Ang isa sa mga larangan ng matematika na higit na pinaghihirapan ng mga estudyante ay ang trigonometry. Hindi nakakagulat: upang malayang makabisado ang lugar na ito ng kaalaman, kailangan mo ng spatial na pag-iisip, ang kakayahang makahanap ng mga sine, cosine, tangent, cotangent gamit ang mga formula, gawing simple ang mga expression, at magamit ang numerong pi sa mga kalkulasyon. Bilang karagdagan, kailangan mong magamit ang trigonometry kapag nagpapatunay ng mga theorems, at nangangailangan ito ng alinman sa isang binuo na memorya ng matematika o ang kakayahang makakuha ng mga kumplikadong lohikal na chain.
Pinagmulan ng trigonometrya
Ang pagkilala sa agham na ito ay dapat magsimula sa kahulugan ng sine, cosine at tangent ng isang anggulo, ngunit kailangan mo munang maunawaan kung ano ang ginagawa ng trigonometry sa pangkalahatan.
Sa kasaysayan, ang pangunahing bagay ng pag-aaral sa sangay na ito ng agham sa matematika ay mga tamang tatsulok. Ang pagkakaroon ng isang anggulo ng 90 degrees ay ginagawang posible na magsagawa ng iba't ibang mga operasyon na nagpapahintulot sa isa na matukoy ang mga halaga ng lahat ng mga parameter ng figure na pinag-uusapan gamit ang dalawang panig at isang anggulo o dalawang anggulo at isang gilid. Noong nakaraan, napansin ng mga tao ang pattern na ito at nagsimulang aktibong gamitin ito sa pagtatayo ng mga gusali, nabigasyon, astronomiya at maging sa sining.
Unang yugto
Sa una, pinag-uusapan ng mga tao ang ugnayan sa pagitan ng mga anggulo at panig nang eksklusibo gamit ang halimbawa ng mga tamang tatsulok. Pagkatapos ay natuklasan ang mga espesyal na formula na naging posible upang mapalawak ang mga hangganan ng paggamit sa Araw-araw na buhay ang sangay na ito ng matematika.
Ang pag-aaral ng trigonometrya sa paaralan ngayon ay nagsisimula sa mga tamang tatsulok, pagkatapos ay ginagamit ng mga mag-aaral ang nakuhang kaalaman sa pisika at paglutas ng mga abstract na problema. trigonometriko equation, trabaho na nagsisimula sa high school.
Spherical trigonometrya
Nang maglaon, nang maabot ng agham ang susunod na antas ng pag-unlad, ang mga formula na may sine, cosine, tangent, at cotangent ay nagsimulang gamitin sa spherical geometry, kung saan iba't ibang mga panuntunan ang nalalapat, at ang kabuuan ng mga anggulo sa isang tatsulok ay palaging higit sa 180 degrees. Ang seksyong ito ay hindi pinag-aaralan sa paaralan, ngunit kailangang malaman ang tungkol sa pag-iral nito, hindi bababa sa dahil ang ibabaw ng mundo, at ang ibabaw ng anumang iba pang planeta, ay matambok, na nangangahulugan na ang anumang marka sa ibabaw ay magiging "hugis arko" sa tatlong-dimensional na espasyo.
Kunin ang globo at ang thread. Ikabit ang sinulid sa alinmang dalawang punto sa globo upang ito ay mahigpit. Mangyaring tandaan - ito ay kinuha sa hugis ng isang arko. Ang spherical geometry ay tumatalakay sa mga ganitong anyo, na ginagamit sa geodesy, astronomy at iba pang teoretikal at inilapat na larangan.
Kanang tatsulok
Ang pagkakaroon ng natutunan ng kaunti tungkol sa mga paraan ng paggamit ng trigonometrya, bumalik tayo sa pangunahing trigonometrya upang higit na maunawaan kung ano ang sine, cosine, tangent, anong mga kalkulasyon ang maaaring gawin sa kanilang tulong at kung anong mga formula ang gagamitin.
Ang unang hakbang ay upang maunawaan ang mga konsepto na nauugnay sa isang tamang tatsulok. Una, ang hypotenuse ay ang gilid sa tapat ng 90 degree na anggulo. Ito ang pinakamahaba. Natatandaan natin na ayon sa Pythagorean theorem, nito numerical value katumbas ng ugat ng kabuuan ng mga parisukat ng iba pang dalawang panig.
Halimbawa, kung ang dalawang panig ay 3 at 4 na sentimetro ayon sa pagkakabanggit, ang haba ng hypotenuse ay magiging 5 sentimetro. Sa pamamagitan ng paraan, alam ng mga sinaunang Egyptian ang tungkol dito mga apat at kalahating libong taon na ang nakalilipas.
Ang dalawang natitirang panig, na bumubuo ng isang tamang anggulo, ay tinatawag na mga binti. Bilang karagdagan, dapat nating tandaan na ang kabuuan ng mga anggulo sa isang tatsulok sa isang rectangular coordinate system ay katumbas ng 180 degrees.
Kahulugan
Sa wakas, na may matatag na pag-unawa sa geometric na batayan, ang isa ay maaaring bumaling sa kahulugan ng sine, cosine at tangent ng isang anggulo.
Ang sine ng isang anggulo ay ang ratio ng kabaligtaran na binti (i.e., ang gilid sa tapat ng nais na anggulo) sa hypotenuse. Ang cosine ng isang anggulo ay ang ratio ng katabing gilid sa hypotenuse.
Tandaan na alinman sa sine o cosine ay hindi maaaring mas malaki sa isa! Bakit? Dahil ang hypotenuse ay bilang default ang pinakamahaba. Kahit gaano kahaba ang binti, ito ay magiging mas maikli kaysa sa hypotenuse, na nangangahulugang ang kanilang ratio ay palaging mas mababa sa isa. Kaya, kung sa iyong sagot sa isang problema ay nakakuha ka ng sine o cosine na may halagang higit sa 1, maghanap ng error sa mga kalkulasyon o pangangatwiran. Malinaw na mali ang sagot na ito.
Sa wakas, ang tangent ng isang anggulo ay ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa katabing bahagi. Ang paghahati ng sine sa cosine ay magbibigay ng parehong resulta. Tingnan: ayon sa formula, hinahati namin ang haba ng gilid sa hypotenuse, pagkatapos ay hatiin sa haba ng pangalawang panig at i-multiply sa hypotenuse. Kaya, nakukuha namin ang parehong relasyon tulad ng sa kahulugan ng tangent.
Ang Cotangent, nang naaayon, ay ang ratio ng gilid na katabi ng sulok sa kabaligtaran. Nakukuha namin ang parehong resulta sa pamamagitan ng paghahati ng isa sa tangent.
Kaya, tiningnan natin ang mga kahulugan kung ano ang sine, cosine, tangent at cotangent, at maaari tayong lumipat sa mga formula.
Ang pinakasimpleng mga formula
Sa trigonometrya hindi mo magagawa nang walang mga formula - kung paano makahanap ng sine, cosine, tangent, cotangent nang wala sila? Ngunit ito mismo ang kinakailangan kapag nilutas ang mga problema.
Ang unang formula na kailangan mong malaman kapag nagsisimula sa pag-aaral ng trigonometrya ay nagsasabi na ang kabuuan ng mga parisukat ng sine at cosine ng isang anggulo ay katumbas ng isa. Ang formula na ito ay direktang kinahinatnan ng Pythagorean theorem, ngunit nakakatipid ito ng oras kung kailangan mong malaman ang laki ng anggulo kaysa sa gilid.
Hindi matandaan ng maraming estudyante ang pangalawang pormula, na napakapopular din kapag nilulutas ang mga problema sa paaralan: ang kabuuan ng isa at ang parisukat ng tangent ng isang anggulo ay katumbas ng isa na hinati sa parisukat ng cosine ng anggulo. Tingnang mabuti: ito ay ang parehong pahayag tulad ng sa unang pormula, ang magkabilang panig lamang ng pagkakakilanlan ay hinati sa parisukat ng cosine. Lumalabas na ang isang simpleng mathematical operation ay ginagawang ganap na hindi nakikilala ang trigonometriko formula. Tandaan: ang pag-alam kung ano ang sine, cosine, tangent at cotangent, mga panuntunan sa pagbabagong-anyo at ilang pangunahing mga formula, maaari mong makuha anumang oras ang kinakailangang mas kumplikadong mga formula sa isang sheet ng papel.
Mga formula para sa dobleng anggulo at pagdaragdag ng mga argumento
Dalawang higit pang mga formula na kailangan mong matutunan ay nauugnay sa mga halaga ng sine at cosine para sa kabuuan at pagkakaiba ng mga anggulo. Ang mga ito ay ipinakita sa figure sa ibaba. Pakitandaan na sa unang kaso, ang sine at cosine ay pinarami ng parehong beses, at sa pangalawa, ang pairwise na produkto ng sine at cosine ay idinagdag.
Mayroon ding mga formula na nauugnay sa mga argumento ng double angle. Ang mga ito ay ganap na hinango mula sa mga nauna - bilang isang pagsasanay subukang kunin ang mga ito sa iyong sarili sa pamamagitan ng pagkuha ng anggulo ng alpha katumbas ng anggulo beta.
Panghuli, tandaan na ang mga formula ng dobleng anggulo ay maaaring muling ayusin upang mabawasan ang kapangyarihan ng sine, cosine, tangent alpha.
Theorems
Ang dalawang pangunahing teorema sa pangunahing trigonometrya ay ang sine theorem at ang cosine theorem. Sa tulong ng mga theorems na ito, madali mong maunawaan kung paano hanapin ang sine, cosine at tangent, at samakatuwid ang lugar ng figure, at ang laki ng bawat panig, atbp.
Ang sine theorem ay nagsasaad na sa pamamagitan ng paghahati ng haba ng bawat panig ng isang tatsulok sa kabaligtaran na anggulo, nakukuha natin parehong numero. Bukod dito, ang numerong ito ay magiging katumbas ng dalawang radii ng circumscribed na bilog, iyon ay, ang bilog na naglalaman ng lahat ng mga punto ng isang naibigay na tatsulok.
Ang cosine theorem ay nagsa-generalize ng Pythagorean theorem, na ipinapalabas ito sa anumang mga tatsulok. Lumalabas na mula sa kabuuan ng mga parisukat ng dalawang panig, ibawas ang kanilang produkto na pinarami ng double cosine ng katabing anggulo - ang resultang halaga ay magiging katumbas ng parisukat ng ikatlong panig. Kaya, ang Pythagorean theorem ay lumalabas na isang espesyal na kaso ng cosine theorem.
Walang ingat na pagkakamali
Kahit na alam kung ano ang sine, cosine at tangent, madaling magkamali dahil sa kawalan ng pag-iisip o pagkakamali sa pinakasimpleng mga kalkulasyon. Upang maiwasan ang gayong mga pagkakamali, tingnan natin ang mga pinakasikat.
Una, hindi mo dapat i-convert ang mga fraction sa mga decimal hanggang makuha mo ang huling resulta - maaari mong iwanan ang sagot bilang karaniwang fraction, maliban kung iba ang nakasaad sa mga kundisyon. Ang ganitong pagbabago ay hindi matatawag na isang pagkakamali, ngunit dapat itong alalahanin na sa bawat yugto ng problema ay maaaring lumitaw ang mga bagong ugat, na, ayon sa ideya ng may-akda, ay dapat mabawasan. Sa kasong ito, mag-aaksaya ka ng iyong oras sa hindi kinakailangang mga pagpapatakbo ng matematika. Ito ay totoo lalo na para sa mga halaga tulad ng ugat ng tatlo o ugat ng dalawa, dahil matatagpuan ang mga ito sa mga problema sa bawat hakbang. Ang parehong napupunta para sa pag-round ng "pangit" na mga numero.
Dagdag pa, tandaan na ang cosine theorem ay nalalapat sa anumang tatsulok, ngunit hindi ang Pythagorean theorem! Kung nagkakamali kang nakalimutan na ibawas nang dalawang beses ang produkto ng mga panig na pinarami ng cosine ng anggulo sa pagitan nila, hindi ka lamang makakakuha ng ganap na maling resulta, ngunit magpapakita ka rin ng kumpletong kakulangan ng pag-unawa sa paksa. Ito ay mas masahol pa sa isang walang ingat na pagkakamali.
Pangatlo, huwag malito ang mga halaga para sa mga anggulo ng 30 at 60 degrees para sa mga sine, cosine, tangent, cotangent. Tandaan ang mga halagang ito, dahil ang sine ng 30 degrees ay katumbas ng cosine ng 60, at vice versa. Madaling malito ang mga ito, bilang isang resulta kung saan hindi mo maaaring hindi makakuha ng isang maling resulta.
Aplikasyon
Maraming mga mag-aaral ang hindi nagmamadaling magsimulang mag-aral ng trigonometrya dahil hindi nila naiintindihan ang praktikal na kahulugan nito. Ano ang sine, cosine, tangent para sa isang engineer o astronomer? Ito ang mga konsepto kung saan maaari mong kalkulahin ang distansya sa malalayong bituin, mahulaan ang pagbagsak ng isang meteorite, o magpadala ng isang research probe sa ibang planeta. Kung wala ang mga ito, imposibleng magtayo ng isang gusali, magdisenyo ng kotse, kalkulahin ang pagkarga sa isang ibabaw o ang tilapon ng isang bagay. At ito ang mga pinaka-halatang halimbawa! Pagkatapos ng lahat, ang trigonometrya sa isang anyo o iba pa ay ginagamit sa lahat ng dako, mula sa musika hanggang sa medisina.
Sa wakas
Kaya ikaw ay sine, cosine, tangent. Maaari mong gamitin ang mga ito sa mga kalkulasyon at matagumpay na malutas ang mga problema sa paaralan.
Ang buong punto ng trigonometrya ay bumaba sa katotohanan na ang paggamit ng mga kilalang parameter ng isang tatsulok ay kailangan mong kalkulahin ang mga hindi alam. Mayroong anim na mga parameter sa kabuuan: ang haba ng tatlong panig at ang laki ng tatlong anggulo. Ang tanging pagkakaiba sa mga gawain ay nakasalalay sa katotohanan na ang iba't ibang data ng pag-input ay ibinigay.
Alam mo na ngayon kung paano maghanap ng sine, cosine, tangent batay sa kilalang haba ng mga binti o hypotenuse. Dahil ang mga terminong ito ay nangangahulugan ng hindi hihigit sa isang ratio, at ang isang ratio ay isang fraction, ang pangunahing layunin trigonometriko problema ay paghahanap ng mga ugat ng isang ordinaryong equation o isang sistema ng mga equation. At dito matutulungan ka ng regular na matematika ng paaralan.
Ipinagpapatuloy namin ang aming pag-uusap tungkol sa mga pinaka ginagamit na formula sa trigonometrya. Ang pinakamahalaga sa kanila ay mga formula ng karagdagan.
Kahulugan 1
Binibigyang-daan ka ng mga pormula ng karagdagan na ipahayag ang mga function ng pagkakaiba o kabuuan ng dalawang anggulo na ginagamit trigonometriko function ang mga anggulong ito.
Upang magsimula sa, kami ay magbibigay buong listahan mga pormula ng karagdagan, pagkatapos ay patunayan namin ang mga ito at susuriin ang ilang mga halimbawang nakapagpapakita.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Pangunahing mga formula ng karagdagan sa trigonometrya
Mayroong walong pangunahing pormula: sine ng kabuuan at sine ng pagkakaiba ng dalawang anggulo, mga cosine ng kabuuan at pagkakaiba, mga tangent at cotangent ng kabuuan at pagkakaiba, ayon sa pagkakabanggit. Nasa ibaba ang kanilang mga karaniwang formulation at kalkulasyon.
1. Ang sine ng kabuuan ng dalawang anggulo ay maaaring makuha tulad ng sumusunod:
Kinakalkula namin ang produkto ng sine ng unang anggulo at ang cosine ng pangalawa;
I-multiply ang cosine ng unang anggulo sa sine ng una;
Magdagdag ng mga resultang halaga.
Ang graphical na pagsulat ng formula ay ganito ang hitsura: sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
2. Ang sine ng pagkakaiba ay kinakalkula sa halos parehong paraan, tanging ang mga resultang produkto ay hindi kailangang idagdag, ngunit ibawas sa bawat isa. Kaya, kinakalkula namin ang mga produkto ng sine ng unang anggulo sa pamamagitan ng cosine ng pangalawa at ang cosine ng unang anggulo sa pamamagitan ng sine ng pangalawa at hanapin ang kanilang pagkakaiba. Ang formula ay nakasulat tulad nito: sin (α - β) = sin α · cos β + sin α · sin β
3. Cosine ng kabuuan. Para dito, hinahanap namin ang mga produkto ng cosine ng unang anggulo sa pamamagitan ng cosine ng pangalawa at ang sine ng unang anggulo sa pamamagitan ng sine ng pangalawa, ayon sa pagkakabanggit, at hanapin ang kanilang pagkakaiba: cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β
4. Cosine ng pagkakaiba: kalkulahin ang mga produkto ng mga sine at cosine ng mga anggulong ito, tulad ng dati, at idagdag ang mga ito. Formula: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
5. Tangent ng kabuuan. Ang pormula na ito ay ipinahayag bilang isang fraction, ang numerator kung saan ay ang kabuuan ng mga tangent ng mga kinakailangang anggulo, at ang denominator ay isang yunit kung saan ang produkto ng mga tangent ng mga nais na anggulo ay ibinabawas. Malinaw ang lahat sa graphical notation nito: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β
6. Tangent ng pagkakaiba. Kinakalkula namin ang mga halaga ng pagkakaiba at produkto ng mga tangent ng mga anggulong ito at magpatuloy sa kanila sa katulad na paraan. Sa denominator ay nagdaragdag tayo sa isa, at hindi kabaligtaran: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β
7. Cotangent ng kabuuan. Upang kalkulahin gamit ang formula na ito, kakailanganin namin ang produkto at ang kabuuan ng mga cotangent ng mga anggulong ito, na magpapatuloy kami bilang mga sumusunod: c t g (α + β) = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
8. Cotangent ng pagkakaiba . Ang formula ay katulad ng nauna, ngunit ang numerator at denominator ay minus, hindi plus c t g (α - β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β.
Marahil ay napansin mo na ang mga formula na ito ay magkapareho sa mga pares. Gamit ang mga sign na ± (plus-minus) at ∓ (minus-plus), maaari naming pangkatin ang mga ito para sa kadalian ng pag-record:
kasalanan (α ± β) = sin α · cos β ± cos α · sin β cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α · t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β
Alinsunod dito, mayroon kaming isang formula ng pag-record para sa kabuuan at pagkakaiba ng bawat halaga, sa isang kaso binibigyang-pansin namin ang itaas na tanda, sa isa pa - sa mas mababang isa.
Kahulugan 2
Maaari tayong kumuha ng anumang mga anggulo α at β, at ang mga pormula ng karagdagan para sa cosine at sine ay gagana para sa kanila. Kung maaari nating matukoy nang tama ang mga halaga ng mga tangent at cotangent ng mga anggulong ito, kung gayon ang mga formula ng karagdagan para sa tangent at cotangent ay magiging wasto din para sa kanila.
Tulad ng karamihan sa mga konsepto sa algebra, ang mga pormula ng karagdagan ay maaaring mapatunayan. Ang unang formula na ating papatunayan ay ang difference cosine formula. Ang iba pang ebidensya ay madaling mahihinuha mula rito.
Linawin natin ang mga pangunahing konsepto. Kakailanganin namin ang isang bilog ng yunit. Gagana ito kung kukuha tayo ng isang tiyak na punto A at paikutin ang mga anggulo α at β sa paligid ng gitna (punto O). Pagkatapos ang anggulo sa pagitan ng mga vectors O A 1 → at O A → 2 ay magiging katumbas ng (α - β) + 2 π · z o 2 π - (α - β) + 2 π · z (z ay anumang integer). Ang mga resultang vector ay bumubuo ng isang anggulo na katumbas ng α - β o 2 π - (α - β), o maaaring naiiba ito sa mga halagang ito sa pamamagitan ng isang integer na bilang ng mga buong rebolusyon. Tingnan ang larawan:
Ginamit namin ang mga formula ng pagbabawas at nakuha ang mga sumusunod na resulta:
cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)
Resulta: ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vectors O A 1 → at O A 2 → ay katumbas ng cosine ng anggulo α - β, samakatuwid, cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β).
Alalahanin natin ang mga kahulugan ng sine at cosine: ang sine ay isang function ng anggulo, katumbas ng ratio ng binti ng kabaligtaran na anggulo sa hypotenuse, ang cosine ay ang sine ng komplementaryong anggulo. Samakatuwid, ang mga puntos A 1 At A 2 may mga coordinate (cos α, sin α) at (cos β, sin β).
Nakukuha namin ang sumusunod:
O A 1 → = (cos α, sin α) at O A 2 → = (cos β, sin β)
Kung hindi malinaw, tingnan ang mga coordinate ng mga punto na matatagpuan sa simula at dulo ng mga vector.
Ang mga haba ng mga vector ay katumbas ng 1, dahil Mayroon kaming bilog na unit.
Suriin natin ngayon ang scalar product ng mga vectors O A 1 → at O A 2 → . Sa mga coordinate, ganito ang hitsura:
(O A 1 → , O A 2) → = cos α · cos β + sin α · sin β
Mula dito maaari nating makuha ang pagkakapantay-pantay:
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Kaya, ang pagkakaiba ng formula ng cosine ay napatunayan.
Ngayon ay patunayan natin ang sumusunod na formula - ang cosine ng kabuuan. Mas madali ito dahil magagamit natin ang mga nakaraang kalkulasyon. Kunin natin ang representasyon α + β = α - (- β) . Meron kami:
cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β
Ito ang patunay ng formula ng cosine sum. Ang huling linya ay gumagamit ng pag-aari ng sine at cosine ng magkasalungat na anggulo.
Ang formula para sa sine ng isang kabuuan ay maaaring makuha mula sa formula para sa cosine ng isang pagkakaiba. Kunin natin ang formula ng pagbabawas para dito:
ng anyong sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)). Kaya
sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β
At narito ang patunay ng pagkakaiba ng sine formula:
kasalanan (α - β) = kasalanan (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
Pansinin ang paggamit ng mga katangian ng sine at cosine ng magkasalungat na anggulo sa huling pagkalkula.
Susunod na kailangan namin ng mga patunay ng mga formula ng karagdagan para sa tangent at cotangent. Tandaan natin ang mga pangunahing kahulugan (ang tangent ay ang ratio ng sine sa cosine, at ang cotangent ay vice versa) at kunin ang mga formula na nakuha nang maaga. Ginawa namin ito:
t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β
Mayroon kaming isang kumplikadong fraction. Susunod, kailangan nating hatiin ang numerator at denominator nito sa cos α · cos β, dahil sa cos α ≠ 0 at cos β ≠ 0, nakukuha natin ang:
sin α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β = sin α · cos β cos α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β
Ngayon binabawasan namin ang mga fraction at makuha ang formula ang sumusunod na uri: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α · s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β .
Nakuha namin ang t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β. Ito ang patunay ng pormula ng tangent karagdagan.
Ang susunod na formula na ating papatunayan ay ang padaplis ng formula ng pagkakaiba. Ang lahat ay malinaw na ipinapakita sa mga kalkulasyon:
t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β
Ang mga formula para sa cotangent ay napatunayan sa katulad na paraan:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β = = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β sin α · sin β = cos α · cos β sin α · sin β - 1 sin α · cos β sin α · sin β + cos α · sin β sin α · sin β = = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
Dagdag pa:
c t g (α - β) = c t g (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β
Sa artikulong ito ay titingnan natin ang isang komprehensibong pagtingin. Basic trigonometriko pagkakakilanlan kumakatawan sa mga pagkakapantay-pantay na nagtatatag ng koneksyon sa pagitan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo, at nagpapahintulot sa isa na mahanap ang alinman sa mga trigonometrikong function na ito sa pamamagitan ng isang kilalang iba.
Ilista natin agad ang mga pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan na ating susuriin sa artikulong ito. Isulat natin ang mga ito sa isang talahanayan, at sa ibaba ay ibibigay natin ang output ng mga formula na ito at ibibigay ang mga kinakailangang paliwanag.
Pag-navigate sa pahina.
Relasyon sa pagitan ng sine at cosine ng isang anggulo
Minsan hindi nila pinag-uusapan ang mga pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan na nakalista sa talahanayan sa itaas, ngunit tungkol sa isang solong pangunahing trigonometriko pagkakakilanlan mabait 
. Ang paliwanag para sa katotohanang ito ay medyo simple: ang mga pagkakapantay-pantay ay nakuha mula sa pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan pagkatapos na hatiin ang parehong mga bahagi nito sa pamamagitan ng at, ayon sa pagkakabanggit, at ang mga pagkakapantay-pantay. 
At 
sundin mula sa mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent. Pag-uusapan natin ito nang mas detalyado sa mga sumusunod na talata.
Iyon ay, ito ay ang pagkakapantay-pantay na partikular na interes, na binigyan ng pangalan ng pangunahing trigonometric identity.
Bago patunayan ang pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan, ibinibigay namin ang pagbabalangkas nito: ang kabuuan ng mga parisukat ng sine at cosine ng isang anggulo ay magkaparehong katumbas ng isa. Ngayon patunayan natin.
Ang pangunahing trigonometriko pagkakakilanlan ay madalas na ginagamit kapag pag-convert ng mga trigonometrikong expression. Pinapayagan nito ang kabuuan ng mga parisukat ng sine at cosine ng isang anggulo na mapalitan ng isa. Hindi gaanong madalas ginagamit ang pangunahing trigonometric identity sa baligtarin ang pagkakasunod-sunod: ang yunit ay pinalitan ng kabuuan ng mga parisukat ng sine at cosine ng anumang anggulo.
Tangent at cotangent sa pamamagitan ng sine at cosine
Mga pagkakakilanlan na nag-uugnay sa tangent at cotangent na may sine at cosine ng isang anggulo ng view at 
sundin kaagad mula sa mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent. Sa katunayan, sa pamamagitan ng kahulugan, ang sine ay ang ordinate ng y, ang cosine ay ang abscissa ng x, ang tangent ay ang ratio ng ordinate sa abscissa, iyon ay, 
, at ang cotangent ay ang ratio ng abscissa sa ordinate, iyon ay, 
.
Salamat sa gayong kaliwanagan ng mga pagkakakilanlan at Ang tangent at cotangent ay madalas na tinutukoy hindi sa pamamagitan ng ratio ng abscissa at ordinate, ngunit sa pamamagitan ng ratio ng sine at cosine. Kaya ang tangent ng isang anggulo ay ang ratio ng sine sa cosine ng anggulong ito, at ang cotangent ay ang ratio ng cosine sa sine.
Sa pagtatapos ng talatang ito, dapat tandaan na ang mga pagkakakilanlan at magaganap para sa lahat ng mga anggulo kung saan may katuturan ang mga trigonometrikong function na kasama sa mga ito. Kaya't ang formula ay wasto para sa anumang , maliban sa (kung hindi, ang denominator ay magkakaroon ng zero, at hindi namin tinukoy ang dibisyon sa pamamagitan ng zero), at ang formula - para sa lahat , naiiba mula sa , kung saan ang z ay anuman .
Relasyon sa pagitan ng tangent at cotangent
Ang isang mas malinaw na trigonometric na pagkakakilanlan kaysa sa naunang dalawa ay ang pagkakakilanlan na nagkokonekta sa tangent at cotangent ng isang anggulo ng form . Ito ay malinaw na ito ay humahawak para sa anumang mga anggulo maliban sa , kung hindi man ang tangent o ang cotangent ay hindi tinukoy.
Patunay ng formula napakasimple. Sa pamamagitan ng kahulugan at mula saan 
. Ang patunay ay maaaring naisagawa nang medyo naiiba. Since , Iyon 
.
Kaya, ang tangent at cotangent ng parehong anggulo kung saan sila nagkakaroon ng kahulugan ay .
Sangguniang impormasyon sa trigonometric functions sine (sin x) at cosine (cos x). Geometric na kahulugan, mga katangian, mga graph, mga formula. Talaan ng mga sine at cosine, derivatives, integrals, series expansions, secant, cosecant. Mga expression sa pamamagitan ng mga kumplikadong variable. Koneksyon sa mga hyperbolic function.
Geometric na kahulugan ng sine at cosine
|BD|- haba ng arko ng isang bilog na may gitna sa isang punto A.
α
- anggulo na ipinahayag sa radians.
Kahulugan
Sine (sin α) ay isang trigonometric function depende sa anggulo α sa pagitan ng hypotenuse at ng binti ng isang right triangle, katumbas ng ratio ng haba ng tapat na binti |BC| sa haba ng hypotenuse |AC|.
Cosine (cos α) ay isang trigonometric function depende sa anggulo α sa pagitan ng hypotenuse at ng binti ng isang right triangle, katumbas ng ratio ng haba ng katabing binti |AB| sa haba ng hypotenuse |AC|.
Mga tinatanggap na notasyon
;
;
.
;
;
.
Graph ng sine function, y = sin x
Graph ng cosine function, y = cos x
Mga katangian ng sine at cosine
Periodicity
Mga function y = kasalanan x at y = kasi x periodic na may period 2π.
Pagkakapantay-pantay
Ang pag-andar ng sine ay kakaiba. Ang cosine function ay pantay.
Domain ng kahulugan at mga halaga, extrema, pagtaas, pagbaba
Ang mga function ng sine at cosine ay tuluy-tuloy sa kanilang domain ng kahulugan, iyon ay, para sa lahat ng x (tingnan ang patunay ng pagpapatuloy). Ang kanilang mga pangunahing katangian ay ipinakita sa talahanayan (n - integer).
| y = kasalanan x | y = kasi x | |
| Saklaw at pagpapatuloy | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Saklaw ng mga halaga | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| Tumataas | ||
| Pababa | ||
| Maxima, y = 1 | ||
| Minima, y = - 1 | ||
| Mga zero, y = 0 | ||
| Harangin ang mga puntos na may ordinate axis, x = 0 | y = 0 | y = 1 |
Mga pangunahing formula
Kabuuan ng mga parisukat ng sine at cosine
Mga formula para sa sine at cosine mula sa kabuuan at pagkakaiba
;
;
Mga formula para sa produkto ng mga sine at cosine
Mga formula ng kabuuan at pagkakaiba
Pagpapahayag ng sine sa pamamagitan ng cosine
;
;
;
.
Pagpapahayag ng cosine sa pamamagitan ng sine
;
;
;
.
Pagpapahayag sa pamamagitan ng tangent
; .
Kapag , mayroon tayong:
;
.
Sa:
;
.
Talaan ng mga sine at cosine, tangent at cotangent
Ipinapakita ng talahanayang ito ang mga halaga ng mga sine at cosine para sa ilang mga halaga ng argumento. 
Mga expression sa pamamagitan ng mga kumplikadong variable
;
Ang formula ni Euler
{ -∞ < x < +∞ }
Secant, cosecant
Mga kabaligtaran na pag-andar
Ang mga inverse function ng sine at cosine ay arcsine at arccosine, ayon sa pagkakabanggit.
Arcsine, arcsin
Arccosine, arccos
Mga sanggunian:
SA. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng matematika para sa mga inhinyero at mag-aaral sa kolehiyo, "Lan", 2009.
Ang mga konsepto ng sine (), cosine (), tangent (), cotangent () ay hindi mapaghihiwalay na nauugnay sa konsepto ng anggulo. Upang magkaroon ng isang mahusay na pag-unawa sa mga ito, sa unang sulyap, kumplikadong mga konsepto (na nagiging sanhi ng isang estado ng katakutan sa maraming mga mag-aaral), at upang matiyak na "ang diyablo ay hindi kasing kahila-hilakbot bilang siya ay ipininta," magsimula tayo sa simula pa lamang at nauunawaan ang konsepto ng isang anggulo.
Konsepto ng anggulo: radian, degree
Tingnan natin ang larawan. Ang vector ay "bumaling" na may kaugnayan sa punto sa pamamagitan ng isang tiyak na halaga. Kaya ang sukat ng pag-ikot na ito na may kaugnayan sa paunang posisyon ay magiging sulok.
Ano pa ang kailangan mong malaman tungkol sa konsepto ng anggulo? Well, siyempre, angle units!
Ang anggulo, sa parehong geometry at trigonometry, ay maaaring masukat sa mga degree at radian.
Ang anggulo (isang degree) ay ang gitnang anggulo sa isang bilog na nasa ilalim ng isang pabilog na arko na katumbas ng bahagi ng bilog. Kaya, ang buong bilog ay binubuo ng "mga piraso" ng mga pabilog na arko, o ang anggulo na inilarawan ng bilog ay pantay.
Iyon ay, ang figure sa itaas ay nagpapakita ng isang anggulo na katumbas ng, iyon ay, ang anggulong ito ay nakasalalay sa isang pabilog na arko ang laki ng circumference.
Ang isang anggulo sa radians ay ang gitnang anggulo sa isang bilog na nasa ilalim ng isang pabilog na arko na ang haba ay katumbas ng radius ng bilog. Well, naisip mo ba? Kung hindi, pagkatapos ay alamin natin ito mula sa pagguhit.
Kaya, ang figure ay nagpapakita ng isang anggulo na katumbas ng isang radian, iyon ay, ang anggulong ito ay nakasalalay sa isang pabilog na arko, ang haba nito ay katumbas ng radius ng bilog (ang haba ay katumbas ng haba o radius katumbas ng haba arko). Kaya, ang haba ng arko ay kinakalkula ng formula:
Nasaan ang gitnang anggulo sa radians.
Buweno, alam mo ba ito, maaari mo bang sagutin kung gaano karaming mga radian ang nakapaloob sa anggulo na inilarawan ng bilog? Oo, para dito kailangan mong tandaan ang formula para sa circumference. Narito siya:
Ngayon, iugnay natin ang dalawang formula na ito at hanapin na ang anggulo na inilalarawan ng bilog ay pantay. Iyon ay, sa pamamagitan ng pag-uugnay ng halaga sa mga degree at radian, nakukuha natin iyon. Kaugnay nito, . Tulad ng nakikita mo, hindi tulad ng "degrees", ang salitang "radian" ay tinanggal, dahil ang yunit ng pagsukat ay karaniwang malinaw mula sa konteksto.
Ilang radian ang mayroon? Tama iyan!
Nakuha ko? Pagkatapos ay magpatuloy at ayusin ito:
Nahihirapan? Tapos tignan mo mga sagot:
Kanang tatsulok: sine, cosine, tangent, cotangent ng anggulo
Kaya, nalaman namin ang konsepto ng isang anggulo. Ngunit ano ang sine, cosine, tangent, at cotangent ng isang anggulo? Alamin natin ito. Para dito makakatulong ito sa atin kanang tatsulok.
Ano ang tawag sa mga gilid ng right triangle? Tama iyon, hypotenuse at legs: ang hypotenuse ay ang gilid na nasa tapat ng tamang anggulo (sa aming halimbawa ito ang gilid); ang mga binti ay ang dalawang natitirang panig at (ang mga katabi ng tamang anggulo), at kung isasaalang-alang natin ang mga binti na may kaugnayan sa anggulo, kung gayon ang binti ay ang katabing binti, at ang binti ay ang kabaligtaran. Kaya, ngayon sagutin natin ang tanong: ano ang sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo?
Sine ng anggulo- ito ang ratio ng kabaligtaran (malayong) binti sa hypotenuse.
Sa ating tatsulok.
Cosine ng anggulo- ito ang ratio ng katabing (malapit) na binti sa hypotenuse.
Sa ating tatsulok.
Tangent ng anggulo- ito ang ratio ng kabaligtaran (malayong) gilid sa katabi (malapit).
Sa ating tatsulok.
Cotangent ng anggulo- ito ang ratio ng katabing (malapit) na binti sa kabaligtaran (malayo).
Sa ating tatsulok.
Ang mga kahulugang ito ay kinakailangan Tandaan! Upang gawing mas madaling matandaan kung aling binti ang hahatiin sa kung ano, kailangan mong malinaw na maunawaan iyon padaplis At cotangent ang mga binti lamang ang nakaupo, at ang hypotenuse ay lilitaw lamang sa sinus At cosine. At pagkatapos ay maaari kang makabuo ng isang hanay ng mga asosasyon. Halimbawa, ang isang ito:
Cosine → touch → touch → katabi;
Cotangent → touch → touch → katabi.
Una sa lahat, kailangan mong tandaan na ang sine, cosine, tangent at cotangent dahil ang mga ratio ng mga gilid ng isang tatsulok ay hindi nakasalalay sa mga haba ng mga panig na ito (sa parehong anggulo). Hindi naniniwala? Pagkatapos ay siguraduhin sa pamamagitan ng pagtingin sa larawan:
Isaalang-alang, halimbawa, ang cosine ng isang anggulo. Sa pamamagitan ng kahulugan, mula sa isang tatsulok: , ngunit maaari nating kalkulahin ang cosine ng isang anggulo mula sa isang tatsulok: . Nakikita mo, ang mga haba ng mga gilid ay iba, ngunit ang halaga ng cosine ng isang anggulo ay pareho. Kaya, ang mga halaga ng sine, cosine, tangent at cotangent ay nakasalalay lamang sa magnitude ng anggulo.
Kung naiintindihan mo ang mga kahulugan, pagkatapos ay ipagpatuloy at pagsamahin ang mga ito!
Para sa tatsulok na ipinapakita sa figure sa ibaba, nakita namin.
Well, nakuha mo ba? Pagkatapos ay subukan ito sa iyong sarili: kalkulahin ang pareho para sa anggulo.
Unit (trigonometric) bilog
Sa pag-unawa sa mga konsepto ng degrees at radians, isinasaalang-alang namin ang isang bilog na may katumbas na radius. Ang ganitong bilog ay tinatawag walang asawa. Ito ay magiging lubhang kapaki-pakinabang kapag nag-aaral ng trigonometrya. Samakatuwid, tingnan natin ito nang mas detalyado.
Tulad ng nakikita mo, ang bilog na ito ay itinayo sa Cartesian coordinate system. Ang radius ng bilog ay katumbas ng isa, habang ang gitna ng bilog ay nasa pinagmulan ng mga coordinate, ang paunang posisyon ng radius vector ay naayos kasama ang positibong direksyon ng axis (sa aming halimbawa, ito ang radius).
Ang bawat punto sa bilog ay tumutugma sa dalawang numero: ang axis coordinate at ang axis coordinate. Ano ang mga coordinate number na ito? At sa pangkalahatan, ano ang kinalaman nila sa paksang nasa kamay? Upang gawin ito, kailangan nating tandaan ang tungkol sa itinuturing na tamang tatsulok. Sa figure sa itaas, makikita mo ang dalawang buong right triangle. Isaalang-alang ang isang tatsulok. Ito ay hugis-parihaba dahil ito ay patayo sa axis.
Ano ang katumbas ng tatsulok? Tama iyan. Bilang karagdagan, alam natin na iyon ang radius ng bilog ng yunit, na nangangahulugang . I-substitute natin ang value na ito sa ating formula para sa cosine. Narito kung ano ang mangyayari:
Ano ang katumbas ng tatsulok? Aba, syempre,! Palitan ang halaga ng radius sa formula na ito at makuha ang:
Kaya, masasabi mo ba kung anong mga coordinate ang mayroon ang isang puntong kabilang sa isang bilog? Well, hindi pwede? Paano kung napagtanto mo iyon at mga numero lamang? Saang coordinate ito tumutugma? Well, siyempre, ang mga coordinate! At sa anong coordinate ito tumutugma? Tama, mga coordinate! Kaya, panahon.
Ano ang at katumbas ng? Tama, gamitin natin ang kaukulang mga kahulugan ng tangent at cotangent at makuha iyon, a.
Paano kung mas malaki ang anggulo? Halimbawa, tulad ng sa larawang ito:
Ano ang nagbago sa halimbawang ito? Alamin natin ito. Upang gawin ito, lumiko tayo muli sa isang kanang tatsulok. Isaalang-alang ang isang tamang tatsulok: anggulo (bilang katabi ng isang anggulo). Ano ang mga halaga ng sine, cosine, tangent at cotangent para sa isang anggulo? Tama, sumunod kami sa kaukulang mga kahulugan ng trigonometriko function:
Well, tulad ng nakikita mo, ang halaga ng sine ng anggulo ay tumutugma pa rin sa coordinate; ang halaga ng cosine ng anggulo - ang coordinate; at ang mga halaga ng tangent at cotangent sa kaukulang mga ratio. Kaya, ang mga relasyon na ito ay nalalapat sa anumang pag-ikot ng radius vector.
Nabanggit na na ang paunang posisyon ng radius vector ay kasama ang positibong direksyon ng axis. Sa ngayon ay pinaikot natin ang vector na ito nang pakaliwa, ngunit ano ang mangyayari kung paikutin natin ito nang pakanan? Walang kakaiba, makakakuha ka rin ng isang anggulo ng isang tiyak na halaga, ngunit ito lamang ang magiging negatibo. Kaya, kapag umiikot ang radius vector pakaliwa, nakukuha namin mga positibong anggulo , at kapag umiikot pakanan - negatibo.
Kaya, alam natin na ang isang buong rebolusyon ng radius vector sa paligid ng isang bilog ay o. Posible bang paikutin ang radius vector sa o sa? Well, siyempre kaya mo! Sa unang kaso, samakatuwid, ang radius vector ay gagawa ng isang buong rebolusyon at hihinto sa posisyon o.
Sa pangalawang kaso, iyon ay, ang radius vector ay gagawa ng tatlong buong rebolusyon at hihinto sa posisyon o.
Kaya, mula sa mga halimbawa sa itaas maaari nating tapusin na ang mga anggulo na naiiba ng o (kung saan ang anumang integer) ay tumutugma sa parehong posisyon ng radius vector.
Ang figure sa ibaba ay nagpapakita ng isang anggulo. Ang parehong imahe ay tumutugma sa sulok, atbp. Ang listahang ito ay maaaring ipagpatuloy nang walang katapusan. Ang lahat ng mga anggulong ito ay maaaring isulat ng pangkalahatang formula o (kung saan ang anumang integer)
Ngayon, alam ang mga kahulugan ng mga pangunahing pag-andar ng trigonometriko at gamit ang bilog ng yunit, subukang sagutin kung ano ang mga halaga:
Narito ang isang unit circle para tulungan ka:
Nahihirapan? Pagkatapos ay alamin natin ito. Kaya alam natin na:
Mula dito, tinutukoy namin ang mga coordinate ng mga punto na naaayon sa ilang mga sukat ng anggulo. Well, magsimula tayo sa pagkakasunud-sunod: ang anggulo sa ay tumutugma sa isang punto na may mga coordinate, samakatuwid:
Hindi umiiral;
Dagdag pa, ang pagsunod sa parehong lohika, nalaman namin na ang mga sulok ay tumutugma sa mga puntos na may mga coordinate, ayon sa pagkakabanggit. Alam ito, madaling matukoy ang mga halaga ng mga function ng trigonometriko sa kaukulang mga punto. Subukan mo muna ito sa iyong sarili, at pagkatapos ay suriin ang mga sagot.
Mga sagot:
ay wala
ay wala
ay wala
ay wala
Kaya, maaari naming gawin ang sumusunod na talahanayan:
Hindi na kailangang tandaan ang lahat ng mga halagang ito. Ito ay sapat na upang matandaan ang pagsusulatan sa pagitan ng mga coordinate ng mga puntos sa bilog ng yunit at ang mga halaga ng mga function ng trigonometriko:
Ngunit ang mga halaga ng trigonometric function ng mga anggulo sa at, na ibinigay sa talahanayan sa ibaba, dapat tandaan:
Huwag matakot, ngayon ay magpapakita kami sa iyo ng isang halimbawa medyo simple upang matandaan ang kaukulang mga halaga:
Upang magamit ang pamamaraang ito, mahalagang tandaan ang mga halaga ng sine para sa lahat ng tatlong sukat ng anggulo (), pati na rin ang halaga ng tangent ng anggulo. Alam ang mga halagang ito, medyo simple na ibalik ang buong talahanayan - ang mga halaga ng cosine ay inililipat alinsunod sa mga arrow, iyon ay:
Alam ito, maaari mong ibalik ang mga halaga para sa. Ang numerator na " " ay tutugma at ang denominator " " ay tutugma. Ang mga halaga ng cotangent ay inililipat alinsunod sa mga arrow na ipinahiwatig sa figure. Kung naiintindihan mo ito at naaalala ang diagram na may mga arrow, sapat na upang matandaan ang lahat ng mga halaga mula sa talahanayan.
Mga coordinate ng isang punto sa isang bilog
Posible bang makahanap ng isang punto (mga coordinate nito) sa isang bilog, alam ang mga coordinate ng sentro ng bilog, ang radius nito at anggulo ng pag-ikot?
Well, siyempre kaya mo! Ilabas na natin pangkalahatang pormula upang mahanap ang mga coordinate ng isang punto.
Halimbawa, narito ang isang bilog sa harap namin:
Ibinigay sa amin na ang punto ay ang sentro ng bilog. Ang radius ng bilog ay pantay. Ito ay kinakailangan upang mahanap ang mga coordinate ng isang punto na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng punto sa pamamagitan ng degrees.
Tulad ng makikita mula sa figure, ang coordinate ng punto ay tumutugma sa haba ng segment. Ang haba ng segment ay tumutugma sa coordinate ng gitna ng bilog, iyon ay, ito ay pantay. Ang haba ng isang segment ay maaaring ipahayag gamit ang kahulugan ng cosine:
Tapos meron tayo niyan para sa point coordinate.
Gamit ang parehong lohika, nakita namin ang y coordinate na halaga para sa punto. kaya,
Kaya, sa pangkalahatang pananaw Ang mga coordinate ng mga puntos ay tinutukoy ng mga formula:
Mga coordinate ng gitna ng bilog,
radius ng bilog,
Ang anggulo ng pag-ikot ng radius ng vector.
Tulad ng nakikita mo, para sa bilog ng yunit na aming isinasaalang-alang, ang mga formula na ito ay makabuluhang nabawasan, dahil ang mga coordinate ng sentro ay katumbas ng zero at ang radius ay katumbas ng isa:
Well, subukan natin ang mga formula na ito sa pamamagitan ng pagsasanay sa paghahanap ng mga puntos sa isang bilog?
1. Hanapin ang mga coordinate ng isang punto sa bilog ng yunit na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng punto sa.
2. Hanapin ang mga coordinate ng isang punto sa bilog ng yunit na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng punto sa.
3. Hanapin ang mga coordinate ng isang punto sa bilog ng yunit na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng punto sa.
4. Ang punto ay ang sentro ng bilog. Ang radius ng bilog ay pantay. Ito ay kinakailangan upang mahanap ang mga coordinate ng punto na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng paunang radius vector sa pamamagitan ng.
5. Ang punto ay ang sentro ng bilog. Ang radius ng bilog ay pantay. Ito ay kinakailangan upang mahanap ang mga coordinate ng punto na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng paunang radius vector sa pamamagitan ng.
Nagkakaproblema sa paghahanap ng mga coordinate ng isang punto sa isang bilog?
Lutasin ang limang halimbawang ito (o maging mahusay sa paglutas ng mga ito) at matututunan mong hanapin ang mga ito!
1.
Mapapansin mo yan. Ngunit alam natin kung ano ang tumutugma sa isang buong rebolusyon ng panimulang punto. Kaya, ang nais na punto ay nasa parehong posisyon tulad ng kapag lumiliko sa. Sa pag-alam nito, nakita namin ang kinakailangang mga coordinate ng punto:
2. Ang bilog ng yunit ay nakasentro sa isang punto, na nangangahulugang maaari tayong gumamit ng mga pinasimpleng formula:
Mapapansin mo yan. Alam natin kung ano ang katumbas ng dalawa buong bilis panimulang punto. Kaya, ang nais na punto ay nasa parehong posisyon tulad ng kapag lumiliko sa. Sa pag-alam nito, nakita namin ang kinakailangang mga coordinate ng punto:
Ang sine at cosine ay mga halaga ng talahanayan. Naaalala namin ang kanilang mga kahulugan at nakuha:
Kaya, ang nais na punto ay may mga coordinate.
3. Ang bilog ng yunit ay nakasentro sa isang punto, na nangangahulugang maaari tayong gumamit ng mga pinasimpleng formula:
Mapapansin mo yan. Ilarawan natin ang halimbawang pinag-uusapan sa figure:
Ang radius ay gumagawa ng mga anggulo na katumbas ng at may axis. Ang pag-alam na ang mga halaga ng talahanayan ng cosine at sine ay pantay, at nang matukoy na ang cosine dito ay kumukuha ng negatibong halaga at ang sine ay kumukuha ng positibong halaga, mayroon tayo:
Higit pang mga detalye katulad na mga halimbawa ay nauunawaan kapag nag-aaral ng mga formula para sa pagbabawas ng mga function ng trigonometriko sa paksa.
Kaya, ang nais na punto ay may mga coordinate.
4.
Anggulo ng pag-ikot ng radius ng vector (ayon sa kondisyon)
Upang matukoy ang kaukulang mga palatandaan ng sine at cosine, bumuo kami ng isang bilog at anggulo ng yunit:
Tulad ng makikita mo, ang halaga, iyon ay, ay positibo, at ang halaga, iyon ay, ay negatibo. Alam ang mga halaga ng tabular ng kaukulang mga function ng trigonometriko, nakuha namin na:
Palitan natin ang nakuha na mga halaga sa aming formula at hanapin ang mga coordinate:
Kaya, ang nais na punto ay may mga coordinate.
5. Upang malutas ang problemang ito, gumagamit kami ng mga formula sa pangkalahatang anyo, kung saan
Mga coordinate ng gitna ng bilog (sa aming halimbawa,
Circle radius (ayon sa kondisyon)
Anggulo ng pag-ikot ng radius ng vector (ayon sa kondisyon).
Palitan natin ang lahat ng mga halaga sa formula at makuha ang:
at - mga halaga ng talahanayan. Tandaan at palitan natin ang mga ito sa formula:
Kaya, ang nais na punto ay may mga coordinate.
BUOD AT BATAYANG FORMULA
Ang sine ng isang anggulo ay ang ratio ng kabaligtaran (malayong) binti sa hypotenuse.
Ang cosine ng isang anggulo ay ang ratio ng katabing (malapit) na binti sa hypotenuse.
Ang tangent ng isang anggulo ay ang ratio ng kabaligtaran (malayo) na bahagi sa katabing (malapit) na bahagi.
Ang cotangent ng isang anggulo ay ang ratio ng katabing (malapit) na bahagi sa kabaligtaran (malayong) gilid.