Ngunit maraming natural na numero ang nahahati din ng iba pang natural na numero.
Halimbawa:
Ang bilang na 12 ay nahahati ng 1, ng 2, ng 3, ng 4, ng 6, ng 12;
Ang bilang na 36 ay nahahati ng 1, ng 2, ng 3, ng 4, ng 6, ng 12, ng 18, ng 36.
Ang mga numero kung saan ang bilang ay nahahati sa kabuuan (para sa 12 ito ay 1, 2, 3, 4, 6 at 12) ay tinatawag divisors ng mga numero. Divisor ng isang natural na numero a- ito ay kung ano ito natural na numero, na naghahati sa ibinigay na numero a walang bakas. Ang isang natural na numero na may higit sa dalawang divisors ay tinatawag pinagsama-sama .
Pakitandaan na ang mga numero 12 at 36 ay may mga karaniwang salik. Ang mga numerong ito ay: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ang pinakamalaking divisor ng mga numerong ito ay 12. Ang karaniwang divisor ng dalawang numerong ito a At b- ito ang numero kung saan ang parehong ibinigay na mga numero ay nahahati nang walang natitira a At b.
Common multiples ilang mga numero ay isang numero na nahahati sa bawat isa sa mga numerong ito. Halimbawa, ang mga numerong 9, 18 at 45 ay may common multiple na 180. Ngunit 90 at 360 din ang kanilang common multiple. Sa lahat ng mga karaniwang multiple, palaging may pinakamaliit, sa sa kasong ito ito ay 90. Ang numerong ito ay tinatawag ang pinakamaliitkaraniwang maramihang (CMM).
Ang LCM ay palaging isang natural na numero na dapat na mas malaki kaysa sa pinakamalaki sa mga numero kung saan ito tinukoy.
Least common multiple (LCM). Ari-arian.
Commutativity:
Pagkakaisa:
Sa partikular, kung at mga coprime na numero, kung gayon:
Hindi bababa sa karaniwang maramihang ng dalawang integer m At n ay isang divisor ng lahat ng iba pang common multiples m At n. Bukod dito, ang hanay ng mga karaniwang multiple m, n tumutugma sa hanay ng mga multiple ng LCM( m, n).
Ang mga asymptotics para sa ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng ilang mga function ng number-theoretic.
Kaya, Pag-andar ng Chebyshev. At:
Ito ay sumusunod mula sa kahulugan at mga katangian ng Landau function g(n).
Ano ang sumusunod mula sa batas ng pamamahagi mga pangunahing numero.
Paghahanap ng least common multiple (LCM).
NOC( a, b) ay maaaring kalkulahin sa maraming paraan:
1. Kung kilala ang pinakamalaking karaniwang divisor, maaari mong gamitin ang koneksyon nito sa LCM:
2. Hayaan ang canonical expansion ng parehong mga numero sa pangunahing mga kadahilanan:
saan p 1 ,...,p k- iba't ibang mga prime number, at d 1 ,...,d k At e 1 ,...,e k— non-negative integers (maaari silang maging mga zero kung ang kaukulang prime ay wala sa expansion).
Pagkatapos NOC ( a,b) ay kinakalkula ng formula:
Sa madaling salita, ang LCM decomposition ay naglalaman ng lahat ng prime factor na kasama sa kahit isa sa mga decomposition ng mga numero. a, b, at ang pinakamalaki sa dalawang exponent ng multiplier na ito ay kinuha.
Halimbawa:
Ang pagkalkula ng hindi bababa sa karaniwang multiple ng ilang mga numero ay maaaring bawasan sa ilang magkakasunod na kalkulasyon ng LCM ng dalawang numero:
Panuntunan. Upang mahanap ang LCM ng isang serye ng mga numero, kailangan mo:
- mabulok ang mga numero sa pangunahing mga kadahilanan;
- ilipat ang pinakamalaking pagpapalawak (ang produkto ng mga kadahilanan ng nais na produkto) sa mga kadahilanan ng nais na produkto Malaking numero mula sa mga ibinigay), at pagkatapos ay magdagdag ng mga salik mula sa pagpapalawak ng iba pang mga numero na hindi lumilitaw sa unang numero o lumilitaw dito nang mas kaunting beses;
— ang magreresultang produkto ng prime factor ay ang LCM ng mga ibinigay na numero.
Anumang dalawa o higit pang mga natural na numero ay may sariling LCM. Kung ang mga numero ay hindi multiple ng bawat isa o walang parehong mga salik sa pagpapalawak, ang kanilang LCM ay katumbas ng produkto ng mga numerong ito.
Ang pangunahing mga kadahilanan ng numero 28 (2, 2, 7) ay pupunan ng isang kadahilanan na 3 (ang numero 21), ang resultang produkto (84) ay ang pinakamaliit na bilang na nahahati sa 21 at 28.
Pangunahing mga kadahilanan higit pa Ang 30 ay dinagdagan ng salik 5 ng bilang na 25, ang nagresultang produkto na 150 ay mas malaki kaysa sa pinakamalaking bilang 30 at nahahati sa lahat ng ibinigay na mga numero nang walang natitira. Ito hindi bababa sa produkto ng posibleng (150, 250, 300...), kung saan ang lahat ng ibinigay na numero ay multiple.
Ang mga numerong 2,3,11,37 ay mga pangunahing numero, kaya ang kanilang LCM ay katumbas ng produkto ng mga ibinigay na numero.
Panuntunan. Upang kalkulahin ang LCM ng mga prime number, kailangan mong i-multiply ang lahat ng mga numerong ito nang sama-sama.
Iba pang Pagpipilian:
Upang mahanap ang least common multiple (LCM) ng ilang numero kailangan mo:
1) kinakatawan ang bawat numero bilang produkto ng mga pangunahing salik nito, halimbawa:
504 = 2 2 2 3 3 7,
2) isulat ang mga kapangyarihan ng lahat ng pangunahing mga kadahilanan:
504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,
3) isulat ang lahat ng prime divisors (multipliers) ng bawat isa sa mga numerong ito;
4) piliin ang pinakamalaking antas ng bawat isa sa kanila, na makikita sa lahat ng pagpapalawak ng mga numerong ito;
5) paramihin ang mga kapangyarihang ito.
Halimbawa. Hanapin ang LCM ng mga numero: 168, 180 at 3024.
Solusyon. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,
180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,
3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.
Isinulat namin ang pinakadakilang kapangyarihan ng lahat ng mga pangunahing divisors at i-multiply ang mga ito:
NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.
Upang maunawaan kung paano kalkulahin ang LCM, kailangan mo munang matukoy ang kahulugan ng terminong "maramihan".
Ang multiple ng A ay isang natural na numero na nahahati ng A na walang natitira Kaya, ang mga numero na multiple ng 5 ay maaaring ituring na 15, 20, 25, at iba pa.
Maaaring may mga divisors ng isang partikular na numero limitadong dami, ngunit mayroong isang walang katapusang bilang ng mga multiple.
Ang karaniwang multiple ng mga natural na numero ay isang numero na nahahati ng mga ito nang hindi nag-iiwan ng natitira.
Paano mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang mga numero
Ang least common multiple (LCM) ng mga numero (dalawa, tatlo o higit pa) ay ang pinakamaliit na natural na numero na nahahati sa lahat ng numerong ito.
Upang mahanap ang LOC, maaari kang gumamit ng ilang mga pamamaraan.
Para sa maliliit na numero, maginhawang isulat ang lahat ng multiple ng mga numerong ito sa isang linya hanggang sa makakita ka ng isang bagay na karaniwan sa kanila. Ang mga maramihan ay ipinahiwatig sa notasyon Malaking titik SA.
Halimbawa, ang mga multiple ng 4 ay maaaring isulat tulad nito:
K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
K (6) = (12, 18, 24, ...)
Kaya, makikita mo na ang pinakamaliit na karaniwang multiple ng mga numero 4 at 6 ay ang numero 24. Ang notasyong ito ay ginagawa tulad ng sumusunod:
LCM(4, 6) = 24
Kung ang mga numero ay malaki, hanapin ang karaniwang multiple ng tatlo o higit pang mga numero, pagkatapos ay mas mahusay na gumamit ng ibang paraan ng pagkalkula ng LCM.
Upang makumpleto ang gawain, kailangan mong i-factor ang mga ibinigay na numero sa mga pangunahing kadahilanan.
Una kailangan mong isulat ang agnas ng pinakamalaking numero sa isang linya, at sa ibaba nito - ang natitira.
Ang agnas ng bawat numero ay maaaring maglaman ng ibang bilang ng mga kadahilanan.
Halimbawa, i-factor natin ang mga numerong 50 at 20 sa prime factor.
Sa pagpapalawak ng mas maliit na numero, dapat mong i-highlight ang mga kadahilanan na nawawala sa pagpapalawak ng unang pinakamalaking numero, at pagkatapos ay idagdag ang mga ito dito. Sa halimbawang ipinakita, isang dalawa ang nawawala.
Ngayon ay maaari mong kalkulahin ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng 20 at 50.
LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
Kaya, ang produkto ng mga pangunahing salik ng mas malaking bilang at ang mga salik ng pangalawang numero na hindi kasama sa pagpapalawak ng mas malaking bilang ay ang hindi bababa sa karaniwang maramihang.
Upang mahanap ang LCM ng tatlo o higit pang mga numero, dapat mong i-factor ang lahat sa mga pangunahing kadahilanan, tulad ng sa nakaraang kaso.
Bilang halimbawa, mahahanap mo ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero 16, 24, 36.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
Kaya, dalawang dalawa lamang mula sa pagpapalawak ng labing-anim ang hindi kasama sa factorization ng isang mas malaking bilang (isa ay nasa pagpapalawak ng dalawampu't apat).
Kaya, kailangan nilang idagdag sa pagpapalawak ng mas malaking bilang.
LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
May mga espesyal na kaso ng pagtukoy ng hindi bababa sa karaniwang maramihang. Kaya, kung ang isa sa mga numero ay maaaring hatiin nang walang natitira sa isa pa, kung gayon ang mas malaki sa mga numerong ito ay ang hindi bababa sa karaniwang maramihang.
Halimbawa, ang LCM ng labindalawa at dalawampu't apat ay dalawampu't apat.
Kung kinakailangan upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero ng coprime na walang magkaparehong divisors, kung gayon ang kanilang LCM ay magiging katumbas ng kanilang produkto.
Halimbawa, LCM (10, 11) = 110.
Pangalawang numero: b=
Thousand separator Nang walang space separator "´
Resulta:
Pinakamahusay na karaniwang divisor gcd( a,b)=6
Least common multiple ng LCM( a,b)=468
Ang pinakamalaking natural na bilang na maaaring hatiin nang walang natitira sa mga numerong a at b ay tinatawag pinakamalaking karaniwang divisor(GCD) ng mga numerong ito. Tinutukoy ng gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) o hcf(a,b).
Hindi bababa sa karaniwang maramihang Ang LCM ng dalawang integer na a at b ay ang pinakamaliit na natural na bilang na nahahati ng a at b na walang natitira. Tinutukoy na LCM(a,b), o lcm(a,b).
Ang mga integer a at b ay tinatawag kapwa prime, kung wala silang karaniwang divisors maliban sa +1 at −1.
Pinakamahusay na karaniwang divisor
Ibigay ang dalawa mga positibong numero a 1 at a 2 1). Kinakailangang hanapin ang karaniwang divisor ng mga numerong ito, i.e. hanapin ang ganyang numero λ , na naghahati sa mga numero a 1 at a 2 sa parehong oras. Ilarawan natin ang algorithm.
1) Sa artikulong ito, mauunawaan ang salitang numero bilang isang integer.
Hayaan a 1 ≥ a 2 at hayaan
saan m 1 , a 3 ay ilang integer, a 3 <a 2 (natitira sa dibisyon a 1 bawat a 2 ay dapat na mas mababa a 2).
Magpanggap na tayo λ naghahati a 1 at a 2 pagkatapos λ naghahati m 1 a 2 at λ naghahati a 1 −m 1 a 2 =a 3 (Pahayag 2 ng artikulong "Pagiging divisibility ng mga numero. Pagsusulit sa divisibility"). Ito ay sumusunod na ang bawat karaniwang divisor a 1 at a 2 ang karaniwang divisor a 2 at a 3. Ang baligtad ay totoo rin kung λ karaniwang divisor a 2 at a 3 pagkatapos m 1 a 2 at a 1 =m 1 a 2 +a 3 ay nahahati din ng λ . Samakatuwid ang karaniwang divisor a 2 at a 3 ay isa ring karaniwang divisor a 1 at a 2. kasi a 3 <a 2 ≤a 1, pagkatapos ay maaari naming sabihin na ang solusyon sa problema ng paghahanap ng mga karaniwang divisor ng mga numero a 1 at a 2 nabawasan sa mas simpleng problema ng paghahanap ng karaniwang divisor ng mga numero a 2 at a 3 .
Kung a 3 ≠0, pagkatapos ay maaari nating hatiin a 2 sa a 3. Pagkatapos
,
saan m 1 at a 4 ay ilang integer, ( a 4 na natitira mula sa dibisyon a 2 sa a 3 (a 4 <a 3)). Sa pamamagitan ng katulad na pangangatwiran dumating kami sa konklusyon na ang mga karaniwang divisors ng mga numero a 3 at a 4 coincides sa karaniwang divisors ng mga numero a 2 at a 3, at gayundin sa mga karaniwang divisors a 1 at a 2. kasi a 1 , a 2 , a 3 , a 4, ... ay mga numero na patuloy na bumababa, at dahil may hangganan ang bilang ng mga integer sa pagitan a 2 at 0, pagkatapos ay sa ilang hakbang n, natitira sa dibisyon a n sa a n+1 ay magiging katumbas ng zero ( a n+2 =0).
.
Bawat karaniwang divisor λ numero a 1 at a Ang 2 ay isa ring divisor ng mga numero a 2 at a 3 , a 3 at a 4 , .... a n at a n+1 . Totoo rin ang kabaligtaran, karaniwang mga divisors ng mga numero a n at a Ang n+1 ay mga divisors din ng mga numero a n−1 at a n , .... , a 2 at a 3 , a 1 at a 2. Ngunit ang karaniwang divisor ng mga numero a n at a n+1 ay isang numero a n+1 , dahil a n at a ang n+1 ay nahahati ng a n+1 (tandaan mo yan a n+2 =0). Kaya naman a Ang n+1 ay isa ring divisor ng mga numero a 1 at a 2 .
Tandaan na ang numero a Ang n+1 ay ang pinakamalaking divisor ng mga numero a n at a n+1 , dahil ang pinakamalaking divisor a n+1 ay mismo a n+1 . Kung a Ang n+1 ay maaaring katawanin bilang isang produkto ng mga integer, kung gayon ang mga numerong ito ay karaniwang mga divisors ng mga numero a 1 at a 2. Numero a n+1 ang tawag pinakamalaking karaniwang divisor numero a 1 at a 2 .
Numero a 1 at a Ang 2 ay maaaring maging positibo o negatibong mga numero. Kung ang isa sa mga numero ay katumbas ng zero, kung gayon ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong ito ay magiging katumbas ng ganap na halaga ng isa pang numero. Ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga zero na numero ay hindi natukoy.
Ang algorithm sa itaas ay tinatawag Euclidean algorithm upang mahanap ang pinakamalaking karaniwang divisor ng dalawang integer.
Isang halimbawa ng paghahanap ng pinakamalaking karaniwang divisor ng dalawang numero
Hanapin ang pinakamalaking karaniwang divisor ng dalawang numero 630 at 434.
- Hakbang 1. Hatiin ang numerong 630 sa 434. Ang natitira ay 196.
- Hakbang 2. Hatiin ang numerong 434 sa 196. Ang natitira ay 42.
- Hakbang 3. Hatiin ang numerong 196 sa 42. Ang natitira ay 28.
- Hakbang 4. Hatiin ang numero 42 sa 28. Ang natitira ay 14.
- Hakbang 5. Hatiin ang numerong 28 sa 14. Ang natitira ay 0.
Sa hakbang 5, ang natitira sa dibisyon ay 0. Samakatuwid, ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong 630 at 434 ay 14. Tandaan na ang mga numero 2 at 7 ay mga divisors din ng mga numerong 630 at 434.
Mga numero ng koprime
Kahulugan 1. Hayaan ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero a 1 at a 2 ay katumbas ng isa. Pagkatapos ay tinawag ang mga numerong ito mga numero ng coprime, walang karaniwang divisor.
Teorama 1. Kung a 1 at a 2 coprime na numero, at λ ilang numero, pagkatapos ay anumang karaniwang divisor ng mga numero λa 1 at a Ang 2 ay isa ring karaniwang divisor ng mga numero λ At a 2 .
Patunay. Isaalang-alang ang Euclidean algorithm para sa paghahanap ng pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero a 1 at a 2 (tingnan sa itaas).
.
Mula sa mga kondisyon ng teorama ito ay sumusunod na ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero a 1 at a 2 at samakatuwid a n at a Ang n+1 ay 1. Iyon ay a n+1 =1.
I-multiply natin ang lahat ng pagkakapantay-pantay na ito λ , Pagkatapos
.
Hayaan ang karaniwang divisor a 1 λ At a 2 oo δ . Pagkatapos δ ay kasama bilang isang multiplier sa a 1 λ , m 1 a 2 λ at sa a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (tingnan ang "Pagkakahati ng mga numero", Pahayag 2). Dagdag pa δ ay kasama bilang isang multiplier sa a 2 λ At m 2 a 3 λ , at, samakatuwid, ay isang salik sa a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .
Nangangatuwiran sa ganitong paraan, kumbinsido kami na δ ay kasama bilang isang multiplier sa a n−1 λ At m n−1 a n λ , at samakatuwid ay sa a n−1 λ −m n−1 a n λ =a n+1 λ . kasi a n+1 =1, pagkatapos δ ay kasama bilang isang multiplier sa λ . Samakatuwid ang numero δ ay ang karaniwang divisor ng mga numero λ At a 2 .
Isaalang-alang natin ang mga espesyal na kaso ng Theorem 1.
Bunga 1. Hayaan a At c Ang mga pangunahing numero ay medyo b. Tapos yung product nila ac ay isang prime number na may kinalaman sa b.
Talaga. Mula sa Theorem 1 ac At b ay may parehong karaniwang divisors bilang c At b. Ngunit ang mga numero c At b medyo simple, i.e. magkaroon ng iisang common divisor 1. Pagkatapos ac At b mayroon ding iisang common divisor 1. Samakatuwid ac At b kapwa simple.
Bunga 2. Hayaan a At b coprime ang mga numero at hayaan b naghahati ak. Pagkatapos b naghahati at k.
Talaga. Mula sa kondisyon ng pag-apruba ak At b magkaroon ng isang karaniwang divisor b. Sa bisa ng Theorem 1, b dapat ay isang karaniwang divisor b At k. Kaya naman b naghahati k.
Corollary 1 ay maaaring pangkalahatan.
Bunga 3. 1. Hayaan ang mga numero a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m ay pangunahing kamag-anak sa bilang b. Pagkatapos a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m, ang produkto ng mga numerong ito ay pangunahing nauugnay sa bilang b.
2. Magkaroon tayo ng dalawang hanay ng mga numero
na ang bawat numero sa unang serye ay prime sa ratio ng bawat numero sa ikalawang serye. Pagkatapos ang produkto
Kailangan mong hanapin ang mga numero na nahahati sa bawat isa sa mga numerong ito.
Kung ang isang numero ay nahahati sa a 1, pagkatapos ay mayroon itong anyo sa 1 kung saan s ilang numero. Kung q ay ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero a 1 at a 2, pagkatapos
saan s 1 ay ilang integer. Pagkatapos
ay hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero a 1 at a 2 .
a 1 at a 2 ay relatibong prime, pagkatapos ay ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero a 1 at a 2:
Kailangan nating hanapin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numerong ito.
Mula sa itaas ay sumusunod na ang anumang maramihang mga numero a 1 , a 2 , a Ang 3 ay dapat na maramihang mga numero ε At a 3 at pabalik. Hayaan ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero ε At a 3 oo ε 1 . Susunod, maramihang mga numero a 1 , a 2 , a 3 , a Ang 4 ay dapat na maramihang mga numero ε 1 at a 4 . Hayaan ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero ε 1 at a 4 oo ε 2. Kaya, nalaman namin na ang lahat ng multiple ng mga numero a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m ay tumutugma sa multiple ng isang tiyak na numero ε n, na tinatawag na least common multiple ng mga binigay na numero.
Sa espesyal na kaso kapag ang mga numero a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m ay relatibong prime, pagkatapos ay ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng mga numero a 1 , a 2, tulad ng ipinapakita sa itaas, ay may anyo (3). Susunod, mula noong a 3 prime kaugnay ng mga numero a 1 , a 2 pagkatapos a 3 pangunahing numero a 1 · a 2 (Corollary 1). Nangangahulugan ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng mga numero a 1 ,a 2 ,a 3 ay isang numero a 1 · a 2 · a 3. Nangangatuwiran sa katulad na paraan, nakarating tayo sa mga sumusunod na pahayag.
Pahayag 1. Hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero ng coprime a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m ay katumbas ng kanilang produkto a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.
Pahayag 2. Anumang numero na nahahati sa bawat isa sa mga numerong coprime a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m ay nahahati din sa kanilang produkto a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.
Ang materyal na ipinakita sa ibaba ay isang lohikal na pagpapatuloy ng teorya mula sa artikulong pinamagatang LCM - least common multiple, kahulugan, mga halimbawa, koneksyon sa pagitan ng LCM at GCD. Dito natin pag-uusapan paghahanap ng least common multiple (LCM), at bibigyan namin ng espesyal na pansin ang paglutas ng mga halimbawa. Una, ipapakita namin kung paano kinakalkula ang LCM ng dalawang numero gamit ang GCD ng mga numerong ito. Susunod, titingnan natin ang paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang multiple sa pamamagitan ng pag-factor ng mga numero sa mga prime factor. Pagkatapos nito, tututukan namin ang paghahanap ng LCM ng tatlo o higit pang mga numero, at bigyang pansin din ang pagkalkula ng LCM ng mga negatibong numero.
Pag-navigate sa pahina.
Pagkalkula ng Least Common Multiple (LCM) sa pamamagitan ng GCD
Ang isang paraan upang mahanap ang least common multiple ay batay sa relasyon sa pagitan ng LCM at GCD. Ang umiiral na koneksyon sa pagitan ng LCM at GCD ay nagbibigay-daan sa amin na kalkulahin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng dalawang positive integer sa pamamagitan ng isang kilalang pinakadakilang karaniwang divisor. Ang kaukulang formula ay LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Tingnan natin ang mga halimbawa ng paghahanap ng LCM gamit ang ibinigay na formula.
Halimbawa.
Hanapin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng dalawang numero 126 at 70.
Solusyon.
Sa halimbawang ito a=126 , b=70 . Gamitin natin ang koneksyon sa pagitan ng LCM at GCD, na ipinahayag ng formula LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Iyon ay, kailangan muna nating hanapin ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong 70 at 126, pagkatapos nito ay maaari nating kalkulahin ang LCM ng mga numerong ito gamit ang nakasulat na formula.
Hanapin natin ang GCD(126, 70) gamit ang Euclidean algorithm: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, samakatuwid, GCD(126, 70)=14.
Ngayon nakita namin ang kinakailangang hindi bababa sa karaniwang maramihang: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.
Sagot:
LCM(126, 70)=630 .
Halimbawa.
Ano ang katumbas ng LCM(68, 34)?
Solusyon.
kasi Ang 68 ay nahahati sa 34, pagkatapos ay GCD(68, 34)=34. Ngayon kinakalkula namin ang hindi bababa sa karaniwang maramihang: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.
Sagot:
LCM(68, 34)=68 .
Tandaan na ang nakaraang halimbawa ay umaangkop sa sumusunod na panuntunan para sa paghahanap ng LCM para sa mga positibong integer na a at b: kung ang numero a ay nahahati sa b, kung gayon ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numerong ito ay a.
Paghahanap ng LCM sa pamamagitan ng pag-factor ng mga numero sa prime factor
Ang isa pang paraan upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ay batay sa mga numero ng factoring sa prime factor. Kung bubuo ka ng isang produkto mula sa lahat ng prime factor ng mga ibinigay na numero, at pagkatapos ay ibukod mula sa produktong ito ang lahat ng karaniwang prime factor na naroroon sa mga decomposition ng mga ibinigay na numero, ang resultang produkto ay magiging katumbas ng hindi bababa sa common multiple ng mga ibinigay na numero. .
Ang nakasaad na tuntunin para sa paghahanap ng LCM ay sumusunod sa pagkakapantay-pantay LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Sa katunayan, ang produkto ng mga numero a at b ay katumbas ng produkto ng lahat ng mga kadahilanan na kasangkot sa pagpapalawak ng mga numero a at b. Kaugnay nito, ang GCD(a, b) ay katumbas ng produkto ng lahat ng prime factor na sabay-sabay na naroroon sa mga pagpapalawak ng mga numero a at b (tulad ng inilalarawan sa seksyon sa paghahanap ng GCD gamit ang pagpapalawak ng mga numero sa prime factor).
Magbigay tayo ng halimbawa. Ipaalam sa amin na 75=3·5·5 at 210=2·3·5·7. Buuin natin ang produkto mula sa lahat ng mga salik ng mga pagpapalawak na ito: 2·3·3·5·5·5·7 . Ngayon, mula sa produktong ito ay ibinubukod namin ang lahat ng mga salik na naroroon sa parehong pagpapalawak ng numero 75 at pagpapalawak ng bilang 210 (ang mga salik na ito ay 3 at 5), pagkatapos ay ang produkto ay kukuha ng anyong 2·3·5·5·7 . Ang halaga ng produktong ito ay katumbas ng hindi bababa sa karaniwang multiple ng 75 at 210, iyon ay, NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1,050.
Halimbawa.
I-factor ang mga numerong 441 at 700 sa prime factor at hanapin ang least common multiple ng mga numerong ito.
Solusyon.
Isaalang-alang natin ang mga numerong 441 at 700 sa mga pangunahing kadahilanan:
Nakukuha namin ang 441=3·3·7·7 at 700=2·2·5·5·7.
Ngayon, gumawa tayo ng produkto mula sa lahat ng mga salik na kasangkot sa pagpapalawak ng mga numerong ito: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Ibukod natin sa produktong ito ang lahat ng mga salik na sabay-sabay na naroroon sa parehong mga pagpapalawak (isa lang ang ganoong salik - ito ang numero 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. kaya, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
Sagot:
NOC(441, 700)= 44 100 .
Ang panuntunan para sa paghahanap ng LCM gamit ang factorization ng mga numero sa prime factor ay maaaring mabuo nang medyo naiiba. Kung ang nawawalang mga salik mula sa pagpapalawak ng numero b ay idinagdag sa mga salik mula sa pagpapalawak ng bilang a, kung gayon ang halaga ng resultang produkto ay magiging katumbas ng hindi bababa sa karaniwang maramihang ng mga numerong a at b.
Halimbawa, kunin natin ang parehong mga numero 75 at 210, ang kanilang mga decompositions sa prime factor ay ang mga sumusunod: 75=3·5·5 at 210=2·3·5·7. Sa mga kadahilanan 3, 5 at 5 mula sa pagpapalawak ng numero 75 idinagdag namin ang nawawalang mga kadahilanan 2 at 7 mula sa pagpapalawak ng numero 210, nakuha namin ang produkto 2·3·5·5·7, ang halaga nito ay katumbas ng LCM(75, 210).
Halimbawa.
Hanapin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng 84 at 648.
Solusyon.
Una naming makuha ang mga decomposition ng mga numero 84 at 648 sa pangunahing mga kadahilanan. Mukha silang 84=2·2·3·7 at 648=2·2·2·3·3·3·3. Sa mga kadahilanan 2, 2, 3 at 7 mula sa pagpapalawak ng bilang 84 idinagdag namin ang nawawalang mga kadahilanan 2, 3, 3 at 3 mula sa pagpapalawak ng bilang 648, nakuha namin ang produkto 2 2 2 3 3 3 3 7, na katumbas ng 4 536 . Kaya, ang nais na hindi bababa sa karaniwang maramihang ng 84 at 648 ay 4,536.
Sagot:
LCM(84, 648)=4,536 .
Paghahanap ng LCM ng tatlo o higit pang mga numero
Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng tatlo o higit pang mga numero ay makikita sa pamamagitan ng sunud-sunod na paghahanap ng LCM ng dalawang numero. Alalahanin natin ang kaukulang teorama, na nagbibigay ng paraan upang mahanap ang LCM ng tatlo o higit pang mga numero.
Teorama.
Hayaang ibigay ang mga positive integer na numero a 1 , a 2 , …, a k, ang hindi bababa sa karaniwang multiple m k ng mga numerong ito ay matatagpuan sa pamamagitan ng sunud-sunod na pagkalkula ng m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2, a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
Isaalang-alang natin ang aplikasyon ng teorama na ito gamit ang halimbawa ng paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang maramihang ng apat na numero.
Halimbawa.
Hanapin ang LCM ng apat na numero 140, 9, 54 at 250.
Solusyon.
Sa halimbawang ito, isang 1 =140, isang 2 =9, isang 3 =54, isang 4 =250.
Una naming mahanap m 2 = LOC(a 1, a 2) = LOC(140, 9). Upang gawin ito, gamit ang Euclidean algorithm, tinutukoy namin ang GCD(140, 9), mayroon kaming 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, samakatuwid, GCD(140, 9)=1 , mula saan GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. Ibig sabihin, m 2 =1 260.
Ngayon nahanap namin m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Kalkulahin natin ito sa pamamagitan ng GCD(1 260, 54), na tinutukoy din natin gamit ang Euclidean algorithm: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Pagkatapos ay gcd(1,260, 54)=18, kung saan gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Ibig sabihin, m 3 =3 780.
Ang natitira na lang ay maghanap m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Para magawa ito, makikita natin ang GCD(3,780, 250) gamit ang Euclidean algorithm: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Samakatuwid, GCM(3,780, 250)=10, kung saan GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3,780·250:10=94,500. Ibig sabihin, m 4 =94,500.
Kaya ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng orihinal na apat na numero ay 94,500.
Sagot:
LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.
Sa maraming mga kaso, ito ay maginhawa upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng tatlo o higit pang mga numero gamit ang mga prime factorization ng mga ibinigay na numero. Sa kasong ito, dapat mong sundin ang sumusunod na panuntunan. Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng ilang mga numero ay katumbas ng produkto, na binubuo ng mga sumusunod: ang nawawalang mga salik mula sa pagpapalawak ng pangalawang numero ay idinaragdag sa lahat ng mga salik mula sa pagpapalawak ng unang numero, ang nawawalang mga salik mula sa pagpapalawak ng ang ikatlong numero ay idinagdag sa mga nagresultang kadahilanan, at iba pa.
Tingnan natin ang isang halimbawa ng paghahanap ng least common multiple gamit ang prime factorization.
Halimbawa.
Hanapin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng limang numero 84, 6, 48, 7, 143.
Solusyon.
Una, nakukuha namin ang mga decomposition ng mga numerong ito sa prime factor: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 ay isang prime number, ito ay nagtutugma kasama ang pagkabulok nito sa mga pangunahing salik) at 143=11·13.
Upang mahanap ang LCM ng mga numerong ito, sa mga salik ng unang numero 84 (sila ay 2, 2, 3 at 7), kailangan mong idagdag ang nawawalang mga salik mula sa pagpapalawak ng pangalawang numero 6. Ang agnas ng numero 6 ay hindi naglalaman ng mga nawawalang kadahilanan, dahil ang parehong 2 at 3 ay naroroon na sa agnas ng unang numero 84. Susunod, sa mga kadahilanan 2, 2, 3 at 7 idinagdag namin ang nawawalang mga kadahilanan 2 at 2 mula sa pagpapalawak ng ikatlong numero 48, nakakakuha kami ng isang hanay ng mga kadahilanan 2, 2, 2, 2, 3 at 7. Hindi na kailangang magdagdag ng mga multiplier sa set na ito sa susunod na hakbang, dahil nasa 7 na ito. Sa wakas, sa mga salik 2, 2, 2, 2, 3 at 7 idinaragdag namin ang nawawalang salik 11 at 13 mula sa pagpapalawak ng bilang na 143. Nakukuha namin ang produkto 2·2·2·2·3·7·11·13, na katumbas ng 48,048.
Ngunit maraming natural na numero ang nahahati din ng iba pang natural na numero.
Halimbawa:
Ang bilang na 12 ay nahahati ng 1, ng 2, ng 3, ng 4, ng 6, ng 12;
Ang bilang na 36 ay nahahati ng 1, ng 2, ng 3, ng 4, ng 6, ng 12, ng 18, ng 36.
Ang mga numero kung saan ang bilang ay nahahati sa kabuuan (para sa 12 ito ay 1, 2, 3, 4, 6 at 12) ay tinatawag divisors ng mga numero. Divisor ng isang natural na numero a- ay isang natural na numero na naghahati sa isang ibinigay na numero a walang bakas. Ang isang natural na numero na may higit sa dalawang divisors ay tinatawag pinagsama-sama .
Pakitandaan na ang mga numero 12 at 36 ay may mga karaniwang salik. Ang mga numerong ito ay: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ang pinakamalaking divisor ng mga numerong ito ay 12. Ang karaniwang divisor ng dalawang numerong ito a At b- ito ang numero kung saan ang parehong ibinigay na mga numero ay nahahati nang walang natitira a At b.
Common multiples ilang mga numero ay isang numero na nahahati sa bawat isa sa mga numerong ito. Halimbawa, ang mga numerong 9, 18 at 45 ay may common multiple na 180. Ngunit 90 at 360 din ang kanilang common multiple. Sa lahat ng karaniwang multiple ay palaging may pinakamaliit, sa kasong ito ay 90. Ang numerong ito ay tinatawag ang pinakamaliitkaraniwang maramihang (CMM).
Ang LCM ay palaging isang natural na numero na dapat na mas malaki kaysa sa pinakamalaki sa mga numero kung saan ito tinukoy.
Least common multiple (LCM). Ari-arian.
Commutativity:
Pagkakaisa:
Sa partikular, kung at mga coprime na numero, kung gayon:
Hindi bababa sa karaniwang maramihang ng dalawang integer m At n ay isang divisor ng lahat ng iba pang common multiples m At n. Bukod dito, ang hanay ng mga karaniwang multiple m, n tumutugma sa hanay ng mga multiple ng LCM( m, n).
Ang mga asymptotics para sa ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng ilang mga function ng number-theoretic.
Kaya, Pag-andar ng Chebyshev. At:
Ito ay sumusunod mula sa kahulugan at mga katangian ng Landau function g(n).
Ano ang sumusunod mula sa batas ng pamamahagi ng mga prime number.
Paghahanap ng least common multiple (LCM).
NOC( a, b) ay maaaring kalkulahin sa maraming paraan:
1. Kung kilala ang pinakamalaking karaniwang divisor, maaari mong gamitin ang koneksyon nito sa LCM:
2. Hayaang malaman ang canonical decomposition ng parehong mga numero sa prime factor:
saan p 1 ,...,p k- iba't ibang mga prime number, at d 1 ,...,d k At e 1 ,...,e k— non-negative integers (maaari silang maging mga zero kung ang kaukulang prime ay wala sa expansion).
Pagkatapos NOC ( a,b) ay kinakalkula ng formula:
Sa madaling salita, ang LCM decomposition ay naglalaman ng lahat ng prime factor na kasama sa kahit isa sa mga decomposition ng mga numero. a, b, at ang pinakamalaki sa dalawang exponent ng multiplier na ito ay kinuha.
Halimbawa:
Ang pagkalkula ng hindi bababa sa karaniwang multiple ng ilang mga numero ay maaaring bawasan sa ilang magkakasunod na kalkulasyon ng LCM ng dalawang numero:
Panuntunan. Upang mahanap ang LCM ng isang serye ng mga numero, kailangan mo:
- mabulok ang mga numero sa pangunahing mga kadahilanan;
- ilipat ang pinakamalaking agnas (ang produkto ng mga kadahilanan ng pinakamalaking bilang ng mga ibinigay) sa mga kadahilanan ng nais na produkto, at pagkatapos ay magdagdag ng mga kadahilanan mula sa pagkabulok ng iba pang mga numero na hindi lilitaw sa unang numero o lumilitaw dito mas kaunting beses;
— ang magreresultang produkto ng prime factor ay ang LCM ng mga ibinigay na numero.
Anumang dalawa o higit pang mga natural na numero ay may sariling LCM. Kung ang mga numero ay hindi multiple ng bawat isa o walang parehong mga salik sa pagpapalawak, ang kanilang LCM ay katumbas ng produkto ng mga numerong ito.
Ang pangunahing mga kadahilanan ng numero 28 (2, 2, 7) ay pupunan ng isang kadahilanan na 3 (ang numero 21), ang resultang produkto (84) ay ang pinakamaliit na bilang na nahahati sa 21 at 28.
Ang mga pangunahing kadahilanan ng pinakamalaking bilang 30 ay pupunan ng kadahilanan 5 ng bilang 25, ang nagresultang produkto 150 ay mas malaki kaysa sa pinakamalaking bilang 30 at nahahati sa lahat ng ibinigay na mga numero nang walang natitira. Ito ang pinakamaliit na posibleng produkto (150, 250, 300...) na isang multiple ng lahat ng ibinigay na numero.
Ang mga numerong 2,3,11,37 ay mga pangunahing numero, kaya ang kanilang LCM ay katumbas ng produkto ng mga ibinigay na numero.
Panuntunan. Upang kalkulahin ang LCM ng mga prime number, kailangan mong i-multiply ang lahat ng mga numerong ito nang sama-sama.
Iba pang Pagpipilian:
Upang mahanap ang least common multiple (LCM) ng ilang numero kailangan mo:
1) kinakatawan ang bawat numero bilang produkto ng mga pangunahing salik nito, halimbawa:
504 = 2 2 2 3 3 7,
2) isulat ang mga kapangyarihan ng lahat ng pangunahing mga kadahilanan:
504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,
3) isulat ang lahat ng prime divisors (multipliers) ng bawat isa sa mga numerong ito;
4) piliin ang pinakamalaking antas ng bawat isa sa kanila, na makikita sa lahat ng pagpapalawak ng mga numerong ito;
5) paramihin ang mga kapangyarihang ito.
Halimbawa. Hanapin ang LCM ng mga numero: 168, 180 at 3024.
Solusyon. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,
180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,
3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.
Isinulat namin ang pinakadakilang kapangyarihan ng lahat ng mga pangunahing divisors at i-multiply ang mga ito:
NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.