Matrix na representasyon ng isang sistema ng mga linear equation. Matrix determinant

Ang pamamaraan ng Cramer ay batay sa paggamit ng mga determinant sa paglutas ng mga sistema linear na equation. Ito ay makabuluhang nagpapabilis sa proseso ng solusyon.

Ang paraan ng Cramer ay maaaring gamitin upang malutas ang isang sistema ng kasing dami ng mga linear na equation na may mga hindi alam sa bawat equation. Kung ang determinant ng system ay hindi katumbas ng zero, kung gayon ang paraan ng Cramer ay maaaring gamitin sa solusyon, ngunit kung ito ay katumbas ng zero, hindi ito magagawa. Bilang karagdagan, ang paraan ng Cramer ay maaaring gamitin upang malutas ang mga sistema ng mga linear na equation na may natatanging solusyon.

Kahulugan. Ang determinant na binubuo ng mga coefficient para sa mga hindi alam ay tinatawag na determinant ng system at denoted (delta).

Mga Determinant

ay nakuha sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga coefficient ng kaukulang hindi alam ng mga libreng termino:

;

Teorama ni Cramer. Kung ang determinant ng system ay nonzero, kung gayon ang sistema ng mga linear equation ay may isang natatanging solusyon, at ang hindi alam ay katumbas ng ratio ng mga determinant. Ang denominator ay naglalaman ng determinant ng system, at ang numerator ay naglalaman ng determinant na nakuha mula sa determinant ng system sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga coefficient ng hindi alam na ito ng mga libreng termino. Ang theorem na ito ay humahawak para sa isang sistema ng mga linear na equation ng anumang pagkakasunud-sunod.

Halimbawa 1. Lutasin ang isang sistema ng mga linear na equation:

Ayon kay Teorama ni Cramer meron kami:

Kaya, ang solusyon sa system (2):

online na calculator, mapagpasyang pamamaraan Kramer.

Tatlong kaso kapag nilulutas ang mga sistema ng mga linear na equation

Tulad ng malinaw mula sa Teorama ni Cramer, kapag nilulutas ang isang sistema ng mga linear na equation, tatlong mga kaso ang maaaring mangyari:

Unang kaso: ang isang sistema ng mga linear equation ay may natatanging solusyon

(ang sistema ay pare-pareho at tiyak)

Pangalawang kaso: ang isang sistema ng mga linear na equation ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon

(ang sistema ay pare-pareho at hindi sigurado)

** ,

mga. ang mga koepisyent ng mga hindi alam at ang mga libreng termino ay proporsyonal.

Pangatlong kaso: ang sistema ng mga linear na equation ay walang mga solusyon

(ang sistema ay hindi pare-pareho)

Kaya ang sistema m linear equation na may n tinatawag na variable hindi magkasanib, kung wala siyang iisang solusyon, at magkadugtong, kung mayroon itong kahit isang solusyon. Ang sabay-sabay na sistema ng mga equation na may isang solusyon lamang ay tinatawag tiyak, at higit sa isa – hindi sigurado.

Mga halimbawa ng paglutas ng mga sistema ng linear equation gamit ang Cramer method

Ibigay ang sistema

Batay sa teorama ni Cramer

………….
,

saan
-

determinant ng sistema. Nakukuha namin ang natitirang mga determinant sa pamamagitan ng pagpapalit sa column ng mga coefficient ng kaukulang variable (hindi alam) ng mga libreng termino:

Halimbawa 2.

Samakatuwid, ang sistema ay tiyak. Upang mahanap ang solusyon nito, kinakalkula namin ang mga determinant

Gamit ang mga formula ng Cramer nahanap namin:

Kaya, (1; 0; -1) ang tanging solusyon sa system.

Upang suriin ang mga solusyon sa mga sistema ng mga equation na 3 X 3 at 4 X 4, maaari kang gumamit ng online na calculator gamit ang paraan ng paglutas ng Cramer.

Kung sa isang sistema ng mga linear na equation ay walang mga variable sa isa o higit pang mga equation, kung gayon sa determinant ang mga kaukulang elemento ay katumbas ng zero! Ito ang susunod na halimbawa.

Halimbawa 3. Lutasin ang isang sistema ng mga linear na equation gamit ang Cramer method:

Solusyon. Nahanap namin ang determinant ng system:

Tingnang mabuti ang sistema ng mga equation at ang determinant ng system at ulitin ang sagot sa tanong kung saan ang isa o higit pang elemento ng determinant ay katumbas ng zero. Kaya, ang determinant ay hindi katumbas ng zero, samakatuwid ang sistema ay tiyak. Upang mahanap ang solusyon nito, kinakalkula namin ang mga determinant para sa mga hindi alam

Gamit ang mga formula ng Cramer nahanap namin:

Kaya, ang solusyon sa sistema ay (2; -1; 1).

Upang suriin ang mga solusyon sa mga sistema ng mga equation na 3 X 3 at 4 X 4, maaari kang gumamit ng online na calculator gamit ang paraan ng paglutas ng Cramer.

Ibabaw ng Pahina

Patuloy kaming nilulutas ang mga system gamit ang paraan ni Cramer nang magkasama

Tulad ng nabanggit na, kung ang determinant ng system ay katumbas ng zero, at ang mga determinant ng mga hindi alam ay hindi katumbas ng zero, ang sistema ay hindi pare-pareho, iyon ay, wala itong mga solusyon. Ilarawan natin sa sumusunod na halimbawa.

Halimbawa 6. Lutasin ang isang sistema ng mga linear na equation gamit ang Cramer method:

Solusyon. Nahanap namin ang determinant ng system:

Ang determinant ng system ay katumbas ng zero, samakatuwid, ang sistema ng mga linear equation ay alinman sa hindi pare-pareho at tiyak, o hindi pare-pareho, iyon ay, walang mga solusyon. Upang linawin, kinakalkula namin ang mga determinant para sa mga hindi alam

Ang mga determinant ng mga hindi alam ay hindi katumbas ng zero, samakatuwid, ang sistema ay hindi pare-pareho, iyon ay, wala itong mga solusyon.

Upang suriin ang mga solusyon sa mga sistema ng mga equation na 3 X 3 at 4 X 4, maaari kang gumamit ng online na calculator gamit ang paraan ng paglutas ng Cramer.

Sa mga problemang kinasasangkutan ng mga sistema ng linear equation, mayroon ding mga kung saan, bilang karagdagan sa mga titik na nagsasaad ng mga variable, mayroon ding iba pang mga titik. Ang mga titik na ito ay kumakatawan sa isang numero, kadalasang totoo. Sa pagsasagawa, ang mga problema sa paghahanap ay humahantong sa mga naturang equation at sistema ng mga equation Pangkalahatang pag-aari anumang phenomena o bagay. Ibig sabihin, may naimbento ka ba bagong materyal o isang device, at upang ilarawan ang mga katangian nito, na karaniwan anuman ang laki o bilang ng isang instance, kailangan mong lutasin ang isang sistema ng mga linear equation, kung saan sa halip na ilang mga coefficient para sa mga variable ay mayroong mga titik. Hindi mo kailangang tumingin sa malayo para sa mga halimbawa.

Ang sumusunod na halimbawa ay para sa isang katulad na problema, tanging ang bilang ng mga equation, variable, at mga titik na nagsasaad ng isang tiyak na tunay na numero ay tumataas.

Halimbawa 8. Lutasin ang isang sistema ng mga linear na equation gamit ang Cramer method:

Solusyon. Nahanap namin ang determinant ng system:

Paghahanap ng mga determinant para sa mga hindi alam

Sagot: Ang pamamaraan ni Cramer ay batay sa paggamit ng mga determinant sa paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation. Ito ay makabuluhang nagpapabilis sa proseso ng solusyon.

Kahulugan. Ang determinant na binubuo ng mga coefficient para sa mga hindi alam ay tinatawag na determinant ng system at denoted (delta).

Mga Determinant

ay nakuha sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga coefficient ng kaukulang hindi alam ng mga libreng termino:

;

Mga formula ng Cramer para sa paghahanap ng mga hindi alam:

Ang paghahanap ng mga halaga ng at posible lamang kung

Ang konklusyong ito ay sumusunod mula sa sumusunod na teorama.

Teorama ni Cramer. Kung ang determinant ng system ay nonzero, kung gayon ang sistema ng mga linear equation ay may isang natatanging solusyon, at ang hindi alam ay katumbas ng ratio ng mga determinant. Ang denominator ay naglalaman ng determinant ng system, at ang numerator ay naglalaman ng determinant na nakuha mula sa determinant ng system sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga coefficient ng hindi alam na ito ng mga libreng termino. Ang theorem na ito ay humahawak para sa isang sistema ng mga linear na equation ng anumang pagkakasunud-sunod.

Halimbawa 1. Lutasin ang isang sistema ng mga linear na equation:

Ayon sa teorama ni Cramer mayroon tayong:

Kaya, ang solusyon sa system (2):
9.operasyon sa mga set. Mga diagram ng Vien.

Ang mga diagram ng Euler-Venn ay mga geometric na representasyon ng mga set. Ang pagtatayo ng diagram ay binubuo ng pagguhit ng isang malaking rektanggulo na kumakatawan sa unibersal na set U, at sa loob nito - mga bilog (o ilang iba pang saradong figure) na kumakatawan sa mga hanay. Ang mga hugis ay dapat magsalubong sa pinakapangkalahatang paraan na kinakailangan ng problema at dapat na may label na naaayon. Ang mga puntong nasa loob ng iba't ibang bahagi ng diagram ay maaaring ituring na mga elemento ng kaukulang set. Gamit ang diagram na binuo, maaari mong lilim ang ilang mga lugar upang ipahiwatig ang mga bagong nabuong set.

Isinasaalang-alang ang mga set operation upang makakuha ng mga bagong hanay mula sa mga umiiral na.

Kahulugan. Ang unyon ng set A at B ay isang set na binubuo ng lahat ng elementong iyon na kabilang sa kahit isa sa mga set A, B (Fig. 1):

Kahulugan. Ang intersection ng set A at B ay isang set na binubuo ng lahat ng iyon at tanging mga elementong iyon na sabay-sabay na nabibilang sa parehong set A at set B (Fig. 2):

Kahulugan. Ang pagkakaiba sa pagitan ng mga hanay A at B ay ang hanay ng lahat ng iyon at ang mga elemento lamang ng A na hindi nakapaloob sa B (Larawan 3):

Kahulugan. Ang simetriko pagkakaiba ng mga hanay A at B ay ang hanay ng mga elemento ng mga hanay na ito na nabibilang lamang sa hanay ng A o lamang sa hanay ng B (Larawan 4):

11. pagmamapa (function), domain ng kahulugan, mga larawan ng mga set sa panahon ng pagmamapa, set ng mga halaga ng isang function at ang graph nito.

Sagot: Ang pagmamapa mula sa isang set E hanggang sa isang set F, o isang function na tinukoy sa E na may mga halaga sa F, ay isang panuntunan o batas f, na nagtatalaga sa bawat elemento ng isang tiyak na elemento.

Ang isang elemento ay tinatawag na isang independiyenteng elemento, o isang argumento ng isang function f, isang elemento ay tinatawag na isang halaga ng isang function f, o isang imahe; sa kasong ito, ang elemento ay tinatawag na preimage ng elemento.

Ang pagmamapa (function) ay karaniwang tinutukoy ng letrang f o ng simbolo, na nagpapahiwatig na ang f ay nagmamapa sa hanay ng E hanggang F. Ginagamit din ang notasyon, na nagpapahiwatig na ang isang elementong x ay tumutugma sa isang elementong f(x). Minsan ito ay maginhawa upang tukuyin ang isang function sa pamamagitan ng isang pagkakapantay-pantay na naglalaman ng isang batas sa pagsusulatan. Halimbawa, masasabi ng isa na "ang function f ay tinukoy ng pagkakapantay-pantay ". Kung ang "y" ay ang pangkalahatang pangalan ng mga elemento ng set F, i.e. F = (y), kung gayon ang pagmamapa ay nakasulat sa anyo ng pagkakapantay-pantay y = f(x) at sinasabi namin na ang pagmamapa na ito ay tahasang tinukoy.

2. Imahe at kabaligtaran na larawan ng isang set sa ilalim ng ibinigay na pagmamapa

Hayaang magbigay ng pagmamapa at isang set.

Ang hanay ng mga elemento mula sa F, na ang bawat isa ay larawan ng hindi bababa sa isang elemento mula sa D sa ilalim ng pagmamapa f, ay tinatawag na imahe ng set D at tinutukoy ng f(D).

Malinaw, .

Hayaan ngayon na ibigay ang set.

Ang hanay ng mga elemento tulad na , ay tinatawag na kabaligtaran na imahe ng set Y sa ilalim ng pagmamapa f at ay denoted ng f -1 (Y).

Kung, kung gayon. Kung para sa bawat set f -1 (y) ay binubuo ng hindi hihigit sa isang elemento , kung gayon ang f ay tinatawag na one-to-one na pagmamapa mula E hanggang F. Gayunpaman, posibleng tukuyin ang one-to-one na pagmamapa f ng ang set E sa F.

Ang display ay tinatawag na:

Injective (o injection, o one-to-one na pagmamapa ng set E sa F) kung , o kung ang equation na f(x) = y ay may hindi hihigit sa isang solusyon;

Surjective (o surjection, o isang pagmamapa ng set E sa F) kung f(E) = F at kung ang equation na f(x) = y ay may kahit na isang solusyon;

Bijective (o bijection, o one-to-one na pagmamapa ng isang set E papunta sa F) kung ito ay injective at surjective, o kung ang equation na f(x) = y ay may isa at isa lamang na solusyon.

3. Superposisyon ng mga pagmamapa. Inverse, parametric at implicit na mga pagmamapa

1) Hayaan at . Dahil , ang pagmamapa g ay nagtatalaga ng isang partikular na elemento sa bawat elemento.

Kaya, ang bawat elemento ay itinalaga sa pamamagitan ng isang panuntunan

Tinutukoy nito ang isang bagong pagmamapa (o isang bagong function), na tinatawag naming komposisyon ng mga pagmamapa, o isang superposisyon ng mga pagmamapa, o isang kumplikadong pagmamapa.

2) Hayaan ay isang bijective mapping at F = (y). Dahil sa bijectivity ng f, ang bawat isa ay tumutugma sa isang unit image x, na tinutukoy namin ng f -1 (y), at tulad ng f(x) = y. Kaya, ang isang pagmamapa ay tinukoy, na tinatawag na kabaligtaran ng pagmamapa f, o ang kabaligtaran na pag-andar ng function na f.

Malinaw, ang pagmamapa f ay ang kabaligtaran ng pagmamapa f -1 . Samakatuwid, ang mga pagmamapa f at f -1 ay tinatawag na mutually inverse. Ang mga relasyon ay may bisa para sa kanila

at hindi bababa sa isa sa mga pagmamapa na ito, halimbawa, ay bijective. Pagkatapos ay mayroong isang kabaligtaran na pagmamapa, na nangangahulugang .

Ang isang pagmamapa na tinukoy sa paraang ito ay sinasabing tinukoy sa parametrically gamit ang mga pagmamapa; at ang variable mula sa ay tinatawag na isang parameter.

4) Hayaang tukuyin ang isang pagmamapa sa isang set, kung saan naglalaman ang set ng zero na elemento. Ipagpalagay natin na may mga set na para sa bawat nakapirming equation ay may natatanging solusyon. Pagkatapos sa set E posibleng tukuyin ang isang pagmamapa na nagtatalaga sa bawat isa ng halaga na, para sa isang naibigay na x, ay isang solusyon sa equation.

Tungkol sa tinukoy na pagmamapa

ito ay sinabi na implicitly ibinigay sa pamamagitan ng equation.

5) Ang pagmamapa ay tinatawag na pagpapatuloy ng pagmamapa , at ang g ay isang paghihigpit ng pagmamapa f kung at .

Ang paghihigpit ng isang pagmamapa sa isang set ay minsan ay tinutukoy ng simbolo.

6) Ang isang display graph ay isang set

Malinaw na .

12. monotonikong pag-andar. Kabaligtaran na pag-andar, teorama ng pagkakaroon. Mga function y=arcsinx y=arcos x x mga katangian at graph.

Sagot: Ang monotonic function ay isang function na ang increment ay hindi nagbabago ng sign, ibig sabihin, ito ay palaging hindi negatibo o palaging hindi positibo. Kung, bilang karagdagan, ang pagtaas ay hindi zero, kung gayon ang function ay tinatawag na mahigpit na monotoniko.

Hayaang magkaroon ng function na f(x) na tinukoy sa pagitan , na ang mga halaga ay kabilang sa isang partikular na segment . Kung

tapos sinasabi nila yan sa segment ang isang function ay tinukoy na kabaligtaran sa function na f(x) at ipinahiwatig bilang mga sumusunod: x=f (-1) (y).

Pansinin ang pagkakaiba sa pagitan ng kahulugang ito at ng kahulugan kung puno ang isang segment ganap. Ang kahulugan ng f (-1) (...) ay naglalaman ng isang quantifier, i.e. ang halaga ng x na nagsisiguro sa pagkakapantay-pantay y=f(x) ay dapat na natatangi, habang sa pagtukoy ng occupancy ng segment mayroong isang quantifier sa lahat ng paraan, na nangangahulugan na maaaring mayroong ilang mga halaga ng x na nakakatugon sa pagkakapantay-pantay y=f(x).

Karaniwan, kapag pinag-uusapan ang inverse function, pinapalitan nila ang x ng y at y ng x(x "y) at isulat ang y=f (-1) (x). Malinaw na ang orihinal na function na f(x) at ang inverse function na f (-1) (x) ay nakakatugon sa kaugnayan

f (-1) (f(x))=f(f (-1) (x))=x.

Ang mga graph ng orihinal at kabaligtaran na mga function ay nakuha mula sa isa't isa sa pamamagitan ng mirror na imahe na may kaugnayan sa bisector ng unang kuwadrante.

Teorama. Hayaang tukuyin ang function na f(x), tuluy-tuloy at mahigpit na monotonikong pagtaas (pagbaba) sa pagitan. Pagkatapos ay ang inverse function na f (-1) (x) ay tinukoy sa segment, na tuloy-tuloy din at mahigpit na monotonically tumataas (bumababa).

Patunay.

Patunayan natin ang theorem para sa kaso kapag ang f(x) ay mahigpit na tumataas.

1. Pagkakaroon ng inverse function.

Dahil, sa pamamagitan ng mga kondisyon ng theorem, ang f(x) ay tuloy-tuloy, kung gayon, ayon sa nakaraang theorem, ang segment ay ganap na napuno. Ibig sabihin nito ay.

Patunayan natin na ang x ay natatangi. Sa katunayan, kung kukunin natin ang x'>x, kung gayon ang f(x')>f(x)=y at samakatuwid ay f(x')>y. Kung kukuha tayo ng x''

2. Monotonicity ng inverse function.

Gawin natin ang karaniwang kapalit na x «y at isulat ang y= f (-1) (x). Nangangahulugan ito na x=f(y).

Hayaan ang x 1 >x 2 . Pagkatapos:

y 1 = f (-1) (x 1); x 1 =f(y 1)

y 2 = f (-1) (x 2); x 2 =f(y 2)

Ano ang kaugnayan sa pagitan ng y 1 at y 2? Suriin natin ang mga posibleng opsyon.

a) y 1 x 2 .

b) y 1 =y 2? Ngunit pagkatapos ay f(y 1)=f(y 2) at x 1 =x 2, at nagkaroon kami ng x 1 >x 2.

c) Ang tanging opsyon na natitira ay y 1 >y 2, i.e. Ngunit pagkatapos ay f (-1) (x 1)>f (-1) (x 2), at nangangahulugan ito na ang f (-1) (...) ay mahigpit na tumataas nang monotoniko.

3. Pagpapatuloy ng inverse function.

kasi ang mga halaga ng inverse function ay punan ang buong segment, pagkatapos ay sa pamamagitan ng nakaraang theorem f (-1) (...) ay tuloy-tuloy.<

<="" a="" style="color: rgb(255, 68, 0);">

y = arcsin x	y = arccos x
inverse function ng function na y = sin x, - / 2 x / 2	inverse function ng function na y = cos x, 0 x

<="" a="" style="color: rgb(0, 0, 0); font-family: Arial; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: rgb(0, 171, 160);">

<="" a="" style="color: rgb(255, 68, 0); font-family: Arial; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: rgb(0, 171, 160);">

y = arctan x	y = arcctg x
kabaligtaran na function ng function y = tan x, - / 2< x < / 2	kabaligtaran na function ng function na y = cot x, 0< x <

13.komposisyon ng mga function. Mga tungkulin sa elementarya. Mga function na y=arctg x, y = arcctg x, ang kanilang mga katangian at mga graph.

Sagot: Sa matematika, ang komposisyon ng mga function (superposition of functions) ay ang aplikasyon ng isang function sa resulta ng isa pa.

Ang komposisyon ng mga function G at F ay karaniwang tinutukoy na G∘F, na nagsasaad ng aplikasyon ng isang function G sa resulta ng isang function F.

Hayaan ang F:X→Y at G:F(X)⊂Y→Z maging dalawang function. Pagkatapos ang kanilang komposisyon ay ang function na G∘F:X→Z, na tinukoy ng pagkakapantay-pantay:

(G∘F)(x)=G(F(x)),x∈X.

Ang mga pag-andar ng elementarya ay mga pag-andar na maaaring makuha gamit ang isang may hangganang bilang ng mga pagpapatakbo at komposisyon ng aritmetika mula sa mga sumusunod na pangunahing pag-andar ng elementarya:

algebraic:

pagpapatahimik;
makatwiran.

transendental:

exponential at logarithmic;
trigonometriko at kabaligtaran na trigonometriko.

Ang bawat elementary function ay maaaring tukuyin ng isang formula, iyon ay, isang set ng isang may hangganan na bilang ng mga simbolo na naaayon sa mga operasyong ginamit. Ang lahat ng elementarya ay tuluy-tuloy sa kanilang domain ng kahulugan.

Minsan ang mga pangunahing elementary function ay kinabibilangan din ng hyperbolic at inverse hyperbolic function, bagama't maaari silang ipahayag sa pamamagitan ng mga pangunahing elementary function na nakalista sa itaas.

y > 0 sa x R EXTREMA: Hindi Hindi MGA PERSPEKTIBO NG MONOTONY: tumataas ng x R bumababa bilang x R

KOSTROMA BRANCH NG MILITARY UNIVERSITY OF RCB PROTECTION

Kagawaran ng Automation ng Troop Control

Para sa mga guro lamang

"Sang-ayon ako"

Pinuno ng Departamento Blg. 9

Koronel YAKOVLEV A.B.

"____"________________ 2004

Associate Professor A.I. SMIRNOVA

"Mga KUALIFIER.

SOLUSYON NG SYSTEM NG LINEAR EQUATIONS"

LECTURE Blg. 2 / 1

Tinalakay sa pulong ng departamento Blg. 9

"____"___________ 2004

Protocol No.___________

Kostroma, 2004.

Panimula

Determinants ng ikalawa at ikatlong order.

Mga katangian ng mga determinant. Decomposition theorem.

Teorama ni Cramer.

Konklusyon

Panitikan

V.E. Schneider et al., A Short Course in Higher Mathematics, Volume I, Ch. 2, talata 1.

V.S. Shchipachev, Higher Mathematics, kabanata 10, talata 2.

PANIMULA

Tinatalakay ng panayam ang mga determinant ng ikalawa at pangatlong order at ang kanilang mga katangian. At gayundin ang teorema ng Cramer, na nagbibigay-daan sa iyo upang malutas ang mga sistema ng mga linear na equation gamit ang mga determinant. Ginagamit din ang mga determinant mamaya sa paksang "Vector Algebra" kapag kinakalkula ang vector product ng mga vectors.

1st study na tanong MGA DETERMINANTS NG PANGALAWA AT PANGATLO

ORDER

Isaalang-alang ang isang talahanayan ng apat na numero ng form

Ang mga numero sa talahanayan ay ipinahiwatig ng isang titik na may dalawang indeks. Ang unang index ay nagpapahiwatig ng row number, ang pangalawa ay ang column number.

KAHULUGAN 1. Determinant ng pangalawang order tinatawag na expression tulad ng:

(1)

Ang mga numerong a11, ..., a22 ay tinatawag na mga elemento ng determinant.

Diagonal na nabuo ng mga elemento a11; Ang a22 ay tinatawag na pangunahing, at ang dayagonal na nabuo ng mga elemento ng a12; a21 - gilid.

Kaya, ang pangalawang-order na determinant ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng mga produkto ng mga elemento ng pangunahing at pangalawang diagonal.

Tandaan na ang sagot ay isang numero.

MGA HALIMBAWA. Kalkulahin:

Ngayon isaalang-alang ang isang talahanayan ng siyam na numero, nakasulat sa tatlong hanay at tatlong hanay:

KAHULUGAN 2.Pangatlong determinant ng order tinatawag na pagpapahayag ng anyo:

Mga Elemento a11; a22; a33 – bumuo ng pangunahing dayagonal.

Mga numero a13; a22; a31 – bumuo ng side diagonal.

Ilarawan natin sa eskematiko kung paano nabuo ang mga plus at minus na termino:

" + " " – "

Kasama sa plus ang: ang produkto ng mga elemento sa pangunahing dayagonal, ang natitirang dalawang termino ay ang produkto ng mga elemento na matatagpuan sa mga vertices ng mga tatsulok na may mga base na kahanay sa pangunahing dayagonal.

Ang mga minus na termino ay nabuo ayon sa parehong pamamaraan na may paggalang sa pangalawang dayagonal.

Ang panuntunang ito para sa pagkalkula ng third-order determinant ay tinatawag

Panuntunan T reugolnikov.

MGA HALIMBAWA. Kalkulahin gamit ang panuntunang tatsulok:

COMMENT. Ang mga determinant ay tinatawag ding mga determinant.

2nd pag-aaral na tanong MGA KATANGIAN NG MGA DETERMINANTS.

TEOREM NG EXPANSION

Property 1. Ang halaga ng determinant ay hindi nagbabago kung ang mga hilera nito ay ipinagpalit sa mga kaukulang column.

Sa pamamagitan ng paglalahad ng parehong mga determinant, kami ay kumbinsido sa bisa ng pagkakapantay-pantay.

Itinatag ng Property 1 ang pagkakapantay-pantay ng mga row at column ng determinant. Samakatuwid, bubuo kami ng lahat ng karagdagang katangian ng determinant para sa parehong mga hilera at mga haligi.

Property 2. Kapag ang dalawang row (o column) ay muling inayos, binabago ng determinant ang sign nito sa kabaligtaran, pinapanatili ang absolute value nito.

Ari-arian 3. Ang karaniwang salik ng mga elemento ng isang hilera (o hanay) ay maaaring lampasan ng tanda ng determinant.

Property 4. Kung ang isang determinant ay may dalawang magkaparehong row (o column), ito ay katumbas ng zero.

Maaaring patunayan ang property na ito sa pamamagitan ng direktang pag-verify, o maaari mong gamitin ang property 2.

Tukuyin natin ang determinant sa pamamagitan ng D. Kapag ang dalawang magkaparehong una at ikalawang hanay ay muling inayos, hindi ito magbabago, ngunit ayon sa pangalawang pag-aari ay dapat itong baguhin ang tanda, i.e.

D = - D Yu 2 D = 0 Yu D = 0.

Property 5. Kung ang lahat ng elemento ng isang row (o column) ay katumbas ng zero, kung gayon ang determinant ay katumbas ng zero.

Ang ari-arian na ito ay maaaring ituring bilang isang espesyal na kaso ng ari-arian 3 kapag

Property 6. Kung ang mga elemento ng dalawang row (o column) ng isang determinant ay proporsyonal, kung gayon ang determinant ay katumbas ng zero.

Maaaring mapatunayan sa pamamagitan ng direktang pag-verify o paggamit ng mga katangian 3 at 4.

Property 7. Ang halaga ng determinant ay hindi magbabago kung ang mga katumbas na elemento ng isa pang row (o column), na pinarami ng parehong numero, ay idaragdag sa mga elemento ng anumang row (o column).

Napatunayan sa pamamagitan ng direktang pag-verify.

Ang paggamit ng mga katangiang ito sa ilang mga kaso ay maaaring mapadali ang proseso ng pagkalkula ng mga determinant, lalo na sa ikatlong pagkakasunud-sunod.

Para sa mga sumusunod, kakailanganin natin ang mga konsepto ng minor at algebraic complement. Isaalang-alang natin ang mga konseptong ito upang tukuyin ang ikatlong pagkakasunud-sunod.

KAHULUGAN 3.menor de edad ng isang ibinigay na elemento ng isang third-order determinant ay tinatawag na pangalawang-order na determinant na nakuha mula sa isang ibinigay na elemento sa pamamagitan ng pagtawid sa row at column sa intersection kung saan nakatayo ang ibinigay na elemento.

Ang menor de edad na elementong ai j ay tinutukoy na Mi j. Kaya para sa elemento a11 menor de edad

Ito ay nakuha sa pamamagitan ng pagtawid sa unang hilera at unang hanay sa ikatlong-order na determinant.

KAHULUGAN 4.Algebraic complement ng elemento ng determinant tinatawag nila itong minor na pinarami ng (-1) k, kung saan ang k ay ang kabuuan ng mga numero ng row at column sa intersection kung saan nakatayo ang elementong ito.

Ang algebraic complement ng elementong ai j ay tinutukoy ng Ai j.

Kaya, Аi j = .

Isulat natin ang algebraic na mga karagdagan para sa mga elementong a11 at a12.

Kapaki-pakinabang na tandaan ang panuntunan: ang algebraic complement ng isang elemento ng isang determinant ay katumbas ng minor nito na may plus sign kung ang kabuuan ng mga numero ng row at column kung saan matatagpuan ang elemento ay pantay, at may minus. lagdaan kung kakaiba ang kabuuan na ito.

HALIMBAWA. Maghanap ng mga menor de edad at algebraic na pandagdag para sa mga elemento ng unang hilera ng determinant:

Malinaw na ang mga menor de edad at algebraic complements ay maaaring magkaiba lamang sa sign.

Isaalang-alang natin nang walang patunay ang isang mahalagang teorama - ang decomposition theorem ng determinant.

TEOREM NG EXPANSION

Ang determinant ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng mga elemento ng anumang row o column at ang kanilang mga algebraic complements.

Gamit ang theorem na ito, isinusulat namin ang pagpapalawak ng third-order determinant sa unang linya.

Sa pinalawak na anyo:

Ang huling formula ay maaaring gamitin bilang pangunahing isa kapag kinakalkula ang third-order determinant.

Ang expansion theorem ay nagpapahintulot sa amin na bawasan ang pagkalkula ng third-order determinant sa pagkalkula ng tatlong second-order determinants.

Ang decomposition theorem ay nagbibigay ng pangalawang paraan upang kalkulahin ang mga determinant ng third-order.

MGA HALIMBAWA. Kalkulahin ang determinant gamit ang expansion theorem.

gumamit ng mga pagpapalawak sa kahabaan ng ikalawang hanay.

Ang decomposition theorem ay nagpapahintulot din sa isa na kalkulahin ang mas mataas na pagkakasunud-sunod na mga determinant, na binabawasan ang mga ito sa pagkalkula ng ilang pangatlo o pangalawang determinant ng pagkakasunud-sunod.

Kaya, ang fourth-order determinant ay maaaring bawasan sa pagkalkula ng apat na third-order determinant.

Ika-3 tanong sa pag-aaral TEOREM NI CRAMER

Ilapat natin ang itinuturing na teorya ng mga determinant sa paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation.

Isang sistema ng dalawang linear na equation na may dalawang hindi alam.

(3)

Dito ang x1, x2 ay hindi alam;

a11.

Ang b1, b2 ay mga libreng termino.

Alalahanin natin na ang solusyon sa system (3) ay nauunawaan bilang isang pares ng mga halaga x1, x2, na, kapag pinalitan sa parehong mga equation, gagawin ang mga ito sa tunay na pagkakapantay-pantay.

Sa kaso kung saan ang isang system ay may natatanging solusyon, ang solusyon na ito ay mahahanap gamit ang second-order determinants.

KAHULUGAN 5. Ang isang determinant na binubuo ng mga coefficient para sa mga hindi alam ay tinatawag determinant ng sistema.

Tukuyin natin ang determinant ng system sa pamamagitan ng D.

Ang mga column ng determinant D ay naglalaman ng mga coefficient para sa x1 at para sa x2, ayon sa pagkakabanggit.

Ipakilala natin ang dalawang karagdagang determinant, na nakuha mula sa determinant ng system sa pamamagitan ng pagpapalit ng isa sa mga column ng isang column ng mga libreng termino:

Isaalang-alang natin ang sumusunod na teorama nang walang patunay:

TEOREM NI CRAMER(para sa kaso n = 2)

Kung ang determinant D ng system (3) ay iba sa zero (D No. 0), kung gayon ang system ay may natatanging solusyon, na matatagpuan ayon sa mga formula:

(4)

Ang mga formula (4) ay tinatawag na Cramer formula.

HALIMBAWA. Lutasin ang system gamit ang panuntunan ng Cramer.

Sagot: x1 = 3; x2 = -1

2. Sistema ng tatlong linear equation na may tatlong hindi alam:

(5)

Sa kaso ng isang natatanging solusyon, ang system (5) ay maaaring malutas gamit ang mga third-order determinants.

Ang determinant ng system D ay may anyo:

Ipakilala natin ang tatlong karagdagang determinant:

Ang teorama ay nabuo nang katulad.

CRAMER'S THEOREM (para sa case n = 3)

Kung ang determinant D ng system (5) ay iba sa zero, kung gayon ang system ay may natatanging solusyon, na matatagpuan ayon sa mga formula:

Ang mga formula (6) ay mga Cramer formula.

COMMENT. G. Cramer (1704 – 1752) – Swiss mathematician.

Tandaan na ang theorem ng Cramer ay naaangkop kapag ang bilang ng mga equation ay katumbas ng bilang ng mga hindi alam at kapag ang determinant ng system D ay nonzero.

Kung ang determinant ng system ay katumbas ng zero, kung gayon sa kasong ito ang system ay maaaring walang mga solusyon o magkaroon ng walang katapusang bilang ng mga solusyon. Ang mga kasong ito ay pinag-aaralan nang hiwalay at maaaring matagpuan nang detalyado sa inirerekomendang literatura.

Tandaan natin ang isang kaso lamang:

Kung ang determinant ng system ay katumbas ng zero (D = 0), at hindi bababa sa isa sa mga karagdagang determinant ay naiiba sa zero, kung gayon ang system ay walang mga solusyon (iyon ay, ito ay hindi naaayon).

Cramer's theorem ay maaaring pangkalahatan sa isang sistema ng n linear equation na may n hindi alam.

Kung , pagkatapos ay ang tanging solusyon sa sistema ay matatagpuan ayon sa

Mga formula ng Cramer:

Karagdagang kwalipikasyon ay nakuha mula sa determinant D kung naglalaman ito ng isang hanay ng mga coefficient para sa hindi alam

Ang xi ay pinalitan ng isang hanay ng mga libreng termino.

Tandaan na ang mga determinant na D, D1, …, Dn ay nasa ayos n.

KONGKLUSYON

Sinuri ng lecture ang isang bagong konsepto - isang determinant, at tinalakay nang detalyado ang mga determinant ng pangalawa at pangatlong order, na madalas na nakatagpo sa pagsasanay. Para sa third-order determinant, dalawang paraan ng pagkalkula ang ibinibigay. Ang theorem ng Cramer ay isinasaalang-alang, na nagbibigay ng isang praktikal na paraan upang malutas ang mga sistema ng mga linear na equation para sa kaso kapag ang solusyon ay natatangi. Maaari kang matuto nang higit pa tungkol sa paksang ito sa inirerekomendang literatura.

Mga katulad na abstract:

Mga panuntunan para sa produkto ng isang matrix at isang vector, paghahanap ng kabaligtaran ng isang matrix at ang determinant nito. Mga pagbabago sa elementarya ng matrix: multiplikasyon sa isang numero, karagdagan, muling pagsasaayos at pagtanggal ng mga hilera, transposisyon. Paglutas ng isang sistema ng mga equation gamit ang Gauss method.

Sinusuri ng abstract na ito ang mga determinant ng pangalawa at pangatlong order at nagbibigay ng mga halimbawa ng paglutas ng mga sistema ng mga equation gamit ang paraan ng determinant.

Pagpapasiya ng algebraic complement ng determinant na elemento, matrix, laki at uri nito. Inhomogeneous system ng mga linear algebraic equation. Paglutas ng isang sistema ng mga equation gamit ang pamamaraan ni Cramer. Mga dami ng scalar at vector, ang kanilang mga halimbawa, pagkabulok ng vector.

Lektura 1.1.Numerical matrice at mga operasyon sa mga ito.

Buod:Ang lugar ng linear algebra at analytical geometry sa natural na agham. Ang papel ng mga domestic scientist sa pagbuo ng mga agham na ito. Ang konsepto ng isang matrix. Mga operasyon sa mga matrice at ang kanilang mga katangian.

Ang isang talahanayan ng mga numero ng form ay tinatawag na hugis-parihaba matris mga sukat. Ang mga matrice ay tinutukoy ng malalaking letrang Latin A, B, C, ...Tinatawag ang mga numerong bumubuo sa talahanayan mga elemento matrice. Ang bawat elemento ay may dalawang indeks at , na nagpapahiwatig, ayon sa pagkakabanggit, ang row number () at column number () kung saan matatagpuan ang elemento. Ang sumusunod na matrix notation ay ginagamit.

Ang dalawang matrice ay tinatawag pantay , kung mayroon silang parehong dimensyon (i.e. parehong bilang ng mga row at column) at kung ang mga numero sa mga katumbas na lugar ng mga matrice na ito ay pantay.

Kung ang bilang ng mga hilera ng isang matrix ay katumbas ng bilang ng mga haligi nito, ang matrix ay tinatawag na parisukat . Sa isang square matrix, ang bilang ng mga row (o column) ay tinatawag na order ng matrix. Sa partikular, ang isang first-order square matrix ay isang tunay na numero. Alinsunod dito sinasabi nila iyon linya ng vector ay isang matrix ng dimensyon , at column vector may sukat.

Ang mga elementong nakahiga sa pangunahing dayagonal ng isang parisukat na matrix (mula sa kaliwang itaas hanggang sa ibabang kanang sulok) ay tinatawag dayagonal .

Ang isang parisukat na matrix na ang mga elementong wala sa pangunahing dayagonal ay 0 lahat ay tinatawag dayagonal .

Ang isang dayagonal matrix na ang mga elemento ng dayagonal ay 1 lahat at ang lahat ng mga elementong nasa labas ng dayagonal ay 0 ay tinatawag walang asawa at ay denoted ng o , kung saan n ang pagkakasunod-sunod nito.

Ang mga pangunahing operasyon sa mga matrice ay ang pagdaragdag ng mga matrice at pagpaparami ng isang matrix sa isang numero.

Ang trabaho matrice A ang numero ay isang matrix ng parehong dimensyon ng matrix A, bawat elemento nito ay pinarami ng numerong ito.

Halimbawa: ; .

Mga katangian ng pagpapatakbo ng pagpaparami ng isang matrix sa isang numero:

1.l(m A )=(lm) A (associativity)

2.l( A +SA )= l A +l SA (distributivity na may kinalaman sa pagdaragdag ng matrix)

3. (l+m) A =)=l A +m A (distributivity tungkol sa pagdaragdag ng mga numero)

Linear na kumbinasyon ng mga matrice A At SA ng parehong laki ay tinatawag na pagpapahayag ng anyo: a A +b SA , kung saan ang a,b ay mga arbitrary na numero

Sum matrix At SA (ang pagkilos na ito ay naaangkop lamang sa mga matrice ng parehong dimensyon) ay tinatawag na matrix SA ng parehong dimensyon, ang mga elemento nito ay katumbas ng mga kabuuan ng kaukulang elemento ng matrix A At SA .

Mga katangian ng pagdaragdag ng matrix:

1)A +SA =SA +A (commutativity)

2)(A +SA )+SA =A +(SA +SA )=A +SA +SA (associativity)

Matrix ng pagkakaiba At SA (ang pagkilos na ito ay naaangkop lamang sa mga matrice ng parehong dimensyon) ay tinatawag na isang matrix C ng parehong dimensyon, ang mga elemento kung saan ay katumbas ng pagkakaiba ng mga kaukulang elemento ng matrix A At SA .

Transpose. Kung ang mga elemento ng bawat hilera ng isang matrix ng mga sukat ay nakasulat sa parehong pagkakasunud-sunod sa mga haligi ng bagong matrix, at ang numero ng hanay ay katumbas ng numero ng hilera, kung gayon ang bagong matrix ay tinatawag na transposed na may paggalang sa at ay denoted . Ang dimensyon ay Ang paglipat mula sa tinatawag na transposisyon. Malinaw din na . ,

Pagpaparami ng matris. Ang operasyon ng matrix multiplication ay posible lamang kung ang bilang ng mga column ng unang factor ay katumbas ng bilang ng mga row ng pangalawa. Bilang resulta ng multiplikasyon, nakakakuha kami ng isang matrix na ang bilang ng mga hilera ay tumutugma sa bilang ng mga hilera ng unang kadahilanan, at ang bilang ng mga haligi na may bilang ng mga haligi ng pangalawa:

Panuntunan ng pagpaparami ng matrix: upang makakuha ng elemento sa ika-hilera at ika-kolumna ng produkto ng dalawang matris, kailangan mong i-multiply ang mga elemento ng ika-hilera ng unang matrix sa mga elemento ng ika-kolum ng pangalawang matrix at idagdag ang mga resultang produkto. Sa mathematical jargon minsan ay sinasabi nila: kailangan mong i-multiply ang th row ng matrix sa th column ng matrix. Malinaw na ang row ng una at column ng pangalawang matrix ay dapat maglaman ng parehong bilang ng mga elemento.

Sa kaibahan sa mga operasyong ito, ang operasyon ng matrix-matrix multiplication ay mas mahirap tukuyin. Hayaang ibigay ang dalawang matrice A At SA , at ang bilang ng mga column ng una sa mga ito ay katumbas ng bilang ng mga row ng pangalawa: halimbawa, ang matrix A ay may sukat , at ang matris SA – sukat. Kung

, , pagkatapos ay ang matrix ng mga sukat

, kung saan (i=1,…,m;j=1,…,k)

tinatawag na matrix product A sa matrix SA at itinalaga AB .

Mga katangian ng operasyon ng pagpaparami ng matrix:

1. (AB)C=A(BC)=ABC (associativity)

2. (A+B)C=AC+BC (pamamahagi)

3. A(B+C)=AB+A (pamamahagi)

4. Ang matrix multiplication ay non-commutative: AB hindi pantay VA ., kung pantay, kung gayon ang mga matrice na ito ay tinatawag na commutative.

Mga pagbabago sa elementarya sa mga matrice:

1. Magpalit ng dalawang row (column)

2. Pagpaparami ng row (column) sa isang numero maliban sa zero

3. Pagdaragdag sa mga elemento ng isang row (column) ng mga elemento ng isa pang row (column), na pinarami ng anumang numero

Lektura 1.2.Mga Determinant na may totoong coefficient. Paghahanap ng inverse matrix.

Buod:Mga Determinant at ang kanilang mga katangian. Mga pamamaraan para sa pagkalkula ng mga determinant na may mga tunay na coefficient. Paghahanap ng inverse matrix para sa mga third-order matrice.

Ang konsepto ng isang determinant ay ipinakilala lamang para sa isang square matrix. Determinant - Ito numero, na matatagpuan alinsunod sa mahusay na tinukoy na mga panuntunan at tinutukoy ng o det A .

Determinant matrice pangalawang utos ay ganito: o

Pangatlong determinant ng order ang numero ay tinatawag na:

Upang matandaan ang masalimuot na pormula na ito, mayroong "panuntunan ng mga tatsulok":

Maaari mo ring kalkulahin gamit ang isa pang paraan - ang paraan ng agnas sa pamamagitan ng hilera o haligi. Ipakilala natin ang ilang mga kahulugan:

menor de edad parisukat na matris A ay tinatawag na determinant ng matrix A , na nakukuha sa pamamagitan ng pagtawid sa th row at th column: halimbawa, para sa minor - .

Algebraic na pandagdag Ang elemento ng determinant ay tinatawag na menor nito, na kinuha gamit ang sarili nitong sign kung ang kabuuan ng mga numero ng row at column kung saan matatagpuan ang elemento ay pantay, at may kabaligtaran na sign kung ang kabuuan ng mga numero ay kakaiba: .

Pagkatapos: Pangatlong determinant ng order ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng mga elemento ng anumang column (row) sa pamamagitan ng kanilang algebraic complements.

PR: Kalkulahin natin ang determinant: sa pamamagitan ng pagpapalawak nito sa mga elemento ng unang hilera.

Mga katangian ng mga determinant:

1. Ang determinant ay katumbas ng 0 kung naglalaman ito ng dalawang magkaparehong row (column) o zero row (column).

2. Binabago ng determinant ang sign nito kapag muling inayos ang dalawang row (columns).

3. Ang karaniwang kadahilanan sa isang hilera (sa isang hanay) ay maaaring alisin sa kabila ng tanda ng determinant.

4. Ang determinant ay hindi nagbabago kung ang anumang iba pang row (isa pang column) na pinarami ng isang arbitrary na numero ay idinagdag sa isang row (column).

5. Ang determinant ay hindi nagbabago kapag ang matrix ay nailipat.

6. Ang determinant ng identity matrix ay 1:

7. Ang determinant ng produkto ng mga matrice ay katumbas ng produkto ng mga determinant

baligtad na matris.

Ang square matrix ay tinatawag hindi nabubulok, kung ang determinant nito ay iba sa zero.

Kung, kapag nagpaparami ng mga square matrice A At SA sa anumang pagkakasunud-sunod ay nakuha ang identity matrix ( AB=BA=E ), pagkatapos ay ang matrix SA ay tinatawag na matrix inverse ng matrix A at ipinapahiwatig ng , i.e. .

Teorama.Ang bawat non-singular matrix ay may kabaligtaran.

Algorithm para sa paghahanap ng inverse matrix:

Baliktad na matrix. Ang isang square matrix ay sinasabing non-singular kung ang determinant nito ay non-zero. Kung hindi, ito ay tinatawag na degenerate .

Ang kabaligtaran ng isang matrix ay tinutukoy ng . Kung umiiral ang inverse matrix, ito ay natatangi at

Nasaan ang adjunct (unyon), na binubuo ng algebraic na mga karagdagan j:

Pagkatapos ang determinant ng inverse matrix ay nauugnay sa determinant ng matrix na ito sa pamamagitan ng sumusunod na kaugnayan: . talaga, , kung saan sumusunod ang pagkakapantay-pantay na ito.

Mga katangian ng isang inverse matrix:

1. , kung saan ang mga non-singular square matrice ng parehong pagkakasunud-sunod.

3. .

Lektura 1.3.Paglutas ng mga sistema ng linear equation gamit ang Cramer method, Gauss method at matrix calculus.

Buod:Cramer's method at Gauss's method para sa paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation. Paraan ng matrix para sa paglutas ng mga sistema ng mga equation. Ranggo ng matrix. Kronecker-Capelli theorem. Pangunahing sistema ng mga solusyon. Mga sistemang homogenous at heterogenous.

Ang sistema ng mga equation ay ang mga sumusunod:

(*) , kung saan , ‑ coefficients, ‑ variable, ay tinatawag sistema ng mga linear na equation. Upang malutas ang isang sistema ng mga linear na equation ay nangangahulugan na ipahiwatig ang lahat ng mga solusyon ng system, i.e. tulad ng mga hanay ng mga halaga ng mga variable na ginagawang mga pagkakakilanlan ang mga equation ng system. Ang sistema ng mga linear equation ay tinatawag.

1.1. Mga sistema ng dalawang linear equation at second-order determinants

Isaalang-alang ang isang sistema ng dalawang linear na equation na may dalawang hindi alam:

Odds na may mga hindi kilala At may dalawang indeks: ang una ay nagpapahiwatig ng equation number, ang pangalawa - ang variable na numero.

Panuntunan ni Cramer: Ang solusyon sa system ay matatagpuan sa pamamagitan ng paghahati ng mga pantulong na determinant sa pangunahing determinant ng system

Tandaan 1. Ang paggamit ng panuntunan ng Cramer ay posible kung ang determinant ng system hindi katumbas ng zero.

Tandaan 2. Ang mga formula ng Cramer ay pangkalahatan sa mga sistema ng mas mataas na pagkakasunud-sunod.

Halimbawa 1. Lutasin ang sistema:
.

Solusyon.

;
;

;

Pagsusuri:

Konklusyon: Ang sistema ay nalutas nang tama:
.

1.2. Mga sistema ng tatlong linear equation at third-order determinants

Isaalang-alang ang isang sistema ng tatlong linear equation na may tatlong hindi alam:

Ang isang determinant na binubuo ng mga coefficient para sa mga hindi alam ay tinatawag system determinant o pangunahing determinant:

Kung
pagkatapos ang system ay may natatanging solusyon, na tinutukoy ng mga formula ng Cramer:

nasaan ang mga determinant
– ay tinatawag na auxiliary at nakuha mula sa determinant sa pamamagitan ng pagpapalit sa una, pangalawa o pangatlong column nito ng column ng mga libreng miyembro ng system.

Halimbawa 2. Lutasin ang sistema
.

Buuin natin ang mga pangunahing at pantulong na determinant:

Ito ay nananatiling isaalang-alang ang mga patakaran para sa pagkalkula ng mga determinant ng third-order. Mayroong tatlo sa kanila: ang panuntunan ng pagdaragdag ng mga hanay, ang panuntunan ng Sarrus, ang panuntunan ng agnas.

a) Ang panuntunan para sa pagdaragdag ng unang dalawang hanay sa pangunahing determinant:

Ang pagkalkula ay isinasagawa bilang mga sumusunod: ang mga produkto ng mga elemento ng pangunahing dayagonal at mga kahanay dito ay sumasama sa kanilang pag-sign; na may kabaligtaran na tanda, ang mga produkto ng mga elemento ng pangalawang dayagonal at mga kahanay dito ay kinuha.

b) Pamumuno ni Sarrus:

Sa kanilang pag-sign, kinukuha nila ang mga produkto ng mga elemento ng pangunahing dayagonal at kasama ang mga parallel dito, at ang nawawalang ikatlong elemento ay kinuha mula sa kabaligtaran na sulok. Gamit ang kabaligtaran na pag-sign, kunin ang mga produkto ng mga elemento ng pangalawang dayagonal at kasama ang mga parallel dito, ang ikatlong elemento ay kinuha mula sa kabaligtaran na sulok.

c) Panuntunan ng agnas ng mga elemento ng isang row o column:

Kung
, Tapos .

Algebraic na pandagdag ay isang lower order determinant na nakuha sa pamamagitan ng pagtawid sa kaukulang row at column at isinasaalang-alang ang sign
, Saan - numero ng linya, – numero ng hanay.

Halimbawa,

,
,
atbp.

Gamit ang panuntunang ito, kinakalkula namin ang mga pantulong na determinant At , pagpapalawak ng mga ito ayon sa mga elemento ng unang hilera.

Nang makalkula ang lahat ng mga determinant, nakita namin ang mga variable gamit ang panuntunan ng Cramer:

Pagsusuri:

Konklusyon: ang sistema ay nalutas nang tama: .

Mga pangunahing katangian ng mga determinant

Dapat tandaan na ang determinant ay numero, natagpuan ayon sa ilang mga panuntunan. Maaaring gawing simple ang pagkalkula nito kung gagamit tayo ng mga pangunahing katangian na wasto para sa mga determinant ng anumang pagkakasunud-sunod.

Ari-arian 1. Ang halaga ng determinant ay hindi magbabago kung ang lahat ng mga row nito ay papalitan ng mga column na katumbas ng numero at vice versa.

Ang pagpapatakbo ng pagpapalit ng mga hilera ng mga haligi ay tinatawag na transposisyon. Mula sa property na ito, sumusunod na ang anumang pahayag na totoo para sa mga row ng determinant ay magiging totoo din para sa mga column nito.

Ari-arian 2. Kung ang dalawang row (columns) sa determinant ay pinagpalit, ang sign ng determinant ay magbabago sa kabaligtaran.

Ari-arian 3. Kung ang lahat ng elemento ng anumang row ng isang determinant ay katumbas ng 0, kung gayon ang determinant ay katumbas ng 0.

Ari-arian 4. Kung ang mga elemento ng determinant string ay pinarami (hinati) sa ilang numero , pagkatapos ay ang halaga ng determinant ay tataas (bumababa) sa minsan.

Kung ang mga elemento ng isang hilera ay may isang karaniwang kadahilanan, pagkatapos ay maaari itong alisin sa determinant sign.

Ari-arian 5. Kung ang isang determinant ay may dalawang magkapareho o proporsyonal na hanay, kung gayon ang naturang determinant ay katumbas ng 0.

Ari-arian 6. Kung ang mga elemento ng anumang hilera ng isang determinant ay ang kabuuan ng dalawang termino, kung gayon ang determinant ay katumbas ng kabuuan ng dalawang determinant.

Ari-arian 7. Ang halaga ng determinant ay hindi magbabago kung ang mga elemento ng isang row ay idinagdag sa mga elemento ng isa pang row, na i-multiply sa parehong numero.

Sa determinant na ito, una ang ikatlong hilera ay idinagdag sa pangalawang hilera, pinarami ng 2, pagkatapos ay ang pangalawa ay ibinawas mula sa ikatlong hanay, pagkatapos nito ang pangalawang hilera ay idinagdag sa una at pangatlo, bilang isang resulta nakakuha kami ng maraming mga zero at pinasimple ang pagkalkula.

elementarya mga pagbabagong-anyo ang determinant ay tinatawag na pagpapasimple nito sa pamamagitan ng paggamit ng mga tinukoy na katangian.

Halimbawa 1. Compute determinant

Ang direktang pagkalkula ayon sa isa sa mga tuntuning tinalakay sa itaas ay humahantong sa masalimuot na mga kalkulasyon. Samakatuwid, ipinapayong gamitin ang mga katangian:

a) mula sa linya 1, ibawas ang pangalawa, pinarami ng 2;

b) mula sa linya II ibawas ang pangatlo, pinarami ng 3.

Bilang resulta, nakukuha namin ang:

Palawakin natin ang determinant na ito sa mga elemento ng unang column, na naglalaman lamang ng isang di-zero na elemento.

Mga sistema at determinant ng mas mataas na mga order

sistema linear equation na may Ang mga hindi alam ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:

Para sa kasong ito, posible ring buuin ang pangunahing at pantulong na mga determinant, at tukuyin ang mga hindi alam gamit ang panuntunan ng Cramer. Ang problema ay ang mas mataas na pagkakasunud-sunod na mga determinant ay maaari lamang kalkulahin sa pamamagitan ng pagpapababa ng pagkakasunud-sunod at pagbabawas ng mga ito sa ikatlong pagkakasunud-sunod na mga determinant. Magagawa ito sa pamamagitan ng direktang agnas sa mga elemento ng mga row o column, pati na rin ang paggamit ng mga paunang pagbabagong elementarya at karagdagang pagkabulok.

Halimbawa 4. Kalkulahin ang determinant ng ikaapat na order

Solusyon mahahanap natin ito sa dalawang paraan:

a) sa pamamagitan ng direktang pagpapalawak sa mga elemento ng unang hilera:

b) sa pamamagitan ng mga paunang pagbabago at karagdagang pagkabulok

	a) mula sa linya I ibawas III
	b) magdagdag ng linya II sa IV

Halimbawa 5. I-compute ang determinant ng ikalimang order, na kumukuha ng mga zero sa ikatlong row gamit ang ikaapat na column

mula sa unang linya ay ibawas natin ang pangalawa, mula sa pangatlo ay ibawas natin ang pangalawa, mula sa ikaapat ay ibawas natin ang pangalawa na pinarami ng 2.

ibawas ang pangatlo sa pangalawang hanay:

ibawas ang pangatlo sa pangalawang linya:

Halimbawa 6. Lutasin ang sistema:

Solusyon. Bumuo tayo ng isang determinant ng system at, gamit ang mga katangian ng mga determinant, kalkulahin ito:

(mula sa unang hilera ay ibawas natin ang pangatlo, at pagkatapos ay sa nagreresultang pangatlong-order na determinant mula sa ikatlong hanay ay ibawas natin ang una, pinarami ng 2). Determinant
, samakatuwid, naaangkop ang mga formula ng Cramer.