Ang parabola ay naroroon sa mundo ng matematika, pisika at iba pang agham. Ang mga parabola ay gumagalaw kasama ang tilapon mga artipisyal na satellite na nagsisikap na umalis sa mga hangganan solar system, ang bola kapag naglalaro ng volleyball ay naglalarawan din ng tilapon nito. Kailangan mong makabuo ng parabola. At para maging madali ito, kailangan mong malaman kung paano hanapin ang vertex ng isang parabola.

Ang graph ng function na y = ax 2 + bx + c, kung saan ang a ay ang unang koepisyent, ang b ay ang pangalawang koepisyent, ang c ay ang libreng termino, ay tinatawag na parabola. Ngunit bigyang-pansin ang katotohanan na ang isang ≠0.

Ang bawat punto ng parabola ay may simetriko dito maliban sa isang punto, at ang puntong ito ay tinatawag na vertex. Upang makahanap ng isang punto na isang vertex, kailangan mong magpasya kung ano ang isang punto sa graph. Ang isang punto sa isang graph ay isang tiyak na coordinate sa kahabaan ng abscissa at ordinate axis. Ito ay tinutukoy bilang (x; y). Alamin natin kung paano hanapin ang mga treasured na numero.

Unang paraan

Kung nais mong malaman kung paano tama ang pagkalkula ng mga coordinate ng isang vertex, kailangan mo lamang matutunan ang formula x0 = -b/2a. Ang pagpapalit ng resultang numero sa function, makakakuha tayo ng y0.

Halimbawa, y =x 2 –8 x +15;

hanapin ang una, pangalawang coefficient at libreng termino;

• a =1, b =-8, c =15;

palitan ang mga halaga ng a at b sa formula;

• x0=8/2=4;

kalkulahin ang mga halaga ng y;

• y0 = 16–32+15 = -1;

Nangangahulugan ito na ang vertex ay nasa punto (4;-1).

Ang mga sanga ng parabola ay simetriko tungkol sa axis ng symmetry, na dumadaan sa vertex ng parabola. Alam ang mga ugat ng equation, madali mong kalkulahin ang abscissa ng vertex ng parabola. Ipagpalagay natin na ang k at n ay ang mga ugat ng isang quadratic equation. Pagkatapos ang puntong x0 ay katumbas ng layo mula sa mga puntos na k at n, at maaari itong kalkulahin gamit ang formula: x0 = (k + n)/2.

Tingnan natin ang halimbawa y =x 2 –6x+5

1) Equate sa zero:

• x 2 –6x+5=0.

2) Hanapin ang discriminant gamit ang formula: D = b 2 –4 ac:

• D =36–20=16.

3) Hanapin ang mga ugat ng equation gamit ang formula (-b±√ D)/2a:

• 1 - unang ugat;
• 5 ang pangalawang ugat.

4) Kalkulahin:

• x0 =(5+1)/2=3

Pangalawang paraan

Makadagdag sa isang perpektong parisukat - mahusay na paraan alamin kung saan matatagpuan ang tuktok. Gamit ang pamamaraang ito, maaari mong kalkulahin ang mga puntos na x at y nang sabay, nang hindi kinakailangang palitan ang x sa panimulang halimbawa. Isaalang-alang natin ang pamamaraang ito gamit ang halimbawa ng function: y=x 2 +8 x +10.

1. Una kailangan mong i-equate ang expression sa variable sa 0. Pagkatapos ay ilipat ang c sa kanang bahagi Sa kabaligtaran ng tanda, ibig sabihin, nakukuha natin ang expression na x 2 + 8x = -10.

2. Ngayon sa kaliwang bahagi kailangan mong gumawa ng isang kumpletong parisukat. Upang gawin ito, kalkulahin ang (b/2) 2 at dagdagan ang magkabilang panig ng resulta ng equation. Sa kasong ito, kailangan mong palitan ang 8 sa halip na b.

Nakukuha namin ang 16. Ngayon idagdag ang numerong ito sa magkabilang panig ng equation:

x 2 + 8x +16= 6.

3. Makikita na ang resultang expression ay isang perpektong parisukat. Maaari itong katawanin sa anyong: (x + 4) 2 = 6.

4. Gamitin ang expression na ito upang mahanap ang mga coordinate ng vertex ng isang parabola. Upang kalkulahin ang x, kailangan mong i-equate ito sa 0. Nakukuha namin ang x = -4. Ang y coordinate ay katumbas ng kung ano ang nasa kanang bahagi, iyon ay, y =6. Ang vertex ng parabola ng equation na ito ay (-4, 6).

Ikatlong paraan

Kung alam mo kung ano ang derivative, may isa pang formula para sa iyo. Hindi alintana kung saan ang "mga sungay" ng parabola point, ang tuktok nito ay ang extremum point. Para sa pamamaraang ito, kailangan mong ilapat ang sumusunod na algorithm:

1. Paghahanap ng unang derivative gamit ang formula f"(x) = (ax² + bx + c)’ = 2ax + b.

2. Pag-equate ng derivative sa 0. Bilang resulta, makakakuha ka ng 0 = 2ax + b, mula dito makikita mo kung ano ang interesado sa amin.

Isaalang-alang natin ang pamamaraang ito nang mas detalyado.

Ibinigay ang function na y = 4x²+16x-17;

• Isinulat namin ang derivative at itinutumbas ito sa zero.

f"(x) = (4x²+16x-17)’ = 8x+16 =0

Ang pinakamahirap na bagay kapag nagtatayo ay ang tama na mahanap ang mga punto ng function. Para sa isang detalyadong konstruksiyon, kailangan mong kalkulahin ang 5-7 puntos (ito ay sapat na para sa isang kurso sa paaralan). Upang gawin ito, pumili ng ilang value x at palitan ito sa function na ito. Ang resulta ng mga kalkulasyon ay ang bilang ng mga puntos sa kahabaan ng ordinate axis. Pagkatapos nito, inilalagay namin ang mga puntos na nakuha namin sa coordinate plane. Bilang resulta, nakakakuha tayo ng parabola.

Tingnan natin ang isyu ng paghahanap ng mga puntos na kailangang markahan. Halimbawa, kunin natin ang function na y =-x 2 +11 x -24 na may vertex sa punto (5.5;-6.25).

1) Bumuo ng isang talahanayan

Hanapin ang mga logro nang tama.

Sumulat ng mga intermediate na kalkulasyon sa papel. Hindi lamang nito gagawing mas madali ang paghahanap sa tuktok, ngunit makakatulong din ito sa iyong mahanap ang iyong mga pagkakamali.

Gawin ang lahat ng hakbang-hakbang. Sundin ang algorithm.

Mangyaring tandaan na:

• Kailangan mong suriin kung tama ang iyong desisyon.
• Kailangan mong kumalma. Ang paglutas ng anumang problema sa matematika ay nangangailangan ng karanasan. Kailangan lang ayusin ito ang paksang ito, at pagkatapos ay tiyak na magtatagumpay ka.

Video

Tutulungan ka ng video na ito na matutunan kung paano hanapin ang vertex ng isang parabola

Hindi nakakuha ng sagot sa iyong tanong? Magmungkahi ng paksa sa mga may-akda.

Ang graph ng isang quadratic function ay tinatawag na parabola. Ang linyang ito ay may makabuluhan pisikal na kahulugan. Ang ilan ay gumagalaw sa mga parabola mga katawang makalangit. Ang hugis ng parabola na antenna ay nakatutok sa mga sinag na tumatakbo parallel sa axis ng symmetry ng parabola. Ang mga katawan na itinapon paitaas sa isang anggulo ay umaabot sa tuktok na punto at nahuhulog, na naglalarawan din ng isang parabola. Tila, palaging kapaki-pakinabang na malaman ang mga coordinate ng vertex ng kilusang ito.

Mga tagubilin

1. Quadratic function sa lahat ng bagay pangkalahatang pananaw isinulat ng equation: y = ax? + bx + c. Ang graph ng equation na ito ay isang parabola, ang mga sanga nito ay nakadirekta paitaas (para sa isang > 0) o pababa (para sa isang< 0). Школьникам предлагается легко запомнить формулу вычисления координат вершины параболы. Вершина параболы лежит в точке x0 = -b/2a. Подставив это значение в quadratic equation, kunin ang y0: y0 = a(-b/2a)? – b?/2a + c = – b?/4a + c.

2. Ang mga taong pamilyar sa derivative na representasyon ay madaling matukoy ang vertex ng isang parabola. Anuman ang lokasyon ng mga sanga ng parabola, ang tuktok nito ay ang punto ng extremum (pinakamababa kung ang mga sanga ay nakadirekta paitaas, o pinakamataas kapag ang mga sanga ay nakadirekta pababa). Upang mahanap ang dapat na extremum point ng anumang function, kailangan mong kalkulahin ang unang derivative nito at i-equate ito sa zero. Sa pangkalahatan, ang derivative ng isang quadratic function ay katumbas ng f"(x) = (ax? + bx + c)' = 2ax + b. Equating to zero, makakakuha ka ng 0 = 2ax0 + b => x0 = -b/ 2a.

3. Ang parabola ay isang simetriko na linya. Ang axis ng symmetry ay dumadaan sa vertex ng parabola. Alam ang mga punto ng intersection ng parabola na may X coordinate axis, madali mong mahahanap ang abscissa ng vertex x0. Hayaan ang x1 at x2 na maging mga ugat ng parabola (ang tinatawag na mga intersection point ng parabola na may abscissa axis, dahil ang mga halagang ito ay nagiging zero ang quadratic equation ax? + bx + c). Kasabay nito, hayaan ang |x2| > |x1|, pagkatapos ay ang vertex ng parabola ay nasa gitna sa pagitan ng mga ito at makikita mula sa karagdagang expression: x0 = ?(|x2| – |x1|).

Ang parabola ay isang graph ng isang quadratic function; sa pangkalahatan, ang equation ng isang parabola ay nakasulat y=aх^2+bх+с, kung saan a?0. Ito ay isang unibersal na second-order curve na naglalarawan ng maraming phenomena sa buhay, halimbawa, ang paggalaw ng isang itinapon at pagkatapos ay bumabagsak na katawan, ang hugis ng isang bahaghari, at samakatuwid ay ang kaalaman upang makita. parabola Maaaring magamit ito sa totoong buhay.

Kakailanganin mong

• – quadratic equation formula;
• – isang sheet ng papel na may coordinate grid;
• - pambura ng lapis;
• – computer at Excel program.

Mga tagubilin

1. Una, hanapin ang vertex ng parabola. Upang mahanap ang abscissa ng puntong ito, kunin ang exponent bago ang x, hatiin ito ng dalawang beses ang exponent bago ang x^2 at i-multiply sa -1 (formula x=-b/2a). Hanapin ang ordinate sa pamamagitan ng pagpapalit ng resultang halaga sa equation o paggamit ng formula y=(b^2-4ac)/4a. Nakuha mo ang mga coordinate ng vertex point ng parabola.

2. Ang vertex ng isang parabola ay maaari ding makita gamit ang ibang paraan. Dahil ang vertex ay ang extremum ng function, upang kalkulahin ito, kalkulahin ang unang derivative at equate ito sa zero. Sa pangkalahatang anyo ay makukuha mo ang formula f(x)’ = (ax? + bx + c)’ = 2ax + b. At sa pamamagitan ng equating ito sa zero, darating ka sa parehong formula - x = -b/2a.

3. Alamin kung ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta pataas o pababa. Upang gawin ito, tingnan ang indicator sa harap ng x^2, iyon ay, a. Kung a>0, ang mga sanga ay nakadirekta paitaas, kung a

4. Buuin ang axis ng symmetry ng parabola; nag-intersect ito sa vertex ng parabola at parallel sa y axis. Ang lahat ng mga punto ng parabola ay magiging katumbas ng layo mula dito, samakatuwid ito ay posible na bumuo lamang ng isang bahagi, at pagkatapos ay simetriko ipakita ito kaugnay sa axis ng parabola.

5. Gumuhit ng linya ng parabola. Upang gawin ito, maghanap ng ilang mga puntos sa pamamagitan ng pagpapalit iba't ibang kahulugan x sa mga equation at lutasin ang pagkakapantay-pantay. Maginhawa upang makita ang intersection sa mga axes; upang gawin ito, palitan ang x=0 at y=0 sa pagkakapantay-pantay. Ang pagkakaroon ng pagtaas ng isang gilid, ipakita ito sa simetriko tungkol sa axis.

6. Pinapayagan na magtayo parabola sa tulong Mga programang Excel. Upang gawin ito, buksan ang bagong dokumento at pumili ng dalawang column dito, x at y=f(x). Sa unang column, isulat ang mga value ng x sa napiling segment, at sa pangalawang column, isulat ang formula, sabihin nating, =2B3*B3-4B3+1 o =2B3^2-4B3+1. Upang hindi maisulat ang formula na ito sa bawat oras, "iunat" ito sa bawat column sa pamamagitan ng pag-click sa maliit na krus sa kanang sulok sa ibaba at pagkaladkad nito pababa.

7. Kapag mayroon ka nang talahanayan, i-click ang menu na "Ipasok" - "Tsart". Piliin ang scatter plot, i-click ang Susunod. Sa lalabas na window, magdagdag ng row sa pamamagitan ng pag-click sa button na “Magdagdag”. Upang piliin ang mga kinakailangang cell, i-click ang isa-isa sa mga button na binilog sa pulang hugis-itlog sa ibaba, pagkatapos ay piliin ang iyong mga column na may mga value. Sa pamamagitan ng pag-click sa pindutang "Tapos na", suriin ang resulta - ang tapos na parabola .

Video sa paksa

Kapag naghahanap ng isang quadratic function na ang graph ay isang parabola, sa isa sa mga punto na kailangan mong hanapin mga coordinate mga taluktok mga parabola. Paano ito gagawin nang analytical gamit ang equation na ibinigay para sa parabola?

Mga tagubilin

1. Ang quadratic function ay isang function ng form na y=ax^2+bx+c, kung saan ang a ay ang nangungunang exponent (ito ay dapat na mahigpit na non-zero), b ang pinakamababang exponent, c ay isang libreng term. Ang function na ito binibigyan ng parabola ang graph nito, ang mga sanga nito ay nakadirekta pataas (kung a>0) o pababa (kung a<0). При a=0 quadratic function degenerates sa isang linear function.

2. Hanapin natin ang coordinate x0 mga taluktok mga parabola. Ito ay matatagpuan sa pamamagitan ng formulax0=-b/a.

3. y0=y(x0).Upang makita ang coordinate y0 mga taluktok parabola, kailangan mong palitan ang nakitang halaga na x0 sa function sa halip na x. Kalkulahin kung ano ang katumbas ng y0.

4. Mga coordinate mga taluktok natuklasan ang mga parabola. Isulat ang mga ito bilang mga coordinate ng isang punto (x0,y0).

5. Kapag gumagawa ng isang parabola, tandaan na ito ay simetriko tungkol sa axis ng symmetry ng parabola, na pumasa patayo sa tuktok ng parabola, dahil ang quadratic function ay pantay. Dahil dito, ito ay sapat na upang bumuo lamang ng isang sangay ng parabola mula sa mga punto, at kumpletuhin ang iba pang simetriko.

Video sa paksa

Para sa mga function (o sa halip ang kanilang mga graph), ginagamit ang representasyon pinakamataas na halaga, kasama ang lokal na maximum. Ang ideya ng "vertex" ay mas malamang na nauugnay sa mga geometric na hugis. Ang pinakamataas na punto ng makinis na mga pag-andar (pagkakaroon ng derivative) ay madaling matukoy gamit ang mga zero ng unang derivative.

Mga tagubilin

1. Para sa mga punto kung saan ang function ay hindi naiba-iba ngunit pare-pareho, ang pinakamalaking halaga sa pagitan ay maaaring may anyo ng isang tip (halimbawa, y=-|x|). Sa ganitong mga punto sa graph mga function posible na gumuhit ng maraming tangents hangga't ninanais, at ang isang derivative ay hindi madaling umiiral para dito. Sami mga function ng ganitong uri ay karaniwang tinutukoy sa mga segment. Mga punto kung saan ang derivative mga function katumbas ng zero o wala ay tinatawag na skeptical.

2. Ito ay lumiliko out na upang mahanap ang maximum na mga puntos mga function y=f(x) ito ay kinakailangan: - upang matukoy ang mga punto ng pag-aalinlangan; - upang mas gusto ang pinakamataas na punto, kinakailangan upang makita ang tanda ng hinalaw sa paligid ng skeptical point. Kung, kapag pumasa sa isang punto, ang pag-sign ay kahalili mula sa "+" hanggang sa "-", pagkatapos ay isang maximum ang magaganap.

3. Halimbawa. Hanapin ang pinakamalaking halaga mga function(tingnan ang Fig. 1).y=x+3 para sa x?-1 at y=((x^2)^(1/3)) –x para sa x>-1.

4. Rheaning. y=x+3 para sa x?-1 at y=((x^2)^(1/3)) –x para sa x>-1. Ang function ay sinasadyang tinukoy sa mga segment, dahil sa sa kasong ito Ang layunin ay ipakita ang lahat sa isang halimbawa. Madaling suriin na sa x=-1 ang function ay nananatiling pare-pareho. y'=1 sa x?-1 at y'=(2/3)(x^(-1/3))-1=(2- 3(x ^(1/3))/(x^(1/3)) para sa x>-1. y'=0 para sa x=8/27. y' ay wala para sa x=-1 at x= 0. Sa kasong ito y'>0 kung x

Video sa paksa

Ang parabola ay isa sa mga second-order curves; ang mga punto nito ay itinataas alinsunod sa isang quadratic equation. Ang pangunahing bagay sa pagbuo ng pahilig na ito ay ang pagtuklas itaas mga parabola. Magagawa ito sa maraming paraan.

Mga tagubilin

1. Upang mahanap ang mga coordinate ng vertex mga parabola, gamitin ang sumusunod na formula: x = -b/2a, kung saan ang a ay ang indicator bago ang x squared, at ang b ay ang indicator bago ang x. Isaksak ang iyong mga halaga at kalkulahin ang halaga nito. Pagkatapos nito, palitan ang resultang halaga para sa x sa equation at kalkulahin ang ordinate ng vertex. Sabihin nating, kung bibigyan ka ng equation na y=2x^2-4x+5, pagkatapos ay hanapin ang abscissa sa sumusunod na paraan: x=-(-4)/2*2=1. Ang pagpapalit ng x=1 sa equation, kalkulahin ang y-value para sa vertex mga parabola: y=2*1^2-4*1+5=3. Kaya ang tuktok mga parabola ay may mga coordinate (1;3).

2. Ang halaga ng ordinate mga parabola maaaring matukoy nang hindi kinakalkula nang maaga ang abscissa. Upang gawin ito, gamitin ang formula y=-b^2/4ac+c.

3. Kung pamilyar ka sa derivative representation, tuklasin itaas mga parabola gamit ang mga derivatives, sinasamantala ang karagdagang pag-aari ng bawat function: ang unang derivative ng isang function, katumbas ng zero, ay nagpapahiwatig ng mga extremum point. Dahil ang tuktok mga parabola, hindi alintana kung ang mga sanga nito ay nakadirekta pataas o pababa, ay isang extremum point, kalkulahin ang derivative para sa iyong function. Sa pangkalahatang anyo ito ay magmumukhang f(x)=2ax+b. I-equate ito sa zero at kunin ang mga coordinate ng vertex mga parabola, naaayon sa iyong function.

4. Subukang tumuklas itaas mga parabola, sinasamantala ang pag-aari nito tulad ng simetrya. Upang gawin ito, hanapin ang mga intersection point mga parabola na may x axis, tinutumbasan ang function sa zero (pinapalitan ang y = 0). Kapag nalutas mo ang isang quadratic equation, makikita mo ang x1 at x2. Dahil ang parabola ay simetriko tungkol sa direktrix na dumadaan itaas, ang mga puntong ito ay magiging katumbas ng layo mula sa abscissa ng vertex. Upang makita ito, hinati namin ang distansya sa pagitan ng mga puntos sa kalahati: x = (Ix1-x2I)/2.

5. Kung ang alinman sa mga exponent ay zero (bukod sa a), kalkulahin ang mga coordinate ng vertex mga parabola gamit ang pinasimpleng mga formula. Sabihin natin, kung b = 0, ibig sabihin, ang equation ay may anyo na y = ax^2 + c, kung gayon ang vertex ay malalagay sa oy axis at ang mga coordinate nito ay magiging katumbas ng (0; c). Kung hindi lamang ang exponent b=0, ngunit din c=0, pagkatapos ay ang vertex mga parabola ay matatagpuan sa pinanggalingan, punto (0;0).

Video sa paksa

Simula sa isang punto, ang mga tuwid na linya ay bumubuo ng isang anggulo kung saan ang kanilang karaniwang punto ay ang vertex. Sa seksyon ng teoretikal na algebra, madalas na may mga problema kapag kailangan mong hanapin ang mga coordinate nito mga taluktok, upang pagkatapos ay matukoy ang equation ng linyang dumadaan sa vertex.

Mga tagubilin

1. Bago mo simulan ang proseso ng paghahanap ng mga coordinate mga taluktok, magpasya sa paunang data. Tanggapin na ang gustong vertex ay kabilang sa triangle ABC, kung saan ang mga coordinate ng iba pang 2 vertex, pati na rin ang mga numerical value, ay kilala. mga sulok, katumbas ng "e" at "k" sa gilid AB.

2. I-align ang bagong coordinate system sa isa sa mga gilid ng triangle AB sa paraang ang paunang salita ng coordinate system ay tumutugma sa punto A, ang mga coordinate na alam mo. Ang pangalawang vertex B ay makikita sa axis ng OX, at alam mo rin ang mga coordinate nito. Tukuyin ang haba ng gilid AB kasama ang axis ng OX ayon sa mga coordinate at kunin itong katumbas ng "m".

3. Ibaba ang patayo mula sa hindi pamilyar mga taluktok C sa axis ng OX at sa gilid ng tatsulok na AB, ayon sa pagkakabanggit. Ang nagresultang taas na "y" ay tumutukoy sa halaga ng isa sa mga coordinate mga taluktok C kasama ang OY axis. Ipagpalagay na ang taas na "y" ay naghahati sa gilid ng AB sa dalawang segment na katumbas ng "x" at "m - x".

4. Dahil alam mo ang kahulugan ng lahat mga sulok tatsulok, na nangangahulugan na ang mga halaga ng kanilang mga tangent ay kilala rin. Kunin ang mga padaplis na halaga para sa mga sulok, katabi ng gilid ng tatsulok AB, katumbas ng tan(e) at tan(k).

5. Ilagay ang mga equation para sa 2 linyang dumadaan sa gilid ng AC at BC ayon sa pagkakabanggit: y = tan(e) * x at y = tan(k) * (m – x). Pagkatapos ay hanapin ang intersection ng mga linyang ito sa pamamagitan ng paglalapat ng mga transformed line equation: tan(e) = y/x at tan(k) = y/(m – x).

6. Kung ipagpalagay mo na ang tan(e)/tan(k) ay katumbas ng (y/x) /(y/ (m – x)) o sa ibang pagkakataon ay paikliin ang “y” – (m – x) / x, mapupunta ka sa ang mga nais na halaga ay mga coordinate na katumbas ng x = m / (tan(e)/tan(k) + e) ​​​​at y = x * tan(e).

7. Mga kapalit na halaga mga sulok(e) at (k), pati na rin ang nakitang halaga ng panig AB = m sa mga equation na x = m / (tan(e)/tan(k) + e) ​​​​at y = x * tan(e ).

8. I-convert ang bagong coordinate system sa paunang coordinate system, dahil ang isa-sa-isang sulat ay naitatag sa pagitan nila, at makuha ang nais na mga coordinate mga taluktok tatsulok ABC.

Video sa paksa

Video sa paksa

Mga tagubilin

Ang isang quadratic function sa pangkalahatang anyo ay isinulat ng equation: y = ax² + bx + c. Ang graph ng equation na ito ay , ang mga sanga nito ay nakadirekta paitaas (para sa isang > 0) o pababa (para sa isang< 0). Школьникам предлагается просто запомнить формулу вычисления координат вершины . Вершина параболы в точке x0 = -b/2a. Подставив это значение в квадратное , получите y0: y0 = a(-b/2a)² - b²/2a + c = - b²/4a + c.

Para sa mga taong pamilyar sa konsepto ng derivative, madaling mahanap ang vertex ng isang parabola. Anuman ang posisyon ng mga sanga ng isang parabola, ang vertex nito ay isang punto (pinakamababa kung ang mga sanga ay nakadirekta paitaas, o kapag ang mga sanga ay nakadirekta pababa). Upang mahanap ang dapat na extremum point ng alinmang , kailangan mong kalkulahin ang unang derivative nito at ipantay ito sa zero. Sa pangkalahatan, ang derivative ay katumbas ng f"(x) = (ax² + bx + c)" = 2ax + b. Pagtutumbas sa zero, makakakuha ka ng 0 = 2ax0 + b => x0 = -b/2a.

Ang parabola ay isang simetriko na linya. Ang axis ay dumadaan sa vertex ng parabola. Ang pag-alam sa mga punto ng parabola na may X coordinate axis, madali mong mahahanap ang abscissa ng vertex x0. Hayaan ang x1 at x2 na maging mga ugat ng parabola (ang tinatawag na mga intersection point ng parabola na may x-axis, dahil ang mga halagang ito ay naglalaho ng quadratic equation na ax² + bx + c). Bukod dito, hayaan ang |x2| > |x1|, pagkatapos ay ang vertex ng parabola ay nasa kalagitnaan ng mga ito at makikita mula sa sumusunod na expression: x0 = ½(|x2| - |x1|).

Video sa paksa

Mga Pinagmulan:

• Quadratic function
• formula para sa paghahanap ng vertex ng isang parabola

Ang parabola ay isang graph ng isang quadratic function; sa pangkalahatan, ang equation ng isang parabola ay nakasulat y=ax^2+bx+c, kung saan a≠0. Ito ay isang unibersal na second-order curve na naglalarawan ng maraming phenomena sa buhay, halimbawa, ang paggalaw ng isang hinagis at pagkatapos ay bumabagsak na katawan, ang hugis ng isang bahaghari, kaya ang kakayahang makahanap parabola maaaring maging lubhang kapaki-pakinabang sa buhay.

Kakailanganin mong

• - quadratic equation formula;
• - isang sheet ng papel na may coordinate grid;
• - pambura ng lapis;
• - computer at Excel program.

Mga tagubilin

Una sa lahat, hanapin ang vertex ng parabola. Upang mahanap ang abscissa ng puntong ito, kunin ang coefficient ng x, hatiin ito ng dalawang beses sa coefficient ng x^2 at i-multiply sa -1 ( x = -b/2a). Hanapin ang ordinate sa pamamagitan ng pagpapalit ng resultang halaga sa equation o paggamit ng formula y=(b^2-4ac)/4a. Nakuha mo ang mga coordinate ng vertex point ng parabola.

Ang vertex ng isang parabola ay matatagpuan sa ibang paraan. Dahil ito ang extremum ng function, para kalkulahin ito, kalkulahin ang unang derivative at i-equate ito sa zero. Sa pangkalahatan, makukuha mo ang formula f(x)" = (ax? + bx + c)" = 2ax + b. At sa pamamagitan ng equating ito sa zero, darating ka sa parehong formula - x=-b/2a.

Alamin kung ang mga sanga ng parabola ay nakaturo paitaas o pababa. Upang gawin ito, tingnan ang koepisyent sa harap ng x^2, iyon ay, a. Kung a>0, ang mga sanga ay nakadirekta paitaas, kung a

Mga coordinate mga taluktok natagpuan ang mga parabola. Isulat ang mga ito bilang mga coordinate ng isang punto (x0,y0).

Video sa paksa

Para sa mga function (mas tiyak, ang kanilang mga graph), ang konsepto ng pinakamalaking halaga, kabilang ang lokal na maximum, ay ginagamit. Ang konsepto ng "vertex" ay sa halip ay nauugnay sa mga geometric na figure. Ang pinakamataas na punto ng makinis na mga pag-andar (pagkakaroon ng derivative) ay madaling matukoy gamit ang mga zero ng unang derivative.

Mga tagubilin

Para sa mga punto kung saan ang function ay hindi naiba-iba ngunit tuluy-tuloy, ang pinakamalaking halaga sa pagitan ay maaaring magkaroon ng anyo ng isang tip (sa y=-|x|). Sa mga ganyang punto mga function Maaari kang gumuhit ng maraming tangent hangga't gusto mo; ang mga tangent ay hindi umiiral para dito. Sami mga function Ang uri na ito ay karaniwang tinutukoy sa mga segment. Mga punto kung saan ang derivative mga function katumbas ng zero o wala ay tinatawag na kritikal.

Rheaning. y=x+3 para sa x≤-1 at y=((x^2)^(1/3)) –x para sa x>-1. Ang function ay sadyang tinukoy sa mga segment, dahil sa kasong ito ang layunin ay ipakita ang lahat sa isang halimbawa. Madali na para sa x=-1 ang function ay nananatiling tuluy-tuloy.y'=1 para sa x≤-1 at y'=(2/3)(x^(-1/3))-1=(2-3( x^ (1/3))/(x^(1/3)) para sa x>-1. y'=0 para sa x=8/27. y' ay hindi umiiral para sa x=-1 at x=0. Sa kasong ito, y '>0 kung x

Video sa paksa

Ang parabola ay isa sa mga second-order curves; ang mga punto nito ay binuo alinsunod sa isang quadratic equation. Ang pangunahing bagay sa pagbuo ng curve na ito ay upang mahanap itaas mga parabola. Magagawa ito sa maraming paraan.

Mga tagubilin

Upang mahanap ang mga coordinate ng isang vertex mga parabola, gamitin ang sumusunod na formula: x=-b/2a, kung saan ang a ay ang coefficient bago ang x in, at ang b ay ang coefficient bago ang x. Isaksak ang iyong mga halaga at kalkulahin ito. Pagkatapos ay palitan ang resultang halaga para sa x sa equation at kalkulahin ang ordinate ng vertex. Halimbawa, kung bibigyan ka ng equation na y=2x^2-4x+5, pagkatapos ay hanapin ang abscissa gaya ng sumusunod: x=-(-4)/2*2=1. Ang pagpapalit ng x=1 sa equation, kalkulahin ang y-value para sa vertex mga parabola: y=2*1^2-4*1+5=3. Kaya ang tuktok mga parabola ay may mga coordinate (1;3).

Ang halaga ng ordinate mga parabola ay matatagpuan nang hindi muna kinakalkula ang abscissa. Upang gawin ito, gamitin ang formula y=-b^2/4ac+c.

Kung pamilyar ka sa konsepto ng derivative, hanapin itaas mga parabola gamit ang mga derivatives, gamit ang sumusunod na property ng anuman: ang unang derivative ng isang function, katumbas ng zero, ay tumuturo sa. Mula sa tuktok mga parabola, hindi alintana kung ang mga sanga nito ay nakadirekta pataas o pababa, point , kalkulahin ang derivative para sa iyong function. Sa pangkalahatan, magmumukha itong f(x)=2ax+b. I-equate ito sa zero at kunin ang mga coordinate ng vertex mga parabola, naaayon sa iyong function.

Subukan mong hanapin itaas mga parabola, sinasamantala ang pag-aari nito tulad ng simetrya. Upang gawin ito, hanapin ang mga intersection point mga parabola na may x axis, tinutumbasan ang function sa zero (pinapalitan ang y = 0). Sa pamamagitan ng paglutas ng quadratic equation, makikita mo ang x1 at x2. Dahil ang parabola ay simetriko na may paggalang sa directrix na dumadaan itaas, ang mga puntong ito ay magiging katumbas ng layo mula sa abscissa ng vertex. Upang mahanap ito, kami ay naghahati-hati

Nagaeva Svetlana Nikolaevna, guro ng matematika sa MAOU "Lyceum No. 1" sa lungsod ng Berezniki.

Proyekto aralin sa algebra sa ika-9 na baitang(humanitarian profile).

"Ang pinakamalalim na bakas ay iniwan ng kung ano ang natuklasan ng isang tao sa kanyang sarili." (D. Poya.)

Paksa ng aralin:"Derivation ng mga formula para sa pagkalkula ng mga coordinate ng vertex ng isang parabola."

Mga Layunin ng Aralin: pang-edukasyon :

Inaasahang Resulta:

- kamalayan, pagtanggap at paglutas ng problema ng mga mag-aaral;

Pagbubuo ng mga paraan upang makakuha ng bagong kaalaman sa pamamagitan ng paghahambing at paghahambing ng mga katotohanan, isang pamamaraan mula sa partikular hanggang sa pangkalahatan;

Alamin ang mga formula para sa paghahanap ng mga coordinate ng vertex at axis ng symmetry ng isang parabola para sa mga function ng form na y = ax 2 +bx+c.

Uri ng aralin: aralin sa pagtatakda ng gawaing pagkatuto. Mga pamamaraan ng pagtuturo– visual at illustrative, verbal, collaborative learning, problem-based, elemento ng critical thinking technology.

Kagamitan: computer, multimedia projector, demonstration screen, presentation slide sa paksa: "Formula para sa paghahanap ng mga coordinate ng vertex ng isang parabola"; A3 na mga sheet; may kulay na mga marker.

Teknolohiya- diskarte sa system-activity.

Mga hakbang sa aralin:

Sikolohikal na kalooban (pagganyak).

Pag-update ng pangunahing kaalaman (paglikha ng isang sitwasyon ng tagumpay).

Pagbubuo ng problema.

Pagbubuo ng paksa at layunin ng aralin.

Solusyon sa problema.

Pagsusuri ng progreso ng paglutas ng problema.

Paglalapat ng mga resulta ng paglutas ng problema sa mga susunod na gawain.

Pagbubuod ng aralin (ang buod sa pamamagitan ng "mga mata" ng mag-aaral, ang buod sa pamamagitan ng "mga mata" ng guro).

Takdang aralin.

Sa panahon ng mga klase:

Sikolohikal na kalooban.

Gawain: Natututong lutasin ang isang karaniwang problema at magtrabaho sa isang pangkat (magtrabaho sa mga grupo ng 5 tao).

Guys, sa huling apat na aralin ay pinag-aaralan namin ang quadratic function, ngunit hindi pa ganap na kumpleto ang aming kaalaman, kaya patuloy naming pinag-aaralan ang quadratic function upang matuto ng bago tungkol sa function na ito.

Pagganyak sa mga mag-aaral na independiyenteng itakda ang paksa at layunin ng aralin.

Function at ang kanyang iskedyul. ; ; Nang walang graphing function, masasagot ba natin ang mga tanong: Ano ang isang graph ng mga function? Aling linya ang axis ng symmetry (kung mayroon)? 3. Mayroon bang vertex, ano ang mga coordinate nito?
	gusto ko malaman

Ang talahanayan ay pinupuno habang ang aralin ay umuusad.

Pag-update ng mga pangunahing kaalaman at kasanayan ng mga mag-aaral.Warm up. 1. Ilagay ang pinakamataas na koepisyent sa labas ng mga bracket: 5x 2 + 25x -5; palakol 2 + bx + c. 2. Piliin ang dobleng produkto: ab; palakol; b/a. 3.Squaring: b/2; c 2 /a; 2a/3b. 4.Present bilang algebraic sum: a – c; x –(- b/2a).

Ipaliwanag kung paano, alam ang uri ng graph ng functiony =ƒ( x ) , bumuo ng mga graph ng mga function:

A ) y =ƒ(x - a) , - gamit ang parallel translation ng isang unit sa kanan kasama ang axis X;

b) y =ƒ(x) + b, - gamit ang parallel translation b units pataas sa kahabaan ng axis y;

V) y =ƒ(x- a) +b, ↔ sa A mga yunit, ↕ ni b mga yunit;

d) Paano mag-graph ng isang function y = (x - 2) 2 + 3 ? Ano ang kanyang iskedyul?

Pangalanan ang vertex ng parabola.
Ang graph ay isang parabola y = x 2 na may vertex sa punto (2; 3 ).

Ibigay ang mga coordinate ng vertex ng parabola: y=x - 4x + 5 ( problema). Bakit imposibleng matukoy ang mga coordinate ng vertex ng isang parabola ayon sa uri ng function?(may ibang anyo ang quadratic function).

Mga aktibidad ng mag-aaral:

Bumuo ng mga istruktura ng pagsasalita gamit ang functional na terminology.

Pagtalakay sa mga sagot. Inihahambing nila, ikinukumpara sa mga naunang pinag-aralan na function, pinipili at isulat sa pisara ang kaalaman at kasanayan na maaaring kailanganin nila upang malutas ang problema sa column na “ALAM KO”:

2.

3.

4.

Sa column na "Gusto kong malaman": vertex, axis of symmetry ng isang parabola
.

Ang mga mag-aaral ay maaaring magsulat ng mga function sa mga column na "ALAM KO" at "GUSTONG MALAMAN" sa pangkalahatan at sa mga espesyal na kaso. Pahayag ng problemang pang-edukasyon: hanapin ang mga coordinate ng vertex ng parabola kung ang quadratic function ay ibinigay sa pangkalahatang anyo y = palakol + bx + c. Ang mga mag-aaral ay bumalangkas at isulat ang paksa at layunin ng aralin sa isang kuwaderno.(Pagkuha ng mga formula para sa pagkalkula ng mga coordinate ng vertex ng isang parabola. Alamin kung paano hanapin ang mga coordinate ng vertex ng isang parabola sa isang bagong paraan - gamit ang mga formula).

Solusyon sa problema.

Mga aktibidad ng mag-aaral: Kapag inihambing ang "lumang" kaalaman sa bagong kaalaman, hinihiling sa mga mag-aaral na i-highlight ang isang kumpletong parisukat. Paggamit ng mga tiyak na halimbawa
;
at tumanggap ng naaayon
;
. Hanapin ang mga coordinate ng vertex at ang equation ng axis ng symmetry. Naiintindihan nila na nakayanan nila ang gawain, dahil dinala ang bagong function sa isang pamilyar na anyo.

Tinutukoy ng mga mag-aaral ang isang kumpletong parisukat para sa function.
; , ihambing ang resulta na nakuha, gumuhit ng konklusyon batay sa function na ito. Hanapin ang mga coordinate ng vertex at ang axis ng symmetry.

Maaari mo bang pangalanan ang vertex at axis ng isang parabola kung ang function ay ibinigay sa pangkalahatang anyo
nang hindi na-highlight ang kumpletong parisukat? Paano ka kikilos sa kasong ito? At paano ilapat ang iyong nakaraang karanasan sa paghahanap ng vertex at axis ng isang parabola?

Mga aktibidad ng mag-aaral:

Batay sa umiiral na kaalaman at karanasan, ang mga mag-aaral ay nagsisimulang maunawaan na kailangan nilang magpatuloy, mula sa partikular hanggang sa pangkalahatan, at magsagawa ng mga patunay sa pangkalahatang anyo.

Lumilitaw ang mga bagong kahirapan. Lumilitaw ang isang solusyon sa mga pangkat: . Pagsusuri ng progreso ng paglutas ng problema. Isang kinatawan mula sa bawat pangkat ang naririnig.

Paghambingin at pag-aralan ang mga talaan
At
, nakasulat sa isang notebook karaniwang desisyon ang gawain sa kamay - mga formula para sa mga coordinate ng vertex ng isang parabola
.

Ang mga mag-aaral ay nagtatapos: ang mga coordinate ng vertex at ang axis ng parabola para sa function
ay matatagpuan sa isang makatwirang paraan.

Paglalapat ng mga resulta ng paglutas ng problema sa mga susunod na gawain.

Mga aktibidad ng mag-aaral:

Paglutas ng mga problema mula sa aklat-aralin Blg. 121; 123. Hanapin ang mga coordinate ng vertex ng parabola sa isang bagong makatwirang paraan. Isulat ang equation ng tuwid na linya, na siyang axis ng symmetry ng parabola.

Summing up (repleksiyon) mga aktibidad na pang-edukasyon sa aralin).

Bumalik tayo sa talahanayan at punan ang column na “NATUTUHAN”.

Buod ng aralin sa pamamagitan ng mga mata ng mga mag-aaral:

	GUSTO KO MALAMAN
2. 3. 4. 5. Alam ko kung paano i-graph ang mga function na ito 6. Alam ko kung paano hanapin ang mga coordinate ng vertices ng mga parabola na ito at ang axis ng parabola 7. paraan ng pagpili ng kumpletong parisukat 8. kung paano hanapin ang mga coordinate ng vertices, ang axis ng isang parabola.	2. equation ng axis ng symmetry ng isang parabola	1. coordinate ng vertex ng parabola 2.paano makuha ang formula 3. isang makatwirang paraan upang mahanap ang axis ng parabola at ang mga coordinate ng vertex ng parabola

Ang resulta "sa pamamagitan ng mga mata ng isang guro":

Ang layunin ng aralin ay nakamit.

Napagtanto, tinanggap at nalutas ng mga mag-aaral ang problema.

Sa proseso ng paglutas ng isang problemang pang-edukasyon, ang mga mag-aaral ay hindi lamang nakakuha ng bagong kaalaman: ang pag-asa ng mga coefficient ng isang quadratic trinomial at ang mga coordinate ng vertex ng isang parabola, ang equation ng axis ng symmetry, ngunit ang pinakamahalagang bagay sa Ang aralin ay ang pagbuo ng mga pangkalahatang paraan ng pagkuha ng bagong kaalaman, independiyenteng pagsusuri sa problema at paghahanap ng hindi alam.

Takdang aralin: aytem 7 Blg. 122;127(b);128.

P.S. Ang ipinakitang aralin ay ginanap noong Oktubre 15, 2014 bilang bahagi ng isang seminar sa lungsod para sa mga guro sa matematika sa paksang "Pagbuo ng UDL sa mga aralin sa matematika."

Sa yugtong "Paglalapat ng mga resulta ..." kapag nilulutas ang mga problema mula sa aklat-aralin, ang ilang mga mag-aaral ay nagsimulang maunawaan ang halaga ng kanilang "pagtuklas": higit pa simpleng paraan paghahanap ng mga coordinate ng vertex at ang equation ng axis ng symmetry, habang ang iba ay hindi itinago ang kanilang kagalakan, dahil hindi na kailangang "magdusa" sa paghihiwalay ng isang kumpletong parisukat. Ngunit ang pinakamahalagang bagay ay ginawa namin ang lahat sa aming sarili!

Sa matematika mayroong isang buong cycle ng mga pagkakakilanlan, kung saan ang mga quadratic equation ay sumasakop sa isang makabuluhang lugar. Ang ganitong mga pagkakapantay-pantay ay maaaring malutas nang magkahiwalay at upang bumuo ng mga graph sa coordinate axis. Ang mga equation ay ang mga punto ng intersection ng parabola at ang tuwid na linya oh.

Pangkalahatang anyo

Sa pangkalahatan, mayroon itong sumusunod na istraktura:

Ang parehong mga indibidwal na variable at buong expression ay maaaring ituring na "X". Halimbawa:

(x+7) 2 +3(x+7)+2=0.

Sa kaso kapag ang papel ng x ay isang expression, ito ay kinakailangan upang katawanin ito bilang isang variable at hanapin.Pagkatapos nito, equate ang polynomial sa kanila at hanapin ang x.

Kaya, kung (x+7)=a, ang equation ay kumukuha ng anyo na 2 +3a+2=0.

D=3 2 -4*1*2=1;

at 1 =(-3-1)/2*1=-2;

at 2 =(-3+1)/2*1=-1.

Sa mga ugat na katumbas ng -2 at -1, nakukuha natin ang sumusunod:

x+7=-2 at x+7=-1;

Ang mga ugat ay ang x-coordinate na halaga ng punto kung saan ang parabola ay nag-intersect sa x-axis. Sa prinsipyo, ang kanilang halaga ay hindi napakahalaga kung ang gawain ay upang mahanap lamang ang vertex ng parabola. Ngunit para sa pag-plot ng isang graph, ang mga ugat ay may mahalagang papel.

Bumalik tayo sa inisyal na equation. Upang masagot ang tanong kung paano hanapin ang vertex ng isang parabola, kailangan mong malaman ang sumusunod na formula:

kung saan ang x VP ay ang x-coordinate na halaga ng nais na punto.

Ngunit paano mahahanap ang vertex ng isang parabola nang walang halaga ng y-coordinate? Pinapalitan namin ang nagresultang halaga ng x sa equation at hanapin ang nais na variable. Halimbawa, lutasin natin ang sumusunod na equation:

Hanapin ang halaga ng x-coordinate para sa vertex ng parabola:

x VP =-b/2a=-3/2*1;

Hanapin ang halaga ng y-coordinate para sa vertex ng parabola:

y=2x 2 +4x-3=(-1.5) 2 +3*(-1.5)-5;

Bilang resulta, nalaman namin na ang vertex ng parabola ay matatagpuan sa puntong may mga coordinate (-1.5;-7.25).

Ang parabola ay isang koneksyon ng mga punto na may vertical Para sa kadahilanang ito, ang mismong konstruksiyon nito ay hindi kumakatawan espesyal na paggawa. Ang pinakamahirap na bagay ay gumawa ng tamang mga kalkulasyon ng mga coordinate ng mga puntos.

Sulit na bayaran Espesyal na atensyon sa mga coefficient ng isang quadratic equation.

Ang coefficient a ay nakakaapekto sa direksyon ng parabola. Sa kaso kapag ito ay may negatibong halaga, ang mga sanga ay ididirekta pababa, at kailan positibong tanda- pataas.

Ang coefficient b ay nagpapahiwatig kung gaano kalawak ang parabola arm. Kung mas mataas ang halaga nito, magiging mas malawak ito.

Ang coefficient c ay nagpapahiwatig ng displacement ng parabola sa kahabaan ng op axis na nauugnay sa pinanggalingan.

Natutunan na natin kung paano hanapin ang vertex ng isang parabola, at upang mahanap ang mga ugat, dapat tayong magabayan ng mga sumusunod na formula:

kung saan ang D ay ang discriminant na kinakailangan upang mahanap ang mga ugat ng equation.

x 1 =(-b+V - D)/2a

x 2 =(-b-V - D)/2a

Ang mga resultang halaga ng x ay tumutugma sa mga zero na halaga y, kasi sila ang mga punto ng intersection sa OX axis.

Pagkatapos nito, minarkahan namin ang mga nagresultang halaga sa tuktok ng parabola. Para sa isang mas detalyadong graph, kailangan mong maghanap ng ilang higit pang mga punto. Upang gawin ito, pumili ng anumang halaga ng x na pinapayagan ng domain ng kahulugan at palitan ito sa equation ng function. Ang resulta ng mga kalkulasyon ay ang coordinate ng punto sa kahabaan ng op-amp axis.

Upang gawing simple ang proseso ng pag-graph, maaari kang gumuhit ng patayong linya sa tuktok ng parabola at patayo sa axis ng OX. Ito ay sa tulong ng kung saan, sa pagkakaroon ng isang punto, maaari kang magtalaga ng pangalawa, katumbas ng layo mula sa iginuhit na linya.