Mga layunin ng aralin:

1. Pang-edukasyon:

Ipakilala ang konsepto ng parallelepiped at mga uri nito;
- bumalangkas (gamit ang pagkakatulad sa isang parallelogram at isang parihaba) at patunayan ang mga katangian ng isang parallelepiped at isang cuboid;
- ulitin ang mga tanong na may kaugnayan sa parallelism at perpendicularity sa espasyo.

2. Pag-unlad:

Patuloy na paunlarin ang gayong mga kasanayan sa mga mag-aaral mga prosesong nagbibigay-malay bilang pang-unawa, pag-unawa, pag-iisip, pansin, memorya;
- isulong ang pagbuo ng mga elemento sa mga mag-aaral malikhaing aktibidad bilang mga katangian ng pag-iisip (intuwisyon, spatial na pag-iisip);
- upang mabuo sa mga mag-aaral ang kakayahang gumawa ng mga konklusyon, kabilang ang sa pamamagitan ng pagkakatulad, na tumutulong upang maunawaan ang mga intra-subject na koneksyon sa geometry.

3. Pang-edukasyon:

Mag-ambag sa pagbuo ng organisasyon at mga gawi ng sistematikong gawain;
- mag-ambag sa pagbuo ng mga kasanayan sa aesthetic kapag gumagawa ng mga tala at paggawa ng mga guhit.

Uri ng aralin: bagong materyal sa pagkatuto ng aralin (2 oras).

Istraktura ng aralin:

1. Organisasyon sandali.
2. Pag-update ng kaalaman.
3. Pag-aaral ng bagong materyal.
4. Pagbubuod at pagtatakda ng takdang-aralin.

Kagamitan: mga poster (slide) na may ebidensya, mga modelo ng iba't ibang geometric na katawan, kabilang ang lahat ng uri ng parallelepiped, graphic projector.

Sa panahon ng mga klase.

1. Organisasyon sandali.

2. Pag-update ng kaalaman.

Pakikipag-usap sa paksa ng aralin, pagbabalangkas ng mga layunin at layunin kasama ng mga mag-aaral, na nagpapakita ng praktikal na kahalagahan ng pag-aaral ng paksa, pag-uulit ng mga naunang pinag-aralan na isyu na may kaugnayan sa paksang ito.

3. Pag-aaral ng bagong materyal.

3.1. Parallelepiped at mga uri nito.

Ang mga modelo ng parallelepiped ay ipinakita, na tinutukoy ang kanilang mga tampok, na tumutulong sa pagbabalangkas ng kahulugan ng isang parallelepiped gamit ang konsepto ng isang prisma.

Kahulugan:

parallelepiped tinatawag na prisma na ang base ay paralelogram.

Ang isang pagguhit ng isang parallelepiped ay ginawa (Figure 1), ang mga elemento ng isang parallelepiped bilang isang espesyal na kaso ng isang prisma ay nakalista. Ipinapakita ang slide 1.

Schematic notation ng kahulugan:

Ang mga konklusyon mula sa kahulugan ay nabuo:

1) Kung ang ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ay isang prisma at ang ABCD ay isang paralelogram, kung gayon ang ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - parallelepiped.

2) Kung ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – parallelepiped, pagkatapos ay ang ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ay isang prisma at ang ABCD ay isang paralelogram.

3) Kung ang ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ay hindi isang prisma o ang ABCD ay hindi isang paralelogram, kung gayon
ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – hindi parallelepiped.

4) . Kung ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – hindi parallelepiped, kung gayon ang ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ay hindi isang prisma o ang ABCD ay hindi isang paralelogram.

Susunod, ang mga espesyal na kaso ng isang parallelepiped ay isinasaalang-alang sa pagtatayo ng isang scheme ng pag-uuri (tingnan ang Fig. 3), ang mga modelo ay ipinakita, ang mga katangian ng katangian ng tuwid at hugis-parihaba na parallelepiped ay naka-highlight, at ang kanilang mga kahulugan ay nabuo.

Kahulugan:

Ang parallelepiped ay tinatawag na tuwid kung ito gilid tadyang patayo sa base.

Kahulugan:

Ang parallelepiped ay tinatawag hugis-parihaba, kung ang mga gilid na gilid nito ay patayo sa base, at ang base ay isang parihaba (tingnan ang Larawan 2).

Matapos itala ang mga kahulugan sa isang eskematiko na anyo, ang mga konklusyon mula sa kanila ay nabuo.

3.2. Mga katangian ng parallelepipeds.

Maghanap ng mga planimetric figure, ang spatial analogues na parallelepiped at cuboid (parallelogram at rectangle). Sa kasong ito, nakikitungo tayo sa visual na pagkakapareho ng mga figure. Gamit ang inference rule sa pamamagitan ng pagkakatulad, ang mga talahanayan ay pinupunan.

Panuntunan ng hinuha sa pamamagitan ng pagkakatulad:

1. Pumili sa naunang pinag-aralan figure figure, katulad ng isang ito.
2. Bumuo ng katangian ng napiling pigura.
3. Bumuo ng katulad na katangian ng orihinal na pigura.
4. Patunayan o pabulaanan ang nabuong pahayag.

Matapos mabuo ang mga katangian, ang patunay ng bawat isa sa kanila ay isinasagawa ayon sa sumusunod na pamamaraan:

• talakayan ng patunay na plano;
• pagpapakita ng slide na may ebidensya (slide 2 – 6);
• Mga mag-aaral na kumukumpleto ng ebidensya sa kanilang mga kuwaderno.

3.3 Kubo at mga katangian nito.

Kahulugan: Ang kubo ay isang parihabang parallelepiped kung saan ang lahat ng tatlong dimensyon ay pantay.

Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa isang parallelepiped, ang mga mag-aaral ay nakapag-iisa na gumawa ng isang eskematiko na notasyon ng kahulugan, nakakakuha ng mga kahihinatnan mula dito at bumalangkas ng mga katangian ng kubo.

4. Pagbubuod at pagtatakda ng takdang-aralin.

Takdang aralin:

1. Gamit ang mga tala ng aralin mula sa geometry textbook para sa mga baitang 10-11, L.S. Atanasyan at iba pa, pag-aralan ang Kabanata 1, §4, parapo 13, Kabanata 2, §3, parapo 24.
2. Patunayan o pabulaanan ang ari-arian ng isang parallelepiped, item 2 ng talahanayan.
3. Sagutin ang mga tanong sa seguridad.

Kontrolin ang mga tanong.

1. Nabatid na dalawang gilid lamang na mukha ng parallelepiped ang patayo sa base. Anong uri ng parallelepiped?

2. Ilang side faces ng isang parihabang hugis ang maaaring magkaroon ng parallelepiped?

3. Posible bang magkaroon ng parallelepiped na may isang gilid lamang na mukha:

1) patayo sa base;
2) ay may hugis ng isang parihaba.

4. Sa isang kanang parallelepiped, lahat ng diagonal ay pantay. Ito ba ay hugis-parihaba?

5. Totoo ba na sa isang kanang parallelepiped ang mga diagonal na seksyon ay patayo sa mga eroplano ng base?

6. Sabihin ang converse theorem sa theorem tungkol sa square ng diagonal ng isang rectangular parallelepiped.

7. Anong mga karagdagang tampok ang nakikilala sa isang kubo mula sa isang parihabang parallelepiped?

8. Ang parallelepiped ba ay magiging isang cube kung saan ang lahat ng mga gilid sa isa sa mga vertices ay pantay?

9. Sabihin ang teorama sa parisukat ng dayagonal ng isang cuboid para sa kaso ng isang kubo.

Sa araling ito, mapag-aaralan ng lahat ang paksang “ Parihabang parallelepiped" Sa simula ng aralin, uulitin natin kung ano ang mga arbitrary at tuwid na parallelepiped, alalahanin ang mga katangian ng kanilang mga kabaligtaran na mukha at mga dayagonal ng parallelepiped. Pagkatapos ay titingnan natin kung ano ang isang cuboid at tatalakayin ang mga pangunahing katangian nito.

Paksa: Perpendicularity ng mga linya at eroplano

Aralin: Kuboid

Ang ibabaw na binubuo ng dalawang magkaparehong parallelograms ABCD at A 1 B 1 C 1 D 1 at apat na parallelograms ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 ay tinatawag parallelepiped(Larawan 1).

kanin. 1 Parallelepiped

Iyon ay: mayroon kaming dalawang magkaparehong parallelogram na ABCD at A 1 B 1 C 1 D 1 (mga base), nakahiga sila sa parallel na eroplano upang ang mga gilid ng gilid AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 ay parallel. Kaya, ang isang ibabaw na binubuo ng mga paralelogram ay tinatawag parallelepiped.

Kaya, ang ibabaw ng isang parallelepiped ay ang kabuuan ng lahat ng parallelograms na bumubuo sa parallelepiped.

1. Ang kabaligtaran ng mga mukha ng isang parallelepiped ay parallel at pantay.

(ang mga hugis ay pantay-pantay, iyon ay, maaari silang pagsamahin sa pamamagitan ng magkakapatong)

Halimbawa:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (katumbas ng mga paralelogram ayon sa kahulugan),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (dahil ang AA 1 B 1 B at DD 1 C 1 C ay magkatapat na mukha ng parallelepiped),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (dahil ang AA 1 D 1 D at BB 1 C 1 C ay magkatapat na mukha ng parallelepiped).

2. Ang mga diagonal ng isang parallelepiped ay nagsalubong sa isang punto at nahahati sa puntong ito.

Ang mga diagonal ng parallelepiped AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B ay nagsalubong sa isang punto O, at ang bawat dayagonal ay nahahati sa kalahati sa puntong ito (Fig. 2).

kanin. 2 Ang mga dayagonal ng isang parallelepiped ay nagsalubong at nahahati sa kalahati ng intersection point.

3. Mayroong tatlong quadruples ng pantay at magkatulad na mga gilid ng isang parallelepiped: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.

Kahulugan. Ang isang parallelepiped ay tinatawag na tuwid kung ang mga lateral edge nito ay patayo sa mga base.

Hayaang ang gilid ng gilid AA 1 ay patayo sa base (Larawan 3). Nangangahulugan ito na ang tuwid na linya AA 1 ay patayo sa mga tuwid na linya AD at AB, na nasa eroplano ng base. Nangangahulugan ito na ang mga gilid na mukha ay naglalaman ng mga parihaba. At ang mga base ay naglalaman ng mga di-makatwirang paralelogram. Ipahiwatig natin ang ∠BAD = φ, ang anggulo φ ay maaaring maging anuman.

kanin. 3 Kanang parallelepiped

Kaya, ang isang kanang parallelepiped ay isang parallelepiped kung saan ang mga gilid ng gilid ay patayo sa mga base ng parallelepiped.

Kahulugan. Ang parallelepiped ay tinatawag na hugis-parihaba, kung ang mga gilid nito ay patayo sa base. Ang mga base ay mga parihaba.

Ang parallelepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ay hugis-parihaba (Fig. 4), kung:

1. AA 1 ⊥ ABCD (lateral edge patayo sa eroplano ng base, iyon ay, isang tuwid na parallelepiped).

2. ∠BAD = 90°, ibig sabihin, ang base ay isang parihaba.

kanin. 4 Parihabang parallelepiped

Ang isang parihabang parallelepiped ay may lahat ng mga katangian ng isang arbitrary parallelepiped. Ngunit may mga karagdagang katangian na nagmula sa kahulugan ng isang cuboid.

Kaya, kuboid ay isang parallelepiped na ang mga gilid ng gilid ay patayo sa base. Ang base ng isang cuboid ay isang parihaba.

1. Sa isang parihabang parallelepiped, lahat ng anim na mukha ay mga parihaba.

Ang ABCD at A 1 B 1 C 1 D 1 ay mga parihaba ayon sa kahulugan.

2. Ang mga lateral ribs ay patayo sa base. Nangangahulugan ito na ang lahat ng mga lateral na mukha ng isang parihabang parallelepiped ay mga parihaba.

3. Ang lahat ng mga dihedral na anggulo ng isang parihabang parallelepiped ay tama.

Isaalang-alang natin, halimbawa, ang dihedral na anggulo ng isang parihabang parallelepiped na may gilid AB, ibig sabihin, ang dihedral na anggulo sa pagitan ng mga eroplanong ABC 1 at ABC.

Ang AB ay isang gilid, ang punto A 1 ay nasa isang eroplano - sa eroplanong ABB 1, at ang punto D sa kabilang banda - sa eroplano A 1 B 1 C 1 D 1. Kung gayon ang anggulo ng dihedral na isinasaalang-alang ay maaari ding tukuyin bilang mga sumusunod: ∠A 1 ABD.

Kunin natin ang point A sa gilid AB. Ang AA 1 ay patayo sa gilid ng AB sa eroplanong АВВ-1, ang AD ay patayo sa gilid ng AB sa eroplanong ABC. Nangangahulugan ito na ang ∠A 1 AD ay ang linear na anggulo ng isang ibinigay na anggulo ng dihedral. ∠A 1 AD = 90°, na nangangahulugan na ang dihedral na anggulo sa gilid AB ay 90°.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

Katulad nito, napatunayan na ang anumang dihedral na anggulo ng isang parihabang parallelepiped ay tama.

Ang parisukat ng dayagonal ng isang parihabang parallelepiped ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng tatlong dimensyon nito.

Tandaan. Ang mga haba ng tatlong gilid na nagmumula sa isang vertex ng isang cuboid ay ang mga sukat ng cuboid. Minsan tinatawag silang haba, lapad, taas.

Ibinigay: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - parihabang parallelepiped (Larawan 5).

Patunayan: .

kanin. 5 Parihabang parallelepiped

Patunay:

Ang tuwid na linya CC 1 ay patayo sa eroplanong ABC, at samakatuwid ay sa tuwid na linya AC. Nangangahulugan ito na ang tatsulok na CC 1 A ay right-angled. Ayon sa Pythagorean theorem:

Isaalang-alang natin kanang tatsulok ABC. Ayon sa Pythagorean theorem:

Ngunit ang BC at AD ay magkasalungat na gilid ng parihaba. Kaya BC = AD. Pagkatapos:

kasi , A , Iyon. Dahil CC 1 = AA 1, ito ang kailangang patunayan.

Ang mga diagonal ng isang parihabang parallelepiped ay pantay.

Tukuyin natin ang mga sukat ng parallelepiped ABC bilang a, b, c (tingnan ang Fig. 6), pagkatapos AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

Sa geometry mga pangunahing konsepto ay eroplano, punto, tuwid na linya at anggulo. Gamit ang mga terminong ito, maaari mong ilarawan ang anumang geometric figure. Karaniwang inilalarawan ang polyhedra sa mga tuntunin ng mas simpleng mga figure na nakahiga sa parehong eroplano, tulad ng isang bilog, tatsulok, parisukat, parihaba, atbp. Sa artikulong ito titingnan natin kung ano ang isang parallelepiped, ilarawan ang mga uri ng parallelepiped, mga katangian nito, kung anong mga elemento ang binubuo nito, at ibibigay din ang mga pangunahing formula para sa pagkalkula ng lugar at dami para sa bawat uri ng parallelepiped.

Kahulugan

Ang parallelepiped sa three-dimensional na espasyo ay isang prisma, ang lahat ng panig nito ay parallelograms. Alinsunod dito, maaari lamang itong magkaroon ng tatlong pares ng parallel parallelograms o anim na mukha.

Upang mailarawan ang isang parallelepiped, isipin ang isang ordinaryong karaniwang brick. Brick - magandang halimbawa isang parihabang parallelepiped na kahit isang bata ay maiisip. Kasama sa iba pang mga halimbawa ang mga multi-storey panel house, cabinet, storage container produktong pagkain angkop na anyo, atbp.

Mga uri ng figure

Mayroon lamang dalawang uri ng parallelepipeds:

1. Parihaba, ang lahat ng panig na mukha nito ay nasa anggulong 90° sa base at mga parihaba.
2. Sloping, ang mga gilid ng gilid na kung saan ay matatagpuan sa isang tiyak na anggulo sa base.

Anong mga elemento ang maaaring hatiin ang figure na ito?

• Tulad ng sa anumang iba pang geometric figure, sa isang parallelepiped anumang 2 mukha na may isang karaniwang gilid ay tinatawag na katabi, at ang mga wala nito ay parallel (batay sa pag-aari ng isang parallelogram, na may mga pares ng parallel na magkabilang panig).
• Ang mga vertices ng isang parallelepiped na hindi nakahiga sa parehong mukha ay tinatawag na kabaligtaran.
• Ang segment na nagkokonekta sa naturang mga vertex ay isang dayagonal.
• Ang mga haba ng tatlong gilid ng isang cuboid na nagtatagpo sa isang vertex ay ang mga sukat nito (ibig sabihin, ang haba, lapad at taas nito).

Mga Katangian ng Hugis

1. Ito ay palaging binuo ng simetriko na may paggalang sa gitna ng dayagonal.
2. Ang intersection point ng lahat ng diagonal ay naghahati sa bawat diagonal sa dalawang pantay na segment.
3. Ang magkasalungat na mukha ay pantay ang haba at nakahiga sa magkatulad na linya.
4. Kung idaragdag mo ang mga parisukat ng lahat ng dimensyon ng isang parallelepiped, ang magreresultang halaga ay magiging katumbas ng parisukat ng haba ng dayagonal.

Mga formula ng pagkalkula

Magiiba ang mga formula para sa bawat partikular na kaso ng parallelepiped.

Para sa isang arbitrary na parallelepiped, totoo na ang dami nito ay katumbas ng ganap na halaga ng triple scalar product ng mga vector ng tatlong panig na nagmumula sa isang vertex. Gayunpaman, walang formula para sa pagkalkula ng dami ng isang arbitrary na parallelepiped.

Para sa isang parihabang parallelepiped ang mga sumusunod na formula ay nalalapat:

• V=a*b*c;
• Sb=2*c*(a+b);
• Sp=2*(a*b+b*c+a*c).

• V - dami ng figure;
• Sb - lateral surface area;
• Sp - lugar buong ibabaw;
• a - haba;
• b - lapad;
• c - taas.

Ang isa pang espesyal na kaso ng parallelepiped kung saan ang lahat ng panig ay parisukat ay isang kubo. Kung ang alinman sa mga gilid ng parisukat ay itinalaga ng titik a, kung gayon ang mga sumusunod na formula ay maaaring gamitin para sa ibabaw na lugar at dami ng figure na ito:

• S=6*a*2;
• V=3*a.

• S- lugar ng figure,
• Ang V ay ang dami ng figure,
• a ay ang haba ng mukha ng pigura.

Ang huling uri ng parallelepiped na aming isinasaalang-alang ay isang tuwid na parallelepiped. Ano ang pagkakaiba sa pagitan ng isang right parallelepiped at isang cuboid, itatanong mo. Ang katotohanan ay ang base ng isang rectangular parallelepiped ay maaaring maging anumang parallelogram, ngunit ang base ng isang straight parallelepiped ay maaari lamang maging isang rectangle. Kung tukuyin natin ang perimeter ng base, katumbas ng kabuuan ng mga haba ng lahat ng panig, bilang Po, at tukuyin ang taas ng titik h, may karapatan tayong gamitin ang mga sumusunod na formula upang kalkulahin ang volume at mga lugar ng kabuuang at mga lateral surface.

Ang parallelepiped ay isang prisma na ang mga base ay parallelograms. Sa kasong ito, ang lahat ng mga gilid ay magiging paralelograms.
Ang bawat parallelepiped ay maaaring ituring bilang isang prisma na may tatlo iba't ibang paraan, dahil ang bawat dalawang magkasalungat na mukha ay maaaring kunin bilang mga base (sa Figure 5, nakaharap sa ABCD at A"B"C"D", o ABA"B" at CDC"D", o VSV"C" at ADA"D") .
Ang katawan na pinag-uusapan ay may labindalawang mga gilid, apat na pantay at parallel sa bawat isa.
Teorama 3 . Ang mga diagonal ng isang parallelepiped ay nagsalubong sa isang punto, na tumutugma sa gitna ng bawat isa sa kanila.
Ang parallelepiped ABCDA"B"C"D" (Fig. 5) ay may apat na diagonal AC", BD", CA", DB". Dapat nating patunayan na ang mga midpoint ng alinman sa mga ito, halimbawa AC at BD", ay nag-tutugma. Ito ay sumusunod mula sa katotohanan na ang figure na ABC"D", na may pantay at magkatulad na panig AB at C"D", ay isang paralelogram.
Kahulugan 7 . Ang kanang parallelepiped ay isang parallelepiped na isa ring tuwid na prisma, iyon ay, isang parallelepiped na ang mga gilid ng gilid ay patayo sa eroplano ng base.
Kahulugan 8 . Ang isang parihabang parallelepiped ay isang kanang parallelepiped na ang base ay isang parihaba. Sa kasong ito, ang lahat ng mga mukha nito ay magiging mga parihaba.
Ang isang parihabang parallelepiped ay isang tamang prisma, kahit na alin sa mga mukha nito ang kunin bilang base, dahil ang bawat isa sa mga gilid nito ay patayo sa mga gilid na umuusbong mula sa parehong vertex, at, samakatuwid, ay patayo sa mga eroplano ng mga mukha na tinukoy. sa pamamagitan ng mga gilid na ito. Sa kabaligtaran, ang isang tuwid, ngunit hindi hugis-parihaba, parallelepiped ay maaaring tingnan bilang isang tamang prisma sa isang paraan lamang.
Kahulugan 9 . Ang mga haba ng tatlong gilid ng isang hugis-parihaba na parallelepiped, kung saan walang dalawa ay parallel sa isa't isa (halimbawa, tatlong mga gilid na umuusbong mula sa parehong vertex), ay tinatawag na mga sukat nito. Dalawang parihabang parallelepiped na may katumbas na pantay na sukat ay malinaw na pantay sa bawat isa.
Kahulugan 10 .Ang kubo ay isang parihabang parallelepiped, ang lahat ng tatlong dimensyon ay pantay sa isa't isa, kaya't ang lahat ng mukha nito ay mga parisukat. Dalawang cube na ang mga gilid ay pantay ay pantay.
Kahulugan 11 . Ang isang inclined parallelepiped kung saan ang lahat ng mga gilid ay pantay sa isa't isa at ang mga anggulo ng lahat ng mga mukha ay pantay o komplementaryo ay tinatawag na rhombohedron.
Lahat ng mukha ng isang rhombohedron - pantay na rhombus. (Ang ilang mga kristal ay may hugis rhombohedron, na may pinakamahalaga, halimbawa, Iceland spar crystals.) Sa isang rhombohedron maaari kang makahanap ng isang vertex (at kahit na dalawang magkasalungat na vertices) na ang lahat ng mga anggulo na katabi nito ay pantay sa bawat isa.
Teorama 4 . Ang mga diagonal ng isang parihabang parallelepiped ay katumbas ng bawat isa. Ang parisukat ng dayagonal ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng tatlong dimensyon.
Sa parihabang parallelepiped ABCDA"B"C"D" (Larawan 6), ang mga diagonal na AC" at BD" ay pantay, dahil ang may apat na gilid na ABC"D" ay isang parihaba (ang tuwid na linyang AB ay patayo sa eroplanong ECB" C", kung saan namamalagi ang BC") ).
Bilang karagdagan, ang AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2 batay sa teorama tungkol sa parisukat ng hypotenuse. Ngunit batay sa parehong teorama AD" 2 = AA" 2 + + A"D" 2; kaya tayo may:
AC" 2 = AB 2 + AA" 2 + A" D" 2 = AB 2 + AA" 2 + AD 2.