaligiran
5. Paano malalaman kung ang alinmang dalawang eroplano sa kalawakan ay magkatulad?
Sagot:
Maaari mong gamitin ang kahulugan, ngunit ito ay hindi naaangkop, dahil Hindi laging posible na itatag ang intersection ng mga eroplano. Samakatuwid, kinakailangang isaalang-alang ang isang kondisyon na sapat upang igiit na ang mga eroplano ay parallel.
6. Isaalang-alang natin ang mga sitwasyon:
b) kung 
?
c) kung 
?
Bakit ang sagot sa a) at b) "hindi palaging", ngunit sa c) "oo"? (Ang mga intersecting na linya ay tumutukoy sa isang eroplano sa isang natatanging paraan, na nangangahulugang ang mga ito ay natatanging tinukoy!)
Ang sitwasyon 3 ay isang tanda ng paralelismo ng dalawang eroplano.
7. Teorama: Kung ang dalawang intersecting na linya ng isang eroplano ay magkapareho sa dalawang linya ng isa pang eroplano, kung gayon ang mga eroplanong ito ay parallel.
Ibinigay:
Patunayan:
Patunay:
(Ang mga mag-aaral ay naglalapat ng mga pagtatalaga sa pagguhit.)
1. Tandaan: . Gayundin:
2. Hayaan: .
3. Mayroon kaming: Katulad nito:
4. Nakukuha natin: sa pamamagitan ng M mayroong isang kontradiksyon sa axiom ng planimetry.
5. Kaya: hindi tama, ibig sabihin , atbp.
8. Lutasin ang Blg. 51 (Ang mga mag-aaral ay naglalagay ng mga simbolo sa guhit).
Ibinigay:
Patunayan:
Patunay:
1 paraan
1. Buuin natin 
Paraan 2
Ipasok sa pamamagitan ng .
9. Isaalang-alang natin ang dalawang katangian ng parallel planes:
Teorama: Kung ang dalawang parallel na eroplano ay intersected ng isang third, kung gayon ang mga linya ng kanilang intersection ay parallel.
(Ang mga mag-aaral mismo ang kumukumpleto sa pagbuo at markahan ito sa guhit).
Ibinigay:
Pag-aaralan ng artikulong ito ang mga isyu ng paralelismo ng mga eroplano. Tukuyin natin ang mga eroplano na parallel sa isa't isa; tukuyin natin ang mga palatandaan at sapat na kondisyon ng paralelismo; Tingnan natin ang teorya na may mga ilustrasyon at praktikal na mga halimbawa.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Depinisyon 1
Parallel na eroplano– mga eroplano na walang mga karaniwang puntos.
Upang ipahiwatig ang paralelismo, gamitin ang sumusunod na simbolo: ∥. Kung ang dalawang eroplano ay ibinigay: α at β, na magkatulad, ang isang maikling notasyon tungkol dito ay magiging ganito: α ‖ β.
Sa pagguhit, bilang isang panuntunan, ang mga eroplano na kahanay sa isa't isa ay ipinapakita bilang dalawang pantay na parallelograms, offset na may kaugnayan sa bawat isa.
Sa pagsasalita, ang parallelism ay maaaring tukuyin ng mga sumusunod: ang mga eroplanong α at β ay magkatulad, at gayundin - ang eroplanong α ay parallel sa eroplanong β o ang eroplanong β ay parallel sa eroplanong α.
Paralelismo ng mga eroplano: tanda at kundisyon ng paralelismo
Sa proseso ng paglutas mga problemang geometriko Ang tanong ay madalas na lumitaw: ang mga ibinigay na eroplano ay parallel sa bawat isa? Upang masagot ang tanong na ito, gamitin ang tampok na paralelismo, na isa ring sapat na kondisyon para sa paralelismo ng mga eroplano. Isulat natin ito bilang isang teorama.
Teorama 1
Ang mga eroplano ay parallel kung ang dalawang intersecting na linya ng isang eroplano ay magkatugma sa dalawang intersecting na linya ng isa pang eroplano.
Ang patunay ng theorem na ito ay ibinibigay sa geometry program para sa mga baitang 10-11.
Sa pagsasagawa, upang patunayan ang paralelismo, ang sumusunod na dalawang theorems ay ginagamit, bukod sa iba pang mga bagay.
Teorama 2
Kung ang isa sa mga parallel na eroplano ay parallel sa ikatlong eroplano, kung gayon ang isa pang eroplano ay kahanay din sa eroplanong ito o kasabay nito.
Teorama 3
Kung ang dalawang divergent na eroplano ay patayo sa isang tiyak na linya, kung gayon sila ay parallel.
Batay sa mga theorems na ito at ang sign ng parallelism mismo, ang katotohanan na ang alinmang dalawang eroplano ay magkatulad ay napatunayan.
Isaalang-alang natin nang mas detalyado ang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa parallelism ng mga eroplanong α at β, na tinukoy sa isang hugis-parihaba na sistema ng coordinate ng tatlong-dimensional na espasyo.
Ipagpalagay natin na sa isang tiyak na rectangular coordinate system, isang eroplanong α ang ibinibigay, na tumutugma sa pangkalahatang equation na A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, at isang eroplanong β ay ibinigay din, na kung saan ay tinutukoy ng pangkalahatang equation ng anyong A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .
Teorama 4
Para ang mga ibinigay na eroplano α at β ay magkatulad, kinakailangan at sapat na ang sistema linear na equation A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 ay walang solusyon (ito ay hindi pare-pareho).
Patunay
Ipagpalagay natin na ang mga ibinigay na eroplano na tinukoy ng mga equation na A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 at A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 ay magkatulad at samakatuwid ay walang karaniwang mga punto. Kaya, walang isang solong punto sa hugis-parihaba na sistema ng coordinate ng tatlong-dimensional na espasyo, ang mga coordinate na kung saan ay masisiyahan ang mga kondisyon ng parehong mga equation ng eroplano nang sabay-sabay, i.e. ang sistema A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 ay walang solusyon. Kung ang tinukoy na sistema ay walang mga solusyon, kung gayon walang isang punto sa hugis-parihaba na coordinate system ng tatlong-dimensional na espasyo na ang mga coordinate ay sabay-sabay na masisiyahan ang mga kondisyon ng parehong mga equation ng system. Dahil dito, ang mga eroplano na tinukoy ng mga equation na A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 at A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 ay walang iisang karaniwang punto, i.e. sila ay parallel.
Suriin natin ang paggamit ng kinakailangan at sapat na kondisyon para sa paralelismo ng mga eroplano.
Halimbawa 1
Dalawang eroplano ang ibinibigay: 2 x + 3 y + z - 1 = 0 at 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0. Ito ay kinakailangan upang matukoy kung sila ay parallel.
Solusyon
Sumulat tayo ng isang sistema ng mga equation mula sa mga ibinigay na kondisyon:
2 x + 3 y + z - 1 = 0 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0
Suriin natin kung posible bang malutas ang nagresultang sistema ng mga linear na equation.
Ang ranggo ng matrix 2 3 1 2 3 1 1 3 ay katumbas ng isa, dahil ang pangalawang order na mga menor de edad ay katumbas ng zero. Ang ranggo ng matrix 2 3 1 1 2 3 1 1 3 - 4 ay dalawa, dahil ang minor na 2 1 2 3 - 4 ay hindi zero. Kaya, ang ranggo ng pangunahing matrix ng sistema ng mga equation ay mas mababa kaysa sa ranggo ng pinalawig na matrix ng system.
Kasabay nito, mula sa Kronecker-Capelli theorem ito ay sumusunod: ang sistema ng mga equation 2 x + 3 y + z - 1 = 0 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0 ay walang mga solusyon. Ang katotohanang ito ay nagpapatunay na ang mga eroplano na 2 x + 3 y + z - 1 = 0 at 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0 ay parallel.
Tandaan na kung ginamit natin ang pamamaraang Gaussian upang malutas ang sistema ng mga linear na equation, ito ay magbibigay ng parehong resulta.
Sagot: ang mga ibinigay na eroplano ay parallel.
Ang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa paralelismo ng mga eroplano ay maaaring ilarawan nang iba.
Teorama 5
Para sa dalawang hindi magkasabay na eroplanong α at β na magkatulad sa isa't isa, kinakailangan at sapat na ang mga normal na vector ng mga eroplanong α at β ay collinear.
Ang patunay ng nakabalangkas na kondisyon ay batay sa kahulugan ng normal na vector ng eroplano.
Ipagpalagay natin na ang n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) at n 2 → = (A 2 , B 2, C 2) ay mga normal na vector ng mga eroplanong α at β, ayon sa pagkakabanggit. Isulat natin ang kundisyon para sa collinearity ng mga vectors na ito:
n 1 → = t · n 2 ⇀ ⇔ A 1 = t · A 2 B 1 = t · B 2 C 1 = t · C 2 , kung saan ang t ay isang tunay na numero.
Kaya, para sa mga di-nagtutugmang eroplanong α at β na may mga normal na vectors na ibinigay sa itaas upang maging parallel, kinakailangan at sapat na mayroong isang tunay na numero t kung saan ang pagkakapantay-pantay ay totoo:
n 1 → = t n 2 ⇀ ⇔ A 1 = t A 2 B 1 = t B 2 C 1 = t C 2
Halimbawa 2
Sa isang rectangular coordinate system ng three-dimensional space, ang mga eroplanong α at β ay tinukoy. Ang eroplanong α ay dumadaan sa mga puntos: A (0, 1, 0), B (- 3, 1, 1), C (- 2, 2, - 2). Ang β plane ay inilalarawan ng equation x 12 + y 3 2 + z 4 = 1 Kinakailangang patunayan ang parallelism ng mga ibinigay na eroplano.
Solusyon
Siguraduhin natin na ang mga ibinigay na eroplano ay hindi magkakasabay. Sa katunayan, ito ay gayon, dahil ang mga coordinate ng punto A ay hindi tumutugma sa equation ng eroplano β.
Ang susunod na hakbang ay upang matukoy ang mga coordinate ng mga normal na vectors n 1 → at n 2 → na naaayon sa mga eroplanong α at β. Susuriin din namin ang kundisyon para sa collinearity ng mga vectors na ito.
Ang Vector n 1 → ay maaaring tukuyin sa pamamagitan ng pagkuha ng vector product ng mga vectors A B → at A C → . Ang kanilang mga coordinate ay ayon sa pagkakabanggit: (- 3, 0, 1) at (- 2, 2, - 2). Pagkatapos:
n 1 → = A B → × A C → = i → j → k → - 3 0 1 - 2 1 - 2 = - i → - 8 j → - 3 k → ⇔ n 1 → = (- 1 , - 8 , - 3)
Upang makuha ang mga coordinate ng normal na vector ng eroplano x 12 + y 3 2 + z 4 = 1, binabawasan namin ang equation na ito sa pangkalahatang equation ng eroplano:
x 12 + y 3 2 + z 4 = 1 ⇔ 1 12 x + 2 3 y + 1 4 z - 1 = 0
Kaya: n 2 → = 1 12, 2 3, 1 4.
Suriin natin kung ang kondisyon ng collinearity ng mga vectors n 1 → = (- 1 , - 8 , - 3) at n 2 → = 1 12 , 2 3 , 1 4 ay nasiyahan
Dahil - 1 = t · 1 12 - 8 = t · 2 3 - 3 = t · 1 4 ⇔ t = - 12, kung gayon ang mga vectors n 1 → at n 2 → ay nauugnay sa pagkakapantay-pantay n 1 → = - 12 · n 2 → , ibig sabihin. ay collinear.
Sagot: ang mga eroplanong α at β ay hindi nagtutugma; ang kanilang mga normal na vector ay collinear. Kaya, ang mga eroplano α at β ay magkatulad.
Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter
Kasama sa kursong video na "Kumuha ng A" ang lahat ng mga paksang kinakailangan para sa matagumpay pagpasa sa Unified State Exam sa matematika para sa 60-65 puntos. Ganap ang lahat ng mga gawain 1-13 ng Profile Unified State Exam sa matematika. Angkop din para sa pagpasa sa Basic Unified State Examination sa matematika. Kung gusto mong makapasa sa Unified State Exam na may 90-100 points, kailangan mong lutasin ang part 1 sa loob ng 30 minuto at walang pagkakamali!
Kurso sa paghahanda para sa Unified State Exam para sa grade 10-11, gayundin para sa mga guro. Lahat ng kailangan mo para malutas ang Part 1 ng Unified State Exam sa matematika (ang unang 12 problema) at Problema 13 (trigonometry). At ito ay higit sa 70 puntos sa Unified State Exam, at hindi magagawa ng isang 100-point na mag-aaral o ng isang mag-aaral sa humanities kung wala sila.
Lahat ng kinakailangang teorya. Mabilis na paraan mga solusyon, mga pitfalls at mga lihim ng Unified State Exam. Ang lahat ng kasalukuyang gawain ng bahagi 1 mula sa FIPI Task Bank ay nasuri. Ang kurso ay ganap na sumusunod sa mga kinakailangan ng Unified State Exam 2018.
Ang kurso ay naglalaman ng 5 malalaking paksa, 2.5 oras bawat isa. Ang bawat paksa ay ibinigay mula sa simula, simple at malinaw.
Daan-daang mga gawain ng Pinag-isang State Exam. Mga problema sa salita at teorya ng posibilidad. Simple at madaling matandaan ang mga algorithm para sa paglutas ng mga problema. Geometry. Teorya, sangguniang materyal, pagsusuri ng lahat ng uri ng mga gawain sa Pinag-isang Estado ng Pagsusuri. Stereometry. Mga nakakalito na solusyon, kapaki-pakinabang na cheat sheet, pag-unlad spatial na imahinasyon. Trigonometry mula sa simula hanggang sa problema 13. Pag-unawa sa halip na pag-cramming. Malinaw na pagpapaliwanag ng mga kumplikadong konsepto. Algebra. Mga ugat, kapangyarihan at logarithms, function at derivative. Isang batayan para sa paglutas ng mga kumplikadong problema ng Bahagi 2 ng Pinag-isang Pagsusulit ng Estado.